Activités, problèmes, situations…

● Extraits de programmes,● Théorie de l’apprentissage,● Polya, Brousseau, Douady, Gras…● Exemples.

Extraits de programmes (B.O. et accompagnement) :

procédures personnelles...avant procédures expertes.

Mesure de l'impact d’une formation en mathématiques Pas au nombre de théorèmes et de propriétés qu’on retient, Mais à la manière d’aborder certaines situations

capacités de formalisation et de conceptualisation, d’action et d’interprétation rationnelle de faits sociaux, etc.

Extraits de programmes (B.O. et accompagnement) :

Sensibilité propre de l'enseignant : exposé rigoureux et sans faille plaisir dans la recherche de problèmes choix du métier d’enseignant,

il importe que les deux soient présents dans son exercice.

Les théories de l'apprentissage.

Modèle de la tête vide.

Modèle constructiviste.

Modèle des petites marches(behavioriste.)

Comment poser et résoudre un problème ?

György PólyaDunod, Paris, 1968.

Trois principes pour enseigner.

L’apprentissage

actif.

Les phasesconsécutives.

La meilleuremotivation.

Laisser les étudiants découvrir seuls

le plus de choses

Le professeur doitaccorder toute

son attention au choix, à la formulation,

à la présentation…

Exploratoire Solution formelleAssimilation

Théorie des situations.

Guy Brousseau.

Les phases consécutives de l'apprentissage.

Institutionnalisation.

ExpérimentationConjecture.

Démonstration.Recherche.

ApplicationRéinvestissement.

Quelques effets de contratou l’effacement de la volonté

d’enseigner.

L’effet Topazeou le contrôle

de l’incertitude.

Le glissementmétacognitif.

L’effet Jourdainou le

malentendufondamental.

Jeux de cadres et dialectique outil-objet.

Régine Douady.R.D.M., vol. 7, n°2, 1986

d' Outil pour résoudre un problème

d'Objet prenant place

dans la construction d'un savoir organisé

Un concept mathématique joue alternativement le rôle

Dialectique outil-objet

faire avancer les phases

de recherche

faire évoluerles conceptions

de l'élève

L'enseignant provoque des changements de cadres pour

Jeux de cadres

On peut construire des connaissances mathématiques, grâce à des problèmes dont :

L'énoncé est court,

Compte-tenu de leurs connaissances, les élèves peuvent envisager une procédure de construction,mais ils ne peuvent pas résoudre complètement le problème,

Les connaissances visées par l'apprentissage,sont des outils adaptés au problème,

Le problème peut se formuler dans au moins deux cadres différents

Pour un enseignement problématisé des Mathématiques au Lycée.

Groupe « Problématique Lycée ».APMEP., brochure 150 et 154, 2003

A

B

C

D

Le quadrilatère ABCD a été dessiné dans un

repère orthonormé qui a disparu.

Le retrouver à partir de la donnée des coordonnées dans ce repère, des points suivants :

A(-4;2) B(2;-6) C(3;6) D(1;2) A

B

C D

Compréhension réversible de la notion de repère

cartésien.Le retournement de situation est un basculement de

sens : du savoir rencontré incidemment (milieu objectif), on passe aux objets mathématiques comme principe de cohérence et de nécessité, et comme outils de structuration.(I. Bloch)Variantes et prolongements :

● Recherche du nombre minimal de points à donner.● Coordonnées d'un point, par exemple {I} = (AD) (BC)● Repère orthogonal, repère affine...● « Jeu de groupes » : construction de la figure dans un

repère, reproduction sur calque, échange entre deux groupes.

● A partir d'une droite sur une feuille A4, retrouver le repère dans lequel cette droite a pour équation 3x + y – 4 = 0

1. On connaît les milieux des 3 côtés d'un triangle.

Retrouver ses sommets.

2. Construire un triangle ABC dont les médianes issues de B et de C sont perpendiculaires.

Trouver, dans de tels triangles, l'expression de AB² + AC² en fonction de BC².

3. On connaît les milieux des côtés d'un pentagone

Retrouver les 5 sommets. (Brochure Académique de la classe de seconde)

1. L'entier le plus proche d'un nombre a est 7. Trouver des valeurs possibles de a.

2. Trouver plusieurs nombres dont la valeur tronquée à 0,001 près est 5,176. Soit b un tel nombre. Quelles sont les valeurs possibles de b ?

3. Trouver plusieurs nombres dont la valeur arrondie à 0,001 près est 5,176. Soit c un tel nombre. Quelles sont les valeurs possibles de c ?

On donne deux baguettes de longueurs respectives a et b.

Construire sur le papier des quadrilatères dont ces deux baguettes sont des réalisations matérielles des diagonales.

Les classer dans un tableau suivant leurs propriétés.

Révision des figures quadrangulaires par un

examen de leurs propriétés.

La validation.Le contrôle physique peut être mené de concert avec

le dessin ce qui permet de valider ou invalider des propositions.

Le tableau permet d'expliciter une classification après exhaustion.

On prolonge ensuite au cas où a = b.

Un tétraèdre régulier de côté a cm doit être posé sur une face entre deux étagères espacées de ¾ a cm.

Est- ce possible ?

Application de propriétés de géométrie de

l'espace.

Le changement de cadre.L'extension des propriétés du triangle rectangle à l'espace

permettent de résoudre complètement ce problème.Variante. (Affaire de logique n°181, Le Monde du 25/07/00)Par une après-midi pluvieux d'été, quatre enfants

remplacent leurs constructions de sable par des réalisations en pâte à modeler.

Chacun a utilisé intégralement un bâton de pâte à modeler (les bâtons sont identiques) pour réaliser le premier une boule, le deuxième un téraèdre régulier, le troisième une pyramide à base carrée (dont les faces triangulaires sont équilatérales), le quatrième un cube.

Classez ces solides par ordre croissant de hauteur.

Prise en compte des ordres de grandeur.

Combien y-a-t-il de molécules d'eau dans une goutte d'eau ? Y-en-a-t-il beaucoup plus, beaucoup moins que de gouttes d'eau dans la Méditerranée ?

(M. Artigue, Repères janvier 2004)

Le débat scientifique.Les réponses peuvent d'abord être regroupées en deux

parties : beaucoup plus et beaucoup moins, puis en précisant des ordres de grandeur de ces « beaucoup »...

La question conduit aussi à donner des ordres de grandeur pour la surface de la Méditerranée, pour sa profondeur moyenne, à retrouver la masse molaire de l'eau et le nombre d'Avogadro.

Comment ? Quoi ? Quand ?

Le travail de groupes…

Un nombre limité de foisdans l’année.

Les notions nodales.

Jamais en DS.