1. Un rang de données multicolores

2. Deux permutations des n premiers entiers

3. b permutations des k premiers entiers

4. Choix de n points dans [0,1]

TESTS NON PARAMETRIQUES

N positions, s couleurs, Mi points par couleur :

= modèle des suites multicoloresHo : distribution aléatoire des s couleurs dans le rangHa : au moins une couleur a une position différente des autresOn compare les rangs moyens:

RM( ) =

1 2 4 8115

RM( ) = 39/5 RM( ) = 55/5

Test de Kruskal-Wallis

Séries multicolores

Altitude des plants de 3 genres de plantes alpines:

Bleues : 26, 29, 33, 38, 44Blanches : 30, 35, 37, 41, 51Mauves : 34, 42, 45, 49, 53

Effet de l’altitude sur la composition: comparaison de 3 moyennes

En passant aux rangs :Bleues : 1, 2, 4, 8, 11Blanches : 3, 6, 7, 9, 14Mauves : 5, 10, 12, 13, 15

Comparaison de 3 rangs moyens

Test de Kruskal-Wallis

Somme des rangs à s couleursN valeurs, s classes, Mi valeurs dans la classe isomme des rangs de la classe i =SRi = Ri

M i Ni1

s

Ri N(N 1)2i1

s

Principe : comparer les RMi : Ri/Mi

SCE int er M i(RiM i

N 12i1

s

)2

Test de Kruskal-Wallis

Principe

H 12

N(N 1)M i(

RiM i

N 12i1

s

)2

H 12

N(N 1)M i

Ri2

M i2

i1

s

12

N(N 1).2 M i

RiM i

(N 1)2i1

s

12

N(N 1)M i

(N 1)2

4i1

s

H 12

N(N 1)Ri2

M ii1

s

12

NRi

i1

s

3(N 1)N

M i

i1

s

H 12

N(N 1)Ri2

M ii1

s

12

N

N(N 1)2

3(N 1)N

N

Test de Kruskal-Wallis

Statistique H

Si s = 3 et Mi ≤ 5 => table de Kruskal-Wallis

Sinon

H : s 12

Lorsque Ho est rejetée: au moins une moyenne diffère des autres.

Test de Kruskal-Wallis

H 12

N(N 1)Ri2

M ii1

s

3(N 1)

Statistique H

MB = 5 RB = 26MV = 5 RV = 39MR = 5RR = 55

H 12

15(151)(262

5392

5552

5) 3(151)4,22

Table: pour Mi = 5,5,5: H = 8 => = 0,009

H = 4,5 => = 0,102

Hobs = 4,22 => > 0,102

Ho acceptée

Test de Kruskal-Wallis

Exemple

Correction pour ex-aequos

e = nombre de groupes d’ex-aequosui : nombre d’ex-aequos dans le ième groupe

Rang attribué au groupe: rang moyen

Test identique

Test de Kruskal-Wallis

NN

uu

HH e

iii

corr

31

3 )(1

Surfaces foliaires de trois groupes de plantes T, A, B:T: 70, 65, 69, 66, 67, 68, 65, 65, 68, 67 NT = 10A: 65, 67, 66, 67, 69, 65, 64, 64, 68, 65 NA = 10B: 59, 61, 63, 64, 63, 61, 62, 62, 60, 65 NB = 10

59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70B B B B B B B A A A A T B B B A A T A T T A A T T A T T T T

Test de Kruskal-Wallis

Ex-aequos: exemple

59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70Rang 1 2 3,5 5,5 7,5 10 15 19,5 22,5 26 28,5 30ui 2 2 2 3 7 2 4 3 2

RT = 15*3 + 19,5 + … = 220RA = 184RB = 61

(ui3 ui)

i1

e

5(23 2) 2(33 3) ...220

Hcorr = 18,26

H = 17,94

22seuil5,99

Ho rejetée

Test de Kruskal-Wallis

Ex-aequos: exemple

Autres tests sur un rang multicolore

Agrégats de couleurs: nombre de suites multicolores

Regroupements aux deux extrémités: variance des rangs

1 couleur d’un côté: test de Jonckheere

Deux permutations des n premiers entiers

Corrélation non paramétrique

Exemple: 10 élèves classés selon leurs résultats dans deux disciplines

Notes: corrélation rRangs: corrélation des rangs

Histoire Français A 8 10B 1 5C 6 6D 4 8E 3 1F 7 9G 2 4

H 10 7 I 5 2

J 9 3

Relation entre les classements dans les deux disciplines?

