2.8 Récapitulatif - Les Éditions de l'École Polytechnique

2.8. Récapitulatif 77

2.8 Récapitulatif

� La loi de comportement d’un matériau modélise la manière dont celui-ci répond auxsollicitations (mécaniques, thermiques, électromagnétiques, etc).

� L’état de la particule est défini par : deux variables de contrôle T; " et des variablesinternes � « condensant » toute l’histoire de la particule, supposées non contrôlables del’extérieur.

� Une histoire connue des variables de contrôle doit permettre de déterminer complè-tement celles de leurs variables duales (contraintes et entropie). Deux séries de relationspermettent d’assurer cette correspondance : les lois d’état et les lois d’évolution.

� Les lois d’état sont déduites du potentiel potentiel thermodynamique (énergie librespécifique de Helmholtz �w(T; "; �)) par :

s = �

�w

�T

; �

nd= �

�w

�"

; A

nd= �

�w

��

:

� Les lois d’évolution définissent les taux des variables dissipatives, de la forme :

_" = f

�

(�

d; T; ";�);

_

� = f

A

(A ; T; ";�);

�q

T

= f

rT

(rT ; T; ";�) :

Pour définir les lois précédentes, on peut adopter l’hypothèse de dissipativité normalequi postule d’existence d’un potentiel de dissipation duquel dérivent les taux des va-riables dissipatives.

Loi de Fourier classique : q = �K � rT

avec K le tenseur des conductivités thermiques.

� Matériaux standards généralisés (cas isotherme)Comportement défini au moyen de deux potentiels :

1. l’énergie libre �w("; �; ) donnant les lois d’état :

�

nd= �

�w("; �)

�"

et A = ��

�w("; �)

��

2. le potentiel de dissipation ' ou le potentiel dual de dissipation '? donnant les loiscomplémentaires soit :

(�

d;A) 2 �

(_"; _�)

'(_";

_

� ; ";�) ou (_";

_

�) 2 �

(�

d;A)

'

?

(�

d;A ; ";�)

et dans le cas d’un potentiel de dissipation ' différentiable :

�

d=

�'(_"; _� ; ";�)

� _"

et A =

�'(_"; _� ; ";�)

� _�

CHAPITRE 3

Thermoélasticité

"D’une manière générale, le simple est toujours le simplifié ;il ne saurait être pensé correctement qu’en tant qu’il apparaît

comme le produit d’un processus de simplification."G. Bachelard, Le nouvel esprit scientifique.

À la fin de ce chapitre, vous devriez savoir

� La démarche à suivre pour formuler et identifier une loi de comportement thermoé-lastique.

� Les équations de la thermoélasticité linéaire classique.

� La loi de comportement thermoélastique linéaire isotrope.

� Déterminer la variation de température induite par une sollicitation mécanique.

3.1 Présentation

Le comportement thermoélastique est présenté par la très grande majorité des matériauxet des structures sous des sollicitations relativement faibles. Il précède et accompagne descomportements anélastiques induits par la plasticité, la viscoplasticité, l’endommagement,etc.Les effets des variations de la température sur la réponse mécanique des structures sont sou-vent importants et non négligeables. Ils sont pris en compte par un couplage faible (unique-ment par l’influence de la température sur la mécanique). Ceci est justifié dans la mesure oùles variations de températures induites par les sollicitations mécaniques sont en général trèsfaibles. Dans certains cas comme par exemple dans l’estimation des différentes sources dechaleur en jeu dans des processus irréversibles, ou pour certaines pièces de précision, il peutêtre utile de quantifier les dégagements de chaleur dus au couplage thermoélastique. L’objetde cette section est la présentation du comportement thermoélastique avec un couplage fort,selon le formalisme thermodynamique introduit précédemment. Le cadre considéré est celuides transformations infinitésimales autour d’un état initial naturel ou quasi-naturel 1. Le casde petites variations de température est d’abord traité avant d’aborder celui des variationsfinies de température.

1. cf. Jean Salençon, Mécanique des milieux continus, tome II, Les Éditions de l’École Polytechnique ;et P. Le Tallec, Mécanique des milieux continus, Les Éditions de l’École Polytechnique.

79

80 Chapitre 3. Thermoélasticité

3.2 Aspects expérimentaux et interprétations

3.2.1 Essais de traction isotherme et adiabatique

On considère une éprouvette cylindrique homogène, en acier. Initialement, elle est de sec-tion A

0

, de longueur utile L0

et de masse volumique �0 ; sa température est T0

et son état estlibre de contrainte. Elle est sollicitée en traction simple, d’abord suffisamment lentement pourêtre considérée isotherme. On constate qu’en deçà d’une certaine force, elle ne présente pasde déformation permanente après une décharge et les déformations restent petites. Plus en-core, le processus est réversible. La courbe reliant la contrainte à la déformation est linéaire :on parle alors d’élasticité linéaire. Sa pente (le rapport entre la contrainte et la déformation)est le module de Young E du matériau considéré. Si l’essai est réalisé suffisamment vite,on constate que l’éprouvette se refroidit (très légèrement) lors de la traction (Figure 3.1). Lemodule de Young correspondant est dit adiabatique E

a

. La variation de température observéeest alors linéairement reliée à la contrainte appliquée.

déformation

E

Con

trai

nte

de tr

actio

n (M

Pa) σ

0.015

300

O ε

Figure 3.1 – Variation de température dans une éprouvette en acier mise rapidement en tractionélastique jusqu’à une certaine contrainte, puis déchargée à zéro : on constate quel’éprouvette se refroidit lors de la charge (essai réalisé au LMGC à Montpellier,communiqué par A. Chrysochoos)

3.2.2 Interprétation des essais

Dans ce contexte de déformation infinitésimale et de petite variation de température, larelation expérimentale entre la force axiale F , le déplacement axial � et la température T est

linéaire. En posant � =

F

A

0

, " =

�

L

0

et � = T � T

0

, elle s’écrit : � = E"� k� :

La quantité de chaleur totale reçue par l’éprouvette ÆQt

s’exprime, en fonction de l’écart detempérature � et de la variation de volume ÆV , par : ÆQ

t

= C

"

� + L ÆV :

3.2. Aspects expérimentaux et interprétations 81

C

"

est la capacité calorifique globale de l’éprouvette et L sa chaleur latente.La quantité de chaleur spécifique (c’est-à-dire par unité de masse) reçue est alors :

ÆQ =

ÆQ

t

�0A0

L

0

=

"

� +

L

�0

ÆV

V

0

:

"

=

C

"

�0A0

L

0

etL

�0

sont des grandeurs caractéristiques du matériau et peuvent a priori dé-

pendre de la température et de la déformation. Elles sont ici supposées constantes.Comme (ÆQ = TÆs) et (ÆV=V

0

= tr "), l’expression de l’entropie spécifique s est donc :

s� s

0

=

"

�

T

+

L

�0Ttr " soit s� s

0

=

"

�

T

0

+

L

�0T0

tr " :

Or�

2

w("; T )

�T�"

ij

=

�

2

w("; T )

�"

ij

�T

; soit ��s

�"

=

1

�0

��

��

; ce qui conduit à : L = T

0

k :

En résumé, ces essais uniaxiaux donnent accès aux deux lois d’état :8

<

:

� = E"� k�

s =

k

�0

tr "+

�

T

0

� + s

0

:

Plus précisément, les constantes intervenant dans ces relations sont obtenues expérimentale-ment de la manière suivante.

� Le module de Young isotherme E est la pente de la courbe contrainte-déformation del’essai isotherme.

� Le coefficient thermoélastique k est obtenu à partir d’un essai de dilatation libre, connais-sant le module de Young : � = 0 donne k = E"=� .

� La capacité calorifique spécifique à déformation constante �

s’obtient à partir de l’essaide traction adiabatique : ÆQ = 0 d’où

"

= �T

0

k�V=�0�V0

.

L’énergie libre correspondant à ces lois d’état est une fonction quadratique des deux va-riables d’état (la déformation et la température).

3.2.3 Modèle uniaxial du comportement thermoélastique linéaire

Le comportement thermoélastique linéaire est représenté par un modèle rhéologique forméd’un ressort susceptible d’échanger de la chaleur avec l’extérieur. Il correspond au modèletraité dans l’exercice 1.1 du premier chapitre. Le modèle est caractérisé par deux variablesd’état, par exemple les deux variables observables : l’allongement relatif " et la tempéra-ture T (ou son écart � par rapport à la température initiale T

0

). Leurs grandeurs associées,la force élémentaire � et l’entropie s, leur sont reliées par les lois d’état linéaires établiesprécédemment.


