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Cours de Mathematiques

Derivation, convexite, Developpements limites

Sommaire

Derivation, convexite,Developpements limites

Sommaire

I Derivabilite dune fonction numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . 2I.1 Derivabilite en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2I.2 Derivabilite a` gauche ou a` droite en un point . . . . . . . . . . . . . . 3I.3 Operations sur les applications derivables en un point . . . . . . . . . 4

II Derivabilite sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6II.1 Applications derivables, applications de classe C1 . . . . . . . . . . . . 6II.2 Extremums dune fonction derivable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7II.3 Rolle et accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8II.4 Monotonie des applications derivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

III Applications de classe Ck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10III.1 Derivees successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10III.2 Operations sur les applications de classe Ck . . . . . . . . . . . . . . . 11III.3 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

IV Applications convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14IV.1 Definitions equivalentes de la convexite . . . . . . . . . . . . . . . . . 14IV.2 Regularite des applications convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16IV.3 Inegalites de convexite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

V Developpements limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19V.1 Notion de developpement limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19V.2 Developpements limites usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22V.3 Operations sur les DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

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Partie I : Derivabilite dune fonction numerique

I Derivabilite dune fonction numerique

Dans tout ce chapitre, on conside`re des applications qui sont definies sur un intervalle I de IRnon reduit a` un point, et qui sont a` valeurs dans IR.

I.1 Derivabilite en un point

Definition (Nombre derive en un point)

On dit que f est derivable en un point a de I si limxa

f(x) f(a)x a existe dans IR.

Cette limite est appelee nombre derive de f en a et est notee f (a), ou D(f)(a), oudf

dx(a).

Interpretation geometrique

Soient A = (a, f(a)) et M(x, f(x)) sur la courbe representative de f .

Le taux daccroissementf(x) f(a)

x a est le coefficient directeur de la corde AM .Dire que f est derivable en a, cest dire que la corde AM posse`de une position limite nonverticale , de coefficient directeur f (a), quand x tend vers a, cest-a`-dire quand M tendvers A sur . On dit que est la tangente a` en son point dabscisse a.

Dire que f est derivable en a, cest donc dire que la courbe representative de f presenteau point A(a, f(a)) une tangente non verticale.

Lequation de est y = f(a) + (x a)f (a).

Proposition (Une autre definition de la derivabilite)

f est derivable en un point a de I il existe un reel ` et une application x 7 (x) de Idans IR, verifiant lim

xa(x) = 0 et (a) = 0, et tels que :

x I, f(x) = f(a) + (x a)`+ (x a)(x)Le reel ` est alors egal a` f (a).

La figure ci-dessus montre les quantites (x a)f (a) et (x a)(x), relatives a` un pointM(x, f(x)) assez eloigne de A. Au voisinage de A, et si f (a) 6= 0 (cest-a`-dire si la tan-gente nest pas horizontale), alors (x a)(x) est negligeable devant (x a)f (a).





Remarques et exemples

Une translation permet de se ramener a` un calcul a` lorigine : f (a) = limh0

f(a+ h) f(a)h

.

Si f derivable en a, f est continue en a. La reciproque est fausse.

Exemple : si f(0) = 0 et f(x) = x sin 1x si x 6= 0, f est continue mais non derivable en 0. Si f est constante sur I, alors : a I, f (a) = 0. Si f est lapplication x 7 xn (avec n IN) alors : a IR, f (a) = nan1. Pour tout a de IR, exp(a) = exp(a) et ln(a) = 1a .

Pout tout a de IR, sin(a) = cos(a) et cos(a) = sin(a).Si a 6= pi2 (pi), alors tan(a) = 1 + tan2(a).

I.2 Derivabilite a` gauche ou a` droite en un point

On comple`te les definitions precedentes avec la notion de nombre derive a` gauche ou a` droite.

Definition (Nombre derive a` gauche)

Soit a un point de I, distinct de lextremite gauche de I.

On dit que f est derivable a` gauche en a si limxa, xa

f(x) f(a)x a existe dans IR.

Cette limite est appelee nombre derive a` droite de f en a et est notee f d(a).


Dire que f est derivable a` droite (resp. a` gauche) en a, cest dire que la courbe de f admetau point A(a, f(a)) une demi-tangente a` droite (resp. a` gauche) non verticale.

Le coefficient directeur de cette demi-tangente est f d(a) (resp. fg(a).)





Sur lexemple de gauche, f est derivable a` gauche et a` droite en a, avec f g(a) = 1 (demi-tangente oblique, paralle`le a` y =x) et f d(a) = 0 (demi-tangente horizontale.)Sur lexemple de droite, on a f g(a) = 0 (demi-tangente horizontale), mais f nest pas derivablea` droite en a (il y a bien une demi-tangente mais elle est verticale).

Remarques

Soit a un point de I qui ne soit pas une extremite de I.

f est derivable en aelle est derivable a` gauche et a` droite en a et f g(a) = f d(a).On a alors f (a) = f g(a) = f

d(a).

Si f derivable en a, alors f est continue en a.

La reciproque est fausse (comme le montre lexemple de x 7 |x| en 0.)Si f est derivable a` gauche (resp. a` droite) en a, elle y est continue a` gauche (resp. a` droite.)

Si f concide en a et a` droite de a avec une application g definie au voisinage de a et derivableen a, alors f est derivable a` droite en a et f d(a) = g

(a) (remarque analogue a` gauche de a.)Par exemple, si f est definie par f(x) = |x|+ exp(x), elle concide en 0 et a` droite de 0 avecg(x) = x+ exp(x) qui est telle que g(0) = 2.De meme f concide en 0 et a` gauche de 0 avec h(x) = x+exp(x) qui est telle que h(0) = 0.On en deduit que f est derivable a` droite et a` gauche en 0, avec f d(0) = 2 et f

g(0) = 0.

I.3 Operations sur les applications derivables en un point

Proposition (Linearite de la derivation en un point)

Soient f et g deux applications derivables au point a. Pour tous scalaires , , lapplicationh = f + g est derivable en a et h(a) = f (a) + g(a).

Proposition (Produit dapplications derivables en un point)

Soient f et g deux applications derivables en un point a.

Alors lapplication h = fg est derivable en a et h(a) = f (a)g(a) + f(a)g(a).

Proposition (Derivee de linverse)

Si g est derivable en a, avec g(a) 6= 0, alors h = 1gest derivable en a, et h(a) = g

(a)g2(a)

.

Supposons de plus que f soit derivable en a.

Alorsf

gest derivable en a et

(fg

)(a) =

f (a)g(a) f(a)g(a)g2(a)

.

