A THEMA IN PROCESS

LA CONTRAINTE AB + AC = 2.BC

OU

TRIANGLES WITH SIDES

IN

ARITHMETIC PROGRESSION

Le rythme est au temps ce que

la symétrie au sens ancien est à l'espace. 1

Jean-Louis AYME 2

A-

A

O I

C B

0

Résumé. L'auteur présente A Thema in Process concernant la relation ''AB + AC = 2.BC''. Une suite d'implication conduisant à des résultats secondaires, suivie de variations et

se terminant par des réciproques remarquables, sont présentées dans cet article. Les figures sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement.

1 Pour Vitruve, architecte romain du Ie av. J.-C., la symétrie consistait en "la répétition de formes semblables" par un accord de

mesure commune i.e. une comodulation. Le sens ancien se perdit à la fin du XVIIe au profit du sens moderne. 2 Saint-Denis, Île de La Réunion (Océan Indien, France), le 30/04/2018 ; jeanlouisayme@yahoo.fr

2

2

Remerciements. Ils vont au professeur Ercole Suppa (Italie) pour avoir envoyé

quelques articles sur le sujet. Sa passion pour la Géométrie du Triangle mérite d'être remarquée et soulignée par les Géomètres contemporains.

Abstract. The author presents A Thema in Process concerning ''AB + AC = 2.BC''. A series of implications leading to secondary results, followed by variations and

ending with remarkable reciprocals, are presented in this article. The figures are all in general position and all cited theorems can all be shown synthetically.

Aknowledgment. They go particularly to professor Ercole Suppa (Italy) for sending a

few articles on the topic. His passion for the geometry of the Triangle should be noticed and underlined by the contemporary Geometers.

3

3

Sommaire

Point de vue 4

A. Une suite d'implication 5

1. Contrainte sur un triangle 5 2. I est milieu 6 3. La droite (OI) 7 4. I est un tiers-point 8

Conséquences 10

Quatre points cocycliques Deux perpendiculaires X milieu de [IU] Distance de O à (BC) : R - r Évaluation de AI² : AI² = 2.rR Une somme Une relation a² = 4r.(2R – r) Une somme I centre d'un cercle Avec le A-excentre

5. L'antipôle de D ou le point de Feuerbach 15

Conséquences 15

Le second tiers-point de [AX] à partir de X La tangente de Feuerbach de ABC La droite de Nagel de ABC A, Fe et Na sont alignés <ONaI est droit Quatre points cocycliques Un milieu Une relation OI² = (R – 2r).R Le point médian de ABC Évaluation de IG IG = 1/3.(b - a) Un point médian sur la tangente de Feuerbach L'orthocentre du triangle IAC Le point A+ Un autre alignement Récapitulation

6. La A-thalésienne 25 7. La A-hauteur AHa = 3.r 27

Conséquences 23

Une millosité Avec le A-excercle ra = 3.r Une relation 1/ra = ½ .(1/rb + 1/rc) Une chasse d'aire 6.Rr = bc (= 3.AI²) Une relation 1/AP = ¾ .(1/AB + 1/AB)

8. Retour sur la contrainte 31 9. Archives 33

B. Des réciproques remarquables 35

1. Du point G à la contrainte 35 2. Du point A+ à la contrainte 36 3. Du point Fe à la contrainte 37 4. Du point de contact D à la contrainte 38

C. Deux équivalences 40

1. Points cocycliques 41 2. Une équivalence de l'auteur 42 3. Romanian IMO TST 2006, day 5, problem 4 44

D. Appendice 48

1. Une médiane 2. Évaluation d'un segment 3. Trois segments égaux

4

4

POINT DE VUE

Mieux vaut une once de pratique où la main devient le regard de l'âme et de l'esprit,

qu'une tonne de théorie.

L'auteur propose un article ''in process'' i.e. en construction, partie par partie. Au rythme de cette démarche qui s'insère dans le temps, correspond une symétrie i.e. une comodulation dans l'espace publié. De là, l'auteur espère qu'une harmonie peut naître entre ces deux pôles, et s'exprimer dans un langage muet pour ne parler qu'au regard et non plus aux yeux.

5

5

A. UNE SUITE D' IMPLICATION

1. Contrainte sur un triangle

VISION

Figure :

A

C B

Traits : ABC un triangle tel que AB + AC = 2.BC. Donné : construire ABC à partir du pied de la A-bissectrice intérieure.

VISUALISATION

B C X B'C'

A

A

• Un organigramme : 1. [BC] un segment 2. X un point de [BC] 3. B', C' les symétriques resp. de B, C par rapport à X 4. 1, 2 les cercles de centres B, C et de rayons resp. BB', CC' 5. A, B les deux intersections de 1, 2 conduisent à deux triangles solutions. Scolies : (1) X est le pied de la A-bissectrice intérieure de ABC (2) nous avons : AB < BC < AC

6

6

(3) Les deux triangles

A

C B B C

A

2. I est milieu

VISION

Figure :

U

A

I

C B

0

Traits : ABC un triangle, I le centre de ABC, 0 le cercle circonscrit à ABC et U le second point d'intersection de (AI) avec 0. Donné : si, AB + AC = 2.BC alors, I est le milieu de [AU].

VISUALISATION

7

7

U

A

I

C B

0

1a

• Notons 1a le A-cercle de Mention de ABC ; il a pour centre U et passe par B, C et I. • D'après ''Le théorème de Ptolémée'' appliqué

* au quadrilatère cyclique ABUC, BU.AC + CU.AB = AU.BC * sachant que UB = UC, BU.(AC + AB) = AU.BC * par hypothèse, AB + AC = 2.BC, 2.BU = AU * en considérant 1a, 2.UI = UA.

