Ondes électromagnétiques dans les milieux Notes de cours

physique année scolaire 2014/2015

Ondes électromagnétiques dans les milieux

Notes de coursmardi 10 février 2015

Onde évanescente expérience de cours

une onde centimétrique peut se rééchir totalement sur un dioptre. L'onde évanescente peut être récupéréegrâce à un autre prismeà installer mardi 10 février 2015 en salle L111.

Figure 1 Onde évanescente

I- Propagation d'une onde électromagnétique dans un conducteur

1. Plasma de conductivité imaginaire pure

Plasma localement neutre sans collisions de conductivité imaginaire pure s'y

retrouverun plasma est un milieu ionisé, constitué :

• d'ions positifs quasi-xes ;

• d'électrons de charge −e, de masse me, de densité ne, de vitesse ~ve.

Le plasma est peu dense, de sorte qu'on pourra négliger les interactions entre les particules chargées.

1 Étude des électrons du plasma exercice

Une onde électromagnétique de champ électrique complexe ~E = E0 e−j (ω t−k z) ~ux existe dans le plasma.

B Montrer que la partie magnétique de la force de Lorentz appliquée à un électron est négligeable pourpeu que la vitesse de celui soit faible devant c.B En appliquant le principe fondamental de la dynamique, déterminer la vitesse complexe d'un électron.B En déduire la conductivité complexe du plasma.

B Comme le champ magnétique de l'onde est de norme ‖B‖ = ‖E‖c , la partie magnétique de la force de

Lorentz appliquée à un électron est négligeable pour peu que la vitesse de celui soit faible devant c.B Le principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron est

med~vedt

= −j ωme~ve = −e ~E

spé PC page n 1 Janson de Sailly


soit~ve = −j e

ωme

~E

B Comme~j =

∑k

nk.qk.~vk = −ne e~ve = γ ~E

on trouve conductivité du plasma :

γ = jne e

2

ωme

Conductivité du plasma à retenir

Dans le cas d'un plasma, la conductivité est imaginaire pure : γ = j ε0ω2p

ω .ωp est appelée pulsation plasma.

remarque

On a trouvé pour une onde dont le complexe associé est e−j (ω t−k z) une conductivité de partie imaginaireest positive, cette dernière aurait été négative pour une onde avec un complexe e+j (ω t−k z).

Absence d'eet Joule dans le plasma s'y retrouver

Puisque la conductivité est imaginaire pure, ~j et ~E sont en quadrature de phase. Ainsi, la puissanceéchangée par eet Joule est de moyenne nulle.

3 Équations de propagation et de dispersion dans un plasma exercice

On admet que la conductivité complexe du plasma peut s'écrire γ = j ε0ω2p

ω .B Déterminer l'équation de propagation de l'onde dans le plasma.B En déduire la relation de dispersion.

B Le laplacien vectoriel du champ électrique est

∆ ~E =−−→grad

(div ~E

)−−→rot

(−→rot ~E

)= −−→rot

(−∂ ~B∂t

)=

∂

∂t

(−→rot ~B

)d'après Maxwell Gauss. L'équation de Maxwell Ampère donne pour les champs complexes :

∆ ~E =∂

∂t

(µ0.~j +

1

c2∂ ~E

∂t

)

qui devient d'après la loi d'Ohm :

∆ ~E =1

c2∂2 ~E

∂t2+ µ0.γ

∂ ~E

∂t

BOn s'intéresse à une onde plane progressive monochromatique polarisée rectilignement ~E = E0.e−j.(ω.t−kz−ϕ)~u.

En remplaçant dans l'équation de propagation,

−k2 =−ω2

c2+ ω

µ0.ε0.ω2p

ω

On trouve la relation de dispersion :

k =

√ω2 − ω2

p

c

qui est la relation de Klein Gordon.



4 Comportement du plasma vis-à-vis de l'onde théorème• Pour ω > ωp, il existe une solution réelle à l'équation de Klein Gordon : k = kr donc

~E = E0 e−j (ω t−kr z) ~ux ⇒ ~E = E0 cos (ω t− kr z + ϕ0) ~ux

L'onde se propage sans atténuation (pas d'eet Joule).

• Pour ω < ωp, la solution de l'équation de Klein Gordon est imaginaire pure k = j ki, donc

~E = E0 e−j (ω t−j ki z) ~ux ⇒ ~E = E0 e

−ki z cos (ω t+ ϕ0) ~ux

(c'est une onde évanescente).

⇒

• pour ω > ωp, le plasma est transparent pour l'onde électromagnétique ;

• pour ω < ωp, l'onde électromagnétique ne se propage pas dans le plasma (c'est une onde évanes-cente).

Application à la propagation à travers l'ionosphère schéma

La gure 2 représente l'ionosphère qui peut être considérée comme un plasma. Les ondes radio hautefréquence traversent l'ionosphère (communication avec les satellites). Mais les ondes basses fréquences s'yrééchissent.

Figure 2 Application à la propagation à travers l'ionosphère

2. Conducteur ohmique de conductivité réelle

Conducteur ohmique dans l'ARQS s'y retrouverun conducteur ohmique est un métal constitué :

• d'ions positifs quasi-xes ;

• d'électrons de charge −e, de masse me, de densité ne, de vitesse ~ve.

Le métal est dense, de sorte que les interactions entre les particules chargées sont importantes.



Conductivité du conducteur ohmique à retenirDans le cas d'un métal à basses fréquence, on a déjà montré que la conductivité est réelle : γ = γr avecγr ∈ R.

6 Equations de propagation et de dispersion dans un conducteur ohmiqueexerciceB Déterminer l'équation de propagation de l'onde dans le conducteur ohmique. B En déduire la relationde dispersion.


∆ ~E =−−→grad

(div ~E

)−−→rot

(−→rot ~E

)= −−→rot

(−∂ ~B∂t

)=

∂

∂t

(−→rot ~B

)d'après Maxwell Gauss. L'équation de Maxwell Ampère donne pour les champs complexes :

∆ ~E =∂

∂t

(µ0.~j +

1

c2∂ ~E

∂t

)≈ ∂

∂t

(µ0.~j

)qui devient d'après la loi d'Ohm :

∆ ~E = µ0.γ∂ ~E

∂t

qui est une équation de diusion. B On s'intéresse à une onde plane progressive monochromatique polarisée

rectilignement ~E = E0.e−j.(ω.t−kz−ϕ)~u. En remplaçant dans l'équation de propagation, on trouve la relation de

dispersion :k2 = j ω µ0 γr

7 Comportement du conducteur ohmique vis-à-vis de l'onde théorème

En posant j = ejπ2 , l'équation de dispersion devient

k2 = ω µ0 γr ej π2

soit

k = ±√ω µ0 γr ej π4 = ±√ω µ0 γr

(1√2

+ j1√2

)= ±

√ω µ0 γr

2(1 + j) = ±1 + j

δ

avec δ =√

2ω µ0 γr

.

On ne gardera que la solution positive qui correspond à la propagation vers les z croissants. Donc

~E = E0 e−j (ω t−( 1+j

δ ) z) ~ux ⇒ ~E = E0 e− zδ cos

(ω t− z

δ+ ϕ0

)~ux

L'onde se propage avec atténuation (eet Joule). ⇒L'onde électromagnétique ne pénètre que sur une faible épaisseur de peau dans le conducteur oh-

mique : δ =√

2ω µ0 γr

.

Épaisseurs de peau dans le cas du cuivre tableau

Le tableau 1 présente les diérentes valeurs de l'épaisseur de peau dans le cas du cuivre, en fonction de lafréquence.



f 50 Hz 10 kHz 1 MHzδ 9 mm 0, 7 mm 70 µm

Table 1 Épaisseurs de peau dans le cas du cuivre

Eet de peau s'y retrouverL'eet de peau ou eet pelliculaire (ou plus rarement eet Kelvin) est un phénomène électromagnétiquequi fait que, à fréquence élevée, le courant a tendance à ne circuler qu'en surface des conducteurs. Cephénomène d'origine électromagnétique existe pour tous les conducteurs parcourus par des courantsalternatifs.Il provoque la décroissance de la densité de courant à mesure que l'on s'éloigne de la périphérie duconducteur. Il en résulte une augmentation de la résistance du conducteur.Cet eet peut être utilisé pour alléger le poids des lignes de transmission à haute fréquence en utilisantdes conducteurs tubulaires, ou même des tuyaux, sans perte de courant.

Conducteur parfait dénitionOn pourra considérer qu'un conducteur est parfait si les ondes électromagnétiques ne pénètrent quasi-ment pas dans le matériau, c'est-à-dire si

γ →∞⇔ δ λ

3. Propagation dans les conducteurs dans le cas général : conductivité complexe

8 Étude mécanique de l'électron dans un métal réel exerciceOn s'intéresse à un électron de charge q, de masse m supposé ponctuel qui ressent :

• une force de frottement uide −f.r.~ur (très faible, due à l'interaction avec les ions du réseau métal-lique) ;

• la force de Lorentz due au champ électrique extérieur variable q. ~Eext(z, t).

En eet, une onde électromagnétique polarisée rectilignement impose

~Eext(t) = E0. cos (ω.t− k.z) ~ux

B En posant le temps caractéristique τ = mf montrer que la densité volumique de courant complexe ~j

est de la forme~j = γ (ω) . ~E avec γ (ω) =

γ0

1− j.τ.ωB Montrer que les charges relaxent sur un temps caractéristique θ.

