3 Disques Et Une Tige

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Physique

MECANIQUE DU SOLIDE EXERCICE DORAL

-EXERCICE 17.4-

ENONCE : 3 disques et une tige

O

A

B

1( )D

2( )D

3( )D

OB est une tige de masse M et de longueur 4L, pouvanttourner sans frottements autour d'un axe horizontalpassant par le point O.On considre 3 disques de rayon L et de masse m; celuide centre O est fixe; les 2 autres sont articuls autourde 2 axes passant par les points A et B de la tige : ilstournent librement autour de ces axes.Les 3 disques sont au contact, et l'on suppose qu'il y aroulement sans glissement d'un disque sur l'autre.

Lensemble reste dans un mme plan vertical, et lon donne les moments dinertie suivants :

pour la tige, par rapport O : 216

3MLJ =

pour les disques, par rapport leur centre : 2

2mLI =

Etudier le mouvement du systme ( / 2 / 2 ) ; on sintressera en particulier aux petites oscillations.


Physique


CORRIGE : 3 disques et une tige

Analyse du problme : priori, il y a 3 degrs de libert : langle de rotation de la tige ( ), celui du disque ( 2D ), que lon notera 2 , et celui du disque ( 3D ), not 3 . Le roulement sans glissement de ( 2D ) sur ( 1D ), au point de contact appel I, et celui de ( 3D ) sur ( 2D ), au point de contact J, fourniront 2 relations supplmentaires : il ny a donc quun seul degr de libert, et nous pourrons nous contenter dun thorme nergtique.

Le systme choisi est lensemble {tige+2 disques mobiles}, le rfrentiel est le disque ( 1D ) ; il ne constitue pas un solide, il faut donc considrer galement les forces intrieures. Les liaisons en O, A et B sont sans frottements pas de puissance dissipe ; puisquil y a roulement sans glissement en I et J, la puissance totale des actions de contact en I et J est nulle (il y a bien des frottements, pour que a roule , mais la vitesse de glissement tant nulle, la rsultante des actions de contact ne travaille pas) : nous utiliserons donc la conservation de lnergie mcanique, en considrant lnergie cintique et potentielle des diffrentes parties du systme.

Rsolution du problme :

Roulement sans glissement :

2 2 1 1 2 2

0I D I D Av v v I A = = = + """### # # #

, o 2#

est le vecteur rotation instantane du disque ( 2D ).

ze#

e#

re#

Nous prendrons une base cylindrique lie la tige, le sens plus desrotations sera ainsi le sens trigonomtrique.Les points A et B effectuent un mouvement circulaire, leur vitesseest donc orthoradiale.

Il vient alors : 2 20 2 (2 )r zL e L e e L L e = + = i i# # # # #

2 2 =i

2 2 3 3 2 2 3 3

J D J D A Bv v v J A v J B = + = + """"# """"## # # # # #

, o 3#

est le vecteur rotation du disque ( 3D ).

On a : 2 32 ( ) 4r z r zL e L e e L e L e e + = + i i# # # # # #

3 2(2 4 )e e = + i i# #

3 0 = Rq : le rsultat prcdent peut sembler surprenant, mais plausible : lorsque la tige tourne avec

une vitesse 0i% , le disque tourne autour de laxe passant par B dans le sens contraire il est

possible que dans le rfrentiel dtude, 3 0 = ; le disque ( 3D ) est donc en translation circulaire, rsultat dont nous nous servirons pour calculer simplement son nergie cintique.

Calcul de lnergie potentielle :

tige : 2 (1 cos )tigeP

E Mg L = , en prenant lorigine des potentiels lorsque la tige est verticale.

Rq : choisir une constante est bien moins important que de veiller ce que PE augmente lorsquon slve dans le champ de pesanteur ; ici, la tige slve pour

cos cos & ' & , ce qui est correct. disques : de la mme manire : 2 (1 cos ) 4 (1 cos )

disquesPE mg L mg L = +

2 ( 3 )(1 cos )TotP

E Lg M m = +


Physique


Calcul de lnergie cintique :

tige : 2 2 21 8( ) ( )2 3tigeC

E J ML = =i i

disque ( 2D ) : appliquons le thorme de Knig concernant lnergie cintique : 2

2 2 2 2 2 21 2

1 1 1 1( ) (2 ) (2 ) 3 ( )2 2 2 2 2C A

mLE D mv I m L mL = + = + =i i i

disque ( 3D ) : 2 2 2 2

31 1( ) (4 ) 8 ( )2 2C B

E D mv m L mL = = =i i

2 28 11 ( )

3TotCME m L = +

i

Lnergie mcanique a donc pour expression :

2 282 ( 3 )(1 cos ) 11 ( )3Tot TotM P C C PME E E E E Lg M m m L cste = + = = = + + + =

i.

Aprs drivation temporelle et simplification par 2Li (

i=0 correspond une situation

statique) :

8( 3 )sin 11 03Mg M m m L + + + =

ii

Rq : cette quation nest pas linaire et na pas de solution analytique.

Pour de petites oscillations, sin ( , ce qui permet dcrire :

3 08 113

M m gM Lm

+

+ = + ii

les oscillations sont harmoniques de la forme :

( ) cos( ) sin( )t A t B t = + avec pour pulsation : 38 113

M m gM Lm

+= +

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