ACOUSTIQUE Denis Duhamel - · PDF fileVibrations de poutres et de plaques. 2 ... gérant les vibrations transverses ... d’ouverts denses dans D∈F 1 0 0 * 2 ,

1

Module: ACOUSTIQUEResponsable du module: Denis Duhamel

Pierre Argoul

Vibrations de poutres et de plaques

2

INTRODUCTION

VIBRATIONS DE POUTRES MINCES DROITES

VIBRATIONS DE PLAQUES MINCES

3

Plaques vibrantes pour figures de Chladni

Ernst Chladni1756-1827

Lignes nodales pour une plaque carré fixée en son milieu

Exemplaire du lycée Champollion, Grenoble

Banc de trois plaques après expérience:le sable forme d'élégantes figures géométriques.

Académie des Sciences (France) en 1808

dessins originaux de la publication originale de Chladni

4

Sophie Germain remporta le prix en 1816

Sophie Germain 1776 - 1831

024

4

22

4

4

4

2

2

=

∂∂+

∂∂∂+

∂∂+

∂∂

y

W

yx

W

x

WD

t

Whρ

Equation aux dérivées partielles gérant les vibrations transverses d’une plaque d’épaisseur h, masse volumique ρρρρ, de module d’Young E et de coefficient de Poisson νννν.

( )yxW ,

avec ( )2

3

112 ν−= hE

D

G. Kirchoff donna une théorie plus correcte en 1850

5

Plaque rectangle encastrée suivant ses quatre côtés

XL YL

0sinsin =

YX L

Yn

L

xm ππ

Equation gérant les lignes nodales (zéros des ondes stationnaires)

( côtés de longueur et )

Lignes nodales

6

1=m

1=n 2=n

3=n 4=n

Plaque carrée encastrée suivant ses quatre côtés

0sinsin =

L

Yn

L

xm ππ

Lignes nodales

7

0coscoscoscos =

−

L

yn

L

xm

L

ym

L

xn ππππ

Plaque carrée encastrée en son milieu

L

Equation gérant les lignes nodales (zéros des ondes stationnaires)

m et n entiers

Lignes nodales

( côté de longueur )

85=m

1=n 2=n 3=n 4=n

5=m 5=m5=m

1=n

4=m 2=n

4=m

3=n

4=m

1=n

3=m

2=n

3=m

1=n

2=m

Plaque carrée encastrée en son milieu

0coscoscoscos =

−

L

yn

L

xm

L

ym

L

xn ππππ

Lignes nodales

9

Equations du mouvement des milieux continus

V

V∂

FELVVVV ∂∪∂∪∂=∂

∅=∂∩∂EL

VV∅=∂∩∂FL

VV∅=∂∩∂FE

VV

12

3Surface encastrée

Surface libre Surface où les forces extérieures

sont données

Rappels de MMC

10

Equations du mouvement des milieux continus

ijiji f

t

W +=∂

∂,2

2

σρ dans ] [10 , ttV ×

lkijklij WC ,=σ dans ] [10,ttV ×

0=jij nσ

Equations de mouvement

Relation de comportement

Conditions aux limites

sur ] [10 , ttL

V ×∂

ii DW = sur ] [10 , ttE

V ×∂

jjij Fn =σ sur ] [10 , ttF

V ×∂

FELVVVV ∂∪∂∪∂=∂

Conditions initiales à 0tt =( )

( )0

,

0,

0

0

=∂

∂=

t

taW

taW

ii

ii

∅=∂∩∂EL

VV

∅=∂∩∂FL

VV

∅=∂∩∂FE

VV

11

Résolution des équations du mouvement des milieux continus

Résolution approchée complexité

numérique

Résolution analytique

+ hypothèses supplémentaires simplificatrices

Milieux continus mono ou bi-dimensionnels

poutres, plaques, coques

12

Méthodologie

Approche variationnelle

Aspect local

des équilibres des forces

Aspect énergétique global

Bases théoriques pour la construction

de modèles de Milieux Continus solides élastiques condensés

Dérivation directionnelle d’une fonctionnelle

Restriction des espaces fonctionnels sur lesquels s’effectue l’extrémalisation

Calculs d’extremums de fonctionnelles d’énergie

13

∫ =

−−

∂∂

Dijij

i dvft

W0,2

2

σρ ] [10 , ttV ×famille d’ensembles

d’ouverts denses dansFD∈

01

0

*

,2

2

=

−−

∂∂

∫ ∫ dtdvWft

Wt

t Viijij

i σρ ] [( )10

** , ttVWi ×Ω∈∀

02

2

=−σ−∂

∂ρ

ijiji f

t

W,

Présentation locale

Présentation globale

Rappels

*

iW déplacements virtuels

Formulation variationnelle

∫ =D

dvMf 0)(FD∈∀famille d’ensembles D denses dans V

0)( ≡Mf dans V

Lemme

14

Dérivée directionnelle

dérivée directionnelle de la fonctionnelle ( )iji

W σΨ ,

( )iji

W σ,

par rapport ài

W

au point

( ) ( )ijiiiijiW WWd

dWW σλ

λσδ

λ

,,, *

0

* +Ψ=Ψ=

*

iii WWW λ+=*

iW Champ de déplacement virtuel

ijσchamp de déplacement vérifiant l’équation de mouvement

pour un champ de contraintes iW

Rappels

15

En utilisant la dérivée directionnelle

01

0

*

,2

2

=

−−

∂∂

∫ ∫ dtdvWft

Wt

t Viijij

i σρ

dérivée directionnelle d’une fonctionnelle ( ),i ijW σΨ

( )iji

W σΨ ,:Ψ ( )

