Physique quantique.… · MICHEL LE BELLAC La physique quantique permet de comprendre en profondeur les phénomènes qui régissent le comportement des solides, des semi-conducteurs,

MICHEL LE BELLAC

La physique quantique permet de comprendre en profondeur les phénomènes qui régissent le comportement des solides, des semi-conducteurs, des atomes, des particules élémentaires et de la lumière. Cette nouvelle édition contient trois chapitres entièrement re-rédigés, un nouveau chapitre sur la mécanique quantique relativiste (construction de Wigner et équation de Dirac), une sélection de corrigés d’exercices et de nom-breuses mises à jour. Elle offre une approche originale permettant de traiter immédiatement et de façon simple des applications importantes comme l’atome à deux niveaux, le laser ou la résonance magnétique nucléaire. Le formalisme est ensuite développé en privilégiant l’utilisation des symétries et permet de traiter les applications usuelles comme le moment angulaire, les approximations semi-classiques, la théorie de la diffusion ou la physique des atomes et des molécules.L’ouvrage accorde aussi une large place à des domaines nouveaux apparus depuis une trentaine d’années et qui occupent aujourd’hui le devant de la scène : non-localité et information quantiques, refroidissement d’atomes par laser, condensats de Bose-Einstein, états du champ électromagnétique, sujets qui ne sont pas traités dans la plupart des manuels.Ce livre s’adresse aux étudiants de L3 et de master de physique et aux élèves des écoles d’ingénieurs. Il est également susceptible d’intéresser un large public de physiciens, chercheurs ou enseignants, qui souhaitent s’initier aux développements récents de la physique quantique.« Je suis vraiment admiratif devant l’effort fait par l’auteur pour donner à son lecteur une vision si moderne et si attrayante de la physique quantique. » (Claude Cohen-Tannoudji, préface à la première édition)« Plus encore dans cette nouvelle version, cet ouvrage est un concentré d’informations et d’idées dans presque tous les domaines qui touchent au quantique, qui servira beaucoup non seulement aux étudiants, mais également aux physiciens des laboratoires comme ouvrage de référence. » (Franck Laloë, préface à la troisième édition)

Michel Le Bellac est professeur émérite à l’Université de Nice-Sophia Antipolis. Il a enseigné la mécanique quantique dans les trois cycles universitaires. Ses travaux portent sur la physique théorique des particules élémentaires et la théorie quantique des champs à température finie, sujet sur lequel il a écrit “Thermal Field Theory”. Il est également l’auteur de trois livres portant sur la théorie statistique des champs, la physique statistique et l’information quantique, tous traduits en anglais, ainsi que d’un ouvrage de vulgarisation : « Le monde quantique ».

Ces ouvrages, écrits par des chercheurs, reflètent des enseignements dispensés dans le cadre de la formation à la recherche. Ils s’adressent donc aux étudiants avancés, aux chercheurs désireux de perfectionner leurs connaissances ainsi qu’à tout lecteur passionné par la science contemporaine.

C r é a t i o n g r a p h i q u e : B é a t r i c e C o u ë d e l

I SBN EDP Sc i en ce s 978 -2 -7598-0803-8 ISBN CNRS ÉDITIONS 978-2-271-07736-3

45 €

MICHEL LE BELLAC MICHEL LE BELLAC

PRÉFACES DE CLAUDE COHEN-TANNOUDJI

ET DE FRANCK LALOË

CNRS ÉDITIONS

A C T U E L SS A V O I R S

SAVOIRS ACTUELSSérie Physique et collection dirigée par Michèle LEDUC

CNRS ÉDITIONSwww.cnrseditions.fr

PHYSIQUE QUANTIQUE FONDEMENTS – TOME I

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PHYSIQUE QUANTIQUE FONDEMENTS - TOME I

www.edpsciences.org

3e ÉDITION

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Extrait de la publication

Michel Le Bellac

Physique quantiqueTome I : Fondements

3e édition

S A V O I R S A C T U E L S

EDP Sciences/CNRS Éditions

Illustration de couverture : Vue d’artiste du comportement d’un photon. Onobserve une transition continue depuis un comportement ondulatoire (arrière-plan du dessin) à un comportement corpusculaire (avant-plan du dessin).F. Kaiser, T. Coudreau, P. Milman, D. Ostrowsky and S. Tanzilli, Entangle-ment enabled delayed choice experiment, Science 338, 637 (2012). Copyright :F. Kaiser et S. Tanzilli, CNRS. Courtoisie de Sébastien Tanzilli.

Imprimé en France.

c© 2013, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabœuf,91944 Les Ulis Cedex AetCNRS Éditions, 15, rue Malebranche, 75005 Paris.Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés

pour tous pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelqueprocédé que ce soit, des pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisationde l’éditeur est illicite et constitue une contrefaçon. Seules sont autorisées, d’une part, lesreproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utili-sation collective, et d’autre part, les courtes citations justifiées par le caractère scientifiqueou d’information de l’œuvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L. 122-4, L. 122-5et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent êtreréalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresser au : Centre français d’exploitation du droitde copie, 3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35.

ISBN EDP Sciences 978-2-7598-0803-8ISBN CNRS Éditions 978-2-271-07736-3


Table des matières

Tome I : Fondements

Avant-propos xxi

Préface de la première édition xxv

Préface de la troisième édition xxvii

1 Introduction 11.1 Structure de la matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Échelles de longueur : de la cosmologie auxparticules élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 États de la matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Constituants élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.4 Interactions (ou forces) fondamentales . . . . . . . . . 8

1.2 Physique classique et physique quantique . . . . . . . . . . . 111.3 Un peu d’histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.1 Le rayonnement du corps noir . . . . . . . . . . . . . 141.3.2 L’effet photoélectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4 Ondes et particules : interférences . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.1 Hypothèse de de Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.2 Diffraction et interférences avec des neutrons

froids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.3 Interprétation des expériences . . . . . . . . . . . . . 231.4.4 Inégalités de Heisenberg I . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4.5 Interféromètre de Mach-Zehnder . . . . . . . . . . . . 30

