Laboratoire dEtude et Commande Automatique de Processus (LECAP)
Mmoire de Mastre Prsent par Ahmed RHIF Pour lobtention du Diplme de
Mastre En Automatique et Traitement de Signal Commande dune
approche mode glissant multimodle Soutenance le 30 Octobre 2008
Jury compos de : Prsident : Mr. Dhaou Soudani Examinateur: Mr. Ben
Hadj Braiek Naceur Examinateur: Mme. Kardous Zohra 37 --'-' 1002
-,- B.P.37 le Belvdre 1002 Tunis Tunisie Fax : 216 71872729 :
'-'Tl. :216 71874700 : --'+'Anne universitaire 2007 - 2008Rf :
Mastre/ATS Universit de Tunis El Manar Email : [email protected] :
--'` -,-'2 Rapport de MmoireMastre ATS Avant Avant Avant Avant- --
-propos propos propos propos Le travail prsent dans ce mmoire a t
ralis au sein du L LL Laboratoire dE EE Etude et de C CC Commande A
AA Automatique de P PP Processus (LECAP) de lEcole Polytechnique de
Tunisie dirig par Monsieur le Professeur Naceur BENHADJ BRAIEK.
Naceur BENHADJ BRAIEK. Naceur BENHADJ BRAIEK. Naceur BENHADJ
BRAIEK. Je tiens en tout premier lieu tmoigner ma plus profonde
gratitude Monsieur
leDhaouSOUDANI,MatredeConfrenceslEcoleNationaledingnieursde Tunis,
pour lhonneur quil ma fait en acceptant de prsider mon jury de
mastre.
JevoudraisaussiexprimertoutemareconnaissanceMonsieurleprofesseur
Naceur BENHADJ BRAIEK Naceur BENHADJ BRAIEK Naceur BENHADJ BRAIEK
Naceur BENHADJ BRAIEK Directeur du LECAP pour mavoir accueilli et
donn lopportunit de prparer ce mastre sous sa direction au sein de
son quipe ainsi que pour son suivipermanent de ce travail.
JetiensremerciervivementMadameZohraKARDOUS ZohraKARDOUS
ZohraKARDOUS ZohraKARDOUS,MatreAssistante
lEcoleNationaledIngnieursdeTunis,pourlencadrementquellemaassur,
ainsiquepourlesoutienetlaidequellemagnreusementgratifistoutau long
de ce travail et des travaux antrieurs.
Jenoubliepasnonplusdeprsentermesrespectueuxsentimentsmafamille qui
ma beaucoup soutenu au cours de toutes ces preuves.
Jevoudraisgalementremercieretsaluertousmescollguesetamisquinont
cess de maider et contribuer de prs ou de loin llaboration de ce
travail. 3 Rapport de MmoireMastre ATS Sommaire Introduction
gnrale......1 Chapitre 1 Sur la commande par Mode Glissant
Introduction.....3 1Dfinitions.....3 2 Condition dexistence du mode
glissant....4 3Diffrentes structures de la thorie du contrle par
mode de glissement.......5 3.1 Structure par commutation au niveau
de l'organe de commande............5 3.2 Structure par commutation
au niveau d'une contre raction d'tat..........6
3.3Structureparcommutationauniveaudel'organedecommande,avecajoutdela
commande quivalente....6 4Synthse dune commande par mode
glissant....7 5Application du mode glissant......9 5.1 Exemple 1 :
Moteur lectrique........10 5.2 Exemple 2 : Robot Mobile..........11
6Phnomne de broutement .....13 Conclusion14 Chapitre 2 Sur la
commande multimodle Introduction..16 1Modlisation multimodle..17
Mthodes directes ou modles locaux....191.2Mthodes indirectes ou
modles gnriques.......21 2Structure des commandes
multimodles.........22 2.1 Commutation....23 2.2 Fusion...24
3Formulations des validits....24 3.1 Classification des
validits..25 3.2Calcul des validits..30 Conclusion32 4 Rapport de
MmoireMastre ATS Chapitre 3Commande par mode glissant multimodle :
Application des processus physiquesIntroduction...33 1Formulation
de lapproche par mode glissant multimodle............33
2Application un moteur lectrique.........35 Modlisation du
systme.............35 2.2 Implantation du systme sur
MATLAB........38 3Application un modle physique :
SOUS-MARIN........41 3.1Modle dynamique..42 3.2 Rponse du mobile un
chelon......42 3.3 Rponse du mobile un PID.....44 3.4 Lapplication
du Mode Glissant........46 3.5 Commande par Mode Glissant
Multimodle........49 Conclusion ...52 Conclusion gnrale..54
Bibliographie.....56 Annexe..60 5 Rapport de MmoireMastre ATS Liste
des figures Figure 1.1 Mode de glissement.......4Figure 1.2
Structure de rgulation par commutation au niveau de l'organe de
commande5 Figure 1.3 Structure de rgulation par commutation au
niveau de la contre raction d'tat..6Figure 1.4 Structure de
rgulation par ajout de la commande quivalente..7Figure 1.5
Evolution du mode glissant..8 Figure 1.6 schma bloc du systme
MCC10Figure 1.7 Rponse du systme avec Commande par PID11 Figure 1.8
Rponse du systme avec une commande parMode glissant11 Figure 1.9
Robot mobile12 Figure 1.10 La trajectoire parcourue par le mobile
suite lapplication dun PID...13 Figure 1.11 La trajectoire
parcourue par le mobile suite lapplication du mode glissant...13
Figure 1.12 Evolution du mode Glissant.14Figure 1.13 Phnomne de
chattering.14 Figure 2.1 Structure dun systme multimodle.18 Figure
2.2 Structure dune commande multimodle.22 Figure 2.3 Principe de
commutation23 Figure 2.4 Principe de la Fusion..24 Figure 2.5
Gnration des validits par lapproche floue..26 Figure 2.6 Distance
gomtrique 1...27 Figure 2.7 Distance gomtrique 2...28 Figure 3.1
Structure de la boucle dasservissement avec la commande mode
glissant multimodle35 Figure 3.2 Schma dun moteur courant continu36
Figure 3.3 Schma Bloc dun Moteur courant continu...37 Figure 3.4
Schma bloc MCC Simple..39 Figure 3.5 Rponse du systme en boucle
ouverte.39 Figure 3.6 Rponse du systme command par PID..40
Figure3.7 Rponses du systme command par mode glissant et mode
glissant multimodle..40 Figure 3.8 Schma reprsentatif dun
sous-marin.41 6 Rapport de MmoireMastre ATS Figure 3.9 Systme en
boucle ferme...43 Figure 3.10 Rponse du systme en rgime libre suite
une excitation chelon.43 Figure 3.11 Lerreur du systme en rgime
libre suite une excitation chelon44 Figure 3.12 Implantation dun
PID sur MATLAB Simulink45 Figure 3.13 Rponse du systme muni dun
PID45 Figure 3.14 Commande du systme muni dun PID..46 Figure 3.15
Implantation du Mode Glissant sur MATLAB Simulink.46 Figure 3.16
Structure du systme en boucle ferme : subsystem247 Figure 3.17
Rponse du systme suite lapplication du mode glissant..48 Figure
3.18 La commande du systme suite lapplication du mode glissant48
Figure 3.19 Limplantation de la mthode compose sur MATLAB
Simulink...49 Figure 3.20 Calcul des validits en ligne.50 Figure
3.21 Rponses du systme avec validits non renforces...50 Figure 3.22
Rponses du systme avec validit renforce type1...51 Figure 3.23
Rponses du systme avec validit renforce type2...51 Figure 3.24
Erreur du systme suite lapplication de la mthode compose52 7
Rapport de MmoireMastre ATS Introduction gnrale
Lesautomaticienssetrouventtoujoursconfrontsdesproblmesdecommandede
plus en plus complexes vu la complexit des modles reprsentant les
systmes non linaires. En gnral, la synthse de commande des systmes
repose sur plusieurs approches diffrentes.