ijiW σ,

Σ×Ω IR

≡fonctionnelle

dtdvWft

Wt

t Viijij

i∫ ∫1

0

−−

∂∂

2

2*

,σρ

Formulation variationnelle

Autre écriture

Recherche extrémum de cette fonctionnelle ( )iji

W σΨ , par rapport ài

W

*

iii WWW λ+=

( ) ( )* *

0

, , , 0W i ij i i i ij

dW W W W

d λ

δ σ λ σλ =

Ψ = Ψ + =

Champ de déplacement virtuel *

iW∀( ) 0=*,, iijiW WW σΨδ

16

( ) dt

dSWF

dvSWft

W

WRt

t

Vii

Vklijklijiiijij

i

iji ∫∫

∫

+

++−

∂∂

=

∂

1

0

2

1

2

1

,

2

1

σσεσρσ

Fonctionnelle de Reissner

klijklijS σ=ε

( )ijiWR σ,

1( )iji

W σ,RR

Σ×Ω IR] [( )10ttV

R,×Ω

] [( )10ttV

R,×Σ

iW

ijσ

( ) ),(, tMDtMWii

= sur ] [10 , ttE

V ×∂

),(),(

),(),(

11

00

tMWtMW

tMWtMW

ii

ii

=

=VM ∈∀

type mixte (1874-1967)

Hans Jacob Reissner

ijσ

Les fonctionnelles usuelles

17

( ) dt

dSWF

dvSWft

W

WRt

t

Vii

Vklijklijiiijij

i

iji ∫∫

∫

+

++−

∂∂

=

∂

1

0

2

1

2

1

,

2

1

σσεσρσ


( ) ( ) 0,

0,

1

1

=

=

iji

ijiW

WR

WR

σδ

σδ

σ

( ) RRijiW Σ×Ω∈σ,

ijiji f

t

W +=∂

∂,

2

2

σρ ] [10 , ttV ×dans

klijklij S σε = dans ] [10 , ttV ×

0=jij nσ sur ] [10 , ttL

V ×∂

ii DW = sur ] [10 , ttE

V ×∂

ijij Fn =σ sur ] [10 , ttF

V ×∂

Imposé a priori

18

( ) dt

dSWF

dvWfCt

W

WHt

t

Vii

Viiklijklij

i

i ∫∫

∫

+

+−

∂∂

=

∂

1

0

2

1

2

12

1

εερ

Fonctionnelle de Hamilton

( )iWH 1( )iW

RΩ IR

] [( )10 , ttVR ×Ω

iW

( ) ),(, tMDtMW ii = sur ] [10 , ttE

V ×∂

),(),(

),(),(

11

00

tMWtMW

tMWtMW

ii

ii

=

=VM ∈∀

type déplacement

19

( ) dt

dSWF

dvWfCt

W

WHt

t

Vii

Viiklijklij

i

i ∫∫

∫

+

+−

∂∂

=

∂

1

0

2

1

2

12

1

εερ

Fonctionnelle de Hamilton

( ) 01 =iW WHδ

*

iW∀

( ) ijklijkl

i fCt

W +=∂

∂,2

2

ερ

0=jklijkl nC ε

ii DW =

ijklijkl FnC =ε

] [10 , ttV ×dans

sur ] [10 , ttL

V ×∂

sur ] [10 , ttE

V ×∂

sur ] [10 , ttF

V ×∂

2020

INTRODUCTION

VIBRATIONS DE POUTRES MINCES DROITES

VIBRATIONS DE PLAQUES MINCES

2121

2 1 2 3( , , , )W x x x t

1 2 3( , , , )ij x x x tσ

1 1 2 3( , , , )W x x x t

3 1 2 3( , , , )W x x x t

Vibrations des poutres droites

1

2

3 L

h

b

• Définition d’une poutre droite:

b et h << L (<L/10)

• Champ des déplacements

• Tenseur des contraintes

1842 –1929

Joseph Boussinesq

2222

axe 1 priviligié : (x2=0 et x3=0)

(2)

2 1( , )ix W x t

développement en série de Taylor

1 2 3 1 2 1 3 1

2 3

2 2 2 22

321 1 2 3 12 2

2 3 2 3

( , , , ) ( ,0,0, ) ( ,0,0, ) ( ,0,0, )

( ,0,0, ) ( ,0,0, ) ( ,0,0, )2 2

i ii i

i i i

W WW x x x t W x t x x t x x t

x x

W x W Wxx t x t x x x t

x x x x

∂ ∂= + +∂ ∂

∂ ∂ ∂+ + +∂ ∂ ∂ ∂

⋯

composantes du déplacement

• Hypothèses simplificatrices (ou de condensation)

passage d’un milieu tridimensionnel

à un milieu monodimensionnel

),,( 321 xxx

)( 1x


limitation aux termes linéaires

(3)

3 1( , )ix W x t

2323

(0) (2) (3)

1 1 2 3 1 1 2 1 1 3 1 1( , , , ) ( , ) ( , ) ( , )W x x x t W x t x W x t x W x t≈ + +(0) (2) (3)

2 1 2 3 2 1 2 2 1 3 2 1( , , , ) ( , ) ( , ) ( , )W x x x t W x t x W x t x W x t≈ + +(0) (2) (3)

3 1 2 3 3 1 2 3 1 3 3 1( , , , ) ( , ) ( , ) ( , )W x x x t W x t x W x t x W x t≈ + +


(0)

1( , )iW x t(2) (3)

2 1 3 1( , ) ( , )i ix W x t x W x t+

(0)

1( , )iW x t (2)

1( , )iW x t

(3)

1( , )iW x t


2424

(0)

1 1( , )W x t (2)

1 1( , )W x t (3)

1 1( , )W x t(2)

2 1( , )W x t(0)

2 1( , )W x t (3)

2 1( , )W x t(2)

3 1( , )W x t (3)