B Le principe fondamental de la dynamique donne, projeté suivant ~ux :

m.x = −f.x+ q.E0. cos (ω.t− kz)

Pour résoudre cette équation, on cherche les solutions sous forme complexe : x = <(x) avec x = x0.ej(kz−ω.t+ϕ) :

m. (−j.ω)2.x+ f. (−j.ω) .x = q.E0e

−j.(ω.t−kz)

On trouve donc comme vitesse complexe de la particule chargée

~v = −j.ω.x~ux =q.E0e

−j.(ω.t−kz)

−j.m.ω + f~ux

On en déduit la densité volumique de courant :

~j = n.q.v =n.q2

−j.m.ω + f~E =

n.q2

f

1− j.mf ω~E



où n est la densité volumique des électrons. En posant le temps caractéristique τ = mf et la conductivité en

basse fréquence γ0 = n.q2

f , on arrive à

~j = γ (ω) . ~E avec γ (ω) =γ0

1− j.τ.ω

B L'équation locale de conservation de la charge est

∂ρ

∂t+ div~j = 0

Si la loi d'Ohm s'applique (c'est à dire pour ω 1τ ),

~j = γ0. ~E et la conservation de la charge devient

0 =∂ρ

∂t+ γ0.div ~E =

∂ρ

∂t+ γ0

ρ

ε0

d'après l'équation de Maxwell Gauss. L'équation de conservation de la charge donne

∂ρ

∂t+ γ0

ρ

ε0= 0

Aussi, on peut poser le temps caractéristique

θ =ε0γ0

On peut donc voir que les charges relaxent (ρ(t) = ρ0.e− tθ ) sur un temps caractéristique θ.

Conductivité d'un métal réel à retenirPour un métal, la conductivité est complexe :

γ (ω) =γ0

1− j τ ω=

ε0 ω2p

1τ − j ω

Pulsations caractéristiques : s'y retrouver

Il existe trois pulsations caractéristiques 1τ < ωp <

1θ car la pulsation plasma est dénie comme la

moyenne arithmétique des deux précédentes

ωp =

√1

τ

1

θ=

√γ0

τ.ε0

Exemple d'ordres de grandeur pour ces trois pulsations caractéristiques dansle cas de l'aluminium. tableauLe tableau 2 présente un exemple d'ordres de grandeur pour ces trois pulsations caractéristiques.

1τ ωp

1θ

1014Hz 2.1016Hz 1018Hz

Table 2 Ordres de grandeur pour les trois pulsations caractéristiques dans le cas de l'aluminium.

10 Équations de propagation et de dispersion dans un métal exerciceB Déterminer l'équation de propagation de l'onde dans le métal.B En déduire la relation de dispersion.


∆ ~E =−−→grad

(div ~E

)−−→rot

(−→rot ~E

)= −−→rot

(−∂ ~B∂t

)=

∂

∂t

(−→rot ~B

)



d'après Maxwell Gauss. L'équation de Maxwell Ampère donne pour les champs complexes :

∆ ~E =∂

∂t

(µ0.~j +

1

c2∂ ~E

∂t

)

qui devient d'après la loi d'Ohm :

∆ ~E =1

c2∂2 ~E

∂t2+ µ0.γ

∂ ~E

∂t

BOn s'intéresse à une onde plane progressive monochromatique polarisée rectilignement ~E = E0.e−j.(ω.t−kz−ϕ)~u.

En remplaçant dans l'équation de propagation,

−k2 =−ω2

c2− jω

µ0.ε0.ω2p.τ

1− j.ω.τ⇒

On trouve la relation de dispersion :

k2 =ω2

c2

(1 + j

ω2p.τ

ω. (1− j.ω.τ)

)

Comportements du conducteur réel vis à vis de l'onde s'y retrouver

• si ω 1τ ωp (c'est le cas pour les ondes hertziennes), l'onde est amortie avec l'épaisseur de peau

δ(ω) =√

2µ0.γ0.ω

,

• si 1τ ω < ωp (c'est le cas pour les ondes visibles), l'onde ne se propage pas et est amortie : il s'agit

d'une onde évanescente. Le corollaire est une réexion totale de l'onde incidente sur le métal,

• si 1τ ωp < ω (c'est le cas à partir du domaine UV), il y a propagation avec dispersion, mais

sans absorption,

• si 1τ ωp ω (c'est le cas pour les rayonnements X), il y a propagation sans dispersion ni

absorption, comme dans le vide.

le comportement d'un conducteur réel vis à vis d'une OPPM en fonction dela fréquence. schémaLa gure 3 représente le comportement d'un conducteur réel vis à vis d'une OPPM en fonction de lafréquence. Dans le cas de la ionosphère (partie supérieure de l'atmosphère), un plasma assimilable à unmétal, avec une pulsation plasma ωp ∼ 10MHz, on distinguera

• les grandes ondes (pour lesquelles ω ωp) qui se rééchissent sur la ionosphère

• les ondes courtes, FM TV ou satellite (pour lesquelles ω ωp) pour qui la ionosphère est transparente.

Figure 3 le comportement d'un conducteur réel vis à vis d'une OPPM en fonction de la fréquence.



II- Propagation d'une onde électromagnétique dans un milieu d'in-

dice complexe

1. Milieu DLHI d'indice complexe

Milieu DLHI s'y retrouverLe milieu est DLHI, c'est à dire

• diélectrique : non conducteur, sans charges ;

• linéaire : l'eet (~p) est proportionnel à la cause ( ~E) ;

• homogène : le facteur de proportionnalité ne dépend pas de l'endroit où l'on se trouve dans le milieu ;

• isotrope : ce facteur de proportionnalité est le même dans toutes les directions.

11 Des équations de Maxwell à l'équation de D'Alembert dans un milieudiélectrique exerciceB Réécrire les équations de Maxwell pour les champs complexes associés dans le milieu diélectrique, enremplaçant ε0 par εr ε0 .B Démontrer l'équation de d'Alembert pour le champ électrique.B Démontrer l'équation de d'Alembert pour le champ magnétique.

On s'intéresse à une onde plane progressive monochromatique polarisée rectilignement ~E =

E0.e−j.(ω.t−kz−ϕ)~u.

B Trouver la relation de dispersion.

B Maxwell ux : div ~B = 0 ;

Maxwell Faraday : −→rot ~E = −∂ ~B∂t ;Maxwell Ampère : −→rot ~B = µ0.ε0.εr

∂ ~E∂t ;

Maxwell Gauss : div(~E)

= 0.

B le laplacien vectoriel du champ électrique complexe est

∆ ~E =−−→grad

(div ~E

)−−→rot

(−→rot ~E

)= −−→rot

(−→rot ~E

)d'après Maxwell Gauss

⇒ ∆ ~E = −−→rot(−→rot ~E

)= −−→rot

(−∂ ~B∂t

)=

∂

∂t

(−→rot ~B

)d'après Maxwell Faraday

Maxwell Ampère ⇒ ∆ ~E =∂

∂t

(−→rot ~B

)=

∂

∂t

(εrc2∂ ~E

∂t

)⇒ ∆ ~E =

εrc2∂2 ~E

∂t2

B le laplacien vectoriel du champ magnétique est

∆ ~B =−−→grad

(div ~B

)−−→rot

(−→rot ~B

)= −−→rot

(−→rot ~B

)d'après Maxwell ux

⇒ ∆ ~B = −−→rot(−→rot ~B

)= −−→rot

(εrc2∂ ~E

∂t

)d'après Maxwell Ampère

⇒ ∆ ~B = − εrc2

∂

∂t

(−→rot ~E

)= − εr

c2∂

∂t

(−∂

~B

∂t

)d'après Maxwell Faraday

Donc

∆ ~B =εrc2∂2 ~B

∂t2

B en remplaçant dans l'équation de propagation,

−k2 =−ω2

c2εr ⇒ k2 = εr

ω2

c2



Indice complexe du milieu : dénitionLa relation de dispersion peut se simplier en

k = ±nωc

n (sans dimension) est appelé indice du milieu diélectrique. Il est complexe, on peut écrire : < (n) = nret = (n) = −ni.

Structure de l'onde dans un milieu diélectrique à retenir

L'onde plane progressive monochromatique qui se propage avec un vecteur d'onde ~k = k.~uz = nωc ~uzest telle que

~B =~k

ω∧ ~E = n

~uzc∧ ~E

Forme des ondes : s'y retrouver

~E =[E+.e

−ni ω.zc e−j.(ω.(t−nrzc )−ϕ+) + E−.e

+niω.zc e−j.(ω.(t+nr

zc )−ϕ−)

].~u

L'onde plane progressive monochromatique polarisée rectilignement est de la forme ~E =

E0.e−j.(ω.t−kz−ϕ)~u, soit pour le champ réel

~E =

[E+.e

−ni ω.zc cos(ω.(t− nr zc

)− ϕ+

)+E−.e

+niω.zc cos

(ω.(t+ nr

zc

)− ϕ−

) ] .~u2. Dispersion

13 Forme de l'onde dans une zone de transparence : exercicedans la plus grande partie du spectre, on se trouve hors d'une des zones de résonance, soit ni ' 0.B Montrer que l'onde est non amortie.B Déterminer la vitesse de phase.

ni ' 0⇒ n ' nr ∈ <

Aussi, l'onde~E =

[E+.e

−j.(ω.(t−nr zc )−ϕ+) + E−.e−j.(ω.(t+nr zc )−ϕ−)

].~u

est une onde non amortie : il n'y a pas d'absorption. La vitesse de phase est

vϕ =ω

kr=

c

nr

La partie réelle de l'indice du milieu diélectrique (nr) apparaît donc comme l'indice optique pour les milieuxtransparents.

la partie réelle (nr) de l'indice optique de l'eau en fonction de la longueurd'onde. schémaLa gure 4 représente la partie réelle (nr) de l'indice optique de l'eau en fonction de la longueur d'onde(données : K.F. Palmer and D. Williams, Optical Properties of water in the near infrared, Journal of theOptical Society of America, V.64, pp. 1107-1110, August, 1974.)



