19

Addition de nombres relatifs - ac3j.fr · Par babili urs pro me de le ires si la som ments sont contra Deux événe u de 32 cartes, les carte dans un je ste à chosir une e qui consi

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Opé

rati

ons

sur

les

nom

bres

rel

atif

s

Pou

r ad

dit

ion

ner

deu

x n

om

bre

s re

lati

fsd

e m

êm

e s

ign

e,

on

ad

dit

ion

ne l

eu

r d

ista

nce

à z

éro

et

on

gard

e l

e s

ign

e c

om

mu

n.

Pou

r ad

dit

ion

ner

deu

x n

om

bre

s re

lati

fs d

esi

gn

es

con

trair

es,

on

sou

stra

it l

a p

lus

peti

ted

ista

nce

à z

éro

de l

a p

lus

gra

nd

e e

t on

pre

nd

le s

ign

e d

e c

elu

i q

ui

à l

a p

lus

gra

nd

e d

ista

nce

à z

éro

.

Ad

dit

ion

de n

om

bre

s re

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fs

Sou

stra

ire u

n n

om

bre

rela

tif

revi

en

t à a

jou

ter

son

op

posé

.

Sou

stra

ctio

n d

e d

eu

x n

om

bre

s re

lati

fs

Écr

itu

re s

imp

lifi

ée d

es

som

mes

de r

ela

tifs

(-5

) +

(+

7)

+ (

-6)

= -

5 +

7 -

6(+

11

) -

(+6

) -

(-4

) =

11

-6

+4

Un

e a

stu

ce p

ou

r si

mp

lifi

er

:-

deu

x si

gn

es

iden

tiq

ues

peu

ven

t se

rem

pla

cer

par

un

+-

deu

x si

gn

es

diff

ére

nts

peu

ven

t se

rem

pla

cer

par

un

-

Pou

r m

ult

ipli

er

deu

x n

om

bre

s re

lati

fs,

on

mu

ltip

lie l

eu

r d

ista

nce

à z

éro

et

on

ap

pli

qu

e l

a r

èg

le d

es

sig

nes

suiv

an

te :

- le

pro

du

it d

e d

eu

x n

om

bre

s re

lati

fs d

e m

êm

e s

ign

e e

st p

osi

tif;

- le

pro

du

it d

e d

eu

x n

om

bre

s re

lati

fs d

e s

ign

es

con

trair

es

est

nég

ati

f.

Mu

ltip

lier

un

nom

bre

rela

tif

par

-1 r

evi

en

t à p

ren

dre

son

op

posé

.

Le p

rod

uit

de p

lusi

eu

rs n

om

bre

s re

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fs e

st :

- p

osi

tif

s'il

com

port

e u

n n

om

bre

pair

de f

act

eu

rs n

ég

ati

fs;

- n

ég

ati

f s'

il c

om

port

e u

n n

om

bre

im

pair

de f

act

eu

rs n

ég

ati

fs.

Mu

ltip

lica

tion

de n

om

bre

s re

lati

fs

Pou

r ca

lcu

ler

le q

uoti

en

t d

'un

nom

bre

rela

tif

par

un

nom

bre

re

lati

f n

on

nu

l, o

n d

ivis

e l

eu

r d

ista

nce

à z

éro

et

on

ap

pli

qu

ela

règ

le d

es

sig

nes

suiv

an

te :

- le

qu

oti

en

t d

e d

eu

x n

om

bre

s re

lati

fs d

e m

êm

e s

ign

e

est

posi

tif;

- le

qu

oti

en

t d

e d

eu

x n

om

bre

s re

lati

fs d

e s

ign

es

c

on

trair

es

est

nég

ati

f.

Qu

oti

en

t d

e n

om

bre

s re

lati

fs

L'o

pp

osé

d'u

n n

om

bre

rela

tif

est

le n

om

bre

de s

ign

eco

ntr

air

e q

ui

a l

a m

êm

e d

ista

nce

à z

éro

.

