2.Atome_Hydrogene.pdf

7/26/2019 2.Atome_Hydrogene.pdf

1/22

P. Chaquin LCT-UPMC

14

Chapitre II

Latome dhydrogne

1. Rsolution de lquation de Schrdinger

1.1. Expression en coordonnes cartsiennes ; passage aux coordonnes

sphriques

Lquation de Schrdinger pour latome dhydrogne sera crite en faisant lapproximation

que le noyau (dont la masse est 1836 fois celle de llectron) constitue le centre de gravit du

systme o il est immobile, ce qui revient ngliger son nergie cintique. Lnergie

cintique de latome se rduit donc celle de llectron ; il lui est associ loprateur

m2

2h

Lnergie potentielle de latome, de nature purement lectrostatique scrit en fonction de la

distance rde llectron au noyau

Loprateur associ est la simple multiplication par V, et lquation de Schrdinger, en SI et

coordonnes cartsiennes est

r

eV

2

04

1

=


2/22

P. Chaquin LCT-UPMC

15

),,(),,(

1

),,(2

1

u.a.En

),,(),,(4

1),,(

2

222

222

2

0

2

zyxEzyxzyxzyx

zyxEzyxzyx

ezyx

m

=++

=++

h

Cette quation ne peut tre rsolue que par passage aux coordonnes sphriques, adaptes la

symtrie du systme.

M

m

z

y

x

r

20

0

0


3/22

P. Chaquin LCT-UPMC

16

Les trois oprateurs , L2et Lzcommutent : ils ont donc un ensemble commun de fonctions

propres (r,,). Cette constatation fournit une stratgie de rsolution de lquation de

Schrdinger, dont nous indiquerons les tapes sans entrer dans le dtail des calculs.

1.2. Fonctions propres et valeurs propres dezL

Les fonctions propres () dpendent de la seule variable et doivent satisfaire lquation

suivante (toujours en u.a.) o mest un scalaire quelconque:

( )( )

=

m

d

di

dont les solutions sont de la forme imm Ae= )(

Cette solution doit prendre la mme valeur pour = 2 que pour = 0 (uniformit). Les

arguments de lexponentielle doivent satisfaire

m.2= 0 + 2k

m= kdoit donc tre un entier. La constanteAest dtermine par la normalisation de :

22

0

22

02*1 AdAd

===

2

1=A

Ainsi, la composante selonzdu moment cintique de llectron dans latome dhydrogne ne

peut prendre que les valeurs entires, positives, ngatives ou nulle m, en u.a. . Les autres

composantes, rappelons-le ne peuvent tre mesures simultanment.

1.3. Fonctions propres et valeurs propres de L2

Les oprateurs associs L2 et Lz, qui commutent, ont un ensemble commun de fonctions

propres. L2dpend de et , et Lz de seul. Les fonctions propres m() de Lz ayant t

dtermines, ces solutions communes ne peuvent tre que de la forme

Y(,) = m() () =

ime

2

1)(

Do lquation aux valeurs propres deL2


4/22

P. Chaquin LCT-UPMC

17

imim ee2

1)(

2

1)(

sin

1.sin

sin

12

2

2=

+

o est un scalaire. En dveloppant le premier membre

+

imim ee

21)(

sin1)(.sin

sin1

21

2

2

2

dont le dernier terme se transforme selon

imimeme

2

1

2

1 22

2

=

la fonction , dj connue, disparat alors de lquation o ne figure plus que :

)()(

sin

1.sin

sin

12

2

=

m

Mais on voit que msintroduit dans cette quation, dont les solutions dpendront donc de ce

paramtre. La rsolution montre que lon a (en u.a. de moment cintique au carr, 2h )

= l(l+ 1)

o lest un entier positif ou nul de valeur absolue suprieure ou gale m. En dautre termes

lml

Les solutions ()ont la forme dun polynme de degr len cos(ou, ce qui est quivalent,

en sin) :

() = Pl,m(l)

(cos )

Les fonctions propres de L2scrivant alors

imlmlml ePY )(cos2

1),( )(,, =

Ces fonctions sont appeles harmoniques sphriqueset seront examines ultrieurement.

Reprsentation vectorielle du moment cintiqueDaprs les rsultats prcdents, le carr du moment cintique orbital l

2 de llectron peut

prendre les valeurs l(l+ 1). On peut reprsenter lpar un vecteur de module )1( +ll dont les

projections msur Oz peuvent varier de l +l. de sorte que lpeut tre dfini comme la valeur

maximale de m. Remarquons que lorsque m = l, l nest pas colinaire Oz, puisque

lll >+ )1( .


