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DEA Matiere Condensee, Surfaces et Interfaces Avril–Juillet 2001
Rapport de Stage
effectue au Laboratoire d’Electronique, Optoelectronique etMicroelectronique
Micro-resonateurs sans cavites abase de cristaux photoniques
bidimensionnelsJosselin Mouette
Responsable de stage : Pierre Viktorovitch
Table des matieres
Remerciements 5
Introduction 6
1 Cristaux photoniques : theorie et modelisation 7I Introduction aux cristaux photoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1 Qu’est-ce qu’un cristal ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Quelques notions d’optique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Periodicite d’un systeme optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Un exemple simple : le miroir de Bragg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
II Simulation des proprietes des structures periodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Theoreme variationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Methode de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
III Les problemes actuels dans le domaine des cristaux photoniques . . . . . . . . . . . . 131 Des technologies pour leur fabrication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Des cavites resonantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Des guides d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
IV Approche generale des systemes optiques a une dimension . . . . . . . . . . . . . . . 151 Comportement de deux interfaces paralleles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Cas d’une lame quart d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Cas d’une lame demi-onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Conception des structures 18I Position du probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1 Confinement de l’energie electromagnetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Utilisation de ce phenomene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
II Choix de la structure a fabriquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Quelques idees de structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Choix de la technologie de realisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Un element passif ou actif ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
III Des contraintes imposees par la technologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Choix du type de cristal photonique : reseau et remplissage . . . . . . . . . . 202 Choix des couches et de leurs epaisseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Parite des modes mis en jeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
IV Optimisation du parametre de maille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Etude de la structure de bandes du cristal photonique bidimensionnel . . . . 232 Analyse des structures de bandes tridimensionnelles . . . . . . . . . . . . . . 243 Choix final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 Fabrication et caracterisation des structures 27I Les etapes de la realisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1 Epitaxie des couches successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 Gravure du motif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Sous-gravure de la couche sacrificielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3
TABLE DES MATIERES
II Caracterisation optique des structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 Premiere approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 Obtention d’un effet remarquable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 Influence du taux de remplissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
III Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 Mise en relation de la theorie et de l’experience . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 Examen des conditions d’apparition du pic de photoluminescence . . . . . . . 333 Analyses restant a faire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Conclusion et Perspectives 35
Bibliographie 36
A L’equation aux valeurs propres de Maxwell pour un systeme periodique 39
B Traitement perturbatif de l’equation aux valeurs propres de Maxwell 41I Relation de dispersion dans un materiau uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41II Interaction des bandes dans un materiau legerement perturbe . . . . . . . . . . . . . 42III Interaction entre deux bandes contigues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
C L’epitaxie par jets moleculaires 46I Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46II Application aux materiaux III–V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46III Avantages et inconvenients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
D Structuration d’un motif par lithographie electronique et gravure ionique reac-tive 48I Preparation de l’echantillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48II Creation d’un masque par lithographie electronique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49III Report du masque par gravure ionique reactive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
E La sous-gravure selective en voie humide 52I Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52II Le probleme... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52III ... et sa solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
F La spectroscopie de photoluminescence 54I Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54II Dispositif experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54III Avantages et inconvenients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4
Remerciements
Je tiens tout d’abord a remercier Guy Hollinger pour m’avoir recu au sein de son laboratoirependant ces 4 mois de stage.
Je remercie de meme Pierre Viktorovitch pour son accueil chaleureux dans l’equipe « compo-sants » du LEOM.
Merci a Christian Seassal, pour son encadrement toujours tres pedagogique qui m’a apprisbeaucoup en peu de temps. Merci egalement a Xavier Letartre pour sa presence, sa conversationenrichissante et ses eclaircissements sur de nombreux sujets.
Je remercie encore Jean-Louis Leclercq, Philippe Regreny, Pedro Rojo-Romeo et l’ensemble deschercheurs du LEOM pour leur aide precieuse et leur disponibilite pour m’avoir appris a manipulerles concepts et les technologies que j’ai utilises.
Merci a Christelle Monat et Christian Grillet avec qui j’ai eu le plaisir de collaborer, ainsi qu’al’ensemble des doctorants du laboratoire pour leur convivialite.
Merci egalement a Edouard Touraille, avec qui j’ai partage bureau et idees, et avec qui j’espereles partager encore pour 3 ans.
Je tiens a remercier enfin Jacques Joseph, Jean-Louis Barrat et Jean-Alex Losdat pour m’avoiraide dans les demarches administratives.
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Introduction
Depuis la decouverte du transistor, l’electronique integree a progresse avec une rapidite toujourscroissante. L’integration des composants sur des micro-puces a base de silicium atteint aujourd’huides dimensions inferieures au micron, et fonctionne a des frequences depassant le gigahertz. Cetype de composants est toutefois en passe d’atteindre ses limites au niveau de la transmission desinformations a ces frequences.
Parallelement, la possibilite de transmettre des informations a haut debit sur des centaines, voiredes milliers de kilometres, grace aux fibres optiques a base de silice vitreuse, a entraıne l’essor del’optoelectronique et l’integration de nombreux composants actifs (diodes, lasers), passifs (differentstypes de detecteurs), ou les deux (repeteurs). Toutefois, ces composants restent de dimensionsmillimetriques, ce qui conduit a des dispositifs volumineux et souvent peu sensibles.
C’est en 1987 que les cristaux photoniques furent concus [1, 2] ; ces composes, qui consistent aintroduire une periodicite de l’indice optique d’un materiau, se sont rapidement imposes comme unesolution d’avenir pour la realisation de composants photoniques, qui permettent d’agir directementsur la lumiere et de la manipuler.
A partir de ces cristaux photoniques, il est possible de realiser des guides d’onde aux dimensionsextremement reduites et pouvant suivre des trajectoires fortement courbees. On peut egalementrealiser des cavites resonantes de taille tres reduite, pouvant servir de sources ou de filtres. L’en-semble va permettre a moyen terme de remplacer toute l’optoelectronique classique par des com-posants plus petits, moins couteux et plus performants. Qui plus est, ils sont parfaitement adaptesa l’interconnexion dans la microelectronique.
Le point faible de ce type de structures reste leur capacite a interagir avec le milieu exterieur.Il a donc ete propose une nouvelle application de ces cristaux photoniques, se basant non sur lagamme de frequence dans laquelle les photons ne peuvent pas circuler, mais sur les proprietesde propagation de la lumiere dans ces materiaux. C’est sur la comprehension des phenomenesphysiques en question et la realisation de ce type de composants qu’est base ce travail.
Nous allons tout d’abord presenter les outils mathematiques et physiques necessaires a la des-cription de ce type de systemes, ainsi que les applications existantes des cristaux photoniques. Puisnous nous interesserons a la conception de structures simples basees sur ce principe. Enfin, nouspresenterons les etapes de leur realisation et de leur caracterisation.
Ce travail a ete effectue dans le cadre du projet « MOEMS Coherents », soutenu par la regionRhone–Alpes.
6
Chapitre 1
Cristaux photoniques : theorie etmodelisation
I Introduction aux cristaux photoniques
1 Qu’est-ce qu’un cristal ?
Considerons un systeme quelconque : d’apres la theorie quantique, les etats accessibles a ce sys-teme peuvent etre decrits par les etats des differents electrons du systeme. En regime stationnaire,ces etats sont donnes par l’equation aux valeurs propres de Schrodinger :
HΨ(n) = EnΨ(n), (1.1a)
ou H = −~2−→∇2
2m+ U(−→r ). (1.1b)
Un cristal, par definition, est un materiau solide constitue d’un arrangement periodique d’atomes.Cela se traduit formellement par la periodicite du potentiel U(−→r ) : U(−→r ) = U(−→r +
−→R) pour tout
vecteur−→R du reseau de Bravais. La forme des etats propres nous est alors donnee par le theoreme
de Bloch [3] :
Ψn,−→k(−→r ) = ei
−→k .−→r u
n,−→k(−→r ), (1.2a)
avec un,−→k(−→r +
−→R) = u
n,−→k(−→r ). (1.2b)
Le calcul des etats propres revient donc a calculer les un−→k
pour tout−→k . De plus, la forme du
theoreme de Bloch conduit a :
un,−→k +
−→K
= un,−→k
, (1.3)
pour tout−→K appartenant au reseau reciproque. On peut donc restreindre l’etude a la seule premiere
zone de Brillouin.Une bonne partie des proprietes d’un cristal est decrite par sa structure de bandes : il s’agit
de la representation des valeurs propres E(n,−→k ) en fonction du vecteur d’onde
−→k sur les axes de
haute symetrie du cristal.
2 Quelques notions d’optique quantique
Au-dela de l’echelle atomique, les systemes de nature optique et electromagnetique sont ac-tuellement parfaitement decrits par les equations de Maxwell [4], qui s’ecrivent dans un milieu
7
CHAPITRE 1. CRISTAUX PHOTONIQUES : THEORIE ET MODELISATION
materiel :
−→∇ .−→B = 0 (1.4a)
−→∇ .−→D = ρ (1.4b)
−→∇ ∧
−→E +
∂−→B
∂t=
−→0 (1.4c)
−→∇ ∧
−→H − ∂
−→D
∂t=
−→j . (1.4d)
Par la suite, nous allons nous interesser a des milieux dielectriques, lineaires, et sans proprietesmagnetiques (ce qui est le cas de la plupart des materiaux dielectriques que l’on utilise experimen-talement). Dans ce type de milieu, il n’y a pas de charges locales (ρ = 0), et la densite de courantest nulle (
−→j = 0). Les equations precedentes se simplifient donc en :
−→∇ .−→B = 0 (1.5a)
−→∇ .(εr
−→E) = 0 (1.5b)
−→∇ ∧
−→E +
∂−→B
∂t=
−→0 (1.5c)
−→∇ ∧
−→B − εr
c2
∂−→E
∂t=
−→0 . (1.5d)
Ces equations etant lineaires,−→E et
−→B peuvent etre vus chacun comme une superposition de
modes harmoniques. On peut donc resoudre ces equations pour un seul mode de pulsation ω, enconsiderant :
−→B(−→r , t) =
−→B(−→r )eiωt (1.6a)
−→E(−→r , t) =
−→E(−→r )eiωt, (1.6b)
l’etat reel du systeme etant une superposition quelconque de ces modes.De l’equation 1.5d, on tire :
−→E =
c2
iωεr
−→∇ ∧
−→B , (1.7)
et l’equation 1.5c devient alors :
−→∇ ∧
(1εr
−→∇ ∧
−→B)
=ω2
c2
−→B . (1.8)
Notons que la condition de transversalite (1.5a) est contenue dans cette expression, puisque−→B
est un rotationnel.
En introduisant l’operateur tensoriel Θ =−→∇ ∧
1εr
−→∇ , on peut donc completement determiner le
champ−→B pour un mode par :
Θ−→B =
(ω
c
)2−→B (1.9)
On peut demontrer [5] que l’operateur Θ est hermitique. Le probleme revient donc a trouver lesvecteurs propres d’un operateur hermitique. Il est donc tres similaire a l’equation 1.1, a part quel’on manipule des grandeurs vectorielles et non scalaires.
L’operateur Θ est appele operateur de Maxwell, et l’equation 1.9 est appelee equation auxvaleurs propres de Maxwell.
8
I. INTRODUCTION AUX CRISTAUX PHOTONIQUES
3 Periodicite d’un systeme optique
Dans un systeme optique periodique, l’information sur la periodicite est contenue dans la fonc-tion εr(−→r ) ; on a alors pour tout vecteur
−→R du reseau de Bravais :
ε(−→r +−→R) = ε(−→r ). (1.10)
L’operateur Θ possede alors egalement cette periodicite, et est hermitique : il commute doncavec les operateurs de symetrie de translation correspondant a la periodicite du systeme.
On peut donc appliquer le theoreme de Bloch1 ; les etats propres de Θ (et donc les modesautorises) sont tels que :
−→B
n,−→k(−→r ) = ei
−→k .−→r −→u
n,−→k(−→r ), (1.11)
avec −→un,−→k(−→r +
−→R) = −→u
n,−→k(−→r ). (1.12)
De meme qu’en physique du solide, les etats accessibles aux photons sont alors donnes par lecalcul des −→u
n,−→k
et des ω(−→k ) dans la premiere zone de Brillouin.
Cependant, la nature des photons qui vont venir occuper ces modes est fort differente de cellesdes electrons venant occuper les etats d’un cristal. On peut noter principalement les differencessuivantes :
1. Les photons n’interagissent pas entre eux. Ainsi, les modes sont totalement independants desoccupations des autres modes. Ceci permet de resoudre le probleme de facon exacte avec lesseules equations de Maxwell.
2. L’energie d’un photon ne peut pas etre modifiee. Il peut etre absorbe ou emis, sinon il conservesa frequence.
3. Les photons sont des bosons. Un etat donne peut donc contenir un nombre arbitraire dephotons, quelle que soit sa pulsation. Sans presence de source de lumiere, leur repartition suitla statistique de Bose–Einstein ; a temperature ambiante pour un cristal photonique agissantdans le proche infrarouge, on peut considerer que seul l’etat fondamental y est peuple. Enrevanche, la presence d’une source de photons va placer ceux-ci dans les etats accessibles,jusqu’a ce qu’ils sortent du systeme considere ou qu’ils soient absorbes.
4 Un exemple simple : le miroir de Bragg
Considerons une succession de couches transparentes, mais d’indices optiques differents. Si on lessuperpose de facon periodique, on obtient un cristal photonique unidimensionnel. Nous allons doncetudier un exemple simple pour comprendre les mecanismes mis en jeu dans un cristal photonique :
une succession de couches d’indices n1 et n2 voisins, et d’epaisseursa
2(a est donc la periode de ce
cristal photonique).Pour ce faire, nous allons utiliser le formalisme decrit en annexe B : on considere que les couches
ont des indices peu differents, et on traite le probleme par la theorie des perturbations, a partir d’unmateriau uniforme d’indice n0. Les courbes de dispersion du materiau uniforme sont des droites de
pentec
n0(representees figure B.1 page 42). Tant que les pulsations des etats sont eloignees les unes
des autres, elles different peu des valeurs libres (comme l’indique la relation A.14). En revanche,quand deux droites se croisent, on a un couplage decrit par l’equation B.25 :
ω2 =ω2
1 + ω22
2±
√√√√(ω21 − ω2
2
2
)2
+(c2∣∣f−→∆K
∣∣ (−→k −−→K1).(−→k −
−→K2)
)2
. (1.13)
Dans ce cas unidimensionnel, les vecteurs du reseau reciproque sont :
−→K i = i
2πa−→ex. (1.14)
1Pour une demonstration simple de ce theoreme dans le cadre de l’optique quantique, on se reportera a l’annexeA.