Proposition (Composition et derivation)

Soit f : I IR, une application derivable en un point a de I.Soit J un intervalle contenant f(I) et non reduit a` un point.

Soit g : J IR, une application derivable au point b = f(a) de J .Alors g f est derivable au point a et (g f)(a) = f (a)(g f)(a).





Proposition (Derivation et bijection reciproque)

Soit f : I IR une application derivable, strictement monotone.f est donc bijective de I sur un intervalle J . Soit a dans I tel que f (a) 6= 0.Alors g = f1 est derivable en b = f(a) et g(b) =

1

f (b)=

1

f f1(a) .




Partie II : Derivabilite sur un intervalle

II Derivabilite sur un intervalle

II.1 Applications derivables, applications de classe C1

Definition

On dit que f est derivable sur I si f est derivable en tout point de I.

Lapplication f : I IR qui a` tout a associe f (a) est appelee application derivee de f .Cette application est egalement notee Df ou

df

dx.

On note D(I, IR) lensemble des applications derivables de I dans IR.Definition (Applications de classe C1)On dit que f est de classe C1 sur I si f est derivable sur I et si f est continue sur I.On note C1(I, IR) lensemble de ces applications.

Operations sur applications derivables sur un intervalle I

Soient f et g deux applications derivables sur lintervalle I.

Pour tous , dans IR, h = f + g est derivable sur I et h = f + g.

Lapplication fg est derivable sur I et (fg) = f g + fg.

Si g ne sannule pas sur I, alors(1g

)= g

g2et(fg

)=f g fg

g2

Soit f : I IR et g : J IR deux applications derivables, avec f(I) J .Alors g f est derivable sur I et (g f) = f (g f)

Soit f : I IR une application derivable, strictement monotone.Lapplication f realise donc une bijection de I sur un intervalle J .

Si f ne sannule pas sur I, alors g = f1 est derivable sur J et g =1

f f1 . Tous les resultats precedents senoncent a` lidentique pour des applications de classe C1.Derivation des fonctions trigonometriques inverses

La derivee de x sin x sur [pi2 ,pi2 ] est x cosx, nulle en

pi2 . On en deduit :

x ] 1, 1[, arcsin x = 1sin(arcsinx)

=1

cos(arcsinx)=

11 x2

La derivee de x cosx sur [0, pi] est x sin x, nulle en x = 0 et x = pi. On en deduit :

x ] 1, 1[, arccos x = 1cos(arccos x)

=1

sin(arccos x)=

11 x2

La derivee de x tan x sur ] pi2 ,pi2 [ est x 1 + tan2 x, toujours non nulle. On en deduit :

x IR, arctan x = 1tan(arctanx)

=1

1 + tan2(arctanx)=

1

1 + x2





Derivation des fonctions puissances

Par recurrence sur n 1, on sait que (xn) = nxn1 pour tout x de IR. Si n est un entier negatif, (xn) =

( 1xn

)= nx

n1

x2n= nxn1.

Legalite (x) = x1 est donc vraie pour les exposants de ZZ.

Soit f : x nx, bijection reciproque de g : IR+ IR+ definie par g(x) = xn.Lapplication g est derivable sur IR+ et sa derivee g(x) = nxn1 est non nulle sur IR+.

Ainsi f est derivable sur IR+ et f (x) =1

g( nx)

=1

nxn1n

=1

nx1n1.

La formule (x) = x1 est donc encore valable quand est de la forme =1

n, ou` n IN.

Si =p

q(p ZZ, q IN), alors : (x) = ((xp)1/q) = 1q (xp)(xp)

1q1 = pqx

p1+ pqp = x1.

La formule (x) = x1 est donc encore valable quand est un rationnel.

Dans le cas dun exposant quelconque, en particulier non rationnel :

x > 0, (x) = (exp( lnx)) = xexp( lnx) =

xx = x1

II.2 Extremums dune fonction derivable

Proposition

Soit f : I IR une application derivable. Soit a un point interieur a` I.Si f posse`de un extremum local en a, alors f (a) = 0.

Remarques

La reciproque est fausse : si f(x) = x3, f (0) = 0 mais f na pas dextremum en 0.

En fait, les extremums locaux dune application f sur un intervalle I doivent etre recherchesparmi les points ou` f nest pas derivable, parmi les extremites de I, et parmi les pointsinterieurs a` I ou` f est derivable de derivee nulle.

Le graphe ci-dessous montre quelques cas possibles :





II.3 Rolle et accroissements finis

Theore`me (Theore`me de Rolle)

Soit f : [a, b] IR une application definie sur le segment [a, b], avec a < b, a` valeurs reelles.On suppose que f est continue sur [a, b], derivable sur ]a, b[, et que f(a) = f(b).

Alors il existe c dans ]a, b[ tel que f (c) = 0.

Theore`me (Egalite des accroissements finis)

Soit f : [a, b] IR une application definie sur le segment [a, b], avec a < b, a` valeurs reelles.On suppose que f est continue sur [a, b], derivable sur ]a, b[.

Alors il existe c dans ]a, b[ tel que f(b) f(a) = (b a)f (c).Proprietes et remarques

Il ny a pas necessairement unicite du point c de ]a, b[ qui figure dans les deux theore`mes.

Soit f : [a, b] IR une application continue sur [a, b], derivable sur ]a, b[ (a < b).On suppose que : x ]a, b[, m f (x) M . Alors m(b a) f(b) f(a) M(b a).

Si f est de classe C1 sur [a, b], alors |f(b) f(a)| M |b a|, avec M = supx[a,b]

|f (x)|. On peut aussi ecrire, en posant b = a+ h :

Soit f une application continue sur [a, a+ h] et derivable sur ]a, a+ h[.

Alors il existe dans ]0, 1[ tel que : f(a+ h) = f(a) + hf (a+ h).

Dans cette version du TAF, le signe de h est quelconque (si f est derivable sur un voisiangede a) et on peut considerer comme une fonction de h.


Soit la courbe de f . Soient A,B les points dabscisse a, b de .

Avec les hypothe`ses du theore`me de Rolle, il y a un point de ou` la tangente est horizontale.

Avec les hypothe`ses du theore`me des accroissements finis, il existe un point de ou` latangente est paralle`le a` la corde AB.





Proposition (Caracterisation des applications lipschitziennes)

Soit f une application continue de I dans IR, derivable sur linterieur de I.

f est k-lipschitzienne sur I pour tout x de I, |f (x)| k.Proposition (Prolongement dune application de classe C1)Soit f une application continue de [a, b[ dans IR, de classe C1 sur ]a, b[.On suppose que f posse`de une limite finie ` en a a` droite.

