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Chapitre XVI Interprtation de la structure interne de la terre

par les donnes de physique moderne

360

Chapitr e XVI

XVI.1 Notions gnrales

Les corps lastiques sont caractriss par une lgre viscosit. Dans les modles

examins au chapitre V, on na considr que les contraintes qui produisent des dformations.

Toute dformation qui nest pas de une augmentation progressive des contraintes est

appele un fluage. Lorsquil y a fluage, les dformations lastiques deviennent ngligeables

par rapport aux dformations permanentes.

Pour les liquides visqueux, nous avons une relation de proportionnalit entre les

composantes de contraintes et de vitesse de dformation. Alors ;

Si p est la pression, on obtiendra les relations pour les contraintes normales comme suit :

En se rfrant la thorie dlasticit (chap.V), on peut obtenir les relations liant les

contraintes aux vitesses de dformations par les quations suivantes :

}

avec et qui sont des constantes identiques aux constantes dlasticit .

Interprtation de la structure interne de la terre



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361

Si lon considre pour un liquide

donc Alors de (XVI.4), on obtient :

On reprsente la constante

par

quon appelle module de cisaillement visqueux.

En tenant compte de (XVI.5), lquation (XVI.4) scrit sous la forme :

}

En remplaant les formules (XVI.2), (XVI.3) et (XVI.6) dans lquation de mouvement(V.60), on obtient :

}

Le cas particulier de (XVI.7) est reprsent par la formule (II.79).

Les quations (XVI.7) sont utilises pour interprter quelques particularits du champ

de pesanteur.

On peut noter facilement que les quations (XVI.7) pour un liquide visqueux ne peuvent

pas dcrire les proprits de la matire profonde de la terre. Seule la rhologie peut expliquer

ltat de la matire terrestre situe de grandes profondeurs sans connaitre la nature des

phnomnes enregistrs. La thorie atomique dans ce caspermet linterprtation quantitative

et qualitative des caractristiques de la substance dans les conditions internes de la terre.


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XVI.2 Donnes exprimentales sur les corps viscolastiques

La temprature des profondeurs importantes de la terre influe sur ltat des roches . Le

mcanisme de plasticit dune rocheest complexe et diffre de celui dun liquide visqueux.

On enregistre une diminution des constantes dlasticit. On ne va pas considrer ces

changements dans ce paragraphe et on a va sintresser uniquement au phnomne de fluage.

La figure (XVI.1) montre une courbe typique du fluage. Elle exprime la dformation en fonction du temps t ; est la dformation lastique phmre produite au moment delapplication de la contrainte. La partie ab de la courbe est appele premire priode du fluage

elle se caractrise par une constance de la vitesse de dformation

. Cette partie rappelle

la tendance visqueuse du matriau et se caractrise galementpar laugmentation de la pente

bc en fonction de , c'est--dire laugmentation de la vitesse de dformation . La partie bc estla troisime priode du fluage qui se termine par la rupture du matriau.

Fig. XVI.1 Fig. XVI.2

Un autre phnomne mis en vidence par le fluage est la relaxation caractrise par une

dissipation graduelle des contraintes dans le corps. La figure (XVI.2) montre la courbe de

relaxation. Cette dernire devient asymptotique une certaine contrainte en fonction delaugmentation du temps t. Le fluage ne peut pas avoir lieu des contraintes infrieures .

Les corps amorphes ont et le fluage a lieu seulement des contraintes trs faibles.Si les corps solides montrent la proprit de fluage pendant lapplication lente et durable

de contraintes ; alors il faudra sattendre ce que les fluides soumis des impulsions courtes

de contraintes dans le temps doivent leur tour montrer certaines proprits des corps solides,

comme la fragilit, la possibilit de laisser propager les ondes S etc c'est--dire avoir un

module de cisaillement .

0 t

bc

d

t0


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En remplaant K dans (XVI.11), on obtient :

En diffrentiant (XVI.14), on obtient :

En crivant K ( en fonction de , o est une fonction de , on peut obtenir (XVI.15)

sous la forme :

Lquation (XVI.16) sappelle quation de relaxation de Maxwell.

Les matriaux dont les proprits sont conformes lquation (XVI.16) sont dits

viscolastiques.