• Conclusion : I est le milieu de [AU]. 3. La droite (OI)

VISION

Figure :

8

8

U

A

O I

C B

0

Traits : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, O le centre de 0, I le centre de ABC et U le second point d'intersection de (AI) avec 0. Donné : si, I est le milieu de [AU] alors, (OI) est perpendiculaire à (AI). 3 Commentaire : la preuve est laissée aux bons soins du lecteur. 4. I est un tiers-point

VISION

Figure :

A

O I

C B

0

X

3 F.G.M., Exercices de Géométrie (1877), 6th ed., 1920, Rééditions Jacques Gabay (Gabay reprint), Paris, 1991 ; p. 464-465

Sharygin I. F., Problemas de geometria, Editions Mir, Moscou (1986) 96-97 Indian National Mathematical Olympiad 2006, Problem1 ; https://artofproblemsolving.com/community/c4932_2006_india_national_olympiad INMO 2006 Problems and solution ; http://olympiads.hbcse.tifr.res.in/olympiads/wp-content/uploads/2016/09/inmo-2006.pdf Nice, AoPS du 31/08/2014 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=604601 Kentaro Mikami, Jun O'Hara and Kunio Sugawara, Triangles with sides in arithmetic progression, Elemente der Mathematik 72 (2017) 75 – 79

9

9

Traits : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, O le centre de 0, I le centre de ABC et X le point d'intersection de (AI) et (BC). Donné : si, (OI) est perpendiculaire à (AI)

alors, I est premier tiers-point de [AX] à partir de X.

VISUALISATION

A

O I

C B

0

W

V

Y

X

• Notons UVW le triangle I-circumcévien de ABC et Y le point d'intersection de (VW) et (AI). • (OI) étant perpendiculaire à (AP) d'après William Horner "Un joli papillon" 4 appliqué au quadrilatère cyclique BCWV, IX = IY. • Par culture géométrique 5, IY = YA. • Conclusion : I est le premier tiers-point de [AX] à partir de X. Archive :

4 Ayme J.-L., A new metamorphosis of the Butterfly problem, vol. 7, p. 5-8 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 5 a geometry problem, AoPS du 18/09/2016 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1307444_a_geometry_problem

10

10

Conséquences : (1) quatre points cocycliques 6

A

O I

C B

0

X

N P

1a

• Notons N, P les milieux resp. de [CA], [AB]. • Nous avons : (ON)⊥ (AC) et (OP)⊥ (AB). • Conclusion : d'après Thalès ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', P, N et I sont sur le cercle de diamètre [AO]. • Notons 1a ce cercle. (2) Deux perpendiculaires

A

O I

C B

0

X

N P

Oa

1a

• Notons Oa le centre de 1a. 6 Sharygin I. F., Problemas de geometria, Editions Mir, Moscou (1986) 96-97

Baltic Way 1999 Incentre, circumcentre and midpoints of AC,BC are concyclic, AoPS du 23/12/1010 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h383434_incentre_circumcentre_and_midpoints_of_acbc_are_concyclic Bosnia and Herzegovina 2011 triangleABC BC=1/2(AB+AC), AoP du 16/03/2011 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h406786_triangleabc_bc12abac

11

11

• Conclusion : (IOa) est perpendiculaire à (BC).

(3) X est le milieu de [IU]

A

O I

C B

0

X

U

• Notons U le second point d'intersection de (AI) avec 0. • Conclusion : I étant le milieu de [AU] et le premier tiers-point de [AX] à partir de X,

X est le milieu de [IU] (4) Distance de O à (BC) 7

A

O

I

C B

0

X

U

D

R

M

r

• Notons M le milieu de [BC], R le rayon de 0

et r le rayon du cercle inscrit à ABC. • Conclusion : X étant le milieu de [IU], OM = R – r. (5) Évaluation de AI² 8

7 F.G.M., Exercices de Géométrie (1877), 6th ed., 1920, Rééditions Jacques Gabay (Gabay reprint), Paris, 1991 ; p. 464-465 8 Relation 5 in triangle…, AoPS du 05/04/2018 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1621838_relation_5_in_triangle_so_that_abac__2bc

12

12

A

O

I

C B

0

X

U

D M

r

I'

• Notons I' le pied de la perpendiculaire à (OU) issue de I. • D'après ''Relations métriques dans un triangle rectangle'' appliqué au triangle I-rectangle IOU, IU² = UI'.UO. • Conclusion : AI² = 2.Rr. (6) Une somme 9

A

O

C B

0

M

P N

• Notons MNP le triangle médian de ABC. • D'après ''Le théorème de Ptolémée'' appliqué au quadrilatère cyclique OPBM, OP.BM + OM.BP = MP.OB i.e. après simplification, OP.a + (R - r).c = b.R. • D'après ''Le théorème de Ptolémée'' appliqué au quadrilatère cyclique ONCM, ON.CM + OM.CN = MN.OC i.e. après simplification, ON.a + (R – r).b = c.R. • Conclusion : par addition membre à membre, ON + OP = 2.r. (7) Une relation 10 9 F.G.M., Exercices de Géométrie (1877), 6th ed., 1920, Rééditions Jacques Gabay (Gabay reprint), Paris, 1991 ; p. 464-465 10 F.G.M., Exercices de Géométrie (1877), 6th ed., 1920, Rééditions Jacques Gabay (Gabay reprint), Paris, 1991 ; p. 464-465

13

13

A

O I

C B

0

X

U

D M

r

A+

r

• Notons A+ le premier A-perpoint de ABC et P0 (M) la puissance de M par rapport à 0. • Nous avons : P0 (M) = MB.MC = MU.MA+ i.e. P0 (M) = (a/2)² = r.(2R – r) • Conclusion : a² = 4r.(2R – r). (8) Une somme 11