Alors f est de classe C1 sur [a, b[, avec f (a) = `.On a bien sur un resultat analogue au point b.

Remarque

Soit f : [a, b] IR, continue sur [a, b[, de classe C1 sur ]a, b[. On suppose que limxa+

f (x) =.Alors la courbe representative de f admet au point (a, f(a)) une demi-tangente verticale.

II.4 Monotonie des applications derivables

Proposition (Caracterisation des applications constantes)

Toute application constante f de I dans IR est derivable sur I et x I, f (x) = 0.Reciproquement, si f est continue sur I, derivable sur linterieur de I et si f est lapplicationnulle, alors f est constante sur I.

Proposition (Caracterisation des applications monotones)

Soit f : I IR une application derivable. Lapplication f est croissante sur I x I, f (x) 0. Lapplication f est decroissante sur I x I, f (x) 0.

Proposition (Caracterisation des applications strictement monotones)

Soit f : I IR une application derivable et monotone.Lapplication f est strictement monotone sur I si et seulement si sa derivee f nest identi-quement nulle sur aucun sous-intervalle de I dinterieur non vide (ou encore si et seulementsi f ne sannule quen des points isoles de I.)

Proposition (Applications ayant la meme derivee)

Soient f, g : I IR, derivables sur I. Les deux conditions suivantes sont equivalentes : Pour tout x de I, on a f (x) = g(x).

Il existe une constante telle que : x I, g(x) = f(x) + .Remarque

Tout ce qui decoule de Rolle est valable sur un intervalle, et pas sur une reunion dintervalles.

Par exemple, si f(x) = 1x alors f(x) = 1x2 < 0 sur IR, mais f nest pas monotone sur IR.

De meme, si deux applications derivables sur IR verifient f = g sur IR, alors elles diffe`rentdune constante sur IR et dune constante sur IR+.




Partie III : Applications de classe Ck

III Applications de classe Ck

On rappelle que I designe un intervalle de IR non reduit a` un point.

III.1 Derivees successives

Definition (Applications n fois derivables sur un intervalle)

Soit f une application de I dans IR. On pose f (0) = f .

On suppose que lapplication f (n1) existe et est derivable de I dans IR.

On definit alors lapplication f (n) = (f (n1)).

Si lapplication f (n) : I IR existe, on dit que f est n fois derivable sur lintervalle I, etf (n) est appelee application derivee n-ie`me de f sur I.

Lapplication f (n) est peut egalement etre notee Dnf ou encorednf

dxn.

Remarques

On note souvent f et f les applications derivee seconde et derivee troisie`me de f . Nombre derive n-ie`me en un point :

Soit f une application de I dans IR, a un point de I et n un entier naturel.

On dit que f est n fois derivable en a si f est n 1 fois derivable sur un voisinage de a et sif (n1) est derivable en a.On note encore f (n)(a) cette derivee, appelee nombre derive n-ie`me de f au point a de I (ilnest pas necessaire que f (n) existe sur I tout entier.)

Si f est n fois derivable sur I, alors pour tout k de {0, . . . , n}, lapplication f (k) est n kfois derivable sur I (et en particulier continue si k < n).

Pour tout k de {0, . . . , n}, on a alors legalite : f (n) = (f (k))(nk).Definition (Applications de classe Ck)Soit f une application de I dans IR, k fois derivable.

Si de plus lapplication f (k) est continue sur I, on dit que f est de classe Ck sur I.On note Ck(I, IR) lensemble des applications de classe Ck de I dans IR.On dit que f est de classe C sur I si f est k fois derivable sur I pour tout entier naturelk (cest-a`-dire en fait si f est de classe Ck pour tout k).On note C(I, IR) lensemble de ces applications.

Remarques

C0(I, IR) designe lensemble des applications continues de I dans IR.On a les inclusions C0(I, IR) C1(I, IR) Ck(I, IR) C(I, IR).De meme on a : C(I, IR) =

kIN

Ck(I, IR).

On dit souvent dune application de classe Ck quelle est k fois continument derivable. On a f (n) 0 sur I f est une application polynomiale de degre n1 sur I.





III.2 Operations sur les applications de classe Ck

Dans les enonces suivants, k est un element de IN {+}.Les proprietes de ce paragraphe pourraient etre enoncees de facon analogue en termes de fonc-tions k fois derivables sur un intervalle I.

Proposition (Combinaisons lineaires dapplications de classe Ck)Soient f et g deux applications de classe Ck de I dans IR. Soient , deux reels.Alors f + g est de classe Ck sur I et : (f + g)(k) = f (k) + g(k).

Proposition (Formule de Leibniz)

Soit k un element de IN{+}. Soient f et g deux applications de classe Ck de I dans IR.Alors fg est de classe Ck sur I et : (fg)(k) =

kj=0

C jk f(j)g(kj).

Proposition (Inverse dune application de classe Ck)Si f : I IR est de classe Ck sur I et ne sannule pas, alors 1

fest de classe Ck sur I.

Proposition (Composition dapplications de classe Ck)Soit f une application de classe Ck de I dans IR.Soit J un intervalle de IR, non reduit a` un point et contenant f(I).

Soit g une application de classe Ck de J dans IR.Alors lapplication g f est de classe Ck de I dans IR.

Proposition (Bijection reciproque dune application de classe Ck)Soit f une application de classe Ck de I dans IR.On suppose que f (x) > 0 pour tout x de I, ou que f (x) < 0 pour tout x de I.

Lapplication f realise donc une bijection de I sur un intervalle J .

Dans ces condtions, la bijection reciproque f1 est egalement de classe Ck.

Exemples dapplications de classe C Les fonctions polynomiales sont de classe C sur IR.Il en est de meme des fonctions rationnelles sur leur domaine de definition.

Lapplication x 7 expx est de classe C sur IR.Lapplication x 7 lnx est de classe C sur IR+.

De meme les egalites sin = cos et cos = sin montrent que les applications x 7 sin x etx 7 cosx sont de classe C sur IR. Il en decoule que lapplication x 7 tan x est de classeC sur son domaine de definition.

Les applications x 7 x sont de classe C sur IR+. Les applications x 7 chx, x 7 sh x et x 7 thx sont de classe C sur IR.





Les applications x 7 arcsinx, et x 7 arccos x sont de classe C sur ] 1, 1[.Lapplication x 7 arctanx est de classe C sur IR.

Les fonctions qui se deduisent des precedentes par somme, produit, quotient, puissance etcomposition sont de classe C sur leur domaine de definition.

III.3 Formules de Taylor

Proposition (formule de Taylor avec reste integral)

Soit f : [a, b] IR une application de classe Cn+1. On a legalite :

f(b) =n

k=0

(b a)kk!

f (k)(a) +

ba

(b t)nn!

f (n+1)(t) dt Rn

.