5/22

P. Chaquin LCT-UPMC

18

m = l

m = l -1

m = l - 2

m = -l

z

l

l

m

Fig. 2. Modle vectoriel du moment cintique orbital

Notons enfin que la projection mde lsur Oz tant exactement connue, ses projections sur les

autres axes sont totalement indtermines daprs les relations dincertitude de Heisenberg.

Dans ce modle vectoriel, la position de lextrmit de lest totalement alatoire sur un cercle

daxe Oz.

1.4. Fonctions propres et valeurs propres de

Nous suivons une dmarche analogue celle du prcdent. Les fonctions propres de

dpendent de r, et . Etant communes Lzet L2elles sont de la forme

),()(),,( , mlYrRr = ,

o R(r) est une fonction de r, et satisfait

),()(),()(11

2

1),()(

22

2 lmlmlm YrERYrR

rL

rr

rrYrRH =

+

=

En dveloppant le premier membre et sachant que Ylmest une fonction propre deL2de valeur

propre l(l + 1):

)()(1

)1(1

2

1

),()(1

),()1()(),()(1

2

1

),()(1

),()(),()(1

2

1

2

2

2

2

22

2

rERrRr

llr

rrr

YrRr

YllrRYrRr

rrr

YrR

r

YrRLYrR

r

r

rr

lmlmlm

lmlmlm

=

++

++

=

+

La rsolution de cette quation ne contenant que la variable r, mais aussi le paramtre l

conduit aux rsultats suivants :

- lnergie a pour expression (en u. a.)


6/22

P. Chaquin LCT-UPMC

19

2

1

2

1

nEn =

o nest un entier suprieur l. Ltat dnergie le plus bas est donc de -0,5 u.a., soit -13,6 eV.

Lorigine des nergies (ninfini) est celle des deux particules linfini. Lnergie dionisation

est donc gale 13,6 eV.

- les fonctionsR(r) sont de la forme

n

r

n

lnln erPR

= )()1(,,

o P(r)est un polynme en rde degr n-1. Les fonctions propres de sont donc de la forme

n

r

n

lnmlmln ePYr

= )1(,,,, ),(),,(

Ainsi, lnergie ne dpend-elle ni de ni de lde mbien que les fonctions propres en dpendent.

Solutions de lquation de Schrdinger pour latome dhydrogne

Les oprateurs , zLLet2 commutent : ils ont un ensemble de fonctions propres communes

( ) ( ) ( ) ( ) ,)()(,, ,,,,,, mllnmmllnmln YrRrRr ==

( ),,,, rmln sont les fonctions propres de avec les valeurs propres

2

112

nEn = (u.a.) = .).(4

1

2

1

0

2

0ISa

e

( ),,mlY , harmoniques sphriques,sont les fonctions propres de2L avec les valeurs propres

l(l+ 1) (u.a.), l(l+ 1)2(S.I.).

( )m sont les fonctions propres de zL avec les valeurs propres m(u. a.), m (S.I.)

n= 1, 2, 3, etc.

l= 0, 1, 2, n 1

m= -l, -l+ 1, -l+ 2, l 1, l

2. Etude des solutions

Les solutions de lquation de Schrdinger pour latome dhydrogne revtent une importance

particulire. Comme ce sont les seules fonctions donde lectroniques dun atome connues


7/22

P. Chaquin LCT-UPMC

20

sans approximation, elles servent dlments de base pour la construction de fonctions

approches pour les autres atomes et les molcules.

2.1. Expression mathmatique des solutions

Nous donnons tout dabord lexpression de ces solutions par ordre dnergie croissante. Elles

sont donnes en units S.I. et les constantes de normalisation ont t regroupes pour les deux

fonctions de la partie angulaire.

Elles dpendent, comme on la vu de trois nombres entiers ou nombre quantiques:

- nest appel nombre quantique principal;

- lest le nombre quantique secondaire, qui peut prendre les valeurs comprises entre 0

et l 1. Les fonctions correspondant respectivement l = 0, 1, 2, 3, 4, 5 .... sont

traditionnellement appeles s,p, d,f, g, h...

- m peut prendre les 2l + 1 valeurs allant de l +l ; cest le nombre quantique

magntique qui doit ce nom au fait quil ninflue sur lnergie quen prsence dun champ

magntique.

A ltat fondamental, n= 1, donc l= 0 et m= 0. Il nexiste quune seule fonction propre

correspondant cette nergieE1.

