Algèbre 1 - Logique et théorie des ensembles, espaces vectoriels, applications linéaires et matrices, polynômes

8/2/2019 Algbre 1 - Logique et thorie des ensembles, espaces vectoriels, applications linaires et matrices, polynmes

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Logique et theorie des ensembles

1 Logique elementaire1.1 Propositions et connecteurs logiquesDefinition 1.1 Une proposition est un enonce qui peut avoir l 'une des deux valeurs de verite :vrai (V) au faux (F).Exemple (II existe des hommes immortels) F.(Tout entier naturel est somme de quatre cartes d'entiers naturels) V.Connecteurs logiquesSoient P et Q deux propositions.non: negation. non(P) est la negation logique de P.Table de verite: P non(P)

V FF V

Exemple non(x ;:::0) synonyme de x < O.et : conjonction determines parTable de verite: P Q (P et Q)

V V VV F FF V FF F F

(P et Q) vraie si et seulement si P et Q sont vraies.ou : disjonction determines parTable de verite : P Q (P ou Q)

V V VV F VF V VF F F

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(P ou Q) est vraie si et seulement si l'une des propositions P ou Q est vraie.Exemple (x 2 < 1) synonyme de (x < 1et x > -1)

(x2: : : ; 1) synonyme de (x 2 < 1ou x2 = 1) .= = = > : implication, synonyme de (non (P) ou Q).Table de verite : P Q (P ===} Q)

vVFF

VFVF

VFVV

(P = = = > Q) est vraie si et seulement si la proposition Q est vraie des que Pest vraie. En partie-ulier, l'implication est vraie si la proposition Pest fausse.Dans l'implication (P = = = > Q) , Pest la condition suffisante pour Q et Q est la conditionnecessaire pour P.Exemple (x2: : : ; 1 ) ===} (x : : ; 1).L'implication (Q ===} P) est l'implication reciproque de (P ===} Q) .=:::> : equivalence, synonyme de (P ==i> Q et Q ===} P) .Table de verite: P Q (P ===} Q) (Q = = = > P) (P =:::> Q)

V V V V VV F F V FF V V F FF F V V V

(P =:::> Q) est vraie si et seulement si Pet Q sont simultanement vraies ou fausses, autrementdit P et Q ont meme valeur de verite.Exemple ( X 2 : : ; 1) =:::> (x : : ; 1et x 2 : -1).Proprietes(a) (P ou non (P)) est vraie : c'est une tautologie.(b) Transitivite de ==i>: Soient P, Q, R trois propositions, alors

( (P = = = > Q et Q = = = > R) ==i> (P ===} R)) est vraie.(c) (P ===} Q) ::::::} (non (Q) ===} non (P)).

1.2 QuantificateursQuantificateuT universel: 'V , quel que soit.

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(Vx E E, P(x) signifie que, pour tout x element de E, la proposition P(x) est vraie.Quantificateur existentiel: 3, ilexiste.(3 x E E, P(x signifie qu'il existe au moins un x element de E tel que P(x) soit vraie.31 ilexiste un unique.( 3 1 x E E, P(x)) signifie qu'il existe un unique x element de E tel que P(x) soit vraie.Exemple Soit (un)nEN une suite de nombres reels. La proposition:

VE> 0, 3N E N,Vn 2 : N, I u n l < E,signifie que la suite (un)nEN converge vers O .Negation de Vet 3 :non(lix E E, P(x est equivalente Ii 3x, non(P(x)non(3x E E, P(x)) est equivalente Ii V x, no n(P (x .Exemple La proposition (un)nEN ne converge pas vers 0 est synonyme de :

3E > 0, v u e N, 3n 2 : N, I u n ~ E.1.3 Raisonnement mathernatiqueOn a les trois principes suivants : Pour montrer qu'une proposition Pest vraie ilest equivalent demontrer que non(P) est fausse.Interet: 11est en general plus difficile de montrer des propositions commencant par (3 x, ...)car il faut exhiber un x tandis que la negation nous donne une proposition universelle du type(Vx, ...) Ii demontrer. Preuve par l'absurde: Pour montrer que Pest vraie on suppose que non(P) est vraie et onaboutit a une contradiction du type (Q et non (Q)) vraie. Demonstration par contraposee : On a l'equivalence

(P = = = > Q) < = = > (non (Q) = = = > non (P)).Pour montrer l'implication (P = = = > Q) il est equivalent de montrer l'implication dite "contra-posee" (non (Q) = = = > nont P) .

