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Mathématiques
Année 2009 – 2010 Module n° 4 : Statistiques ( 2ème
partie )
2nde
On utilisera les exemples suivants dans tout le chapitre :
Exemple 1 : Dans une maternité , on a référencé les périmètres crâniens à la naissance de 290 nouveaux –
nés .
Périmètre ( en cm ) 32 32,5 33 33,5 34 34,5 35 35,5 36 36,5 37 37,5
Effectif 7 19 17 20 59 62 43 20 18 18 1 6
Exemple 2 : Le tableau suivant donne le nombre d’enfants âgés de 0 à 16 ans dans un échantillon de
99 familles :
Nombre d’enfants 0 1 2 3 4 5
Effectif 10 21 50 15 2 1
Exemple 3 : En 2009 , d’après une étude réalisée par le ministère de la Culture et de la Communication , la
répartition des visiteurs dans les musées par groupes sociaux a été la suivante :
Etudiants Classe
populaire
Classe
moyenne
inférieure
Classe
moyenne
supérieure
Classe
supérieure
9 % 32 % 16 % 22 % 21 %
Exemple 4 : Une machine remplit automatiquement des sachets de médicaments en poudre .
On a pesé un échantillon constitué de 100 sachets .
Les résultats sont indiqués dans le tableau suivant :
Masse ( en g ) �98 ; 98,5� �98,5 ; 99� �99 ; 99,5� �99,5 ; 100� �100 ; 100,5� �100,5 ; 101�
Fréquence
( en % ) 9 17 31 26 13 4
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I – Rappels sur le vocabulaire statistique :
Les premières études statistiques étaient démographiques : on a conservé le vocabulaire .
1) Une étude statistique commence par un recueil de données .
L’ensemble sur lequel porte l’étude statistique s’appelle la population .
Un élément de cet ensemble s’appelle un individu .
2) L’étude statistique étudie un aspect des individus d’une population appelé caractère ou variable .
Le caractère étudié prend un certain nombre de valeurs , qui peuvent être numériques ou non .
a) Lorsque les valeurs de ce caractère sont des nombres , on dit que ce caractère est quantitatif .
• Si le caractère quantitatif ne prend que quelques valeurs i
x , on dit qu’il est discret .
• Si le caractère quantitatif prend n’importe quelle valeur d’un intervalle , on dit qu’il est
continu : on regroupe alors les valeurs dans des intervalles appelés classes .
On note alors i
x le centre de chaque classe .
On appelle amplitude d’une classe [ [;a b la valeur b a− .
b) Lorsque les valeurs de ce caractère ne sont pas des nombres , on dit que ce caractère est
qualitatif .
3) Le nombre d’individus chez lesquels on observe la valeur i
x d’un caractère est l’effectif de cette
valeur .
On note 1 2, ,..., pn n n les effectifs respectifs des valeurs
1 2, ,..., px x x .
Le nombre d’individus de la population est appelé effectif total : il est en général noté
1 2 ... pN n n n= + + + .
4) La proportion d’individus ayant une valeur du caractère est appelée fréquence .
Elle est égale à : effectif de la valeur
effectif total .
On note 1 2, ,..., pf f f les effectifs respectifs des valeurs
1 2, ,..., px x x .
Une fréquence est un nombre compris entre 0 et 1 .
On l’écrit sous forme de fraction ou de pourcentage .
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Compléter le tableau suivant :
Exemple 1 Exemple 2 Exemple 3 Exemple 4
Individus
de la
population
Caractère
étudié
Nature du
caractère
Valeurs prises
par le
caractère et
effectifs
ou
fréquences
correspondants
ix
in
ix
in
valeurs if
Centre
des
classes
ix
if
Effectif
total
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II – Représentations graphiques :
Remarque : Pour voir et traduire rapidement les informations d’une étude statistique , on a recours à
des représentations graphiques différentes selon la nature du caractère .