1.5 Niveaux d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.5.1 Niveaux d’énergie en mécanique classique et modèles

classiques de l’atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.5.2 L’atome de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.5.3 Ordres de grandeur en physique atomique . . . . . . . 38

1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.6.1 Ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.6.2 Le corps noir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.6.3 Inégalités de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

iv Physique quantique : Fondements

1.6.4 Diffraction de neutrons par un cristal . . . . . . . . . 421.6.5 Atomes hydrogénoïdes . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.6.6 Interféromètre à neutrons et gravité . . . . . . . . . . 451.6.7 Diffusion cohérente et diffusion incohérente

de neutrons par un cristal . . . . . . . . . . . . . . . . 461.7 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2 Mathématiques de la mécanique quantique I :dimension finie 492.1 Espaces de Hilbert de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . 502.2 Opérateurs linéaires sur H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.2.1 Opérateurs linéaires, hermitiens, unitaires . . . . . . . 512.2.2 Projecteurs et notation de Dirac . . . . . . . . . . . . 53

2.3 Décomposition spectrale des opérateurs hermitiens . . . . . . 552.3.1 Diagonalisation d’un opérateur hermitien . . . . . . . 552.3.2 Diagonalisation d’une matrice 2 × 2 hermitienne . . . 572.3.3 Ensemble complet d’opérateurs compatibles . . . . . 592.3.4 Opérateurs unitaires et opérateurs hermitiens . . . . 602.3.5 Fonctions d’un opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.4 Produit tensoriel de deux espaces vectoriels . . . . . . . . . . 622.4.1 Définition et propriétés du produit tensoriel . . . . . 622.4.2 Espaces de dimension d = 2 . . . . . . . . . . . . . . 64

2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.5.1 Produit scalaire et norme . . . . . . . . . . . . . . . . 662.5.2 Commutateurs et traces . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.5.3 Déterminant et trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.5.4 Projecteur dans R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.5.5 Théorème de la projection . . . . . . . . . . . . . . . 672.5.6 Propriétés des projecteurs . . . . . . . . . . . . . . . 682.5.7 Intégrale gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.5.8 Commutateurs et valeur propre dégénérée . . . . . . . 682.5.9 Matrices normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.5.10 Matrices positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.5.11 Identités opératorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.5.12 Indépendance du produit tensoriel par rapport au choix

de la base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.5.13 Produit tensoriel de deux matrices 2 × 2 . . . . . . . 702.5.14 Propriétés de symétrie de |Φ〉 . . . . . . . . . . . . . . 70

2.6 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3 Polarisation : photon et spin 1/2 733.1 Polarisation de la lumière et polarisation d’un photon . . . . 73

3.1.1 Polarisation d’une onde électromagnétique . . . . . . 733.1.2 Polarisation d’un photon . . . . . . . . . . . . . . . . 803.1.3 Cryptographie quantique . . . . . . . . . . . . . . . . 86


Table des matières v

3.2 Spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.2.1 Moment angulaire et moment magnétique

en physique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.2.2 Expérience de Stern-Gerlach et filtres

de Stern-Gerlach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.2.3 États de spin d’orientation arbitraire . . . . . . . . . 963.2.4 Rotation d’un spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.2.5 Dynamique et évolution temporelle . . . . . . . . . . 104

3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.3.1 Polarisation elliptique et détermination

de la polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.3.2 Une stratégie optimale pour Ève . . . . . . . . . . . . 1073.3.3 Polarisation circulaire et opérateur de rotation

pour les photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.3.4 Théorème de non-clonage quantique . . . . . . . . . . 1093.3.5 Expérience à choix retardé . . . . . . . . . . . . . . . 1093.3.6 Autres solutions de (3.45) . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.3.7 Décomposition d’une matrice 2 × 2 . . . . . . . . . . 1113.3.8 Exponentielles de matrices de Pauli . . . . . . . . . . 1113.3.9 Tenseur εijk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.3.10 Mesures successives d’un spin 1/2 . . . . . . . . . . . 1123.3.11 Rotation de 2π d’un spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . 1123.3.12 Diffusion de neutrons par un cristal : noyaux

de spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.4 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4 Postulats de la physique quantique 1154.1 Vecteurs d’état et propriétés physiques . . . . . . . . . . . . . 116

4.1.1 Principe de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.1.2 Propriétés physiques et mesure . . . . . . . . . . . . . 1184.1.3 Inégalités de Heisenberg II . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.2 Évolution temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.2.1 Équation d’évolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.2.2 Opérateur d’évolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.2.3 États stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.2.4 Inégalité de Heisenberg temporelle . . . . . . . . . . . 1334.2.5 Points de vue de Schrödinger et de Heisenberg . . . . 138

4.3 Approximations et modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . 1394.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

4.4.1 Dispersion et vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . 1424.4.2 Méthode variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424.4.3 Théorème de Feynman-Hellmann . . . . . . . . . . . 1434.4.4 Évolution temporelle d’un système à deux niveaux . . 1434.4.5 Inégalités de Heisenberg temporelles . . . . . . . . . . 144


vi Physique quantique : Fondements

4.4.6 L’énigme des neutrinos solaires . . . . . . . . . . . . . 1454.4.7 Points de vue de Schrödinger et de Heisenberg . . . . 1474.4.8 Borne de Helstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1474.4.9 Règle de Born généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.4.10 Le système des mésons K neutres : évolution non

unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1494.5 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5 Systèmes à nombre de niveaux fini 1535.1 Chimie quantique élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

5.1.1 Molécule d’éthylène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535.1.2 Molécule de benzène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5.2 Résonance magnétique nucléaire (RMN) . . . . . . . . . . . . 1605.2.1 Spin 1/2 dans un champ magnétique périodique . . . 1615.2.2 Oscillations de Rabi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.2.3 Principes de la RMN et de l’IRM . . . . . . . . . . . 166

5.3 La molécule d’ammoniac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.3.1 La molécule d’ammoniac comme système à deux

niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.3.2 La molécule dans un champ électrique : le maser

