Thème : une longue histoire de la matière Cité scolaire André Chamson

Activité - Cours :  des cristaux, des édifices ordonnés – Correction

I°) Cristallisation

Doc 1 : solides amorphes et solides cristallins

Dans la nature, il existe deux types de solides :

Les solides amorphes, les entités (atomes, molécules ou ions) ne respectent aucun ordre, elles sont désordonnées. Les solides cristallins (cristaux) respectent un ordre bien spécifique, elles sont organisées selon une géométrie précise.

Exemples : la silice SiO2

               SiO2

C'est la première question que se posent les chimistes lorsqu'ils étudient un matériau solide. Ce dernier estcristallin quand il y a un arrangement ordonné des atomes. Il est amorphe quand les atomes qui le composentsont désordonnés.

En chimie minérale, la vitesse est souvent synonyme de désordre. Au laboratoire comme dans la nature. Ainsiun magma qui s'échappe du cratère d'un volcan se refroidit très rapidement à la surface de la terre ; les atomesqui le composent se figent d'une manière désordonnée et constituent un solide amorphe. En revanche, unmagma, qui remonte lentement vers la surface de la terre se refroidit pendant plusieurs centaines de milliersd'années ; les atomes qu'il contient se mettent alors en ordre dans différentes phases solides cristallinesappelées minéraux. L’assemblage de ces minéraux constitue les roches. Par exemple le quartz, le mica et lefeldspaths constituent le granite.

https://www.espace-sciences.org/archives/solide-cristallin-ou-solide-amorphe (modifié)

Doc 2 : exemple de solide cristallin, le sel de table NaCl

Un solide cristallin est en assemblage périodique régulier d’entités. Il existe : Les solides ioniques composés d’ions comme le chlorure de sodium solide NaCl (appelé halite) Les solides covalents composés d’atomes Les solides moléculaires composés de molécules.

Hooke en 1664 et Steno en 1671 remarquent que dans un cristal donné, les faces sont planes et brillantes, les angles entre ces faces sont constants. Ils en déduisent qu’un cristal est obtenu par la répétition dans l’espace d’une « brique élémentaire » qu’ils appellent « maille ».

Quartz

Verre

Une maille est l’unité de base parallépipédique qui permet, par des translations, d’engendrer la totalité ducristal.

Exemple : le sel NaCl (halite)

Les cristaux de NaCl sont présents dans les roches (halite) ou bien s’obtiennent par évaporation de l’eau de mer (marais salants). Ces cristaux sont composés par un empilement d’ions sodium Na+ et d’ions chlorure Cl-

L’empilement régulier d’ions peut être très grand jusqu’à devenir visible à l’œil nu.

Doc 3 : décompte des entités appartenant à une maille

Les entités (atomes, molécules ou ions) en fonction de leurs positions dans la maille, sont à cheval sur plusieurs mailles voisines. Pour compter le nombre d’entités présents dans une maille, il faut connaître la proportion de l’entité présente dans la maille :

Position entité Partage entre n mailles Compte pour

A l’intérieur de la maille 1 1

Face 2 1/2

Arrête 4 1/4

Sommet 8 1/8

1°) Dans quelle catégorie de solide, se place le quartz ? Même question pour le verre.

Le quartz se place dans la catégorie des solides cristallins.Le verre est dans la catégorie des solides amorphes.

2°) Citer une condition expliquant les solides amorphes.

Une condition de formation des solides amorphes est par exemple d’avoir une durée de refroidissement rapide. La géométrie cristalline n’a alors pas le temps de se faire.

On donne ci-dessous, 2 photographies au microscope, de la cristallisation de la vanilline avec des durées de refroidissement différentes.

Cl -Na+

Maille

Halite

3°) Indiquer quelle image correspond à un refroidissement lent et quelle image correspond à un refroidissement rapide.

L’image A correspond à un refroidissement rapide. Les cristaux n’ont pas eu le temps de se développer.L’image B correspond à un refroidissement lent. On voit bien l’entendue des cristaux.

Le gabbro est une roche qui se forme dans les chambres magmatiques et qui se refroidit lentement. Le basalte est une roche magmatique à refroidissement rapide (car en surface). On donne ci-dessous les photos au microscope de ces 2 roches.

4°) a°) Attribuer l’image à sa bonne roche.

Basalte (car quasi absence de cristaux) Gabbro (car cristaux bien visibles)

On donne ci-dessous l’image d’un gabbro et d’un basalte. b°) Attribuer la bonne image à sa bonne roche. Justifier.

Gabbro (on voit les cristaux) Basalte (pas de cristaux car refroidissement rapide à l’air)

A B

A B

A B

5°) Indiquer quelle forme géométrique simple se retrouve dans le cristal de chlorure de sodium de l’échelle macroscopique à l’échelle microscopique.

