1

2. Les coûts de production : niveau de production optimal. Hypothèses du raisonnement de l’entrepreneur dans le choix de la technique de production (puis dans le choix du niveau) :

- maximiser le profit (défini par la différence entre valeur des ventes et coût des facteurs de production)

- les prix des facteurs sont des données sur lesquelles il n’a aucune influence - pas de limites aux quantités de facteurs disponibles - pas de limite quantitative à la production.

Ces différentes hypothèses (sauf la 1ère) correspondent à une hypothèse fondamentale sur les conditions de fonctionnement du marché (concurrence pure et parfaite). a) Le choix optimal de techniques : le profit s’écrit

1 1 1 2

1 1 1 2

...

...

m m

m m m l m l

py

z z z

z z z

où les j sont les prix de facteurs, respectivement variables (jusqu’au m) et fixes au-

delà (à court terme) ; - la maximisation du profit consiste au choix du volume de production et des

quantités de facteurs nécessaires pour obtenir ce volume compte tenu des contraintes de la technique existante

- séparation des 2 choix : niveau de y considéré comme donné (cf. plus loin), le problème d’optimisation se réduit minimiser les coûts des quantités de facteurs qui permettent d’obtenir ce niveau.

o le problème d’optimisation : minimiser le coût de production sous la contraintes des techniques

existantes, soit

1 1 2 2

1 2

...

avec , ,...,

m m

m

Min z z z

f z z z y

les z sont les solutions (les autres éléments sont des constantes) o 2 facteurs : représentation usuelle

le niveau de production est représenté par l’isoquante

2

substituabilité des facteurs puisque les 2 combinaisons {0} et {1}

permettent d’atteindre le niveau de production recherché le coût de la production dû aux facteurs de production est

1 1 2 2z z C

c’est l’équation d’une droite dont la pente déterminée par le rapport des prix de facteurs

12 1

2 2

Cz z

3

π1

à chaque niveau de production possible correspond une droite d’isocoût : parallèles pour un rapport de prix donné

combinaison optimale :

4

c’est le point de l’isoquante situé sur le plus bas isocoût, soit A : du fait de la convexité des isoquantes c’est le point de tangence avec un isocoût

d’où la propriété majeure : la tangente à une isoquante représente le taux marginal de substitution technique entre facteurs qui est égal au rapport des productivités marginales des facteurs, donc

1 1

2

2

f

z

f

z

ou encore

1 2

1 2

f f

z z

soit l’égalité des productivités marginales de facteurs pondérées par leur prix

l’égalité du TMST et du rapport des prix correspond au choix de l’entrepreneur face aux éléments qu’il doit prendre comme des données :

o le TMST représente le rapport selon lequel l’entrepreneur substitue un facteur à l’autre en maintenant inchangé le volume de production (1ère contrainte)

o le rapport des prix indique comment on peut remplacer un facteur par l’autre en restant au minimum de coût de la production (2ème)

o l’égalité assure bien la solution optimale : 2 objectifs satisfaits avec une combinaison de facteurs

cas de facteurs complémentaires : situation comparable à ce qui a été vu pour le consommateur

o pas de possibilité de calculer le TMST (dérivée pas définie) o pourtant la solution est bien définie : l’isocoût qui passe par

le sommet de l’angle droit représenté par l’isoquante définissant le niveau de production

- variation des prix de facteurs et du niveau de production : déplacement de la

solution optimale

5

entre la situation {0} et la situation {1} le rapport des prix 1

2

s’est élevé

(production inchangée), les isocoûts pivotent le long de l’isoquante ; on passe de A à A’ : substitution du facteur 2 au facteur 1 selon le changement du rapport des prix ;

si le niveau de la production change pour des prix de facteurs inchangés on obtient

6

- Solution analytique : combinaison optimale obtenue par la méthode du

lagrangien

1 1 2 2

1 2

...

