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UNIVERSITE DE STRASBOURG
Laboratoire d’Hydrologie et de Géochimie de Strasbourg (UMR7517)
THESE
Présentée en vue de l'obtention du diplôme de
DOCTEUR DE L'UNIVERSITE DE STRASBOURG
Spécialité : Hydrodynamique des Milieux Poreux
par
Khalifa NSIR
ETUDE EXPERIMENTALE ET NUMERIQUE DE LA MIGRATION DE
POLLUANTS NON MISCIBLES DANS UN MILIEU POREUX SATURE A
L’ECHELLE DE DARCY
Soutenue le 27 Novembre 2009 devant le jury constitué de :
MM. G. SCHÄFER Directeur de thèse
R. MOSE Rapporteur interne
H. BERTIN Rapporteur externe
M. SARDIN Rapporteur externe
I. NEUWEILER Examinateur
R. TOUSSAINT Examinateur
2
Avant propos
Cette thèse a été menée au sein du LHyGeS (Laboratoire d’HYdrologie et de GEochimie de
Strasbourg) sous la direction de Gerhard Schäfer, professeur des universités.
Au terme de ce travail, je tiens à remercier vivement les membres du jury qui ont
accepté de juger le contenu de ce mémoire :
Gerhard SCHÄFER
Directeur de thèse
Professeur des Universités, Laboratoire d’Hydrologie et de Géochimie de Strasbourg (Strasbourg)
Spécialité : Expérimentation et modélisation mathématique de transferts de masse en système multiphasique
Robert MOSE
Rapporteur interne
Professeur des Universités, Ecole Nationale du Génie de l’Eau et de l’Environnement de Strasbourg (ENGEES)
Spécialité : Modélisation numérique du transport de solutés en zone non saturée, technique de résolution numérique
Henri BERTIN
Rapporteur externe
Directeur de Recherches CNRS, ENSAM - Bordeaux
Spécialité : Modélisation physique d’écoulements et de transport en systèmes diphasiques, transfert de masse en milieu poreux
Michel SARDIN
Rapporteur externe
Professeur des Universités, Laboratoire des Sciences du Génie chimique, UPR CNRS 6811, ENSIC, Nancy-Université
Spécialité : Génie des systèmes microstructures et modélisation associée, transport réactif en milieu poreux
Insa NEUWEILER
Examinateur
Professeur des Universités, Leibnitz Universität Hannover, Postfach 6009, D-30060 Hannover
Spécialité : Mécanique des fluides, Analyse multi-échelles des écoulements diphasiques en milieu poreux
Renaud TOUSSAINT
Examinateur
Chargé de Recherche CNRS, Institut de Physique de Globe de Strasbourg, UPR 7516, IPGS, Strasbourg
Spécialité : Mécanique des milieux poreux, Digitations visqueuses, Physique de fracture
3
Je tiens à adresser également mes sincères remerciements à :
Gerhard Schäfer qui m’a proposé ce sujet de thèse tout en me soutenant tout au
long de l’élaboration de ce travail. Qu’il trouve ici l’expression de ma profonde
reconnaissance.
Olivier Razakarisoa, Ingénieur de Recherche au CNRS, à qui je dois sa
disponibilité, ses précieux conseils et son soutien.
Pascal Friedman, Technicien au CNRS, pour sa contribution dans la conception du
dispositif expérimental, et plus particulièrement dans les prélèvements des échantillons
et les analyses au laboratoire.
Olivier Cregut, Ingénieur de recherche CNRS (IPCMS), Joseph Rapp Ingénieur
adjoint CNRS (IMFS) et Gilles Versini, technicien supérieur CNRS (IPCMS) pour leur
participation active à la mise au point des capteurs à fibre optique.
Tous les stagiaires pour les bons moments passés autour d’un café Salsabil,
Noura, Meriem
Muriel et Francine pour leur gentillesse et leur bonne humeur ainsi pour la re-
lecture de manuscrit.
Mes chers parents, sans vous, je ne serai pas là où je suis. Aucun mot, aucune
phrase ne pourrait exprimer ce que vous avez prodigué pour faire de moi ce que je suis.
Que dieu vous prête une bonne santé et une longue vie pour voir tous vos rêves
s’accomplir et récolter les fruits de vos grands sacrifices.
Mes frères et mes sœurs qui m’ont toujours entouré de leur soutien et
encouragement.
Tous mes ami(e)s et en particulier Lotfi, Marwen, Emna, Raphael, Luticia,
Elisabel, Lucie, Jilani, qu’ils trouvent ici le témoignage de ma grande affection et de ma
gratitude pour leur encouragement et leur soutien moral.
4
Tables des matières
Introduction Générale ...................................................................................................................................................... 9
CHAPITRE 1: GENERALITES
1.1 Généralités sur l’écoulement diphasique dans un milieu poreux saturé ...................................... 14
1.1.1 Les différentes échelles d’observations .............................................................................................. 14
1.1.2 Géométrie du milieu poreux .................................................................................................................... 15
1.1.3 Dynamique de milieu poreux saturé .................................................................................................... 17
1.2 Paramètres physiques caractérisant les écoulements diphasiques des fluides
incompressibles ............................................................................................................................................................... 19
1.2.1 Tension interfaciale ..................................................................................................................................... 19
1.2.2 Mouillabilité .................................................................................................................................................... 19
1.2.3 Pression capillaire ........................................................................................................................................ 20
1.2.4 Drainage et imbibition ................................................................................................................................ 21
1.2.5 Mécanismes de piégeage ........................................................................................................................... 25
1.3 Intérêt fondamental: les instabilités de déplacement ............................................................................ 26
1.3.1 Concepts généraux relatifs au déplacement immiscible ................................................................ 27
1.3.2 Analyse de la stabilité du front lors d’un déplacement non miscible........................................ 29
1.4 Modélisation physique des instabilités de déplacement ...................................................................... 34
1.4. 1 Modélisation physique de déplacement sur cellule de Hele-Shaw ........................................... 34
1.4.2 Modélisation physique des instabilités de déplacement sur les micro-modèle ................. 36
1.4.3 Modélisation physique sur colonne de laboratoire ........................................................................ 37
1.4.4 Procédures expérimentales pour l’analyse du comportements des fluides non miscibles
dans le milieu poreux saturé ................................................................................................................................. 39
1.5 Modèles numériques pour la modélisation de déplacement non miscible en milieu poreux
saturé ................................................................................................................................................................................... 41
1.5.1 Modèles de réseau ........................................................................................................................................ 42
1.5.2 Modèles macroscopiques .......................................................................................................................... 47
Conclusion .......................................................................................................................................................................... 50
5
CHAPITRE 2: CONCEPTION D’UN MODELE DISCRET DE TYPE RESEAU DE PORES ET DE
CAPILLAIRE POUR LA MODELISATION DE LA DYNAMIQUE DU DRAINAGE EAU/DNAPL
2.1 Modèle conceptuel ................................................................................................................................................. 53
2.1.1 Géométrie du réseau ................................................................................................................................... 53
2.1.2 Paramètres du processus .......................................................................................................................... 57
2.1.3 Simulation du processus de déplacement .......................................................................................... 58
2.1.4 Calcul numérique du champ de pression et de saturation .......................................................... 65
2.1.5 Organisation global de calcul ................................................................................................................... 68
2.2 Quantification des paramètres de la distribution de la taille de pores et de capillaires ........... 69
2.2.1 Approche retenue ......................................................................................................................................... 69
2.2.2 Application de l’approche retenue pour le cas d’étude ................................................................ 70
2.2.3 Discussion de choix des paramètres ..................................................................................................... 77
CHAPITRE 3: MATERIELS ET METHODES
3.1 Technique des capteurs a fibres optiques ................................................................................................... 84
3.1.1 Généralités sur les capteurs a fibres fibres optiques ..................................................................... 84
3.1.2 Mise au point des capteurs à fibres optiques .................................................................................... 87
3.1.3 Conclusion relative { l’utilisation des capteurs a fibes optiques .............................................. 94
3.2 Matériels et methodes .......................................................................................................................................... 94
3.2.1 Milieu poreux ................................................................................................................................................. 94
3.2.2 Polluant utilisé ............................................................................................................................................... 96
3.2.3 Dispositifs expérimentaux ....................................................................................................................... 97
3.2.4 Quantification des saturations en DNAPL .......................................................................................... 99
3.2.4.1 Méthode de prélèvement ................................................................................................................... 99
3.2.4.2 Méthode d’analyse ............................................................................................................................. 100
3.3 Déroulement des expériences et protocole expérimental .................................................................. 102
3.3.1 Montage expérimental ............................................................................................................................ 102
3.3.2 Disposition des fibres optiques ........................................................................................................... 104
3.3.3 Protocole de remplissage de la colonne ........................................................................................... 105
3.3.4 Protocole de prélèvement des échantillons.................................................................................... 105
3.3.5 Description des expériences ................................................................................................................. 106
6
CHAPITRE 4: RESULTATS EXPERIMENTAUX ET INTERPRETATIONS
4.1 Caractérisation de déplacement de drainage .......................................................................................... 111
4.1.1 Déplacement vertical ascendant ......................................................................................................... 111
4.1.2 Déplacement vertical descendant à faible débit d’injection .................................................. 116
4.1.3 Déplacement descendant à fort debit d’injection ......................................................................... 121
4.1.4 Déplacement descendant dans un milieu poreux peu perméable ........................................ 124
4.1.5 Conclusions relatives aux instabilités de déplacement du drainage .................................... 126
4.2 Caractérisation du déplacement d’imbibition ......................................................................................... 127
4.2.1 Imbibition verticale ascendante précédée d’un drainage vertical ascendant ................. 129
4.2.2 Imbibition verticale descendante précédée par un drainage vertical ascendant .......... 131
4.2.3 imbibition verticale descendante précédée d’un drainage descendant ............................. 133
4.2.4 Imbibition verticale descendante précédée d’un drainage vertical descendant ............. 135
4.2.5 Imbibition verticale descendante précédée d’un drainage vertical descendant dans un
milieu poreux de texture fine............................................................................................................................. 137
4.2.6 Conclusions relatives à des instabilités observées lors de l’imbibition .............................. 138
CHAPITRE 5: SIMULATION NUMERIQUE DES EXPERIENCES DE DRAINAGE AU MOYEN DU
MODELE DISCRET DE PORES ET DE CAPILLAIRES DEVELOPPE
5.1 Description des expériences numériques ................................................................................................. 141
5.2 Simulation du déplacement stable ............................................................................................................... 143
5.2.1 Pression en fonction du déplacement ............................................................................................... 144
5.2.2 Vitesse du front de déplacement ......................................................................................................... 145
5.2.3 Profil des saturations moyennes en TCE ........................................................................................ 146
5.3 Simulation de déplacement instable............................................................................................................ 147
5.3.1 Pression en fonction du déplacement ............................................................................................... 148
5.3.2 Vitesse du front de déplacement ......................................................................................................... 149
5.3.3 Profil des saturations moyennes en TCE ......................................................................................... 151
5.4 Simulation de l’influence du nombre capillaire sur les instabilités de déplacement .............. 152
5.4.1 Pression en fonction du déplacement ............................................................................................... 152
5.4.2 Vitesse du front de déplacement ......................................................................................................... 151
5.4 .3 Profil des saturations moyennes en TCE ........................................................................................ 152
Conclusion générale ................................................................................................................................................ ….155
Références bibliographiques.....................................................................................................................................160
7
Liste des figures...............................................................................................................................................................168
Liste des tableaux..........................................................................................................................................................174
Liste des symboles.........................................................................................................................................................176
Liste de abreviations....................................................................................................................................................178
Annexe A.............................................................................................................................................................................180
Annexe B.............................................................................................................................................................................185
9
Introduction générale
Les pollutions des sols et des eaux souterraines par des produits chimiques et des
hydrocarbures n’ont pas cessé de croître depuis le XIXème. Le progrès et la généralisation de
l’industrialisation ont augmenté les risques de pollution des nappes souterraines par l’utilisation
de différents produits dangereux. Parmi, les polluants industriels les plus fréquemment
rencontrés, les composés organo-chlorés qui font partie de la famille des DNAPLs (Dense Non
Aqueous Phase Liquid). Ces produits ont pris une part très importante pendant ces dernières
années. Renversés accidentellement à la surface du sol, ces produits non miscibles ont pu migrer
par gravité et atteindre des nappes phréatiques. Le polluant, une fois piégé, devient alors une
source de pollution du fait que ces produits sont très toxiques, peu solubles dans l’eau, mais leur
solubilité est 105 à 106 fois plus élevée que les limites de potabilité de l’eau. L’amélioration de la
qualité des sols et des eaux souterraines devient une préoccupation importante des chercheurs
et des diverses instances.
La migration verticale dans l’aquifère poreux du DNAPL n’est pas une infiltration uniforme d’un
front de polluant. D’une part, les hétérogénéités du milieu poreux favorisent l’étalement du
corps d’imprégnation dû { l’action des forces capillaires et { la texture du milieu poreux
(Schwille, 1988). D’autre part, les contrastes de densité et de viscosité de ce polluant par
rapport { celles de l’eau conduisent { des instabilités bien marquées, appelées généralement des
«digitations» à cause de leur forme longiligne. Ces cheminements préférentiels peuvent aussi
apparaître lorsque que le DNAPL rencontre des couches relativement perméables, des fractures
ou toutes autres hétérogénéités présentant une faible résistance capillaire. Par ailleurs,
Schaeffer et al. (1999) ont montré que les chemins empruntés par les fluides non miscibles sont
caractérisés par la taille des pores et l’agencement des grains dans le milieu poreux. Ainsi, on a
une augmentation de la connectivité du DNAPL dans les pores larges avec une saturation élevée.
Le déplacement d’un DNAPL dans le milieu poreux est influencé également par les forces de
gravité, de capillarité et de viscosité (Dawson et Roberts, 1997 ; Auradou et al., 1999) qui
peuvent générer différentes formes des digitations. Les recherches menées à Strasbourg au sein
de l’Institut Franco-Allemand de Recherche sur l’Environnement (IFARE) dans le cadre du
programme national ACI-FNS «ECCO» «Transfert complexes en milieu poreux et ressources en
eau» et du projet R&D M.A.C.A.O.H (Modélisation, Atténuation, Caractérisation dans les
Aquifères des Organo-Halogénés) soutenu par l’ADEME ont également montré que la répartition
d’un polluant non miscible et plus dense que l’eau, tel que le trichloréthylène (TCE) ou
10
perchloréthylène(PCE), est fortement non uniforme même en milieu poreux homogène. Ce
constat a notamment pu être mis en relief lors de l’étude de la dissolution sélective d’une source
de mélange de TCE/PCE effectuée sur la plate forme expérimentale SCERES avec aquifère
alluvial réputé «homogène» (Dridi, 2006).
Bien que le comportement de la migration de DNAPL dans le milieu poreux semble bien compris,
la quantification physique et la modélisation mathématique des phénomènes de digitations
impliqués dans le déplacement représentent des verrous scientifiques peu abordés dans la
littérature, compte tenu de la complexité de la géométrie du milieu poreux et des mécanismes
mis en jeu. L’enjeu majeur de nos recherches a été de trouver une technique expérimentale
adaptée pour pouvoir quantifier les phénomènes d’instabilités de déplacement non miscibles {
l’échelle des pores. La modélisation mathématique de ces phénomènes suivant une approche de
calcul discrète constitue le deuxième objectif de cette thèse. Il a également été question
d’analyser l’influence de certains paramètres tels que le débit d’injection, le sens de déplacement
et la texture du milieu poreux qui ont une importance considérable dans des situations pratiques
de migration du DNAPL (par exemple la récupération des hydrocarbures, réhabilitation in situ
d’un sol pollué par injection d’une solution tensio-active,) sur la stabilité du processus de
déplacement.
Notre démarche scientifique repose à la fois sur une étude expérimentale menée sur des
colonnes de milieu poreux et sur des simulations numériques au moyen d’un modèle réseau de
pores et de capillaires que nous avons développé. L’approche expérimentale du problème a
consisté en une étude fine du processus de drainage (déplacement de l’eau par du DNAPL) puis
du processus d’imbibition (déplacement du DNAPL par de l’eau) couplé { un drainage primaire.
Deux configurations de déplacement ont été étudiés : (i) le déplacement vertical ascendant et (ii)
le déplacement vertical descendant. La reproduction expérimentale des différents scénarios de
déplacement pour les deux processus dynamiques étudiés (drainage, imbibition) a nécessité un
système suffisamment grand pour éviter les effets de bords (colonne en verre de longueur de 70
cm et de diamètre de 10 cm), un milieu poreux homogène (sable moyen et sable fin) et un
composé organochloré (Trichloréthylène, TCE) dont les propriétés physiques et chimiques sont
bien connues. Des capteurs à fibres optiques ont été mis au point lors de notre étude pour
mesurer les temps d’arrivée du front du DNAPL dans une section de contrôle du dispositif.
L’analyse de la distribution obtenue de temps d’arrivée permet ainsi la quantification de la non
uniformité de cheminement du DNAPL, complétée par une cartographie des saturations en TCE
mesurées localement.
11
La simulation numérique des expériences de drainage numérique constitue une deuxième étape
du travail de thèse. La démarche retenue pour les simulations numérique s’appuie sur
l’approche discrète du milieu poreux. Un modèle de type réseau de pores et de capillaires a été
développé pour décrire la dynamique de drainage { l’échelle des pores. La description
microscopique de l’écoulement diphasique du système introduit non seulement les équations de
Navier-Stokes en régime permanent (équation de Washburn et de Poiseuille) pour chaque phase
fluide, mais aussi un nombre de règles logiques de passage des interfaces entre les phases
fluides à travers les capillaires. L'exemple typique d'une règle de ce genre est la suivante : " la
phase déplaçante dans un pore ne peut pas envahir un capillaire et entrer dans le pore voisin si
la pression capillaire n’est pas franchie". Dans le spectre des différents modèles répertoriés dans
la littérature, la différence de notre approche peut être expliquée de la façon suivante. Le modèle
distingue entre la configuration de la présence ou non d’un ménisque imaginaire dans les
capillaires en considérant différentes expressions de l’équation globale de l’écoulement dans un
capillaire. Lorsqu’aucun ménisque n’est présent dans le capillaire, l’équation d’écoulement est
simplement décrite par la loi de Poiseuille. Cependant, l’existence d’un ménisque dans le
capillaire conduit { un terme supplémentaire dans l’équation globale d’écoulement donné par
Washburn (Washburn, 1921). De plus, un grand effort de nos recherches a été consacré à la
paramétrisation du modèle. En effet, les caractéristiques réelles du milieu poreux utilisé lors des
expériences en laboratoire en termes de taille de pores et de capillaires (rayon minimal, rayon
moyen, rayon maximal) ont été quantifiées. L’approche proposée est basée sur la théorie
d’empilement des sphères couplée à une approche de probabilité. Le milieu poreux est ainsi
décrit sous forme d’un système géométrique constitué par des tétraèdres unités s’appuyant sur
les centres des sphères. La distribution de la taille de pores et de capillaires associée à la
distribution des particules solides est obtenue par des considérations géométriques et
statistiques. Les propriétés macroscopiques du milieu poreux réel en termes de porosité et de
perméabilité intrinsèque (mesurées au laboratoire) ont été ensuite utilisées pour affiner le choix
final des paramètres calculés (rayons minimal, moyen et maximal) pour les pores et les
capillaires. Le modèle a ensuite été utilisé pour simuler les expériences de drainage menées au
laboratoire. Les champs de saturations et de pression du DNAPL ainsi que la distribution de
temps d’arrivée du front au niveau d’une même section de passage calculés par le modèle ont été
confrontés aux observations expérimentales. Cette étape a permis de tester et de valider le
simulateur numérique développé.
Le mémoire s’articule autour de cinq chapitres. Le premier chapitre présente une analyse
bibliographique comprenant d’une part, un rappel de quelques notions de base de l’écoulement
12
en milieu poreux et les équations décrivant l’écoulement diphasique ainsi que les conditions de
stabilité du front de déplacement. Ensuite, les modèles d’écoulement diphasique basés sur
l’approche discrète ainsi que les approches expérimentales cités dans la littérature pour l’étude
des phénomènes de formation des doigts ont été discutés.
Le modèle de réseau de pores et de capillaires développé est décrit dans le chapitre 2. Tout
d’abord les principales caractéristiques du modèle sont succinctement présentées. Nous en
décrivons ensuite plus en détail les hypothèses ainsi que les équations d’écoulements retenues.
Dans un deuxième temps l’approche de calcul permettant de paramétrer un modèle de réseau de
pores et de capillaires dans le milieu poreux utilisé dans l’expérimentation a été appliquée.
Le troisième chapitre aborde d’abord la description de la mise au point des capteurs { fibres
optiques utilisés dans les expériences pour les quantifications des instabilités de déplacement.
Une deuxième partie est consacrée à la présentation du dispositif expérimental et de la
méthode d’analyse choisie.
Dans le quatrième chapitre, nous présentons les résultats des expériences réalisées en
laboratoire. Nous quantifions dans un premier temps les instabilités de déplacement impliquées
dans le processus du drainage eau/DNAPL pour différentes configurations de déplacement
(vertical ascendant, vertical descendant). Nous analysons dans un deuxième temps les
expériences d’imbibition DNAPL/eau par une cartographie fine des saturations résiduelles en
DNAPL.
Le cinquième chapitre porte sur la simulation numérique des expériences de drainage menées
au laboratoire. La confrontation des résultats numériques aux résultats mesurés permet
d’interpréter les résultats expérimentaux et de mieux comprendre les mécanismes mis en jeux.
Enfin, la conclusion générale brosse sous un œil critique, les principaux acquis de ce travail et
dégage les perspectives de recherche.
.
14
CHAPITRE 1
GENERALITES
1.1 GENERALITES SUR L’ECOULEMENT DIPHASIQUE DANS UN
MILIEU POREUX SATURE
1.1.1 LES DIFFERENTES ECHELLES D’OBSERVATIONS
Le milieu poreux, ainsi que divers phénomènes tels que les écoulements de fluides non
miscibles, peuvent être observés à plusieurs échelles (FIG.1.1)
L’échelle du pore dite microscopique, à cette échelle, les grandeurs caractéristiques sont
celles du diamètre moyen du pore dans le cas d'un milieu consolidé et celles du diamètre du
grain dans un milieu non consolidé. Le comportement mécanique des fluides newtoniens à cette
échelle est décrit par les équations de Navier-Stokes.
L’échelle locale dite macroscopique (échelle de Darcy, elle décrit les phénomènes pour des
éléments de volume suffisamment grands par rapport au volume moyen des pores (ou des
grains). L’échelle de Darcy est basée sur l'existence d'un Volume Elémentaire Représentatif
(V.E.R) qui permet la définition de quantités macroscopiques tel que la porosité, la perméabilité
intrinsèque comme la moyenne sur ce V.E.R de la même quantité prise à l'échelle microscopique.
La taille de ce V.E.R doit être suffisamment grande pour que les hétérogénéités présentes à
l'échelle microscopique ne soient plus apparentes à l'échelle macroscopique. La description des
phénomènes est faite en termes de milieu continu équivalent et les paramètres observés sont
des valeurs moyennes.
L'échelle globale dite grande échelle c’est l’échelle considérant des mécanismes décrits pour
des distances métriques ou kilométriques.
La transition d’une échelle donnée { une échelle supérieure est réalisée par une prise en compte
des nouveaux paramètres représentatifs moyens et elle est souvent accompagnée de pertes
d’informations.
15
FIG.1. 1 : Echelles d’observation (Yra, 2006).
1.1.2 GEOMETRIE DU MILIEU POREUX
L'étude et la modélisation des propriétés physiques d’écoulement des fluides dans le milieu
poreux sont étroitement liés à la description de la géométrie micro et macro poreuse (Quiblier,
1984). L’étude de l’organisation ou de la structure d’un milieu poreux peut s’effectuer selon
deux approches fondamentalement différentes, mais complémentaires à savoir :
(i) analyse de la structure solide qui consiste { décrire le mode d’assemblage des éléments
constitutifs de la phase solide.
(ii) analyse de la structure poreuse qui s’oriente vers la description du réseau d’espaces
lacunaires généré par la structuration du matériel.
1.1.2.1 STRUCTURE SOLIDE
Le milieu poreux est un assemblage de grains ou de particules solides. La structure du milieu
découle donc essentiellement de la distribution granulométrique de ses éléments et de leur
empilement. La méthode consiste { déterminer, la proportion pondérale d’éléments solides de
taille inférieure participant { la constitution d’éléments structuraux. L’analyse granulométrique
permet d’accéder { la géométrie du milieu poreux particulaire mais également de le classer
quantitativement et de calculer certains paramètres granulométriques tel que le diamètre
moyen des grains d50 (correspondant à l'ouverture de maille du tamis laissant passer 50 % en
16
poids cumulé de l'échantillon soumis à l'analyse) et le coefficient d’uniformité U déterminé
comme suit :
60 10U d d (1.1)
d10 et d60 sont donnés par l'ouverture de maille du tamis laissant passer respectivement 10 et
60% en poids de l'échantillon soumis à l'analyse. Par convention, si 1<U<2, la granulométrie est
dite uniforme.
L’analyse granulométrique est toutefois relativement peu précise, notamment { cause de son
caractère destructif.
1.1.2.2 STRUCTURE POREUSE
L’analyse quantitative des espaces vides découlant de la structuration du milieu poreux repose
généralement sur des critères de nature géométrique (Giona et al., 2006 ). Les caractéristiques
du réseau des vides sont ainsi décrites de manière globale par leur volume total relatif, la
porosité du milieu ε [-]. Celle-ci est définie par le rapport du volume des vides Vv [m3] au volume
total apparent du milieu Vt [m3].
v tV V (1.2)
La description du système poral peut être affinée en prenant en considération la distribution de
la taille des pores en une approche analogue { l’analyse granulométrique. Il est ainsi possible
d’établir une courbe, dite porosimétrique, donnant la proportion volumique du système poral
constituée de pores de diamètre apparent inférieur à un diamètre donné. Plusieurs modèles
cités dans la littérature ont été développés pour déterminer la distribution de la taille des pores
d’un milieu poreux réel (Arya et al., 1999). Une analyse de différents modèles sera présentée
dans l’annexe A. L’approche proposée par Assouline (Assouline et Rouault, 1997) est utilisée
dans le chapitre 2 pour évaluer les paramètres du modèle discret développé.
Le système poral peut être décomposé en plusieurs classes de porosité. On parle de la porosité
résiduelle pour la partie du système poral constituée de pores occlus, dépourvus de
communications. Les pores communiquant forment la porosité effective ou utile. La porosité
effective est subdivisée en deux parties, la macroporosité ou porosité efficace, correspondant à
la partie du système poral dans laquelle se déroule l’essentiel des processus de transferts, d’eau
et d’air notamment, et la microporosité ou porosité capillaire, correspondant à la partie du
17
système poral { laquelle les faibles diamètres des orifices confèrent la propriété d’empêcher
l’écoulement gravitaire de l’eau.
La saturation en fluide est une grandeur macroscopique qui exprime la proportion du volume de
pore occupé par une phase fluide. La saturation Si [-] d’une phase i, est donc le rapport entre le
volume occupé par cette phase i et le volume de pore contenu dans un VER.
i i pS V / V (1.3)
1.1.3 DYNAMIQUE DE MILIEU POREUX SATURE
La description de l’écoulement d’un fluide dans un milieu poreux est rendue particulièrement
ardue par la complexité même du système poral. Suivant l'échelle d'observation, la modélisation
de la dynamique d’écoulement s'appuie sur des lois physiques différentes.
1.1.3.1 APPROCHE MACROSCOPIQUE : LOI DE DARCY GENERALISE
En présence d’un seul fluide, l’écoulement est dit écoulement monophasique. Les travaux
originels de Darcy (1856) ont conduit à une loi pour les écoulements permanents et non
permanents de fluides pour des vitesses suffisamment faibles, dite loi de Darcy. Lorsque deux
fluides ou plus s’écoulent simultanément dans un milieu poreux (écoulement polyphasique), on
admet que chaque fluide i suit séparément la loi de Darcy comme s’il occupait une certaine
portion du milieu poreux (Muskat, 1937). Ainsi, la généralisation de la loi de Darcy en système
polyphasique s’exprime comme suit :
i
i
kV ( P g)
(1.4)
[m.s-1] est la vecteur vitesse de Darcy du fluide i, μ [Pa.s] et ρ [kg.m-3] sont respectivement la
viscosité dynamique et la masse volumique du fluide i. est le tenseur de perméabilité effective de
milieu poreux. Pour le fluide, P [Pa] est la pression de fluide qui s’écoule dans le milieu poreux.
[m.s-2] est l’accélération de pesanteur.
La perméabilité du milieu pour l’écoulement de ces fluides est réduite et ki la perméabilité
effective (capacité du milieu { transmettre un fluide en même temps qu’un autre) est une
18
fonction de la saturation du milieu en fluide i. On définit une perméabilité appelée la
perméabilité relative de fluide i, kri [-] comme suit:
i rik kk (1.5)
k [m2] est la perméabilité intrinsèque, elle se rapporte au milieu poreux indépendamment des
caractéristiques du fluide. Elle n’est définie qu’{ l’échelle macroscopique.
Le concept de la perméabilité relative peut être expliqué par la ségrégation de l’écoulement des
fluides qui ne s’écoulent pas dans les mêmes pores simultanément. Chaque fluide développe
plutôt son propre réseau d’écoulement. La distance d’écoulement d’un fluide dans son propre
réseau augmente lorsque sa saturation diminue entraînant une réduction de sa perméabilité
relative.
Dans un système monophasique complètement saturé en eau, le milieu poreux est constitué
majoritairement de grains solides et l’eau ne peut circuler que dans l’espace poral libre. La
vitesse de Darcy Vd représente le flux sur une surface unitaire. Pour un suivi plus réaliste de
l’évolution d’une pollution { un point donné de milieu, c’est bien la vitesse réelle de fluide u que
nous devons prendre en compte. Cette vitesse n’est en fait qu’une moyenne macroscopique de
vitesses microscopiques. Nous pouvons ainsi définir la vitesse réelle moyenne de l’eau { partir
de la vitesse de Darcy suivant la relation :
dvu
(1.6)
1.1.3.2 APPROCHE MICROSCOPIQUE : LOI DE POISEUILLE
A l’échelle microscopique, l’écoulement des fluides peut être décrit dans un réseau de
microcavités (pores) reliées par de fins canalicules (capillaires). La résistance { l’écoulement
s’effectue principalement dans les capillaires. Une relation entre force motrice, forces de
frottement et vitesse d’écoulement peut être établie aisément dans le cas d’un écoulement
laminaire dans un capillaire de géométrie fixe. Cette relation est donnée par la loi de Poiseuille
qui représente une approximation des équations de Navi-Stokes. Le débit Q volumique
correspondant, soit le volume traversant une section par unité de temps, est donné comme suit :
19
g4P
Q r8 L
(1.7)
Q [m3/s] est le débit volumique, r[m] et L[m] sont respectivement le rayon et la longueur du
capillaire. Pg est la pression motrice [Pa].
Cette expression de la loi de Poiseuille, indique que le débit volumique dans un capillaire est
proportionnel à la quatrième puissance du rayon et à la perte de charge de pression par unité de
longueur.
1.2 PARAMETRES PHYSIQUES CARACTERISANT LES ECOULEMENTS
DIPHASIQUES DES FLUIDES INCOMPRESSIBLES
L’écoulement diphasique des fluides non miscibles en milieu poreux est un processus complexe.
Cette complexité est principalement due aux caractéristiques physiques différentes des fluides
(viscosité, densité) impliquées dans l’écoulement et aux effets des seuils introduits par la tension
interraciale et les pressions capillaires.
1.2.1 TENSION INTERRACIALE
En présence de deux phases, on discerne une interface de séparation, qui délimite les deux
fluides. Il y apparait des interactions entre les molécules de nature différente. En mécanique des
fluides, on définit cette zone de contact entre deux fluides comme une interface. La tension
interfaciale est définie comme étant l'énergie par unité de surface qu'il faut mettre en jeu au
niveau d'une interface pour les molécules superficielles du fluide sous l'action des molécules
intérieures (Mercer et Cohen, 1990). La tension interfaciale, mesurée en unité d'énergie par
unité de surface diminue avec l'augmentation de la température. Cette propriété intervient dans
les équations d’écoulement et influence fortement la migration et la répartition des liquides dans
l’environnement.
1.2.2 MOUILLABILITE
Ce paramètre décrit l'affinité d'un fluide pour des surfaces solides dans un système de deux (ou
trois) fluides, et il dépend de la tension interfaciale. Au niveau microscopique, la mouillabilité
résulte des interactions moléculaires entre les fluides et la phase solide. Le fluide mouillant est
celui que le solide préfère car les interactions dans ce cas, minimisent davantage l’énergie totale.
20
FIG.1. 2 : Tension interfaciale entre solide C, fluide mouillant A et fluide non mouillant B.
La mesure de la mouillabilité est appréhendée par l'angle de contact de l'interface des fluides
avec la paroi solide. Nous définissons l’angle de contact θ entre la surface du liquide et la surface
plane du solide. L’équilibre mécanique se traduit en projection sur le plan solide par l’équation
de Young Laplace (FIG.1.2).
-CB AC
AB
cos
(1.8)
Lorsque θ est inférieur { 90°, alors le fluide (A) tend { s’étaler préférentiellement sur toute
l’interface aux dépens du second fluide (B) et il est désigné le fluide "mouillant". Dans le cas
inverse (θ supérieur { 90°), le fluide (B) s’étale préférentiellement sur la surface et le fluide (A)
est désigné le fluide "non mouillant".
La mouillabilité influence d’une manière marquée la distribution des fluides non miscibles dans
les milieux poreux. Elle est considérée comme le facteur le plus important pour le déplacement
de la phase huile par l’eau. Dans ce qui suit, nous supposons que l’eau est le fluide mouillant et la
DNAPL (phase l’huile) est le fluide non mouillant
1.2.3 PRESSION CAPILLAIRE
De part et d’autre de l’interface entre les deux fluides, la pression n’est pas la même dans les
deux fluides. Cette différence de pression est appelée pression capillaire : Pc. Elle est définie par
c nw wP =P P (1.9)
où, Pnw est la pression de la phase non mouillante située du côté de la concavité (pression plus
élevée), et Pw est la pression de la phase mouillante.
Si nous considérons l’exemple simple d’un tube capillaire de rayon r contenant un liquide
21
Pnw
Pw
r
θ
mouillant surmonté d’un gaz qui est un autre fluide non mouillant (FIG.1.3), la pression à
l’intérieur du liquide est inférieure { celle de la phase gazeuse. Négligeant les effets de gravité
sur l’interface, nous admettons que le rayon moyen de courbure rm (2/rm=1/r1+1/r2, avec r1 et r2
comme rayons principaux de courbure suivant le plan orthogonal) est constant et égal { r/cosθ,
avec θ l'angle de mouillabilité selon lequel l'interface de forme d’une calotte sphérique se
raccorde à la paroi solide.
c
m
2 2 cosP =
r r
(1.10)
La pression capillaire dépend de la géométrie des pores, de l’interaction entre les fluides, de la
quantité et de la localisation de chaque phase dans l’espace des pores. Vu la complexité du
système de milieu poreux, il est difficile de déterminer ce paramètre analytiquement. Par
conséquent, l’espace des pores est généralement simplifié comme un ensemble de tubes
capillaires ou de sphères uniformes pour déterminer la pression capillaire comme fonction de la
saturation de fluide en place ce qui est déterminé expérimentalement. D’autre part, il n’y a pas
une relation unique entre la pression capillaire et la saturation de fluide en place à cause du
processus d’hystérésis de la pression capillaire.
FIG.1. 3: Interface dans un capillaire.
1.2.4 DRAINAGE ET IMBIBITION
Dans la plupart des cas, la porosité d’un milieu est faite d’un réseau multiconnecté de pores et de
capillaires de dimensions variables. La pression capillaire est intimement liée à la présence
d’une surface solide et, en particulier, { la forme et { la dimension des capillaires. En toute
rigueur on ne peut donc parler que de pression capillaire à travers une interface locale du milieu
et non de pression capillaire du milieu. A l’équilibre cependant, si les forces de gravité peuvent
22
être négligées, la pression peut être uniforme { l’intérieur des deux phases fluides et il est
raisonnable dans ces conditions de parler de pression capillaire du milieu.
La capillarité contrôle la distribution des fluides dans le milieu poreux. La figure 1.4 illustre une
courbe typique de pression capillaire-saturation d’un échantillon poreux mesurée au laboratoire
en appliquant une pression au fluide non mouillant pour qu’il déplace le fluide mouillant qui
sature initialement l’échantillon. La quantité de fluide mouillant déplacée est mesurée en
fonction de la pression capillaire appliquée. La pression capillaire est augmentée jusqu’{ ce que
la saturation du fluide mouillant demeure constante (saturation irréductible, Swi). La pression
capillaire est ensuite diminuée progressivement et le fluide mouillant pénètre à nouveau
l’échantillon et déplace le fluide non mouillant et il reste une saturation résiduelle Snw en fluide
non mouillant lorsque la pression capillaire redevient nulle. La saturation irréductible
correspond à un niveau de saturation auquel il y a perte de continuité hydraulique. Le fluide ne
forme plus alors une phase continue et ne peut plus s’écouler.
FIG.1. 4: Courbe drainage-imbibition (Benremita, 2002).
L’effet d’hystérésis fait que, pour une même pression capillaire, la saturation du fluide mouillant
est inférieure durant l’imbibition que durant le drainage. Ce mécanisme observé { l’échelle
macroscopique est causé principalement par la différence d’angle de contact selon que
l’interface fluide non mouillant-fluide mouillant avance ou recule. Le piégeage se fait soit par
étranglement capillaire soit par invasion des pores contenant le fluide non mouillant.
23
A l’échelle du pore, lorsque le DNAPL déplace l’eau { une faible pression capillaire, il ne peut
pénétrer que dans le pore le plus grand. Dans le cas d’imbibition, le remplissage des pores est un
processus plus complexe, Lenormand et Zarcone (1984) ont montré que ceci dépend du nombre
de pores déjà envahis.
FIG.1. 5 : Mécanisme de déplacement : mouvement des interfaces dans le processus de drainage d’après
Jerauld et Salter (1990).
Dans le cas de drainage, le processus de déplacement d’un fluide mouillant par un autre fluide
non mouillant s’établit par l’avancement rapide des interfaces (Jerauld et Salter, 1990). La
saturation de fluide non mouillant augmente lorsque la pression capillaire augmente. Compte
tenue de la définition de la pression capillaire, l’invasion d’un capillaire (initialement saturé par
un fluide mouillant) par la phase non mouillante s’effectue lorsque la pression capillaire d’entrée
est franchie (voir FIG.1.5).
c nw w
c
2 cosP P P
r
(1.11)
où, rc est le rayon du capillaire.
Inversement au cas de drainage, l’imbibition est un processus qui s’établit spontanément, les
forces capillaires dans ces conditions sont { l’origine du déplacement des fluides. Le processus
de déplacement d’un fluide non mouillant par un autre fluide mouillant s’établit par deux types
de mécanismes de déplacement : pincement de la phase continue "snapp-off" et la rétraction
(voir FIG.1.6). Dans le cas de "snap-off", la phase déplaçante envahit les capillaires de petite taille
due aux films mouillant de la phase mouillante. Dans le cas de déplacement par rétraction, un
déplacement frontal s’établit dans les pores les plus petits (Blunt, 1992).