à ammoniac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1715.3.3 Transitions hors résonance . . . . . . . . . . . . . . . 176

5.4 Atome à deux niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1795.4.1 Absorption et émission de photons . . . . . . . . . . . 1795.4.2 Principes du laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1835.4.3 Franges de Ramsey et principe des horloges

atomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1875.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

5.5.1 Base orthonormée de vecteurs propres . . . . . . . . . 1915.5.2 Moment dipolaire électrique du formaldéhyde . . . . . 1915.5.3 Le butadiène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1925.5.4 Vecteurs propres du hamiltonien (5.22) . . . . . . . . 1945.5.5 L’ion moléculaire H+

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1945.5.6 Compléments sur la RMN . . . . . . . . . . . . . . . 195

5.6 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

6 Mathématiques de la mécanique quantique II : dimensioninfinie 1976.1 Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

6.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976.1.2 Réalisations d’espaces séparables et de dimensio

infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996.2 Opérateurs linéaires sur H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

6.2.1 Domaine et norme d’un opérateur . . . . . . . . . . . 2016.2.2 Conjugaison hermitienne . . . . . . . . . . . . . . . . 203


Table des matières vii

6.3 Décomposition spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2056.3.1 Opérateurs hermitiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2056.3.2 Opérateurs unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2096.4.1 Espaces de dimension infinie . . . . . . . . . . . . . . 2096.4.2 Spectre d’un opérateur hermitien . . . . . . . . . . . 2096.4.3 Relations de commutation canoniques . . . . . . . . . 2096.4.4 Opérateurs de dilatation et de transformation

conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2106.5 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

7 Symétries en physique quantique 2117.1 Transformation d’un état dans une opération de symétrie . . 212

7.1.1 Invariance des probabilités dans une opération desymétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

7.1.2 Théorème de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2157.2 Générateurs infinitésimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

7.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2177.2.2 Lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2187.2.3 Relations de commutation des générateurs

infinitésimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2207.3 Relations de commutation canoniques . . . . . . . . . . . . . 225

7.3.1 Cas de la dimension d = 1 . . . . . . . . . . . . . . . 2257.3.2 Réalisation explicite et commentaires . . . . . . . . . 2277.3.3 L’opération parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

7.4 Invariance galiléenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2307.4.1 Hamiltonien en dimension d = 1 . . . . . . . . . . . . 2307.4.2 Hamiltonien en dimension d = 3 . . . . . . . . . . . . 234

7.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2367.5.1 Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2367.5.2 Rotations et SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2367.5.3 Relations de commutation entre l’impulsion

et le moment angulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 2377.5.4 Algèbre de Lie d’un groupe continu . . . . . . . . . . 2387.5.5 Règle de somme de Thomas-Reiche-Kuhn . . . . . . . 2397.5.6 Centre de masse et masse réduite . . . . . . . . . . . 2397.5.7 Transformation de Galilée . . . . . . . . . . . . . . . 2407.5.8 Hamiltonien dans un champ magnétique . . . . . . . 240

7.6 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

8 Mécanique ondulatoire 2438.1 Diagonalisation de X et de P ; fonctions d’onde . . . . . . . . 244

8.1.1 Diagonalisation de X . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2448.1.2 Réalisation dans L(2)

x (R) . . . . . . . . . . . . . . . . 246


viii Physique quantique : Fondements

8.1.3 Réalisation dans L(2)p (R) . . . . . . . . . . . . . . . . 248

8.1.4 Inégalités de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . 2498.1.5 Évolution du paquet d’ondes libre . . . . . . . . . . . 251

8.2 Équation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2548.2.1 Hamiltonien de l’équation de Schrödinger . . . . . . . 2548.2.2 Probabilité de présence et vecteur courant . . . . . . 255

8.3 Résolution de l’équation de Schrödinger indépendantedu temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2588.3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2588.3.2 Réflexion et transmission par une marche

de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2608.3.3 États liés du puits carré . . . . . . . . . . . . . . . . . 2628.3.4 Diffusion par un potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . 265

8.4 Potentiel périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2708.4.1 Théorème de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2708.4.2 Bandes d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

8.5 Mécanique ondulatoire en dimension d = 3 . . . . . . . . . . . 2768.5.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2768.5.2 Espace de phase et densité de niveaux . . . . . . . . . 2788.5.3 Règle d’or de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

8.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2858.6.1 Inégalités de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . 2858.6.2 Étalement du paquet d’ondes . . . . . . . . . . . . . . 2858.6.3 Paquet d’ondes gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . 2868.6.4 Heuristique de l’inégalité de Heisenberg . . . . . . . . 2878.6.5 Potentiel de Lennard-Jones pour l’hélium . . . . . . . 2878.6.6 Marche de potentiel et retard à la réflexion . . . . . . 2888.6.7 Potentiel en fonction δ . . . . . . . . . . . . . . . . . 2888.6.8 Niveaux d’énergie du puits cubique infini

en dimension d = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2908.6.9 Courant de probabilité à trois dimensions . . . . . . . 2908.6.10 Densité de niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2908.6.11 Règle d’or de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2908.6.12 Étude de l’expérience de Stern-Gerlach . . . . . . . . 2918.6.13 Modèle de mesure de von Neumann . . . . . . . . . . 2928.6.14 Transformation de Galilée . . . . . . . . . . . . . . . 293

8.7 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

9 Moment angulaire 2959.1 Diagonalisation de �J 2 et de Jz . . . . . . . . . . . . . . . . . 2959.2 Matrices de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2999.3 Moment angulaire orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

9.3.1 Opérateur moment angulaire orbital . . . . . . . . . . 3049.3.2 Propriétés des harmoniques sphériques . . . . . . . . 308

Table des matières ix

9.4 Particule dans un potentiel central . . . . . . . . . . . . . . . 3119.4.1 Équation d’onde radiale . . . . . . . . . . . . . . . . . 3119.4.2 Atome d’hydrogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

