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Chapitre XVII Structures fractales en physique de la terre

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Chapitre XVI I

Un milieu gophysique est lensemble des proprits gophysiques des roches un

niveau de lchelle des chantillons de roches jusqu celle des plantes. La sismicit

diffrentes chelles se caractrise par sa structure. Celle-ci se distingue par sa proprit dauto

similitude dans les domaines spatial, temporel et nergtique. La nature de cette structure

nest pas actuellement dfinie clairement cause dun manque dexprimentations fiables in

situ. La modlisation au laboratoire en utilisant des blocs de roches, soumis laction de

contraintes est un moyen intressant pour comprendre la structure de la sismicit. Le prsent

chapitre analyse la similitude des rsultats dexpriences de formation de la structure fractale

de la sismicit, diffrentes chelles. Une srie de paramtres gophysiques a t enregistre

simultanment durant des essais au laboratoire. Une procdure spciale de chargement des

blocs a permis de prolonger le temps lvolution de la macrorupture et de contrler la

formation de la structure fractale.

XVII.1 Emission acoustique

Ltude de la structure du rgime acoustique a t ralise par une srie de paramtres

statistiques : la pente de la courbe de rcurrence b, la dimension fractale D des hypocentres et

le paramtre Kr de concentration des fissures. Le calcul a t ralis sur des fentres de 1000

vnements et variant par pas de 500 sur laxe du temps. Le nombre dvnements fiables

dans les essais (1-4) sont : 1 : 37396 ; 2 : 35252 ; 3 :32576 ; 4 :36648 vnements

acoustiques.

Valeur b :

La pente b du graphe de rcurrence est une caractristique dauto-similitude du

processus sismique dans le domaine nergtique. Elle montre le rapport du nombre

dvnements (probabilit de dclenchement) de diffrentes nergies

N1/N2 = (E1 /E2)- (b+1) (XVII.1)

o Ni- le nombre dvnementsdans lintervalle (Ei, Ei+dE), avec :

log N = log ab(k-k0), (XVII.2)

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o N- le nombre dvnements enregistrs par unit de temps dans lintervalle (k, k + dk) ;

avec k la classe nergtique (k = 2logA ; A-lamplitude de limpulsion acoustique mesure en

mV.). Les paramtres a et b sont valus par la mthode de vraisemblance maximum.

La figure (XVII.1), montre la variation de b durant les dformations du bloc pendantlessai (1). On remarque trois stades de variation de b. On a une diminution de b de 1,2 au

stade I jusqu 0,75 au stade II et il atteint 0,5 au stade III de chargement pendant la chute des

contraintes. La diminution de b sexplique par la formation dune structure du rgime

acoustique de rang dtermin dans la roche. Ce stade correspond une forte activit

acoustique et une chute de contraintes. La formation de cette structure concide avec celle

des macroruptures dont sa gnese est contrle par linteraction des microruptures. Lorsque

ces dernires atteignent une forte densit, leurs interactions deviennent actives, ce qui

dclenche un processus de localisation de la rupture principale.

Fig XVII.1 Variation des paramtres b, D et D-3b de la structure

du rgime acoustique dans une exprience

XVII.2 Dimension fractale

La dimension fractale est une caractristique statistique de la structure gomtrique de la

sismicit. Elle montre le degr de regroupement de la sismicit, qui dans lespace, il est


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troitement li lauto-similitude de lensemble de ces vnements. En qualit dindice de

lauto similitude, la dimension fractale dtermine le rapport entre les cellules non vides de

diffrentes dimensions :

Ni/Nj = [li/lj]-D

(XVII.3)

o Ni- est le nombre de cellules de longueur lj contenant au moins un vnement. Par

consquent le nombre de cellules non vides de longueur l est :

N (l) -D (XVII.4)

La densit dvnement dans un espace Euclidien r-dimensions (r peut tre gale 1, 2

ou 3) est :

l/ rn (XVII.5)

o n-est le nombre moyen dvnements dans une cellule de dimension l. Si dans le domaine

considr de lespace, on a m vnements distribus par N cellules, on a donc :

/n m N

En remplaant cette dernire quation dans la formule (XVII.5) on obtient :

lD r

Si les vnements sont distribus uniformment (D = r), on a const, ce qui

correspond une comprhension habituelle de la densit des vnements.

