Commande Des Systèmes Non Linèaires Par Mode Glissant ordre supérieur

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

MINISTRE DE LENSEIGNEMENT SUPERIER

ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE CONSTANTINE 1

FACULTE DES SCIENCES DE LA TECHNOLOGIE

DEPARTEMENT DELECTRONIQUE

N Ordre :

Srie :

MEMOIREMEMOIREMEMOIREMEMOIRE

Prsent pour lobtention du diplme de magistre

en lectronique

Option : Contrle des systmes

Par

Deghboudj ImenDeghboudj ImenDeghboudj ImenDeghboudj Imen

THEMETHEMETHEMETHEME

COMMANDE DES SYSTEMES NON LINEAIRES

PAR MODE GLISSANT DORDRE SUPERIEUR

SOUTENU LE : 21/11/2013

Devant le jury : Prsident : Salim Filali, Professeur, Universit Constantine 1

Rapporteur : Brahim Boutamina, Matre de confrences, Universit Constantine 1

Examinateurs : Khaled Belarbi, Professeur, Universit Constantine 1

Mohamed Chemachema, Matre de confrences, Universit Constantine 1

Au nom de dieu clment et misricordieux

Remerciement

Jadresse mes plus sincres remerciements Monsieur Brahim Boutamina, matre de confrences luniversit Constantine 1 pour ses encouragements, tout au long de ce travail. Sa disponibilit, ses qualits pdagogiques et humaines, ses comptences et sa bonne humeur permanente mont apport un encadrement dterminant dans toutes les phases de ce travail.

Que Monsieur le professeur Salim Filali, de luniversit Constantine 1, soit remerci pour lhonneur quil me fait en acceptant de participer au jury et de le prsider.

Jexprime mes sincres remerciements au professeur Khaled Belarbi de luniversit Constantine 1, pour lintrt quil a port mon travail en acceptant de participer au jury de soutenance.

Jadresse mes sincres remerciements Monsieur Mohamed chemachema, matre de confrences luniversit Constantine 1, davoir accept dexaminer mon travail.

Je tiens remercier ma chre mre Ghechem Nora et mon cher pre Deghboudj Salah pour leur soutien ds le dbut de mes tudes, leur amour, leurs efforts et leurs encouragements.

Je tiens remercier mes frres Ghoulem, Houssem, Islem ainsi que toute ma famille et mes ami(e)s pour leurs encouragements.

TABLE DES MATIERES

Introduction gnral ................................................................................................................... 1 Chapitre l : Commandes par Modes Glissants ........................................................................... 3

l.1 introduction ....................................................................................................................... 3 I.2 Commande par modes glissants dordre 1 ....................................................................... 4 I.3 Synthse de commande par modes glissants .................................................................... 4

I.3.1 Chois de la surface de glissement .............................................................................. 4 l.3.2 condition dexistence du mode de glissement ........................................................... 4 l.3.3 calcul de la commande .............................................................................................. 5

l.4 le broutement (chattering) ............................................................................................... 6 l.5 Solutions pour la suppression du phnomne de rticence .............................................. 6

l.5.1 Solution de couche limite ......................................................................................... 6 l.5.2 Solution par des lois dapproche ................................................................................ 7 l.5.3 Solution par des modes glissants dordre suprieur ................................................. 8

l.6 Conclusion ....................................................................................................................... 8 Chapitre ll : Modes glissants dordre suprieur ......................................................................... 9

ll.1 Introduction ..................................................................................................................... 9 II.2 Commande par modes glissants dordre suprieur ........................................................ 9

ll.2.1 homognit ............................................................................................................. 9 II.2.2 drivateur de prcision asymptotique .................................................................... 10

ll.3 Concepts de base des commandes par modes glissants dordre suprieure ................. 12 ll.4 Ordre de glissement et prcision des commandes rgimes glissants .......................... 13 ll.5 Modes glissants idaux et rels .................................................................................... 13

ll.5.1 mode glissant idal ................................................................................................ 13 ll.5.2 mode glissant rel ................................................................................................... 13

ll.6 Mode glissant dordre deux .......................................................................................... 14 ll.7 Exemples de commandes par modes glissants dordre 2 ............................................. 15

ll.7.1 Algorithme du Twisting ......................................................................................... 15 ll.7.2 Algorithme du super-Twisting ................................................................................ 15 ll.7.3 Algorithme prescribed convergence law ................................................................ 17

ll.8 Exemple de commandes par Mode glissant dordre arbitraire ..................................... 17 ll.8.1 algorithme de levant .............................................................................................. 18 ll.8.2 Algorithme du quasi-continue ............................................................................... 18

ll.9 Inconvnients des commandes rgimes glissants dordre suprieur ......................... 20

ll.10 Suppression de phnomne de rticence dans le cas de la commande par mode glissant dordre suprieur ................................................................................................................. 20 Conclusion ........................................................................................................................... 22

Chapitre III : Rsultats de simulation ...................................................................................... 23 lll.1 Introduction ................................................................................................................. 23 lll.2 Problme de poursuite par mode glissant pour les systmes SISO et MIMO incertaines et perturbs .......................................................................................................................... 23

lll.2.1 systme mono variable ......................................................................................... 23 lll.2.2 systme multi variable .......................................................................................... 33

lll.3 rgularisation au tour de point dquilibre par mode glissant ...................................... 37 lll.3.1 Le compresseur ..................................................................................................... 37

Conclusion gnral ................................................................................................................... 46 Rfrences ................................................................................................................................ 47 Annexe A .................................................................................................................................. 49

A.1.Introduction .................................................................................................................. 49 A.2 Gnralits sur la logique floue type-1 ........................................................................ 49

A.2.1 Fuzzification ......................................................................................................... 50 A.2.2 Infrence ............................................................................................................... 50 A.2.3 Dfuzzification ...................................................................................................... 51

LISTE DES FIGURES

Figure (l.1) : diffrents modes de convergence pour la trajectoire dtat ................................. 4 Figure (1.2) : Principe de commande rgime glissant avec commande quivalent .............. 5 Figure (1.3) : Le phnomne de broutement ............................................................................. 6 Figure (1.4) : Fonction saturation .............................................................................................. 7 Figure (1.5) : fonction tangente hyperbolique ........................................................................... 7 Figure (II.1) exemples de domaines D1 et D2 de la contractivit ............................................. 10 Figure (ll.2) Exemple dun espace dtat de dimension 3 : lintersection des 3 surfaces de commutation dfinit le point de rfrence Xref ...................................................................... 12 Figure (ll.3) Convergence de lalgorithme Twisting dans le plan (s, ) .................................. 15 Figure (ll.4) Convergence de lalgorithme Super Twisting dans le plan (s, ) ........................ 16 Figure (ll.5) Convergence des trajectoires du systme vers lorigine du plan de phase (gauche) et la fonction continue gc(y1) (droite) ...................................................................................... 17 Figure (ll.6) : Convergence de lalgorithme quasi-continu dans le plan (s, ) ....................... 19 Figure (ll.7) : fonction dappartenance des variables dentre ............................................... 22 Figure (ll.8) : fonction dappartenance des variables de sortie .............................................. 22 Figure (lll.1) : le pendule invers ............................................................................................ 23 Figure lll.2a : La trajectoire du systme ................................................................................... 25 Figure lll.2b : lerreur de poursuite du systme........................................................................ 25 Figure lll.2c : la commande du systme .................................................................................. 25 Figure lll.2d : la rponse dans le plan de phase avec(h = 18, = 5) .................................... 25 Figure lll.2e : la drive de la trajectoire ................................................................................. 25 Figure lll.2f : lerreur de vitesse ............................................................................................... 25

Figure lll.3a : La trajectoire du systme .................................................................................. 26 Figure lll.3b : lerreur de poursuite du systme....................................................................... 26 Figure lll.3c : la commande avec(h = 18, = 5, = 1) ................................................ 26 Figure lll.3d : la drive de la commande avec(h = 18, = 5, = 1) .......................... 26

Figure lll.3e : la drive de la trajectoire ................................................................................ 27 Figure lll.3f : la rponse dans le plan de phase ....................................................................... 27 Figure lll.4a : La trajectoire du systme .................................................................................. 28 Figure lll.4b : la rponse dans le plan de phase ....................................................................... 28 Figure lll.4c : la drive de la trajectoire .................................................................................. 28 Figure lll.4d : la commande PCL avec (h = 18, = 3) ......................................................... 28 Figure lll.5a : La trajectoire du systme ................................................................................... 29 Figure lll.5b : lerreur de poursuite du systme........................................................................ 29 Figure lll.5c : rponse dans le plan de phase avec ( = 16, = 11) ................................ 29 Figure lll.5d : la commande twisting avec ( = 16, = 11) ............................................ 29 Figure lll.6a : La trajectoire du systme .................................................................................. 29 Figure lll.6b : lerreur de poursuite du systme....................................................................... 29 Figure lll.6c : la drive de la trajectoire ................................................................................. 29 Figure lll.6d : la rponse dans le plan de phase ....................................................................... 29 Figure lll.6e : la commande quasi-continue avec(h = 18, = 1) .................................... 30 Figure lll.7a : La trajectoire dans le plan de phase .................................................................. 30 Figure lll.7b : la rponse dans le plan de phase ....................................................................... 30 Figure lll.7c : la drive de la trajectoire .................................................................................. 30 Figure lll.7d : la commande MPCL avec(h = 18, = 3) ...................................................... 30 Figure lll.8a : La trajectoire du systme ................................................................................. 31 Figure lll.8b : lerreur de poursuite du systme ...................................................................... 31