9.5 Distributions angulaires des désintégrations . . . . . . . . . . 3199.5.1 Rotations de π, parité, réflexion par rapport

à un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3199.5.2 Transitions dipolaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3229.5.3 Désintégrations : cas général . . . . . . . . . . . . . . 327

9.6 Composition de deux moments angulaires . . . . . . . . . . . 3289.6.1 Composition de deux spins 1/2 . . . . . . . . . . . . . 3289.6.2 Cas général : composition de deux moments

angulaires �J1 et �J2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3319.6.3 Composition des matrices de rotation . . . . . . . . . 3349.6.4 Théorème de Wigner-Eckart (opérateurs scalaires

et vectoriels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3359.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

9.7.1 Propriétés de �J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3389.7.2 Rotation d’un moment angulaire . . . . . . . . . . . . 3389.7.3 Rotations (θ, φ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3389.7.4 Moments angulaires j = 1

2 et j = 1 . . . . . . . . . . 3389.7.5 Moment angulaire orbital . . . . . . . . . . . . . . . . 3399.7.6 Relation entre les matrices de rotation et les

harmoniques sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . 3399.7.7 Indépendance de l’énergie par rapport à m . . . . . . 3409.7.8 Puits sphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3409.7.9 Atome d’hydrogène pour l �= 0 . . . . . . . . . . . . . 3409.7.10 Éléments de matrice d’un potentiel . . . . . . . . . . 3419.7.11 Équation radiale en dimension d = 2 . . . . . . . . . . 3419.7.12 Propriété de symétrie des matrices d(j) . . . . . . . . 3429.7.13 Diffusion de la lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . 3429.7.14 Mesure du moment magnétique du Λ0 . . . . . . . . . 3439.7.15 Production et désintégration du méson ρ+ . . . . . . 3459.7.16 Interaction de deux dipôles . . . . . . . . . . . . . . . 3479.7.17 Désintégration du Σ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3479.7.18 Coefficients de Clebsch-Gordan du couplage �L · �S . . 3489.7.19 Opérateurs tensoriels irréductibles . . . . . . . . . . . 349

9.8 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

10 Oscillateur harmonique 35110.1 L’oscillateur harmonique simple . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

10.1.1 Opérateurs de création et d’annihilation . . . . . . . 35210.1.2 Diagonalisation du hamiltonien . . . . . . . . . . . . 35310.1.3 Fonctions d’onde de l’oscillateur harmonique . . . . . 355

10.2 États cohérents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

x Physique quantique : Fondements

10.2.1 Définition et propriétés élémentaires . . . . . . . . . . 35710.2.2 Opérateurs de déplacement et de phase . . . . . . . . 361

10.3 Mouvement dans un champ magnétique . . . . . . . . . . . . 36510.3.1 Invariance de jauge locale . . . . . . . . . . . . . . . . 36510.3.2 Champ magnétique uniforme : niveaux de Landau . . 368

10.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37110.4.1 Éléments de matrice de Q et de P . . . . . . . . . . . 37110.4.2 Propriétés mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . 37110.4.3 États cohérents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37110.4.4 Couplage à une force classique . . . . . . . . . . . . . 37310.4.5 Opérateur de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37410.4.6 Conservation du courant en présence d’un champ

magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37510.4.7 Transformations de jauge non abéliennes . . . . . . . 375

10.5 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

11 Intrication et non localité quantiques 37911.1 Opérateur statistique (ou opérateur densité) . . . . . . . . . . 379

11.1.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . 37911.1.2 Opérateur statistique réduit . . . . . . . . . . . . . . 38211.1.3 Opérateur statistique pour un système à deux

niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38711.1.4 Non unicité de la préparation . . . . . . . . . . . . . . 39011.1.5 Dépendance temporelle de l’opérateur statistique . . 39311.1.6 Postulats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

11.2 Inégalités de Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39511.2.1 Démonstration de l’inégalité BCHSH . . . . . . . . . 39511.2.2 Physique quantique et borne de Cirelson . . . . . . . 39811.2.3 Expériences avec des photons . . . . . . . . . . . . . . 40311.2.4 EPR et la non localité quantique . . . . . . . . . . . . 408

11.3 Compléments sur les inégalités de Bell . . . . . . . . . . . . . 41111.3.1 Conditions sur les probabilités . . . . . . . . . . . . . 41111.3.2 Boîtes de Popescu-Rohrlich . . . . . . . . . . . . . . . 41311.3.3 États GHZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41411.3.4 Contextualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

11.4 Décohérence et mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41711.4.1 Intrication et perte de cohérence . . . . . . . . . . . . 41711.4.2 Définition générale de la décohérence . . . . . . . . . 42011.4.3 Modèle pour l’émission spontanée . . . . . . . . . . . 42211.4.4 Modèle de von Neumann pour la mesure . . . . . . . 42411.4.5 Modèle de Zurek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42711.4.6 La réduction du paquet d’ondes . . . . . . . . . . . . 43011.4.7 Interprétations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

11.5 Information quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435


Table des matières xi

11.5.1 Théorème de non-clonage quantique . . . . . . . . . . 43511.5.2 Calcul quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43811.5.3 Téléportation quantique . . . . . . . . . . . . . . . . 44411.5.4 Échange d’intrication . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

11.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45311.6.1 Propriétés des opérateurs statistiques . . . . . . . . . 45311.6.2 Structure fine et effet Zeeman du positronium . . . . 45311.6.3 11.6.3 Ondes de spin et magnons . . . . . . . . . . . . 45511.6.4 Écho de spin et décomposition des niveaux

en RMN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45611.6.5 Non unicité de la préparation de l’opérateur statistique

pour le spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45811.6.6 Inégalité de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45811.6.7 États de Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45911.6.8 Photons intriqués en polarisation . . . . . . . . . . . 46011.6.9 Stratégies gagnantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46111.6.10 États de Bell et mesure de Bell . . . . . . . . . . . . . 46211.6.11 États GHZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46211.6.12 Théorème de non-clonage quantique . . . . . . . . . . 46311.6.13 Discrimination entre deux états non

orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46411.6.14 Interférences des temps d’émission . . . . . . . . . . . 46511.6.15 Calcul quantique avec des ions piégés . . . . . . . . . 466

