ObjectifsAcquérir les méthodes et les outils d'application de la Maitrise Statistique des procédés (MSP). À l’issue de cet enseignement, un étudiant sera capable de :* présenter de manière synthétique des résultats à l’aide de paramètres et graphiques* traiter des données, mettre en œuvre et interpréter des tests statistiques pour prendre des décisions* mettre en place des outils de suivi de production.

EvaluationS1 : 1 h, CR sur machine en utilisant R)

Contenu (4 cours, 6 TD)

Enseignant : Florent ARNALAdresse électronique : florent.arnal@u-bordeaux.frSite internet : http ://flarnal.e-monsite.com

Maitrise statistique des procédés2A AGB – Semestre 7 - 2019

1

1

PLAN DU COURS

Partie I : Tests statistiquesTests de comparaisons : moyennes, variances et proportionsTests non paramétriquesAnalyse de variance : ANOVA à un facteur, deux facteursApplications : contrôle de préemballés, Analyse sensorielle,

Partie II : Maitrise Statistique des procédés GénéralitésRègle des 6 sigmasReprésentations graphiques (Diagrammes de causes et effets,

diagramme de Pareto, …)Capabilité d’une machine, d’un processusCartes de contrôle

2

I.1. Test du Khi-deux d’homogénéité & d’indépendance

Exemple :Trois produits sont évalués par des consommateurs qui doivent répondre à la question suivante :Achèteriez-vous ce produit ?Les résultats obtenus sont les suivants :

L’appréciation est-elle liée au produit ?

P1 P2 P3OUI 40 50 60

NON 60 50 40

PARTIE I : TESTS STATISTIQUES

2

3

Determinons les e↵ectifs ”theoriques” si l’appreciation est independante

du produit.

On rappelle que si A et B sont independants alors P(A \B) = P(A).P(B).

4

Contrainte : les e↵ectifs theoriques doivent etre superieurs a 5.Dans le cas contraire, on doit e↵ectuer des regroupements de classes ...

Test du Khi-deux d’homogénéité & d’indépendance

H0 : Les caracteres etudies sont independantsH1 : Les caracteres etudies ne sont pas independants

On suppose que les deux caracteres prennent respectivement p et q modalites.

Sous H0, la variable et la loi de decision sont les suivantes :

X

i,j

�Nij �N th

ij

�2

N thij

suit la loi �2((p� 1)⇥ (q � 1))

Nij et N thij correspondent respectivement aux e↵ectifs observes et theoriques

(cf. independance).

Ce test est par nature unilateral.

3

5

Avec R (Voir doc Begin’R)

Tableau = matrix(c(40, 50, 60, 60, 50, 40), nrow=2, ncol=3, byrow=TRUE)colnames(Tableau) = c("P1", "P2", "P3")rownames(Tableau) = c("OUI", "NON")Tableauchisq.test(Tableau)

Pearson's Chi-squared test

data: TableauX-squared = 8, df = 2, p-value = 0.01832

Mise en place du test

6

On se propose de tester l’hypothèse selon laquelle dans deux populations P1 et P2 , il y a la même moyenne (μ inconnue) pour la variable étudiée à partir d’échantillons extraits de tailles respectives n1 et n2.

On a donc l’hypothèse nulle suivante :

Plusieurs cas peuvent se présenter(il faut également s’intéresser à la taille de l’échantillon) :� les variances sont connues� les variances sont inconnues� les échantillons sont appariés (pas indépendants)

I.2. Tests de comparaisons

H0 : µ1 = µ2

4

7

Tests de comparaison de 2 MOYENNESCas de distributions normales

• Cas où les échantillons sont indépendants et les variances inconnues mais supposées égales (hypothèse d’homoscédasticité) :

est une estimation de la variance commune

Avec R :t.test(x= , y = , var.equal = TRUE, …)

• Cas où les échantillons sont indépendants et les variances connues :

SCE1 + SCE2

n1 + n2 � 2=

n1s21 + n2s22n1 + n2 � 2

X1 � X2 ⇠ N µ1 � µ2;

s�21

n1+

�22

n2

!

