Statistiques - Fiches de révision - Mathématiques - Terminale S - Révisions - Réussite Bac

8/4/2019 Statistiques - Fiches de révision - Mathématiques - Terminale S - Révisions - Réussite Bac

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Statistiques

Une etude statistique se deroule normalement en plusieurs etapes :- collecte des donnees;- classement des donnees en un tableau;

- representation de cette serie a I'aide d'un diagramme statistique ;- caracterisation de la serie a I'aide de parametres.

1. Comment calculer une variance et un ecart type?

Soit la serie statistique de taille n suivante :

X x1 x2 ... xp

Effectif n1 n2 ... np n

On rappelle que la moyenne de Xest Ie nombre : X = ! nlxl + fl..2X2 + ... + flpXp).n

On appelle variance de la serie statistique X . Ie nombre :1(.2.2 . :2)V (X) =;;: nl (Xl - X) + fl..2 (X2 _ X) + ... + np (Xp _ X) .' qu'on reecrit ainsi :

1 p

VeX) =_ L~ (x~ - X)2.n-

~=l

L'ecart type de Xest Ie nombre : s (X) = JV (X).

Exemple

On etudle X I'age des employes d'une entreprise. On obtient :

Age [20; 25[ [25; 30[ [30; 35[ [35; 40[ [40; 45[ [45; 50[ [50; 55[

Effectif 150 300 600 750 450 600 150 3000

La moyenne de X est :

X = _. 1 (.. 150 x 22~5 + 300 x 27~5 + f(1Ox 32~5+ ...•3 000 750 x 37~5 + ... + 150 x 52~5

X = 38~25.La variance de X est :

1 (.. 150 (22~5 _ 38~25)2 + 300 (27~5 - 38~25)2 + ).

V (X) =3000 I f . oO(32~ 5 _ 38~25)2 + . .....750(37~5 _ 38~25)2 + ... + 150(52~5 - 38~25)2 ..

V (X) = 60~'5875.

Et l'ecart type de Xest : s (X) =v"60~ '5875 ~ 7~79.

Remarques

• La variance, l'ecart type mesurent la facon dont les valeurs de X se dispersent auteur de la moyenne.Ce sont des parametres de dispersion (alors que la moyenne et la mediane sont des parametres deposition, ils prsclsent vers quelles valeurs se situe la serie).

• On peut aussi calculer la variance a I'aide de la formule suivante :

() 1 ( 222) -2 1 ~2 -2V X. = ;;:nlZl + fl..2X:2 + .... + npX'p _ X =;;: _L_.~z~ - X .~=l



• Dans Ie cas ou, au lieu d'avolr une valeur x~, on a un intervalle, les formules sont les memes enrernplacant x~ par Ie centre de I'intervalle.

2. Comment calculer la mediane d'une serie statistique ?

La rnediane, que I'on note me, est Ie nombre qui separe la serie ordonnee en valeurs croissantes en

deux groupes de meme effectif.

• Pour la trouser, on ecn t la l iste de toutes les valeurs de la serie par ordre croissant, chacune d'ellesetant repetee autant de fois que son effectif.On distingue ensuite deux cas:

n+l- si I'effectif total n est un nombre impair, la mediane est Ie terme de rang -2-.- ;

- si I'effectif total n est un nombre pair, la rnedlane est Ie centre de I'intervalle forme par les termes den n

rang'2

et '2

+ 1.• Quand la serie est regroupee par classes, on determine la rnedlane soit graphiquement a partir dupolygone des effectifs ou des treguences cumules, soit par interpolation llnealre,

Exemple

Reprenons I'exemple precedent. On etudie X I'age des employes d'une entreprise. On a :

Age [20; 25[ [25; 30[ [30; 35[ [35; 40[ [40; 45[ [45; 50[ [50; 55[

Effectif 150 300 600 750 450 600 150 3000

Effectif curnule 150 450 1050 1800 2250 2850 3000

Nous avons rajoute dans Ie tableau une ligne pour les effectifs cumules, Ainsi , on peut y lire que 1 050individus ont moins de 35 ans et que 1 800 individus ont moins de 40 ans.La mediane me qui correspond a I'effectif curnule 1 500, appartient a I'intervalle [35 ; 40[.

ana:

.---,---_I

35 4 0

Notons A(35 ; 1 050) et B(40 ; 1 800).On cherche me I'abscisse du point M de [AB] d'ordonnee 1 500.

A M (m~- 35 ; 1 500 - 1 050) et A S(40 - 35 ; 1 800 -1 050) sont collnsalres.



( - .) - - - - 450 x 5Par consequent: me - 35 . X 750 - 450 X 5 = 0, d'ou me =35 + 750 = 38.