Si lensemble des vnements possde une structure fractale, on a :

et

l ,

D r

o 0,r D c'est--dire quavec la diminution de la dimension de la cellule, la densit

des vnements augmente. Cette constatation signifie, que lvaluation de la densit des

vnements, conformment (6), pour lensemble fractal perd son sens, tant donn que sa

grandeur dpend de la mthode de sa mesure-utilisant la dimension de llment l. Applique

la sismicit, la proprit fractale exige une nouvelle approche pour le concept dactivit

sismique et par consquent la priode moyenne de frquence des sismes.

Pour la mesure de la dimension fractale dun ensemble de sismes, on utilise

pratiquement deux types dvaluation : cellulaire et de corrlation. La dimension cellulaire est

value sur la base de la dtermination de la dimension fractale qui sexprime par:

01 0limlog / lgld N

(XVII.7)


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XVII.3 Relation entre les paramtres b et D

Le mcanisme dinfluence et dinteraction des vnements acoustiques permet de

postuler que;

1/ Les contraintes chutent aprs un sisme au voisinage du foyer. A cet effet, il y a

accalmie sismique durant une priode , succdant un sisme de foyer de dimension l0 dans

un tendue de lespace. Durant cette priode il ny a pas de sismes de foyers de dimension

0l l . Conformment la similitude du processus sismique, on a les relations exponentielles

suivantes entre et :

0l (XVII.10)

0l (XVII.11)

o , , , et sont des paramtres donns.

2/ La zone sismognique se caractrise par une structure gomtrique fractale, de la

hirarchie de la lithosphre htrogne. En dautres termes, la gomtrie de la zone

sismognique est telle quun domaine L de lespace peut tre couvert par des domaines , de

manire que le nombre de ces domaines contenant des sismes est gal :

( ) /D

n n L

o D est la dimension fractale.

Sur lintervalle de temps t, les sismes sont aussi distribus fractalement : sur un

intervalle t, on a intervalles non valides de longueur , d o on a :

( / ) tDT

o Dt a le sens de dimension fractale temporelle.

3/ Lnergie dun sisme est dtermine par la dimension focale :

0lE (XVII.12)

Ainsi selon le point (2), pour 0(l ) ,r R on a le dclenchement de N sismes de

dimension focale l0 dans le domaine despace de domension L :

/ / tD D

N L T


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En remplaant ici (XVII.10), (XVII.11) et (XVII.12), on obtient :

,

log lg log log

( ) /

log lg log ( ) /( log / log )

t

t

t t

t E L

N b E d L d T B

b D bD a

B b d D et b D D aD N T

(XVII.13)

Ainsi, entre b, D et Dt, on a la relation suivante :

0tab D D (XVII.14)

Lexpression (XVII.13) est la loi de rcurrence des vnements sismiques en tenant

compte de la proprit fractale de la sismicit.

En remplaant dans (XVII.14) la et en posant l conformment (XVII.10), on

obtient lgalit :

3 tD b D (XVII.15)

Exprimentalement et en moyenne D = 1,5 et b = 0, ce qui permet de dduire

que 0 (puisque Dt >0. Dt = 0 signifie que tous les sismes se dclenchent simultanment).

Remarquons que lgalit (XVII.15) est quivalente : 2 Md b , o bM est la pente du

graphe de rcurrence pour les magnitudes (bM + 1,5b).

La formation dune structure fractale dans le rgime acoustique au dernier stade de

dformation des blocs a favoris la relation 3D b (fig XVII.1). Lgalit 3D b exprime un

certain tat dynamique stable du processus de rupture. A cet effet, le champ des contraintes et

le systme des dfauts dans la roche se caractrisent par une certaine concordance. Cette

concordance est interrompue quand 3D b ( 0) , suite la redistribution de la duret et

des contraintes sur les ruptures.

Si 0 , les contraintes saccumulent des chelles mineures (microruptures), alors

que, si 0 , les contraintes saccumulent des chelles majeures (macrorupture). Cette

dernire situation peut avoir lieu aprs les forts vnements, lors de la dcharge de quelques

lments du milieu, aprs la macrorupture.

Ce paramtre est dfini par:

/ l,r iK L (XVII.16)

o 1/ 3* /iL N n V

est la distance moyenne entre les ruptures avec N* le nombre de fissures

par unit de volume ; l la longueur moyenne de la rupture. La longueur moyenne l des

ruptures est exprime par

l l / ( l )in


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o li est la longueur de la fissure. Etant donn que li na pas t mesure pendant les

expriences, on a considr que lnergie acoustique Ei dgage pendant la formation de la

rupture de longueur li est proportionnelle li3. Aussi, lnergie Ei est proportionnelle Ai

2.