A

C B M

A+

0

D

1a

• Notons 1a le cercle tangent à 0 en M passant par A+ et D le point de contact de la tangente à 1a issue de A. • D'après ''Le théorème de John Casey'' 12 appliqué aux cercles points A, B, C et à 1a, AB.CM + AD.CB = AC.BM

* par multiplication par 2 AB.BC + AD.2.BC = AC.BC

* simplification par BC AB + 2.AD = AC

11 Thanos Kalogerakis (18/02/2018), 1636 Inspired by a problem of Miguel Ochoa Sanchez 12 Casey J., Proposition 10, Livre VI , A Sequel to the first six books of the Elements of Euclid, Dublin, (1888) 103

14

14

* par hypothèse, AB + AC = 2.BC

* par addition et simplification, 2.AB + 2.AD = 2.BC

• Conclusion : AB + AD = BC (9) I centre d'un cercle 13

A

O I

C B

0

X

N P

U

1'a

• Notons 1'a le A-cercle de Mention de ABC. • Une chasse segmentaire : * X étant le milieu de [IU], 2.IX = UI * 1'a passant par B et I, UI = UB * I, P étant les milieux resp. de [AU], [AB], d'après Thalès ''La droite des milieux''

appliqué au triangle ABU, UB = 2.IP * par transitivité de = et simplification par 2, IX = IP. • Mutatis mutandis, nous montrerions que IX = IQ. • Conclusion : I est le centre du cercle circonscrit au triangle NPX. (10) Avec le A-excentre 14

13 I circumcenter, AoPS du 04/12/2017 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h1554762_i_curcumcenter 14 F.G.M., Exercices de Géométrie (1877), 6th ed., 1920, Rééditions Jacques Gabay (Gabay reprint), Paris, 1991 ; p. 464-465

15

15

U

A

I

C B

0

1a

Ia

X

• Notons Ia le A-excentre de ABC. • Par culture géométrique, Ia est l’antipôle de I par rapport à 1a. • Conclusion : X est le milieu de [AIa]. 5. L'antipôle de D ou le point de Feuerbach

VISION

Figure :

A

I

C B D

D'

1

X

Traits : ABC un triangle, 1 le cercle inscrit à ABC, I le centre de 1, D le point de contact de 1 avec (BC), X le point d'intersection de (AI) et (BC), et D' l'antipôle de D relativement à 1. Donné : si, I est le premier tiers-point de [AX] à partir de X.

16

16

alors, D' est le point de Feuerbach de ABC. 15

VISUALISATION

A

I

C B D

D', Fe

1

X

X'

• Notons X' le milieu de [AI]. • Scolies : (1) (D'X') // (DX) ou encore à (BC) (2) (D'X') est la tangente à 1 en D'. • Conclusion : d'après Victor Amédée Mannheim 16, D' est le point de Feuerbach de ABC. • Notons Fe le point de Feuerbach de ABC et Tfe la tangente (D'X'). Conséquences : (1) X' est le second tiers-point de [AX] à partir de X (2) Tfe est ''la tangente de Feuerbach de ABC'' ; elle est parallèle à (BC) 17

(3) la droite de Nagel de ABC.

15 Ayme J.-L., With the Feuerbach’s point, AoPS du 07/06/2017 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1458489_with_the_feuerbachs_point 16 Ayme J.-L., A perpendicular bisector, AoPS du 09/06/2017 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1459558_a_perpendicular_bisector 17 F.G.M., Exercices de Géométrie (1877), 6th ed., 1920, Rééditions Jacques Gabay (Gabay reprint), Paris, 1991 ; p. 464-465

17

17

A

I

C B D

Fe

1

Tfe

Na

• Notons Na le point de Nagel de ABC. • Conclusion : d'après Trajan Lalesco, la droite de Nagel (INa) est parallèle à Tfe. 18 (4) Deux alignements

A

I

C B D

Fe

1

Tfe

NaN

• Notons N le centre du cercle d’Euler d eABC. • Conclusion : * A, Fe et Na sont alignés 19 * D, I, N et Fe sont alignés

18 F.G.M., Exercices de Géométrie (1877), 6th ed., 1920, Rééditions Jacques Gabay (Gabay reprint), Paris, 1991 ; p. 464-465

Lalesco T., La Géométrie du triangle (1916), réédition J. Gabay, Paris (1987) proposition 4-39 p. 35 Wu Wei Chao, Problem 1506, Mathematics Magazine, 70: 4 (Oct. 1997) 302-303. (Appeared in October 1996) problem 2 on the Second Hong Kong Mathematical Olympiad 1999 ; solution in Crux with Mayhem (2005) 520-521 Seimiya T., Problem 2870, Crux Mathematicorum (2003) 399 ; solution : Crux Mathematicorum (2004) 382-383

USAMO 2001 Problem 2, AoPS du 01/10/2005 ; http:/www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h54049_usamo_2001_problem_2 Myakishev A., 9—10, Prove that point lies on the incircle, Sharygin contest 2008. The correspondence round. Problem 13. Mathlinks du 03/09/2008 ; http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?search_id=48439151&t=224272 Incircle, Mathlinks du 12/03/2010 ; http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=337716 Ayme J.-L., La tangente de Feuerbach, G.G.G. vol. 13 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

19 Ayme J.-L., Cinq théorèmes de Christian von Nagel, G.G.G. vol. 3, p. 7-9 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ A collinearity under condition, AoPS du 15/06/2017 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h1462587_a_collinearity_under_condition

18

18

(5) <ONaI est droit

A

I

C B D

Fe

1

Tfe

Na

D'M

O

• Notons D' le point d'intersection de (ANa) et (BC), M le milieu de [BC] et O le centre du cercle circonscrit à ABC. • Par culture géométrique, D' est l'isotome de D relativement à [BC]. • D'après Thalès ''La droite des milieux'' appliqué au triangle FeDD', * Na est le milieu de [FeD']

* (MNa) // (FeD).