(X1 � X2)� (µ1 � µ2)sn1S2

1 + n2S22

n1 + n2 � 2⇥✓

1

n1+

1

n2

◆ ⇠ T (n1 + n2 � 2)

8

Tests de comparaison de 2 MOYENNES

• Cas où les échantillons sont indépendants et les variances inconnues mais différentes :

Utilisation du test de Welch (adaptation d’un test de Student)t.test(x= , y = , var.equal = FALSE, …)

• Cas où les échantillons ne sont pas indépendants (échantillons appariés) avec n1=n2=n :On raisonne sur la distribution des différences entre les mesures et on utilise que :

Mise en place du test avec R :t.test(x= , y = , paired = TRUE, …)Sous réserve de normalité de la distribution des différences !

X � µbSpn

,! T (n� 1)

5

9

On se propose de tester l’hypothèse selon laquelle dans deux populations, il y a la même proportion (p inconnue) pour la variable mesurée.

On a donc l’hypothèse nulle suivante :Ho : « p1 = p2 »Nous ne considérerons que le cas de grands échantillons.

Tests de comparaison de 2 PROPORTIONS

Avec R : prop.test(x= , y= , … )

Sous H0, on a

F1 � F2 ⇠ N

0;

s

p(1� p)

✓1

n1+

1

n2

◆!

ou p est une estimation de la proportion commune.<latexit sha1_base64="B0sBrpW7gsg3D4RwbOLDdhBjRMs=">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</latexit><latexit sha1_base64="B0sBrpW7gsg3D4RwbOLDdhBjRMs=">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</latexit><latexit sha1_base64="B0sBrpW7gsg3D4RwbOLDdhBjRMs=">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</latexit><latexit sha1_base64="B0sBrpW7gsg3D4RwbOLDdhBjRMs=">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</latexit>

10

Tests de comparaison de 2 VARIANCES

Mise en place du test avec R :var.test(x= , y = , …)

On se propose de tester l’hypothese selon laquelle dans deux populations

gaussiennes independantes, il y a la meme variance pour la variable mesuree.

H0 : �21 = �2

2

On utilise un test de Fisher dont la statistique de test, sous H0 est

S12

S22 ⇠ F (n1 � 1;n2 � 1)

6

11

I.3. Analyse de variance (ANOVA) et tests post hoc

L’ANOVA (Analysis of variance) :

Modele lineaire gaussien dans lequel toutes les variables explicatives sont

qualitatives.

Elles sont appelees facteurs (cf. plans factoriels) et leurs modalites sont ap-

pelees niveaux (controles ou provoques).

La variable aleatoire reponse est toujours quantitative et supposee

gaussienne.

Exemple : (E↵et d’une molecule activateur d’enzyme)

• 5 groupes de 10 souris.

• Doses : 1ng, 10 ng, 50 ng et 100 ng. Le 5e groupe ne recoit que le solvant

utilise.

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• Plusieurs tests réalisés pour répondre à un problème donné(différents critères quantitatifs ou qualitatifs)

ou• Comparaison multiples de moyennes

Pourquoi faire une ANOVA ?

Exemple :Comparaison de 4 traitements sans effet « réel »

Il y a 6 tests de comparaison à effectuer.Le risque alpha global associé à ce test correspond à la probabilité de conclure qu’au moins un des traitements à un effet significatif.

7

Calcul du risque ↵global associe a 6 tests :1�↵global correspond a la probabilite qu’aucun des 6 tests ne mette en evidenceun e↵et significatif (en l’absence d’e↵et).Avec un seuil de signification de 5%, on a :

1� ↵global = · · ·

↵global = · · ·

De facon generale, pour n tests avec un seuil de signification ↵, on a :

↵global = · · ·

Application pour la comparaison de 5 populations avec ↵ = 5% : ↵global ' 40%

Cas ou ↵ est voisin de 0 :↵global ⇠ · · ·

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Conditions d’application

H0 : « µ1 = µ2 = … = µp »

ie « il n’y a pas d’effet du facteur étudié »H1 : « Au moins deux moyennes sont différentes »

ie « il y a un effet du facteur étudié »

• Indépendances des p populations dont sont extraits les échantillons (cf. niveaux)

• Homoscédasticité et Distributions gaussiennes vérifiées sur les résidus usuellement

Formulation des hypothèses

Principe de L'ANOVA

8

15

x11 x12 x1n1 x1

x21 x22 x2n2 x2

xi1 xi2 xini xi

xp1 xp2 xpnp xp

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

x

xij

...

...

...