11.7 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469Annexes 471

A Théorème de Wigner et renversement du temps . . . . . . . . 471A.1 Démonstration du théorème . . . . . . . . . . . . . . 472A.2 Renversement du sens du temps . . . . . . . . . . . . 474

B Méthode de Wigner et Weisskopf . . . . . . . . . . . . . . . . 480C Constantes physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484

References x1

Index x11Tome II : Applications et exercices corrigés

Avant-propos xxi

12 Méthodes semi-classiques 48512.1 Propagateurs et fonctions de Green . . . . . . . . . . . . . . . 488

12.1.1 Propagateur de l’équation de Schrödinger . . . . . . . 48812.1.2 Fonctions de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48912.1.3 Propagateur libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

12.2 L’intégrale de Feynman-Kac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49212.2.1 Mouvement brownien et diffusion . . . . . . . . . . . 49212.2.2 Propagateur euclidien et fonction de partition . . . . 496

xii Physique quantique : Fondements

12.2.3 Intégrale de chemin de Feynman . . . . . . . . . . . . 49912.3 Applications de l’intégrale de chemin . . . . . . . . . . . . . . 501

12.3.1 Oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . 50112.3.2 Intégrale de chemin en présence d’un champ

magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50312.3.3 L’effet Aharonov-Bohm . . . . . . . . . . . . . . . . . 506

12.4 L’approximation BKW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50812.4.1 Forme asymptotique de la fonction d’onde . . . . . . 50812.4.2 Formules de raccordement . . . . . . . . . . . . . . . 51112.4.3 Phénomène de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51312.4.4 États liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51512.4.5 Effet tunnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518

12.5 Mécanique quantique dans l’espace de phase . . . . . . . . . . 52212.5.1 Conditions pour une représentation dans l’espace de

phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52212.5.2 La distribution de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . 52312.5.3 Distribution de Wigner pour les états purs . . . . . . 526

12.6 Théorème adiabatique et phases géométriques . . . . . . . . . 52712.6.1 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52712.6.2 Théorème adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52912.6.3 La phase géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532

12.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53412.7.1 Formule de Trotter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53412.7.2 Longueur de corrélation et niveau excité . . . . . . . 53512.7.3 Fonctionnelle génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . 53612.7.4 Propagateur de Feynman et propagateur

euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53612.7.5 Équation de Schrödinger et intégrale de chemin . . . 53712.7.6 Calcul de la fonctionnelles génératrice pour

l’oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . 53712.7.7 Formules de raccordement pour K < 0 . . . . . . . . 54012.7.8 Propriétés de la distribution de Wigner . . . . . . . . 54112.7.9 Évolution temporelle de la distribution de Wigner . . 54112.7.10 Probabilités de transition à l’approximation

adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54212.7.11 Spin 1/2 dans un champ magnétique : relation avec

l’étude générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54412.7.12 Phase de Berry et effet Aharonov-Bohm . . . . . . . . 545

12.8 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545

13 Théorie de la diffusion 54713.1 Section efficace et amplitude de diffusion . . . . . . . . . . . . 548

13.1.1 Sections efficaces différentielle et totale . . . . . . . . 54813.1.2 Amplitude de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . 550


Table des matières xiii

13.2 Ondes partielles et déphasages . . . . . . . . . . . . . . . . . 55313.2.1 Développement en ondes partielles . . . . . . . . . . . 55313.2.2 Diffusion à basse énergie . . . . . . . . . . . . . . . . 55713.2.3 Potentiel effectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56113.2.4 Diffusion neutron-proton à basse énergie . . . . . . . 563

13.3 Diffusion inélastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56513.3.1 Théorème optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56513.3.2 Potentiel optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568

13.4 Développements formels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57013.4.1 Équation intégrale de la diffusion . . . . . . . . . . . 57013.4.2 Matrice T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57213.4.3 Diffusion d’un paquet d’ondes . . . . . . . . . . . . . 575

13.5 Théorie opératorielle de la diffusion . . . . . . . . . . . . . . . 57713.5.1 Équations de Lippman-Schwinger . . . . . . . . . . . 57713.5.2 Matrice T et matrice S . . . . . . . . . . . . . . . . . 58113.5.3 Collisions inélastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58413.5.4 Symétries de la matrice T . . . . . . . . . . . . . . . 588

13.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59113.6.1 Pic de Gamow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59113.6.2 Diffusion de neutrons de basse énergie par une molécule

d’hydrogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59313.6.3 Propriétés analytiques de l’amplitude de diffusion

neutron-proton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59413.6.4 Approximation de Born . . . . . . . . . . . . . . . . . 59613.6.5 Optique neutronique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59613.6.6 Section efficace d’absorption de neutrinos . . . . . . . 59913.6.7 Non hermiticité de H0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60113.6.8 Unitarité et théorème optique . . . . . . . . . . . . . 60113.6.9 Opérateurs de Møller . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603

13.7 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604

14 Particules identiques 60514.1 Bosons et fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606

14.1.1 Symétrie ou antisymétrie du vecteur d’état . . . . . . 60614.1.2 Spin et statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612

14.2 Diffusion de particules identiques . . . . . . . . . . . . . . . . 61614.3 États collectifs de fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619

14.3.1 Le gaz de Fermi à température nulle . . . . . . . . . . 61914.3.2 Opérateurs de création et d’annihilation . . . . . . . 62114.3.3 Opérateurs de champ et hamiltonien . . . . . . . . . 62414.3.4 Autres formes du hamiltonien . . . . . . . . . . . . . 629

14.4 États collectifs de bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63214.4.1 La condensation de Bose-Einstein . . . . . . . . . . . 63214.4.2 L’équation de Gross-Pitaevskii . . . . . . . . . . . . . 635


xiv Physique quantique : Fondements

14.4.3 L’approximation de Bogoliubov . . . . . . . . . . . . 63814.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642