R1,0

021 2

3

0

a

r

ea

2

1

1

Fonction 1s

Cette fonction est appele 1s, 1 correspondant la valeur de n.

Pour n= 2 on rencontre un tat dnergie suprieure

48

1 12

EE ==

Il lui est associ deux valeurs de l, l = 0 et l= 1.


8/22

P. Chaquin LCT-UPMC

21

Pour l= 0, m= 0 ; cest la fonction 2s

R2,0 1,0 0

02

0

2

3

0

222

11 ar

ea

r

a

2

1

1

Fonction 2s

Pour l= 1, il y a trois valeurs possible de m: -1, 0 et +1, do trois fonctions 2p.

R1,1 1, (1,0,1) (1,0,1)

02

0

2

3

0 62

11 ar

ea

r

a

sin22

3

ie

cos2

3

1

sin22

3

ie

Fonctions 2p

On constate que deux de ces fonctions sont imaginaires. Pour simplifier leur tude, on peut les

remplacer par des fonctions relles. En effet, ces fonctions correspondent la mme valeur de

lnergie (en labsence de champ magntique) et toute combinaison linaire est une fonction

propre de mme valeur propre. En faisant, dune part, la somme et, dautre part, la diffrencedivise paride Y1,1et Y1,-1, il vient :

( ) =+=+

ii eeYY sin22

31,11,1

cos2.sin

22

3

( ) ( ) ==

ii eei

YYi

sin22

311,11,1

sin2.sin

22

3

Il reste normaliser ces fonctions. Le problme de la normalisation de la somme ou la

diffrence de deux fonctions orthonormes se posera souvent dans la suite et nous allons


9/22

P. Chaquin LCT-UPMC

22

effectuer ce calcul dans le cas gnral. Soient etces fonctions ; il faut dterminer tel

que (+) soit normalise, cest--dire :

( ) ( )

21

111 222

=

+=+++=++=

Finalement, la partie angulaire des fonctions 2prelles prend la forme

sin.sin2

3

cos2

3

cos.sin2

3

Ou encore, en utilisant les relations de transformation des coordonnes sphriques en

coordonnes cartsiennes

ry

r

z

r

x

23

2

3

2

3

On voit sous cette forme que ces trois fonctions sont analogues, chacune privilgiant lun des

axes cartsiens. Il faut cependant ne pas oublier que la deuxime seule est une fonction propre

de m(m= 0).

Pour n= 3, lnergie est

918

1 13

EE ==

- avec l= 0 et m= 0, on trouve une fonction 3s

R3,0 3,0 0

03

2

0

2

0

2

3

0 9

446

39

11 ar

ea

r

a

r

a

+

2

1

1

Fonction 3s


10/22

P. Chaquin LCT-UPMC

23

- avec l= 1 et m= -1, 0, +1, on trouve 3 fonctions 3p

R1,1 3, (1,0,1) (1,0,1)

03

00

2

3

0 3

24

3

2

69

11 ar

ea

r

a

r

a

sin223

i

e

_

cos2

3

1

sin22

3

ie

Fonctions 3p

- avec l= 3, m= -2, -1, 0, 1, 2, on trouve 5 fonctions 3d

R3,2 2,(0,12) ,(0,12)

2sin24

15

ie

2

cossin

22

15

ie

03

2

0

22

3

0 9

4

309

11 ar

ea

r

a

( )1cos34

5 2

1

cossin22

15

ie

2sin24

15

ie

2

Fonctions 3d

Les fonctions d peuvent tre transformes de manire analogue aux fonctions p pour tre

rendues relles. Aprs utilisation des formules de passage des coordonnes cartsiennes aux

coordonnes polaires, on obtient les expressions suivantes qui mettent en vidence le rle

particulier jou par chaque axex,yetz.


11/22

P. Chaquin LCT-UPMC

24

2

22

2

22

2

2

2

3

4

5

15

15

15

15

r

rz

r

yx

r

yz

r

xz

r

xy

Dans toutes les fonctions examines jusqu prsent, on peut vrifier que la partie angulaire

ne dpend pas de n : elle est la mme pour 1s, 2s et 3s, (sur fond bleu dans les tableaux

prcdents) dune part, 2pet 3p(sur fond rose) dautre part. Ce rsultat est gnral.