Lesmthodeslesplusfrquentessontlutilisationdescommandesclassiques(Exemplesles
PIDetlesrgulateursRST),ainsiquelapplicationdesdiffrentesapprochescomme
lapproche par mode glissant et lapproche multimodle. La commande
par mode glissant a largement prouv son efficacit travers les tudes
thoriques rapportes, ces principaux domaines dapplication sont la
robotique [OUIGUININI
etal,03],[DEFOORT,06],[SALGADOetal,03],[VADIM,02],[CREUZE,03],etles
moteurs lectriques [EKER, 05], [SELLAMI et al, 02].Lavantage que
procure une telle commande et qui la rend aussi importante est sa
robustesse
visvisdesperturbationsetdesincertitudesdumodle.Cependant,cesperformancessont
obtenues au prix de certains inconvnients. En effet, pour assurer
laconvergence du systmevers ltat dsir, un niveau assez lev de
commande est souvent sollicit.
Dautrepart,lapartiediscontinuedelacommandeengendreengnralunphnomnede
broutement (chattering) qui peut tre nfaste sur les actionneurs.
Parmi les solutions proposes ces problmes on peut citer la commande
par mode glissant bande limite [OUIGUINI et al, 03], [EKER, 05].
Cette solution consiste remplacer la partie discontinue de la
commande par mode glissant par une fonction de saturation. La
commande floue peut aussi apporter une solution grce sa robustesse.
Danscesens,lapprochemultimodlereprsenteunealternativeintressante.Cette
dernireconstitueunoutilpuissantpourlidentification,lacommandeetlanalysedes
systmes complexes. 8 Rapport de MmoireMastre ATS Le principe de la
reprsentation multimodle offre la possibilit de concevoir des
commandes
nonlinairespartirdescommandeslinairesassocieschaquemodle.Lacommande
globalepeutalorsentredduiteparunefusionbienapproprieselonlapprocheadopte.
Cest ce niveau quapparaissent les diffrences entre les approches
multimodles existantes [KARDOUS, 04]. Dans ces travaux de
recherches, nous allons essayer de combiner lapproche par mode
glissantetlapprochemultimodle,pourtrouverunesolutionauphnomnedebroutement
qui apparat dans le cas dappliquer uniquement une commande par mode
glissant. Pour cela, notre ide est dexploiter la fusion multimodle
pour minimiser la discontinuit au niveau de la commande par mode
glissant do la minimisation du phnomne de broutement.
Dansunautresens,cettecombinaisonatexploitedanscertainstravauxantrieurs.En
effet, dans [Poznyak et al, 03] la commutation laide de la surface
de glissement a remplace la commutation multimodle pour la commande
de systme linaire paramtre variants. Les tapes labores pour rpondre
notre sujet sont prsentes dans trois chapitres : Le premier
chapitre sintresse la prsentation de lapproche par modeglissant
tout en voquant ses domaines dapplication, sa condition dexistence
et la dmarche de synthse dune commande utilisant cette approche. La
dernire partie de ce chapitre est consacre un exemple
dapplication.Le deuxime chapitre aborde lapplication de lapproche
multimodle. Il expose ainsi les diffrentes structures multimodles
et les diffrentes mthodes de synthse de commande multimodle. La
deuxime partie de ce chapitre est consacre la prsentation de
diffrentes mthodes de calcul des validits.
Letroisimeetdernierchapitreprsentelacombinaisonentrelesdeuxapproches
: mode glissant et multimodle. Ce chapitre dbute par la formulation
de lapproche par mode
glissantmultimodle.Ensuite,vientlillustrationdelapportdecetteapprochetraversson
applicationsurdeuxexemplesphysiques,savoirunmoteurlectriqueetunmobilesous-marin.9
Rapport de MmoireMastre ATS Chapitre 1 Sur la commande par Mode
Glissant Introduction
Cechapitreestddiltudedelapprocheparmodeglissant.Audbutnousallons
commencer par prsenter des gnralits sur le mode glissant, les
conditions de son existence.
Ensuitenousallonsdtaillerladmarchedesynthsedunecommandeparmodeglissantet
indiquer son domaine dapplication. Enfin, nous mettrons le point
sur les problmes majeurs induits par les commandes par mode
glissant. 2DfinitionsVue que lapproche par mode glissant prsente un
vocabulaire particulier, nous commenons
parexposerquelquesdfinitionsutilestraitesdans[Arzelieretal,00].Lesdfinitions
concernent : la fonction de commutation, lhyperplan de commutation,
le rgime glissant et la surface de glissement Dfinition 1 :
fonction de commutation La structure de commande est caractrise par
le signe dune fonction vectorielle S(x) appele
fonctiondecommutation.Danslecasdemodleslinaires,lafonctiondecommutationest
choisie comme une fonction linaire de ltat: mxn TmTmR c c c CCx x s
x s x s x S == =] ... [)] ( )... ( ) ( [ ) (2 12 1(1.1) avec icest
un vecteur ligne Chaque fonction scalaire de commutation js (x)
dcrit une surface linaire js (x)=0. Dfinition 2 : hyperplan de
commutation 10 Rapport de MmoireMastre ATS La surface de
commutation est associeau systme decommande structure variable
dfini prcdemment : } { m j x s R x Sjnj,....., 1 , 0 ) ( : = =
=(1.2) Dfinition 3 : rgime glissant Si, pour tout vecteur dtat
initial x (0t ) S, la trajectoire dtat reste dans lhypersurface S,
x(t) St> 0talors x(t) est un rgime glissant pour le systme.