Le "snapp-off" (voir FIG.1.6) est contrôlé par le facteur de forme de système Mr défini par le
24
rapport entre la taille du pore et la taille du capillaire (Mr = rp/rc, rp et rc sont respectivement
le rayon du pore et de capillaire) (Zhou, 1996). Lorsque le rapport Mr augmente le mécanisme
de "snapp-off" devient dominant dans le déplacement. La condition de l’occurrence de "snap-
off" est définie comme suit :
c nw w
c
2 cosP P P
r
(1.12)
FIG.1. 6: Mécanisme de "snapp-off", d’après Jerauld et Salter (1990).
Dans le cas de mécanisme de rétraction, le ménisque dans le pore quitte le pore vers le capillaire
adjacent lorsque les conditions capillaires sont atteintes lorsque
c nw w
c nw
2 cosP P P
r Z
(1.13)
Znw étant le nombre de capillaires adjacents remplis par la phase non mouillante (Lenormand et
al., 1983; Mohanty et al., 1987; Jerauld and Salter, 1990).
FIG.1. 7: Mécanisme de rétraction.
25
1.2.5 MECANISMES DE PIEGEAGE
Lors de la migration d’un DNAPL en milieu poreux, une partie peut se retrouver piégée sous
l’action de forces capillaires. Les mécanismes de piégeage dépendent fortement des conditions
de mouillabilité des milieux poreux vis-à-vis des fluides en présence. Le phénomène de piégeage
de la phase a été décrit d’abord par Pickell et al. (1966) qui a étudié l’importance de la géométrie
du pore en considérant une section transversale angulaire. Un travail successif par Roof (1970)
montre que ce processus s’effectue lorsque la configuration de l’interface ne satisfait pas la
distribution des pressions dans les phases. Quatre processus de piégeage peuvent être
considérés (Lefebvre, 2006): l’instabilité de déplacement (viscous fingering), l’instabilité
capillaire (snap-off), le contournement (bypassing) et le piégeage de surface (Surface trapping).
Les phénomènes de snap-off (instabilité capillaire), By-passing (contournement) et le piégeage
de surface sont observables à l'échelle du pore, les instabilités de déplacement le sont à des
échelles supérieures.
(a) (b)
FIG.1. 8: Migration du DNAPL dans le milieu poreux (a)DNAPL mobile (b)DNAPL résiduel (piégé).
L’instabilité de déplacement est un processus qui dépend des propriétés relatives des fluides,
densité et viscosité, et du sens de déplacement. L’instabilité de déplacement provoque l’abandon
derrière le front de déplacement de lentilles de DNAPL qui n’ont pas été balayées par le fluide de
déplacement. Ce processus peut être présent dans des milieux mouillables { l’eau ou au DANPL,
mais de plus larges domaines non balayés se retrouvent dans les milieux non mouillant à l’eau.
Les instabilités capillaires se rencontrent uniquement dans les milieux mouillables { l’eau et
sont due essentiellement au processus de la rupture de la phase non mouillante "snap-off" décrit
précédemment (cf. 1.4.4). Lorsque les films d’eau passent d’un pore vers un autre pore de faible
diamètre, il y a rupture ("snap-off") du DNAPL dans l’orifice { la sortie du pore et une goutte de
DNAPL demeure piégée au centre du pore.
26
instabilité de
déplacement
instabilité
capillaire
contournement
(Baypassing)
piégeage de surface
capillaire
Le contournement est observé dans des milieux de tout type de mouillabilité. Ce phénomène se
produit lorsque le cheminement des fluides dans le milieu poreux peut se faire par deux voies de
diamètres différents qui se rejoignent ultérieurement. Dans ce cas, le piégeage du DNAPL se
produit parce que l’eau qui le déplace passe par le cheminement plus rapide et vient ensuite
couper la voie au DNAPL qui demeure ainsi isolé et piégé. Dans les milieux mouillables { l’eau, le
DNAPL emprunte le cheminement de plus grand diamètre et le plus grand volume demeure
piégé par ce mécanisme comparativement { un milieu non mouillable { l’eau (ce phénomène
dépendant à la fois du débit et de la forme des capillaires).
Le piégeage de surface retient le DNAPL dans les irrégularités des surfaces minérales et en
bordure des pores. Puisque le DNAPL n’a tendance à adhérer à ces surfaces que dans les milieux
mouillables au DNAPL, ce processus ne sera donc important que dans ces milieux.
FIG.1. 9 : Mécanisme de piégeage du DNAPL dans un milieu poreux mouillant { l’eau (Lefebvre 2003).
1.3 INTERET FONDAMENTAL: LES INSTABILITES DE DEPLACEMENT
L’instabilité de déplacement est { l’origine d’une multitude de formes et de comportements
complexes des fluides non miscibles dans le milieu poreux saturé. La migration d’un DNAPL
dans le milieu poreux saturé est fortement affectée par ces phénomènes. Plusieurs types
d’instabilités d’interfaces existent et chacune est reliée { une grandeur physique caractéristique.
Les trois principaux types d’instabilité cités dans la littérature sont les suivants :
L’instabilité de Kelvin-Helmholtz qui apparaît lorsque deux fluides contigus s’écoulent
parallèlement { des vitesses différentes. Les forts gradients de vitesse de part et d’autre de
l’interface sont { l’origine de la déstabilisation de l’interface.
L’instabilité de Rayleigh-Taylor qui est déclenchée lorsque deux fluides au repos ou non sont
dans la configuration suivante : le plus dense se situe au-dessus du plus léger. L’interface se
déstabilise et des doigts de chacun des fluides s’interpénètrent. Si le contraste de densité est
faible, la diffusion moléculaire peut stabiliser cette interface (condition de Taylor).
27
L’instabilité de Saffman Taylor qui conduit { la formation d’un doigt de fluide injecté qui
pénètre { l’intérieur du fluide en place. La forme de ce doigt dépend de la géométrie du système
et des propriétés des fluides et de l’écoulement (Toussaint et al., 2004). Dans certaines
conditions d’écoulement (géométrie axiale, régime non diffusif et contraste suffisant de viscosité
entre autres), une largeur de doigt peut être définie. Cette instabilité de digitation visqueuse est
nommée doigt de Saffman-Taylor (1958) du nom des deux physiciens qui l’ont caractérisé.
1.3.1 CONCEPTS GENERAUX RELATIFS AU DEPLACEMENT IMMISCIBLE
Le déplacement d’un fluide par un autre qui lui est immiscible est un processus complexe, il
dépend de l’interaction de différentes types de forces { savoir les forces de viscosité, les forces
de capillarité et les forces de gravité désignées aussi comme forces de poussée.
Les forces visqueuses : Durant le déplacement d’un fluide par un autre dans un milieu poreux
plusieurs formes d’instabilités peuvent survenir. Une attention considérable est prise vis { vis
des digitations visqueuses. Ces phénomènes sont directement associés aux forces de viscosités
et interviennent lorsqu’une phase fluide moins visqueuse déplace une autre plus visqueuse. Le
liquide moins visqueux a tendance à former des doigts à travers les chemins de faible résistance
hydrodynamique. Ces digitations dépendent des propriétés du milieu poreux (perméabilité
intrinsèque, porosité) ainsi que des fluides employés.
Les forces capillaires : En conjonction avec la mouillabilité, les forces capillaires (tension
interfaciale) peuvent exercer des effets significatifs sur le comportement des digitations
visqueuses. Dans ce cadre, Paterson et al. (1984) ont remarqué que les doigts sont beaucoup
plus irréguliers quand un fluide non mouillant déplace un autre fluide mouillant.
Les forces de gravité (poussée) : Les forces de poussée interviennent à cause du contraste de
densité entre les deux fluides en déplacement. Dans le cas du déplacement vertical, ces forces
peuvent conduire à des digitations gravitaires qui affectent fortement la géométrie du front de
déplacement. Dépendant du mode de déplacement (vertical ascendant ou vertical descendant),
ces forces tendent { stabiliser ou déstabiliser le processus de déplacement. Peu d’études se sont
intéressées aux effets des forces de poussée. Richardson et Perkin (1957) ont remarqué que le
fait de diminuer le débit d’injection de l’eau lors du déplacement vertical ascendant de l’huile
induit la tendance de l’eau { résider sous l’huile grâce à la différence de densité. Spivak (1974) a
remarqué que les effets de poussée augmentent suite à une augmentation de la perméabilité ou
de la différence de densité. Glass et al. (1996) ont remarqué que les instabilités observées lors
du processus de déplacement peuvent être attribuées aux effets de poussée quand les forces de
28
viscosité sont insuffisantes pour dominer les forces de capillarité. Page et al. (1993) ont étudié
les effets des forces de poussée par l’investigation de trois modes de déplacement : horizontal,
vertical ascendant et vertical descendant. Thirunavu et Neale (1995) et Guo (1996) ont extrait
les expériences de Page et al. pour étudier les effets de forces de poussée pour le cas d’un
déplacement non miscible et miscible. Leurs expériences ont révélé que les forces de poussée
peuvent significativement affecter les chemins des instabilités ainsi que la récupération de la
phase non aqueuse. Cependant la majorité des études précitées sont de nature qualitative et
n’adressent pas un aspect quantitatif quant aux forces de poussée qui affectent les instabilités
de déplacement ou l’efficacité de déplacement.
Les DNAPL à saturation résiduelle piégés dans le milieu poreux peuvent être récupérés si les
forces capillaires sont réduites ou si les forces visqueuses ou gravitationnelles sont
suffisamment augmentées. Les rapports entres les forces visqueuses et capillaires et les forces
gravitationnelles et capillaires sont respectivement décrits par le nombre capillaire, Ca (Equa.
1.14) et le nombre de Bond, Bo (Equ.1.15). Le nombre de gravité, Ng décrit le rapport entre les
forces de viscosité et les forces de gravité. Pour un déplacement de DNAPL par l’eau ces
nombres sont définis comme suit :
wa
ow
uC
cos
(1.14)
On désigne par w et o l’indice représentant respectivement la phase aqueuse et la phase l’huile,
u est la vitesse d’écoulement dans les pores, µw est la viscosité de l’eau et σow est la tension
interfaciale entre les deux fluides.
o
ow
g k /B
cos
(1.15)
où, ∆ρ est la différence de densité entre les fluides non miscibles, g est l’accélération de
pesanteur, k est la perméabilité intrinsèque de milieu poreux et ε est la porosité totale de milieu
poreux.
awg
o
CuN
g(k / ) B
(1.16)
29
Etant donné la complexité d’interaction entre les forces de viscosité, de capillarité et de gravité
dans le processus de déplacement, certains auteurs par exemple Morrow, 1981 ont procédé à
l’établissement d’une combinaison des nombres adimensionnels faisant intervenir le nombre
capillaire, le nombre de Bond et les paramètres relatifs à la structure de milieu poreux dans
l’objectif de caractériser le comportement des saturations de la phase huile. A ce titre, Helen et
al. (1996), lors de leur étude portée sur la migration du DNAPL, ont remarqué que la saturation
du DNAPL dépend de la combinaison linéaire : Ca/krw – Bo. Ils ont également montré que la
saturation de DNAPL diminue quand la valeur de cette combinaison augmente jusqu'à la valeur
1.10-5 où on atteint la saturation résiduelle. Dans le même contexte, ils ont montré que les
saturations obtenues dans le cas de déplacement ascendant diminuent quand le nombre
capillaire augmente ou { l’inverse le nombre de Bond diminue. Les saturations résiduelles sont
obtenues quand le nombre capillaire est dix fois plus grand que le nombre de Bond.
1.3.2 ANALYSE DE LA STABILITE DU FRONT LORS D’UN DEPLACEMENT NON MISCIBLE
Les fronts de déplacement entre les fluides non miscibles ne sont pas nécessairement stables. La
stabilité dépend du contraste de viscosité et de densité entre les fluides impliqués et de
l’orientation du déplacement. En effet, le déplacement est généralement instable si le fluide
déplaçant a une viscosité inférieure au fluide déplacé. De plus, ce fluide a tendance à surmonter
le fluide déplacé si sa densité est inférieure ou à résider sous le fluide déplacé si sa densité est
supérieure au fluide déplacé. Sous des conditions d’instabilité, le fluide déplaçant a tendance à
pénétrer le fluide déplacé et { former de l’inter-digitation visqueuse.
Plusieurs critères quantitatifs permettent de déterminer si un processus de déplacement est
stable ou instable. Nous considérons une unité incliné d’un angle α par rapport { l’horizontal
dans laquelle il y a déplacement linéaire d’un fluide 2 (kr2, 2) par un fluide 1 (kr1, 1).
Lorsqu’une perturbation se présente sur le front, si le déplacement est stable, cette perturbation
tendra { se résorber. Tandis que si le processus est instable, la perturbation s’agrandira et le
fluide déplaçant pénétrera dans le fluide déplacé en avant du front.
La condition nécessaire suffisante pour la stabilité de déplacement est que le gradient de
pression dans le fluide déplacé soit supérieur à celle dans le fluide déplaçant. Les gradients de
pression dans les fluides impliqués peuvent être déterminés { partir de l’équation de Darcy
généralisé pour les écoulements multiphasiques.
30
1 11
1 r1
udp=- gsin
dl kk
(1.17)
2 22
2 r2
udp=- gsin
dl kk
(1.18)
α est l’angle formé par la direction de déplacement et la normale.
Les conditions de stabilité de déplacement peuvent être exprimées comme suit :
2 1
dp dp
dl dl
(1.19)
Soit
1 1 2 21 2
r1 r2
u u( )gsin 0
kk kk
(1.20)
Deux facteurs définissant la condition de stabilité peuvent être tirés à partir de l’équation (Equ.
1.29) : le rapport de mobilité M et le terme de gravité.
Le rapport de mobilité M exprime la mobilité relative du fluide de déplacement (défini par le
rapport de la perméabilité relative kr par sa viscosité μ) par rapport au fluide déplacé soit la
facilité avec laquelle il s’écoule dans le milieu poreux. Ce terme est défini comme suit :
r1
r2 2
k / 1M
k /
(1.21)
Le terme de gravité (ρ1-ρ2)gsinα tient compte du contraste de densité et de la direction
d’écoulement définie par sinα. Ce terme peut être favorable ou défavorable { la stabilité de
déplacement selon la combinaison des facteurs.
En considérant que les vitesses des fluides u1 et u2 sont égaux, la stabilité du front peut être
évaluée comme suit :
- Il y aura toujours stabilité du front si le rapport de mobilité M est inférieur { l’unité
31
(rapport de mobilité favorable) et que le terme de gravité (ρ1.- ρ2).g.sinα est positif. La
première condition implique généralement que le fluide déplaçant soit plus visqueux que
le fluide déplacé et que les perméabilités relatives soient les mêmes. La deuxième
condition implique que le déplacement soit généralement vers le haut lorsque la densité
de fluide déplaçant est supérieure à celle du fluide déplacé.
- Il y aura toujours instabilité si le rapport de mobilité M est supérieur { l’unité (rapport
de mobilité défavorable) et si le terme de gravité (ρ1-ρ2)g.sinα est négatif.
- Lorsque les densités de deux fluides sont identiques ou si le déplacement se fait dans un
système horizontal, il y a toujours stabilité si le rapport de mobilité est inférieur à 1.
D’autres conditions particulières peuvent être considérées. Par exemple, l’effet de la densité et
de la direction de l’écoulement peut compenser un rapport de mobilité défavorable et permettre
un déplacement stable. De la même façon, un rapport de mobilité favorable peut permettre la
stabilité malgré un effet de densité défavorable. Dans ces deux derniers cas, la stabilité est
conditionnelle et dépend de la vitesse de déplacement.
FIG.1. 10: Régime de stabilité du front d’après Lenormand (1988).
Lenormand et al. (1988) ont distingué les effets des forces visqueuses représentées par le
rapport de mobilité et des forces capillaires représentées par le nombre capillaire sur le
comportement de déplacement. Dans leurs études, le rapport de mobilité M est défini par le
rapport de viscosité du fluide déplaçant par le fluide déplacé. Ils ont proposé un diagramme de
phase pour la distinction de différents régimes des digitations. Trois types d’interfaces
dépendant du rapport de mobilité et de nombre capillaire sont identifiés dans leurs expériences.
Ces interfaces illustrées par la figure 1.10 représentent les champs d’instabilité et de stabilité
ainsi que les zones de transitions.
32
Généralement, le déplacement stable est favorisé pour un nombre capillaire Ca important et un
rapport de mobilité M petit. Les digitations visqueuses sont favorisées pour un nombre capillaire
Ca et un rapport de mobilité important. Les digitations capillaires sont favorisées pour un
nombre capillaire Ca petit.
(a) (b)
FIG.1. 11: Images typiques de digitation visqueuse obtenues (a)expérimentalement dans un milieu poreux
constitué d’un réseau de billes coincées entre 2 plaques de verre par Løvoll et al. (2004)(b)
expérimentalement dans des canaux tracés dans du verre par Ferer et al. (2004). Les flèches indiquent les
zones d’injection.
En plus des nombres M et Ca définis précédemment, un autre paramètre Ca/M = μ2u/σcosθ qui
décrit l’importance des forces visqueuses dans le fluide déplacé par rapport aux forces
capillaires a été utilisé par certains auteurs pour distinguer les différents régimes de
déplacement. Une illustration de régime de digitations visqueuses issues de travaux de Løvoll et
al. (2004) est représenté dans la figure FIG.1.11. La principale force est ici la viscosité du fluide
poussé (M <=1, Ca/M >=1). Les sauts de pression capillaires sont négligeables. Les motifs
observés sont des doigts ramifiés se propageant vers la sortie du réseau. Nous sommes
typiquement dans le cas de l’instabilité de Saffman–Taylor. Il y a un écrantage des doigts en
arrière par le doigt le plus avancé et il n’y a pas de boucle. Des motifs de digitation capillaire
obtenus sont représentés dans la figure 1.12. La digitation capillaire est obtenue pour les faibles
nombres capillaires, lorsque les forces visqueuses sont négligeables dans les deux fluides et que
la principale force est due à la capillarité (Ca<= 1 et Ca/M <=1). Des doigts se répandent dans le
réseau en occupant une surface plus importante que dans le cas de la digitation visqueuse. Les
doigts peuvent aller dans toutes les directions, y compris vers l’arrière et peuvent également
former des boucles.
33
Des motifs de déplacement stable sont représentés par la figure 1.13. La force principale est ici la
viscosité du fluide injecté (M >= 1, Ca>= 1).
(a) (b)
FIG.1. 12 : Images typiques de digitation capillaire obtenues (a) expérimentalement dans un milieu poreux
constitué d’un réseau de billes coincées entre 2 plaques de verre par Løvoll et al. (2004)(b)
expérimentalement dans des canaux tracés dans du verre par Ferer et al. (2004).
Les sauts de pression capillaires sont négligeables. L’injection se fait sous la forme d’un front
plan avec quelques irrégularités sur une taille de l’ordre de celle des pores. De petits ensembles
de seulement quelques pores de fluide 2 peuvent rester bloqués une fois que le fluide 1 a avancé.
(a) (b)
FIG.1. 13 : Images typiques de déplacement stable obtenues (a)expérimentalement dans des canaux tracés
dans de la résine par Lenormand et al. (b) numériquement dans un réseau de canaux de taille variable par
Aker et al. (1998). Les flèches indiquent les zones d’injection.
34
Ewing et Berkowitz (1998) ont extrait le diagramme bidimensionnel donné par Lenormand et al.
(1988) et ils ont introduit une troisième dimension qui décrit les forces de poussé (gravité). La
position de cette dimension est donnée par le nombre de Bond précédemment défini (équation
1.15).
1.4 MODELISATION PHYSIQUE DES INSTABILITES DE
DEPLACEMENT
Les mécanismes régissant le déplacement des fluides non miscibles ainsi que la formation des
instabilités ont fait l’objet de plusieurs investigations expérimentales. Divers dispositifs
expérimentaux dédiés ont été utilisés dans les différentes études.
1.4. 1 MODELISATION PHYSIQUE DE DEPLACEMENT SUR CELLULE DE HELE-SHAW
La plupart des milieux poreux sont opaques, ce qui rend difficile l’étude des phénomènes des
instabilités de déplacement dans le milieu. C’est pourquoi plusieurs auteurs ont utilisé ce qu’ils
ont appelé une cellule de Hele-Shaw pour étudier ce phénomène. Une cellule de Hele-Shaw est
un dispositif expérimental constitué de deux plaques de verre superposées et séparées par un
espace très fin (FIG.1.14). Ce dispositif expérimental est formellement analogue à un milieu
poreux sous certaines approximations. Une cellule de Hele-Shaw d’épaisseur ez fournit un
dispositif expérimental bidimensionnel formellement analogue à un milieu poreux de
perméabilité :
2ze
k=12
(1.2.2)
Ce dispositif est totalement transparent et permet une visualisation immédiate de dynamique de
la digitation visqueuse ou d’en faire une acquisition avec une caméra CCD, de manière à faire un
traitement informatique des images. Il permet aussi de le visualiser en dimension 2D ce qui
simplifie sa dynamique.
Les premières études sur ce type de dispositif portant sur l’étude d’écoulement biphasique dans
un milieu poreux bidimensionnel et homogène reviennent à Saffman et Taylor (1958). Dans
leurs études, le déplacement d’un fluide par un autre fluide de viscosité différente est étudié. Les
fluides sont considérés non miscibles, incompressibles et le fluide de balayage pousse
complètement le fluide en place sans laisser des résidus en arrière.
35
Deux effets antagonistes s’affrontent lors de ce déplacement : l’influence déstabilisante du
contraste de viscosité favorise l’amplification de petites perturbations alors que la tension de
surface s’oppose { la croissance des petites perturbations. Cette compétition conduit, comme
beaucoup d’autres instabilités, { la sélection d’une longueur de déstabilisation préférentielle
initiale.
FIG.1. 14 : Schéma descriptif d’une cellule de Hele Shaw.
Il existe principalement deux types de caractérisation de la digitation visqueuse. Le doigt qui se
développe en cellule de Hele-Shaw est caractérisé par sa largeur relative λ, définie comme le
rapport entre la largeur du doigt et la largeur du canal. Il s’agit donc d’une fraction du rayon de
la cellule de Hele-Shaw. La digitation visqueuse peut aussi être caractérisé par la quantité m de
fluide déplacé restante après le passage du doigt de fluide injecté. m est une fraction relative de
l’épaisseur de la cellule de Hele-Shaw.
Il est possible de relier aisément λ { m dans le cas d’une cellule de Hele Shaw :
m=1- (1.23)
La largeur des doigts λ est déterminée par le nombre capillaire Ca défini précédemment. Les
forces visqueuses tendent à affiner le doigt, tandis que les forces capillaires tendent à augmenter
le rayon de courbure de l’interface : elles élargissent par conséquent le doigt. Par conséquent,
lorsque la vitesse du doigt augmente, λ diminue très rapidement jusqu’{ tendre vers la valeur
limite λ = 0.5.
36
1.4.2 MODELISATION PHYSIQUE DES INSTABILITES DE DEPLACEMENT SUR LES MICRO-
MODELE
La stratégie d’utilisation d’un dispositif de ce type a consisté { la réalisation d'un simulateur des
phénomènes de déplacement des fluides non miscibles sur des structures simplifiées de type
réseau (le milieu poreux est représenté par un réseau des pores et de capillaires). Ces
simulateurs physiques ont été utilisés également pour l'interprétation des résultats et la
validation des modèles théoriques issus de l’approche discrète.
Les premières études rigoureuses de la dynamique de déplacement des fluides non miscibles
sur des réseaux de capillaires de ce type sont menées par Lenormand et Zarcone, (1984). La
visualisation des déplacements de fluides dans des réseaux plans de capillaires gravés permet de
juger la validité des hypothèses émises dans les simulations, et par exemple d'évaluer
l'importance des phénomènes de piégeage. Leurs objectifs étaient d’étudier la physique des
mécanismes de déplacement à différents débits. Pour un nombre capillaire petit, ils ont
remarqué l’abondance des instabilités des films liquides conduisant à l'apparition d'îlots liquides
en apparence déconnectés de la zone d'invasion principale (snap-off). Cette instabilité capillaire
conduit à une grande quantité piégée de la phase non mouillante. Pour un nombre capillaire plus
grand, ils ont constaté que l’écoulement dans les irrégularités des surfaces est négligeable et le
déplacement est principalement frontal. Dans ces conditions, la phase non mouillante piégée est
minimale et les digitations sont réduites. Il est évident selon leurs études que si la progression
d'un fluide non mouillant (drainage) est essentiellement soumise à des conditions de pression,
l'imbibition est liée à des conditions de débit qui dépendent des conditions expérimentales.
Vizika et al. (1994) ont conçu un réseau carré régulier construit par des plates formes en verre
avec une cellule élémentaire de 1221 micromètres. Le réseau considéré est de 11.3 pores et de
26 capillaires. Les expériences menées dans le cas d’un nombre capillaire faible avec un rapport
de viscosité défavorable, ont montré des micro-doigts remarquables, conduisant à la formation
des ganglions qui sont immédiatement piégé. La saturation résiduelle tend à être constante pour
un nombre capillaire inférieur à 10-6 et diminue lorsque le nombre capillaire augmente.
L’augmentation du rapport de viscosité { 3.35 accentue le phénomène du micro-doigt et la
perturbation du front s’amplifie. Ceci permet au fluide mouillant d’avancer rapidement sur les
interfaces et de former par conséquent de nouveaux micro-doigts. Dans le cas du nombre
capillaire grand et un rapport de viscosité défavorable, les micro-doigts sont remarquables,
cependant le ménisque se déplace avec une vitesse de déplacement plus importante. Dans le cas
d’un rapport de viscosité favorable, les digitations sont atténuées et un front de déplacement
37
lisse conduit à un micro déplacement efficace. La comparaison entre les résultats numériques et
les résultats expérimentaux montre que l’influence du rapport de viscosité sur la saturation
résiduelle observé au niveau expérimental est plus large que celle illustrée par les simulations
surtout dans la région pour laquelle le nombre capillaire est faible, ceci est du aux films d’eau qui
sont ignorés dans les simulations.
Récemment Olivier (2006) s’est intéressé { l’étude de déplacements quasi statiques eau-air dans
des milieux poreux modèles. Il a mis au point une méthode de fabrication des réseaux de canaux
par fraisage en utilisant une machine de prototypage. Il a obtenu des réseaux de meilleure
qualité (précision des dimensions des canaux, état des surfaces) qu’avec la technique de gravure
utilisée auparavant. A l’aide de la technique par fraisage appliquée, il a pu également fabriquer
des réseaux de mouillabilité hétérogène ainsi que des réseaux de cylindres, ce qui a permis
d’étudier une géométrie plus représentative des milieux fibreux.
Deux types de déplacements quasi-statiques ont été étudiés sur ce modèle. Le premier est
purement mécanique et induit par l’injection lente ou l’aspiration lente du liquide (drainage ou
imbibition). Le deuxième est dû à un changement de liquide - vapeur induit par le transfert de
masse en absence de variation significative de la température (évaporation). L’invasion pour les
deux types de déplacement est contrôlée par la hiérarchie identique des seuils d’invasion
capillaire qui est uniquement liée à la géométrie du réseau et à ses propriétés de mouillabilité.
1.4.3 MODELISATION PHYSIQUE SUR COLONNE DE LABORATOIRE
Certains travaux de recherche ont mis en jeu les mécanismes de déplacement des fluides non
miscibles se déroulant dans un système permettant de se placer dans les conditions de
l’expérience de Darcy. Le modèle physique utilisé est une colonne de laboratoire de quelques
centimètres de longueur. L’expérimentation sur ce modèle physique est simple { mettre en
œuvre et elle permet de reproduire une infiltration d’un DNAPL dans un milieu poreux saturé.
Parmi ces études, certaines semblent pertinentes par la configuration du dispositif,
l’appareillage ou la mise en place des milieux poreux et de la pollution.
Chao et al. (2000) ont réalisé deux colonnes de mêmes dimensions mais dans des matériaux
différents. L’une est en Pyrex alors que l’autre est en plastique acrylique. Au cours de leurs
expériences, reproduisant la formation de digitations dans un système diphasique eau – huile, ils
ont remarqué que les fluides réagissaient de façons différentes en fonction de la colonne utilisée.
En effet, le verre hydrophile a permis un passage préférentiel d’un fluide (eau avec surfactant)
par rapport { l’autre (huile) près des parois. Alors que dans la colonne en plastique, l’eau a eu
38
plutôt tendance { circuler { l’intérieur du milieu poreux, ralentissant la formation et la migration
des digitations. Ces observations ont été émises en comparant les vitesses de migration des
fluides colorés dans les colonnes. Cette étude illustre l’importance du choix des matériaux dans
l’étude du comportement de certains fluides. Des questions peuvent cependant se poser sur la
manière dont ces phénomènes ont pu être observés.
Rudolf (1995) a étudié la distribution statique de DNAPL entraînée par la gravité pour trois
types d’expériences sur une colonne de laboratoire. Les effets des paramètres physiques et
chimiques sur l’instabilité de l’écoulement ont été également discutés pour une gamme des
sables (sable fin, moyen et grossier) et de polluants (trichloréthylène, trichloréthane, and dibutyl
phthalate). Les observations ont montré que le développement des doigts dépend de la taille des
grains, des propriétés du polluant et du sens d’injection. Les effets des forces capillaires,
visqueuses et gravitaires sur le comportement de déplacement ont été également discutés.
Kurt et al. (1996) ont mené des expériences sur colonne de laboratoire pour l’investigation de la
mobilisation d’un DNAPL (PCE) par l’injection de surfactant. Pour renforcer la mobilisation, la
tension interfaciale entre la phase de PCE et la phase aqueuse est réduite de 47.8 à 0.09 10-3.
N/m. La courbe de dé-saturation de PCE est exprimée en terme de nombre total (Nt) qui relie les
forces visqueuses et de gravité aux forces capillaires qui contribuent à retenir la phase
organique dans le milieu poreux. La valeur critique de Nt pour initier la mobilisation de PCE est
dans la gamme de 2 et 5 10-5 cependant le déplacement complet de PCE est observé pour une
valeur de Nt de l’ordre de 10-3. Les résultats obtenus montrent la contribution potentielle des
forces de poussé (gravité) dans la mobilisation de PCE résiduel et fournissent une nouvelle
approche pour prédire le déplacement de NAPL dans le milieu poreux saturé.
Wilkins et al. (1995) se sont intéressés dans leurs travaux { l’étude des comportements de
plusieurs polluants (lourds et légers) dans un milieu poreux sableux de granulométries variées,
et sous un flux de vapeur similaire { celui que l’on pourrait trouver lors d’expériences de
dépollution (Soil Vapor Extraction : SVE). Les polluants utilisés (Styrène, Toluène, PCE) ont été
colorés par un colorant à une concentration de 0.5 g de colorant pour 1 L de polluant. Aux
extrémités de la colonne, des plaques métalliques (acier inoxydable) sont positionnées. Elles
sont percées afin de favoriser un écoulement uniforme des fluides sur toute la section de la
colonne. Le protocole expérimental réalisé en trois étapes contribue { l’établissement d’une
distribution uniforme des saturations en eau et en NAPL dans la colonne : (i) compactage
uniforme de la colonne avec de l’air sec, (ii) imbibition par de l’eau purifiée et drainage de l’eau
et (iii) injection de 150 mL de NAPL { l’aide d’une pompe (débit : 1.5 mL/min) puis, drainage.
Après les premières expériences, les colonnes sont désassemblées et le milieu poreux est
39
sectionné. Dans chaque section, la saturation résiduelle en NAPL est déterminée par extraction
au méthanol. La saturation résiduelle en eau est évaluée par pesées, avant et après étuvage à
90°C. Ce dispositif a, par ailleurs, inspiré Yoon et al. [2002] pour évaluer l’influence de la
saturation en eau sur les transferts de masse lors de la volatilisation.
1.4.4 PROCEDURES EXPERIMENTALES POUR L’ANALYSE DU COMPORTEMENT DES FLUIDES
NON MISCIBLES DANS LE MILIEU POREUX SATURE
La caractérisation du comportement de déplacement des fluides non miscibles, présenté dans le
paragraphe précédent, passe par une étape analytique afin de mesurer les saturations de ces
composés dans le milieu poreux. Parmi les techniques analytiques employées, deux catégories
ont été distinguées : celles qui sont basées principalement sur des analyses d’images ou de
détermination de la présence de fluides in situ et celles basées sur des analyses de prélèvements.
Les premières expériences, portant sur l’étude de la migration des DNAPL dans les sols, ont
principalement été visuelles, mettant en jeu des polluants colorés (Schwille, 1988 ; Kueper et al.,
1989). Par la suite, des systèmes d’enregistrement et de traitement d’images ont permis de relier
ces observations à des techniques de quantification des phases présentes. Cependant, les
observations visuelles demeurent une technique encore pratiquée, comme en témoignent les
études de Chao et al. (2000) et Zhang et Smith (2002), Tullis et al. (2007), Tsakiroglou et
al.(2003). D’autres méthodes ont ensuite été développées afin de suivre le comportement in situ
des fluides. Ces techniques contribuent, pour la majorité d’entre-elles, à évaluer et quantifier la
saturation du polluant en phase pure dans le milieu, par opposition aux autres fluides présents
(eau ou gaz). A titre d’exemple, Imhoff et al. (1993) ont utilisé la technique d’atténuation des
rayons gamma entre une source radiative (241Am) et un détecteur à scintillation (NaI) pour
mesurer la saturation en DNAPL et la porosité du milieu. L’intérêt de cette méthode est de suivre
en continu le comportement du polluant sans perturber le milieu. Glass et al. (2000) ont utilisé
une technique optique pour visualiser la migration d’un fluide coloré non mouillant (TCE ou
CO2), dans un milieu poreux hétérogène et saturé en eau. Une source lumineuse placée d’un côté
du dispositif expérimental, associée { une caméra digitale située de l’autre côté, a permis de
relier l’intensité lumineuse d’un fluide { la saturation de la phase déplaçante.
D’autres techniques analytiques ont été testées et appliquées { des échelles plus importantes
(site). Parmi ces travaux, Endres et Greenhouse (1996) ont validé l’emploi d’une sonde
thermique à neutron sur un dispositif de laboratoire et sur site. Des techniques géophysiques
ont également été utilisées sur le terrain afin d’identifier la présence de composés organiques
par différence de masse volumique entre les fluides présents (NAPL, air et eau) (Brewster et al.,
40
1995 ; Titov et al., 2002). Ces techniques, malgré une mise en place parfois complexe dans le
cadre d’études en laboratoire, présentent l’avantage de pouvoir quantifier spatialement et
temporellement la présence de fluides dans le système, sans pour autant perturber le milieu
poreux et les réactions qui s’y déroulent. Actuellement, la technique expérimentale la plus
utilisée est celle des traceurs bisolubles (PITT : Partitioning Interwell Tracer Test) (Dridi et al.,
2005, Bohy et al., 2004). Elle est non intrusive et consiste à injecter un traceur idéal (non réactif)
et au moins un traceur réactif dans un puits { l’amont de la source de pollution puis { récupérer
le signal de sortie au niveau d’un puits situé { l’aval, position supposée de la source de pollution.
Le retard entre les traceurs idéal et réactif au niveau du puits de pompage est mesuré en
utilisant les courbes de sortie des traceurs et permet d’estimer la masse hydrodynamique de
DNAPL accessible, à savoir le volume et la saturation résiduelle moyenne dans la zone balayée
par les traceurs.
Dans une deuxième technique qui consiste à suivre la répartition des fluides de déplacements
dans le milieu poreux, certains travaux (Chao et al., 1993 ; Arands et al.,1997) sont basés sur des
analyses d’échantillons prélevés pour pouvoir quantifier la présence de polluant dans plusieurs
milieux (liquide, gazeux ou solide). Chaque étude met en place des protocoles expérimentaux,
spécifiques aux thématiques choisies. Les principales originalités de ces travaux résident dans :
(i) l’échantillonnage et le type de phase prélevée, (ii) le conditionnement des échantillons et (iii)
les paramètres d’utilisation des appareils. La plupart des techniques répertoriées repose sur la
chromatographie en phase gazeuse. Cependant, quelques unes ont mis en œuvre des
chromatographes en phase liquide haute performance (CLHP ou HPLC) ou des
spectrophotomètres à ultraviolet.
Les études sur les écoulements diphasiques en milieux poreux sont essentiellement initiées par
les besoins industriels dans les domaines de l'ingénierie pétrolière, l’hydrologie des aquifères,
les réacteurs chimiques, les processus électriques dans les électrodes poreux. Bien que la
physique des processus associés à un écoulement diphasique soit assez bien comprise, sa
modélisation mathématique reste un point faible des théories actuelles, compte tenu de la
complexité de la géométrie de l'espace poreux, des distributions spatiales de phases fortement
variables. Le modèle prévalant, connu sous le nom de modèle de Buckley- Leverett, représente
une description semi-empirique basée sur un minimum d'information sur les mécanismes ayant
lieu à l'échelle d'un pore. Bien que ce modèle soit largement utilisé dans les applications, il a fait
l'objet de critiques multiples dans la littérature scientifique
41
1.5 MODELES NUMERIQUES POUR LA MODELISATION DE
DEPLACEMENT NON MISCIBLE EN MILIEU POREUX SATURE
Historiquement, les modèles écoulement multiphasique dans le milieu poreux ont été
développés par l’industrie pétrolière, dont le souci principal était la production d’huile et
l’amélioration des techniques d’extraction. Au cours des dernières décennies, des chercheurs se
sont intéressés au développement de modèles mathématiques pour mieux appréhender les
mécanismes et les conditions de contamination des milieux souterrains par les DNAPLs.
Deux approches différentes ont été citées dans la littérature pour l’étude des mécanismes
régissant le déplacement des fluides non miscibles. La première approche est basée sur une
description continue du milieu poreux utilisant des lois macroscopiques (Loi de Darcy,
perméabilité relative). L’écoulement macroscopique est prédit généralement { partir d’un calcul
numérique tenant compte de la variation spatiale des fluides ainsi que des propriétés de milieu
poreux. La deuxième approche est basée sur une description microscopique de la géométrie de
la structure poreuse et sur des lois physiques de l’écoulement dans les pores. Deux méthodes de
l’approche discrète ont été citées dans la littérature : (i) la méthode réseau et la méthode de
Lattice Boltzmann (LBM). La méthode de Lattice Boltzmann (LBM) représente un schéma
numérique alternatif de l’approche discrète pour la simulation des écoulements des fluides {
l’échelle des pores. L’idée fondamentale de cette méthode est de construire des modèles
cinétiques simplifiés qui intègrent la physique essentielle des processus microscopiques et
mésoscopiques. Cette méthode a été utilisée plus particulièrement pour la modélisation de
certains mécanismes associés aux écoulements des fluides tel que la cinétique de dissolution
impliquant la notion de non équilibre des interfaces et des conditions aux limites plus complexe
(Kang, 2003 ; Miller, 1990). Peu de modèles utilisant cette approche ont été développés pour
simuler le déplacement non miscible. Nous citons par exemple Grunau et al. (1993) qui ont
observé la formation d’un doigt stable dans une cellule de Hele-Shaw en utilisant un modèle
multiphasique (LB). Chin (2002) a étudié le déplacement non miscible dans un canal
bidimensionnel en utilisant aussi un modèle multiphasique de (LB). Dans leurs travaux, la
largueur du front simulé est en bon accord avec les quantifications des modèles numériques
antérieurs pour un nombre capillaire Ca inférieur à 2. Qinjun et Kang (2003) ont étudié
récemment les effets du rapport de viscosité, du nombre capillaires et la mouillabilité des fluides
sur le déplacement des fluides dans un canal à deux dimensions.
