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ACTIONSDECONTACTDANSLESFLUIDES–EXERCICES

1. Jeuxdeballes:Ondonnelesvitessestypiquesetlesdimensionsdeballespourplusieurssports:

Football Golf Tennis Base-BallDiamètre(cm) 22 4,3 6,4 7,5Vitesse(km.h-1) 55 260 180 150CalculerlenombredeReynoldsdanschaquecas,sachantquepourl’airρ=1,2kg.m-3etη=2,0.10-5Pl.Commentersavaleur.

2. Mesuredeviscosité:OnlâcheuneparticulesphériquederayonR=1,25mmdemassevolumiqueρs=3800kg.m-3dansune éprouvette graduée contenant un liquide visqueux dont on veut déterminer la viscositéη. Lamassevolumiquedufluideestρf=1260kg.m-3OnadmetquelaforcedefrottementvisqueuxsurlabilleestdonnéeparlaformuledeStokes.a) MontrerquelavitessedelabilletendversunevitesselimiteVo,quel’onexprimeraenfonctionde

ρf,ρs,R,ηetgaccélérationde lapesanteur(g=9,8SI) .Auboutdecombiendetempspeut-onconsidérerquelaparticuleaatteintsavitesselimite?

b) Letempsmispar labilleaparcourir lestroispremierscmest7s, lestroissuivantsde6,1s , lestroissuivantsde6s,lestroissuivantsde6s.Déterminerlaviscositédufluide.

c) VérifierquelaformuledeStokesestapplicable.Réponse:1,7Pa.s

3. NombredeReynolds:Deuxécoulementsd’échelledifférentessontidentiquessiilsontlemêmenombredeReynolds.Onconsidèreunécoulementdemassevolumiqueρ,deviscositéη,devitessecaractéristiqueU,variantsurunedimensioncaractéristiqueL.a)OnétudieunaviondelongueurLdestinéàvoleràvitesseUdansl’air.Unemaquettedecetavionàl’échelle1/10èmeestétudiéedansunesoufflerieàair.Quelledoitêtre,enfonctiondeU,lavitessedel’écoulement?b) Au lieu d’une soufflerie à air, on utilise une veine liquide ( tunnel à écoulement d’eau ). Quellevitessedoitavoirl’eaupoursimulerlaréalité?Données:ηair=1,8.10-5Pl;ηeau=1,0.10-3Pl.

4. Distributiond’eau:Un tuyau cylindrique, de rayon intérieur a0 et de longueur L0,alimente deux tuyaux identiques de rayons a1 et de longueur L1,dontl’extrémitéestàlapressionatmosphérique.SoitP1lapressionenamont(pointA).Onconsidèreraquelerégimed’écoulementestlaminaire.a) En utilisant la loi de Poiseuille, déterminer le débit de chaquetuyau.b)Faireunschémaélectriqueéquivalent.Données:ΔP=P1-P0=4bars;a0=5mm;a1=2mm;ν=10-6m2s-1;L0=L1=5m.

A

L1 L1

L0

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5. Viscosimètreàécoulement:Un liquide visqueux considéré comme incompressible s’écoulelentement d’un récipient cylindrique de diamètre D dans un tubehorizontaldediamètred<<DetdelongueurL.a) Pourquoi peut-on considérer l’écoulement dans le récipientcommequasi-stationnaire?Quelleestalors lapressionaupointA?Endéduirel’expressiondudébitvolumiqueDvenfonctiondeh(t),enutilisantlaloidePoiseuille:

𝐷! =𝜋𝑅!

8𝜂𝐿 ΔP

b) A partir d’une équation de conservation, établir une équationdifférentielle satisfaite par h(t), et la résoudre pour la conditioninitialeh(t0)=h0.c) Il faut 59minutes pour que le niveau du liquide passe de h = 6 cm à h = 3 cm. Déterminer laviscositécinématiquedufluide.Données:D=4cm;L=50cm;d=1mm;g=10m.s-2.Réponse:dh/dt+h/τ=0avecτ=D2Lv/gd4;ν=2.10-6m2.s-1.