• Conclusion : (MNa) étant la médiatrice de [BC], <ONaI est droit. (6) Quatre points cocycliques

19

19

A

I

C B D

Fe

1

Tfe

Na

D'M

O

O'a

0

U

H

• Notons O'a le symétrique de O par rapport à (BC), H l'orthocentre de ABC et 1'a le cercle circonscrit au triangle NaBC. • Na étant l'isotome de U relativement à [OO'a], O'aNa = OU (= R). • Conclusion : 1'a ayant pour centre O'a, passe par H.

(7) Un milieu 20

A

I

C B D

Fe

1

Na

M

O

0

U

A+

X

K

J

• Notons A# le premier A-perpoint de aBC, 2 le cercle circonscrit au triangle A#IO, X le second point d'intersection de 2 avec 0, J, K les points d'intersection de (IO) resp. avec (A#X), (BC) et 3 le cercle de diamètre [OU] ; il est tangent à 0 en U.

20 Mixtilinear, AoPS du 30/03/2018 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1618030_mixtilinear

20

20

• D'après Monge ''Le théorème des trois cordes'' 21, la tangente commune à 0 et 3 en U passe par J. • Conclusion : M étant le milieu de [NaU], d'après l'axiome de passage IIIb

appliqué à la bande de frontières (NaI) et (UJ), K est le milieu de [IJ]. (8) Une relation

A

I

C B D

Fe

1

Na

M

O

O'a

0

U

r r

r

R

• D'après ''Relations métriques dans un triangle rectangle'', OI² = ONa.OU.

• Conclusion : par substitution, OI² = (R – 2r).R.

(9) Le point médian de ABC 22

A

I

C B D

Fe

1

Tfe

NaG

21 Ayme J.-L., Le théorème des trois cordes, G.G.G. vol. 6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 22 Yiu P., Euclidean Geometry Notes, Section 8.6.7, p. 120 ; http://math.fau.edu/Yiu/EuclideanGeometryNotes.pdf

21

21

• Notons G le point médian de ABC et Sp le point de Spieker de ABC. • D'après ''La droite de Nagel'' 23, G est le premier tiers-point de [INa] à partir de I. • D'après ''La droite de Housel-Nagel'' 24, I, G et Sp sont alignés. • Conclusion : G et Sp sont sur (INa). 25 Archive :

(10) Évaluation de IG

A

I

C B D

Fe

1

Tfe

NaG

D'

• Notons D' le point d'intersection de (ANa) et (BC). • Nous savons que 3.IG = INa. • D'après Thalès ''La droite des milieux'' appliqué au triangle FeDD', 2.INa = DD'. • Scolie : D' est l'isotome de D relativement à [BC]. • D'après D. Appendice 2, DD' = AC – AB. • Conclusion : sachant que AB + AC = 2.BC, IG = 1/3.(AC – BC). (11) Un point médian sur Tfe 26

23 Ayme J.-L., Cinq théorèmes de Christian von Nagel, G.G.G. vol. 3, 12-14 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 24 Ayme J.-L., La droite de Hermes-Soddy, G.G.G. vol. 6, 11-13 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 25 Sharygin I. F., Problemas de geometria, Editions Mir, Moscou (1986) 96-97 26 AB+AC=2BC, AoPS du 10/05/2015 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h1087184

22

22

A

I

C B D

Fe

1

Tfe

NaG

Ga

P N

• Notons N, P les milieux resp. de [CA], [AB] et Ga le point médian du triangle ANP. • Conclusion : Ga étant le milieu de [AGa], Ga est sur Tfe. (12) L'orthocentre du triangle IAC

A

I

C B

D

Fe

1 F

E

Hb

B'C'

Tfe

Traits : ABC un triangle, 1 le cercle inscrit à ABC, I le centre de 1, DEF le triangle de contact de ABC, Fe le point de Feuerbach, antipôle de D relativement à 1, Tfe la tangente à 1 en Fe, B', C' le point d'intersection de Tfe resp. avec (AC), (AB) et Hb l'orthocentre du triangle IAC. Donné : Hb, B et B' sont alignés. 27

VISUALISATION

27 Ayme J.-L., Orthocenter of IAC, AoPS du 07/06/2017 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1458591_orthocenter_of_iac

23

23

A

I

C B

D

Fe

1 F

E B'

C'

M

N P

B+

A+

• Scolie : Fe est le point de Feuerbach de ABC. • Notons MNP le triangle médian de ABC et A+ le point d’intersection resp. de (EF) et (DFe). • D'après ''Les deux de Schroeter'' 28 appliqué aux triangles céviens MNP et DEF, Fe est le second point de Schroeter de ABC. • Conclusion partielle : (MP), (DF) et (EFe) sont concourantes. • Notons B+ ce point de concours.

A

I

C B

D

Fe

1 F

E

Hb

B'C'

M

N P

B+

A+

• Une chasse de polaire relativement à 1 : * (MP) est la polaire de Hb 29 * (DF) est la polaire de B * (EFe) est la polaire de B’ 28 Ayme J.-L., Les deux points de Schroeter, G.G.G. vol. 2, p. 13 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 29 R276 ; http://www.xtec.cat/~qcastell/ttw/ttweng/resultats/r276.html Triangle BIC, AoPS du 23/06/2015 ; http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h1105382_tiangle_bic

24

24

• D'après de La Hire ''La réciprocié polaire'', (MP), (DF) et (EFe) étant concourantes en B+, Hb, B et B' sont sur la polaire de B+ relativement à 1. • Conclusion : Hb, B et B' sont alignés. (13) le point A+ • Conclusion : d'après Isaac Newton ''Le théorème'' appliqué au quadrilatère circonscriptible BCB'C', A+ est sur (BB').