La modélisation en réseau { l’échelle des pores représente l’outil le plus distingué de l’approche
42
discrète. Dans la suite, nous nous intéressons à une analyse plus détaillée des modèles de ce type
développés pour simuler l’écoulement diphasique.
1.5.1 MODELES DE RESEAU
L’idée d’un modèle de réseau est de réduire la complexité de l’espace poreux { l’échelle
microscopique sous la forme d’un graphe 3D des sites (nommés pores dans notre étude
connectés par des liens (nommés capillaires dans notre étude). Dans ce type de représentation,
les composantes élémentaires du modèle de réseau, les pores et les capillaires, sont représentés
par des objets géométriques simples, par exemple, des sphères et des cylindres. Fatt (1956) est
le pionnier en matière de simulation par de modèles type réseau. Il a travaillé sur des réseaux
bidimensionnels sur lesquels il a simulé l’invasion par un fluide non mouillant. Il a étudié
différentes distributions théoriques de tailles de pores et différents types de réseaux. Il a montré
que plus la coordination du réseau augmente (plus le nombre de liens se rencontrant en un
même nœud est élevé), plus les résultats se rapprochent de ceux obtenus avec un faisceau de
tubes parallèles. Plus tard, les modèles en réseau ont connu un grand progrès et ont été utilisés
couramment pour appréhender les mécanismes régissant l’écoulement bi-phasique { l’échelle
des pores. Dans la littérature, deux types de modèles en réseau, développés pour modéliser des
conditions particulières de déplacement des fluides non miscibles ont été répertoriés : les
modèles quasi-statiques et les modèles dynamiques. Dans les modèles quasi-statiques, les forces
capillaires dominent le déplacement. Les positions des interfaces fluide/fluide déplacé est
contrôlé par des considérations d’équilibre capillaire basées sur la loi de Laplace. Les séquences
de déplacement sont considérées comme des séries d’évènements (envahissement pore par
pore), où les effets visqueux sont négligés et où la série d’évènement { l’échelle des pores est
initiée par des pressions locales. Cependant dans les modèles dynamiques de déplacement, les
effets des forces visqueuses sont modélisés en addition avec les forces capillaires à travers un
calcul explicite des champs de pression dans le système.
1.5.1.1 MODELES QUASI STATIQUES
Les modèles quasi statiques sont basés sur le modèle de percolation, mais contrairement à ce
dernier, les pressions capillaires changent lorsque le déplacement progresse. Le terme
percolation désigne la capacité d’un fluide à se propager d’une manière aléatoire dans un milieu,
par des déplacements de proche en proche (Stauffer, 1985). Dans la formulation des modèles
statiques une pression capillaire est imposée dans le réseau via les conditions aux limites. La
position statique de toutes les interfaces fluide/fluide est déterminée en ignorant les aspects
43
dynamiques de la pression. Le fluide envahit un pore ou un canal en fonction de sa taille. Dans ce
cas l’élément envahit doit être connecté { un élément déj{ rempli par le fluide déplaçant
(Nordhaug, 2003).
Blunt et al (1992) ont développé un modèle pour lequel les pores sont modélisés comme des
sphères et les canaux comme des tubes cylindriques. Les films d’eau sont modélisés en
permettant aux phases fluides mouillantes de se propager dans les surfaces rugueuses du
système. Le modèle est utilisé pour simuler la compétition entre les différents types de
mécanismes piégeage de la phase non mouillante dans le milieu poreux ainsi que leurs
influences relatives sur la perméabilité relative. Le modèle a été également utilisé pour dégager
l’influence des forces de poussée sur la valeur finale de la saturation résiduelle.
Dans un autre travail, Blunt (1997) a étudié les effets de la corrélation de la taille des pores sur
la courbe de la perméabilité relative. Il a rapporté que la corrélation spatiale est nécessaire pour
produire des courbes plus abruptes et pour bien capturer les phénomènes d’hystérésis. Il a aussi
conclu qu’un changement de l’angle de contact avait des effets significatifs sur la saturation
résiduelle et la perméabilité relative de la phase non mouillante.
Øren et al. (1998) ont développé un modèle quasi statique qui est basé sur un réseau du pore
reconstruit à partir des grains du gré. Dans leurs travaux, ils ont simulé les processus de
drainage et d’imbibition dans un système diphasique parfaitement mouillant { l’eau. Les courbes
de pressions capillaires et de perméabilité relative obtenues ont été en bon accord avec les
résultats expérimentaux.
En étudiant un écoulement multiphasique, Piri et Blunt (2002) ont utilisé un modèle de réseau
de pores dans un système non parfaitement mouillant { l’eau. Ils ont admis que les trois phases
peuvent coexister dans le même pore. Le modèle a permis de déterminer correctement les
perméabilités relatives du système tri-phasique.
Il existe des conditions pour lesquelles les approximations de déplacement quasi statiques ne
sont pas satisfaisantes. Un déplacement à faible tension interfaciale réduit systématiquement les
forces capillaires et les forces visqueuses deviennent dominantes dans le déplacement. Dans ces
conditions, le mouvement transitoire de l’interface (stable ou instable) d’une position { une
autre s’implique dans le déplacement et sa description par une approche explicite s’avère
nécessaire (Boom et al, 1995).
44
1.5.1.2 MODELES DYNAMIQUES
Dans les modèles dynamiques, un flux d’injection du fluide envahissant est imposé { l’entrée du
système. Le champ de pression ainsi que les positions des interfaces associées sont déterminées
en considérant un écoulement de Poiseuille dans les capillaires. A chaque pas du temps les
décisions de déplacement sont prises en se basant sur les règles de différences de pressions. Les
modèles dynamiques de réseau peuvent être divisés en trois catégories :
- Modèles représentés par un réseau simple des capillaires : la totalité du volume de vide
est concentrée dans les capillaires et les sites sont considérés comme des points joignant
les capillaires adjacents. Chaque capillaire du réseau représente un pore élémentaire
défini par un rayon équivalent et un volume (Celia, 1995).
- Modèles de réseau pour lesquels les volumes des capillaires sont négligés et la porosité
du milieu est représentée par les pores (Blunt et King, 1991 ; Nordhaug, 2003 ; Patzek,
2000 ).
- Modèles en réseau considérant à chaque élément du réseau (pores et canaux) un volume
bien défini (Mogensen et Stenby, 1998 ; Jerauld and Salter, 1990 ; Heiba et al., 1992).
Dans les différents modèles développés dans la littérature, différentes formes géométriques ont
été affectées aux éléments constituant le réseau. Du fait de leur simplicité, plusieurs modèles ont
été construits sur des réseaux de pores et de capillaires ayant une section circulaire. Ce choix ne
peut cependant pas rendre compte de certains phénomènes caractérisant le déplacement tel que
le mécanisme de piégeage ou l’hystérésis ou l’écoulement des films d’eau. Dans l’objectif de la
prise en compte de ces mécanismes, certains travaux ont été menés en modifiant la géométrie
des éléments du réseau pouvant devenir plus au moins rugueuse. Cependant la géométrie de
différents éléments choisis est assez régulière (section triangulaire, rectangulaire) pour pouvoir
intégrer les équations d’écoulements diphasique et permettre, par une utilisation fine de la loi de
Laplace donnant la position des interfaces entre deux fluides, d'expliquer les phénomènes
d'hystérésis (Lévine et al, 1980) ou de piégeage dans les aspérités des parois (Danis et Quintard,
1984).
Koplik et Lasseter (1985) ont publié une étude de la dynamique de l’écoulement de deux fluides
non miscibles dans un réseau des pores. Ils ont considéré uniquement l’écoulement le long des
capillaires et ils ont négligé l’écoulement des films mouillants. Ils ont illustré une expression de
la chute de pression { travers un capillaire pour les cas de présence d’un ou plusieurs ménisques
45
dans les pores ou dans les capillaires. Dans la formulation des équations de l’écoulement, ils ont
utilisé la pression de la phase huile comme variable primaire. La pression introduite dans le
calcul correspond { la pression de la phase huile si l’huile occupe le centre du pore et à la
pression de l’huile réduite par la pression capillaire dans le cas ou l’eau occupe le centre du pore.
Toubou et al. (1987) ont utilisé une simplification du modèle Koplik et Lasseter (1985) pour
simuler le drainage dans un réseau de 100×100 nœuds. Leur objectif d’étude était d’étudier
l’effet du rapport de mobilité et du nombre capillaire sur le déplacement. Lié à la pression
capillaire, le système des équations d’écoulement formulé devient non linéaire, et ils ont procédé
directement à une approximation de la solution en utilisant une technique de relaxation qui a
permis de rendre le problème non linéaire en une séquence de problème linéaire.
Blunt et King (1992) ont développé un modèle dynamique pour étudier le processus du
drainage. Ils ont utilisé une méthode de relaxation pour calculer les pressions dans les pores.
Leur objectif était d’étudier les effets du rapport de viscosité et de pression capillaire sur le
déplacement { l’échelle des pores dans le cas di et triphasique. Ils se sont également intéressés
également à la manière avec laquelle la physique microscopique de l’écoulement affecte les
propriétés macroscopiques. Par ailleurs, ils ont négligé la pression capillaire locale dans les
pores parce que les rayons associés ont été jugés suffisamment grands. De plus, ils ont adopté
que les capillaires soient totalement remplis par un seul fluide, cependant les pores peuvent
contenir les deux fluides. Leurs simulations ont montré que la perméabilité relative de drainage
est fonction du rapport de viscosité et du nombre capillaire.
Vizika et al (1994) ont publié une étude théorique et expérimentale pour étudier les effets du
rapport de viscosité sur le déplacement des fluides non miscibles en considérant une large
gamme de nombre capillaire. Ils ont reporté une série de simulations du processus de
déplacement en modifiant uniquement la taille du réseau. Ils ont observé que la saturation
résiduelle de l’huile augmente avec une augmentation de la taille du réseau. En étudiant,
l’influence du rapport de viscosité sur la saturation résiduelle, ils ont remarqué que pour un
nombre capillaire élevé, le rapport de viscosité joue un rôle significatif lors du déplacement.
Dans des conditions de déplacement avec un rapport de viscosité défavorable et un grand
nombre capillaire, ils ont constaté l’apparition de micro-doigts longs de la phase mouillante
développée dans le fluide non mouillant. Le déplacement est non uniforme et conduit au
piégeage important de la phase huile. Toutefois, en raison du nombre capillaire assez élevé, les
ganglions de l’huile peuvent être mobilisés. Dans le cas où le rapport de mobilité est favorable
tout en gardant le nombre capillaire élevé, les micro-doigts disparaissent et le déplacement
microscopique correspond à un front fluide/fluide quasiment abrupt. Vizika et al.(1994) ont
46
également étudié l’influence du rapport de viscosité sur le déplacement et la saturation
résiduelle dans le cas du nombre capillaire faible. Dans le cas défavorable, les digitations
visqueuses ont été très marquées et ont conduit { des saturations résiduelles en l’huile fortes. De
plus, le phénomène de mobilisation des ganglions a été observé dans des conditions de
déplacement mais uniquement pour un temps très court. Pour le cas du rapport de viscosité
favorable tout en gardant le nombre capillaire petit, la saturation en huile reste élevée, due aux
micro-doigts causés par les forces capillaires. Cependant, les saturations sont plus petites que
celles obtenues dans le cas du rapport de viscosité défavorable.
Vander Mark et al (1997) ont développé un modèle dynamique pour simuler le processus de
drainage sur un réseau bidimensionnelle. L’écoulement du fluide dans leur modèle est contrôlé
par trois types de forces à savoir les forces capillaires, visqueuses et gravitaires. Ils ont assimilé
dans leurs simulations une géométrie qui ressemble à une forme de canaux gravés utilisée dans
les micro- modèles expérimentaux. Deux interfaces entre le centre de deux pores ont été prises
en compte. Ils ont comparé leurs résultats avec les expériences menées sur les micros-modèles
pour lesquelles les saturations et la chute de pression à travers le réseau ont été mesurées. Les
résultats des simulations obtenues sont en bon accord avec les résultats expérimentaux sauf
dans le cas où le rapport de viscosité est grand.
Une étude mathématique a été publiée par Aker et al. (1998). Dans cette étude, le processus de
drainage primaire dans un réseau régulier des canaux tout en négligeant les films d’eau a été
simulé. Pour tenir compte des aspects dynamiques du déplacement, le changement de la
pression capillaire locale lorsque le ménisque se déplace a été pris en compte à travers les
capillaires. Les rayons des capillaires sont distribués d’une manière aléatoire et les pores sont
traités comme des connexions simples entre les canaux, ayant un volume négligeable. La
dynamique du déplacement des fluides est modélisée en utilisant une équation modifiée de
l’équation de Young-Laplace définie comme suit :
2(1 cos(2 ))cP x
r
(1.24)
x représente la position de ménisque dans le capillaire.
Dans cette étude, ils ont simulé le cas de drainage primaire par l’injection de la phase huile {
débit constant dans un système qui est initialement rempli d’eau. Pour déterminer le débit
47
d’injection désiré, ils ont considéré que le débit d’injection varie linéairement avec la chute de
pression à travers le système. Dans une deuxième étape, la différence de pression est obtenue à
partir du débit d’injection désiré. La procédure est répétée { chaque pas du temps.
Dahle et Celia (1999) ont développé un modèle dynamique { l’échelle des pores qui est similaire
à celui proposé par Aker et al (1998). Cependant dans leur modèle, la pression capillaire est
donnée par Young Laplace dans le cas d’un cylindre. Une seule interface est autorisée dans un
même capillaire pour un temps donné. Les courbes Pc–S du processus de drainage ont été
étudiées en se basant sur la chute de pression le long du système et les pressions moyennes
internes des phases. Le modèle utilisé a été extrait pour étudier la tension interraciale et sa
relation avec la vitesse interfaciale (Nordhaug et al, 2003).
1.5.2 MODELES MACROSCOPIQUES
D’une manière générale, les modèles multiphasiques décrivant l’écoulement macroscopique
dans les milieux poreux résultent de la combinaison de trois principes physiques : l’équation de
la continuité, c’est { dire la conservation de la masse couplée { une loi de vitesse du fluide
d’origine expérimentale, la loi de Darcy, pour décrire l’écoulement qui correspond à un cas
particulier aux équations de Navier-Stokes, et enfin des relations dites de fermeture qui
comprennent les équations d’état des fluides, relations d’équilibre, relations constitutives. Le
système d’équation qui en résulte est généralement résolu par des techniques numériques
développées pour les équations aux dérivées partielles. Les solutions analytiques n’existent pas
pour ce type de système d’équation.
Pour un système composé d’un milieu poreux homogène et de deux phases liquides non
miscibles et incompressibles et pour lequel nous considérons une absence de transfert de masse
entre les deux phases, les équations gouvernant le déplacement de deux fluides non miscibles
sont exprimées comme suit :
nwnw nw nw nw nw
nw
kku = - ( P g),
(1.25)
nn n n n n
n
kku = - ( P g),
(1.26)
48
nw wu u u (1.27)
où, les indices nw et w notent respectivement les fluides non mouillant et mouillant, k est la
perméabilité intrinsèque du milieu poreux. krw et kro sont les perméabilités relatives de la phase
liquide et la phase organique, µnw et µw sont les viscosités de la phase eau et de la phase huile.
ΔPnw et ΔPw sont les gradients de pression respectivement de fluide non mouillant et mouillant.
Les pressions de deux phases à un point donné de milieu poreux sont reliées par la pression
capillaire : Pc. Par suite, les gradients de deux pressions sont reliés par le gradient de pression
capillaire (Leverett, 1941).
c o wP P P
x x x
(1.28)
En négligeant dans un premier temps la pression capillaire et la gravité on a
nw wP =P P (1.29)
La vitesse totale prend alors la forme :
wu (S ) P (1.30)
L’incompressibilité de deux fluides se traduit par :
.u 0 (1.31)
La loi de conservation de la masse relative { chacun des fluides s’écrit :
nwnw
S.u 0
t
(1.32)
49
ww
S.u 0
t
(1.33)
Les équations (1.32) et (1.33) définissent le système d’équation en saturation. ε est la porosité
supposé uniforme dans le milieu poreux, t est le temps et uw,nw est la vitesse du fluide considéré.
La complexité de la procédure de résolution est reliée au fait que les équations considérées sont
couplées. Ces effets sont bien connus et pilotent le développement d’éventuelles instabilités
visqueuses. Le champ de vitesse dépend du champ de saturation via le terme de mobilité dans la
loi généralisé de Darcy. De la même manière, le champ de saturation dépend à son tour du
champ de vitesse parce que la vitesse fait partie de l’équation de continuité. Cet aspect est
intimement lié à la notion de couplage visqueux
Dans le cas général, ce type de système d’équation est résolu numériquement utilisant des
techniques de discrétisation classique, de type volumes finis (Aziz et Settari, 1980). Concernant
la discrétisation temporelle, les choix sont multiples. Pour éviter les oscillations de la solution et
une meilleure précision, un schéma implicite en pression et explicite en saturation (IMPES)
serait le mieux adapté. On constate généralement l’existence de front caractérisé par la même
discontinuité de saturation dont la valeur passe brutalement de la saturation maximale en eau
Swi, à la saturation du front, notée Sf. Ces discontinuités sont dues au caractère hyperbolique de
l’équation de transport en saturation et sont bien décrites analytiquement dans le cas de
déplacement 1D (théorie de Buckley Leverett, voir annexe B). Quelle que soit la méthode
retenue dans les simulations, des mises à jour régulières de l’équation en pression sont
nécessaire de façon à estimer les vitesses avec exactitude.
Dans une autre classe de technique de plus en plus employée, on trouve les techniques dites de
lignes de courant. L’avantage majeure de la dite méthode de simulation par rapport { la méthode
classique de différence finie IMPES, est que les effets de la dispersion numérique peuvent être
suffisamment réduits. De façon général, l’algorithme de simulation de l’écoulement de fluide
basée sur cette méthode consiste en deux étapes qui se répètent l’une après { l’autre durant la
simulation. La première étape, consiste { la résolution de l’équation elliptique de pression
obtenue par la combinaison de la loi de Darcy et l’incompressibilité des fluides pour un modèle
de milieu poreux avec des conditions aux limites données. Cette étape donne le champ de
pression du problème à un pas de temps choisi. Par la suite, la loi de Darcy est appliquée pour
50
déterminer le champ de vitesse. Une fois le champ de vitesse est calculé, on peut dériver la
distribution des lignes de courants et des lignes de tubes. Pour ces méthodes, les saturations
sont mises à jour en suivant le déplacement des fluides dans leur mouvement le long des lignes
de courant, courbes paramétriques par dx/dt = u(x,t). Un changement de variable permet de se
ramener à la théorie de Buckley Leverett précédemment évoquée. Toutefois, afin de calculer la
vitesse u(x,t), la pression est résolu autant de fois que la précision l’exige, sur une grille
cartésienne. Ces méthodes sont plus rapides que les méthodes classiques. Elles n’en possèdent
pas non plus la versatilité et la robustesse pour traiter des problèmes complexes, où la méthode
traditionnelle reste la seule issue possible. Les mises à jour onéreuses du champ de pression ne
sont pas évitées.
Enfin, il existe d’autres techniques de résolution basées sur le suivi du front (Juanes, 2005) dont
l’idée est de suivre le front par une approche lagrangienne, qui nécessite les mêmes mises { jour
de la pression. Ce type de méthode consiste à déterminer la position du front (appelée encore
interface) séparant deux fluides non miscibles en mouvement. L’évolution du front dans le
réservoir au cours de l’écoulement est considérablement influencée par le couplage entre le
champ de pression et le champ de saturation.
En résumé, toutes les techniques numériques précitées ont un coût en temps de calcul trop
important. Le calcul nécessite la résolution complexe du grand nombre de systèmes linéaires
issus de l’équation gouvernant la pression. Il convient donc de la réactualiser en suivant le
déplacement des fluides avec une bonne précision. L’incorporation en terme de gravité et de
capillarité complique de plus la résolution du système d’équation et peut alors nécessiter
potentiellement de nombreux appels { un simulateur d’écoulement (logiciel dédié).
CONCLUSION
Actuellement, il existe plusieurs modèles décrivant l’écoulement diphasique en milieux poreux
suivant l’approche discrète. Ces algorithmes, étant bien développés, n’ont pas été orientés vers
une modélisation des phénomènes des instabilités impliqués dans le déplacement ou une
caractérisation de la répartition du polluant dans le milieu poreux saturé. De plus, l’ensemble
des règles de déplacement intégré dans les différents modèles ne reflètent pas d’une manière
complète la dynamique réelle de déplacement des interfaces. Dans certains travaux, le fluide
déplaçant peut s’écouler dans le capillaire connectant les deux pores sans prendre en compte le
terme de capillarité. De plus, les effets de l’eau demeurant dans les capillaires n’ont pas été pris
en compte dans le concept des règles de déplacements. Ceci peut conduire à la présence de deux
ménisques dans le capillaire qui peut être bloqué par effet de capillarité. Ceci a un effet prononcé
51
sur la pression de déplacement au cours du drainage. D’autre part, la plupart des simulations ont
été menées sur des réseaux qui n’ont aucun lien avec le milieu poreux réel. La distribution de la
taille de pore ou/et de capillaires a été générée d’une manière statistique en introduisant des
paramètres fictifs relatifs à leur taille respective : rayon minimal, moyen et maximal spécifiés
pour les pores et les capillaires. Nous pouvons donc conclure qu’il est important de générer les
caractéristiques réelles relatives à la distribution de la taille des pores et des capillaires pour
prédire de manière quantitative les propriétés d’un déplacement.
Coté scientifique, très peu de travaux expérimentaux fondamentaux ont été publiés sur les
caractéristiques et le développement des instabilités dans le milieu poreux saturé. Le
phénomène de digitation a été très bien compris à un niveau macroscopique dans la cellule de
Hele-Shaw, alors qu’il faut étudier les phénomènes au niveau microscopique pour le milieu
poreux. Ceci nous conduit { envisager la mise au point d’une technique bien adaptée pour
quantifier les cheminements préférentiels de la phase DNAPL { l’échelle des pores. La réalisation
expérimentale d’un tel dispositif permettant de reproduire une injection ponctuelle d’un DNAPL
dans un milieu poreux devra aussi avoir aussi des dimensions appropriées pour le suivi
quantitatif de la formation des instabilités. D’autre part, il a été révélé que plusieurs types
d’instabilités d’interfaces existent et chacune est reliée { une grandeur physique. Nous allons
nous consacrer { étudier l’influence de certaines grandeurs physiques du système, tels que le
débit d’injection, le sens de déplacement et la texture du milieu poreux sur les propriétés de
déplacement.
53
CHAPITRE 2
CONCEPTION D’UN MODELE DISCRET DE TYPE RESEAU DE PORES ET
DE CAPILLAIRE POUR LA MODELISATION DE LA DYNAMIQUE DU
DRAINAGE EAU/DNAPL
Dans ce chapitre, nous nous intéressons à la modélisation du processus de drainage
(déplacement d’un fluide mouillant par un autre fluide non mouillant) { l’échelle des pores
suivant une approche discrète. Un modèle de type réseau de pores et de capillaires a été
développé. Nous commençons par présenter les principales caractéristiques du modèle nous en
décrivons ensuite plus en détail les hypothèses ainsi que les équations d’écoulements retenues.
Nous présentons dans un deuxième temps notre approche pour paramétrer en modèle réseau de
pores et de capillaires le milieu poreux utilisé dans l’expérimentation (sable H2F).
2.1 MODELE CONCEPTUEL
Le déplacement d’un fluide mouillant par un autre fluide non mouillant est décrit dans un réseau
de pores et de capillaires tridimensionnel. L’effet de la gravité est pris en compte. Par
conséquent, nous considérons le cas général d’un écoulement de deux fluides non miscibles dans
un plan vertical.
2.1.1 GEOMETRIE DU RESEAU
2.1.1.1 CARACTERISTIQUES GEOMETRIQUES DU MODELE DISCRET
L’idée de base de l’approche discrète est de déduire le comportement des écoulements de fluides
en milieu poreux directement des équations { l’échelle des pores sans écrire les équations
macroscopiques pour l’ensemble du milieu. Le modèle par réseau de pores et de capillaires
décrit le milieu poreux comme étant constitué d’un ensemble de pores, de réservoirs de fluides,
séparés les uns des autres par des capillaires (FIG.2.1). Un pore est donc caractérisé par le
volume de fluide qu’il peut contenir et par un degré de coordination, c’est-à-dire le nombre de
pores auxquels il est directement connecté par des capillaires. Un capillaire est identifié par les
54
2rC
2rp
L
deux pores auquel il est relié par un ensemble de grandeurs représentatives de la résistance de
l’écoulement et de sa pression capillaire.
(a) (b)
FIG.2.1: Géométrie du milieu poreux dans le modèle (a)Schématisation d’un réseau de pores et de
capillaires dans un milieu poreux en deux dimensions, le solide est présenté en gris foncé, les régions
remplies de polluant en gris clair et les zones blanches contiennent du l’eau, les points noirs
correspondent aux pores et les traits pointillés aux capillaires (b)Vue en dimension 2D d’un réseau
régulier de pores et de capillaires dans le modèle développé.
Pour notre cas d’étude, une forme sphérique est attribuée aux pores néanmoins les capillaires
sont considérés cylindriques. Dans ce cas, les caractéristiques des pores et des capillaires
(conductance hydraulique, pression capillaire, volume) peuvent être calculées sur la base d’une
longueur caractéristique de leur plus petite section (rayon rp pour les pores, rayon rc pour les
capillaires). La distance séparant deux pores adjacents est supposée être constante dans le
réseau.
Le réseau de pores et de capillaires est alors caractérisé par :
- une distribution en taille des pores
- une distribution de degré de coordination des pores
- une distribution en taille des capillaires (longueur, diamètre)
- la distance L qui sépare deux pores adjacents dans le réseau
55
La plupart des modèles par réseau des pores et des capillaires n’utilisent pas un aussi grand
nombre de grandeurs distribuées. C’est dans cette optique que nous suivons que le degré de
coordination de pores est uniforme. En effet, nous considérons un réseau cubique en 3D dans
lequel chaque pore est connecté à 6 voisins, situés dans trois directions orthogonales.
FIG.2.2 : Réseaux de pores et de capillaires.
2.1.1.2 GENERATION DES CARACTERISTIQUES GEOMETRIQUES DU RESEAU
Le réseau de pores et de capillaires n’est qu’un modèle géométrique d’un milieu poreux réel
concret. L’équivalence entre le milieu réel et le réseau est supposée sous couvert d’un certain
sens approximatif. L’hétérogénéité du milieu poreux est prise en compte dans le modèle par la
génération d’un rayon donné de pores rp ou de capillaire rc comme une réalisation d’une fonction
aléatoire d’une loi statistique définie comme suit :
32 2
2 2
3
x xexp( ) ,si x x
x xg(x)
0 ,si x x
(2.1)
min
2 moy min
3 max min
x r r
x r r
x r r
(2.2)
56
r réfère au rayon du pore ou du capillaire généré à partir de cette distribution. Une suite de
chiffre vérifiant une distribution entre 0 et 1 peut être facilement générée par des algorithmes
accessibles de façon standard { l’aide des logiciels de programmations.
rmin, rmoy, rmax, représentent respectivement le rayon minimum, moyen et maximum de la
distribution de la taille. Ils sont spécifiés pour les pores et les capillaires.
Les rayons des pores et des capillaires du réseau ne sont pas corrélés. En choisissant les rayons
des pores plus grands que ceux des capillaires, le modèle choisi décrit alors le processus de
convergence et divergence naturelle des pores.
La longueur d’un capillaire dans le réseau est définie de la manière suivante :
ij pore, i pore, jl L (r r ) (2.3)
L est la distance entre les centres de deux pores voisins, rpore, i et rpore, j sont les rayons respectifs
des pores adjacents i et j.
2.1.1.3 EVALUATION DES PROPRIETES MACROSCOPIQUES DU MILIEU POREUX
La représentation spatiale de milieu poreux en modèle réseau de pores et de capillaires permet
de déterminer des caractéristiques macroscopiques équivalentes du milieu modélisé tel que la
porosité et la perméabilité intrinsèque (Mogensen et Stenby, 1998). On suppose dans ce cas que
le réseau modélisé contient suffisamment de pores pour représenter un Volume Elémentaire
Représentatif (VER) du milieu poreux réel.
La porosité ф du milieu poreux modélisé peut être quantifiée comme suit :
porej
2x y z
A
n n n L
(2.4)
où, nx, ny, nz, sont respectivement le nombre des pores du réseau suivant la direction x, y et z.
Apore représente l’aire de la section d’un pore du réseau.
La perméabilité intrinsèque est obtenue en appliquant la loi de Darcy en système monophasique
57
uk
P
(2.5)
où u (m/s) est la vitesse de Darcy, μα (Ns/m2) est la viscosité de la phase fluide considérée et
P est le gradient de pression motrice globale dans le réseau.
2.1.2 PARAMETRES DU PROCESSUS
2.1.2.1 HYPOTHESES DU MODELE
Un modèle microscopique direct consiste à calculer un écoulement diphasique de Navier-Stokes
dans un domaine régulier représentant un espace poreux. Malheureusement, ce scénario est à
peine réalisable. Les difficultés apparaissent dès l’étape de formulation du problème, où on est
confronté à la question de définition de la répartition initiale des phases dans le domaine.
Ensuite, lors de l’étape de résolution, une nouvelle difficulté apparaît. Elle est liée à la non
linéarité du système d’équation en raison de l’introduction des pressions capillaires. Une
difficulté supplémentaire s’ajoute dans la modélisation des scénarios de l’évolution singulière
de l’interface. Dans l’optique de réduire certaines complexités dans le modèle, un ensemble
d’hypothèses a été formulée :
- la pression capillaire locale dans les pores est négligée. De ce fait, une pression unique existe
dans un pore donné indépendamment de la présence d’une deuxième phase fluide.
- l’écoulement dans les capillaires est laminaire (nombre de Reynolds<2000) et il peut être
décrit par la loi de Poiseuille.
- les fluides sont incompressibles, newtoniens et non miscibles.
- les films d’eau ainsi que l’écoulement dans les rugosités sont négligées.
- les pores représentent la porosité de milieu et ne contribuent pas { l’écoulement.
- le volume des capillaires est négligé devant le volume des pores.
58
2.1.2.2 CONDITIONS INITIALES ET AUX LIMITES
Le modèle est basé sur la considération d’un déplacement { débit imposé. Les deux faces du
réseau, z=0 et z=nzL sont perméables { l’écoulement, les autres faces sont imperméables. Les
conditions d’imperméabilité sont identiques { celles de la symétrie.
Les conditions initiales d'une simulation sont introduites en spécifiant les variables primaires
dans l'ensemble des éléments du domaine de simulation. Dans notre cas, le milieu poreux est
initialement saturé en eau et une distribution initiale des pressions hydrostatiques aux
différents pores du réseau est introduite dans le modèle.
Quant aux conditions des limites, elles permettent de définir les contraintes imposées au niveau
des bornes du domaine de simulation. Sur la face amont, une condition de Neumann (flux
imposé) a été choisie. Le débit du fluide déplaçant (la phase huile) peut être défini au niveau de
chaque pore sur la limite amont. La limite aval du réseau correspond à une condition de
Dirichlet : la pression est maintenue constante sur la face aval du réseau.
Compte tenu du type des conditions aux limites choisies dans le modèle, la pression d’entrée
moyenne, Pe est calculée par le modèle, tandis que la pression moyenne de sortie Ps est
maintenue constante. Ainsi, le processus est caractérisé par une différence de pression motrice :
ΔPg définie comme suit :
e sgP P P (2.6)
2.1.3 SIMULATION DU PROCESSUS DE DEPLACEMENT
Nous nous intéressons { la modélisation de déplacement dynamique d’un fluide mouillant (eau)
par un fluide non mouillant (huile). Les forces capillaires dans ces conditions de déplacement
s’opposent au mouvement de l’interface entre les deux fluides.
2.1.3.1 QUANTIFICATION DU DEBIT VOLUMIQUE DANS UN CAPILLAIRE
Nous nous plaçons dans les conditions du régime de Navies-Stocks où les termes d’accélération
locale et convective sont nuls. L’écoulement des fluides est régi par trois types de forces { savoir
les forces visqueuses, les forces capillaires et les forces gravitaires. L’écoulement considéré est
laminaire, stationnaire et uniforme. Nous discutons séparément de l’influence de chaque force
sur le déplacement des particules fluides ainsi de la procédure de son intégration dans
l’équation de l’écoulement.
59
La résistance { l’écoulement dans le capillaire peut être décrite par la conductance Gij. La valeur
de ce paramètre est déterminée par les propriétés géométriques du capillaire et par les
propriétés physiques du fluide (viscosité) qu’il contient. Dans le calcul de la conductance Gij, le
déplacement des fluides est traité comme un problème d’écoulement monophasique pour lequel
les films d’eau ne sont pas pris en compte dans le modèle. Vu les caractéristiques géométriques
définies pour les capillaires (cylindre de rayon rc), la conductance du capillaire peut être
exprimée par la relation suivante :
4ij
ij
ij
rG
8 l
(2.7)
Par ailleurs, l’existence d’une interface eau/DNAPL génère dans le déplacement de drainage une
différence de pression entre le DNAPL et l’eau appelée pression capillaire. Ce saut de pression
est défini par la pression de Laplace pour un ménisque imaginaire (interface) qui aurait pu être
situé dans ce capillaire :
c c
c
2 cosP (r )=
r
(2.8)
où σ est la tension interfaciale du couple fluide eau/DNAPL, θ est l’angle de contact et rc est le
rayon du capillaire.
Notons que la pression capillaire d’un capillaire correspond { un saut de pression positif dans le
sens fluide mouillant/fluide non mouillant et elle est supposée être constante au cours du
déplacement du ménisque dans le capillaire.
La gravité génère un gradient de pression hydrostatique qui peut être pris en compte en
modifiant la condition sous laquelle un capillaire peut être envahi. La différence de pression
entre deux pores i et j placés à la position respective zi et zj est donnée comme suit :
-i j i i jp p g(z z ) (2.9)
60
lij
Z
zf
ri
Pi
rj Pj
w
vw
vnw
rij
nw
L
Si
Sj
ρi est la densité de fluide i
FIG.2.3 : Déplacement dans un capillaire relié à deux pores i et j. Le capillaire contient un ménisque situé à
une côte zf. Le fluide dans le pore i et j ayant respectivement une pression Pi et Pj et respectivement une
saturation Si, Sj.
Examinons le cas du déplacement stationnaire des fluides dans un capillaire connectant deux
pores adjacents i et j et contenant un ménisque (interface) entre les deux phases fluides
présentes (FIG.2.3). Pour cette configuration de déplacement, l’application de la loi de Poiseuille
pour chaque phase des deux cotés du ménisque, la condition de continuité pour l’écoulement
dans un pore de section constante, la relation de Laplace pour le saut de pression à travers un
ménisque sphérique, et la condition traduisant que la vitesse du ménisque est égale à la vitesse
phasique de l’écoulement permettent de formuler l’équation de débit dans le capillaire
Loi de Poiseuille
2ij nw
nw f
nw
r d(P gz)1v , z z
8 dz
(2.10)
2ij w
w f
w
r d(P gz)1v , z z
8 dz
(2.11)
61
Condition de compressibilité
fnw w
dzv v v(t)
dt
(2.12)
Condition de la pression capillaire
z z o c ijz z of fij
2 cosP P P (r )
r
(2.13)
Les indices w et nw correspondent respectivement à la phase mouillante et la phase non
mouillante. rij est le rayon du capillaire, zf représente la coordonnée (locale) du ménisque dans le
capillaire, P est la pression, μnw,w et ρnw,w sont respectivement la viscosité dynamique et la
densité des fluides. V(t) est la vitesse réelle.
La notation (zf +0) et (zf -0) repèrent la position par rapport { l’interface (respectivement avant
et après l’interface)
Prise en compte des conditions aux limites
i iP(z 0,t) P ; P(z L,t) P (2.14)
En utilisant les équations 2.10, 2.11 et 2.12, 2.11, l’expression de la vitesse moyenne du
ménisque dans le capillaire peut être alors formulée de la manière suivante :
2i j c ij nw f w fijf
nw f w f
(P P P r ) gL( z (L z )rdz
dt 8L z (L z )
(2.15)
L’équation (2.15) peut être reformulée comme suit :
2ij
ij c ij
rv ( P gL P (r ))
8L
(2.16)
62
où
ij i jP P P (2.17)
nw f w ij fz (l z ) (2.18)
nw f w ij fz (l z ) (2.19)
L’équation (2.16) déduite est appelé équation de Washburn (Washburn, 1921). Cette formule
montre deux propriétés particulières de comportement du système diphasique au voisinage du
ménisque. Tout d’abord, le système se comporte comme une pseudo phase unie avec une seule
vitesse commune pour les deux phases et avec une viscosité et une masse volumique moyennée
entre les viscosités et les masses volumiques de deux phases fluides.
Ayant un volume supposé négligeable devant le volume des pores, le temps de séjour du
ménisque dans le capillaire n’est pas pris en compte dans notre modèle. La position locale du
ménisque dans le capillaire zf { un instant donné n’est donc pas identifiée dans les simulations.
Dans notre approche, les expressions de la viscosité et de la masse volumique effective
(équation (2.18) et équation (2.19)) ont été reformulées en introduisant la saturation moyenne
entre les deux pores adjacents i et j connectant le capillaire. Ce terme évolue en fonction du
temps et par conséquent, il tient compte indirectement de l’évolution de l’interface dans le
capillaire. Les nouvelles expressions déduites peuvent être exprimées comme suit :
nw ij w ijS (1 S ) (2.20)
nw ij w ijS (1 S ) (2.21)
avec
ij i jS S S 2 (2.22)
63
2.1.3.2 ALGORITHMES DE DEPLACEMENT
La modélisation du processus de drainage a nécessité d’implémenter des règles d’invasions
(Koplik, 1985 ; Paneflilov, 2005). Notre démarche est similaire à celle de Nordhaug (2003) qui a
négligé les effets de la capillarité dans les pores et qui a pris en compte une interface unique sur
la limite entre un pore et un capillaire. Lorsque la chute de pression ∆Pij dans le capillaire
dépasse la pression capillaire propre du capillaire Pc(rij) (∆Pij >= Pc(rij)), l’interface eau/DNAPL
devient mobile et avance rapidement dans le capillaire. Dans le cas inverse, l’interface reste
immobile et le capillaire est considéré bloqué par effet de capillarité (BC) : la conductance de
l’écoulement est définie dans l’équation du flux qui est considérée comme nulle (Gij = 0) dans ce
cas.