Figure 3.2 – Modèle rhéologique thermoélastique linéaire

3.3 Comportement thermoélastique linéaire

Un matériau thermoélastique est sans dissipation intrinsèque ; sa seule source de dissipa-tion est thermique. Il est, par conséquent, complètement caractérisé par :

1. son énergie libre définissant les comportements réversibles ;

2. son potentiel de dissipation thermique conduisant, dans le cas linéaire, à la loi deconduction de Fourier.

Les variables d’état choisies pour définir l’état thermodynamique sont la déformation" et la température T . Le potentiel thermodynamique naturel, cohérent avec ce choix devariables, est l’énergie libre de Helmholtz. Ainsi, les fonctions d’état, énergie libre et entropie,s’écrivent :w("; T ) et s("; T ). L’état d’équilibre initial, qui sert de configuration de référence,est défini par les variables d’état "

0

= 0 et T0

, leurs forces thermodynamiques réversiblesassociées �

0

et s0

, et la densité �0.

3.3.1 Lois d’état

Les lois d’état s’écrivent, en l’absence de liaisons internes :

�

nd= �0

�w("; T )

�"

et s = �

�w("; T )

�T

: (3.1)

Comme la dissipation intrinsèque (1.43) donnée par :

d1

= (� � �

nd) : _" � 0 (3.2)

est nulle pour tout état, quelles que soient les vitesses de ", on obtient :

� = �

nd: (3.3)

On va linéariser les lois d’état au voisinage de l’état initial 2, c’est-à-dire remplacer les ex-

2. En toute rigueur, la linéarisation se fait dans la configuration de référence, avec le tenseur de déformation deGreen-Lagrange comme variable d’état. Elle conduit à la définition du tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff.Des hypothèses supplémentaires (état naturel ou quasi-naturel) sont nécessaires pour aboutir à l’expression simplifiéedu tenseur de Cauchy, obtenue dans ce qui suit (voir les cours de J. Salençon et de P. Le Tallec).

3.3. Comportement thermoélastique linéaire 83

pressions (3.1) par leur développement au premier ordre 3 en déformation et en écart de tem-pérature (� = T � T

0

). Ceci conduit à :8

>

>

>

>

<

>

>

>

>

:

�("; T ) = �0

�w(0; T

0

)

�"

+ �0

�

2

w(0; T

0

)

�"�"

: " + �0

�

2

w(0; T

0

)

�"�T

�

s("; T ) = �

�w(0; T

0

)

�T

�

�

2

w(0; T

0

)

�T�"

: " �

�

2

w(0; T

0

)

�T

2

� :

(3.4)

Or �0

�w(0; T

0

)

�"

= �

0

et �

�w(0; T

0

)

�T

= s

0

:

Si on pose8

>

>

>

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

>

>

>

:

C = �0

�

2

w(0; T

0

)

�"�"

k = ��0

�

2

w(0; T

0

)

�T�"

= �

��

�T

� = �

�

2

w(0; T

0

)

�T

2

(3.5)

les relations (3.4) s’écrivent ("0

= 0) :

8

>

>

>

<

>

>

>

:

�("; �) = �

0

+ C : "� k�

s("; �) = s

0

+

k

�0

: "+ �� :

(3.6)

L’énergie libre correspondante est donnée par :

�0w("; �) =

1

2

" : C : " � �k : " + �

0

: " �

1

2

�0��2

� �0s0� : (3.7)

Interprétation des différents coefficients thermoélastiques

� C est le tenseur d’élasticité. C’est un tenseur du quatrième ordre. Dans le cas général, il

possède 21 coefficients indépendants.En effet, l’égalité des dérivées croisées du potentiel thermodynamique,

�

2

w("; T )

�"

ij

�"

kl

=

�

2

w("; T )

�"

kl

�"

ij

conduit à Cijkl

= Cklij

et les symétries du tenseur des déformations à Cijkl

= Cijlk

:

3. Autrement dit, linéariser y = f(x) au voisinage de x0

, c’est écrire : y = f(x

0

) + f

0

(x

0

)(x� x

0

).


La relation (3.6a) entre les deux tenseurs d’ordre deux symétriques � et ", peut s’écrire commeune relation linéaire entre deux vecteurs à six composantes via une matrice 6x6 symétrique quia donc 21 coefficients indépendants (voir section 3.9).

� k est le tenseur des coefficients thermoélastiques. Il est symétrique. En « notation ingé-nieur », il s’écrit de manière identique à la contrainte. Son interprétation est obtenuecomme suit : on remarque que la quantité de chaleur spécifique reçue qu’on a coutumed’écrire sous la forme

ÆQ =

L

�0

: "+

�

� (3.8)

où L est le tenseur des chaleurs latentes relatives aux différents modes de déformationet

�

est la chaleur spécifique (ou capacité calorifique) à déformation constante, est,grâce à l’équation (3.6)b, égale à

T (s� s

0

) = T

k

�0

: "+ T�� : (3.9)

Ainsi, à partir des équations (3.8) et (3.9), on obtient :8

>

>

<

>

>

:

L = Tk = ��0T�

2

w

�T�"

�

= T� = �T

�

2

w

�T

2

:

(3.10)

D’autre part, on remarque aussi que L = �T

��

�T

= �0T�s

�"

et donc que :��

�T

= ��0

�s

�"

:

De même,

�

= T

�s

�T

:

� Le coefficient � est donc relié à la chaleur spécifique à déformation constante par :

�

= T� :

Les propriétés des différents tenseurs physiques de thermoélasticité linéaire découlent del’objectivité, des symétries de la matière et de la stabilité thermodynamique des matériaux.De plus, l’égalité des dérivées croisées du potentiel thermodynamique ainsi que la symétriede " ont conduit aux relations de symétrie suivantes :

Cijkl

= Cklij

= Cjilk

et k

ij

= k

ji

: (3.11)

3.3.2 Loi complémentaire

La seule source de dissipation est la conduction thermique. Sa linéarisation effectuée à lasection 2.3.2 a conduit à la loi de Fourier :

q = �K � rT (3.12)

3.4. Évolution thermoélastique 85

où K est le tenseur des conductivités thermiques spécifique au matériau considéré et dépen-dant de l’état initial. Il est non négatif et symétrique,

K

ij

= K

ji

: (3.13)

En résumé, au voisinage de l’état initial d’équilibre, défini par "0

= 0; T

0

; �

0

; s

0

et �0, la loi

de comportement du solide thermoélastique linéaire 4 est donnée par :8

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

:

� = �

0

+ C : "� k�

s = s

0

+

k

�0

: "+

�

T

0

�

q = �K � rT

avec � = T � T

0

: (3.14)

L’énergie libre s’écrit :

�0w("; T ) =

1

2

" : C : " � k : " (T � T

0

) + �

0

: "

�

1

2

�0

�

T

0

(T � T

0

)

2

� �0s0(T � T

0

)

(3.15)

3.4 Évolution thermoélastique

Les équations de champ du problème d’évolution thermoélastique comprennent les équa-tions universelles (conservation de la masse, équations de la dynamique, conservation del’énergie) et la loi du comportement.La conservation de la masse s’écrit :

� = �0 (1� div �) (3.16)

où � désigne le champ de déplacement. Par la suite on prendra � ' �0.

Les équations de champ de la dynamique s’écrivent :

div� + �0 F = �0

�

2

�

�t

2

(3.17)

avec F les forces massiques appliquées au solide.

À partir de l’équation (1.21) établie grâce à la conservation de l’énergie et au second principede la thermodynamique, on aboutit à l’équation de la chaleur explicitée ci-dessous :

div (�K:rT ) + �0T _s = r + d1

: (3.18)

4. Les circonstances (état initial quasi-naturel, transformation infinitésimale, gradient de déplacement et dé-formation de même ordre de grandeur) autorisant cette écriture sont explicitées dans l’ouvrage de Jean Salençon,Mécanique des milieux continus, tome II, chap.VII.5.4. Les Éditions de l’École Polytechnique.


En utilisant l’expression (3.14b) de l’entropie et la nullité de la dissipation intrinsèque, onobtient :

div (�K:rT ) + T

0

k : _"+ �0 �_

T = r : (3.19)

Finalement, les équations de champ du problème thermoélastique s’explicitent par :

� = �

0

+ C : "� k�

s = s

0

+

k

�0

: "+

�

T

0

�

q = �K � rT

(3.20)

div� + �0 F = �0

�

2

�

�t

2

div(K � rT ) + r = T

0

k : _"+ �0 �_

T

(3.21)

" =

1

2

(r� +

t

r�) (3.22)

À ces équations, s’ajoutent les conditions initiales et aux limites.