9
CHAPITRE 1. CRISTAUX PHOTONIQUES : THEORIE ET MODELISATION
D’autre part, les droites se croisent pour :∣∣∣−→k −−→K i
∣∣∣ =∣∣∣−→k −−→K j
∣∣∣ , (1.15)
soit pour i 6= j,−→k −
−→K i = −(
−→k −
−→K j) (1.16)
−→k =
12(−→K i +
−→K j). (1.17)
Au point de croisement des droites, les pulsations des modes autorises en tenant compte ducouplage sont :
ω2 = ω20 ± c2
∣∣f−→∆K
∣∣(−→∆K2
)2
(1.18)
ωω0
=
√√√√1±c2
ω2
∣∣f−→∆K
∣∣(−→∆K2
)2
(1.19)
' 1±c2
ω2
∣∣f−→∆K
∣∣2
(−→∆K2
)2
, (1.20)
ou les coefficients de Fourier f−→∆K
sont, en considerant−→∆K = n
2πa−→ex :
f−→∆K
= fn =1a
∫ a2
− a2
e−2iπn xa
εr(x)dx (1.21)
=1a
∫ 0
− a2
e−2iπn xa
n21
dx +1a
∫ − a2
0
e−2iπn xa
n22
dx (1.22)
=1− e−inπ
2iπn n21
+e−inπ − 12iπn n2
2
. (1.23)
On a donc au final : fn = 0, pour n pair
fn =1
inπ
(1n2
1
−1n2
2
), pour n impair. (1.24)
De plus, les frequences de croisement ω0 sont en fait :
ωn = ncπ
n0a. (1.25)
Donc en conclusion, aux croisements des bandes de la structure « libre », on observe pour lesn impairs, c’est-a-dire en bord de zone de Brillouin, une repulsion entre les bandes, conduisant aun ecart en pulsation :
∆ω =c2∣∣f−→∆K
∣∣ωn
(−→∆K2
)2
(1.26)
=c2
nπ
(1n2
1
−1n2
2
)n0a
ncπ
(nπ
a
)2
(1.27)
=cn0
a
(1n2
1
−1n2
2
). (1.28)
La structure de bandes pour l’ensemble de la premiere zone de Brillouin est representee fi-gure 1.1 ; on observe, en bordure de cette zone, une courbure de bande induisant une (et meme
10
II. SIMULATION DES PROPRIETES DES STRUCTURES PERIODIQUES
0
ω
2π
aPremiere Zone de Brillouin
k
∆ω
∆ω
Fig. 1.1 : Structure de bandes d’un miroir de Bragg ; en pointilles, les bandes du materiau uni-forme ; en traits pleins, celles tenant compte de la perturbation.
plusieurs2) plage de pulsations (de largeur ∆ω) qu’aucun mode autorise ne possede. Ces modessont donc interdits, et ne peuvent pas se propager dans la structure. Comme celle-ci n’est pas ab-sorbante, c’est qu’ils sont tout simplement reflechis, d’ou le nom de miroir de Bragg. En pratique,quelques alternances de couches d’indices differents et assez eloignes suffisent a constituer un miroirreflechissant a 99 %.
Cette gamme de modes existe egalement pour un bon nombre de structures cristallines bidi-mensionnelles et tridimensionnelles. Elle est appelee Bande Interdite Photonique (BIP), ou, commeen physique du solide, gap. Son importance est capitale : c’est sur elle que sont basees quasimenttoutes les applications des cristaux photoniques, comme nous allons le voir.
II Simulation des proprietes des structures periodiques
1 Theoreme variationnel
Les methodes de calcul numerique des structures de bandes photoniques sont fondees, nonsur le calcul perturbatif que nous avons utilise pour l’approche qualitative, mais sur la methodevariationnelle, couramment utilisee en mecanique quantique [6].
Afin d’utiliser un formalisme similaire a celui de la mecanique quantique, nous allons considererun etat comme la valeur du champ
−→B(−→r ) sur l’ensemble de l’espace (notons que dans le cas des
calculs periodiques, on peut se restreindre a une cellule elementaire du reseau de Bravais). Onnotera simplement cet etat
−→B : il appartient a l’espace des fonctions de R3 dans R3 respectant la
condition de transversalite−→∇ .−→B = 0.
On introduit egalement le produit scalaire suivant :
(−→G ,−→H) =
∫∫∫ −→G?.
−→H d−→r . (1.29)
Pour un systeme fini, l’integrale porte sur tout l’espace ; elle converge forcement, car les champsfinissent par s’annuler en s’eloignant du systeme. Pour un systeme periodique, l’integrale porte surune cellule elementaire du reseau (on prend en general la cellule de Wigner–Seitz).
On peut alors ecrire le theoreme variationnel pour l’electromagnetisme [5]. Celui-ci stipule queles etats propres de l’operateur hermitique Θ (c’est-a-dire les modes propres de notre systeme) sont
2Experimentalement, seule la premiere est utilisee, car c’est celle qu’on controle le mieux.
11
CHAPITRE 1. CRISTAUX PHOTONIQUES : THEORIE ET MODELISATION
les minima locaux de la fonctionnelle :
F(−→B) =
12
(−→B ,Θ
−→B)
(−→B ,−→B)
. (1.30)
De plus, la pulsation de l’etat solution est alors egale a c√
2F. Ainsi, l’etat fondamental estcelui qui minimise globalement la fonctionnelle F. L’etat suivant est celui qui la minimise dans lesous-espace des
−→B orthogonaux (au sens du produit scalaire 1.29) a l’etat fondamental, et ainsi de
suite.
2 Methode de calcul
Pour un systeme periodique, le theoreme de Bloch stipule que le champ−→B peut etre indexe par
le vecteur d’onde−→k dans la premiere zone de Brillouin et par un entier n (equation A.13) :
−→B−→
k ,n(−→r ) = ei
−→k .−→r
∑−→K
−→c −→k −
−→K
e−i−→K .−→r . (1.31)
Pour un−→k donne, la determination des differents jeux de −→c −→
k −−→K
nous donne les etats associes,ainsi que leurs pulsations. Ceci permet donc de determiner completement les structures de bandes.
Pour ce faire, on reecrit la fonctionnelle F dans l’espace de Fourier. On peut voir page 40 quele resultat de l’operateur Θ applique a un coefficient de Fourier de
−→B est3 :
Θ−→c −→k −
−→K
=∑−→K ′
f−→K ′−
−→K
(−→k −
−→K) ∧
((−→k −
−→K ′) ∧ −→c −→
k −−→K ′
). (1.32)
On en deduit donc :
(−→B ,Θ
−→B) =
∑−→K
∑−→K ′
f−→K ′−
−→K−→c ?−→
k −−→K
.((−→k −
−→K) ∧
((−→k −
−→K ′) ∧ −→c −→
k −−→K ′
)), (1.33)
soit F =12
∑−→K
∑−→K ′ f−→
K ′−−→K−→c ?−→
k −−→K
.((−→k −
−→K) ∧
((−→k −
−→K ′) ∧ −→c −→
k −−→K ′
))∑−→K
∑−→K ′−→c ?−→
k −−→K
.−→c −→k −
−→K ′
. (1.34)
En pratique, l’operateur Θ est represente sous forme de ses coefficients dans la base des vecteursdu reseau reciproque. La machine initialise les −→c −→
k −−→K
a des valeurs aleatoires. Ensuite, elle itereces valeurs en cherchant a faire diminuer F, tout assurant la condition de transversalite :
−→c −→k −
−→K
.(−→k −
−→K) = 0, (1.35)
et l’orthogonalite du mode avec tous les modes propres deja trouves :
∀−→B ′ valeur propre de Θ,
∑−→K
−→c ?−→k −
−→K
.−→c ′−→k −
−→K
= 0. (1.36)
Avec un algorithme d’iteration approprie, la convergence est tres rapide.
Notons que contrairement au cas de la mecanique quantique, les calculs sont realises ab initio,avec pour seule approximation la discretisation de l’espace de travail. En effet, les equations deMaxwell sont exactes dans les limites des connaissances actuelles, et les proprietes electromagne-tiques du materiau que l’on etudie sont connues (et contenues dans ε(−→r )). En diminuant le pas dediscretisation, on peut s’approcher avec une precision arbitraire des courbes de dispersion exactes.
Pour calculer les structures de bandes presentees plus loin, nous avons utilise le logiciel MPB(MIT Photonic Bands), developpe au MIT par Steven G. Johnson4, pour sa flexibilite, et pourl’ouverture de son code qui permet de connaıtre son fonctionnement et ses limites.
3C’est plus precisement le premier terme de l’equation A.11.4Pour plus d’informations, voir sur http://ab-initio.mit.edu/mpb/
12
III. LES PROBLEMES ACTUELS DANS LE DOMAINE DES CRISTAUX PHOTONIQUES
III Les problemes actuels dans le domaine des cristaux pho-toniques
1 Des technologies pour leur fabrication
Actuellement, la majorite des dispositifs a base de cristaux photoniques sont des cristaux bi-dimensionnels fabriques sur des couches a base de semiconducteurs III–V. En effet, la technologiede l’epitaxie par jets moleculaires (voir annexe C) est bien maıtrisee et permet de synthetiser desstructures par lithographie electronique et gravure ionique reactive (voir annexe D). Notons qu’ilne s’agit pas la de veritables cristaux photoniques bidimensionnels, car ils sont tres limites dans ladirection verticale.
D’autres technologies similaires semblent plus prometteuses. Tout d’abord, a partir de couchesepitaxiees de semiconducteurs III–V, il est possible de realiser des membranes suspendues, parsous-gravure en phase aqueuse (technique decrite dans l’annexe E). Nous discuterons plus loin desinterets et des limites de cette technologie, que nous avons utilisee pour realiser des structures.
Une autre technique de plus en plus utilisee [7] consiste a graver les motifs sur un substrat desilicium sur isolant ou SOI5 : il consiste en un substrat de silicium monocristallin, sur lequel ona depose une couche de silice, et une nouvelle couche de silicium monocristallin. C’est dans cettederniere couche qu’est grave le cristal photonique.
Ces deux methodes permettent d’obtenir des cristaux photoniques bidimensionnels avec un fortcontraste d’indice : dans le premier cas, le semiconducteur III–V a un indice eleve (par exemple, ilest de 3,17 pour l’InP) et est entoure d’air d’indice 1 ; dans le second, le silicium d’indice 3,5 estentoure d’air et de silice (indice 1,5). Ces types de cristaux photoniques sont ceux qui possedentles plus grandes bandes interdites.
La recherche s’oriente egalement vers des cristaux photoniques ayant un faible contraste d’indice.Leur bande interdite est etroite, mais la faible difference d’indice avec le milieu environnant permetde limiter les pertes par diffusion dues a l’epaisseur limitee de la couche. Ainsi, la propagation desphotons est permise sur de plus grandes distances. De tels materiaux sont aujourd’hui realises parexemple a partir d’une couche de polymere deposee sur un substrat de Teflon [8].
Afin de realiser des circuits photoniques totalement tridimensionnels, des equipes ont egalementcommence a s’interesser a la realisation de cristaux photoniques tridimensionnels possedant unebande interdite assez consequente. Plusieurs technologies ont ete explorees ; citons en particulier lalithographie electronique [9], la lithographie holographique [10], et l’auto-assemblage de particulescolloıdales [11].
2 Des cavites resonantes
Considerons un cristal photonique bidimensionnel6 ; il est en general constitue d’un reseau detrous perces dans un materiau dielectrique, ou de colonnes de dielectrique dans l’air.
Dans un cas comme dans l’autre, considerons un defaut localise : un emplacement ou le troun’est pas perce, ou bien ou il n’y a pas de colonne. Plus generalement, on peut faire varier le rayonde la colonne ou du trou en question pour faire varier continument la perturbation qu’on introduit.Si on injecte dans ce defaut un mode electromagnetique dont l’energie est dans la bande interditedu cristal photonique situe autour, il se retrouve completement confine, vu qu’il est entoure d’unmateriau reflechissant a cette longueur d’onde.
En fait, le probleme physique est decrit par une cavite ; seuls certains modes y sont doncautorises. Les frequences de ces modes dependent du defaut, mais en faisant varier le rayon dudefaut, on peut atteindre n’importe quelle frequence situee dans la bande interdite [12]. De plus,en utilisant les symetries des modes en question, il est possible d’accroıtre l’excitation d’un modequi nous interesse.
5Pour Silicium On Insulator.6Des recherches sont menees pour realiser des dispositifs similaires dans des cristaux photoniques tridimensionnels,
mais elles n’ont pour l’instant pas abouti.
13
CHAPITRE 1. CRISTAUX PHOTONIQUES : THEORIE ET MODELISATION
Guide rectiligne
Guide courbe
Guide et anneau resonantGuide de cavites couplees
Fig. 1.2 : Quelques exemples de structures guidantes dans un cristal photonique bidimensionnel.
L’interet de ces cavites est de realiser des sources de lumiere certes peu directives, mais treslocalisees et intenses ; il est possible d’utiliser l’effet laser si leur facteur de qualite est suffisammenteleve.
Une des principales limites a ce facteur de qualite est qu’actuellement ces cavites sont realiseesdans des cristaux photoniques bidimensionnels. Il faut alors realiser le confinement des modes enquestion dans la troisieme dimension. De bons resultats ont ete obtenus en utilisant la reflexiontotale dans une membrane suspendue de semiconducteur III–V, avec obtention de l’effet laser [13],mais egalement en placant le cristal photonique entre l’air et une couche d’indice plus faible [14].
3 Des guides d’onde
Si, en utilisant un defaut ponctuel, on peut confiner la lumiere a l’interieur, il est alors egalementpossible, en creant un defaut lineaire, d’orienter la propagation de la lumiere dans une directionchoisie. Ce type de guides d’onde est cree a partir d’un cristal photonique en otant une ou plusieursrangees de trous (ou de colonnes, selon le materiau considere). Comme pour les cavites, ce typede guides est realise a partir de cristaux photoniques bidimensionnels, en utilisant la reflexiontotale sur deux couches d’indices plus faibles sises autour du cristal photonique. On commencetoutefois a rencontrer quelques structures tridimensionnelles, qui presentent un confinement bienplus important mais sont beaucoup plus delicates a realiser.
On realise depuis longtemps des guides d’onde a base de dielectriques : l’onde se propage dans undielectrique d’indice assez fort, et se reflechit totalement sur les bords, constitues d’un dielectriqued’indice plus faible. C’est le principe des fibres optiques. Contrairement a ce type de structures,les guides d’ondes bases sur les cristaux photoniques ne permettent pas des transmissions sur degrandes distances, car le confinement dans la direction verticale est moins bon, d’ou des fuites pardiffusion. En revanche, il est possible de realiser par ce biais des guides beaucoup plus etroits (del’ordre de la longueur d’onde). Qui plus est, comme le confinement n’est pas lie a une reflexiondirecte sur les parois, mais a une reflexion progressive sur 2 a 3 rangees de trous (ou de colonnes),il est possible de courber les guides, comme on peut en voir un exemple sur la figure 1.2. Si onarrive a se debarrasser des problemes de reflexion dans la direction incidente [15], ces virages sonten principe sans pertes [16].