Considrons le processus de relaxation de contraintes selon lquation (XVI.16).

Supposons cet effet que la dformation

, alors ;

En intgrant la dernire quation de 0 t, on obtient :

ou bien :

o est la contrainte initiale t = 0,

est la priode de relaxation de la matire.

En vertu de (XVI.17), la contrainte tend vers zero lorque le temps augmente pour les

corps amorphes. Pour les corps cristallins, on a :


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et :

avec qui signifie la rsistance.Ecrivons (XVI.16) sous la forme :

Si la contrainte est priodique de frquence : Aprs substitution dans (XVI.20) on obtient :

ou autrement :

Si , on ngligera le dernier membre dans (XVI.20) et on obtiendra :

Au contraire, si , on ngligera le premier membre dans (XVI.20) et on aura :

Par consquent, dans le cas de contraintes priodiques le mme matriau se comportera

comme lastique selon la loi de Hooke conformment (XVI.20) si la priode doscillations

satisfait :

ou comme un liquide visqueux selon (XVI.20"), si


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Pour la matire du manteau terrestre, on a dyne/cm, dyne.s/cm, ce qui donne pour une anne de 3.107s.

En analysant les quations de mouvement dans un milieu viscolastique, on dduit que

le noyau de la terre ne fait pas propager les ondes transversales de priode 10s. En cas

doscillations harmoniques simples, la loi de Hooke peut tre satisfaite pour les corps

viscolastiques, si le module dlasticit E est exprim par la variable complexe :

Alors, la formule (XVI.20) devient identique la loi de Hooke :

Ainsi, toutes les formules obtenues au chapitre (V) restent valables dans un milieu

viscolastique.

Considrons le cas de propagation des ondes transversales. Alors, on a :

o,

Ainsi, on obtient:

Lquation de propagation des oscillations harmoniques prend la forme :

Pour transformer (XVI.25), prenons la relation suivante :

o


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En tenant compte de (XVI.27) et (XVI.28), on trouve :

En remplaant (XVI.29) dans lexpression (XVI.26), on a :

* + La formule (XVI.30) exprime le processus dattnuation avec un coefficient

dattnuation

, dtermin selon (XVI.30) et (XVI.28) par la formule suivante :

Pour la vitesse de phase Vs, on obtient en vertu de (XVI.28) :

Alors, loscillation se propage avec attnuation dans un milieu viscolastique une

vitesse dpendant de la frquence (c'est--dire une dispersion). De (XVI.32) et (XVI.31) et si , on aura :

Cest dire que loscillation se propage comme dans un milieu lastique.

Si , on aura :


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En remplaant (XVI.35) dans (XVI.34), on obtient au temps gal t ; soit:

Si au temps initial , alors (XVI.36) prend la forme : Si lon pose P la rsistance du matriau avec : alors, le matriau doit subir une rupture au moment t. En remplaant par P dans (XVI.36),on a :

do

En dcomposant le logarithme en srie, et en reprenant que le membre d ordre 1, on obtient :

La formule (XVI.38) permet de calculer la priode de dclenchement dun sisme, si

lon connait la vitesse de dformation , P et le module dlasticit E des roches.XVI.4 Structure des corps solides et des corps liquides

On sintresse dans ce paragraphe aux cristaux ioniques et aux mtaux.

Les particules lmentaires dans un corps solide forment un rseau. Considerons

linteraction de deux ions de charges lectriques z1e et z2e, o e est la charge de lectron et z-

la valence.

La force de Coulomb entre les ions I et II est :

o

est la distance entre les centres des ions. A part la force dattraction Fc, on doit avoir une

force de rpulsion Frqui diminue en fonction de . La position dquilibre 0, correspond :


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371

La force Frest exprime par :

Do la force dinteraction entre deux ions : A , linteraction des ions est nulle, et lnergie potentielle est nulle aussi : Lnergie potentielle une distance est gale au travail des forces F pour un rapprochementdes ions de

:

Considrons lexpression de u sous la forme :

Le membre correspondant la force de rpulsion ne trouve pas dexplication dans la thorie

classique. Il a un caractre empirique. Les constantes b et n sont dtermines emperiquement.

La figure (XVI.3) donne lnergie u et la force F en fonction de

Donc :

tant lnergie minimale du systme, correspondant ltat dquilibre :

La variation de induit laugmentation de lnergie.