2.2. Etude et reprsentations graphiques

En tant que modles des fonctions donde des autres atomes, il est ncessaire davoir une ide

claire des proprits des fonctions dondes de latome dhydrogne qui seront examines de

plusieurs points de vue. Selon le modle de la liaison chimique qui sera adopt dans ce cours,

celle-ci peut tre dcrite sous la forme dune perturbation rciproque des fonctions

lectroniques des deux atomes lis. La variation de en valeur absolue et algbrique selon la

direction est donc un lment fondamental pour discuter des angles de valence. Sa variation

selon la distance au noyau est relie la longueur des liaisons. Ces donnes seront finalement

visualises par une reprsentation synthtique adopte par la communaut des chimistes.

2.2.1. Proprits angulaires

Elles seront commodment visualises par une reprsentation polairede la partie angulaire

Ylmde la fonction donde, obtenue en portant sur le rayon vecteur rdans chaque direction ,

de lespace une grandeurgale Ylm.

- Fonctions s

Ylmest une constantea:

( ) a== 2

1,


12/22

P. Chaquin LCT-UPMC

25

Si nous traons ce graphe dans un plan (= /2, planyozpar exemple), nous obtenons, pour

0 < < un demi-cercle. Dans lespace, lorsque varie de 0 2, ce demi-cercle engendre

une sphre.

z

y

x

z

y

x

= a

FIg. 3 Graphe en reprsentation polaire de la partie angulaire des fonctions s

Les fonctions sprennent la mme valeur dans toutes les directions et nen privilgient donc

aucune.

- Fonctions p

Considrons la fonction m = 0 ; nous devons tracer le graphe de la fonction

( )

coscos2

3, b==

avec b= 0,489. Dans le planyoz(Fig. 4), variant de 0 , on obtient deux demi-cercles de

diamtre b port par oz. Lorsque varie de 0 2, ces demi-cercles engendrent dans lespace

deux sphres centres sur laxe des z, symtriques par rapport au plan xoy. En fait, cos, et

donc la fonction Ylm, est positif quand varie de 0 /2 (demi-espacez> 0) et ngatif quand

varie de /2 . On porte donc pour mmoire le signe correspondant dans chaque lobe

sphrique constituant ce graphe.

z

y

x

z

y

x

= b cos

b

/2+

-

Fig. 4 Graphe en reprsentation polaire de la partie angulaire de la fonction pz


13/22

P. Chaquin LCT-UPMC

26

Cette fonctionpfait jouer un rle particulier laxe ozet sappelle pour celapz. Cest dans la

directionz(>0 et


14/22

P. Chaquin LCT-UPMC

27

222 ,,,, zyxyzxzxy ddddd

Nous prsenterons ultrieurement les graphes qui synthtisent leurs principales proprits

gomtriques.

2.2.2. Proprits radiales

La partie radiale R(r) dpend des deux nombres n et l. A courtes distance du noyau, son

comportement est rgi par la partie polynmiale et peut sannuler, et donc prsenter des

sphres nodales. A grande distance, cest le terme exponentiel 0nar

e

qui lemporte. La

fonction tend vers zro, de plus en plus lentement quand naugmente.

r/a0

0 2 4 6 8 10

R(r)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

Figure 7a. Variation de la partie radiale R(r) de la fonction1s (r est en units atomiques)

r/a00 2 4 6 8 10

R(r)

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

Figure 7b. Variation de la partie radiale R(r) des fonctions 2s (en rouge) et 2p (en bleu) (r est en units

atomiques)


15/22

P. Chaquin LCT-UPMC

28

r/a0

0 2 4 6 8 10 12 14 16

R(r)

-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

Figure 7c. Variation de la partie radiale R(r) des fonctions 3s (en rouge) et 3p (en bleu) et 3d (en violet) (r est

en units atomiques)

On a reprsent ici les graphesR(r) en fonction der. On peut galement reprsenterR2(r), ou

encore r2R

2(r), grandeur proportionnelle la densit radiale

dr

dP. La probabilit de prsence

de llectron dans un volume dVest en effet

dVdP =

Llment de volume en coordonnes polaires est

dV= r2sindrdd

La condition de normalisation scrit

===

0

2

0 0

222 )(sin),(*1 drrrRddYdVdP

La premire intgrale, portant sur les harmoniques sphriques est gale 1 puisque ces

fonctions sont normalises :

=0

22 )( drrrRdP

do

drrrRdP 22 )(=

dP ainsi calcul est proportionnel la probabilit de trouver llectron dans une couche

sphrique comprise entre ret r+ dr, donc de volume 4r2dr.