La disposition des fluides dans les pores adjacents illustrée par la figure (FIG.2.4) (1) n’est pas
unique. Il existe trois autres possibilités : (2) le ménisque est inversé (ainsi la phase eau est en
haut du capillaire), (3) le capillaire contient deux ménisques (les pores adjacents sont
complètement remplis par la phase non mouillante et le capillaire est rempli par la phase
mouillante), (4) aucun ménisque n’est présent dans le capillaire. Toutes ces configurations sont
prises en compte dans le modèle en considérant différentes expressions de l’équation du débit
dans les capillaires. Lorsque le capillaire comporte un ménisque, le flux est décrit par l’équation
de Washburn (1921). A l’inverse, lorsqu’aucun ménisque n’est présent dans le capillaire, le flux
est décrit par Poiseuille. Les expressions de débit associées aux différentes configurations de
déplacement sont données comme suit :
(1) une interface existe dans le capillaire, le pore i est rempli en DNAPL et le pore j est rempli
en eau
- - - - ( - -ij ijij ij i j w c(r ) ij ij i j c(r )Q ( P (z z ) g P ) G ( P z z ) g P ) (2.23)
(2) une interface existe dans le capillaire. Le pore i est rempli en eau et le pore j est rempli en
DNAPL
- - -ij ij i j w c ij ij ij i j c ijQ ( P (z z ) g P (r )) G ( P (z z ) g P (r )) (2.24)
(3) deux interfaces existent dans le capillaire. Le pore i et le pore j sont complètement remplis
en DNAPL.
64
- - - - - -
- -
ij ij i j w c ij ij ij i j c ij
ij i j w c ij ij ij i j c ij
Q ( P (z z ) g P (r )) G ( P (z z ) g P (r ))
( P (z z ) g P (r )) G ( P (z z ) g P (r ))
(2.25)
θ est une fonction pondérale introduite pour exprimer mathématiquement la condition de
déplacement de l’interface eau/DNAPL dans le capillaire. Elle est définie comme suit :
1, si x 0
0, si x 0(x)
(2.26)
(4) aucune interface n’est présente dans le capillaire.
- -ij ij ij i jQ G ( P g(z z ))
(2.27)
L’indice α réfère { la phase fluide dans le capillaire. α = nw si le DNAPL occupe le capillaire et α =
w indique si l’eau occupe le capillaire.
ij i jP P P (2.28)
4ij
ij
ij
rG
8 l
(2.29)
Notons que
ij jiQ Q (2.30)
Il est question de spécifier pour chaque capillaire l’expression de débit { appliquer pour
quantifier le débit dans le capillaire. Le choix dépend de la disposition des fluides dans les pores
adjacents (pores complètement remplis d’une seule phase fluide ou contenant les deux phases
fluides simultanément) et l’état de remplissage du capillaire par les fluides. Le principal but de
notre approche de calcul est d’établir une saturation seuil afin d’avoir des comparaisons avec les
saturations en DNAPL dans les pores adjacents. La considération des saturations résiduelles
dans les pores n’est pas prise en compte dans le modèle et par conséquent la valeur de la
saturation seuil qui est prise égale à 1. Le tableau 2.1 regroupe l’ensemble des règles qui peuvent
65
être adoptées pour caractériser la configuration de déplacement dans chaque capillaire du
réseau.
Sj<1 Sj=1
Si <1 eau DNAPL ou (BC)
Si =1 DNAPL ou (BC) DNAPL
Tableau.2.1: Règles de déplacement dans un capillaire identifiant le type de fluide déplaçant dans le
capillaire. Si et Sj représentent les saturations en DNAPL dans les pores i et j. (BC) désigne bloqué par effet
de capillarité.
Un capillaire donné présentant une interface peut être bloqué par effet de capillarité (Gij = 0) ou
contient de l’huile. Dans le cas, où la pression capillaire n’intervient pas, nous indiquons le type
de fluide (eau ou huile) qui occupe le capillaire en question suivant la saturation des pores en
DNAPL (fluide déplaçant) qui lui sont connectés.
2.1.4 CALCUL NUMERIQUE DU CHAMPS DE PRESSION ET DE SATURATION
2.1.4.1 FORMULATION MATHEMATIQUE DES EQUATIONS
Les fluides sont considérés incompressibles, l’application de la conservation de la masse dans
chaque pore du réseau conduit au système d’équations linéaires suivant :
eij i
j
q Q (2.31)
i réfère aux pores internes du réseau.
j : réfère aux pores voisins au pore i.
qij : représente le flux sortant du pore i vers les pores j.
Qie : indique que le débit externe entrant dans le pore i est nul lorsque le pore n’appartient pas à
la face limite du réseau.
L’insertion de l’expression de débit (Equation 2.23 – Eq2.27) dans l’équation (2.31) conduit à un
système d’équations linéaires :
66
ij
ij i j w c ij ij i j c ij ij i j w c ijij (1) ij (2)
C( P (z z ) g P (r )) ( P (z z ) g P (r ) ( P (z z ) g P (r ))
ij
ij i j w c ij ij i j c ij ij ij i jij (4)
C( P (z z ) g P (r )) ( P (z z ) g P (r ))] G ( P (z z ) g)
(2.32)
ij ij
i j i j c ij ij w c ij i j i j c ij(ij) (3)
C C(p p (z z ) g P (r )) [ ( P (zj zi) g P (r )) (p p (z z ) g P (r ))
Le système des équations obtenu peut être reformulé { l’aide de système matricielle en
déplaçant les termes de gravité et les termes connus issus des conditions aux limites vers la
composante droite de système des équations. L’équation matricielle obtenue est donc la
suivante :
ij i iA X B (2.33)
Les indices i et j indiquent tous les pores où la pression est inconnue. Aij est une matrice ayant
pour terme les conductances des capillaires. Les éléments de cette matrice dépendent de la
coordination de chaque pore (nombre des pores voisins) du réseau ainsi que des configurations
des fluides dans les capillaires. Xi sont les éléments inconnus de vecteur pression. Bi contient les
termes des conditions aux limites ainsi que les termes de gravité.
2.1.4.2. RESOLUTION DU SYSTEME D’EQUATION
La méthode appliquée pour constituer le système d’équations complet a consisté { assigner une
équation à chaque pore du système. Cette méthode a pour avantage de mener une matrice du
système d’équations dont les seuls éléments non nuls sont concentrés sur sept (réseau en trois
dimensions) diagonales et sous diagonales bien définies. De plus, la matrice du système
d’équations est toujours symétrique. Le système permet donc l’usage de méthodes de
résolutions tenant compte de la position des éléments non nuls qui sont moins exigeantes en
termes de mémoire. Trois méthodes de résolutions des systèmes linéaires sont disponibles sous
fortran 95 ou 90. Elles ont été testées pour résoudre le système d’équation : (i) la méthode des
gradients conjugués (bi-conjugués stabilisés), (ii) la méthode LQ symétrique et (iii) la méthode
directe.
67
La méthode optimale pour les simulations dépend de l’architecture de l’ordinateur disponible.
Nous avons choisi la méthode offrant, pour une même précision de résultats, le calcul le plus
rapide pour nos cas tests. Lors de l’utilisation d’un processeur mono-cœur, la méthode des
gradients bi conjugués stabilisés pré conditionnée PGCET par une factorisation LU incomplète
s’est avéré la plus appropriée. Sur un processeur { deux cœurs, la méthode directe était la plus
rapide, probablement de part la bonne qualité de la parallélisation effectuée par le compilateur
fortran Intel implémenté. Dans le cadre de notre recherche, nous avons utilisé un solveur direct
basé sur l’algorithme uni frontal/multi frontal qui est inclus dans la librairie UMFPACK2.2 (Davis
et Duff, 1999).
2.1.4.3 CALCUL DE CHAMPS DE SATURATIONS
Les saturations ont été déterminées par l’identification d’un temps caractéristique Tmin
correspondant au remplissage complet d’un pore donné du réseau. Le temps de séjour des
ménisques dans les capillaires est négligé. Tout d’abord, les débits volumiques du fluide
envahissant les capillaires sont déterminés à partir du champ de pression calculé. Le rapport du
volume Vi de chaque pore du réseau par la somme des débits ∑Qij dans les capillaires qui les
connectent avec les pores voisins, donne le temps nécessaire Ti (Ti=Vi/∑Qij ) pour remplir
complètement ce pore. Le temps caractéristique Tmin est alors défini comme le minimum de
toutes les valeurs Ti calculées. Le nouveau champ de saturation est alors déterminé selon la
relation linéaire suivante :
ijn 1 ni i min
i
QS S T
V
(2.34)
: nouvelle saturation en fluide déplaçant dans le pore i
: saturation en fluide déplaçant dans le pore i au pas du temps précédant
∑Qij : somme des débits volumiques dans les capillaires liés au pore i
Selon la définition du pas de temps, un seul pore est complètement saturé en fluide déplaçant à
chaque itération. La stabilité des nouvelles interfaces est testée sur la base des règles adoptées
(cf. tableau 2.1). Le nouveau champ de pression est ensuite calculé et la procédure du calcul des
saturations est répétée.
68
Afin de connaître la saturation en DNAPL de notre milieu poreux, une saturation moyenne dans
une zone donnée du réseau est définie comme suit :
i ii Nvolmoy
ii Nvol
V SS
V
(2.35)
où Nvol correspond { l’ensemble des pores dans la zone choisie du réseau. Vi et Si sont
respectivement le volume et la saturation élémentaire de chaque pore appartenant à la zone
considérée.
2.1.5 ORGANISATION GLOBALE DE CALCUL
2.1.5.1 INITIALISATION DU RESEAU
Au départ, nous générons le réseau : à chaque pore est attribué un rayon et à chaque capillaire
est affecté un rayon et une longueur. Ces grandeurs sont distribuées aléatoirement suivant une
classification statistique (cf. section 2.4). L’ensemble des objets sont remplis par la phase eau. La
pression dans les différents pores est initialisée avec une valeur donnée.
2.1.5.2 CONDITION D’ARRET DE CALCUL
La considération des saturations irréductibles n’est pas prise en compte dans le modèle. Le
critère d’atteinte du régime statique est défini par conséquent différemment. On définit les
séquences de déplacement comme des séries d’événement (envahissement pore par pore).
Chaque déplacement dans un capillaire est caractérisé par une pression seuil d’entrée. Dans ce
contexte, le déplacement aura lieu lorsque la phase envahissante est franchie. Pour chaque
distribution de pressions, tous les mouvements possibles de chaque interface sont testés jusqu'à
aucun déplacement ne soit possible. Dans ces conditions, on dit que les conditions capillaires
sont satisfaites et le calcul est alors abandonné.
2.1.5.3 ALGORITHME DE RESOLUTION
Une simulation typique consiste en une succession d’étapes bien définies similaire à une
discrétisation implicite en pression et explicite en saturation (Aziz et Settari, 1979). L’ensemble
de ces étapes peuvent être synthétisées comme suit :
1. Définition de la configuration des fluides dans le réseau et des conditions aux limites imposées
sur les faces limites.
69
2. Analyse de la configuration des fluides dans chaque capillaire et identification de l’équation
appropriée de débit à appliquer pour chaque capillaire dans le réseau.
3. Construction d’un système d’équations et calcul du champ de pression.
4. Quantification des débits volumiques dans les capillaires contenant des ménisques mobiles à
partir du champ de pression. Le champ de pression est également sauvegardé pour être utilisé
dans l’identification de fluide qui s’écoule dans chaque capillaire du réseau (eau, huile, bloqué
par effet de capillarité) dans le pas de temps suivant.
2.2 QUANTIFICATION DES PARAMETRES DE LA DISTRIBUTION DE
LA TAILLE DE PORES ET DE CAPILLAIRES
2.2.1 PRINCIPE DE LA DEMARCHE
Le milieu poreux modélisé est représenté par un réseau de pores et de capillaires. La
distribution de la taille des pores et des capillaires est générée d’une manière aléatoire par une
loi statistique basée sur l’introduction d’une taille minimale, moyenne et maximale (rmin,rmoy,rmax)
spécifiés pour les pores et les capillaires. Afin de s’approcher de la réalité et pouvoir utiliser le
modèle pour simuler les expériences de laboratoire, nous avons procédé à une évaluation des
paramètres réels dans la génération du réseau des pores et des capillaires du milieu poreux
utilisé dans l’expérimentation (sable H2F). En se basant sur les différentes approches
répertoriées dans la littérature (voir Annexe A) pour l’exploration in situ de la structure poreuse
du milieu poreux, nous avons pu élaborer un concept pour pouvoir quantifier les paramètres
réels du modèle géométrique. Face à la non disponibilité des techniques expérimentales
(tomographie à rayon X) et d’une plate forme numérique pour générer un empilement
numérique de milieu poreux, nous avons appliqué l’approche proposée par Assouline (1997)
pour déduire une distribution de la taille des pores et des capillaires à partir de la courbe
granulométrique de milieu poreux mise à notre disposition. Les distributions obtenues ont été
ensuite analysées statistiquement pour évaluer les paramètres de modèle réseau. L’empilement
multi composant des sphères bien qu’ il est loin de représenter la majorité de milieu poreux, a
l’avantage de représenter un système géométrique qu’on peut l’interpréter { l’aide de solutions
mathématiques. L’approche de la probabilité proposée par Assouline (1997) représente une
solution qui permet d’établir un lien entre la distribution de la taille des grains et la distribution
des vides.
70
2.2.2 APPLICATION DE L’APPROCHE RETENUE POUR LE CAS D’ETUDE
2. 2.2.1 MODELE THEORIQUE
Considérons un empilement aléatoire et dense des sphères caractérisé par une distribution de
la taille des particules définie par une fonction de densité de probabilité f(r). Chaque groupe des
quatre sphères en configuration de chevauchement par binôme constitue un tétraèdre
s’appuyant sur les centres des sphères (FIG 2.4). Ce type de discrétisation assimile que le plus
grand volume de vide se trouve au centre des tétraèdres et que les constrictions les plus étroites
se situent sur les faces des tétraèdres. La taille de la cavité centrale du tétraèdre peut être
affectée { un pore dans notre modèle réseau et la taille de l’espace vide généré sur les faces peut
correspondre à la taille des capillaires connectés aux pores.
2.2.2.1.1 Evaluation de la taille des pores et des capillaires dans le modèle
d’empilement
La taille du pore est assimilée { la taille maximale de la sphère qui peut s’inscrire entre les
quatre sphères chevauchées constituant le tétraèdre. La taille de chaque capillaire est assimilée
à la taille maximale de la sphère qui peut se marquer entre trois sphères empilées appartenant
au même groupe de sphères.
Un tétraèdre unité dans l’empilement constitué d’un groupe de 4 sphères de rayons r1, r2, r3, r4
permet de générer un pore de rayon éventuel rp connecté à quatre capillaires de rayons
éventuels rc1, rc2, rc3 et rc4 (FIG.2.4). Mathématiquement, la taille du pore et des capillaires peut
être déterminée par des considérations géométriques basées sur la théorie de Soddy (Soddy,
1921).
-1
2 24 4 4
i 1 i 1 i 1i i i
p
1 1 13 2
r r rr
2
(2.36)
-1
2 23 3 3
i 1 i 1 i 1i i i
ci
1 1 12
r r rr
2
(2.37)
71
rp rc1
rc2
rc3
rc4
rp rc1
rc2
rc3
rc4
ri réfère à la taille des sphères constituant le tétraèdre.rci réfère à la taille des 4 capillaires
construits
(a)
(a) (b)
FIG.2.4: Illustration de la discrétisation de l’empilement de sphères suivant des tétraèdres (a)quatre
sphères en configuration de chevauchement dans le tétraèdre (b) Approximation de l’espace poral par un
pore interstitiel connecté à 4 capillaires de rayons r1,r2,r3 et r4.
2.2.2.1.2 Calcul de la densité de probabilité de pores et de capillaires dans
l’empilement
La probabilité de générer un tétraèdre unité est proportionnelle à la probabilité de trouver
chacune des quatre sphères que peuvent contribuer à sa génération et à la probabilité que
chaque paire de sphères parmi les quatre soient en contact.
La possibilité de trouver une sphère de rayon ri susceptible de construire un tétraèdre est
proportionnelle à sa taille et à sa densité de probabilité f(ri) dans l’empilement. Elle est
donnée comme suit :
3i iP(r ) f(ri)r (2.36)
La probabilité Pm(r1 ,r2,r3,r4) de constituer un groupe de quatre sphères est donc égale au produit
de la probabilité de trouver chacune des quatre sphères appartenant au groupe.
43
m 1 2 3 4 i 1 2 3 4 1 2 3 4i 1
P (r ,r ,r ,r ) P(r ) f(r )f(r )f(r )f(r )(r r r r )
(2.37)
72
La probabilité Pc(rj ,rk) de trouver une paire de sphère (de rayon rj et rk) du groupe en contact est
définie comme suit :
2c j k j k kP (r ,r ) (r r ) /(r )
(2.38)
La probabilité Pc(r1,r2,r3,r4) pour que les sphères de chaque groupe de 4 se touchent par binôme
est donnée par :
c 1 2 3 4 c 1 2 c 1 3 c 1 4 c 2 3 c 2 4 c 3 4P (r ,r ,r ,r ) P (r ,r )P (r ,r )P (r ,r )P (r ,r )P (r ,r )P (r ,r ) (2.39)
La probabilité de constituer un tétraèdre unité à partir du groupe de quatre sphères est donnée
par la combinaison de différentes probabilités. Elle peut être exprimée comme suit :
1v m 1 2 3 4 c 1 2 3 4g(r )=A P (r ,r ,r ,r )P (r ,r ,r ,r )
(2.39)
avec
1 2 3 4
m 1 2 3 4 c 1 2 3 4r r r r
A= P (r ,r ,r ,r )P (r ,r ,r ,r ) (2.42)
A est un facteur de normalisation.
Considérons toutes les combinaisons possibles des quatre sphères qui peuvent se trouver en
position de chevauchement, une distribution en taille des pores et alors quatre distributions en
taille des capillaires peuvent être calculées.
2.2.2.2 CALCUL DE LA FONCTION DE REPARTITION DE LA TAILLE DES GRAINS A PARTIR DE
LA COURBE GRANULOMETRIQUE
Au sein d'un même échantillon, les particules solides ne sont pas uniformes mais présentent des
tailles et des formes différentes. L'approche couramment utilisée consiste à discrétiser la courbe
granulométrique en un certain nombre de classes i, définies par un pourcentage pi et un
diamètre moyen équivalent di. Le pourcentage pi de la classe de diamètre di correspond au
rapport entre le volume de la classe de diamètre di divisé par le volume total de la phase solide
(toutes classes confondues). La répartition granulométrique peut être discrétisée autrement afin
de décrire la distribution de la taille des particules constituant le milieu granulaire. Une fonction
de répartition, notée f, est introduite telle que f(d) représente la probabilité de présence des
73
particules de la classe d, dont le diamètre est compris dans l’intervalle d - ∆d/2 et d + ∆d/2,
lorsque ∆d tend vers 0. Cette fonction de répartition peut être donnée par des modèles de
référence lois dites normales, log-normale, et de Gaudin-Schumann conduisant à une meilleure
représentation de la distribution de la taille des particules. Dans notre étude, nous approchons la
répartition granulométrique du milieu poreux par une loi normale gaussienne. La distribution
de la taille des grains est utilisée comme données d’entrée pour le modèle d'empilement
appliqué pour évaluer la taille des pores et des capillaires. La loi normale utilisée pour la
discrétisation de la distribution de la taille des grains est décrite part la fonction de densité de
probabilité suivante :
250
gg
d d1 1f(d) exp( ( )
22
(2.42)
où d50 représente le diamètre moyen du milieu poreux et σg correspond { l’écart type de la
distribution.
L’écart type σg est un paramètre important qui mesure l’étendue de la courbe granulométrique.
Il peut être calculé en fonction des diamètres caractéristiques d84 et d16. Sous l’hypothèse que la
distribution suive une loi normale, l’écart entre le d16 et le d84 peut représenter deux fois la
valeur de l’écart type σg.
84 16g
d d
2
(2.42)
Le diamètre moyen d50 représente la tendance centrale de la courbe granulométrique. Il décrit la
taille de particules du milieu poreux pour lequel la valeur de la distribution cumulée est de 50%.
FIG.2.5 : Courbe granulométrique du sable H2F. Sable moyen utilisé dans notre expérimentation.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0,01 0,1 1
d (mm)
cum
ula
tiv
e f
req
ue
ncy
(%
)
d50
74
La courbe granulométrique du sable H2F est illustrée par la figure (FIG.2.5). Dans le cas du sable
H2F, les paramètres d50 et σg ont été déterminé à d50 = 0.4 mm et σg = 0.0125.
La discrétisation de la distribution de la taille des particules induite par la transformation
gaussienne est illustrée dans la figure (FIG.2.6). Chaque classe de particules solides est
représentée par une sphère de rayon Ri et de densité de probabilité f(Ri).
FIG.2. 6: Courbe de la discrétisation de la distribution granulométrique selon une répartition gaussienne.
2.2.2.3 QUANTIFICATION DE RAYONS DES PORES ET DES CAPILLAIRES POUR LE CAS DU
SABLE (H2F)
Le nombre de sphères considérées dans le modèle d’empilement est de 21 sphères de tailles
différentes. Ce nombre relativement élevé de sphères permet de garantir la fiabilité des
statistiques sur les paramètres à évaluer. La gamme de rayon des sphères varie entre une valeur
minimale de 0.05 mm et une valeur maximale de 0.34 mm, valeurs limites déterminées à partir
de la distribution granulométrique. Le rapport entre la taille maximale et la taille minimale
vérifie la condition d’empilement défini par Wiss (1960).
La procédure d’empilement des sphères conduit { un nombre élevé de tétraèdres possibles
équivalent au cardinal d’une combinaison d’un groupe de quatre parmi 21 éléments
(!4!17
!21421
C =5985). La représentation de l’intégralité des valeurs obtenues ne permet pas
d’obtenir une forme représentative de la distribution de la taille des pores ou de celle de
capillaires. Pour pouvoir exploiter les résultats, nous devons procéder à un tri du champ de
valeurs et sa répartition suivant des classes d’intervalles égales, où chaque classe comprend
environ 300 valeurs. De chaque classe une valeur a été sélectionnée pour représenter une
0
0, 3
0, 6
0, 9
1, 2
0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0,5 0,6 0,7 0 ,8
d(mm)
f(d
)
75
0
0,06
0,12
0,18
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07
rp(mm)
g(r
p)
distribution équivalente de la totalité des champs de valeurs. La valeur choisie correspond à la
valeur maximale de chaque classe, cependant sa probabilité de densité est la somme cumulée de
toutes les probabilités des éléments constituant la classe.
2.2.2.3.1 Analyse de la distribution de la taille des pores
La distribution de la taille des pores calculée par le modèle d’empilement présente une
similitude avec la distribution de la taille des grains constituant la structure solide du sable (voir
FIG.2.7. En effet, la forme de la courbe graphique représentative et peut correspondre à une
répartition gaussienne. Le test de normalité de la distribution est effectué par la méthode de
Kolmogorov-Smirnov. Ce résultat est en bon accord avec les résultats des travaux de Assouline
(1997) qui ont déduit une répartition gaussienne de la taille des pores à partir d’une distribution
des particules qui suit elle-même une loi normale. La distribution obtenue est exploitée par la
suite pour évaluer une taille minimale, moyenne et maximale des pores du milieu.
Les distributions étant difficiles { utiliser { l’état brut, on est amené { synthétiser l’information
par des termes qui décrivent la tendance centrale et la dispersion de champs de valeur de la
distribution. Les paramètres du modèle à savoir rmin, rmoy et rmax utilisé pour générer la taille des
pores sont déterminés à partir des caractéristiques statistiques de la courbe décrivant la
distribution de la taille des pores en termes de valeur moyenne et de l’écart type. La valeur
moyenne correspond { la médiane de la courbe. L’écart type est proportionnel { la largeur de la
courbe décrivant la distribution.
FIG.2.7: Distribution de la taille des pores déduite { partir du modèle d’empilement.
Une valeur minimale et maximale de la taille des pores peut être définie par la valeur
correspondant { un étalement d’un ordre de grandeur de l’écart type par rapport { la valeur
76
moyenne. Par conséquent, un étalement par rapport à la taille moyenne correspond à une fois
l’écart type, deux fois l’écart type et trois fois l’écart type conduit { trois gammes de valeur de la
taille des pores. Les résultats de cette analyse sont résumés dans le tableau 2.1.
rmin (10-3 mm) rmoy (10-3 mm) rmax (10-3 mm)
gamme 1 42 48 57
gamme 2 36 48 61
gamme 3 30 48 67
Tableau 2. 1 : Gammes de variation de la taille des pores déduites de la distribution obtenue par le modèle d’empilement.
2.2.2.3.2 Interprétation de la distribution de la taille de capillaires
Le modèle d’empilement utilisé permet d’obtenir quatre distributions différentes (voir FIG.2.8)
qui peuvent décrire la taille des capillaires. Les distributions obtenues ont une forme variée. De
plus, leurs courbes relatives sont étalées les unes par rapport aux autres et permettent aussi
d’obtenir une large gamme de variation de la taille des capillaires. Une étude statistique similaire
à celle pratiquée pour la distribution de la taille des pores a permis de déterminer une valeur
minimale, moyenne et maximale de la taille des capillaires pour chacune des distributions
modélisées.
FIG.2.8: Différentes distribution de la taille des capillaires déduites de modèle d’empilement.
0
0,04
0,08
0,12
0,16
0,2
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025
rci(mm)
g(r
ci)
rc1
rc2
rc3
rc4
77
Le rayon moyen donné par la première distribution est de l’ordre de 30 10-3 mm, celui de la
courbe la plus étalée est de l’ordre de 35 10-3 mm. Vu la faible différence entre les deux valeurs
estimées de la taille moyenne, nous nous limitons à une seule distribution (correspond à rc1)
pour déduire une valeur minimale, moyenne et maximale des capillaires. Les différentes
combinaisons sont résumées dans le tableau 2.2
L’utilisation de la théorie de l’empilement couplée { une approche statistique a permis de
déduire une distribution de la taille des pores et des capillaires de milieu poreux réel à partir de
la courbe granulométrique. L’analyse statistique de différentes distributions a permis de
délimiter le champ de variation de la taille des pores et des capillaires. Par conséquent,
différents triplets (rmin, rmoy, rmax) décrivant la taille minimale, moyenne et maximale des pores
ou des capillaires ont pu être introduits pour générer notre modèle réseau schématisant le sable
H2F.
rmin (10-3 mm) rmoy (10-3 mm) rmax (10-3 mm)
Gamme 1 26 30 36
Gamme 2 22 30 40
Gamme 3 17 30 46
Tableau 2.2: Gammes de variation de la taille minimale, moyenne et maximale des capillaires issues du
modèle d’empilement pour le sable H2F.
Les propriétés macroscopiques du milieu poreux en terme de porosité (= 40%) et de la
perméabilité intrinsèque (k = 9.10-11 m2) mesurées au laboratoire peuvent servir comme
facteurs d’ajustement des rayons de pores et de capillaires évalués pour les utiliser dans les
simulations numériques finales. Une analyse a été menée pour affiner notre choix final des
rayons.
2.2.3 DISCUSSION DE CHOIX DES PARAMETRES
Compte tenu des hypothèses de modèle (cf 2.2.1), la porosité du milieu poreux est exprimée
uniquement par la part de volume des pores. Par ailleurs, les pores ne participent pas à
l’écoulement et la résistance { l’écoulement est uniquement représentée par les capillaires. La
porosité est donc directement liée à la taille des pores cependant la perméabilité intrinsèque du
78
modèle dépend de la taille des capillaires. Les valeurs de ces deux propriétés macroscopiques
pour les différents réseaux générés par les différentes combinaisons de la taille des pores et des
capillaires issus du modèle d’empilement sont résumées dans le tableau 2.3. La distance L qui
caractérise la distance séparant deux pores adjacents est identique dans tous les réseaux
construits à partir des différentes combinaisons des tailles de pores et de capillaires. La valeur
de ce paramètre a été fixée à L = 0.014 mm, elle est supérieur à un multiple de la taille maximale
des pores.
Nous constatons que les valeurs de la perméabilité intrinsèque obtenues de différentes
combinaisons des tailles de pores et de capillaires sont inférieures de deux à trois fois par
rapport à la valeur réelle du milieu réel. D’autre part, la porosité du milieu poreux modélisé est
de 10 à 20 % supérieure à la porosité réelle.
Afin d’établir une meilleure corrélation entre les paramètres évalués par le modèle
d’empilement et les propriétés macroscopiques réelles du milieu poreux, nous avons envisagé
les démarches suivantes :
- ajustement des paramètres définissant la relation entre les propriétés macroscopiques du
milieu poreux et la taille des pores pour un cas hypothétique pour lequel le milieu poreux est
représenté par un ensemble de tubes parallèles.
- modification de certaines hypothèses initialement adoptées dans le modèle décrivant les
propriétés macroscopiques d’écoulement.
2.2.3.1 ANALYSE DES RESULTATS SELON UN CAS HYPOTHETIQUE
Nous supposons que le milieu poreux soit constitué d’un ensemble de capillaires rectilignes
parallèles de diamètres individuels d.
Pour un capillaire donné, l’expression de débit volumique en régime stationnaire Q est donnée
par la relation de Poiseuille.
4PQ d
128 L
(2.42)
où P est la différance de pression, L est la longueur du capillaire, µ est la viscosité de fluide dans
le capillaire et d est le diamètre du capillaire
79
Soit n le nombre de capillaires par unité de surface A perpendiculaire au sens de l’écoulement et
k la perméabilité pour les écoulements dans cette direction. Le débit total à travers l’ensemble
de la section A peut être déterminé en additionnant "hydrauliquement" les débits élémentaires
de chaque tube capillaire.
4tQ Pn d
A 128 L
(2.42)
D’après la loi de Darcy, Qt vérifie également :
tQ k P
A L
(2.42)
donc
4dk n
128
(2.42)
En supposant, la porosité du modèle discret égale à la fraction de surface occupée par les pores
dans une section plane du milieu, nous obtenons la relation suivante :
2dn
4
(2.42)
L’introduction de l’équation (2.48) dans (2.47) donne la relation suivante
32
ε=
2dk (2.42)
Ainsi, pour une porosité donnée, la perméabilité varie comme le carré du diamètre des
capillaires. La chute de pression pour un débit de fluide donné augmente (ou bien le débit pour
une chute de pression donnée diminue) très rapidement lorsque la taille des capillaires décroît
même si le volume poreux total reste constant.
Pore capillaire propriétés macroscopiques
rmin (10-6mm)
rmoy (10-
6mm)
rmax (10-6
mm)
rmin (10-6
mm)
rmoy (10-6
mm)
rmax (10-6
mm)
Porosité
(%)
perméabilité intrinsèque (10-11
mm2)
42 48 56 26 30 36 47 3.79
80
Tableau.2. 2 : Propriétés macroscopiques du modèle discret calculé à partir de différentes combinaisons
de la taille des pores et des capillaires. Sans pris en compte de l’écoulement dans les pores.
D’après la relation (2.49), pour reproduire la perméabilité intrinsèque du milieu poreux, le
diamètre moyen à attribuer aux capillaires en supposant que la porosité reste constante (40%)
est de l’ordre 84.10-6 m. En admettant cette taille des capillaires, la taille de pores à considérer
pour reproduire la porosité réelle de milieu poreux ( = 40 %) devient trop petite par rapport la
taille de capillaire (rp = 23.10-5m). Ceci est en contradiction avec la réalité et les hypothèses
prises en compte dans le modèle qui considèrent que le volume des capillaires est négligeable
devant celui des pores.
Face { cette difficulté et afin d’affecter une taille de capillaires largement inférieurs à la taille des
pores et de s’approcher au mieux des propriétés macroscopiques réelles, nous avons pris en
compte l’écoulement dans les pores.
2.2.2.3.3 Amélioration de modèle
Dans notre modèle discret, l’écoulement dans les pores est négligé et seule la conductance du
capillaire a été prise en compte dans l’expression du flux volumique entre deux pores adjacents
du réseau. La prise en compte de la résistance { l’écoulement dans les pores fait diminuer la
perte de charge globale. La perméabilité équivalente de milieu poreux augmente aussi pour le
42 48 56 22 30 40 47 3.85
42 48 56 17 30 46 47 4.34
36 48 61 26 30 36 49 3.59
36 48 61 22 30 40 49 3.62
36 48 61 17 30 46 49 4.54
30 48 67 26 30 36 53 3.66
30 48 67 22 30 40 53 3.98
30 48 67 17 30 46 53 4.54
81
même débit considéré. Pour des raisons de simplifications, nous proposons l’intégration d’une
conductance harmonique qui prend en compte des conductances de pores et de capillaires
pondérées aux dimensions relatives des pores et des capillaires. La nouvelle expression de la
conductance est donnée comme suit :
ij ij ji
ij i j
l l ll1( )
G G 2 G G
(2.42)
où, lij, li et lj correspondent respectivement à la longueur du capillaire connectant les pores i et j,
la longueur dans le pore i (correspond au rayon du pore i) et à la longueur du pore j (correspond
au rayon du pore j). Gij, Gi et Gj correspondent respectivement aux conductances du capillaire du
pore i et u pore j. Les conductances sont calculées selon l’équation 2.8 (cf section 2.2.3.1).
FIG.2.9: Calcul de la conductance hydraulique harmonique dans un capillaire.
L’intégration de la nouvelle expression de la conductance permet d’augmenter la perméabilité
intrinsèque du milieu poreux modélisé pour les mêmes combinaisons fournies par le modèle
d’empilement (voir Tableau.2.4). Les triplets (rmin, rmoy,rmax) pour les pores et les capillaires
choisis dans les simulations finales sont ceux qui permettent une perméabilité intrinsèque et
une porosité beaucoup plus proche des valeur réelles.
Pore Capillaire propriétés macroscopiques
rmin (10-6mm)
rmoy (10-
6mm)
rmax (10-6
mm)
rmin (10-6
mm)
rmoy (10-6
mm)
rmax (10-6
mm)
Porosité
(%)
perméabilité intrinsèque (10-11
mm2)
42 48 56 26 30 36 47 12.87
42 48 56 22 30 40 47 13.12
42 48 56 17 30 46 47 8.6
82
Tableau.2. 3: Propriétés macroscopique du modèle discret calculé à partir de différentes combinaisons de
la taille des pores et des capillaires avec prise en compte de l’écoulement dans les pores.
36 48 61 26 30 36 49 12,84
36 48 61 22 30 40 49 13.42
36 48 61 17 30 46 49 7.64
30 48 67 26 30 36 53 11.73
30 48 67 22 30 40 53 11.73
30 48 67 17 30 46 53 12.05
84
CHAPITRE 3
MATERIELS ET METHODES
3.1 TECHNIQUE DES CAPTEURS A FIBRES OPTIQUES
3.1.1 GENERALITES SUR LES CAPTEURS A FIBRES OPTIQUES
Une fibre optique est un guide d’onde qui exploite les propriétés réfractrices de la lumière
(FIG.3.1). Elle est habituellement constituée d’un matériau diélectrique d’indice nc appelé cœur
de la fibre, et elle est entourée d’une gaine d’indice ng appelé gaine optique. Le cœur de la fibre a
un indice de réfraction légèrement plus élevé que la gaine et peut donc confiner la lumière qui se
trouve entièrement réfléchie de multiples fois sur chaque interface entre les deux matériaux (en
raison du phénomène de réflexion totale interne. Le plus souvent, une gaine protectrice assure
une protection à la fois mécanique et surtout optique vis à vis de la lumière extérieure.
FIG.3.1: Schéma représentatif d’une fibre optique.
En pratique divers profils d’indice sont utilisés selon le type d’application. Le profil le plus
employé est celui { saut d’indice dans lequel la fibre, constituée de deux zones concentriques
homogènes avec un saut brutal d’indice { l’interface. On peut aussi citer la fibre { gradient
d’indice pour laquelle la variation d’indice est continue et non brutale comme le cas de la fibre {
saut d’indice.
85
Suivant la dimension du cœur, on distingue deux grandes familles de fibre optique: monomode
et multimode. Les fibres monomodes présentent un cœur de quelques microns (3 { 10μm) de
diamètre, elles sont largement utilisées dans l’industrie des télécommunications du fait de leur
large bande passante et leur haut débit de transmission. Les fibres multimodes présentent un
cœur de diamètre relativement important (50-600μm) et une grande ouverture numérique.
3.1.2 PRINCIPE DE PROPAGATION DE LA LUMIERE DANS LA FIBRE
Quelque soit le type de la fibre, un faisceau lumineux sera d’autant mieux guidé qu’il parvient
sous une incidence proche de la normale sur la face d’entrée de la fibre. Comme pour beaucoup
de systèmes optiques, il existe un angle d’admission limite qui détermine le cône d’entrée au-
del{ duquel le rayon n’est plus guidé par la fibre. Cet angle d’acceptance noté θacc définit
l’ouverture numérique (ON) (FIG.3.2).
FIG.3.2 : Principe de guidage de la lumière dans la fibre.
Pour les fibres { saut d’indice, l’ouverture numérique se calcule { l’aide de la loi de Descartes. La
relation qui relie l’ouverture numérique aux indices de réfractions du cœur et de la gaine
optique est donnée comme suit :
22sin gncnaccON (3.1)
Il en résulte que l’ouverture numérique est d’autant plus grande que le saut d’indice est
important.
86
La gamme de fonctionnement de la fibre est définie par l’intervalle d’indice de réfraction pour
lequel la fibre est efficace. La gamme est généralement comprise entre les indices de réfraction
de 1,33 { 1,44. Cette gamme peut paraître étroite, mais si l’on tient compte du fait que les fibres
sont essentiellement envisagées pour la détection des polluants non miscibles en milieu poreux
saturé, on doit alors s’attendre { travailler autour de l’indice de l’eau qui est de 1.3335.
3.1.3 CONCEPT DE CAPTEUR A FIBRE OPTIQUE
Un capteur à fibre optique est un dispositif comprenant une fibre optique permettant de
recueillir des informations représentatives des grandeurs observées par l’intermédiaire du
faisceau lumineux guidée dans la fibre. Le signal lumineux peut être détecté par un photo-
détecteur en délivrant un signal de sortie qui est généralement un signal électrique. La lumière
réfléchie ou transmise par la fibre peut ensuite être modulée en amplitude, courant, fréquence
ou polarisation. Selon la nature de la transduction, les capteurs à fibres optiques peuvent être
intrinsèques où la fibre est elle-même l'élément sensible, ou extrinsèques où la fibre ne sert qu'à
véhiculer le signal optique, le transducteur étant externe à cette dernière.
De manière générale, l’architecture d’un capteur { fibre optique comporte les sous ensembles
principaux suivants (FIG.3.3) :
- émetteur de lumière : Les sources possibles sont les lampes halogènes, les lasers, les
diodes électroluminescentes (DEL), les diodes lasers (DL)… Chacune de ces sources
possèdent des caractéristiques différentes (puissance, cohérence, fiabilité, dimensions,
prix).
- fibre optique : Elle est soit multimode ou soit monomode, { saut ou { gradient d’indice,
elle est le plus souvent en silice.
- transducteur de la lumière : Une des caractéristiques physiques de la lumière
traversant le transducteur (intensité, polarisation, longueur d’onde…) sera modifié par
les caractéristiques de milieu environnant à détecter. Dans ce travail, la zone sensible de
la fibre constitue elle-même cet élément.
- récepteur de la lumière : Ce sont des photodiodes permettant de convertir le signal
lumineux à un signal électrique. La réponse de détecteur varie souvent en fonction de la
longueur d’onde.
