２．フーリエ級数Fourier2Series

• 不ᶉ則な波→正弦波（周期関数）の重ね合わせで表す．

• 複素平面• Z=x+iy=r(coswt+isinwt)=reiwt

†

f (t) = f (t + T) = f (t + nT)

三 関数（周期関数）

• 直 三 形を使った周期関数sine cosine• 正弦，余弦• 振幅と周波数• 位相

†

x = Asinwt + Bcoswt = A2 + B2 sin(wt + q)q = tan-1(B / A)

フーリエ級数・変換の応用（小暮）

• 熱伝導問題• 気回路（オシロスコープでの 圧波形）• 機械や建築での振動問題• 音 学のソノグラフ• ラジオ 波AM,FM• 化学分野：フーリエ分光システム，光スペクトロメトリー

• 画像工学，CTスキャン，MRI,単なるｘ線映像は重なり合いぼけた映像，フーリエ変換し鮮明に（断層写真）

級数展開

• 任意の関数を正 直交関数で 似する• 級数：関数の和• 例えば，任意ベクトルa，基底f1,f2

†

a = a1 f1 + a2 f2

寺田寅彦の尺八（小暮）

尺八の「ろ」の音の波形 析

フィルター

• 入力ー＞　フィルター　ー＞　出力• フーリエ分光システム

フーリエ級数

†

f (t) = a0 + an cosnwt + bnsinnwt{ }n=1

•

Â

†

f (t) = a0 + an cos 2pnT

t + bnsin 2pnT

tÏ Ì Ó

¸ ˝ ˛ n=1

•

Â

wを書き換えると

基本形：

直交関数，正ᶉ直交関数

• フーリエ係数を決定するために

†

sinmx • sinnxdx0

2p

Ú = pdmn

いま，x => wt　とおく変数変換により　2p => 2p/w　となる

証明

導く

フーリエ級数を求める準備

†

cosnwt cos mwto

2p /w

Ú dt =0 n ≠ m( )pw

n = m( )

Ï

Ì Ô

Ó Ô

cosnwt sin mwto

2p /w

Ú dt = 0

sinnwt sinmwto

2p /w

Ú dt =0 n ≠ m( )pw

n = m( )

Ï

Ì Ô

Ó Ô

F(t)にcosnwtを乗じて積分すると？

†

[ ]0

2p /w

Ú cosnwtdt = ?

†

an =wp

f (t)cosnwtdt =2T0

2p /w

Ú f (t)0

T

Ú cosnwtdt

†

a0 =1T

f (t)0

T

Ú dt

†

bn =2T

f (t)0

T

Ú sinnwtdt

導く

同様に

宿題（２）

• 図１に示された関数のフーリエ級数展開を求めよ．• 求められた級数の中で，第２項までの和と第４項までの和とを，元の関数とグラフで比 せよ．

• この結果を用いて，級数の 似と収束の状況を説明しなさい．

翌週の講義の時間に提出

図ー１