Figure 4 la partie réelle (nr) de l'indice optique de l'eau en fonction de la longueur d'onde.

Variation de l'indice avec la longueur d'onde - formule de Cauchy s'y

retrouverOn remarque que nr est une fonction croissante de la fréquence ν. Ceci est pris en compte par exempledans la formule de Cauchy en optique :

nr = A+B

λ2

Puisque nr = f(ν), la vitesse de phase de l'onde dépend de la fréquence : on est en présence d'un milieudispersif.

Milieu dispersif dénitionLe milieu de propagation est dit dispersif si la vitesse de phase de l'onde n'est pas constante : vϕ =f (ω) 6= cste

3. Absorption

14 Forme de l'onde dans une zone d'absorption exercice

B Montrer que l'onde est amortie dans les zones de résonance où ni 6= 0.

Commeni 6= 0⇒ n ∈ C

Aussi, l'onde :

~E =[E+.e

−ni ω.zc .e−j.(ω.(t−nrzc )−ϕ+) + E−.e

+niω.zc .e−j.(ω.(t+nr

zc )−ϕ−)

].~u

est donc d'une onde amortie : l'amplitude de l'onde est atténuée par le terme e−niω.zc car il y a absorption.



Absorption dénitionSi ni 6= 0⇒ n ∈ C, l'onde qui se propage est une onde amortie : l'amplitude de l'onde est atténuée parle terme e−ni

ω.zc . Il y a absorption de l'onde par le milieu de propagation.

l'absorption spécique de l'eau en fonction de la longueur d'onde. schéma

La gure 5 représente l'absorption spécique de l'eau en fonction de la longueur d'onde (données : K.F.Palmer and D. Williams, Optical Properties of water in the near infrared, Journal of the Optical Societyof America, V.64, pp. 1107-1110, August, 1974.)

Figure 5 l'absorption spécique de l'eau en fonction de la longueur d'onde.

4. Retour sur les paquets d'ondes

"Petit" paquet d'ondes s'y retrouverOn s'intéresse à un petit paquet d'ondes : on suppose que k = k0 + δk et ω = ω0 + δω, avec δω ω0 etδk k0



Vitesse de groupe dénitionOn dénit la vitesse de groupe par

vg =dω

dk

au voisinage de (k0;ω0).

15 Enveloppe d'un paquet d'ondes théorème

On peut faire un développement limité autour de (k0;ω0) :

k (ω) ≈ k (ω0) +dk

dω(ω − ω0) = k0 +

δω

vg

En remplaçant dans l'onde plane complexe, on trouve

ψ =

∫A (ω0 + δω) .e

j.(ω0.t+δω.t−k0.x− δωvg x

)dδω

⇒

ψ = A′.ej.(ω0.t−k0.x)

pour peu que l'on pose l'enveloppe

A′ =

∫A (ω0 + δω) .e

j.δω.(t− x

vg

)dδω

Interprétation du paquet d'onde s'y retrouver

on a donc trouvé une onde moyenne (autour de (k0;ω0) : ej.(ω0.t−k0.x)), modulée par une enveloppe A′

qui se déplace donc vers les x croissants à la vitesse de groupe vg car on retrouve le facteur ej.δω.

(t− x

vg

).

16 Propagation d'un paquet d'ondes suivant l'équation de D'Alembert exerciceMontrer que vitesses de phase et de groupe sont égales dans le cas de l'équation de D'Alembert :

vϕ = vg = c0

Il n'y a pas de dispersion.

Dans le cas de l'équation de D'Alembert, l'équation de dispersion se réécrit

k2 =ω2

c20⇒ k =

ω

c0

pour une onde se propageant vers les x croissants. Donc

vϕ = vg = c0

Propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu non dispersif ni absorbantanimationLa propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu non dispersif ni absorbant se caractérise par latransmission du paquet d'ondes identique à lui-même au cours de la propagation.Vous pouvez retrouver une animation explicative sur le site alain.lerille.free.fr.

Vitesses de phase et de groupe dans le cas de la dispersion de Klein-GordonschémaLa gure 6 représente les vitesses de phase et de groupe dans le cas de la dispersion de Klein-Gordon. Onvoit que la vitesse de groupe dière a priori de la vitesse de phase. De plus, la vitesse de phase dépendde ω : le milieu est dispersif.



Figure 6 Vitesses de phase et de groupe dans le cas de la dispersion de Klein-Gordon

17 Propagation d'un paquet d'ondes suivant l'équation de Klein-Gordon exer-

ciceDans le cas de l'équation de Klein-Gordon, montrer que vitesses de phase et de groupe sont diérenteset que

vg.vϕ = c2

k =

√ω2 − ω2

c

cpour tout ω > ωc

La vitesse de groupe se calcule ainsi :dk

dω=

2.ω

2.c.√ω2 − ω2

c

vϕ =c√

1−(ωcω

)2la vitesse de groupe est :

vg = c.

√1−

(ωcω

)2

et vitesses de phase et de groupe sont diérentes car

vg.vϕ = c2

Propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu dispersif et absorbant schéma

La gure 7 représente la propagation dans un milieu absorbant. Le paquet d'onde va se déformer : il vas'étaler et s'amenuiser.

Propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu dispersif et absorbant ani-

mationLa propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu dispersif fait apparaître un élargissement de ce paquetd'ondes. Le fait que le milieu soit absorbant se caractérise par l'aaiblissement de l'amplitude du paquetd'ondes au cours de la propagation.Vous pouvez retrouver une animation explicative sur le site alain.lerille.free.fr.



Figure 7 Propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu dispersif et absorbant

remarque

Bien souvent, dans les zones d'absorption, la partie réelle de l'indice optique varie brutalement. Donc lemilieu est extrêmement dispersif, et les signaux envoyés sont fortement déformés. On ne peut donc pastoujours s'intéresser à un paquet d'ondes clairement identié. La vitesse de groupe perd ainsi tout sonsens. Il ne faut donc pas s'étonner si le calcul donne des valeurs supérieures à c pour vg (on parle alors dedispersion anormale).

5. Interface entre deux milieux de propagation

Incidence normale s'y retrouverOn s'intéresse à une interface en z = 0.Dans le milieu z < 0 d'indice n1 se propagent :

• l'onde incidente : ~Ei = ~E0i e−j (ω t−k1 z)~ux et ~Bi = n1~uz ∧

~Eic = n1

c~E0i e

−j (ω t−k1 z)~uy ;

• l'onde rééchie : ~Er = ~E0r e−j (ω t+k1 z)~ux et ~Br = n1 (−~uz) ∧

~Erc = − n1

c~E0r e

−j (ω t+k1 z)~uy.

Dans le milieu z > 0 d'indice n2 se propage :

• l'onde transmise : ~Et = ~E0t e−j (ω t−k2 z)~ux et ~Bi = n2~uz ∧

~Etc = n2

c~E0t e

−j (ω t−k2 z)~uy.



Relation de passage sur un dioptre à retenirOn admet qu'à l'interface (z = 0), le champ électromagnétique est continu :

∀t ~Ei (z = 0, t) + ~Er (z = 0, t) = ~Et (z = 0, t)

∀t ~Bi (z = 0, t) + ~Br (z = 0, t) = ~Bt (z = 0, t)

Coecients de réexion et transmission dénitionLes coecients en amplitude sont :

• coecients de réexion tels que : ~Er (z = 0, t) = rE~Ei (z = 0, t) et ~Br (z = 0, t) = rB

~Bi (z = 0, t) ;

• coecients de transmission tels que : ~Et (z = 0, t) = tE~Ei (z = 0, t) et ~Bt (z = 0, t) = tB

~Bi (z = 0, t).

Les coecients en énergie sont :

• coecient de réexion : R = |rE |2 = |rB |2

• coecient de transmission : T = 1−R.

Coecients de réexion dans le cas d'une interface vide/métal s'y retrouverOn peut montrer que dans le domaine optique, dans le cas d'une interface vide/métalrE = −1, ce qui est à relier à un déphasage de π supplémentaire (cf. optique ondulatoire) ;R = 1⇒ T = 0, le métal se comporte comme un miroir.



Technique à maîtriserjeudi 12 février 2015

I- Les capacités exigibles

1. Modélisation d'un milieu

ce qu'il faut savoir faire capacités

Décrire le modèle d'un plasma localement neutre sans collisions.Construire une conductivité complexe en justiant les approximations.Associer le caractère imaginaire pur de la conductivité complexe à l'absence de puissance échangée enmoyenne temporelle entre le champ et les porteurs de charges.Traiter le cas particulier d'un conducteur ohmique de conductivité réelle.

2. Propagation dans un milieu


Établir une relation de dispersion pour des ondes planes progressives harmoniques.Associer les parties réelle et imaginaire de k aux phénomènes de dispersion et d'absorption.Reconnaître une onde évanescente (onde stationnaire atténuée).Dans le cas particulier d'un conducteur ohmique de conductivité réelle, repérer une analogie formelleavec les phénomènes de diusion.Connaître l'ordre de grandeur de l'épaisseur de peau du cuivre à 50 Hz.