16/22

P. Chaquin LCT-UPMC

29

r/a0

0 2 4 6 8 10 12

r2R(r)

2

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

Fig. 8a. Densit radiale de la fonction 1s

0 2 4 6 8 100,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25 r2R(r)2

r/a0

Fig. 8b. Densits radiales des fonctions 2s (en rouge) et 2p (en bleu)

On peut galement calculer la distance moyenne de llectron grce au postulat des valeurs

moyennes selon

= rr

2.2.3. Isodensits et volume de localisation

Si on sintresse maintenant de proprits globales de la fonction donde , on peut tracer

des courbes disodensit lectronique,= 2= constante, comme en Fig. 9 (en coupe dans un

plan contenant oz).


17/22

P. Chaquin LCT-UPMC

30

Fig. 9 Courbes disodensit par pas de 0,05 ua de lorbitale 1s, de lorbitale 2pz(coupe dans le plan xz ou yz) et

de lorbitale dx2-y2 (coupe dans le plan xy)

Chacune de ces isodensits2dans lespace constitue une surface, comme montr en Fig. 10.

Fig. 10 Surface disodensit (ou isovaleur) des orbitales 1s, 2px, 2pyet 2pz.

Les fonctions donde ne sannulant qu linfini (en dehors des lments nodaux), la densit

lectronique peut tre non-nulle en tout point de lespace. Cependant, elle diminue trs

rapidement, de sorte quun volume fini contient une probabilit de prsence totale de

2Les logiciels de dessin fournissent en gnral des surfaces disovaleur (= cste) qui sont aussi des isodensits.

1s

2px 2py 2pz


18/22

P. Chaquin LCT-UPMC

31

llectron proche de 1. On dfinira un volume de localisationVcomme tant limit par une

surface disodensit lectronique (2= constante) et tel que la probabilit de prsence Ptotale

de llectron dans Vsoit gale une valeur donne proche de 1 (par exemple 0,9) :

=V dvP *

De tels volumes ont donc la forme disodensits telles que celles de la Fig. 9. Ce sont des

sphres pour toutes les orbitaless, et pour les orbitales pdeux volumes disjoints: en effet

lorigine, 2= 0.

2.2.4. Reprsentation synthtique conventionnelle

De toutes les caractristiques des fonctions atomiques analyses prcdemment, les suivantes

sont essentielles pour le chimiste : la forme et la taille du volume de localisation de llectron,

dpendant de dune part, et les signes relatifsde la fonction dans les diverses rgions

de lespace ou relations de phasedautre part. Cest pourquoi on reprsente ces fonctions par

des dessins conventionnels contenant ces informations (Fig 11).

1s 2s

px py pz

x y

z

Fig. 11. Reprsentation conventionnelle des fonctions s et p.

Ainsi, les orbitales ssont figures par une sphre. Lorbitale 2scorrespond une sphre plus

grosse que lorbitale 1s, car llectron tant en moyenne plus loin du noyau, il faut un volume

plus grand pour en enfermer la mme fraction. On dira que lorbitale 2sest plus diffuseque

1s, ou au contraire que 1sest plus contracte. Les orbitalespsont reprsentes par deux lobes

correspondant grossirement au volume de localisation, dont lun est blanc et lautre gris ou

hachur (ou encore de deux couleurs diffrentes, comme en fig. 10). Cette opposition

blanc/gris reprsente les rapports de phase, cest--dire les signes relatifs de la partieangulaire dans la rgion correspondante. Ce nestpasle signe de lafonction totalepuisque la


19/22

P. Chaquin LCT-UPMC

32

partie radiale peut changer de signe en fonction de la distance rau noyau. Ce nest pas non

plus un signe absolu : gris ne signifie pas positif , ni blanc ne signifie ngatif .

En effet, seul le carr du module ayant une signification physique, la fonction donde

nest dfinie qu un facteur de phasee

i

prs, au signe prs si la fonction est relle. Cetteconvention signifie quen deux points symtriques par rapport au noyau, la fonction donde

soit ne change pas de signe (comme dans une orbitale s), soit change de signe (comme dans

une orbitalep) : elle traduit visuellement les proprits de symtrie de la fonction donde.

La figure 12 donne les reprsentations conventionnelles des fonctions d.

z

y

x

z

y

z

x

y

dxzdxydyz

dx2-y2 dz2

z

y

x

y

x

Fig 12. Reprsentation conventionnelle des fonctions d.

On retiendra que les fonctions dxy, dxzet dyzprsentent leur localisation principale le long des

bissectrices des axes ports en indice. La fonction dx2-y2est localise le long des axesxety; la

fonction dz2 est localise essentiellement le long de laxe ozmais prsente un lobe torique

dans le planxy.