2 Elements de fheorie des ensembles2.1 Definitions, symbolesUn ensemble E est soit vide, note 0, soit constitue d'elements.Appartenance: E, x E E signifie que x est un element de E, z ~ E signifie que x n'est pas unelement de E.

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Inclusion: C, ACE signifie que tout element de A est element de E. On dit aussi que A estune partie de E et on note P (E) l'ensemble des parties de E.Remarques 0 E P (E) et E E P(E). On a (A = B {::::::> A c B et B c A).Soit E un ensemble et soient A, B E P(E).Intersection : n,Reunion: u,

An B := {x E E, x E A et x E B}.A uB := {x E E, x E A ou x E B} .A \ B := {x E E, x E A et x 1 - B} .ifference : \,

A\B = An cB ou cB:= E\B est appele le cornplementaire de B dans E.Difference symetrique : .6., A.6. B :=(A\B) U (B\A) = (A uB)\(A nB)Proprietes Soient A, B, C E peE).(a) An B = B nA [commutativite] (idem pour U et ~)(b) An (B n C) = (A n B) UC [associativite] (idem pour U et ~).(c ) An (B UC) = (A n B) U (A n C), Au (B n C ) = (A UB) n (A UC) et A n (B~C) =(A n B) .6.(A n C) [distributivite],(d) C (A n B) = CA u CB et (A u B) = cAn CB .Definition 2.1 E est fini si E a un nombre fini d 'elements, sinon E est dit infini. Le cardinald'un ensemble E, note card (E), est le nombre d'ilements de E si E est fini et card (E) = +00si E est infini. Ainsi card (0) = o .Definition 2.2 Soient E, F deux ensembles. Le produit cartesien de E par F, note E x F, estl 'ensemble des co up les (x, y) OU x E E et y E F,

Ex F := {(x, y ), x E E et y E F}.Proposition 2.1 Si E ei F sont finis olors E x Fest fini ei

card(E x F) = card (E) x card(F).

Proposition 2.2 Soient A et B deux parties de E, suppose jini, alorscard(A UB) =card(A) +card(B) -card{A nB).

2.2 ApplicationsDefinition 2.3 Soient E et F deux ensembles. Une application f de E dans Fest la donnied'une partie Gt de ExF telle que:

'V X E E, 3!y E F, (x,y) E Gt.

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Pour un tel y on note y :=f(x) et f: E ---- Fx f---t f(x),

f(x) est appele l'image de x par f et x un antecedent de y par [,L'ensemble Gfest appele le graphe de 1application f.Exemple sin: I R - - - - I R

X f---t Slnx

Notation FE est l'ensemble des applications de E dans F.Image directe : Soit A E peE), l'image directe de A par I est

f(A) := {f(x), x E A}partie de F constituee par les images des elements de A.Image reciproque : Soit B E P (F), l'image reciproque de B par Fest

-1f(B ):= {x E EII(x) E B}partie de E constituee par les antecedents des elements de B.On definit ainsi deux applications a savoir :

P (E) ---- P (F)A f---t f(A) et

P(F) ---- peE)-1B f---t I (B).

Proprfetes des applicationsDefinition 2.4 Soient E et F deux ensembles et f :E -- F une application de E dans F.(a) fest dite injective si tout element de F a au plus un antecedent par t,

-1i.e. Vy E F card( f ({y})) < 1,ou encore V x, x' E E, (f(x) = I( x') ~ X =x' ) forme la plus traditionnelle.(b) f est dite surjective si tout element de F a au moins un antecedent par I,i.e. Vy E F, 3x E E, y = I(x),ou encore feE) = F.(c) I est bijective si fest d la lois injective et surjective, z , e . tout ilement de F a un uniqueantecedent par i.ou encore Vy E F, 3!x E E, y = f(x).

