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2e Édition

2e ÉDITION

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© Dunod, Paris, 20155 rue Laromiguière, 75005 Paris

www.dunod.comISBN 978-2-10-072032-3

Chers lecteurs,Nous vous remercions pour votre confiance et espérons que cet ouvrage vous aide-ra dans la préparation du GMAT®.Pour toutes questions ou remarques portant sur les mathématiques ou la logique,vous pouvez contacter Marie-Virginie Speller à l’adresse mail suivante : [email protected] vous avez des questions ou des observations à faire sur l’anglais, l’AnalyticalWriting Assessment ou sur l’une des parties de la Verbal Section, n’hésitez pas àcontacter Sophie Gallix sur [email protected] nous tenons à votre disposition et espérons pouvoir vous aider au mieux.Bonne chance pour le test et bonne continuation à tous !

Conception de la couverture : Ici et ailleurs

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Table des matières III

Introduction : Concours Tremplin 2 et Passerelle 2 . . . . . 1

Partie 1 Tage Mage®

Sous-partie 1.1 Mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1. Calcul mental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92. Critères de divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123. Outils calculatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154. Le point sur les pourcentages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .245. Les équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .276. Les inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .317. Les systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .388. Les polynômes de degré deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .429. Théorèmes et propriétés célèbres en géométrie . . . . . . . . . . . . . . . .4710. Résultats importants en géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5011. Périmètres, surfaces et volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5712. Conversions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6213. Calculs de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7114. Notions de statistiques descriptives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7615. Récapitulatif sur les cas discret et continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8316. Le point sur la loi de Bernouilli et la loi Binomiale . . . . . . . . . . . . . . .8517. Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

Sous-partie 1.2 Logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

18. Les séries de lettres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9719. Les séries de chiffres et de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10320. Logique spatiale : séries de symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110

Sous-partie 1.3 Compréhension de texte . . . . . . . . . . . . 114

21. Méthode de compréhension d’un texte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11522. Un exemple : comme aux tests d’aptitude des concours Tremplin 2

ou Passerelle 2 ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117

Table des matières

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Sous-partie 1.4 Tage Mage® blancs . . . . . . . . . . . . . . . . 121

1. Tage Mage® blanc 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1222. Tage Mage® blanc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1563. Tage Mage® blanc 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191

Partie 2 Note de synthèse et analyse de textes comparés

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

Sous-partie 2.1 Expression écrite et orthographe . . . . . 232

1. Améliorer son expression écrite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2332. Éviter les fautes d’orthographe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .241

Sous-partie 2.2 La méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

3. La première lecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2514. La seconde lecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2585. Le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2626. La rédaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2657. Dossier de textes : Tremplin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2708. Dossier de textes : Passerelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .286

Sous-partie 2.3 Tests blancs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

1. Tremplin : Test blanc d’analyse de textes comparé . . . . . . . . . . . . .3062. Passerelle : Test blanc de note de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . .332

Partie 3 Anglais

Sous-partie 3.1 Grammaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

1. La phrase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3592. Les propositions : relatives et conjonctives . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3613. Les propositions : To et –ing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3624. Les propositions : les causatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3635. Le groupe nominal : nom et déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3646. Le groupe nominal : démonstratifs et possession . . . . . . . . . . . . . . .3677. Le groupe nominal : adjectifs et pronoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3698. Le groupe verbal : temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3729. Le groupe verbal : modaux et utilisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37510. Le groupe verbal : structures idiomatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . .378

IV Table des matières

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Sous-partie 3.2 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

11. Phrasal verbs et verbes prépositionnels : quelques verbes difficiles . . .38112. Vocabulaire utile de l’entreprise pour les écrits et les oraux . . . . . . . .382

Sous-partie 3.3 Tests blancs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

1. Tremplin : test d’anglais blanc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3862. Passerelle : test d’anglais blanc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .411

Partie 4 L’oral1. Les dix conseils pour réussir votre entretien ! . . . . . . . . . . . . . . . . .4312. Conseils pour l’oral d’anglais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4383. Gérer le stress à l’oral ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .440

Table des matières V

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Concours Tremplin 2 et Passerelle 2 1

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1. Le concours Tremplin 2Le concours Tremplin 2 s’adresse aux étudiants ayant au minimum un bac + 3 qui sou-haitent intégrer une école de commerce. Il est composé de plusieurs épreuves :

• Le Tage Mage® : test d’aptitude aux études de gestion niveau bac + 3 regroupant desépreuves de français (aptitudes verbales), des épreuves de calcul et problèmes algé-briques ainsi que des épreuves de logique.

• L’épreuve de synthèse

• L’épreuve d’anglais

a. Le Tage Mage® (2 h)Le Tage Mage® vise à évaluer les capacités du candidat à intégrer des filières économiquesà dominante gestion et commerciale. Ce test regroupe différentes épreuves : deux épreuvesd’aptitudes verbales : le lexiphrase et le paratexte, deux épreuves de calcul, une épreuve delogique verbale et chiffrée et une épreuve de logique spatiale. Ce test est requis par certai-nes écoles de commerce ou universités spécialisées en économie ou en gestion.

Il s’adresse aux étudiants de niveau bac à bac + 3 ou 4. En fonction du cas de figure danslequel vous vous situez, il vous est exigé un score minimum au Tage Mage®.