Figure lll.8c : la drive de la trajectoire ................................................................................. 31 Figure lll.8d : la rponse dans le plan de phase ...................................................................... 31 Figure lll.8e : la commande MTWG avec( = 16, = 11) ............................................. 31 Figure lll.9a : La trajectoire du systme ................................................................................. 32 Figure lll.9b : la rponse dans le plan de phase ...................................................................... 32 Figure lll.9c : la commande u avec (h = 18, = 1) .......................................................... 32 Figure lll.9d : la drive avec (h = 18, = 1) ................................................................... 32 Figure lll.9e : la drive premire de la trajectoire .................................................................. 32 Figure lll.9f : la drive deuxime de la trajectoire ................................................................. 32 Figure lll.10 : bras manipulateur deux articulations .............................................................. 33 Figure lll.11 : le schma de principe de commande ................................................................. 35 Figure lll.12a : La trajectoires x1 du systme .......................................................................... 35 Figure lll.12b : La trajectoires x2 du systme .......................................................................... 35 Figure lll.12c : Les efforts appliqus u1 avec ( = 200, = 170, = = 11) ............ 36 Figure lll.12d : Les efforts appliqus u2 avec ( = 200, = 170, = = 11) ............ 36 Figure lll.12e : la drive de trajectoire x1 ............................................................................... 36 Figure lll.12f : la drive de trajectoires x2 .............................................................................. 36 Figure lll.12g : la drive de e1 ................................................................................................ 36 Figure lll.12h : la drive de e2 ................................................................................................ 36 Figure lll.13a : La trajectoire x1 du systme ............................................................................. 36 Figure lll.13b : La trajectoire x1 du systme ........................................................................... 36 Figure lll.13c : Les trajectoires et les erreurs de poursuite du systme .................................... 37 Figure lll.13d : Les trajectoires et les erreurs de poursuite du systme.................................... 37 Figure lll.13e : Leffort appliqu # ......................................................................................... 37 Figure lll.13f : Leffort appliqu # ........................................................................................ 37 Figure lll.14 : lments constitutifs et ensemble du compresseur axial ................................... 38 Figure lll.15 : Systme de compression pour le modle Moore-Greitzer ............................... 39 Figure lll.16 : exemple du contrleur FSM dun compresseur axial ........................................ 40 Figure lll.17a : les erreurs de position pour la mthode TWG ................................................ 41 Figure lll.17b : les erreurs de position pour la mthode MTWG ............................................ 41 Figure lll.17c : leffort appliqu pour la mthode TWG .......................................................... 41 Figure lll.17d : leffort appliqu pour la mthode MTWG ...................................................... 41 Figure lll.18a : les erreurs de poursuite .................................................................................. 41 Figure lll.18b : la commande QC base sur lalgorithme "chattering attnuation" ................ 41 Figure lll.19a : les erreurs de poursuite "FZQC" ..................................................................... 42 Figure lll.19b : la commande propose "FZQC" ..................................................................... 42 Figure lll.20a : les erreurs de poursuite ................................................................................... 42 Figure lll.20b : la commande "QC" ......................................................................................... 42 Figure lll.21a : erreurs des variables de sortie (TWG) ............................................................. 43 Figure lll.21b : erreurs des variables de sortie (MTWG) ......................................................... 43 Figure lll.22 :leffort appliqu. ................................................................................................ 43 Figure lll.23a : les erreurs de poursuite .................................................................................... 44 Figure lll.23b : la commande propose "FZQC" ...................................................................... 44 Figure lll.24a : les erreurs de poursuite .................................................................................... 44 Figure lll.24b : la commande "QC" .......................................................................................... 44 Figure lll.25a : les erreurs de poursuite base sur lalgorithme "chattering attnuation" ........ 44 Figure lll.25b : la commande QC base sur lalgorithme "chattering attnuation" ................. 44 Figure (A.1) : Systme flou type-1 ........................................................................................... 49 Figure (A.2) : dfrentes formes de fonctions dappartenance ................................................ 50

NOTATIONS :

() : Variable de glissement.

S : la surface de glissement.

' : Degr relatif du systme.

: Ensemble des nombres rels.

# : Commande du systme. "# : Commande quivalente du systme. : Commande discontinue du systme. : Trajectoire. : Trajectoire dsire.

ABREVIATIONS : CSV : commande structure variable SMC : commande par mode glissant dordre 1 MG : Mode de glissement MC : Mode de convergence R.E.D: Robust exact differentiation. CMGO2 : Commande par mode glissant dordre deux. PCL: prescribed convergence law. MPCL: modify prescribed convergence law. TWG: twisting. MTWG: modify twisting. QC : Quasi-continue. FZ.QC : fuzzy-Quasi-continue. SISO : Systme mono entre mono sortie. MIMO : Systme multi entre multi sortie.

SIMO : Systme mono entre multi sortie. MGO1 : Mode glissant dordre un.

Introduction gnral

1

Introduction gnrale :

Dans la commande des systmes non linaires ou ayant des paramtres non constants, les lois de commande classique peuvent tre insuffisantes car elles sont non robustes surtout lorsque les exigences sur la prcision et autres caractristiques dynamiques des systmes sont strictes. On doit faire appel des lois de commande insensibles aux variations des paramtres, aux perturbations et aux non linarits. Dans cet objectif, plusieurs outils sont proposs dans la littrature, dont on cite la commande structure variable (CSV) et la logique floue. La commande par mode de glissement fait partie de la famille des contrleurs structure variable, c..d. des commandes commutant entre plusieurs lois de commande diffrentes. Limportance des contrleurs par mode glissant rside dans : la grande prcision, la rponse dynamique rapide, la stabilit, la simplicit de la conception et limplantation, et la robustesse vis--vis la variation des paramtres internes ou externes [1] [3]. Le principe de la commande par modes glissants est de contraindre les trajectoires du systme atteindre une surface donne, surface de glissement, pour ensuite y rester. Toutefois, la commande par mode de glissement induit en pratique des commutations haute frquence connue sous le nom de chattering. Ces commutations peuvent exciter des dynamiques non dsires qui risquent de dstabiliser, dtriorer voire mme de dtruire le systme tudi. Il existe dfrentes mthodes pour diminuer ce phnomne dont lune consiste remplacer la fonction signe par une approximation continue au voisinage de la surface de glissement (fonction saturation ou fonction sigmode). Une autre mthode consiste utiliser les modes glissants dordre suprieur [2], [3], [4], [5], dont le principe est de rejeter les discontinuits au niveau des drives suprieures de lentre du systme. Notre travail a consist en :

- ltude des diffrentes lois de commande bases sur les modes glissants dordre suprieur (surtout ceux dordre 2 et 3). - la revue des mthodes de rduction des commutations haute frquence sur la loi de commande - la comparaison des lois de commande en boucle ferme dun asservissement de position afin de valider les possibilits et qualits des modes glissants. - laptitude des contrleurs mis au point commander divers systmes savoir :

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Introduction gnral

2

* un pendule invers ( systme SISO). * un robot manipulateur deux articulations ( systme MIMO). * un compresseur : limination des instabilits en un point de fonctionnement critique. Le mmoire est structur comme suit :

Le premier chapitre introduit les ides fondamentales des commandes par modes glissants dordre un. Il prsente les deux composants de base dune telle commande : la surface de glissement et la loi de commande forant le systme latteindre en temps fini et y demeurer. Enfin, les causes du phnomne de chattering sont explicites et les mthodes classiques pour le rduire, prsentes. Le deuxime chapitre, aborde la notion de commande par modes glissants dordre suprieur. Ce terme regroupe deux ides distinctes : * Une commande dont non seulement la variable de glissement, mais galement ses drives successives sannulent en temps fini en labsence de chattering gnrant un mode glissant idal. * Un mode glissant rel qui dsigne une prcision synoptique en prsence de chattering. Lhomognit, proprit essentielle sur laquelle est base la thorie actuelle des commandes par modes glissants dordre suprieur, est introduite ainsi quun drivateur homogne convergeant en temps fini.

Afin de rduire ou dliminer le phnomne de chattering, on a test en simulation trois approches permettant dobtenir des lois de commande continues : - la premire approche, propose par LEVANT.

- la deuxime qui consiste remplacer les fonctions discontinues par des approximations continues.