Dfinition 4 : surface de glissement Si tout point de S est dfinit
tel quil existe des trajectoires dtat hors de S, alors le contenant
de la surface de commutation S est appel surface de glissement. 2
Condition dexistence du mode glissant
Lemodedeglissementexistelorsquelescommutationsontlieudunefaoncontinueentre
lesdeuxgrandeursumaxetumin[KECHICH,07].Pourunsystmedesecondordreavecles
grandeursdtatx1 setx2 scephnomneestdmontrlaidedelaFigure1.1o max
xS,min xS ,umaxet
uminreprsententrespectivementlessurfacesdeglissementetlescommandes
maximale et minimale du systme. Figure 1.1 Mode de glissement11
Rapport de MmoireMastre ATS
Pourassurerunebonnecommutation,onchoisitunecommandedetyperelais,A u
= ,on obtient le rsultat souhait pour A suffisamment grand [KSOURI,
99]. 3Diffrentes structures de la thorie du contrle par mode de
glissement Dans les systmes structure variable utilisant la
commande par mode de glissement, on peut
trouvertroisconjurationsdebasepourlasynthsedesdiffrentescommandes[ETIENNE,
04]. La premire correspond la structure la plus simple ou la
commutation a lieu au niveau de l'organe de commande lui mme. La
deuxime structure fait intervenir la commutation au
niveaud'unecontreractiond'tat.Etenfin,ladernirestructureestunestructurepar
commutation au niveau de l'organe de commande avec ajout de la
"commande quivalente". 3.1 Structure par commutation au niveau de
l'organe de commande Le schma d'une structure par commutation au
niveau de l'organe de commande est donn par la figure 1.2. Cette
structure de commande est la plus classique et la plus utilise.
Figure 1.2 Structure de rgulation par commutation au niveau de
l'organe de commande
Cettergulation,quicorrespondaufonctionnementtoutouriendesinterrupteursde
puissance,estappliqueengnralpourlesvariateursdevitesse.Elleatutilisepourla
commande des moteurs pas pas. 12 Rapport de MmoireMastre ATS 3.2
Structure par commutation au niveau d'une contre raction d'tat Le
principe dune telle commande est illustr dans la figure
1.3.K1etK2reprsententlesgainsdecommutation,Uilacommandedusystmepourchaque
gain et Si la surface de commutation, i= 1, 2.
D'aprslestudesmenesprcdemmentdans[ETIENNE,04],c'estlastructurelamoins
exigeanteauniveaudelasollicitationdelacommande.Elleatmiseenuvredansla
commandedemoteurscourantcontinuetaimantspermanents,ainsiquedansla
commandedesmachinesinduction.Cettestructures'appuiesurlacommandeparcontre
raction d'tat classique. Puisque la non linarit provient de la
commutation entre les gains, donc on cre une commutation au niveau
de la dynamique du systme. Figure 1.3 Structure de rgulation par
commutation au niveau de la contre raction d'tat 3.3 Structure par
commutation au niveau de l'organe de commande, avec ajout de la
commande quivalente Une telle structure dont le principe est montr
sur la figure 1.4, prsente un rel avantage. Elle permet de
repositionner l'tat futur du systme grce la commande quivalente Ueq
qui n'est rien d'autre que la valeur dsire du systme en rgime
permanent. L'organe de commande est beaucoup moins sollicit, mais
on est plus dpendant des variations paramtriques du fait de
l'expression de cette commande quivalente. 13 Rapport de
MmoireMastre ATS Figure 1.4 Structure de rgulation par ajout de la
commande quivalente
Lajoutdelacommandequivalentepermetderepositionnerlesystmedansuntatdsir,
permanentetstable.Ilnerestealorsquedejouerensuitesurletermedecommutationpour
assurer la convergence vers cet tat et pour y rester. 4Synthse dune
commande par mode glissant
Danscettepartie,nousallonsdtaillerlestapesdelarsolutiondunproblmeparmode
glissant et prsenter les quations mathmatiques ncessaires.
Considrons un systme non linaire : x) h(t, g(x)uf(x).+ + = x(1.3) x
reprsente la variable dtat, f(x) et g(x) deux fonctions non
linaires de ltat et h(t,x) une fonction reprsentant la
perturbation. La perturbation est borne par une fonction scalaire
connue : ) , ( ) , ( x t x t h (1.4) Pour avoir une commande par
mode glissant, il faut dterminer une surface s = s(x, t) = 0 et
synthtiseruneloidecommandediscontinuedemanirecontraindrelestrajectoiresdu
systme atteindre. Cette surface et rester par la suite, figure 1.5.