3 1( , )W x t(0)

3 1( , )W x t


2525


(0) (2) (3)


(0) (2) (3)


(0) (2) (3)


Champ de déplacement

( ) dt

dSWF

dvWfCt

W

WHt

t

Vii

Viiklijklij

i

i ∫∫

∫

+

+−

∂∂

=

∂

1

0

2

1

2

12

1

εερ

Fonctionnelle de Hamilton ( )iWH 1( )iWRΩ IR

] [( )10 , ttVR ×Ω iW

( ) ),(, tMDtMW ii = sur ] [10 , ttE

V ×∂

),(),(

),(),(

11

00

tMWtMW

tMWtMW

ii

ii

=

=VM ∈∀

type déplacement

2626

Vibrations des poutres droitesChamp de déplacement

( ) 01 =iW WHδ

*

iW∀

Extrémalisation de la fonctionnelle de H

champ de déplacement virtuel ( ) 0=*,, iijiW WW σΨδ *

iW∀

Rappel

2727


2828

Vibrations longitudinales

des poutres droites

2929

),(),,,(

),(),,,(

),(),,,(

1

)3(

333213

1

)2(

223212

1

)0(

13211

txWxtxxxW

txWxtxxxW

txWtxxxW

=

=

=

Effet Poisson

0),,,(

0),,,(

),(),,,(

3213

3212

1

)0(

13211

===

txxxW

txxxW

txWtxxxW

(plusieurs approximations)

• Equation de vibrations longitudinales des poutres

droites

Vibrations longitudinales des poutres droites

Au niveau des contraintes

)1,1(),(0),,,(

),(),,,(

321

1

)0(

1132111

≠==

jisitxxx

txtxxx

ijσσσ

Au niveau des déplacements

3030

1

2

3 L

h

b

),( 1

)0(

1 txW

1

2

3 L

h

b),(

21

)2(

2 txWh

),(2

1

)2(

2 txWh−

1

2

3 L

h

b),(

21

)3(

3 txWb−

),(2

1

)3(

3 txWb

Effets des différents termes correspondant aux déplacements

Effet Poisson

3131

( ) dt

dSWF

dvSWft

W

WRt

t

Vii

Vklijklijiiijij

i

iji ∫∫

∫

+

++−

∂∂

=

∂

1

0

2

1

2

1

,

2

1

σσεσρσ


Vibrations libres0

0

==

i

i

F

f

1dxSdv =

( ) dtdxSSWSt

WSWR

t

t

L

∫ ∫

+−

∂∂= 1

0 01

)0(

111111

)0(

11

)0(

1,1

)0(

11

2)0(

1)0(

11

)0(

112

1

2

1, σσσρσ


3232

( ) ( ) 0,

0,

)0(

11

)0(

11

)0(

11

)0(

11

)0(11

)0(1

=

=

σδ

σδ

σ WR

WRW ( ) 0)0(

11

1

2

)0(

1

2

=∂∂−

∂∂ σρ S

xt

WS

Equation du mouvement longitudinal de la poutre

relation de comportement de la poutre

01111

)0(

11

1

)0(

1 =+∂

∂− SSx

WS σ

] [1, 0,t x L∀ ∀ ∈

] [Lxt ,0, 1 ∈∀∀

Extremum de la fonctionnelle de Reissner ( ))0(

11

)0(

11 ,σWR


01

)0(

1

1

2

)0(

1

2

=

∂∂

∂∂−

∂∂

x

WES

xt

WSρ

Equation du mouvement longitudinal de la poutre

relation de comportement de la poutre1

)0(

1)0(

11x

WE

∂∂=σ

ES

11111 =

Equations de la poutre en variables déplacement

] [Lxt ,0, 1 ∈∀∀

] [Lxt ,0, 1 ∈∀∀

3333

( )(0)

1 1

1

,0

W x tES

x

∂=

∂

conditions aux limites

Extrémité libre ( ) 0,1

)0(

1 =txW

Extrémité encastrée ( )(0)

11 1, 0S x tσ =

3 types de conditions

Encastrée-encastrée

Encastrée-libre

Libre-libre

( ) 0,0)0(

1 =tW ( ) 0,)0(

1 =tLW

( ) 0,0)0(

1 =tW ( ) 0,)0(

11 =tLSσ

( ) 0,0)0(

11 =tSσ ( ) 0,)0(

11 =tLSσ

01

=x Lx =1


3434

Vibrations transverses

des poutres droites

3535

0),,,(

),(),,,(

),(),,,(

3213

1

)0(

23212

1

1

)0(

223211

==

∂∂−=

txxxW

txWtxxxW

txx

WxtxxxW

Hypothèses


),,(),,,(

0),,,(

),,(),,,(

21

)0(

1232112

32122

21

)2(

11232111

txxtxxx

txxx

txxxtxxx

σσσ

σσ

=

==

Champ de contraintes

(2,2)et)2,1(),1,1(),(0),,,( 321 ≠= jisitxxxijσ

Poutre d’Euler-Bernoulli

rotation de la section droite

Daniel Bernoulli Leonhard Euler(1707 –1783) ( 1700 –1782)