...

jème répétitiondu ième traitement

Principe de L'ANOVA Modèle

Moyenne du ième traitement

Moyenne globale

p niveaux, ni repetitions pour le niveau i, avec N =pX

i=1

ni

16

x

xijxi

Principe de L'ANOVA

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 1 2 3 4 5 6

Légende

9

17

Observation Part expliquéepar l�effet du traitement

Résidu eij

Principe de L'ANOVA

Les residus eij = xij � xi , par niveau (et donc au global), sontde somme et de moyenne nulle.

xij � x = (xij � xi) + (xi � x) avec eij = xij � xi

donc xij = x+ (xi � x) + eij

Moyenne globale

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MODELE LINEAIREPrincipe de L'ANOVA

Xij = µ+ ↵i + "ij

ou

• µ est la moyenne (globale) associee aux p populations.

• Xij est une variable aleatoire (reponse quantitative). LesXij sont independantes.

• "ij est une variable aleatoire d’erreur (non observees). On a :

"ij ⇠ N (0;�), � etant un parametre inconnu (a estimer).

• ↵i correspond a l’e↵et associe a la modalite i avecpX

i=1

↵i = 0.

Une estimation de cet e↵et est donnee par

↵i = xi � x

Le modele peut egalement s’ecrire

Xij = µi + "ij

ou µi = µ+ ↵i dont une estimation est µi = xi.

10

19

Xij = µ+ ↵i + "ij

ou

• Xij est une variable aleatoire (reponse quantitative).

Les Xij sont independantes et gaussiennes.

Xij ⇠ N (µi;�)

• "ij est une variable aleatoire d’erreur (non observees). On a :

"ij ⇠ N (0;�)

� etant un parametre inconnu avec

�2= CMres

Les hypotheses de normalite et homoscedasticite se verifient sur lesresidus.L’independance est liee au contexte de l’experimentation.

20

Fonction plot sous R Obtention de 4 graphiques permettant d’obtenir des informations sur :

ü l’homoscédasticité (dispersion des résidus), ü la normalité (QQ-plot),ü l’indépendance des résidus.

Avec R :anova = aov(var ~ facteur)par(mfrow = c(2,2))plot(anova)

19 20 21 22 23 24 25

−1.5

0.5

Fitted values

Res

idua

ls

Residuals vs Fitted

2

36

−1.5 −0.5 0.5 1.5

−1.5

0.5

Theoretical Quantiles

Stan

dard

ized

resi

dual

s

Normal Q−Q

2

36

19 20 21 22 23 24 25

0.0

0.8

Fitted values

Stan

dard

ized

resi

dual

s

Scale−Location236

−20

2

Factor Level Combinations

Stan

dard

ized

resi

dual

s

10ppm 20ppm 5ppmdonnees$Doses :

Constant Leverage: Residuals vs Factor Levels

2

36

11

21

Pour verifier les conditions d’utilisation :

1. Egalite des variances :Methodes graphiques, tests de Bartlett, Levene ou Brown-Forsythe avec

H0 : �21 = · · · = �2

p

• Test de Bartlett (couramment utilise, notamment en cas de distribu-tions gaussiennes) avec une statistique distribuee suivant une loi duKhi-deux.

• Test de Levene correspondant a une anova sur les valeurs absoluesdes residus.

• Test de Brown-Forsythe, variante du test de Levene sur les medianeset non les moyennes.Gain de puissance en cas de non normalite.

2. Normalite de la distribution des residus :Graphique Quantile-Quantile, test de Shapiro avec

H0 : ” La distribution est normale ”<latexit 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22

En posant

• SCEfact = SCEinter =

X

i,j

(xi � x)2

• SCEres = SCEintra =

X

i,j

(xij � xi)2

• SCEtotale =

X

i,j

(xij � x)2.

On a

SCEtotale = SCEfact + SCEres

Source Df SCE CM Fobs p-valeur

Factorielle p� 1 SCEfact CMfact =SCEfact

p� 1fobs P (Fobs > fobs)

Residuelle N � p SCEres CMres =SCEres

N � pTotale N � 1 SCEtotale

pour p modalites, N observations. Sous H0,

Fobs =CMfact

CMres⇠ F (p� 1;N � p)

12

23

Si f0 est proche de 0 : Variabilité factorielle inférieure à la variabilité résiduelle.Pas d’effet factoriel significatif puisque la variabilité totale est due essentiellement à la variabilité résiduelle.