3.5 Matériau thermoélastique linéaire isotrope

On considère un matériau thermoélastique linéaire isotrope dans son état naturel. In-tuitivement, l’isotropie signifie que les propriétés du matériau sont identiques dans toutesles directions. De manière plus précise, ceci veut dire que l’expression de loi de compor-tement écrite relativement à une configuration de référence reste inchangée dans tout chan-gement de configuration correspondant à une transformation orthogonale 5. Ainsi, désignonspar w("; T ) l’expression de l’énergie libre relative à la configuration de référence. On ef-fectue un changement de configuration par une transformation orthogonale de tenseur asso-cié P . La déformation devient ~" = P � " �

t

P . On a alors w("; T ) = w(~"; T ) ou encorew("; T ) = w(P � " �

t

P ; T ); 8";8P tel que P �

t

P = 1. Ainsi, les expressions des compo-santes de la loi de comportement sont les mêmes dans tout repère orthonormé. Ceci entraîneune réduction du nombre des coefficients indépendants des différents tenseurs thermoélas-tiques (C; k) et thermique K. Ainsi :

5. Une transformation orthogonale est une application linéaire dont le tenseur associé P est tel que : P �

t

P = 1

3.5. Matériau thermoélastique linéaire isotrope 87

1. Le tenseur C ne s’écrit plus qu’en fonction de deux coefficients indépendants, � et �

appelés coefficients de Lamé.

En effet, la forme quadratique1

2

" : C : ", fonction scalaire isotrope du tenseur ", s’écrit d’après

le "théorème de représentation" 6, uniquement en fonction des invariants de ". Elle ne fait donc

intervenir ici que les deux invariants tr " et 1

2

tr("2) = 1

2

" : ", et est nécessairement de la forme :

1

2

" : C : " =

1

2

�(tr ")2 + �" : " (3.23)

avec � et � deux coefficients scalaires.

2. Le tenseur k s’écrit en fonction d’un seul coefficient thermoélastique k sous la formek = k1.

3. Le tenseur des conductivités thermiquesK s’écrit en fonction d’un seul coefficient sousla forme K = K1.

Finalement, si l’état initial est défini par la masse volumique �0, un champ de déformationnul et les champs de température T

0

et de contrainte �0

, l’énergie libre de Helmholtz se metsous la forme :

�0w("; T ) =

1

2

�(tr ")2 + �" : "� k (T � T

0

) (tr ") + �

0

: "

�

1

2

�0

�

T

0

(T � T

0

)

2

� �0s0(T � T

0

)

(3.24)

et les lois d’état s’écrivent :

8

>

>

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

>

>

:

� = �

0

+ � (tr ")1+ 2� "� k�1

s = s

0

+

k

�0

(tr ") +

�

T

0

�

q = �KrT

(3.25)

6. Voir par exemple, Jean Salençon Mécanique des milieux continus, tome I, Annexe 5.7. Les Éditions de l’ÉcolePolytechnique.


3.6 Autres expressions en thermoélasticité linéaire isotrope

3.6.1 Décomposition de C

En écrivant le produit C : " en fonction des parties déviatorique et sphérique de ", on

obtient :C : " = � (tr ")1+ 2� "

= (�+

2

3

�) (tr ")1+ 2� dev "

= (3�+ 2�) (

1

3

1 1) : "+ 2� (I�1

3

1 1) : "

= (3�+ 2�)J : "+ 2�K : "

(3.26)

où l’on a posé : J =

1

3

1 1 et K = I� J ;

avec I le tenseur unité du quatrième ordre pour les tenseurs symétriques d’ordre deux.

Comme : " =

1

3

(tr ")1+ dev " = (J+K) : " ;

on a :I = J+K :

De plus, on vérifie que les tenseurs J et K sont orthogonaux :

J : K = K : J = 0

et que :J : J = J et K : K = K :

3.6.2 Inversion de la loi de comportement

La première équation des relations (3.33) exprimant la contrainte en fonction de la défor-mation et de l’écart de température peut être inversée pour obtenir la déformation en fonctionde la contrainte et de l’écart de température. L’expression obtenue

" = C�1

: (� � �

0

) + C�1

: k �

est écrite sous la forme :

" =

1 + �

E

(� � �

0

)�

�

E

�

tr (� � �

0

)

�

1+ �� 1 (3.27)

E est le module de Young, � le coefficient de Poisson et � le coefficient de dilatationthermique.Les différents coefficients thermoélastiques sont reliés par les relations :

3.6. Autres expressions en thermoélasticité linéaire isotrope 89

� =

E�

(1 + �)(1� 2�)

� =

E

2(1 + �)

k = �(3�+ 2�) =

E�

(1� 2�)

E = �

3�+ 2�

�+ �

� =

�

2(�+ �)

� =

k

3�+ 2�

=

k(1� 2�)

E

(3.28)

3.6.3 Capacité calorifique spécifique à contrainte constante

L’équation de la chaleur (deuxième équation des groupes (3.21) et (3.34)) peut être écriteen utilisant la chaleur spécifique à contrainte constante

�

définie par

�

= T

�s(�; T )

�T

et reliée à la chaleur spécifique à déformation constante par

�

�

= �0 � + T

0

k : C�1

: k

= �0 � + T

0

�

T

: C : �

T

:

(3.29)

�

T

, défini par : �T

= C�1

: k, représente le tenseur des coefficients de dilatation thermique.

La relation (3.29) est obtenue de la manière suivante. On part de l’expression :

s = s

0

+

k

�0

: "+

�

T

0

�

dans laquelle on remplace " par : " = C�1

: (� � �

0

) +C�1

: k� :

On a alors

s = s

0

+

k

�0

: C�1

: (� � �

0

) + (

�

T

0

+

k

�0

: C�1

: k)� ; (3.30)

d’où

�

= T

�s(�; T )

�T

'

�

+

T

0

�0

k : C�1

: k :

Dans le cas isotrope, la relation (3.29) devient :

�0 � = �0 � + 3T

0

k�

= �0 � + 3T

0

(3�+ 2�)�

2

:

(3.31)

Elle est souvent écrite sous la forme :

�

=

�

�

1 +

9T

0

K�

2

�0 �

�

: (3.32)

où K =

3�+ 2�

3

=

E

3(1� 2�)

est le module de compressibilité élastique 7.

7. Il est aussi appelé (voir J. Salençon,"Mécanique des milieux continus", tome II, les Éditions de l’École poly-technique.) : module élastique de compression ou module de rigidité à la dilatation.


3.7 Problème d’évolution en thermoélasticité linéaire isotrope

On écrit, dans le cas du comportement thermoélastique linéaire isotrope, les équations duchamp du problème d’évolution thermoélastique obtenues à la section 3.7.

8

>

>

>

>

<

>

>

>

>

:

� = �

0

+ � (tr ")1+ 2� "� k� 1

s = s

0

+

k

�0

(tr ") +

�

T

0

�

q = �KrT

(3.33)

avec

� =

E�

(1 + �)(1� 2�)

; � =

E

2(1 + �)

et k = �(3�+ 2�) =

�E

(1� 2�)

8

>

<

>

:

div� + �0 F = �0

�

2

�

�t

2

�0 �_

T �K�T = r � T

0

k (tr _")(3.34)

" =

1

2

(r� +

t

r�) (3.35)

3.8 Expressions des différents potentiels thermoélastiques

3.8.1 Énergie interne en thermoélasticité linéaire

L’énergie interne peut être choisie comme potentiel thermodynamique. Dans cette sec-tion, on établit son expression, en thermoélasticité linéaire, en fonction de ses variables natu-relles (l’entropie et la déformation).On exprime d’abord l’écart de température en fonction de l’entropie et de la déformation àpartir de la relation (3.14) :

T � T

0

=

T

0

�

(s� s

0

)�

T

0

�0 �

k : " (3.36)

Le tenseur des contraintes donné par les lois d’état (3.14) s’écrit, en utilisant l’équation pré-cédente :

� = �

0

+ C : "� k �

= �

0

+ Ca

: "�

T

0

�

(s� s

0

) k avec Ca

= (C+

T

0

�0 �

k k) :

(3.37)

3.8. Expressions des différents potentiels thermoélastiques 91

Ca

est le tenseur d’élasticité isentropique.