Op

posé

d'u

n n

om

bre

rela

tif

(+7

)+(+

4)=

(+1

1)

(+7

)+(-

4)=

(+3

)

(-7

)+(-

4)=

(-1

1)

(-7

)+(+

4)=

(-3

)

(-3)

est

l'op

posé

de

(+3)

; (

+7)

est

l'op

posé

de

(-7)

(-5

)+(+

8)+

(-7

)+(-

3)+

(+9

)=(-

15

)+(+

17

)

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Défi

nit

ion

son

t d

eu

x n

om

bre

s re

lati

fs n

on

nu

lset

La f

ract

ion

dési

gn

e l

'un

iqu

e n

om

bre

vérifi

an

t :

Eg

ali

té d

e f

ract

ion

s

Som

me a

lgéb

riq

ue d

e f

ract

ion

s

Pro

du

it d

e f

ract

ion

s

Ég

ali

té d

es

fract

ion

s et

pro

du

its

en

cro

ix

Défi

nit

ion

Qu

oti

en

t d

e d

eu

x fr

act

ion

s

Div

iser

par

un

nom

bre

non

nu

l re

vien

t à m

ult

ipli

er

par

son

in

vers

e

Exe

mp

les

de s

imp

lifi

cati

on

de f

ract

ion

:

Exe

mp

les

de s

om

me s

imp

le :

Exe

mp

les

de p

ass

ag

e a

u m

êm

e d

én

om

inate

ur

Il f

au

t p

en

ser

à s

imp

lifi

er

ava

nt

d'eff

ect

uer

un

pro

du

it !

Inve

rse d

'un

e f

ract

ion

Les fract

ions

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Les

puis

sance

s de 1

0

L'écr

itu

re s

cien

tifique

Tout

nom

bre

déci

mal

peu

t s'é

crire

:

un m

illia

rdiè

me

un m

illio

nièm

e

un m

illiè

me

un c

entiè

me

un d

ixiè

me

une

diza

ine

une

cent

ain

eun

mill

ier

un m

illio

n

un m

illia

rdG

: G

iga

M :

Még

a

k : k

ilo

h : h

ecto

da :

deca

c : c

enti

d : d

eci

m :

mill

i

: m

icro

n : n

ano

Définit

ion

Les

12

pre

mie

rs c

arr

és

parf

ait

s

Les

puis

sance

s de 1

0

= 1

= 4

= 9

= 1

65

² =

25

= 3

6

= 4

98

² =

64

= 8

11

= 1

00

11²

= 1

21

12

² =

14

4

Exe

mple

s :

7 ex

posa

nt 2

se

dit 7

au

carr

é

6 ex

posa

nt 3

se

dit 6

au

cub

e

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Calc

ul lit

téra

lLa

dis

trib

uti

vit

é s

imple

La d

ouble

dis

trib

uti

vit

é

La g

est

ion d

es

pare

nth

èse

s

Devant

une p

are

nth

èse

ou e

ntr

e u

n n

om

bre

et

une lett

re o

n n

'écr

it p

as

le s

ym

bole

de m

ult

iplic

ati

on

Dévelo

pp

er

c'est

écr

ire u

n p

rod

uit

de f

act

eurs

en u

ne s

om

me d

e t

erm

es

Fact

ori

ser

c'est

écr

ire u

ne s

om

me d

e t

erm

es

en u

n p

rod

uit

de f

act

eurs

Réduir

e u

ne e

xpre

ssio

n lit

téra

leO

n n

e p

eut

ajo

ute

r et

réd

uir

e q

ue d

es

term

es

de m

êm

e n

atu

re

On f

act

ori

se les

term

es

de m

êm

e n

atu

re

Exe

mp

les

:

Att

enti

on à

la r

èg

le d

es

sig

nes

dans

la m

ult

iplic

ati

on !

Exe

mple

s :

On eff

ect

ue les

mult

iplic

ati

ons

de t

ête

!

Exe

mp

les

:

Pas

de s

igne :

donc

+

+ d

evant

la p

are

nth

èse

- d

evant

la p

are

nth

èse

l'exp

ress

ion n

e c

han

ge p

as

l'exp

ress

ion d

evie

nt

son o

pp

osé

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Rés

oudr

e un

e éq

uat

ion

du

prem

ier

deg

réR

ésou

dre

une

iné

quat

ion

du

prem

ier

deg

On

peut

ajo

uter

ou

sous

trai

re la

mêm

e e

xpre

ssio

n au

x de

uxte

rmes

d'u

neéq

uatio

n.