II . 1 Diagrammes en bâtons ou en barres :
Ce diagramme peut être utilisé dans le cas d’un caractère qualitatif ou quantitatif discret .
Il est formé de barres dont l’abscisse est i
x ( valeurs du caractère ) et dont la hauteur est proportionnelle
à i
n ( effectif de la valeur i
x ) ou à i
f ( fréquence de la valeur i
x ) .
Exercice : Construire le diagramme en bâtons de l’exemple 1 en prenant 1 cm pour un effectif de
10 en ordonnée .
II . 2 Nuage de points :
Ce diagramme peut être utilisé dans le cas d’un caractère quantitatif discret .
Il est formé de points dont l’abscisse est i
x ( valeurs du caractère ) et dont l’ordonnée est i
n ( effectif
de la valeur i
x ) ou à i
f ( fréquence de la valeur i
x ) .
Exercice : Construire le nuage de points de l’exemple 2 en prenant 1cm pour 1 enfant en abscisse
et 1 cm pour un effectif de 10 en ordonnée .
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II . 3 Diagrammes circulaires :
Ce diagramme peut être utilisé dans le cas d’un caractère qualitatif ou quantitatif discret .
L’angle de chaque secteur est proportionnel à i
n ( effectif de la valeur i
x ) ou à i
f ( fréquence de la
valeur i
x ) .
Il existe également des diagrammes semi – circulaires .
Exercice : On reprend l’exemple 3 .
Classe sociale Etudiants Classe
populaire
Classe
moyenne
inférieure
Classe
moyenne
supérieure
Classe
supérieure
Total
Fréquence 9 % 32 % 16 % 22 % 21 %
Angle
( arrondi à 1° )
Compléter le tableau , puis construire le diagramme circulaire correspondant .
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II . 4 Histogrammes :
Ce diagramme est toujours utilisé dans le cas d’un caractère quantitatif continu ( valeurs regroupées
en classes ) .
Lorsque les classes ont la même amplitude , on construit des rectangles ayant pour base chacune des
classes et une hauteur proportionnelle à i
n ( effectif de la valeur i
x ) ou à i
f ( fréquence de la valeur
ix ) .
Exercice : Construire l’histogramme de l’exemple 3 en prenant 1 cm pour 0,5 g en abscisse et
pour chaque classe , tracer un rectangle de hauteur l’effectif correspondant :
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III – Effectifs cumulés , fréquences cumulées :
Définitions : On note i
x une valeur prise par un caractère quantitatif .
1) L’effectif cumulé croissant ( respectivement décroissant ) de i
x est la somme des
effectifs des valeurs inférieures ( respectivement supérieures ) ou égales à i
x .
2) La fréquence cumulée croissante ( respectivement décroissante ) de i
x est la
somme des fréquences des valeurs inférieures ( respectivement supérieures ) ou
égales à i
x .
Exercice 1 : 1) Reprendre l’exemple 2 et compléter le tableau suivant :
Nombre d’enfants 0 1 2 3 4 5
Effectif 10 21 50 15 2 1
Effectifs cumulés
croissants
3) Combien de ces 99 familles ont au plus deux enfants ?
……………………………………………………………………………………..
Exercice 2 : 1) Reprendre l’exemple 3 et compléter le tableau suivant :
Masse
( en g ) �98 ; 98,5� �98,5 ; 99� �99 ; 99,5� �99,5 ; 100� �100 ; 100,5� �100,5 ; 101� Total
Fréquence
( en % ) 9 17 31 26 13 4
Fréquence
cumulée
croissante
( en % )
2) On suppose que la répartition est uniforme dans chaque classe .
Construire la courbe des fréquences cumulées croissantes formée de segments reliant , à partir du
point de coordonnées 98 ; 0� , tous les points de coordonnées ( );i ix N où i
x est la borne
supérieure de chaque classe et i
N est la fréquence cumulée croissante de cette classe .
Prendre comme unités graphiques : 1 cm pour 0,5 g en abscisse et 1cm pour 10 % en ordonnée .