Vibrations transverses des poutres droites

3636


Extremum de la fonctionnelle de Reissner ( ))0(

11

)0(

11 ,σWR

( ) ( ) dtdxSIx

WI

t

WS

tx

WIWR

t

t

L

∫ ∫

+∂

∂−

∂∂+

∂∂∂= 1

0 01

2)2(

11111132

1

)0(

2

2)2(

113

2)0(

2

2

1

)0(

2

2

3

)0(

11

)0(

11 , σσρρσ

Equation du mouvement

relation de comportement de la poutre

( ) ( ) ( )( ) 0,,,

1

2

1132

1

2

2

1

1

)0(

2

3

3

1

2

1

)0(

2

2

=∂∂−

∂∂∂

∂∂+

∂∂− txI

xtx

txWI

xt

txWS σρρ

] [Lxt ,0, 1 ∈∀∀

( )0

, 2

11111132

1

1

)0(

2

2

3 =+∂

∂− σSIx

txWI ] [Lxt ,0, 1 ∈∀∀


3737

conditions aux limites

( ) 0,1

)0(

2 =txWsoit ( ) 01

2

1131

=

σ∂

∂ txIx

,

( )0

,

1

1

)0(

2 =∂

∂x

txW ( )2

3 11 1 , 0I x tσ =

effort tranchant

moment fléchissant ( )txIM ,1

2

113 σ=

( )( )txIx

T ,1

2

113

1

σ∂∂=



soit

soit soit

3838

conditions aux limites ( ) 0,1

)0(

2 =txW ( )0

,

1

1

)0(

2 =∂

∂x

txW

( )0

,2

1

1

)0(

2

2

31

1

=

∂∂

∂∂=

x

txWIE

xT

Equations de la poutre en variables déplacement

( ) ( )1

2

1

)0(

2

2

1

1

2

1

)0(

2

2

1111

21

)2(

11

,,1),,(

x

txWE

x

txW

Stxx

∂∂=

∂∂=σ

01 =x

Lx =1

ou

( ) ( ) ( )0

,,,

1

2

1

)0(

2

2

132

1

2

2

1

1

)0(

2

3

3

1

2

1

)0(

2

2

=

∂∂

∂∂−

∂∂∂

∂∂+

∂∂−

x

txWEI

xtx

txWI

xt

txWS ρρ

( )0

,2

1

1

)0(

2

2

31 =∂

∂=x

txWIEM

relation de comportement

de la poutre

effet d’inertie rotationnelle

1

1111

1E

S=




soit

soit

soit

soit

3939

0),,,(

),(),,,(

),(),,,(

3213

1

)0(

23212

1

)2(

123211

==

=

txxxW

txWtxxxW

txWxtxxxWHypothèses


),,(),,,(

0),,,(

),,(),,,(

21

)0(

1232112

32122

21

)2(

11232111

txxtxxx

txxx

txxxtxxx

σσσ

σσ

=

==


(2,2)et)2,1(),1,1(),(0),,,( 321 ≠= jisitxxxijσ

Poutre de Timoshenko

1878 –1972

Stephen Timoshenko


4040

Extremum de la fonctionnelle de ReissnerCas d’un matériau orthotrope , poutre homogène

0122

1

)0(

2

4

34

)0(

2

4

3

2

4

1

)0(

2

4

32

)0(

2

2

=∂∂

∂

+−∂

∂+∂

∂+∂

∂tx

W

G

EI

t

W

G

I

x

WEI

t

WS ρρρ

ES

11111 =

GS

4

11212 =

Module d’YoungModule de Coulomb

Equation du mouvement de vibration de flexion transverse

de la poutre de Timoshenko

Poutre de Timoshenko


4141

( ) ( )0

,,4

1

1

)0(

2

4

32

1

)0(

2

2

=∂

∂+∂

∂x

txWEI

t

txWSρ

simplification d’écriture

Poutre homogène de section constante

( ) ( )0

,,4

4

2

2

=∂

∂+∂

∂x

txWEI

t

txWSρ


encastrée

0=∂

∂x

W

0=W

libre

02

2

=∂∂x

W0

3

3

=∂∂x

W

appuyée

0=W( )

0,

2

2

=

∂∂

∂∂=

x

txWEI

xT

( )0

,2

2

=∂

∂=x

txWEIM ( )

0,

2

2

=∂

∂=x

txWEIM

02

2

=∂∂x

W

0=x Lx =ou



4242

Technique de séparation des variables ( ) )()(, tfxtxW φ=0

)()(

)()(

4

4

2

2

=+dx

xdtfEI

dt

tfdxS

φφρ

Cstedt

tfd

tfdx

xd

xS

EI =−=2

2

4

4 )(

)(

1)(

)(

1 φφρ

Etude suivant le signe de la constante 2

ω=Cste

tttf ωβωα cossin)( += xFxExDxCx ββββφ coshsinhcossin)( +++=

4

2

EI

Sωρβ =

0)()( 2

2

2

=+ tfdt

tfd ω 0)()( 2

4

4

=− xEI

S

dx

xd φωρφ

Calcul des fréquences et des modes propres

Vibrations transverses des poutres droitesPoutre d’Euler-Bernoulli

4343

Utilisation des conditions aux limites

Encastrée-libre

Appuyée-appuyée


Équation transcendante aux valeurs propres

Libre-libre

Encastrée-appuyée

Libre-appuyée

0coscosh1 =+ XX

0sin =X

0coscosh1 =− XX

XX tanhtan =

nn XL =β S

EI

L

A

S

EI

L

X nnn ρρ

ω22

2

==

Équation transcendante aux valeurs propres

1A516.3

869.9

37.22

41.15

03.22

47.39

67.61

96.49

69.61

82.88

9.120

2.104

8.199

9.157

8.199

2.178

)(xn

φvaleurs propres vecteurs propres

4A2A 3A




4444

Vibrations libres de flexion des poutres droites Poutre d’Euler-Bernoulli


nnn AXL ==βS

EI

L

A

S

EI

L

X nnn ρρ

ω22

2

==)(xnφ

valeurs propresvecteurs propres

( )( )( )xFxExDxCtt

tfxtxW

nnnnnnnnnnnn

nnn

ββββωβωαφ

coshsinhcossincossin

)()(,

++++==

( ) ( )