On

peut

mul

tiplie

r ou

div

iser

les

deux

term

es d

'une

éq

uatio

npa

r la

mêm

e ex

pres

sion

no

n nu

lle.

Rés

oudr

e un

e éq

uat

ion

c'es

t tro

uve

r to

us le

s no

mbr

es

tels

que

l'é

galit

é so

it vr

aie.

Po

ur u

ne é

qua

tion

du p

rem

ier

degr

é il

y a

une

ouau

cune

sol

utio

n.

1 2

1

2

1

2

1 1

Rés

oudr

e un

e in

équ

atio

n c'

est

trou

ver

tous

les

nom

bre

s

tels

que

l'i

nég

alité

soi

t vra

ie. P

our

une

inéq

uatio

n du

pre

mie

r de

gré

il y

a au

cune

ou u

ne in

finité

de

solu

tion

s.

On

peut

ajo

uter

ou

sous

trai

re la

mêm

e e

xpre

ssio

n au

x de

uxte

rmes

d'u

ne in

équa

tion.

On

peut

mul

tiplie

r ou

div

iser

les

deux

term

es d

'une

inéq

uatio

npa

r la

mêm

e ex

pres

sion

str

icte

men

t pos

itive

.

1 2O

n pe

ut m

ultip

lier

ou d

ivis

er le

s de

ux te

rmes

d'u

ne in

équa

tion

par

la m

ême

expr

essi

on s

tric

tem

ent

néga

tive

, le

sym

bole

de

com

para

ison

est

alo

rs m

odifi

é en

son

con

trai

re.

3

Les

solu

tion

s so

nt to

us le

s no

mbr

es s

tric

tem

ent

supé

rieur

s à

-4,5

Les

solu

tion

s so

nt to

us le

s no

mbr

es s

upér

ieur

sou

éga

ux à

6-4

,5 e

st la

sol

utio

n de

cet

te é

quat

ion

est l

a so

lutio

n de

cet

te é

quat

ion

1 1

3

1

2

1

-4,5

06

0

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Fonctio

ns affin

es

Défi

nitio

n :

a et

b d

es n

ombr

es q

uelc

onqu

es

La f

onct

ion

affi

ne d

e co

effi

cien

ts a

et

b es

t dé

fini

e pa

r :

a es

t le

coe

ffic

ient

dir

ecte

ur

b l'o

rdon

née

à l'o

rigi

ne

Prop

riété

s :

Une

fon

ctio

n lin

éair

e es

t un

e fo

ncti

on a

ffin

e La

rep

rése

ntat

ion

grap

hiqu

e d'

une

fonc

tion

aff

ine

est

une

droi

te q

ui p

asse

par

le p

oint

de

coor

donn

ées

(0;b

) où

b es

t l'o

rdon

née

à l'o

rigi

ne Po

ur t

race

r la

rep

rése

ntat

ion

grap

hiqu

e d'

une

fonc

tion

affi

ne f

il s

uffi

t de

cal

cule

r l'i

mag

e d'

un n

ombr

e u

non

nul.

Cett

e dr

oite

pas

se p

ar le

s po

ints

de

coor

donn

ées

(0;b

) et

(u,f

(u))

.

Repr

ésen

tons

gra

phiq

uem

ent

:

f(0)

=-3

et f

(3)=

3 do

nc o

n tr

ace

la d

roit

e pa

ssan

t pa

r A

(0;-

3) e

t B(

3;3)

g(0)

=3 e

t g(

4)=-

1 do

nc o

n tr

ace

la d

roit

e pa

ssan

t pa

r C(

0;3)

et

D(4

;-1)

h(0)

=1 e

t h(

6)=3

don

c on

tra

ce la

dro

ite

pass

ant

par

E(0;

1) e

t F(

6;3)

l(0)=

0 et

l(2)

=-4

donc

on

trac

e la

dro

ite

pass

ant

par

G(0;

0) e

t H

(2;-

4)k(

0)=4

et

k(3)

=4 d

onc

on t

race

la d

roit

epa

ssan

t pa

r I(

0;4)

et

J(3;

4)

A

B

C

D

E

F

G

H

IJ 1

-21

2

1

(AB)

et

(CD

)se

coup

ent

en (2

;1)

On

rem

arqu

e qu

e f(

2)=1

et

g(1)

=2O

n pe

ut t

rouv

er c

es c

oord

onné

es e

n ré

solv

ant

l'équ

atio

n f(

x)=g

(x)

On

peut

lire

l'or

donn

ée à

l'or

igin

e su

r l'a

xe d

es o

rdon

nées

On

lit le

coe

ffic

ient

dir

ecte

ur e

n ob

serv

ant

le d

écal

age

vert

ical

cor

resp

onda

ntà

un d

écal

age

hori

zont

al d

'une

uni

té.