- une troisime, base sur une combinaison de la thorie de la logique floue et de la commande par mode glissant dordre suprieur. Lassociation de ces deux thories a permis davoir de bonnes performances avec une rponse dynamique rapide et une rduction significative du chattering. Dans le troisime chapitre, on a prsent les rsultats en simulation de quelques lois de commande prsentes aux chapitres 1 et 2. Une conclusion gnrale est dgage.

Chapitre 1 Commandes par modes glissants

3

Chapitre l : Commande par Modes Glissants

l.1.introduction : La commande par mode glissant a connu un essor considrable durant les dernires

dcennies [6][7][8].Ceci est d principalement la proprit de convergence rapide et en temps fini des erreurs, ainsi, que la grande robustesse par rapport aux erreurs de modlisation et certains types de perturbations extrieures [9]. Tous ces aspects positifs ne doivent pas nanmoins masquer certains inconvnients. Les commandes modes glissants procdent de manire discontinue, ce qui conduit exciter toutes les frquences du systme contrler et donc des modes pas forcment pris en compte dans la modlisation. En second lieu, dans la plupart des cas, les discontinuits de lalgorithme de contrle interviennent directement sur lactionneur. Si cet organe nest pas conu pour ce type de sollicitations, cela risque de conduire son vieillissement prmatur et le systme sera soumis chaque instant une commande leve afin dassurer sa convergence vers ltat dsir. La premire partie prsente les concepts de base de la commande par mode glissant dordre 1 qui se synthtise en deux tapes : on dtermine une sortie fictive S(x) appele surface de glissement sur laquelle les objectifs des contrles sont raliss, ensuite on calcule la loi de commande afin de ramener la trajectoire des tats cette sortie et de la maintenir sur cette surface tout le temps jusqu lquilibre [10]. La deuxime partie est consacre le problme majeur de la commande par modes glissants ; le chattering, et les mthodes classiques permettant den rduire les effets.

I.2 Commande par modes glissants dordre 1 : La commande par mode glissant dordre 1 (SMC) est une commande structure

variable pouvant changer de structure et commutant entre deux valeurs suivant une logique de commutation bien spcifique s (x). Le principe de la commande par modes glissants est de contraindre le systme atteindre une surface donne appele surface de glissement et dy demeurer jusqu lquilibre. Cette commande se fait en deux tapes : la convergence vers la surface et ensuite le glissement le long de celle-ci (Figure I.1)

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4

Figure (l.1) : diffrents modes de convergence pour la trajectoire dtat I.3 Synthse de la loi de commande :

La synthse de la commande par modes glissants se fait en trois tapes : - choix de la surface de glissement - Etablir la condition de convergence - dterminer la loi de commande qui permet datteindre la surface et dy demeurer.

I.3.1 Choix de la surface de glissement : Soit le systme dcrit par lquation diffrentielle suivante (I.1):

= , + , (l.1) o et sont des fonctions non linaires, est suppose inversible. : Lentre du systme. :tat du systme. Soit xd la consigne dsire et e l'erreur de poursuite dfinie par : = (l.2) La formule gnrale de la surface de glissement est dfinie en fonction de lordre du systme comme suit :[1]

= + (l.3) O n : le degr relatif du systme par rapport la sortie y(t).Il reprsente le nombre minimum de fois quil faut driver la sortie y(t) par rapport au temps, pour y voir apparatre lentre. l.3.2 condition dexistence du mode de glissement : Le choix de la fonction de glissement tant fait, la deuxime tape consiste concevoir une loi de commande qui puisse amener le vecteur d'tat converger vers la surface et y demeurer (S=O). Pour cela, il faut que la loi de commande soit conue de telle manire ce que S soit attractive.

Pour dterminer la condition dattractivit, considrons la fonction de lyapounov suivante :

=

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5

Une condition ncessaire et suffisante, appele condition dattractivit, pour quune variable

de glissement s(x, t) tende vers 0 est que la drive temporelle de soit dfinie ngative : . < 0 (l.4) Si la condition (l.4) est vrifie, alors la variable de glissement et sa drive sont de signe contraire quel que soit le temps et que 0 est un centre attracteur pour S.

Le temps de convergence, ou le temps d'atteinte reaching time tr dpend directement du choix de S. Pour une convergence en temps fini, la condition (l.4) qui ne garantie quune convergence asymptotique vers la surface de glissement est remplace par une condition plus restrictive dite de -attractivit et donne par : [1] . ||, > 0 (l.5) l.3.3 calcul de la commande :

Dans notre cas, la mthode choisie est celle de la commande quivalente, schmatise sur la figure (l.2). La commande quivalente est une fonction continue qui sert maintenir la variable

contrler sur la surface de glissement = 0!. Elle est obtenue grce aux conditions dinvariance de la surface :

= 0 = 0 (l.6)

O"# est dduite de la relation = 0 Physiquement la commande quivalente prsente la valeur moyenne de la commande u. Cependant, cette commande ne force pas les trajectoires du systme converger vers la surface de glissement. Ainsi, la commande u est la somme de la commande quivalente et dune composante discontinue (figure ll.3) assurant une convergence et un rgime glissant. = "# + avec = $%& (l.7) $ est une constante positive, %& est la fonction signe et est la commande discontinue

Figure (1.2) Principe de la commande en mode glissant avec commande quivalent

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6

l.4 le broutement (chattering) : Un rgime glissant idal requiert une commande pouvant commuter une frquence

infinie. Ainsi, durant le rgime glissant, les discontinuits appliques la commande peuvent entraner un phnomne de broutement, appel rticence ou "chattering" en anglais. Celui-ci se caractrise par de fortes oscillations des trajectoires du systme autour de la surface de glissement (figure (1.3)). Les principales raisons lorigine de ce phnomne sont les limitations des actionneurs ou les retards de commutation au niveau de la commande. Ces commutations dtriorent la prcision de la commande et peuvent savrer nfastes pour lorgane de commande en provoquant une dtrioration prmature des systmes mcaniques et une lvation de temprature dans les systmes lectriques (perte dnergie non ngligeable).

Figure (1.3) : Le phnomne de broutement l.5 Solutions pour attnuer le phnomne de rticence :

Dans le but de rduire ou dliminer ce phnomne, de nombreuses solutions ont t proposes, comme la solution de couche limite, fuzzy sliding mode, mode glissant dordre suprieur, approch law, etc...

l.5.1 Solution de couche limite : Cette solution, connue aussi sous le nom de boundary layer solution, consiste

remplacer la fonction signe par une approximation continue, de type grand gain, uniquement dans un voisinage de la surface, Parmi les fonctions utilises nous citerons la fonction de saturation :

Figure (1.4) : Fonction saturation.

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7

' = ()* % +)*+ 1%&% +)*+ > 1

(l.8)

- : Largeur du seuil de la fonction de saturation. Dautres fonctions existent telles que les fonctions,'& , 2arctans/) .

Figure (1.5) : fonction tangente hyperbolique Le systme ne converge plus vers la valeur dsire, mais vers un voisinage de cette dernire dans ce cas, le systme est dit en rgime pseudo-glissant. Bien que cela permette dattnuer le phnomne de rticence, la prcision par rapport lobjectif fix, la robustesse de la commande et le temps de rponse sen trouvent dprcis.

Cette mthode est paramtre par une constante positive - rgle pour avoir un bon compromis entre rduction du chattering et conservation de la robustesse. Dans les mthodes prsentes ici, plus - est petit, plus lapproximation tend vers la fonction signe, et donc meilleure est la robustesse, au dtriment de la rduction du chatttering.

l.5.2 Solution par des lois dapproche : Par ailleurs, une approche intressante consiste concevoir des lois de convergence

non linaires qui permettent une adaptation dynamique d'une composante de la commande en fonction de la variation de la fonction de glissement. Ainsi, plus le vecteur d'tat est loin de la surface de glissement, plus cette composante est grande et tend ramener le vecteur vers la surface, et inversement. Par consquent, il est thoriquement possible de rduire les commutations haute frquence en rgime tabli, sans toutefois affecter le temps de convergence ni mme l'erreur de poursuite du systme. Gao et Hung ont propos notamment deux lois d'atteinte possibles pour rduire les commutations. La premire loi d'atteinte contient un terme proportionnel la fonction de glissement qui permet au systme d'atteindre plus rapidement la surface de glissement lorsque celui-ci en est loign. De plus, le terme proportionnel allge le travail de la partie discontinue sign(S) et permet par consquent une rduction des commutations sur la commande. Cette loi d'atteinte est donne par :

= $. %& ;. (l.9)

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8

Dans la deuxime loi de convergence figure une puissance fractionnaire de la fonction de glissement qui multiplie le signe de celle-ci, comme suit :

= $||A est une fonction discontinue et borne dpendant de ltat et du temps. et & sont des champs de vecteurs susamment direntiables mais connus de faon incertaine. S est la variable de glissement choisie pour assurer une convergence en temps fini vers

lensemble de glissement dordre' . Lensemble de glissement dordre n par rapport $(, )est dfini par

$ D>?:$ $ $() 0E (ll.6) Par abus de langage, cet ensemble est souvent appel surface de glissement dordre '. Si le systme est de degr relatif' > 1par rapport la variable de glissement, une commande en Mode Glissant dordre ' permettra dobtenir une convergence en temps fini vers la surface, en forant les trajectoires dtat du systme tre confines dans lensemble de glissement comme le montre la figure suivante :

Figure (ll.2) Exemple dun espace dtat de dimension 3 : lintersection des 3 surfaces de commutation dfinit le point de rfrence Xref.