( )( )1 1

1

, , ( ) ( )

sin cos sin cos sinh cosh

n n n

n n

n n n n n n n n n n n n

n

W x t W x t x f t

t t C x D x E x F x

φ

α ω β ω β β β β

∞ ∞

= =

∞

=

= =

= + + + +

∑ ∑

∑

Solutions élémentaires

Solution générale

nα nβetConditions initiales

4545


Modes propres - Orthogonalité

1er mode 2ème mode 3ème mode 4ème mode

Encastrée-libre


ℓ

ℓ

S

EI

L

Ann ρ

ω2

=

pulsations propres

)(xnφdéformées modales

noeudsventres

4646



xn

Cx nnℓ

πφ sin)( =

Appuyée-appuyée

ℓ


S

EI

L

Ann ρ

ω2

=

pulsations propres


4747



Libre-libre

Encastrée-appuyée


S

EI

L

Ann ρ

ω2

=

pulsations propres


4848

Vibrations libres de flexion des poutres droites


)()( 2

4

4

xEI

S

dx

xdii

i φωρφ =

)()(

2

4

4

xEI

S

dx

xdjj

j φωρφ=

intégration suivant

2 fréquences propres différentes ji ωω ≠

∫∫ =L

jiij

Li dxxx

EI

Sdxx

dx

xd

0

2

0 4

4

)()()()( φφωρφφ

)(xj

φ×

)(xi

φ×

∫∫ =L

jiji

L jdxxx

EI

Sdxx

dx

xd

0

2

0 4

4

)()()()(

φφωρφφ

intégration par parties (2 fois)

[ ]Lx,0

∈

∫∫ =L

jii

jLi dxxx

EI

Sdx

dx

xd

dx

xd

0

2

2

2

0 2

2


∫∫ =L

jij

jLi dxxx

EI

Sdx

dx

xd

dx

xd

0

2

2

2

0 2

2



4949


2 fréquences propres différentes ji ωω ≠

0)()(0

=∫L

ji dxxx φφ

0)()(

2

2

0 2

2

=∫ dxdx

xd

dx

xd jLi

φφOrthogonalité des modes propres

2 2

0 0( ) ( ) ( ) ( )

L L

j i j i i jx x dx x x dxω φ φ ω φ φ=∫ ∫

222

2 20 0

( )( )( ) ( ) 0

L Ljii i j

d xd x Sdx x x dx

dx dx EI

ϕϕ ρ ω ϕ ϕ= =∫ ∫

0( ) ( ) 0

L

i jx x dxφ φ =∫

et



5050


)()( 2

4

4

xEI

S

dx

xdii

i φωρφ = )(xiφ×+ intégration suivant [ ]Lx ,0∈

∫∫ =L

ii

Li dxx

EI

Sdxx

dx

xdi0

22

0 4

4

)()()( φωρφφ

intégration par parties (2 fois)

i

i

L

Li

im

k

dxx

dxdx

xd

S

EI

i

=

=∫

∫

0

2

0

2

2

2

2

)(

)(

φ

φ

ρω

∫

=

Li

i dxdx

xdEIk

0

2

2

2 )(φ∫=

L

i dxxSmi0

2 )(φρmasse modale du mode i

rigidité modale du mode i

Rigidité et masse modales


5151

Vibrations forcées de flexion des poutres droites

Réponse à une excitation extérieure : superposition modale

( ) ( )),(

,,4

4

2

2

txpx

txWEI

t

txWS =

∂∂+

∂∂ρ ] [Lx ,0∈∀


Conditions initiales

0>∀t

Par exemple : appui simple aux extrémités x=0 et x=L

0),0( =tW

0),0(

2

2

=∂

∂x

tW

0),( =tLW

0),(

2

2

=∂

∂x

tLW

)()0,( 0 xdxW = )()0,(

0 xvt

xW =∂

∂

S

EI

L

Ann ρ

ω2

=)(xnφ Base de l’espace fonctionnel des solutions

( )

( )∑

∑∞

=

∞

=

+++=

=

1

1

coshsinhcossin)(

)()(,

n

nnnnnnnnn

n

nn

xFxExDxCta

taxtxW

ββββ

φ?


2

4 nn

S

EI

ρ ωβ =

5252


xFxExDxCx nnnnnnnnn ββββφ coshsinhcossin)( +++=

( ) ( )),(

,,4

4

2

2

txpx

txWEI

t

txWS =

∂∂+

∂∂ρOn reporte dans

( ) ∑∞

=

=1

)()(,n

nn taxtxW φ avec

∫

=

Li

i dxdx

xdEIk

0

2

2

2 )(φ∫=

L

i dxxSmi0

2 )(φρ

Orthogonalité des modes propres

puis intégration sur )(xiφ× [ ]Lx ,0∈

)()()( tPtaktam iiiii =+ɺɺ

∫=L

i dxxtxpPi0

)(),( φ



5353


( ) ∑∞

=

=1

)()(,n

nn taxtxW φ

∫

=

Li

i dxdx

xdEIk

0

2

2

2 )(φ ∫=L

i dxxSmi0

2 )(φρ

)()()( tPtaktam iiiii =+ɺɺ

∫=L

i dxxtxpPi0

)(),( φ

Conditions initiales)()0()()0,( 0

1

xdaxxWn

nn∑∞

=

== φ

)()0()()0,(

0

1

xvaxt

xW

n

nn∑∞

=

==∂

∂ɺφ

∫=L

i

i dxxdxm

Sa

i00 )()()0( φρ

Orthogonalité des modes propres

∫=L

i

i dxxvxm

Sa

i00 )()()0( φρ

ɺ



)()0,( 0 xdxW =

)()0,(

0 xvt

xW =∂

∂avec

5454

INTRODUCTION

VIBRATIONS DE POUTRES DROITES

VIBRATIONS DE PLAQUES

5555

• Définition d’une plaque mince:

h << L et b

• plan priviligié : (x3=0)

