6eme symetrie cours - Gest'classeyalajules.free.fr/documents/6eme/symetrie/6eme_symetrie_cours.pdf · Cette activité précise le sens de l’expression superposable après pliage

Cours de Mr JULES v1.4 Classe de Sixième Contrat 6 p.1

LA SYMETRIE AXIALE

"Les schémas du mathématicien, comme ceux du peintre ou du poète, doivent être beaux.

Les idées, comme les couleurs ou les mots, doivent s'assembler de façon harmonieuse. La

beauté est le premier test : il n'y a pas de place durable dans le monde pour les

mathématiques laides". G.H Hardy1

I. Découverte : _____________________________________________________________________ 2

II. Symétrie axiale - introduction : ____________________________________________________ 4

III. Points symétriques. ______________________________________________________________ 6

IV. Propriétes des symétries axiales. ___________________________________________________ 9

V. 4 Propriétés de conservation : ______________________________________________________ 10

VI. Symétrie et quadrillage : construction. _____________________________________________ 14

VII. Axe de symétrie d’une figure : ____________________________________________________ 15

VIII. Médiatrice d'un segment. ______________________________________________________ 16

IX. Équidistance.__________________________________________________________________ 18

X. Lien médiatrice ↔↔↔↔ symétrie axiale. __________________________________________________ 22

XI. Bissectrice d'un angle. __________________________________________________________ 23

XII. Symétrie et triangles ____________________________________________________________ 26

XIII. Symétrie et quadrilatères ______________________________________________________ 28

1 G.H Hardy (1877-1947) : Ce mathématicien anglais, génial calculateur, spécialiste en théorie des nombres, enseigna les mathématiques à Oxford et à Cambridge. On le connaît aussi en tant que généticien (évolution des espèces).

Cours de Mr JULES v1.4 Classe de Sixième Contrat 6 p.2 I. DECOUVERTE : Avant de nous plonger dans les délices de la Symétrie Axiale et de la construction de figures symétriques, il est bon d’en avoir une idée intuitive et claire.

A. Miroir, oh mon beau miroir…

��Souvenez vous, cette célèbre cantatrice dans les aventures de Tintin2 : la Castafiore. Et son méga hit : « Ah ! Je ris de me voir si belle en ce miroir… ». Impérissable !

��Mais que voyait-elle lorsqu’elle se regardait dans un miroir de plein pied ? Ci dessous à droite, voici la scène, vue de face.

1. Activité �� : ��Décalquez la scène.

��Pliez la selon l’axe représentant le miroir.

La Castafiore et son image sont elles superposables ? …..

La Castafiore et son image sont parfaitement superposables après pliage selon l’axe du miroir. On dit alors que : les deux figures sont symétriques par rapport à l’axe représentant le miroir.

2. Activité �� : Voici plusieurs maisons paisibles au bord d’un lac très calme mais aux reflets bizarroïdes. Barrez les reflets fantaisistes (expliquez en dessous pourquoi le reflet ne convient pas).

trop petit Cette activité précise le sens de l’expression superposable après pliage selon l’axe représentant l’eau :

��L’image ne doit pas être tournée dans n’importe quel sens (reflets n° ……………………….. ).

��L’image ne doit pas être déformée (reflets n° ……………………… ).

��L’image ne doit pas être placée n’importe où (reflet n° …… ).

2 Album « Les bijoux de la Castafiore » 1963.

Miroir

� � � �

�

�

�

eau

Cours de Mr JULES v1.4 Classe de Sixième Contrat 6 p.3 3. Activité �� :

��Voici 2 triangles et une droite (D).

Si on plie cette figure le long de l'axe (D), les deux triangles se

superposeront exactement.

Ce sont donc deux figures symétriques par rapport à l’axe (D).

� Complétez :

��Le point ……. est le symétrique du point A par rapport à (D) : quand on plie selon l’axe (D), ces

deux points se superposent exactement.

Le point ….… est le symétrique du point B par rapport à (D).

Le point C’ est le symétrique du point ….. par rapport à (D).

��Quel est le symétrique du point M par rapport à (D) ? ……… Et le symétrique de N ? ………

� Tracez (AA’) et (CC’).

Placez sur la figure le point H, intersection de (D) et (AA’) et K, le point d’intersection de (D) et (CC’).

Observez bien la figure et complétez :

��Les droites (D) et (AA’) sont ……………………………….. c-à-d (D) ….. (AA’).

Les segments [HA] et [HA’] sont de même ……..……………….. c-à-d ……… = ……...

Le point H est le ……………………… de [AA’].

��Les droites (D) et (CC’) sont ……………………………….. c-à-d ……………….

Les segments [KC] et [KC’] sont de ……………..………………. c-à-d …………………..

Le point …… est le ……………………. de [CC’].

��Comment seront (D) et (BB’) ? ……………………………….

(D) coupe perpendiculairement le segment [BB’] pile au ……………………………

� Grâce au �, rajoutez sur la figure les codages manquants :

��entre (D) et (AA’) et entre A, H et A’.

��entre (D) et (CC’) et entre C, K et C’.