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3) Quel est le pourcentage de sachets pesant moins de 100 g ?
……………………………………………………………………………………………………
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IV – Paramètres d’une série statistique :
IV . 1 Mesures de position :
• Moyenne : 1) On note 1 2, ,..., pn n n les effectifs respectifs des valeurs
1 2, ,..., px x x prises par le
caractère étudié et � l’effectif total , alors la moyenne de cette série statistique est
le nombre noté 1 1 2 2 ...
p pn x n x n x
xN
+ + += .
2) On peut calculer la moyenne à partir de la distribution des fréquences .
Si on note 1 2, ,..., pf f f les fréquences respectives des valeurs
1 2, ,..., px x x prises
par le caractère étudié alors la moyenne de cette série statistique est
le nombre noté 1 1 2 2 ... p px f x f x f x= + + + .
3) La moyenne est fortement influencée par les valeurs extrêmes .
Exercice 1 : Reprendre l’exemple 1 et calculer le périmètre moyen des 290 nouveaux – nés .
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
Exercice 2 : 1) Reprendre l’exemple 4 et compléter le tableau suivant .
Masse
( en g ) �98 ; 98,5� �98,5 ; 99� �99 ; 99,5� �99,5 ; 100� �100 ; 100,5� �100,5 ; 101�
Centre de la
classe ( )ix
Fréquence
( en % )
( )if 9 17 31 26 13 4
4) A partir de la distribution des fréquences , calculer la masse moyenne des sachets :
……………………………………………………………………………………………………….
…………….…………………………………………………………………………………………
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• Médiane et quartiles :
On considère une série statistique de � valeurs rangées dans l’ordre croissant .
1) La médiane de cette série statistique , notée Me , partage la population en deux parties de telle
sorte que :
a) au moins 50 % des individus prennent une valeur inférieure ou égale à la médiane .
b) au moins 50 % des individus prennent une valeur supérieure ou égale à la médiane .
2) a) Si l’effectif total est impair , la médiane est la valeur de la série de rang 1
2
N + .
b) Si l’effectif total N est pair , la médiane est la moyenne des valeurs de la série de rang
2
N et 1
2
N+ .
3) La médiane n’est pas sensible aux valeurs extrêmes .
4) a) Le 1er
quartile de cette série statistique , notée �� , est la plus petite valeur de la série telle
qu’au moins 25 % des valeurs soit inférieures ou égales à �� .
�� �� est la valeur de la série statistique dont le rang est le plus petit entier supérieur ou égal à �
� .
5) a) Le 3ième
quartile de cette série statistique , notée �� , est la plus petite valeur de la série telle
qu’au moins 75 % des valeurs soit inférieures ou égales à �� .
�� �� est la valeur de la série statistique dont le rang est le plus petit entier supérieur ou égal à ��
� .
6) L’intervalle interquartile est égal à la différence �� −�� .
Exercice 1 : 1) Reprendre l’exemple 1 et compléter le tableau suivant .
Périmètre ( en cm ) 32 32,5 33 33,5 34 34,5 35 35,5 36 36,5 37 37,5
Effectif 7 19 17 20 59 62 43 20 18 18 1 6
Effectifs cumulés
croissants
2) a) Calculer la médiane de cette série statistique :
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
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b) Calculer le pourcentage de nouveaux – nés ayant un périmètre cranien inférieur ou égal au
périmètre médian .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
c) Calculer le pourcentage de nouveaux – nés ayant un périmètre cranien supérieur ou égal au
périmètre médian .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
3) a) Calculer le premier quartile de cette série statistique :
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
b) Calculer le pourcentage de nouveaux – nés ayant un périmètre cranien inférieur ou égal au
premier quartile .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
c) Calculer le pourcentage de nouveaux – nés ayant un périmètre cranien supérieur ou égal au
premier quartile.