Rn est appele le reste integral dordre n de la formule de Taylor de f sur [a, b].

Proposition (inegalite de Taylor-Lagrange)

Soit f : I IR une application de classe Cn+1.Soient a et b deux points de I.

Alors :f(b) n

k=0

(b a)kk!

f (k)(a) M |b a|n+1

(n+ 1)!, ou` M = sup

[a,b]

f (n+1).Exemples

Pour n = 0, on retrouve linegalite des accroissements finis :

|f(b) f(a)| M1 |b a| ou` M1 = sup[a,b]

|f |Pour n = 1, on trouve :

|f(b) f(a) (b a)f (a)| M2 (b a)2

2!ou` M2 = sup

[a,b]

|f |

Voici des exemples dapplication de linegalite de Taylor-Lagrange aux fonctions t 7 sin t ett 7 cos t sur lintervalle [0, x] :sin x x |x|3

3!

sin x x+ x33!

|x|55!

sin x x+ x33! x

5

5!

|x|77!cosx 1 x2

2!

cosx 1 + x22!

x44!

cosx 1 + x22! x

4

4!

x66!

En posant h = b a, linegalite de Taylor-Lagrange au rang n secrit :f(a+ h) nk=0

hk

k!f (k)(a)

M |h|n+1(n+ 1)!

, ou` M = sup[a,a+h]

f (n+1)





Proposition (formule de Taylor-Young)

Soit f une application de classe Cn de I dans IR, et soit a un point de I.Alors il existe une application definie sur I, telle que :

x I, f(x) =n

k=0

(x a)kk!

f (k)(a) + (x a)n(x), avec limxa

(x) = 0.




Partie IV : Applications convexes

IV Applications convexes

IV.1 Definitions equivalentes de la convexite

Comme dhabitude, I designe un intervalle de IR non vide et non reduit a` un point.

Definition (application convexe)

Une application f : I IR est dite convexe si : (a, b) I2, [0, 1], f(a+ (1 )b) f(a) + (1 )f(b).


Sur le schema ci-dessous, on a fait figurer deux points A = (a, f(a)) et B = (b, f(b)) de lacourbe de f , ainsi que les points M et N dabscisse x = a + (1 )b et dordonneesrespectives f(x) et f(a) + (1 )f(b).La convexite de f signifie que pour tout de [0, 1], lordonnee de M est inferieure ou egale a`celle de N. Or quand decrit [0, 1], le point M decrit larc (AB) de la courbe , alors quele point N (qui est le barycentre de A et B affectes des poids respectifs et 1) parcourtla corde [AB] :

Dire que lapplication f est convexe sur I, cest donc dire que pour tous points A(a, f(a)) etB(b, f(b)) de la courbe de f , la corde [AB] est au-dessus de larc (AB) de .

Exemples et remarques

Une application f : I IR est dite concave si lapplication f est convexe.Dans toute la suite de cette section on considerera surtout des applications convexes, lesproprietes des applications concaves sen deduisant de manie`re evidente.

Lapplication x 7| x| est convexe sur IR car | a+ (1 )b | | a | +(1 ) | b | Les fonctions affines f : x 7 x + sont a` la fois convexes et concaves sur IR, car ellesverifient en effet f(a+ (1 )b) = f(a) + (1 )f(b). Reciproquement si une applicationest a` la fois convexe et concave alors elle est affine (sa courbe representative est une droite.)





Soient f1, f2, . . . , fn des applications convexes, et 1, . . . , n des reels 0.Alors lapplication g = 1f1 + 2f2 + + nfn est convexe.

Definition (partie convexe du plan)

Soit une partie non vide du plan IR2. On dit que est une partie convexe si, pour touspoints M,N de , le segment [M,N ] est inclus dans .

Proposition (caracterisation par la convexite de lepigraphe)

Soit f : I IR une application.Lensemble = {(x, y) IR2, y f(x)} est appele epigraphe de f sur I.Lapplication f est convexe si et seulement si son epigraphe est une partie convexe de IR2.

On a represente ici lepigraphe dune application convexe f , deux points A et B de cetepigraphe, et le segment qui les joint, tout entier inclus dans .

Remarque : f est concave sur I la partie situee sous la courbe y = f(x) est convexe.Proposition (une autre caracterisation de la convexite)

Une application f : I IR est convexe si et seulement si :Pour tout a < b < c de I,

f(b) f(a)b a

f(c) f(a)c a

f(c) f(b)c b

Le schema ci-dessous illustre la propriete precedente : lapplication f est convexe si et seulementsi, pour tous points A,B,C de la courbe (avec a < b < c), alors la pente de la corde [AB] estinferieure a` celle de la corde [AC], elle meme inferieure a` la pente de la corde [BC].





Proposition (encore une caracterisation de la convexite)

Une application f : I IR est convexe si et seulement si, pour tout a de I, lapplicationTa definie sur I \ {a} par Ta(x) = f(x) f(a)

x a est croissante.

IV.2 Regularite des applications convexes

Proposition (derivabilite a` gauche et a` droite)

Soit f : I IR une application convexe. Soit a un point interieur a` I.Alors f est derivable a` droite et a` gauche au point a, et f g(a) f d(a).De plus les applications f g et f

d sont croissantes sur linterieur de I.

Proposition (continuite des applications convexes)

Soit f : I IR une application convexe. Alors f est continue en tout point interieur a` I.Un contre-exemple

Une application convexe sur un intervalle I peut ne pas etre continue aux extremites de I.

On le voit bien avec lapplication f definie sur [0, 1] par

{f(0) = f(1) = 1

f(x) = 0 si x ]0, 1[Proposition (caracterisation de la convexite par la derivee premie`re)

Soit f une application derivable de I dans IR.

Alors f est convexe si et seulement si f est croissante sur I.

Proposition (Tangente a` la courbe dune application convexe)

Soit f une application derivable et convexe de I dans IR.

Alors pour tout a de I, on a : x I, f(x) f(a) + (x a)f (a).Interpretation geometrique

La courbe representative de f est, sur tout lintervalle I, situee au-dessus de nimportelaquelle de ses tangentes.

On a en fait un resultat plus general. On sait en effet quune application convexe sur I estderivable a` droite et a` gauche en tout point interieur a` I. La courbe y = f(x) est alors partoutau-dessus de chacune de ses demi-tangentes a` gauche ou a` droite.





Pour les applications concaves

Une application concave sur I est continue en tous les points interieurs a` I.

Si f est derivable, f est concave f est decroissante. Si f est derivable et concave, la courbe y = f(x) est partout en dessous de ses tangentes.