(14) Un autre alignement ou le problème de AoPS 30

A

I

C B

D

Fe

1

F

E

Hb

B'C'

Hc

• Notons Hc l'orthocentre du triangle IAB. • Conclusion : mutatis mutandis, nos montrerions que Hc, C et C' sont alignés. (15) Récapitulation

30 Geometry with condition AB+AC=2BC, AoPS du 29/04/2017 ;

https://artofproblemsolving.com/community/q3h1439064p8172840

25

25

A

I

C B

D

Fe

1

F

E

Hb

B'C'

Hc

P N A+

X

O

M D''

6. La A-thalésienne

VISION

Figure :

A

I

C B D

Fe

1 F

E

A+

M

N P

Traits : ABC un triangle, 1 le cercle inscrit à ABC, I le centre de 1, DEF le triangle de contact de ABC, Fe l'antipôle de D relativement à 1, MNP le triangle médian de ABC et A+ le point d'intersection de (DFe) et (EF). Donné : si, Fe est le point de Feuerbach de ABC alors, (MN) passe par A+.

26

26

VISUALISATION

• Scolie : (MN) est la A-thalésienne de ABC.

A

I

C B D

Fe

1 F

E

A+

M D"

• Notons D'' le symétrique de D par rapport à M. • D'après Johnson John (Cf. D. Appendice 1), A, A+ et M sont alignés. • Par culture géométrique, (1) A, Fe et D'' sont alignés 31 (2) M est le milieu de [DD''] 32. • D'après A. 5. scolie et Thalès ''Rapports'', AD'' = 3.AFe.

A

I

C B D

Fe

1 F

E

A+

M D"

• D'après ''Le théorème de Ménélaüs'' appliqué au triangle AMD'' et à la ménélienne (A+DFe), A+A = A+M.

31 Honsberger R., Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, MAA, New Mathematical Library (1995) 31 incircle and excircle, AoPS du 31/10/2012 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=504812 32 Prouve MD = MK, Mathlinks du 23/02/2012 ;

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=465559 Italian Mathematical Olympiad 2001, Problem 5, AoPS du 03/11/2012 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=505386 Diameter of Incircle, AoPS du 08/03/2014 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=579667

27

27

A

I

C B D

Fe

1 F

E

A+

M

N P

• Conclusion : A+ étant le milieu de [AM], (NP) passe par A+. Scolie : une évaluation de DA+ 33

A

I

C B D

Fe

1 F

E

A+

M D"

• Notons r le rayon de 1. • Conclusion : d'après ''Le théorème de Ménélaüs'' appliqué au triangle AA+Fe et à la ménélienne (MD''D), DA+ = (3/2).r. 7. La A-hauteur

VISION

Figure :

33 Ayme J.-L., Orthocenter of IAC, AoPS du 07/06/2017 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1458591_orthocenter_of_iac

28

28

A

I

C B D

1 F

E

A+

M

N P

Ha

r

Traits : ABC un triangle, Ha le pied de la A-hauteur de ABC, 1 le cercle inscrit à ABC, I le centre de 1, r le rayon de 1, DEF le triangle de contact de ABC, A+ le point d'intersection de (DI) et (EF). et MNP le triangle médian de ABC Donné : si, (NP) passe par A+ alors, AHa = 3.r. 34

VISUALISATION • D'après A. 6. scolie, DA+ = (3/2).r. • (NP) étant la médiatrice de [AHa], AHa = 2.(3/2).r. • Conclusion : AHa = 3.r. Conséquences : (1) une milosité

A

I

C B D

1 F

E

A+

M

N P

Ha

3r/2

3r

• Conclusion : d'après Thalès ''La droite des milieux'' appliqué au triangle MAHa, D est le milieu de [MHa].

34 F.G.M., Exercices de Géométrie (1877), 6th ed., 1920, Rééditions Jacques Gabay (Gabay reprint), Paris, 1991 ; p. 464-465

Sharygin I. F., Problemas de geometria, Editions Mir, Moscou (1986) 96-97

29

29

(2) Avec le A-excercle 35

A

I

C B

0

Ia

X Ha

D'

• Notons Ia le A-excentre de ABC et D' le point de contact du A-excercle de ABC. • Conclusion : X étant le milieu de [AIa], IaD' = AHa. (3) Une relation • Notons 2.p le périmètre de ABC

et ra, rb, rc les rayons resp. des A, B, C-excrcles de ABC. • Par culture géométrique, (p –a).ra = (p –b).rb = (p –c).rc (= S i.e. l'aire de ABC). • Nous avons : * (p –a).ra = 2.(p –a)/2.(1/ra) = a/2.(1/ra) * a/2.(1/ra) = (2.p – b – c)/(1/rb + 1/rc) = a/(1/rb + 1/rc) • Conclusion : 1/ra = ½.(1/rb + 1/rc). (4) Une somme constante 36

A

I

C B X

T

F

G

E Ha

35 F.G.M., Exercices de Géométrie (1877), 6th ed., 1920, Rééditions Jacques Gabay (Gabay reprint), Paris, 1991 ; p. 464-465 36 Sharygin I. F., Problemas de geometria, Editions Mir, Moscou (1986) 96-97

30

30

• Notons a, b, c les longueurs BC, CA, AB,

T un point de [AX] et EFG le triangle T-pédal de ABC. • D'après ''Le théorème de la bissectrice'', XC/XB = b/c par addition de 1 aux deux membres, a/XB = 2a/c ou encore XB = c/2. • Une chasse d'aire : * 2.[TAB] + 2.[TBX] = BX.AHa * c.TG + c/2 . TE = c/2 . 3r * 2.TG + TE = 6r • Nous avons : TG = TF • Conclusion : TG + TF + TE = 6r. (5) Une relation