Ainsi : par nature, ce test sera toujours unilatéral.

Si on ne rejette pas Ho alors on peut dire que le facteur étudié n’a pas plus d’effet que les variations aléatoires.

Si on rejette Ho alors on peut dire que le facteur étudié a un effet significatif. Il est alors intéressant de comparer ces différentes moyennes à l’aide, par exemple, de la ppds.

24

Exemple

Exemple : L’acide citrique a-t-il une influence sur le brunissement de pâtes alimentaires ?

Doses d’acide citrique5 ppm 10 ppm 20 ppm

Indicesde brun

25,2 22,1 18,424,3 23,8 19,526,8 21,9 18,925,9 22,6 19,9

Facteur étudié : Quantité d’acide citriqueNombre de niveaux : 3Plan équilibré (même nombre de répétitions)

13

25

10ppm 20ppm 5ppm

2022

2426

Représentation des valeurs en fonction des doses

26

ANALYSE DE VARIANCE

Source des variations

Somme des carrés

Degré de liberté Moyenne

des carrés F Prob

Entre Groupes 81,43

A l'intérieur des groupes 6,86

Total 88,29

Avec R :anova = aov(var ~ facteur)summary(anova)

14

27

Comparaison de moyennes 2 à 2Tests post-hoc

Test de Bonferroni (cf. test de Student) :Présentation dans le cas d’échantillons de même taille n

Le carré moyen résiduel CMres est un bon estimateur de la variance commune.

Sous l'hypothèse d'égalité des moyennes :

28

Pour chaque comparaison, on e↵ectue un test avec un seuilde signification egal a

↵

nombre de tests=

↵�p2

�

ou ↵ = 0, 05 (usuellement) et�p2

�= p(p�1)

2 .

Avec R :pairwise.t.test(variable, facteur, p.adj = ”bonferroni”)LSD.test( ) via le package agricolae

Un test plus puissant (surtout si plan equilibre) base sur les plus petitesamplitudes significatives(ppas) :Test de Student-Newman-KeulsAvec R :SNK.test( ) via le package agricolae

15

29

I.4. Tests non paramétriques

Pour comparer deux moyennes :Test des signesTests des rangs de Wilcoxonwilcox.test( )

Pour comparer plus de 2 moyennes :Test des rangs de Kruskal-Walliskruskal.test( )

• À utiliser lorsque conditions d’applications de certains tests ne sont pas vérifiées.

• Basés sur des signes ou des rangs.• Moins puissants que des tests paramétriques.

30

Exemple avec le test des signes

Notes attribuees par 12 personnes d’un jury sur 2 produits

Produit 1 6 6 7 6 7 8 5 6 8 8 8 8

Produit 2 5 7 6 5 8 9 0 7 6 7 10 7

−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

−2−1

01

23

45

Normal Q−Q Plot

Theoretical Quantiles

Sam

ple

Qua

ntile

s

16

31

Exemple avec le test des signes

On va considerer les di↵erences entres les notes des deux produits.

H0 : ”les notes sont similaires”

Sous H0, le nombre X de di↵erences positives (ou negatives) est tel que

X ⇠ B(n; 0, 5)

Le test des signes se ramene a un test binomial.

32

Ø binom.test(x= .… , n= .… , p= …. , alternative= ”greater”) Exact binomial testdata: 7 and 12 number of successes = 2, number of trials = 12, p-value = 0.381

Ø Avec le test de Wilcoxonwilcox.test(x, y, paired=…….….. , alternative = ”greater”)data: x and yp-value = 0.255

Résultats avec R

17

33

II.1. Généralités

PARTIE II : MSP

• Objectif général Anticiper sur les mesures à prendre pour améliorer n'importe quel processus de fabrication industrielle

• HistoriqueMise en place au Japon après la Seconde Guerre mondiale grâce à Deming, disciple de Shewhart.Développée aux USA dans les années 60, en Europe dans les années 80

• OutilsContrôle de réception, les plans d'expérience, la capabilité, les cartes de contrôle, etc.

Mise en place de contrôles en cours de production Objectif :Obtenir une production stable avec un minimum de produits non conformes aux spécifications.