Proposition (caracterisation de la convexite par la derivee seconde)

Soit f une application deux fois derivable de I dans IR.

Alors f est convexe si et seulement si f (x) 0 pour tout x de I.

Proprietes et remarques

Une application f : I IR deux fois derivable est concave sur I x I, f (x) 0. Lapplication x 7 ex est convexe sur IR. Lapplication x 7 lnx est concave sur IR+. Les applications x 7 ax sont convexes sur IR.Lapplication x 7 x est concave si [0, 1] et convexe si IR [1,+[.

Lapplication x 7 sin x est concave sur [0, pi2 ]. Il en decoule : x [0,pi2 ],

2pi x sin x x.

Soit f : I IR une application deux fois derivable. Soit a un point interieur a` I.On suppose que f sannule et change de signe au point a.

Il y a donc un changement de concavite en a : la courbe y = f(x) traverse sa tangente.

On dit que le point A(a, f(a)) est un point dinflexion.

IV.3 Inegalites de convexite

Proposition

Soit f : I IR une application convexe. Soit x1, x2, . . . , xn une famille de n points de I.On se donne egalement n scalaires k de [0, 1] tels que

nk=1

k = 1.

Alors on a linegalite f( nk=1

kxk

)

nk=1

kf(xk).

Remarques et exemples

Un cas particulier classique est celui ou` les k sont tous egaux a`1n .

On obtient alors f(1n

nk=1

xk

) 1n

nk=1

f(xk).

Si les k sont 0 et non tous nuls, on peut ecrire : f( n

k=1

kxk

nk=1

k

)

nk=1

kf(xk)

nk=1

k

.

Si f est concave, les inegalites sont dans lautre sens.

Par exemple, lapplication x 7 lnx est concave sur IR+.





On en deduit que pour tous x1, x2, . . . , xn de IR+, on a : ln

(1n

nk=1

xk

) 1n

nk=1

ln(xk).

On en deduit 1n

nk=1

xk ( nk=1

xk

)1/nen prenant lexponentielle membre a` membre.

La moyenne arithmetique des xk est donc superieure ou egale a` leur moyenne geometrique.

Des arguments de convexite permettent de demontrer linegalite de Minkowski :

Pour tous xk, yk dans IR+ et p > 1, on a :

( nk=1

(xk + yk)p)1/p

( nk=1

xpk

)1/p+( nk=1

ypk

)1/p




Partie V : Developpements limites

V Developpements limites

V.1 Notion de developpement limite

Definition

Soit f : I IR une application, et soit x0 un reel element ou extremite de I.Soit n un entier naturel. On dit que f admet un developpement limite (en abrege un DL)a` lordre n en x0 sil existe des reels a0, a1, . . . , an et une fonction x 7 (x) tels que :x I, f(x) =

nk=0

ak(x x0)k + (x x0)n(x), avec limxx0

(x) = 0.

Avec les notations de Landau, cela peut secrire : f(x) =n

k=0

ak(x x0)k + o((x x0)n).

Proposition (unicite du developpement limite)

Soit f une application admettant un DL dordre n en x0 : f(x) =n

k=0

ak(x x0)k + o((xx0)

n).

Alors les coefficients a0, a1, . . . , an sont definis de facon unique.

Le polynome P (x) =n

k=0

ak(x x0)k est appele partie principale du developpement limite.

Troncature dun developpement limite

Supposons que f admette un DL dordre n en x0. Soit p un entier naturel, p n.Alors f admet un DL dordre p en x0, obtenu par troncature. Plus precisement :

f(x) =n

k=0

ak(x x0)k + o((x x0)n) f(x) =p

k=0

ak(x x0)k + o((x x0)p).Par exemple, si f(x) = 1 x+ 2x3 + x4 + o(x4), alors f(x) = 1 x+ 2x3 + o(x3).

Il arrive quon utilise les notations O de Landau dans un developpement limite.

Par exemple, si f(x) = 1 + 2x2 + x3 x4 + o(x4), alors f(x) = 1 + 2x2 + x3 +O(x4).Cette dernie`re ecriture contient un peu plus dinformations que f(x) = 1+ 2x2 + x3 + o(x3).

DL et equivalents

On conside`re le developpement f(x) =n

k=0

ak(x x0)k + o((x x0)n).Si tous les ak sont nuls, alors f(x) est negligeable devant (x x0)n au voisinage de x0.Sinon, et si m est lindice minimum tel que am 6= 0, alors f(x) am(x x0)m en x0.Inversement, si f(x) am(x x0)m en x0, avec m IN, alors f(x) = am(x x0)m + o((xx0)

m).

Par exemple : cosx = 1 x2

2!+x4

4!+ o(x4) cosx 1 + x

2

2! x

4

4!en 0.

Dans la pratique, on utilisera souvent les equivalents dans les recherches de limites, et lesdeveloppements limites lorsquon cherche plus de precision (par exemple non seulement lexis-tence dune demi-tangente mais encore la position de la courbe par rapport a` celle-ci) ouquand il est difficile dutiliser des equivalents (notamment dans les sommes.)





DL a` gauche ou a` droite en un point

Soit f : I IR une application definie au voisinage dun point x0.Il arrivera que seule la restriction de f a` I]a,+[ ou a` I], a[ posse`de un DL en x0.On parlera dans ce cas de developpement limite a` droite ou a` gauche en x0.

Definition (developpement limite au voisinage de )Soit f : I IR une application definie au voisinage de + (ou de .)Soit n un entier naturel. On dit que f admet un developpement limite (en abrege un DL) a`lordre n en + (resp. en ) sil existe des reels a0, a1, . . . , an et une fonction x 7 (x)tels que : x I, f(x) =

nk=0

akxk

+(x)

xn, avec lim

x(x) = 0.

Avec les notations de Landau, cela peut secrire : f(x) =n

k=0

akxk

+ o( 1xn

).

Remarque

Tant pour les DL a` droite ou` a` gauche que pour les DL en , on dispose de proprietesanalogues a` celles qui ont deja` ete vues (unicite, troncature, equivalents, etc.)

Importance des developpements a` lorigine

f a un DL dordre n en x0 g : x 7 g(x) = f(x0 + x) a un DL dordre n en 0.Plus precisement : f(x) =

nk=0

ak(x x0)k + o((x x0)n) g(x) =n

k=0

akxk + o(xn).

De meme, f a un DL dordre n en h : x 7 h(1x

)a un DL dordre n en 0.

Plus precisement : f(x) =n

k=0

akxk

+ o( 1xn

) h(x) =

nk=0

akxk + o(xn).