2

3

1

L

h

b

développement en série de Taylor

⋯+∂∂+= ),0,,(),0,,(),,,( 21

3

321321 txxx

WxtxxWtxxxW i

ii

⋯+∂∂

+= ),0,,(),0,,(),,,( 21

3

321321 txxx

xtxxtxxxij

ijij

σσσ

composantes de déplacement

composantes du tenseur de contraintes

Vibrations des plaques minces

5656

),,(),,(),,,( 21

)3(

321

)0(

321 txxWxtxxWtxxxW iii +=• Approximation des champs sous les formes

• Séparation des états vibratoires en mouvements indépendants

vibrations dans le plan de la plaque

vibrations transverses

),(),(),(),,,( 1

)3(

31

)2(

21

)0(

321 txxtxxtxtxxx ijijijij σσσσ ++=


passage d’un milieu tridimensionnel

à un milieu bidimensionnel

),,( 321 xxx

),( 21 xx


5757

le plan moyen (équivalent de la courbe moyenne des poutres) est initialement plan

Hypothèses

Théorie usuelle des plaques minces, ou théorie de Love-Kirchhoff,

modèle de Kirchhoff :

les sections normales au feuillet moyen

restent normales lors de la déformation ;

en conséquence, on peut négliger le cisaillement ;

l'épaisseur est faible ;

en conséquence,

les contraintes dans le sens de l'épaisseur

sont supposées nulles ;

le feuillet moyen (équivalent de la fibre neutre des poutres)

ne subit pas de déformation dans son plan ;

on ne considère que le déplacement transversal w des points du feuillet moyen

on reste en petites déformations.

Déformation d'une plaque mince

plaque mince

élément de matière

feuillet moyen

fibre normale

5858

Vibrations dans le plan

0),,,(

),,(),,,(

),,(),,,(

3213

21

)0(

23212

21

)0(

13211

==

=

txxxW

txxWtxxxW

txxWtxxxW

),,(),,,(

),,(),,,(

),,(),,,(

21

)0(

1232112

21

)0(

2232122

21

)0(

1132111

txxtxxx

txxtxxx

txxtxxx

σσσσσσ

=

=

=

(2,2)et)2,1(),1,1(),(

0),,,( 321

≠

=

jisi

txxxijσ



Hypothèses


5959


),,(),,,(

),,(),,,(

),,(),,,(

21

)0(

33213

21

)3(

233212

21

)3(

133211

txxWtxxxW

txxWxtxxxW

txxWxtxxxW

=

=

=

0),,,(

),,(),,,(

),,(),,,(

),,(),,,(

),,(),,,(

),,(),,,(

32133

21

)0(

2332123

21

)0(

1332113

21

)3(

12332112

21

)3(

22332122

21

)3(

11332111

==

=

=

=

=

txxx

txxtxxx

txxtxxx

txxxtxxx

txxxtxxx

txxxtxxx

σσσσσ

σσσσσσ

Hypothèses de Mindlin



prise en compte du cisaillement transversal

),,(),2

,,(

),,(),2

,,(

21

)0(

232123

21

)0(

132113

txxth

xx

txxth

xx

σσ

σσ

=±

=±0),

2,,(

0),2

,,(

2123

2113

=±

=±

th

xx

th

xx

σ

σ

En réalitéIncompatibilité des contraintes de cisaillement avec les conditions de surface libre pour

!

23hx ±=

Raymond D. Mindlin(1906 – 1987)


6060


),,(),,,(

),,(),,,(

),,(),,,(

21

)0(

33213

2

21

)0(

333212

1

21

)0(

333211

txxWtxxxW

x

txxWxtxxxW

x

txxWxtxxxW

=

∂∂=

∂∂=

0),,,(

0),,,(

0),,,(

),,(),,,(

),,(),,,(

),,(),,,(

32133

32123

32113

21

)3(

12332112

21

)3(

22332122

21

)3(

11332111

====

=

=

txxx

txxx

txxx

txxxtxxx

txxxtxxx

txxxtxxx

σσσ

σσσσσσ

Hypothèses de Love-Kirchoff



cisaillement transversal nul

rotation de la section droite

Gustav Kirchhoff

(1824-1887) (1863-1940)

A. E. H. Love


6161

Fonctionnelle de Reissner ( )ijiWR σ,

matériau homogène et isotropeépaisseur de plaque constante et égale à h


( )

( ) ( )( ) ( )

