203-NYA-05

Physique mécanique

Vecto

Par André Girard

Pourquoi ?

Outil mathématique bientôt utile pour la cinématique

Les Vecteurs1

NomenclaturePropriétés

ExpressionsTransferts

Les Vecteurs2

OpérationsAddition

Soustraction

Chapitre 1 : Scalaires et vecteurs

• Scalaire/Vecteur1. Faire la distinction essentielle et donner 4 exemples pour chacun.2. Donner 2 propriétés d’un vecteur dit « unitaire » et 3 exemples de celui-ci. 3. Nommer 2 modes de représentation ou d’expression d’un vecteur en 2Dimensions.

VECTO

• Dans un plan à 2 dimensions1. Dans le premier quadrant, tracer graphiquement un vecteur, appelé A, et fournir à côté

ses 2 expressions correctement écrites. 2. Idem que précédemment pour les vecteurs B, C et D respectivement dans les deuxième,

troisième et quatrième quadrant du plan cartésien.3. Comment faire pour déterminer la grandeur (module, norme) d’un vecteur à partir de

ses 2 expressions.4. Comment passer d’une forme d’expression à une autre (Établir vos règles générales)?

5. Ajout d'un troisième mode de représentation vectorielle.

P_ _ _ _ _ _C _ _ _ _ _ _ _ _

Scalaire = Quantité entièrement déterminée par une grandeur et définie par un nombre arithmétique ou algébrique.

La masse 60 kilogrammesLa distance 80 kilomètresLe temps 17 annéesLe volume 30 mètres cubesLa rotation 12 radiansLa température 21 Celsius

Vecteur = Être mathématique représentant une quantité physique caractérisée par une grandeur et une orientation ( direction et sens).

Le vecteur déplacement 60 mètres vers le nordLe vecteur vitesse 80 km/h vers l’estLe vecteur accélération 3 G vers le basLe vecteur force 30 newtons vers la droite

Le champ, la quantité de mouvement linéaire et angulaire, le moment de force.

Vecteur unitaire

Une grandeur 1 et indique une orientation précise

Expression sous forme cartésienne ou Polaire

€

ri ,

r j ,

r k ,

r u R ,

r u θ ,

€

3r i + 4

r j

€

(5, 53,13o)

2 propriétés ?

Convention d’écriture = Importante ( 3 , 4 )

Donnez 5 exemples ?

Quadrant 1Quadrant 2

Quadrant 3 Quadrant 4

€

3r i + 4

r j

€

−3r i + 4

r j

€

−3r i − 4

r j

€

3r i − 4

r j

€

(5, 53o)

€

(5, 127o)

€

(5, 307o)

€

(5, 233o)

€

rA

€

rB

€

rC

€

rD

arrondi

Représentation polaireReprésentation cartésienne

€

3r i + 4

r j

€

5, 53o

€

rA = A = AX

2 + AY2

€

θ

A

AX

AY

€

AX

r i + AY

r j

A

AX

AY

€

Cos θ = AX / A

€

Sin θ = AY / A

€

AX = ACos θ

€

AY = ASin θ

€

Tg θ = AY / AX

€

θ

€

θ =arcTg (AY / AX )

?SH/SAH

CW/CCW?

POLAIRECARTÉSIENNE

€

rB = −3

r i + 4

r j

€

rB = (B,θ)

BX BY

€

rB = B = −32 + 42 = 25 = 5

€

θ =arcTg (BY /BX )

€

θ =arcTg (4 /− 3)

€

θ =arcTg (−1,33)

€

θ =?

PYTHO

TRIGO

POLAIRECARTÉSIENNE

€

rB = −3

r i + 4

r j

€

rB = (B,θ)

BX BY

€

rB = B = −32 + 42 = 25 = 5

€

θ =arcTg (BY /BX )

€

θ =arcTg (4 /− 3)

€

θ =arcTg (−1,33)

€

θ =−53,13o

PYTHO

TRIGO

POLAIRECARTÉSIENNE

€

rB = −3

r i + 4

r j

€

rB = (B,θ)

BX BY

€

rB = B = −32 + 42 = 25 = 5

€

θ =arcTg (BY /BX )

€

θ =arcTg (4 /− 3)

€

θ =arcTg (−1,33)

€

θ =−53,13o

PYTHO

TRIGO

Donc

€

rB = (5, − 53o)

?

