5 Réﬂexion et transmission des ondes électromagnétiques · 5 Réﬂexion et transmission des ondes électromagnétiques 5.1 Introduction Un des problèmes essentiels du rayonnement

5 Réflexion et transmission des ondesélectromagnétiques

5.1 Introduction

Un des problèmes essentiels du rayonnement électromagnétique est l’étude des phéno-mènes qui surviennent lorsque une onde EM rencontre dans son chemin des milieux ma-tériels différents. L’injection d’un rayon laser dans une fibre optique, le passage d’un signaltélécom à travers d’un bâtiment ou même le rayonnement solaire sur la peau en sont desexemples courants.

Intuitivement, on imagine facilement que lorsqu’une onde EM frappe la surface de sépa-ration entre deux milieux, une partie rebondit sur l’interface et est réfléchie dans le premiermilieu, tandis qu’une autre partie réussit à traverser l’interface et est transmise dans ledeuxième milieu. L’étude des propriétés de ces deux ondes réfléchie et transmise est lesujet de ce chapitre.

5.2 Position du problème : hypothèses de départ

On considère une interface plate entre deux milieux semi-infinis :

��

��

$��$#

$

Plan d’incidence

Interface

milieu "�

milieu "�

5�, 6�

5�, 6�

1

.

�

FIG. 5.1: Réflexion et transmission d’une onde plane : interface entre deux milieux et pland’incidence.

On fait correspondre cette interface au plan 1. �� . Le milieu "� ou se trouvent l’onde

Cours d’Électromagnétisme I EPFL, © Juan Mosig, 15 octobre 2003 45

5 Réflexion et transmission des ondes électromagnétiques

incidente et l’onde réfléchie est alors le demi-espace � " � et le milieu "�, siège de l’ondetransmise, est le demi-espace � * �. Pour simplifier l’étude mathématique, on supposeles deux milieux sans pertes, avec permittivités 5� et perméabilités 6� (� � �� ) réelles etconductivités nulles. On admette aussi que les trois ondes incidente, réfléchie et transmisesont caractérisées par des exposants de propagation purement imaginaires.

On peut écrire les expressions générales :

�� !�� # �� # �� (5.2.1)

�� !�� # �� # �� (5.2.2)

�� !�� # �� # �� (5.2.3)

Egalement, les champs magnétiques associés à chaque onde sont donnés par :

��

�6�(5.2.4)

��

�6�(5.2.5)

��

�6�(5.2.6)

5.3 Continuité des champs

Les équations de l’électromagnétisme imposent la continuité des composantes tangen-tielles des champs. Ici (voir FIGURE 5.1), les directions tangentielles sont données par lesvecteurs �� et �. Dans le milieu "� les champs sont dus aux ondes incidente et réfléchie.Dans le milieu "� il n’y a que l’onde transmise. Donc dans un point générique de l’interface� � �1� .� �� on doit avoir les conditions :

3�� 1� .� �� 3# �1� .� �� 3 �1� .� �� (5.3.1)

3��!�1� .� �� 3#!�1� .� �� 3!�1� .� �� (5.3.2)

4�� 1� .� �� 4# �1� .� �� 4 �1� .� �� (5.3.3)

4��!�1� .� �� 4#!�1� .� �� 4!�1� .� �� (5.3.4)

Ces conditions de continuité permettent d’obtenir les ondes réfléchie et transmise à partirde la connaissance de l’onde incidente.

5.4 L’onde incidente

La direction de propagation de l’onde incidente est celle du vecteur � ��. Le plan, formépar �� et par le vecteur � normal à l’interface, est appelé plan d’incidence. On choisitles axes de façon à le faire coïncider avec le plan .� �1 � �� (voir FIGURE 5.1). Alors, engénéral, on aura :

�� !� � �� ! � �� (5.4.1)

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5.5 Angles de réflexion et de transmission : loi de Snell

Remarque sur l’incidence normale : L’angle entre �� et le vecteur �� normal à l’interface estl’angle d’incidence �� (voir FIGURE 5.1). Le cas �� correspond à l’incidence normale. Danscette situation, le plan d’incidence n’est pas défini car les vecteurs �� et �� sont colinéaires.

