1A. La physique quantique se - pagesperso-orange.fralain.stahl.pagesperso-orange.fr/PDF/Annexe_F.pdfLa physique quantique se fonde mathématiquement sur les espaces de Hilbert, d’une

Annexe F Page 1 Révision du 30/10/2013

Annexe F. L’appareil mathématique de la physique quantique et de la

théorie quantique des champs. Quelques résultats expérimentaux récents. Les théories de cordes.

NB. 1. A côté de questions, que j’espère avoir éclairées, j’en ai rencontré

beaucoup d’autres, auxquelles je n’ai pas de réponse. Elles sont posées, en notes en caractères « arial », à mesure de leur apparition dans ce « text in progress ».

Là où – sans être sûr de la réponse – je penche d’un côté, je l’indique par un (oui ?)

ou un (non ?). Les questions proprement dites sont mises en italiques. Leur

numérotation peut comporter des trous : ils correspondent à des questions

antérieures, qui ont trouvé leur solution. Je serai reconnaissant à mes lecteurs de

me donner (par courriel – [email protected]) leur point de vue, ou de

m’indiquer quelles lectures ils pourraient me recommander.

2. Les références de type 14-4B concernent la section 4B du chapitre 14

de « Science et philosophie ».

3. Rappelons que la physique quantique est traitée au chapitre 4 de

« Science et philosophie ». Depuis la publication de la deuxième édition en 2010, j’ai

eu accès à quelques données récentes. Du coup, j’ai mis sur mon site l’annexe X,

actualisant la totalité de ce chapitre. Je conseille au lecteur de l’annexe F de s’y référer,

en attendant une édition ultérieure de l’ouvrage complet.

1A. La physique quantique se fonde mathématiquement sur les

espaces de Hilbert, d’une façon assez simple et cohérente.

Sur un espace abstrait de Hilbert H, on définit les états T, vecteurs

normalisés, et les observables A, opérateurs hermitiens. Deux

utilisations bien différentes en sont faites : l’étude des états stables,

avec la procédure, liée, de réduction du paquet d’ondes; l’équation

dynamique de Schrödinger, avec son opérateur d’évolution. Nous

nous focaliserons sur la première. Rappelons qu’une observable ne

peut prendre que les valeurs de son spectre; quand celui-ci est

discret, on a donc « quantification ». Par ailleurs, on peut calculer la

probabilité que la mesure de l’observable A, pour un système dans

l’état , donne la valeur particulière an; dans le cas simple où un

seul vecteur propre <un correspond à an, cette probabilité est donnée

par: <un>2, la valeur moyenne de A étant donnée par : A =


<A>. Une autre présentation recourt à l’opérateur statistique D, de trace

1 (on a alors : A = tr.AD et l’équation de Schrödinger devient :

ih.d/dt.D(t) = (H, D(t)) , où H est l’hamiltonien); elle a plusieurs

avantages : dans la première de ces deux formules, A (le mesurable)

est relié directement (sans hypothèses sur le sens profond de la

fonction d’onde) à un opérateur statistique. La définition de l’opérateur

s’étend aux mélanges, il sera donc utilisé aussi en physique statistique

(voir chapitre 5). L’espace des opérateurs statistiques est convexe.

Enfin, dans les cas d’intrication, des opérateurs statistiques « réduits »

s’appliquent aux sous-systèmes (ils interviennent en particulier dans la

décohérence).

Les résultats mathématiques essentiels sont les suivants :

Les équations sont linéaires; on peut donc superposer des états;

mais, comme les probabilités correspondent à des carrés

d’amplitude, il apparaît des termes d’interférence, qui rendent

compte de l’aspect onde de la dualité onde-particule.

Le théorème spectral décompose tout opérateur hermitien A selon

une formule du type :

A = ∫. dE , où E, mesure spectrale, est un projecteur sur H.

Quand A est compact, son spectre ponctuel (par opposition au

spectre continu) est fini, ou dénombrable (dans ce cas, 0 est le seul

point d’accumulation); des résultats analogues sont obtenus pour les

opérateurs de Hilbert-Schmidt et ceux à inverse compact.

L’inégalité mathématique de Schwartz permet d’obtenir pour

deux observables quelconques A et B la relation suivante, reliant

leurs deux écarts quadratiques moyens : A. B 1/2A,B, où

A,B désigne le commutateur de A et B. Cette généralisation des

relations d’incertitude de Heisenberg traduit l’impossibilité de

mesurer simultanément deux observables ne commutant pas; d’où

l’intérêt de la recherche d’un « E.C.O.C. » (ensemble complet

d’observables qui commutent). Cette recherche peut être facilitée


par le théorème suivant : si A et B commutent, ils sont tous deux

fonctions d’un même observable C, « plus large ». Par l’opérateur

densité, on démontre enfin le résultat naturel suivant : si A et B =

f(A) sont deux observables, et si A a la valeur propre an, alors B a la

valeur propre f(an).

Les espaces de Hilbert de la physique quantique ont généralement

(en dehors des espaces de spin) un nombre infini de dimensions. Si,

sur beaucoup d’aspects, ils généralisent l’espace euclidien, ils

recèlent aussi des propriétés nouvelles. Par exemple, pour eux et à

la différence des espaces de dimension finie, tr(AB-BA) 0, si A et

B ne sont pas compatibles; ceci nie la possibilité de certaines

méthodes finitistes d’approximation.

En revanche, il existe des résultats mathématiques, montrant que

des opérateurs, « proches » d’un opérateur ayant un spectre

discontinu, ont eux aussi un tel spectre, avec des valeurs propres

proches de celles du premier. C’est probablement par là que l’on

peut expliquer la stabilité des atomes ou molécules.

Remarques plus générales : La physique quantique ne nous dit

guère quand on peut considérer des opérateurs non bornés, comme

les opérateurs position. Le passage des opérateurs de la mécanique

classique à ceux de la physique quantique nécessite une dose de

« flair ». Enfin, l’interprétation de l’expérience peut conduire à

élargir le Hilbert de base.

Un fait remarquable de la physique quantique est son aptitude

dans beaucoup de cas simples à des méthodes de résolution

mathématique précises, souvent même explicitement calculables.