Chapitre 2 Modes glissants dordre suprieur

13

ll.4 Ordre de glissement et prcision des commandes rgimes glissants : En plus de la rduction du broutement, une commande rgimes glissants dordre '

amliore la prcision de convergence vers lensemble de glissement pour un glissement rel. On sintresse au cas dun glissement rel caractris par un temps de commutationF > 0, o est le temps de commutation de la sortie asservi par la commande rgimes glissants

dordre'. Pour un rgime glissant dordre 1 rel la trajectoire de x, aprs convergence vers S, reste au voisinage de celle-ci avec une satisfaction de lingalit suivante : |$| < GHF ou GHest une constante positive. Par contre dans le cas des algorithmes dordre 2 [13] il existe deux constantes positivesG, Gtelles que les ingalits suivantes soient satisfaites aprs un temps fini : |$| < G(F)I|$| < GF Il en rsulte quun algorithme dordre J permettra dobtenir les ingalits suivantes : [3]

|$| < GH(FK), |$| < G(FK), , L$(K)L < GK(F) (ll.7) Ainsi, Lordre de glissement ' est une mesure du degr de diffrentiabilit de la variable de glissement s au voisinage de la surface de glissement : S est de classe de continuit M (au moins). Si de plus s est de degr relatif ' par rapport une commande discontinue, s nest pas drivable n fois mais seulement ' 1 fois ll.5 Modes glissants idaux et rels. Dans la littrature nous trouvons deux types de modes glissants dordre ' idaux et rels [3]. ll.5.1 mode glissant idal :

La trajectoire (, ()) ayant pour condition initiale (0, H) est une trajectoire modes glissants idaux dordre ' par rapport la surface$ 0, sil existe > 0 tel que : 1 , les galits suivantes soient vrifies : ($ . . . $() 0) La notion de modes glissants idaux na pour but que dexprimer une solution thorique, mathmatiquement possible mais irralisable pratiquement ( cause des imperfections et des limitations physiques des organes de commutation). Elle permet datteindre de faon plus lisse la surface de contrainte. Ceci est gnralement li au phnomne dintgration des discontinuits de la commande. ll.5.2 mode glissant rel :

Une commande par modes glissants rels sur $ 0 est dite dordre ' > 0 par rapport une fonction valeur relleG(P), tels que$%P 0 G(P) 0, si pour nimporte quel ensemble compact appartenant au domaine de dfinition, il existe > 0et une constanteM > 0telle que > lingalit suivante soit vrifie :

|($(, (, P))| M|G(P)| (ll.8)


14

P est classiquement soit un retard (ou dynamique nglige) soit une imprcision sur la connaissance de ltat du systme. La notion de modes glissants rels permet dexprimer la dpendance de lalgorithme modes glissants par rapport aux imperfections physiques du systme rel (retard dun actionneur, chantillonnage de la mesure, gain non infini de la fonction signe en zro, etc...). ll.6 Mode glissant dordre deux :

Considrons un systme non linaire dcrit par : S (, ) + &(, ). # (ll.9)

Lobjectif est dtablir un rgime glissant dordre deux par rapport s, en imposant aux trajectoires dtat du systme voluer au bout dun temps fini sur lensemble S2 et ne plus le quitter ensuite :

T D $ $ 0E (ll.10) Ceci est ralis par une commande agissant sur la drive seconde de la variable de glissement qui, de manire gnrale, peut scrire sous la forme :

$S V(, ) + W(, ). X (ll.11) Avec

X # dans le cas o le systme (ll.5) est de degr relatif ' 1 par rapport s, c..d. YYZ $ 0

X # dans le cas o le systme (ll.5) est de degr relatif ' 2 par rapport s, c..d. YYZ $S 0 Afin de raliser des algorithmes par modes glissants dordre deux, il est ncessaire de vrifier lhypothse de travail suivante pour valider latteignabilit de la surface de glissement et la bornitude de la variable sS [4] :

- Les fonctions incertaines W(, ) et V(, ) sont bornes. - il existe quatre constantes positives TH, MH, ^I^_ telles que, dans un

voisinage|$(, )| < TH, les ingalits suivantes soient vrifies : |V(, )| < MHI0 < ^ W(, ) ^_ (ll.12)

Les hypothses nonces ci-dessus impliquent que la drive seconde de la fonction de commutation est uniformment borne dans un certain domaine ( a`) pour lentre considre. En respectant les conditions dj dfinies, nous pouvons crire que toute solution relative lquation (ll.11) satisfait linclusion diffrentielle suivante [4] :

$S>;MH, MH< + ;^, ^_


15

ll.7 Exemples de commandes par modes glissants dordre 2 : Dans la littrature, plusieurs algorithmes modes glissants dordre 2 ont t introduits

[1], [4]. Parmi ces algorithmes, on cite : - Algorithme du Twisting. - Algorithme du Super Twisting. - Algorithme du prescribed convergence law (Algorithme avec une loi de convergence prdfinie).

ll.7.1 Algorithme du Twisting (TWG) [5] : En plus de la commutation du signe de la commande, on commute son amplitude entre

deux valeurs en fonction du quadrant dans lequel se trouve ltat du systme. La trajectoire du systme dans le plan de phase tourne autour de lorigine en sen rapprochant la manire dune spirale. Son expression pour un systme de degr relatif 2 est :

# b. $%&'($) b. $%&'($)avec b > b > 0 (ll.14)

Figure (ll.3) Convergence de lalgorithme Twisting dans le plan ($, $) Sous les conditions dcrites par les ingalits (ll.13), la trajectoire du systme diffrentiel (ll.10) converge au point dquilibre $ $ 0 en un temps fini sous les conditions suivantes :

(b + b). ^ MH > (b b). ^_ + MH (b +b). ^ > MH (ll.15)

Lhomognit de cette loi de commande est vidente, car son expression ne dpend pas de la

valeur de s ou$, mais seulement de leur signe, qui ne varie pas en les multipliant par > 0. ll.7.2 Algorithme du super-Twisting :

Cet algorithme a t dvelopp pour lasservissement de systmes degr relatif gal 1 par rapport la surface de glissement. Cette loi de commande a t propose par Emelyanov en 1990.


16

Elle a t tudie par Levant dans [5]. Le Super-twisting nutilise pas dinformations sur $ ceci peut tre vu comme un avantage. Il est compos de deux parties, une partie discontinue

# et une partie continue# #() #() + #() (ll.16) # g#$%|#| > A_h. $%&'($)$%'i' (ll.17) # g.|$H|K$%&'($)$%|#| > $H.|$|K$%&'($)$%'i' (ll.18)

Avec h, ., J vrifiant les ingalits suivantes : h > MH/^,0 < J < 0.5

et . 7kl. m(n5kl) op. o(nkl) (ll.19) Dans la suite, on fixeraJ 0.5. Cette commande se dcompose en un terme algbrique (non dynamique) et en un terme intgral. On peut donc considrer cet algorithme comme une gnralisation non linaire dun PI.

Si $H on peut simplifier lalgorithme : # |s|Ksign(s) + # (ll.20)

Avec # h. $%&'($)

Figure (ll.4) Convergence de lalgorithme Super Twisting dans le plan ($, $) La trajectoire de lalgorithme dans le plan de phase ($, $) est donne dans la Figure (II.10), et on montre que les intersections conscutives de celle-ci avec les axes du plan ($, $) voluent tout en se rapprochant de lorigine qui est atteinte en temps fini. Par un choix particulier du modle et de la surface de glissement, lalgorithme de commande par modes glissants Super Twisting [17], [4] peut tre formul comme un algorithme dobservation pour lestimation de la drive dun signal mesur.


17

ll.7.3 Algorithme prescribed convergence law (PCL) [3]: Ce choix est justifi par la simplicit de mise en uvre et par un besoin dune quantit

dinformation relativement faible sur ltat du systme. La formulation gnrale de ce contrleur est donne par lexpression suivante :

# h. $%&'(v &w(v)) (ll.21) O v $, v $ h est une constante positive et &wune fonction continue (figure ll.11) dfinie par :

&w(v) .|v|K. $%&'(v),h, . > 0,0.5 J < 1 (ll.22) &($) .|$|K. $%&'($)

Une condition susante pour une convergence en temps fini vers la surface de glissement est dfinie par la relation suivante :

h^ MH > xp (ll.23) O MHI^ sont des constantes positives prsentes (ll.12)

Figure (ll.5) Convergence des trajectoires du systme vers lorigine du plan de phase (gauche) et la fonction continue &w(v) (droite)

Des valeurs importantes de . (ll.22) permettent dacclrer la convergence vers la surface de glissement. Seule la connaissance de la fonction de glissement s ainsi que sa drive $ sont ncessaires pour le calcul de la loi de commande. La connaissance dautres paramtres du systme de faon explicite nest pas ncessaire, ce qui rduit non seulement le temps de calcul ncessaire au contrleur mais simplifie aussi sa mise au point en ajustant seulement les trois paramtresJ, .Ih. ll.8 Exemples de commandes par Mode glissant dordre arbitraire :

Les commandes par modes glissants dordre suprieur 2 sont plus difficiles concevoir. Beaucoup dalgorithmes dordre arbitraire connus ont une forme rcursive.