3. Interface entre deux milieux


Dans le cas de d'une onde plane progressive harmonique sous incidence normale entre deux demi-espacesd'indices complexes n1 et n2, exploiter la continuité (admise) du champ électromagnétique dans cetteconguration pour obtenir l'expression du coecient de réexion en fonction des indices complexes.Distinguer les comportements dans le domaine de transparence et dans le domaine réactif du plasma.Établir les expressions des coecients de réexion et transmission du champ pour un métal réel. Passerà la limite d'une épaisseur de peau nulle.Dans le cas d'une interface vide-conducteur ohmique dans le domaine optique visible, identier le com-portement du métal dans ce domaine, avec celui d'un plasma localement neutre peu dense en-dessousde sa pulsation de plasma.Associer la forme du coecient complexe de réexion à l'absence de propagation d'énergie dans le métalen moyenne temporelle.Identier l'incidence de Brewster et utiliser cette conguration pour repérer la direction absolue d'unpolariseur.



II- Méthodes




A) Coecients de réexion et de transmission dans le cas de l'incidencenormale méthodeLes trois OPPM impliquées dans le processus sont

l'onde incidente, de vecteur d'onde ~ki = 2π.n1

λ ~uz, de champ électrique complexe ~Ei = ~E0i.ej.(ωt−ki.z) et

magnétique ~Bi = n1.~uzc ∧ ~Ei ;

l'onde rééchie, de vecteur d'onde ~kr = − 2π.n1

λ ~uz, de champ électrique complexe ~Er = ~E0r.ej.(ωt+kr.z)

et magnétique ~Br = −n1.~uzc ∧ ~Er ;

l'onde transmise de vecteur d'onde ~kt = 2π.n2

λ ~uz, de champ électrique complexe ~Et = ~E0t.ej.(ωt−kt.z) et

magnétique ~Bt = n2.~uzc ∧ ~Et.

Les coecients en amplitude pour ~E sont

• en réexion rE tel que ~E0r = rE . ~E0i,

• en transmission tE tel que ~E0t = tE . ~E0i.

Les coecients en amplitude pour ~B sont

• en réexion rB tel que ~B0r = rB . ~B0i,

• en transmission tB tel que ~B0t = tB . ~B0i.

On peut dénir les coecients énergétiques suivants :

• en réexion R = 〈Φr〉〈Φi〉 ;

• en transmission T = 〈Φt〉〈Φi〉 .

Les conditions de passage sur les champs électromagnétiques (continus) permettent de déterminer tousces coecients.

III- Exercices


1.1) Conductivité d'un plasma

Une onde électromagnétique de champ électrique complexe ~E = E0 e−j (ω t−k z) ~ux existe dans le plasma.

1) En appliquant le principe fondamental de la dynamique, déterminer la vitesse complexe d'un électron.2) Montrer que la conductivité complexe du plasma peut s'écrire

γ = j ε0

ω2p

ω

1) Comme le champ magnétique de l'onde est de norme ‖B‖ = ‖E‖c , la partie magnétique de la force de

Lorentz appliquée à un électron est négligeable pour peu que la vitesse de celui soit faible devant c.Le principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron est

med~vedt

= −j ωme~ve = −e ~E

soit~ve = −j e

ωme

~E



2) Comme~j =

∑k

nk.qk.~vk = −ne e~ve = γ ~E

on trouve conductivité du plasma :

γ = jne e

2

ωme= j ε0

ω2p

ω

pour peu qu'on pose

ω2p =

ne e2

ε0me

1.2) Pulsation plasma

La conductivité complexe du plasma peut s'écrire

γ = j ε0

ω2p

ω

1) Montrer que ωp a bien la dimension d'une pulsation.

1) Il faut vérier que c'est une pulsation. En reprenant(−j ω +

γ

ε0

)ρ = 0⇒ ρ = 0

et la conductivité imaginaire γ = j ε0ω2p

ω , on trouve(−j ω +

ω2p

ω

)ρ = 0⇒ ρ = 0

qui montre bien que ωp a la dimension d'une pulsation.

1.3) Absence d'eet Joule dans le plasma

1) Montrer qu'il y a absence de puissance échangée en moyenne temporelle entre le champ et les porteursde charges dans un plasma.

1) Puisque la conductivité est imaginaire pure, ~j et ~E sont en quadrature de phase. Ainsi, la puissanceéchangée par eet Joule est de la forme :

Pd =

∫∫∫~j. ~E.d3τ =

∫∫∫|γ|E2

0 sin (ω t+ ϕ0) cos (ω t+ ϕ0) .d3τ

de moyenne nulle.

1.4) Neutralité locale d'un conducteur

1) Montrer qu'un conducteur est localement non chargé.

1) En appliquant la conservation locale de la charge ∂ρ∂t + div~j = 0 en complexe et en utilisant Maxwell

Gauss :∂ρ

∂t+ div~j =

∂ρ

∂t+ γdiv ~E =

∂ρ

∂t+γ

ε0ρ = 0

En injectant ρ = ρ0e−j (ω t−k z) dans la dernière équation, on trouve :(

−j ω +γ

ε0

)ρ = 0⇒ ρ = 0




2.5) Propagation dans un métal réel pour les ondes hertziennes


E0.e−j.(ω.t−kz−ϕ)~u qui se propage dans un métal réel.

On admet que la relation de dispersion est :

k2 =ω2

c2

(1 + j

ω2p.τ

ω. (1− j.ω.τ)

)

On suppose que ω 1τ ωp (c'est le cas pour les ondes hertziennes).

1) Montrer que k = ± 1+jδ .

2) En déduire que l'onde est amortie.

1)

k2 ' ω2

c2

(1 + j

ω2p.τ

ω

)' ω2

c2jω2p.τ

ω

La relation de dispersion se simplie enk2 ' j.µ0.γ0.ω

On trouve donc

k = ±1 + j√2

√µ0.γ0.ω = ±1 + j

δ

avec l'épaisseur de peau δ(ω) =√

2µ0.γ0.ω

.

2) Aussi, le champ complexe est

~E = E+.e− zδ(ω) e−j.(ω.t−

zδ(ω)−ϕ+).~u+ E−.e

+ zδ(ω) e−j.(ω.t+

zδ(ω)−ϕ−).~u

Puisque le champ ne peut avoir une amplitude qui diverge en z →∞, E− = 0. Aussi, le champ complexe est

~E = E+.e− zδ(ω) e−j.(ω.t−

zδ(ω)−ϕ+).~u

Il s'agit d'une onde amortie.

2.6) Propagation dans un métal réel pour les ondes visibles




k2 =ω2

c2

(1 + j

ω2p.τ

ω. (1− j.ω.τ)

)

On suppose que 1τ ω < ωp (c'est le cas pour les ondes visibles).

1) Montrer que k = ± jδ′ .

2) En déduire que l'onde est évanescente.

1)

k2 ' ω2

c2

(1 + j

ω2p.τ

−j.τ.ω2

)' −ω

2

c2ω2p

ω2

La relation de dispersion se simplie en

k2 ' −ω2p

c2

On trouve donc

k = ±j ωpc

= ± jδ′



où l'épaisseur de peau est maintenant δ′ = cωp.

2)

~E = E+.e− zδ′ e−j.(ω.t−ϕ+).~u+ E−.e

+ zδ′ e−j.(ω.t−ϕ−).~u

Puisque le champ ne peut avoir une amplitude qui diverge en z →∞, E− = 0. La forme de l'onde est

~E = E+.e− zδ′ . cos (ω.t− ϕ+) ~u

L'onde ne se propage pas et est amortie : il s'agit d'une onde évanescente. Le corollaire est une réexiontotale de l'onde incidente sur le métal.

2.7) Propagation dans un métal réel pour les ondes UV




k2 =ω2

c2

(1 + j

ω2p.τ

ω. (1− j.ω.τ)

)

Supposons que 1τ ωp < ω (c'est le cas à partir du domaine UV).

1) Montrer qu'on retrouve l'équation de dispersion de Klein-Gordon.2) En déduire qu'il y a propagation avec dispersion, mais sans absorption.

1)

k2 ' ω2

c2

(1 + j

ω2p.τ

−j.τ.ω2

)La relation de dispersion se simplie en

k2 'ω2 − ω2

p

c2

On trouve donc

k = ±

√ω2 − ω2

p

c

On retrouve l'équation de dispersion de Klein-Gordon.2) Aussi, le champ complexe est

~E = E+.e−j.(ω.t−√ω2−ω2

p

c z+ϕ+

).~u+ E−.e

−j.(ω.t+

√ω2−ω2

p

c z−ϕ−

).~u

Il y a propagation avec dispersion, mais sans absorption.

2.8) Propagation dans un métal réel pour les ondes X




k2 =ω2

c2

(1 + j

ω2p.τ

ω. (1− j.ω.τ)

)

Supposons enn que 1τ ωp ω (c'est le cas pour les rayonnements X).

1) Montrer qu'il y a propagation sans dispersion ni absorption, comme dans le vide.