Ces deux remarques, et le fait que les calculs y sont plus simples, font que les DL sontgeneralement formes a` lorigine (cest dailleurs le cas des DL usuels.)

DL et continuite, DL et derivabilite

Dire que f admet un DL f(x) = a0 + o(1) dordre 0 en x0, cest dire que f est continue (ouprolongeable par continuite) en x0.

Ce developpement secrit necessairement f(x) = f(x0) + o(1).

Dire que que f admet un DL f(x) = a0 + a1(x x0) + o(x x0) dordre 1 en x0, cest direque f est derivable (apre`s prolongement eventuel en x0).

Ce developpement secrit necessairement f(x) = f(x0) + f(x0)(x x0) + o(x x0).

En revanche un DL dordre n 2 en x0 nimplique pas que f soit deux fois derivable en x0.Un contre-exemple est donne par lapplication f : x 7 x3 sin 1x en 0.

Si f est de classe Cn de I dans IR, et si x0 appartient a` I, alors legalite de Taylor-Youngprouve lexistence du DL de f en x0 a` lordre n. Ce DL secrit :

f(x) = f(x0) + f(x0)(x x0) + f

(x0)2!

(x x0)2 + + f(n)(x0)

n!(x x0)n + o((x x0)n)





Placement par rapport a` une tangente ou a` une asymptote

On suppose que f admet un DL dordre n 3 en x0 :f(x) = a0 + a1(x x0) + + an(x x0)n + o((x x0)n)).

On sait que cela implique la derivabilite de f en x0, avec f(x0) = a0 et f(x0) = a1.

Lequation de la tangente a` la courbe y = f(x) en x = x0 est donc y = a0 + a1(x x0).Remarque : si le DL nest valable qua` gauche ou a` droite de x0, cest une demi-tangente.

Soit m lindice minimum tel que m 2 et am 6= 0.Alors f(x) a0 a1(x x0) am(x x0)m au voisinage de x0.On en deduit le placement local de la courbe y = f(x) par rapport a` .

Si m est pair, le placement de y = f(x) par rapport a` est donne par le signe de am.Si am > 0, la courbe est localement au-dessus de sa tangente.

Si am < 0, la courbe est localement en-dessous de sa tangente.

Si m est impair, la courbe y = f(x) traverse au voisinage de M0. est donc une tangente dinflexion.

On suppose quau voisinage de on a le developpement : f(x)x

= a0+a1x+ +an

xn+o( 1xn

).

Alors f(x) = a0x+a1+a2x+ + an

xn1+o( 1xn1

)(cest un developpement asymptotique.)

Ainsi limx

(f(x) a0x a1) = 0. On en deduit que la droite dequation y = a0x+ a1 estasymptote a` la courbe y = f(x) au voisinage de .Soit m lindice minimum tel que m 2 et am 6= 0. Alors f(x) a0x a1 am

xm1.

On en deduit le placement de la courbe y = f(x) par rapport a` au voisinage de .DL et parite

Soit f une application definie sur un intervalle de centre 0.

On suppose que f admet un DL dordre n a` lorigine : f(x) =n

k=0

akxk + o(xn).

Si f est paire, la partie principale du DL est paire.Autrement dit les coefficients a2k+1 sont nuls : f(x) = a0 + a2x

2 + + a2kx2k + Si f est impaire, alors la partie principale du DL de f est un polynome impair.Autrement dit les coefficients a2k sont nuls : f(x) = a1x+ a3x

3 + + a2k+1x2k+1 + Si on forme le DL dune fonction paire ou impaire, il pourra etre utile dutiliser cette pariteet la notation O pour ameliorer a` peu de frais la precision du developpement.

Supposons par exemple que f soit paire : f(x) = a0+a2x2+a4x

4+O(x6) est plus precis quef(x) = a0 + a2x

2 + a4x4 + o(x5), lui-meme plus precis que f(x) = a0 + a2x

2 + a4x4 + o(x4).

Une dernie`re remarque

Dans un DL f(x) = a0 + a1(x x0) + a2(x x)k + + an(x x0)n + o((x x0)n), on nedeveloppera jamais les termes ak(x x0)k, avec k 2.En revanche, on rappelle que y = a0 + a1(x x0) = a1x + (a0 a1x0) est lequation de latangente en M0(x0, f(x0)) a` la courbe y = f(x).





V.2 Developpements limites usuels

Tous les developpements ci-dessous sont valables a` lorigine, et peuvent etre obtenus par laformule de Taylor-Young (ou par dautres methodes qui seront exposees plus loin.)

ex = 1 + x+x2

2!+x3

3!+ + x

n

n!+ o(xn) =

nk=0

xk

k!+ o(xn)

sin x = x x3

3!+x5

5!+ + (1)n x

2n+1

(2n+ 1)!+ o(x2n+2) =

nk=0

(1)k x2k+1

(2k + 1)!+ o(x2n+2)

cosx = 1 x2

2!+x4

4!+ + (1)n x

2n

(2n)!+ o(x2n+1) =

nk=0

(1)k x2k

(2k)!+ o(x2n+1)

sh x = x+x3

3!+x5

5!+ + x

2n+1

(2n+ 1)!+ o(x2n+2) =

nk=0

x2k+1

(2k + 1)!+ o(x2n+2)

chx = 1 +x2

2!+x4

4!+ + x

2n

(2n)!+ o(x2n+1) =

nk=0

x2k

(2k)!+ o(x2n+1)

tan x = x+x3

3+

2x5

15+ o(x6) thx = x x

3

3+

2x5

15+ o(x6)

1

1 + x= 1 x+ x2 x3 + + (1)nxn + o(xn) =

nk=0

(1)kxk + o(xn)

1

1 x = 1 + x+ x2 + x3 + + xn + o(xn) =

nk=0

xk + o(xn)

(1 + x) = 1 + x+( 1)

2!x2 + + ( 1) ( n+ 1)

n!xn + o(xn)

ln(1 + x) = x x2

2+x3

3+ + (1)n+1x

n

n+ o(xn) =

nk=1

(1)k+1xk

k+ o(xn)

ln(1 x) = x x2

2 x

3

3 x

n

n+ o(xn) =

nk=1

xk

k+ o(xn)

arctanx = x x3

3+x5

5+ + (1)n x

2n+1

2n+ 1+ o(x2n+2) =

nk=0

(1)k x2k+1

2k + 1+ o(x2n+2)

arcsinx = x+1

2

x3

3+

1 32 4

x5

5+

1 3 52 4 6

x7

7+ + o(x2n+2) arccos x = pi

2 arcsinx =





V.3 Operations sur les DL

Pour simplifier, les resultats sont enonces pour des DL a` lorigine, mais on peut facilement lesadapter a` des developpements en un autre point, voire en .Combinaisons lineaires

Soient f, g : I IR telles que f(x) =n

k=0

akxk + o(xn) et g(x) =

nk=0

bkxk + o(xn).

