1

EESSPPAACCEESS VVEECCTTOORRIIEELLSS

Dfinition : Soit un corps donn \ ou ^, et soit

un ensemble non vide ayant les deux lois, addition et multiplication par un scalaire, qui font correspondre

K

,u v

V

V une somme u v et un quelconque et

V+ u V kK un produit k u V .

est alors appel -espace vectoriel ou espace vectoriel sur K (et les lments de V sont appel vecteurs) si et seulement si les axiomes suivants sont vrifis :

V K

[ ]1A : Quels que soient les vecteurs , , ,u v w V( ) ( )u v w u v w+ + = + + . [ ]2A : Il existe un vecteur de V , not 0 et appel vecteur nul , , u u

V

0V Vu V 0 u+ = + = [ ]3A : Quels que soient les vecteurs u , il existe V un vecteur de V not u , pour lequel

( ) ( ) 0Vu u u u+ = + = . [ ]4A : Quels que soient les vecteurs , ,u v Vu v v u+ = +

[ ]1M : Quels que soient le scalaire kK et quels que soient les vecteurs ,u v V ,

( )k u v k u k v+ = + . [ ]2M : Quels que soient les scalaires et ,a bK quels que soit le vecteur u V , ( )a b u au bu+ = + . [ ]3M : Quels que soient le scalaire et ,a bK , ( )u V ( )ab u a bu= . [ ]4M : Pour le scalaire 1 K K , 1 u u=K , . u V Thorme 1 : Soit V un K-espace vectoriel.

(i) ou 0 0Vku k= = K 0Vu = (ii) Quel que soit le scalaire kK et quel que

soit u V , ( ) ( )k u kuk u

2

= = facteursn

n

.

Exemple 1 : Lensemble =

"K K K)

( ) ( )1 1,..., ,...,n na a b b+ des -

tuples ( , avec les deux oprations n1,..., na a ( )1 1,..., n na b a b= + +( ) ( )1 1,..., ,...,n nk a a ka ka= , ,i ia b kK

et

o ,

est un K-espace vectoriel; on note cet espace vec-toriel . Le vecteur nul de tant les -tuples dont tous les lments sont nuls,

nK nK n( )0 0,...,0= . Exemple 2 : Soit ( )mn KM lensemble des matrices de type dont les lments appartiennent K.

muni des deux lois addition des matrices et multiplication dune matrice par un scalaire est un -espace vectoriel.

m n)(mn KMK

Exemple 3 : Soit [ ]XK lensemble des polynmes dont les coefficients appartiennent K. [ ]XK mu-ni des deux lois addition des polynmes et multi-plication dun polynme par un scalaire est un K-espace vectoriel . Exemple 4 : Soit un ensemble non vide. Consi-drons lensemble

X [ ],X KYX

de toutes les fonc-tions dfinies sur valeur dans K. La somme de deux fonctions quelconques , f g V est la fonction dfinie par f g+ V

( )( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = +

3

et le produit dune fonction f V par un scalaire est la fonction kK kf V dfinie par

( )( ) ( )kf x kf x= . V muni des lois prcdentes est un -espace vectoriel.

K

Dfinition : Soit V un K-espace vectoriel. W V est appel sous-espace vectoriel de V si et seule-ment si W est lui-mme un K-espace vectoriel par rapport aux lois d'addition vectorielle et de multi-plication par un scalaire dfinies sur V .

Thorme 2 : W est un sous-espace vectoriel de V si et seulement si (i) W n'est pas vide, (ii) W est ferm pour 1'addition ; 1 2,w w W implique w w1 2 W , + (iii) W est ferm pour la multiplication par un scalaire v implique W kv W quel que soit k . K

V

Thorme 3 : W est un sous-espace vectoriel de

si et seulement si (i) 0 et W

4

(ii) implique 1 2,w w W 1 2aw bw W+ quel que soit ,a bK . Exemple 5 : Soit V un -espace vectoriel quel-conque. L'ensemble

K{ }0V constitu du seul vecteur nul, ainsi que 1'espace entier V sont des sous-espaces vectoriels de V . Exemple 6 :

(i) Soit V 1'espace vectoriel 3\ . L'ensemble des vecteurs W dont la dernire composante est nulle, ( ), ,0 ; ,W a b a={ }b \ , est un sous-espace de V .