Le c

oeff

icie

nt d

irec

teur

peu

t êt

re lu

gra

phiq

uem

ent.

Il s

uffi

t de

cho

isir

un

poin

t su

r la

dro

ite

puis

d'a

vanc

er d

'une

uni

té p

osit

ive

hori

zont

alem

ent

(don

c ve

rs la

dro

ite)

. On

obse

rve

alor

s le

poin

t co

rres

pond

ant

à ce

tte

absc

isse

sur

la d

roit

e. L

e dé

cala

ge v

erti

cal c

orre

spon

d au

co

effi

cien

t di

rect

eur

(pos

itif

ver

s le

hau

t, n

égat

if v

ers

le b

as).

Ain

si u

ne d

roit

e "q

ui m

onte

" à

un c

oeff

icie

nt d

irec

teur

pos

itif

et

néga

tif

si e

lle "

desc

end"

.

Exem

ples

:

Cett

e fo

ncti

on e

st li

néai

reCe

tte

fonc

tion

est

con

stan

te

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Pro

ba

bil

ité

sV

ocab

ulai

reE

xpér

ienc

e al

éato

ire

Il s'

agit

d'un

e e

xpér

ienc

e do

nt le

sulta

t est

sou

mis

au

hasa

rd. P

ar e

xem

ple

lela

ncer

d'u

ne p

ièce

de

mon

aie

, d'u

n dè

, de

deux

dès

...

Issu

eU

ne is

sue

est u

n ré

sulta

t sim

ple

d'un

e ex

pér

ien

ce a

léat

oire

. Par

exe

mpl

e lo

rsqu

equ

'on

lanc

e un

e pi

èce

de

mon

aie

il y

a d

eux

issu

es

poss

ible

s : P

ile o

u F

ace.

Évé

nem

ent

C'e

st u

n ré

sulta

t com

plex

e d

'une

exp

érie

nce

alé

atoi

re, d

onc

un e

nsem

ble

d'is

sues

. Par

exem

ple

quan

d on

tire

une

car

te d

ans

un je

u de

32

cart

es, o

n pe

ut é

tudi

er l'

éve

nem

ent

tom

ber

sur

un c

oeur

, cet

évé

nem

ent c

ontie

nt 8

issu

es :

l'as,

le r

oi, l

a da

me,

le v

alet

,le

dix

, le

neuf

, le

huit

et le

sep

t de

coeu

r.

Pro

babi

lité

La p

rob

abili

té d

'un

évén

emen

t est

un

nom

bre

com

pris

ent

re 0

et 1

qui

mes

ure

la fr

éque

nce

théo

rique

d'a

ppar

ition

d'u

n ré

sulta

t lor

s d'

une

expé

rienc

e al

éato

ire. U

ne p

roba

bilit

és'

expr

ime

sous

form

e de

frac

tion

, de

nom

bre

déci

ma

lou

de p

ourc

enta

ge.

Évé

nem

ent

cert

ain

C'e

st u

n év

éne

men

t don

t la

prob

abili

té e

st é

gale

à 1

. Il s

'agi

t d'u

n ré

sulta

t qui

se

prod

uit

àch

aque

ép

reuv

e d'

une

expé

rienc

e al

éato

ire. P

ar e

xem

ple

l'évé

nem

ent "

obte

nir

un n

om

bre

infé

rieur

à 1

0" e

st c

erta

in d

ans

l'exp

érie

nce

aléa

toire

qui

con

sist

e à

lanc

er u

n dé

cub

ique

. Évé

nem

ent

impo

ssib

leC

'est

un

évén

em

ent d

ont l

apr

oba

bilit

é es

t éga

le à

0. I

l s'a

git d

'un

résu

ltat q

ui n

e se

pro

duit

jam

ais

lors

d'u

ne

expé

rienc

e al

éato

ire. P

ar e

xem

ple

l'évé

nem

ent "