1)

k2 ' ω2

c2

(1 + j

ω2p.τ

−j.τ.ω2

)



La relation de dispersion se simplie en

k2 ' ω2

c2

On trouve donck = ±ω

c

On se retrouve dans le cas du vide : l'onde n'interagit plus avec les électrons du métal, car la fréquence esttrop grande. Aussi, le champ complexe est

~E = E+.e−j.[ω.(t− zc )−ϕ+].~u+ E−.e

−j.[ω.(t+ zc )−ϕ−].~u

Il y a propagation sans dispersion ni absorption, comme dans le vide.

2.9) Indice optique et vitesse de l'onde

1) L'indice optique correspond-il à une vitesse de phase ou à une vitesse de groupe ?

1) L'indice optique est relatif à une longueur d'onde : il correspond à la vitesse de phase.

2.10) Vitesses de phase et de groupe dans un milieu vériant la loi de Cauchy

On s'intéresse à un milieu vériant la loi de Cauchy :

n = A+B

λ2

On donne la relation de Rayleigh entre vitesses de phase et de groupe :

vg = vϕ − λdvϕdλ

1) Exprimer la vitesse de groupe en fonction de la vitesse de phase, de n, de B et de λ.2) Comparer la vitesse de phase et la vitesse de groupe.3) Que se passe-t-il si le milieu est non dispersif ?

1) vϕ = cn = c

A+ Bλ2.

D'où : dvϕdλ =2.c B

λ3

n2 =2.vϕ

Bλ3

n

vg = vϕ.

(1− 2.B

n.λ2

)2) vg < vϕ.3) Si le milieu est non dispersif, B = 0⇒ vg = vϕ.

2.11) Propagation dans un plasma

On peut montrer que dans un plasma, la relation de dispersion est de la forme

k2 =ω2 − ω2

p

c2

On se place dans le cas d'une onde de pulsation ω > ωp, la pulsation plasma.1) Indice du milieu :

1.a) Pourquoi a-t-on le droit de parler d'indice ?1.b) Quel est l'indice n (ω) du milieu ?

2) Exprimer les vitesses :2.a) vϕ de phase ;2.b) vg de groupe ;2.c) et les comparer à c.



1) Indice du milieu :1.a) Puisque k est réel, le milieu est transparent : il n'y a pas d'absorption.

1.b) L'indice est tel que k = n (ω) ωc , or k =

√ω2−ω2

p

c2 = ωc

√1−

(ωpω

)2. Donc :

n (ω) =

√1−

(ωpω

)2

2) Vitesses :2.a) de phase : vϕ = ω

k , donc

vϕ =c

n=

c√1−

(ωpω

)22.b) de groupe vg = dω

dk = 1dkdω

avec dkdω = 1

c2ω

2√ω2−ω2

p

, d'où

vg = n.c = c.

√1−

(ωpω

)2

2.c) Comme n (ω) < 1,vϕ > c et vg < c


3.12) Coecients de transmission et réexion

On s'intéresse à une interface en z = 0. Dans le milieu z < 0 l'indice optique est n1 et dans le milieu z > 0l'indice est n2.

L'onde incidente a pour champ électrique

~Ei = ~E0i e−j (ω t−k1 z)~ux

1) Déterminer la forme des diérentes ondes électromagnétiques.2) Calculer les coecients de transmission et réexion pour les champs ~E et ~B.3) En déduire les coecients de transmission et réexion en énergie.

1) Dans le milieu z < 0 d'indice n1 se propagent :

• l'onde incidente : ~Ei = ~E0i e−j (ω t−k1 z)~ux et ~Bi = n1~uz ∧

~Eic = n1

c~E0i e

−j (ω t−k1 z)~uy ;

• l'onde rééchie : ~Er = ~E0r e−j (ω t+k1 z)~ux et ~Br = n1 (−~uz) ∧

~Erc = − n1

c~E0r e

−j (ω t+k1 z)~uy.

Dans le milieu z > 0 d'indice n2 se propage :

• l'onde transmise : ~Et = ~E0t e−j (ω t−k2 z)~ux et ~Bi = n2~uz ∧

~Etc = n2

c~E0t e

−j (ω t−k2 z)~uy.

2) Les coecients en amplitude pour ~E sont

• en réexion rE tel que ~E0r = rE . ~E0i,

• en transmission tE tel que ~E0t = tE . ~E0i.

Les coecients en amplitude pour ~B sont

• en réexion rB tel que ~B0r = rB . ~B0i,

• en transmission tB tel que ~B0t = tB . ~B0i.

A l'interface (z = 0), le champ électromagnétique est continu :∀t ~Ei (z = 0, t) + ~Er (z = 0, t) = ~Et (z = 0, t)

∀t ~Bi (z = 0, t) + ~Br (z = 0, t) = ~Bt (z = 0, t)

La résolution du système donne : rE = n1−n2

n1+n2= −rB

tE = 2 n1

n1+n2= n1

n2tB



3) Les coecients en énergie sont :

• coecient de réexion : R = |rE |2 = |rB |2 = | n1−n2

n1+n2|2

• coecient de transmission : T = 1−R.

3.13) Réexion du diamant

On rappelle que les coecients de transmission et réexion pour les champs ~E et ~B à l'interface entre deuxmilieux d'indices n1 et n2 sont :

rE = n1−n2

n1+n2= −rB

tE = 2 n1

n1+n2= n1

n2tB

Le diamant est transparent, translucide ou opaque.Son indice de réfraction est particulièrement élevé : n ≈ 2, 4.1) Qu'est-ce qui donne au diamant son éclat caractéristique, dit adamantin ?

1) Pour l'interface air (ou vide) / diamant Aussi,

rE =n1 − n2

n1 + n2=−1, 4

3, 4

Le coecient de réexion en énergie est :

R = |rE |2 = |rB |2 =

(=−1, 4

3, 4

)2

= 0, 17

Donc l'onde est bien rééchie.

3.14) Déphasage de π pour une réexion sur un dioptre d'indice supérieur

On rappelle que les coecients de transmission et réexion pour les champs ~E et ~B sont :rE = n1−n2

n1+n2= −rB

tE = 2 n1

n1+n2= n1

n2tB

1) Justier qu'il existe un déphasage de π pour une réexion sur un dioptre d'indice supérieur.

1) En incidence normale, rE = n1−n2

n1+n2. Donc, si n1 < n2, rE est réel négatif : on doit introduire π comme

déphasage dans le champ électrique. On peut généraliser à n'importe qu'elle incidence.

3.15) Déphasage de π pour une réexion sur un miroir

On rappelle que k ≈ ±j ωpc pour la propagation dans un métal dans le domaine visible c'est-à-dire si1τ ω < ωp.

On rappelle aussi que les coecients de transmission et réexion pour les champs ~E et ~B à l'interface entredeux milieux d'indices n1 et n2 sont :

rE = n1−n2

n1+n2= −rB

tE = 2 n1

n1+n2= n1

n2tB

1) Montrer que le métal se comporte comme un miroir parfait.2) Justier qu'il existe un déphasage de π pour une réexion sur un miroir.

1) Pour l'interface air (ou vide) / métal, on a les indices n1 = 1 et n2 = kωc

= jωpω .

Aussi,

rE =n1 − n2

n1 + n2=

1− j ωpω1 + j

ωpω

=ω − j ωpω + j ωp

≈ −j ωpj ωp

= −1


• coecient de réexion : R = |rE |2 = |rB |2 = 1



• coecient de transmission : T = 1−R = 0.

Donc toute l'onde est rééchie.2) On a vu que rE = −1, ce qui revient à un déphasage de π.

3.16) Interface vide/plasma

On rappelle que k =

√ω2−ω2

p

c pour la propagation dans un plasma.

On rappelle aussi que les coecients de transmission et réexion pour les champs ~E et ~B à l'interface entredeux milieux d'indices n1 et n2 sont :

rE = n1−n2

n1+n2= −rB

tE = 2 n1

n1+n2= n1

n2tB

1) Montrer que le plasma se comporte comme un miroir parfait si ω < ωp.

1) Pour l'interface air (ou vide) / plasma, on a les indices n1 = 1 et n2 = kωc

= j

√(ωpω

)2 − 1.Aussi,

rE =n1 − n2

n1 + n2=

1− j√(ωp

ω

)2 − 1

1 + j

√(ωpω

)2 − 1


• coecient de réexion : R = |rE |2 = |rB |2 = 1 car |rE | = 1,

• coecient de transmission : T = 1−R = 0.

Donc toute l'onde est rééchie.

3.17) Polarisation d'une onde rééchie à l'incidence de Brewster

On considère le plan z = 0 qui sépare deux milieux linéaires isotropes et homogènes, non magnétiques,d'indices n1 et n2. Une OPPH incidente de vecteur d'onde ~ki se propage dans le milieu (1), qui occupe ledemi-espace z < 0, vers l'interface z = 0 : le plan d'incidence est le plan xOz. Elle atteint ce plan sous une

incidence θ1 =(~uz,~ki

). On admettra que les ondes rééchie et transmise gardent une structure d'onde plane.

On notera θ2 =(~uz,~kt

)l'angle de réfraction et −θ1 =

(~uz,~kr

)l'angle que fait l'onde rééchie avec la normale.

On admet que les coecients de réexion en amplitude du champ électrique sont, pour une onde incidentepolarisée rectilignement :

• dans le plan d'incidence r// = tan(θ1−θ2)tan(θ1+θ2) ;

• perpendiculairement au plan d'incidence r⊥ = sin(θ1−θ2)sin(θ1+θ2) .

1) Montrer qu'il existe une incidence θ1 = θB telle que l'onde est totalement polarisée.2) Exprimer θB en fonction de n1 et n2 uniquement.