(D)

A

B

C

B'

C'

A'

M

N


II. SYMETRIE AXIALE - INTRODUCTION :

A. Sens commun de la symétrie axiale :

Les 3 activités p.2 et 3 nous permettent d’affirmer :

La Symétrie Axiale, c'est ce qui se passe dans un miroir (effet miroir).

Plus précisément :

Deux figures sont symétriques par rapport à une droite lorsqu’elles se superposent parfaitement après pliage selon cette droite.

B. Vocabulaire et notations : Voici deux flêches F1 et F2 superposables après pliage selon la droite (D). Elles sont donc symétriques par rapport à (D).

� La droite (D) prend le nom d'Axe de symétrie.

On parle ici de Symétrie axiale d’axe (D). On emploie aussi les 3 expressions équivalentes :

• Symétrie par rapport à la droite (D). • Symétrie orthogonale d'axe (D) (car on trace des perpendiculaires - voir act � p.3). • Réflexion d’axe (D) (en rapport avec le reflet dans un miroir ou dans l’eau).

Quelque soit le nom utilisé, cette symétrie se note : S(D)

On dit que : • F1 et F2 sont symétriques par rapport à l’axe (D).

• ou bien que F2 est l’image de F1 par la symétrie axiale S(D)

.

• ou bien que F2 est le symétrique de F1 par la symétrie axiale S(D)

.

• ou bien que F2 est le symétrique de F1 par rapport à (D). Dans tous les cas, on note : S

(D) (F1) = F2 ou F1 F2

��Application :

� En vous inspirant du ci dessus, comment note-t-on :

La symétrie axiale d’axe la droite (AB) : ……. La symétrie par rapport à l’axe (JK) : ……

La symétrie orthogonale d’axe (LM) : …….. La réflexion d’axe ∆ : …….

S(D)

F2 F1

(D)

l’axe écrit bien en dessous du S

Cours de Mr JULES v1.4 Classe de Sixième Contrat 6 p.5 En vous insprirant du de la page précedente, comment note-t-on :

M est le symétrique de N par rapport à (AB) S(…….)

(……) = ……..

A’ est l’image de A par la symétrie d’axe (LU) S(…….)

(……) = ……….

N est le symétrique de M par la réflexion d’axe (AB) …… ……

P et P’ sont symétriques par rapport à (MN) …….. ……….

� Traduire en français :

S(AF) ……………………………………………..

S(CV)

( P ) = P’ ………………………………………………………………….

L P ………………………………………………………………… ��Le mot symétrie vient du grec syn : "avec" et metron : "mesure".

On reviendra sur le sens de ce mot dans la suite de la leçon. ��Maintenant que le vocabulaire et les notations sont en place, on va définir « proprement »

(mathématiquement) ce qu’est une symétrie axiale !

Soient donc un point M et une droite (D) donnés :

« Définir la symétrie S(D)

d’axe (D), c’est être capable de donner (construire) sans aucun doute

possible l’image de n’importe quel point M du plan par cette symétrie. »

D’où les définitions des pages suivantes :

S(……)

S(……)

S(KO)


S(D)

III. POINTS SYMETRIQUES. Situation :

Une droite (D) est donnée, et un point M est placé.

A. Définition :

Il s'agit de définir mathématiquement ce qu’est le symétrique du point M par rapport à l’ axe (D). On va y arriver grâce à l’activité � p.3. Il y a 2 cas :

� Cas où M est sur (D) :

Lorsque M est sur l’axe de symétrie, le symétrique de M est lui même !

Cas où M n’est pas sur (D) :

Lorsque M n’est pas sur l’axe de symétrie, le symétrique de M est l’unique point M’ qui vérifie les 2

conditions : � [MM'] ⊥ (D)

� (D) coupe [MM'] en son milieu.

��Figure :

� Sur la figure ci contre, A est sur l’axe (D) de la symétrie :

donc le symétrique de A est ……. ! Le point M est en dehors de (D) :

le symétrique de M par rapport à (D) est le seul point M’ tel que :

� [MM'] ……… (D)

� et (D) coupe [MM’] en son ………….

Repasser en rouge les codages introduits par la symétrie axiale dans ce 2ème cas. ��Remarque :

La symétrie est l'action (la transformation) qui permet de "passer" d'un point à un autre à la façon d’un

miroir. On ne voit donc pas la symétrie.

Ce que l'on voit, c'est le résultat de cette symétrie. C’est l’effet Miroir.

B. Vocabulaire et notations : On dit que :

• M et M’ sont ……………………. par rapport à l’axe (D).

• ou bien que M’ est l’image de M par la symétrie axiale S(D)

. • ou bien que …... est le symétrique de …… par la symétrie axiale ……..

• ou bien que M’ est le symétrique de M par rapport à (D).

Dans tous les cas, on note : S

(……) (M) = M’ ou …… …….

M

M'

(D)

A

� M


C. Construction du symétrique d’un point :

On veut construire le symétrique d’un point A par rapport à une droite (D).

Quand A est sur (D), inutile de réfléchir3 ! Son symétrique par rapport à (D) est …… ! S(D)

(A) = ……

Maintenant voyons le 2ème cas où A ∉ (D). On a deux méthodes de construction.

