Présentation | 5.1 Extraire une racine sans pelle

5.1 Extraire une racine sans pelle

Lors de Show Math, les nombres sont souvent au centre des expli-cations. Parfois, il faut une certaine habileté pour pouvoir les mani-puler, car ce n’est pas toujours facile. Cette activité fait un lien entre les habiletés opératoires et la géométrie, un peu à la manière des Grecs. Elle montre qu’en changeant de modèle mathématique, on peut simplifier la résolution d’un problème. C’est en utilisant une technique comme celle-ci qu’Andrew Wiles a prouvé le théorème de Fermat.

Intentions de l’activité

• Montrer des modèles de calcul d’une racine carrée

• Montrer les liens entre les aspects numériques et géométriques liés à ce concept

• Apprendre comment estimer une racine carrée sans calculatrice

Forme de la production attendue

• Répondre à des questions

• Émettre des conjectures

• Utiliser des méthodes de calculs inconnues

Concepts utilisés

• Racine carrée

•  Théorème relatif à la hauteur issue du sommet de l’angle droit dans un triangle rectangle

•  Théorème de Pythagore

•  Inéquations

Ressources matérielles

•  Instruments habituels de géométrie

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Préparation

• Réactiver les connaissances portant sur la racine carrée.

• On pourrait ne pas placer la première démonstration dans le texte et demander plutôt aux élèves de la faire.

•  Lire les sections de l’activité qui contiennent les explications sur les différentes méthodes de calcul.

Réalisation

•  Laisser les élèves travailler en petits groupes afin de trouver d’autres méthodes et d’effectuer les calculs.

• S’assurer que les élèves s’aident du dessin d’un carré dans leur réflexion.

•  S’assurer que les élèves complètent correctement le tableau de l’al-gorithme de calcul de la racine.

•  S’il est évident que personne n’avance réellement, faire une inter-vention devant le groupe pour faciliter la compréhension.

• Cette activité d’apprentissage peut servir à développer certains aspects de deux compétences. La deuxième (déployer un raison-nement mathématique) parce que les élèves auront à émettre des conjectures et la troisième (communiquer à l’aide du langage mathématique) parce qu’il y a beaucoup de décodage à faire.

Intégration

• Discuter avec les élèves afin de savoir s’ils comprennent mieux ce qu’est une racine carrée et comment la calculer.

•  S’assurer que les élèves sont capables de faire le lien entre les deux algorithmes de calcul de la racine carrée.

Déroulement

Pistes de différenciation

• Demander aux élèves plus per-formants de trouver une mé-thode de calcul pour la racine cubique. Les pister en leur indi-quant que cette fois ils devront travailler avec un cube.

• Pour les élèves qui éprouvent des difficultés, on peut se li-miter à seulement une partie de l’activité ou utiliser plus de temps.

Cahier de l’élève | 5.1 Extraire une racine sans pelle | 1

5.1 Extraire une racine sans pelle

Tu peux facilement calculer la racine carrée de 4, mais si je te demande la valeur de la racine carrée de 729, pourrais-tu me répondre sans utiliser ta calculatrice ?

Viens apprendre une méthode de calcul de la racine carrée sans calculatrice. Tu verras, la racine carrée, c’est beaucoup plus intuitif qu’on le pense !

Lors de Show Math, l’animateur effectue des calculs sans difficulté. Par contre, les calculs ne se font pas toujours aussi facilement : par méconnaissance d’un concept, on peut avoir de la difficulté à effec-tuer certaines opérations mathématiques.

Vous êtes-vous déjà questionné à propos de la racine carrée d’un nombre ? Avez-vous toujours trouvé facile de manipuler une racine, de la représenter et de l’estimer ?

Comme n’importe quel nombre, la racine carrée d’un nombre peut être représentée géométriquement. Par exemple, on peut représen-ter le nombre 1 à l’aide d’un segment de longueur 1 et le nombre 2 par un segment deux fois plus long que celui de longueur 1.

Voici une méthode qui permet de représenter géométriquement la racine carrée d’un nombre.

On a d’abord construit un segment AB de longueur x+1.

On trace un cercle dont AB est le diamètre.

Au point C, placé sur AB à une distance 1 du point A, on trace une perpendiculaire à AB. La perpendiculaire coupe le cercle en D. Le segment CD ainsi créé a une longueur de √ x.