Citons, parmi les phénomènes vérifiés par l’expérience : l’effet

tunnel; l’oscillateur harmonique et la découverte de « l’énergie du

vide », la quantification et la composition des moments cinétiques;

le cas des espaces à deux dimensions, et l’introduction des spins ½;

les raies de l’atome d’hydrogène, y compris les structures fine et

hyper-fine ; les effets Zeeman (électrique) et Stark (magnétique) ;

l’oscillateur harmonique, le calcul de l’ énergie du vide (1/2hω) et


les opérateurs de création ou d’annihilation ; les systèmes de

particules identiques; l’effet Zénon quantique (voir plus loin) ; en

théorie quantique des champs, l’effet Aharonov-Bohm1 ; en chimie,

les orbitales; en physique statistique, les phonons, la superfluidité,

l’effet Hall quantique... Pour les cas plus complexes, la question F3

constate que les calculs d’approximations sont souvent très

valables, mais se demande si, d’un point de vue mathématique,

l’existence de niveaux quantifiés d’énergie reste prouvée.

Pour étudier un état pur intriqué, la décomposition bi-

orthonormale (de Schmidt) est utile.

1B. Les approches axiomatiques.

Il est utile d’introduire la notion d’observables compatibles, plus

chargée de sens que celle d’opérateurs commutables, qui en est

l’expression dans le formalisme hilbertien. Beaucoup

d’épistémologues, voulant aller plus loin, se sont penchés sur le sens et

le contenu d’une logique quantique. Rappelons que la proposition la

plus générale de la physique quantique est du type : « dans l’état ,

l’observable A a sa valeur comprise dans le borélien »; la physique

quantique assigne ensuite à cette proposition une probabilité. Par le

théorème spectral, une telle proposition peut être décomposée en

propositions portant sur des projecteurs. On sait que deux projecteurs P

et Q ne commutent que s’ils sont de la forme : P=A+B; Q=A+C, avec

B et C orthogonaux. Considérant l’ensemble des sous-espaces clos de

H, on peut donc définir sur lui un « treillis -orthocomplet,

orthomodulaire2 », donnant du sens à la notion d’observables

1 Par cet effet, une figure d’interférence d’électrons est modifiée par un champ

magnétique dans une région extérieure aux électrons. A côté des célèbres

problèmes étudiés en sp-4-2, c’est un autre exemple de non-localité quantique.

2 Orthomodulaire est plus faible que normal, qui est lui-même plus faible que

le plus connu distributif.


compatibles. Mais tout ce savant appareil n’est qu’une présentation des

règles de la physique quantique, à laquelle il n’apporte rien de plus.

D’autres ont essayé la démarche inverse, décidé à l’avance que dans un

monde où il y a des observables incompatibles, les propositions

élémentaires devaient satisfaire à certains axiomes logiques. Les ayant

posés, ils ont retrouvé le treillis précédent, mais au prix de deux

restrictions, qui en enlèvent l’intérêt : Les règles imposées aux

propositions élémentaires sont logiques, mais invérifiables. Le treillis

des sous-espaces de Hilbert, quoique non booléen, est plus particulier

que ce treillis très général; on ne peut donc à partir de ce dernier (et de

la logique spéciale, auquel il correspond) retrouver la physique

quantique. Cet argument technique renforce la position de principe,

prise dans le corps du texte, que la physique quantique doit utiliser la logique classique (qui sait fort bien traiter des treillis) et la théorie

classique des probabilités (en 4-5); il faut seulement renoncer à la

possibilité (et même au sens) de mesurer simultanément deux

observables non compatibles.

Il est clair que l’algèbre des opérateurs bornés de H joue un rôle

essentiel : relations de commutation; fonctions d’opérateurs;

recherche d’E.C.0.C... Là encore, on peut essayer de partir

d’algèbres « naturelles », posées a priori, et de parvenir à l’espace

de Hilbert traditionnel. Les algèbres de Segal rendent bien compte

de la notion d’observables compatibles; mais elles sont trop

générales pour être utilisables. On peut se restreindre aux C*-

algèbres, aux très belles propriétés mathématiques. En particulier, le

célèbre théorème « GNS » permet de retrouver l’espace de Hilbert.

Mais une C*-algèbre est-elle plus naturelle, plus explicative, qu’un

espace de Hilbert? D’autres ont insisté sur un théorème, lié, de Gleason ; celui-ci fait

des hypothèses simples sur la fonctionnelle qui, à partir d’un état

donné de l’espace de Hilbert, calcule la valeur moyenne de tout

observable ; il retrouve l’opérateur statistique (donc la stochasticité) et

la règle de Born ; utilisant une notion de convexité, il peut décomposer

cet opérateur « nucléaire » et retrouver les « états purs ». Mais ce beau

résultat, pas plus que des approches très générales de la convexité, ne


dispense pas de partir d’un espace de Hilbert! Le théorème de Gleason

est aussi une voie d’accès au théorème de Kochen-Specker et à l’étude

de la décohérence.

La notion de E.C.O.C. est précisée par le recours à des algèbres de

von Neumann commutatives. Parfois même, cela permet de passer à un

espace de Hilbert plus général.

Au total, ces approches sont éclairantes, mais non décisives.

Il arrive que, dans certaines circonstances, une C*-algèbre se

décompose en deux sous-algèbres indépendantes. C’est le cas, en

théorie électro-faible, quand électromagnétisme et interaction faible

se découplent. On fait intervenir alors des règles de supersélection.

1C. Quelques précisions sur théorèmes, expériences de pensée, et expériences.

1Ca. Bell-Kochen-Specker. Greenberger-Horne-Zeilinger. Conway-Kochen.

Le théorème de Bell-Kochen-Specker (BKS - 1966)

s’applique à une particule de spin 1. La physique quantique prévoit

que, si l’on mesure simultanément le carré du spin d’une telle

particule sur les trois axes d’un repère orthonormal (ce qui est licite,

puisque les trois observables mesurées commutent), on obtient

forcément une valeur 0 et deux valeurs 1. Le théorème prouve que ce

n’est pas possible pour tous les repères orthonormaux envisageables.

Dans sa forme première ici exposée, à la démonstration assez

laborieuse, ce théorème soulignait plutôt la contradiction entre deux

positions, toutes deux naturelles pour un réaliste : l’existence de

variables cachées déterministes, la contextualité. La première position

a perdu beaucoup de son intérêt, puisque c’est même – depuis la

vérification de la violation des inégalités de Bell – l’existence de

variables cachées aléatoires que dément l’expérience. Mais les

difficultés logiques de la contextualité subsistent, plus fortes encore

dans d’autres exemples plus récents.