, ,...,

m m

m

L z z z

y f z z z

- les solutions annulent les dérivées partielles par rapport à chaque facteur, soit

0 1...j

j

fj m

z

d’où la solution obtenue par l’étude graphique : égalité de toutes les productivités marginales pondérées par les prix :

1 2

1 2

... m

m

ff f

zz z

- les prix des facteurs et le niveau de la production étant considérés comme des données extérieures par rapport au choix de la combinaison de facteurs, on peut écrire la fonction de demande d’un facteur :

1 2, ,..., ,j j mz z y

7

- Application : o fonction de production de type Cobb-Douglas

1 2 avec 0, 0 1, 0 1y az z a

le problème s’écrit

1 1 2 2

1 2avec

Min z z

y az z

plutôt que d’utiliser le lagrangien on peut simplement intégrer la contrainte dans la fonction à minimiser : on exprime z2 à partir de la fonction de production et on remplace dans la fonction de coût que l’on minimise (une seule variable : une seule dérivée à calculer et à annuler), soit

1 1

1 1 2 1z a y z

on annule la dérivée de cette fonction de z1

1 1

1 2 1 0a y z

on obtient finalement les 2 fonctions de demande de facteurs

1 1

2

1 1 2

1

1 1

1

2 1 2

2

, ,

, ,

z y a y

z y a y

- Notion d’élasticité de substitution : o fonction de production homogène : isoquantes homothétiques, donc la

combinaison des facteurs ne dépend que du rapport des prix

8

le niveau de la production s’élève pour des prix inchangés, la combinaison des facteurs conserve le même rapport entre les quantités des 2 facteurs ; on peut écrire

2 1

1 2

zk

z

si le rapport des prix augmente (hausse du prix du facteur 1 relativement à celui du facteur 2) on substitue du facteur 2 au facteur 1, donc le rapport des quantités augmente, on utilise relativement plus de facteur 2 ; o par exemple si les 2 facteurs sont respectivement le travail et le capital, la hausse

du rapport des prix s’interprète comme la hausse du taux de salaire par rapport au coût du capital (intérêts versés par exemple) ; elle se traduit par une hausse du rapport capital/travail, on substitue du capital au travail (techniques « plus capitalistiques »)

o l’élasticité de substitution mesure la plus ou moins grande substituabilité des facteurs, on l’écrit :

2 1

2 1

1 2

1 2

/

/

/

/

d z z

z z

d

c’est la sensibilité du rapport des quantités de facteurs à une variation du rapport de leur prix

9

à gauche forte substituabilité, à droite faible o Exemple pour une fonction Cobb-Douglas

1 2y az z

on écrit l’égalité du rapport des prix de facteurs au TMST soit 1

1 1 2 2

1

2 11 2

a z z z

za z z

que l’on peut écrire

2 1

1 2

1 2

/z

kz

la dérivée de cette fonction par rapport au rapport des prix est

1 2' /k

d’où l’élasticité de substitution, produit de cette dérivée par le rapport 1 2

2 1

/

/z z

1

o Exemple d’une fonction CES :

1

1 2y az bz

l’égalité du rapport des prix avec le TMST s’écrit

10

1

1 1

1

2 2

az

bz

ce que l’on peut transformer en

1

12 1

1 2

1 2

/z b

kz a

dont on calcule la dérivée par rapport à cette variable, le rapport des prix de facteurs

11

1 2

2

' /1

bbk

a a

et finalement l’élasticité de substitution s’écrit

11 1

2 2

1

11

2

1 1

1

bb

a a

b

a

- Exercices : o Fonction de production d’une entreprise, un seul input

4f x x

coût de l’unité d’input : 50, prix du produit : 100 écrire la fonction de profit en termes d’input

400 50x x

quantité optimale d’input ? quelle production ? quantité qui annule la dérivée première de la fonction de profit :

1

21

400 50 02

x

200 20050 soit 4 16 et donc 16

50x x y

x

profit maximal : 1600-800=800 taxe sur le produit (prélèvement) de 20 et subvention de l’input de 10

(réduction du prix) : quelles nouvelles conditions d’équilibre ? Nouvelle fonction de profit

80*4 40x x qui fournit les mêmes solutions x=16 et donc

y=16 mais le profit est maintenant de 640

11

au lieu de taxe+subvention impôt sur le bénéfice de 50 % : quel effet sur la production ?

en fait même fonction qu’au début et prélèvement sur le profit obtenu : donc même solution en termes de quantités d’inputs et d’outputs (16), mais profit après impôts réduit à 400.

o soit la fonction de production : f(K,L)=0.5 L + K1/2 quel type de rendements d’échelle ?

on compare Q=0.5L+K1/2 avec Q’=0.5(L)+(K)1/2 , si >1 l’accroissement

enregistré par Q’ est moins que proportionnel du fait de l’accroissement

produit par le capital : 1/2 , donc rendements d’échelle décroissants

pour K=4 quelle productivité moyenne du travail ? Quelle productivité marginale ?