Fig. XVI.3


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Si V est le volume par mole, alors ; o est une constante dpendant du type de rseau. Selon (XVI.49), on a :

Pour :

on a :

La condition (XVI.50) permet de dterminer n dans la formule (XVI.45) si lon connat K0.

Pour les cristaux ioniques on a .La formule (XVI.45) a t complte par Kapoustinsky sous la forme :

o m est le nombre de particules dans la molcule chimique, rk et ra les rayons des cations et

des anions respectivement.

Si la particule, sous leffet de la temprature, acquiert une nergie cintique , alors

lnergie totale sera :

Pour E< 0, c'est--dire si : ||la particule doit osciller dans un puits de potentiel A illustr par la figure (XVI.3)

Si

reste la mme, alors

et par consquent la particule traversera la barrire de

potentiel. Si la particule se situe lintrieur du corps, elle devra avoir suffisamment


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dnergie cintique pour traverser la barrire de potentiel. Elle tombera alors sur un nud

voisin dans le rseau (fig. XVI.4).

Fig. XVI.4

Le nombre de nuds vacants N est dtermin par la formule de Maxwell :

o N est le nombre de particules par mole, T- la temprature absolue et k = 1,38.10-16 erg/C,

la constante de Boltzmann. u est une variable thermique correspondant la chaleur de vapeur

et dpendant de la longueur du nud et de la traction surfaciquex du matriau :

o r est le rayon du nud vacant.

Ainsi, le corps solide doit avoir un fluage analogue un liquide. Les particules se

dplacent de temps autre des distances entre les nuds. Lintervalle de temps dexistence

de la particule et du nud dans un mme lieu est donn par:

o et la priode propre des oscillations thermiques de la particule. La vitesse moyenne dedplacement de la particule est : )Dautre part, au champ potentiel de la particule on associe le potentiel dnergie engendr

par la contrainte ; alors :

(XVI.56)


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Fig. XVI.5

La figure (XVI.5a) exprime le profil du champ potentiel donn, qui prend la forme

illustre par la figure (XVI.5b).

La thorie atomique a permis de dterminer la priode de relaxation conformment (XVI.54) par :

Alors, la priode de relaxation et la viscosit sont des fonctions de la contrainte .Lquation principale de la relaxation qui tient compte de (XVI.57) est donc :

Le mouvement dune particule dans un solide ou un liquide exige lexistence dun trou o elle

peut se mettre. Si West lnergie de formation de trous, la priode de relaxation est donne

par :

o est le volume moyen du trou qui dpend de la pression.

Lexpression de la viscosit dun liquide est :

C'est--dire que la viscosit dpend de la pression comme dans le cas de .


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Pour le cas du noyau de la terre, considrons que la viscosit de fusion du fer T =

3000C est de lordre de 10-2 poise, le rayon du fer Fe++ est 0,83.10-8cm. On peut considrer le

volume

gal aux dimensions de la particule de grandes pressions. En vertu de

(XVI.60),on obtient la viscosit du fer une pression p = 1,5.1012 dyne/cm gale 102-103poise. Cette valeur semble tre faible pour le noyau. Analogiquement, on obtient la priode de

relaxation selon (XVI.59) de lordre de 10-6 10-4s. Rappelons que pour les silicates dans de

telles conditions, la viscosit est gale 1013 poise pour 1011dyne/cm et 102s. Cesdernires valeurs sont conformes avec les calculs de lquation (XVI.4).

Alors, il sen suit de ce raisonnement que le fer du noyau de la terre se trouve

probablement ltat solide.

Ainsi, la viscosit des corps solides doit dpendre de la contrainte selon la loi (XVI.57), c'est-

-dire :

XVI.5 Quelques questions sur la structure de latome

Lnergie et limpulsion dun photon sont donnes par la formule de Planck : o h est la constante de Planck ; h = 6,62.10-27erg.s.

