2変数の 2次式の標準形について（その１）

⼾瀬　信之

AhPa1 S_PC1*h

kyRR年 y8月 k9⽇ �i 駒場

⼾瀬　信之 UAhPa1 S_PC1*hV 2 変数の 2 次式の標準形について（その１） kyRR 年 y8 月 k9 ⽇ �i 駒場 R f Rj

S 1 . n LOG Part 0 1 .

name

2変数の 2次式

2次実対称⾏列A =

✓a cc b

◆と 2次元⾏ベクトル � = (d e)を⽤い

て、2変数の多項式を

F (x, y) = ax2 + 2cxy + by2 + dx+ ey + f

= (A~v,~v) + �~v + f

と表⽰します。ただし、~v =

✓xy

◆と定めます。

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nnn

→ ←essere circle

ll

c de) (な)

A も 02 の場合 を_ ffも平言終生が消の

平⾏移動座標変換

この式を平⾏移動座標変換✓xy

◆=

✓⇠1⇠2

◆+

✓↵1

↵2

◆

を⽤いて簡単にすることを考えます。

以下では~⇠ =

✓⇠1⇠2

◆, ~↵ =

✓↵1

↵2

◆

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To'

ヨ (主) を 見付け て

平⾏移動座標変換

この式を平⾏移動座標変換✓xy

◆=

✓⇠1⇠2

◆+

✓↵1

↵2

◆

を⽤いて簡単にすることを考えます。

以下では~⇠ =

✓⇠1⇠2

◆, ~↵ =

✓↵1

↵2

◆

⼾瀬　信之 UAhPa1 S_PC1*hV 2 変数の 2 次式の標準形について（その１） kyRR 年 y8 月 k9 ⽇ �i 駒場 j f Rj

o'

で = らが

座標変換の計算

F (x, y) = (A(~⇠ + ~↵), (~⇠ + ~↵)) + �(~⇠ + ~↵) + f

= (A~⇠, ~⇠) + (A~↵, ~⇠) + (~↵, A~⇠) + (A~↵, ~↵)

+�~⇠ + �~↵+ f

= (A~⇠, ~⇠) + 2(A~↵, ~⇠) + �~⇠

+(A~↵, ~↵) + �~↵+ f

= (A~⇠, ~⇠) + (2A~↵+ t�, ~⇠) + F (↵1,↵2)

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で = らが、、

Aら + AT

-

ピー 」

○でが、

鍵に/で晴発にもが二 o とる3. A = も A

|A| 6= 0のとき

2A~↵+ t� = ~0すなわち

~↵ = �1

2A�1t�

とするとF (x, y) = a⇠21 + 2c⇠1⇠2 + b⇠22 + f 0

ただしf 0 = F (↵1,↵2)

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一、

_o

実対称⾏列は回転⾏列で対角化可能

　Aは実対称⾏列なので回転⾏列で対角化可能。回転⾏列R が存在して

tRAR =

✓r 00 s

◆

と対角化できます。

さらに ~⇠ = R~⌘と回転座標変換をすると

(A~⇠, ~⇠) = (AR~⌘, R~⌘) = (tRAR~⌘, ~⌘) = r⌘21 + s⌘22

と変換される。よって

F (x, y) = r⌘21 + s⌘22 + F (↵1,↵2)

となる。

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ではな「

武、

実対称⾏列は回転⾏列で対角化可能

　Aは実対称⾏列なので回転⾏列で対角化可能。回転⾏列R が存在して

tRAR =

✓r 00 s

◆

と対角化できます。

さらに ~⇠ = R~⌘と回転座標変換をすると

(A~⇠, ~⇠) = (AR~⌘, R~⌘) = (tRAR~⌘, ~⌘) = r⌘21 + s⌘22

と変換される。よって

F (x, y) = r⌘21 + s⌘22 + F (↵1,↵2)