Comme � = �0

�e

�"

et T =

�e

�s

, on obtient l’expression suivante de l’énergie interne :

�0e("; s) =

1

2

" : (C+

T

0

�0 �

k k) : " + �

0

: "

+

1

2

�0T0

�

(s� s

0

)

2

�

T

0

�

(s� s

0

) k : " + �0T0 s :

(3.38)

Dans le cas isotrope, on a :

Ca

= C+

T

0

�0 �

k k = (�+

T

0

k

2

�0 �

)1 1+ 2� I : (3.39)

En posant

�

a

= �+

T

0

k

2

�0 �

; (3.40)

on obtient :

�0e("; s) =

1

2

�

a

(tr ")2 + � " : " + �

0

: "

+

1

2

�0T0

�

(s� s

0

)

2

�

T

0

k

�

(s� s

0

) (tr ") + �0T0s ;

(3.41)

puis :8

>

>

<

>

>

:

� = �

0

+ �

a

(tr ")1+ 2� "�

T

0

�

(s� s

0

) k 1

T = T

0

+

T

0

�

(s� s

0

)�

T

0

k

�0 �

(tr ") :

(3.42)

3.8.2 Énergie libre de Gibbs en thermoélasticité linéaire

Dans cette section, on établit l’expression de l’énergie libre de Gibbs en fonction de sesvariables naturelles (la température et la contrainte) en thermoélasticité linéaire.L’expression de l’entropie (3.30) en fonction de l’écart de température et de la contrainte aété établie précédemment. Elle s’écrit :

s = s

0

+

k

�0

: C�1

: (� � �

0

) + (

�

T

0

+

k

�0

: C�1

: k)�

= s

0

+ �

T

: (� � �

0

) +

�

T

0

� ;

(3.43)

avec �

T

= C�1

: k et

�

=

�

+

T

0

�0

k : C�1

: k.


En fonction de l’écart de température et de la contrainte, la déformation s’écrit :

" = C�1

: (� � �

0

) + �

T

� avec �

T

= C�1

: k : (3.44)

Ces deux relations forment les lois d’état8

>

>

<

>

>

:

" = ��0

�g

��

= C�1

: (� � �

0

) + �

T

�

s = �

�g

�T

= s

0

+ (� � �

0

) :

�

T

�0

+

�

T

0

� :

(3.45)

On déduit l’expression de l’énergie libre spécifique de Gibbs g(T; �) :

�0g(T; �) = �

1

2

(� � �

0

) : C�1

: (� � �

0

) � � (� � �

0

) : �

T

�

1

2

�0

�

T

0

�

2

� �0s0�

(3.46)

On rappelle que : g = w �

1

�

� : " .


�0g(T; �) = �

1 + �

2E

(� � �

0

) : (� � �

0

) +

�

2E

(tr (� � �

0

))

2

� �� tr(� � �

0

) �

1

2

�0

�

T

0

�

2

� �0s0�

(3.47)

ou encore :

�0g(T; �) = �

1

4�

�

(� � �

0

) : (� � �

0

) �

�

3�+ 2�

�

tr (� � �

0

)

�

2

�

� �� tr(� � �

0

) �

1

2

�0

�

T

0

�

2

� �0s0�

(3.48)

et

8

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

:

" =

1 + �

E

(� � �

0

) �

�

E

�

tr (� � �

0

)

�

1 + ��1

=

1

2�

�

(� � �

0

) �

�

3�+ 2�

(tr (� � �

0

))1

�

+ �� 1

s = s

0

+

�

�0

tr(� � �

0

) +

�

T

0

� :

(3.49)

3.8.3 Enthalpie en thermoélasticité linéaire

Dans cette section, on établit l’expression de l’enthalpie en fonction de ses variables na-turelles (l’entropie et la contrainte) en thermoélasticité linéaire.Des équations (3.45), on déduit d’abord :

� =

T

0

�

(s� s

0

)�

T

0

�0 �

� : (� � �

0

) ; (3.50)

3.9. Matériau thermoélastique linéaire anisotrope 93

puis :

" =

�

C�1

�

T

0

�0 �

� �

�

: (� � �

0

) +

T

0

�

(s� s

0

)� (3.51)

Or : " = ��0

�h

��

et T =

�h

�s

. On en déduit l’expression de l’enthalpie h(s; �) :

�0h(s; �) = �

1

2

(� � �

0

) :

�

C�1

�

T

0

�0 �

� �

�

: (� � �

0

)

�

T

0

(s� s

0

)

�

� : (� � �

0

) +

1

2

�0T0

�

(s� s

0

)

2

+ �0T0s

(3.52)

On rappelle que : h = e�

1

�

� : " .


�0h(s; �) = �

1

4�

�

(� � �

0

) : (� � �

0

) �

�

s

3�

s

+ 2�

�

tr (� � �

0

)

�

2

�

�

T

0

�(s� s

0

)

�

tr(� � �

0

) +

1

2

�0T0

�

(s� s

0

)

2

+ �0T0s

(3.53)

avec �

s

=

�+ ~�

p

(3�+ 2�)

1� 3�

p

(3�+ 2�)

; �

p

=

T

0

�

2

�0 �

; et ~�

p

= 2� �

p

,

et

8

>

>

<

>

>

:

" =

1

2�

�

(� � �

0

) �

�

s

3�

s

+ 2�

�

tr (� � �

0

)

�

1

�

+

T

0

�

�

(s� s

0

)1

� =

T

0

�

(s� s

0

)�

T

0

�

�0 �

tr(� � �

0

) :

(3.54)

3.9 Matériau thermoélastique linéaire anisotrope

3.9.1 Cas général

Certains matériaux ne possèdent pas les mêmes propriétés dans toutes directions. C’estnotamment le cas des matériaux composites, des monocristaux métalliques, du bois, etc.Néanmoins, ces matériaux, dans une configuration de référence, sont dotés de microstruc-ture présentant des symétries qualifiées de matérielles. Cela signifie que les propriétés dumatériau sont invariantes dans toutes les transformations linéaires ou les changements deconfiguration réalisant ces symétries. Il en est de même de la loi de comportement du maté-riau. On se limite ici aux matériaux thermoélastiques linéaires. Ainsi, désignons par w("; T )l’expression de l’énergie libre spécifique relative à la configuration de référence. Effectuonsun changement de configuration par une transformation linéaire du groupe G

S

des symétriesmatérielles, de tenseur associé P . La déformation devient :

~" = P � " �

t

P : (3.55)


On a alors

w("; T ) = w(~"; T ) soit w("; T ) = w(P � " �

t

P ; T ); 8";8P 2 G

S

: (3.56)

Par conséquent, les expressions des composantes de la loi de comportement sont les mêmesdans les repères orthonormés qui se correspondent par ces symétries. Dans les exemplesqui suivent, les cas classiques de symétries matérielles sont rappelés avec les réductionsqu’elles entraînent sur le nombre de coefficients indépendants des différents tenseurs ther-moélastiques.

On rappelle que, dans le cas général général (voir section 3.3), le matériau thermoélas-tique linéaire possèdent 21 coefficients élastiques indépendants définissant le tenseur d’élas-ticité C et 6 coefficients thermoélastiques définissant le tenseur k. En adoptant la « notation

ingénieur » :2

6

6

6

6

6

6

4

�

1

�

2

�

3

�

4

�

5

�

6

3

7

7

7

7

7

7

5

=

2

6

6

6

6

6

6

4

�

11

�

22

�

33

�

12

�

13

�

23

3

7

7

7

7

7

7

5

;

2

6

6

6

6

6

6

4

"

1

"

2

"

3

"

4

"

5

"

6

3

7

7

7

7

7

7

5

=

2

6

6

6

6

6

6

4

"

11

"

22

"

33

2"

12

2"

13

2"

23

3

7

7

7

7

7

7

5

et

2

6

6

6

6

6

6

4

k

1

k

2

k

3

k

4

k

5

k

6

3

7

7

7

7

7

7

5

=

2

6

6

6

6

6

6

4

k

11

k

22

k

33

k

12

k

13

k

23

3

7

7

7

7

7

7

5

; (3.57)

la relation� = �

0

+ C : "� k � (3.58)

est écrite sous la forme :�

i

= �0i +Cij

"

j

+ �k

i

(3.59)

avec la matrice symétrique C définie par :2

6

6

6

6

6

6

4

C

11

C

12

C

13

C

14

C

15

C

16

C

22

C

23

C

24

C

25

C

26

C

33

C

34

C

35

C

36

C

44

C

45

C

46

C

55

C

56

C

66

3

7

7

7

7

7

7

5

=

2

6

6

6

6

6

6

4

C11 11

C11 22

C11 33

C11 12

C11 13

C11 23

C22 22

C22 33

C22 12

C22 13

C22 23

C33 33

C33 12

C33 13

C33 23

C12 12

C12 13

C12 23

C13 13

C13 23

C23 23

3

7

7

7

7

7

7

5

Elle possède donc bien 21 coefficients indépendants. On a alors :