(ii) Soit ( ) un K-espace vectoriel des matrices m n . L'ensemble W des matrices

mn KM

( )ijA a= pour lesquelles aij jia = appeles matrices symtriques est un sous-espace de ( ). mnM K

(iii) Soit [ ]XK un K-espace vectoriel des poly-nmes. L'ensemble [ ]n XK des polynmes

5

de degr n , n tant fix, est un sous-espace vectoriel de [ ]XK .

(iv) Soit [ ],KY le K-espace vectoriel. L'ensemble W constitu de toutes les fonctions bornes est un sous-espace vectoriel de

X

[ ],Y . X K

1a

a

+

+

Exemple 7 : Considrons un systme homogne quelconque d'quations linaires inconnues et coefficients complexes:

n

11 1 1 2

1 1 2

0.........................................

0

n n

mn n

a x a x x

a x a x x

+ =

+ =

2

2m m

+

+

L'ensemble W de toutes les solutions de ce systme homogne est un sous-espace vectoriel de

appel espace vectoriel des solutions. Cependant 1'ensemble des solutions d'un systme non homogne d'quations linaires n inconnues nest pas un sous-espace vectoriel de .

n^

n^ Thorme 4 : Soient U et W deux sous-espaces vectoriels d'un K-espace vectoriel V . Alors leur intersection U est aussi un sous-espace de V . W

6

Thorme 5 : L'intersection d'un nombre quelcon-que de sous-espaces vectoriels d'un K-espace vec-toriel V est un sous-espace vectoriel de V .

7

VDfinition : Soient V un -espace vectoriel et

. Un vecteur quelconque de V , de la forme

K1,..., mv v

1 1 2 2 m ma v a v a v+ + + o les , est appel combinaison linaire de

. ia K

m1,...,v v Dfinition : Soit V un K-espace vectoriel. 1). On dit que la famille finie est lie ou linairement dpendants, ou simplement dpen-dants si

1,..., mv v V

( ) ( ){ }0,...,01,..., mma a K , tels que : 1 1 2 2 0m ma v a v a v+ + + =

1,..., m V

( )1,..., mma a K1 1 10 0,..., 0m m ma v a v a a+ + = = =

2). On dit que la famille finie v v est libre ou linairement indpendants, ou simplement indpendants si , tels que :

3). On dit que la famille infinie ( )i Iv est lie si et seulement sil existe une sous famille finie de ( )i Iv qui est lie. 4). On dit que la famille infinie ( )i Iv est libre si et seulement si toute sous famille finie de ( )i Iv est libre. 5). On dit que une partie non vide A V est libre si et seulement si la famille ( )v Av est libre. Exemple 8 : Les 3 vecteurs de , ,

et

3\ ( )1, 1,0u = ( )1,3, 1v = ( )5,3, 2w=

0w= sont dpendants puis-

que 3 . 2u v+ Exemple 9 : Montrons que les trois vecteurs

, et ( )6,2,3,4u = ( )0,5, 3,1v = ( )0,0,7, 2w= sont indpendants. Thorme 6 : Les lignes non nulles d'une matrice sous sa forme chelonne sont linairement ind-pendantes. Thorme 7 : Les vecteurs non nuls sont linairement dpendants si et seulement si l'un

1,..., mv v

8

d'entre eux, , est une combinaison linaire des autres vecteurs.

iv

Theorme 8 : Soit un sous-ensemble non vide de V . L'ensemble de toutes les combinaisons linaires des vecteurs de , not par

S

S ( )Vect SS

est un sous-espace vectoriel de V contenant . De plus, si W est un autre sous-espace vectoriel de contenant , alors

V( )Vect S W . SEn d'autres termes, ( )Vect S

S est le plus petit sous-

espace de V contenant . Dfinition : ( )Vect S est appel sous-espace engen-dr par . S

Exemple 10 : Les vecteurs ( )1 1,0,0e = , ( )2 0,1,1e = et ( )3 0,0e = ,

1

1 engendrent l'espace vectoriel 3\

xemple :

.