La relation p = doit aussi avoir lieu pour les particules de la matire. Nous obtenons de

l lexpression de la longueur donde de la particule de la matire :

o m et la masse et vla vitesse de llectron (proton, etc)

Chaque particule en mouvement doit tre dcrite par une quation qui tient compte des

proprits ondulatoires des particules en plus de leurs proprits corpusculaires. Alors,

lensemble de ces proprits doit tre dcrit par une fonction donde correspondante

. Elle a

un principe physique simple : le carr du module de la fonction donde || est proportionnel la probabilit de trouver la microparticule dans une rgion de lespace. La fonction ainsi


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que sa variation sont indispensables pour la dtermination de ltat de la particule et sa

variation dans le temps.

En multipliant la fonction donde

par un multiple A, on peut avoir :

|| || gale la probabilit de trouver la particule dans un volume dV de coordonnes x, y, z. Alors

la fonction doit satisfaire :

|| Lorsque la particule se dplace dans une direction quelconque nous avons :

o E est lnergie totale du systme U- lnergie potentielle. Lquation (XVI.66) sappelle

quation de Schrdinger.

Considrons dans le cas de lquation (XVI.66) la question de structure de latome

dhydrogne.

Le potentiel cre par le noyau est dtermin par la loi de coulomb : o r est la distance entre le noyau et un point donn de lespace. Le potentiel de lnergie de

llectron dans le champ du noyau est :

En remplaant (XVI.67) dans (XVI.66), on obtient la relation correspondant ltat

stationnaire de latome dhydrogne :

Cherchons la solution de cette quation sous la forme :

Trouvons loprateur de Laplace de f, on a dans ce cas :


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avec On obtient alors :

Rcrivons la formule (XVI.66) sous la forme : Posons :

En remplaant (XVI.69) dans (XVI.66"), on obtient :

En simplifiant parf, on obtient :

Etant donn que (XVI.70) doit avoir lieu quelque soit r, alors ; }

do

qui est lnergie de latome dhydrogne ltat fondamental.

La fonction donde tant : alors, on peut dterminer la probabilit de trouver llectron une distance de r r+ dr du

centre de latome, c'est--dire la probabilit de le trouver dans une couche sphrique de rayon

r et dpaisseur dr


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do o A est un multiple. En tenant compte de (XVI.72), on peut dterminer r pour lequel la

probabilit est maximale :

La figure (XVI. 6a) exprime la courbe de probabilit de trouver llectron diffrentes

distances de r ltat 1s.

a) 1s b) 2s

0

0

r

Fig. XVI.6

Les niveaux dnergies diffrents tats sont exprims par la formule :

La formule (XVI.71) est un cas particulier de (XVI.74) pour n = 1. Le nombre n est appel le

nombre quantique principal.

Le tableau (XVI.3) donne les fonctions dondes pour les premiers trois tats s de

latome dhydrogne.

3

6

9


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Tab. XVI .3

Etat Fonction donde

1s

2s

3s

La figure (XVI.6b) donne la probabilit de trouver llectron diffrentes distances du

noyaupour ltat 2s.

A part ltat s, on a les tats p, d, f Les tats 2s et 2p, 3s et 3p et 3d correspondent

un mme niveau dnergie.

La figure (XVI.7) donne le diagramme des niveaux dnergies de latome dhydrogne

des diffrents tats, ainsi que les transitions possibles dun niveau un autre.

Il faut remarquer quavec laugmentation de la pression, la distance interatomique

diminue et la relation entre les niveaux dnergies peut changer. Il a t tabli

exprimentalement que pour une pression de 55000 atm, la densit du csium augmente de

5,6%, ce qui provoque le phnomne de transition lectronique de la couche p la couche o.

Ce phnomne est important en physique de la terre o les pressions sont importantes de

grandes profondeurs.


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a b c

Fig. XVI.8

Lapplication de la formule (XVI.66) pour un ion molculaire dhydrogne

est

illustre par la figure (XVI.9). Il est difficile de dterminer, cet effet, lequel des deuxnoyaux est li llectron. Ce phnomne, a permis de dcouvrir des forces volumiques

responsables de la liaison homopolaire dans ce cas. Les mtaux on une structure similaire,

mais une chelle plus grande.

Fig. XVI.9

Ainsi, on peut considrer chaque morceau dun mtal comme une molcule

gigantesque, constitue par des ions positifs datomes est soumis leffet de la charge du gaz

lectronique. Cette caractristique des mtaux dfini leur proprit de supraconductivit.