� : " = �

ij

"

ji

= Cij kl

"

lk

"

ji

= �

i

"

i

= C

ij

"

j

"

i

(3.60)

et l’énergie libre s’écrit :

�0w("; T ) = �0i"i +1

2

C

ij

"

i

"

j

� �k

i

"

i

�

1

2

�0

�

T

0

�

2

� �0s0� : (3.61)

La relation de comportement inverse :

" = S : (� � �

0

) + �

T

� avec S = C�1 (3.62)


est écrite sous la forme :"

i

= S

ij

(�

j

� �0j) + �

Ti

� (3.63)

avec Sij

= S

ji

. Les Sij

sont les composantes de la matrice de souplesse symétrique S ;elles sont reliées aux composantes de S par la relation :

2

6

6

6

6

6

6

4

S

11

S

12

S

13

S

14

S

15

S

16

S

22

S

23

S

24

S

25

S

26

S

33

S

34

S

35

S

36

S

44

S

45

S

46

S

55

S

56

S

66

3

7

7

7

7

7

7

5

=

2

6

6

6

6

6

6

4

S11 11

S11 22

S11 33

2S11 12

2S11 13

2S11 23

S22 22

S22 33

2S22 12

2S22 13

2S22 23

S33 33

2S33 12

2S33 13

2S33 23

4S12 12

4S12 13

4S12 23

4S13 13

4S13 23

4S23 23

3

7

7

7

7

7

7

5

:

On a coutume de mettre la matrice des souplesses�

S

�

sous la forme :

�

S

�

=

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

1

E

1

�

�

21

E

2

�

�

31

E

3

�

4;1

E

1

�

5;1

E

1

�

6;1

E

1

�

�

12

E

1

1

E

2

�

�

32

E

3

�

4;2

E

2

�

5;2

E

2

�

6;2

E

2

�

�

13

E

1

�

�

23

E

2

1

E

3

�

4;3

E

3

�

5;3

E

3

�

6;3

E

3

�

1;4

G

4

�

2;4

G

4

�

3;4

G

4

1

G

4

G

5;4

G

4

G

6;4

G

4

�

1;5

G

5

�

2;5

G

5

�

3;5

G

5

G

4;5

G

5

1

G

5

G

6;5

G

5

�

1;6

G

6

�

2;6

G

6

�

3;6

G

6

G

4;6

G

6

G

5;6

G

6

1

G

6

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

(3.64)

qui met en évidence :

1. les trois modules de Young E

i

; i = 1; 2; 3 selon les trois directions du repère considéré(E

i

= �

i

="

i

lors d’une traction selon e

i

),

2. les trois modules de cisaillement Gk

; k = 4; 5; 6 dans les trois plans 12; 13; 23,(G

k

= �

k

="

k

lors d’un cisaillement dans le plan associé),

3. les six coefficients de Poisson �

ij;i 6=j

; i; j = 1; 2; 3. �ij

est égal rapport �"j

="

i

lorsd’une traction selon e

i

,

4. les neuf coefficients �k;i

; k = 4; 5; 6 et i = 1; 2; 3. �

k;i

=E

i

correspond à la dilatationdans la direction i induite par un cisaillement unitaire dans le plan associé à k,

5. les neuf coefficients �i;k

; k = 4; 5; 6 et i = 1; 2; 3. �

i;k

=G

k

correspond au glissementdans le plan associé à k induit par une traction unitaire dans la direction i,

6. les six coefficients Gk;l

; k; l = 4; 5; 6. Gk;l

=G

l

correspond au glissement dans le planassocié à l induit par un cisaillement unitaire dans le plan associé dans la direction k.

La symétrie de S implique :

�

ij

E

i

=

�

ji

E

j

;

�

k;i

E

i

=

�

i;k

G

k

;

G

k;l

E

l

=

G

l;k

E

k

: (3.65)


3.9.2 Symétrie par rapport à un plan

Le matériau possède un plan de symétrie défini par les vecteurs unitaires e

1

et e2

, quiforment avec le vecteur e

3

une base orthogonale. L’application linéaire qui laisse ces vecteursinchangés et transforme le vecteur e

3

en �e3

est définie par :

P = e

1

e

1

+ e

2

e

2

� e

3

e

3

: (3.66)

Elle transforme le tenseur des déformations " en ~" défini par

~" = P � " �

t

P (3.67)

dont les composantes sont :

~"

11

= "

11

; ~"

22

= "

22

; ~"

33

= "

33

; ~"

12

= "

12

; ~"

13

= �"

13

; ~"

23

= �"

23

(3.68)

ou encore

~"

1

= "

1

; ~"

2

= "

2

; ~"

3

= "

3

; ~"

4

= "

4

; ~"

5

= �"

5

; ~"

6

= �"

6

: (3.69)

En égalant les expressions de w("; T ) et w(P � " �

t

P ; T ), pour tout ", on aboutit à uneréduction du nombre de composantes indépendantes de C de 21 à 13, et de celui de k quipasse de 6 à 4. Ainsi, les composantes C

i5

;C

i6

; pour i = 1; 2; 3; 4 sont nulles, de mêmeque k

5

et k6

. La matrice (3.9.1), exprimée dans la base privilégiée (e

1

; e

2

; e

3

), devient dansce cas :

�

C

�

=

2

6

6

6

6

6

6

4

C

11

C

12

C

13

C

14

0 0

C

22

C

23

C

24

0 0

C

33

C

34

0 0

C

44

0 0

C

55

C

56

C

66

3

7

7

7

7

7

7

5

: (3.70)

3.9.3 Matériau orthotrope

Le matériau possède trois plans de symétrie orthogonaux deux à deux, définis par lesvecteurs unitaires e

1

, e2

et e3

. On reprend la procédure utilisée dans le cas précédent. Lestrois applications linéaires P

l

; l = 1; 2; 3 correspondant aux trois symétries par rapport auxplans orthogonaux sont cette fois-ci considérées. L’égalité entre les expressions w("; T ) etw(P

l

�"�

t

P

l

; T ); 8"; l = 1; 2; 3, conduit d’une part, à la nullité des composantesCi4;i=1;2;3

,C

i5;i=1;2;3;4

, Ci6;i=1;2;3;4;5

qui réduit le nombre de composantes indépendantes de C de 21à 9, d’autre part à celle des composantes k

4

; k

5

et k6

de k qui passent de 6 à 3.

�

C

�

=

2

6

6

6

6

6

6

4

C

11

C

12

C

13

0 0 0

C

22

C

23

0 0 0

C

33

0 0 0

C

44

0 0

C

55

0

C

66

3

7

7

7

7

7

7

5

: (3.71)


Le tenseur des souplesses (3.9.1) s’écrit alors :

�

S

�

=

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

1

E

1

�

�

21

E

2

�

�

31

E

3

0 0 0

�

�

12

E

1

1

E

2

�

�

32

E

3

0 0 0

�

�

13

E

1

�

�

23

E

2

1

E

3

0 0 0

0 0 0

1

G

12

0 0

0 0 0 0

1

G

13

0

0 0 0 0 0

1

G

23

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

(3.72)

avec :�

21

E

2

=

�

12

E

1

;

�

31

E

3

=

�

13

E

1

et�

32

E

3

=

�

23

E

2

; (3.73)

faisant apparaître :

1. E

i

le module de Young selon la direction e

i

de symétrie matérielle,

2. �

ij

le coefficient de Poisson égal au rapport �"j

="

i


i

,

3. G

ij

le module de cisaillement dans le plan défini par ei

et ej

.

3.9.4 Matériau à symétrie cubique

C’est un matériau orthotrope dont les trois directions privilégiées sont équivalentes. Letenseur d’élasticité C est alors :

�

C

�

=

2

6

6

6

6

6

6

4

C

11

C

12

C

12

0 0 0

C

11

C

12

0 0 0

C

11

0 0 0

C

44

0 0

C

44

0

C

44

3

7

7

7

7

7

7

5

(3.74)

ce qui donne trois coefficients indépendants. Quant au tenseur k, il n’a plus qu’une compo-sante dans le repère privilégié.