18

ll.8.1 algorithme de levant : [17] La loi de commande repose sur lutilisation de diffrentes surfaces de glissement,

chacune faisant converger le systme en temps fini vers la prochaine surface. Une fois la

nouvelle surface atteinte, le systme peut quitter la surface prcdente. Ltat du systme transite dune surface lautre alternativement jusqu atteindre lorigine, en temps fini. En posant :

y, |$|( ) y, (|$|( ) + |$|( ()) + |$()|( (5)) )( ) ,1 % ' % y, (|$|( ) + |$|( ()) + |$()|( ) ) WH, $ (ll.24) W, $ + zy,$%&'($) W, $() + zy,$%&'(W,),1 % ' 1

La commande pour un systme dordre n scrit :

# h$%&'W,($, $, $S , , $()) (ll.25) Cette commande est discontinue, un deuxime algorithme permet de supprimer les discontinuits sauf lorigine (algorithme de commande quasi-continue). La commande par lalgorithme de levant pour ' 1, 2, , 4 est choisie respectivement comme suit :

1) # h$%&'($) (ll.26) 2) # h$%&'($ + z|$| $%&'($)) (ll.27) 3) # h$%&'($S + 2(|$| + |$|) " $%&'|$ + |$| $%&'($)}) (ll.28)

4)# h$%&'($~+ 3($S" + $7 + |$|) $%&' $S + ($7 + |$|) " $%&' $ +0.5|$| 7 $%&'($) (ll.29)

ll.8.2 Algorithme de la commande quasi-continue (QC) :

La commande par modes glissants dordre suprieur quasi-continue a t rcemment dveloppe par [13] selon le principe de lhomognit [12]. Ce type de commande appartient la thorie des systmes structure variable et assure la convergence de ltat du systme vers lorigine en temps fini (figure ll.14). La commande quasi-continue est dfinie par :

# h(,)($, $, $S , , $()) (ll.30) OWH, $,yH, |$|


19

H, l,l, $%&'($) W, $() + zy,

, (ll.31)

y, L$()L + zy,5, , W,y,

De plus, y,est une valeur positive, (y, 0$%$ $ $S $() 0) La fonction (,)($, $, $S , , $()) est continue partout sauf au point o

$ $ $S $() 0 Le choix des paramtres z, z, , z, h > 0 dtermine une famille de commande valable pour les systmes de degr relatif n. Le paramtre h est choisi spcifiquement pour toutes les valeurs fixes^, ^_, MH tel que :

h. ^ MH > 0 (ll.32)

Figure (ll.6) : Convergence de lalgorithme quasi-continu dans le plan ($, $) La commande (ll.30) pour ' 1, ,4 est choisie comme suit :

1) # h. $%&'($) (ll.33) 2) # h 5|| p ()| |5|| p (ll.34) 3) # h S5(||5||p ) p ;5||p () z 2 (ll.38)


20

ll.9 Inconvnients des commandes rgimes glissants dordre suprieur : Plus ' est grand, meilleure est la prcision de convergence dans un glissement rel

vers la surface. Nanmoins il est ncessaire davoir, chaque commutation, des informations sur les ' 1 drives de s. Bien que lon puisse rduire ces informations, dans certains cas, aux ' 2 drives de s, cette condition freine lutilisation de la commande dordre suprieur 3. En eet, plus on drive y, plus on risque damplifier le bruit dans v() ce qui rend la commande instable. Pour une commande rgime glissant dordre n, la commande discontinue est applique sur

$() ce qui a lavantage dobtenir en sortie de la chane dintgrateurs une commande continue. Ces intgrateurs rduisent les composantes hautes frquences de la commande, ncessaires pour compenser les incertitudes du modle standard. Cette chane dintgrateur a aussi comme inconvnient de ralentir la commande, ce qui se traduit par une rduction des performances des commandes rgimes glissants dordre suprieur pour lasservissement du systme, particulirement en suivi dune consigne dont les variations sont rapides.

ll.10 Suppression du phnomne de chattering : Malgr les proprits prouves du contrleur en mode glissant dordre suprieur, le

terme discontinu dans la loi de commande globale introduit le phnomne de broutement (chattering). Pour liminer les effets indsirables de ce phnomne, plusieurs mthodes ont t proposes.

Mthode 1 : Rduction du chattering : Bartolini et al. [19] ont utilis une mthode qui consiste augmenter l'ordre du

systme et utiliser comme contrle virtuel, la drive de la commande actuelle. Ainsi en intgrant la commande virtuelle discontinue, une commande continue est obtenue. # devient alors une variable dtat du systme, la nouvelle commande discontinue tant alors la

drive# qui est la nouvelle entre du systme. On parle alors dextension dynamique de notre systme. Le dsavantage de cette mthode (ch.at), appele chattering attnuation, est que le systme augment ncessite destimer une drive supplmentaire de la sortie. Ceci augmente la complexit de la commande et peut devenir impossible en pratique sur des systmes de degr relatif suprieur 2.

Dans ce cas on peut utiliser une commande h, $, $ , , $() qui est dun ordre suprieur de u. Donc # est donne par la relation suivante :

# #$%|#| > hh, $, $ , , $()$%|#| h (ll.39)


21

Pour estimer les diffrentes drives de$, on utilise un drivateur de Levant dordre n Mthode 2 : utilisation dune fonction continue

On propose dappliquer lide de la mthode couche limite, utilise pour rduire le chattering des algorithmes par mode glissant dordre un, en remplaant la fonction signe par la fonction continue (tanh) dans les lois de commande en mode glissant dordre suprieur. 1- commande twisting :

On prsente une commande qui permet damliorer la commande twisting dans le cas o le degr relatif du systme est gal 2. La loi de commande propose (MTWG) est base sur lalgorithme du Twisting en remplaant la fonction signe par la fonction tangente hyperbolique et en ajoutant un facteur de pondration p. Ainsi la loi de commande propose est donne par lquation :

# b'($/) b'($) (ll.40) 2- commande de levant :

Le changement du terme discontinu se fait particulirement sur lalgorithme de levant donc lquation (ll.28) devient :

# h'W(,)($, $, $S , , $()) (ll.41) Noter bien que le terme W(,)($, $, $S , , $()) donn par (ll.27) rester inchang. Mthode 3: Fuzzy-high order sliding mode:

Plusieurs approches ont t proposes sur la combinaison des modes glissants avec la commande floue [20], [21], [22]. Dans ce qui suit, on prsentera une loi de commande base sur la combinaison de la thorie de la logique floue (annexe A) et de la commande quasi continue. Cette approche, que nous nommerons par commodit : commande fuzzy high order sliding mode (FZ.QC), sera applique au compresseur afin de contrler ses instabilits (pompage et dcrochage tournant). La loi de commande utilise est :

# h 5|| p ()| |5|| p (ll.42) h est estim par un systme flou. Pour gnrer le systme flou, on a dfini trois ensembles flous Ngatif, Zro et Positif. En considrent comme entre de la logique floue les deux erreurs de position du systme, les fonctions dappartenance sont reprsentes par la figure suivante :


22

Figure (ll.7) : fonction dappartenance des variables dentre.

Figure (ll.8) : fonction dappartenance des variables de sortie. Comme chacune des deux entres est fuzzifie en 3 classes, on obtient un jeu de 9 rgles. Le tableau (II.2) ci-dessous prsente les rgles dinfrences utilises.

N Z P

N BP MP MP

Z MP Z MN

P MN MN BP

Tableau (ll.1) : rgles dinfrences. Conclusion :

Dans ce chapitre, on a prsent plusieurs types de contrleurs, bass sur des modes glissants dordre suprieur (particulirement les plus connus : ordre 2 et 3) avec une convergence en temps fini vers un objectif de degr relatif suprieur 1. Ces mthodes permettent damliorer la prcision asymptotique ou de rduire le chattering. De plus, on a introduit les deux notions dhomognit et de drivateur non linaire de Levant, ncessaires la thorie de la commande par modes glissants dordre suprieur La notion dhomognit permet de rendre globale une proprit local grce un changement dchelle, et de prouver la convergence en temps fini par une simple preuve de convergence asymptotique.

Le drivateur non linaire de Levant bas sur les modes glissants dordre suprieur qui permet destimer les drives successives dun signal.