Si on recourbe l’un de ces guides sur lui-meme, on obtient un anneau. Seuls quelques modespeuvent rester dans cet anneau, et il est possible d’en coupler certains avec un guide rectilignepassant a proximite. On obtient ainsi un filtre tres selectif. Il est egalement possible de realiser cetype de filtre avec des cavites resonantes comme celles decrites au paragraphe precedent.
14
IV. APPROCHE GENERALE DES SYSTEMES OPTIQUES A UNE DIMENSION
(t1, r1)
(t2, r2)
n1
n
n2
d
A1eik1x
Aeikx Be−ikx
B1e−ik1x
A2eik2x
x
Fig. 1.3 : Schema general des ondes electromagnetiques se propageant dans 3 milieux quand onintroduit une onde dans l’un des milieux, dans la direction normale aux interfaces.
Enfin, il est possible d’utiliser un alignement de telles cavites [17]. Celles-ci se couplent entreelles, formant un guide dont la gamme de frequences autorisees est tres reduite.
IV Approche generale des systemes optiques a une dimen-sion
Nous avons etudie precedemment les systemes periodiques infinis ; un systeme possedant ungrand nombre de periodes peut y etre assimile avec une bonne approximation. Nous allons a presentetudier l’approche opposee, qui consiste a etudier des systemes simples ne possedant a priori aucuneperiodicite.
1 Comportement de deux interfaces paralleles
Considerons une couche d’epaisseur d, d’indice optique n, qui separe deux milieux d’indices n1
et n2. Les deux interfaces sont definies par les coefficients de transmission ti et de reflexion ri duchamp electrique dans la direction normale. On a par exemple :
t1 =2n1
n + n1(1.37a)
r1 =n1 − n
n + n1. (1.37b)
Notons que les coefficients de transmission et de reflexion pour une onde se propageant dans la
direction des x decroissants seront donc respectivement t′1 =n
n1t1 et r′1 = −r1.
On introduit alors dans le milieu 1 une onde electromagnetique plane, qui se propage dans ladirection orthogonale aux interfaces, avec une amplitude A1. Elle se propage avec un vecteur d’onde
ki =2πλ
ni dans le milieu i. Elle subit a chaque interface une reflexion et une transmission. En regimepermanent, on observera une onde reflechie, d’amplitude B1, une onde transmise, d’amplitude A2,et une onde se propageant dans chaque sens a l’interieur de la couche d’indice n.
On cherche a etudier la forme des ondes dans tout l’espace, et en particulier dans la couched’indice n. On commence donc par ecrire l’onde se propageant dans la direction des x croissants al’interieur de la couche comme la somme d’une onde transmise et d’une onde reflechie au niveaude la premiere interface :
A = t1A1 − r1B, (1.38)
et on ecrit de meme au niveau de la seconde interface :
Be−ikd = r2Aeikd, (1.39)soit B = r2Ae2ikd. (1.40)
15
CHAPITRE 1. CRISTAUX PHOTONIQUES : THEORIE ET MODELISATION
Notons que cette seule expression nous montre d’ores et deja la forme des ondes a l’interieurde la couche d’epaisseur d : il s’agit de la superposition d’une onde stationnaire et d’une ondeprogressive dans la direction des x croissants.
L’amplitude A va nous etre donnee en reportant cette expression dans l’equation 1.38 :
A = t1A1 − r1r2Ae2ikd (1.41)
A =t1
1 + r1r2e2ikdA1 =
t1
1 + r1r2e2i 2πλ nd
A1. (1.42)
2 Cas d’une lame quart d’onde
On appelle lame quart d’onde une couche de materiau d’indice n et d’epaisseurλ
4n, λ etant la
longueur d’onde de travail7. Dans ce cas, on a :
B = −r2A, (1.43)
avec, si n est superieur a n1 et n2, r1 < 0 et r2 > 0. On a alors a l’interieur de la couche :
E = A(eikx − r2e
−ikx)
(1.44)
= A((1− r2)eikx + 2r2 sin(kx)
). (1.45)
On a donc dans la lame une onde progressive, et une onde stationnaire qui possede un maximumau niveau de la seconde interface. A cause des interferences destructives a l’interieur de la couche,l’energie contenue dans l’onde stationnaire ne sera donc pas transmise a travers le systeme. Onvoit donc ici immediatement l’interet de ce type de dispositifs : il s’agit d’un miroir (certes nonparfaitement reflechissant). Afin de calculer son coefficient de reflexion, on ecrit :
B1 = r1A1 + t′1B (1.46)
= r1A1 −t1t
′1r2
1− r1r2A1. (1.47)
On va se restreindre au cas simple d’une lame d’indice n placee dans l’air, d’indice 1. On aalors :
r2 = −r1 = −r =n− 1n + 1
(1.48a)
t2 = t′1 = nt1 = nt =2n
n + 1, (1.48b)
et on en deduit :
ρ =B1
A1= r +
nt2r
1 + r2=
r + r3 + nt2r
1 + r2(1.49)
=2 1−n
1+n
2 1+n2
(1+n)2
(1.50)
=1− n2
1 + n2. (1.51)
Par exemple, pour n = 3, on obtient un coefficient de reflexion ρ2 = 64 %.Ce type de miroir reste toutefois moyennement reflechissant sur une plage de frequences assez
large, ce qui ne presente pas d’interet direct. C’est en empilant une suite de telles couches d’indicesalternes qu’on obtient un miroir fortement reflechissant pour une bonne plage de frequences : c’estun miroir de Bragg.
7Ce peut egalement etre toute couche de materiau d’epaisseur (2p + 1)λ
4n.
16
IV. APPROCHE GENERALE DES SYSTEMES OPTIQUES A UNE DIMENSION
3 Cas d’une lame demi-onde
Considerons a present une couche d’indice n et d’epaisseurλ
2n. On a dans la couche en question :
B = r2A, (1.52)
et le champ electrique a l’interieur s’ecrit donc (pour n superieur a n1 et n2) :
E = A(eikx + r2e
−ikx)
(1.53)
= A((1− r2)eikx + 2r2 cos(kx)
). (1.54)
Ce type de lame ne presente pas d’interet direct en tant que composant. En revanche, le champa l’interieur presente une propriete interessante : son amplitude est minimale au milieu de la couche,ou seule reste une onde plane dont l’amplitude est (pour n1 = n2 = 1) :
C = (1− r2)A = (1 + r)t
1 + r2A1 (1.55)
=2
1 + n2A1. (1.56)
Ainsi, une lame d’epaisseurλ
2nvoit les ondes electromagnetiques envoyees sur elle comme la
somme d’une onde plane de faible amplitude, et d’une onde stationnaire qui s’annule en son centre.
17
Chapitre 2
Conception des structures
I Position du probleme
1 Confinement de l’energie electromagnetique
Comme nous l’avons vu, la principale application actuelle des cristaux photoniques consistea utiliser leur bande interdite pour separer les materiaux en une partie ou les photons peuventcirculer et une partie ou ils ne le peuvent pas. Cependant, les cristaux photoniques possedentd’autres proprietes interessantes dans les bandes permises.
En effet, si on considere un mode de pulsation ω et de vecteur d’onde−→k , la vitesse de propaga-
tion de l’energie contenue dans ce mode est la vitesse de groupe, qui s’ecrit dans le cas unidimen-sionnel :
vg =dωdk
, (2.1)
et qui se generalise en −→vg =−→∇−→
kω. (2.2)
Cette vitesse de groupe se deduit donc aisement de la structure de bandes photonique. Enconsequence, un point de cette structure qui presente un extremum dans toutes les directionscorrespond a un mode dans lequel l’energie ne se propage pas : subsequemment, des photonsintroduits dans ce mode auront une grande duree de vie vis-a-vis des pertes laterales du cristalphotonique. On peut donc peupler ces modes avec une tres grande energie sans que celle-ci sedisperse.
2 Utilisation de ce phenomene
A la base, l’idee est d’utiliser les points de la structure de bandes ou−→∇−→
kω s’annule, pour que
les modes correspondant a une plage de frequences assez faible aient une grande duree de vie parrapport a celle des autres modes. On utilise un cristal photonique bidimensionnel, afin de pouvoirle faire facilement interagir avec l’exterieur via la direction orthogonale. Le confinement dans cettetroisieme direction est assure en entourant la couche qui contient le cristal par des couches d’indicesoptiques plus faibles.
injectionde lumiere
mode confine
cristal photonique
mode rayonne
mode non confine
guide plan
Fig. 2.1 : Schema global du principe des structures realisees.
18
II. CHOIX DE LA STRUCTURE A FABRIQUER
Le principe de fonctionnement des structures que nous allons realiser est represente figure 2.1.L’objectif est de faire interagir ces modes confines avec les modes dits propagatifs ou rayonnes, quise propagent dans la direction verticale. En effet, les modes qui sont introduits par un moyen ou unautre dans le cristal photonique sont rapidement dissipes par les cotes de celui-ci (car sa dimensionest finie), a l’exception des frequences situees au niveau d’un extremum de bande, qui vont mettrebeaucoup plus de temps : le systeme agit comme si l’indice etait tres eleve, prenant la lumiere dansune « melasse » optique. Chaque photon pris dans le cristal photonique possede une certaine dureede vie vis-a-vis du couplage avec les modes rayonnes. Grossierement, seuls ceux dont la duree devie par rapport aux pertes laterales est plus grande pourront etre transferes par couplage dans cesmodes rayonnes. Ces modes sont bien ceux qui sont situes au niveau des extremums de bandes.
On se restreindra pour le moment aux extremums de bandes situes au voisinage de Γ. En effet,Il est explique dans l’annexe F pourquoi il ne nous est pour l’instant possible que de realiser desmesures dans une direction d’emission verticale. Cette direction d’emission correspond a un vecteurd’onde nul pour les modes confines dans le cristal photonique.
On va pouvoir utiliser ce phenomene pour realiser 2 grands types de structures : des filtres, etdes sources de lumiere.
II Choix de la structure a fabriquer
1 Quelques idees de structures
Pour realiser des filtres, on va chercher a obtenir une forte interaction entre les modes rayonneset les modes confines dans la structure. Ainsi, la plus grande partie possible de la lumiere passedans la couche qui contient le cristal photonique, et seuls les modes qui sont egalement confineslateralement vont pouvoir se coupler a nouveau avec les modes rayonnes, pour repartir en etanttransmis ou reflechis, suivant la configuration.
Il devrait egalement etre possible d’obtenir des filtres accordables. En effet, en positionnantdeux dispositifs de ce type a une faible distance l’un de l’autre (de l’ordre de la longueur d’onde),les calculs predisent l’obtention d’un filtre d’une grande finesse. Qui plus est, il serait alors possiblede faire varier la distance entre les dispositifs en utilisant la technologie des MOEMS1 a base demembranes suspendues2 ; on obtiendrait alors un filtre accordable extremement selectif.
D’autre part, il va etre possible de realiser des sources de lumiere de largeur spectrale reduite,et dont on va pouvoir controler la directivite. En effet, en injectant directement de la lumiere dansla structure avec une technique appropriee, sur une largeur spectrale qui contient un extremumde bande, les modes correspondants vont etre confines spatialement alors que les autres modesvont rapidement sortir de la structure, lateralement. Si lesdits modes confines sont peu couplesavec les modes rayonnes, il va falloir un temps assez long avant qu’ils ne sortent de la structure,ce qui favorise les modes dont l’energie ne se propage pas. On peut ainsi obtenir une source delumiere de faible largeur spectrale. En allant plus loin, si le dispositif d’introduction des photons estapproprie et si les modes restent confines suffisamment longtemps, on peut meme esperer obtenirl’effet laser. Notons que la position de l’extremum sur la structure de bandes va determiner ladirection privilegiee de l’emission.
En revanche, la realisation de sources directement accordables paraıt difficile a effectuer de faconsimple. En effet, il est possible de coupler deux sources comme nous l’avons decrit pour les filtres,mais injecter de la lumiere simultanement dans les deux dispositifs superposes reste une operationdelicate.
2 Choix de la technologie de realisation
Pour comprendre certains choix techniques qui ont ete faits, il nous faut revenir sur la methodede calcul utilisee pour simuler les structures (expliquee page 12). Celle-ci nous impose de considerer
1Micro-Opto-Electro-Mechanical Systems, ou micro-dispositifs opto-electro-mecaniques.2Cette technique, developpee au LEOM, consiste a fabriquer plusieurs membranes suspendues convenablement
dopees, et a appliquer une tension entre ces membranes afin de les deplacer.
19
CHAPITRE 2. CONCEPTION DES STRUCTURES
le systeme comme periodique. La periodicite dans les deux directions horizontales est une bonneapproximation, car il va etre possible de realiser un grand nombre de periodes dans ces directions.En revanche, il nous faut egalement considerer le systeme comme etant periodique dans la directionverticale, ce qui n’est pas vraiment le cas.
Ainsi, si le systeme est constitue d’une membrane d’indice n0 entouree de couches d’indices n1
et n2, il faut le modeliser comme la succession periodique de la cellule suivante :– une couche d’une epaisseur consequente d’indice n1,– le systeme physique, realise dans la couche d’indice n0,– une couche assez epaisse d’indice n2 ;
et ce, meme si les epaisseurs physiques des couches d’indice n1 et n2 sont beaucoup plus petites.Nous verrons page 24 que la seule introduction de cette periodicite pose des problemes d’in-
terpretation des structures de bandes. Cependant, on risque d’introduire une plus grande sourced’erreurs : une interface entre les materiaux n1 et n2 qui n’existe pas physiquement. Il n’est possiblede s’affranchir de cette source d’erreurs qu’en utilisant une technologie pour laquelle n1 = n2. Lesstructures qui correspondront le mieux aux simulations numeriques qui en sont faites sont donc lesmembranes suspendues. Rappelons que ce type de structure consiste en une couche de semicon-ducteur III–V maintenue au-dessus d’une couche d’air, et en-dessous de l’air de l’atmosphere.
Ce choix technologique impose egalement le type du cristal photonique : il sera constitue detrous d’air perces dans cette membrane de fort indice.
3 Un element passif ou actif ?
A premiere vue, la realisation d’un element passif semble plus aisee que celle d’une source delumiere : il suffit en effet de preparer une membrane suspendue ou le motif est grave. Cependant, lacaracterisation de ce type de dispositifs est peu pratique ; en effet, il faut disposer d’une source delumiere accordable sur une plage de frequences relativement large, eclairer l’echantillon avec cettesource, et analyser la lumiere reemise a cette frequence.
