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8/2/2019 4m6-rvision
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Classe : 4me Maths 1-2 -3 Prof : Ben Jedidia ChokriSujet de
Mathmatiques n6
Date : 10/5/2003 Dure : 4 H
Exercice n1 : (4pts)On considre un cube ABCDEFGH darrte 1.
On munit lespace du repre orthonorm direct ( A,AB,AD,AE)
.
1.a-Dterminer les composantes du vecteur AC AH
1.b-Calculer le volume V du ttradre FACH.2.Montrer que le plan
P=(ACH) a pour quation :x-y+z=03.La droite (DF) coupe le plan
(ACH)en I.a- Montrer que (DF) est perpendiculaire au plan P=(ACH)b-
Calculer FI.
4.S dsigne lensemble des points M(x,y,z) de lespace tels que
x2+y2+z2-2x-2z=0.a- Montrer que S est une sphre dont on dterminera
le centre et le rayon.b- Dterminer S P.
5.a-Dterminer S limage de S par la translation de vecteur2
U ( i j k)3
= +
b- Dterminer S S' .Exercice n2 : (4pts)Une urne contient : 5
boules blanches : 1,2,2,3,3
5 boules noires : 3,3,3,4,4Toutes les boules sont indiscernables
au toucher.1/ On tire simultanment trois boules de lurne.Calculer
la probabilit de chacun des vnements suivants :A : obtenir trois
boules de mme couleurs ;B : obtenir un produit impair sachant
quelles sont de mme couleurs.2/ On rpte lpreuve prcdente 5 fois de
suiteet on dsigne par X lala numrique qui associe le nombre de
foiso lon obtient trois boules de la mme couleur.
a) Dterminer la loi de probabilit de X.b) Calculer P (X >
1).c) Calculer lcart type de X.
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3/ Une preuve consiste tirer successivement deux boules de la
faonsuivante :. On tire une premire boule :* Si elle est blanche,
on la remet dans lurne et on tire une deuxime boule.* Si elle est
noire, on ne la remet pas dans lurne et on tire une deuxime
boule.
Soit Y lala numrique qui a chaque preuve, associe le nombre de
foiso lon obtient une boule blanche.Donner la loi de probabilit de
Y.4/ Calculer E (X + Y).Exercice n3 (4points)
Le plan P est rapport un repre orthonorm (o, i , j )
Soit (E) lellipse dfinie par lquation :2 2x y
19 4
+ =
1. Construire (E) et ses foyers F et F ses directrices D et D.2.
Montrer que si M appartient (E) alors MF +MF=63. Soit f la
similitude directe qui tout M daffixe z associe M daffixe
z=(1+i)zJustifier que f(E)= (E) est une ellipse et prciser ses
sommets et ses foyers.4. Construire (E).
Problme : (8pts)Soit n un entier suprieur o gal 2.
On considre la fonction fn dfinie sur [ [+0, par : ( ) ( )nnf x
ln 1 x= + On note (Cn) la courbe reprsentative de fn dans un R.O.N
( )j,io, Partie A :1/ Dresser le tableau de variation de fn.
2/ a) Montrer que fn admet une fonction rciproque n-1
n gf = dfinie sur un intervalle J que lon prcisera.
b) Montrer que pour tout x de J : ( ) ( )nx
n 1exg = 3/ a) Montrer que toutes les courbes (Cn) passent par
deux points fixesdont on dterminera ses coordonnes.
b) tudier les positions relatives de (Cn) et (Cn+1).4/
Construire (C2) courbe reprsentative de f2 puis (C2) courbe
reprsentative de g2.Partie B :
Soit Fn la fonction dfinie sur [ [+0, par : ( ) ( ) dttfxFnx
0nn =
1/ Montrer que Fn est drivable sur [ [+0, et que pour tout [ [+
0,x : Fn (x) = nx
n-1 ln(1 + x)
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2/ a) A laide dune intgration par parties :
Montrer que pour ( ) ( )nx
nn
0
tx 0 : F x x ln 1 x dt
1 t = +
+
b) Vrifier que
t1
11-t
t1
t2
++=
+puis calculer F2 (1)
3/ a) Soit A la mesure de laire de la partie du plan limite par
la courbe (C2)laxe des abscisses et les droites dquations x = 0 et
x = 1.Dterminer la valeur de A.
b) Calculer ( )ln2
20
g t dt puis retrouver la valeur de A.Partie C :
Soit x un rel positif : On pose dtt1
t
I
x
0
n
n +=
1/ a) Montrer que pour tout rel x de [0,1] :1n
xI0
1n
n+
+
b) En dduire que :+
=
nn 0limI
2/ a) Montrer que pour tout rel x 0 et pour tout entier naturel
n 1.
( ) ( )( )
n-1 k k 1n
n
0
-1 xI 1 . ln 1 x
k 1
+ = +
+
b) En dduire pour tout rel x de [0,1] et pour tout entier n
2.
( )( )
k 1n-1 k 2
2n
0
-1 xlim f x
k 1
+
+
=+
c) Montrer que60
37r = est une valeur approche de f2 (1) = ln2
2.10-1 prs.
Bon travail