Laugmentation de la pression conduit au rapprochement des atomes et par suite leur

destruction probable. Ce phnomne correspond la transition la phase mtallique qui

induit la diminution du volume et laugmentation de la densit. Le phosphore, par

exemple, se caractrise par une augmentation de sa densit jusqu 25%, lorsque la pression

atteint 40.000 atm durant la phase de transition mtallique. Soient V1 et U1 le volume et

lnergie respectivement du corps avant transition, et V2 et U2 le volume et lnergie de ce

corps aprs la phase de transition. Cette dernire est ralise avec la condition suivante :


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U2-U1est de lordre 10 eV par molcule et la transition lectronique devient possible pour les

grandes pressions. Ce phnomne a un sens important dans la comprhension de la structure

interne de la terre.

XVI.6 Energie des corps solides

On considre dans ce paragraphe les critaux ioniques et les mtaux qui ont une

signification en physique de la terre.

La formule (XVI.45) dterminant lnergie des eristaux ioniques a le premier membre

qui exprime lnergie dattraction. La couche lectronique de lanion occupe tout lespace,

alors que le cation charg positivement tombe lintrieur de cette couche. Ceci est vrai pour

ltat s.

Si ezKet la charge dun cation et si- ezA est celle dun anion, et si - le nombre dlectrons surla couche externe de lanion, alors la charge dune couche de volume dV est :

|| On peut utiliser les fonctions du tableau (XVI.1) pour dterminer, alors ;

o est le nombre quantique principal effectif, donn par :

et gal :

o cm est le rayon de la premire orbite de latome H, est un paramtresans dimension.

Lnergie dinteraction de lanion avec le cation peut scrire sous la forme :

||

Le premier membre dans la formule (XVI.79) reprsente lnergie des forces de

Coulomb des cations ezket des anions e(-zA). Le deuxime membre reprsente lnergie desforces de Coulomb entre les cations ezket les lectrons de la couche dtermine par (XVI.77).


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l- est la distance entre les centres des ions, la distance entre le centre du cation et le pointdobservation dans lespace de volume lmentaire dV. A et k dans la figure (XVI.9) sont les

centres des anions et des cations respectivement. Etant donn quon a :

Fig. XVI.9

alors lintgrale (XVI.79)peut scrire sous la forme :

Quand n=3, alors on a :

Toutes les longueurs sont exprimes dans les units . Lintgrale de 0 donne :

En vertu des formules (II.30) et (II.30), on a :

}

En substituant les dernires expressions dans (XVI.80) et en utilisant lorthogonalit des

fonctions sphriques, on obtient :


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Lintgration de (XVI.82) permet dobtenir:

En remplaant (XVI.83) dans (XVI.79) et aprs quelques transformations, on obtient ;

La dernire expression peut scrire aprs avoir pos le polynme entre parenthses gal

f(, comme suit :

()

Lnergie U est calcule aprs avoir trouv la somme de toutes les particules du corps en

vertu de (XVI.84) ; alors :

() o N est la somme de toutes les particules, NR- le nombre de cations, la constante deMendeleev.

Le paramtre inconnu dans (XVI.85) est dtermin par la condition (XVI.47) : si lon connat p = 0. La formule (XVI.85) permet de calculer lnergie du corps et lemodule de compression K par (XVI.48) et (XVI.50).

Pour une srie de cristaux ioniques, il a t obtenu :


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o est exprime en cm.La formule (XVI.85) est moins prcise que (XVI.85). La formule (XVI.85 ) peut

scrire sous la forme :

o les paramtres B et et A sont dtermins exprimentalement par les valeurs de , .

Les formules (XVI.85), (XVI.85) et (XVI.86) seront utilises pour dterminer le

module de compression K du manteau terrestre.