En revanche, il est possible, moyennant une etape technologique supplementaire, de realiserun dispositif dans lequel on va introduire directement la lumiere aux frequences de travail. Eneffet, lors de l’epitaxie des couches de semiconducteurs III–V, on peut introduire a l’interieur d’unecouche des ılots quantiques de dimensions tres reduites. Pour ce faire, on epitaxie un materiau enleger desaccord de maille avec la couche precedente [18]. Au bout de quelques couches atomiquesepitaxiees, les contraintes se relaxent, et les atomes deposes viennent former des ılots de formepyramidale plus ou moins organises, et de taille (quelques nanometres de haut et quelques dizainesde nanometres de large) et de dispersion en taille assez bien controles. Si on reprend l’epitaxie dumateriau precedent par-dessus ces ılots, ils sont completement pris dans la couche de ce materiau.
Par la suite, en illuminant la surface dans le proche infrarouge (environ 900 nm), il est possiblede creer dans chaque ılot un exciton3, qui se desexcite rapidement en emettant un photon a unelongueur d’onde dependant de la taille de l’ılot, situee dans l’infrarouge lointain4. Les frequencesde l’ensemble des photons emis par ces ılots sont donc definies par leur repartition en taille.
Ainsi, en positionnant une couche d’ılots de ce type au cœur de notre structure, il va etre possibled’injecter directement la lumiere dans le cristal photonique, realisant une source de lumiere facilea caracteriser puisque ne necessitant qu’un analyseur de spectre. C’est pour cette principale raisonque nous avons choisi, pour la premiere realisation, un composant actif. Son allure generale estresumee sur la figure 2.2.
III Des contraintes imposees par la technologie
1 Choix du type de cristal photonique : reseau et remplissage
Pour la premiere structure que nous avons gravee, nous avons choisi, plutot que de recherchertelle ou telle caracteristique sur un reseau, d’utiliser un reseau dont les caracteristiques sont bienconnues (car il est actuellement le plus repandu) : le reseau triangulaire. Celui-ci possede qui plus est
3A savoir une paire electron–trou correlee.4Nous travaillerons a des longueurs d’onde voisines de 1,5 µ.
20
III. DES CONTRAINTES IMPOSEES PAR LA TECHNOLOGIE
Substrat
couche active
air
membrane
Fig. 2.2 : Schema general de la structure que nous allons realiser.
la plus grande rigidite de tous les reseaux bidimensionnels, ce qui est important pour la realisationde membranes suspendues.
Ce type de reseaux a ete tres etudie, en particulier pour des taux de remplissage5 assez eleves.On sait donc deja qu’ils presentent plusieurs extremums de bandes assez plats, en particulier auniveau de Γ (le centre de la zone de Brillouin). Comme nous le verrons dans le paragraphe 2, ilfaut choisir a l’avance le taux de remplissage du cristal photonique, nous avons donc choisi 40 %.
2 Choix des couches et de leurs epaisseurs
Pour realiser une membrane de semiconducteur III–V, il faut utiliser un substrat semiconducteurpour servir de support a l’epitaxie. Afin qu’il possede le meme parametre de maille que la membranesuspendue, on utilise le meme materiau. On epitaxie sur ce substrat une couche dite sacrificielled’un melange de semiconducteurs etudie pour pouvoir etre elimine plus tard tout en restant enaccord de maille avec le substrat, puis une couche du semiconducteur en question, qui constituerala membrane.
Exactement au milieu de cette couche, il nous faut placer une fine couche d’ılots quantiquesdestines a emettre des photons dans la gamme de frequences que nous allons utiliser.
De plus, il faut noter que l’epitaxie des couches est la premiere etape du processus de realisationdes structures, et la plus couteuse. Il nous faut donc definir une fois pour toutes les epaisseurs descouches a deposer. On choisit donc une longueur d’onde de travail unique, en restant conscient quepour obtenir un systeme identique fonctionnant a une autre longueur d’onde, il suffit de multipliertoutes les dimensions par un facteur d’echelle (et d’adapter les ılots quantiques pour la bonnelongueur d’onde, ce qui n’est pas forcement evident).
Rappelons que notre but est, en excitant les ılots quantiques, d’introduire des photons dans lesmodes de vitesse de groupe faible ou nulle du cristal photonique, puis que ces modes interagissentavec les modes rayonnes. Il n’est donc pas dans notre interet de voir ces modes rayonnes directement
excites par les ılots. Pour cette raison, on choisit de prendre une couche d’epaisseur optiqueλ
2. Ainsi,
l’amplitude des modes rayonnes est minimale au niveau des ılots, ce qui va permettre d’eviter queles photons emis viennent directement exciter ces modes.
Tout le probleme est donc de savoir quel sera l’indice optique de cette couche vue (une foisgravee) par un mode rayonne. Un melange de materiaux (ici, l’air et le semiconducteur) dont lalongueur caracteristique est du meme ordre de grandeur que la longueur d’onde peut difficilementetre considere comme un melange homogene. De facon generale, la description d’un milieu constitued’alternances de deux ou plusieurs materiaux est un probleme epineux [19]. Il est toutefois possible,lorsque la polarisation de l’onde incidente est telle que
−→E est parallele a la couche, de decrire notre
milieu avec une approximation pas trop mauvaise par une constante dielectrique :
ε = x1ε1 + x2ε2, (2.3)
ou x1 et x2 sont les taux volumiques des materiaux 1 et 2.Dans notre cas, pour un cristal photonique constitue de 40 % d’air et de 60 % de semiconducteur
d’indice n0, l’indice est donc :
n =√
0,4 + 0,6n0. (2.4)5Quand on parle de taux de remplissage pour des structures constituees de trous perces dans un materiau, il
s’agit de la proportion d’air et non de la proportion de materiau.
21
CHAPITRE 2. CONCEPTION DES STRUCTURES
Pour de l’InP d’indice 3,17, cela donne une couche d’indice moyen 2,54. C’est ce semiconducteurqui a ete choisi, pour son indice assez eleve, un bon contraste d’indice permettant un meilleurconfinement dans la direction verticale.
Le choix de l’epaisseur de la couche d’air qui separe la membrane est fait de facon a minimiserencore le champ electrique situe au centre de la couche active. En effet, si on choisit une couche
d’epaisseur (2p+1)λ
4, celle-ci se comporte comme un miroir (voir page 16). Ce faisant, on augmente
l’amplitude de l’onde stationnaire dans la couche contenant le cristal photonique, au detriment del’onde progressive, ce qui diminue encore les pertes par rayonnement direct des ılots quantiques
vers l’exterieur. Une couche d’epaisseurλ
4serait trop fine, la membrane risquant de venir se coller
au substrat6 ; on choisit donc une couche d’epaisseur3λ4
ou5λ4
.
3 Parite des modes mis en jeu
Dans notre modelisation, on considere la membrane de semiconducteur comme etant entoureede deux demi-espaces infinis d’air. Ainsi, le systeme possede une symetrie de reflexion par rapportau plan median de la membrane. Dans ce cas, et si on se restreint a des vecteurs d’onde situes dans leplan horizontal, les modes sont, par rapport a ce plan, soit symetriques (on les qualifiera de pairs),soit antisymetriques (ou impairs) [20]. Notons que cette symetrie qualifie le champ electrique ; lechamp magnetique, etant un pseudo-vecteur, possede la symetrie inverse.
Comme les modes impairs s’annulent au centre de la couche, ils ne vont pas ou tres peu interagiravec les ılots quantiques qui y sont situes. Ainsi, ils ne seront pas peuples et par consequent nenous interessent pas. Nous pourrons donc restreindre le calcul des structures de bande aux seulsmodes pairs, en imposant cette parite directement lors du calcul des modes.
Qui plus est, comme seuls les modes pairs seront peuples, on remarque qu’ils ne pourront pas oupeu interagir avec la partie stationnaire des modes rayonnes, qui est impaire ; en effet, le couplageentre deux modes7 (c’est-a-dire la probabilite de transition de l’un a l’autre) s’exprime, au premierordre de la theorie des perturbations appliquee a l’optique quantique, par :
ptransition ∝∫∫∫ −→
B 1.(W−→B 2
)d−→r , (2.5)
ou W est le tenseur de perturbation, du ici a la presence des trous dans la membrane, et−→B 1
et−→B 2 sont les champs magnetiques dans les modes en question. Si W est pair (ce qui est le cas de
nos trous perces sur toute l’epaisseur) et que−→B 1 et
−→B 2 ont des parites opposees, la probabilite de
transition est nulle ; les modes ne se couplent pas.Les modes peuples du cristal photonique interagiront donc relativement peu avec les modes
rayonnes, puisque seule la partie propagative pourra beneficier du couplage. C’est d’autant plusinteressant pour nous que nous cherchons a realiser une source, et que la finesse est d’autant plusimportante que l’interaction avec les modes rayonnes est faible.
IV Optimisation du parametre de maille
La structure a realiser est pour l’instant presque completement definie, il nous reste a choisirun parametre de maille a pour le cristal photonique que nous allons graver. Ce parametre doit etreadapte de facon a avoir un extremum de bande suffisamment plat dans la gamme de frequencesemises par les ılots quantiques, sachant que cette gamme est d’environ 20 % autour de la longueurd’onde de travail λ0.
6Qui plus est, les modelisations ne seraient plus valables, car, les modes du cristal photonique etant evanescentssur les bords de la couche le contenant, ils iraient empieter sur le substrat.
7Seuls deux modes de meme energie pourront se coupler, car il est impossible pour les photons de la modifier.
22
IV. OPTIMISATION DU PARAMETRE DE MAILLE
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0Γ M ΓK−→
k
a
λ
Fig. 2.3 : Structure de bandes d’un cristal photonique a reseau bidimensionnel triangulaire, et 40 %de remplissage. On a represente en abscisse le vecteur d’onde sur les axes de hautesymetrie, et en ordonnee le quotient du parametre de maille par la longueur d’onde detravail dans le vide.
1 Etude de la structure de bandes du cristal photonique bidimensionnel
On commence par considerer un cristal photonique bidimensionnel infini. Il s’agit d’un espacerempli d’InP, dans lequel on a perce un reseau triangulaire de cylindres infinis d’air. On simulecette structure afin de determiner sa structure de bandes. Notons qu’il est difficile de parler deparite ou imparite des champs dans un systeme qui possede la symetrie de translation ; les modesvont posseder dans tout l’espace les proprietes qu’ils ont dans le plan de symetrie d’une structuretridimensionnelle.
– Aux modes pairs vont correspondre des modes dont le champ magnetique est vertical, et lechamp electrique est dans le plan horizontal ; ces modes sont dits TE8.
– Aux modes impairs vont correspondre des modes dits TM9 pour lesquels le champ magnetiqueest dans le plan horizontal, le champ electrique est vertical.
Afin d’avoir une premiere idee de ce qui se passera dans une couche meme assez fine, on com-mence donc par etudier la structure de bandes de ce systeme bidimensionnel, en se restreignantaux modes dits TE. Notons qu’il n’est pas necessaire de se definir un parametre de maille pour lemoment, puisque le changer revient a appliquer un facteur d’echelle a l’ensemble de la structure,ce qui est equivalent a changer la frequence de travail.
La structure de bandes en question est representee sur la figure 2.3. On remarque que le « bas »de la structure est similaire aux calculs que nous avons effectues chapitre 1, mais que plus onmonte en frequence, plus les bandes sont rapprochees, ce qui conduit a une structure de plus enplus complexe, qui plus est dans laquelle un grand nombre d’etats sont accessibles pour tous lesvecteurs d’onde. On va donc eviter de se placer dans cette zone, mais on va plutot chercher lespremiers extremums de bande.
On remarque en particulier que la bande qui apparaıt en bleu sur la figure (au voisinage dea
λ= 0, 5, ainsi que celle qui apparaıt en brun (vers
a
λ= 0, 6, possedent chacune une faible vitesse
8Pour Transverse Electric, par analogie avec les modes de l’optique guidee. Il s’agit la d’un abus de langage, carles conditions les definissant ne sont pas les memes.
9Pour Transverse Magnetic.
23
CHAPITRE 2. CONCEPTION DES STRUCTURES
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
M K ΓΓ −→k
a
λ
Fig. 2.4 : Structure de bandes, dans le plan horizontal, d’une couche demi-onde contenant un cristalphotonique triangulaire, avec un taux de remplissage de 40 %. La periodicite dans latroisieme direction est assuree par une separation entre deux couches de 4 fois leurepaisseur. On a represente en grise la gamme d’emission des ılots quantiques.
de groupe sur une zone importante autour de Γ, centre de la premiere zone de Brillouin. On vadonc chercher a se placer a un parametre de maille voisin de 0,5 λ0 pour que la premiere bandesoit dans le spectre d’emission des ılots (ou 0,6 λ0 pour la seconde). Cependant, quand on va passerd’un cristal photonique infini a une couche de faible epaisseur, on peut s’attendre a ce que les etatssoient destabilises, et donc que leur energie augmente. On va donc se placer d’ores et deja un peuplus haut en energie.
2 Analyse des structures de bandes tridimensionnelles
On considere donc a present une couche de semiconducteur d’epaisseur e =λ02n
, placee dansl’air, et percee d’un reseau de trous dont on fixe le parametre de maille a = 0,6 λ0. On cherchea calculer la structure de bandes de ce dispositif ; cependant, le principe de leur calcul requiertun systeme periodique. On represente donc le systeme comme une succession periodique de tellescouches separees par une epaisseur d’air suffisamment importante pour que les modes confines dansune couche n’aillent pas interagir avec ceux de la couche voisine par evanescence.
En separant deux couches consecutives par une couche d’air 4 fois plus epaisse, on obtient lastructure de bandes representee figure 2.4. Cette structure est assez similaire (du moins pour lesfaibles pulsations) a celle du cristal photonique bidimensionnel representee figure 2.3, a deux detailsnotables pres :
– comme nous l’avions prevu, les bandes sont decalees vers les plus hautes energies ;– on observe des bandes supplementaires, qui n’ont pas la meme allure que celles du cristal
photonique bidimensionnel.
Afin de comprendre l’origine de ces bandes supplementaires, on calcule la structure de bandesdu meme systeme, mais en separant les couches par 8 fois leur epaisseur ; le resultat est consignefigure 2.5. On voit que leur frequence est alors grandement diminuee. On remarque egalement qu’auniveau de Γ ces bandes possedent approximativement des frequences ω, 2ω, 3ω...