6. Effetdepeauenmecaniquedesfluides(CCPPSI08):Considérons une plaque plane, infinie en longueur et largeur,formant le plan xOy . Un fluide visqueux incompressible (parexempledumiel)deviscositéη estdéposésurcetteplaquesurunegrandeépaisseurh.Lefluideoccupealorsledemi-espacez>0 ( tout se passe comme si l’espace était illimité). La plaqueoscilleàlapulsationω ,savitesseétant .a) En analysant les invariances et symétries du système et ensupposantquelavitessedufluideestparallèleàcelledelaplaque,justifierquelechampdesvitessess’écrit:

𝑣 = 𝑣 𝑧, 𝑡 .𝑢!etquelechampdepressionnedépendquedezetdet.b)Montrerqueletermeconvectifdel’accélérationestnulpourceproblème.Endéduirealorsquelapression dans le fluide est une fonction affine de la cote z et que le champ de vitesses satisfait à

l’équationdifférentielle: oùl’onexprimeraνenfonctiondeρ etdeη.

c)Onchercheunesolutionpourlechampdevitessesouslaforme .Donnerlaforme

générale de f(z) ; on introduira la quantité .En étudiant le comportement aux limites du

fluide,donnerl’expressionduchampdesvitessesréeldanslefluide.Commenterl’expressionobtenue.d)Danslecasd’unfluide1000foisplusvisqueuxquel’eau(onrappellequelaviscositédel’eauestde10-3Pa.s)etpourunefréquencede2Hz,calculerlavaleurnumériquedeladistancecaractéristiqued’atténuationδenprenantcommemassevolumiquelamassevolumiquedel’eau.e) Lesrochesenfusiondanslemanteauterrestresontextrêmementvisqueusesetontunemassevolumique très grande, si bien que leur viscosité cinématique est de l’orde de ν = 10-2 m².s-1 . Endéduireunepropriétéimportantepourlesondessismiquesdecisaillementquiontdesfréquencesdequelqueshertz.

7. Résolutiondeproblème:couléedelave: Une coulée de lave s’écoule par gravité sur la pente d’unvolcan,àv≃30km/hsurunepenteà20°.Estimerlaviscositécinématiquedelalave.

x0plaque u).tcos(.VV !ω=

²zv².

tv

∂∂ν=

∂∂

xti e.e.)z(fv ω=

ων=δ 2

h(t)

z

A

zLiquidevisqueux h xPlaque

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8. Couched’Ekmanatmosphérique(*):Onchercheàconnaîtrelastructuredelacoucheatmosphériqueprochedusol.Eneffetprèsdusol, ilest impératifde tenircomptedes forcesde frottementetde l’influencede laviscosité;ils’établitunecouchelimite,ditecouched’Ekman,dontnousallonspréciserlastructure.Onsupposeiciqu’iln’existequ’unecomposantedugradientdepressionselonOx:

Onsupposedeplusquel’écoulementeststationnaireetquedanslacouchelimitelefluidepeutêtreconsidérécommeincompressible.Onrecherchelechampdevitessessousforme:

L’axeOxestorientéOuest-Est,l’axeOySud-NordetOzestlaverticalelocaleàlalatitudeλ.a) Montrerquel’accélérationestnulle.b) On rappelle l’expression de la force volumique d’inertie de Coriolis: où est levecteurrotationduréferentielterrestreparrapportauréférentielgéocentrique.Montrerqueleséquationsdumouvementdanslacouchelimiteseréduisentà:

(1)

(2)

c)Pourrésoudrecesystème,onreprésentelechampdevitessesparunequantitécomplexeU=vx+ivyoùi2=-1.

MontrerqueUs’exprimeparU=-iUg[1–exp(-qz)exp(iqz)]oùUgetqsontdesconstantesdontondétermineral’expression.d)Quelleestl’épaisseurdelacouched’Ekmandansl’atmosphère?ANν=105cm2.s-1(viscositécinématiqueeffectivetenantcomptedelaturbulence).Que peut-on dire de l’orientation relative du vent au sol et du vent en altitude dans l’hémisphèreNord?