1) r⊥ semble pouvoir s'annuler pour θ1 = θ2 = 0.Or n1 sin θ1 = n2. sin θ2 devient aux petits angles n1θ1 = n2.θ2. r⊥ = sin(θ1−θ2)

sin(θ1+θ2) , or sin (α± β) =

sinα. cosβ ± cosα. sinβ, donc : r⊥ = sin θ1. cos θ2−cos θ1. sin θ2sin θ1. cos θ2+cos θ1. sin θ2

, qui devient aux petits angles : r⊥ = θ1−θ2θ1+θ2

,

soit encore, compte tenu de la relation de Descartes aux petits angles : r⊥ =θ1−n1

n2θ1

θ1+n1n2θ1

=1−n1

n2

1+n1n2

, donc :

r⊥ = n2−n1

n2+n1. On voit donc que

r⊥ 6= 0

Cependant, r// = 0 si tan (θ1 + θ2)→∞. C'est le cas si

θ1 + θ2 =π

2

2) Or la relation de Descartes n1 sin θ1 = n2. sin θ2 devient pour θ1 = θB :n1 sin θB = n2. sin θ2 = n2. sin

(π2 − θB

)= n2. cos θB . On en déduit donc :

tan θB =n2

n1⇔ θB = arctan

(n2

n1

)



3.18) Coecients de réexion et de transmission à l'interface entre deux diélectriques

On considère le plan z = 0 qui sépare deux milieux linéaires isotropes et homogènes, non magnétiques,d'indices n1 et n2. Une OPPH incidente de vecteur d'onde ~ki se propage dans le milieu (1), qui occupe ledemi-espace z < 0, vers l'interface z = 0 : le plan d'incidence est le plan xOz. Elle atteint ce plan sous une

incidence θ1 =(~uz,~ki

). On admettra que les ondes rééchie et transmise gardent une structure d'onde plane.

On notera θ2 =(~uz,~kt


(~uz,~kr


On admet que les coecients de réexion en amplitude du champ électrique sont, pour une onde incidentepolarisée rectilignement :

• dans le plan d'incidence r// = tan(θ1−θ2)tan(θ1+θ2) ;

• perpendiculairement au plan d'incidence r⊥ = sin(θ1−θ2)sin(θ1+θ2) .

De même, les coecients de transmission en amplitude du champ électrique sont :

• dans le plan d'incidence t// = 4. sin θ2. cos θ1sin(2θ1)+sin(2θ2) ;

• perpendiculairement au plan d'incidence t⊥ = 2. sin θ2. cos θ1sin(θ1+θ2) .

1) En incidence normale, déterminer les coecients de réexion1.a) r// ,1.b) r⊥,1.c) et conclure.

2) En incidence normale, déterminer les coecients de transmission2.a) t//,2.b) t⊥,2.c) et conclure.

n1 sin θ1 = n2. sin θ2 devient aux petits angles n1θ1 = n2.θ2.1) Coecients de réexion en incidence normale :

1.a) r// = tan(θ1−θ2)tan(θ1+θ2) , or tan (α± β) = tanα±tan β

1∓tanα. tan β , donc : r// =tan θ1−tan θ2

1−tan θ1. tan θ2tan θ1+tan θ2

1+tan θ1. tan θ2

qui devient aux

petits angles : r// =θ1−θ2

1−θ1.θ2θ1+θ2

1+θ1.θ2

, soit encore, compte tenu de la relation de Descartes aux petits angles : r// =

θ1−n1n2

θ1

1−θ1.n1n2

θ1

θ1+n1n2

θ1

1+θ1.n1n2

θ1

=1−n1

n2

1−θ21 .n1n2

1+θ21 .n1n2

1+n1n2

, qui tend vers r// =1−n1

n2

1+n1n2

, soit :

r// =n2 − n1

n2 + n1

1.b) r⊥ = sin(θ1−θ2)sin(θ1+θ2) , or sin (α± β) = sinα. cosβ ± cosα. sinβ, donc : r⊥ = sin θ1. cos θ2−cos θ1. sin θ2

sin θ1. cos θ2+cos θ1. sin θ2,

qui devient aux petits angles : r⊥ = θ1−θ2θ1+θ2

, soit encore, compte tenu de la relation de Descartes aux petits

angles : r⊥ =θ1−n1

n2θ1

θ1+n1n2θ1

=1−n1

n2

1+n1n2

, donc :

r⊥ =n2 − n1

n2 + n1

1.c) Conclusion :

r// = r⊥ =n2 − n1

n2 + n1

Il n'y a pas de diérence entre les deux polarisations.2) Coecients de transmission en incidence normale :

2.a) t// = 4. sin θ2. cos θ1sin(2θ1)+sin(2θ2) devient aux petits angles : t// = 4.θ2

2.θ1+2.θ2soit encore, compte tenu de la

relation de Descartes aux petits angles : t// =2.n1n2θ1

θ1+n1n2θ1, donc

t// =2.n1

n1 + n2



2.b) t⊥ = 2. sin θ2. cos θ1sin(θ1+θ2) devient aux petits angles : t⊥ = 2θ2

θ1+θ2soit encore, compte tenu de la relation

de Descartes aux petits angles : t⊥ =2n1n2θ1

θ1+n1n2θ1, donc

t⊥ =2.n1

n1 + n2

2.c) Conclusion :

t// = t⊥ =2.n1

n1 + n2

Il n'y a pas de diérence entre les deux polarisations.

3.19) Coecients de Fresnel pour une onde polarisée dans le plan d'incidence

On considère le plan z = 0 qui sépare deux milieux linéaires isotropes et homogènes, non magnétiques,d'indices n1 et n2.

Une OPPH incidente polarisée rectilignement dans le plan d'incidence de vecteur d'onde ~ki se propage dansle milieu (1), qui occupe le demi-espace z < 0, vers l'interface z = 0 : le plan d'incidence est le plan xOz. Elle

atteint ce plan sous une incidence θ1 =(~uz,~ki

). On admettra que les ondes rééchie et transmise gardent une

structure d'onde plane. On notera θ2 =(~uz,~kt


(~uz,~kr

)l'angle que fait l'onde

rééchie avec la normale.1) Ecrire les conditions aux limites :

1.a) sur le champ électrique,1.b) et sur le champ magnétique.

2) Montrer que les coecients de réexion et de transmission en amplitude du champ électrique sont2.a) r// = n2. cos θ1−n1. cos θ2

n1. cos θ2+n2. cos θ1ou r// = tan(θ1−θ2)

tan(θ1+θ2) ,

2.b) et t// = 2.n1. cos θ1n1. cos θ2+n2. cos θ1

ou t// = 4. sin θ2. cos θ1sin(2θ1)+sin(2θ2) .

1) Conditions aux limites :1.a) La partie tangentielle du champ électrique est continue, soit

E0i . cos θ1 − cos θ1.E0r = cos θ2.E0t

1.b) La partie normale du champ magnétique est continue, soit le champ magnétique lui même :

n1.E0i + n1.E0r = n2.E0t

2) Coecients de Fresnel :2.a) On peut réécrire le système sous la forme n2. cos θ1

(E0i − E0r

)= n2. cos θ2.E0t

n1. cos θ2.(E0i + E0r

)= n2. cos θ2.E0t

soit (n2. cos θ1 − n1. cos θ2)E0i = (n1. cos θ2 + n2. cos θ1) .E0t ce qui nous donne :

r// =n2. cos θ1 − n1. cos θ2

n1. cos θ2 + n2. cos θ1

qu'on peut transformer en

r// =n2. sin θ1. sin θ2. cos θ1 − n1. sin θ1. sin θ2. cos θ2

n1. sin θ1. sin θ2. cos θ2 + n2. sin θ1. sin θ2. cos θ1

Or la formule de Snell Descartes n1 sin θ1 = n2. sin θ2 , donne :

r// =sin θ1. cos θ1 − sin θ2. cos θ2

sin θ2. cos θ2 + sin θ1. cos θ1=

sin (2θ1)− sin (2θ2)

sin (2θ1) + sin (2θ2)



d'après sin (2α) = 2. sin (α) . cos (α), ou bien encore :

r// =tan (θ1 − θ2)

tan (θ1 + θ2)

d'après sinα− sinβ = 2. cos(α+β

2

). sin

(α−β

2

)et sinα+ sinβ = 2. sin

(α+β

2

). cos

(α−β

2

).

2.b) n2.E0t = n1.E0i + n1.E0r = n1.E0i .(1 + r//

), aussi :

t// =n1

n2

(1 + r//

)=n1

n2

(1 +

n2. cos θ1 − n1. cos θ2


)soit :

t// =2.n1. cos θ1



t// =2.n1. sin θ1. sin θ2. cos θ1



t// =2. sin θ2. cos θ1


4. sin θ2. cos θ1

sin (2θ1) + sin (2θ2)

d'après sin (2α) = 2. sin (α) . cos (α).

3.20) Coecients de Fresnel pour une onde polarisée orthogonalement au plan d'incidence

On considère le plan z = 0 qui sépare deux milieux linéaires isotropes et homogènes, non magnétiques,d'indices n1 et n2.

Une OPPH incidente polarisée rectilignement perpendiculairement au plan d'incidence de vecteur d'onde~ki se propage dans le milieu (1), qui occupe le demi-espace z < 0, vers l'interface z = 0 : le plan d'incidence

est le plan xOz. Elle atteint ce plan sous une incidence θ1 =(~uz,~ki

). On admettra que les ondes rééchie et

transmise gardent une structure d'onde plane. On notera θ2 =(~uz,~kt


(~uz,~kr


1) Ecrire les conditions aux limites :1.a) sur le champ électrique,1.b) et sur le champ magnétique.