E 1 L'espace vectoriel est engendr m\par les m vecteurs ( )1,0,...,0 ,..., ( ),...,1 .

0,0

Exemple 1 : Les polynmes engendrent 2 21, , ,...t tl'espace vectoriel [ ]TK de tous les polynmes(en t ) [ ] ( )Vect 1, .T t=K . Chaque polynme est 2, ,..t

9

10

une combinaison lineaire de 1 et de puissances de

t

t . Dfinition : Soient V un K-espace vectoriel eF V une famille. On dit que F est une famille gnratrice ou gnratrice de V si et seulement si ( )VectV F= .

( )mnAM KDfinition : Soit : 11 12 1

21 22 2

1 2

.

...... ... ... ...

...

n

n

m m mn

a a aa a a

A

a a a

.. =

A sont Les lignes de ( ) ( )2 1 2, ,..., , ,...,n m m m1 11 1 1, ...., mnR a a a= R a a a= et peuvent tre considres comme des vecteurs de

nK engendrant un sous-espace de K appel espace ligne de

n

A, c'est--dire que l'espace ligne de ( )1,..., mA L R R= . ADe manire analogue, les colonnes de peuvent

tre considres comme des vecteurs de mK en-gendrant un sous-espace de mK , appel pace colonne de

esA.

Supposons maintenant que nous appliquons sur A les op atr ions lmentaires sur les lignes uivantes : s

(i) i jR R , (ii) , 0i iR kR k , ou (iii) i iR

11

jR k R+ Bet que nous obtenons une matrice . Chaque ligne

de B e une st donc soit ligne de A, soit une combinaison linaire des lignes de A. En consquence l'espace ligne de B est contenu dans l'espace ligne de A. D'autre part, nous pouvons appliquer les oprations lmentaires inverses des prcdentes sur B et obtenir A ; d'o l'espace ligne de A est contenu dans l'espace ligne de B . En conclusion A et B ont le mme espace ligne, ce qui nous conduit au thorme suivant. Thorme 9 : Deux matrices quivalentes lignes ont le mme espace ligne. Thorme 10 : Des matrices chelonnes rduite par les lignes ont le mme espace ligne si et eulement si elles ont les mmes lignes non nulles.

s

12

Exemple 13 : Montrer que l'espace U engendrpar les ( )1,2, 1,3 , ( )2,4,1, 2 et (3,6,3,l'espace V engendr par les vecteurs ( )1,2, 4,11 et

) et

n : Soit et deux -espaces d et est

dfinie lus gnralement, la somme de sous espaces ,

7

( )2,4, 5,14 sont gaux, c'est--dire U V .

Dfinitio sous 'un K-espace vectoriel V . La somme de

{ }, ,u w u U w W= +

=U W

U WU W+

UP 1, kU de V est dfinie par

1 1: ,...,k k

1 1j j kU u u U u

= kU

Thorme 11 : La somme

j j= =

1 kU U+ +" est aussi un sous-espace de

de sous-espaces de

.

k1, , kU U V

V

Exemple 14 : Soit ( )( )K

2 2 KMmatrices K. Soit U l'ensemble des

l'espace vectoriel des sur

matrices de dont la seconde ligne est 2 2

M

2 2nulle, et soit W l'ensemble des matrices de ( )2 2 KM dont la seconde colonne est nulle :

: ,0 0

bU a b

= K ,

0

13

Donc et sont des sous-espaces de

a

: ,0

aW a

c =

Kc

U W ( )2 2 KM ; nous avons

et : , ,0

U W a b cc

= K

a b +0

:0 0a

U W a =

K

Dfnition : Un sous-espace est dit tre la somme directe des sous-espaces , que l'on note

U V1, , kU U

si et seulement si chaque 1 kU U U= "vecteur u U peut tre dcompos d'une manire unique en 1 ku u u= + +" avec 1 k ku U1,...,U u . Thorme 12 : Soient 1, ,..., kU U U des sous espaces dun K-esp V . Lesace vectori oprits uivantes sont deux deux quivalentes :

1).

el prs

1 kU U U= "

2). ( )1 1,..., k ku u U "( )1 10 0, , 0k ku u u uU ,

...+ + = = ="

14

3). { } { }1

1,..., , 0l jj nj l

l k U U

= V

4). V

5).