Introduction : ConcoursTremplin 2 et Passerelle 2

Vous ne pouvez passer ce test qu’une seule fois par an !AT T E N T I O N

Comment l’épreuve du Tage Mage® se déroule-t-elle ?Le Tage Mage® se compose de 90 questions réparties en six sous-tests :

• Compréhension de textes (20 minutes pour lire 3 textes et répondre à 15 questions enprésence des textes),

• Calcul (20 minutes pour répondre à 15 questions),

• Raisonnement/argumentation (20 minutes pour répondre à 15 questions),

• Conditions minimales (20 minutes pour répondre à 15 questions),

• Expression : synonymie, correction d’expressions incorrectes et phrases ou paragraphesà compléter (20 minutes pour répondre à 15 questions),

• Logique : données lettrées, données chiffrées et données spatiales (20 minutes pourrépondre à 15 questions).

Ces différents sous-tests comportent des questions à 5 choix possibles dont un seul estcorrect et les épreuves durent en tout 120 minutes soit deux heures pour l’ensemble deces six épreuves.

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2 Concours Tremplin 2 et Passerelle 2

Les épreuves de compréhension de texte et expression mesurent vos aptitudes verbalesen français (vocabulaire, grammaire, syntaxe et orthographe) et votre capacité à com-prendre l’idée générale d’un paragraphe et d’un texte. Les épreuves de calcul et de condi-tions minimales évaluent vos compétences pour résoudre des problèmes mathématiquesrapidement. Et enfin les épreuves de raisonnement/argumentation de logique apprécientvos capacités de raisonnement logique.

Le test est noté sur 360 points. Votre note est calculée de la manière suivante :

Domaines Épreuves Questions Durée Nombre Note finalede points

Compréhension de textes 15 questions(sous-test 1) à 5 choix 20 min 15 × 4 = 60

possibles dontun seul est

Aptitudes correctverbales

Expression 15 questions(sous-test 5) à 5 choix 20 min 15 × 4 = 60

possibles dontun seul estcorrect

Calcul 15 questions(sous-test 2) à 5 choix 20 min 15 × 4 = 60 Somme

possibles dont des scoresRésolution de un seul est obtenus aux

problèmes correct 6 sous-tests

Conditions minimales 15 questions= …/360

(sous-test 4) à 5 choix 20 min 15 × 4 = 60possibles dontun seul estcorrect

Raisonnement/ 15 questionsargumentation à 5 choix 20 min 15 × 4 = 60(sous-test 3) possibles dont

un seul est

Raisonnement correct

logique Logique : données 15 questionslettrées, chiffrées à 5 choix 20 min 15 × 4 = 60et spatiales possibles dont(sous-test 6) un seul est

correct

Vous êtes pénalisé(e) si vous ne répondez pas correctement à une question ! Vous perdez despoints. Si vous hésitez sur un énoncé, passez au suivant car l’absence de réponse ne vous enlè-ve pas de point. Ne faites pas confiance au hasard, c’est trop risqué !

AT T E N T I O N


b. L’épreuve de synthèse de dossier (3 h)Nouveauté 2013 !

Depuis 2013, pour le concours ÉCRICOME TREMPLIN 2, une nouvelle épreuved’analyse de textes comparés est proposée à l’écrit.

L’épreuve d’analyse de textes comparés est relativement difficile et nécessite de l’entraî-nement ainsi qu’une bonne concentration. Il s’agit de déterminer la problématique com-mune à plusieurs textes et de rédiger une composition. Ce développement doit tenircompte des arguments de tous les textes et souligner les liens qu’ils ont.

c. L’épreuve d’anglais (1 h 40)Il s’agit d’un test comprenant quatre parties chacune composées de 30 questions à qua-tre choix possibles dont un seul est correct. Les thèmes sur lesquels vous serez inter-rogé(e) sont les suivants :

• Structure (30 questions en 25 minutes)

• Grammaire (30 questions en 25 minutes)

• Compréhension de textes (30 questions en 25 minutes)

• Vocabulaire (30 questions en 25 minutes)


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2. Le concours Passerelle 2Le concours Passerelle 2 s’adresse aux étudiants ayant au minimum un bac + 2 qui sou-haitent intégrer une école de commerce. Il est composé de plusieurs épreuves :

• Le Tage Mage®

• L’épreuve de synthèse

• L’épreuve d’anglais

a. Le test Mage (voir présentation précédente)Le Tage Mage® du concours Passerelle 2 est identique à celui du concours Tremplin 2.

Vous êtes pénalisé si vous ne répondez pas correctement à une question ! Ne perdez des pointsinutilement : si vous hésitez sur un énoncé, passez au suivant car l’absence de réponse ne vousenlève pas de point. Ne faites pas confiance au hasard, c’est trop risqué !

AT T E N T I O N

Vous ne pouvez passer le Tage Mage® qu’une seule fois par an, comme dans le cas duconcours Tremplin 2.

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b. L’épreuve de synthèse de dossier (2 h)L’épreuve de synthèse est relativement difficile et nécessite de l’entraînement et unebonne concentration. Il s’agit d’un dossier composé de plusieurs documents centrés


autour d’un thème commun à découvrir. Vous devez rédiger un texte, avec un nombre demots limité, résumant l’idée générale regroupant ces divers documents. Attention à biengérer votre temps car cette épreuve ne dure que deux heures !

c. L’épreuve d’anglais (1 h 30)Il s’agit d’une série de questions à choix multiples dont un seul est correct. Ces questionsportent sur la grammaire, la structure des phrases, l’usage et la compréhension d’un texteécrit en anglais. Cette épreuve qui comprend en tout 80 questions est découpée en quatre sections :

• Grammar exercises (20 questions en 15 minutes)

• Find the error (15 questions en 20 minutes)

• Vocabulary exercises (25 questions en 15 minutes)

• Reading comprehension (20 questions en 40 minutes)


Vous êtes pénalisé si vous ne répondez pas correctement à une question ! Ne perdez des pointsinutilement : si vous hésitez sur un énoncé, passez au suivant car l’absence de réponse ne vousenlève pas de point. Ne faites pas confiance au hasard, c’est trop risqué !