- chaîne de traitement du signal : Elle peut comporter des étages d’amplification, des
circuits de filtrage, un démodulateur extrayant l’information liée au paramètre
recherché. Des composantes optiques complémentaires (coupleurs, polariseurs,
87
connecteurs…) sont aussi souvent utilisées et sont important pour le fonctionnemment
du capteur.
FIG.3.3: Architecture d’un capteur { fibre optique
Dans la littérature, différents types de configurations expérimentales pour l’étude et le
développement des capteurs à fibre optique ont été utilisés (Benounis, 2004). Le principe de
fonctionnement de ces capteurs repose sur le fait que lorsque la fibre subit une modification
(mécanique ou chimique), la lumière ne se propage pas de la même façon. D’où l’idée de
supprimer une partie de la gaine optique pour créer une zone sensible de la grandeur physique à
détecter. Cette idée est à la base du développement de différents capteurs utilisés dans différents
domaines (chimie, industrie alimentaire, environnement). Typiquement ces capteurs sont
réalisés à partir de fibres optiques multimodes et monomodes, pour lesquelles soit la structure
des fibres, soit le matériau qui la recouvre a été modifié(e).
3.1.2 MISE AU POINT DES CAPTEURS A FIBRES OPTIQUES
3.1.2.1 PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT DU CAPTEUR
Le centre de recherche et de développement de l’université de Stuttgart «VEGAS», a mis { notre
disposition un capteur { fibre optique destiné { la détection d’une phase DNAPL dans le milieu
poreux. La composante opto-électronique du capteur est intégrée dans un module de mesure qui
Paramètre-perturbateur
Émetteur
Circuit d’alimentation
Récepteur
Traitement de signal
Grandeur physique
Fibre optique
88
peut être branché directement { la fibre équipé d’une fiche SMA (FIG.3.4). Une partie de la gaine
optique de la fibre est enlevée sur une longueur de quelques millimètres de façon { ce que l’onde
évanescente puisse réagir avec le milieu extérieur. Dans le cas d’un milieu non absorbant,
comme l’air ou l’eau, l’indice de réfraction du milieu est réel et son coefficient de réflexion R est
égal { l’unité (R= 1). Par contre, lorsque la partie sensible de la fibre est en contact avec un
milieu absorbant tel qu’un DNAPL : une partie de l’intensité lumineuse s’échappe alors {
l’extérieur de la fibre. Il s’agit de la réflexion totale atténuée ou ATR (Attenuated Total Réflexion)
induite par la différence d’indice de réfraction entre le DNAPL (nDNAPL= 1.48) et celui du cœur. A
la fin de la zone sensible, la fibre comporte un miroir. La lumière réfléchie est extraite avec un
faisceau lumineux et celle-ci est mesurée. La modulation de l’atténuation de la lumière via un
voyant intégré sur le module de mesure donne signe { la présence d’un DNAPL mais ne permet
pas de déterminer le type de polluant et sa qualité.
L’utilisation du dispositif pendant le stage de master pour la détection d’un DNAPL dans le
milieu poreux a conduit à des résultats décevants parce que les fibres ont été défectueuses au
niveau de la zone sensible. Dans la continuité de ces recherches, nous avons mis en œuvre la
conception de nouveaux capteurs. Il s’est avéré nécessaire de refaire les fibres optiques ainsi que
de modifier le module de mesure pour optimiser le système d’enregistrement de signal. Les
étapes de travail ont consisté à la création de la zone sensible dans les fibres, au greffage d’un
miroir sur leur face sortie, à l’ajout d’une sortie analogique sur le module de mesure ainsi qu’{
l’amplification du signal. Les différentes étapes ont été menées en collaboration avec des
techniciens et des ingénieurs de recherches de l’institut de Physique et de Chimie de Strasbourg.
3.1.2.2 CONCEPTION DES CAPTEURS A FIBRES OPTIQUES
3.1.2.2.1 Choix des fibres
Les caractéristiques inhérentes des fibres, comme l’ouverture numérique ou encore le diamètre
du cœur, peuvent influencer la réponse du capteur. Ces paramètres agissent directement sur la
précision et la sensibilité des fibres. Les fibres fines, c'est-à-dire de diamètres très faibles sont
très délicates à manipuler. La fibre est fragilisée en l’absence de gaine mécanique. De même les
fibres de forts diamètres demandent une zone sensible plus longue que les fibres à faible
diamètre, ce qui, l{ aussi, fragilise le capteur. Dans notre étude, aucune attention n’est accordée {
tester des fibres de taille, de nature et d’ouverture numérique (ON) différentes et leur influence
sur la précision et la sensibilité des fibres. Notre choix s’est arrêté sur des fibres optiques de
caractéristiques identiques { celles utilisées par l’équipe de «VEGAS». Il s’agit des fibres optiques
89
multi modes { saut d’indices. Ces fibres présentent un cœur de diamètre de 600 μm et une
ouverture numérique de l’ordre de 0.38.Cette grande ouverture permet une dynamique de
mesure importante (large gamme d’indice de réfraction) et leurs dimensions offrent donc une
bonne résistance mécanique. Ces fibres présentent également un faible poids et une grande
souplesse.
FIG.3.4: Module de mesure développé par «VEGAS ».
3.1.2.2.2 Préparation de la face entrée et sortie des fibres
Les premières modifications apportées aux nouveaux capteurs concernent la préparation de la
face d’entrée recevant le faisceau lumineux incident et la face sortie en vue d’un greffage de
miroir. Les surfaces des deux faces de la fibre doivent être parfaitement lisses et planes car
l’incidence du rayon du faisceau lumineux doit être identique quelque soit son point d’impact
sur la face. De plus la propreté de la surface de la fibre est primordiale pour assurer une bonne
reproductibilité des caractéristiques optiques du capteur. La procédure appliquée est un
polissage au moyen des papiers { polissage diamantées de différents diamètres (15μm, 12μm,
9μm, 6μm, 3 μm). Ces travaux se sont déroulés { l’Institut de Physique et Chimie des Matériaux
de Strasbourg.
Avant d’intervenir sur les deux faces de la fibre, le revêtement mécanique en plastique a été
enlevé. L’opération a été effectuée par coupure avec une lame de scalpel adaptée. Après le
dénudage qui ôte le polymère sans fragiliser la fibre, nous avons effectué un nettoyage avec de
l’acétone qui a permis d’enlever les résidus et de conserver une surface lisse.
3.1.2.2.3 Mise en œuvre de la zone sensible
90
Cette étape a consisté à dénuder la fibre optique sur une longueur de quelques centimètres
(environ 2 cm) en ôtant la gaine optique et mécanique. Les fibres optiques manipulées
possèdent des revêtements et des gaines optiques de nature différente (silice, polyamide). Nous
avons dû utiliser différentes techniques de dénudage. Chacun de ces matériaux correspond à une
procédure bien particulière. L’utilisation d’un objet métallique pour enlever la gaine optique en
silicone peut altérer la qualité de la surface du cœur. Il offre la possibilité d’augmenter la
diffusion de la lumière et ainsi diminuer la sensibilité du capteur. Pour éviter ce risque, nous
avons eu recours à une brûlure de la surface moyennant un briquet. Même avec cette méthode, il
subsiste toujours une petite quantité de la gaine optique. Il suffisait alors de gratter doucement
avec l’ongle et de vérifier chaque fois sous le microscope s’il restait encore des traces de la
gaine. La surface dénudée a été soigneusement rincée et nettoyée avec de l’éthanol et de
l’acétone. La longueur de la zone sensible conditionne sans doute la sensibilité des capteurs.
Cette zone ne doit pas être trop longue car la fibre deviendrait trop fragile, ni trop petite si l’on
souhaite un bon contact entre la zone sensible et la phase DNAPL à détecter.
3.1.2.2.4 Mise en place du miroir
Pour faire réfléchir la lumière, on a placé un miroir { l’extrémité { cause de la structure
cylindrique de la fibre et de la faible épaisseur de la zone de revêtement. Dans notre étude,
différentes techniques de dépôt ont été testées.
Méthode d’argenture (miroir d’argent) : il s’agit d’une méthode manuelle, très simple à mettre
en œuvre. Elle consiste à préparer un réactif "Tollens", solution ammoniacale d'ions d'argent
obtenue par mise en solution d'oxyde d'argent dans l'ammoniaque. Ce réactif se réduit en argent
métallique et se comporte comme un miroir sur la verrerie rigoureusement propre. D’où l’idée
de plonger la face sortie de la fibre dans une solution du réactif de Tollens pour couvrir
l’extrémité de la fibre avec un miroir. L’inconvénient majeur de cette méthode est
l’inhomogénéité du dépôt qui combine l’effet de la rugosité de la couche métallique contribue {
la diffusion de la lumière. Des tests effectués sur les fibres au moyen d’un montage optique
(FIG.3.4) conçu { l’IPCMS, ont montré que la lumière réfléchie est trop faible compte tenu de la
diffusion de la majeure partie de la matière à travers la surface de dépôt. Face à ces résultats peu
encourageants, cette procédure a été abandonnée et une deuxième technique, méthode
d’évaporation thermique.
Méthode d’évaporation thermique : Cette deuxième méthode consiste à introduire la fibre
optique dans une machine d’évaporation thermique sous vide (FIG.3.6). Un système mécanique
permet la rotation de la fibre durant la phase de dépôt pour obtenir un film homogène. La
91
configuration de l’évaporateur exige donc la torsion de la fibre optique lors de sa mise en place
dans la
chambre. L’évaporation de l’aluminium est réalisée sous une pression d’environ 10-7
atmosphères. Dans une enceinte en verre, la face de sortie de la fibre est placée juste en face de
creuset rempli d’évaporat (poudre en barrettes métalliques). Le creuset est chauffé à plus de
1000°C selon la nature de la substance à évaporer. On assiste donc à une ébullition puis à une
évaporation du métal (aluminium) qui se dépose sur la surface polie de la fibre et sur les parois
intérieures de l’enceinte de travail.
FIG.3.5: Montage optique pour tester la fiabilité du dépôt.
Des tests effectués sur les fibres au moyen du même montage optique réalisé ont montré que la
lumière perdue par diffusion à travers la surface de dépôt est négligeable. Le miroir réfléchi la
totalité du la lumière. Aucune quantification de la quantité de lumière réfléchie n’a pu être alors
mesurée. Ceci témoigne d’une grande reproductibilité et homogénéité des dépôts effectués sur
la surface extrême de la fibre. Cependant, le dépôt d’aluminium se dégrade très rapidement et
laser
cœur
gaine
photomètre
dépôt
PC
92
rend la fibre inutilisable. La solution retenue a consisté à ajouter au revêtement le dépôt d’une
couche protectrice. L’épaisseur de revêtement a été suffisamment fine pour minimiser les
perturbations optiques.
FIG.3.6: Chambre d’évaporation thermique.
3.2.3.5 OPTIMISATION DE SYSTEME D’ENREGISTREMENT DE SIGNAL
Le module de mesure tel qu’il a été conçu par «VEGAS» est équipé d’un potentiomètre véhiculant
l’information de la détection de la phase DNAPL via un voyant lumineux (FIG.3.4). Un signe de
détection se traduisait par la modification de la couleur du voyant vire de la couleur verte à la
couleur rouge. Cette procédure de transmission de l’information est qualitative et n’a pas permis
de suivre le processus de détection d’une manière fiable et précise surtout lorsque plusieurs
capteurs ont été utilisés. L’idée est d’enregistrer de manière continue la valeur numérique brute
du signal électrique de la fibre recueillie en terme de tension électrique. La chute de la tension de
signal à un instant donné permet ainsi de repérer la présence de la phase DNAPL.
Cette procédure complémentaire d’acquisition de l’information transmise par la fibre a nécessité
d’équiper les modules de mesure par une sortie analogique pour enregistrer le signal brut. Les
boîtiers de mesure peuvent ainsi être branchés à une unité d’acquisition pour enregistrer les
signaux. L’enjeu posé a été de rendre la chute de signal significatif lorsque la phase DNAPL est
présente sur la zone sensible de la fibre. La méthode adoptée était d’amplifier au maximum le
signal final de sortie en ajoutant des résistances électriques sur la chaine d’amplification du
module de mesure.
93
La figure 3.7 résume le principe de fonctionnement du capteur à fibre optique. Lorsque la fibre
n’est pas en contact avec la phase, l’intensité du signal émis dans la fibre est totalement réfléchie.
D’après les caractéristiques du système, nous enregistrons un signal Io équivalent de l’ordre de 3
Volts. Lorsque la phase contourne la zone sensible de la fibre, une partie de la lumière émise
s’échappe { l’extérieur de la fibre compte tenu de la différence de réfraction entre le cœur de la
fibre et le DNAPL. Cette perte de lumière se traduit par une diminution du signal qui passe de la
valeur Io à la valeur Ir = Io – Ire. Ire réfère la quantité de lumière perdue en terme de signal.
L’amélioration de la chaine d’amplification, a permis d’atteindre une chute de signal de l’ordre
de 0,4 volts en cas de présence du DNAPL sur la zone. Une quantification semble donc être
satisfaisante pour repérer une détection de la phase à un instant donné.
Des tests effectués sur un petit dispositif intégrant les capteurs conçus ont montré que les fibres
restent lors du contact avec l’eau ou le sable autour de sa zone sensible. De plus, la sensibilité du
capteur au DNAPL entourant la zone sensible n’est pas perturbée par la présence du sable où se
déplace le DNAPL. En effet, nous avons enregistré la même réponse du capteur dans le cas où sa
zone sensible est en contact avec le DNAPL sec, ou dans le cas où la fibre est plongée dans un
milieu poreux saturé en DNAPL.
FIG.3.7: Principe de fonctionnement du capteur à fibre optique.
94
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0,01 0,1 1
Diamètre moyen
Tam
isat
(%
)
IFARE
Fournisseur
3.1.3 CONCLUSION RELATIVE A L’UTILISATION DES CAPTEURS A FIBRES OPTIQUES
Des travaux antérieurs (Yuan, 2007) ont montré qu’il était possible d’intégrer des fibres
optiques dans des milieux poreux sans modification significative de leurs propriétés
mécaniques. Il reste à savoir si elles peuvent apporter des informations pertinentes quant au
suivi des cheminements préférentiels d’un DNAPL dans le milieu poreux saturé en eau. On peut
donc imaginer une fibre optique placée à un emplacement donné du milieu poreux capable de
mesurer le temps de passage du front de polluant { cet endroit. La mise en place d’un nombre
donné de fibres à d’autres emplacements de la même section permet de nous fournir des
informations sur la distribution des temps d’arrivée du front sur cette même section. L’analyse
de la distribution des temps d’arrivée permet de caractériser la répartition de la phase DNAPL
dans le milieu poreux.
L’intégration des fibres optiques dans notre approche expérimentale a nécessité la conception
d’un dispositif expérimental bien adapté. Nous présentons par la suite l’ensemble des éléments
constituants le dispositif conçu ainsi que les différentes méthodes expérimentales utilisées pour
aborder les objectifs expérimentaux.
3.2 MATERIELS ET METHODES
3.2.1 MILIEU POREUX
Afin d’étudier l’effet de la texture du milieu poreux sur les phénomènes d’instabilités de
déplacement, deux sables de perméabilités différentes ont été utilisés dans notre étude
expérimentale : le sable fin (H1F) et le sable moyen (H2F).
3.2.1.1 SABLE FIN
Il s’agit d’un sable de quartz fourni par la sablonnière Friedrich, de dénomination commerciale
H1F dont le diamètre de grains est compris entre 0.06 et 0.30 mm. Ce sable est caractérisé par
une porosité de 43% et une masse volumique apparente de 1.59 g/cm3 (Dridi, 2006).
95
Courbe granulométrique du sable H2F
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0,01 0,10 1,00 10,00
Diamètre moyen (mm)
Fré
qu
ence
s cu
mu
lées
(%
)
Fournisseur
Prélèv. sept. 1993
Prélèv. mai 1995
d50 d60d10
FIG.3.8: Courbe granulométrique du sable H1F.
La conductivité hydraulique est de l’ordre de 5.10-5 m/s. Le diamètre moyen d50 est de 0.17 mm
et le coefficient d’uniformité U=d60/d10 est égal à 2. On peut donc considérer la granulométrie de
ce sable comme uniforme (FIG.3.8).
3.2.1.2 SABLE MOYEN
Ce sable de quartz de dénomination commerciale H2F, a une porosité d’environ 40%, une
conductivité hydraulique de l’ordre de 9.10-4 m/s et une masse volumique apparente de
1.59g/cm3. Du fait de sa perméabilité, ce sable H2F peut s’apparenter { une valeur moyenne
trouvée dans l’aquifère alsacien. La composition minéralogique du sable H2F est résumée dans
le tableau 3.1.
Composés SiO2 Al2O3 K2O Fe2O3 Na2O TiO2 MgO CaO
% en masse 97.5 1.28 0.9 0.07 0.07 0.04 0.01 0.01
Tableau.3.1. : Composition minéralogique du sable H2F (Bohy, 2003).
D’après la courbe granulométrique établie par le fournisseur et confirmée par le laboratoire de
l’IMFS/IFARE (FIG.3.9), les diamètres des grains sont majoritairement compris entre 0.10 et
0.70 mm, et le diamètre moyen d50 est de 0.45 mm. Le coefficient d’uniformité est égale { 2.
96
FIG.3.9: Courbe granulométrique du sable H2F.
3.2.2 POLLUANT UTILISE
Le polluant utilisé lors de nos expériences est le trichloréthylène (TCE). Il s’agit d’un
hydrocarbure aliphatique chloré de formule chimique C2HCl3 et de masse moléculaire de
131,4g/mol. Le TCE est un fluide incolore qui a une odeur fétide, à condition que la température
et la pression soit normale, non miscible { l’eau plus dense et moins visqueux que la phase
aqueuse (masse volumique est de 1,462 g/cm3), d’ou son attachement { la famille des DNAPLs
(Dense Non Acqueous phase Liquid).
Le TCE choisi dans les essais expérimentaux est commercialisé par la société Fluka. Il est à
utiliser pour un usage industrielle (détache les tissus, dissout les matières graisses) et qui a une
pureté supérieure à 99%. Ses principales caractéristiques sont récapitulées dans le tableau
suivant:
Propriétés de TCE Valeur
Masse volumique (g/cm3) 1,464
Viscosité dynamique (Pa.s) 0,00058
Masse molaire (g/mol) 131,39
Solubilité aqueuse (mg/l) 1,1.103
Pression de vapeur (ppmv) 44152
Tension interfaciale (dyn/cm) 1,272
Tableau.3.2: Propriétés physico-chimiques du TCE à 20°C (Dridi, 2002).
Avant son injection dans le milieu poreux, le solvant a été coloré { l’aide du rouge organol {
raison de quelques grammes par litres afin de mieux repérer visuellement le polluant. Il a été
97
Modèles-colonnes
H = 0.7 m
Modèles-colonnes
H = 0.7 m
vérifié lors des études antérieures (Jellali, 2001) que ce colorant n’affecterait pas les propriétés
physico-chimiques du solvant.
3.2.3 DISPOSITIFS EXPERIMENTAUX
3.2.3.1 COLONNE DE LABORATOIRE
Des modèles colonnes ont été utilisés au laboratoire de l'IMFS/IFARE dans l'objectif
d'appréhender certains phénomènes physico-chimiques { l'échelle d’une dizaine de centimètres.
La colonne modèle utilisée dans notre étude est en verre (partie tubulaire) et en aluminium
(embases de fixation), ayant une hauteur de 30 cm et un diamètre intérieur de 10 cm. Le verre
limite les interactions chimiques entre la solution et le matériel expérimental : les parois
hydrophiles empêchent donc une quelconque réaction avec les solvants, contrairement aux
matières plastiques. De plus, il permet une visualisation sur la paroi de certains phénomènes mis
en jeu. La figure 3.10 montre le montage de deux colonnes de laboratoire utilisées dans les
expériences.
FIG.3.10 : Colonnes de laboratoire utilisé dans le laboratoire.
3.2.3.2. CAPTEUR DE PRESSION
Afin de mesurer la pression { l’entrée et { la sortie de la colonne, nous disposons donc de deux
capteurs de pression de type PMC131 (FIG.3.11) permettant la mesure de pression relative par
rapport à la pression atmosphérique dans une gamme de pression entre 0 et 200 mbar. Le
capteur comporte une cellule de mesure céramique associée à un circuit électronique intégré. Il
est raccordé à un câble à trois sorties permettant une alimentation électrique, une mise { l’air
atmosphérique et une connexion avec un transmetteur de données. Le principe de mesure
98
repose sur la quantification du déplacement de la membrane céramique du capteur provoqué
par la pression exercée. La modification de la capacité électrique lors du déplacement de la
membrane, proportionnelle { la pression est mesurée en termes d’intensité du courant au
niveau des électrodes de la cellule céramique.
FIG.3.11: Schéma descriptif du capteur de pression utilisé dans l’expérimentation.
Avant d’intégrer les capteurs de pression dans le montage expérimental, nous avons procédé à
un étalonnage de deux capteurs. L’étalon numérique utilisé est de type DPI 610/615 (Portable
Pressure calibrators) (FIG.3.12). L'appareil est certifié par Druck, société habilité par un
organisme national. Le dispositif permet de réaliser une opération d’étalonnage conforme { la
pratique sur un capteur de pression électronique.
FIG.3.12 : Etalon numérique DPI 610/615.
Le principe d’étalonnage des capteurs de pression consiste en une régression entre les valeurs
vraies de la pression appliquée au capteur branché { l’étalon et les valeurs de signal électrique
99
de sortie. La pression d'épreuve est générée avec une valve à piston classique. La pression
d'épreuve ainsi générée est transmise à la membrane du capteur de pression. La valeur du signal
de la sortie électrique en fonction de la pression est affichée sur l’afficheur numérique. La
représentation sur le même graphique de champs de valeurs obtenues a permis d’obtenir la
courbe d’étalonnage du capteur.
3.2.3.3 UNITE D’ACQUISITION
Une unité d’acquisition des données (AGILENT 34970A) a été utilisée pour l’enregistrement des
données expérimentales et leur transfert sous forme numérique pour l’exploitation des données.
Il s’agit d’un système compact et économique en un seul boîtier pour l'enregistrement,
l'acquisition de données et la commutation polyvalente. Le balayage des voies est assuré par un
multiplexeur polyvalent 34901A. Ce module est divisé en deux rangées de dix voies chacune
pour différentes mesures à deux fils. Chaque voie peut être configurée indépendamment des
autres sans avoir besoin d’un conditionnement spécifique du signal. L’unité a été connectée { un
ordinateur portable via une interface USB pour le pilotage de l’acquisition et le transfert des
données.
3.2.4 QUANTIFICATION DES SATURATIONS EN DNAPL
Afin de caractériser la répartition du polluant dans le milieu poreux saturé, nous avons procédé
à une quantification des saturations. La procédure de quantification se base sur le prélèvement
des échantillons de sable { la fin de l’expérience puis leur analyse par la chromatographie {
phase gazeuse (CPG).
3.2.4.1 METHODE DE PRELEVEMENT
Le dispositif de prélèvement (FIG.3.13) est une sonde peu perturbatrice conçue et réalisé à
l’IMFS/IFARE permettant de prélever un échantillon de sable selon une profondeur donnée
dans un milieu poreux. Cette canne comporte deux tubes cylindriques enfilés l’un dans l’autre et
associés au moyen d’une goupille. Une pointe de prélèvement creuse est fixée au bout du tube
intérieure. Lors de l’opération du prélèvement, la sonde est enfoncée par battage jusqu’ a la
profondeur à explorer. Une fois cette profondeur atteinte, la goupille rend solidaire le tube
extérieure et la tige intérieure est retirée, afin de permettre à ce dernier de coulisser pour
exposer la pointe d’échantillonnage dans le milieu poreux. En tournant la tige intérieure, la
pointe creuse et se remplit de sable. La tige intérieure est remontée à sa position initiale dans le
tube extérieur et l’ensemble est retiré du site. L’échantillon de sable est recueilli dans un tube en
100
verre contenant du méthanol pour extraire la phase organique et puis analysé par
chromatographie en phase gazeuse.
FIG.3.13: Sonde de prélèvement (Bohy, 2004).
3.2.4.2 METHODE D’ANALYSE
3.2.4.2.1 Principe
La chromatographie { phase gazeuse (CPC) est une méthode d’analyse par séparation qui
s’applique aux composés gazeux et elle susceptible d’être vaporisés par chauffage sans
décomposition. Ainsi la méthode la mieux adaptée est l’analyse de mélanges liquides volatils
tels que les hydrocarbures. La phase mobile est un gaz (azote, hydrogène) appelé gaz vecteur qui
balaie en permanence la colonne. Cette dernière est placée dans un four thermostat. C’est un
tube de faible section enroulé sur lui même et il contient une phase stationnaire. Une grande
quantité de mélange à analyser est vaporisé à travers une flamme. Ensuite, elle est guidée par un
flux de gaz chimiquement inerte (gaz vecteur: hélium) le long d'une phase stationnaire répartie
uniformément en pellicule mince sur la paroi interne d'un solide inerte de grande surface
spécifique (la colonne chromatographique : colonne capillaire dans notre cas)(FIG.3.14). Les
composés du mélange interagissent avec les molécules de la phase stationnaire et ils sont plus
ou moins retenus du fait de des interactions de plusieurs types. Il en résulte une séparation
sélective des composés du mélange en fonction de leur nature. Ils sortent de la colonne à
101
différents moments appelés le temps de rétention, spécifiques à chaque constituant du
mélange. La présence et la quantité de constituants élues sont enregistrées par un détecteur FID.
Le logiciel d'exploitation Maestro pilotant l'appareil réalise un chromatogramme (temps en
abscisse et pico-ampères en ordonnées) où la sortie de chaque composé de la colonne apparaît
sous forme d'un pic dont l’aire est proportionnelle { la quantité injectée.
FIG.3.14 : Schéma descriptif de la chromatographie à phase gazeuse.
Le détecteur permet l’analyse sélective et parfois l’identification de mélange très complexe. Dans
la configuration la plus classique, le chromatographe est équipé d’un injecteur diviseur, d’une
colonne capillaire et d’un détecteur { ionisation de flamme. Les données sont traitées par un
système informatique.
3.2.4.2.2 Méthodologie de quantification
La méthodologie de quantification consiste à préparer 10 ml de méthanol marqué avec un étalon
interne (Butylbenzène) dans un tube en verre, dans lequel on introduit un échantillon du sol
(sable + eau + TCE en phase). Le tube est agité pendant 3 minutes puis on extrait un volume de
0.5 µL de la phase liquide obtenue qu’on va ensuite injecté dans le chromatographie. L’injection
est réalisée { l’aide d’une micro-seringue à travers un septum permettant de garantir une bonne
étanchéité avec l’extérieur. Par la méthode de l’étalonnage interne, la concentration de TCE
présente dans le mélange est déterminée, la saturation en TCE est alors déduite en appliquant la
formule suivante :
102
TCE TCE TCETCE
ss ss
V m /S
Vp (m / ) /(1 )
(3.1)
avec
TCETCE liq liqm C V (3.2)
où, VTCE est la saturation en TCE, Vp et le volume des pores, mTCE est la masse du TCE, TCEliqC
correspond à la concentration en TCE.
3.2.4.2.3 Précision de mesure
En chromatographie, la précision des mesures quantitatives dépend essentiellement de la
stabilité des différents réglages de l’appareil (température de la colonne et de l’injecteur, débit
de gaz vecteur) et surtout de la représentativité des injections. L’injection des échantillons dans
la chromatographie est une étape essentielle de l’analyse. La reproductibilité des résultats
dépend fortement de la reproductibilité du volume d’échantillon injectée et celle du geste
d’injection.
L’aberration dans la lecture du volume injecté sur les graduations de l’aiguille entraîne une
erreur sur le nombre de molécules ‘’brûlées’’ par le FID et donc sur les résultats finaux (valeurs
de la concentration). De plus, une fraction inconnue de la solution contenue dans l’aiguille peut
s’évaporer lorsqu’on introduit celle ci dans l’injecteur. Pour limiter ces facteurs, plusieurs
injections du même échantillon ont été effectuées pour assurer la reproductibilité du résultat. La
concentration en polluant a été déterminée à partir de la moyenne des résultats obtenus. Par
ailleurs, les incertitudes de mesure sur les concentrations sont estimées à 0.05%.
3.3 DEROULEMENT DES EXPERIENCES ET PROTOCOLE
EXPERIMENTAL
3.3.1 MONTAGE EXPERIMENTAL
La campagne d’expérience a été effectuée sur une colonne de laboratoire. L’expérimentation sur
ce modèle physique a pour avantage de caractériser de manière plus fine que sur un site
expérimental, les saturations résiduelles et la non uniformité de la distribution du TCE { l’échelle
de Darcy. Deux processus dynamiques de déplacement ont été étudiés : le processus de drainage
103
puis le processus d’imbibition couplée { un drainage primaire. La reproduction des scénarios de
déplacement a nécessité la conception d’un dispositif expérimental bien spécifique (FIG.3.15).
FIG.3.15 : Dispositif expérimental.
Le dispositif expérimental est composé de deux colonnes identiques en verre raccordées par une
pièce jointive en acier inoxydable pour la mise en place des fibres optiques. Cette configuration
permet de créer une section de contrôle dans le dispositif. L’entrée et la sortie de la colonne sont
équipées de deux capteurs de pression de type PMC131 permettant la mesure de la pression
relative de déplacement. Les modules de mesure branchés aux fibres ainsi que les capteurs de
pression sont connectés { l’unité d’acquisition des données (Agilent 34970A).
L’injection des fluides dans la colonne est assurée par une pompe péristaltique fournissant un
débit variant entre 0 et 100 ml/min. Le TCE coloré par le rouge organol est mis sous eau dans
une bouteille en verre. Cependant, l’alimentation en eau est assurée par un grand réservoir en
plastique. Afin de limiter au maximum les contacts avec l’air ambiant et ainsi de réduire les
pertes par volatilisation, l’ouverture de la bouteille est équipée d’un bouchon adapté à
l’enfilement du tuyau de connexion { la pompe.
déversoir aval
sable grossier
sable moyen flacon de décantation
fibres optiques
34 cm
capteur de pression
10 cm
unité d’enregistrement
système d’injection des fluides
eau TCE
104
La pompe est reliée aux réservoirs des fluides par l’intermédiaire d’une vanne { trois voies. Deux
voies servent de voies d’arrivées à chacun des fluides. La troisième correspond à la liaison entre
la vanne et l’entrée du tuyau de la pompe. Cette vanne permet de sélectionner successivement
l’arrivée de chacun des fluides. Elle sert aussi { faire circuler les fluides avant le déplacement
afin de chasser tout l’air présent et de mettre en place le fluide déplacé avant le début de
l’injection.
3.3.2 DISPOSITION DES FIBRES OPTIQUES
La partie détectrice des fibres est fragile et elle nécessite une protection spécifique contre les
chocs mécaniques qui peuvent survenir lors de leur mise en place dans la colonne. Des embouts
en téflon perforés ont été placés dans la section de contrôle. (FIG.3.16).
(a) (b)
FIG.3. 16: Disposition des fibres optiques dans la section de contrôle (a) schématisation de la
configuration choisie des fibres optiques (b) positions de la zone détectrice des fibres par rapport au
centre de la section de contrôle.
Les fibres ont été enfilées dans la colonne de façon à ceux que les couches sensibles s’étendent
dans le dispositif. Cette configuration évite les contacts des fibres avec les grains solides du
milieu poreux et favorise le passage du polluant par infiltration sur la zone sensible des
fibres.Huit fibres optiques ont été mises en place selon une configuration en étoile. La
configuration choisie permet d’obtenir facilement des points de mesure dispersés dans la
section du contrôle.
105
3.3.3 PROTOCOLE DE REMPLISSAGE DE LA COLONNE
Le remplissage de la colonne a été réalisé par sédimentation afin d’assurer une forte saturation
en eau. Ce mode de remplissage permet d’avoir une répartition homogène du sable et d’obtenir
également la meilleure configuration des grains en minimisant les tassements. Il consiste à
- mettre en place un filtre à la base de la colonne pour empêcher la sortie des grains
solides lors de la récupération du polluant,
- introduire une couche de sable grossier sur une hauteur de 2 cm pour uniformiser
l’écoulement,
- remplir la colonne d’une tranche d’eau chaude dégazée d’environ 10 cm de hauteur,
- verser progressivement par le sommet de la colonne une quantité du sable H2F (environ
500 g) et donner par la suite quelques coups de maillet sur les bords de la colonne,
- remonter le niveau de l’eau pour maintenir une tranche d’eau au dessus du sable et
réitérer ce processus jusqu’{ remplir la colonne.
Afin de purger l’air résiduel dans le milieu poreux, nous avons donc fait circuler l’eau dégazée
avant l’injection du polluant dans la colonne pour une durée relativement longue (environ une
journée). L’écoulement est crée en imposant une différence de charge moyennant deux
déversoirs amont et aval. Un suivi hydraulique de l’écoulement basé sur l’hypothèse de Darcy est
effectué pour déterminer la conductivité hydraulique.
3.3.4 PROTOCOLE DE PRELEVEMENT DES ECHANTILLONS
Afin de ne pas perturber le déroulement d’une expérience par un effet destructeur, les
échantillons de sable ont été prélevés en fin d’expérience. D’autre part, l’emplacement des
embouts destinés { la protection des fibres au corps de la colonne a exigé l’excavation sur un
seul module du dispositif expérimental (la partie de la colonne au dessus de l’emplacement des
fibres). Les points de prélèvements ont été repérés moyennant un gabarit (FIG.3.17) pour guider
l’échantillonnage. Au moment de la campagne de prélèvement , on monte un dispositif à onze
trous (une au centre et dix sur les bords) qui permet l’enfilement de la canne de prélèvement.
Les points sur les bords sont équidistants par rapport au centre (r = 26 mm) et se dispersent
d’un angle de 36°. La distribution choisie des trous élaborés sur les bords de la section du
gabarit coïncide approximativement à celle correspondant aux emplacements de la zone
détectrice des fibres optiques placés sur la section de contrôle.
106
Trois prélèvement ponctuels (un au centre et deux sur les bords aux points (θ = 108 et θ = 288)
ont été effectuées tout les 5 cm du module. Afin d’éviter l’effet de bout et de s’éloigner de la
couche de gravier mise en place, le premier prélèvement est réalisé à une distance de 10 cm de
l’entrée de la colonne. Au total, douze échantillons ont été prélevés. De plus, une série de onze
prélèvements est effectuée sur la section proche de l’emplacement des fibres (position limite
d’excavation). La détermination des saturations en polluant aux emplacements relatifs aux fibres
peut contribuer à la validation des résultats issus de ces capteurs.
FIG.3.17 : Gabarit d’échantillonnage, on repère chaque point par l’angle qu’il fait par rapport au point
centre. Les chiffres entre parenthèses repèrent les fibres optiques mises en place. Les fibres 7 et 10 ne
sont pas mises en place.
3.3.5 DESCRIPTION DES EXPERIENCES
Deux volets d’expérience ont été effectués. Les procédures de remplissage de la colonne et de
l’injection de fluides ainsi que la procédure de caractérisation des mécanismes mis en jeu sont
identiques. Le premier volet des expériences est consacré { l’étude du processus de drainage
suite { l’injection de TCE dans un milieu poreux initialement saturé en eau. Nous nous plaçons
dans le cas ou le déplacement d’un fluide par un autre fluide est plus dense et moins visqueux.
Le deuxième volet des expériences a porté sur l’étude de déplacement de TCE par l’eau ou
imbibition couplée à un processus de drainage primaire. Les conditions de déplacement sont
dans ce cas différents vue que nous nous plaçons dans un cas de déplacement généralement
stable. L’influence de différents paramètres tels que le sens de déplacement, le débit d’injection
ainsi que la texture de milieu poreux sur les phénomènes d’instabilités de déplacement ont été
étudiées pour chaque processus de déplacement (drainage ou imbibition) étudié. Au total, huit
expériences ont été effectuées, trois expériences ont consisté à étudier le processus de drainage
107
et cinq expériences ont porté sur l’étude de processus d’imbibition. Une description de
différentes expériences menées est présentée ci-dessous.
3.3.5.1 EXPERIENCES DE DRAINAGE
Les deux premiers essais ont porté sur l’étude de déplacement suivant deux directions opposées
à savoir le déplacement vertical ascendant et le déplacement vertical descendant avec un débit
relativement faible. Les forces de gravité agissent différemment sur la stabilité du déplacement.
Dans le troisième essai, nous étudions l’effet du doublement du débit d’injection sur les
instabilités de déplacement. Les conditions de déroulement des essais ont été identiques. La
caractérisation du processus de déplacement mis en jeu a été basée sur les points suivants :
1. Le suivi qualitatif de la migration du polluant { l’aide d’une prise de photographies du front de
déplacement visualisé sur les parois de la colonne. Le TCE coloré en rouge permet de visualiser
l’évolution du front TCE/eau pendant l’expérience.
2. L’enregistrement des temps d’arrivée du TCE dans la section de contrôle au moyen des fibres
optiques. Huit enregistrements du temps d’arrivée du front { des emplacements différents d’une
même section de passage ont été obtenus pour chaque mode de déplacement. Les valeurs de
mesure obtenues ont été utilisées dans un premier temps pour quantifier une vitesse moyenne
du front TCE/eau et l’écart type associé. Par la suite, ces temps d’arrivée serviront comme
données de référence pour les simulations numériques.
3. Le suivi de l’évolution en fonction du temps de la pression du TCE { l’entrée de la colonne se
fait { l’aide des capteurs de pression mis en place. Nous désignons par l’entrée de la colonne, la
face de la colonne recevant l’injection du polluant dans l’essai. Etant donné que la pression de
sortie est maintenue constante dans l’essai, la variation temporelle de la pression d’entrée
permet de caractériser entre autres les conditions de déplacement de l’eau par du TCE (stable ou
instable).
4. La quantification des champs de saturation se déroule { la fin de l’expérience. L’évaluation de
la saturation de polluants à différentes positions et profondeurs du milieu poreux (au centre et
sur les bords) permet à la fois de caractériser la répartition du polluant dans le milieu poreux
saturé et valider/invalider les enregistrements de signaux des fibres optiques.
Le débit d'injection choisi est de l'ordre de 42 ml/min, il est maintenu constant durant toute la
durée de l'essai. Le volume du TCE injecté est de l'ordre de 1.5 litres, il représente uniquement
70% du volume de pore. Ce choix est fait en se basant sur les conclusions des travaux de master.
En effet, nous avons constaté que la quantité du TCE retenue n’évolue pas lorsque le temps de
108
percée est atteint (le polluant commence { sortir de la colonne) malgré l’injection d’un volume
de TCE largement supérieur au volume des pores.
3.3.5.2 EXPERIENCES D’IMBIBITION
Une deuxième série d’expériences est menée pour étudier le processus d’imbibition couplée {
un processus de drainage primaire. Différentes configurations de déplacement dépendent du
sens d'injection de la phase huile drainante ou de celle de l’eau lessivant. Un essai considérant
dans un milieu poreux moins perméable (H1F) dans des conditions instables de déplacement a
aussi été effectué.
A la fin de chaque expérience, les saturations résiduelles ont été quantifiées. D'autre part,
l'enregistrement des temps d'arrivée du front dans la section du contrôle représentent des
réplicas expérimentaux afin de valider les résultats obtenus initialement dans les expériences de
drainage étudié séparément.