{ } { }1 1

2,..., , 0l jj l

l k U U

= ( ) { }( ) { }( )1 1,..., 0 0k V ku u U U "( ),..., ku u est libre (en supposant 1, , kU U tous }) . V ,

1{0 Df 1 2

ctoriel V . Si 1 2V V Vnition : Soit deu -espa dun -

espace ve ,V V x sous ces K

= t un , disupplmentaire de est dit un suppl-

entaire de sont dits suppl-.

1V est 2V

dans V dans V , 2V, et V et Vm V1 1 2

mentaires dans V Exemple 15 : Dans l'espace vectoriel 3\ , soit U leplan ( )xy et W le plan ( )yz :

( ){ , , 0 :U a b b= },a \ et ( ){ }0, , : ,W b c b c= \

15

c et d'un vecteur de

n'est pas la somme directe de

Alors 3 U W= +\ puisque chaque ve ur de 3\ est la me 'un vect e

te

et de

som d. Cependant 3\

W

eur d U

puisque de telles sommes ne sont pas W U

uniques ; par exemple ( ) ( ) ( )3,5,7 3,1,0 0,4,7= + et ( ) ( ) ( )3,5,7 3, 4,0 0,9,7= + Exemple 16 : Soit U le n pla ( )xy et a e es W l' dxz : ( ){ }, ,0 : ,U a b a \b= et ( ){ }0,W c c0, := \ .

eUn vecteur qu lconque ( ) 3, ,a b c \ d'une seule manire:

peut tre crit sous la forme d'une somme d'un vecteur de U et d'un vecteur de W( ) ( ) ( ), , , , 0 0, 0,a b c a b c= + En consquence 3\ est la somme directe de U et W , c'est--dire 3 U W= \ .

Dfinition :

( )dUn est dit de

t K,

u

-espace vectoriel o

dimV n

Vdimension finie n u a pour dimension n, on cri

im nV =K

o ,= si et s e ent si il

Lorsqu'un espace vectoriel n'est pas de dimension

eul m

existe des n vecteurs linairement indpendants 1,..., ne e qui engendrent V . La suite { }1,..., ne e=B

ortan pele base de V . (ordre est imp te) est ap

16

dimensfinie, on dit qu'il s'agit d'un espace vectoriel de

ion infinie.

Dfinition : On appelle ( ) ( )(rang dim VectA )A=le rang dune famille

A dun K-espace vectoV .

riel

n : Une famille finie a

si et seulement si :

Thorme 13 et dfinitio{ }1,..., ne e=B est une b se dun -espace Kvectoriel V

( )11

, ! ,..., ,n j jj

nnx V x x x x e

= = K

( ) ( ).., n1,.x x x= ou ( )1

B

n

xx

= x #

B sappelle coordo-

nnes ou composantes de x dans la base .

Exemple 17 : So l'espace vecnmes de degr

B

it V toriel des poly-

{ }2 : , ,V at bt a b c= + + \ 2 :

cLes polynmes

17

, et 1 1e = 2 1e t= ( )2 23 1 2e t t t 1= = + 22 5 6v t t

forment oit = + . Trouver ( )evune base de V . S ,

:onsidrons

Exemple 18 Soit K l'espace vectoriel

un corps rel ou complexe. qui contient tous C nK

les n-tuples forms d'lments de K. Les vecteurs ( )1 1,0,...,0e = ,..., ( )0,0,...,1ne = forment une base,

. Les six matrices

0 0 00 0 1

appele la base usuelle ou base canonique de nK .