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d. L’épreuve au choix (2 h)Vous avez le choix parmi 17 disciplines : allemand, espagnol, italien, biologie, mathé-matiques, informatique, technologie, philosophie, lettres et sciences humaines, droit,économie, gestion, gestion et négociation commerciale, management d’une entreprised’hôtellerie-restauration, créativité et gestion de projet, marketing, éducation artistique,STAPS. Cette épreuve n’est pas traitée dans cet ouvrage.

3. Comment préparer les concours Tremplin 2 ouPasserelle 2 ?Le Tage Mage® du concours Tremplin 2 et du concours Passerelle 2 sont des examensqui nécessitent une préparation soutenue. Ce sont des épreuves difficiles dans la mesureoù il faut être très rapide. Les sous-tests « calcul » et « conditions minimales » nécessi-tent une parfaite maîtrise du programme de mathématiques du collège et plus précisé-ment des classes de 4e et 3e. Vous allez donc devoir vous repencher sur les théorèmes dePythagore ou de Thalès, résoudre à nouveau des équations, des problèmes, etc. Que debons (ou mauvais) souvenirs ! Pas d’inquiétude : il s’agit d’un QCM, donc on ne vousdemande pas de démontrer vos résultats !

Les autres parties des tests d’aptitudes font appel au « bon sens ». Elles n’exigent pas denotions particulières mais demandent tout de même une préparation assez intensive. Vousdevez avoir traité plusieurs QCM du même type afin d’être capable de réussir Les tests.Si vous n’avez jamais fait de test de logique par exemple, il est très difficile d’en com-prendre le fonctionnement du premier coup et surtout en temps limité.


En ce qui concerne la synthèse en français, vous devez vous entraîner et lire de manièrerégulière les journaux d’actualité économique ainsi que des revues de sciences humaineset sociales.

Enfin pour l’épreuve d’anglais, revoyez de manière très assidue vos règles de grammai-re, orthographe, vocabulaire, conjugaison, structure de phrases, etc. Lisez également lapresse en anglais afin de vous familiariser avec un plus large vocabulaire, notammentjournalistique et économique.

Attitude à adopter avant et après les concoursLa veille

• Repérer le lieu exact de l’examen (station de métro, numéro de salle, étage, etc.)

• Préparer votre convocation, pièce d’identité et autres papiers que l’on peut vous deman-der, etc.

• N’oubliez pas de régler votre réveil ! Ne pas se réveiller le jour J serait plus que rageant !

• Couchez-vous tôt ! Cette épreuve demande une grande concentration. En étant fati-gué(e), vous allez perdre vos moyens et faire des erreurs d’inattention !

Le jour J

• Habillez-vous de manière sobre et correcte. Mais surtout choisissez des vêtements danslesquels vous vous sentez bien !

• Mangez bien au petit-déjeuner ! Ne partez pas le ventre vide !

• Prévoyez d’arriver en avance afin d’éviter tout stress en cas de problème (embouteilla-ges, retard dans les transports en commun, etc.).

• Une fois devant votre copie faites du mieux que vous pouvez. Et surtout si vous ne savezpas répondre à une question passez à la suivante !

Les résultats

• Vous avez réussi : BRAVO !

• Vous avez échoué : ce n’est pas grave, vous pouvez repasser le concours l’année sui-vante. Et vous serez d’autant mieux préparé(e) car vous saurez à quoi vous attendre.Tentez de repérer les points qui vous ont posé des problèmes et accentuez vos prochai-nes révisions sur ces différents thèmes. Bon courage !

4. Présentation de l’ouvrageCet ouvrage est construit en trois grandes parties :

1re partie : Le Tage Mage® du concours Tremplin 2 et du concours Passerelle 2

Les différents rappels de cours sont tournés principalement sur les points de mathéma-tiques traités au collège, notions essentielles à la réussite des épreuves de calcul. Parexemple le théorème de Pythagore, le théorème de Thalès vous rappellent-ils des souve-nirs ? Ou vous sont-ils parfaitement inconnus ?


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Certains concepts de probabilités traités également dans cette partie peuvent aussi vousêtre utiles pour ces épreuves de calcul.

La logique également traitée dans ce deuxième chapitre a elle aussi son importance. Vousn’avez que très rarement (voire pas du tout) eu l’occasion de rencontrer des exercices delogique au cours de votre scolarité. Les nombreux exemples et applications vous per-mettront de comprendre leur fonctionnement.

À la fin de la partie, 3 tests blancs vous permettent de vous entraîner dans les conditionsdu concours.

2e partie : L’épreuve de synthèse et d’analyse de textes comparés

Vous trouverez dans une première partie des rappels de français et des exercices pourvous évaluer. Nous vous proposons ensuite une méthodologie complète, détaillée et adap-tée à chacun des concours.

À la fin de la partie, 2 épreuves de note de synthèse inédites vous permettent de vousentraîner dans les conditions du concours.

3e partie : L’épreuve d’anglais

L’épreuve d’anglais est traitée dans cette troisième qui vous propose un rappel des règlesde grammaire indispensables pour réussir les QCM, ainsi qu’une liste du vocabulaireincontournable à connaître. Cette épreuve nécessite également un travail régulier de pra-tique de la langue anglaise (grammaire, structure des phrases, orthographe) ainsi qu’unelecture assidue des journaux anglo-saxons pour la partie compréhension de texte.

