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Analyse des donnes S6, Option : Gestion Prof. Mohamed El
Merouani
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Exemples dintroduction lanalyse des donnes: De la statistique la
gomtrie : Soient X1 et X2 deux variables statistiques. Notons Y1 et
Y2 les variables centres construites partir de X1 et X2 :
111 XXY =
222 XXY = Convenons dcrire les donnes brutes associes chacune de
ces variables, sous la forme de
n-uplets : (Y1(1),, Y1(i),, Y1(n)) (Y2(1),, Y2(i),, Y2(n))
ou, si lon pose yij= Yj(i) (y11,,yi1,,yn1) (y12,,yi2,,yn2)
Il est posible de considrer que ces n-uplets comme les
composantes de deux vecteurs Y1 et Y2 lments de IRn (espace
vectoriel de dimension n).
Exemple 1 : Soit le tableau des donnes correspondant deux
variables statistiques X1 et X2 :
X1 X2 1 1 6 2 3 2
On a 21 =X
42 =X
Do les variables centres Y1 et Y2 : Y1 Y2 1 -1 2 2 1 -2
On a bien
Les vecteurs Y1(-1,1) et Y2(2,-2) de IR2 ; le plan IR2 est appel
espace des individus, car chaque axe du repre orthonorm est associ
un individu
01 =Y 02 =Y
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2
2,1= j
( ) ( )=
=
n
ijijj Yy
nYVar
1
21
( ) 21
2 11j
n
iij Y
ny
n
=
==
et
o est la norme euclidienne du vecteur , cest--
dire, dans un langage plus courant, la longueur du vecteur
Pour les vecteurs de lexemple 1 ;
( ) ( ) 11121 22
1 =+=YVar
( ) ( ) 44421
2 =+=YVar
211 221 =+=Y
22442 =+=Y La longueur du vecteur associ une variable
statistique centre est donc proportionnelle
lcart-type de cette variable. Calculons, maintenant, la
covariance de (Y1, Y2) :
( ) ( )( )221
11211
, YyYyn
YYCov in
ii =
=
)(11 2121
1 YYn
yyn
i
n
ii ==
=
o (Y1.Y2) dsigne le produit scalaire de Y1 et de Y2. On rappelle
que, si est langle form entre les vecteurs Y1 et Y2, alors :
)1(cos21
21
YYYY
=
Soit encore, compte tenu de ce qui prcde, ( )
===
)()(,
)()(),(
cos21
21
21
21
YVarYVarYYCov
YYnYYnCov
cest le coefficient de corrlation linaire entre Y1 et Y2.
jY
jY
2221 njijjj yyyY ++++= LL
n
YY jj =)(
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Dans lexemple 1 prcdent, on peut voir clairement que les
vecteurs Y1 et Y2 sont colinaires et de sens contraire, langle de
Y1 et Y2 est donc gal ; or cos = 1, rsultat que lon retrouve en
utilisant la formule (1),
Lorsque les vecteurs sont linairement dpendants (lis), il existe
tel que Y1=Y2, donc cos =1 et rciproquement. Quand on centre et on
rduit des variables (par exemple ), on forme des
vecteurs qui ont tous la mme dimension. ( )
De ce fait, la variance est la distance commune tous les
vecteurs (ils se situent sur un cercle de rayon 1) et ils se
positionnent les uns par rapport aux autres par le coefficient de
corrlation linaire que lon dduit partir de langle form par les deux
vecteurs. Exemple 2 : Soit le tableau de donnes suivant :
Variables Individus
X1 X2
1 4 5 2 6 7 3 8 0
=
864
1X
=
075
2X
,
Les moyennes : 63
4681 =
++=X et 4
3075
2 =++
=X
Center les variables ( )jij xx : 4-6=-2 5-4=1 6-6=0 7-4=3 8-6=2
0-4=-4
Leur normes (cart-types iXi
) :
( ) ( )322]44[
31]22[
31 22
11 =+=+== XX
et ( )326]431[
31 222
22 =++== XX
avec
182
)2(2cos =
+=
*
+ IR
)( jjj
j YYY
Z
=
1)( =jZVar
et
=
2634
23
26330
263
2232
Z iXjij
ijxx
z
=
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011 == CZ et 022 == CZ 2,1;1 == jyj
De plus ( )( ) ( )YXYXCov
r
,
= entre deux variables X et Y,
mais si ( ) ( ) ,1== YX
alors ( )YXCovr ,= . Calcul du produit matriciel ZZ
p'
1 :
=
=
=
169,069,01
11325
13251
313215
132153
31
2634
23
26330
263
23
2634
2633
263
230
23
31
Le rsultat de ce calcul est la matrice R des corrlations
linaires des variables. On lappelle aussi la matrice dinformation
des variables. R est une matrice symtrique, ayant des 1 sur la
diagonale (les variances des variables) et tous ses lments sont
infrieurs ou gales 1 en valeur absolue.
Calcul du produit matriciel ZZ :
VZZ =
=
=
2687
2636
2651
2636
2627
269
2651
269
1321
2634
2633
263
230
23
2634
23
26330
263
23
'
Cette matrice V nest pas une matrice de corrlation, mais elle
porte le nom de matrice dinformation des individus. Elle est
symtrique aussi.