Exemple 19 : Soit U l'esp e vectoriel de tou es ma es 2 3 sur un corps K

Ainsi nK a pour dimension n.

ac

0 0 00 1 0

testric

forment une base de

l1 0 00 0

, 1 0

0 0 0 ,

0 0 10 0 0

, 0

0

0 0 01 0 0

, ,

U dim 6U =. Ainsi . Plus gnralement, soit ( ) l'espace vectoriel mn KM

mde toutes les matrices n sur t E K et soi V la ij matrice dont le ij lmen t 0 partout ailleurs. Alors l'ensem

t est 1 ele b { }ijE e t une bas se,

18

Soit

appele base usuelle de V ; onsquence ( )dim mn mn=KM .

en c

[ ]Exemple 20 : T l'espace vectoriel des nKpolynmes en t de degrs n . L'ensemble { }1, ,..., nt t des 1+ polyn s est linairem

nt et ndre W . Ainsi il s'agit d'une base de W et donc dim 1W n

nindpenda e

me ent nge

= + . L'espace vectoriel V de tous les polynmes n'est

-

pas de dimension finie puisque aucun ensemble fini de polynmes n'engendre V .

horme 14 : Soient V un K eT space vectoriel, { }1,..., pA x x= et { }1' ..., ,...,1 ,, p p p nA x x x x+ += . 1). Si 'A est libre, alors A est libre.

A engendre V , alors 'A engen2). Si d

n

re .

e oriel,

V

hor e 15 : Soient V u -espace v ctT m K{ }1,..., pA x x= et { }1' ..., p1 ,p,A x x x += . ( )1 Vectpx A+1). Si A est libre et 'A, alors est

libre. 2). Si 'A engendre et V ( )1 Vect , alors Apx A+

engendre V .

19

space vectoriel,

Thorme 16 : Soient V un -eK{ },...,1 pA x x= et { }q1' ,...,A y y= deux familles finies de V . Si A 'engen e Vdr et A est libre alo

1). Si q p . rs :

mpla e faco des 2). On re peut cer dau m ns unoi n qvecteurs de A par ceux de 'A pour obtenir une famille gnratrice de V .

h 7 : space vectoriel de

nt le me

h 8 : space vectoriel

T orm

orm

e 1

e 1

Soit

Soient

V un

ie. i s et o

un -e

K-e

nie

K

dimension finie. Alors : 1). V admet une base fin2). Toutes bases de V sont f m

cardinal.

T Vde dimension finie n, { }1, ,... pA x x une famille libre dans V et

={ }e u1 n ne b,...,e=B se de V .

Alors : 1). Il y a

a

au moins un aon de complter A e f par

2). Il y a fn p vecteurs de B pour obtenir une base V .

au moins une aon de complter A par n p vecteurs de V pour obtenir une base V .

20

Thorme 19 : Soient space vectoriel

V un -eKde dimension finie et dimn V= . Alors : 1). Toute famille libre d

e

2). Toute famille de

3). Toute famille gnratrice de a au moins

Thorme 20 : Soient space vectoriel

V est finie et a au plus

ayant au moins

un -e

nlments.

V 1n +

lments est lie.V n

lments.

Vdi

Kde dimension finie, mn V= et A une famille finie dlments de Vproprits suivantes entranent la troisime : 1).

. Deux quelconques de trois

A a n lments A2). est libre A est gnr3). atrice

Thorme 21 : Soit space vectoriel de ,

de

V

V .

un -eKdimension finie. Tout sous espace vectoriel 1V Vest de dimension finie et 1dim dimV V . Dfinition :

droite vectorielle tout espace vecto- 1). On appelleriel ou sous espace vectoriel de dimension 1.

2). On appelle plan vectoriel tout espace vectoriel

21

3). s n ou sous espace vectoriel de dimension 2. Soit V un K-espace vectoriel de dimen iofinie 1 . On appelle hyperplan tout sous nespace vectoriel de dimension 1n .

horme 22 : Soient un -espace vectoriel T V

diK

de dimension finie, mn V= , 1 V sous espacevectoriel 1dim

V p V= .