��Méthode � : Construction avec l'équerre.

Programme de construction. Construction à l’équerre.

� Tracer en pointillé à l’équerre la perpendiculaire à (D) passant par A. Elle coupe (D) en H. Placer H.

Sur la droite (AH) (prolonger (AH) si besoin) :

placer le point A' tel que : HA' = AH (cette longueur peut être reportée avec le compas ou la règle graduée).

A’ est le symétrique de A par rapport à (D)

(D) A �

Traits de construction légers ! N’oubliez pas les codages !

Application : Construire avec l’équerre graduée les symétriques des points A, B, et C par rapport à la droite d. 3 conseils : ��Le symétrique d’un point est toujours « de l’autre côté » de l’axe. ��Pour faciliter la construction, on a toujours intérêt à placer bien verticalement en face de soi l’axe, quitte à tourner un peu la

feuille ! ��Traits légers de construction ! N’oubliez pas les codages

3 Cela ne changera pas beaucoup de d’habitude n’est ce pas ? ……….

d

A

B

C

Cours de Mr JULES v1.4 Classe de Sixième Contrat 6 p.8 ��Méthode � : Construction avec le compas.

Programme de construction. Construction au compas.

� Tracer un arc de cercle de centre A qui va couper

(D) en 2 points M et N.

Placer M et N.

Tracer deux arcs de même rayon qu’en ��, l'un de

centre M, l'autre de centre N.

Ces 2 arcs vont se couper en un deuxième point : A'.

A et A’ sont symétriques par rapport à (D)

Traits de construction légers ! (D) � A

Application : Construire au compas les symétriques des points M, N , et P par rapport à l’axe (D). 3 conseils : ��Le symétrique d’un point est toujours « de l’autre côté » de l’axe. ��Pour faciliter la construction, on a toujours intérêt à placer bien verticalement en face de soi l’axe, quitte à tourner un peu la

feuille ! ��Traits légers de construction ! Remarque :

��La construction par la méthode �� à l’équerre est plus rapide.

��La construction par la méthode �� au compas est plus précise.

Maintenant que nous savons les bases (définitions et constructions) sur les symétries, nous allons voir quelques propriétés des symétries axiales.

D M

P

N


IV. PROPRIETES DES SYMETRIES AXIALES.

A. Transformation par les symétrie axiales des figures de base : ��Tracer en vert les symétriques de chaque figure par rapport à l’axe d :

Traits légers de construction !

d d d Le symétrique d’un segment

est aussi un ……………………

de même ………………….

��Le symétrique d’une

droite est aussi une

……………………

��Cette nouvelle droite

coupe l’axe au même point

SAUF si la première droite est

…………..………... à l’axe.

Le symétrique d’un cercle est

aussi un ………………………

de même ………………….

��Son centre est le

……………….de l’ancien

centre.

��Exercice : Construire en vert au compas les symétriques des 2 segments, de la droite et du cercle par rapport à (d).

O

(d)


V. 4 PROPRIETES DE CONSERVATION :

� Les symétries axiales conservent les Longueurs (donc le milieu) :

��Le symétrique d’un segment est un ……………………. de même ……………

��En conséquence, les symétries axiales conservent aussi le …………… :

Le symétrique du milieu d’un segment est le …………. du segment image.

Figure : Tracer en vert [A’B’], le symétrique du segment [AB] et I’, le symétrique du milieu I. Que remarque-t-on pour I’ ?

I’ est le ………………….. de [……….]

Les symétries axiales conservent le Parallélisme :

Les symétriques de deux droites parallèles sont deux ………… qui sont aussi ……………

Figure : tracer en vert les symétriques des 2 droites parallèles. Vous remarquez que les deux nouvelles droites sont aussi ………………entre elles ! Attention ! Il n’est nul part dit qu’une droite et son image sont parallèles, ce qui est prseque toujours faux ! (vrai seulement dans le cas rare où la première droite était déjà parallèle à l’axe).

Les symétries axiales conservent les Angles (donc la perpendicularité) :

Le symétrique d’un angle est un angle de même ……………

Figure : tracer en vert les symétriques des 2 droites perpendiculaires. Vous remarquez que les deux droites images sont aussi ………………….entre elles ! Attention ! Il n’est nul part dit qu’une droite et son image sont perpendiculaires, ce qui est toujours faux !

codage !

d

A

BI


Les symétries axiales conservent les Aires :

Une figure et sa figure symétrique ont même ……………..

Tracez en rouge le symétrique de la figure ci contre, sans compas ni equerre. Ont-elles même aire ?

� Conséquences des 4 propriétés de conservation : Puisque les symétries axiales conservent les distances, les angles, le parallélisme… alors quelle est l’image

par une symétrie axiale :

��d’un triangle isocèle ? ��d’un triangle équilatéral ? ��d’un parallélogramme ? ��d’un rectangle ? ��d’un carré ?

� Applications des propriétés de conservation :

��Exercice 1 : Tracer les symétriques par rapport à d :

de [Ax) de (D1) et (D2) qui sont parallèles du cercle �( O ; OB )

et de �BOC.

Comment seront les images de D1 et D2 ? …………………….