Contrôle de la qualité « dynamique »il ne s'intéresse pas au résultat isolé et instantané, mais au suivi dans le temps : il ne suffit pas qu'une pièce soit dans les limites des spécifications, il faut aussi surveiller la répartition chronologique des pièces à l'intérieur des intervalles de tolérances (cf.dérives).

La MSP (Statistical Process Control ou SPC) a pour objet une qualité accrue par l'utilisation d'outils statistiques visant à une production centrée et la moins dispersée possible.

18

Objectifs de la MSP

• Améliorer la confiance du client

• Diminuer les coûts opératoires

• Réduire les contrôles

• Améliorer le procédé– Diminuer la dispersion– Détecter les dérives

Les 5M : Causes fondamentales de la dispersion (Ishikawa)

• Matière(s)• Machine(s) • Main d'œuvre• Méthode(s)• Milieu

On parle parfois des 6M en considérant la Mesure (ne modifie pas la dispersion de la production vendue au client mais l’image que l ’on en a)

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Les 5M : Causes fondamentales de la dispersion (Ishikawa)

Diagramme de Causes/effets :

Un exemple de problématique

Le cahier des charges d’une production de fromages de chevre indique :Masse : 1 kg ± 10 g ;Longueur : 26 cm ± 0,5 cm.

Sur un echantillon de 5 fromages, on a releve les masses suivantes (en g) :

992 995 1000 1005 1008

Faut-il ”s’inquieter” de ses resultats ?Quels seraient vos ”objectifs” pour repondre aux exigences du cahier des chargesconcernant la longueur des buches ?

<latexit sha1_base64="m7k48PAHYnCI4OFhQ2Paysntlec=">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</latexit><latexit sha1_base64="m7k48PAHYnCI4OFhQ2Paysntlec=">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</latexit><latexit sha1_base64="m7k48PAHYnCI4OFhQ2Paysntlec=">AAAGWnicjVPbThRBEC1gWWHxAuqbLyNgQMTN7CZ4fYBoYnzABKJcEiBmprd3d2RuzIVIiD/oDxgTPwC+gRdPVfeusEBkJjPTferSVafO+GkY5IXr/h4aHqmMVm+Njdcmbt+5e29y6v5mnpSZ0hsqCZNs2/dyHQax3iiCItTbaaa9yA/1lr//nu1bhzrLgyT+Uhylei/yOnHQDpRXAEqmhn7SLsWUUIB3izTeBdVoFSuHFHnUhUVThh1bc0G7wDPq2H2L5qhEHEekwBMgJbwKRCbATaRDbbFFiP0XqW2+EzqElXemjoAOkIP3b1DfLir6hLgct8EcauDZRyaHZmFPkXcWa8ZdvDuyfovHRK9KJR3JWUo3nKNJL+T8aCCLS4u0ZC11m6F2JU+fbbZS+jy13MTSe4j7fP9LV3CwCMz4eHiYgRDPITI5smKWon7nvMtxVgAPc4rB5qUe7vqpdFZDF9zHa9xN4YDZ9FCHwZYGMObMFd4uo1f7vhLGZq/l5QO8S6yeCw8OTaPOOfE5kPpPpfYMeI+dXn8ZbNxjCA8PD2PL/TmuywRDywRn8ESffKoDVhKxTOPr0zfgRoVtoNOizsTOi09JhfmW1R3X+x1fjXcg04kR3dNpeeO/QUlWJV6xnRLP0pP3oAp7WXw6k0xmt/x1csatu3I5lxcNu5ghe60lk79ATwvpFRJHlhAlx7J0dmRsKbA9OpZymRYlEvshIyyFzhQ2hd/KyHPHotxGJKVxNDfIjWSIdOjJOVJNk0r2oW3xutzHkpNrO8LXt7kiGXkX6P/iep43jdsRObYhXO6BhZgKYsZsspT2t9UXpMIyTPtDD0QuSiKjvvDC/vA9kSTbT8QzF2kpEQT7liLvGgbcGBzn5cVms97Aer05s/LOjnqMHkHK85jnS1qhj7RGG6RGziqPKwuVZ6N/qsPV8eqEcR0esjEP6MJVffgX7Q8qCA==</latexit><latexit sha1_base64="m7k48PAHYnCI4OFhQ2Paysntlec=">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</latexit>

20

Données quantitatives : le boxplot

Représentations graphiques « classiques »

21

Données qualitatives (Répartition des défauts d’une production) :Le diagramme de Pareto

Ce diagramme, basé sur des fréquences cumulées, permet d’évaluer l’importance de différents facteurs sur un processus.