9. Perméabilitéd’uneroche;loideDarcy:La perméabilité intrinsèque d’un milieu poreux estl’aptitudedecemilieuàlaissercirculeràtraverssesporesun fluide dont il est saturé. Cette grandeur peut êtrechiffréegrâceàlaloiexpérimentaledeDarcy:soitunélé-mentcylindriqued’échantillondelongueurdzetdesectiond’aireA,saturéd’unfluidedeviscositédynamiqueη,quiletraversehorizontalement avecundébit volumiqueDv; enrégimepermanent,lapressionamontestP,lapressionavalP-dP.Danscesconditions:

𝐷! = 𝐴.𝑘𝜂dP𝑑𝑧

oùkestuneconstanteappeléecoefficientdeperméabilité(loideDarcy).a)Quelleestladimensiondek?b)Enmodélisantl’échantillonderochecommeunfaisceaudeN(N>>1)cylindrescreux,derayona(a<<√A),juxtaposésetd’axesparallèlesàOz,lesintersticesétantpleins,montrerquelaloideDarcypeutêtredéduitedelaloidePoiseuille;quelleserait,danscettemodélisation,etennégligeantl’airedesinterstices,lavaleurdelaconstantek?NB:onrappellelaloidePoiseuille:𝐷! =

!!!

!!"ΔP

∇P = G

ux

v = vx (z)

ux + vy (z)

uy

V∧Ωρ2-=fCΩ

2x

y2

vη = G + 2ρ sinλ.vz

∂ Ω∂

2y

x2

vη = - 2ρ sinλ.vz

∂Ω

∂

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10. EtablissementdelaformuledeStokes(*):Onconsidèreunécoulementd’air(viscositéη=1,8.10-5Pl;massevolumiqueρ=1,3kg.m-3)autourd’unesphèrederayonR=5µm.Agrandedistancedelasphère,l’écoulementdufluideestuniforme avecV0=10m.s-1etlapressionvautP0.a)CalculerlenombredeReynoldsdel’écoulement.Conclusion?b)Quellessontlesconditionsimposéessurlechampdesvitessesparl’incompressibilitédufluideetlaprésencedelasphère?Ondonne–encoordonnéessphériques-lechampdesvitessessuivant:

c)Vérifierqu’ilsatisfaitauxconditionsprécédentes.Caractérisercetécoulementparunouplusieursdesmotssuivants:rotationnel,irrotationnel,potentiel,stationnaire.

Onadmettrapourcela: ; ;

d)Ecrirel’équationdeNavier-Stokesàlasurfacedelasphèreetendéduirelavaleurdelapressionentoutpointdecettesurface.e)Calculerlarésultantedesforcesdepressionsurlasphère.

f)Onadmetquelacontraintedecisaillements’écritauvoisinagedelasurface: .

Montrer que force de cisaillement exercée par le fluide sur un élément de surface de sphère estdonnéepar:

Calculerlarésultantedesforcesdecisaillementsurlasphère.g)VérifierquelaforcedetrainéesurlasphèreestdonnéeparlaformuledeStokes.

11. Ecoulementd’unfluidedeBinghamdansuncylindre(*):Réf:Mines-PontsPSI2007.Certainsfluides (boues,peintures)non-newtonienssontdesfluidesàseuiloufluidedeBingham;pourunécoulementstationnairedansuneconduitecylindriquederayonR,delongueurLetd’axeOz,

pourlaquelle ,larelationentrelacontrainteσetletauxdecisaillement est:

• σ<σc ;

• σ>σc:σ=σc-η ,avecσcetηpositives.Remarque:σestlacontrainteexercéeparlefluideenr-surlefluideenr+.Onnégligelepoidsdufluidedevantlesforcesdepression.OnappelleΔP=P(0)-P(L)>0ladifférencedepressionentrelesextrémitésdutube.Onconsidèrelesystèmeforméparlefluidecontenuàl’instanttdansuncylindred’axeOz,derayonr≤R,delongueurL.a)Quelleestlavariationdequantitédemouvement dusystèmeentretett+dt?b)Exprimerlarésultantedesforcesdeviscositésurlesystèmeenfonctiondeσ,deretdeL.c)Exprimerlarésultantedesforcesdepressionsurlesystème.d)EndéduirequeΔP.r=σ.2.L.e)Quelleestlasurpressionminimalepermettantl’écoulement?f)Onsupposequeσ(R0)=σcavec0<R0<R;calculerlechampdevitesses.

! !v V uz= 0

v =V0 cosθ (1−3R2r

+ R3

2r3)ur −V0 sinθ (1−

3R4r

− R3

4r3)uθ

div(v) = 0 rot (rotv) = − 3V0R

2r3(2cosθ.ur + sinθ.

uθ ) rot rot

(v) = grad

(divv) - Δv

σ = ∂vθ∂ruθ

dFcis = − 3

2ηV0Rsin

2θ.dθ.dϕ.uθ

v = v(r).uz v•= dvdr

0v =•

v•

Dp