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Composition des applications, reciproqueDefinition 2.5(a) Scient E, F, G trois ensembles, I :E ~ F et 9 : F __, E l'application composee de I parg, noiee go J , est l'application dejinie par 9 0 I : E ------+ G

X t-----t g(f(x.(b) Lorsque I est une bijection de E sur J alors I'application reciproque de J est I'application,no te e 1~1 dejinie par 1-1: F ~ E

y t-----t X O U Y = l(x).Remarque Dans ce cas 1-1 01 = Id E E --t E et 101-1= IdF.

X t-----t X-1De plus, l'image reciproque 1 (B) coincide avec l'image directe 1-1 (B) de B par la reciproque

1-1 de f.Proposition 2.3 Soient 1:E ---+ F et 9 : F ~ G deux bijections. Alors go1est une bijectionet ( g 0 f)-I =1-10 s:'.2.3 L'ensemble des entiers naturels NDefinition 2.6 L ' ensemble des eniiers naturels est N :={O,1, 2, ...} muni de la relation d'ordrenaturelle ::; .

Axiome (de Peano). Touie partie non vide de N possede un plus petit dement.

Principe de recurrence: Soit P(n) une proposition dependant de l'entier naturel n E N.Si P(O) est vraie et si l'implication (P(n) ==> P{n + 1)) est vraie pour tout n E N, alors laproposition P(n) est vraie pour tout n E N .

Demonstration Soit A :={n E N I P(n) fausse}. Supposons par l'absurde que A i= 0. AlorsA possede un plus petit element no E N. On a no ~ 1 car 0 A. De plus no - 1 ~ A carno-1 < no =minA, d'ou P(no-l) est vraie done, par l'implication (P(n) = = > P(n + 1)), P(no}est aussi vraie, ce qui est contradictoire avec no E A.

Exemple Par recurrence on a Vn E N, 2n > n.Theoreme 2.1 (division euclidienne). Soient n E N et p E N*. Alors il existe un unique couple(q, r) EN x N tel que n =pq + r et 0 ~ r < p.q est appele le quotient et r le resie de La division euclidienne de n par p.

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DemonstrationExistence: si n < p on pose q ;=0 et r :=n.Si n 2: p, on considere A := {k E N* I kp S ; n}. A I : 0 car 1 E A. Alors B := {n - kp IkE A}est une partie non vide de N et possede un plus petit element: r:= n - qp avec q E A. On ar - p =n - (q + 1)p < r d'ou q + 1 f / : . A et (q + 1)p > n. Done 0 S ; r < p d'ou l'existence.Uniciie : Si n = pq + r = pq' + r' avec 0 S ; r, r' < p, alors r' - r =p(q - q'), d'ou p diviseIr' - rl < p. Done r' =ret par suite q' =q car p I : O .

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Espaces vectoriels

MotivationEn geometric, dans le plan ou dans l'espace, onmanipule des points. Uncouplede points (A, B)definit un vecteur AB et on peut faire deux types d'operations sur les vecteurs : L'addition : Soient A, B, C trois points et u:= AB, v:= IfC, alors

[relation de Chasles].

c

Lamultiplication par un scalaire : soient A, B deux points distincts, ). E lRet ii := AB, alors).U = A C ou ). = AC.AB

- -c A BL'idee est de definir une structure qui permette d'etendre lanotion d'ensemble de vecteurs, issuede la geometric, et ces operations.

1 Definitions - ExemplesSoit (K, +, x) un corps commutatif muni des deux operations usuelles+ et x. En general K =lRouCmais on peut considerer d'autres corps (Q par exemple). lKest appele Iecorps de base. Onconsidereun ensemblenon vide E muni de deux operations ou lois : une loi interne, notee + : ExE - E