Historique : V. Pareto, économiste italien, avait fait une étude sur la répartition des richesses mettant en évidence que 80 % des richesses étaient détenues par 20 % de la population (loi des 80/20).

Juran en tire l'idée que, pour un phénomène, 20 % des causes produisent 80 % des effets (d’où l’intérêt de s’intéresser à la répartition des défauts d'une production).

Représentations graphiques « classiques »

Données qualitatives (Répartition des défauts d’une production) :Le diagramme de Pareto

Représentations graphiques « classiques »

NuméroDe

machine

Nombredepannessur1an

1 262 133 354 245 206 527 58 2

Avec R : pareto.chart( ) via le package qcc

22

Autour de la normalité d’une distribution

Dans ce qui suit, on considère des distributions normales

−2 −1 0 1 2

73.9

974

.01

74.0

3

Normal Q−Q Plot

Theoretical Quantiles

Sam

ple

Qua

ntile

s

Histogram of diameter

diameter

Frequency

73.96 73.98 74.00 74.02 74.040

2040

60

Considerons une fabrication de piece avec une longeur cible egale a L.La piece est utilisable si sa longueur appartient a [L��L;L+�L].

Si on considere que : �L = 3� alors

P (X 2 [L��L;L+�L]) ' 0, 9973

soit 2700 pieces defectueuses par million.

Si on considere que : �L = 6� alors

P (X 2 [L��L;L+�L]) ' 2⇥ 10�9

soit 2 pieces defectueuses par milliard.

Méthode 6 Sigma : Quel intérêt ?

Comment atteindre cet objectif en production ?• Augmenter les limites de tolérance• Diminuer la variabilité de la production

II.2. Règle des 6 sigma et Capabilité

23

L’approche Six Sigma tient compte d’une eventuelle deviation de 1, 5�

!

P (X /2 [L� 4, 5�;L+ 7, 5�]) ' 3, 4⇥ 10�6

soit 3,4 pieces defectueuses par million.

Règle 6-sigma et dérive

Règle des 6 Sigma et Capabilité

La capabilite d’un processus associe a un intervalle de tolerance [TI ;TS ] est

definie par :

Cp =TS � TI

6�

Dans le cas d’un processus avec une derive sur la valeur cible, on introduit :

Cpk = min

⇢TS � µ

3�;µ� TI

3�

�

On considere une machine ”capable” lorsque ces coe�cients sont superieurs a

1,33 ...

Règle des 6 Sigma et Capabilité

Notion de capabilitéRapport entre la performance réelle d’un procédé et la performance attendue (exigée)

24

Règle des 6 Sigma et Capabilité

Fonction sous R : process.capability( ) via le package qcc

En phase de pre-industrialisation, ces indices font reference a la

capabilite Machine. On les note alors :

Cm et Cmk

En phase de production, les indices de capabilite ne refletent la qualite du

procede que lorsque celui-ci est sous controle (stable en moyenne et disper-

sion).

Règle des 6 Sigma et Capabilité

25

Présentation

Graphique sur lequel on reporte, dans l’ordre chronologique, les valeurs d’une statistique calculée sur des échantillons, en général de même effectif, issus de la fabrication.

Une telle carte comporte une ligne centrale (valeur cible) ainsi que des limites de surveillance et de contrôle tracées à l’avance.

• Abscisse : Numéro de l’échantillon• Ordonnée : Valeur de la statistique calculée sur cet échantillon

II.3. Cartes de contrôle

Cartes de contrôle

Principe

Graphique sur lequel on reporte, dans l’ordre chronologique, les valeurs d’une statistique calculée sur des échantillons, en général de même effectif, issus de la fabrication.

Une telle carte comporte :• une ligne centrale (valeur cible) • des limites de surveillance et de contrôle

Les points placés ont pour :• Abscisse : Numéro de l’échantillon• Ordonnée : Valeur de la statistique calculée sur cet échantillon

26

Cartes de contrôleCarte de contrôle de Shewart sur la moyenne

Cartes de contrôle

Principe pour la carte de contrôle de Shewart de la moyenne

La valeur cible correspond à la vraie valeur du paramètre (ou son estimation ponctuelle).Les limites de contrôle inférieures (LIC ou LCL en anglais) et supérieures (LSC ou UCL en anglais) sont situées à 3 écarts-types de la cible.