On comprend des lors qu’il s’agit la des bandes d’energie de l’air qui entoure la couche. Parexemple, en Γ, les modes de vecteur d’onde nul sont permis, mais egalement (pour ne citer qu’eux)
24
IV. OPTIMISATION DU PARAMETRE DE MAILLE
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
−→k
a
λ
Γ M ΓK
Fig. 2.5 : Structure de bandes d’un cristal photonique bidimensionnel contenu dans une couchedemi-onde. Dans la direction verticale, deux couches consecutives sont separees par del’air sur 8 fois leur epaisseur.
tous ceux ayant un vecteur d’onde de la forme p2πl−→ez , ou l est la periode que nous avons imposee
artificiellement dans la direction verticale. Si on continue d’ecarter les couches, ces modes viennentremplir toutes les pulsations superieures a c
∥∥∥−→k ∥∥∥, qui est la pulsation minimale d’un mode librecorrespondant a une propagation parallele a la couche. Les etats accessibles aux modes de l’air sontdonc delimites par un cone appele cone de lumiere.
Au-dela de ce cone, il devient difficile de discerner les modes de l’air (qui ne nous interessentpas) des modes qui restent confines dans la couche. On y parvient toutefois pour des pulsationspas trop elevees, car pour un ecartement entre deux couches consecutives de quelques fois leurepaisseur, les bandes des modes confines sont deja identiques a celles qu’on observerait dans unecouche prise seule.
3 Choix final
Comme on le voit sur les figures 2.4 et 2.5, choisir le parametre de maille a = 0,6 λ0 permetd’obtenir une structure pour laquelle un extremum de bande assez plat, et situe en Γ, est contenudans la gamme d’emission des ılots quantiques.
Cependant, la presence en Γ a cette frequence de 3 bandes degenerees risquant de produiredes effets difficiles a interpreter, nous avons prefere nous interesser en premier lieu a la bande
superieure, situee au voisinage dea
λ= 0,7 sur les figures correspondant a a = 0,6 λ0, et qui n’est
degeneree qu’avec une seule autre bande au niveau de Γ. Pour atteindre cette autre bande, il fautrealiser une structure de parametre de maille plus eleve.
La figure 2.6 represente la structure de bandes qu’on obtient pour un parametre de maillea = 0,8 λ0, avec une separation entre deux couches assez consequente. Dans la gamme de l’emissiondes ılots quantiques, on a bien la bande que nous cherchions a faire occuper par les photons. Ona egalement une chance d’observer une bande isolee, meme si la vitesse de groupe correspondanteest plus elevee.
Ainsi, c’est avec un parametre de maille egal a 0,83 λ0 que les premieres structures ont etefabriquees et caracterisees comme nous allons le presenter. D’autres le seront prochainement avec
25
CHAPITRE 2. CONCEPTION DES STRUCTURES
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
a
λ
−→k
Γ M ΓK
Fig. 2.6 : Structure de bandes de notre cristal photonique, avec un parametre de maille egal a 0,8 λ0(λ0 est la longueur d’onde centrale de l’emission des ılots quantiques). La periodicite dansla troisieme direction est assuree par une separation entre deux couches de 10 fois leurepaisseur.
d’autres parametres de maille, et certainement d’autres motifs cristallins.
26
Chapitre 3
Fabrication et caracterisation desstructures
Les structures que nous avons definies dans le chapitre 2 ont ete fabriquees avec les moyenstechnologiques du LEOM, puis caracterisees par spectroscopie de photoluminescence.
I Les etapes de la realisation
1 Epitaxie des couches successives
A partir d’un substrat d’InP monocristallin, nous avons realise, par epitaxie par jets molecu-laires (voir annexe C), la succession de couches qui constituera plus tard la structure suspendue.Rappelons qu’il s’agit :
– d’une couche destinee a etre eliminee plus tard, constituee en l’occurrence d’un alliage InxGa1−xAs
choisi pour avoir le meme parametre de maille que l’InP, et d’epaisseur3λ04
(λ0 etant la lon-
gueur d’onde de travail) ;– d’une premiere couche d’InP ;– d’une tres fine couche d’ılots quantiques concus pour emettre a la longueur de travail, consti-
tues d’InAs ;– d’une seconde couche d’InP, l’ensemble de ces deux couches avec les ılots devant faire une
epaisseur deλ02n
.Compte tenu de la technologie utilisee pour realiser les ılots, ainsi que des premieres applications
envisagees, qui sont tres liees aux fibres optiques des telecommunications, lesquelles sont utiliseesa des longueurs d’onde de 1,55 µ, nous avons choisi cette longueur d’onde comme longueur d’ondecentrale de l’emission des ılots.
Ainsi, la couche sacrificielle doit avoir une epaisseur de 1160 nm, et la couche d’InP une epaisseurtotale de 305 nm.
2 Gravure du motif
On dessine alors un reseau triangulaire de parametre de maille a = 1, 29 µ constitue de cylindresde rayon r = 428 nm (correspondant a un taux de remplissage de 40 %). Ce reseau est grave dansla couche d’InP superficielle, par une methode de lithographie electronique et de gravure ioniquereactive, decrite en annexe D.
Ces structures ont ete realisees en faisant varier la duree d’exposition au faisceau d’electrons lorsde la sensibilisation. En effet, de faibles variations des proprietes de celui-ci, comme il s’en produitentre une lithographie et la suivante, suffisent a sous-exposer ou a surexposer l’echantillon, sensi-bilisant insuffisamment la resine dans le premier cas (la structure est alors totalement inexistanteapres gravure), creant des trous trop grands et aux formes mal definies dans le second cas.
27
CHAPITRE 3. FABRICATION ET CARACTERISATION DES STRUCTURES
Fig. 3.1 : Vue generale au microscope electronique a balayage d’une structure obtenue apres gravureionique reactive de l’InP.
Fig. 3.2 : Vue rapprochee en microscopie electronique a balayage d’une structure (differente de cellepresentee figure 3.1) gravee dans une couche superficielle d’InP.
28
II. CARACTERISATION OPTIQUE DES STRUCTURES
Fig. 3.3 : Vue au microscope optique d’une structure dans son etat final, obtenu apres la sous-gravure. Les fleches rouges montrent la limite de l’attaque acide dans la couche sacrifi-cielle.
La figure 3.1 presente une vue d’ensemble de ce qu’on obtient typiquement lorsque la gravure abien reussi. Le taux de remplissage, qui peut etre mesure a partir de cette image, est en effet tresvoisin de 40 %. Les trous sont egalement bien circulaires, et de diametre homogene sur l’ensemblede la structure.
Une autre structure est presentee figure 3.2 avec un plus fort grossissement. Celle-ci a etevisiblement surexposee ; les trous sont legerement irreguliers, et plus grands que ce qu’ils etaientcenses etre. La suite des operations nous donnera raison : cette structure s’est effondree pendantsa caracterisation.
3 Sous-gravure de la couche sacrificielle
Par la suite, la couche intermediaire d’InGaAs est eliminee par sous-gravure selective en voiehumide (cette methode est presentee annexe E). La couche est attaquee selectivement par unmelange d’acide fluorhydrique HF et de peroxyde d’hydrogene H2O2 ; avec de bonnes proportions,la selectivite est superieure a 99 %. Le produit peut atteindre la couche a eliminer en passant atravers les trous que l’on a creuses au travers de la couche superficielle. On pratique par la suiteun sechage supercritique au dioxyde de carbone des structures.
La figure 3.3 montre le resultat que l’on obtient. On observe bien une membrane suspendue,car il y a une limite observable au microscope entre l’air et l’InGaAs restant.
A present que nous avons obtenu les structures que nous avons concues, il va etre possible deles caracteriser afin de verifier si elles possedent bien les proprietes que nous recherchons.
II Caracterisation optique des structures
Nous avons utilise, pour caracteriser nos membranes suspendues, la spectroscopie de photolu-minescence diffractee, decrite dans l’annexe F. En examinant l’intensite relative d’emission suivantla frequence d’analyse et l’emplacement de l’excitation, on va pouvoir en deduire les proprietes dela structure.
1 Premiere approche
Parmi les structures gravees, on choisit en premier celles dont l’aspect au microscope electro-nique correspondait le mieux a ce que l’on attendait de leur fabrication.
29
CHAPITRE 3. FABRICATION ET CARACTERISATION DES STRUCTURES
7
6
5
4
3
2
1
01300 1400 1500 1600 1700
λ (nm)
Fig. 3.4 : Spectres de photoluminescence d’une membrane suspendue contenant un cristal photo-nique. La courbe bleue a ete obtenue en se placant sur la zone de la membrane qui necontient pas de trous, la courbe rouge au milieu du cristal photonique. On a utilise pourles deux un objectif de microscope ×50.
0
1
2
Intensite
30µ
Fig. 3.5 : Cartographie de photoluminescence, realisee a une longueur d’onde de 1460 nm, d’unede nos structures. On a indique la taille de celle-ci, qui apparaıt clairement sur la carto-graphie.
On commence alors par realiser un spectre de la membrane suspendue a l’endroit ou les trousn’ont pas ete graves, a savoir sur la zone laterale. Ce spectre va nous servir de reference pour lasuite. En gardant le meme grossissement (le plus fort), on se deplace jusqu’au centre du cristalphotonique, et on realise alors le meme spectre. Ces deux spectres sont presentes sur la figure 3.4.
On remarque qu’on obtient des spectres similaires sur tout le spectre d’emission des ılots quan-tiques, a deux exceptions pres :
– l’intensite de photoluminescence est bien plus elevee en presence de la structuration perio-dique, et ce sur toute la gamme de longueurs d’onde ;
– autour d’une longueur d’onde de 1650 nm, l’intensite est plus elevee sur le bord de la mem-brane que la ou se situent les trous.
Le premier point sera discute dans le paragraphe III. Le second peut etre explique immediatement ;en effet, il se trouve que, lorsqu’il est soumis a une excitation, le melange InGaAs possede un picd’emission autour de 1650 nm. La plus grande intensite autour de cette frequence sur les bords dela membrane vient donc du fait qu’il reste des traces de ce materiau apres l’attaque acide, alorsqu’il n’en reste pas au centre de la membrane, qui a subi l’attaque beaucoup plus longtemps.
Pour illustrer la difference d’intensite de photoluminescence entre la membrane sans trous etcelle percee du cristal photonique, nous avons realise une cartographie de photoluminescence de lastructure en question, dans des conditions similaires. Celle-ci est presentee figure 3.5. On observebien que l’emission intense est delimitee assez nettement par le bord du cristal photonique.
30
II. CARACTERISATION OPTIQUE DES STRUCTURES
0
0,5
1,5
2
1300 1400 1500 1600 1700
1
λ (nm)
Fig. 3.6 : Spectre de photoluminescence obtenu en excitant le centre de la membrane, avec un ob-jectif ×10.
1300 1400 1500 1600 1700
λ (nm)
0
0,5
1
1,5
2
Fig. 3.7 : Spectre de photoluminescence du cristal photonique grave dans la membrane, avec unobjectif ×10 et une largeur des fentes du monochromateur reduite.
2 Obtention d’un effet remarquable
On place a present l’excitation au centre du cristal photonique, et on utilise un objectif demicroscope moins grossissant (×10), avec en particulier une ouverture numerique plus faible. Onobserve alors, comme le montre la figure 3.6, une variation des tailles relatives des pics d’emissionqu’on observait jusqu’ici, sans toutefois que l’un d’eux devienne preponderant.
On diminue alors la largeur des fentes du monochromateur. Ceci a en theorie pour effet d’ame-liorer sa resolution, au detriment de l’intensite du signal (qui doit etre compensee par une expositionplus longue). Cela reduit egalement, du moins dans une direction, la gamme d’angles pour lesquelsles photons emis sont comptabilises.
Le spectre obtenu est presente figure 3.7. On observe un phenomene nouveau : l’apparitiond’un pic de photoluminescence tres intense a une frequence d’environ 1460 nm. Ce phenomene trescaracteristique ne peut etre obtenu que dans certaines conditions experimentales.
Un autre moyen de l’obtenir est, en gardant une ouverture des fentes assez large, de deregler lafocalisation du faisceau (et egalement celle de l’analyse) sur le plan de l’echantillon, en eloignantcelui-ci de l’objectif. On observe alors, sur tout le spectre et en particulier au voisinage de 1460 nm,une tres forte augmentation de l’intensite de photoluminescence.
Le spectre correspondant est presente figure 3.8. On observe effectivement a nouveau un pictres intense, alors que la faible resolution du spectre traduit un ecartement assez large des fentesdu monochromateur.
31
CHAPITRE 3. FABRICATION ET CARACTERISATION DES STRUCTURES
λ (nm)
5
4
3
2
1
01500 1600 17001300 1400
Fig. 3.8 : Spectre de photoluminescence obtenu avec un objectif ×10 en defocalisant l’objectif duplan de l’echantillon.
1300 1400 1500 1600 17000
0,1
0,2
0,3
0,4
λ (nm)
Fig. 3.9 : Spectre de photoluminescence obtenu au centre d’une structure de 35 % de taux de rem-plissage, avec un objectif ×5.
3 Influence du taux de remplissage
On dispose egalement d’une structure qui, suite a une legere sous-exposition, presente des trousd’un diametre legerement inferieur a celui qui etait attendu. Meme si la structure de bandes d’untel systeme n’a pas ete calculee, elle varie peu puisque le systeme est peu different. On peut memeprevoir que, la perturbation etant moins importante, le gap se referme, et donc que les modes soientplus bas en frequence, sauf pour la premiere bande, situee en-dessous de la bande interdite.
Un exemple de spectre que nous avons obtenu est presente figure 3.9. On observe a nouveau lepic de photoluminescence, qui apparaıt dans le meme type de conditions que celui de la structureprecedente. En revanche, la longueur d’onde pour laquelle on l’observe est plus grande, ce quicorrespond a une frequence plus faible.
On peut donc en conclure que le pic de photoluminescence observe suit les structures de bandesque nous avons calculees. Nous allons donc pouvoir comparer ces resultats aux considerationstheoriques qui ont precede.
III Discussion
1 Mise en relation de la theorie et de l’experience
Nous allons montrer que les resultats obtenus sont bien conformes aux proprietes pour lesquellesnous avions concu la couche.
32
III. DISCUSSION
0,75
0,8
0,85
0,9
0,95
1
Γ M
a
λ
Fig. 3.10 : Mise en relation du spectre de photoluminescence de la figure 3.7 avec la structure debandes calculee pour le cristal photonique considere (de parametre de maille a = 0,83 λ).Celle-ci a ete calculee pour une separation entre les membranes de 3 epaisseurs decouche.
En effet, considerons tout d’abord le graphique de la figure 3.4 : l’objectif utilise ici possede uneassez grande ouverture numerique ; il accepte donc les photons en provenance d’une large gammeangulaire, ce qui correspond a des vecteurs d’onde dans le plan compris dans un disque centre enΓ, mais de rayon assez grand. Dans cette zone, il existe un grand nombre de modes de vitessede groupe relativement faible, comparativement a celle qui existe dans la membrane sans trous,qui possede une relation de dispersion lineaire. En excitant ces modes, on obtient donc une plusgrande intensite de photoluminescence puisqu’on a moins de pertes lateralement a la structure.Ceci permet d’expliquer pourquoi l’intensite de photoluminescence est nettement plus elevee sur lastructure qu’au niveau de son voisinage.
