Proposition de correction du sujet des Mines de Douai 2007 (épreuve commune)

Exercice de Mécanique - Planètes

réalisée par B. Louchart, professeur au lycée E. Woillez de Montreuil-sur-mer (62) et colleur en Maths Sup MPSI et Maths Spé MP au lycée Mariette de Boulogne-sur-mer (62) © http://b.louchart.free.fr référentiel : lié à l'étoile, considéré galiléen système : planète P

1. fr

= – 2

Pe

r

M M G rer

2. D'après le théorème du moment cinétique, dt

Ld O

r

= MO( fr

) = OP∧ fr

= 0r

car OP // fr

⇒ Lr

= OP ∧ MP Pvr

est constant au cours du temps

⇒ OP ∧ Pvr

= Cr

, où Cr

est constant

⇒ OP Cr

⇒ P se déplace dans le plan orthogonal à C

r passant par O

⇒ le mouvement est plan (plan passant par O et perpendiculaire à (Oz))

Le mouvement est circulaire ⇒ vr

= r& rer

+ rθ& θer

Lr

= OP ∧ MP Pvr

= MP ( )[ ] e re r e r rr θθ+∧r

&r

&r

= MP r2θ& ze

r

⇒ L = MP r2θ&

3.1. D'après la relation fondamentale de la dynamique, Mp ar

= fr

Le mouvement est circulaire ⇒ r = cte = R ⇒ a

r = – R 2θ& re

r + Rθ&& θe

r

Or vc = Rθ& ⇒ ar

= – R

v2c re

r +

dt

dvc θer

⇒ Mp – R

v2c = –

2Pe

R

M M G

dt

dvc 0

dt

dvc = 0 ⇒ vc est constante

– R

v M 2cp = –

2Pe

R

M M G ⇒ 2

cv = R

M G e ⇒ vc = R

M G e

3.2. La planète parcourt, à vitesse constante, la distance d = 2πR pendant une durée ∆t = T

⇒ T = cv

R 2π =

R

GM

R 2

e

π = 2π

e

3

GM

R ⇒ T2 =

e

32

GM

R4π

⇒ 3

2

R

T =

e

2

GM

4π 3ème loi de Kepler

3.3. vc = R

M G e ⇒ 6

cv = 3

3e

3

R

MG = G3 3

eM × 2

e

2

TGM

4π =

2

2e

22

T

MG4π

⇒ vc = 3 e

T

GM2

π

3.4. Ec = 2

1Mp

2cv =

2

1Mp

3/2

e

T

GM2

π

Ep = – R

M M G Pe = – Mp 2cv

Em = Ec + Ep = 2

1Mp

2cv – Mp

2cv = –

2

1Mp

2cv = –

2

1Mp

3/2

e

T

GM2

π

⇒

4.1. er

= – v MGM

L

pe

r + θe

r ⇒

dt

edr

= – MGM

L

pe

dt

vdr

+ dt

ed θr

Or dt

ed θr

= – θ& rer

et d'après la relation fondamentale de la dynamique, Mp dt

vdr

= fr

= – 2

Pe

r

M M G rer

⇒ dt

vdr

= – 2

e

r

M G rer

On obtient donc :

dt

edr

= – MGM

L

pe

×

−2

e

r

M G re

r – θ& re

r =

rM

L2

prer

– θ& rer

Or on a montré à la question 2. que L = MP r2θ&

⇒ dt

edr

= θ& rer

– θ& rer

= 0r

⇒ le vecteur er

est constant 4.2.

� er

. θer

=

+− θe v

MGM

L

pe

rr. θer

= – v MGM

L

pe

r. θer

+ 1 = 1 – peMGM

L × rθ&

Or L = MP r2θ& ⇒ rθ& =

rM

L

p

On obtient ainsi : er

. θer

= 1 – rMGM

L2pe

2

�

– ��

θ

D'après le schéma, (–er

). θer

= e cos θ ⇒ er

. θer

= – e cos θ

⇒ – e cos θ = 1 – rMGM

L2pe

2

⇒ 1 + e cos θ = rMGM

L2pe

2

⇒ r = ) cos e1(MGM

L2pe

2

θ+×

⇒ r = θ+ cos e1

p , avec p =

2pe

2

MGM

L

4.3. Pour une trajectoire circulaire, e = 0

4.4.

� Lr

= OP ∧ MP Pvr

Pour un mouvement circulaire, à tout instant, le vecteur vitesse Pv

r

est perpendiculaire au vecteur

position rr

= OP De plus, r = cte = R ⇒ L = Mp R vc

� Pour un mouvement circulaire, er

= 0r

et vr

= vc θer

⇒ – peMGM

L vc θe

r + θe

r = 0

r

⇒ – peMGM

L vc + 1 = 0 ⇒ vc =

L

MGM pe = cp

pe

RvM

MGM =

c

e

Rv

GM

⇒ 2cv =

R

GM e

⇒ vc = R

GM e