D

A BC

1 x

√x

Nom : _________________________________________________________

2 | Cahier de l’élève | 5.1 Extraire une racine sans pelle

Montrez que le segment CD a une mesure de √ x. Complètez d’abord le triangle ADB.

Autre méthode

À partir du triangle ci-dessous, représentez successivement √ 3 ,√ 4 ,√ 5 , etc.

1.

2.

D

A BC

1 x

√x

Chacun des triangles a une ca-thète égale à 1.

1

1

Cahier de l’élève | 5.1 Extraire une racine sans pelle | 3

Calculer la valeur d’une racineDe nos jours, il est très simple de calculer la racine carrée d’un nombre avec une calculatrice. Que feriez-vous si votre calculatrice était brisée et que vous deviez connaître la valeur de la racine carrée de 1 024 ?

Voici une méthode utilisée par les Mésopotamiens1 qui vous permettra de résoudre ce problème.

Il est important de remarquer que la racine carrée d’un nombre est la me-sure du côté d’un carré dont l’aire est égale à ce nombre. Ici, √ 1 024 est la longueur du côté du carré dont l’aire est 1 024. Cherchons donc cette longueur.

On vous demande de ne pas utiliser votre calculatrice pour réa-liser cette activité !

Aire = 1 024 √ 1 024

1re étape : Nombre de chiffres de la racine carrée

Trouvons d’abord combien de chiffres aura la racine carrée de 1 024. Pour ce faire, il faut coincer 1 024 entre deux carrés parfaits qui sont des mul-tiples de 10.

1 « Extraction d’une racine carrée dans un carré », HODGSON, B.R., Accromath, Volume 1, Été-Automne 2006, p.16.

100 1La racine carrée d’un nombre entre 1 et 100 a une partie entière de 1 chiffre

102 100La racine carrée d’un nombre entre 100 et 10 000 a une partie entière de 2 chiffres

104 10 000La racine carrée d’un nombre entre 10 000 et 1 000 000 a une partie entière de 3 chiffres

106 1 000 000 Etc.

4 | Cahier de l’élève | 5.1 Extraire une racine sans pelle

Puisque 1 024 est plus grand que 100, mais plus petit que 10 000, on sait que sa racine carrée a une partie entière de 2 chiffres.

2e étape

On commence par chercher le chiffre à la position des dizaines, a, tel que (a0)2 < 1 024.

(a0)2 < 1 024

(10)2 = 100 < 1 024

(20)2 = 400 < 1 024

(30)2 = 900 < 1 024

(40)2 = 16 00 < 1 024

On conclut que a = 3.

On vient de trouver le plus grand carré de la forme « a0 » qui entre dans le carré dont l’aire est 1 024, puisqu’un carré dont le côté est 40 serait trop grand.

√ 1 024

30 900

3.

> >

>

√ 10 000 √ 1 024 √ 100

> √ 1 024100 10

On sait donc que le nombre qu’on cherche est de la forme ab, où a est le chiffre à la position des dizaines et b, le chiffre à la position des unités. Si la racine carrée avait eu trois chiffres, alors elle aurait été de la forme abc.

Combien de chiffres a la racine carrée de 20 164 ?

Cahier de l’élève | 5.1 Extraire une racine sans pelle | 5

3e étape (répéter cette étape jusqu’à ce qu’il n’y ait plus de chiffres à trouver)

Il reste à trouver le chiffre suivant en utilisant l’aire de la zone en blanc.

Comme le carré initial a une aire de 1 024 et que le carré en gris a une aire de 900, on sait que la zone en blanc a une aire de 1 024 - 900 = 124.

√ 1 024

30

b

900 30b

b230b

La zone en blanc est formée d’un petit carré dont l’aire est b2 et de deux rectangles dont l’aire est 30b.

Donc,

124 = b2 + 2 × 30b

124 = b2 + 60b

On cherche la valeur de b.

Si b = 1,

Si b = 2,

On trouve que b = 2.

Comme il ne reste plus de chiffres à trouver, on a terminé. On a trouvé que

√ 1 024 = ab = 32.

12 + 60 × 1 = 61 < 124

22 + 60 × 2 = 124 = 124

6 | Cahier de l’élève | 5.1 Extraire une racine sans pelle

C’est à votre tour !Utilisez la même méthode pour calculer la racine carrée de 55 225. Dessi-nez les carrés qui représentent les étapes du processus.