Corrélation de rang de Spearman

Basé sur la distance entre les deux permutations:

Histoire Français di8 10 -21 5 -46 6 04 8 -43 1 27 9 -22 4 -210 7 35 2 39 3 6

Distance:

di2

i1

N

-1 ≤ ≤ 1

NN

dN

ii

31

261

Test de

Ho : = 0 absence de corrélation ou indépendanceHa : ≠ 0 corrélation ou dépendance

* N ≤ 30: sous Ho: Table de Spearman

* N > 30: sous Ho:

obs (N 1) :N(0,1)

obs seuil

Corrélation de rang de Spearman

Exemple

= 0,382 seuil (N = 10, = 0,05) = 0,648

Ho acceptée: pas de relation entre les deux classements=> pas de classement consensus des élèves

Corrélation de rang de Spearman

2 permutations = 2 variables: compter les ex-aequos séparément

ui = nombre d’ex-aequos dans le ième groupe

u'(ui

3 ui)12

v'(ui

3 ui)12

Pour la première variable Pour la deuxième variable

Correction pour ex-aequos

Corrélation de rang de Spearman

'12)1('12)1(

)''(66)1(

22

1

22

vNNuNN

vudNNN

ii

corr

b permutations des k premiers entiers

Test de Friedman

Modèle, plan d’expérience

Modèle: b (≥ 3) permutations (critères de jugement) des k premiers entiers (échantillons) : cohérence entre les critères de jugement (corrélation multiple)? Différence entre les échantillons?

Ex: k élèves classés dans b matièresk variétés de café testées par b goûteursk médicaments administrés à b patients

=> ANOVA 2 SR non paramétrique

Présentation des données: b permutations, k échantillons

P1 ……… PbEch 1…Ech i…Ech k

R1

Ri = SR Ech i

(somme des rangs de chaque permutation : k(k+1)/2

Test de Friedman

Statistique

Q12

bk(k 1)Ri2

i1

k

3b(k 1)

Sous Ho:

Q : k 12

Ex-aequos: par critère de jugement (colonne): ui : nombre d’ex-aequos dans la ième permutation

Qcorr Q

1(ui

3 ui)i1

b

bk(k 2 1)

Test de Friedman

Exemple

7 arbres mesurés chacun par 4 méthodes

M1 M2 M3 M4A1 30 17 21 25A2 12 10 18 14A3 18 13 15 12A4 10 11 9 8A5 25 26 23 24A6 18 16 21 22A7 14 12 16 18

Test de Friedman

- comparer les 4 méthodes par 7 critères de jugement (arbres)k = 4, b = 7 (7 permutations en ligne)Ri = 20, 14, 18, 18

Q = 1,629 < Ho acceptée: pas de biais dans les méthodes

- comparer les 7 arbres par 4 critères de jugement (méthodes)k=7, b=4

32 7,815

Exemple

Test de Friedman

Choix de n points dans [0,1]

fobs : distribution observée centrée réduite

fthéor : distribution théorique

T = distance entre

fthéor et fobs

Comparaison de fonctions de répartition

T = max(fobs(i-1)-fthéor(i), fobs (i)-fthéor (i))

T > Tseuil : Ho rejetée

Test de Kolmogorov

fobs(i-1)

fobs(i)

i

Distribution observée x1, x2, …, xn.

Ho : distribution observée conforme à une distribution donnée