14.5.1 Particule Ω− et couleur . . . . . . . . . . . . . . . . . 64214.5.2 Parité du méson π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64214.5.3 Fermions de spin 1/2 dans un puits infini . . . . . . . 64314.5.4 Désintégration du positronium . . . . . . . . . . . . . 64314.5.5 Lame séparatrice et fermions . . . . . . . . . . . . . . 64414.5.6 Fonctions d’onde et opérateurs de champ . . . . . . . 64414.5.7 Hiérarchie BBGKY et approximation de

Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64514.5.8 Approximation semi-classique pour la condensation

dans un piège . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64814.6 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649

15 Atomes à un électron 65115.1 Méthodes d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651

15.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65115.1.2 Cas d’une valeur propre simple de H0 . . . . . . . . . 65315.1.3 Cas d’un niveau dégénéré . . . . . . . . . . . . . . . . 65415.1.4 Méthode variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 655

15.2 Atomes à un électron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65715.2.1 Niveaux d’énergie en l’absence de spin . . . . . . . . . 65715.2.2 Structure fine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65715.2.3 Effet Zeeman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66015.2.4 Structure hyperfine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662

15.3 Manipulation d’atomes par laser . . . . . . . . . . . . . . . . 66415.3.1 Équations de Bloch optiques . . . . . . . . . . . . . . 66415.3.2 Forces dissipatives et forces réactives . . . . . . . . . 66815.3.3 Refroidissement Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . 67015.3.4 Piège magnétooptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67615.3.5 Fontaines atomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677

15.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67915.4.1 Perturbation au second ordre et forces

de van der Waals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67915.4.2 Corrections d’ordre α2 aux niveaux d’énergie . . . . . 68015.4.3 Atomes muoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68215.4.4 Atomes de Rydberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68315.4.5 Terme diamagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684

15.5 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685

16 Atomes complexes et et molécules 68716.1 L’atome à deux électrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687

16.1.1 L’état fondamental de l’atome d’hélium . . . . . . . . 68716.1.2 États excités de l’atome d’hélium . . . . . . . . . . . 690

16.2 Modèle en couches de l’atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691

Table des matières xv

16.2.1 Potentiel effectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69216.2.2 Couplage spin-orbite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694

16.3 Molécules diatomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69616.3.1 Fonctions d’onde électroniques . . . . . . . . . . . . . 69616.3.2 Niveaux de rotation-vibration . . . . . . . . . . . . . 699

16.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70016.4.1 États np3 permis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70016.4.2 Théorème de non croisement des niveaux . . . . . . . 70116.4.3 Structure hyperfine du deutérium . . . . . . . . . . . 70116.4.4 Modèle en couches du noyau atomique . . . . . . . . 703

16.5 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705

17 Champ électromagnétique quantifié 70717.1 Quantification du champ électromagnétique . . . . . . . . . . 707

17.1.1 Quantification d’un mode . . . . . . . . . . . . . . . . 70817.1.2 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711

17.2 États du champ électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . 71817.2.1 Fluctuations quantiques du champ

électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71817.2.2 Lames séparatrices et détection homodyne . . . . . . 72217.2.3 Hamiltonien de Jaynes-Cummings . . . . . . . . . . . 726

17.3 Interaction atome-champ électromagnétique . . . . . . . . . . 73017.3.1 Théorie semi-classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73117.3.2 Approximation dipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . 73317.3.3 Effet photoélectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73517.3.4 Champ électromagnétique quantifié : émission

spontanée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73717.3.5 Décohérence par émission de photons . . . . . . . . . 743

17.4 Corrélations de photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74617.4.1 Détection de photons et fonctions de corrélation . . . 74617.4.2 Cohérences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74917.4.3 Expérience de Hanbury Brown et Twiss . . . . . . . . 752

17.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75517.5.1 Potentiels scalaire et vecteur en jauge

de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75517.5.2 Dépendance temporelle du coefficient de Fourier

classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75517.5.3 Relations de commutation du champ

électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75617.5.4 Détection homodyne et lame séparatrice

déséquilibrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75617.5.5 Oscillations de Rabi dans une cavité . . . . . . . . . . 75717.5.6 Effet Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75817.5.7 Observation non destructive de photons . . . . . . . . 759


xvi Physique quantique : Fondements

17.5.8 Cohérences et interférences . . . . . . . . . . . . . . . 76317.5.9 Forces réactives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76317.5.10 Capture radiative de neutrons par l’hydrogène . . . . 76517.5.11 L’expérience de Badurek et al. . . . . . . . . . . . . . 767

17.6 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769

18 Systèmes quantiques ouverts 77118.1 Superopérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773

18.1.1 Représentation de Kraus . . . . . . . . . . . . . . . . 77318.1.2 Modèle pour l’amortissement de phase . . . . . . . . 777

18.2 Équations pilotes : la forme de Lindblad . . . . . . . . . . . . 77918.2.1 L’approximation markovienne . . . . . . . . . . . . . 77918.2.2 L’équation de Lindblad . . . . . . . . . . . . . . . . . 78118.2.3 Exemple : l’oscillateur harmonique amorti . . . . . . 783

18.3 Couplage à un bain thermique d’oscillateurs . . . . . . . . . . 78518.3.1 Équations d’évolution exactes . . . . . . . . . . . . . 78518.3.2 Déduction de l’équation pilote . . . . . . . . . . . . . 78718.3.3 Relaxation d’un système à deux niveaux . . . . . . . 79018.3.4 Mouvement brownien quantique . . . . . . . . . . . . 79318.3.5 Décohérence d’un paquet d’ondes . . . . . . . . . . . 798