A

O I

C B

0

Ha

b c

r

r

r

R

• Par culture géométrique, 2.AHa.AO = AB.AC ; • Conclusion : par substitution, 6.Rr = bc (3.AI²). (6) Une seconde relation 37

37 Relation 1 in triangle ABC so that AB + AC + 2.BC, AoPS du 02/04/2018 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1619784_relation_1_in_triangle_abc_so_that_ab__ac__2bc

31

31

A

I

C B D

1

O

0

P

Q

• Notons P, Q les points d'intersection de (IO) resp. avec (AB), (AC) et b, c, x les longueurs resp. de [AC], [AB], [AP]. • D'après Eugène Catalan 38, BP.CQ = IP²

* par une autre écriture (AP = AQ), (c – x).(b – x) = IP²

* par développement, bc – (b + c)x + x² = IP²

* d'après le théorème de Pytagore appliqué au triangle I-rectangle IAP et par transposition, AI² = (b + c)x – bc * par transposition et substitution ( bc = 3.AI²), 1/3.bc + bc = (b + c)x * par simplification, 4/3. bc = (b + c)x * d’où : 1/x = ¾ . (b + c)/bc • Conclusion : 1/AP = ¾ .(1/AB + 1/AC).

8. Retour sur la contrainte

VISION

Figure :

38 Catalan E., Théorèmes et problèmes de Géométrie Élémentaire, 6e édition, Dunod, Paris (1865), Théorème LVII , p. 126-127.

32

32

A

I

C B D

1 F

E

Ha

r

3r

Traits : ABC un triangle, 1 le cercle inscrit à ABC, I le centre de 1, r le rayon de 1, DEF le triangle de contact de ABC et Ha le pied de la A-hauteur de ABC. Donné : si, AHa = 3.r alors, AB + AC = 2.BC.

VISUALISATION

A

I

C B D

1 F

E

Ha

r

3r

a

b c

• Notons a, b, c les longueurs resp. de [BC], [CA], [AB], 2.p le périmètre de ABC et S l’aire de ABC. • Une chasse par les aires : * par la formule égyptienne, 2S = a.Aha * d’après A. 7. Aha = 3.r * avec le demi-périmètre p, S = p.r * par substitution et simplification, 2.p = 3.a i.e. b + c = 2.a. • Conclusion : par commutativité de +, AB + AC = 2.BC.

33

33

9. Archives signalées par Miguel Amengual Covas de Cala Figuera (Mallorca, España).

39

40

39 F.G.M., Exercices de Géométrie (1877), 6th ed., 1920, Rééditions Jacques Gabay (Gabay reprint), Paris, 1991 ; p. 464-465 40 Sharygin I. F., Problemas de geometria, Editions Mir, Moscou (1986) 96-97

34

34

41

41 Bellot Rosado F., Revistaoim n° 19 ; http://www.oei.es/historico/oim/revistaoim/index.html Bellot Rosado F., Triangulos especiales III ; http://www.oei.es/historico/oim/revistaoim/numero19.htm

35

35

B. DES RÉCIPROQUES REMARQUABLES

1. Du point G à la contrainte

VISION

Figure :

A

I

C B D

Fe

1

Tfe

NaG

Traits : ABC un triangle tel que AB < BC < AC, 1 le cercle inscrit à ABC, I le centre de 1, DEF le triangle de contact de ABC, et G le point médian de ABC. Donné : si, (IG) est parallèle à (BC) alors, AB + AC = 2.BC.

VISUALISATION

A

I

C B D

Fe

1

Tfe

NaG

36

36

• Notons a, b, c les longueurs resp. de [BC], [CA], [AB], r le rayon du cercle inscrit, Ha le pied de la A-hauteur de ABC, ha la longueur de [AHa], S l'aire du triangle ABC

et 2p le périmètre de ABC. • Nous savons que AHa = 3r et S = pr. • Une chasse d'aire : * 2.[BIC] = a.r = a.ha/3 = 2S/3 = 2pr/3 * par simplification par r, a = 2p/3 i.e. b + c = 2a. • Conclusion : AB + AC = 2.BC. 2. Du point A+ à la contrainte

VISION

Figure :

A

I

C B D

Fe

1

F

E

A+

M

N P

Traits : ABC un triangle tel que AB < BC < AC, 1 le cercle inscrit à ABC, I le centre de 1, DEF le triangle de contact de ABC, Fe l'antipôle de D relativement à 1, A+ le point d'intersection de (DIFe) et (EF), et MNP le triangle médian de ABC. Donné : si, (NP) passe par A+ alors, AB + AC = 2.BC.

VISUALISATION

37

37

A

I

C B D

Fe

1

F

E

A+

M

N P

• Une chasse segmentaire :

* d'après D. Appendice 2, 2.EN = BC - AB 2.FP = AC – BC

* d'après D. Appendice 3, NE = PF

• Conclusion : AB + AC = 2.BC. 3. Du point Fe à la contrainte

VISION

Figure :

A

I

C B D

Fe

1 F

E

Traits : ABC un triangle tel que AB <BC < AC, 1 le cercle inscrit à ABC, I le centre de 1, DEF le triangle de contact de ABC et Fe l'antipôle de D relativement à 1, Donné : si, Fe est le point de Feuerbach de ABC alors, AB + AC = 2.BC.