En termes de l’angle d’incidence on peut écrire l’exposant de propagation de l’ondeincidente comme (voir FIGURE 5.1) :

�� $�� $�� (5.4.2)

où la norme du vecteur dépend de la fréquence et du milieu, mais elle est indépendantede l’angle :

�� 6�5� (5.4.3)

5.5 Angles de réflexion et de transmission : loi de Snell

La continuité des composantes tangentielles des champs dans l’interface peut seulementêtre obtenue si les composantes tangentielles des vecteurs � ��, �� et �� sont identiquesdes deux côtés de l’interface. Une première conséquence est que les vecteurs �� et ��n’ont pas de composante 1 si les axes ont été choisis de façon que � �� n’ait pas de com-posante 1. En d’autres mots, les vecteurs �� et �� sont aussi dans le plan d’incidence. Onpeut alors écrire (voir FIGURE 5.2 et 5.3) :

�� $#�� $#� # �� $� �� $� (5.5.1)

Alors l’identité des composantes selon . donne les relations suivantes :

�� $�� $# # �� $ � �� $�� (5.5.2)

La première relation montre l’égalité entre les angles de réflexion et d’incidence. La se-conde relation est la loi de Snell-Descartes donnant l’angle de transmission :

$ � �$��

��

�� $��

�� $��

��

�� $��

�(5.5.3)

Le rapport � � �� 6�5��6�5�� est appelé en physique indice de réfraction du

milieu "� par rapport au milieu "�.

5.6 Réflexion totale (transmission nulle)

La loi de Snell-Descartes ne pose pas de problème quand l’onde EM se propage d’unmilieu moins dense vers un millieu plus dense (dans ce cas-là : � * �). Par contre, unedifficulté mathématique peut exister lorsque on passe d’un milieu dense à un milieu plusténu (on a : n<1 ; par exemple une onde existante dans une fibre optique qui essaie de sortirvers l’air). Car alors, pour tous les angles d’incidence $�� $��, l’angle de transmissionn’est pas défini (�� $ * �). Dans ces cas-là, l’onde transmise n’existe pas et toute l’ondeincidente est réfléchie ; on parle de réflexion totale.



5.7 Polarisations perpendiculaire et parallèle

La loi de Snell-Descartes ne dépend pas de l’orientation du champ électrique par rapportà l’interface. Cependant, pour étudier beaucoup d’autres phénomènes comme l’amplitudedes ondes réfléchie et transmise, il faut préciser les directions des champs électrique etmagnétique associées à l’onde incidente.

Traditionnellement, on caractérise l’onde par rapport à son champ électrique. On doitalors considérer les differentes orientations possibles. On sait que les champs d’une ondeplane doivent rester dans un plan perpendiculaire à la direction de propagation caractéri-sée par ��. Ce plan est défini par les deux directions �� et �� (voir FIGURE 5.2 et5.3). La direction �� est perpendiculaire au plan d’incidence (polarisation perpendiculaire) ;la direction �� est contenue dans ce même plan (polarisation parallèle). Le champélectrique associé à l’onde incidente (représentée par � ��) peut avoir des composantesselon ces deux directions. On étudiera par la suite individuellement chacun de ces deuxcas.

Remarque sur polarisation intrinsèque et relative : Il faut veiller à ne pas confondre l’état depolarisation qu’on vient d’introduire avec les états absolus de polarisation. On sait qu’une onde EMa une polarisation intrinsèque, indépendante du fait qu’elle soit en train de frapper une interface.Elle a une polarisation linéaire, circulaire ou elliptique. Mais lorsqu’on regarde le champ électriquede cette onde par rapport à une interface entre deux milieux, l’onde peut être définie comme àpolarisation parallèle ou perpendiculaire. Une onde à polarisation parallèle ou perpendiculaire atoujours une polarisation linéaire d’un point de vue intrinsèque. Une onde à polarisation elliptiquequi frappe une interface aura toujours une partie perpendiculaire et une partie parallèle.

5.8 Réflexion et transmission en polarisation perpendiculaire

��

��

��

��

��

��

��

��

��

$�� $#

$

5�, 6�

5�, 6�1 .

�

FIG. 5.2: Réflexion et transmission d’une onde plane : polarisation perpendiculaire

Lorsqu’une onde incidente à une polarisation perpendiculaire, son champ électrique n’a


5.8 Réflexion et transmission en polarisation perpendiculaire

qu’une composante 1 et reste perpendiculaire au plan d’incidence (voir FIGURE 5.2) :

�� 3�� !�� (5.8.1)

Pour satisfaire aux conditions générales de continuité il faut alors que les ondes réfléchieet transmise aient aussi leur champ électrique dirigé selon 1. On s’intéresse ici aux ampli-tudes des champs électriques de ces ondes par rapport à l’amplitude du champ incident.On définit alors ces ondes au moyen des coefficients complexes de réflexion � et de trans-mission < :

�� 3�� !�� (5.8.2)

�� <3�� !�� (5.8.3)

Les champs magnétiques des trois ondes peuvent alors être obtenus avec les formulesstandards comme :

�� 3�

&�� $�� $�� !�� (5.8.4)

�� 3�

&�� $�� $�� !�� # $# � $�� (5.8.5)

�� <3�

&�� $�� $� � !�� (5.8.6)

où &� ��6��5� (� � �� ) est l’impédance caractéristique du milieu.