Alors, pour tous scalaires , , on a : (f + g)(x) =n

k=0

(ak + bk)xk + o(xn).

Exemples :

sin(x+

pi

4

)=

2

2(sinx+ cosx) =

2

2

(1 + x x

2

2! x

3

3!+x4

4!+ o(x4)

).

12ln(1 + x1 x

)=

1

2

(ln(1 + x) ln(1 x)

)= x+

x3

3+x5

5+ + x

2n+1

2n+ 1+ o(x2n+2).

DL obtenu par primitivation

Soit f : I IR admettant un DL dordre n en 0 : f(x) =n

k=0

akxk + o(xn).

Soit F une primitive de f sur lintervalle I (donc une application derivable telle que F = f .)Alors F a en 0 un DL dordre n+ 1 obtenu par integration terme a` terme de celui de f .

Plus precisement : F (x) = F (0) +n

k=0

akk+1 x

k+1 + o(xn+1) (ne pas oublier F (0)...)

Exemples :

Si f(x) = ln cos x, alors f (x) = tan x = x x3

3 2x

5

15+ o(x6).

On en deduit f(x) = x2

2 x

4

12 x

6

45+ o(x7).

Si f(x) = arctan x+ 21 2x , alors f

(x) =1

1 + x2= 1 x2 + x4 x6 + o(x7).

On en deduit f(x) = arctan 2 + x x3

3+x5

5 x

7

7+ o(x8).

DL obtenu par derivation

Soit f une application de classe Cn+1 au voisinage de 0. Alors le developpement limite def en 0 a` lordre n sobtient en derivant terme a` terme le developpement limite de f en 0 a`lordre n+ 1 (ces deux developpements resultent de la formule de Taylor-Young).

Ce resultat est surtout utilise pour des applications de classe C. Exemple : On sait que

1

1 x = 1 + x+ x2 + + xn + o(xn).

Par derivation, on en deduit :1

(1 x)2 = 1 + 2x+ 3x2 + 4x3 + (n+ 1)xn + o(xn).

Un nouvelle derivation donne :1

(1 x)3 = 1 + 3x+ 6x2 + + (n+ 2)(n+ 1)xn + o(xn).





Produit de deux DL


k=0


nk=0

bkxk + o(xn).

Alors (fg)(x) =n

k=0

ckxk + o(xn), avec ck =

i+j=k

aibj.

Exemples :

On a ex = 1 + x+ x2

2!+x3

3!+x4

4!+ o(x4) et

1

1 x = 1 + x+ x2 + x3 + x4 + o(x4).

On en deduitex

1 x = 1 + 2x+5

2x2 +

8

3x3 +

65

24x4 + o(x4)

11 x = 1+x+x

2+ +xn+o(xn) 1(1 x)2 = 1+2x+3x

2+ +(n+1)xn+o(xn).

Composition de deux DL


k=1


nk=0

bkxk + o(xn).

Remarque : il est important que le coefficient constant a0 du DL de f soit nul. Autrementdit lapplication f doit etre un infiniment petit quand x tend vers 0.

Dans ces conditions, lapplication g f admet un DL dordre n en 0.Si on note P =

nk=1

akxk et Q =

nk=0

bkxk les parties regulie`res des DL de f et g, alors la partie

regulie`re de celui de g f est obtenue en conservant les termes de degre n dans Q P .

Dans la pratique, on pose g(X) =n

k=0

bkXk + o(Xn) et on remplace X par le DL de f(x).

On calcule de proche en proche les DL des puissances successives Xk = f(x)k, en ne gardanta` chaque etape que les puissances xm avec m n.

Exemple :

Supposons f(x) = x x2 + 2x3 + x4 + o(x4) et g(X) = 1 +X + 3X2 X3 X4 + o(X4).Posons X = f(x) = x x2 + 2x3 + x4 + o(x4).On trouve X2 = x2 2x3 + 5x4 + o(x4), puis X3 = x3 3x4 + o(x4) et X4 = x4 + o(x4).On en deduit le developpement limite de g f a` lordre 4 a` lorigine :

(g f)(x) = 1 +X + 3X2 X3 X4 + o(X4) = 1 + x+ 2x2 5x3 + 18x4 + o(x4)

Les calculs precedents peuventavantageusement prendre place dansun tableau comme indique ci-contre.Un tel tableau est particulie`rementindique quand aucun des deux DL a`composer nest pair ou impair.

coeff

X x x2 2x3 x4 1X2 x2 2x3 5x4 3X3 x3 3x4 1X4 x4 1

x 2x2 5x3 18x4





Inverse dun DL

Soit f : I IR admettant un DL dordre n en 0 : f(x) =n

k=0

akxk + o(xn).

On suppose que a0 6= 0 (autrement dit f posse`de une limite non nulle en 0.)Dans ces conditions lapplication x 7 1

f(x)posse`de un DL dordre n en 0.

Pour cela on ecrit1

f(x)=

1

a0(1 g(x)) ou` g(x) = 1

a0

(a1x+ a2x

2 + + anxn + o(xn)).

On compose ensuite le DL de x 7 g(x) par celui de x 7 11 x .

Exemple :

On veut calculer le developpement limite de x 7 1cosx

a` lorigine, a` lordre 7.

On sait que cos x = 1 x2

2!+x4

4! x

6

6!+ o(x7).

On pose donc1

cosx=

1

1 g(x) , avec X = g(x) =x2

2! x

4

4!+x6

6!+ o(x7).

On utilise ensuite1

1X = 1 +X +X2 +X3 +O(X4).

On trouve X2 =x4

4 x

6

24+ o(x7) et X3 =

x6

8+ o(x7).

On obtient finalement :1

cosx= 1 +

x2

2+

5x4

24+

61x6

720+ o(x7).

Quotient de deux DL


k=0

akxk+o(xn) et g(x) =

nk=0

bkxk+o(xn), avec b0 6= 0.

On suppose donc que lapplication g ne tend vers 0 a` lorigine.

Dans ces conditions,f

gadmet un DL en 0 a` lordre n.

Ce developpement est obtenu en effectuant le produit de celui de f par celui de1

g.

Exemple :

On peut obtenir le developpement limite de tanx en 0 par quotient.

On sait que sinx = x x3

3!+x5

5! x

7

7!+ o(x8).

On a vu precedemment que1

cosx= 1 +

x2

2+

5x4

24+

61x6

720+ o(x7).