L'injection de la phase dans la colonne a été effectuée par le même débit d'injection pratiqué
dans le premier volet d’expériences. De même, le volume de TCE injecté est conservé. Le
lessivage de la colonne est effectué par différents débits d'injection. Nous procédons à
l’augmentation du débit d'injection chaque fois que le polluant s'arrête de sortir de la colonne.
Une mesure de la perméabilité relative est parallèlement effectuée. Pour chaque débit utilisé, le
volume global correspondant à deux fois le volume des pores qui est injecté dans la colonne. Le
tableur 3.3 résume ainsi les conditions de déplacement dans les différents essais menés lors de
cette deuxième compagne d'expériences.
Expérience Sens d’injection
du TCE
Condition de
déplacement
Sens d’injection
du l’eau
Condition de
déplacement
Expérience 1
(sable moyen) ascendant
stable par effet de
gravité ascendant
Instable par effet
des forces de
poussée
Expérience 2
(sable moyen) ascendant
stable par effet de
gravité descendant
stable (rapports de
mobilité et de
densité favorables
109
Expérience 3
(sable moyen) descendant
Instable (rapports
de mobilité et de
densité
défavorables
ascendant
Instable par effet
des forces de
poussé
Expérience 4
(sable moyen) descendant
Instable (rapports
de mobilité et de
densité
défavorable
descendant
stable (rapports de
mobilité et de
densité favorables
Expérience 5
(sable fin) descendant
Instable (rapports
de mobilité et de
densité
défavorable
descendant
stable (rapports de
mobilité et de
densité favorables
Tableau.3.3: Caractéristiques des expériences de drainage.
110
111
CHAPITRE 4
RESULTATS EXPERIMENTAUX ET INTERPRETATIONS
4.1 CARACTERISATION DE DEPLACEMENT DE DRAINAGE
4.1.1 DEPLACEMENT VERTICAL ASCENDANT
Compte tenu des incertitudes des mesures relatives à la quantification des saturations en TCE,
le cas du premier essai et le deuxième essai ont été mené dans les mêmes conditions. La mesure
de la pression { l’entrée et { la sortie de la colonne a été effectuée différemment dans les deux
essais. Dans le premier essai, des tubes piézométriques ont été utilisés pour le suivi de la
pression. Alors que pour le deuxième essai, les capteurs de pressions ont été installés afin de
mesurer la pression en continue { l’entrée et { la sortie de la colonne. Dans ce qui suit, seuls les
résultats du deuxième essai sont commentés.
La figure 4.1 illustre le front du TCE développé sur la paroi de la colonne. La forme du front
visualisé correspond à une succession de couches homogènes alternées par des discontinuités
de faible épaisseur (surfaces minces non colorées).
FIG.4.1 : Front du DNAPL (rouge) visualisé sur la paroi de la colonne au début (photo gauche)et à la fin de
l’expérience. Cas du drainage vertical ascendant.
112
Visuellement, le long de la colonne des cheminements préférentiels n’ont pas pu être observées.
Les pseudos doigts visibles sur la photo sont dus à la formation de strates fines de sable lors du
remplissage de la colonne.
Le volume retenu du TCE dans le milieu poreux correspond par la suite à une saturation
moyenne globale de l’ordre de 63%. Celle-ci illustre une invasion forte du milieu poreux saturé.
Lors du premier essai, une saturation moyenne globale de l’ordre de 61% a été observée
soulignant ainsi une bonne reproductibilité des conditions de déplacement.
Le front de drainage observé comme étant relativement uniforme est confirmé par les temps
d’arrivée du front de TCE mesurés au moyen des fibres optiques dans la section de contrôle. En
effet, les temps d’arrivée enregistrés ont été très rapprochés. Nous enregistrons un décalage
maximal de l’ordre de 11 secondes entre deux points voisins (918 et 907) et de l’ordre de 29
secondes (entre 921 et 892) entre deux points éloignés de l’axe (FIG.4.2). Une analyse statistique
des valeurs mesurées donne un écart type petit de l’ordre de 9 secondes. Les temps d’arrivée du
front dans la section de contrôle étant rapprochés reflètent une répartition quasi uniforme du
TCE dans le milieu poreux.
FIG.4.2: Temps d’arrivée du front du TCE enregistrés au moyen des fibres optiques. Cas du drainage
vertical ascendant.
La distribution uniforme des temps d’arrivée relevés par les capteurs { fibres optiques a été
ensuite confirmée dans un deuxième temps lors de la série portant sur l’étude du processus
d’imbibition. La figure 4.3 illustre la distribution des temps d’arrivé normalisés selon leurs
moyennes relatives obtenues lors des essais d’imbibition couplée à un drainage primaire (essai
1 et essai 2) et elles sont comparés aux résultats de l’essai 3, l’essai de drainage décrit
précédemment. Les différentes courbes obtenues sont rigoureusement similaires et illustrent la
113
reproductibilité des essais de drainage et confirment en même temps l’uniformité du front de
TCE pour ces conditions de déplacement.
FIG.4.3: Discrétisation de la distribution des temps d’arrivée normalisée par rapport { leurs moyennes
relatives pour les trois essais de drainage menés en configuration vertical ascendante.
Le suivi temporel de l’évolution de la pression du TCE { l’entrée de la colonne au moyen du
capteur de pression (essai refait) et du tube piézométrique est illustré dans la figure 4.4. Les
mesures de pression effectuées par le tube piézométrique se sont limitées à une durée de 20
minutes car les niveaux d’eau dépassent le côte supérieure des tubes piézométriques après cette
durée de temps. Les enregistrements de la pression issus des deux dispositifs corrects. Nous
constatons que la pression croit continuellement au fur et à mesure que le front de TCE/eau
avance dans la colonne. L’interface TCE/eau est stable et par conséquent la phase non aqueuse
se trouve dans des conditions favorables pour envahir les pores initialement occupés par l’eau.
Sa pression doit donc augmenter pour vaincre la pression d’entrée dans les pores. D’autre part,
la pression augmente du fait de la part du poids de la colonne du DNAPL qui augmente au fur et
à mesure que le front eau/TCE avance.
Les saturations en TCE mesurées à différentes profondeurs et positions de la colonne
permettent donc de décrire dans un deuxième temps la répartition du TCE dans le milieu poreux
(tableau 4.1). La forte imprégnation du milieu poreux en TCE a conduit à une surestimation des
valeurs des saturations dans quelques points de l’échantillonnage, certaines saturations
dépassent même 100%. Ceci s’explique par le fait que le remplissage de la chambre de
prélèvement avec du sable était partiel et que par conséquent un volume du TCE a été prélevé au
114
moment de l’échantillonnage. Les concentrations en polluant obtenues par l’analyse en CPG sont
alors surestimées étant donné que la masse en excès du TCE a été prise en compte.
FIG.4.4: Variation en fonction du temps de la pression mesurée { l’entrée de la colonne au moyen du
capteur de pression et de tube piézométrique. Cas du drainage vertical ascendant.
Afin de pouvoir exploiter les saturations en TCE quantifiées, nous avons procédé à un calcul
correcteur permettant l’estimation du volume du polluant contenu uniquement dans l’espace
poreux d’échantillon de sable prélevé. Par conséquent, nous nous basons pour le calcul sur les
valeurs connues du volume des pores de l’échantillon, estimé à partir de la pesée du sable sec et
du volume d’eau. On le calcule { partir de l’estimation initiale de la masse du polluant. Les
valeurs corrigées des saturations en TCE sont résumées dans le tableau 4.1.
FIG.4.5: Profils verticaux des saturations en TCE mesurées à différentes positions de la colonne. Cas du
drainage vertical ascendant.
0
10
20
30
40
0 20 40 60 80 100
saturation en TCE (%)
pro
fon
deu
r (c
m)
position latérale 1
position centrale
position latérale 2
115
Les saturations en TCE observées sont globalement élevées sur toute la longueur
d’échantillonnage. La figure 4.5 illustre les saturations en TCE en fonction de la profondeur à
différentes positions (au centre et sur les bords) et profondeurs. Les profils obtenus confirment
qu’il s’agit bien d’un déplacement stable. En effet, les différents profils obtenus sont caractérisés
par un front de saturation abrupte qui varie de façon continue de 15% à environ 90%.
points position profondeur (cm)
STCE mesurée (%)
STCE corrigée (%)
1 bord 10 19 19
2 centre 10 37 37
3 bord 10 15 15
4 bord 15 21 21
5 centre 15 109 41
6 bord 15 14 14
7 bord 20 93 93
8 centre 20 104 79
9 bord 20 28 28
10 bord 25 146 91
11 centre 25 86 86
12 bord 25 163 79
13 bord 30 73 73
116
Tableau.4.1: Saturations en TCE relevées à différentes positions et profondeurs de la colonne : valeurs
mesurées et corrigées. Cas du drainage vertical ascendant.
4.1.2 DEPLACEMENT VERTICAL DESCENDANT A FAIBLE DEBIT D’INJECTION
Le déplacement vertical descendant est le siège des digitations bien prononcées. Ces
phénomènes sont le résultat d’un effet combiné de la viscosité et de la gravité sur le
déplacement. A l’inverse, dans le cas du déplacement ascendant, nous constatons que les forces
de gravité ont un effet déstabilisant sur le déplacement.
FIG.4.6: Front du DNAPL visualisé sur la paroi de la colonne au début (photo à gauche) et à la fin de
l’expérience (photo { droite). Cas du drainage vertical descendant { faible débit d’injection.
Qualitativement, le front de TCE visualisé sur la paroi de la colonne présente des ramifications
bien marquées ayant la forme des doigts (voir FIG.4.6). Vu sa faible viscosité par rapport à celle
de l’eau, le TCE tend { emprunter des cheminements où la résistance hydrodynamique est plus
faible. Ces effets sont accentués par l’effet de gravité qui pousse le polluant { atteindre le bas de
la colonne plus rapidement. Nous enregistrons pour ce cas de déplacement un temps de percée
du TCE en aval hydraulique de l’ordre de 26 min, tandis qu’il est de l’ordre de 35 min dans le cas
du déplacement ascendant. De plus, ces conditions de déplacement ont conduit à une invasion
partielle du milieu poreux. En effet, la saturation moyenne globale déduite du bilan global du
volume de TCE retenu dans le milieu poreux (volume de TCE injecté réduit de celui récupéré à
14 centre 30 84 84
15 bord 30 77 77
117
la sortie) est de l’ordre de 32% pour ce cas de déplacement contre 60% de saturation dans le cas
du déplacement ascendant.
FIG.4.7: Temps d’arrivée du front du DNAPL dans la section de contrôle. Cas du drainage vertical
descendant { faible débit d’injection.
Les temps d’arrivée du front enregistrés au niveau de la section de contrôle sont illustrés sur la
figure 4.7. Ils confirment les phénomènes d’instabilités observés visuellement. En effet, les
temps d’arrivée du front de TCE au niveau de la section de contrôle sont nettement plus courts
que ceux du cas de déplacement ascendant et leur distribution est plutôt non uniforme. La
valeur moyenne des temps d’arrivée est d’environ 747 s contre 912 s obtenue dans le cas de
déplacement ascendant. D’autre part, l’écart type pour ce mode de déplacement est σ = 70 s.
FIG.4.8: Discrétisation de la distribution des temps d’arrivée du front de DNAPL obtenus dans les trois
essais du déplacement vertical ascendant.
0
0,004
0,008
0,012
0,016
0,9 1 1,1 1,2 1,3
t/tmoy
fré
qu
en
ce
essai 1 essai 2 essai 3
118
-200
-150
-100
-50
0
50
100
1 2 3 4 5 6 7 8
point de mesure
t -
tmo
y (
s)
déplacement ascendant
déplacement descendant
Les réplicas pour ce scénario de déplacement réalisé lors de l’étude du processus d’imbibition
précédé d’un drainage primaire (cf. sections 4.1.et 4.2) confirment la reproductibilité des
mesures obtenues par les capteurs à fibres optiques. En effet, les courbes obtenues de
différentes distributions analysées statistiquement présentent une bonne similitude.
FIG.4.9: Ecart entre les temps d’arrivée du front par rapport à leur moyenne pour les deux modes de
déplacement. Vertical ascendant et vertical descendant décrits précédemment.
La représentation sur un même graphique des écarts entre les valeurs de mesures du temps
d’arrivée et leurs moyennes relatives pour les deux cas de déplacement (vertical ascendant,
vertical descendant) illustre de façon synthétique les phénomènes d’instabilités (FIG.4.9). La
variation des temps d’arrivée autour de leur moyenne relative est prononcée dans le cas du
déplacement descendant tandis que l’étalement par rapport { la moyenne est très faible lors du
déplacement ascendant.
FIG.4.10: Saturations en TCE mesurées à différents emplacements de la section proche des fibres (les
cercles représentent les points de prélèvement des échantillons. Cas du drainage vertical descendant à
faible débit d’injection.
119
0
5
10
15
20
25
30
35
0 5 10 15 20 25 30 35
temps (min)
pre
ss
ion
(c
m)
Par ailleurs, la variation des temps d’arrivée du front traduit une répartition non uniforme du
polluant dans le milieu poreux saturé. Les saturations quantifiées à des emplacements référant
aux positions des fibres d’une section proche de la section de contrôle présentent également
une grande variation et confirment indirectement les résultats obtenus par les capteurs à fibres
optiques (FIG.4.10). En effet, des saturations de l’ordre de 2 { 3 % pourraient être des zones où
le front de TCE est passé tout récemment, tandis que les saturations élevées, par exemple 12 à
17 %, marquent les zones de passage préférentielles du TCE caractérisant des temps d’arrivée
courts.
La figure FIG.4.11 illustre la variation en fonction du temps de la pression du TCE mesurée à
l’entrée de la colonne. Contrairement au cas du déplacement stable, la pression d’entrée diminue
en fonction du temps malgré une augmentation abrupte enregistrée au temps de percée du
DNAPL à la sortie de la colonne (environ 23 minutes)
FIG.4.11: Pression du DNAL en fonction du temps mesurée { l’entrée de la colonne. . Cas du drainage
vertical descendant { faible débit d’injection.
Le comportement de la pression peut être expliqué par le fait que la migration du TCE est
principalement causée par les forces de gravité qui le poussent rapidement vers le bas de la
colonne. Par conséquent, la vitesse d’avancement du front augmente même si le débit total est
constant et que la perte de charge diminue à cause de la viscosité faible du TCE par rapport à
l’eau. La pression d’entrée diminue donc pour garder un débit constant.
Les saturations obtenues sont nettement plus faibles que celles enregistrées lors du
déplacement ascendant. En effet, nous observons une saturation maximale en TCE de l’ordre de
27% (tableau.3.2) témoignant d’une occupation partielle du milieu poreux saturé par le TCE. En
120
revanche, dans le cas du déplacement ascendant pour lequel les saturations les plus élevées ont
été enregistrées au centre du milieu poreux, les saturations varient fortement à différentes
positions de la colonne. A titre d’exemple, la saturation en TCE mesurée au bord de la colonne {
la profondeur 25 cm est de l’ordre de 17.57% alors qu’elle ne dépasse pas 7.5 % au centre. Ce
résultat montre ainsi que l’interface eau/TCE est instable pour ce mode de déplacement et elle
mène à des cheminements préférentiels.
Points position profondeur (cm)
STCE mesurée (%)
STCE corrigée (%)
1 bord 10 19 14
2 centre 10 37 27
3 bord 10 15 15
4 bord 15 21 16
5 centre 15 109 19
6 bord 15 14 12
7 bord 20 93 12
8 centre 20 104 17
9 bord 20 28 12
10 bord 25 146 15
11 centre 25 86 8
12 bord 25 163 5
13 bord 30 73 17
121
Tableau.4.2: Saturations en TCE relevées à différentes positions et profondeurs de la colonne . Cas du
drainage vertical descendant { faible débit d’injection.
La migration du polluant est donc régie donc par des phénomènes de digitations dus
essentiellement aux effets des forces de gravité qui conduisent à une répartition non uniforme
du DNAPL dans le milieu poreux saturé. Les profils verticaux des saturations en TCE à
différentes positions de la colonne (FIG.4.12) illustrent également la non uniformité de la
répartition du TCE. En effet, nous distinguons par exemple des fluctuations marquées dans le
profil des saturations mesurées au centre de la colonne.
FIG.4.12: Saturations en TCE à différentes positions et profondeurs de la colonne (centre et aux deux
bords). Cas du drainage vertical descendant { faible débit d’injection.
4.1.3 DEPLACEMENT DESCENDANT A FORT DEBIT D’INJECTION
Il a été montré que le déplacement descendant est le siège des digitations marquées. Ces
instabilités sont dues principalement { l’effet déstabilisant des forces de gravité. L’invasion du
milieu poreux par le TCE est partielle et la répartition du polluant devient hétérogène. Afin
d’étudier l’influence d’une augmentation du débit d’injection sur l’occurrence des phénomènes
d’instabilités et sur la migration globale du DNAPL, nous avons procédé à un troisième essai de
drainage avec un débit d’injection qui a été doublé.
Le front du déplacement photographié { des instants différents de l’essai montre que le DNAPL
migre sur une bande large de la colonne homogène. Le TCE est réparti sur tout le largueur de la
14 centre 30 84 7
15 bord 30 77 9
0
10
20
30
40
0 20 40 60 80 100
saturation en TCE (%)
pro
fon
deu
r (c
m)
position latérale 1
centrede la colonne
position latérale 2
122
paroi. De plus, les fluctuations observées dans le cas du déplacement à faible débit sont
beaucoup moins marquées. Ceci montre que les conditions de déplacement du DNAPL sont
devenues plus stables.
FIG.4.13: Front du TCE visualisé sur la paroi de la colonne au début (photo à gauche) et à la fin de
l’expérience (photo { droite). Cas du drainage vertical descendant avec débit doublé.
Dans le cas du déplacement à faible débit, nous avons quantifié une saturation moyenne en TCE
de l’ordre de 47% contre 32%. Le déplacement est donc plus efficace, il est dû essentiellement à
l’augmentation des effets des forces visqueuses qui deviennent dominantes par rapport aux
forces capillaires. L’effet déstabilisant des forces de gravité semble réduit en augmentant le débit
d’injection.
FIG.4.14: Pression mesurée { l’entrée de la colonne en fonction de temps Cas du drainage vertical
descendant avec débit doublé.
0
10
20
30
40
50
60
0 5 10 15
temps (min)
pre
ssio
n (
cm
)
123
Ces observations ont été confirmées par la distribution des temps d’arrivée relevées au moyen
des capteurs { fibres optiques. Les valeurs de mesure sont plus rapprochées. L’écart entre le
temps le plus court et le plus long ne dépasse pas 41 secondes (402 et 443). L’écart-type est de
l’ordre de 13 s, il est largement inférieur à celui obtenu pour le cas du déplacement descendant
avec un faible débit (σ=70 secondes) et il se rapproche de celui observé dans le cas du
déplacement ascendant (cas stable) (σ =9 s).
La figure 4.14 montre l’évolution de la pression mesurée { l’entrée de la colonne en fonction du
temps. Contrairement à ce qui a été observé dans le cas du déplacement instable avec un faible
débit d’injection, la pression augmente en fonction du temps mais de façon moins prononcé par
rapport au cas du déplacement ascendant. L’augmentation de la pression est due {
l’augmentation de la perte de charge dans le déplacement avec un débit plus fort.
FIG.4.15: Profils verticaux des saturations à différentes positions de la colonne. Cas du drainage
vertical descendant avec débit doublé.
Les profils verticaux des saturations en TCE mesurées à différentes profondeurs et des positions
de la colonne (au centre et sur les deux bords) sont illustrés dans la figure 5.17. Nous notons des
saturations en TCE élevées { l’entrée de la colonne et également { la profondeur z=-30cm. Les
effets visqueux deviennent signifiants, le TCE envahit préférentiellement les pores fins situés à
l’entrée plutôt que les pores larges situés { des profondeurs plus loin de l’entrée. Les fortes
saturations à la profondeur (z= -30 cm) peuvent s’expliquer par l’effet de contraste de densité
qui pousse plus rapidement le TCE vers le bas. Outre ces deux niveaux, les saturations en TCE
sont relativement uniformes et varient entre 10 et 15 % à différentes positions de la colonne.
L’augmentation du débit d’injection a donc permis d’élargir le front de déplacement et il a
conduit par conséquent à une répartition plus uniforme du TCE dans le milieu poreux.
124
On peut conclure que les instabilités de déplacement ont été réduites en augmentant le débit
d’injection. Il résulte alors une augmentation de la pression d’entrée (pour assurer le débit
constant). En effet, la répartition des temps d’arrivée du front du DNAPL au niveau de la section
de contrôle est plus uniforme et les profils des saturations ressemblent plus à une répartition
du TCE homogène. Dans ces conditions de déplacement, les forces visqueuses sont devenues
plus importantes et conduisent à des pertes de charge plus élevées. Ces pertes de charges
permettent ainsi l’invasion de certaines zones initialement inaccessibles par le débit initial. De ce
fait, les cheminements préférentiels sont alors réduits.
4.1.4. DEPLACEMENT DESCENDANT DANS UN MILIEU POREUX PEU PERMEABLE
Il a été montré que le déplacement descendant est régi par des instabilités gravitaires bien
marquées. Dans un essai complémentaire, nous avons étudié le déplacement descendant dans le
cas du milieu poreux moins perméable que le cas précédent.
Le milieu poreux étudié est le sable fin H1F (cf. chapitre 3). La figure 4.16 montre le front de TCE
à différents instants. La forme du front visualisé est similaire à celle observé dans le cas stable.
La zone imprégnée est large et elle couvre toute la section de la paroi. Ces observations
permettent donc de formuler l’hypothèse que le déplacement du DNAPL est plutôt uniforme
dans cette texture fine.
FIG.4.26: Front du TCE visualisé sur la paroi de la colonne au début (photo gauche), à un temps
intermédiaire (photo au milieu) et { la fin de l’expérience (photo { droite). Cas du drainage vertical
descendant dans un milieu poreux peu perméable (sable fin H1F).
En maintenant le débit d’injection constant, le déplacement est lent et il est dû à la stabilité de
déplacement. Le temps de la percée { l’aval hydraulique est de l’ordre de 39 min contre 25 min
pour le cas du déplacement descendant dans un milieu poreux plus perméable (sable (H2F). La
125
0
40
80
120
160
0 5 10 15 20 25 30
temps (min)
pre
ss
ion
(c
m)
texture fine du milieu poreux fait ralentir le déplacement. La distribution des temps d’arrivée du
front au niveau de la section de contrôle confirment donc notre hypothèse de la stabilité de
déplacement. En effet, les temps d’arrivée relevés sont très rapprochés. Nous enregistrons un
écart-type de l’ordre de 12 secondes contre 70 secondes dans le cas du déplacement dans le
milieu plus perméable. Les cheminements préférentiels dus au contraste de densité et de
viscosité semblent être fortement réduits dans le cas d’une texture fine de milieu poreux. La
répartition du DNAPL dans le milieu poreux saturé est donc plus uniforme. En effet, la saturation
moyenne en TCE mesurée est de l’ordre de 57% contre 32 % dans le cas du déplacement
descendant dans le milieu perméable.
La figure 4.17 illustre l’évolution en fonction du temps de la pression de déplacement mesurée à
l’entrée de la colonne. Nous constatons que la pression augmente au fur et { mesure que
l’interface eau/TCE avance dans le milieu poreux. Conformément aux observations précédentes,
lorsque nous nous plaçons dans des conditions stables, on remarque que plus de pores ont pu
être envahis. Les pertes de charges augmentent et se traduisent par une augmentation de la
pression d’entrée pour garder le débit constant.
FIG.4.37: Pression mesurée { l’entrée de la colonne en fonction du temps. Cas du drainage vertical
descendant dans un milieu poreux peu perméable (sable fin H1F).
En conclusion, les instabilités de déplacement sont fortement influencées par la texture du
milieu poreux. Cette propriété du milieu conditionne la mobilité du fluide déplaçant par rapport
au fluide en place qui est { l’origine de la stabilité du déplacement.
126
4.1.5 CONCLUSIONS RELATIVES AUX INSTABILITES DE DEPLACEMENT DU DRAINAGE
Dans ce premier volet d’expériences, nous nous sommes intéressés au processus de drainage
dans un milieu poreux initialement saturé en eau. Les paramètres d’expériences ont été
identiques dans les différents essais menés (même mode de remplissage de la colonne, même
fluides de déplacement utilisés). Cependant les conditions d’injection du fluide déplaçant et la
texture de milieu poreux sont différentes. Différents modes de déplacement ont été étudiés:
déplacement vertical ascendant, déplacement vertical descendant à faible débit, déplacement
vertical descendant à fort débit. Les phénomènes quantifiés ont permis de mettre en relief le
rôle majeur des forces de gravité, du débit d’injection et de la texture du milieu sur la stabilité de
déplacement. Les forces de gravité si elles ont un effet stabilisateur dans le cas du déplacement
ascendant compensant ainsi le contraste de viscosité défavorable existant entre les deux fluides,
elles ont amplifié les instabilités dans le cas du déplacement descendant. Le débit d’injection
peut également avoir une influence sur la stabilité de déplacement et peut contrarier l’effet
déstabilisateur des forces de gravité. En effet, l’augmentation du débit conduit à une perte de
charge non seulement du fluide déplaçant mais surtout du fluide déplacé en aval hydraulique du
front. Mêmes les forces visqueuses sont { l’origine de cette dissipation d’énergie conduisant { un
relevage du champ de pression au sein du milieu poreux et les pressions seuils dans les
capillaires peuvent facilement être franchies. Par conséquent, plusieurs pores sont envahis et le
conduit du front de déplacement s’élargit. Les mêmes observations ont été relevées dans le cas
d’un milieu poreux peu perméable. Dans une texture plus fine, la mobilité du TCE par rapport à
l’eau est atténuée et par conséquent le déplacement est lent. Les cheminements préférentiels
sont réduits. A partir des résultats expérimentaux, nous parvenons à tirer les conclusions
suivantes :
(i) Dans le cas du déplacement ascendant, le front du TCE visualisé à travers le verre de la
colonne a été bien réparti sur toute la section de la paroi sous formes des couches relativement
homogène. Cependant, des digitations ayant la forme des doigts ont été observées dans le cas du
déplacement descendant. L’augmentation du débit d’injection a permis d’élargir le front de
déplacement et il a conduit à une répartition plus uniforme du DNAPL. De la même manière, le
front visualisé dans le cas du déplacement descendant dans un milieu poreux de texture plus
fine a aussi été uniforme.
(ii) Les temps d’arrivée du DNAPL mesurés au niveau de la section de contrôle sont très
variables dans le cas du déplacement descendant { faible débit d’injection traduisant une
répartition non uniforme du TCE dans le milieu poreux. L’augmentation du débit d’injection ou
127
le choix d’une texture plus fine a permis d’obtenir une distribution plus uniforme des temps
d’arrivée et une répartition meilleure du TCE dans le milieu poreux. La figure 5.22 résume ainsi
la distribution des temps d’arrivée du TCE au niveau de la section de contrôle pour les
différentes configurations.
(iii) L’invasion du milieu poreux est significative dans le cas du déplacement ascendant. Par
contre, elle est partielle dans le cas du déplacement descendant { faible débit d’injection. Une
saturation moyenne globale de l’ordre de 60 % a été quantifiée dans le cas du déplacement
descendant. Cependant elle est de l’ordre de 32 % pour le déplacement vertical descendant. Le
doublement du débit d’injection dans le cas du déplacement descendant a permis d’atteindre
une saturation moyenne en TCE de l’ordre de 52%. Le choix d’un milieu poreux de texture fine
(sable H1F) conduit { une saturation en TCE de l’ordre de 47%, saturation largement supérieure
à celle obtenue dans le cas d’un déplacement descendant de texture moyenne (sable H2F).
(iv) La pression du déplacement mesurée { l’entrée de la colonne augmente en fonction du
temps lorsque les conditions de déplacement sont stables. On a observé ceci dans les cas de
déplacement ascendant, du déplacement descendant { fort débit d’injection et du déplacement
dans un milieu poreux de texture fine. L’augmentation de pression est moins importante dans le
cas du déplacement à fort débit d’injection. Cependant, la pression de déplacement diminue dans
le cas de déplacement instable.
(v) Les fronts de saturations sont abrupts dans le cas du déplacement ascendant (cas stable), ils
sont irréguliers dans le cas du déplacement descendant à faible débit. L’augmentation du débit
d’injection ou le choix d’une texture fine a conduit { une répartition plus uniforme du TCE dans
le milieu poreux.
(vi) Les instabilités de déplacement ont été réduites dans un milieu poreux peu perméable. La
mobilité du fluide déplaçant par rapport au fluide en place est atténuée due à la texture plus fine
du milieu et les cheminements préférentiels ont été par conséquent limités.
4.2 CARACTERISATION DU DEPLACEMENT D’IMBIBITION
Le processus d’imbibition a été précédé d’un processus de drainage primaire. La réalisation du
processus de drainage suivant ou contre la direction des forces de gravité conduit à des
saturations en TCE très différentes compte tenu des phénomènes mis en jeu. Cinq scénarios de
déplacement d’imbibition ont été étudiés. Les quatre premiers ont été menés dans un milieu
perméable (sable H2F) :(1) imbibition vertical ascendant précédé d’un drainage vertical
128
ascendant, (2) imbibition verticale ascendante précédée d’un drainage vertical descendant, (3)
imbibition vertical descendante précédé d’un drainage vertical ascendant et(4)imbibition
verticale descendante précédée d’un drainage vertical ascendant. Et un dernier essai est mené
sur un milieu poreux peu perméable (sable H1F) : (5) imbibition vertical descendante précédé
d’un drainage vertical descendant.
129
4.2.1 IMBIBITION VERTICALE ASCENDANTE PRECEDEE D’UN DRAINAGE VERTICAL
ASCENDANT
Dans cet essai, le fluide déplaçant (le TCE dans le cas du drainage et l’eau dans le cas de
l’imbibition) est injecté selon le sens opposé des forces de gravité. Dans ces conditions, le
déplacement du drainage a été stabilisé par l’effet de gravité. Toutefois, la mobilisation du TCE
par l’eau suivant cette même direction (bas vers le haut) est contrariée par la contribution
négative des forces de poussée du fait de la différence de densité entre les deux fluides.
Conformément aux observations lors des essais de drainage (cf.4.1.1), la migration verticale
ascendante du TCE dans le milieu poreux est caractérisée par un déplacement stable conduisant
à une invasion forte en TCE du milieu poreux saturé. En effet, nous enregistrons une saturation
moyenne de l’ordre de 64%.
Lors de l’imbibition, l’injection de l’eau du bas vers le haut accorde aux forces de poussée un rôle
majeur dans le processus de mobilisation de la phase du TCE en place (Dawenson, 1996). Dans
ces conditions, l’eau tend { flotter rapidement vers le haut { cause de sa faible densité par
rapport au TCE. Le TCE tend par contre { résider au bout de la colonne. D’autre part, les forces
de viscosité restent sans effets significatifs compte tenu du débit faible de déplacement. Le
déplacement est dominé par les forces de capillaires qui retiennent le TCE dans les pores. La
mobilisation du TCE est donc limitée et par conséquent une saturation élevée en TCE de l’ordre
(45%) a été quantifié pour ce débit d’injection. L’augmentation du débit d’injection permet
d’amplifier les forces de viscosité qui deviennent prédominantes dans le déplacement. A
l’inverse les effets des forces capillaires et ceux des forces de poussée sont réduits. La
mobilisation du TCE devient par conséquent plus significative et la saturation en TCE dans le
milieu poreux diminue (Tableau 4.2).
Le nombre capillaire (Ca) et le nombre bond (Bo) sont deux nombres adimensionnels évaluant
les effets des forces visqueuses et de poussé sur la saturation résiduelle en DNAPL dans le milieu
poreux. Pour cet essai, le nombre de Bond est de l’ordre de 2.96 10-5, il contourne la mobilisation
du polluant surtout à faible débit. Cependant, l’augmentation du nombre capillaire due { une
augmentation du débit d’injection renforce la mobilisation du DNAPL en place. En effet, les
saturations moyennes en TCE quantifiées par bilan global de masse chutent de 45% à 20%
lorsque le nombre capillaire passe de 4.1 10-6 à 16.8 10-4 (tableau 4.3).
130
Débit d’injection (ml/min) Nombre capillaire (-) Saturation moyenne en
TCE (%)
42 4.1 10-6 45
76 7.5 10-6 32
130 12.8 10-6 25
157 15.5 10-6 22
170 16.8 10-6 20
Tableau.4.3: Saturation moyennes en TCE en fonction du nombre capillaire. Cas de l’imbibition
verticale descendante précédée d’un drainage vertical descendant.
Les saturations en TCE mesurées se stabilisent à la valeur 20% ce qui pourrait correspondre à la
saturation résiduelle en TCE dans le milieu poreux étudié (sable H2F). Cette valeur est
relativement élevée. Ceci est principalement dû à la non efficacité de la mobilisation du TCE en
place induite par les instabilités de déplacement d’imbibition.
FIG.4.48: Profils verticaux des saturations en TCE mesurées à différents profondeurs et positions du
milieu poreux. Cas de l’imbibition verticale ascendante précédée d’un drainage vertical ascendant.
La campagne d’échantillonnage à différentes positions et profondeurs a montré une répartition
hétérogène des saturations en TCE surtout au centre de la colonne (FIG.4.18). A une même
0
10
20
30
40
0 10 20 30 40 50
saturations en TCE (%)
pro
fon
deu
r (c
m)
position latérale1
position centrale
position latérale2
131
profondeur de la colonne, les saturations en TCE quantifiées sur les bords et au centre de la
colonne sont très différentes. Lors de l’imbibition, il n’y a pas de front abrupt de déplacement.
L’eau est passée par des zones préférentielles de faible résistance hydrodynamique.
La cartographie des saturations en TCE a permis d’identifier des hétérogénéités dans la
répartition du TCE piégé dans le milieu poreux. Ces hétérogénéités sont principalement dues au
sens d’écoulement d’eau instable appliqué dans le processus d’imbibition.
4.2.2 IMBIBITION VERTICALE DESCENDANTE PRECEDEE PAR UN DRAINAGE VERTICAL
ASCENDANT
Dans le deuxième essai, les conditions d’injection de TCE ont été conservées par rapport au
premier essai. Cependant l’injection de l’eau a été effectuée dans la direction des forces de
gravité. Les contrastes de densité et de viscosité entre les deux fluides favorisent un
déplacement stable du TCE par l’eau.
Le processus de déplacement du TCE est caractérisé par une récupération élevée du DNAPL dés
l’application d’un débit initial faible (42 ml/s). En effet, la masse mobilisée par ce débit est de
l’ordre de 1448 g de TCE contre 961 g dans le premier essai. En termes de saturation en TCE, les
saturations moyennes en TCE chutent de 64 % vers une saturation de l’ordre de 17%.
L’augmentation de débit d’injection a permis une mobilisation supplémentaire du DNAPL mais
avec un taux de récupération beaucoup plus faible.
Dans ces conditions de déplacement, les forces de gravité maintiennent le fluide déplaçant
(l’eau) au dessus du fluide déplacé (TCE). L’interface TCE/eau est stable et de ce fait la
mobilisation de la phase est meilleure. D’autre part, les forces de viscosité qui sont ainsi en
combinaison avec les forces de poussée peuvent s’exercer convenablement même avec un débit
d’injection relativement faible. Ces conditions de déplacement conduisent alors { des saturations
basses en TCE. Lorsque le débit d’injection augmente, les forces de viscosité deviennent plus
significatives que les forces capillaires. Conformément à ce qui a été remarqué dans le premier
essai, les saturations moyennes en TCE continuent à diminuer lorsque le nombre capillaire
augmente. Les saturations moyennes en TCE passent de 17 % à 12% (tableau 4.4). La saturation
résiduelle moyenne globale atteinte { la fin du processus d’imbibition est de l’ordre de 12 %.
Pour le même nombre capillaire, les saturations enregistrées dans le cas de déplacement
ascendant sont plus faibles que celles enregistrées pour le cas de déplacement descendant
(FIG.4.19). Par ailleurs, les effets des forces de poussée sur le déplacement sont particulièrement
importants dans le cas d’application d’un faible nombre capillaire.
132
Débit d’injection (ml/s) Nombre capillaire (-) Saturation moyenne
(%)
42 4.1 10-6 17
76 7.5 10-6 17
130 12.8 10-6 12
157 15.5 10-6 12
170 16.8 10-6 12
Tableau.4.3 : Saturations moyennes en TCE en fonction du nombre capillaire. Cas de l’imbibition verticale
ascendante précédée d’un drainage vertical descendant.
La saturation résiduelle globale moyenne en TCE est de l’ordre de 12%. Le profil de saturation
en TCE tout au long de la colonne obtenu au moyen de prélèvement de sable montre que les
saturations résiduelles sont plus faibles et plus uniformes que celles obtenues dans le cas de
déplacement ascendant (FIG.4.19). En effet, nous enregistrons même des saturations identiques
à différentes positions de la colonne pour certaines profondeurs (z = 15 cm, z = 25 cm).
Cependant, des saturations élevées ont été enregistrées { l’entré de la colonne dues
essentiellement { l’effet de bout.
FIG.4.59 : Saturation moyennes en TCE en fonction de nombre capillaire lors d’une imbibition verticale
ascendante précédée { un drainage vertical ascendant comparé au cas d’un drainage vertical descendant.
133
En conclusion, les saturations résiduelles obtenues confirment que le déplacement du TCE par
de l’eau a été stable et que les hétérogénéités du champ de saturation observées lors du premier
essai d’imbibition a été essentiellement causées par l’instabilité de l’imbibition
FIG.4.20: Profil verticaux des saturations en fonction de la position dans la colonne. Cas d’imbibition
verticale ascendante précédée à un drainage vertical ascendant.
4.2.3 IMBIBITION VERTICALE DESCENDANTE PRECEDEE D’UN DRAINAGE DESCENDANT
Cet essai reproduit le cas réel lorsqu’un solvant chloré franchit la frange capillaire et s’infiltre
dans la zone saturé de l’aquifère. Le TCE est injecté du haut vers le bas et le déplacement du TCE
par l’eau s’est effectué dans le même sens. Le drainage a été fortement instable compte tenu des
contrastes de densité et de viscosité entre les deux fluides mis en jeu. Néanmoins, les conditions
de déplacement du TCE par l’eau sont favorables et elles conduisent à une mobilisation efficace
du TCE en place.
Conformément aux résultats des expériences de drainage décrites précédemment, la migration
du TCE pour ces conditions de déplacement a conduit à une répartition non uniforme du TCE
dans le milieu poreux. De plus, la quantité de TCE retenue dans le milieu poreux a été faible. La
différence de masse entre la quantité injectée et celle récupérée a conduit à une saturation
globale moyenne en TCE de l’ordre de 33%. Cette saturation est largement inférieure { celle
obtenue dans le cas d’un déplacement stable (64 et 63%). La baisse de la saturation est due {
l’instabilité du déplacement du front de polluant. En effet, pour cette situation, la gravité domine
le déplacement et accentue notamment la vitesse de fluide déplaçant (TCE). Le polluant sollicité
par une forte mobilité migre rapidement vers le bas. Les digitations gravitaires et visqueuses
sont alors prononcées et l’invasion du milieu poreux est limitée.