obte

nir

1" e

st u

n év

éne

men

tim

poss

ible

dan

s l'e

xpér

ienc

e al

éato

ire q

ui c

onsi

ste

à fa

ire la

som

me

de d

eux

dès

cubi

ques

. Évé

nem

ents

con

trai

res

Deu

x év

éne

men

ts s

ont c

ontr

aire

s si

la s

omm

e de

leur

s pr

oba

bilit

és e

st é

gale

à 1

. Par

exe

mpl

eda

ns l'

exp

érie

nce

alé

atoi

re q

ui c

onsi

ste

à ch

osir

une

car

te d

ans

un je

u de

32

cart

es, l

esév

énem

ents

"ob

teni

r un

car

te r

oug

e" e

t "ob

ten

ir un

e ca

rte

noire

" so

nt d

eux

évén

em

ents

con

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res.

Évé

nem

ents

inco

mpa

tibl

esD

eux

évén

em

ents

son

t inc

ompa

tible

s s'

ils n

e pe

uve

nt p

as s

e ré

alis

er s

imu

ltané

me

nt. P

ar e

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ple

dans

l'ex

pér

ien

ce a

léat

oire

qui

con

sist

e à

chos

ir un

e c

arte

dan

s un

jeu

de 3

2 ca

rtes

, les

évén

emen

ts "

obte

nir

un c

oeur

" et

"ob

teni

r un

tréf

le"

sont

deu

x év

énem

ent

s in

com

patib

les.

App

roch

e fr

éque

ntis

teLo

rsqu

'on

rép

ète

une

expé

rien

ce a

léat

oire

un

gran

d n

ombr

e de

fois

, la

fréq

uenc

e d'

app

ariti

on d

'un

résu

ltat a

ppro

che

de la

pro

babi

lité

de c

etév

énem

ent.

Par

exe

mpl

e en

lanç

ant 1

00 fo

is u

ne p

ièce

de

mo

naie

équ

ilibr

ée,

on p

eut o

bten

ir 34

Pile

s et

66

Fac

es. S

i on

reco

mm

ence

cet

te e

xpér

ienc

e1

000

000

de fo

is, l

a fr

éque

nce

obs

ervé

e s

era

proc

he d

e 50

% p

our

Pile

et F

ace.

Pou

r ce

rtai

nes

exp

érie

nce

s al

éato

ires

com

me

le la

ncer

de

puna

ises

ou

dans

le

dom

aine

de

l'ass

ura

nce,

seu

le u

ne a

ppro

che

fréq

uent

iste

est

pos

sibl

e.

L'éq

uipr

obab

ilité

Lors

que

tout

es le

s is

sues

d'u

ne e

xpér

ienc

e al

éat

oire

se

real

isen

t ave

c la

mêm

efr

éque

nce

, on

dit q

ue n

ous

som

mes

dan

s un

e si

tuat

ion

d'éq

uipr

obab

ilité

. C'e

st le

ca

s lo

rs d

u la

ncer

d'u

ne p

ièce

de

mon

aie

équ

ilib

rée,

du

tira

ge d

'une

car

te, d

ula

ncer

de

dé n

on tr

uqué

...D

ans

cette

situ

atio

n la

pro

bab

ilité

d'u

n é

véne

me

nt e

st é

gale

au

quo

tient

sui

vant

:

nom

bre

d'is

sue

s fa

vora

ble

s

nom

bre

d'is

sue

s po

ssib

les

Par

exe

mpl

e qu

and

on la

nce

un

dé c

ubiq

ue il

y a

6 is

sues

pos

sibl

es. L

a pr

oba

bilit

é d'

obt

enir

un n

ombr

e pr

emie

r es

t :

3 6

Exp

érie

nce

à de

ux é

preu

ves

Lors

qu'u

ne e

xpé

rienc

e a

léat

oire

fait

appe

l à d

eux

disp

ositi

fs, c

omm

e le

lanc

er d

e de

ux d

és, d

e de

ux

pièc

es...