1). 1V adm ns

et au moi suplmentaire dans . d en-

horme 23 : Soient un -espace vectoriel de

V2). Tout suplmentaire de 1V dans V est de im

sion n p . T V

VK

dimension fini, 1 2,V V deux sous espaces vecto-riels en somme direct. On a laors ( ) ( )1dim dimV V V = + ( )1 2 2dim V

horme 24 : Soient V un K-espace vectoriel de

Tdimension fini, 1,..., kV V V des sous espaces vectoriels en somme direct. On a laors ( ) ( )1 1dim dim dkV V V ( )im kV = + +" "

Thorme 25 : Soient V un K-espace vectoriel de dimension finie, deux sous espaces vect-oriels. Si et

1 2,V V VV

1 2V ( ) ( )1 2imdim dV V= , alors

. 1 2V V= Thorme 26 : Soient et deux sous-espaces vectoriels de dimension finie d'un espace vectoriel

. Alors

1V 2V

V 1V V2+ est de dimension finie et ( ) ( )1 2 1 2 1 2dim dim dim dimV V V V V V+ = +

Thorme 27 : Soient U et V deux K-espaces vectoriels de dimension finie. Alors ( ) ( ) (dim dim dimU V U V = + ) Thorme 28 : Soient ,..., des K-espaces vectoriels de dimension finie. Alors

1V kV

( ) ( ) ( )1 1dim dim dimk kV V V V = + +" "

Exemple 21 : Supposons que U et W soient respectivement le plan ( )xy et le plan ( )yz de lespace ceci 3\ { }( ,a b,0 ,U a b= ), \ et

{ }(0 ), ,W = , ,b c b c\ . Puisque 3 U W= +\ et . On a aussi dim( 3=)U W+ dim 2U = et dim 2W = .

22

D'aprs le thorme, ( )3 2 2 dim U W= + cest--dire ( )dim 1U W = .

Soit A une matrice m n quelconque sur un corps . Rappelons que l'espace ligne de K A est le sous-espace de engendr par les lignes de nK A, et l'espace colonne de A est le sous-espace de engendr par ses colonnes. Les dimensions de l'espace ligne et de l'espace colonne de

mK

A sont appeles, respectivement, le rang ligne et le rang colonne de la matrice A.

Thorme 29 : Le rang ligne et le rang colonne d'une matrice A sont gaux.

Dfinition : Le rang de la matrice A, que l'on crit (rang )A , est la valeur commune du rang ligne et du rang colonne de A.

23

Ainsi le rang d'une matrice donne le nombre maximum de lignes indpendantes ainsi que le nombre maximum de colonnes indpendantes. Nous pouvons obtenir le rang d'une matrice comme suit :

Supposons 1 2 0 12 6 3 33 10 6 5

A

=

. Rduisons A

sa forme chelonne, en utilisant des oprations lmentaires sur les lignes de la matrice.

A do 1 2 0 10 2 3 10 4 6 2

do 1 2 0 10 2 3 10 0 0 0

Rappelons que les matrices quivalentes lignes ont le mme espace ligne. Ainsi les lignes non nulles d'une matrice chelonne forment une base de l'espace ligne de A. Donc le rang de A est . 2

Considrons un systme de quations lin-aires inconnues

mn 1 2, , . . . , nx x x

11 1 12 2 1 1

1 1 2 2

..........................................n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

+ + + =

+ + + =

sur un corps K

ou l'quation matricielle quivalente AX B=

o A ( )ija=( )iX x= ( )i

est la matrice des coefficients et et B b= sont les vecteurs colonnes

24

reprsentant respectivement les inconnues et les constantes. Rappelons que la matrice complte ou augmente de ce systme est dfinie par la matrice

( )11 12 1 1

1 2

|, ...........................

|

n

m m mn m

a a a bA B

a a a b

=

Thorme 30 : Le systme d'quations linaires AX B= a une solution si et seulement si la matrice des coefficients A et la matrice complte ( , )A B ont le mme rang.

Thorme 31 : La dimension de l'espace solution d'un systme homogne d'quations linaires W

0AXr

= est o est le nombre d'inconnues et le rang de la matrice des coefficients

n r nA.

Exemple 22 : Trouver la dimension et une base de l'espace solution W du systme d'quations lin-aires

2 4 3 0x y z r s+ + = 2 2 2 0x y z r s+ + + =

2 4 2 3 4 0x y z r s+ + + = 25