Un dernier mot avant de consulter cet ouvrage : BONNE CHANCE !

« Toutes les grandeurs de ce monde ne valent pas un bon ami. ». Voltaire.

À ma chère amie.


Remerciements

Je tiens à remercier l’équipe d’édition pour son soutien, sa disponibilité et sa confiance.

Je remercie également tous les élèves que j’ai encadrés et accompagnés au cours destages de préparation à différents examens et notamment aux concours Tremplin etPasserelle. Ils m’ont exposé leurs difficultés et leurs interrogations. Cela m’a permis demieux cibler les différents thèmes qu’ils ne comprenaient pas et d’insister sur les pointsdélicats.

J’espère que cet ouvrage répondra aux attentes des candidats aux concours Tremplin 2et Passerelle 2.

Bonne chance et bon travail à tous !

Marie-Virginie SPELLER


Partie

Tage Mage®

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Mathématiques

1. Calcul mental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92. Critères de divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123. Outils calculatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154. Le point sur les pourcentages . . . . . . . . . . . . . . . .245. Les équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .276. Les inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .317. Les systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .388. Les polynômes de degré deux . . . . . . . . . . . . . . . .429. Théorèmes et propriétés célèbres en géométrie . . . .4710. Résultats importants en géométrie . . . . . . . . . . . .5011. Périmètres, surfaces et volumes . . . . . . . . . . . . .5712. Conversions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6213. Calculs de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7114. Notions de statistiques descriptives . . . . . . . . . . .7615. Récapitulatif sur les cas discret et continu . . . . . . .8316. Le point sur la loi de Bernouilli

et la loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8517. Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

Les parties « calcul » et « problèmes algébriques » du testTage Mage® portant sur les programmes de collège et lycéeen mathématiques. Les questions regroupent les chapitres por-tant sur les équations, les systèmes, la géométrie, le calculalgébrique, etc.

1.1

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Mathématiques [1. Calcul mental]

Le calcul mental peut s’avérer très utile dans les épreuves de rapidité, notamment dansles exercices des sous-tests « Calcul » et « conditions minimales » du Tage Mage®. Il estégalement indispensable de connaître ses carrés et cubes ainsi que certaines tables demultiplication par cœur !

Les 20 premiers carrés

Calcul mental 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

121 144 169 196 225 256 289 324 361 400

Les 12 premiers cubes

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 8 27 64 125 216 343 512 729 1 000 1 331 1 728

64 est à la fois un carré et un cube ! Il en est de même pour 0 et 1 qui, élevés respectivementà n ’importe quelle puissance, reste toujours égaux respectivement à 0 et 1. En particulier : 02

= 03 = 0 et 12 = 13 = 1

R E M A R Q U E

Tables de 11 et 12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

121 132 143 154 165 176 187 198 209 220

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

12 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

132 144 156 168 180 192 204 216 228 240

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10

Puissances de 2 et de 3

Mathématiques [1. Calcul mental]

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102n 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1 024

3n 1 3 9 27 81 243 729 2 187 6 561 19 683 59 049

FactoriellesLa factorielle d’un nombre n est le produit des nombres entiers compris entre 1 et n. Parexemple 2! = 2 × 1 = 2 ou 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Voici les 11 premières factorielles :

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n! 1 1 2 6 24 120 720 5 040 40 320 362 880 3 628 800

Sommes

Type de somme Exemple

Somme desn

1ers entiers

n∑k=0

k = n(n + 1)

2

n∑k=0

k2 = n(n + 1)(2n + 1)

6

Somme desn

1ers entiersélevés

aucarré

1 + 2 + 3 + . . . + 100 = 100 × 101

2= 50 × 101 = 5 050

1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 5 × (5 + 1) × (2 × 5 + 1)

6

= 5 × 6 × 11

6= 55

Somme desn

1ers entiersélevés

aucube

n∑k=0

k3 =(

n(n + 1)

2

)21 + 8 + 27 + 64 =

(4 × (4 + 1)

2

)2

= 102 = 100

9782100720323-Spel-P01a.qxd 20/11/14 12:28 Page 10

Suites

Mathématiques [1. Calcul mental] 11

Not

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eAn

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sTa

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© D

unod

. Tou

te r

epro

duct

ion

non

auto

risé

e es

t un

délit

.

L’ora

l

Type de suite Terme Somme Exemples

Arithmétique de raison r et de

1er terme U0

Un = U0 + nrChaque terme estaugmenté de laraison r (qui estun réel) par rap-port au précédent

Sn =1er terme + dernier terme

2× nombre de termes

Sn = U0 + Un

2× (n + 1)

Somme des quatre premiers termes de la suite

arithmétique de raison 3 et de premier terme 5 :

5 + 8 + 11 + 14

= 5 + 14

2× 4

= 9,5 × 4 = 38

Géométriquede raison q et de

1er terme V0

Vn = V0 × qn

Chaque terme estmultiplié par laraison q (qui est

un réel) par rapport au

précédent

Sn = 1er terme

×1 − raisonnombre de terme

1 − raison

Sn = V01 − qn+1

1 − q

Somme des 4 1ers termes dela suite géométrique

de raison 2 et de 1er terme 4 :

4 + 8 + 16 + 32

= 4 × 1 − 24

1 − 2= 4 × 15 = 60

9782100720323-Spel-P01a.qxd 20/11/14 12:28 Page 11

Les critères de divisibilité vous seront très utiles dans les énigmes de logique faisantintervenir des séries chiffrées.