On

fait

la li

ste

des

issu

es p

ossi

ble

s so

it so

us la

form

ed'

une

arbr

e ou

d'u

n ta

blea

u. P

ar e

xem

ple

si o

n la

nce

deux

piè

ces

on o

btie

ntl'a

rbre

sui

van

t :

P F P F

P F

Il y

a do

nc 4

issu

es p

ossi

ble

s éq

uip

roba

ble

s :

(P,P

) -

(P,F

) -

(F,P

) et

(F,

F)

Et u

ne c

hanc

e s

ur q

uatr

e d

'obt

enir

deux

fois

Fac

e.

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A

M B

NC

A

B

C

M

N

AB

M

C

N

Si le

s d

roit

es (

MB

) et

(N

C)

son

t sé

can

tes

en A

et s

i le

s d

roit

es

(MN

) e

t (B

C)

son

t p

ara

llè

les

A

lors

Le

théo

rèm

e d

e T

hal

ès

A

M B

NC

A

B

C

M

N

AB

M

C

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La

réci

pro

que

du

th

éorè

me

de

Th

alès

Si le

s p

oin

ts A

, M, e

t B

son

t al

ign

és e

t d

ans

le m

ême

ord

re q

ue

les

poi

nts

ali

gnés

A, N

et

C

et s

i

Alo

rs le

s d

roit

es (

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) et

(B

C)

son

t p

aral

lèle

s.

L

IP

TU

R

S

5 c

m

4 c

m

8 c

m7

cm

3 c

m

2,2

cm

Les

poin

ts L

, P,

S e

t R

son

t ali

gn

és.

Les

poin

ts I

, P,

U e

t T

son

t ali

gn

és.

Les

dro

ites

(LI)

et

(US

) so

nt

para

llèle

s.

1)

Calc

ulo

ns

LI

et

PU

Les

dro

ites

(LS

) et

(IU

) so

nt

séca

nte

s en

P(L

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(US

)D

'ap

rès

le t

héorè

me d

e T

halè

s on

a :

On

a d

on

c en

uti

lisa

nt

l'ég

ali

té d

es

pro

du

its

en

cro

ix :

2)

Dém

on

tron

s q

ue (

US

)//(

TR

)

Les

poin

ts P

, U

et

T s

on

t ali

gn

és

et

dan

s le

mêm

e o

rdre

qu

e l

es

poin

tsP,

S e

t R

.

Com

paro

ns

et

et

Com

me

et

alo

rs

De p

lus

D'a

prè

s la

récip

roq

ue d

u t

héorè

me d

e T

halè

s

Les

dro

ites

(US

) et

(TR

) so

nt

para

llèle

s.

Le

théo

rèm

e de

Thalès e

t s

a récip

roqu

e

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Agr

andi

ssem

ent

et r

éduc

tion

Si o

n m

ultip

lie le

s m

esu

res

d'un

e fig

ure

par

un n

ombr

e po

sitif

Alo

rs o

n ob

tient

un

agra

ndis

sem

ent o

u un

e r

éduc

tion

de

la fi

gure

de

dépa

rt.

Plu

s pr

écis

emm

ent :

- qu

and

le c

oeffi

cien

t mu

ltipl

icat

if es

t sup

érie

ur à

1, i

l s'a

git d

'un

agra

ndis

sem

ent ;

- qu

and

le c

oeffi

cien

t mu

ltipl

icat

if es

t inf

érie

ur à

1, i

l s'a

git d

'une

réd

uctio

n.

Si u

ne fi

gure

est

un

agra

ndis

sem

ent o

u un

e ré

duct

ion

d'un

e a

utre

figu

reA

lors

:-

les

mes

ure

s de

ces

deu

x fig

ures

son

t pro

port

ionn

elle

s ;

- le

s an

gles

de

ces

deux

figu

res

sont

éga

ux.

Tria

ngle

s se

mbl

able

sD

eux

tria

ngl

es s

ont s

emb

labl

es s

'ils

ont d

eux

angl

es é

gaux

.