VISUALISATION

38

38

A

I

C B D

Fe

1

F

E

M

N P

2 • Fe est sur l'arc NP de 2 ne contenant par M • Notons MNP le triangle médian de ABC. • D'après ''Le théorème de John Casey'' 42 appliqué aux cercles-points Fe, P, N et à 1, tous tangents à 2, FeP.NE + PN.FeFe = FeN.PF * ou encore, FeP.NE = FeN.PF * d'après D. Appendice 2, FeP.(BC – AB) = FeN.(AC – BC) * par symétrie d'axe (DIFe), FeP = FeN

* par simplification, BC – AB = AC – BC. • Conclusion : AB + AC = 2.BC. 4. Du point de contact D à la contrainte

VISION

Figure :

A

I

C B D

Fe

1

F

E

M

N P

2

Hc

Hb

Ha

42 Casey J., Proposition 10, Livre VI , A Sequel to the first six books of the Elements of Euclid, Dublin, (1888) 103

39

39

Traits : ABC un triangle tel que AB <BC < AC, 1 le cercle inscrit à ABC, I le centre de 1, DEF le triangle de contact de ABC, Fe l'antipôle de D relativement à 1, HaHbHc le triangle orthique de ABC et MNP le triangle médian de ABC. Donné : si, D est le milieu de [MHa] alors, AB + AC = 2.BC.

VISUALISATION

A

I

C B D

Fe

1

F

E

M

N P

2

Hc

Hb

Ha

• Notons 2 le cercle d'Euler de ABC. • D'après John Casey ''Une généralisation du théorème de Ptolémée'' 43 appliqué aux cercles-points M, Ha, P et à 1, tous tangents à 2, MHa.PF + MD.HaP = MP.HaD • Par simplification, 2.PF + HaP = MP. • D'après D. Appendice 2 et substitution, (AC – BC) + MN = MP. • Par multiplication par 2 et substitution, 2.(AC –BC) + AB = AC. • Conclusion : AB + AC = 2.BC.

43 Casey J., Proposition 10, Livre VI , A Sequel to the first six books of the Elements of Euclid, Dublin, (1888) 103

40

40

C. UNE ÉQUIVALENCE

1. Points cocycliques

VISION

Figure :

B C

A V

W

0

I

E

F

L

K

D

Traits : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit de ABC, V, W les seconds B, C-perpoints de ABC, 1 le cercle inscrit à ABC, I le centre de 1, DEF le triangle de contact de ABC et K, L les pieds des perpendiculaires à (VE), (WF) issues de A. Donné : le quadrilatère AKIL est cyclique si, et seulement si, AB + AC = 2.BC. 44

VISUALISATION

44 about isogonal conjugate of Nagel, AoPS du 09/06/2017 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1459617_about_isogonal_conjugate_of_nagel

41

41

B C

A V

W

0

I

E

F

L

K

S

1

2

• Notons 1, 2 les cercles de diamètre resp. [AV], [AW], et S le second point d'intersection de 1 et 2. • D'après ''Une monienne diamétralement brisée'' 45, V, S et W sont alignés.

B C

A

O

V

W

0

I

E

F

L

K

T

S

1

2

3

• Notons T le point d'intersection de (VK) et (WL), et O le centre de 0. • D'après ''Une monienne brisée'' 46, A, L, T et K sont cocycliques. • Notons 3 ce cercle de diamètre [AT].

45 Ayme J.-L., A propos de deux cercles sécants, G.G.G. vol. 12, p. 20-21 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 46 Ayme J.-L., A propos de deux cercles sécants, G.G.G. vol. 12, p. 45-46 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

42

42

B C

A

O

V

W

0

I

E

F

L

K

T

S

1

2

3

D

U

• Notons U le second A-perpoint de ABC. • Les triangles UVW et DEF étant homothétiques, (UD), (VE) et (WF) concourent en T. • O et I étant les centres des cercles circonscrits resp. à UVW, DEF, (OI) passe par T. • Conclusion :

le quadrilatère AKIL est cyclique ↔ <AIT = 90° ↔ <AIO = 90° ↔ AB + AC = 2.BC.

2. Une équivalence de l'auteur

VISION

Figure :

A

B C

I F

E

D

O

M

K

1

Traits : ABC un triangle,

43

43

O le centre du cercle circonscrit à ABC, 1 le cercle inscrit de ABC, I le centre de 1, DEF le triangle de contact de ABC, M le milieu de [BC] et K le symétrique de M par rapport à (AI). Donné : (DK) est parallèle à (AI) si, et seulement si, AB + AC = 2.BC. 47

VISUALISATION

A

B C

I F

E

D

O

M

K

1

D'

Fe

D"

• Notons D' le symétrique de D par rapport à (AI), D'' le second point d'intersection de la perpendiculaire à (EF) issue de D avec 1 et Fe le point de Feuerbach de ABC. • D'après Georges Fontené 48, M, D' et Fe sont alignés. • D'après ''Symétrique de…'' 49, (1) (FeD'') est la symétrique de (OI) par rapport à (EF) (2) (FeD'') ⊥ (MD') • Le symétrique de (FeD'') par rapport à (AI) ou (EF) étant parallèle à (OI), (OI) ⊥ (DK). 50 • Nous avons : (DK) // (AI) ; en conséquence, (OI) ⊥ (AI). • Conclusion : (OI) ⊥ (AI) ↔ AB + AC = 2.BC.

47 Ayme J.-L., Parallelism and condition, AoPS du 27/09/2014 ;

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=607796 48 Ayme J.-L., Les droite d'Hamilton…et Fontené, G.G.G. vol. 30, p. 31-33 ; http://jl.ayme.pagesperso.orange.fr/ 49 Ayme J.-L., Symétrique de (OI) par rapport au triangle de contact, G.G.G. vol. 4, p. 27 ; http://jl.ayme.pagesperso.orange.fr/ 50 reflection, Mathlinks du 26/05/2011 ;

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=408497

44

44

3. Romanian IMO TST 2006, day 5, problem 4

VISION

Figure :

A

C B

0

Ha M

1b1c

L

Traits : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, Ha le pied de la A-hauteur de ABC, 1b le cercle tangent à [AHa], [BHa] et à 0, 1c le cercle tangent à [AHa], [CHa] et à 0, L la seconde tangente commune intérieure à 1b et 1c, et M le point d’intersection de L et (BC). Donné : M est milieu de [BC] si, et seulement si, AB + AC = 2.BC. 51