2) Montrer que les coecients de réexion et de transmission en amplitude du champ électrique sont2.a) r⊥ = n1. cos θ1−n2. cos θ2

n1. cos θ1+n2. cos θ2ou r⊥ = sin(θ1−θ2)

sin(θ1+θ2) ,

2.b) et t⊥ = 2.n1. cos θ1n1. cos θ2+n2. cos θ1

ou t⊥ = 2. sin θ2. cos θ1sin(θ1+θ2) .

1) Conditions aux limites :1.a) La partie tangentielle du champ électrique est continue, soit le champ électrique lui même :

E0i + E0r = E0t

1.b) La partie normale du champ magnétique est continue, soit

n1.E0i . cos θ1 − cos θ1.n1.E0r = cos θ2.n2.E0t

2) Coecients de Fresnel :2.a) On peut réécrire le système sous la forme n2. cos θ2

(E0i + E0r

)= n2. cos θ2.E0t

n1. cos θ1.(E0i − E0r

)= n2. cos θ2.E0t

soit (n1. cos θ1 − n2. cos θ2)E0i = (n1. cos θ1 + n2. cos θ2) .E0t ce qui nous donne :

r⊥ =n1. cos θ1 − n2. cos θ2





r⊥ =n1. sin θ1. sin θ2. cos θ1 − n2. sin θ1. sin θ2. cos θ2



r⊥ =sin θ2. cos θ1 − sin θ1. cos θ2


sin (θ2 − θ1)

sin (θ2 + θ1)

d'après sin (α± β) = sinα. cosβ ± cosα. sinβ.2.b) E0i + E0r = E0t , aussi :

t⊥ = 1 + r⊥ = 1 +n1. cos θ1 − n2. cos θ2


soit :

t⊥ =2.n1. cos θ1



t⊥ =2.n1. sin θ1. sin θ2. cos θ1



t⊥ =2. sin θ2. cos θ1


2. sin θ2. cos θ1

sin (θ1 + θ2)

d'après sin (α± β) = sinα. cosβ ± cosα. sinβ.



Résolution de problèmevendredi 13 février 2015

Cet exercice sera fait en demi-groupe lors de la séance de travaux dirigés.

Traitements anti - reets

D'aprèshttp ://www.verres-progressifs.info/verre-progressif-presbytie/public/traitements-surface-verres-progressifs

Une couche qui annule la réexion de la lumière.

Il s'agit d'une ou plusieurs couches extrêmement nes (environ 10 millionièmes de millimètre) qui annulentla réexion de la lumière sur les verres correcteurs. L'image n'est plus perturbée par les reets. On estime qu'untraitement antireet améliore la qualité de l'image d'environ 10%.

Esthétiquement, ce traitement permet de ne plus "avoir 2 phares de voitures" à la place des yeux sur lesphotos prises avec un ash, ce qui n'est pas négligeable.

Mais le véritable plus de ce traitement est de gommer toute réexion dans la vie de tous les jours : vosinterlocuteurs verront vos yeux, et vous n'aurez pas le reet de votre pupille dans vos verres (phénomène quipeut être très gênant pour certains porteurs de lunettes).

Enoncé

1) Estimer, grâce aux lois de l'électromagnétisme, le pourcentage de l'intensité lumineuse perdue parréexion avec des lunettes sans traitement anti - reets.



Correction

L'indice optique du verre est n ∈ [1, 5; 1, 9].A l'interface entre deux milieux diélectriques d'indices n1 et n2, une onde incidente normale à l'interface

est rééchie et transmise. Il y a continuité des champs électriques et magnétiques à l'interface.Le calcul des coecients de réexion en champ électrique rE et en champ magnétique rB conduit à

rE = −rB = n1−n2

n1+n2. On en déduit le coecient de réexion en énergie : R = (n1−n2)2

(n1+n2)2. Si l'intensité incidente

sur le verre de lunette est notée I0, l'intensité transmise est T 2I0 = (1−R)2I0. Le pourcentage de l'intensité

perdue est doncI0 − (1−R)

2I0

I0= 1− (1−R)

2 ≈ 2R = 2(n1 − n2)

2

(n1 + n2)2

AN : on trouve 8% pour n = 1, 5 et 16% pour n = 1, 9.Comme indiqué dans le document, 10% semble le bon ordre de grandeur.

Travaux pratiquesvendredi 13 février 2015

La moitié de la classe fait un TP d'optique sur la diraction.



Approche documentairevendredi 13 février 2015

Le document est à lire, l'exercice est à rendre. Pierre-Eloi Nielen et Xavier Pellerin feront un exposé.

L'eet de peau

A. Ducluzaux Extrait du Cahier Technique Schneider Electric n 83 CT 83(e) édition janvier 1977.

Il y a des pertes supplémentaires dans les conducteurs à cause de l'eet de peau

Il y a un peu plus d'un siècle (1873) que les électriciens connaissent cette propriété des courants alternatifsde circuler de préférence à la périphérie des conducteurs massifs.

En elle-même, cette propriété ne serait pas gênante si elle ne s'accompagnait de pertes supplémentaires.Dans un conducteur massif, tout se passe pour les pertes et l'échauement comme si la résistance eective encourant alternatif était supérieure à la résistance réelle en courant continu.

L'augmentation de résistance, de l'ordre de 10 à 20 % pour des conducteurs calibrés pour 2000 A, croitbeaucoup plus vite que l'augmentation de section pour le transport d'intensités plus élevées. Il en résulte deuxinconvénients :

• Un gaspillage d'énergie électrique par les pertes supplémentaires, dont les industriels réalisent depuis peuqu'il représente un luxe dépassant le simple aspect nancier.

• Un gaspillage de matière première, cuivre ou aluminium, par la quantité plus élevée de métal employé etmal utilisé comme conducteur électrique.

Les pertes d'énergie dans les canalisations électriques relativement courtes des équipements de distributionne sont généralement prises en compte que pour leurs conséquences physiques : l'échauement et l'évacuationdes calories. L'aspect économique du rendement énergétique d'une liaison est pourtant loin d'être négligeableen basse tension : un simple calcul montre qu'un jeu de barres de 1000 mm2, transportant 2000 A, dissipe enun an d'utilisation permanente une énergie dont le coût est sensiblement égal au prix du cuivre le constituant.

Un taux de pertes supplémentaires par eet de peau de 10 % représente ainsi le prix du cuivre pour la duréede vie de l'installation (20 ans avec facteur de marche 0,5).

La loi de Kelvin rappelle d'ailleurs que la section économique du cuivre (ou de l'aluminium) à utiliser pourun jeu de barres est celle pour laquelle sont égalisés d'une part le coût des pertes Joule annuelles, d'autre partles charges d'amortissement annuelles du cuivre et des autres éléments de construction proportionnels au poidsdu cuivre.

Le terme adopté d' eet de peau est la traduction de l'anglais skin-eect . On trouve aussi en françaiseet pelliculaire ou eet Kelvin. En allemand il s'agit de Stromverdrängung , littéralement : déplacement decourant.

Cherchant à faciliter l'interprétation de l'eet de peau, Boucherot proposa en 1905 la notion de coquective dénommée aussi épaisseur de peau ou profondeur de pénétration . Sur le plan de l'eet Joule,tout se passe dans le conducteur comme si la totalité du courant véhiculé l'était dans une couche périphériqueou coque, d'épaisseur δ, la densité de courant étant uniforme dans cette coque et nulle à l'intérieur :

δ =1

2π

√10 ρ

µ f

avec :

• δ : épaisseur de la coque est exprimée en m

• ρ : la résistivité est exprimée en Ω ·m−1

• µ : la perméabilité valant 4π 10−7 pour le vide

• f : la fréquence est exprimée en Hz.



En réalité, la densité décroît suivant une loi exponentielle depuis la périphérie jusqu'au centre du conducteur.A la profondeur δ, la densité est encore de 1/e = 0, 367 comme le montre la gure.

La notion de coque ctive suppose que la densité moyenne dans la coque est égale à 1/√

2 fois la densitépériphérique.

Sur le plan pratique, la coque ou profondeur de pénétration permet de se rendre compte très rapidement sile métal d'un conducteur est correctement utilisé, connaissant les trois grandeurs ρ, µ et f . A 50 Hz, le cuivrea une peau de 8,5 mm, l'aluminium de 10,5 mm : ce serait un gaspillage de matière d'utiliser une épaisseur debarre ou un diamètre de rond supérieurs à 16 mm en cuivre ou 20 mm en aluminium.