Si d

eux

tria

ngle

s so

nt s

embl

able

s

Alo

rs :

- le

urs

troi

s an

gle

s so

nt é

gaux

;-

leur

s cô

tés

sont

pro

port

ionn

els

;-

le c

oeffi

cien

t de

prop

ortio

nnal

ité e

st u

n co

effic

ient

d'a

gran

dis

sem

ent-

rédu

ctio

n ;

- un

des

tria

ngle

s es

t un

agra

ndis

sem

ent,

ou u

ne r

éduc

tion,

de

l'aut

re.

Théo

rèm

e de

Tha

lès

Dan

s ch

acun

des

cas

sui

vant

s le

s tr

iang

les

AB

C e

t AM

N s

ont s

embl

able

s.

AA

A

BC

MN

MN

BC

MN

BC

Plu

s pr

écis

emm

ent :

Si l

es d

roite

s (B

M)

et (

CN

) so

nt s

écan

tes

en A

et

(MN

) //

(BC

)

Alo

rs

Réci

proq

ue d

u th

éorè

me

de T

halè

sS

i

et s

i les

poi

nts

A, B

et M

son

t alig

nés

et d

ans

le m

êm

e or

dre

que

les

poin

ts a

ligné

s A

, C e

t N

Alo

rs le

s dr

oite

s (B

C)

et (

MN

) so

nt p

aral

lèle

s.

Hom

othé

tie

k un

nom

bre

posi

tifL'

hom

othé

tie d

e en

tre

O e

t de

rapp

ort k

est

la tr

ansf

orm

atio

n gé

omé

triq

uequ

i tra

nsfo

rme

un p

oin

t M e

n un

poi

nt M

' vér

ifia

nt :

Si l

es lo

ngue

urs

d'un

e fig

ure

son

t mul

tiplié

es p

ar u

n no

mbr

e p

ositi

fA

lors

:-

les

aire

s so

nt m

ultip

liées

par

-

les

volu

me

sso

ntm

ultip

liés

par

O

M

M'

NN

'

PP

'

Les

tria

ngle

s M

NP

et M

'N'P

' son

t se

mbl

abl

es.

(MN

) //

(M'N

') , (

NP

) //

(N'P

') et

(M

P)

// (M

'P')

On

dit q

ue M

NP

et M

'N'P

' son

t ho

mot

hétiq

ues.

Page 17: Addition de nombres relatifs - ac3j.fr · Par babili urs pro me de le ires si la som ments sont contra Deux événe u de 32 cartes, les carte dans un je ste à chosir une e qui consi

Pris

mes

dro

its

et c

ylin

dre

Pyra

mid

es e

t cô

ne

Sphè

re e

t bo

ule

Un

pris

me

droi

t est

un

solid

e ay

ant d

eux

face

s po

lygo

nale

spa

rallè

les

ide

ntiq

ues

relié

es p

ar d

es fa

ces

rect

ang

ulai

res

Le c

ube

est u

n pr

ism

e dr

oit à

bas

es c

arré

es.

Le p

avé

droi

t est

un

pris

me

droi

t à b

ase

s re

ctan

gula

ires.

Une

pyr

am

ide

est u

n so

lide

ayan

t une

bas

e po

lygo

nale

re

liée

à un

som

met

prin

cipa

l par

des

face

s tr

iang

ula

ires.

Un

poly

èdre

est

rég

ulie

r si

tout

es s

es fa

ces

son

t des

pol

ygôn

es

iden

tique

s.Le

tétr

aèdr

e es

t une

pyr

am

ide

régu

lière

aya

nt q

uatr

e fa

ces

tria

ngul

aire

séq

uila

téra

les.

Le

cub

e es

t rég

ulie

r se

s fa

ces

sont

des

car

rés.

Cub

eP

avé

droi

t

Pris

me

à ba

setr

iang

ula

ire

Bas

eH

aute

ur

Pris

me

droi

t à b

ase

pent

agon

ale

Cyl

indr

e

Pyr

amid

e à

base

tria

ngu

laire

Pyr

amid

e à

base

pent

agon

ale

Côn

e

Bas

e

Hau

teur

O

La s

phèr

e es

t une

sur

face

con

stitu

ée d

e to

us le

spo

ints

situ

ées

à la

mêm

e di

stan

ce d

u ce

ntre

.C

ette

dis

tanc

e co

mm

une

est l

e ra

yon

de la

sph

ère.