(1989) Greenberger-Horne-Zeilinger (GHZ). Il a été exposé sous sa

forme courante dans sp-4-2C. Il en existe bien des variantes plus

raffinées. Donnons seulement deux exemples. 1. D. Mermin considère

un ensemble de 8 spins, où une transposition contextuelle de GHZ

conduit à un théorème type Bell de non-localité. 2. On peut concevoir

(même si la réalisation pratique apparaît difficile) que plusieurs spins

commutant puissent être mesurés dans une seule expérience. Dans un

tel cas, serait aussi violé le principe exposé à la page 3 : si A et f(A)

sont deux observables, et si A a la valeur propre an, alors f(A) a la

valeur propre f(an). *

Le « théorème » de Conway-Kochen (« CK » - 2006) est une

application malheureuse du théorème de Bell-Kochen-Specker. Deux

observateurs A et B, en relation espace, étudient deux particules

intriquées a et b. A décide « librement » du choix d’un repère pour

une mesure de spin sur a. On voudrait déduire de Kochen-Specker

que a est « libre » par rapport à b, malgré l’intrication. La physique

quantique, déjà compliquée et qui a déjà du mal à bien distinguer

quand il y a déterminisme ou hasard, n’a pas besoin qu’on y

introduise – même à titre de métaphore - une liberté de la particule !

(malgré mon admiration pour son auteur, je n’aime pas plus le

recours à la conscience de « l’ami de Wigner »). De là à parler,

comme CK de « culmination de tous les théorèmes des cinquante

dernières années sur la physique quantique » !3

1Cb. Quelques précisions sur EPR et ses prolongements.

La première expérience conclusive a été faite par A. Aspect (1982)

sur des photons séparés de quelques mètres. Depuis, la distance (repère

de la « localité) a été portée à 144000m (A. Zeilinger-2007). A ces

distances, la précision des mesures devient extrême. Par ailleurs, les

3 Voir aussi mon texte « Déterminisme, hasard, vie et liberté », et son annexe 4, consacrée à CW.


possibilités d’échappatoires (loopholes), pourchassées, sont de plus en

plus ténues.

Ces expériences réfutent un « réalisme local ». Mais faut-il réfuter le

réalisme ou la localité ? C’est une question toujours posée par certains

physiciens. On a vu, dans sp-4-2C, mes réserves sur le flou de cette

question, le mot de réalisme s’appliquant à tant de situations

différentes ; disons-en cependant quelques mots. La discussion

voudrait garder à la réalité le sens étroit « d’éléments de réalité » donné

par EPR, possédés par chaque particule. Mais il faudrait alors admettre

des actions à distance spéciales, que Gröblacher décrit comme

« spooky » (fantomatiques). Beaucoup de montages expérimentaux qui

y correspondent (sur des photons polarisés, auxquels s’applique

seulement la loi de Malus) violent des inégalités particulières, de type

Bell, suggérées par A. Leggett. Mais ces expériences ne couvrent pas

toutes les possibilités. Donc (2007), pas de conclusions.

A. Suarez a évoqué l’idée la possibilité de cas « before-before » où,

dans l’esprit de la relativité, chaque particule disposerait de son propre

système de référence. Des expériences dans ce sens (N. Gisin, A.

Suarez -2001) ont confirmé la physique quantique, écarté les

explications temporelles, et donc exclu une causalité entre une particule

et une autre.

Nous avons écrit (en sp-4-2) que la non-localité ne permet pas de

transmettre instantanément de l’information d’une particule à une autre.

Notons aussi que l’on déduit des postulats de la physique quantique que l’on

ne peut dupliquer un état quantique (c’est le théorème de non-clonage) ;

c’est fort heureux pour la théorie de la relativité, car la duplication

permettrait des échanges d’information instantanés ! En revanche, la

« téléportation quantique » (qui exploite les corrélations entre deux

particules intriquées pour reproduire à distance l’état de spin d’une troisième

particule) a été réalisée. On peut envisager la cryptographie quantique et

l’ordinateur quantique.


1Cc. L’expérience de pensée de L. Hardy (1992). Son raisonnement

de base était le suivant : on observe un électron et un positon dans deux

interféromètres, dont les bras intérieurs I1 et I2 (les bras extérieurs sont E1

et E2) sont couplés de façon que les deux particules s’annihilent, si elles

prennent toutes deux le chemin intérieur. Classiquement, on ne peut donc

pas repérer à la fois électron et positon dans les deux branches

extérieures (obtenir un double clic en E1 et E2). Hardy a suggéré que ceci

pourrait paradoxalement arriver en physique quantique. La nouveauté est

que la technique des « mesures faibles », dont le principe a été suggéré il

y a longtemps (1988) par Y. Aharonov, permet maintenant de faire les

mesures correspondantes (les mesures traditionnelles, interférant entre

elles, ne le pouvaient). Le principe de cette technique est de travailler

dans une zone où le couplage entre l’appareil de mesure et l’observé est

trop faible pour perturber le système ; la rançon en est que, pour en tirer

des enseignements, on doit raisonner en probabilité sur de très nombreux

essais. Deux expériences réelles récentes (2009, Yokota et Lundeen), sur

la base de ces mesures faibles, ont utilisé une paire de photons (qui ne

peuvent s’annihiler mutuellement, mais dont le choc est observable).

Elles confirment la prévision de Hardy.

Quels enseignements ?

1. Positif : La technique des mesures faibles fait ses preuves. Elle

pourrait théoriquement être appliquée aux célèbres expériences de la

double fente, et à la cryptographie. Ces mesures sont déjà sans

démolition. Rappelons qu’en sp-4-3 et sp-20 nous insistons plus

généralement sur l’intérêt philosophique des mesures sans démolition (il

en existe d’autres types, non probabilistes, de caractère beaucoup plus

proche des mesures de la physique classique, et de ce fait apparemment

d’application plus générale).

2. Controversés : Yokota qualifie ses résultats d’absurdes (preposterous),

puisqu’il y a des probabilités non comprises entre 0 et 1, Lundeen de


fantomatiques (spooky) ! Mais l’absurdité ou le fantôme ne sont là que si

l’on rejette la contextualité. Mieux vaut penser que c’est encore un cas

(comme GHZ) où les différentes mesures (quatre) envisagées sont

incompatibles.

Comme pour les fentes d’Young, le fait d’évoquer des probabilités

ou des logiques non classiques ne fait que déplacer le problème.

1Cd Effet Zénon quantique.

On attribue à Zénon d’Elée l’apologue d’Achille, incapable de

rattraper la tortue (qui, à chaque objectif qu’il se fixe pour la

rejoindre, constate – une fois qu’il l’a atteint - que la lente bête a

encore un peu progressé au delà). Cet apologue n’était un paradoxe

qu’à une époque où on ignorait qu’il existe des séries infinies

convergentes !