2.2.5. Notion dorbitale

En toute rigueur, on appelle orbitale, abrviation de fonction orbitale, une fonction donde

monolectronique (exacte ou approche), cest--dire une fonction des coordonnes de

position dun seul lectron. Une orbitale dcrit donc les proprits dun lectron dans un

environnement donn. On parlera ainsi dorbitale atomiqueou dorbitale molculaireselon

que llectron se trouve dans un atome ou une molcule. En pratique, lorbitale dsigne

souvent le volume de localisation ou la reprsentation graphique de cette fonction sous la


20/22

P. Chaquin LCT-UPMC

33

forme dune isovaleur (isodensit) ou de la reprsentation conventionnelle donne dans les

Fig. 11 et 12.

3. Le spin

Diverses expriences mettent en vidence le fait que llectron possde un moment

magntique intrinsqueset donc un moment cintique propre (cest dire li tout lectron,

mme isol et immobile), un spins, li au prcdent par la relation :

s= gss

o gsest une constante. Plac dans un champ magntique B, orient par exemple selon oz, ce

moment acquiert une nergie potentielle

E= -s.B= - gss.B= - ms.gsB

msest alors la projection dessur ozet peut prendre les deux valeurs + et (en u.a. ).

Ce moment cintique sne doit pas tre vu comme une rotation de llectron sur lui-mme,

comme on le dit parfois : toutes les tentatives pour construire un modle de llectron tournant

sur lui-mme ont conduit des impasses3. On peut, la rigueur, dire que tout se passe comme

si llectron tournait sur lui-mme ; avec une particule charge, cette rotation crerait un courant lectrique do un moment magntique. En fait il vaut mieux abandonner cette

image de la physique classique une chelle o elle na plus cours et dire que llectron

possde une grandeur physique, dorigine quantique et, ici, relativiste, qui a les proprits

dun moment cintique. On postule donc quil existe un oprateur zpossdant deux fonctions

propres et , correspondant aux valeurs propres ms et - :

2

1

2

1

=

=

z

z

s

s

Il existe des oprateurs associs aux autres composantes des, xet yet au carr du module de

s,2. De manire analogue au moment cintique l, les fonctions et sont des fonctions

propres de ce dernier avec la valeur propre s(s+ 1) o s= :

)1()1( 22 +=+== ssssss

3Comme par exemple impliquer une vitesse suprieure celle de la lumire. Ltymologie du mot spinqui

signifiefiler(la laine) suggre pourtant un mouvement de torsion, de rotation.


21/22

P. Chaquin LCT-UPMC

34

De mme, 2 commute avec chacun des oprateurs associs aux composantes de s et ces

oprateurs ne commutent pas entre eux. On ne peut donc mesurer simultanment que le

module et une des composantes (on choisit gnralement sz). Ces oprateurs, ainsi que les

fonctions etne sont pas explicits et ne sont dfinis que par leurs proprits.

Le nombre quantique sest appel nombre de spin; il est dfini comme la valeur maximale de

ms.

On peut comme pour l, donner un modle vectoriel du spin dun lectron, comme un vecteur

de module

4

3)1( =+= ssssss

de projections ms sur oz, et dont les projections sur les autres axes sont totalement

indtermines.

On reprsente symboliquement par une flche vers le haut () un lectron dans ltat de spin

(ms= ) et par un flche vers le bas () un lectron dans ltat de spin(ms= -).

ms= l/2

ms = -l/2

z

s

s

ms

z

Fig. 12. Modle vectoriel du spin dun lectron

La fonction donde complte dun lectron de latome dhydrogne est obtenue en multipliant

la fonction dpendant des coordonnes despace n,l,mpar la fonction de spin approprie ou

, qui en labsence de champ magntique, ont la mme nergie.

4. Atomes hydrognodes

On appelle hydrognodes des ions atomiques possdant, comme latome dhydrogne, un

seul lectron. Lhamiltonien ne diffre de celui de H que par le terme dnergie potentielle qui

est multipli par le numro atomiqueZ.


22/22

35

r

Z

rr

rrH

+

+

=

2

2

2

2

2 sin

1).(sin

sin

1)(

1

2

1

On peut montrer que les solutions sont obtenues partir de celle de H en remplaant a0par

Z/a0. Par exemple, lorbitale 1sprend la forme (en S.I.) :

022

1 23

0

1

a

Zr

s ea

Z

=

Documents

2.Atome_Hydrogene.pdf