- la fonction peut s’écrire Q(L,4) = 0.5L + 2 d’où PML = 0.5 + 2/L

- la productivité marginale est la dérivée de la fonction Q(L,4) par rapport au travail soit PmL = 0.5

o fonction de production Q=K1/2 L1/2 si les machines augmentent de 1 % comment augmente la production ? calcul de l’élasticité :

1/ 2 1/ 2

1/ 2 1/ 2

1 1 1

2 2 2

Q

Q K K KQe K L

K K Q KK L

K

la production augmente de 0.5 %

12

b) Les courbes de coûts : elles sont un élément majeur dans la détermination du niveau de production pour obtenir un profit maximal avec une technique de production choisie et compte tenu du prix du produit fixé par le marché. Les différents facteurs intervenant dans la production n’ont pas le même impact sur le coût de la production : coûts fixes et coûts variables

o coûts fixes : indépendants du niveau de la production, quel que soit le niveau du produit (coûts de création de la société, en courte période tout élément de capital fixe : installations, gros équipements)

o autres coûts varient avec le niveau de produit Les coûts (en général) dépendent des prix des facteurs : ces prix sont des données pour le producteur ; pour une fonction de production de type Cobb-Douglas on peut écrire la fonction de coût total avec pour variables les prix et le volume de production

1 1

1 2 1 2, ,CT y a y

mais, du fait de l’impossibilité pour le producteur d’influer sur les prix de facteurs, il suffit d’exprimer le coût total comme une fonction du niveau du produit y. On peut écrire

CT(y)=CF + CV(y) - la fonction de coût variable est une fonction croissante du produit obtenu : elle a sans doute une dérivée non décroissante (productivité marginale décroissante et un seul facteur modifiable en courte période : obligé de produire davantage avec des unités supplémentaires ayant une productivité de moins en moins forte).

13

1) Coût total et coût moyen

La courbe de coût total a une dérivée positive à partir d’un seuil (y0) : expliqué par ses composantes. On peut calculer le coût de chaque unité produite en décomposant les différents éléments de coût :

14

- coût moyen

M

CT yC y

y , décroissant puis croissant

- coût fixe moyen M

CFCF y

y , strictement décroissant ; le coût, par

construction est indépendant du volume de production ;

- coût variable moyen

M

CV yCV y

y , décroissant puis croissant ; meilleure

organisation de la production dans les premiers stades de l’activité ; ensuite tendance à la hausse des coûts variables par unité (facteurs fixes qui rendent la production moins efficace) 2) Coût marginal : dérivée première de la fonction de coût total ; exprime comment varie le coût pour une petite variation du produit

o peut s’écrire

c y c y y c y

Cm yy y

o en fait correspond à la partie variable des coûts o peut s’exprimer comme le coût de l’unité de produit supplémentaire (bien

exprimé en termes discrets) mais, plus généralement, c’est un taux de variation

o évolution du coût marginal par rapport aux autres coûts :

dans la première partie de la croissance du produit : il ne contient que l’accroissement de la partie variable des coûts, donc plus faible que le coût moyen (contient aussi le poids des coûts fixes)

tant que les coûts moyens sont décroissants le coût marginal est plus faible que le coût moyen : la moyenne baisse parce que l’on ajoute aux coûts des montants unitaires plus faibles que la moyenne

lorsque les coûts moyens sont croissants la courbe de coût marginal est au-dessus de la courbe de coût moyen, raisonnement symétrique du précédent

donc la courbe de coût marginal coupe la courbe de coût moyen à son point minimum : on écrit la dérivée de la fonction de coût

moyen (fonction de fonctions 2

' 'U U V UV

V V

)

2 2

''

m

M

CT y y CT y C y y CT yC y

y y

soit 1

'M m MC y C y C yy

cette dérivée est nulle

quand les coûts moyen et marginal sont égaux, c’est à dire quand la courbe de coût marginal coupe la courbe de coût moyen

on peut montrer un résultat similaire pour la courbe de coût variable moyen par rapport à la courbe de coût marginal