En revanche la physique quantique, avec sa conception originale de la

mesure, se prête, sinon à un paradoxe, au moins à une situation étrange,

proche de celle d’Achille : si on fait, sur le même observable, beaucoup

de mesures successives suffisamment rapprochées, le système reste figé

dans la situation où il se trouve à l’issue de la première mesure (on

démontre mathématiquement que la probabilité qu’il en soit ainsi tend

vers 1 si le nombre d’essais tend vers l’infini). Comme beaucoup

d’autres situations quantiques étranges, celle-ci a été confirmée par des

vérifications expérimentales. On rapproche de l’effet Zénon la question

déjà ancienne (1927), de F. Hund : comment une molécule d’ammoniac

peut-elle osciller entre lévogyre est dextrogyre ? Question exprimée en

langage quantique par : pourquoi la molécule n’est-elle pas stabilisée en

une superposition des deux états ? La réponse est qu’un effet tunnel lent

est bloqué par des interactions rapides avec l’environnement.

1D. Exemples et calculs de la décohérence. 1Da. Les états pointeurs.

Dans sp-4-3, nous avons montré l’incompatibilité du processus

de mesure avec les postulats de base de la physique quantique, et


signalé l’importance de la décohérence induite par tout environnement

extérieur. W. Zurek utilise l’expression “environment induced super-

selection” (qu’il rattache aux règles de super-sélection, évoquées à la

fin de 1B). Il introduit la notion d’une base d’états pointeurs du

système de mesure : ces états, qui résisteraient aux attaques de

l’environnement, pour lesquels ne survivraient que les termes

diagonaux, verraient leur aiguille (pointer en anglais) se stabiliser. S.

Weinberg, minimisant l’originalité de la notion, préfère la

terminologie d’états classiques. Il y a des exemples, mais tellement

simples qu’ils en deviennent banals. Pour justifier cette notion, Zurek

et d’autres ont fait des calculs sur des cas encore très simples (par

exemple, dans le modèle « spin-boson », l’appareil de mesure a juste

deux niveaux et est sujet à un mouvement brownien quantique -

l’environnement peut être un ensemble d’oscillateurs harmoniques).

Malgré de nombreuses approximations, ces calculs sur des modèles

simples sont déjà très complexes. On explicite la forme de l’action S

avec des termes de couplage, et on en déduit – après maintes

approximations - dont des cut-offs, pour retrouver un caractère

markovien – une équation maîtresse, de type Born-Markov, où des

termes de dissipation et de décohérence correspondent au couplage.

On travaille alors sur cette équation.

Il serait intéressant de calculer le temps de relaxation de la

décohérence (qui devrait être beaucoup plus rapide que la

dissipation) ; ce calcul est possible, mais à partir des constantes de

couplage qui, elles-mêmes, ne sont pas connues. D’une façon plus

générale, les conclusions n’échappent pas à une certaine circularité.

Citons celles de B. Hu, un des fondateurs de la théorie : « Si

l’interaction entre le système et l’environnement est telle que les états,

pour lesquels le système manifeste un comportement macroscopique,

deviennent corrélés à des états de l’environnement qui soient

approximativement orthogonaux, alors le système peut évoluer sous

une forme… où la base de pointeurs… coïncide approximativement

avec les états propres de l’hamiltonien d’interaction. La décohérence


est accomplie » (les soulignements sont de mon fait). Une autre

objection forte est que la réalité est beaucoup plus complexe que les

modèles très simplifiés cités plus haut.

Remarquons enfin que l’expérimentateur sait à l’avance quel niveau

d’énergie va être mesuré par l’aiguille de son appareil. Ceci réduit

l’intérêt même des « états pointeurs ».

1Db. Les calculs sur la décohérence visent le raccord entre le micro

réversible et le macro irréversible. Ils se rapprochent ainsi des calculs

de physique statistique, voulant retrouver la flèche du temps à partir

de la physique quantique, et qui sont décrits à la note 92 de sp.

Comme eux, ils paraissent « hardis » au mathématicien. Mais, alors

que Boltzmann avait eu l’intuition géniale de relier entropie et

probabilité, les modèles de décohérence ne sont que des jeux de

calculs sur ordinateurs, sans les données expérimentales probantes qui

permettraient de les vérifier. Ajoutons un vocabulaire « Santa-Fé »

qui évoque complexité, théorie des systèmes, théorie de

l’information, fonction d’onde de l’univers… et même darwinisme.

Les calculs de la théorie quantique des champs sont eux aussi hardis,

mais ils ont l’énorme mérite de se prêter à des vérifications

expérimentales étincelantes !

1E. Les autres interprétations de la physique quantique.

La théorie (1952) de D. Bohm, théorie à variables cachées, assez

proche de la mécanique classique, maintient un déterminisme ; elle

lie étroitement la particule (qui a une trajectoire déterminée) et

l’onde qui la guide (qui est bien plus qu’une amplitude de

probabilité). Elle présente ce caractère dérangeant que les variables

cachées que sont les paramètres des particules n’influent pas sur la

fonction d’onde.


La théorie (1984) des histoires consistantes constate les difficultés

de la théorie de la mesure quantique. Elle analyse donc, sans faire

référence aux instruments de mesure (et, a fortiori, à

l’expérimentateur), la succession des événements possibles dans

une chaîne de mesures. Dans une perspective fondamentalement

aléatoire, une histoire sélectionne une chaîne de projecteurs

successifs ; on demande à une famille d’histoires que la somme des

différentes probabilités soit égale à 1 ; on recherche des familles

« consistantes », où les interférences aient disparu. Des exemples

simples en sont donnés (des expériences non destructives sur des

interféromètres, une radioactivité α...). Le formalisme des histoires

consistantes rend compte de la complémentarité. Il est surtout tourné

vers le passé (comme le révèle le terme même d’histoire). Se

contentant de calculer des probabilités, il abandonne l’espoir de

décrire les systèmes physiques. Plutôt qu’une interprétation

nouvelle, il est un commentaire intelligent de la théorie quantique

orthodoxe. R. Griffiths, l’un de ses auteurs, insiste sur un des

caractères dérangeants du quantique : qu’il tolère des descriptions

multiples et incompatibles. Il pense en revanche que beaucoup des

paradoxes (par exemple ceux liés à la supraluminalité) disparaissent

quand une chaîne consistante a éliminé mesure et mesureur. Un

inconvénient est qu’il y a un nombre énorme d’histoires possibles :

comment choisir ?