4.

Cahier de l’élève | 5.1 Extraire une racine sans pelle | 7

10 24 323 × 39

1

Une seconde méthodeIl n’y a pas si longtemps, dans les écoles, on enseignait un algorithme permettant d’extraire la racine carrée d’un nombre. Voici un exemple de cette méthode.

On cherche la racine carrée de 1 024. On construit un tableau comme suit et on place 1 024 dans la case en haut à gauche en regroupant les chiffres du nombre par deux à partir de la droite (729 s’écrirait 7 29).

10 24

On commence par regarder le groupe de gauche, ici c’est 10. Quel est le plus grand carré entrant dans 10 ? Le plus grand carré entrant dans 10 est 9 et sa racine carrée est 3.

1. On inscrit le produit de 3 par 3 et on fait la différence entre 10 et ce résultat.

Cette étape ressemble beaucoup à l’algorith-me de la division.

10 24 323 × 36_ × _

9124 4. On double la valeur du chiffre obtenu à la

ligne précédente et on le met à la position des dizaines.

À cette étape, on cherche quel chiffre peut être placé dans les cases pour que le produit 6_ × _ soit le plus près de 124, sans le dépasser. Il est im-portant que les deux espaces de l’inégalité soient complétés par le même chiffre. On commence par 1, pour continuer avec les autres nombres en ordre.

124 ≥ 61 × 1 = 61

124 ≥ 62 × 2 = 124

On trouve que cette valeur est 2.

10 24 323 × 36_ × _ 62 × 2

9124124 0

3. On abaisse le second groupe de deux du nombre 1024.

2. On inscrit le 3 sur cette ligne.

6. On inscrit le produit de 62 par 2 et on fait la différence entre 124 et 124. Comme la diffé-rence est 0, notre problème est terminé.

5. On inscrit le 2 sur cette ligne à côté du 3.

La racine de 1 024 est 32.

8 | Cahier de l’élève | 5.1 Extraire une racine sans pelle

C’est à votre tour !Utilisez cet algorithme pour calculer la valeur de la racine carrée de 4 489. Laissez les traces de toutes les étapes de votre démarche.

5.

Il existe des liens entre les deux méthodes étudiées pour calculer la racine carrée d’un nombre. Trouvez-les et discutez-en avec vos coéquipiers.

6.

Corrigé | 5.1 Extraire une racine sans pelle | 1

Montrez que le segment CD a une mesure de √ x. On complète d’abord le triangle ADB.

1.

5.1 Extraire une racine sans pelle Corrigé

Le triangle ADB est rectangle parce qu’un angle inscrit dans un demi cercle est un angle droit.

CD est la hauteur.

mCD2 = mAC × mCB = 1 × x = x

car dans un triangle, la hauteur issue du sommet de l’angle droit est moyenne proportionnelle entre les deux segments qu’elle détermine sur l’hypoténuse.

Donc la mCD = √ x

Autre méthode

À partir du triangle ci-dessous, représentez successivement √ 3 ,√ 4 ,√ 5 , etc. Chacun des triangles a une cathète égale à 1.

2.

1

1

1

1

3.

Combien de chiffres a la racine carrée de 20 164 ?

3

(Page 2)

(Page 2)

(Page 4)

2 | Corrigé | 5.1 Extraire une racine sans pelle

C’est à votre tour !Utilisez la même méthode pour calculer la racine carrée de 55 225. Dessi-nez les carrés qui représentent les étapes du processus.

4.

1e étape

La racine carrée a trois chiffres puisque

1 000 000 > 55 225 > 10 000 et 10 000 = 1002 et 1 000 000 = 1 0002.

On sait donc que le nombre qu’on cherche sera de la forme abc, où a est le chiffre à la position des centaines, b est le chiffre à la position des dizaines et c est le chiffre à la position des unités.

2e étape

On cherche d’abord le chiffre à la position des centaines, a, tel que.

On trouve que a = 2.

Dans le carré, on a trouvé le plus grand carré de la forme a00 qui entre dans le carré dont l’aire de 55 225.