Ainsi : la plupart des moyennes observées sont comprises entre ces 2 limites.

Etant donne que X est distribuee suivant la loi normale N✓µ;

�pn

◆, on a

P

✓µ� 3

�pn X µ+ 3

�pn

◆' 0, 9973

LCL = LIC = µ� 3�pn

; UCL = LSC = µ+ 3�pn.

27

Cartes de contrôle

Principe pour la carte de contrôle de Shewart de la moyenne

On peut rajouter des limites de surveillance situées à 2 écarts-types de la cible.

Une observation comprise entre les limites de surveillance et de contrôle (inf ou sup) doit inciter à une attention particulière (prélèvement d’un nouvel échantillon par exemple).

Etant donne que X est distribuee suivant la loi normale N✓µ;

�pn

◆, on a

P

✓µ� 2

�pn X µ+ 2

�pn

◆' 0, 954

Cartes de contrôle

Carte de contrôle de la moyenne avec limites de contrôle et surveillance

Avec R :Package qccqcc(valeurs, type="xbar")

28

Cartes de contrôle

Étude et utilisation de la carte de contrôle de Shewart de la moyenneNorme NF 06-031-1

1. Vérifier que la distribution des valeurs est normale.

2. Estimer l’écart-type de la production en utilisant les variances ou étendues (voir page suivante).

3. Calculer des limites de contrôle (et surveillance).

4. Suivi de la productionOn peut considérer qu’il y a un déréglage lorsque :• Point à l’extérieur des limites de contrôle ;• 9 points consécutifs du même côté de la ligne centrale ;• 6 points consécutifs tous « ascendants » ou « descendants ».

Cartes de contrôle

Estimation de l’écart-type par les étendues

1. Prelever plusieurs echantillons de meme taille n (issus d’une population

gaussienne).

2. Calculer pour chaque echantillon l’etendue Ri

ainsi que l’etendue moyenne R.

3. Determiner d2 en fonction de n.

On a alors

b� =R

d2

29

Cartes de contrôlePour compléter l’étude sur les moyennes : Étude de la variabilité

1. Carte de contrôle de l’étendue ( qcc(valeurs, type= "R") )

1. Carte de contrôle de l’écart-type ( qcc(valeurs, type= "S") )

Carte (x, R)

Carte (x, s)

Pour contrôler des proportions ou nombre de défectueux (qualitatif) : Carte de contrôle aux attributs

1. Carte de contrôle de la proportion (p) qcc(valeurs, type= "p" )

2. Carte de contrôle du nombre de défectueux (np)qcc(valeurs, type= "np")

3. Carte de contrôle du nombre de défauts (c)qcc(valeurs, type= "c") )

Application 1Determiner les limites de controle d’une carte sur la proportion p ?

30

Application 2

On a preleve 5 echantillons de 4 fromages.

1. Determiner, par calcul, une estimation de l’ecart-type de la production en

utilisant les etendues.

2. Determiner les limites de controle de la carte de Shewart des moyennes.

3. Determiner les limites de surveillance.

4. L’entreprise a fixe une valeur nominale de 100 g avec des tolerances de 99

a 101 g.

Determiner les indices de capabilite Cp et Cpk.

Numéro Moyenne Étendue1 100 0,62 100,25 0,43 99,55 0,44 99,65 0,55 100,4 0,6

31

Application 3On s’interesse a une production de bouteilles de jus de fruits (QN = 150 cl) avec

un tiers de Mangue, un tiers d’Orange et un tiers d’eau.

On suppose que les distribution des quantites de chaque constituant sont nor-

males, d’esperance 50 et d’ecart-type �. Le cahier des charges impose une

production contenant 150 ± 0,5 cl.

1. Dans cette partie, on suppose que � = 0.2 cl.

(a) Creer des echantillons de quantites associes a la mangue, l’orange et

l’eau. Proposer une representation graphique des quantites associees

a ces trois constituants.

(b) En deduire un echantillon de volumes associes a 50 bouteilles de cette

production.

(c) La distribution des quantites des bouteilles de la production est-elle

normale ?

(d) Determiner l’ecart-type des volumes des bouteilles de cette produc-

tion.

(e) La production sera-t-elle jugee conforme ?

2. Que preconiseriez-vous ?