3.9.5 Matériau orthotrope de révolution

C’est un matériau dit aussi isotrope transverse dans la configuration de référence ; il pos-sède un axe de symétrie e

3

. Le tenseur P correspondant à une rotation d’angle � autour e3


est :

(P ) =

2

4

os � sin � 0

� sin � os � 0

0 0 1

3

5

: (3.75)

Le tenseur des déformations ~" défini par

~" = P � " �

t

P (3.76)

a pour composantes :

8

>

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

>

:

~"

11

= "

11

os

2

� + "

12

sin 2� + "

22

sin

2

�

~"

12

= ("

22

� "

11

)

sin 2�

2

+ "

12

os 2�

~"

13

= "

13

os � + "

23

sin �

~"

22

= "

22

os

2

� � "

12

sin 2� + "

11

sin

2

�

~"

23

= �"

13

sin � + "

23

os �

~"

33

= "

33

:

(3.77)

Les invariants du premier et second ordre de ~" dans ces rotations, au nombre de quatre, sont~"

11

+ ~"

22

, ~"11

~"

22

� ~"

2

12

, ~"213

+ ~"

2

23

et ~"33

. La forme quadratique 1

2

" : C : " a donc cinq termes

non nuls donnant les cinq composantes de C dans le repère privilégié :

�

C

�

=

2

6

6

6

6

6

6

4

C

11

C

12

C

13

0 0 0

C

11

C

13

0 0 0

C

33

0 0 0

1

2

(C

11

�C

22

) 0 0

C

55

0

C

55

3

7

7

7

7

7

7

5

: (3.78)

Le tenseur C a donc 5 composantes non nulles et le tenseur k en a 2. Avec les notationsusuelles, cette matrice s’écrit :

�

C

�

=

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

�

?

+ 2�

?

�

?

� 0 0 0

�

?

�

?

+ 2�

?

� 0 0 0

� � � 0 0 0

0 0 0 �

?

0 0

0 0 0 0 G 0

0 0 0 0 0 G

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

(3.79)

3.10. Comportement thermoélastique : cas de grandes variations de température 99

Le tenseur inverse, définissant la relation " = S(� � �

0

) + �

T

� , est noté :

�

S�

=

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

1

E

?

�

�

?

E

?

�

�

E

0 0 0

�

�

?

E

?

1

E

?

�

�

E

0 0 0

�

�

E

�

�

E

1

E

0 0 0

0 0 0

2(1+�

?

)

E

?

0 0

0 0 0 0

1

G

0

0 0 0 0 0

1

G

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

(3.80)

faisant apparaître :

1. E le module de Young selon la direction e

3

de symétrie matérielle,

2. � le coefficient de Poisson égal au rapport �"11

="

33


3

,

3. E

?

le module de Young selon une direction du plan perpendiculaire à e3

,

4. �

?

le coefficient de Poisson égal au rapport �"22

="

11


1

,

5. G le module de cisaillement entre la direction e

3

et son plan perpendiculaire.

3.10 Comportement thermoélastique : cas de grandes variations de tem-pérature

On considère cette fois-ci des grandes variations de température 8, associées à des défor-mations infinitésimales autour de l’état initial défini par les variables d’état "

0

= 0 et T0

. Lepotentiel thermodynamique naturel, cohérent avec ce choix de variables, est l’énergie librede Helmholtz. Ainsi, les fonctions d’état, énergie libre et entropie, s’écrivent : w("; T ) ets("; T ). L’état d’équilibre initial, qui sert de configuration de référence, est défini par les va-riables d’état "

0

= 0 et T0

, la contrainte �0

= �("

0

; T

0

) et l’entropie s0

= s("

0

; T

0

).

En développant le potentiel thermodynamique au second ordre en déformation, on ob-tient :

�w("; T ) = �w(0; T ) +

�(�w)

�"

(0; T ) : "+

1

2

" :

�

2

(�w)

�"�"

(0; T ) : " : (3.81)

8. Voir : D. Boussaa. Effective thermoelastic properties of composites with temperature-dependent constituents,Mechanics of Materials 43 :8, 2011, 397-407.


Les expressions, au premier ordre en déformation 9, des lois d’état (3.1) sont alors :8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

�("; T ) = �0

�w

�"

(0; T ) + �0

�

2

w

�"�"

(0; T ) : "

= �(0; T ) + C(T ) : "

s("; T ) = �

�w

�T

(0; T ) �

�

2

w

�T�"

(0; T ) : "

= s(0; T ) +

k(T )

�0

: " :

(3.82)

Ces lois mettent en évidence les grandeurs physiques suivantes :

� le tenseur d’élasticité

C(T ) = �0

�

2

w(0; T )

�"�"

(3.83)

� et le tenseur des coefficients thermoélastiques ;

k(T ) = ��0

�

2

w(0; T )

�T�"

: (3.84)

Ce dernier terme permet de préciser l’expression de la quantité �(0; T ). En effet,

k(T ) = �

��(0; T )

�T

(3.85)

d’où

�(0; T )� �

0

= �

Z

T

T

0

k(v)dv ; (3.86)

et par conséquent :

�("; T ) = �

0

�

Z

T

T

0

k(v)dv + C(T ) : " : (3.87)

Cette expression peut aussi s’écrire en faisant intervenir le tenseur des dilatations thermiquesinstantanées �

tan(T ) défini par :

�

tan(T ) =

�"(�

0

; T )

�T

: (3.88)

En effet, de la relation (3.87), on tire :

"(�; T ) = C�1

(T ) : (� � �

0

) + C�1

(T ) :

Z

T

T

0

k(v)dv : (3.89)

9. Ceci a conduit à ne pas prendre en compte le terme1

2

" :

�

3

(�w)

�T�"�"

(0; T ) : " dans l’expression de l’entropie

(Éq. 3.82).

3.10. Comportement thermoélastique : cas de grandes variations de température 101

d’où

�

tan(T ) =

ddT

C�1

(T ) :

Z

T

T

0

k(v)dv

!

; (3.90)

ou encore

"(�; T ) = C�1

(T ) : (�(T )� �

0

) +

Z

T

T

0

�

tan(v)dv : (3.91)

En définissant �sec(T ), le tenseur moyen des dilatations thermiques entre T

0

et T , par :

�

sec(T ) =

1

T � T

0

Z

T

T

0

�

tan(v)dv ; (3.92)

la déformation se met sous la forme :

"(�; T ) = C�1

(T ) : (�(T )� �

0

) + �

sec(T ) (T � T

0

); (3.93)

et la contrainte s’écrit :

�("; T ) = C(T ) : "� C�1

(T ) : �

sec(T ) (T � T

0

) + �

0

: (3.94)

Le terme s(0; T ) peut aussi être précisé en faisant intervenir la capacité calorifique spécifiqueà déformation constante

�

("; T ) définie par

�

("; T ) = T

�s("; T )

�T

: (3.95)

Elle s’écrit dans ce cas :

�

("; T ) = �T

�

�T

�

�w(0; T )

�T

�

+

�

3

w(0; T )

�T

2

�"

: "

!

: (3.96)

On a donc :

�

(0; T ) = �T

�

�T

�

�w(0; T )

�T

�

: (3.97)

L’intégration entre les températures T0

et T de l’équation (3.97), donne :

�

�w(0; T )

�T

= s

0

+

Z

T

T

0

�

(0; t)

t

dt ; (3.98)

ce qui conduit à l’expression suivante de l’entropie :

s("; T ) = s

0

+

Z

T

T

0

�

(0; v)

v

dv +k(T )

�0

: " : (3.99)


En résumé, la loi de comportement s’écrit :8

>

>

>

<

>

>

>

:

�("; T ) = �

0

�

Z

T

T

0

k(v)dv + C(T ) : "

s("; T ) = s

0

+

Z

T

T

0

�

(0; v)

v

dv +

k(T )

�0

: "

(3.100)

Dans le cas où le tenseur d’élasticité, le tenseur des coefficients thermoélastiques et lacapacité calorifique varient très peu autour de leurs valeurs initiales dans la gamme de tem-pérature considérée, on a les approximations suivantes :

C(T ) ' C(T0

) ; k(T ) ' k(T

0

) et

�

(0; T ) '

�

(T

0

) :

En effectuant les intégrations apparaissant dans les équations (3.100), on obtient les loisd’état :

8

>

<

>

:

�("; T ) = �

0

� k(T

0

) (T � T

0

) + C(T0

) : "

s("; T ) = s

0

+

�

(T

0

) ln

T

T

0

+

k(T

0

)

�0

: " ;

ou encore

8

>

>

<

>

>

:

�0

�w("; T )

�"

= �

0

� k(T

0

) (T � T

0

) + C(T0

) : "

�

�w("; T )

�T

= s

0

+

�

(T

0

) ln

T

T

0

+

k(T

0

)

�0

: " :

Par intégration, on trouve l’expression suivante de l’énergie libre w("; T ) développée ausecond ordre en déformation :

�0w("; T ) =

1

2

" : C : "+ �

0

: "� (T � T

0

)k : "

��0 �T

�

ln

T

T

0

� 1 +

T

0

T

�

� �0(T � T

0

)s

0

+ w

0

:

(3.101)

Dans cette expression, les grandeurs C; k; �

; �

0

; s

0

et w0

sont évaluées à (0; T

0

). Cette dé-

pendance a été omise afin d’alléger l’écriture de l’énergie libre.