12 Mathématiques [2. Critères de divisibilité]

Critères de divisibilité2

Critères de Divisibilité Exemples

Par 2

Par 3

Par 4

Par 5

Par 6

Par 7

Par 8

Par 9

Par 10

Par 11

Un nombre est divisible par 2 si et seulement s’il est pair.C’est-à-dire si et seulement s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou8.

252 : car c’est un nombrepair.

Un nombre est divisible par 3 si et seulement si la sommede ses chiffres est égale à un nombre divisible par 3 (3, 6 ou9).

210 : 2 + 1 + 0 = 3 qui estdivisible par 3.

Un nombre comportant au moins 2 chiffres est divisible par4 si et seulement si ses deux derniers chiffres forment unnombre divisible par 4.

332 : 32 est bien divisiblepar 4

Un nombre est divisible par 5 si et seulement s’il se termi-ne par 0 ou 5.

105, 225, 100, etc.

Un nombre est divisible par 6 si et seulement s’il est à lafois divisible par 2 et 3.

12, 72, etc.

Il n’y a pas réellement de méthode pour déterminer si unnombre est divisible par 7. En revanche vous pouvez repé-rer les nombres divisibles par 7 lorsque leur expression estsimple.

210, 77, etc.

Il n’y a pas réellement de méthode pour déterminer si unnombre est divisible par 8. En revanche comme pour lechiffre 7 vous pouvez repérer les nombres divisibles par 8lorsque leur expression est simple.

160, 168, etc.

Un nombre est divisible par 9 si et seulement si la sommede ses chiffres est égale à un nombre divisible par 9 (9, 18,27, etc.).

297 : 2 + 9 + 7 = 18 qui estbien divisible par 9. (ce nom-bre est également divisible par3 car 9 est un multiple de 3)

Un nombre est divisible par 10 si et seulement s’il se ter-mine par 0.

10, 100, 750, etc.

55 qui a ses deux chiffresidentiques121 car 1 + 1 = 21331 car 1 + 3 = 3 + 1

Un nombre à deux chiffres est divisible par 11 si et seule-ment si la somme de ses chiffres de rang impair est égale àcelle de ses chiffres de rang pair.

9782100720323-Spel-P01a.qxd 20/11/14 12:28 Page 12

Nombres premiersLes nombres premiers sont des nombres uniquement divisibles par 1 et eux-mêmes.

Mathématiques [2. Critères de divisibilité] 13

Not

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.

L’ora

l

Voici les 25 nombres premiers compris entre 1 et 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

À R E T E N I R

Comme au concours : à vous de jouer !

Question 1 : Quel est l’intrus parmi : 121 – 156 – 165 – 231 ?

❒ A. 121 ❒ B. 156 ❒ C. 165 ❒ D. 231 ❒ E. 451

Question 2 : Complétez la série : 64 – 125 – 216 – ? – 512

❒ A. 343 ❒ B. 243 ❒ C. 144 ❒ D. 225 ❒ E. 729

Question 3 : Que vaut : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 2 012 = ?

❒ A. 2 012 ❒ B. 2 025 080 ❒ C. 4 050 156 ❒ D. 2 025 077 ❒ E. 2 025 078

Question 4 : Quel nombre complète la série : 8 – 16 – ? – 64 – 128 ?

❒ A. 18 ❒ B. 24 ❒ C. 32 ❒ D. 48 ❒ E. 95

Question 5 : Quel est l’intrus parmi : 324 – 150 – 356 – 400 ?

❒ A. 150 ❒ B. 324 ❒ C. 400 ❒ D. 356 ❒ E. 808

Question 6 : Que vaut : 1 + 6 + 11 + 16 + 21 + 26 + 31 + 36 + 41 + 46 + 51 + 56 = ?

❒ A. 344 ❒ B. 342 ❒ C. 684 ❒ D. 688 ❒ E. 874

Question 7 : Que vaut : 1 + 4 + 16 + 64 + 256 + 1 024 + 4 096 + 16 384 + 65 536 + 262 144 = ?

❒ A. 347 525 ❒ B. 1 048 576 ❒ C. 348 525 ❒ D. 349 525 ❒ E. 350 000

Question 8 : Quel est l’intrus parmi : 8 – 27 – 512 – 729 – 4 ?

❒ A. 27 ❒ B. 512 ❒ C. 4 ❒ D. 729 ❒ E. 1 000

Question 9 : Quel est l’intrus parmi : 125 – 6 – 24 – 120 – 720 – 5 040 ?

❒ A. 125 ❒ B. 6 ❒ C. 24 ❒ D. 120 ❒ E. 720

Question 10 : Quel est l’intrus parmi : 3 – 16 – 17 – 23 – 97 – 37 ?

❒ A. 3 ❒ B. 16 ❒ C. 37 ❒ D. 97 ❒ E. 23

Corrigés

1. L’intrus est 156 car c’est le seul nombre qui ne soit pas un multiple de 11. La bonne réponseest B.

2. Seul 343 convient car il s’agit d’un cube : 343 = 73. La bonne réponse est A.

3. Il s’agit de la somme des 2 012 premiers entiers. 1 + ... + 2 012 = 2 012 × 2 013

2= 2 025 078.

La bonne réponse est E.

4. Il s’agit d’une suite de puissances de 2. Chaque terme est multiplié par 2 à chaque étape. Leterme cherché est donc 16 × 2 = 32. La bonne réponse est C.

9782100720323-Spel-P01a.qxd 20/11/14 12:28 Page 13

5. Seul 150 n’est pas divisible par 4. En effet ces deux derniers chiffres forment 50 qui n’est pasun nombre divisible par 4. La bonne réponse est A.

6. Il s’agit des douze premiers termes de la suite arithmétique de raison 5 et de 1er terme 1. Ainsi

1 + ... + 56 = 1 + 56

2× 12 = 57 × 6 = 342. La bonne réponse est B.