> >

>

√ 1 000 000 √ 55 225 √ 10 000

> √ 55 2251000 100

(a00)2 < 55 225

(100)2 = 10 000 <55 225

(200)2 = 40 000 <55 225

(300)2 = 90 000 <55 225

√ 55 225

200 40 000

(Page 6)

3e étape (répéter cette étape jusqu’à ce qu’il n’y ait plus de chiffres à trouver)

Il reste à trouver le chiffre suivant en utilisant l’aire de la zone en blanc.

Comme le carré initial a une aire de 55 225 et que le carré en gris a une aire de 40 000, on sait que la zone en blanc a une aire de 55 225 – 40 000 = 15 225.

La zone en blanc est formée d’un petit carré dont l’aire est b2 et de deux rectangles dont l’aire est 200b.

Donc

√ 55 225

200 40 000

b

200b

b2200b

15 225 = b2 + 2 × 200b

15 225 = b2 + 400b

On cherche la valeur maximale que peut prendre b.

Si b = 1,

Si b = 2,

Si b = 3,

Si b = 4,

On trouve que b = 3.

102 + 400 × 10 = 4100 > 15 225

202 + 400 × 20 = 8 400 > 15 225

302 + 400 × 30 = 12 900 > 15 225

402 + 400 × 40 = 641 600 > 15 225

Corrigé | 5.1 Extraire une racine sans pelle | 3

3e étape (répéter cette étape jusqu’à ce qu’il n’y ait plus de chiffres à trouver)

Il reste à trouver la valeur de la zone hachurée.

Comme la zone en blanc a une aire de 12 900 et que le carré en gris a une aire de 40 000, on sait que la zone hachurée a une aire de 55 225 – 52 900 = 2 325.

√ 55 225

200 40 000

c

9006 00030

6 0

00

La zone hachurée est formée d’un petit carré dont l’aire est c2 et de deux rectangles dont l’aire est 230b.

Donc

2 335 = c2 + 2 × 230b

2 325 = c2 + 460b

On cherche la valeur de c.

Si c=1,

Si c =2,

Si c =3,

Si c =4,

Si c =5,

On trouve que c = 5.

Comme il ne reste plus de chiffres à trouver, on a terminé. On a trouvé que

√ 55 255 = abc = 235

12 + 460 × 1 = 461 < 2 325

22 + 460 × 2 = 924 < 2 325

32 + 460 × 3 = 1389 < 2 325

42 + 460 × 4 = 1856 < 2 325

52 + 460 × 5 = 2 325 = 2 325

4 | Corrigé | 5.1 Extraire une racine sans pelle

C’est à votre tour !Utilisez cet algorithme pour calculer la valeur de la racine carrée de 4489. Laissez les traces de toutes les étapes de votre démarche.

5.

44 89 676 × 612_ × _127 × 7

36 889 889 0Quelle est la plus grande valeur que l’on peut

mettre dans 12_x_ pour obtenir une valeur plus petite ou égale à 889 ?

4. On double la valeur du chiffre obtenu à la ligne précédente et on le met à la position des dizaines.

Le plus grand carré entrant dans 44 est 36.

La racine carrée de 4 489 est 67.

Il existe des liens entre les deux méthodes étudiées pour calculer la racine carrée d’un nombre. Trouvez-les et discutez-en avec vos coéquipiers.

6.

Correspondance avec les méthodes présentées

Méthode avec le carré Méthode enseignée dans les écoles

Éta

pes

de c

alc

ul d

e la r

acin

e d

’un

no

mb

re

Trouver le nombre de chiffres de la racine carrée

Comparer la racine avec des carrés par-faits formés par des puissances de 10.

Séparer les chiffres du nombre en groupes de 2. S’il y a 3 groupes, alors il y a 3 chiffres dans la racine.

Trouver un premier chiffre de la racine carrée

Trouver le plus grand carré entrant dans le carré de côté égal à la racine carrée cherchée.

Trouver le plus grand carré entrant dans le groupe de 2 chiffres de gauche.

Trouver la valeur à combler

Faire la différence entre l’aire du carré original et celle du carré trouvé.

Faire la différence entre le carré origi-nal et le carré trouvé.

Trouver un autre chiffre de la racine carrée

Trouver le nombre qui complète le mieux l’inégalité formée par la valeur restant à combler dans le carré.

Trouver le chiffre qui complète le mieux l’inégalité formée par le reste et le double du chiffre précédem-ment trouvé.

Corrigé | 5.1 Extraire une racine sans pelle | 5

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