となる。

⼾瀬　信之 UAhPa1 S_PC1*hV 2 変数の 2 次式の標準形について（その１） kyRR 年 y8 月 k9 ⽇ �i 駒場 e f Rj

」

」

座標。

具体例

A =

✓2 11 2

◆- b = (�8 � 4) の場合、すなわち

F (x, y) = 2x2 + 2xy + 2y2 � 8x� 4y

の場合は

~↵ = �1

2

✓2 11 2

◆�1✓�8�4

◆= �1

2· 13

✓2 �1�1 2

◆✓�8�4

◆=

✓20

◆

として ~⇠ = ~v � ~↵ と平⾏移動座標変換をすると

F (x, y) = (A~⇠, ~⇠)� 4

となります。

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が惑いが 2型。。 i

-

i 。 三 -i ( )

0 0

gにしに 3

具体例 ULQXkV

Aの固有値は

�A(�) =

������ 2 �1�2 �� 2

���� = (�� 1)(�� 3)

からAの固有値は � = 1, 3

� = 3のときは

A~⇠ = 3~⇠ ,✓

1 �1�1 1

◆✓⇠1⇠2

◆= ~0 , ⇠1 = ⇠2

から~⇠ =

✓⇠1⇠1

◆= ⇠1

✓11

◆

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」

具体例 ULQXkV

Aの固有値は

�A(�) =

������ 2 �1�2 �� 2

���� = (�� 1)(�� 3)

からAの固有値は � = 1, 3

� = 3のときは

A~⇠ = 3~⇠ ,✓

1 �1�1 1

◆✓⇠1⇠2

◆= ~0 , ⇠1 = ⇠2

から~⇠ =

✓⇠1⇠1

◆= ⇠1

✓11

◆

⼾瀬　信之 UAhPa1 S_PC1*hV 2 変数の 2 次式の標準形について（その１） kyRR 年 y8 月 k9 ⽇ �i 駒場 3 f Rj

T.

具体例 ULQXjV

� = 1のときは

A~⇠ = ~⇠ ,✓�1 �1�1 �1

◆✓⇠1⇠2

◆= ~0 , ⇠1 = �⇠2

から~⇠ =

✓�⇠2⇠2

◆= ⇠2

✓�11

◆

~r1 =1p2

✓11

◆- ~r2 = 1p

2

✓�11

◆- R = (~r1 ~r2)と定めると

AR = R

✓3 00 1

◆

⼾瀬　信之 UAhPa1 S_PC1*hV 2 変数の 2 次式の標準形について（その１） kyRR 年 y8 月 k9 ⽇ �i 駒場 N f Rj

具体例 ULQXjV

� = 1のときは

A~⇠ = ~⇠ ,✓�1 �1�1 �1

◆✓⇠1⇠2

◆= ~0 , ⇠1 = �⇠2

から~⇠ =

✓�⇠2⇠2

◆= ⇠2

✓�11

◆

~r1 =1p2

✓11

◆- ~r2 = 1p

2

✓�11

◆- R = (~r1 ~r2)と定めると

AR = R

✓3 00 1

◆

⼾瀬　信之 UAhPa1 S_PC1*hV 2 変数の 2 次式の標準形について（その１） kyRR 年 y8 月 k9 ⽇ �i 駒場 N f Rj

一健がAR = (た )

具体例 ULQX9V

このとき ~⇠ = R~⌘と定めると

F (x, y) =

✓✓3 00 1

◆~⌘, ~⌘

◆� 4 = 3⌘21 + ⌘22 � 4

⼾瀬　信之 UAhPa1 S_PC1*hV 2 変数の 2 次式の標準形について（その１） kyRR 年 y8 月 k9 ⽇ �i 駒場 Ry f Rj

G と

の

.

o'

• °

。

|A| 6= 0のときの等⾼線 F (x, y) = C

|A| = rs > 0のときは楕円、1点、空集合が出てくる

|A| = rs < 0のときは双曲線（例外的に、2直線）が出てくる

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M-

武井、h S > o wfで toiで t には) = C

.