dtdS

G

I

E

xx

W

x

W

x

WI

t

Wh

tx

WI

tx

WI

WRt

tiji ∫ ∫

+−++

∂∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂∂+

∂∂∂

= 1

0

21

2)3(

12

)3(

22

)3(

11

2)3(

22

2)3(

11

21

)0(

3

2)3(

122

)0(

3

2)3(

222

)0(

3

2)3(

11

2)0(

3

2

2

)0(

3

22

1

)0(

3

2

21

2

1

2

2

1

,

σσνσσσ

σσσ

ρ

σ

12

3hI =


6262

Extremum de la fonctionnelle de Reissner ( )ijiWR σ,



relation de comportement de la plaque

0221

)3(

12

2

2

2

)3(

22

2

2

1

)3(

11

2

22

2

)0(

3

4

22

)0(

3

4

2

)0(

3

2

1

=

∂∂∂+

∂∂+

∂∂−

∂∂∂+

∂∂∂−

∂∂

xxxxI

tx

W

tx

WI

t

Wh

σσσρρ

∂∂∂

∂∂

∂∂

+

−−

−−=

21

)0(

3

2

2

2

)0(

3

2

2

1

)0(

3

2

22

22

)3(

12

)3(

22

)3(

11

100

011

011

xx

W

x

W

x

W

E

EE

EE

ν

ννν

νν

ν

σσσ


6363


Conditions aux limites 0)0(

3 =Wsoit

soit

soit

soit

( ) ( )( )2

1

2

2

)3(

1221

)3(

22

)3(

112

)0(

3

2

2 nnnns

It

WIM

nT −+−

∂∂+

∂∂+

∂∂−= σσσρ

effort tranchant

moment fléchissant

( )2

2

)3(

2221

)3(

12

2

1

)3(

11 2 nnnnIM σσσ ++=

0=T

0)0(

3 =∂

∂n

W

0=M

S

n

s

1

2


6464


024

2

)0(

3

4

2

2

2

1

)0(

3

4

4

1

)0(

3

4

22

2

)0(

3

4

22

)0(

3

4

2

)0(

3

2

1

=

∂∂+

∂∂∂+

∂∂−

∂∂∂+

∂∂∂+

∂∂−

x

W

xx

W

x

WD

tx

W

tx

WI

t

Wh ρρ

( )21 ν−= EI

D

( )

∂∂+

∂∂+

∂∂∂−+

∂∂+

∂∂= 2

22

1

)0(

3

2

2

2

)0(

3

2

21

21

)0(

3

22

12

2

)0(

3

2

2

1

)0(

3

2

12 nx

W

x

Wnn

xx

Wn

x

W

x

WDM ννν

( ) ( ) ( )

−

∂∂∂−++

∂∂−

∂∂

∂∂+

∂∂+

∂∂= 2

1

2

2

21

)0(

3

2

212

2

)0(

3

2

2

1

)0(

3

2

2

)0(

3

2

141 nnxx

Wnn

x

W

x

WD

st

WIM

nT ννρ

bilaplacien

00

3

2

2

0

3

2

=

∆−

∂

∂ρ−

)()(

WDt

Wh


6565

( ) ( )2

3

2 1121 νν −=

−= hEEI

D

bilaplacien

( ) 02

2

2

=∆+∂

∂WD

t

Whρ


Encastrée sur le bord x=00),,0( =

∂∂

tyx

W

0),,0( =tyW

Simplement appuyée sur le bord y=0

0),0,( =txW

0),0,(),0,(

),0,(2

2

2

2

=

∂∂+

∂∂=

x

txW

y

txWDtxM υ

0),0,(

2

2

=

∂∂

y

txWD

b

x

y

L

Libre sur le bord x=L0

),,(),,(),,(

2

2

2

2

=

∂∂+

∂∂=

x

tLxW

y

tLxWDtLxM υ

0),,(

)2(),,(

),,(2

3

3

3

=

∂∂∂−+

∂∂=

xy

tLxW

y

tLxWDtLxT υ

),,( tyxW

avec


6666

bilaplacien

Difficile à résoudre par voie analytique

Plaques de géométrie rectangulaire ou circulaire

Conditions aux limites particulières

Séparation des variables temps et espace

Séparation des variables d’espace

Décomposition en équation produit

)(),(),,( tgyxftyxW =

)()(),( 21 yfxfyxf =

1 équation différentielle en temps

1 équation aux dérivées partielles en espace

( )2

3

112 ν−= hE

D( ) 02

2

2

=∆+∂

∂WD

t

Whρ


6767

Résolution par séparation des variables


Csteyxfh

yx

f

y

f

x

fD

tg

tgd =

∂∂∂+

∂∂+

∂∂

−=),(

2

)(

)(22

4

4

4

4

4

2

ρ

Constante nulle 0)(

2

2

=dt

tgd

0222

4

4

4

4

4

=∂∂

∂+∂∂+

∂∂

yx

f

y

f

x

f yExDCyxf ++=),(

BAttg +=)(

( )( )yExDCBAttyxW +++=),,(

temps / espace

3 cas Constante nulle Constante négative Constante positive

( ) 02

2

2

=∆+∂

∂WD

t

Whρ ( )2

3

112 ν−= hE

D


6868

Constante négative

0)()( 2

2

2

=+ tgdt

tgd ω

2ω−=Cste

0),(2),(22

4

4

4

4

42 =

∂∂∂+

∂∂+

∂∂+− yx

yx

f

y

f

x

fDyxfhρω

)sin()cos()( tBtAtg ωω +=

1ère technique : séparation des variables d’espace

)()(),( 21 yfxfyxf = 0),(22

2

2

2

1

2

14

2

4

24

1

4

21

2 =

+++− yx

dy

fd

dx

fdf

dy

fdf

dx

fdDffhρω

xkeAxf 1)(1 =

ykeAyf 2)(2 =

( ) 022

2

2

1

2 =++− kkDhρω ( )h

Dkk

ρ

ω±=+ 2

2

2

1

2

1k 2

2k

2

1γ

2

2γ

2

2δ

( )h

D

ρ

ωγγ +=+ 2

2

2

1

( )h

D

ρ

ωδγ −=+ 2

2

2

1

xxebeaxf 11

111 )(γγ −+=

yyyyedecebeayf 2222

22222 )(δδγγ −− +++=


6969

2ème technique : factorisation de l’équation aux dé rivées partielles

0),(2),(22

4

4

4

4

42 =

∂∂∂+

∂∂+

∂∂+− yx

yx

f

y

f

x

fDyxfhρω

0),(2

2

2

2

2

2

2

2

=

−

∂⋅∂+

∂⋅∂

+

∂⋅∂+

∂⋅∂

yxfD

h

yxD

h

yx

ρωρω

0),(2

2

2

2

=

+

∂⋅∂+

∂⋅∂ + yxf

D

h

yx

ρω

0),(2

2

2

2

=

−

∂⋅∂+

∂⋅∂ − yxf

D

h

yx

ρω

),(),( yxfyxf −+ +

(1)

est solution de (1)