La théorie des mondes multiples (« MWI » -H. Everett -

1957) se débarrasse du si difficile problème de la réduction du

paquet d’ondes ; elle pose pour cela que chaque mesure quantique

ouvre la voie à autant de résultats différents que la quantification

n’en permet ; ainsi la succession des mesures dans le temps conduit

exponentiellement à une multitude de mondes parallèles. Mais cette

théorie est-elle plus qu’un artifice? Bell l’avait qualifiée de

« extravagantly vague ». Beaucoup de philosophes contemporains

et la littérature populaire se sont emparés de ce thème.


Ghirardi-Rimini-Weber voulaient (1986) expliquer le très

difficile problème de la réduction du paquet d’ondes en ajoutant à

l’équation de Schrödinger des termes de « localisation spontanée »,

non linéaires et aléatoires. Théoriquement, mais non pratiquement

testable. C’est typiquement une théorie ad hoc : sur chaque particule,

des éclairs se produiraient (à un taux de 1 par 1015

sec !) et

localiseraient l’onde (avec une précision de 10-7

m). Elle redevient à

la mode, parce qu’une de ses variantes (R. Tumulka, 2006), encore

plus complexe, pourrait respecter la relativité.

C. Rovelli insiste sur la relation entre l’objet et l’instrument de

mesure (comparons à la mécanique classique, où on mesure seulement

la vitesse relative de l’objet par rapport à l’observateur).

Certaines théories (comme celle de Bohm, ou celle des histoires

cohérentes) sont construites pour retrouver toutes les prédictions de

la physique quantique, et ne sont donc pas testables. C’est

évidemment aussi le cas de celle, philosophique, des mondes

multiples. En revanche, la théorie GRW l’est, au moins en principe.

2. La théorie quantique des champs.

Beaucoup d’ouvrages étudient cette théorie. Certains adoptent

volontairement un point de vue extrêmement intuitif, sans rigueur

mathématique, mais, à ce prix, rendent parlantes des notions

complexes, comme propagateurs et diagrammes de Feynman,

renormalisation, théories de jauge... Beaucoup d’autres,

malheureusement, sont incapables de faire une démarcation claire

entre intuition et formalisme ; ils deviennent inaccessibles au

non-spécialiste.

La théorie quantique des champs a commencé par

l’électrodynamique quantique, mais son domaine d’application vise

toute la physique des particules (électromagnétisme; interactions


faibles et fortes; tentatives d’unification), et rend compte de leurs

mécanismes de création et d’annihilation.

2A. L’électrodynamique quantique.

Un guide essentiel pour en comprendre les cheminements est la

recherche d’une présentation compatible avec la relativité restreinte.

C’est la démarche du livre de S. Weinberg (voir réf. au chapitre 4);

nous insisterons sur les questions qu’il pose.

Il n’est pas inutile de rappeler quelques données mathématiques

concernant le groupe propre de Lorentz, et celui de Poincaré, à la

base des invariances de la relativité restreinte : La meilleure

définition du premier est: SLC2 / Z2 où SLC2 est le groupe spécial

(dét = 1) linéaire complexe à deux dimensions, et Z2 la matrice à

deux éléments. SLC2 est un groupe de Lie compact à 6 générateurs,

dont il est intéressant d’étudier l’algèbre de Lie: une transformation

linéaire aisée de ses générateurs en deux matrices vectorielles à

trois dimensions a et b permet d’en déduire les relations simples: a

x a = ia; b x b = ib; (a, b) = 0. Ce n’est pas un hasard si ces

équations rappellent les relations bien connues des rotations, car

celles-ci forment un sous-groupe du groupe de Lorentz (du coup,

toutes les formules de composition des rotations du type

Clebsch-Gordan s’appliqueront). L’intérêt de cette transformation

est qu’elle permet de trouver toutes les représentations irréductibles

du groupe de Lorentz, en les reliant à des représentations

tensorielles ou « spinorielles » de degrés variés (« spinorielle »

correspond à des représentations « projectives » où on admet un

facteur de phase - ici +1 ou -1); on touche par là aux célèbres

algèbres de Clifford, et aux relations d’anti-commutation. Le

groupe de Lorentz n’est pas compact (c’est intuitif pour les

« boosts ») ; de ce fait, il n’admet pas de représentation finie

unitaire; on travaille donc sur des champs, et non sur des fonctions

d’onde, qui devraient être unitaires.

Il existe un difféomorphisme qui plonge le groupe propre de


Lorentz dans 0(l, 3, R) (le groupe pseudo-orthogonal de de Sitter,

préservant la métrique lorentzienne); son image y est la composante

connexe de l’unité ; elle est encore équivalente au « sous-groupe

orthochrone » caractérisé par Dét = 1, et 0

0 1 (cela correspond à

la préservation de l’orientation et de la flèche du temps). Le groupe

de Lie généralisé, incluant renversements du temps ou de l’espace,

est isomorphe à 0(1, 3, R).

Le groupe de Poincaré est le groupe de Lorentz étendu aux

translations (produit semi-direct), qui conduira à la règle de

transformation : = exp (-ia.p.), et à la conservation des

moments dans les diagrammes de Feynman.

Le cheminement de Weinberg est schématiquement le suivant :

moyennant une hypothèse de localité, il prouve l’invariance par le

groupe de Poincaré de la « matrice S », unitaire, instrument

fondamental du calcul des « sections efficaces » de diffusion,

auxquelles l’observation accède. On se souvient que des méthodes

d’approximation successives conduisent à la célèbre formule de

Dyson, schématisée par : S = T.exp-i ∫+∞

-∞ dtV(t), où V est le

terme perturbateur de l’hamiltonien, et T exprime le « time-ordered

product ».

On détermine ensuite, pour chaque espèce de particules, selon

que sa masse est nulle ou non, et selon son spin, la représentation

irréductible du groupe de Lorentz-Poincaré qui lui convient, et on

exprime son champ à partir des opérateurs de création-annihilation.

Un théorème de factorisation par amas (clusters), élimine les

champs « non connectés » ; cette « localisation » permet de

factoriser la matrice S et de montrer son analycité. La conjugaison

de ce théorème avec l’invariance de Lorentz et la physique

quantique permet à l’approche de Weinberg de retrouver tout le

formalisme de la théorie « conventionnelle ». Les deux approches

arrivent ensuite dans un « esprit physique » aux célèbres


diagrammes de Feynman, aux propagateurs.4 de Green, et aux

intégrales de chemin Celles-ci, proches des outils du mouvement

brownien, n’en ont pas la rigueur.