On considere alors les spectres obtenus en ameliorant les conditions experimentales. Il est pos-
sible de traduire les longueurs d’onde en frequences, en unitesa
λ, afin de mettre ces spectres en
relation avec la structure de bandes calculee de cet objet. La figure 3.10 presente une de ces struc-tures de bandes au voisinage de Γ : elle a ete realisee en utilisant un faible ecart entre deux couchessuccessives, afin d’eviter d’avoir des bandes parasites. Cela presente l’inconvenient de donner desbandes legerement decalees vers les plus faibles energies par rapport a la structure de bandes d’unecouche seule. On constate cependant qu’en tenant compte de ce leger decalage, les pics d’emissionobserves correspondent tres bien a la position des extremums de bandes au niveau de Γ. De plus, lepic principal a 1460 nm correspond effectivement a la bande qui possede visiblement la plus faiblevitesse de groupe au voisinage de Γ.
2 Examen des conditions d’apparition du pic de photoluminescence
Il nous reste a comprendre pourquoi ces pics ne peuvent etre observes que dans des conditionsparticulieres.
Tout d’abord, lorsque l’on reduit la largeur des fentes, on reduit la gamme d’angles d’emission
33
CHAPITRE 3. FABRICATION ET CARACTERISATION DES STRUCTURES
acceptes, du moins dans la direction orthogonale aux fentes. On augmente donc la part relative desemissions de photons dans la direction verticale. Les pics du spectre obtenu correspondent alorstres bien aux extremums de bandes situes en Γ (figure 3.10). On a donc selectionne, parmi tous lesphotons emis, en priorite ceux venant de modes situes en Γ.
L’interpretation de l’apparition des pics lorsqu’on eloigne l’echantillon du plan focal est plusdelicate. On peut toutefois suggerer deux interpretations.
1. En s’eloignant du plan focal, on augmente la taille du spot d’excitation, mettant en jeu plusd’ılots quantiques pour injecter de la lumiere dans le cristal photonique. Cette hypothesesuppose que l’intensite du faisceau est suffisamment grande pour que les ılots quantiquessoient deja tous excites quasiment en permanence. Elle explique l’augmentation globale del’intensite du signal lorsqu’on s’eloigne du plan de focalisation.
2. La seconde hypothese est plus sujette a controverse. On suppose toutefois que, lorsqu’on ana-lyse la lumiere ainsi recue d’une plus grande surface, les emissions dans la direction verticaleseront percues pour toute la surface emissive, alors que les emissions plus laterales serontrapidement perdues. Ceci permet d’expliquer pourquoi on favorise l’emission au niveau desextremums de bande en Γ.
Le phenomene reel est probablement une superposition de ces deux effets.
3 Analyses restant a faire
Comme on vient de le voir, on a bien dans nos structures une emission fortement favoriseea certaines frequences au voisinage de
−→k =
−→0 . Cependant, l’intensite de cette emission n’est
pas suffisante pour apparaıtre lorsqu’on regarde l’ensemble des directions d’emission. Ceci nousdonne les principales directions vers lesquelles nous allons chercher a nous orienter pour de futuresmesures.
1. La realisation de mesures dependant de l’angle d’emission des photons. En utilisant un mon-tage goniometrique en cours de realisation, nous comptons pouvoir realiser des mesures si-milaires sur tous les extremums de bande, en particulier ceux situes en bord de zone deBrillouin.
2. Si nous parvenons a amplifier l’effet obtenu en Γ, en peuplant les modes en question avecsuffisamment de photons, il devrait etre possible d’obtenir l’effet laser. Ainsi, l’injection dephotons dans le cristal photonique ne se ferait plus que dans ces modes, et l’emission seraittres directive et intense. Toutefois, la realisation d’un laser necessite de reporter la structureainsi realisee sur de la silice, qui permet d’evacuer la chaleur produite grace a sa conductivitethermique bien plus elevee, afin d’eviter la destruction rapide de l’objet.
3. Sans obtenir l’effet laser, il est toutefois possible d’amplifier ces effets. En effet, en utilisantdes types de reseaux differents du reseau triangulaire classique, on peut obtenir des bandesd’energie quasiment plates sur l’ensemble de la zone de Brillouin. En optimisant ce type destructures et en les utilisant a cet escient, on devrait realiser des sources d’une grande finesseet, si elles correspondent effectivement a l’emission depuis un mode delocalise sur une grandesurface, bien directionnelles.
34
Conclusion et Perspectives
Ce travail a permis la conception et la realisation de structures exploitant l’annulation de lavitesse de groupe au niveau des extremums des bandes d’energie dans les cristaux photoniques.La caracterisation de ces structures par spectroscopie de photoluminescence a clairement mis enevidence l’effet recherche par une emission nettement favorisee vers la direction verticale aux fre-quences correspondant a ces extremums.
Ces resultats, bien que limites, sont extremement prometteurs, car ils montrent que ce principeest utilisable dans des composants. En adaptant les structures que nous avons realisees, il devraitetre possible de realiser des sources de lumieres laser directives et tres fines, ou encore des filtres,eventuellement accordables et quasi independants de la direction de la lumiere incidente. Il estegalement envisage a court terme la realisation d’un capteur d’indice optique qu’il serait possiblede placer au bout d’une fibre optique, afin de pouvoir realiser des mesures en immersion d’unegrande precision.
Au dela des applications futures de ces composants, ce travail montre qu’une grande partie desphenomenes physiques mis en jeu dans ces concepts recents reste a comprendre. Les travaux futursa mener a la suite ce DEA comprendront donc :
– des mesures angulaires, afin de tenter de controler la direction de l’emission ;– la realisation de structures emettant de facon plus puissante, eventuellement jusqu’a l’effet
laser ;– la realisation de filtres selectifs bases sur le meme principe ;– une meilleure comprehension des phenomenes de couplage mis en jeu, que ce soit :
– pour l’interaction du systeme avec le milieu exterieur,– pour l’interaction entre deux tels systemes,– et enfin pour son interaction avec des systemes photoniques existants (guides, cavites re-
sonantes...) ;– la mise en place de l’accordabilite des structures par des moyens mecaniques.
35
Bibliographie
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[11] Megens (M.) et Vos (W. L.), Physical Review Letters, vol. 86, mai 2001.
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36
BIBLIOGRAPHIE
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[21] Cho (A. Y.) et Arthur (J. R.), Progress in Solid State Chemistry, vol. 10, 1975, p. 157.
37
Annexes
Annexe A
L’equation aux valeurs propres deMaxwell pour un systemeperiodique
On etudie le champ magnetique−→B dans un systeme de dimensions Lx, Ly, et Lz. Afin de faciliter
le calcul, on considere que−→B repond aux conditions aux limites de Born–Van Karman :
−→B(−→r + Li
−→ei ) =−→B(−→r ). (A.1)
Cette hypothese n’a pas d’influence sur les proprietes du champ a l’interieur du systeme consi-dere. En revanche, en introduisant artificiellement une periodicite a grande echelle, elle permetd’ecrire
−→B sous forme de la somme de ses coefficients de Fourier :
−→B(−→r ) =
∑−→q
−→c −→q ei−→q .−→r , (A.2)
avec −→q =3∑
i=1
2πni
Li
−→ei . (A.3)
On va donc pouvoir exprimer l’equation aux valeurs propres de Maxwell 1.9 :
−→∇ ∧
(1εr
−→∇ ∧
−→B)
=
(ω
c
)2−→B (A.4)
dans l’espace de Fourier.
Pour cela, on exprime egalement1εr
sous forme de la somme de ses coefficients de Fourier.
Mais si a present on considere un systeme periodique, c’est εr qui contient l’information sur la
periodicite, ce qui se traduit par la nullite des coefficients de Fourier de1εr
pour les vecteurs −→qn’appartenant pas au reseau reciproque du reseau de Bravais du systeme. La sommation porte doncsur les vecteurs
−→K du reseau reciproque :
1εr(−→r )
=∑−→K
f−→K
ei−→K .−→r , (A.5)
avec f−→K
=1V
∫∫∫cellule
e−i−→K .−→r
εr(−→r )d−→r , (A.6)
ou V est le volume d’une cellule elementaire.
39
ANNEXE A. L’EQUATION AUX VALEURS PROPRES DE MAXWELL POUR UN SYSTEME PERIODIQUE
On a alors :−→∇ ∧
−→B =
∑−→q
i−→q ∧ −→c −→q ei−→q .−→r , d’ou (A.7)
1εr
−→∇ ∧
−→B =
∑−→K
f−→K
ei−→K .−→r
∑−→q
i−→q ∧ −→c −→q ei−→q .−→r
=
∑−→K ,−→q
if−→K−→q ∧ −→c −→q ei(
−→K+−→q )
=∑−→K ,−→q ′
if−→K
(−→q ′ −−→K) ∧ −→c −→q ′−
−→K
ei−→q ′.−→r . (A.8)
L’equation A.4 s’ecrit donc :
Θ−→B = −
∑−→K ,−→q
f−→K−→q ∧
((−→q −
−→K) ∧ −→c −→q −−→K
)ei−→q .−→r =
ω2
c2
∑−→q
−→c −→q ei−→q .−→r ; (A.9)
une fonction ne s’annulant que si tous ses coefficients de Fourier s’annulent, on peut ecrire pourtout −→q : ∑
−→K ′
f−→K ′−→q ∧
((−→q −
−→K ′) ∧ −→c −→q −−→K ′
)+ω2
c2−→c −→q = 0, (A.10)
ou encore, en posant −→q =−→k −
−→K, ou
−→k est un vecteur de la premiere zone de Brillouin, et
−→K un
vecteur du reseau reciproque :∑−→K ′
f−→K ′(−→k −
−→K) ∧
((−→k −
−→K −
−→K ′) ∧ −→c −→
k −−→K−
−→K ′
)+ω2
c2−→c −→
k −−→K
= 0
∑−→K ′
f−→K ′−
−→K
(−→k −
−→K) ∧
((−→k −
−→K ′) ∧ −→c −→
k −−→K ′
)+ω2
c2−→c −→
k −−→K
= 0 (A.11)
Cette reecriture de l’equation aux valeurs propres de Maxwell dans l’espace de Fourier montreque seuls les coefficients de Fourier −→c −→
k +−→K
, ou−→K est un vecteur du reseau reciproque, sont couples
avec le coefficient −→c −→k. On peut donc ecrire les modes independants comme :
−→B−→
k(−→r ) =
∑−→K
−→c −→k −
−→K
ei(−→k −
−→K).−→r , (A.12)
soit−→B−→
k(−→r ) = ei
−→k .−→r
∑−→K
−→c −→k −
−→K
e−i−→K .−→r . (A.13)
Ceci n’est autre que le theoreme de Bloch. Notons que pour chaque vecteur−→k de la premiere
zone de Brillouin, il existe une infinite discrete de telles solutions, correspondant aux vecteurs−→K
du reseau reciproque. Les modes du systeme s’ecrivent donc :
−→B
n,−→k(−→r ) = ei
−→k .−→r −→u
n,−→k(−→r ) . (A.14)
La representation des pulsations ωn associees a ces modes en fonction de−→k est appelee la
structure de bandes du systeme photonique.
40
Annexe B
Traitement perturbatif del’equation aux valeurs propres deMaxwell
Nous allons etudier les modes autorises dans un materiau periodique ; pour cela, on considereun materiau d’indice moyen n0, avec de faibles variations periodiques de cet indice. On commencedonc par etudier le cas d’un materiau dont l’indice est constant.
I Relation de dispersion dans un materiau uniforme
Pour un materiau uniforme, les coefficients de Fourier f−→K
sont nuls pour tout−→K non nul, et
f−→0
=1n2
0
. L’equation A.11 s’ecrit alors :
− 1n2
0
(−→k −
−→K) ∧
((−→k −
−→K) ∧ −→c −→
k −−→K
)=ω2
c2−→c −→
k −−→K
(B.1)
−((−→k −
−→K).−→c −→
k −−→K
)(−→k −
−→K) + (
−→k −
−→K)2−→c −→
k −−→K
=(ωn0
c
)2−→c −→k −
−→K
. (B.2)
Or, la condition de transversalite :
−→∇ .−→B = 0 (B.3)
s’ecrit∑−→K
(−→k −
−→K).−→c −→
k −−→K
ei(−→k −
−→K).−→r = 0,
soit pour tout−→K :
(−→k −
−→K).−→c −→
k −−→K
= 0 . (B.4)
Ceci permet de simplifier l’equation B.2 en :
ω =c
n0
∥∥∥−→k −−→K∥∥∥ . (B.5)
La structure de bandes correspondante est representee figure B.1.
Par la suite, on notera la pulsation de l’etat libre correspondant a un vecteur d’onde :
ω0−→q =c
n0‖−→q ‖ . (B.6)
41
ANNEXE B. TRAITEMENT PERTURBATIF DE L’EQUATION AUX VALEURS PROPRES DE MAXWELL
ω
k
0
pentec
n0
2π
a
Fig. B.1 : Representation de la structure de bandes des photons dans un materiau uniforme.
II Interaction des bandes dans un materiau legerement per-turbe
On se place a present dans un cas quasi-libre. On part donc des bandes d’energie dans le casprecedent, et on va calculer la facon dont ces bandes sont modifiees.
Considerons donc une bande photonique que nous indexerons 1. Elle correspond pour l’etat
libre a une pulsation ω1 =c
n0
∥∥∥−→k −−→K1
∥∥∥, et a un champ−→B = −→c −→
k −−→K1
ei(−→k −
−→K1).