Comment seront les mesures de �BOC et de son symétrique ? ……………………..

Comment seront les rayons de �( O ; OB )

et de son symétrique ? ………………………..

d

A

x (D1)

(D2)

O

B

C

Cours de Mr JULES v1.4 Classe de Sixième Contrat 6 p.12 ��Exercice 2 : Montrons que dans la situation ci-dessous, il est impossible que les droites (AB) et (A’B’) soient symétriques par rapport à d. Supposons que A et A’ sont symétriques par rapport à d. De même que B et B’. Les deux droites (AB) et (A’B’) se coupent en C qui est en dehors de l’axe de symétrie. Soit E le point d’intersection de (AB) avec l’axe d. Placez E sur la figure. Puisque E est un point de la droite (AB) alors son symétrique doit être un point de la droite (A’B’) qui est l’image de (AB). Donc le symétrique de E doit se trouver à l’intersection de d et de (A’B’). D’après le dessin, le point E devrait donc avoir deux positions, ce qui est impossible ! La supposition que (AB) et (A’B’) symétriques mais se coupant en dehors de d est donc impossible ! Concluons :

Si deux droites qui sont symétriques se coupent, alors ce ne peut être que sur l’axe de symétrie.

Application : Sur cette figure, A et A’ sont symétriques par rapport à d.

Que suffit-il de faire pour obtenir l’image de (AB) ? ��Exercice 3 : Montrer comment on peut utiliser les propriétés de conservation pour terminer la construction du symétrique d’un carré dès que l’on connaît le symétrique de l’un des côtés.

A’

C

d

B A

B’

A’

d

B A

B’

d B

A’

A

C

D

Cours de Mr JULES v1.4 Classe de Sixième Contrat 6 p.13 ��Exercice 4 : Utiliser les points d'intersection avec l'axe. Soient deux points A et A' symétriques par rapport à l'axe d. Le but est de construire le symétrique B' de B, en n'utilisant que la règle non graduée.(c'est à dire que l'on peut seulement tracer des droites). On ne peut donc ni mesurer, ni tracer de perpendiculaires. Les deux constructions des symétriques (à l’équerre, ou au compas) sont ici inopérantes. On va utiliser la propriété des droites symétriques sécantes :

Si deux droites sont symétriques et sont sécantes, alors elles se coupent sur l’axe de symétrie. Dans ce premier exemple, la construction est guidée par le texte qu’il faut compléter pendant que l’on fait la construction.

1. Placer le point M, intersection de (AB) et de d.

M est un point de l’axe de symétrie, donc son symétrique est

……

La droite (AB) passe par les points A et M, donc l’image de (AB)

passe par les symétriques de A et de M qui sont : …… et ……

On trace la symétrique de (AB) qui s’appelle ………

2. Placer le point N, intersection de (BA’) et de d.

N est un point de l’axe de symétrie, donc son symétrique est ……

La droite (BA’) passe par les points A’ et N, donc la symétrique de (BA’) passe par les symétriques de A’

et de N qui sont : ……… et ………

On trace la symétrique de (BA’) qui s’appelle ………

3. Le point B est sur les deux droites …… et …….

Son symétrique B’ est donc sur les symétriques de ces deux droites qui sont : …… et ……

4. Conclusion : B’ est le point d’intersection des droites …… et ……. Application : Sur cette figure, A et A' sont symétriques.

En utilisant la même méthode, tracer le symétrique du triangle ABC (sans utiliser ni équerre ni compas !). (On placera successivement les symétriques de B et de C).

A'

A B

d

A'

C

A B


VI. SYMETRIE ET QUADRILLAGE : CONSTRUCTION. On n’utilisera ici que les cas particuliers où l’axe de symétrie se trouve être dans la diagonale des carreaux du quadrillage. Les autres situations seraient possibles mais apporteraient plus de complications qu’une bonne utilisation du compas ou de l’équerre ! Dans un quadrillage, on trace l’axe de symétrie, qui est donc dans la diagonale des carreaux. On place un point A sur un des nœuds du quadrillage. Pour placer le symétrique A’ de A par rapport à l’axe, on procède ainsi : • On compte le nombre de carreaux qui

nous mènent du point A jusqu’à l’axe en se déplaçant horizontalement (on verra sur l’exemple suivant que l’on peut aussi se déplacer verticalement).

• A partir de là, on se déplace verticalement du même nombre de carreaux, et on place le point A’.

On place un point B sur un des nœuds du quadrillage. Pour placer le symétrique B’ de B par rapport à l’axe, on procède ainsi : • On compte le nombre de carreaux qui

nous mènent du point B jusqu’à l’axe en se déplaçant verticalement.

• A partir de là, on se déplace horizontalement du même nombre de carreaux, et on place le point B’.

Exercice En utilisant le quadrillage, tracer les symétriques des figures par rapport à l’axe oblique.

A

B’

10 carreaux

10 carreaux

A’

B

6 carreaux

6 carreaux


VII. AXE DE SYMETRIE D’UNE FIGURE : Avez vous remarqué que beaucoup d’objets qui nous entourent dans la vie quotidienne (tables, batiments, lampes, etc) ont « une partie gauche et une partie droite » identiques. Ils possèdent en fait 1 ou plusieurs axes de symétrie.