15

c) Passage des fonctions de coûts de courte période aux fonctions de longue période. o fonctions de longue période : les coûts fixes deviennent plus ou moins

variables quand on allonge la période d’analyse le long terme n’est pas défini par une durée précise mais par ce

qui est analysé le très long terme peut correspondre à la durée de vie de

l’entreprise : à ce moment tous les coûts deviennent variables puisque la production devient nulle quand elle se retire du marché

plus couramment : caractère fixe des installations qui est remis en question dans le long terme, donc temps nécessaire pour que l’entreprise puisse faire varier cette donnée

une définition plus courte du long terme peut être de faire varier l’équipement productif (machines) ou même simplement l’emploi (plutôt que d’accroître l’intensité du travail existant)

on peut définir simplement le coût moyen de court terme : coût unitaire de la production

compte tenu des facteurs fixes disponibles le coût moyen de long terme : coût unitaire obtenu lorsque

tout les facteurs peuvent varier les coûts marginaux correspondant sont le coût de l’unité

supplémentaire quand certains facteurs sont fixes ou quand tout est variable

o économies et déséconomies d’échelle : proximité avec le type des rendements d’échelle

économies d’échelle : l’augmentation de la production permet de réduire le coût unitaire, soit des coûts moyens à long terme décroissants facteurs : meilleure spécialisation des tâches, indivisibilités de

certains équipements, certaines caractéristiques des technologies utilisées, décroissance des frais fixes

déséconomies d’échelle : augmentation des coûts moyens à long terme symétriquement on trouve : la lourdeur de l’appareil

administratif, complexité de l’organisation de la production ne pas mélanger avec des contraintes liées à la forme du

marché (conditions de concurrence, pouvoir de marché)

16

On peut montrer que la situation de rendements d’échelle croissant correspond à une phase d’économies d’échelle et inversement ;

o passage de la courte à la longue période : on peut représenter des situations successives de l’entreprise ; pour chaque niveau de facteur fixe (0,1,2) l’entreprise fixe ses conditions optimales de production ;

o l’enveloppe définie par la succession des morceaux de courbes de coûts à court terme est la courbe de coûts à long terme lorsque différents niveaux de facteurs fixes sont utilisés

17

o passage continu : la courbe de coût à long terme peut être une courbe

continue si sur la longue période les facteurs fixes peuvent varier de cette manière

o coûts moyens et marginaux

18

Mêmes raisonnements avec les courbes de coûts moyens et de coûts marginaux : ces coûts à long terme sont simplement les coûts de court terme définis à partir de la quantité optimale de facteurs fixes

o

19

- Applications :

o coût économique (ou coût d’opportunité) et coût réel un étudiant peut acheter un billet pour un match pour un prix

de 6, en faisant la queue 1/2h il travaille à temps partiel pour un salaire de 8, assister au

match lui prend 4h il peut revendre 20 ce billet au lieu d’assister au match comparer les coûts économiques de chaque décision coût économique de l’achat : 6 + 4 (1/2h non travaillée en

faisant la queue) coût économique du match : 20 (billet non revendu) + 32

(équivalent de 4h de travail) = 52 s’il travaille le jour du match intérêt à acheter le billet ? coût économique du billet 10 pour un prix de vente de 20

o Atelier de réparation dont la fonction de coût est CT(s) = 2s2 + 10 pour une production s

calculer CVT, CFT, CVM, CFM, CTM et Cm CVT = 2s2

CFT = 10 CVM = 2s CFM = 10/s CTM =2s + 10/s Cm = 4s

o Choix entre 3 installations de production de surface 200, 500 et 1000 avec un loyer unitaire de 1 ; on suppose que les coûts variables supportés pour une production de y sont CV(y)=y2 / F, où F est la surface louée

fonctions de Cm et CM pour F=200 ; quantité de produit qui minimise le coût moyen ; CM de cette quantité

CT= y2 / F + F donc Cm= 2 y / 200= y / 100 CM= y / 200 + 200 / y annulation de la dérivée de cette fonction 1/200- 200/y2 = 0 d’où y2 =200 x 200 donc y = 200 le CM de cette quantité est 200/200+200/200=2

mêmes questions pour 500 et 1000 Cm= 2 y / 500= y / 250 CM= y / 500 + 500 / y y=500 CM=2 idem avec 1000 : 3 courbes de coûts à court terme permettant de définir les courbes de long terme.

20

d) Fonction d’offre et maximisation du profit. On construit la fonction d’offre de l’entreprise à partir de la fonction de coût sur la

base de l’hypothèse d’une maximisation du profit dans des conditions données de concurrence : ces conditions constituent des contraintes.