Remarque : Ne pas confondre ��, �� (impédances caractéristiques intrinsèques à chaque mi-lieu) avec l’indice de réfraction � (grandeur qui compare deux milieux). En fait, on peut écrire (voirdéfinition de l’indice de réfraction) :

� � � �

�

�!�"��!�"�

�"��!��"�

"��!��"�

�"��"��

(5.8.7)

Si l’on impose maintenant la continuité des composantes tangentielles (3 et 4!) dansl’interface des deux milieux on trouve un système de deux équations pour les deux incon-nus � et < :

� � � � < (5.8.8)

�� <&�� $��&�� $

(5.8.9)

La solution de ce système est :

� �&�� $ � &�� $��&�� $ � &�� $��

(5.8.10)

< ��&�� $

&�� $ � &�� $��(5.8.11)

Pour établir une analogie avec les lignes de transmission on peut imaginer d’associer lesmilieux semi-infinis à des lignes dont les impédances caractéristiques dépendraient desangles incidente et transmise :

�� &�

�� $��# ��

&�� $

(5.8.12)



Avec ces définitions on arrive à des formules identiques à celles introduites en théorie deslignes :

� � ��

�� (5.8.13)

< ��

�� (5.8.14)

Il faut toutefois veiller au fait qu’en incidence oblique les impédances équivalentes dé-pendent des angles. En particulier si l’angle d’incidence est de �˚ (incidence “rasante”) et� * �, l’impédance équivalente du milieu "� tend vers l’infini et le calcul de la valeur limitedonne � � �� pour une polarisation perpendiculaire.

5.9 Réflexion et transmission en polarisation parallèle

��

��

��

��

��

��

��

��

��

$�� $#

$

5�, 6�

5�, 6�1 .

�

FIG. 5.3: Réflexion et transmission d’une onde plane : polarisation parallèle

Lorsqu’une onde incidente à une polarisation parallèle, son champ électrique a des com-posantes selon . et � tout en restant perpendiculaire à � ��(voir FIGURE 5.3).

On peut donc écrire :

�� 3�� $�� $�� !�� (5.9.1)

Pour satisfaire aux conditions générales de continuité il faut alors que les ondes réfléchie ettransmise aient aussi leur champ électrique dépourvu de composante 1. Ici, on introduit lescoefficients complexes de réflexion � et de transmission < par rapport à la composante tan-gentielle (selon .) du champ électrique. Il faut alors tenir compte des relations à satisfaireentre les composantes du champ électrique :

�� 3�� $�� $�� !�� (5.9.2)

�� <�� $�� $

3�� $� �� $� � !�� (5.9.3)


5.9 Réflexion et transmission en polarisation parallèle

Les champs magnétiques des trois ondes peuvent alors être obtenus avec les formulesstandards comme :

�� 3�

&�� !�� (5.9.4)

�� 3�

&�� !�� (5.9.5)

�� <�� $�� $

3�

&�� !�� (5.9.6)

où &� ��6��5� (� � �� ) est l’impédance caractéristique du milieu.

Remarque : Il faut remarquer que la polarisation dite “parallèle”, est une polarisation perpen-diculaire par rapport au champ magnétique, qui n’a qu’une #-composante. D’ailleurs, on appellesouvent la polarisation perpendiculaire transverse électrique ou TE et la polarisation parallèle trans-verse magnétique ou TM car le champ électrique, respectivement magnétique, n’a pas de compo-sante dans la direction longitudinale �. Mais comme la convention la plus fréquente est de définirle coefficient de réflexion en termes de champ électrique, les expressions de � en pol parallèle nesont pas tout à fait le pendant exact de celles de � en polarisation perpendiculaire.