Remarque : Si on fait l’hypothèse des petites variations de température (T � T

0

) � T

0

,un développement limité de (3.101) en (T � T

0

) permet de retrouver l’expression (3.15) del’énergie libre.

0n déduit les lois d’état suivantes :8

>

>

<

>

>

:

� = �

0

+ C : "� k (T � T

0

)

s = s

0

+

k

�0

: "+

�

ln

T

T

0

:

(3.102)

3.11. Récapitulatif 103

3.11 Récapitulatif

� Thermoélasticité isotrope linéarisée

Énergie libre de Helmholtz :

�

0

w("; T ) =

1

2

� (tr ")2 + � " : "� k � (tr ") + �

0

: "�

1

2

�

0

�

T

0

�

2

� �

0

s

0

�

Lois d’état et loi de Fourier :

8

>

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

>

:

� = �

0

+ � (tr ")1+ 2� "� k� 1 ou " =

1 + �

E

� �

�

E

(tr�)1+ ��1

s = s

0

+

k

�

0

tr(") +

�

T

0

�

q = �KrT

Équation de la dynamique et équation de la chaleur :8

>

>

<

>

>

:

div� + �

0

F = �

0

�

2

�

�t

2

�

0

�

_

T �K�T = r � T

0

k (tr _")

Relations entre les coefficients thermoélastiques :

� =

E�

(1 + �)(1� 2�)

� =

E

2(1 + �)

k = �(3�+ 2�) =

�E

(1� 2�)

E = �

3�+ 2�

�+ �

� =

�

2(�+ �)

� =

k

3�+ 2�

=

k(1� 2�)

E


?Autres potentiels thermoélastiques dans le cas isotrope

� Énergie interne

�

0

e("; s) =

1

2

�

a

(tr ")2 + � " : " + �

0

: "

+

1

2

T

0

�

(s� s

0

)

2

�

T

0

k

�

0

�

(s� s

0

) (tr ") + �

0

T

0

s ;

et les lois d’état8

>

>

<

>

>

:

� = �

0

+ �

a

(tr ")1+ 2� "�

T

0

�

(s� s

0

) k 1 avec �

a

= �+

T

0

k

2

�

0

�

T = T

0

+

T

0

�

(s� s

0

)�

T

0

k

�

0

�

(tr ") :

� Énergie libre de Gibbs

�

0

g(T; �) = �

1

4�

�

(� � �

0

) : (� � �

0

) �

�

3�+ 2�

�

tr (� � �

0

)

�

2

�

� �� tr(� � �

0

) �

1

2

�

0

�

T

0

�

2

� �

0

s

0

�

et

8

>

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

>

:

" =

1 + �

E

(� � �

0

) �

�

E

�

tr (� � �

0

)

�

1 + �� 1

=

1

2�

�

(� � �

0

) �

�

3�+ 2�

�

tr (� � �

0

)

�

1

�

+ �� 1

s = s

0

+

�

�

0

tr (� � �

0

) +

�

T

0

� :

� Enthalphie

�

0

h(s; �) = �

1

4�

�

(� � �

0

) : (� � �

0

) �

�

s

3�

s

+ 2�

�

tr (� � �

0

)

�

2

�

�

T

0

�(s� s

0

)

�

tr(� � �

0

) +

1

2

�

0

T

0

�

(s� s

0

)

2

+ �

0

T

0

s

et

8

>

>

<

>

>

:

" =

1

2�

�

(� � �

0

) �

�

s

3�

s

+ 2�

�

tr (� � �

0

)

�

1

�

+

T

0

�

�

(s� s

0

)1

� =

T

0

�

(s� s

0

)�

T

0

�

�

0

�

tr (� � �

0

) :

avec �

s

=

�+ ~�

p

(3�+ 2�)

1� 3�

p

(3�+ 2�)

; �

p

=

T

0

�

2

�

0

�

et ~�

p

= 2� �

p

3.12. Exercices 105

3.12 Exercices

Exercice 3.1 Thermoélasticité en transformation infinitésimale

Un élément important de la validation des modèles phénoménologiques macroscopiques estla quantification par des moyens expérimentaux, des énergies mises en jeu par les différentsmécanismes. Des techniques comme la thermographie infrarouge sont développées pourpermettre à partir des mesures de température en surface de remonter aux puissancesthermiques afin de pouvoir contrôler l’adéquation des modèles aux observations physiques.Cet exercice a, qui sera poursuivi en plasticité, constitue une introduction sommaire à cetteproblématique.

On considère une éprouvette cylindrique, d’axe Oz, de rayon R = 1 m et de hauteurL = 10 m. Dans cette configuration initiale prise comme référence, l’éprouvette est à l’étatnaturel, à la température T

0

= 20

0

C. Son matériau constitutif est un acier DP60 consi-déré comme thermoélastique linéaire, isotrope et homogène. Ses caractéristiques (module deYoung E, coefficient de Poisson �, coefficient de dilatation thermique �, masse volumique�, conductivité thermique K, chaleur spécifique à déformation constante

�

) supposées indé-pendantes de la température sont données dans le tableau ci-dessous.

E (MPA) � � (K�1) � (kg/m3) K (W.m�1.K�1)

�

(J.kg�1.K�1)

210000. 0.3 1.5 10�5 7800. 64 460

L’éprouvette est en évolution sous l’action d’efforts surfaciques exclusivement exercés surses sections extrêmes S

0

(z = 0) et SL

(z = L). Sur S0

, les efforts sont : T = ��(t)e

z

etsur S

0

, T = �(t)e

z

. La surface latérale est libre de contrainte. On néglige les forces de masse.

A. Évolution adiabatique

On s’intéresse à la phase de la première traction entre t

0

= 0 et tf

, effectuée avec unecontrainte imposée �(t) strictement croissante de 0 à �

m

> 0. On suppose cette phase suffi-samment rapide pour que l’évolution soit considérée comme adiabatique.

1. Montrer que la température de l’éprouvette baisse quand la contrainte augmente.

2. Donner la variation de température entre les instants t0

et tf

.

3. Déterminer les modules d’élasticité adiabatiques �a

et �a

(� = �

a

(tr ")1+ 2�

a

" ),et comparer les aux modules isothermes � et �.

4. Établir la relation entre les capacités calorifiques spécifiques à déformation constante( �

) et à constrainte constante( �

). Montrer que l’on a : (3�a

+2�

a

)

�

= (3�+2�)

�

.

a. Cet exercice a été élaboré à partir de l’article suivant : Boulanger T., Chrysochoos A., Mabru C., Gal-tier A. Calorimetric analysis of dissipative and thermoelastic effects associated with the fatigue behavior of steels,International Journal of Fatigue, 26, pp 221-229, 2004.


B. Évolution cyclique avec échanges par convection

On s’intéresse dans la suite à la réponse thermique sous le chargement sinusoïdal

�(t) = �

m

+ �

a

sin(2�ft)

f est la fréquence de sollicitation, les contraintes �m

et �a

> 0 sont données. On supposetoujours la température uniforme dans l’éprouvette, mais on souhaite tenir compte de pertespar convection qui caractérisent les échanges de la chaleur avec le milieu environnant. Onsuppose que cet échange se fait uniquement par la surface latérale (r = R), suivant la loi :

q:n = h(T � T

0

)

avec h > 0 le coefficient de convection, T0

la température du milieu extérieur est aussi latempérature initiale de la pièce.

5. Écrire l’ensemble des équations de ce problème de thermoélasticité couplé.

6. En utilisant l’ensemble des symétries et hypothèses du problème (géométrie, compor-tement, chargement) et les propriétés de l’évolution quasi-statique, déduire que :

�

�

�T

�t

�K

1

r

�

�r

(r

�T

�r

) = r

eq

en tout point du cyclindre, et expliciter le terme req

de la source volumique de chaleur.

7. Le cylindre est élancé : R� H . La température moyennée sur la section S

T (t) =

1

S

Z

S

T (r; �; t)dS

est alors considérée comme une bonne approximation pour décrire l’état de la sectionS.Montrer que dans ce cas, le problème thermique se réduit à :

d�dt

+

�

t

e

= �

�T

0

�

�

d�dt

avec te

une constante que l’on déterminera et �(t) = T (t)� T

0

.

8. Déterminer l’évolution de la température en fonction du temps.

9. Étudier la dépendance de 2T

a

= (T

max

� T

min

) par rapport à la fréquence f .