7070

recherche de la solution de 0),(2

2

2

2

=

+

∂⋅∂+

∂⋅∂ + yxf

D

h

yx

ρω

sous la forme ykxkeeyxf 21),( =+

2

1

2

2 γ

ρ

ωγ −=

h

D

( )( )yyxxebeaebeayxf 2211

2211),(γγγγ −−+ ++=

avec

de même pour 0),(2

2

2

2

=

−

∂⋅∂+

∂⋅∂ − yxf

D

h

yx

ρω

( )( )yyxxebeaebeayxf 2211

2211),(δδγγ −−− ++=

2

1

2

2 γ

ρ

ωδ −−=

h

Davec

),(),(

),(

yxfyxf

yxf

−+ +=


7171

PLAQUES RECTANGULAIRES

L

b

( ) 02

2

2

=∆+∂

∂WD

t

Whρ

)1(12 2

3

υ−= hE

Davec

211 /1002,2 mNE = 3.0=υ3/85.7 mKg=ρ mh 3105 −=


x

y

Encastrée sur le bord x=00),,0( =

∂∂

tyx

W

0),,0( =tyW

Simplement appuyée sur le bord y=0

0),0,( =txW

0),0,(),0,(

),0,(2

2

2

2

=

∂∂+

∂∂=

x

txW

y

txWDtxM υ

0),0,(

2

2

=

∂∂

y

txWD

7272


L

b

( ) 02

2

2

=∆+∂

∂WD

t

Whρ

)1(12 2

3

υ−= hE

Davec

Plaque appuyée sur deux bords opposés

x

y

appuyée sur le bord x=0

appuyée sur le bord x=L

0),,0( =tyW

0),,( =tyLW

0),,0(

2

2

=∂

∂y

tyW

0),,(

2

2

=∂

∂y

tyLW


)sin()cos()( tBtAtg ωω +=

)()(),( 21 yfxfyxf =xx

ebeaxf 11

111 )(γγ −+=

yyyyedecebeayf 2222

22222 )(δδγγ −− +++=

7373

( ) ( )( )

+== yb

mx

L

ntBtAtgyxftyxW nmnmnmnmnmnm

ππωω sinsinsincos)(),(),,(

Plaque appuyée sur ses quatre bords

+

=22

b

m

L

n

h

Dnm

ππρ

ω

avec

∑∑∞

=

∞

=

=1 1

),,(),,(n m

nm tyxWtyxW

où

7474


L

b

( ) 02

2

2

=∆+∂

∂WD

t

Whρ

)1(12 2

3

υ−= hE

Davec


x

y

Libre sur le bord y=b0

),,(),,(),0,(

2

2

2

2

=

∂∂+

∂∂=

x

tbxW

y

tbxWDtxM υ

0),0,(

2

2

=

∂∂

y

txWD

7575

(1,1)(2,1)

(3,1)(1,2)

MODES de PLAQUES RECTANGULAIRES

PLAQUE SIMPLEMENT APPUYEE

Hzf 40,131 =Hzf 42,172 =

Hzf 12,243 =Hzf 58,496 =

mode 1 mode 2

mode 3mode 6

= yb

mx

L

nCtyxW nmnm

ππsinsin),,(

3=bL

(b = 1 m)

7676

(2,2) (3,2)

(5,3)

Hzf 30,608 =Hzf 60,537 =

Hzf 04,14222 =

mode 7

mode 8

mode 22

PLAQUE SIMPLEMENT APPUYEE

= yb

mx

L

nCtyxW nmnm

ππsinsin),,(

7777

Mode multiple

),,(),,(),,( 1,622,31 tyxWKtyxWKtyxW +=

+

=22

2

b

m

L

n

h

Dnm ρ

πω

( )

+

= 2

2

2

2

3m

n

h

D

bnm ρ

πω

(b = 1 m)

( )412

2

2,3 +=h

D

b ρπω

( )142

2

1,6 +=h

D

b ρπω

même fréquence

43,02

1 =K

K1

2

1 =K

K33,2

2

1 =K

K

7878

PLAQUE ENCASTREE

Hzf 321 = Hzf 3,352 =

PLAQUE LIBRE

(1,1)(2,1)

mode 1 mode 2

mode 1 mode 2

mode 3

Hzf 91.21 =

Hzf 42.52 =

(3,1)

(2,2)

(4,1)

Hzf 10.82 =

7979

PLAQUE ENCASTREE LIBRE

L

b

x

y

1=b

L2=

b

L4=

b

L

Hzf 2441

,= Hzf 0511

,= Hzf 2601

,=

Analogie avec les poutres Mode de flexion

mode 1

8080


L

b

x

y

1=bL 2=

bL 4=

bL

Hzf 38102

,= Hzf 5142

,= Hzf 6312

,=

Analogie avec les poutres

Mode de torsion

mode 2

(b = 1 m)

Mode de flexion Mode de torsion

Lignes nodales

8181


L

b

x

y

1=bL 2=

bL

4=bL

Hzf 08263

,=Hzf 556

3,= Hzf 102

3,=

Analogie avec les poutres

mode 3

(b = 1 m)

Mode de flexion Mode de torsion

Lignes nodales

Mode de flexion

8282

PLAQUE EN L

bb

b

A B

CD

EF

b

(b = 1 m)

mode 1

mode 2

mode 3

Hzf 38102

,=

Hzf 7001

,=

Hzf 8843

,=

encastrée sur AB et libre ailleurs

Documents

ACOUSTIQUE Denis Duhamel - · PDF fileVibrations de poutres et de plaques. 2 ... gérant les vibrations transverses ... d’ouverts denses dans D∈F 1 0 0 * 2 ,