7. Il s’agit de la somme des 10 premiers termes de la suite géométrique de raison 4 et de premier

terme 1. Ainsi 1 + ... + 262 144 = 1 ×1 − 410

1 − 4= 1 048 575

3= 349 525. La bonne réponse est D.

8. Il s’agit d’une série de cubes parfaits sauf 4. 4 est donc l’intrus. La bonne réponse est C.

9. Chaque nombre est le résultat d’une factorielle sauf 125. 125 est donc l’intrus. La bonne répon-se est A.

10. Seul 16 n’est pas un nombre premier. La bonne réponse est B.

14 Mathématiques [2. Critères de divisibilité]

Il s’agit d’une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 8.

R E M A R Q U E

9782100720323-Spel-P01a.qxd 20/11/14 12:28 Page 14

1. Fractions

a. Quelques règlesVous ne pouvez pas diviser par zéro en mathématiques. Ainsi le dénominateur doit toujours être non nul. Cette règle ne s’applique pas au numérateur qui est toujours unnombre réel.

➤ Pour tout réel a non nul,a

0est impossible à calculer.

Exemples

• 1

0impossible •

42

0impossible •

0

0impossible

➤ En revanche 0

a= 0, pour tout réel a non nul.

Exemples

• 0

5= 0 • 3 × 0

4= 0 • 1 × 0

0impossible

• 0

48= 0 • 4 × 4

0= impossible

b. Simplification de fractions

➤ Vous pouvez simplifier une fraction lorsque son numérateur et son dénominateur ontun ou plusieurs facteurs en commun :

Avec x et b non nuls,x × a

x × b= a

bet

a × x

b × x= a

bExemples

• 2

3= irréductible •

34

51= 2 × 17

3 × 17= 2

3•

1

3= irréductible

• 4

14= 2 × 2

2 × 7= 2

7•

28

35= 7 × 4

7 × 5= 4

5

• 10

12= 2 × 5

2 × 6= 5

6•

42

51= 14 × 3

17 × 3= 14

17

c. Produit de deux fractionsPour multiplier deux fractions, il vous suffit de multiplier les numérateurs et les dénomi-

nateurs entre eux :a

b× c

d= a × c

b × d

Mathématiques [3. Outils calculatoires] 15

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Outils calculatoires 3

9782100720323-Spel-P01a.qxd 20/11/14 12:28 Page 15

Exemples

• 1

2× 9

5= 9

10•

1

3× 3

4= 1

4•

2

8× 4

15= 1

15

• 1

3× 2

3= 2

9•

5

2× 1

25= 1

10• 2 × 1

2= 2

2= 1

• 17 × 17

51= 17 × 1

3= 17

3

d. Division de deux fractions

➤ Pour diviser deux fractions, il vous suffit de multiplier la première par l’inverse de laseconde :

a

b÷ c

d= a

b× d

c= a × d

b × c

Exemples

• 1

2÷ 9

5= 1

2× 5

9= 5

18•

10

3÷ 3 = 10

3× 1

3= 10

9•

17

3÷ 1 = 17

3× 1

1= 17

3

• 1

3÷ 2

3= 1

3× 3

2= 1

2•

5

4÷ 3

2= 5

4× 2

3= 10

12= 5

6

2. Racines carrées

a. Quelques règles

➤ Vous ne pouvez pas calculer la racine d’un nombre négatif :√

a est impossible à cal-culer si a < 0

Exemples• √−2 impossible •

√−1 impossible

➤ Une racine est un réel toujours positif ou nul :√

a = 0 ssi a = 0 (a nul) et √

a > 0 ssia > 0 (a strictement positif)

Exemples

• √

0 = 0 • √

1 = 1

➤ La racine carrée du carré parfait d’un nombre est égale à la valeur absolue de ce nom-

bre :√

a2 = |a| ={

a si a > 0−a si a < 0

Exemples• √

4 = 2 • √

3 ∼= 1,732 • √

8 = 2√

2 ∼= 2,828

• √

2 ∼= 1, 414 • √

5 ∼= 2,236 • √

100 = 10

16 Mathématiques [3. Outils calculatoires]

9782100720323-Spel-P01a.qxd 20/11/14 12:28 Page 16

b. Simplification de racines carrées

➤ Simplifier une racine consiste à repérer le ou les carré(s) éventuel(s) à l’intérieur de la

racine puis d’en placer la racine à l’extérieur : ∀x ≥ 0 et a ∈ R,√

xa2 = |a|√x

Exemples• √

16 = 4 • √

8 = √2 × 4 = 2

√2

• √

32 = √2 × 16 = 4

√2 •

√50 = √

2 × 25 = 5√

2

➤ Vous ne devez en général pas laisser de radical au dénominateur :

∀a > 0,1√a

=√

a

aExemples

• 1√2

=√

2

2•

2√2

= 2√

2

2= √

2

•

√3√5

= √3 ×

√5

5=

√15

5•

1√1

=√

1

1= √

1

c. Addition et soustraction de racines

➤ Pour additionner ou soustraire des racines, il faut qu’il y ait le même nombre sous leradical. a, b sont deux réels positifs.

√a + √

b =/ √a + b

√a − √

b =/ √a − b

√a + √

a = 2√

a

➤ Il est souvent nécessaire de simplifier une ou plusieurs racines dans l’expression poureffectuer une addition ou une soustraction.