0
10
20
30
40
0 10 20 30 40 50
saturations en TCE (%)
pro
fon
deu
r (c
m)
position latérale1
position centrale
position latérale2
134
Débit d’injection (ml/s) Nombre capillaire (-) Saturation moyenne
(%)
42 4.1 10-6 16
76 7.5 10-6 16
130 12.8 10-6 13
157 15.5 10-6 13
170 16.8 10-6 13
Tableau.4.4: Saturation moyennes en TCE en fonction du nombre capillaire. Cas de l’imbibition verticale
descendante précédée d’un drainage vertical descendant.
Lors de l’imbibition, l’eau a été injectée en haut de la colonne. Cette configuration correspond à
une situation stable de déplacement. Les forces de gravité et de viscosité contribuent au
déplacement. Le débit initial a permis de déplacer la majorité de la phase libre. Le tableau 4.2
résume la variation des saturations moyennes en TCE pour des nombres capillaires appliqués
mode d’imbibition précédée { un drainage primaire stable (STCE = 12%).
FIG.4.21: Profils verticaux saturations en TCE à différentes positions de la colonne. Cas de l’imbibition
verticale descendante précédée à un drainage vertical descendant.
0
10
20
30
40
0 10 20 30 40
saturation en TCE (%)
pro
fon
deu
r (c
m)
position latérale1
position centrale
position latérale2
135
La figure FIG.4.21 illustre les profils verticaux de saturations à différentes positions de la
colonne. Les saturations quantifiées sur les bords de la colonne (position latéral 2) présentent
des fluctuations prononcées. Ceci est principalement dû aux conditions instables du drainage.
4.2.4 IMBIBITION VERTICALE DESCENDANTE PRECEDEE D’UN DRAINAGE VERTICAL
DESCENDANT
Dans cet essai, les conditions de déplacement du fluide en place sont instables dans les deux
processus dynamiques étudiés (drainage et imbibition). Le déplacement s’effectue sous l’effet
déstabilisant des forces de gravité. La dynamique de mobilisation du DNAPL mobile dans le
milieu poreux est différente de celle observée pour les cas précédents. Le débit initial
d’imbibition ne permet pas de mobiliser la phase en place malgré le volume d’eau suffisant
injecté. Le déplacement est dominé par les forces de gravité, les forces visqueuses sont
négligeables devant les forces capillaires et la saturation en TCE reste par conséquent constante.
L’augmentation du débit d’injection permet d’amplifier le champ de pression dans le milieu
poreux par une augmentation de la perte de charge. L’effet des forces visqueuses devient
prédominantes dans le déplacement. L’effet des forces capillaires est par contre réduit. La
mobilisation du TCE s’effectue et la saturation en TCE chute de 33 % { 22% lorsque le nombre
capillaire passe de 2.9 10-4 à 10.5 10-4 (tableau 4.6)
Débit d’injection (ml/s) Nombre capillaire (-) Saturation moyenne
(%)
42 4.1 10-6 33
76 7.5 10-6 26
130 12.8 10-6 26
157 15.5 10-6 24
170 16.8 10-6 22
Tableau.4.5: Saturations en TCE moyennes en fonction du nombre capillaire. Cas de l’imbibition verticale
descendante précédée d’un drainage vertical ascendant.
136
La figure 4.22 illustre la variation des saturations en TCE moyennes en fonction du nombre
capillaire pour les deux modes de déplacement d’imbibition (vertical ascendant et vertical
descendant). La saturation résiduelle en TCE atteinte (STCE = 22 %) est identique à celle atteinte
lors de l’imbibition effectuée dans le même sens et elle est précédée d’un drainage vertical
ascendant (cas stable). La saturation résiduelle en TCE semble donc dépendante du sens
d’injection de l’eau et non de la saturation initiale en TCE dans le milieu poreux.
FIG.4.22: Saturation en TCE moyenne en fonction du nombre capillaire. Cas de l’imbibition verticale
descendante précédée d’un drainage vertical descendant comparé { l’imbibition verticale descendante
La figure 4.23 montre les profils verticaux des saturations en TCE à différentes positions de la
colonne { la fin de l’imbibition. Le champ des saturations est fortement hétérogène.
FIG.4.23 : Profils verticaux des saturations résiduelles en TCE à différentes positions de la colonne. Cas de
l’imbibition verticale descendante précédé par un drainage vertical descendant.
0
10
20
30
40
0 10 20 30 40
saturation en TCE (%)
pro
fon
deu
r (c
m)
position latérale1
position centrale
position latérale 2
137
Dans certains points, les saturations sont très élevées, elles sont de l’ordre de 35%. Ces points
correspondent à des zones non traversées par de l’eau déplaçant. Dans d’autres points, nous
enregistrons des saturations en TCE très faibles. Ces zones caractérisent alors des
cheminements préférentiels de la phase eau due essentiellement à la gravité.
4.2.5 IMBIBITION VERTICALE DESCENDANTE PRECEDEE D’UN DRAINAGE VERTICAL
DESCENDANT DANS UN MILIEU POREUX DE TEXTURE FINE
Compte tenu des résultats obtenus (cf. 4.1.3), il a été montré que la migration verticale
descendante du TCE dans un milieu peu perméable s’est déroulée dans des conditions stables
permettant une répartition quasi-uniforme du DNAPL dans le milieu poreux.
Lors de l’imbibition, l’injection de l’eau a été effectuée dans le sens positif de la gravité. Le suivi
de la dynamique de mobilisation du TCE montre que la part principale du TCE mobile dans le
milieu poreux a été déplacée dés l’application du débit initial. L’interface eau/TCE étant un front
abrupt, le déplacement est similaire { un déplacement par piston. L’augmentation du débit
d’injection permet une mobilisation supplémentaire du TCE. Les saturations en TCE se
stabilisent autour de 21% contre 12 % dans le cas du déplacement dans le milieu poreux de
texture moyenne (Tableau.4.6).
Débit d’injection (ml/s) Nombre capillaire (-) Saturation moyenne
(%)
42 4.1 10-4 23
76 6.8 10-4 23
120 11.9 10-4 21
157 14.3 21
170 15.7 21
Tableau.4.6: Variation de saturation moyenne en TCE en fonction du nombre capillaire. Cas de l’imbibition
verticale descendante précédé par un drainage vertical descendant dans un milieu poreux peu perméable.
138
0
10
20
30
40
0 20 40 60 80 100
saturation en TCE (%)
pro
fon
deu
r (c
m)
Cette disparité au niveau des saturations résiduelles atteintes dans les deux types de milieu
poreux utilisés s’explique par une différence des effets de forces capillaires qui sont plus fortes
dans le milieu poreux de texture plus fine.
Les profils verticaux des saturations résiduelles mesurées à différentes positions de la colonne
sont illustrés dans la figure 4.24. Le champ de saturation est homogène et montre une
répartition quasi-uniforme du TCE résiduel dans le milieu poreux.
FIG.4.24 : Profils verticaux des saturations en TCE mesurées à différentes positions de la colonne. Cas de
l’imbibition verticale descendante précédé par un drainage vertical descendant dans un milieu poreux peu
perméable.
A une profondeur donnée, les saturations mesurées à différentes positions de la colonne sont
très proches. Nous nous plaçons donc dans des conditions stables de déplacement et les
instabilités observées dans le milieu poreux de texture moyenne sont ainsi réduites.
4.2.6 CONCLUSIONS RELATIVES A DES INSTABILITES OBSERVEES LORS DE L’IMBIBITION
A l’issue de ces expériences, plusieurs remarques et explications ont été émises :
(i) Les saturations résiduelles en TCE obtenues dans le cas du déplacement descendant
du TCE par de l’eau sont plus faibles que celles obtenues dans le cas du déplacement
ascendant. Ceci est du aux forces de poussée qui se comportent différemment dans
les deux modes d’imbibition. Leur contribution au déplacement permet une
mobilisation plus efficace du DNAPL mobile.
(ii) Le nombre capillaire influence de façon significative la mobilisation du DNAPL en
place dans les deux modes de déplacements, vertical ascendant et vertical
descendant. En effet, l’augmentation du débit d’injection de l’eau engendre une
139
amplification des forces de viscosité qui se traduit par une perte de charge plus
élevée et donc un champ de pression plus important. Ces forces deviennent
dominantes devant les forces de gravité. Une baisse de saturations résiduelles en
TCE est alors enregistrée lorsque le nombre capillaire augmente.
(iii) La saturation résiduelle atteinte suite { un processus d’imbibition dans un milieu
poreux fortement saturé en TCE et dans un milieu partiellement saturé en TCE est
identique pour le même sens d’imbibition. La saturation résiduelle en TCE semble
donc être dépendante au sens d’injection de l’eau lessivant et non pas { la saturation
initiale en TCE mobile dans le milieu poreux.
(iv) Lors de l’imbibition verticale ascendante, des instabilités gravitaires ont pu être
observées malgré le rapport de viscosité favorable entre les deux fluides de
déplacement.
(v) La mobilisation du TCE mobile est plus efficace dans un milieu poreux peu
perméable que dans un milieu poreux perméable. La différence en perméabilité
entre les deux milieux utilisés se traduit par la dynamique de mobilisation. Lors de
l’imbibition, les forces de poussée sont dominantes et ont un effet plus important
dans un milieu poreux perméable. Dans le milieu poreux de texture fine, la taille des
grains du milieu poreux diminue et les forces capillaires deviennent plus
importantes pour les mêmes conditions de déplacement. Ceci résulte d’une
saturation résiduelle en TCE plus élevée.
141
CHAPITRE 5
SIMULATION NUMERIQUE D’EXPERIENCES DE
DRAINAGE AU MOYEN DU MODELE DISCRET DE
PORES ET DE CAPILLAIRES DEVELOPPE
5.1 DESCRIPTION DES SIMULATIONS NUMERIQUES
Le modèle numérique présenté dans le chapitre 2 est appliqué pour simuler les expériences de
drainage menées sur une colonne de laboratoire de 68 cm de longueur et de 10 cm de diamètre.
La représentation en modèle réseau de l’intégralité du volume de milieu poreux contenu dans le
module physique nécessite de spécifier une taille représentative du réseau. L’exécution des
simulations requiert d’importantes ressources informatiques. Le temps de calcul élevé provient
principalement de la résolution du système d’équations linéaires de grande taille décrivant le
champ de pression. Il convient donc de les réactualiser en suivant le déplacement des fluides.
Afin de mener des simulations sur un réseau de pores et de capillaires de taille comparable à
celle de l’expérimentation physique, la hauteur du réseau choisi reproduit la hauteur totale du
module physique. Compte tenu de l’espace mémoire disponible du serveur de calcul, la
discrétisation spatiale de la section du milieu poreux s’est limité { une aire réduite
correspondant { 5% de l’aire réelle de la colonne.
Les simulations ont été conduites sur deux réseaux de tailles différentes. Le nombre de pores
NxNyNz selon les trois directions du système de coordonnées cartésiennes(x ,y,z) sont
respectivement 5×5×4858 et 7×7×485 pour le petit et le grand réseau. La section modélisée de
5x5 et de 7x7 est suffisamment large pour que les deux réseaux représentent un volume
élémentaire représentatif. Le nombre des pores suivant la direction Z a été déterminé à partir de
la hauteur de la colonne de laboratoire et de la distance séparant deux pores adjacents supposée
constante dans le réseau. Une représentation complète de la hauteur de la colonne de
laboratoire permet notamment une étude intégrale des effets de forces de gravité lors des
simulations numériques, sans être obligé de passer par un raccordement des sous domaines.
Les distributions du rayon de pores et de capillaires du modèle discret ont été générées à partir
de la courbe granulométrique. Les rayons minimaux, moyens et maximaux relatifs aux pores et
142
aux capillaires ont été évalués au moyen d’un modèle d’empilement des sphères couplé { une
approche de probabilité (voir chapitre 2). Le modèle géométrique permet de fournir plusieurs
combinaisons possibles des paramètres relatifs à la taille de pores et de capillaire. Le tableau 6.1
résume les combinaisons retenues pour les pores et les capillaires lors des simulations
numériques qui reproduisent au mieux les propriétés macroscopiques du milieu poreux réel. La
longueur L entre deux pores adjacents a été fixée à 0.014 mm. Ce paramètre a été choisi pour
que sa valeur soit supérieure à un multiple de rayon maximal des pores du réseau.
Tableau.5.1: Rayons choisis du modèle géométrique du modèle discret et propriétés macroscopiques du
réseau.
Les différentes conditions des expériences de drainage ont été bien reproduites dans les
conditions aux limites et aux valeurs initiales de nos simulations numériques. Les pores et les
capillaires du réseau sont initialement complètement saturés en eau. Les conditions aux limites
imposées dans l’expérience sont convenablement définies sur les faces limites du réseau.
L’augmentation brusque de la pression imposée { l’aval est due { la sortie du TCE de la colonne
au temps de percée. Cette variation de pression se répercute sur la pression mesurée { l’entrée
de la colonne. Des simulations tests ont montré que le temps de percée calculé est plus court
que celui mesuré. Par conséquent, nous prenons en compte cette variation de la pression
imposée au temps de percée calculé par le modèle. Cette rectification de la pression imposée
n’influence pas le déroulement de l’expérience numérique ainsi que la confrontation entre les
résultats numériques et les observations expérimentales. La durée de la simulation correspond à
la durée d’injection du volume du TCE choisi dans l’expérimentation.
Les simulations numériques ont duré environ une journée pour les simulations effectuées sur le
réseau de petite taille (5× 5 × 4858) et environ 15 jours pour celles conduites sur le réseau de
plus grande taille (7×7×4858). La raison pour ce temps CPU (Central Processing Unit) long est le
grand nombre de pas de temps nécessaire pour injecter la totalité du volume du TCE choisi. A
chaque évènement de déplacement, le remplissage complet d’un pore du réseau, la longueur du
pore Capillaire propriétés
macroscopiques
rmin
10-4 mm
rmoy
10-4 mm
rmax
10-4 mm
rmin
10-4 mm
rmoy
10-4 mm
rmax
10-4 mm
porosité
(%)
perméabilité
10-5mm2
42 48 57 17 25 30 43 7.6
143
pas de temps doit être calculée. Par conséquent, environ 73 000 et 143 000 pas du temps ont été
nécessaires pour que le fluide déplaçant atteigne la sortie du réseau ayant pour taille respective
(5×5×4858) et (7×7×4858).
Trois expériences de drainage caractérisant deux régimes de déplacement ont été simulées par
le modèle du réseau développé. Le premier régime est un déplacement stable induit par la
contribution positive des forces de gravité. Ce régime a fait l’objet de la première simulation
numérique. Le second régime est un déplacement gravitaire instable. Dans la littérature, ce type
de régime n’a jamais été étudié complètement au moyen de modèles numériques.
Habituellement, il a été étudié par des modèles de type DLA (Witten et Sander, 1983 ; Paterson,
1984) ou des modèles analogiques dans le cas de déplacement miscible. Dans notre étude, deux
simulations numériques { deux débits d’injections différents ont été conduits pour caractériser
ce régime. La simulation de l’influence de l’augmentation du nombre capillaire sur les
instabilités de déplacement représente l’aspect novateur de notre étude.
Le modèle numérique permet de quantifier l’évolution de la pression de déplacement du DNAPL
{ l’entrée de la colonne, de décrire le profil macroscopique des saturations en DNAPL et de
fournir la distribution des temps d’arrivée du front eau/DNAPL au niveau de la section de
contrôle. Les résultats numériques ont été confrontés aux mesures expérimentales permettant
ainsi de compléter l’interprétation des expériences et d’approfondir la compréhension des
mécanismes physiques mis en jeu.
5.2 SIMULATION DU DEPLACEMENT STABLE
Nous nous plaçons dans les conditions du déplacement de l’eau par du TCE, fluide moins
visqueux et plus dense pour lequel le sens d’application de la gravité est stabilisant. Le fluide
déplaçant est injecté { travers la face inférieure du réseau, { la côte z = 0. Le débit d’injection
appliqué est uniformément réparti sur les pores appartenant { la face limite. Le débit d’injection
choisi dans les simulations est calculé en tenant compte de la section d’entrée modélisé par
rapport { la section réelle de la colonne de laboratoire. Il est de l’ordre de 5.28 10-5 et de 6.06 10-
5 ml/min respectivement pour le réseau de petite et de grande taille. La pression est définie sur
la face de sortie en aval hydraulique du réseau et elle est fixée { 18 cm C.E (colonne d’eau). Elle
correspond à la charge imposée par le déversoir { l’aval de la colonne maintenue constante le
long de l’essai.
144
5.2.1 PRESSION EN FONCTION DU DEPLACEMENT
Nous désignons par la pression le déplacement de la pression induite par l’injection du fluide
déplaçant sur la face entrée du réseau simulé. Peu de travaux se sont intéressés { l’interaction
entre la dynamique de la pression et du comportement de déplacement des fluides
(stable/instable). Bien que le paramètre de saturation soit directement lié à la notion de
récupération dans un réservoir d’huile, c’est le terme de pression qui détermine le déplacement
d’un fluide par un autre fluide.
La figure 5.1 montre la pression simulée avec deux réseaux construits. Elle est comparée à celle
mesurée dans l’expérimentation. La figure comporte également la pression imposée sur la face
limite du réseau. En comparant d’abord les résultats issus du petit réseau et du grand réseau,
nous remarquons que les pressions simulées sont très similaires. Nous constatons aussi un bon
accord entre la quantification expérimentale et numérique notamment en début de
déplacement. La pression de déplacement augmente continuellement en fonction du temps.
FIG.5.1: Pression du déplacement du DNAPL simulée et mesurée en fonction de temps : cas du
déplacement stable.
Après environ une durée de temps d’environ 1000 secondes, la pression mesurée augmente plus
fortement que celle calculée. On explique ceci par une différence de l’agencement de la taille de
pores et de capillaires dans les deux systèmes expérimental et numérique. Des capillaires très
étroits existent dans le milieu poreux réel et non considéré dans le réseau nécessitent alors une
pression de déplacement plus importante pour être envahis par le fluide déplaçant.
La pression calculée { l’amont est due { la contribution des pressions hydrostatiques ΔPhyd et à
la contribution des pressions "visqueuses "ΔPvisq. Pour ces conditions de déplacement, les forces
0
40
80
120
160
0 500 1000 1500 2000 2500
temps (s)
pre
ss
ion
(c
m)
pression calculée
(5x5x4858)pression calculée
(7x7x4858)pression mesurée
pression imposée
145
0
0,02
0,04
0,06
0,94 0,96 0,98 1 1,02 1,04
t/tmoy
fréq
uen
ce
distribution numérique
(7x7x4858)distribution numérique
(5x5x4858)distribution expérimentale
de gravité ont un effet stabilisant sur le déplacement. La contribution des pressions
hydrostatiques est donc positive et elle est combinée à la contribution des pressions visqueuses
liées au déplacement qui augmente au fur et { mesure que le front se déplace. D’autre part, le
gradient de pression hydrostatique tend dans cette situation à anéantir toute forte ségrégation
entre deux points le long du front. Les chemins actifs d’invasion sont alors suffisamment
nombreux. La pression de déplacement augmente donc pour vaincre les forces capillaires
s’opposant au déplacement.
5.2.2 VITESSE DU FRONT DE DEPLACEMENT
Dans le modèle numérique, nous définissons le temps d’arrivée du front de déplacement { un
pore donné du réseau par le temps correspondant au changement de la saturation en fluide
déplaçant dans le pore en question. En se basant sur cette idée, il était possible de recueillir une
distribution du temps d’arrivée du front sur une même section de passage du réseau. La figure
5.2 montre les résultats d’analyse de la distribution des temps d’arrivée du front calculés pour
les deux discrétisations du modèle et mesurées par les capteurs à fibres optiques au niveau de la
section de contrôle. Les courbes représentant les distributions de temps d’arrivée du front
calculés et mesurés sont en accord. L’écart type calculé pour la discrétisation (5x5x4858) est
très proche de celui mesuré. En effet, nous enregistrons un écart-type de l’ordre de 8 secondes et
de 14 secondes respectivement pour le petit réseau (de taille 5x5x4858) et le grand réseau (de
taille 7x7x4858) contre 9 secondes pour le cas de l’expérience physique.
FIG.5.2: Distributions des temps d’arrivée du front de déplacement calculés par le modèle numérique et
observés au niveau de la section de contrôle : cas du déplacement stable.
146
Conformément aux observations expérimentales, la distribution des temps d’arrivée du front
dans une section de passage est quasiment uniforme. Le modèle reproduit convenablement les
mécanismes de stabilité de déplacement entrainés par la contribution positive de la gravité. Le
déplacement stable consiste ici en un processus de compétition entre les forces de gravité
stabilisantes et les forces de viscosité déstabilisantes. Dans cette situation, le gradient de
pression hydrostatique s’ajoute au gradient de pression visqueux à cause de la différence
positive entre la densité de l’eau et du TCE. Le gradient de pression total augmente au fur et {
mesure que le front se déplace vers le haut. Ils permettent alors une invasion prononcée et plus
uniforme des pores. Cela a pour effet de stabiliser le front et de produire un chemin compact de
déplacement avec une interface peu étalée entre la phase mouillante et la phase non mouillante.
La vitesse moyenne de déplacement du front déduit { partir de calcul du temps moyen d’arrivée
du front est de l’ordre de 2,28 cm/s pour le réseau de petite taille et de 2,72 cm/s pour le cas du
réseau de taille plus grande. La vitesse quantifiée par les capteurs { fibres optiques est de l’ordre
de 3.210-2 m/s. Nous constatons que la vitesse mesurée est plus grande que la vitesse calculée
par le modèle de l’ordre de 30% pour le cas du réseau de petite taille. Cette différence semble
être reliée au taux de piégeage de cluster de la phase mouillante derrière le front de
déplacement plus marqué dans l’expérience physique que dans la simulation numérique. Dans le
modèle, la largueur du front est plat, le blocage capillaire semble très affaibli et le piégeage de
cluster du fluide en place derrière le front semble très réduit par rapport aux conditions
d’invasion des pores dans l’expérimentation physique qui est moins prononcée. Le déplacement
est alors plus lent dans les simulations. Cette différence au niveau de l’ampleur de l’invasion des
pores se traduit en terme de vitesse moyenne de déplacement. La non prise en compte d’une
saturation irréductible en eau dans le modèle discret peut aussi expliquer cette différence entre
la quantification physique et numérique. Le remplissage total des pores requiert un temps
supplémentaire et fait ralentir par conséquent le déplacement.
5.2.3 PROFIL DES SATURATIONS MOYENNES EN TCE
A partir des saturations en TCE calculées dans les pores et en tenant compte de la géométrie du
réseau, des saturations moyennes en TCE à différentes côtes du réseau ont été quantifiées pour
décrire le profil macroscopique du front de déplacement. Les saturations en TCE sont calculées
pour des sections différentes du réseau correspondant à plusieurs plans consécutifs
perpendiculaires { l’axe vertical Z. Les n sections sélectionnées se trouvent à une côte z(n)=40.L,
où L est la distance séparant deux pores adjacents dans la direction principale du déplacement.
147
La figure 5.3 illustre la comparaison entre les saturations moyennes en TCE obtenues par les
simulations numériques sur toute la hauteur du réseau et celles mesurées au laboratoire sur une
profondeur de 30 cm à partir du haut de la colonne. Les saturations mesurées et calculées à des
profondeurs proches de la section de sortie (z=NzL) sont faibles. Ceci est principalement dû à
l’injection d’un volume du TCE inférieur au volume totale des pores du milieu poreux. En effet,
le volume injecté représente uniquement 70% du volume de pores. Les saturations sont aussi
quasiment identiques à la profondeur z=-25 cm. Cependant, les saturations calculées par le
modèle sont globalement plus fortes que celles mesurées.
FIG.5.3: Profils des saturations en TCE mesurées et calculées par le modèle. Cas de déplacement stable.
Dans la simulation numérique, le front de déplacement est quasiment plat. Même avec un débit
d’injection petit, la phase mouillante peut être chassée de n’importe quel pore ou capillaire du
réseau. Ce mécanisme est équivalent { un déplacement infini des fluides compressibles. D’autre
part, la non considération de la saturation irréductible en eau dans le modèle peut s’expliquer
par des valeurs élevées des saturations en TCE obtenues par simulation numérique.
5.3 SIMULATION DE DEPLACEMENT INSTABLE
Dans un premier temps, le modèle de pores et de capillaires est utilisé pour simuler la
configuration du déplacement instable dans le cas d’un débit d’injection faible. Dans cette
situation, le TCE est injecté sur la face supérieure du réseau, z=NzL tandis que la condition de
pression est imposée sur la face inférieure. Le débit d’injection appliqué dans l’expérimentation
est uniformément réparti sur les pores de la face limite. La valeur de la pression imposée sur la
face limite correspond { la pression statique exercée par l’eau du réservoir aval. Elle est de
0
20
40
60
80
0 20 40 60 80 100
saturation (%)
pro
fon
de
ur
(cm
)
expérimental
numérique (7x7x4858)
numérique (5x5x4858)
148
0
20
40
60
80
100
0 500 1000 1500 2000 2500
temps (s)
pre
ss
ion
(c
m)
pression calculée
(5x5x4858)pression calculée
(7x7x4858)presssion mesurée
pression imposée
l’ordre de 92 cm C.E. La sortie du polluant de la colonne au moment de la percée provoque une
augmentation brusque de la pression imposée de l’ordre de 6 cm colonne d’eau. Cette
perturbation de la pression est prise en compte dans les simulations numériques au temps de la
percée calculée par le modèle.
5.3.1 PRESSION EN FONCTION DU DEPLACEMENT
La figure 5.4 montre la comparaison de la pression mesurée dans l’expérience avec les résultats
numériques pour les deux discrétisations du réseau. La pression expérimentale à la sortie aval
est également illustrée dans la figure 5.4.
FIG.5.4 : Pression du déplacement du DNAPL simulée et mesurée en fonction du temps : cas du
déplacement instable { faible débit d’injection.
Contrairement au cas de déplacement vertical ascendant, la pression diminue en fonction du
temps. Le modèle reproduit convenablement l’évolution de pression en fonction du temps. Nous
nous plaçons dans des conditions instables de déplacement, l’interface eau/TCE n’est plus
horizontale et plusieurs capillaires sont bloqués par effet de capillarité. Le nombre actif des
chemins d’invasion est alors faible et la section de passage du TCE est réduite. La pression
diminue alors pour garder un débit d’injection constant. Dans ces conditions de déplacement, les
forces de gravité sont déstabilisantes et elles dominent le déplacement. La contribution des
pressions hydrostatiques est négative et elle domine la contribution faible des pressions
visqueuses. Par conséquent, la pression totale diminue en fonction du temps.
Notons aussi que la diminution de la pression est beaucoup plus prononcée dans les simulations
numériques que dans l’expérimentation. D’autre part, nous enregistrons un temps de percée
149
0
0,04
0,08
0,12
0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3
t/tmoy
fréq
uen
ce
distribution numérique
(5x5x4858)distribution numérique
(7x7x4858)distribution expérimentale
précoce dans les simulations menées sur le grand réseau par rapport à celui mesuré. Le
déplacement est plus rapide dans les simulations que dans l’expérience physique. L’effet
déstabilisant des forces de gravité sur le déplacement semble plus significatif dans les
simulations numériques que dans l’observation expérimentale.
5.3.2 VITESSE DU FRONT DE DEPLACEMENT
Le déplacement de l’eau par le TCE est le siège des digitations bien marquées. Une des
caractéristiques importantes d’un cluster est la préférence sur le remplissage des pores par la
phase déplaçante. L’hypothèse de base de la théorie phénoménologique sur les écoulements
diphasique en milieu poreux suppose que la phase non mouillante remplit de préférence dans
des conditions instables les pores les plus larges. Ces conditions de déplacement instable
gravitaire conduisent à des cheminements préférentiels. Ces phénomènes sont confirmés
numériquement par la distribution des temps d’arrivée du front sur une même section du
passage du réseau.
FIG.5.5: Distribution des temps d’arrivée du front eau/TCE mesurés et calculés au niveau de la section de contrôle : cas du déplacement instable { faible débit d’injection.
Le suivi du front eau/TCE au niveau de la section de contrôle montre que seuls 11 sur les 25
pores et 22 sur les 49 pores de la même section ont été envahis respectivement pour le petit et le
grand réseau. L’analyse de la distribution des temps d’arrivée du front montre une distribution
fortement non uniforme des temps d’arrivée avec un écart type nettement significatif. La figure
5.5 montre la comparaison de la distribution des temps d’arrivée du front eau/TCE calculés et
observés au niveau de la section de contrôle.
Les courbes obtenues des temps d’arrivée du front du TCE calculés et mesurés présentent un
écart-type très similaire. Il est de l’ordre de 75 s et 53 s respectivement dans les simulations
150
menées sur le petit et le grand réseau contre 70 s dans l’expérience physique. Le temps moyen
d’arrivée du front mesuré au niveau de la section de contrôle est de l’ordre de 747 s. Néanmoins,
le temps moyen calculé est de l’ordre de 823 s et de 633 s respectivement pour le réseau de
petite et de grande taille. Le modèle reproduit ainsi les phénomènes des cheminements
préférentiels. Du fait de la gravité, le polluant envahit les pores de grande taille et les capillaires
présentent une pression capillaire minimale.
FIG.5.6: Occupation des pores par la phase non mouillante dans des sections de passages du réseau(a)
représentation du schéma d’invasion sur un plan (XZ) et (YZ) et (b) représentation du schéma d’invasion
en plan XY. Les zones colorées en rouge regroupent les pores et les capillaires envahis par le TCE, les
zones en bleu référent aux pores et capillaires non envahis.
Le modèle permet aussi fournir une distribution des temps d’arrivée du front sur d’autres
sections de passage situées à des positions différentes de la section de contrôle. Pour mieux
représenter les phénomènes, l’invasion de pores est approchée comme un problème de
percolation. Dans notre cas, les capillaires ne contribuent pas à la saturation et le concept
d’invasion est formulé par une matrice d’occupation des pores. Un pore envahi par la phase non
mouillante prend la valeur 1 et il prendra la valeur 0 dans le cas inverse. La figure 5.6 illustre
une représentation de schéma d’invasion de la phase non mouillante sur trois sections de
passages comportant la section de contrôle (section 2) et il existe deux autres sections situées
(b) (a)
151
0
20
40
60
80
0 20 40 60 80 100
saturation en TCE (%)
pro
fon
eu
r en
(cm
)
numérique (5x5x4858)
numérique (7x7x4858)
expérimentale
dessus et au dessous. La formation obtenue montre la formation des digitations entraînées
principalement par les forces gravitaires.
5.3.3 PROFIL DES SATURATIONS MOYENNES EN TCE
La figure 5.7 illustre les profils des saturations calculées et mesurées. Nous constatons que les
saturations moyennes calculées par le modèle sont largement plus fortes que celles mesurées
sur une profondeur de 30 cm de la face d’entrée de la colonne. Le suivi complémentaire du front
de saturation sur toute la profondeur du réseau montre la formation d’un doigt bien marqué. La
forme du doigt généré dans les simulations menées sur le petit et le grand réseau est similaire.
FIG.5.7: Profils de saturations mesurées et calculées en fonction de la profondeur.
Les forces de gravité provoquent notamment la ségrégation des fluides de déplacement et
conduit { la formation des clusters de l’eau piégé. Le fluide déplaçant remplit plus rapidement
les capillaires larges et bloque les capillaires étroits. L’eau reste ainsi piégée dans le capillaire
étroit. Ce processus de piégeage sera plus prononcé dans certaines zones du réseau. Certains
doigts progressent plus rapidement dans certaines zones que dans d’autres zones caractérisées
par une résistance hydrodynamique importante. Le front de déplacement résultant présente
alors des fluctuations marquées.
152
5.4 SIMULATION DE L’INFLUENCE DU NOMBRE CAPILLAIRE SUR LES
INSTABILITES DE DEPLACEMENT
Les simulations numériques précédentes ont mis en évidence l’influence prédominante de la
gravité sur le déplacement dans le cas d’un nombre capillaire faible. Nous nous intéressons dans
cette section { l’étude numérique des conditions de déplacement instable pour lequel les forces
visqueuses deviennent plus significatives dans le déplacement.
Le débit d’injection est doublé et il est uniformément réparti sur les pores de la face supérieure
du réseau. La pression limite appliquée à la sortie du réseau est égale à 92 cm C.E (colonne
d’eau). L’augmentation brusque de la pression imposée { l’aval de la colonne et il est provoqué
par la sortie du TCE. Toutefois, elle est prise en compte différemment dans les simulations. La
pression imposée sur la face limite du réseau passe de 92 cm C.E à la valeur de 98 cm C.E au
moment de la sortie du DNAPL du réseau. Les simulations ont été menées uniquement avec le
petit réseau. Ce choix est justifié par le temps de calcul nécessaire pour effectuer la simulation.
5.4.1 PRESSION EN FONCTION DU DEPLACEMENT
La figure 5.8 montre la pression de déplacement calculée et mesurée dans la section d’entrée en
fonction du temps. La pression imposée sur la face de sortie du réseau est également représenté
sur la même figure. L’évolution de la pression en fonction du temps n’est pas bien reproduite
par le modèle numérique. En effet, nous constatons que la pression mesurée reste globalement
constante au cours du temps malgré des petites fluctuations. L’augmentation brusque de la
pression est due à la variation de la pression imposée par l’aval causée lors de la sortie du TCE
au moment de percée. Bien que la pression calculée soit comparable à celle mesurée, le modèle
numérique prédit une diminution de la pression en fonction du temps. Cependant, cette
diminution de la pression est nettement moins prononcée que dans le cas du déplacement à
faible débit d’injection.
Dans ces conditions de déplacement, la contribution des pressions hydrostatiques est négative. Il
est a noté que les pertes de charges ont été doublées par rapport au cas de faible débit
d’injection. Une pression d’entrée plus importante est nécessaire pour maintenir un débit
d’injection constant. Les effets locaux dans le gradient de pressions visqueuses deviennent
significatifs et permettent de balancer la contribution négative des pressions hydrostatiques. La
tendance de l’évolution de pression change d’un comportement descendant { un comportement
relativement constant observé notamment dans l’expérimentation. Cependant, durant la
153
transition vers le régime des pressions visqueuses, elle n’a pas été suffisamment reproduite par
le modèle.
FIG.5.8 : Pression mesurée et calculée { la section d’entrée. Cas de déplacement instable { fort débit
d’injection.
Dans le modèle, les effets des forces visqueuses n’ont pas été suffisamment importantes pour
contrarier les effets déstabilisants des forces de gravité due peut être à la taille de pores et de
capillaires constituant le réseau. La contribution des pressions visqueuses ne domine pas la
contribution négative des pressions hydrostatiques et par conséquent la pression totale diminue
en fonction de temps. Une étude de sensibilité relative à la taille des pores et de capillaires
constituants le réseau pourrait apporter une explication.
5.4.2 VITESSE DU FRONT DE DEPLACEMENT
La figure 5.9 illustre les résultats de l’analyse statistique des distributions des temps d’arrivée au
niveau de la section de contrôles obtenus dans l’expérience et lors des simulations numériques.
Les distributions obtenues sont en accord. En effet, les caractéristiques de deux distributions en
termes de valeur moyenne et d’écart-type sont proches. En effet, le temps moyen d’arrivée du
front est de l’ordre de 489 s contre 512 s enregistré dans l’expérience. L’écart type de la
distribution calculée est environ 24 s tandis que celui évalué pour la distribution mesurée est de
17 s. Conformément aux observations, la distribution des temps d’arrivée du front est plus
uniforme que dans le cas du déplacement { faible débit d’injection.
154
FIG.5.9: Distribution des temps d’arrivée du front mesurés et calculés au niveau de la section de contrôle.
Cas de déplacement vertical descendant { fort débit d’injection
Pour un débit plus élevé, le front du déplacement est stabilisé par l’effet des forces visqueuses
plus signifiantes même si le rapport de viscosité est défavorable entre les deux fluides de
déplacement. Un chemin compact de déplacement avec une interface peu étalée entre la phase
mouillante et la phase non mouillante s’est développé. L’effet déstabilisant du nombre de Bond
est donc compensé par l’effet stabilisant des pressions visqueuses.
5.4 .3 PROFIL DES SATURATIONS MOYENNES EN TCE
Etant donné les conditions de déplacement mises en jeu, le TCE se déplace vers la sortie du
réseau dans une structure stable. La figure 5.10 montre la comparaison entre les profils
verticaux de saturations en TCE mesurées et calculées. Les saturations en TCE calculées sont
plus élevées que celles mesurées entre les profondeurs de 10 et 30 cm. Cependant les deux
profils sont en bon accord dans la mesure où ils présentent moins d’irrégularités par rapport au
cas du déplacement avec un débit d’injection faible.
Par ailleurs, le profil de saturations obtenues par le modèle montre une forte invasion des zones
proches de la surface d’entrée du réseau. Le modèle reproduit le fait que lorsque le débit
d’injection augmente les forces visqueuses deviennent de plus en plus importantes. Les pores et
les capillaires fins proches de l’entrée peuvent alors être envahir préférentiellement les pores et
les capillaires larges proches de la sortie. Ceci peut justifier les fortes saturations obtenues à des
profondeurs proches de la section d’entrée (STCE de l’ordre de 80%) par rapport { celle
obtenues { une profondeur proche de la sortie (STCE de l’ordre de 30%).
0
0,01
0,02
0,03
0,92 0,96 1 1,04 1,08 1,12
t/tmoy
fréq
uen
ce
distribution expérimentale
distribution numérique
155
FIG.5.10: Profil verticaux des saturations en TCE mesurés et calculé : cas de déplacement vertical
descendant { un fort débit d’injection.
CONCLUSION
Les différentes simulations réalisées correspondent à des valeurs de paramètres expérimentaux.
Elles sont mises en évidence les spécificités du modèle numérique développé. Elles ont ainsi
révélé les limites, principalement en ce qui concerne la transition vers un régime des pressions
visqueuses suite à une augmentation du nombre capillaire. En outre, elles ont laissé apparaître,
dans toutes les simulations des différentes configurations de déplacement une surestimation des
saturations moyennes en TCE.
Néanmoins, ces simulations ont permis de quantifier la compétition entre les différentes forces
impliquées dans le déplacement de drainage. Elles ont confirmé l’occurrence des cheminements
préférentiels qui caractérise la migration du DNAPL dans le milieu poreux saturé que nos
expériences avaient montré. Par ailleurs, elles ont présenté une grande capacité dans la
reproduction de l’évolution temporelle de la pression { travers le système et plus
particulièrement dans la configuration du déplacement ascendant et celle du déplacement
ascendant { faible débit d’injection. Elles ont également donné des prédictions pour une gamme
plus large de valeurs de paramètres contrôlés dans l’expérience notamment en ce concerne le
profil macroscopique des saturations et de suivi des temps d’arrivée du front eau/TCE sur une
même section de passage. Elles ont montré, en particulier, une grande fiabilité pour simuler
correctement des aspects différents du processus de drainage dans une configuration plus
générale que celle généralement étudiée : le déplacement stable.
0
20
40
60
80
0 20 40 60 80 100
saturation en TCE (%)
pro
fon
deu
r (c
m)
numérique
expérimentale
156
157
Conclusion Générale
Les recherches menées ont permis de quantifier par voie expérimentale et numérique les
instabilités de déplacement lors de la migration d’un fluide non miscible et plus dense que l’eau
(DNAPL) dans un milieu poreux homogène. Elles ont également mis en relief l’influence de
certains paramètres tels que le sens de déplacement, le débit d’injection et la texture du milieu
poreux sur la stabilité de l’interface DNAPL/eau.