En passant, on a rendu compte de plusieurs données

expérimentales fondamentales : la conservation des charges

électriques ; l’existence des anti-particules ; les statistiques des

bosons et des fermions; la masse nulle des photons; le théorème

« CPT »; on a compris le sens profond des violations de symétrie C,

constatées dans les interactions faibles : elles sont liées à la

distinction entre vecteurs et pseudo-vecteurs.

D’autres chercheurs, plus orientés vers la rigueur mathématique5,

ne se satisfont pas de la façon de traiter les infinis dans les calculs

de perturbation. Ils prônent une théorie directe constructive

(utilisant des algèbres locales d’observables), respectant les

relations d’incertitude, capable de traiter toutes les théories de

jauge, constatent que - s’ils se limitent à un espace-temps non

physique de trois dimensions - ils obtiennent des résultats

satisfaisants, et espèrent – après beaucoup d’années de recherche –

aboutir à un résultat dans le cas de quatre dimensions. Dans ce

genre de théories, les concepts de particule localisable et

d’interactions entre elles deviennent encore plus difficiles.

Subsistent aussi des théorèmes « no-go » (montrant des

contradictions logiques).6 Le fossé entre les deux écoles est

4 L’équation fondamentale de Dirac, sans second membre : (1/i (. +m) =

0), admet des solutions ondulatoires. Traiter des perturbations se ramène, au moins

intuitivement, à résoudre, à l’aide des propagateurs, l’équation avec second membre.

5 Cf. la fin de sp-1-2.

6 Ainsi sous réserve d’hypothèses naturelles, dont ce qu’il appelle

« localisabilité » (qu’une particule ne puisse être trouvée dans deux régions

sans recouvrement), D. Malament a montré qu’une particule a une


manifestement très profond.

2B. Les autres applications de la théorie quantique des champs.

Quand on dépasse l’électrodynamique quantique, des difficultés

supplémentaires apparaissent. Plusieurs concepts mathématiques

délicats jouent un rôle essentiel :

Comme en relativité générale, on considère des variétés

différentiables (cf. annexe C), mais ce sont des espaces abstraits.

Les groupes d’invariance des coordonnées sont remplacés par des

groupes de Lie, généralement non-abéliens, qui représentent les

symétries entre les différentes particules. Les mêmes notions de

dérivée covariante, de connexion, sont utilisées (la différence étant

seulement que les physiciens emploient les termes de jauge et

d’invariance de jauge, là où les mathématiciens parlent de

connexions et de symétries). Aux symétries sont associées des

invariances. Dans les théories de jauge locale (où les symétries sont

locales), extrêmement importantes, l’on peut définir de précieuses

connexions. Des questions de topologie globale de ces variétés

peuvent jouer un rôle, comme dans l’effet Bohm-Aharonov, ou

pour les monopôles magnétiques.

Les symétries entre particules ne sont pas parfaites; les

unifications de théories correspondent souvent à des brisures de

symétrie (l’unification ne se fait qu’à des énergies supérieures à un

certain seuil; en deçà, il y a découplage). Ces phénomènes, bien

étudiés, supposent une forme assez particulière (artificielle?) de

lagrangien. Des mécanismes complexes (par exemple, pour les

probabilité nulle d’être dans quelque partie de l’espace que l’on considère !

Remarquons que cette notion très forte concerne une seule particule (alors

que la « localité », considérée en sp-4-2, s’oppose aux influences que

pourraient exercer l’une sur l’autre deux particules éloignées). Il est difficile

de rejeter une notion aussi « naturelle ». Mais la conserver et admettre le

théorème démolit toute dualité champ/particule en théorie quantique des

champs ! D’autres spécialistes cherchent des échappatoires.


interactions faibles, faisant intervenir le boson de Higgs)

aboutissent à donner de la masse à des bosons de jauge initialement

sans masse.

Il faut dire ici un mot des problèmes de renormalisation. Pour

qu’une théorie ait un sens physique, il faut que les grandeurs

mesurables qu’elle calcule soient finies. Or les diagrammes de

Feynman donnent des quantités infinies, dès qu’ils concernent des

boucles, c’est à dire que des « self -interactions » sont introduites.

Pour sortir de ce paradoxe, on a besoin de deux étapes. La première

introduit un « cut-off », par exemple une limite supérieure à

l’énergie. La seconde fixe une règle de dépendance de quelques

paramètres du lagrangien, visant à ce que, s’ils passent à l’infini, les

fonctions mesurées restent finies. Le groupe de renormalisation est

l’outil utilisé (sous la forme d’un semi-groupe, il est aussi précieux

dans l’étude des phénomènes critiques de la physique

macroscopique – voir l’annexe G). Quand nos visées sont atteintes,

on dit que la théorie est renormalisable, critère essentiel. Adaptée

au cas des théories effectives, utilisant toutes les symétries, la

renormalisabilité a été démontrée pour la théorie électrofaible. En

chromodynamique, elle est permise par sa liberté asymptotique (les

interactions diminuent asymptotiquement quand les énergies

augmentent), liberté constatée expérimentalement.

A l’inverse de l’électrodynamique quantique, où la constante de

structure fine est petite, les interactions fortes de la

chromodynamique ne se prêtent pas à des calculs perturbatifs. On

cherche à approximer la « vraie » théorie par des théories effectives,

fondées sur des treillis. La chromodynamique fait un large usage de

la matrice S. Nous avons cité, dans sp-4-4, l’important problème,

non résolu aujourd’hui, du « mass gap ».


3. La théorie (les théories) des cordes.

Nous avons évoqué en 6-2A le rêve constant des physiciens de

parvenir à une théorie unifiée. Leurs espoirs se concentrent

actuellement sur les théories de cordes. Sont-elles l’objet d’un

engouement passager (dans notre monde médiatisé et soumis à

l’argent, les chercheurs doivent prendre rang bien avant réussite

confirmée) ? Représentent-elles au contraire l’amorce d’une théorie

révolutionnaire, unifiant définitivement relativité générale et

physique des particules? Personne ne peut le dire aujourd’hui;

surtout pas moi, qui n’ai pas fait le même effort de compréhension

de ces théories difficiles que dans d’autres domaines. Je me

contenterai donc de quelques indications.