A. Définition :

• Une droite d est un axe de symétrie d’une figure lorsque le symétrique de cette figure par rapport à d est la figure elle même. • Autrement dit lorsque la figure et son image sont confondues. • Autrement dit lorsque les 2 parties de la figure de part et d’autre de l’axe de symétrie sont superposables.

��Exemple :

Cette grosse flèche possède 1 axe de symétrie : la partie « à gauche » de l’axe est superposable exactement par pliage à la partie « à droite de l’axe ». Il n’y a pas d’autre axe.

��Exercice :

� Parmi les 10 chiffres quels sont ceux avec :

• Exactement 1 axe de symétrie :

• Exactement 2 axes de symétrie : � Pour les 7 figures suivantes, tracez en rouge le ou les axes de symétrie puis indiquez leur nombre. � Les 4 figures ci dessous ont elles ou non un (ou plusieurs) axe(s) de symétrie ? Si oui, indiquer leur nombre et le(s) tracer en couleur. Remarque : Lorsqu’une figure a exactement 2 axes de symétrie, alors ces 2 axes sont ……………………..

B. Symétrie et cercles : ��Le cercle a-t-il des axes de symétrie ? ……… Combien ? Une …………….. !

��En fait, toutes les droites portées par les ………………….. du cercle sont

des axes de symétrie.

��Dessinez quelques axes de symétrie de ce cercle.


VIII. MEDIATRICE D'UN SEGMENT. Soient A et B deux points symétriques par rapport à une droite (D).

Le segment [AB] possède 2 axes de symétrie :

��la droite (AB) elle même.

��et la droite (D).

A. Définition :

La médiatrice d’un segment est l’un des deux axes de symétrie du segment : celui qui ne contient pas le segment.

B. Propriétés géométriques de la médiatrice :

1. Propriété directe : En conséquence de la définition que nous avons donnée de deux points symétriques (page 4), on peut énoncer cette première propriété de la médiatrice d'un segment : Propriété �

(1 condition ou hypothèse) (2 résultats ou conclusions)

Quand D est la médiatrice de [AB] alors �� D …….. [AB]� D passe par le …………. de [AB]

Autrement dit : Lorsqu’ une droite (D) est la médiatrice d'un segment, alors elle est perpendiculaire à ce segment et le coupe en son milieu. Utilité : cette propriété sert à prouver directement :

�� soit qu’une droite est p…………………… à une autre.

�� soit qu’une droite passe par le ……………….. d’un segment.

2. Réciproque : Comment reconnaître une médiatrice. La réciproque de la propriété � est vraie aussi :

Réciproque de la propriété �

(2 conditions ou hypothèses) (1 résultat ou conclusion)

Quand ��

�� D ⊥ [AB]

� D passe par le milieu de [AB] alors D est la …………………….de [AB]

Autrement dit : Lorsque une droite (D) coupe un segment perpendiculairement et en son milieu, alors c'est la médiatrice de ce segment. Utilité : Cette réciproque sert à prouver qu’une droite est la ………………… d’un segment.

Cette réciproque nous permet aussi de construire à l’équerre la médiatrice d’un segment dans ce qui suit.

A

B

(D)


C. Construction de la médiatrice d'un segment à l'équerre.

Programme de construction de la médiatrice. Construction à l’équerre.

Le segment [AB] est donné. Il s'agit de construire sa médiatrice (D). � Placer H, le…………………… de [AB]. � Tracer, en H la ……………………….. à [AB].

(D) ainsi construite est la médiatrice de [AB].

Traits de construction légers ! A B

Codage !

D. Exercices. � (d) est elle la médiatrice du segment [AB] ? Si non, dire pourquoi et tracer en rouge la médiatrice.

� Tracer deux cercles de même rayon qui se coupent en M et en N. Tracer le segment qui joint les centres A et B de ces deux cercles. Tracer la droite (MN). Que semble représenter la droite (MN) pour le segment

[AB] ? ………………………………………………………

Que semble représenter la droite (AB) pour le segment

[MN] ? ………………………………………………………

� ��Tracer un segment [AB] puis sa médiatrice (d). Quel est le symétrique de A par rapport à (d)? ……. Quel est le symétrique de B par rapport à (d)? ……. ��Placer un point K sur (d) et n'appartenant pas à [AB]. Quel est le symétrique de K par rapport à (d) ? ……. Que peut-on dire des longueurs KA et KB ? Que peut-on dire du triangle BAK ?

(d) (d) (d)

B

B

B A

A

A


IX. ÉQUIDISTANCE. ��Soit M un point de (MC) qui est la médiatrice du segment [AB]. Donc D est son propre symétrique par rapport à (DC). Par définition de la médiatrice, A et B sont symétriques par rapport à (MC). ��Donc [MA] et [MB] sont deux segments symétriques par rapport à (MC). Par pliage le long de (MC) ils vont se superposer, ils ont donc la même longueur c-à-d MA = MB. ��En résumé, lorsque M est sur la médiatrice, alors MA = MC. De cette constatation, on peut en déduire une nouvelle propriété de la médiatrice d'un segment.