1) Contraintes imposées

o techniques de productions disponibles : à un moment donné quelques techniques disponibles entre lesquelles l’entreprise peut choisir, compte tenu des prix de facteurs

o concurrence sur le marché : la concurrence parfaite demande du marché et demande à l’entreprise : l’entreprise

peut pratiquer le prix qu’elle veut mais elle ne peut pas contraindre les acheteurs à se fournir chez elle

si elle pratique un prix plus élevé : pas d’acheteur

si elle fixe un prix plus bas : peut théoriquement capter toute la demande (voir conditions de fonctionnement, jeu de la concurrence et élimination du marché)

concurrence parfaite :

grand nombre d’entreprises de petite taille

produit homogène

libre circulation des facteurs

techniques disponibles pour toute entreprise 2) Le choix du niveau de production optimal

o la règle d’optimisation : l’entrepreneur maximise son profit soit

Max py c y

tant que l’entreprise enregistre une recette supplémentaire supérieure à ce que coûte la production de cette unité elle a intérêt a accroître le niveau produit

l’équilibre est atteint lorsque la recette marginale est égale au coût marginal

en concurrence parfaite la recette marginale est toujours égale au prix du marché par définition : l’entreprise ne peut pas influer sur le prix du marché (trop petite taille, produit homogène, libre entrée)

si p est constant on peut écrire

R p y

Rp

y

d’où la règle de maximisation du profit

Rm p Cm y

graphiquement : le point d’intersection de la droite de prix avec la courbe de coût marginal donne la quantité optimale ; à ce niveau de production correspond un coût moyen : l’écart entre

21

ce coût et le prix du marché donne le profit par unité produite, à multiplier par la quantité pour obtenir le profit total (rectangle) ;

o exceptions la droite de prix coupe la courbe de coût marginal en 2 points :

le point optimal ne peut pas être celui qui est situé dans la phase des coûts décroissants (le profit peut être augmenté en accroissant la production)

le prix ne dépasse pas le seuil de fermeture : les pertes sont égales aux coûts fixes plus les coûts variables créés par la production ; il vaut mieux sortir du marché et ne pas produire : pertes limitées aux coûts fixes.

3) La courbe d’offre

Le profit réalisé est représenté par le rectangle hachuré : pour chaque unité vendue c’est l’écart entre coût moyen et niveau du prix

o On appelle seuil de rentabilité le niveau p1 : au delà de ce seuil le profit net est positif

o On appelle seuil de fermeture le niveau p0 : en-dessous les simples coûts variables impliqués par la production ne sont pas couverts

22

Dans ce cas l’entreprise enregistre une perte (rectangle hachuré) : le prix est

inférieur au coût moyen ; les coûts variables sont quand même couverts par le prix p

o la courbe d’offre

elle correspond à la courbe de coût marginal à partir du seuil de fermeture. o courbe inverse : le prix étant une donnée qui s’impose à

l’entreprise on peut considérer la courbe d’offre comme une fonction du prix

o le surplus du producteur : on peut le mettre en évidence de différentes manières (mesures plus immédiates que ce qui sert au calcul du surplus du consommateur)

23

quelque chose qui se rapproche du surprofit mis en évidence graphiquement : à partir de la courbe de coûts variables

en utilisant la courbe de coût marginal : différents niveaux successifs de coûts pour les niveaux successifs de la production

le rectangle grisé représente l’excès des recettes sur les coûts variables moyens pour un niveau optimal de production de y déterminé à partir du prix p

o La courbe de coût marginal : variation du coût de l’unité produite

supplémentaire depuis la 1ère

24

la partie située au-dessus de cette courbe est l’excédent des recettes sur le coût « virtuel » : le coût si chaque unité était vendue au coût marginal o combinaison des 2 types de références :

le rectangle représentant la marge par rapport aux coûts variables

moyens : écart entre prix et seuil de fermeture x quantité produite le triangle compris entre cette zone et la courbe de coût marginal correspond à ce qui est au-dessus de la courbe d’offre entre les 2

limites : seuil de fermeture et prix du marché

25

représente l’écart entre ce que l’entreprise reçoit en échange de la production y et ce qu’elle doit au minimum recevoir (sinon disparaît du marché) ;

o on s’intéresse surtout à la variation du surplus : quand les conditions du marché se modifient la situation du producteur est affectée favorablement ou défavorablement ;

o la variation du surplus mesuré à partir de la courbe d’offre correspond à la variation du profit : par définition coûts fixes inchangés