Ainsi, on a :2/ 31i iA

et par consquent, Krscrit :

2 / 3 1/ 3 2 / 3/i iK n v A (XVII. 17)

o est une constante, value empiriquement 0,2mm/mV2/3

Linteraction des dfauts, seffectue travers le champ des contraintes qui sexprime

statistiquement par le fait quun vnement acoustique donn, fait changer la probabilit de

dclenchement de lvnement acoustique futur dans un certain domaine de lespace. La

dimension de ce domaine est approximativement gale en grandeur au rayon R dinteraction

des dfauts. Si lon admet que ces dfauts interagissent effectivement lorsquils atteignent une

concentration critique, alors du concept du paramtre Kr, on a :

* 1/2,rR K (XVII.18)

o *

r

K est la valeur critique de Kret l-la dimension du dfaut.

Le paramtre Kra sensiblement diminu au stade III sur lintervalle (0,7-1) t/tf avant la

macrorupture (fig.XVII.2). Pour des valeurs importantes de Kr, les fissures ninteragissent

pratiquement pas entre elles. Lorsque les fissures se concentrent et leur densit devient

critique ( 5 8)rK , le processus de dformation passe au stade de rupture acclre et

progressive du matriau, ce qui dclenche la formation de la structure fractale du rgime

acoustique.


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Fig XVII .2 Variation du paramtre k, pendant la dformation du bloc.

Ltude microscopique des microruptures rsiduelles, aprs les essais, a montr

lexistence dune microfissuration de rangs respectifs : 10,3 ; 2,7 ; 0,74 ; 0,2 et 0,05mm. Le

rapport entre les dimensions gomtriques des ruptures de rang voisin est donc : l i/li-1 3-4,

ce qui confirme exprimentalement la notion de structure discrte de la roche.

XVII.4 Similitude dans la structure des rgimes acoustique et sismique

On a considr les catalogues de la sismicit du Causase Russe de 1913 1990 et dEl

Asnam (Algrie du Nord) de 1950 1991. Les paramtres dauto-similitude sont calculs

pour les zones picentrales correspondant la zone des rpliques prises pour des zones de

prparation de sisme et renfermant un nombre dtermin dvnements sismiques de M3.

La valeur moyenne de D, pour tout le Caucase est de 1,42 ; son coefficient de variance

est de 0,21.

Kr

t, s


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Le paramtre b est de 0,53 ; son coefficient de variance de 0,23. La relation des valeurs

moyennes entre D et b est D=3b. Le facteur b pour la rgion dEl Asnam est en moyenne gal

0,70, alors que D est de lordre de 2,13.

Nous avons obtenu des dimensions de D de 1,65 1,2 et de b de 0,5 0,32 avant leseisme de Spitak (M = 6,9 ; K = 16,7) du 07/12/1988. Ces diminutions sont enregistres

partir de juin 1987. D et b ont diminu respectivement jusqu 0,97 et 0,32 partir du milieu

de lanne 1975 avant le sisme de Vanskoy du 24/11/1976 (M=7). Les paramtres Kr, ont

chut respectivement pour ces deux rgions sismoactifs jusqu 8 et 6 dix mois avant le choc

principal. Des variations analogues de b, D et Kront t enregistres lchelle de la rgion

dEl Asnam. D a diminu jusqu 1,2 alors que b a diminu de 0,69 jusqu 0,51 cinq mois

seulement avant le choc principal. Kra diminu jusqu 4,5 une anne avant le choc principal.

On note une quasi-invariance de D, b et Kr pour des zones choisies loin des zones

picentrales, ce qui confirme lhypothse de localisation spatiale des vnements sismiques au

niveau de la zone picentrale. La relation moyenne entre b et D est D 3b. Les diminutions de

b, D et Kr sont lies la formation dune structure fractale dans le rgime sismique de la zone

sismoactive o les violents sismes sont imminents.

La figure (XVII.3), montre une distribution des paramtres b et D calculs par des

donnes acoustiques et sismiques. La distribution [b, D] est ajuste par la droite b = 3D.