A. Propriétés métriques de la médiatrice : Propriété métrique de la médiatrice :

(1 condition ou hypothèse) (1 résultat ou conclusion)

Quand

M est sur la médiatrice d’un segment [AB] alors MA = MB

Autrement dit : Lorsque un point est situé sur la médiatrice d'un segment, alors il est situé à la même distance des deux extrémités de ce segment. Utilité : cette propriété sert à prouver une égalité de …………………..

Étudions le problème réciproque :

Soit M un point situé à égale distance de A et de B.

Plaçons I le milieu de [AB]. Traçons (MI).

Les deux triangles AMI et BMI ont trois côtés deux à deux de même longueur.

Ils sont donc superposables par pliage le long de (MI).

Donc (MI) est l'axe de symétrie du segment [AB].

(MI) est donc la médiatrice de [AB].

D'où l'énoncé de la réciproque de la propriété métrique de la médiatrice :

Réciproque de la propriété métrique de la médiatrice

(1 condition ou hypothèse) (1 résultat ou conclusion)

Quand

MA = MB alors M est sur la médiatrice du

segment [AB]

Autrement dit : Lorsque. un point est équidistant4 des extrémités d'un segment, alors c’est un point de la médiatrice de ce segment. Utilité : cette propriété sert à prouver qu’un point est sur une …………………..

4équidistants : de equi : "égal". Equidistants veut dire: situés à égale distance.

I B

M

A

A B

M

C


Remarque : Rechercher l’ensemble des points qui sont équidistants de 2 points fixes, revient à tracer la ………………………….. du segment reliant ces 2 points.

B. Construction de la médiatrice au compas :

C'est la construction la plus précise et la plus fréquemment utilisée. Elle découle de la réciproque de la propriété métrique.

Programme de construction de la médiatrice. Construction au compas.

Le segment [AB] est donné. Il s'agit de construire la médiatrice de [AB]. � Tracer un cercle de centre A et de rayon au moins

la moitié de AB.

� Tracer le cercle de centre B et de même rayon !

� Ces deux cercles se coupent en 2 points qui seront

équidistants de A et B.

En reliant ces deux points, on a tracé la

……………………………… de [AB].

Traits de construction légers ! A B

Placer le codage ! ��En pratique on se contentera de faire 4 petits arcs de cercle au lieu des 2 grands cercles. Pour conclure : La construction de la médiatrice à l’équerre est plus rapide. La construction au compas est plus précise. ��Exercice : Sur la figure ci dessous : 1. Uniquement avec un compas, repérer (et marquer en rouge) les points qui sont sur la médiatrice de

[AB] (donc équidistants de A et B). 2. Repérer (et marquer en bleu) les points qui sont sur la médiatrice de [CD] (donc équidistants de C et D). 3. Uniquement avec une règle non graduée (sans compas ni équerre !), et en utilisant les résultats

précédents, tracer la médiatrice de [AB] et la médiatrice de [CD]. 4. Quels noms peut-on donner à ces deux droites? 5. En utilisant les points de la figure, tracer et citer trois triangles isocèles ayant [AB] pour côté.


C. Le partage du plan : La pétanque :

Deux équipes jouent à la pétanque.

Les boules ont des motifs différents pour qu’on les reconnaisse.

Équipe A : Équipe B :

Le cochonnet (le petit, le bout, selon les régions) : Pour déterminer l’équipe qui marque le point lorsque deux boules sont en jeu, il est d’usage d’utiliser un

mètre pour mesure la distance séparant chacune des deux boules du but.

C’est la boule la plus proche du but qui marque le point.

Néanmoins, il est fréquent de voir le bouliste se placer derrière les boules et d’un coup d’œil habile

déterminer quelle est la boule qui marque le point.

Que fait-il dans sa tête ?

Il se place (son œil) de manière à pouvoir visualiser mentalement la médiatrice formée par les deux boules

en concurrence, ainsi que le montre le schéma suivant :

Le but se trouvant du côté de la médiatrice où se trouve aussi la boule de l’équipe B, c’est cette boule qui

en est la plus proche, et qui marque le point.

Quand plusieurs boules sont en jeu, il suffit de se déplacer de manière à répéter l’opération mentale jusqu’à

ce que chaque cas soit réglé.

Distance pour B Distance pour A

Médiatrice imaginaire de ce segment

Segment imaginaire formé par les deux boules


Exercice : Déterminer les résultats pour chacune de ces situations :

Qui l’emporte ? Qui l’emporte ?

Qui l’emporte ? Qui l’emporte ? et avec combien de points ?

Qui l’emporte ? et avec combien de points ? Qui l’emporte ? et avec combien de points ?


X. LIEN MEDIATRICE ↔↔↔↔ SYMETRIE AXIALE. De par la définition de la médiatrice, un lien profond unit Points symétriques et Médiatrice.