Chapitre 3 Rsultats de simulation

23

Chapitre III : Rsultats de simulation

lll.1. Introduction : Afin dvaluer les performances des mthodes tudies, on a procd des tests en

simulation. Trois exemples de simulation sont prsents pour montrer l'efficacit et la faisabilit de ces mthodes. Ces essais concernent les deux objectifs suivants : La poursuite de trajectoire et la rgulation.

Pour le premier objectif les tests concernent la commande dun pendule invers (SISO) ainsi que celle dun bras manipulateur deux articulations (MIMO), tandis que le second concerne la commande des instabilits dun compresseur autour dun point de fonctionnement donn.

lll.2 Problme de poursuite par mode glissant pour les systmes SISO et MIMO incertains et perturbs :

Lobjectif est dutiliser une loi de commande qui permet de suivre les trajectoires de rfrence en temps fini, avec une grande prcision, une bonne robustesse et une diminution de la rticence qui reste finalement la principale problmatique introduite par la commande par mode glissant.

lll.2.1.systme mono variable : Le pendule invers :

On considre un pendule invers, de masse m et de longueur 2l, plac sur un chariot, de masse M (figure lll.1)[9]. Le systme est dcrit par les quations suivantes :

= , + , + (lll.1)

= (lll.2)

, = !

"#$ %. (lll.3)

, = "#$ %

(lll.4)

Figure (lll.1): le pendule invers


24

: Langle du pendule par rapport la verticale, g la constante de gravitation, u leffort appliqu au chariot, : les incertitudes sur les masse et d les perturbations externes.

, , , : des fonctions non linaires bornes. La forme canonique dun systme non linaire de second ordre peut tre crite sous la forme suivante :

( )* = )+)+ = , + , + = )* (lll.5) La sortie du systme : = )* = ) = Les paramtres utiliss dans cette simulation sont : M=1 kg, m=0.1 Kg, l=0.5 m, g=9.8 N/Kg. Les perturbations et les incertitudes sont de la forme : m=0.1m, M=0.1M et d(t)=0.1sin (2t). tat initial : [ ]/ = [0.2 0]/ Lerreur de poursuite est donne par : 2 = 4 La trajectoire dsire : )4 = 5%6 sin :

Calcul de la commande : Le problme de poursuite de trajectoire consiste dterminer une loi de commande , qui permet dassurer la convergence de ltat ) du systme vers ltat dsir)4.

1) commande par mode glissant dordre 1 : La variable de glissement est : ; = 2 + 0 (lll.6) 2: la drive de lerreur. La commande par modes glissants dordre un qui assure la convergence asymptotique de lerreur vers zro en un temps fini est donne par la relation suivante:

= DE + 4 (lll.7) DE: est dtermine partir de la relation : ; = 0 La commande discontinue est donne par :

4 = F. ;GH; (lll.8) Les constantes F et < sont choisies par le concepteur de manire garantir la convergence de la trajectoire vers la surface de glissement. La commande est donne par :

= )*. )4 )


25

Figure lll.2a : La trajectoire du systme. Figure lll.2b : lerreur de poursuite du systme.

Figure lll.2c : la commande du systme Figure lll.2d : la rponse dans le plan de phase

avec(F = 18, < = 5).

Figure lll.2e : la drive de la trajectoire Figure lll.2f : lerreur de vitesse. La figure lll.2a montre une bonne poursuite de rfrence sans dpasser les limites dutilisation. La trajectoire dans le plan de phase figure lll.2d glisse au voisinage de la surface de glissement jusqu lorigine. On constate des commutations hautes frquence sur la commande (figure lll.2c) dont la cause est la prsence du terme discontinu. Une solution possible pour rduire ces commutations consiste en la synthse dun algorithme par modes glissants dordre deux.

2) commande par mode glissant dordre 2. Cette commande peut tre conue de deux manires : La premire base sur lutilisation dune surface de glissement identique celle de lordre 1.


26

La deuxime est base sur la thorie des modes glissants dordre 2.

1ere mthode (surface de glissement identique) : ; = 2 +


27

Figure lll.3e : l a drive de la trajectoire Figure lll.3f : rponse dans le plan de phase. En comparant ces rsultats avec ceux de la commande par MG1, on remarque que la mthode adopte [18] permet une bonne poursuite de la trajectoire avec un temps de convergence plus grand (figure lll.3a, figure lll.3b et lll.3f). La commande obtenue est lisse figure lll.3c mais sa drive est discontinue et similaire la commande par MG1.

2me mthode (MGO2 classique): Dans le but daugmenter la prcision, de diminuer le temps de convergence et de simplifier les calculs on utilise la thorie des modes glissants dordre 2 pour calculer la commande sans passer par le mode glissant dordre un. Pour cela il est ncessaire de dfinir une variable de glissement s tel que son degr relatif par rapport la commande soit gal 2. On prend donc :

; = 2 = )* )4 (lll.14) En drivant 2 fois lquation (lll.31) et en tenant compte des quations du systme (1).On obtient :

; = , + )4 + , (lll.15) Si on fait lhypothse que ainsi que sa drive par rapport au temps sont uniformment bornes, le choix de gain de commande implique quau bout dun temps fini, les trajectoires du systme voluent sur lensembleS2 [12]:

S2 = {xX s = ; = 0} (lll.16) La commande est fonction de la variable de glissement et de sa drive. En pratique le calcul de la drive est souvent difficile cest pourquoi nous avons implment un drivateur de Levant [9] pour estimer s et ses drives. Le modle de ce diffrentiateur est dcrit par le systme dquations suivant :

Y* = Y+


28

O Y*et Y+ sont les estimes de s et; respectivemment. Avec L vrifiant lingalit suivante :

|;| Lc. . d.L `6 + Kbsup|| (lll.19) Les paramtres g* + g+. i + `6

avecg* + g+. i > `6 (lll.23)

- Quasi-continue : = F ||j !

| |||j (lll.24)

Le paramtre F est choisi tel que : F. i `6 > 0 (lll.25) Les rsultats en simulation sont reprsents respectivement par les figures III.4 a-d, III.6 a-e * Commande PCL

Figure lll.4a: La trajectoire du systme Figure lll.4b : rponse dans le plan de phase.

Figure lll.4c : la drive de la trajectoire Figure lll.4d : la commande PCL


29

avec F = 18,Q = 3 *Commande Twisting

Figure lll.5a : La trajectoire du systme Figure lll.5b : lerreur de poursuite du systme.

Figure lll.5c: la rponse dans le plan de phase Figure lll.5d : la commande twisting avecg* = 16, g+ = 11.

* Commande quasi continue

Figure lll.6a: La trajectoire du systme Figure lll.6b :lerreur de poursuite du systme.

Figure lll.6c: drive de la trajectoire Figure lll.6d : la rponse dans le plan de phase.


30

Figure lll.6e : la commande quasi-continue avecF = 18,Q = 1

Les figures ci-dessus montrent que les diffrentes mthodes utilises donnent de trs bons rsultats pour le suivi de trajectoire. Les signaux de commande prsentent des discontinuits qui sont responsables des oscillations au voisinage de la surface de glissement.

III .2.2 Attnuation du chattering La prsence de la fonction signe dans les expressions des diffrentes lois de commande est la principale cause du phnomne de chattering. Pour rduire la frquence des commutations, on a utilis les solutions suivantes : - remplacer la fonction signe par la fonction tangente hyperbolique. - augmenter lordre du systme * utilisation de Tanh Les tests concernent respectivement les mthodes PCL et Twisting Les rsultats des simulations sont reprsentes par les figures III.7 a-7d et III.8a-8e

Figure lll.7a: La trajectoire du systme Figure lll.7b : la rponse dans le plan de phase.

Figure lll.7c: la drive de la trajectoire Figure lll.7d : la commande MPCL


31

avecF = 18, Q = 3)

Figure lll.8a : La trajectoire du systme Figure lll.8b : lerreur de poursuite du systme.

Figure lll.8c : la drive de la trajectoire Figure lll.8d :la rponse dans le plan de phase.

Figure lll.8e : la commande MTWG avecg* = 16, g+ = 11.

En plus de la bonne poursuite de trajectoire, les signaux de commande sont continus * augmentation de lordre du systme En drivant deux fois lexpression de s on a :

; = , + )4* + , (lll.26) En drivant ; par rapport au temps on obtient :

;L = m )L4* + ). (lll.27) O F est la premire drive de terme + par rapport au temps plus le terme .

|m )L4*| `6 (lll.28) 0 < i i (lll.29)


32

Si les conditions (ll.47) satisfaites donc on peut utiliser la loi de commande suivante :

= ( ;G|| > FF +|||| o pj [|| o !]||+|||| o j

;G|| F (lll.30)

La commande est fonction de S et de ses drives successives qui sont estimes par un

diffrentiateur (Diffrentiateur robuste exact). Les rsultats sont reprsents par les figures III .9a-III.9f)

Figure lll.9a : La trajectoire du systme Figure lll.9b : la rponse dans le plan de phase.