Exemples• √

3 + √48 = √

3 + √3 × 16 = √

3 + 4√

3 = 5√

3

• √

2 + √8 + √

72 = √2 + √

2 × 4 + √2 × 36 = √

2 + 2√

2 + 6√

2 = 9√

2

• √

16 + √8 = 4 + √

2 × 4 = 4 + 2√

2

• √

2 + √242 = √

2 + √2 × 121 = √

2 + 11√

2 = 12√

2

• √

14 + √5 n’est pas simplifiable

d. Multiplication et division de racines

➤ La multiplication comme la division de racines n’exigent pas le même nombre sous leradical


Not

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l

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➤ La multiplication des racines carrées de deux nombres positifs est équivalente à la raci-ne carrée de la multiplication de ces deux nombres. a et b sont deux réels positifs.

√a × √

b = √a × b

➤ La division des racines carrées de deux nombres positifs est équivalente à la racine dela division de ces deux nombres. a et b sont deux réels positifs.

√a ÷ √

b = √a ÷ b

Exemples• √

3 × √2 = √

6

• √

4 × √16 = √

4 × 16 = √64 = 8

• √

2 × √5 × √

7 = √2 × 5 × 7 = √

70

•

√2√3

=√

2

3= √

2 ×√

3

3=

√6

3

• (√

1 ÷ √5) × √

7 = √(1 ÷ 5) × 7 =

√7

5=

√35

5

•

√4

5×

√25

16=

√4

5× 25

16=

√5

4=

√5

2

•

√3

4÷

√5

4=

√3

4÷ 5

4=

√3

4× 4

5=

√3

5=

√15

5

• √

12 ×√

2

2= 2

√3 ×

√2

2= √

6

3. Puissances

a. Quelques règles

➤ Un nombre élevé à la puissance 0 est toujours égal à 1 : ∀x ∈ R , x0 = 1

➤ Un nombre élevé à la puissance 1 est inchangé : x1 = x

➤ xn = x × . . . × x (n fois)

Exemples• 101 = 10 • 152 = 225 • 1 000 1000 = 1

• 50 = 1 • 53 = 125

b. Addition et soustraction de nombres à puissances

➤ Vous ne pouvez pas regrouper sous une même puissance la somme ou la différence dedeux nombres égaux dont les puissances sont différentes.


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➤ Vous devez les calculer séparément pour les additionner ou les soustraire.

xa + xb =/ xa+b et xa − xb =/ xa−b

Exemples• 23 + 25 =/ 23+5 , en effet : 23+5 = 28 = 256 et 23 + 25 = 8 + 32 = 40

• 35 − 32 =/ 35−2 , en effet : 35−2 = 33 = 27 et 35 − 32 = 243 − 9 = 234

➤ Lorsque deux nombres sont égaux et élevés à la même puissance vous pouvez les addi-tionner ou les soustraire entre eux :

xa + xa = 2xa et 3xa − 2xa = xa

Exemples

• 43 + 43 = 2 × 43 = 2 × 64 = 128

• 28 − 28 = 0

➤ Lorsque les deux nombres sont différents et élevés à la même puissance vous ne pou-vez pas les regrouper sous la même puissance :

xa + ya =/ (x + y)a et xa + ya =/ (x + y)a

Exemples• 35 + 25 =/ (3 + 2)5 , en effet : 35 + 25 = 243 + 32 = 275 et (3 + 2)5 = 55 = 3 125

• 45 − 25 =/ (4 − 2)5 , en effet : 45 − 25 = 1 024 − 32 = 992 et (4 − 2)5 = 25 = 32

➤ Un nombre réel élevé à une puissance paire est toujours positif ou nul :

∀n ∈ N et ∀x ∈ R∗, x2n > 0

02n = 0 ∀n ∈ NExemples

• 22 = 4 > 0 • 05 = 0

• (−5)6 = 15 625 > 0

➤ Dans le cas d’une puissance impaire, le nombre garde son signe initial.

∀n ∈ N et ∀x > 0, x2n+1 > 0

∀n ∈ N et ∀x < 0, x2n+1 < 0

Exemples

• (−1)3 = −1 • 53 = 125 > 0

➤ La racine carrée d’un nombre positif est égale à ce nombre élevé à la puissance 1

2:

∀x � 0,√

x = x12


Not

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syn

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Exemples

• 1612 = √

16 = 4 • 2512 = √

25 = 5

• 10012 = √

100 = 10

c. Multiplication de nombres à puissances

➤ Lorsque vous multipliez deux mêmes nombres élevés à des puissances égales ou dif-férentes, il vous suffit d’additionner les puissances :

xa × xb = xa+b

Exemples• 23 × 25 = 28 = 256 • x2 × x = x2 × x1 = x2+1 = x3

• 53 × 52 = 55 = 3 125 • x3 × x0 = x3+0 = x3

• 103 × 10−4 = 10−1

➤ Vous pouvez distribuer la puissance à chacun des facteurs d’un produit élevé à cettemême puissance :

(x × y)a = xa × ya

Exemples• (x × y)2 = x2 × y2

• (2 × 5)2 = 22 × 52 = 4 × 25 = 100

• (7 × 2)3 = 73 × 23 = 343 × 8 = 2 744

d. Division de nombres à puissances

➤ Lorsque vous divisez deux mêmes nombres élevés à des puissances égales ou diffé-rentes, il vous suffit de soustraire les puissances :

xa

xb= xa−b et

1

xa= x−a

Exemples

• 23

25= 2−2 = 1

22= 1

4•

x2

x= x2

x1= x2−1 = x1 = x

• 53

52= 51 = 5 •

x3

x0= x3−0 = x3

• 103

10−4= 103 × 104 = 107

➤ Vous pouvez distribuer la puissance au numérateur et au dénominateur d’une fractionélevée à cette même puissance. (

x

y

)a

= xa

ya


9782100720323-Spel-P01a.qxd 20/11/14 12:28 Page 20

L’ora

l

Exemples

•

(x

y

)2

= x2

y2•

(7

2

)3

= 73

23= 343

8

•

(2

5

)2

= 22

52= 4

25

e. Puissances de puissances

➤ Lorsque vous élevez à une certaine puissance un nombre déjà élevé à une autre puis-sance, il vous suffit de multiplier ces deux puissances :