18.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79918.4.1 La transposition n’est pas complètement positive . . . 79918.4.2 Représentation de Kraus pour le modèle

d’émission spontanée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80018.4.3 Modèle de dépolarisation . . . . . . . . . . . . . . . . 80018.4.4 Amortissements de phase et d’amplitude . . . . . . . 80118.4.5 Détails de la preuve de l’équation pilote . . . . . . . . 80118.4.6 Superposition d’états cohérents . . . . . . . . . . . . 80218.4.7 Dissipation dans un système à deux niveaux . . . . . 80418.4.8 Approximation séculaire et équation de Lindblad . . . 80418.4.9 Modèles simples de relaxation . . . . . . . . . . . . . 80518.4.10 Un autre choix pour la fonction spectrale J(ω) . . . 80618.4.11 L’équation de Fokker-Planck-Kramers pour une

particule brownienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80618.5 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807

19 Physique quantique relativiste 80919.1 Les groupes de Lorentz et de Poincaré . . . . . . . . . . . . . 810

19.1.1 Transformations de Lorentz spéciales . . . . . . . . . 81019.1.2 Produit scalaire de Minkowski . . . . . . . . . . . . . 81119.1.3 Groupe de Lorentz connexe . . . . . . . . . . . . . . . 81419.1.4 Relation avec le groupe SL(2,C) . . . . . . . . . . . . 81519.1.5 Cinématique relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . 818

19.2 L’analyse de Wigner : masse et spin des particules . . . . . . 81919.2.1 Algèbre de Lie du groupe de Poincaré . . . . . . . . . 819


Table des matières xvii

19.2.2 États à une particule : masse et spin . . . . . . . . . 82419.2.3 Particules de masse non nulle . . . . . . . . . . . . . . 82719.2.4 Particules de masse nulle . . . . . . . . . . . . . . . . 829

19.3 L’équation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83219.3.1 Construction de l’équation de Dirac . . . . . . . . . . 83219.3.2 Courants de de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83819.3.3 Courant de Dirac en présence d’un champ

électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84019.3.4 Le hamiltonien de structure fine . . . . . . . . . . . . 84319.3.5 L’atome d’hydrogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845

19.4 Symétries de l’équation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . 85119.4.1 Invariance de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85119.4.2 Parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85219.4.3 Conjugaison de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . 85319.4.4 Inversion du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854

19.5 Quantification du champ de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . 85519.5.1 Ondes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85519.5.2 Champ de Dirac quantifié . . . . . . . . . . . . . . . . 85719.5.3 Hamiltonien du champ de Dirac . . . . . . . . . . . . 858

19.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86019.6.1 Décomposition polaire d’une transformation

de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86019.6.2 Relations de commutation des Jαβ et des Pμ . . . . . 86119.6.3 Rotation de Thomas-Wigner et précession

de Thomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86119.6.4 Relation de commutation des Jμν et des Wλ . . . . . 86519.6.5 Cas de la masse nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86619.6.6 Courant de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . 86619.6.7 Automorphismes de SL(2,C) . . . . . . . . . . . . . . 86619.6.8 Équation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86719.6.9 Courant de Dirac en présence d’un champ

magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86719.6.10 Transformation de Lorentz d’un spineur

de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86719.6.11 Relations d’orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . 86819.6.12 Relation de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868

19.7 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868

20 Corrigés d’une sélection d’exercices 87120.1 Exercices du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871

1.6.1 Ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8711.6.4 Diffraction de neutrons par un cristal . . . . . . . . . 8731.6.6 Interféromètre à neutrons et gravité . . . . . . . . . . 874


xviii Physique quantique : Fondements

1.6.7 Diffusion cohérente et diffusion incohérente deneutrons par un cristal . . . . . . . . . . . . . . . . . 875

20.2 Exercices du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8762.5.3 Déterminant et trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8762.5.10 Matrices positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8772.5.11 Identités opératorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . 877

20.3 Exercices du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8783.3.1 Polarisation elliptique et détermination

de la polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8783.3.2 Une stratégie optimale pour Ève . . . . . . . . . . . . 8793.3.5 Autres solutions de (3.45) . . . . . . . . . . . . . . . . 8803.3.7 Exponentielles de matrices de Pauli . . . . . . . . . . 8813.3.12 Diffusion de neutrons par un cristal :

noyaux de spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88220.4 Exercices du chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883

4.4.4 Évolution temporelle d’un système à deuxniveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883

4.4.5 Inégalités de Heisenberg temporelles . . . . . . . . . . 8844.4.6 L’énigme des neutrinos solaires . . . . . . . . . . . . . 8854.4.8 Borne de Helstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8864.4.9 Règle de Born généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . 8874.4.10 Le système des mésons K neutres : évolution non

unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88820.5 Exercices du chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889

5.5.3 Le butadiène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8895.5.5 L’ion moléculaire H+

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8915.5.6 Compléments sur la RMN . . . . . . . . . . . . . . . 892

20.6 Exercices du chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8926.4.3 Relations de commutation canoniques . . . . . . . . . 892

20.7 Exercices du chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8947.5.2 Rotations et SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8947.5.4 Algèbre de Lie d’un groupe continu . . . . . . . . . . 8957.5.5 Règle de somme de Thomas-Reiche-Kuhn . . . . . . . 8967.5.8 Hamiltonien dans un champ magnétique . . . . . . . 897

20.8 Exercices du chapitre 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8988.6.2 Étalement du paquet d’ondes . . . . . . . . . . . . . . 8988.6.3 Paquet d’ondes gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . 8998.6.7 Potentiel en fonction δ . . . . . . . . . . . . . . . . . 9018.6.12 Étude de l’expérience de Stern-Gerlach . . . . . . . . 9058.6.13 Modèle de mesure de von Neumann . . . . . . . . . . 906

20.9 Exercices du chapitre 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9079.7.5 Moment angulaire orbital . . . . . . . . . . . . . . . . 9079.7.6 Relation entre les matrices de rotation et les

harmoniques sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . 908


Table des matières xix

9.7.8 Puits sphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9099.7.13 Diffusion de la lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . 9109.7.14 Mesure du moment magnétique du Λ0 . . . . . . . . . 9129.7.15 Production et désintégration du méson ρ+ . . . . . . 9139.7.17 Désintégration du Σ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9169.7.18 Coefficients de Clebsch-Gordan du couplage �L · �S . . 917