Si l’on impose maintenant la continuité des composantes tangentielles (3! et 4 ) dansl’interface des deux milieux on trouve le système

� � � � < (5.9.7)

�� <&� �� $��&� �� $

(5.9.8)

dont la solution est :

� �&� �� $ � &� �� $��&� �� $ � &� �� $��

(5.9.9)

< ��&� �� $

&� �� $ � &� �� $��(5.9.10)

De façon semblable au cas de la polarisation perpendiculaire, on établit une analogie avecles lignes de transmission en associant les milieux semi-infinis à des lignes dont les impé-dances caractéristiques dépendent des angles incidente et transmise, mais les définitionsà utiliser ici sont :

�� &� �� $�� # �� &� �� $ (5.9.11)

Avec ces définitions, on assimile aussi la réflexion et la transmission des ondes à polari-sation parallèle à un problème de théorie des lignes et les formules “universelles” restentvalables :

� � ��

�� (5.9.12)

< ��

�� (5.9.13)

Il faut toutefois veiller au fait qu’en incidence oblique les impédances équivalentes dé-pendent des angles. En particulier si l’angle d’incidence est de �˚ (incidence “rasante”) et� * �, l’impédance équivalente du milieu "� tends vers zéro et le calcul de la valeur limitedonne � � �� pour une polarisation parallèle.



5.10 Transmission totale, angle de Brewster

Si – dans une situation spécifique – on obtient un coefficient de réflexion nul, il n’y a pasd’onde réfléchie et il faut conclure à une transmission totale. Une valeur zéro du coefficientde réflexion est obtenu si �� .

Dans la situation – courante en technologie des télécommunications – où les deuxmilieux sont non-magnétiques �6� � 6� � 6��, cette équation n’a pas de solution en polari-sation perpendiculaire. En revanche, on trouve une transmission totale (réflexion nulle) enpolarisation parallèle si :

$�� $��5��5� (5.10.1)

Cet angle est connu en optique comme l’angle de Brewster. Contrairement à la réfléxiontotale qui est indépendante du type de polarisation, la transmission totale en dépend.

5.11 Densités de puissance et puissances

La realtion obtenue en éq. (5.9.7) � � � � < peut pousser à croire qu’il existe une relationdu type :

onde incidente + onde réfléchie = onde transmise

Ceci est vrai seulement au niveau des champs tangentielles, mais ne saurait pas être vraiau niveau de la puissance, où la conservation de l’énergie exige que la relation entre lesondes soit :

onde incidente = onde réfléchie + onde transmise

Dans cette section, on précise mathématiquement ces concepts en restant dans les hy-pothèses simplificatrices de la section 5.2 et notamment en acceptant des exposants depropagation purement imaginaires = � � =�.

La densité de puissance associée a une onde électromagnétique est donné par levecteur de Poynting =3 � =4�. Donc

=� � =3 � =4� � =3 ��=� � =3�

�6

��

=� =3��6

�W�m�

�(5.11.1)

Alors on aura pour chacune des 3 ondes les valeurs

=�� =�� =3��

�6�� =�# �

=�# =3#��6�

� =� �=� =3��6�

�W�m�

�(5.11.2)

Ces densités de puissance sont des grandeurs vectorielles dont les directions corres-pondent à celles des vecteurs =�� =�#� =�. Si l’on veut faire un bilan de puissance scalaire,il faudra les projeter de façon adéquate.

Par exemple, considerons une portion de l’interface ayant une surface unité (voir FI-GURE 5.4) :


5.11 Densités de puissance et puissances

=#

#��

##

#

$�� $#

$

=��, =��

=�#, =�#

=�, =�

�

�

FIG. 5.4: Réflexion et transmission d’un faisceau électromagnétique avec une sectiondroite #��.

On voit que du fait des inclinaisons différentes, les “fasiceaux” illuminent la surface unitésous des sections différentes. Pour trouver la puissance totale associée à une surfaceunitaire, perpendiculaire à =� , on définit le vecteur surface

=# � �m� =� (5.11.3)

et alors on trouve :

;�� =�� =# � =3��&�

�� $�� (5.11.4)

;# � =�# � =# � =3#�&�

�� $# (5.11.5)

; � =� � =# � =3�&�

�� $ (5.11.6)

On peut alors obtenir les rapports de puissance comme :

;#;��

� =3#�

=3�� car $# � $�� (5.11.7)

;;��

� =3�

=3��&�&�

�� $�� $��

(5.11.8)

Le rapport =3� =3�� s’exprime de façon différente en polarisation perpendiculaire (où ilvaut < ) et en polarisation parallèle (où il vaut < �� $�� $).



Cependant, un calcul rapide montre que dans les deux cas la conservation de l’énergieest satisfaite et on trouve :

;#;��

�;;��

� � (5.11.9)

Donc, en pratique on préfère calculer le rapport de puissance transmise comme :

;;��

� �� (5.11.10)


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