(xa)b = xa×b = xab

Exemples• (23)4 = 212 = 4 096

• (34)12 = 32 = 9

4. Développement et factorisation


Not

e de

syn

thès

eAn

glai

sTa

ge M

age®

Associativité

(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c(a × b) × c = a × (b × c) = a × b × c

Commutativité

a + b = b + aa × b = b × a

Distributivité

a × (b + c) = a × b + a × c(a + b) × (c + d) = a × c + a × d + b × c + b × d

Identités remarquables

Les carrés(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

(a − b)(a + b) = a2 − b2

Les cubes(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

(a − b)(a2 + ab + b2) = a3 − b3

Comme au concours : à vous de jouer !

Répondez le plus rapidement possible aux questions suivantes.

Question 1 : Simplifiez l’expression 25 × 515 × 33

510 × 32

❒ A. 300 000 ❒ B. 30 000 ❒ C. 312 500 ❒ D. 31 250 ❒ E. 3 000

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Question 2 : Factorisez l’expression x3 − 1

❒ A. (x − 1)(x2 + 2x + 1) ❒ C. (x − 1)(x − 1)2 ❒ E. (x − 1)2(x − 1)

❒ B. (x − 1)(x2 + x + 1) ❒ D. (x − 1)2(x2 + x − 1)

Question 3 : Simplifiez la fraction 129

531

❒ A. 44

177❒ B.

43

177❒ C.

43

59❒ D.

44

59❒ E. Cette fraction est irréductible.

Question 4 : Factorisez l’expression a – b où a et b sont strictement positifs

❒ A. (√

a − √b)2 ❒ C. (

√a − √

b)(√

a + √b) ❒ E. Cette expression n’est pas factorisable

❒ B. √

ab + a + b ❒ D. (a − b)(a + b)

Question 5 : À quoi est égale cette expression 1√a

?

❒ A. √

a ❒ B. 1

a❒ C.

√a

a❒ D.

√a

a2❒ E. 2

√a

Question 6 : À quoi est égale l’expression 1√17

?

❒ A. √

17 ❒ B.

√17

17❒ C.

1

17❒ D. 17

√17 ❒ E. 2

√17

Question 7 : À quoi est égale l’expression √

a2 , a < 0 ?

❒ A. a ❒ C. −a ❒ E. Il n’est pas possible de répondre

❒ B. √

a ❒ D. −√a à la question

Question 8 : À quoi est égale l’expression √

a2 , a > 0 ?

❒ A. a2 ❒ C. −a ❒ E. Il n’est pas possible de répondre

❒ B. a ❒ D. √

a à la question

Question 9 : À quoi est égale l’expression 3

5×

(1

2+ 8

3

)− 3

4? Vous donnerez le résultat

sous forme de fraction irréductible.

❒ A. 20

23❒ B.

19

20❒ C.

23

20❒ D.

3

4❒ E.

1

5

Question 10 : À quoi est égale l’expression 3

5÷

(5

2+ 7

3

)− 3

4? Vous donnerez le résultat

sous forme de fraction irréductible.

❒ A. 363

580❒ B. −362

580❒ C.

303

1 000❒ D. − 303

1 000❒ E. −363

580

Corrigés

1. 25 × 515 × 33

510 × 32= 25 × 515−10 × 33−2 = 25 × 55 × 31 = (2 × 5)5 × 3 = 105 × 3 = 300 000

La bonne réponse est A.


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2. Vous reconnaissez une des trois identités remarquables faisant intervenir des termes élevés aucube : x3 − 1 = x3 − 13 = (x − 1)(x2 + x + 1) . La bonne réponse est B.

3. 129

531= 3 × 43

3 × 177= 43

177. La bonne réponse est B.

4. Vous reconnaissez une identité remarquable faisant intervenir des termes élevés au carré :

a − b = (√

a)2 − (√

b)2 = (√

a − √b)(

√a + √

b) . La bonne réponse est C.

5. 1√a

=√

a

a. La bonne réponse est C.

6. 1√17

=√

17

17. La bonne réponse est B.

7. √

a2 = |a| = −a car a < 0. La bonne réponse est C.

8. √

a2 = |a| = a car a > 0. La bonne réponse est B.

9. 3

5×

(1

2+ 8

3

)− 3

4= 3

5×

(3

6+ 16

6

)− 3

4= 3

5× 19

6− 3

4= 19

10− 3

4= 38

20− 15

20= 23

20.

La bonne réponse est C.

10. 3

5÷

(5

2+ 7

3

)− 3

4= 3

5÷

(15

6+ 14

6

)− 3

4= 3

5÷ 29

6− 3

4= 3

5× 6

29− 3

4

= 18

145− 3

4= 72

580− 435

580= −363

580. La bonne réponse est E.


Not

e de

syn

thès

eAn

glai

sTa

ge M

age®

© D

unod

. Tou

te r

epro

duct

ion

non

auto

risé

e es

t un

délit

.

L’ora

l

Il était important de regrouper les termes 25 et 55 dans le produit (2 × 5) élevé à la puissance5, car cela faisait apparaître une puissance de 10 !

R E M A R Q U E

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