−→r . On cherche la
valeur de ω que prend cet etat sous l’influence des autres bandes.La relation A.11 appliquee a l’etat 1 s’ecrit ici :
∑−→K
f−→K−
−→K1
(−→k −
−→K1) ∧
((−→k −
−→K) ∧ −→c −→
k −−→K
)+ω2
c2−→c −→
k −−→K1
= 0, (B.7)
mais on peut egalement l’appliquer a tous les autres etats, reperes par−→K :
ω2
c2−→c −→
k −−→K
= −∑−→K ′
f−→K ′−
−→K
(−→k −
−→K) ∧
((−→k −
−→K ′) ∧ −→c −→
k −−→K ′
)(B.8)
= −f−→K1−
−→K
(−→k −
−→K) ∧
((−→k −
−→K1) ∧ −→c −→k −−→K1
)+ f−→
0
(−→k −
−→K)2−→c −→
k −−→K
−∑
−→K ′ 6=
−→K ,−→K1
f−→K ′−
−→K
(−→k −
−→K) ∧
((−→k −
−→K ′) ∧ −→c −→
k −−→K ′
). (B.9)
Les termes restant dans la somme peuvent etre negliges : en effet, les f−→K ′−
−→K
sont petits devant
f−→0
=1n2
0
, et les −→c −→k −
−→K ′ sont petits devant c−→
k −−→K1
(comme on etudie une perturbation de l’etat
1, les autres coefficients de Fourier sont nettement plus petits). On peut donc exprimer (pour les−→K 6=
−→K1) :
−→c −→k −
−→K
=f−→
K1−−→K
1n2
0
(−→k −
−→K)2
−ω2
c2
(−→k −
−→K) ∧
((−→k −
−→K1) ∧ −→c −→k −−→K1
). (B.10)
Sachant qu’on n’etudie que des petites perturbations de ω, on l’assimile dans cette expressiona sa valeur ω1 dans le cas libre :
−→c −→k −
−→K
=c2f−→
K1−−→K
ω2−→k −
−→K− ω2
1
(−→k −
−→K) ∧
((−→k −
−→K1) ∧ −→c −→k −−→K1
), (B.11)
42
III. INTERACTION ENTRE DEUX BANDES CONTIGUES
expression que l’on reporte dans l’equation B.7 ; si le cristal possede la symetrie d’inversion(c’est le cas de tous ceux que nous considererons), on a f−→q = f?
−−→q , et on peut donc ecrire :
∑−→K 6=
−→K1
c2∣∣∣f2−→
K1−−→K
∣∣∣ω2−→
k −−→K− ω2
1
(−→k −
−→K1) ∧
((−→k −
−→K) ∧
((−→k −
−→K) ∧
((−→k −
−→K1) ∧ −→c −→k −−→K1
)))
− 1n2
(−→k −
−→K1
)2−→c −→k −
−→K1
+ω2
c2−→c −→
k −−→K1
=−→0 (B.12)
∑−→K 6=
−→K1
c2∣∣∣f2−→
K1−−→K
∣∣∣ω2−→
k −−→K− ω2
1
[[((−→k −
−→K).−→c −→
k −−→K1
)(−→k −
−→K1
)2
−((−→k −
−→K).(
−→k −
−→K1)
)(−→c −→k −
−→K1
.(−→k −
−→K1)
)](−→k −
−→K)
−((−→k −
−→K1).(
−→k −
−→K))(
(−→k −
−→K).−→c −→
k −−→K1
)(−→k −
−→K1)
+((−→k −
−→K1).(
−→k −
−→K))2−→c −→
k −−→K1
]− ω
21
c2−→c −→
k −−→K1
+ω2
c2−→c −→
k −−→K1
=−→0 .(B.13)
La suite depend de l’orientation du vecteur−→k −
−→K, et donc de celle de
−→K −
−→K1 :
– si−→K −
−→K1 est dans le plan de polarisation de l’etat 1 (
−→k −
−→K1,
−→c −→k −
−→K1
), a l’exception du
cas ou il est colineaire a−→k −
−→K1, il est difficile d’en dire plus, mais les resultats obtenus
resteront qualitativement valables ;– si
−→K−
−→K1 est hors du plan de polarisation, ou s’il est colineaire a
−→k −
−→K1, le vecteur −→c −→
k −−→K1
est independant des deux autres, et on peut ecrire :
ω2 = ω21 +
∑−→K 6=
−→K1
c4∣∣∣f2−→
K1−−→K
∣∣∣ω2
1 − ω2−→k −
−→K
((−→k −
−→K).(
−→k −
−→K1)
)2
. (B.14)
Cette expression mene a deux conclusions importantes :
1. sous l’influence d’une perturbation, les bandes photoniques se repoussent deux a deux ;
2. tant que les bandes sont eloignees les unes des autres, cette repulsion est proportionnelle aucarre de la perturbation.
A present, nous allons calculer le comportement des bandes lorsque deux d’entre elles sontvoisines.
III Interaction entre deux bandes contigues
Considerons a present, en un certain−→k , deux etats assez proches en termes de ω, mais eloignes
des autres etats, toujours soumis a une perturbation periodique. Les etats libres sont indexes 1 et
2, ils correspondent a une pulsation ωi =c
n0
∥∥∥−→k −−→K i
∥∥∥, et a un champ−→B i = −→c −→
k −−→K i
ei(−→k −
−→K i).
−→r .
L’equation A.11 s’ecrit pour chacun de ces deux etats :
∑−→K
f−→K−
−→K i
(−→k −
−→K i) ∧
((−→k −
−→K) ∧ −→c −→
k −−→K
)+ω2
c2−→c −→
k −−→K i
= 0, (B.15)
43
ANNEXE B. TRAITEMENT PERTURBATIF DE L’EQUATION AUX VALEURS PROPRES DE MAXWELL
mais elle permet egalement d’ecrire pour tout etat (en notant j l’etat 1 ou 2 qui n’est pas i) :
ω2
c2−→c −→
k −−→K
= −f−→K i−
−→K
(−→k −
−→K) ∧
((−→k −
−→K i) ∧ −→c −→k −−→K i
)−f−→
Kj−−→K
(−→k −
−→K) ∧
((−→k −
−→K j) ∧ −→c −→k −−→Kj
)+
1n2
0
(−→k −
−→K)2−→c −→
k −−→K
−∑
−→K ′ 6=
−→K ,−→K1,
−→K2
f−→K ′−
−→K
(−→k −
−→K) ∧
((−→k −
−→K ′) ∧ −→c −→
k −−→K ′
). (B.16)
On neglige les termes restant dans la somme : en effet, les coefficients −→c −→k −
−→K ′ sont tres petits
devant les −→c −→k −
−→K i
. On en deduit donc :
−→c −→k −
−→K
=c2
ω2−→k −
−→K− ω2
[f−→
K i−−→K
(−→k −
−→K) ∧
((−→k −
−→K i) ∧ −→c −→k −−→K i
)+f−→
Kj−−→K
(−→k −
−→K) ∧
((−→k −
−→K j) ∧ −→c −→k −−→Kj
)], (B.17)
soit en reinjectant ce resultat dans l’equation B.15 et en introduisant−→∆K =
−→K j −
−→K i :
∑−→K 6=
−→K1,
−→K2
c2f−→K−
−→K i
ω2−→k −
−→K− ω2
(−→k −
−→K i) ∧
((−→k −
−→K) ∧
[. . .])
+ f−→0(−→k −
−→K i) ∧
((−→k −
−→K i) ∧ −→c −→k −−→K i
)
+f−→∆K
(−→k −
−→K i) ∧
((−→k −
−→K j) ∧ −→c −→k −−→Kj
)+ω2
c2−→c −→
k −−→K i
=−→0 . (B.18)
Les ω−→k −
−→K
etant eloignes de la zone dans laquelle on travaille, les ω2−→k −
−→K− ω2 sont subse-
quemment grands, et on peut donc negliger les termes qui restent dans la somme. On en deduitdonc :
c2f−→∆K
(−→k −
−→K i) ∧
((−→k −
−→K j) ∧ −→c −→k −−→Kj
)+ (ω2 − ω2
i )−→c −→
k −−→K i
=−→0 . (B.19)
i pouvant prendre 2 valeurs, on a un systeme de 2 equations vectorielles. Au vu de la formedes equations, il est plus approprie de le resoudre par substitution plutot que de calculer sondeterminant. On exprime donc :
−→c −→k −
−→K i
=c2f−→∆K
ω2i − ω2
(−→k −
−→K i) ∧
((−→k −
−→K j) ∧ −→c −→k −−→Kj
), (B.20)
et on le reporte dans la seconde equation :
c4∣∣∣f2−→∆K
∣∣∣ω2
i − ω2(−→k −
−→K j) ∧
((−→k −
−→K i) ∧
((−→k −
−→K i) ∧
((−→k −
−→K j) ∧ −→c −→k −−→Kj
)))+(ω2 − ω2
j )−→c −→
k −−→Kj
=−→0 (B.21)
c4∣∣∣f2−→∆K
∣∣∣ω2
i − ω2
[((−→k −
−→K i).−→c −→k −−→Kj
)(−→k −
−→K j
)2
(−→k −
−→K i)
−((−→k −
−→K j).(
−→k −
−→K i)
)((−→k −
−→K i).−→c −→k −−→Kj
)(−→k −
−→K j)
−((−→k −
−→K i).(
−→k −
−→K j)
)2−→c −→k −
−→Kj
]+ (ω2 − ω2
j )−→c −→
k −−→Kj
=−→0 . (B.22)
La encore, on ne va pouvoir obtenir un resultat general qu’a une condition sur la polarisationdes etats et sur l’orientation de
−→∆K :
44
III. INTERACTION ENTRE DEUX BANDES CONTIGUES
– si les etats libres i et j possedent le meme plan de polarisation du champ magnetique, c’est-a-dire si
−→∆K est dans chacun des plans (
−→k −
−→K i,
−→c −→k −
−→K i
), a l’exception du cas ou−→∆K est
colineaire a−→k , il est impossible d’en dire plus ; a nouveau, les resultats obtenus resteront
qualitativement valables ;– si les plans de polarisation de i et j sont differents, ou si
−→k est colineaire a
−→∆K, on peut ecrire
la nullite du coefficient de −→c −→k −
−→Kj
:
c4∣∣∣f2−→∆K
∣∣∣ω2
i − ω2
((−→k −
−→K i).(
−→k −
−→K j)
)2
+ ω2 − ω2j = 0 (B.23)
(ω2 − ω21)(ω
2 − ω22) =
[c2∣∣f−→∆K
∣∣ (−→k −−→K1).(−→k −
−→K2)
]2, (B.24)
soit : ω2 =ω2
1 + ω22
2±
√√√√(ω21 − ω2
2
2
)2
+(c2∣∣f−→∆K
∣∣ (−→k −−→K1).(−→k −
−→K2)
)2
. (B.25)
Ainsi, lorsque deux courbes de dispersion dans le cas libre se croisent, la presence de la pertur-bation induit un couplage, les bandes se repoussant.
On pourra voir un exemple simple d’application de cette relation page 9.
45
Annexe C
L’epitaxie par jets moleculaires
I Principe
De maniere generale, l’epitaxie consiste a faire croıtre un materiau sur un substrat pouvantetre constitue du meme materiau (homoepitaxie) ou d’un materiau different, mais en accord demaille avec le substrat (heteroepitaxie). La croissance epitaxiale, permise par l’accord de maille,est beaucoup plus rapide que les autres phenomenes de croissance mis en jeu, qui necessitent unenucleation. Elle permet le controle des parametres du materiau que l’on fait croıtre :
– le parametre de maille, qui s’adapte a celui du substrat jusqu’a une epaisseur critique ;– l’orientation cristalline, definie par celle du substrat sous-jacent ;– la composition, qui peut etre finement adaptee via les concentrations des differents elements
dans la phase a partir de laquelle se fait la croissance.Comme la croissance epitaxiale se fait par couches, elle permet egalement d’obtenir des couches
successives de compositions differentes, tant qu’elles restent en accord de maille.
L’epitaxie par jets moleculaires ou MBE1, developpee au debut des annees 70 par les laboratoiresBell [21], consiste a projeter directement et simultanement les elements constituant la couche aepitaxier sur le substrat, place dans une enceinte a ultra-vide. Les flux d’atomes ou de moleculesproviennent de la sublimation ou de l’evaporation des elements correspondants, solides ou liquides,contenus dans des creusets chauffes individuellement par effet Joule. Le substrat est lui-memechauffe, de facon a ce que les constituants puissent convenablement diffuser, et tourne sur lui-meme afin d’assurer une bonne homogeneite.
Une jauge placee au point de convergence des flux permet de mesurer et donc de controler lesvitesses de croissance des differents elements.
II Application aux materiaux III–V
Pour epitaxier des semi-conducteurs III–V, on utilise comme sources :– pour les elements de la colonne III (Al, Ga, In), l’element sous forme liquide est place dans un
creuset en nitrure de bore, chauffe par un filament ; pour chaque element, un thermocoupleplace a l’arriere du creuset permet de reguler la temperature de la cellule ; le flux de l’elementen question est lie a cette temperature par une relation affine.
– Les elements de la colonne V (P, As), quant a eux, sont stockes sous forme solide, s’evaporentsous forme de tetrameres P4 et As4, puis sont craques par un filament porte a 900 C, quiles transforme en dimeres P2 et As2. Une vanne permet, en sus du reglage en temperature,d’affiner le flux de ces elements.
Des sources supplementaires idoines sont utilisees lorsqu’on a besoin d’inclure des dopants dansles couches epitaxiees.
Pour que le depot se fasse dans de bonnes conditions, on utilise la methode des trois temperaturesproposee par K. Gunther en 1958. On regle la temperature du substrat pour qu’elle soit comprise
1pour Molecular Beam Epitaxy.
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III. AVANTAGES ET INCONVENIENTS
entre la temperature d’evaporation des elements V et celle des elements III (TV < Ts < TIII).Ainsi, les atomes des elements III viennent se condenser sur le substrat mais ne s’evaporent pas.En revanche, les dimeres des elements V, envoyes en exces, viennent s’adsorber, mais se desorbenttres rapidement a moins d’etre integrees a la couche en formation. Ceci garantit la stœchiometriedu materiau epitaxie, les atomes de la colonne III etant immediatement completes par ceux de lacolonne V une fois qu’ils sont incorpores. La temperature de fusion du semiconducteur III–V etantnettement superieure aux autres temperatures en jeu, la couche est immediatement stabilisee.
III Avantages et inconvenients
L’epitaxie par jets moleculaires permet d’obtenir des echantillons d’une grande qualite, grace ases nombreux atouts :
– il est possible de regler tres finement les concentrations des differents elements dans la coucheepitaxiee, ce qui a une grande importance pour la qualite des couches actives ;
– l’interruption des flux se fait en inserant simplement un ecran sur leur trajectoire, ce qui, enajoutant le fait que la vitesse de croissance est assez faible, permet d’obtenir des interfacestres abruptes (de l’ordre de la monocouche) ;
– la temperature du substrat n’est pas tres elevee (de l’ordre de 500 C), ce qui evite la diffusiondes especes au niveau des interfaces ;
– il est possible d’inserer un nouvel element (par exemple, un dopant) en rajoutant une celluled’evaporation ;
– simultanement a l’epitaxie, il est possible de controler la qualite de la couche qui croıt, engeneral par diffraction d’electrons rapides sous incidence rasante ou RHEED2.