On a vu un peu plus haut que beaucoup d’applications de la

théorie quantique des champs se heurtent à des infinis, que même

des techniques sophistiquées de « renormalisation » ne parviennent

pas à éliminer. Les débuts de la théorie des cordes ont suivi la

remarque mathématique que des symétries faisaient disparaître ces

infinis dans certains espaces à dix dimensions. D’où l’idée, reprise à

Kaluza-Klein (1919 et 1926) d’introduire des dimensions

supplémentaires (6 = 10 - 4) de l’espace-temps, invisibles parce que

repliées et de taille infime (comparable – fort naturellement - à la

longueur de Planck). Les espaces correspondant prendraient la

forme d’une « variété kählérienne compacte de première classe de

Chern ». Dans cet espace abstrait vibreraient des cordes à une

dimension circulaire compacte (à leur excitations non linéaires de

« solitons » correspondraient des « branes » à plusieurs

dimensions). A chacun de leurs modes de vibration correspondrait

une classe de particules; un mode particulier permettrait de définir

un graviton, intermédiaire obligé d’une théorie quantique de la

gravitation. Les photons, vibrations ouvertes, ne pourraient se

déplacer que dans les trois dimensions de l’espace traditionnel. Ceci

rendrait les autres dimensions inaccessibles à notre expérience (sauf


pour des effets gravitationnels, dont on sait qu’ils sont extrêmement

faibles à l’échelle des particules).

De telles théories sont séduisantes sous beaucoup de points de

vue : elles sont les seules à unifier théorie quantique et relativité

générale ; quand elles sont théories des supercordes, elles recourent

aussi à la supersymétrie7 ; abandonnant la notion de particule

ponctuelle, elles peuvent régler les problèmes de renormalisation ;

elles rendent compte de la dualité électricité//magnétisme. Elles

laissent enfin espérer que les quatre forces fondamentales

pourraient s’unifier aux alentours de la longueur de Planck.

Les points négatifs tiennent à leur extrême complexité. L’appareil

mathématique suppose une connaissance, aujourd’hui incertaine, de

la topologie de ces espaces difficiles, avec leurs « trous ». Cinq

variantes s’affrontent (des dualités subtiles, mais essentielles,

semblent les relier dans le cadre d’une encore mystérieuse « théorie

M ») ; mais elles se ramifient, quand on veut préciser, en un nombre

astronomique de solutions possibles. Des calculs pratiques ne

peuvent être actuellement envisagés; même s’ils devenaient

possibles, leur vérification normale se ferait à des énergies

inaccessibles, sauf à recourir à de subtiles et difficiles expériences

indirectes. Enfin, ces théories n’expliquent pas plus la flèche du

temps que la physique quantique « traditionnelle ».

Personnellement, je reste perplexe sur les coïncidences qui font retenir les dix dimensions. Pour le nombre D de dimensions, les équations du champ contiennent un terme en (D – 10) extrêmement gênant et l’on s’en débarrasse en posant que D = 10; ce n’est pas très loin d’un principe anthropique et on sait que je ne l’aime guère (cf. 12-2) !

L’abstraction du réel microscopique de la physique quantique (cf.

4-2) devient extrême pour les théories de cordes : espace, temps,

7 Dans l’espace-temps à quatre dimensions, la super-symétrie a l’intérêt de disposer d’un groupe

assez évident de symétrie.


énergie, charge électrique et – on vient de le voir – espèces de

particules dérivent de ces cordes premières et des variétés abstraites

dans lesquelles elles évoluent. A l’échelle si faible des cordes, on

peut envisager que l’espace-temps doit lui aussi quantifié.

On trouvera à l’annexe G quelques indications sur la théorie de la

gravitation quantique à boucles, concurrente.

Questions ouvertes.

F1. Du fait de la discrétisation des niveaux d’énergie, les espaces de Hilbert de la physique quantique sont-ils tous de dimension dénombrable ? Oui ? Du coup, même dans une optique constructiviste, on peut démontrer, moyennant l’axiome de choix dénombrable, qu’ils ont une base (cf. annexe K). Je comprends que tous les Hilbert à base dénombrable sont isomorphes (mais selon les problèmes considérés, on y introduit des opérateurs différents).

F2. Un état pur est-il « objectif ? Pour W. Unruh, un état qui apparaît pur à un détecteur au repos, apparaîtra mélangé à un détecteur accéléré. Y a-t-il eu des expériences à ce sujet ?

F3 (long exposé de la question !).

La solution rigoureuse de la quantification de l’atome d’hydrogène a été, nous l’avons dit dans le corps du chapitre 4-1, un immense succès de la physique quantique. Elle a bénéficié de conditions extrêmement favorables : l’existence d’un potentiel central permet de diviser les difficultés ; on fixe d’abord les


moments cinétiques par leur quantification habituelle ; on n’a plus ensuite en ce qui concerne la fonction propre radiale qu’une équation différentielle simple (au lieu d’une équation aux dérivées partielles compliquée) ; des considérations de comportement asymptotique de ses solutions aux faibles et grandes distances imposent la quantification de l’énergie ; la fonction d’onde spatiale est calculée. Pour les atomes plus complexes, puis pour les molécules, des calculs approchés des énergies et des schémas de configurations spatiales seront élaborés par des méthodes semi-empiriques, évoquées en 6-2C.

Je clarifierai la question qui me préoccupe par une comparaison avec la physique classique. Dans celle-ci, une fois posée l’équation de base, et définies les forces, le système d’équations différentiel apparaît. Même si sa solution, exacte ou même numérique, peut dépasser les possibilités humaines, on sait que – sauf cas exceptionnels – elle existe (ce savoir est une forme du déterminisme, cf. sp-2-1). En physique et chimie quantiques, qui nous dit que, dans les approximations nécessaires, les fondamentales quantifications soient prouvées, plutôt qu’assumées dans les hypothèses de calcul ? Par exemple, je me demande si les considérations de comportement asymptotique du paragraphe précédent, qui ont fourni une bonne preuve de la quantification de l’atome d’hydrogène, sont aisément généralisables à des cas (les molécules) où le potentiel central unique a disparu. En particulier, la preuve mathématique de l’existence d’une quantification discontinue pour l’énergie survit-elle à la méthode d’approximation ?

F4. Le statut du temps en physique quantique ne me semble pas clair. Est-il une observable ? Non ?

F5. Le spin est un moment cinétique. En mécanique classique, il y a un théorème de conservation du moment cinétique – global, mais dans un espace limité. Dans des expériences de type EPR,


deux particules intriquées ont leurs spins toujours opposés, et donc il arrive que le spin de chacune d’elles (très loin l’une de l’autre) bascule immédiatement. N’y a-t-il pas par là une violation (dans une conception relativiste) du théorème de conservation ?

F7. Quel est l’intérêt de la théorie des groupes quantiques ?