En premier lieu, la synthèse bibliographique nous a servi de référence pour le développement
d’un modèle discret de pores et de capillaires pour la description des mécanismes de
déplacement { l’échelle des pores. Elle nous a permis également de comprendre les mécanismes
physiques fondamentaux des déplacements de fluides non miscibles. Le dispositif expérimental
tel qu’il a été conçu a permis de fournir des informations quantitatives précises sur la migration
du polluant non miscible dans un milieu saturé. Les matériels associés (verre, acier inoxydable,
Téflon) ont montré leur efficacité au cours de ces expériences. De même la méthode d’analyse
(CPG) et la technique d’échantillonnage (prélèvement in situ au moyen de la sonde non
perturbatrice) ont permis de quantifier avec précision les saturations résiduelles en TCE. Les
simulations numériques au moyen du modèle discret développé ont globalement confirmé les
caractéristiques du déplacement du drainage que nos expériences de laboratoire ont montrées.
Ces simulations ont également permis de tester le modèle numérique développé en montrant
dans quelle mesure il est capable de reproduire les phénomènes observés et d’autre part
d’approfondir la compréhension des mécanismes physiques de déplacement mis en jeu.
RESULTATS …LES POINTS FORTS
Les expériences réalisées sur colonne de laboratoire ont permis d’analyser l’instabilité du
déplacement de drainage eau/DNAPL et de quantifier la répartition du DNAPL dans le milieu
poreux saturé pour les différentes configurations de déplacement (vertical ascendant et vertical
descendant). Contrairement aux conditions stables de déplacement (vertical ascendant), la
distribution des temps d’arrivée du front mesurée au niveau de la section de contrôle a été plus
étalée dans le cas de déplacement instable (vertical descendant) et son écart-type calculé a été
plus significatif. Les réplicas expérimentaux effectués ont confirmé les mesures enregistrées par
les capteurs à fibres optiques mis au point lors de notre étude. Par ailleurs, la quantification fine
158
des saturations en TCE effectuée à la fin de chaque expérience ont permis de confirmer les
instabilités gravitaires de déplacement relevées au moyen des capteurs à fibres optiques.
Une spécificité de notre étude numérique portait sur la détermination des paramètres réels du
modèle discret développé. En effet, les rayons minimaux, moyens et maximaux introduits dans le
modèle pour générer la distribution de la taille de pores et de capillaires du réseau ont été
quantifiés sur la base d’une approche d’empilement des sphères couplée { une approche de
probabilité. La taille du réseau choisi dans les simulations a été suffisamment grande pour
reproduire un volume élémentaire représentatif. Le modèle développé a permis de simuler
correctement des aspects différents du processus de déplacement caractérisés initialement par
l’expérience physique. En effet, les distributions des temps d’arrivée calculés et mesurées ont
été en bon accord pour différentes configuration de déplacement (configuration stable ou
instable) simulées. De plus, le modèle a montré, en particulier, une grande capacité dans la
caractérisation du lien entre l’évolution de la pression { l’entrée du système et la condition de
déplacement. En effet, conformément aux observations expérimentales, la pression calculée
augmente continuellement en fonction du temps lorsque nous nous plaçons dans des conditions
stables. Cependant, son évolution temporelle est descendante dans le cas du déplacement
gravitaire instable. Par ailleurs, il a permis de donner des prédictions pour une gamme plus
large de valeurs de paramètres contrôlés dans l’expérience notamment en ce concerne le profil
macroscopique des saturations et le suivi des temps d’arrivée du front eau/TCE sur une même
section de passage. Pourtant les saturations en TCE calculées par le modèle ont été plus élevées
que les saturations mesurées. La non prise en compte d’une saturation irréductible de l’eau dans
le modèle ainsi que la différence d’agencement des pores dans le réseau modélisé par rapport {
celui du milieu poreux réel peuvent expliquer cette divergence entre la quantification
numérique et physique.
LES ACQUIS DU TRAVAIL
Les acquis de ce travail de thèse se résument comme suit
Instabilités de déplacement
La migration du polluant non miscible, plus dense et moins visqueux que l’eau est non uniforme
dans le milieu poreux saturé compte tenu des instabilités de déplacement. Ces instabilités
peuvent exister même pour un rapport de viscosité favorable entre le fluide déplaçant et le
fluide déplacé { cause des effets de forces de gravité. Cet aspect a été observé lors de l’injection
de l’eau du bas vers le haut. Dans cette configuration, le fluide déplaçant (eau) est plus visqueux
que le fluide déplacé (TCE), par contre la non uniformité du front eau/TCE a pu être observé.
159
Effets des forces de gravité
Les forces de gravité ont une influence importante sur les phénomènes de digitations lors de la
migration verticale du polluant non miscible dans le milieu poreux saturé. Ces forces stabilisent
le front DNAPL/eau conduisant à une distribution uniforme du polluant lors du déplacement
ascendant. Dans le cas inverse, le champ de saturation devient fortement hétérogène. De la
même manière, les forces de poussée conditionnent le déplacement du TCE par l’injection de
l’eau. En effet, ces forces stabilisent le déplacement conduisant { une mobilisation efficace de la
phase mobile du TCE ou déstabilise le déplacement induisant une faible mobilisation.
Effets du débit d’injection
Le débit d’injection de l’eau peut influencer de façon significative le processus de déplacement
non miscible. Dans la gamme des nombres capillaires choisis, l’augmentation du débit d’injection
a permis de réduire les instabilités gravitaires même pour un rapport de viscosité défavorable
entre les deux fluides non miscibles. L’augmentation de débit d’injection engendre notamment
une augmentation de la perte des charges et donc des pressions visqueuses qui réduisent la
contribution négative des pressions hydrostatiques. Le gradient total de pression devient par
conséquent favorable résultant d’une pression qui évolue peu et reste quasiment constante. Lors
du processus d’imbibition, l’augmentation du débit d’injection permet une mobilisation
significative du TCE en place, indépendamment du sens de déplacement. Dans ce cas, les forces
de viscosité dominent par conséquent les forces de gravité.
Effets de la texture du milieu poreux
Les instabilités de déplacements ont été moins prononcées dans le cas d’un milieu poreux de
texture fine. Ceci est dû au fait que les forces de gravité qui sont { l’origine des digitations
gravitaires dans un milieu poreux à texture moyenne jouent un rôle moins important. Les forces
capillaires sont par contre significatives et conduisent à des saturations résiduelles en TCE plus
élevées.
Perspectives
Dans une étape ultérieure, quelques pistes de recherche peuvent être envisagées :
- Bien que la technique des fibres optiques ait permis d’obtenir des informations précises
sur les instabilités de déplacement, la technique de la tomographie acoustique pourrait
être une technique prometteuse pour quantifier de façon complémentaire les instabilités
de déplacement.
160
- L’utilisation d’autres solvants chlorés de densités différentes permettrait de formuler
une approche permettant d’analyser l’évolution des saturations en polluant en fonction
du nombre de Bond.
- La distribution de la taille des pores affecte typiquement le remplissage des pores
lorsque les forces de gravité sont importantes. Une étude de sensibilité plus détaillée
semble pertinente pour analyser l’effet de la taille des pores et des capillaires sur la
stabilité du déplacement.
- La simulation du réseau de taille plus grande est limitée par le temps de calcul. Pour
mener des simulations sur des réseaux comparables à ceux de l’expérimentation,
d’autres algorithmes plus efficaces devraient être développé par exemple ceux qui
utilisent des schémas d’accélération de calcul telle que l’accélération Fourrier (Batrouni
et Hansen, 1998).
- La simulation numérique des expériences d’imbibition qui constituent une base des
données intéressantes nécessite le développement d’un modèle de calcul
supplémentaire.
- Le choix d’une géométrie des pores et des capillaires plus complexe permet la prise en
compte d’autres mécanismes de déplacement de drainage tel que les films d’eau.
162
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170
Liste des figures
CHAPITRE 1: GENERALITES SUR LES INSTABILITES DE DEPLACEMENT DANS UN MILIEU
POREUX SATURE
FIG.1. 1 : Echelles d’observation (Yra, 2006). ............................................................................................................... 15
FIG.1. 2 : Tension interfaciale entre solide C, fluide mouillant A et fluide non mouillant B. .................. 20
FIG.1. 3: Interface dans un capillaire. .............................................................................................................................. 21
FIG.1. 4: Courbe drainage-imbibition (Benremita, 2002). ..................................................................................... 22
FIG.1. 5 : Mécanisme de déplacement : mouvement des interfaces dans le processus de drainage
d’après Jerauld et Salter (1990). ........................................................................................................................................ 23
FIG.1. 6: Mécanisme de "snapp-off", d’après Jerauld et Salter (1990). ............................................................. 24
FIG.1. 7: Mécanisme de rétraction. .................................................................................................................................... 24
FIG.1. 8: Migration du DNAPL dans le milieu poreux (a)DNAPL mobile (b)DNAPL résiduel (piégé).
............................................................................................................................................................................................................ 25
FIG.1. 9 : Mécanisme de piégeage du DNAPL dans un milieu poreux mouillant { l’eau (Lefebvre
2003). .............................................................................................................................................................................................. 26
FIG.1. 10: Régime de stabilité du front d’après Lenormand (1988). ................................................................. 31
FIG.1. 11: Images typiques de digitation visqueuse obtenues (a)expérimentalement dans un milieu
poreux constitué d’un réseau de billes coincées entre 2 plaques de verre par Løvoll et al. (2004)(b)
expérimentalement dans des canaux tracés dans du verre par Ferer et al. (2004). Les flèches
indiquent les zones d’injection. ........................................................................................................................................... 32
FIG.1. 12 : Images typiques de digitation capillaire obtenues (a) expérimentalement dans un milieu
poreux constitué d’un réseau de billes coincées entre 2 plaques de verre par Løvoll et al. (2004)(b)
expérimentalement dans des canaux tracés dans du verre par Ferer et al. (2004). .................................. 33
FIG.1. 13 : Images typiques de déplacement stable obtenues (a)expérimentalement dans des canaux
tracés dans de la résine par Lenormand et al. (b) numériquement dans un réseau de canaux de
taille variable par Aker et al. (1998). Les flèches indiquent les zones d’injection....................................... 33
FIG.1. 14 : Schéma descriptif d’une cellule de Hele Shaw. ...................................................................................... 35
171
CHAPITRE 2: CONCEPTION D’UN MODELE DISCRET DE TYPE RESEAU DE PORES ET DE
CAPILLAIRE POUR LA MODELISATION DE LA DYNAMIQUE DU DRAINAGE EAU/DNAPL
FIG.2.1: Géométrie du milieu poreux dans le modèle (a)Schématisation d’un réseau de pores et de
capillaires dans un milieu poreux en deux dimensions, le solide est présenté en gris foncé, les
régions remplies de polluant en gris clair et les zones blanches contiennent du l’eau, les points noirs
correspondent aux pores et les traits pointillés aux capillaires (b)Vue en dimension 2D d’un réseau
régulier de pores et de capillaires dans le modèle développé. .............................................................................. 54
FIG.2.2 : Réseaux de pores et de capillaires. .................................................................................................................. 55
FIG.2.3 : Déplacement dans un capillaire relié à deux pores i et j. Le capillaire contient un ménisque
situé à une côte zf. Le fluide dans le pore i et j ayant respectivement une pression Pi et Pj et
respectivement une saturation Si, Sj. ................................................................................................................................ 60
FIG.2.4: Illustration de la discrétisation de l’empilement de sphères suivant des tétraèdres (a)quatre
sphères en configuration de chevauchement dans le tétraèdre (b) Approximation de l’espace poral
par un pore interstitiel connecté à 4 capillaires de rayons r1,r2,r3 et r4. .......................................................... 71
FIG.2.5 : Courbe granulométrique du sable H2F. Sable moyen utilisé dans notre expérimentation. . 73
FIG.2. 6: Courbe de la discrétisation de la distribution granulométrique selon une répartition
gaussienne. ................................................................................................................................................................................... 74
FIG.2.7: Distribution de la taille des pores déduite { partir du modèle d’empilement. ............................ 75
FIG.2.8: Différentes distribution de la taille des capillaires déduites de modèle d’empilement. .......... 76
FIG.2.9: Calcul de la conductance hydraulique harmonique dans un capillaire. ......................................... 81
CHAPITRE 3: MATERIELS ET METHODES
FIG.3.1: Schéma représentatif d’une fibre optique..................................................................................................... 84
FIG.3.2 : Principe de guidage de la lumière dans la fibre........................................................................................ 85
FIG.3.3: Architecture d’un capteur { fibre optique .................................................................................................... 87
FIG.3.4: Module de mesure développé par «VEGAS ». ............................................................................................... 89
FIG.3.5: Montage optique pour tester la fiabilité du dépôt. ................................................................................... 91
FIG.3.6: Chambre d’évaporation thermique.................................................................................................................. 92
FIG.3.7: Principe de fonctionnement du capteur à fibre optique. ....................................................................... 93
172
FIG.3.8: Courbe granulométrique du sable H1F. ......................................................................................................... 95
FIG.3.9: Courbe granulométrique du sable H2F. ......................................................................................................... 96
FIG.3.10 : Colonnes de laboratoire utilisé dans le laboratoire. ............................................................................ 97
FIG.3.11: Schéma descriptif du capteur de pression utilisé dans l’expérimentation. ................................. 98
FIG.3.12 : Etalon numérique DPI 610/615. ................................................................................................................... 98
FIG.3.13: Sonde de prélèvement (Bohy, 2004). ......................................................................................................... 100
FIG.3.14 : Schéma descriptif de la chromatographie à phase gazeuse. ........................................................ 101
FIG.3.15 : Dispositif expérimental. .................................................................................................................................. 103
FIG.3. 16: Disposition des fibres optiques dans la section de contrôle (a) schématisation de la
configuration choisie des fibres optiques (b) positions de la zone détectrice des fibres par rapport
au centre de la section de contrôle. ................................................................................................................................ 104
FIG.3.17 : Gabarit d’échantillonnage, on repère chaque point par l’angle qu’il fait par rapport au
point centre. Les chiffres entre parenthèses repèrent les fibres optiques mises en place. Les fibres 7
et 10 ne sont pas mises en place. ..................................................................................................................................... 106
CHAPITRE 4: RESULTATS EXPERIMENTAUX ET INTERPRETATIONS
FIG.4.1 : Front du DNAPL (rouge) visualisé sur la paroi de la colonne au début (photo gauche) et à
la fin de l’expérience. Cas du drainage vertical ascendant. ................................................................................ 111
FIG.4.2 : Temps d’arrivée du front du TCE enregistrés au moyen des fibres optiques. Cas du drainage
vertical ascendant .................................................................................................................................................................. 112
FIG.4.3 : Discrétisation de la distribution des temps d’arrivée normalisée par rapport à leurs
moyennes relatives pour les trois essais de drainage en configuration vertical ascendante. ........... 113
FIG.4.4 : Variation en fonction du temps de la pression mesurée { l’entrée de la colonne par le
capteur de pression et le tube piéziomètrique. Cas du drainage vertical ascendant. ............................ 114
FIG.4.5 : Profils des saturations en TCE mesurées à différentes positions et profondeurs de la
colonne. Cas du drainage vertical ascendant ......................................................... Erreur ! Signet non défini.
FIG.4.6 : Front du DNAPL visualisé sur la paroi de la colonne au début (photo à gauche) et à la fin
de l’expérience (photo { droite). Cas du draiange vertical descendant ........................................................ 116
FIG.4.7 : Temps d’arrivée du front du DNAPL dans la section de contrôle. Cas du draiange vertical
descendant ................................................................................................................................................................................. 117
173
FIG.5.8 : Discrétisation de la distribution des temps d’arrivée du front de DNAPL obtenus les trois
essais du déplacement vertical ascendant. .............................................................. Erreur ! Signet non défini.
FIG.4.9 : Ecart entre les temps d’arrivée du front par rapport { leur moyenne pour les deux modes
de déplacement. Vertical ascendant et vertical descendant décrits précédemment .............................. 118
FIG.4.10 : Saturations en TCE mesurées à différents emplacements de la section proche des fibres
(les cercles représentent les points de prélèvement des échantillons). Cas du drainage vertical
descendant ................................................................................................................................................................................. 118
FIG.4.11 : Pression du DNAL en fonction du temps mesurée { l’entrée de la colonne. Cas du drainage
vertical descendant ............................................................................................................................................................... 119
FIG.4.12 : Saturations en TCE à différentes positions et profondeurs de la colonne (centre et aux
deux bords). Cas du drainage vertical descendant ................................................................................................. 121
FIG.4.13 : Déplacement du TCE visualisé sur la paroi de la colonne au début (photo à gauche) et à
droite (photo à droite). Cas du drainage vertical descendant avec débit doublé ................................... 121
FIG.4. 14 : Pression mesurée { l’entrée de la colonne en fonction de temps. Cas du drainage vertical
descendant avec débit doublé ........................................................................................ Erreur ! Signet non défini.
FIG.4.15 : Profils verticaux des saturations à différents profondeurs et positions de la colonne. Cas
du drainage vertical descendant avec débit doublé.............................................................................................. 123
FIG.4.16 : Front du TCE visualisé sur la paroi de la colonne au début (photo gauche), à un temps
intermédiaire et { la fin de l’expérience. Cas du drainage descendant dans un milieu poreux peu
perméable (sable H1F) ........................................................................................................................................................ 124
FIG.4.17 : Pression mesurée { l’entrée de la colonne en fonction du temps. Cas de déplacement
vertical descendant dans un milieu poreux peu perméable (sable fin H1F). .............................................. 125
FIG.4.18: Profils verticaux des saturations en TCE mesurées à différents profondeurs et positions du
milieu poreux. Cas de l’imbibition verticale ascendante précédée d’un drainage vertical ascendant
......................................................................................................................................................................................................... 130
FIG.4.19 : Saturation résiduelle en TCE en fonction de nombre capillaire lors d’une imbibition
verticale ascendante précédée { un drainage vertical ascendant comparé au cas d’un drainage
vertical descendant ............................................................................................................................................................... 133
FIG.4.20 : Profil des saturations en fonction de la profondeur et de la position. Cas d’imbibition
verticale ascendante couplée à un drainage vertical ascendant .................................................................... 133
FIG.4.21:Profils verticaux saturations en TCE à différentes positions de la colonne. Cas de
l’imbibition verticale descendante précédée { un drainage vertical descendant ................................... 134
174
FIG.4.22 : Saturation en TCE moyenne en fonction du nombre capillaire. Cas de l’imbibition
verticale descendante précédée d’un drainage vertical descendant comparer { l’imbibition verticale
descendante .............................................................................................................................................................................. 136
FIG.5.23 : Profils verticaux de saturations résiduelles en TCE à différentes positions de la colonne.
Cas de l’imbibition verticale descendante précédé d’un drainage vertical descendant ....................... .136
FIG.4.24 : Profils verticaux des saturations en TCE mesurées à différentes positions de la colonne.
Cas de l’imbibition verticale descendante précédé par un drainage vertical descendant dans un
milieu poreux peu perméable…………………………………………………………………………………156
CHAPITRE 5: SIMULATION NUMERIQUE DES EXPERIENCES DE DRAINAGE AU MOYEN DU
MODELE DISCRET DE PORES ET DE CAPILLAIRES DEVELOPPE
FIG.5.1: Pression du déplacement du DNAPL simulée et mesurée en fonction de temps : cas du
déplacement stable. ............................................................................................................................................................... 144
FIG.5.2: Distributions des temps d’arrivée du front de déplacement calculés par le modèle
numérique et observés au niveau de la section de contrôle : cas du déplacement stable. ................... 145
FIG.5.3: Profils des saturations en TCE mesurées et calculées par le modèle. Cas de déplacement
stable. ........................................................................................................................................................................................... 147
FIG.5.4 : Pression du déplacement du DNAPL simulée et mesurée en fonction du temps : cas du
déplacement instable { faible débit d’injection. ....................................................................................................... 148
FIG.5.5: Distribution des temps d’arrivée du front eau/TCE mesurés et calculés au niveau de la
section de contrôle : cas du déplacement instable { faible débit d’injection. ............................................. 149
FIG.5.6: Occupation des pores par la phase non mouillante dans des sections de passages du
réseau(a) représentation du schéma d’invasion sur un plan (XZ) et (YZ) et (b) représentation du
schéma d’invasion en plan XY. Les zones colorées en rouge regroupent les pores et les capillaires
envahis par le TCE, les zones en bleu référent aux pores et capillaires non envahis. ............................ 150
FIG.5.7: Profils de saturations mesurées et calculées en fonction de la profondeur. .............................. 151
FIG.5.8 : Pression mesurée et calculée { la section d’entrée. Cas de déplacement instable { fort débit
d’injection................................................................................................................................................................................... 153
ANNEXE A : APPROCHES D’EXPLORATION DE LA STRUCTURE POREUSE
FIG.A. 1: Représentation schématique du milieu chromatographique pour le modèle du réseau
Loh et al. (1995)..............................................................................................................................................................172
175
FIG.A. 2:Représentation schématique de principe de modélisation dans le modèle Nolan et
Kavanagh (1993)............................................................................................................................................................174
ANNEXE B : SOLUTION ANALYTIQUE DE BUCKLEY-LEVERETT
FIG.B. 1: conditions du de front de déplacement .............................................................................................176
FIG.B. 2: profil de front de saturation proposé par le modèle de Buckley Leverett (1988)
(Xfront,Sfront) sont déterminé graphiquement ..............................................................................................178
176
Liste des Tableaux
CHAPITRE 2: CONCEPTION D’UN MODELE DISCRET DE TYPE RESEAU DE PORES ET DE
CAPILLAIRE POUR LA MODELISATION DE LA DYNAMIQUE DU DRAINAGE EAU/DNAPL
Tableau.2.1: Règles de déplacement dans un capillaire identifiant le type de fluide déplaçant dans le
capillaire. Si et Sj représentent les saturations en DNAPL dans les pores i et j. (BC) désigne bloqué
par effet de capillarité. ............................................................................................................................................................ 65
Tableau.2. 2 : Propriétés macroscopiques du modèle discret calculé à partir de différentes
combinaisons de la taille des pores et des capillaires. Sans pris en compte de l’écoulement dans les
pores. ............................................................................................................................................................................................... 80
Tableau.2. 3: Propriétés macroscopique du modèle discret calculé à partir de différentes
combinaisons de la taille des pores et des capillaires avec prise en compte de l’écoulement dans les
pores. ............................................................................................................................................................................................... 82
CHAPITRE 3: MATERIELS ET METHODES
Tableau.3.1. : Composition minéralogique du sable H2F (Bohy, 2003). .......................................................... 95
CHAPITRE 4: RESULTATS EXPERIMENTAUX ET INTERPRETATIONS
Tableau.4.1: Saturations en TCE relevées à différentes positions et profondeurs de la colonne :
valeurs mesurées et corrigées, cas de déplacement vertical ascendant ...................................................... 116
Tableau.4.2 : Saturations en TCE relevées à différentes positions et profondeurs de la colonne : cas
de déplacement vertical descendant ............................................................................................................................. 121
Tableau.4.4 : Saturations moyennes en TCE en fonction du nombre capillaire : cas de l’imbibition
verticale ascendante précédée d’un drainage vertical descendant. .............................................................. 132
Tableau.4.5: Saturation moyennes en TCE en fonction du nombre capillaire : cas de l’imbibition
verticale descendante précédée d’un drainage vertical descendant. ............................................................ 134
Tableau.4. 6 : Saturations en TCE moyennes en fonction du nombre capillaire : cas de l’imbibition
verticale descendante précédée d’un drainage vertical ascendant ............................................................... 135
Tableau.4.7 : Variation de saturation moyenne en TCE en fonction du nombre capillaire................. 137
177
CHAPITRE 5: SIMULATION NUMERIQUE DES EXPERIENCES DE DRAINAGE AU MOYEN DU
MODELE DISCRET DE PORES ET DE CAPILLAIRES DEVELOPPE
Tableau.5.1: Rayons choisis du modèle géométrique du modèle discret et propriétés
macroscopiques du réseau. ................................................................................................................................................ 142
178
Liste des symboles
η : Porosité totale [-]
ε : Porosité cinématique [-]
V : volume [L3]
Vp : Volume de pores [L3]
Vt : Volume total [L3]
Vv : Volume de vides [L3]
K : Coefficient de perméabilité [LT-1]
Ki : Coefficient de perméabilité de la phase i [LT-1]
k : Coefficient de perméabilité intrinsèque de milieu [L2]
k : Tenseur de perméabilité intrinsèque de milieu [L2]
ki : perméabilité effective de la phase i [L2]
kr : perméabilité relative [L2]
kri : perméabilité relative de la phase i [L2]
g : accélération de la pesanteur, constante de gravité [LT-2]
ρ : masse volumique [LT-3]
ρTCE : masse volumique du TCE [LT-3]
ρnw : masse volumique du fluide non mouillant [LT-3]
ρw : masse volumique du fluide mouillant [LT-3]
µ : viscosité dynamique [L-MT-1]
µnw : viscosité dynamique du fluide non mouillant [L-MT-1]
µw : viscosité dynamique du fluide mouillant [L-MT-1]
γow : tension interfaciale [L2MT-2]
S : saturation [-]
Snw : saturation du fluide non mouillant (eau) [-]
Sw : saturation du fluide mouillant (eau) [-]
179
C : concentration [ML-3]
C TCE : Concentration du TCE [ML-3]
m : masse [M]
P : pression [L-1MT-2]
Pc : Pression capillaire [L-1MT-2]
Pnw : Pression du fluide non mouillant [L-1MT-2]
Pw : Pression du fluide mouillant [L-1MT-2]
vd : vitesse de darcy [LT-1]
u : vitesse réelle [LT-1]
Qij : débit d’écoulement dans le capillaire connectant pores i et j [LT-3]
Qie : débit rentrant dans le pore i [LT-3]
Ca : nombre capillaire [-]
B0 : nombre de Bond [-]
Ng : nombre de gravité [-]
M : rapport de mobilité [-]
fw : débit fractionné [-]
d : diamètre [L]
d50 : diamètre moyen [L]
d16 : diamètre pour le quel 16 % du poids cumulé est inférieur à d [L]
r : rayon [L]
rij : rayon du capillaire connectant pore i et j [L]
rc : rayon du capillaire [L]
rmin : Rayon minimal [L]
rmoy : rayon moyen [L]
rmax : Rayon maximal [L]
L : longueur [L]
180
LISTE DES ABRÉVIATIONS
IFARE : Institut Franco-Allemand de Recherche sur l’Environnement.
IPCMS : Institut de Physique et chimie de s Matériaux de Strasbourg
IMFS : Institut de Mécanique des Fluides et des Solides
HTMP : Hydrologie et Transfert en Milieu Poreux.
CNRS : Centre National de la Recherche Scientifique.
REALISE : Réseau Alsace des Laboratoires en Ingénierie et Sciences de l’Environnement.
ULP : Université Louis Pasteur.
TCE : Trichloréthylène
ZAFA 2 : Zone Atelier Franco-Allemande n’2
M.A.C.A.O.H : Modélisation, Atténuation, Caractérisation dans les Aquifères des Organo-
Halogénés.
SCERES : Site Contrôlé Expérimental de recherche pour la Réhabilitation des Eaux et des sols.
TCE : Trichloréthylène.
DAPL : Dense Non aqueuse Phase Liquid.
H2F : dénomination du sable naturel moyen
H1F : dénomination du sable naturel fin
K10 : sable grossier
CPG : Chromatographie en Phase Gaseuse
VER : Volume Elémentaire Représentatif
181
182
ANNEXE A : APPROCHES D’EXPLORATION DE LA STRUCTURE POREUSE
TECHNIQUES EXPERIMENTALES NON DESTRUCTIVES
MESURES INDIRECTES DE LA DISTRIBUTION DES PORES
La structure poreuse peut être définie par des mesures relatives aux fluides remplissant les
vides du milieu poreux. La technique couramment utilisé est la porosimétrie au mercure qui
fournit des distributions en routine de tailles de pores pour caractériser la structure des milieux
poreux (Fiés et al. 1992). Il est par ailleurs admis que les mesures de tailles obtenues
correspondent plus à la taille de constrictions plus étroites de la porosité qu'aux ouvertures
maximales de chaque pore (Coquet et al., 2000). La structure poreuse est représentée
schématiquement dans ce cas par un ensemble de tubes cylindriques de différentes tailles. La
technique consiste à supposer la quantité d'eau (mesurable) retenue dans le sol à une pression P
(mesurable) correspond au volume de pores de taille inférieure au rayon r(P) donné par la loi de
Laplace (cf, 2.2.3.1). Une distribution de tailles de "pores équivalents" peut être par conséquent
déterminée.
MESURES DIRECTES
La microphotographie aux rayons X est une technique d’imagerie non destructive de plus en plus
couramment utilisée dans plusieurs domaines de recherche, permettant d’obtenir des images
tridimensionnelles directement numérisées et de résolutions très importantes, jusqu’{ 0,5μm.
L'analyse d'images donne accès à des mesures de forme et de surface des vides et des solides.
Cependant, la détermination expérimentale de cette technique sur des milieux poreux pose des
problèmes d'ordre technique et même financier. Les caractéristiques structurales de milieux
poreux en termes de distribution de pores obtenue par analyses d'images semblent plus précises
et plus simples à obtenir. Cette approche est souvent utilisée dans les modèles numériques de
Lattice Boltzman.
MODELES BASES SUR UNE DISTRIBUTION DES ELEMENTS SOLIDES
MODELES EMPIRIQUES
La distribution de la taille des particules constituant le milieu granulaire de milieu poreux est
une donnée assez fiable et facilement mesurable. Plusieurs auteurs ont cherché alors un modèle
qui puisse associer un ensemble de pores à un ensemble de particules donné, de façon à pouvoir
183
utiliser un modèle de réseau pour déterminer par exemple les caractéristiques hydriques des
milieux poreux. Le milieu poreux est à nouveau défini par ses éléments solides, mais sans tenir
compte de leur répartition spatiale. Ceci signifie que l'ensemble de pores associé aux éléments
solides est de nouveau défini par une simple distribution de tailles de pores. L'objectif est simple
et ambitieux: une simple granulométrie permettrait de déterminer les caractéristiques de la
taille des pores.
Arya et al. (1999) ont proposé une méthode empirique pour obtenir la distribution de la taille
des pores à partir d'une distribution de la taille de particules constitués de N classes différentes.
A chacune des N classes de taille de particules est associé un pore (N pores au total sont
obtenus). La classe de taille Ci est supposée contenir des particules sphériques de diamètre Ri
dont on peut donc déterminer le nombre Ni. Pour déduire le diamètre Ri de pores, ils ont
supposé que l'indice des vides e (rapport volume des pores/volume des particules) est le même
pour chaque classe et égal à celui de l'échantillon tout entier. Le principe employé pour déduire
une distribution de taille de pores est que plus les particules sont fines, plus leur empilement
ménage des vides étroits. Le pore cylindrique associé est supposé "suivre le bord" des particules
juxtaposées et sa longueur est donnée comme suit :
i i il N R
α est un paramètre { estimer pour une géométrie naturelle, il est égal { 1 pour un pore rectiligne.
L’expression de la taille d’un pore pour une classe donné de la distribution de la taille des
particules est donnée selon l’expression suivante :
(1 )i i ir 0,816R eN
Haverkampf et Parlange (1999) ont associé à une distribution cumulée de taille de particules
F(R) une distribution cumulée de tailles de pores f(r) qui sera utilisé pour déduire une courbe de
rétention en eau. Leur hypothèse est que l’expression de la taille d’un pore ri pour une classe
donné de la taille des particules Ri est donnée comme suit :
/iR ir
184
où γ est une constante de proportionnalité caractérisant l'assemblage structural des particules.
Ce coefficient γ est dépendant de la teneur en eau. Les milieux poreux étudiés dans leurs travaux
sont des sables.
Modèles numériques assistées par ordinateur :
L’approche a trait { la caractérisation de l’espace des vides au sein d’une structure géométrique
déduite d’un modèle numérique composé de sphères identiques. L’étude numérique donne accès
à la position géométrique de tous les centres des sphères et elle rend ainsi possible un maillage
de l’espace poral suivant des sous-unités qu’on peut les mesurer. Dans ce type de travaux, la
structure poreuse existant dans le système numérique empilé est représentée par un modèle de
réseau.
FIG.A. 3: Représentation schématique du milieu chromatographique pour le modèle du réseau Loh et al.
(1995).
Dans certains modèles, les sphères sont positionnées aléatoirement et sans chevauchement
entre elles dans un volume prédéfini puis soumise à la gravité. L’analyse des vides s’appuie sur
une discrétisation de tout l’espace { l’aide de cellules tétraédriques (partitionnement de
Delaunay). Un pore se définit comme l’espace de vide mesuré { l’intérieur d’une cellule de
Delaunay et une étude statistique peut alors être menée en calculant le volume de vide dans
chacune des cellules de Delaunay du volume d’analyse. D’autres modèles se sont basés sur une
analyse de la structure des vides construits sur un assemblage numérique de sphères placées
initialement en configuration de chevauchement.
185
A titre d’exemple, Loh et al. (1995) ont considéré dans leur modèle que la colonne empilée est
représentée par un réseau carré de pores cylindriques interconnectés (macro-pores et
micropores) comme illustré dans la Figure (FIG.A.1). Le modèle de réseau est utilisé pour
déduire les paramètres de distribution en taille des pores et leur inter-connectivité, en simulant
des expériences de porosimétrie au mercure sur le réseau. Les résultats ont été cohérents avec
les résultats expérimentaux
Nolan et Kavanagh (1993) ont étudié la distribution en taille des interstices dans des
empilements de sphères. Le but de cette simulation est de remplir un nombre donné
d’interstices (2000) situés dans les régions confinées d'un empilement de sphères. Le principe
de ce modèle est que les sphères de distribution en taille log-normale sont placées
aléatoirement dans une boîte en position de chevauchement (FIG.A.2). Ces sphères sont
autorisées à rouler et bouger par un processus itératif, jusqu'à ce qu'il n'y ait plus de
chevauchement et que la structure ainsi formée soit gravitationnellement stable. La sphère de
vide croît jusqu'à ce que sa taille l'empêche d'éliminer son chevauchement.
:
FIG.A.4:Représentation schématique de principe de modélisation dans le modèle Nolan et Kavanagh
(1993)
MODELES BASEES SUR DES ALGORITHMES MATHEMATIQUES
Certain modèles basés sur des empilements aléatoires des sphères ont appliqué des approches
géométriques et statistiques pour déterminer la distribution de la taille des vides confinés dans
un empilement des sphères. Les sphères empilées dans ce type de modèles ont des tailles
variables et se sont disposées dans une configuration de chevauchement. L’originalité des
travaux considérant un empilement des sphères multi-tailles est accordé à la théorie de Soddy
(1914). Dans ses travaux, il a formulé l’expression mathématique de la relation liant la taille de 5
sphères se touchant les unes les autres. Elle est donnée comme suit :
186
2 2 2 2 2 2(1/3)( )
φ, α, β, φ, ε sont les rayons des différentes sphères.
En se basant sur cette solution, Wise (1976) a introduit l’hypothèse de l’empilement aléatoire
dense pour déduire la distribution de la taille des vides à partir de la distribution de la taille des
particules. En supposant que les sphères de l’empilement se touchent par binôme, chaque
groupe de quatre sphères constitue un tétraèdre s’appuyant sur les centres des sphères. La
probabilité de générer un tétraèdre est définie dans leur étude en fonction des rayons des
sphères qui le constituent et des facteurs de pondérations qui tiennent compte de la distribution
statistique et de la taille des sphères.
p1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 p 1 2 3 4W(r ,r ,r ,r ) f(r )f(r )f(r )f(r )(r r r r ) W (r ,r ,r ,r )
où W(r1,r2,r3,r4) est la probabilité de trouver un tétraèdre dans l’empilement. f(ri) est la
proportion des sphères ayant un rayon variant entre ri + dr et ri. p est un terme positif et
Wp(r1,r2,r3,r4) est une fonction symétrique inconnue qui ne varie pas trop pour les différents
tétraèdres possibles. Le facteur de puissance p figurant dans le produit (r1r2r3r4) est supposé
être positif pour prendre en compte qu’une large sphère doit faire partie de plus de tétraèdres
qu’une sphère de taille plus petite.
En se basant sur les travaux de Wise (1976) et en supposant que l’essentiel de la structure de la
distribution des particules d’un matériel peut être représenté par des tétraèdres, Assouline
(1997) a proposé une approche de probabilité pour déterminer la distribution de la taille des
vides déduite d’un empilement aléatoire des sphères. L’espace libre dans un tétraèdre formé par
un groupe de quatre sphères est assimilé à un pore interstitiel localisé au centre du tétraèdre qui
peut être connectée à quatre capillaires, des étranglements localisés sur les quatre faces des
tétraèdres. La taille des pores et des capillaires ainsi que leur densité de probabilité ont été
déterminées par des considérations géométriques et statistiques en se basant sur une
discrétisation de la distribution de la taille de particules utilisées dans l’empilement.
187
ANNEXE B : SOLUTION ANALYTIQUE DE BUCKLEY-LEVERETT
Leverett (1942) introduit la notion du flux fractionné pour résoudre le système d’équation dans
des conditions de déplacement horizontal de l’eau par un DNAPL. La courbe de débit fractionné
peut être basée sur des données expérimentales ou être dérivée pour représenter des conditions
particulières qui peuvent être différentes des conditions où le milieu est homogène.
FIG.B.3: Conditions du de front de déplacement
Le débit fractionné est exprimé comme suit :
ww
uf
u
L’introduction de cette équation dans (1.37) conduit { :
w w wS f (S ) u 0
t x
où
1
w rnw rw w nw)f 1 (k / k )( /
et Sw est la saturation en eau.
L’équation est hyperbolique au premier ordre. Elle a donc une équation caractéristique, qui peut
Eau et DNAPL DNAPL
seulement
dx front de déplacement
fw fw + dfw
188
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 100 200 300 400
X
Sw
Xfront
Sfront
être obtenue grâce { l’équation suivante, dérivée totale de la saturation.
w ww
t x
S Sds dx dt
x t
En combinant les deux dernières équations, on peut dériver une expression représentant la
vitesse à laquelle se déplace une valeur donnée de saturation en eau derrière le front de
déplacement. Cette équation est appelé équation de Buckley Leverett.
w
w
s w
dfx u=
t dS
FIG.B.4: Profil de front de saturation proposé par le modèle de Buckley Leverett(1988) (Xfront, Sfront)
sont déterminé graphiquement.
Le terme dfw/dSw dans la relation est la pente de la droite tangente à la courbe de débit
fractionné à une saturation excédant la saturation au front de déplacement. Ainsi si des courbes
typiques de perméabilité relative et de débit fractionné, fonction de la saturation, sont donnés,
une courbe représentative de front de saturation de déplacement peut être construite à un
temps t donné.
Un problème associé { l’approche de Buckley Leverett est que l’équation (1.35) est généralement
caractérisée par l’existence d’oscillations, correspondant { des sauts des saturations se
propageant dans le milieu poreux dues à la négligence des forces capillaires. L’hypothèse de
pression capillaire nulle rend la forme du front très abrupte.
189