Figure lll.9c : la commande u Figure lll.9d : la drive de la commande avec F = 18, Q = 1

Figure lll.9e : drive premire de la trajectoire Figure lll.9f : deuxime drive de la trajectoire. Les rsultats sont trs bons et le chattering trs attnu. La prcision est trs bonne, de lordre de 8.10-5.


33

Cette technique savre plus lente et plus complique que les approches prcdentes. Le temps de convergence est gal 10 fois le temps de convergence des autres mthodes.

Conclusion Dans cette partie, on a prsent la commande du pendule invers par des mthodes de commande en modes glissants dordre suprieur. Bien que les rsultats de poursuite de trajectoire soient bons, on remarque que le signal de commande est discontinu pour les mthodes TWG, PCL et Quasi-Continue alors quil est continu dans les autres cas. Ceci a permis dattnuer ou dliminer le chattering

lll.2.3.systme multi variable : Dans cette partie, on va commander un robot manipulateur deux articulations.

Modle utilis : Le systme considr est un robot manipulateur constitu par deux articulations et deux segments rigides comme le montre la figure III .10

Figure lll.10: bras manipulateur deux articulations. Le modle dynamique du bras manipulateur est donn par lquation (III. 31):

qrr + `r, r r + sr = tr + u (lll.31) tr : est le vecteur des couples appliqus chacun des membres actionns du robot.

qr = v w* + w+x*+ w+x*x+;*;+ + y*y+w+x*x+;*;+ + y*y+ w+x++ z r + u (lll.32) `r, r = w+x*x+y*;+ ;*y+ v 0 r+r* 0 z (lll.33) sr = vw* + w+x*;*w+x+;+ z, r = [r*, r+]/ (lll.34)


34

qr : La matrice dinertie, `r, r : vecteur de dimension 2 reprsentant les forces de Coriolis et sr le vecteur de gravit de dimension (2 1). En prenant comme variables dtat les positions :)* = r* 2: )% = r+ ,le modle scrit :

)* = )+ )+ = *, + **,* + *+,+ + *

)% = )$ (lll.35) )$ = +, + +*,* + ++,+ + +

, = [)*, )+, )%, )$]/ , = [*, +]/ Les sorties commandes : * = )*, % = )%

*+, = +*, = 0 (sorties du systme dcouples). Les paramtres utiliss en simulation sont :

Masses des deux tiges : w* = 1{ , w+ = 1{ Longueurs des deux segments x* = 1w , x+ = 1w Positions angulaires r*, r+g|appartenant lintervalle [}/2, }/2]

= 9.8 w/;+ , ; = ;GHr , y = y;r , G = 1,2. Les trajectoires dsires sont :)4 = [;GH2:, 2y;2:, ;GH2:, 2y;2:]/ Les perturbations externes : = [0, ;GH 2: + ;GH 3:, 0, ;GH 2: + ;GH 3:]/ Les structures incertaines qui reprsentent les variations au niveau des masses sont :

w = w 0.2;GH2: + 0.5;GH3: Les conditions initiales : ,0 = [1, 0, 1, 0]

Calcul de la commande : Les variables de glissement sont choisies comme suit :

;* = )* )4* (lll.36) ;+ = )% )4% (lll.37)

On drive ;* et ;+par rapport au temps jusqu lapparition des entres u1 et u2. ;* = )* )4* (lll.38) ;* = )* )4* = )+ )4* (lll.39) ;* = *, + **,* + * )4* (lll.40) ;+ = )% )4% (lll.41) ;+ = )% )4% = )$ )4% (lll.42) ;+ = +, + ++,+ + + )4% (lll.43)


35

Etant donn que les degrs relatifs de ;* et de ;+ par rapport aux entres u1 et u2sont gaux respectivement deux H* = 22:H+ = 2, il nest pas possible dutiliser des lois de commande en mode glissant dordre un avec ce choix des variables de glissement. Il existe six constantes positives C01, Km1, KM1, C02, Km2 et KM2 telles que les ingalits suivantes soient vrifies afin dassurer une convergence en temps fini vers les ensembles de

glissement dordre 2 S2*etS2+:

|*, * 3 )4*| n `6*2:0 n i* P **, P i* (lll.44) |+, + 3 )4%| n `6+2:0 n i+ P ++, P i+ (lll.45)

S2* SxX s* * 0X (lll.46) S2+ SxX s+ + 0X (lll.47)

Figure lll.11 : le schma de principe de la commande

Rsultats des simulations et discussions : Dans cette partie, on prsente les rsultats obtenus en simulation pour les mthodes suivantes : - PCL et MPCL (utilisation de la fonction tanh au lieu de signe) : figures III.12a-III.12h -Twisting et MTwisting: figures III.13a-III.13f

Figure lll.12a : La trajectoire x1 du systme Figure lll.12b : La trajectoire x2 du systme


36

Figure lll.12c: Leffort appliqu u1 Figure lll.12d :leffort appliqu u2 avec (* = 200, + = 170, * = + = 11).

Figure lll.12e : la drive de trajectoire x1 Figure lll.12f : la drive de trajectoire x2

Figure lll.12g : la drive de e1 Figure lll.12h : la drive de e2

Figure lll.13a: La trajectoire x1 du systme Figure lll.13b : La trajectoire x2 du systme


37

Figure lll.13c: lerreur de poursuite e1 Figure lll.13d : lerreur de poursuite e2

Figure lll.13e: Leffort appliqu*Figure lll.13f: Leffort appliqu+ Les figures ci-dessus montrent que les deux erreurs de poursuite tendent vers la valeur nulle et que les signaux de commande sont continus pour les lois utilisant la fonction tanh au lieu de la fonction signe. Les performances obtenues sont satisfaisantes comme le montre la poursuite des trajectoires et une attnuation importante du phnomne de chattering est obtenue.

lll.3 Rgulation autour dun point dquilibre par mode glissant : Dans cette partie on va tester en simulation laptitude du contrleur mode glissant

dordre suprieur commander les instabilits dun systme non linaire (compresseur). lll.3.1.Le compresseur :

Les compresseurs sont des appareils destins raliser un accroissement de pression. Les fluides traversant les compresseurs peuvent tre de nature diverse : gaz pur, mlange gazeux, vapeur surchauffe ou sature. Le schma d'un compresseur axial avec ses diffrents constituants est reprsent sur la figure (lll.14) [24]. L'air traverse une srie d'aubes mobiles (rotor) et d'aubes fixes (stator) concentriques. Le rle du rotor est principalement daugmenter lnergie cintique de lair ainsi que sa pression statique. Le rle de stator est de rediriger lcoulement de lair vers la direction axiale afin de transformer lnergie cintique en pression.


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Figure lll.14 : lments constitutifs et ensemble du compresseur axial Les systmes de compression sont toujours assujettis des perturbations de natures diffrentes qui empchent leur bon fonctionnement. Dans notre tude, on sintressera llimination des instabilits de nature arodynamique (pompage et dcrochage tournant).

Pompage (surge) : Le pompage est un phnomne trs complexe qui prend naissance dans certaines conditions de fonctionnement. Il se manifeste lorsque le dbit volumique d'air descend en-dessous d'une certaine limite pour une vitesse de rotation donne. Il se produit alors des variations priodiques importantes de la pression et du dbit une frquence plus ou moins grande. Ces variations provoquent une vibration qui peut dtruire lquipement. Le pompage peut se manifester par un retour du fluide lorsque la pression dans le plenum est suprieure celle du compresseur.

Le dcrochage tournant : Le dcrochage tournant est une perturbation rencontre dans la plupart des turbomachines. Il se manifeste sous la forme d'une cascade de structures tournantes non stationnaires de distribution non uniforme qui se propagent travers l'anneau du compresseur (lment sur lequel s'attachent les aubes du stator) avec une vitesse qui varie entre 20-70 % de la vitesse de rotation du rotor. Ce phnomne prend naissance au niveau des aubes du compresseur. Le dcrochage tournant cause une rduction de pression et de dbit considrables qui limite les performances du systme de compression. Cette instabilit est responsable de problmes vibratoires importants. En pratique on peut avoir une combinaison du pompage et du dcrochage, connu sous le nom de pompage modifi.

Modle de Moore et Greitzer : Le modle de compression utilis par Moore et Greitzer est reprsent par la figure suivante :


39

Figure lll.15 : Systme de compression pour le modle Moore-Greitzer PT est la pression totale l'entre du systme et Ps est la pression statique dans le plenum. Ce modle [24] a t dvelopp pour un compresseur axial plusieurs tages. Il est dcrit par trois quations diffrentielles :

= *f / (III.48)

= + " 3

(III.49) = 1 +

(III.50) " = "6 + 1 + 1.5 0.5% / = 1, > 0 (lll.51)

"et /reprsentent les caractristiques du compresseur et du clapet de sortie. :

paramtre du clapet. : le coefficient de dbit,: la monte en pression et:le carr de lamplitude du dcrochage

tournant (fondamental). Le paramtre "6 reprsente la nature du compresseur etQ un paramtre fonction du rservoir

et de la vitesse de rotation.