14 Rapport de MmoireMastre ATS Figure 1.5 Evolution du mode
glissant La loi de commande se dcompose en deux parties : 1 0u u u
+ = (1.5) 0ula commande nominale 1ula commande discontinue
permettant de rejeter les perturbations La commande quivalente de
1u(noteequ1), caractrisant la dynamique du systme en mode glissant,
doit satisfaire la condition suivante : h u x geq =1) ( (1.6)
Commande nominale La commande nominale 0u (x) est construite de
manire ce que le systme non perturb soit globalement
asymptotiquement stable (Annexe). Le systme boucl nominal scrit : 0
0 0.) ( ) ( u x g x f x + =(1.7) 0xest la trajectoire du systme
muni de la commande 0u La commande discontinue15 Rapport de
MmoireMastre ATS Lacommandediscontinue 1u
estdfiniepourassurerlemodeglissantlelongdelasurface glissante via
la fonction discontinue suivante : ) M(x)sign(s -1 = u(1.8) M(x)
fonction linaire. Ainsi, la dynamique du systme en mode glissant
est ) ( ) ( ) (0.x u x g x f x + =(1.9) Elle est exactement la mme
que pour le systme nominal [Defoort, 06]. Construction de la
variable glissante La variable glissante s se compose de deux
parties :z s s + =0 (1.10) 0s: est une combinaison linaire de ltat
z : induit lappellation intgrale et fournit un degr de libert
supplmentaire dans la construction de la surface de glissement. Z
est calcul de telle sorte que 1urejette la perturbation h ds
linstant initial. 0 )) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( (.1 00.0. .= + + + += +
= z x t h u x g x u x g x fxsz s s (1.11) Pour tre sur la surface
glissante ) 0 ( 0 = t s , on doit satisfaire : )) ( ) ( ) ( (00.x u
x g x fxsz + = (1.12) )) 0 ( ( ) 0 (0x s z =(1.13) 5Application du
mode glissant
Lacommandeparmodeglissant[OUIGUINIetal,03]alargementprouvsonefficacit
traverslestudesthoriquesrapportes.Sesprincipauxdomainesdapplicationsontla
robotique[OUIGUINIetal,03],[Defoort,06],[SALGADOetal,02],[VADIM,02]etles
moteurs lectriques [EKER, 05], [SELLAMI et al,
02].Danslasuitenousallonsconsidrerdeuxexemplesillustratifspourcomparerleffetdela
commande par mode glissant celui de la commande par PID. 5.1Exemple
1 : Moteur lectrique 16 Rapport de MmoireMastre ATS
Considronslecasdunmoteurlectrique,figure1.6,dfiniparlafonctiondetransfert
suivante : ) 1 )( 1 () (Ts s Tks Gd+ +(1.14) K reprsente le gain du
systme, T la constante du temps, Td la constante du temps dsire et
s oprateur de Laplace [EKER, 05]. Figure 1.6 schma bloc du systme
MCC Les rsultats de simulation (fig 1.7 et fig 1.8) confirment que
la commande par mode glissant
estbeaucoupplusperformantequecelleparPID.Onpeutremarquerquelarponsedu
systme suite une commande par mode glissant est plus rapide et plus
stable que sa rponse
suiteunecommandeparPID.Cettedernireprsenteundpassementavantdatteindrele
rgime permanent. 17 Rapport de MmoireMastre ATS Figure 1.7 Rponse
du systme avec Commande par PID Figure 1.8 Rponse du systme avec
une commande parMode glissant 5.2Exemple 2 : Robot mobile Dans cet
exemple nous allons prsenter un robot mobile en cas de poursuite
dune trajectoire donne. Soit le systme suivant (fig 1.9) : 18
Rapport de MmoireMastre ATS Figure 1.9 Robot mobile Ce systme est
dcrit par les quations suivantes : + = = = = = =) (2sin ) (2sincos
) (2cos. . .. . .. . .LR c cc LRc c cc LRc ccbrrv yrv x (1.15) avec
: r, rayon des roues b, distance entre chaque roue et laxe de
symtrie RetL , position angulaire de chaque roue. c, angle
dinclinaison. Les rsultats de poursuite obtenus sont reprsents par
les figures (1.7 et 1.8) [OUIGUINI et al, 03]. 19 Rapport de
MmoireMastre ATS Figure 1.10 La trajectoire parcourue par le mobile
suite lapplication dun PID Figure 1.11 La trajectoire parcourue par
le mobile suite lapplication du mode glissant 6Phnomne de
broutementVuequelemodeglissant(fig1.12)ncessiteunefrquencedecommutationassezgrande,
cette approche est souvent qualifie didale [Arzelier et al, 00]. 20
Rapport de MmoireMastre ATS De ce fait, pour tout systme de
commande qui comprend des imperfections telles que retard,
hystrsis, qui imposent une frquence de commutation finie, la
trajectoire dtat oscille alors
dansunvoisinagedelasurfacedeglissement.Unphnomneappelchatteringou
broutement apparat (fig 1.13). Figure 1.12 Evolution du mode
GlissantFigure 1.13 Phnomne de chattering ConclusionLapplication du
mode glissant a prouv son efficacit pour la synthse dune commande
qui
assurelebonfonctionnementdusystme.Nanmoins,lemodeglissantprsentedes
avantages et des inconvnients.
Dunepart,lemodeglissantestpeusensibleauxperturbationscequioffredescommandes
robustes. Dautre part, il peut dans certains cas diminuer lordre du
systme ce qui rduit la complexit de la synthse de la commande et
ltude de la stabilit. En revanche, lapplication de lapproche par
mode glissant induit lapparition du phnomne de broutement sous
forme des oscillations au niveau de la sortie du systme. Ce
phnomne, a fait lobjet de plusieurs tudes et recherches. Pour
pouvoir liminer ou diminuer son effet, les chercheurs ont propos
plusieurs solutions. On peut en citer la commande par mode glissant
bande limite qui consiste remplacer la fonction de commutation dans
la commande par une
fonctiondesaturationetlacommandeparmodeglissantflouquiconsisteremplacerla
partie discontinue de la commande par une commande floue conue
partir du plan de phase de lerreur et de sa drive [OUIGUINI et al,
03]. 21 Rapport de MmoireMastre ATS La discontinuit au niveau de la
commande est lorigine de problme de broutement. De ce fait, ont
doit trouver une approche qui peut transformer cette discontinuit
en une commande
lisse.Danscecas,lapprochemultimodlepeutintervenirparsonprincipedefusionde
commandes partielles. 22 Rapport de MmoireMastre ATS Chapitre 2
Lapproche multimodle Introduction
Lapprochemultimodlereprsenteunealternativeintressanteetunoutilpuissantdans
lidentification,lacommandeetlanalysedessystmescomplexes.Lacommande
multimodlelaquellenousallonsnousintresserreposesurleprincipedefusionde
commandes
partielles.Lidedelapprochemultimodleestdapprhenderlecomportementnonlinairedun
systmeparunensembledemodleslinairescaractrisantlefonctionnementdusystme
dansdiffrenteszonesdefonctionnement.Dautrepart,lapprochemultimodlepeuttre
utilisepourlasynthsedesrgulateurs[PIGUET,97].Lamotivationdecetteapproche
dcoule du fait quil est souvent difficile de concevoir un modle qui
tient compte de toute la complexit du systme
tudi.Audbut,certainschercheursontessaydereprsenterdessystmesnonlinairespardes
modles linaires par morceaux.Il en rsulte uneapproximation
discontinue du systme due aux commutations entre les diffrents
modles linaires [Rodrigues, 05], [AKHENAK, 04]. Ces dernires
peuvent tre gnantes dans la majorit des applications
industrielles.Pour remdier ce problme, il est prfrable dassurer un
passage progressif dun modle
unautre.Onsubstituelesfonctionsdecommutationpardespentesdouces,cequicreun
chevauchement entre les zones de validit des modles. Dans ce cas,
les fonctions de commutation deviennent des fonctions drives
continues dont la pente dtermine la vitesse de passage dun modle un
autre [ZOUARI, 07], [KARDOUS, 04]. 23 Rapport de MmoireMastre ATS
Danscechapitre,nousallonsprsenterlapprochemultimodle.Demanireavoirle
ncessairepourpouvoirimplanterunecommandemultimodlesavoirlamodlisation,les
structures de commande et la dfinition des validits. 4Modlisation
multimodle
Selonlinformationdisponiblesurlesystmetudi,troisdiffrentesmthodespeuventtre
utilisespourlobtentiondunebasemultimodle.Silonnedisposequedesmesuresdes
entres et des sorties du systme, on procde par identification en
cherchant ou en imposant la structure du multimodle. Si, en
revanche, on dispose dun modle non linaire explicite que
lonsouhaite"simplifier"ourendreplusmanipulableonpourraprocderpartransformation
polytopique convexe ou par linarisation autour de diffrents points
de fonctionnement (dans
cecas,ilsagitdesmodleslocauxaffinesdulaprsencedelaconstanteprovenantdela
linarisation) [KARDOUS, 04], [AKHENAK, 04].