20.10 Exercices du chapitre 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91710.4.2 Propriétés mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . 91710.4.3 États cohérents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91810.4.4 Couplage à une force classique . . . . . . . . . . . . . 92110.4.5 Opérateur de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92210.4.7 Transformations de jauge non abéliennes . . . . . . . 924

20.11 Exercices du chapitre 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92511.6.1 Propriétés des opérateurs statistiques . . . . . . . . . 92511.6.2 Structure fine et effet Zeeman du positronium . . . . 92611.6.3 Ondes de spin et magnons . . . . . . . . . . . . . . . 92811.6.4 Écho de spin et décomposition des niveaux en

RMN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93011.6.6 Inégalité de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93111.6.7 États de Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93211.6.8 Photons intriqués en polarisation . . . . . . . . . . . 93311.6.11 États GHZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93411.6.13 Discrimination entre deux états non

orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93411.6.14 Interférences des temps d’émission . . . . . . . . . . . 93511.6.15 Calcul quantique avec des ions piégés . . . . . . . . . 936

20.12 Exercices du chapitre 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93912.7.2 Longueur de corrélation et niveau excité . . . . . . . 93912.7.4 Propagateur de Feynman et propagateur

euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94012.7.6 Calcul de la fonctionnelle génératrice pour

l’oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . 94112.7.10 Probabilités de transition à l’approximation

adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94520.13 Exercices du chapitre 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948

13.5.1 Pic de Gamow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94813.5.2 Diffusion de neutrons de basse énergie par une

molécule d’hydrogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95113.5.3 Propriétés analytiques de l’amplitude de

diffusion neutron-proton . . . . . . . . . . . . . . . . 95213.5.5 Optique neutronique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95813.5.6 Section efficace d’absorption des neutrinos . . . . . . 96013.6.7 Non hermiticité de H0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962

20.14 Exercices du chapitre 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962


x20 Physique quantique : Fondements

ordinaire 75rayonnement du corps noir

(ou thermique) 14, 752rayonnement gaussien 751réduction du paquet d’ondes

122, 430référentiel tournant 162réflexion quantique 34refroidissement Doppler 670refroidissement laser 664registre de données 441registre de résultats 441règle

de Bohr-Sommerfeld 37, 516de Born 117, 148, 395de factorisation 82de Hund 695de sélection 734de supersélection 118d’or de Fermi 284, 738, 792

relationd’anticommutation canonique(RAC) 623, 857de commutation canonique(RCC) 140, 226, 638de commutation du champélectromagnétique 717de commutation du momentangulaire 22, 295de fermeture 55, 207, 245, 277d’Einstein 676, 795de Planck-Einstein 19, 132d’unitarité 569, 584, 601

renormalisation 38, 718renversement du temps 230, 474,

588, 854représentation

chirale 838de Kraus 774des relations de commutation227de Wigner (voir distribution de)irréductible 302projective 216, 225spinorielle 216vectorielle 216

répulsion (ou non-croisement) desniveaux 173, 697

réseau réciproque 43résolvante 62, 491résonance 161, 165, 595

magnétique nucléaire(RMN) 161, 166

rotateur sphérique 307rotation 218

de Thomas-Wigner 823,829, 861de Wick 493, 811

rydberg 38, 316

S

saut quantique 775section efficace

cohérente 598de Rutherford 596différentielle 548élastique 566incohérente 598inélastique 567totale 549, 567

semi-groupe dynamique 783sensibilité d’un détecteur 748séparabilité (d’un espace) 199simplement connexe 224, 815source 501

classique 373de particules 259du champ électromagnétique 11,708

sous-espace d’une valeur propre 57spectre 205

continu 206de rotation 308de niveaux 37, 318discret 206

sphèrede Fermi 621de Poincaré-Bloch 103, 389dure 550

spin 92, 702spin 1/2 92, 161, 303, 329spineur de Dirac 837spineur de Majorana 854


Index x21

spineur de Pauli 833spineur de Weyl 833statistique 609

de Bose, ou de Bose-Einstein609de Fermi, ou de Fermi-Dirac 609de Maxwell-Boltzmann 633

structure fine 454, 657, 694, 843structure hyperfine 663, 701superfluidité 642superopérateur 775superposition cohérente 121, 389,

778superposition incohérente 390, 778surface de Fermi 620symétrie 211

de jauge 375interne 375

symétrisation 611système

à deux niveaux 387à nombre de niveaux fini 140intégrable 517quantique fermé 127, 771quantique ouvert 666, 771

T

téléportation quantique 444température

critique 634de Curie 615de Néel 615de recul 673Doppler 675

tempsde cohérence 186de décohérence 421, 778, 798,803de relaxation 779de relaxation longitudinale T1

167, 772de relaxation transverse T2

167, 456, 772imaginaire (ou euclidien) 493

tenseur complètementantisymétrique d’ordre 3 εijk101, 112

tenseur complètementantisymétrique d’ordre 4εμνρσ 826

tenseur métrique 813terme

d’échange 631de Darwin 682, 845diamagnétique 684direct 631

test 84idéal 120maximal 123

tétrade 827théorème

adiabatique 529d’addition desharmoniques sphériques 310de Bell 403de Bloch 271de Feynman-Hellmann 143d’Ehrenfest 133de Gleason 387de Kochen-Specker 416de nonclonage quantique 87,109, 435de purification de Schmidt 385de représentation de Kraus 776de Stone 208de von Neumann 227de Wigner 215, 472de Wigner-Eckart 337, 350GHJW 392optique 568, 603spin-statistique 612, 859

théoriede Fermi 600de jauge abélienne 376de jauge non abélienne 375des perturbations dégénérée 652des perturbations dépendant dutemps 282des perturbations non dégénérée652, 688électrofaible 600locale 406

trace 55partielle 384


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Physique quantique.… · MICHEL LE BELLAC La physique quantique permet de comprendre en profondeur les phénomènes qui régissent le comportement des solides, des semi-conducteurs,