Passage Symétrie axiale → Médiatrice

(1 condition ou hypothèse) (1 résultats ou conclusion)

Quand

A et B sont symétriques par rapport à (D) alors (D) la ……………………. du

segment [AB]

Utilité : cette propriété sert de passage Symétrie axiale → ………………

Réciproquement :

Passage Médiatrice → Symétrie axiale

(1 condition ou hypothèse) (1 résultats ou conclusion)

Quand

(D) la ……………………. du segment [AB] alors

A et B sont ……………….. par

rapport à ………

Utilité : cette réciproque sert de passage Médiatrice → ………………

��Conséquence :

Puisque la propriété métrique et sa réciproque sont vraies, on dit que la propriété métrique caractérise la médiatrice. En gros, dés que vous pensez médiatrice, il faut penser symétrie axiale et inversement. ��Exercices :

Récapitulons ce que l’on sait sur la symétrie axiale sous forme de tableau :

Transformation « Sens commun » Elément caractéristique Objet géométrique associé figure

Symétrie ………….. « Effet ………….

ou Réflexion » …….. de symétrie

La

….………………

d’un segment

M

M' d


C

MA

B

XI. BISSECTRICE D'UN ANGLE.

A. Définition :

La bissectrice est l’axe de symétrie d’un secteur angulaire.

Par abus de langage, on dit que : « la bissectrice d'un angle est l’ ……… de symétrie de cet angle. »

B. Propriétés angulaires de la bissectrice : Daprés la propriété de conservation des angles de la symétrie axiale, on peut donc affirmer en regardant la figure au dessus :

1. Propriété angulaire directe : Propriété angulaire de la bissectrice :


Quand (BM) est la bissectrice

de l’angle �ABC alors �

………. = �

……… = �

………2

Autrement dit : Lorsque une droite est la ………………………… d’un angle alors elle partage cet angle en 2 angles de même

……………………...

Utilité : Cette propriété sert à prouver une égalité de …………………..

Exercice :

Sur la figure ci contre, on sait que �AMB = 56°.

��D’après le ……………..…………, la droite (MP) est la

……………………….. de �

……….

��Calcul de �PMB et �PMA :

Puisque (PM) est …………………………………………………

alors ……… = ………… = ………… = ……….

2. Réciproque : comment prouver qu’une droite est la bissectrice : La réciproque de la propriété angulaire directe au dessus est vraie aussi :

Réciproque de la propriété angulaire de la bissectrice :


Quand �BMP = �PMA alors (BM) est …………………..….

de l’angle �

……….

Autrement dit : Lorsque 2 angles adjacents sont de même mesure, la droite portée par le côté commun aux 2 angles est la

bissectrice de l’angle formé par les 2 angles adjacents.

Utilité : Cette réciproque sert à prouver qu’une droite est la ………………..……….. d’un …………..

A

M

B P


��Conséquence :

Puisque la propriété angulaire directe et sa réciproque sont vraies, on dit que la propriété angulaire

caractérise la bissectrice. En gros, dés que vous pensez bissectrice, il faut penser égalité d’angles et

inversement.

C. Construction de la bissectrice d’un angle :

Soit un angle�xAy . On souhaite tracer sa bissectrice. On a deux méthodes.

1. Méthode �� : avec le rapporteur. C'est la construction la plus évidente, celle qui utilise directement la définition.

Programme de construction de la bissectrice. Construction au rapporteur.

� Mesurer l'angle �xAy : �xAy = …….

� Placer un point M tel que �xAM = �xAy

2 = ……

� Tracer (AM). (AM) est la bissectrice de …….

Les 2 demi droites [Ax) et [Ay) sont

…………………….. par rapport à la bissectrice [AM).

Codage !

2. Méthode : avec le compas. C'est une construction qui utilise une propriété du losange (qui sera vue plus tard).

Programme de construction de la bissectrice. Construction au compas.

� Tracer un arc de centre A qui coupe [Ax) en M et

[Ay) en N.

� Tracer deux arcs, de même rayon, l'un de centre M,

l'autre de centre N. Ils se coupent en I.

� Tracer [AI). (AI) est la bissectrice de �xAy .

Les 2 demi droites [Ax) et [Ay) sont

………………….. par rapport à la bissectrice ……….

Traits de construction légers ! Codage !

Remarque :

Comme d’habitude :

��La construction au rapporteur est plus rapide.

��La construction au compas est plus ……………………..

x A

y

x

A

y


D. Exercices : Exercice 1

��Construire un angle �xOy de 60°.

��Avec le compas et la règle, construire la

bissectrice (d) de l'angle �xOy . ��Avec le rapporteur, vérifier que (d) partage

bien �xOy en deux angles de 30°.

figure

Exercice 2

��Construire la bissectrice (d) de l'angle �xOy et la

bissectrice (d') de �yOz .

��Mesurer l'angle formé par les droites (d) et (d') :

��Calculer la moyenne des deux nombres 44 et 108. Conclure.

Exercice 3

Sur le dessin ci-dessous (la figure est volontairement fausse) on sait que :

�BED = 84 ° et �AEC = 38° La droite (EB) est la bissectrice de l'angle �AEC.

1. Reportez sur ce dessin les 3 informations données dans l’énoncé

2. Calculez les angles �CEB et �AEB en complétant la phrase :

Puisque (EB) est la ………………………… de �AEC, alors �CEB = �……. = ……….. =….