Considrantunsystmestatiquenonlinaire(2.1),pourlequelnouscherchonsdterminer
une reprsentation multimodle permettant de dcrire son comportement.
y (t) = F (x (t))(2.1)
SupposonsquondisposedunensembledeNmodleslocauxfi(x(t)),i=1,,N.Lesquels
dcriventlecomportementdusystmedansdiffrenteszonesdefonctionnement.Ces
modlespeuventtreconstruitsparexemplepartirdesconnaissancesphysiquessurle
fonctionnement du systme dans ces
zones.Lexpressiongnraledunestructuremultimodle[KARDOUS,04],[ZOUARI,07],
[AKHENAK, 04] : )) ( ( )) ( ( ) (1t x f t x v t yNii i m ==(2.2)
Pourlessystmescomplexes,lesapprochesmultimodlesproposentdesschmasayantune
structure gnrale bien dtermine (fig 2.1) [KARDOUS, 04]. 24 Rapport
de MmoireMastre ATS
Lastructuresecomposeengnraldunebibliothquedemodles,dunmcanismede
dcision et dun superviseur. La bibliothque secompose de modlesMi, i
= 1,,n , qui peuvent tre de mme ordre ou dordre plus faible que le
modle non linaire, de mme structure ou de structures diffrentes.
Chaque modle, reprsente le systme dans des circonstances bien
dtermines. De ce fait, on fait appel au mcanisme de dcision l o on
aura le calcule des validit pour chaque modle. Enfin, le
superviseur pour rle de fusionner ces informations et choisir la
stratgie adquate (commutation ou fusion). Figure 2.1 Structure dun
systme multimodle
Chaquemodlenepeuttrevalidequedansunmodedefonctionnementparticulierdu
systme.Parconsquent,danslecasidal,lesmodlessontcomplmentaires;c'est--dire
que chaque modle nereprsente quune zoneparticulire de lespace
defonctionnement du systme considr [ZOUARI, 07]. 1.1Mthodes
directes ou modles locaux
Un modle local est un modle qui dcrit les caractristiques du
processus au voisinage dun
pointdefonctionnement.Sileprocessusestdcritparunmodlecomplexeinexploitable,il
estenvisageablededfinirunensembledemodleslocauxparlinarisationdumodle
Bibliothque de modlesMcanisme de dcisionSuperviseur y n i
......Uyiyn Sortie du modle global Processus my25 Rapport de
MmoireMastre ATS
complexeauvoisinagedecertainspointsdefonctionnement.Siaucunmodlenest
disponible, alors on procde par identification en considrant chaque
fois un sous ensemble
dedonnescorrespondantunpointdefonctionnementparticulier[KARDOUS,04].
Cependant, le modle reste confront la dtermination de lespace de
fonctionnement et sa
compositionenzonesdefonctionnement.Mais,cesmthodesnepeuventrien,face
laugmentation du nombre de modles locaux lorsque le processus
prsente plusieurs rgimes
defonctionnement[ZOUARI,07].Aussi,silonajouteuneautrelimitationquipeutse
prsenter lors dune insuffisance de donnes pour pouvoir dterminer
les modles locaux, on
estamenlutilisationdunemthodeindirecteappeleaussimthodegnriquequi
ncessite moins dinformations sur le systme tudi. 1.1.1 Recherche
des modles locaux par linarisation Dans ce cas, on dispose de la
forme analytique du modle non linaire du processus physique
quonlinariseautourdediffrentspointsdefonctionnementjudicieusementchoisis
[AKHENAK, 04]. Considrons le systme non linaire suivant : ==) ( ),
( ( ) () ( ), ( ( ) (.t u t x G t yt u t x F t x(2.3)
oFetGsontdesfonctionsnonlinairescontinues,x(t)estlevecteurdtatetu(t)estle
vecteur dentre. Le systme (2.3) peut tre dfini par une
reprsentation multimodle faisant
intervenirunnombredemodleslinairelocaux.Cesdernierssontobtenusparla
linarisation du modle non linaire autour de diffrents points de
fonctionnement. On considre N points de fonctionnement) , (i iy x;
i=1,,N. Un modle iMpeut dfinir une approximation de la fonction non
linaire par un plan tangent aupoint) , (i iy
x;cequicorrespondaupremiertermededveloppementdeTaylordu systme
(2.3) [AKHENAK, 04].Ainsi la formulation multimodle du systme non
linaire est comme suit : 26 Rapport de MmoireMastre ATS + + =+ +
===) ) ( ) ( ))( ( ( ) () ) ( ) ( ))( ( ( ) (11.i iNim i i mi iNim
i imF t u D t x C t x v t yE t u B t x A t x v t x(2.4) 1.1.2
Recherche des modles locaux par identification
Lidentificationdunsystmeentempsrelounonestunetapeessentielledenimporte
quelleconceptiondesystmedecommandeoudediagnostic.Lidentificationdessystmes
linairesattudiedepuisdetrsnombreusesannes.Cependant,dansbeaucoupde
situationspratiques,lhypothsedelinaritnepeutpastrevrifieetsavreinapproprie
en raison de lexistence dlments non linaires et/ou variants dans le
temps.Cesderniresannes,ledveloppementdenouvellesmthodologiesdecommandedansle
domainedelintelligenceartificiellecommelesrseauxdeneuronesetlathoriedela
logique floue, ont fourni des outils alternatifs pour aborder le
problme de lidentification des
systmesnonlinaires.Enparticulier,depuislintroductiondelanotiondelogiquefloue,
beaucoup de chercheurs ont montr lintrt de cette thorie pour
lidentification des systmes reprsents par des multimodles.