Lvaluation du rgime acoustique se dirige du nuage I vers le nuage II et enfin vers le nuage

III. Le nuage I correspond laccumulation des microfissures pendant laugmentation des

contraintes dans la roche. Le nuage II correspond au stade de formation du noyau de la

macrorupture, suite une concentration critique des microdfauts et une chute des

contraintes. Cette transition reflte lapparition dune structure spatiale fractale du rgime

acoustique, avec simultanment, une diminution correspondante des paramtres b et D. Le

nuage III correspond lvolution progressive du noyau de la macrorupture et la formation

de la rupture principale pendant que les contraintes continuent chuter. Le nuage I est absent

lchelle des rgions sismoactives de Spitak, Vansyoy et El Asman, caractrises par des

faibles valeurs de D et b. Celui-ci est d probablement la formation dans la crote terrestre

dune structure fractale plus volue que celle obtenue au laboratoire.

XVII .5 Vitesse des ondes lastiques

Le rseau de mesure dondes ultrasoniques a permis de dtecter dans les blocs des

zones de fortes et basses vitesses et amplitudes dondes lastiques. Ces zones de quelques

centimtres apparaissent et disparaissent durant la dformation du bloc.


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FigXVII.3 Diagramme de dispersion des paramtres b et D

durant les essais (.4) et avant les sismes.

V- sisme de Vanskoy (M=7,0) ; S- sisme de Spitak (M=6.9) ; A dEl Asnam ( M=7,3)

Si une zone se caractrise par une faible vitesse, autour delle peut se former un

domaine de fortes vitesses et vice-versa (fig.4). Laxe des abscisses porte les valeurs normes

du temps t/tf. Cet effet est d la chute de contraintes et la formation de structure fractale

lintrieur de la zone fragile et laugmentation des contraintes aux alentours. La figure

(XVII.5), reprsente la variation du rapport VP/VS dans la zone de rupture principale du bloc

dans lessai (4) pour des ondes se propageant dans la direction de la contrainte principale. Le

stade I est caractris par une accumulation des contraintes, ce qui a conduit une

consolidation du matriau du bloc et laugmentation du rapport VP/VS, c'est--dire des

constantes lastiques du milieu. Le stade II reflte le processus de microfissuration qui a

dclench une dcroissance de VP/VS. Le stade III est caractris par une croissance de VP/VS,due probablement la disparition partielle de nombreuses micro-ruptures lors de la formation

de ruptures de rang suprieur.


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Le nombre de ces dernires tant rduit, les modules effectifs dlasticit de la roche ne

sont pas pratiquement influencs et les vitesses dondes se rtablissent. Le stade IV

correspond une nouvelle dcroissance de VP/VS, cause par la formation et la localisation de

la rupture principale.

FigXVII.4 Exemple danisotropie locale de la vitesse dondes lastiques Vp

pour deux parcours perpendiculaires dans la zone de rupture

XVII.6 Rsistivit lectrique

Une variation de la rsistivit lectrique a t enregistre dans les domaines o il

ya une forte activit acoustique. Une anisotropie a t enregistre dans des zones de

rupture durant le stade (0,5-0,8) t/tf (fig.XVII.6). Elle est lie, certainement, aux orientations

diffrentes des fissures. Le stade final a t caractris par une trs forte croissance ( 30%)

de dans la zone de macrorupture. Le saut de reflte la formation finale de la structure

fractale et la destruction rapide des canaux de conductibilit lectrique.

VP, km/s

t/tf


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FigXVII.5 Variation du rapport VP/VS dans la zone de rupture

XVII.7 Polarisation spontane

La polarisation spontane mesure sur les surfaces de blocs avant chargement tait

variable de lordre de 5mV. Des anomalies dune valeur maximale de 30mV ont t

enregistres dans les zones de ruptures. Leur dure de vie variable de 10-60 minutes est due

lintensit du processus de rupture et aux phnomnes de relaxation lectrique. La figure

(fig.XVII.7), montre un exemple de variation de U obtenue durant lessai (4) pour deux

lectrodes situes quelques centimtres de la zone de fissuration dtecte par la variation de

.

VP/VS

t/t


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FigXVII.6 Variations locales de la rsistivit lectrique pour deux parties

dlectrodes perpendiculaires dans la zone de rupture

A partir de 0,75t/tf, on a une diminution de U , cause par la formation de la structure

fractale et la redistribution des contraintes. La rorganisation qualitative de la structure

mcanique du milieu induit une variation dans le champ lectrique. La variation de la

polarisation spontane lectrique est apparemment lie au phnomne de transfert ionique.

%

t/tf


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Fig.XVII.7 Variation du potentiel propre U dans la zone de macrorupture

U%

t /tf

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