POLAIRECARTÉSIENNE

€

rB = −3

r i + 4

r j

€

rB = (B,θ)

BX BY

€

rB = B = −32 + 42 = 25 = 5

€

θ =arcTg (BY /BX )

€

θ =arcTg (4 /− 3)

€

θ =arcTg (−1,33)

€

θ =−53,13o

PYTHO

TRIGO

Donc visualiserEt

Toujours +

€

rB = (5,127o)

€

rB

€

θ-3

+4

DANGER

arcTg -3/4 = arcTg 4/-3 = -53

POLAIRE CARTÉSIENNE

€

rD = DX

r i + DY

r j

TRIGO

€

rD = (5, 307o)

Partie en X = adjacent = cos Partie en Y = Opposé = sin

€

DX = D Cos θ

€

DY = D Sin θ

€

DX = 5 Cos 307

€

DY = 5 Sin 307

€

DX = 3,009

€

DY = -3,993

Donc

€

rD = 3

r i − 4

r j

€

rD

€

θ-4

+3

Conclusion : ????????

POLAIRE CARTÉSIENNE

€

rD = DX

r i + DY

r j

TRIGO

€

rD = (5, 307o)

€

rD

Partie en X = adjacent = cos Partie en Y = Opposé = sin

€

DX = D Cos θ

€

DY = D Sin θ

€

DX = 5 Cos 307

€

DY = 5 Sin 307

€

DX = 3,009

€

DY = -3,993

Donc

€

rD = (3

r i − 4

r j )

€

θ-4

+3

Conclusion : Angle polaire de 0 à 360

Facultatif : Représentation cardinale Nord-EstNord-Ouest

SUD-OUEST SUD-EST

€

rF = (5,W 600 S )

N

W E

S

30

60

Vecteur force de grandeur 5

€

rF

€

rF = (5, S 300 W )

degré

directionattention

Vecteur inverse !

( même grandeur mais en sens opposé)

Ce qui reste : algèbre vectorielle

Somme vectorielle

Soustraction vectorielle

Sommation et soustraction vectorielles

Méthode graphique

Géométrique, du parallélogramme, du triangle, du polygone, bout à bout

Exemple pour somme de 3 vecteurs

Ajout de l’inverse

€

rA

€

rC

€

rB

€

rR

Sommation et soustraction vectorielles

Méthode graphique

Géométrique, du parallélogramme, du triangle, du polygone, bout à bout

A

R C

B

Pour 5 vecteurs

RLecture ?

Sommation et soustraction vectorielles

Méthode analytique ou des composantes

A

B

C CY

BY

AY

CXAX BX

R

Sommation et soustraction vectorielles

Méthode analytique ou des composantes

A

B

C CY

BY

AY

CXAX BX

R

RX

RY

Suggestion d'une procédure universelle !

Méthode analytique ou des composantes

Opérationvectorielle

PartiesSelon X

PartiesSelon Y

€

rA

€

− r

B

€

rC

€

rR

€

ΣX

€

ΣYSomme algébrique

€

RX

r i

€

RY

r j

€

±

€

±

€

± €

±

€

±

€

±

Si les vecteurs utilisés étaient des forces !!!

€

rA −

r B +

r C = ?Trouvez la résultante de l’opération :

Méthode analytique ou des composantes

CONCLUSION

Opérationvectorielle

PartiesSelon X

PartiesSelon Y

€

rA

€

− r

B

€

rC

€

rR

€

ΣX

€

ΣYSomme algébrique

€

RX

r i

€

RY

r j

€

±

€

±

€

± €

±

€

±

€

±

Rappel pour des forces : Équilibrante ?

€

rE = −

r R

Cinématique de translation

Vecteur positionDistanceVecteur déplacementDistance totale franchieVecteur vitesse moyenneVitesse scalaire moyenneVecteur vitesse instantanéeVecteur accélération moyenneVecteur accélération instantanée

Distinction et définitions

Représentation graphique et

analytique

Un coup d’œil sur ce qui s’en vientVecto terminé prochain : Cinémo