Enreprsentantunsystmenonlinairesousformemultimodle,leproblmede
lidentification de systmes non linaires est rduit lidentification
des sous-systmes dfinis
pardesmodleslocauxlinaires.Lesmthodesdestimationbasessurlesmoindrescarrs
sont alors utilises pour identifier les paramtres du multimodle
(modles locaux) et ceux des
fonctionsdactivation.Cependant,cettemthodeexigelaconnaissancedesdonnesentres-sorties
du systme non linaire autour de diffrents points de fonctionnement
afin de pouvoir caractriser les modles locaux [AKHENAK, 04],
[KARDOUS, 04]. 1.2Mthodes indirectes ou modles gnriques
Ilsagitdunemthodeindirectequipermetdedterminerdesmodlesextrmesnon
localiss en se basant sur lapproche algbrique de Kharitonov
[KARDOUS, 04], donc elle ne prsente ni des points de fonctionnement
ni des domaines de validit prdtermins. Ainsi la squence de
commutation entre les diffrents modles est inconnue, ce qui amne
construire
unmcanismededcisionpermettantdestimerlesvaliditsdesmodlesenligneavec
27 Rapport de MmoireMastre ATS
lvolutionduprocessus[ZOUARI,07].Considronslecasdeprocessustempscontinu,
dont lvolution est dcrite par une quation diffrentielle de la forme
: ) 1 (1) 1 (1 0) ( ) 1 (1) 1 (1 0(.) ... (.) (.) (.) ... (.) (.)+
+ + = + + + +nnn nnu u u y y y y (2.5)
Lesymbole(.)reprsentelensembledesvariables,desincertitudes,desbruitsoudes
perturbations affectant les coefficients du processus. Les
paramtres iet i , i = 1,,n-1 sont supposs dfinis seulement par
leurs intervalles de localisation : [ ] , (.)i i et [ ]i i i , (.)
, i=0,1,,n-1 (2.6) avec) ( maxiii = et ) ( miniii =(2.7)
Lamthodeconsisteconsidrerlesquatremodlesextrmesdfinisparlesfonctionsde
transfert suivantes [Kharitonov,78]. ......) (33221 03322101+ + +
++ + + +=s s ss s ss F (2.8) ......) (33221 03322 1 02+ + + ++ + +
+=s s ss s ss F (2.9) ......) (33221033221 03+ + + ++ + + +=s s ss
s ss F (2.10) ......) (3322 1 03322 104+ + + ++ + + +=s s ss s ss F
(2.11) 2Structure des commandes multimodles 28 Rapport de
MmoireMastre ATS
Ladoptionduneapprochemultimodlepourlamodlisationdesprocessusmne
naturellement la conception de commandes multimodles. La commande
globale est dduite partir des commandespartielles iui=1,,n
relatives respectivement au modle Mi tout en tenant compte des degr
de pertinence de ces derniers [KARDOUS et al, 04]. Ceci se traduit
parlesconsidrationsdecoefficientdepondrationsappelesvalidits.Silondisposedu
vecteurdevaliditvidechaquemodledelabase,selonlexpressiondesvaliditsdeux
techniques sontenvisageables savoir la commutation ou la fusion.
Figure 2.2 Structure dune commande multimodle 2.1 Commutation
Lastratgiedecommandeparcommutationconsisteconcevoirpourchaquemodledela
bibliothque une commande ui. La commande globale sera gale chaque
instant lune des
commandesenparticulierlacommandedumodlequireprsentemieuxlesystme
[KARDOUS, 04]. Dans ce cas, les validits sont de type binaire. La
validit du modle correspondant vaut 1 et les autres sont nulles.
u(t)= ui(t) , vi (t) = 1 (2.12) CommandesModlesM MSuperviseur
ProcessusMcanisme de dcisionnu u ...1 nu u ...1 u y n i ...iy29
Rapport de MmoireMastre ATS Figure 2.3 Principe de commutation
Cette mthode est facile manipuler puisqu elle utilise des commandes
simples linaires. Par
contre,elleprsenteaussiquelquesdfaillances.Lemodleglobalestreprsentchaque
instant par un modle local qui ne peut en aucun cas tre identique
au systme.
Deplus,lacommutationimpliqueunediscontinuitquiagitngativementsurlastabilitdu
systme. 2.2Fusion
Contrairementlacommutation,leprincipedelafusionreposesurlaparticipationdes
diffrents modles locaux la reprsentation du systme donnant une
commande globale lisse gale la somme des commandes partielles
chacune pondre par la validit correspondante [KARDOUS et al,
07].
u(t) = ) ( ) (1t u tiNii =(2.13) Modle M1Modle M2Modle
MnU(t)Un(t)U2(t)U1(t)30 Rapport de MmoireMastre ATS Figure 2.4
Principe de la Fusion 3Formulations des validits
Lorsquunsystmecomplexeestdcritparunensembledemodles,ilestindispensablede
pouvoirquantifierledegrdefiabilitdechaquemodlepoursavoirdansquellemesureil
faudra lutiliser pour dcrire le systme [ZOUARI, 07], [KARDOUS, 04].
Ce but est atteint si on peut valuer pour chaque modle un indice de
qualit, appel validit,
quipeutvarieraucoursdutempsenfonctiondeplusieursparamtres.Lavaliditvidun
modleMiestcompriseentre0et1.Sielleestgale1,alorslemodleMidcrit
parfaitement le processus linstant considr. Si au contraire elle
prend la valeur 0, alors le modle Mi est absolument faux.
Cesvaleursextrmescorrespondentaucasdecommutationquiconsisteutiliserchaque
instantunseulmodleetngligerparconsquenttouslesautres.Saufque,cesvaleurs
extrmes sont rarement atteintes. En effet, aucun modle ne peut tre
pratiquement idal pour reprsenter parfaitement le processus.