La géométrie qui se répète est celle du cube.

6°) Pourquoi les ions Na+ se retrouvent toujours à côté des ions Cl- ?

Car les charges opposées s’attirent.

7°) Si on avait placé les ions Na+ au sommet et les ions Cl- sur les arrêtes, la géométrie de la maille aurait-elle été différente ? Expliquer.

Non, on retrouve toujours un cube de même dimension. Les ions sont justes interchangés.

8°) Compléter le tableau du doc 3.

9°) Décompter le nombre d’ions sodium Na+ présents dans la maille. Même question pour les ions chlorure Cl-. Il y a-t-il autant d’ions chlorure que d’ion sodium ?

Ions Na+

Dans une maille, il y a 12 ions sur les arrêtes + 1 ion au centre.Il y a donc 12×1/4+1 = 4 ions Na+ dans la maille.

Ions Cl-

Dans une maille, il y a 8 ions sur les sommets + 4 ions sur les faces.Il y a donc 8×1/8 + 6×1/2 = 4 ions Cl- dans la maille.

10°) Les cristaux de sel sont-ils électriquement neutres ?

Oui car à l’intérieur d’une maille il y a autant de charges positives (4 Na+) que de charges négatives (4 Cl-).

II°) Les propriétés macroscopiques expliquées par la maille cristalline

Doc 1 : Les structures cubiques

En classe de 1ère, on étudie 2 types de structures cubiques. Les atomes sont représentés par des sphères de rayons R qui sont tangentes entre elles.On appelle le paramètre de maille a la longueur de l’arrête du cube.

Cubique simple (CS) Cubique à faces centrées (CFC)

Dans cette structure, les entités chimiques sont situéesau sommets du cube.

Dans cette structure, les entités chimiques sont situéesau sommets du cube et au centre de chaque face.

Représentation compacteReprésentation éclatée

Représentation compacte Représentation éclatée

a a

Rappel : volume V d’une sphère de rayon R : V = 43

π R3

Doc 2 : La compacité C, masse volumique ρ

La compacité C d’une maille permet de calculer le taux d’occupation de la maille. C’est une grandeur sans unité. Elle est définie par le rapport du volume total des entités à l’intérieur de la maille sur le volume de la maille :

C = Volumedes entités dans lamailleVolume de lamaille

La masse volumique ρ est définie par le rapport de la masse m de la maille sur le volume V de la maille.

ρ = Masse des entités dans lamailleVolumede lamaille

a°) Le polonium Po

Le polonium est un élément radioactif découvert par Marie Curie et son mari en 1898. Il existe à l’état de trace dans les minerais d’uranium.

On donne ci-contres la maille cristalline du polonium Po. Le paramètre de maille a = 3,36 Å. 1 Å = 10-10 mMasse molaire atomique : M = 210,0 g.mol-1

Nombre d’Avogadro : NA = 6,02×1023 mol-1

1°) Quelle type de structure cristalline possède le polonium ?

C’est une maille cubique simple car tous les atomes sont aux sommets du cube.

2°) Dessiner en vue de face, la maille du polonium. A quels niveaux, la tangence des atomes se fait-elle (arrêtes, sommets ou diagonales) ?

La tangence se fait au niveau des arrêtes du cube.

3°) En déduire la relation entre le paramètre de maille a et le rayon R des atomes de polonium. Calculer R.

On voit immédiatement que a = 2R

4°) Calculer le nombre d’atome de polonium effectivement contenu dans la maille.

Il y a 8 atomes au sommets du cube, cela fait donc 8×1/8 = 1 atome dans la mailles

5°) Montrer alors que la compacité pour la maille cubique simple est C = π6

≈ 0,52 . Calculer alors la

compacité C de la maille.

On applique la définition :

C = Volumedesentités dans lamailleVolumede lamaille

=Nombred ' atomesdans lamaille×4

3π R3

a3

a

R

C =1× 43

π R3

a3=1× 43

π R3

(2R)3 on simplifie et on obtient bien C = π

6≈ 0,52 (52 % remplit par les atomes)

6°) Calculer la masse mPo d’un atome de polonium.

Rappels classe de 2nde : la masse molaire atomique est la masse d’une mole d’atomes et une mole comporte 6,02×1023 atomes.