La b

oule

est

un

solid

e co

nstit

uéde

tous

les

poin

tssi

tués

à u

ne d

ista

nce

du

cent

re in

férie

ure

ou é

gale

au r

ayon

.

O

Ray

on

Bas

e

Hau

teur

Hau

teur

Bas

e

Page 18: Addition de nombres relatifs - ac3j.fr · Par babili urs pro me de le ires si la som ments sont contra Deux événe u de 32 cartes, les carte dans un je ste à chosir une e qui consi

Les tr

anform

ations

A

B

A'

B'

D

D'

C

C'

(d)

O

AB

C

D

A'

B'

C'

D'

O

AB

C

D

A'

B'

C'

D'

45°

A

B

CD

C'B

'

A' D'

La s

ymét

rie

axia

le

La s

ymét

rie

cent

rale

La t

rans

lati

on

La r

otat

ion

L'ho

mot

héti

e

OA

A'

B'

BC

C'

D'

D

Sym

étrie

d'a

xe (

d)

Tra

nsla

tion

qui t

rans

form

e C

en

D

Rot

atio

n d'

ang

le 4

5° e

t de

cent

re O

Sym

étrie

de

cent

re O

Hom

othé

tie d

e ce

ntre

O e

t de

rap

port

2

(d)

est l

a m

édia

tric

e de

[AA

']

(d)

cou

pe [A

A']

en s

on m

ilieu

et (

d) p

erpe

ndic

ulai

re à

(A

A')

O e

st le

mili

eu d

e [A

A']

La fi

gure

est

"po

ussé

e" d

e C

ver

s D

(BB

') //

(CD

) et

BB

'=C

D

CD

B'B

est

un

para

llélo

gram

me

La fi

gure

tour

ne d

e 45

° au

tour

du

poi

nt O

OA

=O

A'

AO

A'=

45°

La fi

gure

est

agr

andi

e ou

réd

uite

dep

uis

le p

oint

O

A' e

st s

ur la

de

mi-d

roite

[OA

) et

OA

'=2

OA

La s

ymét

rie

axia

le, l

a sy

mét

rie

cen

tral

e, la

tra

nsl

atio

n e

t la

rota

tio

n n

e m

odifi

ent p

as le

sm

esur

es e

t les

ang

les

de la

figu

re tr

ans

form

ée.

L'h

om

oth

étie

agr

andi

t ou

rédu

it le

s lo

ngu

eurs

de

la fi

gure

san

s ch

ange

r le

s an

gles

.

La fi

gure

fait

un d

emi-t

our

auto

ur d

u po

int O

.

La fi

gure

est

plié

e le

lon

g de

de l'

axe

(d).

Page 19: Addition de nombres relatifs - ac3j.fr · Par babili urs pro me de le ires si la som ments sont contra Deux événe u de 32 cartes, les carte dans un je ste à chosir une e qui consi

Ari

thm

étiq

ueD

ivis

eurs

, mul

tiple

s, d

ivis

eurs

com

mun

sN

ombr

es p

rem

iers

Déc

omp

ositi

on e

n fa

cteu

rs p

rem

iers

Fonc

tion

sIm

age,

ant

écéd

ent

Tabl

eau

de v

ale

urs

Rep

rése

ntat

ion

grap

hiqu

e et

coo

rdon

nées

Pro

gra

mm

e de

cal

cul

Calc

ul li

ttér

alD

istr

ibu

tivité

sim

ple

et d

oubl

eD

ével

oppe

r, fa

ctor

iser

, réd

uire

Équ

atio

n du

pre

mie

r de

gré

Équ

atio

n pr

odu

itIn

équa

tion

du

prem

ier

deg

Géom

étri

e cl

assi

que

Par

allè

les

et p

erpe

ndic

ulai

res

Ang

les

Tria

ngle

s, q

uadr

ilatè

res,

pol

ygô

nes

régu

liers

Pér

imèt

re d

u c

arré

, du

rect

angl

e, d

u ce

rcle

Aire

du

carr

é, d

u re

ctan

gle

, du

tria

ngle

, du

disq

ue

Stat

isti

ques

Effe

ctif,

fréq

uenc

tend

ue, m

édia

ne, m

oyen

neD

iagr

amm

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