Lnergie dinteraction des ions de charge ze est dtermine par :

o la constante c dpend de la configuration du rseau. Lnergie dinteraction de lion avec

le gaz lectronique dune couche sphrique de rayons a et R, o a - le rayon de lion (le gaz

lectronique ne se trouve pas lintrieur de lion), est dtermine par la loi de Coulomb. Si

est la densit de la charge du gaz lectronique dans le volume ; alors : lnergie est donc :

La densit

est constante, et par consquent :

est dtermine de la condition de neutralit du mtal. Si lion correspond un volume ,alors :

En remplaant

dans (XVI.87), on obtient :


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Donc, lnergie dinteraction de lion avec dautres ions et dautres gaz lectroniques est :

*

+

Le rapport est constant. La charge dune couche lectroniques lintrieur dune sphre est : La sphre doit tre entirement neutre, alors on a :

Par consquent lexpression de lnergie ue peut scrire sous la forme : o sont des constantes

Le rseau des ions cre dans le mtal un champ lectrique V constant. Lnergie

potentiel de llectron dans ce champ est :

u = - e V.

On considre que lnergiepotentielle de llectron est nulle dans le mtal de dimension

L et gale lintrieur du mtal. Ainsi, le problme induit la rsolution de lquationde Schrdinger une dimension :

pour les conditions

tant finie et limite que dans le cas o : Alors, il faut rsoudre lquation de Schrdinger pour les lectrons lintrieur du mtal sous

la forme suivante :


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La solution de (XVI.66) est :

De la condition on trouve :

A = 0

De la condition on trouve :

Ainsi, les lectrons dans ce cas peuvent occuper des niveaux discrets dnergie, dtermins

par la formule (XVI.90), qui correspond la fonction donde (XVI.90"). Lnergie cintique

de tous les lectrons est la somme de (XVI.90). Etant donn que L = Nl, alors lnergie

cintique du gaz lectronique est :

Des formules (XVI.88) et (XVI.88), on obtient pour la somme de toutes les particules la

formule de lnergie du mtal :

Contrairement aux critaux lnergie dattraction diminue lentement avec la croissance de l

entre les ions dun mtal, ce qui explique ses proprits mcaniques.

XVI.7 Physique des parties profondes de la terre

La structure de la substance tudie dans les paragraphes prcdents permet dapprocher

ltude de la structure interne de la terre. Le manteau suprieur de la terre est compos

essentiellement dortho et mta silicates Mg et Fe.


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Pour vrifier la possibilit dappliquer la thorie, dterminons K0 par la formule

(XVI.85). tant donn que cette dernire a t obtenue par des considrations simples, alors

il faut sattendre une analogie avec les donnes du tableau (XVI.4).

Tab. (XVI .4)

Liaison K0(dyne/cm) (g/cm3) Volume molaire (cm3)(Mg2 SiO4)

(Fe2 SiO4)

(88% Mg SiO3, 12% Fe SiO3)

(SiO2)

(MgO)

(Fe2 O3)

(Fe)

1,27.10

1,10.1012

1,00.1012

0,37.1012

1,67.1012

1,75.1012

1,72.1012

3,20

4,14

3,23

2,65

3,56

5,26

7,80

44,0 cm

49,3

-

22,6

11,2

30,4

7,2

De la formule

on obtient en utilisant (XVI.85) la formule de K0

Les silicates de magnsium Mg2 SiO4 peuvent tre considrs forms de cations Mg

+2 et

danions (SiO4)4-. La structure SiO4formant un ttradre dions O

2- dont le centre est occup

par un petit ion Si4+ a une structure solide permettant de le caractriser comme un anion

complexe. En tenant compte de cette caractristique, on peut crire :

En utilisant les valeurs de K0, on peut calculer la variation de K en fonction de la

pression, c'est--dire de la profondeur. Sachant K, on peut calculer la densit du manteau de la

terre par la formule :

Pour calculer K en fonction de la pression, on considre la formule (XVI.86) et on pose aprs avoir dtermin A et B de la condition :


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on peut trouver K et en fonction de la profondeurOn considre pour cela : 1) la composition chimique du manteau terrestre inchange en

fonction de la profondeur; 2) labsence des transitions de phase; 3) linfluence de la

temprature est ngligeable.

En ce qui concerne le noyau de la terre form de fer et de Nikel, ou prend la formule de

base (XVI.88), quon approxime :

De la condition (XVI.46), on trouve :

En vertu de (XVI.48), on a :

En tenant compte de (XVI.92), on trouve :

Etant donn que : alors ;

Pour p = 0

En remplaant la dernire formule dans (XVI.93), on trouve :

La formule (XVI.94) peut tre utilise pour trouver K une pression p, si lon considre :


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