Donc la masse d’un atome est mPo =M Po

N A

= 210,0×10−3

6,02×1023= 3,49×10−25 kg

7°) Calculer la masse volumique ρ du polonium en kg.m-3

On applique la définition :

ρ = Masse desentités dans lamailleVolumede lamaille

= Nombred ' atomesdans lamaille×masse d ' unatomeVolumede lamaille

ρ =1×mPo

a3= 3,49×10−25

(3,36×10−10)3= 9,20×103 kg .m−3

b°) L’aluminium Al

On donne ci-contres la maille cristalline de l’aluminium.Le paramètre de maille a = 4,049 Å. 1 Å = 10-10 mMasse molaire atomique : MAl  = 26,98 g.mol-1

Nombre d’Avogadro : NA = 6,02×1023 mol-1

1°) Quelle type de structure cristalline possède l’aluminium ?

C’est une structure cubique face centrée.

2°) Dessiner en vue de face, la maille de l’aluminium. Où la tangence se fait-elle ?

La tangence se fait sur la diagonale du cube.

3°) En utilisant un théorème de Pythagore, donner la relation entre le paramètre de maille a et le rayon R des atomes d’aluminium. Calculer R.

Pythagore : diagonale = √a2+a2 = 4R diagonale = a√2 = 4R

Donc R = a2√2

= 4,049×10−10

2√2 = 1,43×10-10 m

4°) Calculer le nombre d’atomes d’aluminium effectivement contenus dans la maille.

Il y a 8 atomes au sommets et 6 atomes sur les faces. Donc nous avons 8×1/8 + 6×1/2 = 4 atomes d’aluminium à l’intérieur de la maille.

a

a

diago

nale

5°) Montrer alors que la compacité pour la maille cubique à faces centrées est donnée par C = π √26

≈ 0,74 .

On applique la définition :

C = Volumedesentités dans lamailleVolumede lamaille

=4×43

π R3

a3

C =1×43

π R3

a3=1× 43

π (a √24 )

3

a3 on simplifie et on obtient bien C = π √2

6≈ 0,74

(74 % remplit par les atomes)

6°) Calculer la masse mAl d’un atome d’aluminium.

La masse d’un atome est mAl =M Al

N A

= 26,98×10−3

6,02×1023= 4,48×10−26kg

7°) Calculer la masse volumique ρ de l’aluminium.

On applique la définition :

ρ = Masse desentités dans lamailleVolumede lamaille

= Nombred ' atomesdans lamaille×masse d ' unatomeVolumede lamaille

ρ =4×mAl

a3= 4×4,48×10−26

(4,049×10−10)3= 2,70×103 kg .m−3

Vérification expérimentale : matériel à disposition : - 1 éprouvette graduée ou vos règles (ou équerres) - 1 cylindre d’aluminium - 1 balance (au bureau) - vos règles (ou équerres)

8°) Avec le matériel à disposition, élaborer un protocole expérimental pour mesurer la masse volumique ρ de l’aluminium. Réaliser votre protocole ainsi que tous les calculs nécessaires.

Il faut déterminer la masse volumique du métal en mesurant sa masse m avec une balance. On détermine son volume V avec un éprouvette graduée par la méthode du déplacement d’eau (voir le schéma ci-dessous) :

On met un volume V1 = 90,0 mL d’eau dans une éprouvette graduée.Ensuite on introduit le cylindre et l’on note le nouveau volume V2.Le volume V du cylindre est simplement la différence des 2 volumes : V = V2 - V1

← V1

← V2

A la balance, on obtient une masse m = 29,2 g.Le volume du cylindre est V = V2 – V1 = 100,5 – 90,0 = 10,5 mL

La masse volumique du cylindre est donc : ρ = mV

= 29,2×10−3

10,5×10−6 = 2,78×103 kg .m−3

9°) La valeur expérimentale confirme-t-elle la valeur obtenue avec la maille cristalline ?

Calculer l’écart relatif donné par |Valeur expérience –Valeur théorique|

Valeur théorique en %

écart relatif = |2,78×103– 2,70×103|

2,70×103= 2,96%

c°) Un problème en or      !  

Données : MAu = 197,0 g.mol-1

                  masse volumique ρ = 19 300 kg.m-3

On donne ci-dessous l’image obtenue par un microscope à effet tunnel de la surface d’un lingot d’or. Cet appareil permet de voir les atomes.

1°) Déterminer la structure de la maille cristalline (CS ou CFC) prise par les atomes d’or. Vous détaillerez le raisonnement ainsi que les calculs et les mesures réalisées.

Il faut calculer la masse volumique de l’or et la comparer à celle donnée.