Il est admis que le paramtrepeut-tre dcompos en = + , o est proportionnel

la section de la vanne du clapet et un paramtre reprsentant les perturbations dentre et de la chambre de combustion [24]. Lensemble des commandes assurant lquilibre est donn par la relation :

, , + , , D + = 0 (III.52) Pour D = 0

D = "D

(III.53) D + = D + 1 D ,D (III.54)

Pour D = 1 D+


40

DD = "6 + 1 + 1.5D + 2.5D%

(III.55) D + = D + 1 D , 1 < D < 1

(III.56) Un point dquilibre axisymtrique est un point avec D = 0 et un point dquilibre non

axisymtrique est un point oD > 0.

Le maximum de monte en pression est obtenu au point critique

6 = 1, 6 = "6 + 12:D = 0

En introduisant les nouvelles variables

2 = D,2 = D,2 = D (III.57) 2 = D (III.58)

Le modle scrit autour dun point dquilibre D , D , D , D de la manire suivante :

))(,,(),,(

)(

)(

)(

+++=

euueRgRf

dt

ed

dt

ed

dtRed

(III.59)

lll.3.2.Simulation et discussion : Les paramtres du compresseur utiliss en simulation sont [24] : "6 = 0.1469, = 5.7756,Q = 0.1837

Les tests ont t raliss pour les lois de commande suivantes : - Twisting et Twisting Modifi - Quasi continue (Chattering attenuation) - Fuzzy Quasi continu :

Dans ce cas le schma de commande du compresseur est reprsent par la figure ci-dessous :

Figure lll.16 : exemple du contrleur FSM dun compresseur axial.


41

Test1

Le contrleur est conu pour le point dquilibre non axisymtrique, D = 0.5et les conditions initiales6 = 0.7, 6 = 0.45, 6 = 0.4

Figure lll.17a : les erreurs de position pour la mthode TWG. Figure lll.17b: les erreurs de position pour la mthode MTWG

Figure lll.17c : leffort appliqu pour TWG Figure lll.17d : leffort appliqu pour MTWG

Les figures (lll.17a-b) montrent que le systme est amen au point dquilibre dsir. Les trois variables 2, 22:2tendent vers des valeurs nulles. Les figures(lll.17c-d) montrent que le signal de commande propose (MTWG) est continu contrairement celui de (TWG). En comparant les rsultats, la stratgie propose (MTWG) donne un bon rsultat avec un temps de convergence plus court.

Figure lll.18a :les erreurs de poursuite Figure lll.18b : la commande QC base sur


42

lalgorithme"chattering attnuation"

Figure lll.19a : les erreurs de poursuite Figure lll.19b :la commande propose "FZQC".

Figure lll.20a : les erreurs de poursuite Figure lll.20b : la commande "QC" Daprs les simulations prcdentes, le contrleur FZQC donne les meilleurs rsultats avec une commande continue comme le montre la figure (lll.19b). Lordre de prcision obtenue est donn par le tableau suivant :

QC FZQC QC.CH.AT TWG MTWG Er 3*10-7 7*10-13 10-4 10-8 2*10-13

Efi 5*10-7 5*10-14 10-4 6*10-6 8*10-15

Epsi 10-3 3*10-14 10-4 10-2 7*10-13

Tableau lll. 1 : Comparaison des rsultats

Test2 Dans ce test, en commande simultanment le pompage et le dcrochage tournant au point dquilibre critique dfini par: D = 1,D = "6 + 22:D = 0 Les paramtres de simulation sont choisis gaux "6 = 2.52:Q = 0.6698. A: = 0, le

systme volue sous la commande eu partir des conditions initiales :6 = 0.8, 6 = 0.75,

6 = 2.9


43

1) Le pompage et le dcrochage tournant apparaissent pour = 0.8525. A: = 40, on applique au systme la commande du contrleur TWG et MTWG.

Figure lll.21a : erreurs des variables de Figure lll.21b : erreurs des variables desortie sortie (TWG) (MTWG)

Figure lll.22: signal de commande.

Les variables2 , 22:2convergent vers des voisinages des valeurs nulles comme indiqu

par la figure (lll.21a-b).

Ainsi, sous laction du contrleur twisting modifi figure (lll.22), le systme se stabilise au point dquilibre axisymtriqueD = 1, D = "6 + 22:D = 0 et les instabilits se

trouvent limines. La figure (lll.21b) montre que les trois erreurs de poursuite tendent vers la valeur nulle ce qui implique lefficacit de contrleur propos pour les systmes SIMO.

3) les contrleurs bass sur la commande QC :


44

Figure lll.23a : les erreurs de poursuite Figure lll.23b : la commande propose "FZQC".

Figure lll.24a : les erreurs de poursuite Figure lll.24b : la commande "QC".

Figure lll.25a : les erreurs de poursuite Figure lll.25b : la commande QC base sur lalgorithme "chattering attnuation"

Les figures (lll.23a, lll.24a, lll.25a) montrent que sous laction des contrleurs les instabilits (le pompage et le dcrochage tournant) sont limines et les diffrentes variables convergent vers leurs rfrences. Le signal de commande est born pour les trois cas, figures (lll.23b, lll.24b, lll.25b).La commande FZQC et QC.CH.AT. devient lisse rapidement. la mthode FZQC donne le meilleur temps de rponse ainsi que la meilleure prcision (il est de lordre 10-13) avec une limination complte du phnomne de chattering.

Conclusion : Les rsultats obtenus en simulation montrent que :


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- Les erreurs de poursuite tendent vers des valeurs nulles - Les signaux de commande sont continus pour les lois utilisant la fonction tanh au lieu de la fonction signe (MPCL,MTWG, CH.ATT) - Les performances obtenues en poursuite sont satisfaisantes et une attnuation importante du phnomne de chattering est constate pour les mthodes utilisant la fonction signe (TWG, PCL et Quasi-Continue) - Les instabilits du compresseur sont limines en un point de fonctionnement prouvant les bonnes performances en rgulation. - Les signaux de commande FZQC et QC.CH.AT sont continus et deviennent lisses rapidement. - La mthode FZQC donne le meilleur temps de rponse ainsi que la meilleure prcision (il est de lordre 10-13) avec une limination complte du phnomne de chattering.

Conclusion gnral

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Conclusion gnral

La commande classique des systmes en mode glissant dordre un prsente, en gnral, linconvnient majeur du phnomne de chattering. Pour attnuer ou liminer celui-ci, des solutions ont t proposes en remplaant le terme discontinu (fonction signe) par une fonction continue (tangente hyperbolique, saturation etc ). Cependant, mme en appliquant cette mthode, on n'a pas pu liminer les commutations sur la commande en MGO1. Rcemment, les chercheurs se sont intresss de nouvelles mthodes de commande par modes glissants dordre suprieur, bases sur la thorie de lhomognit et lordre de glissement.

Dans ce travail, on a tudi plusieurs lois de commande par mode glissant dordre suprieur (ordre 2 et arbitraire). La commande par MGOS est base sur la variable de glissement et le rejet des discontinuits de la commande vers les drives dordre suprieur. Les commandes obtenues sont discontinues et dans le but dliminer ou dattnuer le chattering rsultant, on a remplac la fonction discontinue (signe) par une fonction continue (tanh). Les rsultats en simulation de lapplication des diffrentes lois montrent que : - Les erreurs de poursuite tendent vers des valeurs nulles - Les signaux de commande sont continus pour les lois utilisant la fonction tanh au lieu de la fonction signe (MPCL,MTWG, CH.ATT) - Les performances obtenues en poursuite sont satisfaisantes et une attnuation importante du phnomne de chattering est constate pour les mthodes utilisant la fonction tanh (TWG, PCL et Quasi-Continue) - Les instabilits du compresseur sont limines en un point de fonctionnement prouvant les bonnes performances en rgulation. - Les signaux de commande FZQC et QC.CH.AT sont continus et deviennent lisses rapidement. - La mthode FZQC donne le meilleur temps de rponse ainsi que la meilleure prcision (de lordre de 10-13) avec une limination complte du phnomne de chattering.

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Annexe A

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Annexe A :

A.1.Introduction :

Depuis les annes 80, les systmes bass sur la logique floue sont devenus lun des domaines de recherche les plus fructueux en automatique. les travaux contemporains se sont inspirs des recherches de Mamdani sur le contrle flou et ont t motivs par les articles de Zadeh sur lapproche linguistique dans le rglage des systmes. A partir de 1985, la logique floue est applique dans les systmes de rglage, les systmes experts ainsi que dans les systmes de dcision pour la reconnaissance de formes, etc. le domaine dapplication le plus important est celui du rglage et de la commande de systmes industriels. La plupart des applications industrielles sont ralises au Japon : appareils photo, contrleurs de racteurs nuclaires, as

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Commande Des Systèmes Non Linèaires Par Mode Glissant ordre supérieur