VISUALISATION

51 Yufei Zhao, IMO Training 2007, Problem 5, p. 7, Lemmas in Euclidean Geometry du 20/07/2007 ; http://yufeizhao.com/olympiad/geolemmas.pdf

Metric relation describing the position of the incenter, AoPS du 23/05/2006 https://artofproblemsolving.com/community/c6h88823p518139

45

45

A

O I

C B

0

Ha

Ob Ua

Ub

Oc

Vc

Va

M

1b1c

L

U

D

• Notons D le point de contact du cercle inscrit à ABC avec (BC),

I, O les centres des cercles inscrit, circonscrit à ABC, Ob, Oc les centres resp. de 1b, 1c, Ub, Ua les points de contact de 1b resp. avec (BC), (AHa), Vc, Va les points de contact de 1c resp. avec (BC), (AHa) et U le second point d’intersection de (AI) avec 0.

• D'après ''Le lemme de Sawayama'' 52, (1) (UaUb) passe par I

(2) (VaVc) passe par I.

• D'après ''Le théorème de Thébault'' 53, Ob, I et Oc sont alignés.

52 Ayme J.-L., Sawayama and Thébault's theorem, Forum Geometricorum (2003) ; http://forumgeom.fau.edu/ 53 Ayme J.-L., Sawayama and Thébault's theorem, Forum Geometricorum (2003) ; http://forumgeom.fau.edu/

46

46

A

O I

C B

0

Ha

Ob Ua

Ub

Oc

Vc

Va

M

1b1c

L

U

D

• Scolies : (1) (HaOb) // (IVc) et (HaOc) // (IUb) (2) (HaOb)⊥ (HaOc) (3) (IVc) ⊥ (IUb) (4) le triangle IUbVc est I-isocèle (5) D est le milieu de [UbVc] • D'après l'axiome de passage IIIb appliqué à la bande de frontières (ObUb) et (OcVc), (ID) étant parallèle à (ObUb), I est le milieu de [ObOc]. • D'après ''Quatre tangentes égales'' 54, UbHa = VcM ; en conséquence, D est le milieu de [HaM]. • Conclusion : d'après B. 4, M est le milieu de [BC] ↔ AB + AC = 2.BC.

54 Ayme J.-L., Le résultat de Larrosa Canestro, G.G.G. vol. 5, p. 4 ; http://jl.ayme.pagesperso.orange.fr/

47

47

D. APPENDICE

1. Une médiane 55

VISION Figure :

A

B C

I

D

E

F

A+

1

Traits : ABC un triangle, 1 le cercle inscrit dans ABC, I le centre de 1, DEF le triangle de contact de ABC et A+ le point d'intersection de (EF) et (DI). Donné : (AA+) est la A-médiane de ABC.

2. Évaluation d'un segment

VISION

Figure :

55 Johnson John of Birmingham, in Leybourn’s Mathematical Repository, old series, II . 376 (1801) Coueste à Saint-Flour, J. M. E. 12e année n°1 Paris (01/10/1887)

Papelier G., Pôles et Polaires dans le cercle, Exercices de Géométrie Moderne, Paris (1927), Gabay Reprint (1996), n° 39, p. 26 ; Sharygin F., problème II 178, Problemas de Geometria, Mir, Moscou (1986) 104 Mirchev B., Incircle and median, Mathlinks du /03/2012 ;

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=48&t=472317 Concurrent, Mathlinks du 04/05/2007 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=147114 M belongs to the A-median, Mathlinks du 11/05/2012 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=479138 Geometry (SMO 2012), AoPS du 30/06/2012 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=486613

48

48

A

B C

D M

1

Traits : ABC un triangle tel que AB < AC, 1 le cercle inscrit de ABC, D le point de contact de 1 avec (BC) et M le milieu de [BC]. Donné : 2.DM = AC – AB.

VISUALISATION

A

B C

D M

1

• Notons a, b, c les longueurs resp. [BC], [CA], [AB] et 2p le périmètre de ABC. • Par culture géométrique, BD = p – b et 2.MB = a. • Un calcul segmentaire :

* par différence, DM = BM – BD * par multiplication par 2, 2.DM = 2.BM – 2.BD * par substitution, 2.DM = a – 2.(p - b) * par développement et réduction, 2.DM = b – c.

• Conclusion : par substitution, 2.DM = AC – AB.

49

49

3. Trois segments égaux 56

VISION

Figure :

A

B C D

F

E

M

1

R

Q

Traits : ABC un triangle tel que AB < AC, 1 le cercle inscrit dans ABC,

DEF le triangle de contact de ABC, M le milieu de [BC], Pm' la parallèle à (EF) passant par M et Q, R les points d'intersection de Pm' resp. avec (AC), (AB). Donné : CQ = BR.

VISUALISATION

A

B C D

F

E

M

1

R

Q

Q'

• Notons Q' le point d'intersection de la parallèle à Pm' issue de B avec (AC). • D'après Thalès ''La droite des milieux''

56 Dorin Moldovan incircle, Ukraine 1997 grade 9, Mathlinks du 18/07/2009 ;

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=289538

50

50

appliqué au triangle BCQ', Q est le milieu de [CQ'] ; en conséquence, CQ = QQ'. • Le trapèze Q'BRQ étant isocèle, QQ' = BR. • Conclusion : par transitivité de =, CQ = BR. Scolies : (1) un troisième segment

A

B C D

F

E

M

1

R

Q

Q'

• Un calcul segmentaire : * le triangle AQR étant A-isocèle, AQ = AR

* par différence, AC - QC = AB + BR * par transposition, AC – AB = QC + BR * d'après D. Appendice 2, 2.DM = 2.BR. • Conclusion : DM = BR = CQ.