Partant du principe quun modle idal ait une validit gale 1, une
proprit fondamentale en dcoule naturellement ; il sagit de la somme
convexe des validits : ==Niiivv11] 1 , 0 [ i= 1.N(2.14)
U1(t)U(t)V1(t)V2(t)Vn(t)+U2(t)Un(t)Modle M1Modle M2Modle Mn31
Rapport de MmoireMastre ATS 3.1Classification des validits
Plusieursmthodesdestimationdesvalidits,onttdjprsentesdanslalittrature
[ZOUARI, 07], [AKHENAK, 04] et [KARDOUS, 04]. Ces mthodes sont
classes suivant les mthodes dobtention des modles qui sont lies aux
connaissances disponibles sur le procd savoir
:lesvaliditsaprioripouvanttredtermineshorsligneenfonctiondes
informations disponibles a priori, et les validits a posteriori
devant tre estimes en ligne en fonction des mesures effectues a
posteriori. 3.1.1Approche floue
Lalogiqueflouepeuttreconsidrecommeunemthodedecalculdesvaliditsvides
diffrents modles de la bibliothque.La structure interne dun systme
flou est donne par la figure 2.5. Figure 2.5 Gnration des validits
par lapproche floue r, est le vecteur dtat (c'est--dire reprsentant
une information sur le rsidu du systme). ri, est un sous ensemble
dcrit par sa fonction dappartenance sur lunivers de discours.
Fuzzification(FZ):transformelesvaleursnumriquesdesentresrietrenune
partie floue. Les fonctions dappartenance peuvent tre du type
triangulaire.
Infrence(INF):produitlimagedelapartiefloueissuedelafuzzificationparune
relationfloueconstruitepartirdesrgles.Eneffet,cettagedinfrencepermetde
gnrerlesvaliditsvienappliquantlesrglesdinfrencesquidcriventlinfrence
du modle choisi et les modles Mi de la bibliothque de modle. 32
Rapport de MmoireMastre ATS Dfuzzification (DEF) : transforme la
partie floue issue de linfrence en une valeur
numriquedesortie.Doladterminationdesvaleursnumriquesdesvaliditspar
exploitation de la mthode du centre de gravit. 3.1.2Approche
probabiliste
Cetteapprocheconsistetrouverlameilleurehypothsepossible[KARDOUS,04],
[ZOUARI, 07], tant donn des observations et des connaissances
statiques. Il faut dfinir les probabilits a priori de ralisation de
chaque modle lmentaire, assimil
unehypothse,etlesdensitsdeprobabilitsliantlenvironnementauxmodles.Ces
dernires vont reprsenter les validits recherches. Par exemple, une
fonction peut tre approxime par lexpression suivante comme suit :
==Nij jt j p t f t f1) / ( ) ( ) ( (2.16)
op(j/t)estlaprobabilitposteriorideralisationdujimemodlequipeuttrecalculde
diffrentesmanires.Parexemple,enutilisantlaloidebayes,laprobabilitp(j/t)scrit
comme suit : ==Niijt i t pt j t pt j p1) ( ) / () ( ) / () / (
(2.17) Avec :
p(t/j)estlafonctiondedensitdeprobabilitpourlentreu,tantdonnquelemodle
dindice j est le plus appropri. wj(t) sont des fonctions de
pondration. 3.1.3 Approche gomtrique
Cetteapprocheconsistemesurerladistancedientreltatactuelduprocessusetceluidu
modleconsidr[ZOUARI,07],[KARDOUS,04].Cettedistanceestreprsenteparla
figure 2.6. Le systme tant caractris par le point M et les modles
Mi par les points Mi,i = 1,..,N. 33 Rapport de MmoireMastre ATS
Figure 2.6 Distance gomtrique 1 Le domaine de validit peut tre
considr comme un hypervolume dcrit par la figure 2.7. Figure 2.7
Distance gomtrique 2 On peut sattendre ce que la validit dun modle,
sil est convenablement choisi, saccrot
lorsqueltatduprocessusserapprochedudomainedevaliditdecemodle,cest--dire
lorsque la distance entre le systme et son modle dcrot.
Ladistanceeuclidienneentrelessortiesdumodleetlasortiedusystmeestdfiniedonc,
par : 2 / 112) ( min min ||
\| = == MkkD yjD yiy y y y dj j (2.15) 34 Rapport de
MmoireMastre ATS 3.1.4Approche par rsidu Toutes les approches dj
voques dans [KARDOUS, 04] permettent de calculer les validits
horsligneensebasantsurlesconnaissancesaprioridusystmeetdesesmodles.Encas
dabsence dinformations a priori, ces mthodes deviennent
inapplicables. Pour ce problme,
lapprocheparrsidusconstituelemeilleurrecourspuisquellenencessitequela
connaissance des rponses du systme et des modles pouvant tre
dtermin en ligne. Cette mthode est base sur lutilisation des rsidus
qui reprsentent lerreur entre les valeurs
rellesetlesvaleursestimesparlesmodlesdecertainesvariablesdusystme.Elleest
exploitepourladtectionetlalocalisationdesdfaillances.Danslapprochemultimodle,
cette mthodeest utilise pour lestimation des validits des modles de
la base.Les rsidus sont gnrs partir des sorties des modles Mi ,
i=1,,N et du processus et ils sont exploits pour dduire les
validits des diffrents modles de la base. 3.1.4.1 Rsidu simple Le
rsidu classique utilis dans lapproche multimodle est exprim par
lcart entre la sortie du processus et les sorties des diffrents
modles Mi : ) ( ) ( ) ( k y k y k ri i =i= 1,,N (2.18) avecy(k) est
la sortie du processus linstant k. yi(k) est la sortie du modle Mi
linstant k.