Il nous faut d’abord déterminer la rayon de l’atome. Pour cela utilisons l’image :

échelle doc : 2,0 cm ↔ 8,00 Å 8,9 cm ↔ 26 R (sur 8,9 cm il y a 13 atomes d’or soit 26 rayons)

Donc on a R= 8,9×8,002,0×26

= 8,9×8,002,0×26

= 1,4 Å

Atome d’or

8,00 Å

8,9 cm

On détermine la masse d’un atome d’or :

mAu =M Au

N A

= 197,0×10−3

6,02×1023= 3,27×10−25 kg

Ensuite on applique les relations trouvées précédemment dans le cas de la structure cubique simple et cubique face centrée :

Cubique simple (CS) Cubique faces centrées (CFC)

a = 2RIl y a 1 atome par maille.

ρ =1×mAu

a3=1×mAu

(2R)3

ρ = 1×3,27×10−25

(2×1,4×10−10)3= 1,5×104 kg .m−3

diagonale = a√2 = 4RIl y a 4 atomes par maille.

ρ =4×mAu

a3=1×mAu

(4 R√2 )3

ρ = 4×3,27×10−25

( 4×1,4×10−10

√2 )3= 2,1×104 kg .m−3

La valeur donnée se rapproche de celle trouvée avec la structure cubique face centrée. On en déduit que l’or a une structure cubique face centrée.

2°) Dessiner en perspective cavalière ci-dessous, le modèle compacte de la maille cristalline de l’or.

d°) Pour les curieux (en bonus)

Le fer cristallise selon une structure cubique centrée :

Représentation compacteReprésentation éclatée

a

Dans ce type de structure, les atomes sont tangents selon la grande diagonale du cube.Données : masse d’un atome de fer mFe = 9,27×10-26 kg masse volumique du fer ρ = 7874 kg.m-3

1°) Avec Pythagore exprimer la longueur d de la diagonale du cube en fonction du paramètre de maille a.

Pythagore : diagonale cube d = a√3

2°) Avec l’information du texte, trouver la relation entre le paramètre de la maille a et le rayon R de l’atome.

d = a√3 = 4 R

3°) Dénombrer le nombre d’atomes de fer présents dans la maille.

Il y a 8 atomes aux sommets et 1 atomes au centre : 8×1/8 + 1 = 2 atomes de fer dans la maille.

4°) Montrer alors que la compacité C = π √38

≈ 0,68

C = Volumedesentités dans lamailleVolumede lamaille

=2×43

π R3

a3

C =2× 43

π (a√34 )

3

a3 on simplifie et on obtient bien C = π √3

8≈ 0,68 (68 % remplit par les atomes)

5°) Des données, en déduire le rayon R d’un atome de fer.

ρ =2×mFe

a3=2×mfe

(4 R

√3 )3

→ R = √34 (2×mFe

ρ )1/3

A.N : 

R= √34 (2×9,27×10−26

7874 )1/3

= 1,24×10−10m

Résumé

Les solides

On distingue 2 types de solides : - solides amorphes : les constituants sont désordonnés (ex : le verre).- solides cristallins : les constituants sont ordonnés selon une géométrie bien précise (ex : le sel NaCl).

Les cristaux

Un cristal est un solide constitué d’un assemblage d’atomes, d’ions ou de molécules. La structuremicroscopique d’un cristal peut être décrite par la répétition dans les 3 directions de l’espace d’unparallélépipède contenant des entités, ce parallélépipède est appelé maille.

Les 2 structure cubiques (pour la classe de 1ère)

Les atomes sont représentées par des sphères dures de rayon R. Le paramètre de maille est noté a estcorrespond à la longueur de l’arrête du cube.

a°) Cubique simple (CS)

Dans cette structure, les atomes sont aux sommets du cube :

La tangence se fait selon les arrêtes du cube.Donc a = 2R

b°) Cubique faces centrées (CFC)

Dans cette structure, les atomes sont aux sommets du cube et au milieu des faces:

La tangence se fait selon la diagonale des faces.Avec Pythagore,on montre que : diagonale = a√2= 4 R

Représentation éclatée Représentation compacte Vue de face

R

a

a

diago

nale

La compacité C

La compacité donne le taux d’occupation de la maille : C =V atomes dans lamaille

Vmaille

=Z× 43

π R3

a3

Pour la maille cubique simple : C ≈ 0,52Pour la maille cubique faces centrées : C ≈ 0,74

Remarque : - pour la structure cubique, le volume de la maille est simplement Vmaille = a3.

- volume d’une sphère de rayon R : V = 43

π R3

- Z = nombre d’atomes dans la maille (multiplicité)

Masse volumique    ρ  

C’est la masse contenue dans la maille sur le volume : ρ =matomesdanslamaille

V maille

=Z×matome

a3

Proportion des atomes dans la maille

Position entité Compte pour

A l’intérieur de la maille 1

Face 1/2

Arrête 1/4

Sommet 1/8

Vive Pythagore !

a

a

a √2

a √3

m

m

Sans unité (en %)

kg

mkg.m3