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
4) a) Calculer le troisième quartile de cette série statistique :
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
b) Calculer le pourcentage de nouveaux – nés ayant un périmètre cranien inférieur ou égal au
troisième quartile .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
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c) Calculer le pourcentage de nouveaux – nés ayant un périmètre cranien supérieur ou égal au
troisième quartile.
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
5) Calculer l’intervalle interquartile de cette série statistique :
……………………………………………………………………………………………………
Exercice 2 : En s’aidant du tableau du paragraphe III ( page 7 ) :
1) a) Calculer la médiane de la série statistique de l’exemple 2 .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
b) Que signifie ce nombre ?
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
2) a) Calculer le premier quartile de la série statistique de l’exemple 2 .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
b) Interpréter ce nombre .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
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3) a) Calculer le troisième quartile de la série statistique de l’exemple 2 .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
b) Interpréter ce nombre .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
4) Calculer l’intervalle interquartile de cette série statistique :
……………………………………………………………………………………………………
Exercice 3 : En s’aidant de la courbe des fréquences cumulées croissantes du paragraphe III :
1) Déterminer graphiquement la médiane de la série statistique de l’exemple 4 .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
2) Déterminer graphiquement le premier quartile de la série statistique de l’exemple 4 .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
3) Déterminer graphiquement le troisième quartile de la série statistique de l’exemple 4 .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
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IV . 2 Mesure de dispersion :
Etendue : 1) On appelle étendue d’une série statistique la différence entre la plus grande et la plus
petite valeur .
2) L’étendue est sensible aux valeurs extrêmes .
Exercice 1 : Calculer l’étendue de la série statistique de l’exemple 1 .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
Exercice 2 : Calculer l’étendue de la série statistique de l’exemple 4 .
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
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V – Utilisation de la calculatrice graphique :
V . 1 Entrer les valeurs d’une liste :
On reprend l’exemple 2 et on va rentrer dans une 1ère
liste L1 les valeurs du caractère et dans une 2nde
liste L2 les effectifs correspondants .
1) Appuyer sur la touche « stats » ou « STAT » .L’écran ci – contre apparaît :
2) Appuyer sur la touche « entrer » ou « ENTER » .L’écran ci – contre apparaît :
3) Dans la colonne L1 , rentrer les valeurs du caractère ( pour aller à la ligne , appuyer sur la touche
« entrer » ou « ENTER » après avoir rentrer chaque valeur ) . L’écran ci – contre apparaît :
4) Dans la colonne L2 , rentrer les effectifs correspondants .L’écran ci – contre apparaît :
Remarque : Pour effacer la liste 1 , placer le curseur sur L1 , appuyer sur la touche « annul » ou
« CLEAR » , puis appuyer sur la touche « entrer » ou « ENTER » .
V . 2 Afficher les paramètres d’une série statistique :
1) Appuyer sur la touche « stats » ou « STAT » . L’écran ci – contre apparaît :
2) Sélectionner « CALC » ou « ENTER » .L’écran ci – contre apparaît :
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3) Sélectionner « Stats 1-Var » en appuyer sur la touche « entrer » ou « ENTER » .
L’écran ci – contre apparaît :
4) Taper L1 en appuyant sur la touche « 2nde
» ou « 2ND
» puis sur la touche « 1 » .
Taper sur la touche « , » . Taper L2 en appuyant sur la touche « 2nde
» ou « 2ND
» puis sur la
touche « 2 » . L’écran ci – contre apparaît :
5) Appuyer sur la touche« entrer » ou « ENTER » . L’écran ci – contre apparaît :
Remarque : On lit sur la 1
ère ligne la moyenne et on accède à la médiane et aux 1
er et 3
ième quartiles
en utilisant la flèche pour descendre . L’écran ci – contre apparaît :
Exercice : Vérifier à l’aide de la calculatrice la moyenne , la médiane et les 1er
et 3ième
quartiles de
la série statistique de l’exemple 1 trouvés dans le paragraphe IV ( pages 10 et 11 ) .