Reportez ces 2 mesures que vous venez de calculer sur la figure.

3. Refaire ci dessous la figure en tenant compte des données reportées.

4. Calculer les mesures de �CED et �AED. Exercice 4 : les 3 bissectrices d’un triangle : Construire au compas les trois bissectrices de ce triangle. Que semble-t-on constater ?

x

y

z

O

44° 108°

E

A

B

C

D


(D)

XII. SYMETRIE ET TRIANGLES

A. Symétrie et Triangle isocèle : Soit une droite (D), un point H sur (D), et un point A qui n'est pas sur (D). Plaçons le point B, symétrique de A par rapport à (D).

Rajoutez le codage manquant. La droite (D) est ainsi l'axe de symétrie de ce triangle. Que représente (D) pour [AB] ? …………………………………..

B. Définition :

Un triangle qui a 1 axe de symétrie s'appelle un triangle isocèle.

��Vocabulaire :

Dans ce triangle isocèle, H est appelé le sommet principal. [AB] s'appelle la base (c'est le côté qui n'est pas égal aux deux autres). On dit que BHA est isocèle en H ou bien que BHA est isocèle de base [BA].

C. Propriétés : Grâce aux propriétés de conservation de la symétrie, le triangle isocèle possède certaines propriétés. En utilisant les notations de la figure du haut :

� Le triangle isocèle a deux côtés égaux ………. = ………..

Le triangle isocèle a deux angles "à la base" de même mesure : �HAB = ………….

(D) est à la fois la bissectrice de �AHB et la médiatrice de [AB].

(D) coupe donc [AB] per………………………………… et en son …………………….

D. Reconnaître un triangle isocèle : On peut donner deux propriétés qui permettent de reconnaître un triangle isocèle :

��Si un triangle a deux côtés de même ……………………...., alors il est …………………..

��Si un triangle a deux angles de même …………………….., alors il est …………….

E. Symétrie et triangle équilatéral : Parmi les triangles isocèles, il y en a qui ont en plus la particularité d'avoir la base de même longueur que les deux autres côtés. Ils ont alors 3 axes de symétrie.

Définition : Un triangle qui a trois axes de symétrie s'appelle un triangle équilatéral.

Un triangle équilatéral est en fait un triangle isocèle « partout » ! Dessinez un triangle équilatéral ABC de 3 cm de côté. Tracez ses 3 axes de symétrie.


F. Exercices : ��Exercice 1 : Tracer 2 triangles isocèles différents dont les côtés mesurent 5 cm et 7 cm . ��Exercice 2 : Construire le triangle ABC, isocèle en B sachant que AB = 4 cm et AC = 3 cm ��Exercice 3 :

Construire le triangle LIN isocèle tels que LI = LN = 5 cm et �LIN = 65°. ��Exercice 4 : Une autre construction du triangle isocèle : Soit à construire le triangle ABC, isocèle en C, tel que AB = 8 cm et AC = 7 cm. • Tracer [AB] de 8 cm. • Placer son milieu I. • En I, tracer la perpendiculaire à (AB). On l’appelle (d). • Tracer un arc de cercle de centre A, de rayon 7 cm. Il coupe (d) en C. En utilisant une construction de ce type, construire le triangle isocèle MNP, de sommet principal N tel que MP = 5 cm et MN = 6 cm.


XIII. SYMETRIE ET QUADRILATERES Pour chaque quadrilatère particulier, tracez son ou ses axes de symétrie en couleur et en pointillé. Placer tous les codages possibles.

Le Trapèze isocèle (2 côtés de même longueur)

Un axe de symétrie : la médiatrice commune au deux côtés parallèles.

Nb d’axes de symétrie = …………

Parallélogramme Pas d'axe de symétrie ! C'est une erreur assez courante de penser aux diagonales mais si on imagine le pliage le long de l'une de ces diagonales, les sommets ne se superposent pas !

Nb d’axes de symétrie = …………..

Le Losange

Deux axes de symétrie : les deux diagonales. Les 2 diagonales sont : � perpendiculaires. � et se coupent en leur milieu.


Le Rectangle

Deux axes de symétrie : les 2 médiatrices des côtés opposés. Les 2 médiatrices des côtés opposés sont : � perpendiculaires. � et se coupent en leur milieu. Comme pour le parallélogramme, les diagonales ne sont pas axe de symétrie !


Le Carré

Comme un carré est un losange rectangle, il regroupe les axes de symétrie du losange et du rectangle. Il en a donc 4 axes de symétrie :

��les 2 diagonales : � perpendiculaires entre elles. � et se coupant en leur milieu.

��les 2 médiatrices des côtés opposés : � perpendiculaires entre elles. � et se coupant en leur milieu.

Nb d’axes de symétrie : …………..

Attention ! Les diagonales du parallélogramme et du rectangle ne sont pas des axes de symétrie pour ces 2 quadrilatères.

Documents

6eme symetrie cours - Gest'classeyalajules.free.fr/documents/6eme/symetrie/6eme_symetrie_cours.pdf · Cette activité précise le sens de l’expression superposable après pliage