On en deduit le developpement limite de x 7 tan x en 0, a` lordre 8 :

tan x =sin x

cosx= x

(1 x

2

6+

x4

120 x

6

5040+ o(x7)

)(1 +

x2

2+

5x4

24+

61x6

720+ o(x7)

)= x+

x3

3+

2x5

15+

17x7

315+ o(x8)





Quelques remarques pour finir

Soient f, g : I IR deux applications admettant un DL en 0.On suppose que f(x) = apx

p + ap+1xp+1 + ap+2x

p+2 + , avec p 0.De meme, on suppose que g(x) = bqx

q + bq+1xq+1 + bq+2x

q+2 + , avec q 0.Pour former le DL du produit fg a` lordre n, il suffit de former celui de f a` lordre n q etcelui de g a` lordre n p.Par exemple, pour calculer le DL de (1 cosx)(sinx x) en 0 a` lordre 8 : On ecrit 1 cosx = x

2

2! x

4

4!+ o(x5) et sinx x = x

3

3!+x5

5!+ o(x6).

On en deduit :(1 cosx)(sinx x) =

(x22 x

4

24+ o(x5)

)(x

3

6+

x5

120+ o(x6)

)= x

5

12+x7

90+ o(x8)

Soient f, g : I IR deux applications admettant un DL en 0.On suppose que f(x) = apx

p + ap+1xp+1 + ap+2x

p+2 + , avec p 1.De meme, on suppose que g(x) = b0 + b1x+ b2x

2 + .Pour former le DL de gf en 0, on ecrit : (gf)(x) = b0+b1f(x)+b2f 2(x)+ +bkfk(x)+ Mais le developpement de fk(x) debute par (apx

p)k = akp xpk.

On voit que pour obtenir le DL de g f en 0 a` lordre n, il faut porter celui de f a` un ordrem tel que pm n < p(m+ 1). Donc m = E(np ).Par exemple, pour calculer le DL de ln(1 + x arctanx) en 0 a` lordre 6 : On ecrit X = x arctanx = x

3

3 x

5

5+ o(x6) et ln(1 +X) = X X

2

2+ O(X3).

On trouve X2 = x6

18+ o(x6) puis ln(1 + x arctanx) = x

3

3 x

5

5 x

6

18+ o(x6)

Quand on doit calculer le DL a` un ordre determine dune application f qui sexprime enfonction dautres applications g, h, . . . il faut prendre le temps de comprendre a` quel ordreles DL de g, h, . . . doivent etre calcules. Il y a en effet deux risques : celui de partir avec desDL trop longs et de faire beaucoup de calculs inutiles, et celui au contraire de partir avecdes DL trop courts ce qui oblige a` tout recommencer.

Par exemple, pour calculer le DL en 0 (a` droite) de f(x) =1

xln(cos

x) a` lordre 2 :

On ecrit cos x = 1 x2

2!+x4

4! x

6

6!+ O(x8) puis cos

x = 1 x

2+x2

24 x

3

720+ o(x3).

On pose X = x2+x2

24 x

3

720+o(x3) et on compose par ln(1+X) = XX

2

2+X3

3+o(X3).

Apre`s calcul, on trouve : ln(cosx) = x2 x

2

12 x

3

45+ o(x3).

Finalement, la division par x fait chuter lordre du DL dune unite.Le developpement cherche est donc :

1

xln(cos

x) = 1

2 x

12 x

2

45+ o(x2).

Pour obtenir un resultat a` lordre 2, il a donc fallu developper x 7 cosx a` lordre 6.





Quand on veut calculer le DL de g f en 0 en composant les developpements de f et de g a`lorigine, il faut veiller a` ce que f(x) soit bien un infiniment petit lorsque x tend vers 0, afinque la substitution de X par f(x) soit justifiee dans le developpement de g(X). Si ce nestpas le cas, on peut souvent sy ramener, comme dans les exemples suivants :

exp f(x) = exp(a0 + a1x+ a2x2 + ) = exp(a0) exp(a1x+ a2x2 + ).On pose alors X = a1x+ a2x

2 + et on utilise exp(X) = 1 +X + X2

2!+

ln f(x) = ln(a0 + a1x+ a2x2 + ) = ln(a0) + ln(1 +

a1a0

x+a2a0

x2 + ).

On pose alors X =a1a0

x+a2a0

x2 + et on utilise ln(1 +X) = X X2

2+

f(x) = (a0 + a1x+ a2x2 + ) = a0(1 +

a1a0

x+a2a0

x2 + )

.

On pose alors X =a1a0

x+a2a0

x2+ et on utilise (1+X) = 1+X + ( 1)2

X2+

On sait que (1+x) = 1+ a1x+ a2x2+ + anxn+o(xn), ou` ak = ( 1) ( k + 1)

k!.

Si on doit former un tel developpement avec une valeur particulie`re de , et plutot quedutiliser la formule donnant ak, il est preferable de calculer les ak de proche en proche, aumoyen dun tableau comme indique ci-dessous :

1 ( 1) 12 ( 2) 13 ( 3)

14 ( 4)

15

a0 = a1 = a2 = a3 = a4 = a5

Par exemple, pour developper f(x) =1 + x :

1 12 12

12

32

13

52

14

72

15

= a0 = a1 =12 = a2 =

18 = a3 =

116 = a4 =

5128 = a5 =

7256

On en deduit :1 + x = 1 +

x

2 x

2

8+x3

16 5x

4

128+

7x5

256+ o(x5)

Il arrive quon ait besoin de developpements limites pour trouver un simple equivalent duneexpression (notamment quand cette expression est constituee de sommes).

Par exemple, pour un equivalent de sin(shx) sh (sinx) en 0, il faut developper sinx et shxa` lordre 7 (pour atteindre les premiers coefficients qui ne se simplifient pas) :

On trouve dabord sin(shx) = x x5

15 x

7

90+ o(x7).

On trouve ensuite sh (sinx) = x x5

15+x7

90+ o(x7).

On en deduit : sin(sh x) sh (sinx) = x7

45+ o(x7) x

7

45.


Drivation, convexit, Dveloppements limitsDrivabilit d'une fonction numriqueDrivabilit en un pointDrivabilit gauche ou droite en un pointOprations sur les applications drivables en un point

Drivabilit sur un intervalleApplications drivables, applications de classe C1Extremums d'une fonction drivableRolle et accroissements finisMonotonie des applications drivables

Applications de classe CkDrives successivesOprations sur les applications de classe CkFormules de Taylor

Applications convexesDfinitions quivalentes de la convexitRgularit des applications convexesIngalits de convexit

Dveloppements limitsNotion de dveloppement limitDveloppements limits usuelsOprations sur les DL

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