Uneautreexpressiondersidusimpleestutilisedans[KARDOUS,04],enparticulier
lorsqueltatdusystmeestaccessible,lcartentrelentredusystmeetlesentresdes
diffrents modles de la bibliothque. ) ( ) ( ) ( k x k x k ri i = ;
i= 1,,N(2.20) avec: x(k) est la sortie du processus linstant k.
xi(k) est la sortie du modle Mi linstant k. Maintenant, nous allons
prsenter le principe de rsidu normalis.35 Rapport de MmoireMastre
ATS Cette technique, malgr sa simplicit de mise en oeuvre, possde
des inconvnients. En effet des perturbations sur les validits
peuvent apparatre. Ces perturbations sont dues linfluence des
modles dfectueux sur ceux proches du modle original [ZOUARI, 07] et
[KARDOUS, 04]. Ltape de normalisation : (2.23) 3.1.4.2 Rsidu sur un
horizon
Lorsquelesrsidusdpendentseulementdelitrationk,lesvaliditspeuventtrenon
significatives. Car mme si un modle soit loin du comportement du
processus, il peut quand
mmereprsenterlesystmeconvenablementauniveaudunpoint.Parconsquence,tenir
compte de rsidu dans certaines itrations, peut nous conduire des
fausses dcision en ce qui concerne le modle reprsentatif du systme.
Acetgard,ilestrecommandabledeprendreencomptelhistoriqueducomportementdes
modles de la base. Ceci nous ramne lutilisation dun autre type de
rsidu sur un horizon [KARDOUS, 04]; Il est considr comme
laccumulation des chantillons durant L itrations, avec L la largeur
de lhorizon. Pour lcart dtat, les rsidus sont donns par lexpression
suivante : |||
\| =L LiLiidl dl l k x l k xdl l k x l k xk r1 11) ( ) () ( ) ()
( ; i =1,, N(2.21) et lorsquon considre lerreur de la sortie,
lexpression devient |||
\| =L LiLiidl dl l k y l k ydl l k y l k yk r1 11) ( ) () ( ) ()
( ;i = 1,, N (2.22)
Danslesdeuxcas,lesrsidusobtenussontnormalissetlhorizondobservationdoittre
optimis de manire assurer les bonnes performances
souhaites.==Niiiink rk rk r1) () () (36 Rapport de MmoireMastre ATS
3.3Calcul des validits
Lavaliditdesmodlesvariedunefaoncontraireauxrsidusetpeuttredfiniecomme
suit: ) ( 1 ) ( k r k vin i = (2.24)
Gnralement,onchoisitlesvaliditstellesquechaqueinstantleursommeestgale
lunit. Soit : 1) () (=Nk vk viin (2.25) Pour liminer les
perturbations qui apparaissent aux validits, une tape de
renforcement a t propose. Son principe, donne dans [ZOUARI, 07]
(fig 2.9). Plusieurs types de validits renforces sont prsents dans
la littrature. Nous en prsenterons les deux qui suivent :
Renforcement de type 1 La validit renforce scrit en fonction de
lexpression de la validit simple [ZOUARI, 07], [KARDOUS, 04] = =Nj
ijjs isrenfik v k v k v1)) ( 1 ( ) ( ) ( (2.26) La validit renforce
normalise est dfinie par : ==Nirenfirenfi renfink vk vk v1) () ()
((2.27) Renforcement de type 2 37 Rapport de MmoireMastre ATS Le
deuxime type de validit renforce est donn par la relation suivante
: =|||
\| =Nj ijk risrenfijne k v k v12) () 1 ( ) ( ) ( (2.28) la
normalisation de cette relation donne : ==Nirenfirenfi renfink vk
vk v1) () () ( (2.29) Conclusion
Lareprsentationdessystmescomplexesparunmodleuniqueconduitunecomplexit
croissantedecedernier,ceproblmeestdautantplusmarqupourlessystmesnon
linaires.Leprincipederemplacerlemodleuniquecomplexeparunebasedemodles
simples,adoptparlapprochemultimodle,permetdassurerunebonnereprsentationdes
processustoutenvitantlesdifficultsrencontresaveclesmodlesnonlinaireslorsdela
phase danalyse et de synthse. Aprs la dtermination de la base de
modles, on doit choisir le mode adquat, commutation ou fusion pour
les systmes de commande multimodle. Contrairement la commutation,
la fusion prsente une commande plus lisse se qui amliore
lastabilitdu
systme,dolidedelappliquerdescommandesdiscontinuestellequele mode
glissant. 38 Rapport de MmoireMastre ATS Chapitre 3 Synthse dune
commande par mode glissant multimodle Introduction
Danscechapitre,nousallonsmettreenoeuvrelesapprochesdjtudiesdanslessections
prcdentes savoir lapproche par mode glissant et lapproche
multimodle et les combines pour en dduire une nouvelle
mthode.Lobjectifestderaliserunecommandequipeutassurerunemeilleurerobustessepourle
systme vis--vis des perturbations subies par les actionneurs. En
premier lieu, nous allons expliquer la dmarche de la synthse de la
commande par mode glissant multimodle.Aprs la prsentation du
principe de la nouvelle approche, la tester sur lexemple dun moteur
lectriquepuislappliquerlexempledunrobotmobilesousmarinquiprsenteuneforte
non linarit et plusieurs perturbations au niveau des actionneurs.
Unetudecomparativeentrediffrentesmthodesdesynthsedecommandeseraaussi
mene. 3Formulation de lapproche par mode glissant multimodle
Lacommandeparmodeglissantmultimodleestinspiredelacommandeconuedans
[Poznyak et al,03]. Cette dernire, se base sur lutilisation de la
commutation au niveau de la
surfacedeglissementpourcommanderunsystme.Danscesens,Poznyak,danssonarticle
considre un systme non linaire reprsent laide des sous modles.
Cette bibliothque de modle est commande par la commutation entre
des surfaces de glissement convenablement choisies pour chaque sous
modle.39 Rapport de MmoireMastre ATS Par contre, notre approche
consiste raliser une fusion au niveau de la commande par mode
glissant au lieu dune commutation afin dliminer ou minimiser les
oscillations au niveau de la surface de glissement. La commande
rsultante destine pour commander le processus se calcule comme
lindique la figure 3.1.Pour arriver synthtiser la commande globale
du systme nous avons eu recours la fusion multimodle. En premier
lieu, on commence par dterminer les diffrents modles Mi relatifs
aux diffrents points de fonctionnements ou bien les modles extrmes.
Ensuite,pourdterminerlacommandeuMi
(3.2)pourchaquesous-systme,ondoitchoisir des relais avec des
paramtres convenables pour chaque modle (3.1).
Lasortiedelabasedumodle iy ainsiquecelleduprocessusy
vontservirpourlecalcul des validits i(3.3). Ces validits calcules
en ligne vont tre multiplies par les commandes
partielles,lesrsultatstrouvsserontadditionns(3.4)pourobtenirenfinlacommande
globalegu . >
