2010-2011 Traitement Numérique du Signal 1

Transformées de Fourier des signaux continus

1. Exemples de signaux périodiques ?2. Onde stationnaire et raies de fréquences3. Série de Fourier4. Transformée de Fourier

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 2

1/ Exemples de mouvements périodiques

Vitesse de rotation régulière

=> signal périodique

T=60/(tour/min) et f=1/T

Clignotants, phares

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 3

2/ Onde stationnaire

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 4

Onde stationnaire dans un tuyau d’air

L

p=0 p=0

p=p1sin(2f(t-x/c)+p2sin(2f(t+x/c)

=> p sin(2x/k)cos(2fk t)

Equation des ondes :

Conditions aux limites : p(0,t)=p(L,t)=0

LLongueurs d’onde:k=2L/k

Fréquences (fondamental et harmoniques) :fk=k c/L/2

Ici k=4

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 5

Notes de musique

La4 : 440HzLa5 : 880 Hz

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 6

Spectres d’une trompette

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 7

1/T

Coefficients de la série de Fourier

3/ Série de Fourier

2/

2/

20

0

)(1

Tt

Tt

T

ktj

k dtetxT

X

T

Développement en série de Fourier

k

T

ktj

keXtx2

)(

x(t)1[-T/2,T/2]

Xk

x(t)

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 8

Linéarité

Retard=>déphasage

Coefficients de Fourier est une TF

a

ffaTTSS

a

tsts k

kkk

''ˆ'ˆ)('

kkkkk YXZtytxtzSaStasts ˆˆˆ)(ˆ'ˆ)('

Propriétés de la série de Fourier

k

k

T

SdttsT

P2

0

2 ˆ)(1

kk T

kfSfS ˆ)(ˆ

k

tT

kj

k SeSttsts ˆ'ˆ)('02

0

Parseval

000000 2

1

2

1))](2[sin(

2

1

2

1))](2[cos(

)()](1[

ffj

ffj

ftfTFffffftfTF

ffTF

kkt

kk

t

YT

kjXy

d

dtxX

T

kj

Ydxty ˆ2ˆ)(ˆ

2

1ˆ)(0

Dilatation/concentration

Intégration/dérivation

Sinusoïdes=>Dirac

et produit de convolution circulaire

(sous réserve de périodicité)

kk XXtx ˆˆ,)(

Parité

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 9

4/ Transformée de Fourier

dtetxfX ftj 2)()(ˆ

dfefXtx ftj 2)(ˆ)(

Re

Im

f

T

kX

TX k

ˆ1ˆ

TF

Série de Fourier

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 10

Propriétés de la transformée de Fourier

dffSdttsE2

2 )(ˆ)(

)()()()(ˆ*ˆ)(ˆ)(ˆ)()(*( 2121 ftytxTFffYfXfYfXfttytxTF

)(ˆ)]([)(ˆ)]([ 022

000 ffSftseTFfSefttsTF tfjftj

Parseval

)(ˆ)(ˆ)]([)(ˆ)]([ fYfXftytxTFfSaftasTF

000000 2

1

2

1))](2[sin(

2

1

2

1))](2[cos()()](1[1))](([ ff

jff

jftfTFffffftfTFffTFftTF

)(ˆ2)()(ˆ2

1)(

0

fSfjfsd

dTFfS

fjfdsTF

t

t

)(ˆ)( afSafa

tsTF

Retard=>déphasage

Linéarité

Dilatation/concentration

Intégration/dérivation

Produit de convolution/produit

Sinusoïdes=>Dirac

décalage fréquentiel

Parité

Valeur en l’infini->0 ; discontinuité

)(ˆ)(ˆ,)( fXfXtx

dtyxtyx )()())(*(

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 11

Transformée de Fourier de signaux à durées limitées

0

0

0

0

2,

2

0

sin

2

1sin

2

1)()(12cos

ff

Tff

ff

TfffttfTF TT

f

fTftTF TT

)sin()(1

2,

2

Porte=>sinus cardinal

Cosinus tronqué => deux sinus cardinaux