Cependant, cette technique presente des inconvenients qui font qu’elle est loin d’etre universel-lement utilisee :
– on a une faible vitesse de croissance, pouvant varier de 0,1 a 1 µ monocouche par secondepour les semiconducteurs usuels ;
– l’environnement ultra-vide manque de souplesse dans son utilisation, car c’est dans des condi-tions draconiennes de proprete que les pressions convenables peuvent etre atteintes ;
– malgre la mise en rotation de l’echantillon, l’homogeneite des couches n’est pas parfaite, carla repartition des flux incidents de matiere n’est pas uniforme ;
– l’appareillage est tres couteux a mettre en œuvre, en particulier car il necessite d’etre refroidien permanence a l’azote liquide pour assurer un bon vide.
2pour Reflection High Energy Electron Diffraction
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Annexe D
Structuration d’un motif parlithographie electronique etgravure ionique reactive
La lithographie electronique est une methode qui, bien que recente, est couramment utilisee pourdessiner des motifs dans un materiau. Elle supplante progressivement la lithographie classique auxultraviolets, de par sa resolution superieure, et ce meme si elle est plus delicate a mettre en œuvre,en particulier pour l’industrialisation.
I Preparation de l’echantillon
On part d’une succession de couches superposees ; on cherche a graver un motif quelconquedans la ou les couches superieures. Il peut avoir ete prepare par epitaxie, ou encore, comme c’estde plus en plus souvent le cas, etre du silicium sur isolant (SOI) realise par collage. La methodeutilisee est generale et peut s’appliquer a un grand nombre de materiaux.
On commence par pulveriser une couche de silice sur l’echantillon. Elle servira d’une part lors dela lithographie, a proteger le materiau, d’autre part lors de la gravure, car ses proprietes chimiquessont radicalement differentes de celles des semiconducteurs ou des metaux que l’on peut graver.
Cette pulverisation est realisee en placant, dans une enceinte, l’echantillon face a une cible desilice. On introduit dans l’enceinte un gaz quelconque (en general de l’argon) a faible pression et onapplique un champ electrique suffisamment fort pour ioniser ce gaz, realisant ainsi un plasma. Lesions de ce plasma sont acceleres en direction de la silice, et projettent des atomes ou groupementsd’atomes la constituant en direction de l’echantillon. Ce dernier se voit donc recouvrir d’une couchede silice dont l’epaisseur est controlee par le temps d’exposition.
Ensuite, on depose par-dessus la silice une goutte de resine thermodurcissable. On utilise engeneral du metacrylate de methyle, qui donne apres cuisson une resine de PMMA. Celle-ci estetalee en faisant entrer l’echantillon en rotation rapide, puis cuite a 140 C en posant le tout surune plaque chauffante. L’echantillon est alors pret a etre lithographie, la resine servant de masque.
echantillon initial depot de resinepulverisation de silice
Fig. D.1 : Preparation de l’echantillon pour la lithographie electronique.
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II. CREATION D’UN MASQUE PAR LITHOGRAPHIE ELECTRONIQUE
Balayage du faisceau electronique
electrons
Resine sensibilisee Motif lithographie
Fig. D.2 : Lithographie au faisceau electronique de la couche superficielle de resine.
II Creation d’un masque par lithographie electronique
La lithographie est realisee en detournant de son but premier un microscope electronique abalayage. En effet, celui-ci possede toutes les caracteristiques dont nous avons besoin :
– l’echantillon est contenu dans une chambre a vide, afin de bien controler la trajectoire deselectrons ;
– on a un faisceau d’electrons bien focalise, dont l’intensite, la focalisation et l’astigmatismesont reglables a la vue en observant la surface ;
– la trajectoire du faisceau est integralement controlee par l’electronique, avec de bons tempsde reaction.
Ainsi, en reglant initialement le faisceau d’electrons de facon a obtenir un spot bien controleet de petite taille, il suffit de lui faire suivre la trajectoire de notre choix, en le faisant stationnerau-dessus des points ou c’est necessaire afin de balayer toute la surface representee par le masque,comme represente figure D.2.
Les electrons ainsi introduits dans la couche de resine possedent une energie qui, bien que faibleau regard de ce qu’on utilise habituellement en microscopie electronique, est suffisante pour venircasser les liaisons entre les constituants elementaires de la resine. Par la suite, on plonge le toutdans un solvant ; les portions de resine qui ont ete sensibilisees sont dissoutes, et il nous reste unmasque de gravure comportant le motif desire.
En pratique, le masque ne correspond pas exactement a la trajectoire initiale du faisceau electro-nique : meme si le faisceau est initialement tres bien focalise, les electrons ont une facheuse tendancea diffuser dans la couche de resine, allant sensibiliser une zone d’une cinquantaine de nanometresde large autour du point d’impact. C’est le parametre qui limite actuellement la dimension desstructures lithographiees, et il faut en tenir compte lors du dessin des masques.
III Report du masque par gravure ionique reactive
La gravure ionique reactive ou RIE1 est un procede de gravure selective et verticale d’un objetsur lequel on a deja dispose un masque. Elle consiste a introduire, dans une enceinte ou on a placel’echantillon sur une plaque de metal face a une autre plaque, un gaz bien choisi. Ce gaz est ionisegrace a un fort champ electrique, de facon a creer un plasma. Les ions de ce plasma sont alorsprojetes sur la surface, comme le montre la figure D.3. Si la pression est suffisamment faible, leurstrajectoires sont bien verticales, ce qui permet de creuser sans alterer les motifs intialement traces.
1Pour Reactive Ion Etching.
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ANNEXE D. STRUCTURATION D’UN MOTIF PAR LITHOGRAPHIE ELECTRONIQUE ET GRAVURE IONIQUE
REACTIVE
plasma TensionHaute
anode
echantillon
Fig. D.3 : Schema de principe de la gravure ionique reactive.
Attaque de la silice Elimination de la resine
Attaque du semiconducteur Elimination de la silice
Fig. D.4 : Schema des differentes etapes suivies pour reporter le masque de resine sur le semicon-ducteur.
Si le gaz est bien choisi, les ions vont attaquer la surface completement differemment selon sanature chimique. Par exemple, l’oxygene est utilise pour attaquer tous les materiaux organiques(par exemple, la resine de PMMA). En revanche, la silice doit etre attaquee avec des composes tresreducteurs, comme le tetrafluromethane CHF3.
Pour graver le semiconducteur, on utilise un melange de methane et de dihydrogene, qui estefficace sur tous les types de semiconducteurs III–V. Malheureusement, en projetant ce type decomposes, on forme a nouveau du polymere sur les bords des structures, risquant d’alterer labonne verticalite de la gravure. On ajoute donc une faible pression de dioxygene afin d’eliminer cepolymere.
Le chemin suivi pour reporter le masque est presente figure D.4. Il consiste en fait a reporter lemasque de la resine sur la silice, puis a le reporter ensuite de la silice vers le semiconducteur.
La gravure ionique reactive est relativement selective. Toutefois, les ions, meme acceleres aune energie moderee, attaquent mecaniquement tous les materiaux presents, en plus de l’attaquechimique pour laquelle on les envoie. Afin d’eviter de trop alterer un materiau qui ne doit pas l’etre(en particulier le materiau constituant la seconde couche de semiconducteur, si celle-ci doit resterintacte), il est possible de controler en temps reel l’epaisseur restante d’une couche en train d’etregravee, par une methode interferometrique.
Pour ce faire, on envoie un faisceau laser perpendiculairement a l’echantillon, et on observe l’evo-lution de l’intensite lumineuse reflechie. Celle-ci varie periodiquement ; elle est maximale lorsque
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III. REPORT DU MASQUE PAR GRAVURE IONIQUE REACTIVE
l’epaisseur de la couche est de la forme (2p+1)λ
4n, et minimale pour une epaisseur de la forme p
λ
2n(voir page 16).
Finalement, on peut graver un motif quelconque dans la couche la plus superficielle de l’echan-tillon initial. En repetant ce type de manipulations avec des depots successifs, on peut obtenir desstructures tres complexes (c’est une methode de choix pour produire des microprocesseurs).
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Annexe E
La sous-gravure selective en voiehumide
Comme nous l’avons vu dans l’annexe D, il est possible de graver des structures complexesgrace a la lithographie electronique associee a la gravure ionique reactive. Cependant, il n’est paspossible de realiser certaines structures a moins de detruire une des couches sans alterer les couchessuperieures. C’est le propos de la sous-gravure.
I Principe
Le principe de la sous-gravure selective en voie humide est tres simple : il consiste a plongerl’echantillon dont on cherche a supprimer une couche interne dans une solution savamment doseepour attaquer selectivement le materiau en question. Cela implique principalement :
– d’avoir au prealable choisi les materiaux constituant la couche et les deux qui l’entourent defacon a ce qu’il soit possible de la dissoudre sans alterer les autres ;
– d’avoir deja perce des trous dans la couche superieure de facon a ce que le produit chimiquepuisse acceder au materiau a attaquer ;
– de graver des materiaux hydrophiles, afin que la solution penetre a travers les trous.
II Le probleme...
Malgre un principe extremement simple, la sous-gravure en phase humide est difficile a mettreen œuvre. Non seulement le dosage de la solution pour qu’elle n’attaque pas tous les materiaux estdelicat, mais qui plus est, il faut bien arreter l’attaque de la couche.
Pour ce faire, on rince plusieurs fois l’echantillon dans l’eau, en prenant garde qu’il ne soit jamaisexpose a l’air. En effet, lorsque l’eau s’evapore, il arrive un moment ou le menisque de l’interfaceeau–air est a l’interieur de la couche. La tension superficielle est alors tres forte, relativement a laresistance du materiau, et la couche superieure vient se coller sur celle du dessous.
Ainsi, des que la structure depasse lateralement une taille de quelques dizaines de microns, sonsechage mene presque systematiquement au collage de la membrane, qui devient inutilisable.
Echantillon deja grave
attaque
Obtention d’une couche d’air
Fig. E.1 : Schema de principe de la sous-graure en phase humide.
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III. ... ET SA SOLUTION
III ... et sa solution
Afin d’eviter ce collage, on utilise un sechage supercritique. L’idee est de remplacer l’eau par unliquide dont le point critique est accessible dans des conditions raisonnables de temperature et depression. On peut alors amener ce liquide a une temperature superieure a sa temperature critique,puis faire diminuer cette temperature en passant par une pression plus faible, de facon a obtenirun gaz, sans jamais avoir de transition de phase dans le milieu.
Un corps couramment utilise pour contourner ainsi le point critique est le dioxyde de carbone,amene dans une autoclave a des pressions voisines de sa pression critique (73,8 bars), et rechauffeprogressivement jusqu’a depasser la temperature critique (31,1 C). Son inconvenient majeur dansnotre cas est qu’il n’est pas miscible avec l’eau. On utilise donc de l’acetone, qui est relativementbien miscible avec les deux.
Apres quelques rincages a l’acetone, c’est ce solvant qui occupe completement l’espace qu’ona attaque. On place alors l’echantillon dans l’autoclave, et on pratique plusieurs rincages au di-oxyde de carbone liquide. On peut alors pratiquer le contournement du point critique et sechercompletement l’echantillon sans le detruire.
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Annexe F
La spectroscopie dephotoluminescence
I Principe
La photoluminescence est une methode de mesure qui consiste a eclairer un echantillon avecune source de lumiere, en general intense, et a etudier la reponse optique de ce systeme a uneautre longueur d’onde. Elle est particulierement adaptee aux systemes que nous avons etudie, quicomprennent des ılots quantiques d’InAs qu’il est possible d’exciter a une longueur d’onde de800 nm environ, pour qu’ils emettent des photons sur une gamme situee autour de 1550 nm.
La photoluminescence diffractee consiste a envoyer le faisceau incident sur une surface reduite,et a recuperer le signal provenant d’une surface nettement plus large, appele signal diffracte. Onutilise ensuite un monochromateur pour ne recuperer qu’une seule longueur d’onde. Cela permetde restreindre l’excitation a une zone bien definie, et de recuperer l’ensemble du signal qui s’estpropage dans la structure, a une longueur d’onde donnee.
Si on fixe le faisceau d’excitation en un certain point, on fait varier la longueur d’onde du mo-nochromateur, et on obtient un spectre de photoluminescence. On peut egalement fixer la longueurd’onde et deplacer le faisceau sur l’echantillon (ou plutot deplacer l’echantillon sous le faisceau)pour realiser une cartographie de photoluminescence.
II Dispositif experimental
Le montage que nous avons utilise est represente figure F.1. Il s’agit en fait d’un microscopeoptique modifie pour pouvoir :
– injecter de la lumiere emise par un laser a la longueur d’onde d’excitation et la focaliser ;– recuperer la lumiere en provenance de la surface pour pouvoir non seulement visualer celle-ci
dans l’oculaire (sur lequel on a monte une camera CCD), mais egalement faire parvenir lesignal de photoluminescence, a travers un monochromateur, a un detecteur lui-meme relie al’instrumentation de controle et de mesure.
Ce montage permet d’utiliser le microscope optique afin de visualiser directement la position dufaisceau incident focalise, tout en recueillant la lumiere reemise par photoluminescence sur toute lasurface vue par l’objectif du microscope ; notons qu’il est toutefois possible de restreindre la surfacesur laquelle on recueille la lumiere en reglant la largeur de fentes situees a l’entree et a la sortie dumonochromateur. Ce faisant, on ameliore egalement la resolution spectrale de ce dernier, qui estbase sur un reseau de diffraction, mais on diminue l’intensite du signal recu.
III Avantages et inconvenients
Examinons brievement les avantages de cette methode de mesure :– bon controle visuel de la position de l’excitation ;
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III. AVANTAGES ET INCONVENIENTS
laser d’excitation
moteurs pas a pas
separatrices
lames
oculaire
echantillon
objectif demicroscope faisceau laser focalise
emission dephotoluminescence
diffractee
monochromateur
photodetecteur
Fig. F.1 : Schema du dispositif experimental utilise pour analyser un echantillon par photolumi-nescence diffractee.
– le systeme est excite « de l’interieur » par sa zone active ;– excellente resolution spectrale ;– bonne resolution laterale pour les cartographies de photoluminescence, grace aux moteurs
pas a pas.Cependant, utiliser la photoluminescence diffractee est souvent peu pratique, en particulier :– les mesures sont longues a realiser pour peu que l’on recherche une bonne resolution ;– il n’est pas possible de choisir un point depuis lequel on recueille le signal de photolumines-
cence (des cartographies ainsi realisees auraient plus de sens) ;– les aberrations chromatiques introduites par l’objectif du microscope rendent le systeme im-
possible a focaliser simultanement aux longueurs d’onde de l’excitation et de l’emission ;– on ne peut recueillir que la lumiere emise au voisinage de la direction verticale.Ce dernier inconvenient peut etre elimine en utilisant un montage goniometrique, qui est en
passe d’etre installe pour de prochaines mesures. Il est egalement prevu d’utiliser un objectif corrigepour eliminer les aberrations chromatiques.
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