Les pertes réelles par eet Joule sont donc plus élevées, ce qu'on exprime en considérant que la résistanceeective en courant alternatif Ra est plus grande que la résistance vraie en courant continu Rc d'où ces pertessupplémentaires. En pratique, le taux d'eet de peau ou coecient d'augmentation de résistance ou de pertessupplémentaires s'exprime par le rapport : K = Ra/Rc > 1.Eet de peau dans les conducteurs cylindriques

Plusieurs formules empiriques ont été proposées, celle de Levasseur est particulièrement simple et conduit àdes erreurs inférieures à 2 % :

K =

((3

4

)6

+

(S

p δ

)6) 1

6

+ 0, 25

Avec S la section du conducteur, p son périmètre, δ l'épaisseur de peau.Les conducteurs cylindriques de forte section rencontrés en pratique sont des tubes ou des câbles.Dans un câble, la division en brins pour des raisons de souplesse ne modie en rien l'eet de peau, comme

on pourrait le penser par analogie avec le fractionnement en tôles nes des circuits magnétiques en acier. Dansles tôles, les courants de Foucault sont transversaux, mais longitudinaux dans un câble. La division en brinsmultiples d'un câble de forte section pourrait être exploitée pour réduire son coecient K, si les brins étaientrégulièrement permutés, c'est-à-dire enroulés tantôt à la périphérie, tantôt au centre. Mais on utilise rarementdes sections supérieures à 400 mm2 en cuivre ou 500 mm2 en aluminium pour lesquelles le métal est encoreutilisé à 95 %.

Enoncé

1) Étude théorique de l'eet de peau



On considère un conducteur ohmique de conductivité γ, immobile et parallélépipédique. On se place enrégime sinusoïdal, à la pulsation ω, dans l'ARQS. Le courant circule suivant ~ux, mais la densité de courant variea priori avec la profondeur z dans le conducteur (qui est le demi espace z > 0) :

~j = jx (z, t) .~ux = Jm (z) . cos (ω.t− Φ (z)) .~ux

1.a) Rappeler les équations de Maxwell dans le cadre de l'ARQS.1.b) Montrer, grâce aux équations de Maxwell, que jx vérie une équation de diusion.1.c) Pourquoi peut-on utiliser le complexe associé jx (z, t) = Jm (z) .e−j.ω.t pour résoudre l'équation

diérentielle ?1.d) Résoudre la précédente équation et, en exprimant δ′ et φ (z), montrer que :

jx = Jmax.e− zδ′ . cos (ω.t− φ (z))

1.e) Caractériser la densité de courant dans le conducteur, à l'aide des graphes :jx (z, t = 0) (et le comparer au graphique du texte),et jx (z = 0, t), jx (z = δ, t), jx (z = 3.δ, t) sur un même graphique.2) Notion de coque ctive

2.a) Montrer que la notion de coque ctive développée dans le document impose

Pd =1

γ

(|J (0) |√

2

)2

δ

2.b) Comparer δ′ à l'épaisseur de la coque donnée dans le document.2.c) On considère un conducteur de cuivre (γ = 58× 106 S ·m−1). Que vaut δ′ à 50 Hz ? La comparer

à la valeur donnée par le document.3) Interprétation dans le cas d'un conducteur cylindrique :On se place maintenant dans le cas d'un conducteur cylindrique de conductivité γ, de longueur ` et de rayon

a.3.a) Exprimer la résistance en continu Rc.3.b) Dans le cas où δ a, que vaut Ra ? Même question pour δ a.3.c) Comparer les résultats asymptotiques trouvés dans la question précédente à ceux induits par la

formule de Levasseur donnée dans le document.3.d) Proposer une modélisation du rapport K = Ra/Rc déni dans le document.3.e) Quand peut-on négliger l'eet de peau ?3.f) Quelle est la forme de conducteur la plus adaptée aux hautes fréquences ?



Correction

1) Étude théorique de l'eet de peau

1.a) Equations de Maxwell :

Equations de Maxwell ux : div ~B = 0.

Equations de Maxwell Gauss : div ~E = ρε0.

Equations de Maxwell Faraday : ~rot(~E)

= −∂ ~B∂t . Equations de Maxwell Ampère : ~rot(~B)

= µ0.~j.

1.b) Loi d'Ohm locale : ~j = γ. ~E.

Maxwell Faraday : ⇒ ~rot(~rot(~j))

= −γ.∂~rot( ~B)∂t .

Maxwell Ampère : ⇒ ~rot(~rot(~j))

= −γ.µ0.∂~j∂t .

Dans les coordonnées cartésiennes :

~j =

jx00

⇒ ~rot(~j)

=

0∂jx∂z0

⇒ ~rot(~rot(~j))

=

−∂2jx∂z2

00

= −∂2~j

∂z2

Ainsi : − ∂2~j∂z2 = −γ.µ0.

∂~j∂t . qui est bien une équation de diusion.

1.c) La précédente équation diérentielle est : linéaire, sans second membre, irréversible (non inva-riante par retournement du temps).

Complexe associé : jx (z, t) vérie l'équation diérentielle car cette dernière est linéaire.

1.d) Résolution de l'équation : On a donc : γ.µ0.∂(Jm(z).e−j.ω.t)

∂t =∂2(Jm(z).e−j.ω.t)

∂z2 . Ce qui donne :

−j.ω.γ.µ0.Jm (z) .e−j.ω.t = e−j.ω.t.∂2(Jm(z))

∂z2 , soit∂2(Jm(z))

∂z2 + j.ω.γ.µ0.Jm = 0. Résolvons l'équation caracté-ristique : r2 + j.ω.γ.µ0 = 0 dont les solutions sont : r± = ±e−j π4 .√ω.γ.µ0 = ±

√ω.γ.µ0

2 . (1− j).

Ainsi le complexe Jm est de la forme :

Jm (z) = J+.er+.z + J−.e

r−.z = J+.e√

ω.γ.µ02 .z.e−j.

√ω.γ.µ0

2 .z + J−.e−√

ω.γ.µ02 .z.ej.

√ω.γ.µ0

2 .z.

Et le complexe jx est de la forme :

jx (z) = J+.e√

ω.γ.µ02 .z.e

−j.(ω.t+√

ω.γ.µ02 .z

)+ J−.e

−√

ω.γ.µ02 .z.e

−j.(ω.t−√

ω.γ.µ02 .z

).

Enn jx est de la forme :

jx (z) = J+.e√

ω.γ.µ02 .z.cos

(ω.t+

√ω.γ.µ0

2 .z)

+ J−.e−√

ω.γ.µ02 .z.cos

(ω.t−

√ω.γ.µ0

2 .z).

On a bien l'équation demandée avec Jmax = J−, J2 = J+ et :

δ′ =

√2

ω.γ.µ0=√

2ω.µ0.γ

φ (z) =√

ω.γ.µ0

2 .z =√

ω.µ0.γ2 .z = z

δ′

J2 = J+ = 0 en eet, la solution J+.e√

ω.γ.µ02 .z.cos

(ω.t+

√ω.γ.µ0

2 .z)a une amplitude qui diverge (→∞).

elle donc est physiquement inacceptable : jx (z →∞)→ 0.

1.e) jx (z, t = 0) : La courbe est représentée sur la gure ci-dessous :



jx (z = 0, t), jx (z = δ′, t), jx (z = 3.δ′, t) : Les courbes sont représentées sur la gure ci-dessous :

jx (z = 0, t), jx (z = δ′, t), jx (z = 3.δ′, t)2) Notion de coque ctive

2.a) Le document stipule que "sur le plan de l'eet Joule, tout se passe dans le conducteur commesi la totalité du courant véhiculé l'était dans une couche périphérique ou coque, la notion de coque ctivesuppose que la densité moyenne dans la coque est égale à 1/

√2 fois la densité périphérique", aussi,

Pd =1

γ

(|J (0) |√

2

)2

δ

2.b) Or

Pd =1

γ

∫ z=∞

z=0

(|Jm (0) |√

2

)2

dz =|Jm (0) |2

γ

∫ z=∞

z=0

(e−

zδ′)2dz =

|Jm (0) |2

γ

[−δ′

2e−

zδ′

]z=∞z=0

=|Jm (0) |2

γ

δ′

2

Aussi, δ′ = δ .



2.c) Or, dans le document,

δ =1

2π

√10 ρ

µ f=

√10

(2π)2f γ µ0

=

√2× 5

2π ω γ µ0=

√5

2π

√2

ω.µ0.γ

On trouve donc δ = 0, 892 δ′ ≈ δ′ .2.d) Pour un conducteur de cuivre, δ′ = 9, 3 mm > 8, 5 mm = δ très proche de la valeur du document.

3) Interprétation dans le cas d'un conducteur cylindrique :

3.a) La résistance en continu est Rc = πa2

γ ` .

3.b) Dans le cas où δ a, tout le conducteur est parcouru par un courant quasi homogène doncRa ≈ Rc .

3.c) Dans le cas où δ a, seule la périphérie participe à la conduction, sur une épaisseur ≈ δ, doncsur une surface ≈ δ p où p = 2π a est le périmètre. Il sut alors de remplacer la surface de conduction πa2

dans Rc par δ p : Ra ≈ δ pγ ` = δ 2π a

γ ` .

3.d) Dans le cas où δ a, on trouve K = 1 et la formule de Levasseur donne la même chose.Dans le cas où δ a, la formule de Levasseur donne

K =

((3

4

)6

+

(S

p δ

)6) 1

6

+ 0, 25 =

((3

4

)6

+

(π a2

2π a δ

)6) 1

6

+ 0, 25 ≈(π a2

2π a δ

)Or les calculs précédents donnaient

K =γ `

πa2

δ p

γ `=δ 2π a

πa2

c'est-à-dire la même chose.3.e) On peut négliger l'eet de peau si δ′ e, l'épaisseur du conducteur (ou son rayon), c'est à dire

aux basses fréquences.3.f) Comme seule la partie périphérique conduit le courant aux hautes fréquences, un tuyau sut,

ou bien il faut plein de brins de petit diamètre !


Documents

Ondes électromagnétiques dans les milieux Notes de cours