3.12. Exercices 107

Éléments de réponse

1. La variation de la température est reliée à celle de la contrainte par :

_

T = �

T

0

�

�

�

+ 3(3�+ 2�)�

2

T

0

tr _� :

2. Par intégration, on trouve :

�T

f

= T

f

� T

0

= �

T

0

��

m

(1� 2�)

�

�

(1� 2�) + 3E�

2

T

0

:

Pour �m

= 1200MPa, on obtient �T = 0; 1K.

3. En utilisant la relation entre � et tr " dans la cas adiabatique, pour éliminer � de la loi de com-portement thermoélastique linéaire, on obtient :

�

a

= �+

k

2

T

0

�

�

= �+

�

2

E

2

T

0

�

�

(1� 2�)

2

et �

a

= � :

4. On exprime _s en fonction de _" et _

T puis de _� et _

T pour obtenir :

�

=

�

+

3�kT

0

�

ou encore (3�+ 2�)

�

= (3�

a

+ 2�

a

)

�

:

7. �

e

=

�R

�

2h

:

8. �(t) = (�T

f

+A sin')e

�t=�

e

�A sin(!t+ ') avec A =

�!�

a

T

0

�

�

p

1=�

2

e

+!

2

:

9. �T = T

max

� T

min

=

4��

a

fT

0

�

�

p

1=�

2

e

+ 4�

2

f

2

:

Exercice 3.2 Stabilité d’un matériau thermoélastique à liaison interneOn considère un matériau thermoélastique doté d’une liaison interne : l("; T ) = 0. Montrerqu’un tel matériau est instable, dans sa configuration naturelle. (On montrera, en choisis-sant par exemple � et s comme variables d’état, que le tenseur d’élasticité ne vérifie pas lacondition de positivité assurant la stabilité pour des évolutions isothermes).


La relation (3.52), définissant " en fonction de � et de s, s’écrit :

" =

�

C�1

�

T

0

�0 �

� �

�

: (� � �

0

) +

T

0

�

(s� s

0

)� :

On pose : A = C�1

�

T

0

�0 �

� �. La dérivée temporelle de la liaison interne donne la relation :

l;

"

: _"+ l;

T

_

T = 0 :


Pour des évolutions isothermes, on a donc : l;"

: _" = 0 puis l;"

: C�1

: _� = 0 . Si l;"

: � est non nul,

on obtient alors :

l;

"

: A : l;

"

= l;

"

: C�1

: l;

"

�

T

0

�0 �

(l;

"

: �)

2

= �

T

0

�0 �

(l;

"

: �)

2

< 0 ;

qui illustre un cas d’instabilité.

Exercice 3.3 Thermoélasticité non linéaireOn considère un solide thermoélastique dont le comportement, en transformation uniaxiale,est défini par l’énergie libre spécifique de Helmholtz w("; T ) suivante :

w(�; T ) =

1

2

ET"

4

+ CT (1� lnT ) :

E et C sont deux constantes strictement positives.

1. Donner l’expression de l’entropie et de l’énergie interne en fonction de la déformationet de la température.

2. On effectue une traction isotherme. Comment varie l’énergie interne ? Donner une ex-plication de ce phénomène en précisant ce que devient l’énergie mécanique fournie.

3. On effectue une traction adiabatique à vitesse de déformation _" constante. Calculer lavariation de température correspondante.


1. L’entropie est donnée par : s = �

�w

�T

= �

1

2

E"

4

+ C lnT .

L’énergie interne est donnée par : e = w + Ts = CT .

2. Dans un traction isotherme, l’énergie interne ne varie pas. Le premier principe, en quasi-statique,s’écrit : _e = P

e

+ Pcal :

Comme _e = 0, toute l’énergie mécanique fournie est évacuée vers l’extérieur sous forme dechaleur pour maintenir la température constante.

3. Dans une transformation adiabatique, il n’y a pas d’échange de chaleur. Dans ce contexte, lavariation d’entropie est nulle, ce qui donne : _s = 0 soit C

_

T

T

= 2E"

3

_".

CHAPITRE 4

Comportement dissipatif indépendant dutemps physique

"It is most convenient to develop the theory in terms which are ge-

neral enough to encompass relevant material behaviors but at the

same time so simple that the essential content is kept clear."

J.R. Rice, Inelastic constitutive relations for solids : an internal-

variable theory and its application to metal plasticity, JMPS, 1971.

À la fin de ce chapitre, vous devriez savoir

� La structure des lois de comportement élastoplastiques :

� la forme de l’énergie libre de Helmholtz,

� les trois fonctions permettant de définir de manière équivalente les loisd’évolutions dans le cas standard généralisé.

� Reconnaître les différents types d’écrouissages (cinématiques et isotropes, linéaires etnon linéaires).

� L’estimation de l’énergie dissipée dans les différents modèles.

4.1 Présentation

Dans ce chapitre, une première classe de comportements présentant de la dissipation in-trinsèque est abordée d’abord dans un cadre isotherme. Il s’agit de celle formée par certainsmatériaux élastoplastiques ou endommageables. Le comportement élastoplastique est pré-senté, à la température ambiante, par les matériaux métalliques soumis à des sollicitationsdépassant un certain seuil. Il se caractérise par une indépendance par rapport à la vitesse desollicitation et par des déformations permanentes après déchargement total. Il se manifestedans les opérations de formage, dans les problèmes de choc et de crash 1.

Dans un premier temps, la structure générale des modèles de comportement élastoplas-tiques étudiés est établie dans le cadre de la transformation infinitésimale. La déformationplastique est d’abord définie à partir des variables internes. L’indépendance des coefficients

1. Dans les problèmes de crash, la dépendance du comportement par rapport à la vitesse de chargement estgénéralement prise en compte.

109

110 Chapitre 4. Comportement dissipatif indépendant du temps physique

d’élasticité par rapport aux variables internes confère une forme particulière à l’énergie libre.De même, les comportements étudiés, intrinsèquement dissipatifs, sont indépendants du tempsphysique. Cette dernière propriété signifie que la réponse du matériau ne dépend pas de la vi-tesse de la sollicitation et s’effectue de façon concomitante à la sollicitation. Les relationsde comportement sont alors invariantes par homothétie positive sur la variable temps et ladissipation intrinsèque devient une fonction des flux positivement homogène de degré un,paramétrée par les variables d’état actuelles. Elle sert alors aussi de potentiel de dissipation.

Des exemples classiques de comportement élastoplastique (parfait, à écrouissages iso-trope, cinématique linéaire et non linéaire, etc.) sont donnés 2 en mettant en évidence la struc-ture définie. La démarche choisie, la même dans tous les cas, part des essais uniaxiaux pouridentifier un assemblage rhéologique susceptible de rendre compte des principaux phéno-mènes observés. Une extension tridimensionnelle de ce modèle est ensuite effectuée.

Une introduction à l’endommagement est enfin présentée dans un cadre standard généra-lisé.

4.2 Structure de la loi de comportement

Dans cette section, la structure de la loi de comportement élastoplastique classique estmise en évidence en utilisant des propriétés générales de cette classe de matériaux. Les hy-pothèses qui vont être progressivement formulées sont :

� transformations infinitésimales et isothermes ;

� indépendance des modules d’élasticité par rapport aux variables internes ;

� indépendance du comportement par rapport au temps physique.

Les résultats qui en découlent, établis dans la suite de cette section, sont :

1. la décomposition de la déformation totale " en une déformation plastique "p unique-ment fonction des variables internes � et d’une déformation élastique "e fonction dela contrainte actuelle : " = "

e

(�) + "

p

(�) ;

2. la séparation de l’énergie libre en deux parties : l’une dépendant de la déformationélastique et l’autre de l’écrouissage : w(";�) = w

e

("

e

) + w

�

(�) ;

3. la dissipation comme fonction positivement homogène de degré un en taux de va-riables dissipatives : d

1

(�

_

�) = �d1

(

_

�) pour tout � � 0.

Finalement, dans un cadre standard généralisé, le matériau sera décrit par deux potentiels :l’énergie libre de Helmholtz séparable en deux parties, le potentiel de dissipation positive-ment homogène de degré un en taux de variables internes.

2. Les formulations élégantes de l’élastoplasticité écrouissable pour dériver certains résultats d’unicité sont es-sentiellement dues à Q.S. Nguyen, "Contribution à la théorie macroscopique de l’élastoplasticité avec écrouissage",thèse de l’université Paris VI, 1973, et à B. Halphen & Q.S. Nguyen, "Sur les matériaux standards généralisés", J.de Mécanique, 14, 1, pp 39-63, 1975.

Documents

2.8 Récapitulatif - Les Éditions de l'École Polytechnique