3. Comment determiner les quartiles d'une serie statistique ?

• Soit une serie statistique X de taille n.Le premier quartile 01 est la plus petite valeur de la serie telle qu'au moins 25 % des donnees soient

interieures ou egales a 01.

Le troisieme quartile 03 est la plus petite valeur de la sene telle qu'au moins 75 % des donnees

soient inter ieures ou egales a 03.

L'intervalle interquartile est I'intervalle [Ql ; Q3].

Le nombre 1 = Q3 - Ql s'appelle I'interquartile .

• Pour determiner les quartiles 01 et 03, on precede un peu comme pour la mediane.

On ecrlt la liste de to utes les valeurs de la serie par ordre croissant, chacune d'elles etant repeteeautant de fois que son effect if.On distingue ensuite deux cas:

n

- si " 4est un entier p, 01 est Ie terme de rang p et 03 est Ie terme de rang 3p ;

n n- si " 4n'est pas un entier, 01 est Ie terme de rang immediatement superieur a " 4et 03 est Ie terme de

nrang immediatement superieur a 3 " 4 .

Ouand la sene est reqroupee par classes, on determine les quartiles soit graphiquement a partir dupolygone des effectifs ou des trequences curnules, soit par interpolation llnealre,

Exemple

Reprenons I'exemple precedent. On etudie X I'age des employes d'une entreprise. On a :

Age [20; 25[ [25; 30[ [30; 35[ [35; 40[ [40; 45[ [45; 50[ [50; 55[

Effectif 150 300 600 750 450 600 150 3000

Effectif curnule 150 450 1050 1800 2250 2850 3000

25 % de 3 000 font 750. A I'aide des effectifs cumules, on peut volr que 01 appartient a [30; 35[. On a

Ie graphique suivant :



Notons A(30 ; 450} et B(35 ; 1 050}.On cherche 01 I'abscisse du point M de [AB] d'ordonnee 750.

A M (Ql - 30 ; 750 - 450) et A B (35 -30 ; 1 050 - 450) sont collnealres,

(). 300 x 5 .

Par consequent :Ql - 30. x flOO - 300x 5 = 0, d'ou Ql = 30 + ,60[1 = 32, 5.

75 % de 3000 font 2250. A I'aide des effectifs cumules, on peut volr que 2 250 employes ant mains de45 ans. D'ou 03 est egal a 45.

Exercice n06

4. Comment se transforment les parametres daffine?

• Soit la serie statistique de taille n suivante :

X x1 x2 ... xp

Effectif n1 n2 ... np N

'une serie lors d 'un changement

On consldere la sene statistique Y = aX + b. C'est-a-dlrs la sene :

YY1 Y2 ... Yp

Effectif n1 n2 ... np N

a u y~ = ax~ + b.

En reprenant nos notations, on a :

Y = aX + b; V(Y) = a2V(X) ; sty) = l a l s (X) .

• Si m. e , Ql, Q2 sont la rnedlane, Ie premier quartile, Ie trolslerne quartile de X et si m~, Q~, .q ;sont la mediane, Ie premier quartile, Ie trolslerne quartile de Y, on a :

m~ = ame+b;

si a > 0, .Q~ = aQl + b ; Qj = aQ3 + b ;si a < 0, .Q~ = aQ3 + b ; Qj = aQl + b.



Exercice n08

5. Comment tracer un diagramme en boite ?

On construit un diagramme en boile de la facon suivante :- sur un axe -.ertical au horizontal, on repere les valeurs de la sene statistique ;- on place Ie minimum et Ie maximum de la serie, Ie 1 er quartile, Ie 3 e quartile et la medlane ;- on construit Ie rectangle (Ia boile), parallele a I'axe, qui a pour longueur I'interquartile et unelargeur arbitraire.Ce diagramme en boile est aussi appele « diagramme a moustaches» au « diagramme a pattes ».

Exemple

Reprenons I'exemple precedent, au I'on etudle I'age des employes d'une entreprise.Le maximum est 55, Ie minimum est 20. La mediane est 38, Ie 1 er quartile est 32,5 et Ie 3 e est 45. D'ouIe diagramme en boile suivant :

~ ~ ~ l I - - - - + - l ~~ '! !

A . retenir

Soit X une serie statistique.1 PIP

• La variance de Xest Ie nombre : V (X) = L~ (x~- X)2 = L ~z~ - X2.n- n-

~=1~=1

L'ecart type de Xest la racine carree de la variance: s (X) = JV (X) .

• Le premier quartile de X , note 01, est la plus petite valeur de la serie telle qu'au mains 25 % desdonnees soient inrerieures au egales a 01.Le trolslsme quartile de X , note 03, est la plus petite valeur de la serie telle qu'au mains 75 % desdonnees soient inrerieures au egales a 03'

L'intervalle interquartile est I'intervalle [Q l ; Q3].

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