r = WF, B = of C - FCの〉oた者 用

やー 、= 0 1点 oが

? こた ftp.i

|A| 6= 0のときの等⾼線 F (x, y) = C

|A| = rs > 0のときは楕円、1点、空集合が出てくる

|A| = rs < 0のときは双曲線（例外的に、2直線）が出てくる

⼾瀬　信之 UAhPa1 S_PC1*hV 2 変数の 2 次式の標準形について（その１） kyRR 年 y8 月 k9 ⽇ �i 駒場 RR f Rj

-

rso.se o wfで_ wiな C-下に)

r = w し、s = - of C - FCの キ o の間約一

二 o 三車に近刮、hhyn 交わる 2直線 r

|A| = 0のときの等⾼線

|A| = rs = 0のとき、r 6= 0, s = 0の場合（注意）r = s = 0のときはA = 0となる

ある回転⾏列Rに対して

AR = R

✓r 00 0

◆

と対角化できる。~v = R~⇠とすると

F (x, y) = r⇠21 + bR~⇠ + f

ここで bR = (d0 e0)とすると

F (x, y) = r⇠21 + d0⇠1 + e0⇠2 + f

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Part 02e

A = (と)

FIJI aitていytey +4も (か ) + J= (A しない なら ) +4 f 、 しな ) t 5 .

ヨ P : 回転 が AP = GO ) とできる 。

OS

1 が API = rs 。磯訕 比がいい 点橤い

o =には、 後 1)

|A| = 0のときの等⾼線

|A| = rs = 0のとき、r 6= 0, s = 0の場合（注意）r = s = 0のときはA = 0となる

ある回転⾏列Rに対して

AR = R

✓r 00 0

◆

と対角化できる。~v = R~⇠とすると

F (x, y) = r⇠21 + bR~⇠ + f

ここで bR = (d0 e0)とすると

F (x, y) = r⇠21 + d0⇠1 + e0⇠2 + f

⼾瀬　信之 UAhPa1 S_PC1*hV 2 変数の 2 次式の標準形について（その１） kyRR 年 y8 月 k9 ⽇ �i 駒場 Rk f Rj

(な)= R (䚯(A呦 (別

iii._ r

sippo" TR)がこ いでぼ .

0

|A| = 0のときの等⾼線

e0 6= 0のときの等⾼線は、軸が ⇠2軸に平⾏な放物線

e0 = 0のときの ⇠2軸に平⾏な 2直線、1直線、または空集合

⼾瀬　信之 UAhPa1 S_PC1*hV 2 変数の 2 次式の標準形について（その１） kyRR 年 y8 月 k9 ⽇ �i 駒場 Rj f Rj

簿が一

-D.

2+ d'

S、+幽な

一

二 dii.琴髟珪* 。

二 一 三〇 ( ち、一 *がた 褧の

|A| = 0のときの等⾼線

e0 6= 0のときの等⾼線は、軸が ⇠2軸に平⾏な放物線

e0 = 0のときの ⇠2軸に平⾏な 2直線、1直線、または空集合

⼾瀬　信之 UAhPa1 S_PC1*hV 2 変数の 2 次式の標準形について（その１） kyRR 年 y8 月 k9 ⽇ �i 駒場 Rj f Rj

陛癱に 直線

る、こ だに

い ず + d'

S、t.tt = C

'

et'

に- i +武 で

|A| = 0のときの等⾼線

e0 6= 0のときの等⾼線は、軸が ⇠2軸に平⾏な放物線

e0 = 0のときの ⇠2軸に平⾏な 2直線、1直線、または空集合

⼾瀬　信之 UAhPa1 S_PC1*hV 2 変数の 2 次式の標準形について（その１） kyRR 年 y8 月 k9 ⽇ �i 駒場 Rj f Rj