F8. Toute la théorie quantique des champs repose sur l’équation hyperbolique de Klein-Gordon. Est-elle bien étudiée par les mathématiciens ? En particulier, y a-t-il des conditions claires d’existence d’une fonction de Green ? Si oui, ces conditions sont-elles vérifiées dans les situations concrètes de la théorie quantique des champs? Id. pour l’équation de Dirac, plus complexe, mais du premier ordre.

F10. Violations de parité.

Une question naïve de mathématiques : dans l’espace à 3 dimensions, on définit gauche et droite, on distingue vecteurs et pseudo-vecteurs (comme on discerne i de –i en algèbre). C’est la fameuse parité P. Ces conceptions se généralisent-elles à des espaces à plus de dimensions (impaires) ? Oui ?

La non violation de CPT (P pour le passage d’une particule à une antiparticule, T pour le renversement du temps) est un théorème de la théorie quantique des champs. Elle a été vérifiée expérimentalement (2002, sur des neutrinos, avec une extraordinaire précision -10-20).

La violation de la parité P est expliquée par la théorie électrofaible (et vérifiée expérimentalement depuis 1957). La violation de CP est observée depuis 1964 par des


expériences concernant* des états mélangés de kaons). Un article de « Pour la Science » de 1-99 consacré à l’asymétrie de la matière et décrivant une expérience effectuée sur des kaons semble dire qu’elle apporte un résultat nouveau, que la violation de T y interviendrait « directement ». On constate

une différence de vitesses dans des processus kaons

antikaons versus antikaons kaons. La clé de l’argumentation repose sur l’affirmation : « la transformation d’une particule (un kaon) en une antiparticule (l’antikaon) , et la réaction inverse, la transformation d’un antikaon en kaon, sont l’image l’une de l’autre par l’opérateur T (qui inverse le sens* du temps) ». Je comprends bien que ces deux réactions inversent C, que dans les conditions opératoires décrites, inversant le champ magnétique, elles inversent P; mais, sauf à postuler avec le théorème CPT, que CP = T, je ne vois pas l’intervention « directe » de T. Par ailleurs, un entrefilet plus récent (10-99) de la même revue signale des expériences constatant une violation « directe » de CP sur les kaons (les expériences de 1964 étant considérées comme indirectes, parce qu’ayant observé des combinaisons d’états de kaons). Dois-je comprendre qu’il s’agit d’expériences indépendantes de celles relatées dans le premier article et quelles sont-elles? Par ailleurs, la symétrie CP sur des mésons B serait (2010) violée très au-delà des prévisions du modèle standard.

F11. Théories des cordes (ou supercordes).

Y a-t-il un lien entre la longueur de Planck et la dimension critique des cordes ? (dimension qui ne semble la dépasser que de 10 ou 100). Est-il vrai que la théorie des cordes « parfaite » devrait prédire les valeurs de toutes les constantes fondamentales ?


Peut-on dire un mot du statut de l’espace-temps dans de telles théories ? Est-il exact qu’il faut renoncer à le voir comme un continu infiniment divisible ?

F12. (= question C10). Théories de l’inflation.

Peut-on expliquer les mécanismes de l’inflation par un recours aux théories classiques des particules ?

F14. Nous l’avons vu, l’incomplétude de la physique quantique s’entend usuellement au sens qu’il n’y a pas de variables cachées. Pour P. Mittelstaedt, une théorie complète serait une théorie qui couvrirait aussi bien le microscopique que les appareils de mesure macroscopiques. Y a-t-il un lien entre ces deux définitions ? Non ?

F15. On dit que dans un supraconducteur, la résistance est nulle. On l’explique par la constitution de paires d’électrons, obéissant à la statistique de Bose-Einstein, se comportant comme un ensemble unique. Vu l’immensité du nombre N de telles paires, peut-on parler de résistance nulle, plutôt que de « inférieure à tel seuil », à préciser ? Que dirait-on si des expériences « méso » permettaient de beaucoup diminuer N ? Mêmes questions pour la viscosité de l’état superfluide. Cf. R. Laughlin, prix Nobel de physique : “The viscosity of superfluid helium is not just small, but exactly zero”. Comment discerner du cas où elle est trop petite pour être observable par nos appareils de mesure actuels ? M. Serrero remarque que même l’horizontalité de la pente d’un diagramme P,V pour une transition de phase liquide-vapeur n’est absolue que si la « règle des phases » est vraie.


F16. Comment s’exercent les forces de gravitation entre une particule et une anti-particule ?

F17. Dans un article important (1986), J. Bell avait affirmé que les expériences EPR conduisent à admettre que le temps peut aussi aller à reculons, si l’on admet que tous les référentiels de Lorentz sont équivalents, et suggérait qu’il est tout à fait possible de rejeter cette équivalence. Dans mon chapitre 2, je suggère que la cosmologie moderne n’a pas totalement abandonné l’idée de référentiel absolu Cf. ma question E1. Notons aussi que Leggett (dans l’ouvrage collectif « Elegance and Enigma », p 175), préfère accepter le temps à rebours (retrospective causation) à renoncer à la localité ou à cette forme de réalisme, d’après laquelle les expériences non faites auraient un résultat. Où en est-on réellement ?

Références supplémentaires de l’annexe. Aspect, A. (2007), To be or not to be local, in Nature- 446-

p. 866-867. A lire en même temps qu’un autre article p. 871-875 de Gröblacher et als : An experimental test of non-local realism.

Bell, J. (1986), dans “The ghost in the atom”, ed. Davies, R. Article profond !

Bouwmeester et als, Observation of three_Photon GHZ Entanglement, in Phys Rev Letter. 82. P1345-1349.

Collins, G. Supersymmetric QC, in Physics Today, 3-95, p. 17-20.

Décohérence quantique, séminaire Poincaré. 2005. Elegance and Enigma, (2011), ed Schlosshauer. Springer.

Ellis, B. (1966), Basic Concepts of Measurement. Cambridge.


Foundations of Measurement, (1971), Krantz, D. Luce, R. Suppes, P. Tversky, A. eds.

Lundeen. Phys Rev Letters. 102 (2009). 020404. (sur paradoxe de Hardy).

Maudlin, T. (third edition 2011), Quantum Non-Locality and Relativity. Blackwell.

Witten, E. Reflections on the Fate of Space-Time, in Physics Today, 4-96, p. 24-30.

Duality, Space-time and Quantum Mechanics, in Physics Today, 5-97, p. 28-33.


Documents

1A. La physique quantique se - pagesperso-orange.fralain.stahl.pagesperso-orange.fr/PDF/Annexe_F.pdfLa physique quantique se fonde mathématiquement sur les espaces de Hilbert, d’une