(x, y) ~ x+y, une loi externe, notee . : ][{xE - E( > " , x ) ~ ) ' x 9


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Definition 1.1 (E, +,.) est un espace vectoriel sur le corps lK (on dit aussi lK-espace vectoriel,en abrege lK-e.v.) si les proprietes suivantes sont satisfaites.(a) (E, +) est un groupe commutatiJ, i.e(i) E i = 0,(ii) V x, y E E, x + y = y + x [commutativite1,(iii) V x, y, z E E, (x + y) + z =x + (y + z) [associativite],(iv) 30E E E, Vx E E, x + OE = OE + x = x [element neutre],(v) Vx E E, ~X' E E, x + Xl =Xl + X =OE [oppose] Xf:= -x.(b) La loi externe uerifie :(i) V>., p , E IK, Vx E E, (> . + p ,) . x = > .. x + p ,' x [distributivite1,(ii) V A E IK, V x, Y E E, > . . (x + y ) =A . x + > . . y ,(iii) V A, p , E IK, V x E E, > .. ( p , . x) = (> . x p ,) . x [i'associativite"j,(iv) V x E E, 1 1 K . x =x.Notation Dans les produits A x J 1 , au )'x on omet souvent les x ou . s'il n'y a pas de confusionpossible. De meme O E est note O . Enfin, x + (-y) est note plus simplement x - y.Remarque L'element neutre O E est unique et l'oppose,note -x est aussidetermine de maniereunique.Exemples1. E := {O } a u 0 + 0 = 0 et >. 0 = O .2. Soit P le plan affine usuel et soit nE P une origine. E := { I T J i ; j , M E P } muni des operationsde l'introduction est un JR-espace vectoriel, JR-e.v. en abrege, De meme si E designe l'espace affineusuel de dimension 3, E:= { I T M , M E e } est un JR-e.v..3. JRn :={x = (X l, ... ,xn), Xi E JR, 1::; iS n} ,n E N* est un JR-e.v. muni des operations:

De meme on definit le C-e.v. cn:= {x = (xt, ... , Xn) E C", Xi E C, 1::; i::;}.4. Soit X un ensemble quelconque. On munit l'ensemble JRx, note aussi F (X, J R ) , des fonctionsde X dans J R des operations :V f, 9 E .r (X, JR), V x E X, (f +g)(x) :=f(x) +g(x) dans R.V> . E J R , V f E F(X, JR), V x E X, (>. . f)(x) => . x f(x) dans R.De meme on definit F (X, C) et ces operations dans C.Alors (.r(X, IK) ,+,.) est un IK-e.v ..

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Pr-opr-ietes(a) V x E E, D o c . x =DE.(b ) V> ' E lK , > . . DE =DE(c) Vx E E, (- lIK) 'x = -x.Demonstration(a) 1 1 K . x = ( 1 1 K + D IK ) . x = 1 . x + O I K . x( b ) > .. x = > .. (x + DE ) = > .. x + > .. OE .( c) 1 1 K . x + ( - 1 1 K ) . X = ( 1 1 K + (- 1 1 K ) ) . x =O I K . x =DE .2 Sous-espace vectorielDefinition 2.1 Soit (E,+,.) un lK-e.v. ei soit FeE. On dit que F est un sous-espace uectorielde E, en abrege s.e.v., si(i)F#0,(ii) V ) " E 1 K , V x, Y E F, )" . x + Y E F.Proposition 2.1 Soit E un lK-e.v. ei soit FeE. Il y a equivalence entre( i) F est un s.e.v. de (E, +,.),(ii) (F, +,.) est un lK-e.v., ou + et . sont les lois induites par E sur F.Remarque Comme F = f 0, il existe x E F et (-1) . x + x = DE E F. Done DE est aussil'element neutre de F pour + : D F =DE. On peut donc remplacer (i) par DE E F.Exemples1. Si (E, +,.) est un lK-e.v. alors {DE } et E sont des s.e.v. de E.2. F :={x = ( x } , X2, X3) E it3 I Xl +X2 + X3 =D} est un s.e.v. de JR3.3.:F (N,JR) :={u = (un)nE N ' Un E it, nE N} l'ensemble des suites reelles est un lR-e.v.et:Fe (N,R)l'ensemble des suites reelles convergentes est un s.e.v. de :F (N, R}. En effet si (Un)nENconvergevers a et (vn)nEN converge vers b alors (AUn + vn)nEN converge vers Aa+ b .Proposition 2.2 Soit F un s.e.v. d'un lK-e.v. E. Alors

nVn E N*,V (XI,"" Xn) E F", V(A l, ... , An) E IKn,L A iX i =A l XI + ... + AnXn E E.

i=lnLa quantite E A ixi est appelee combinaison lineaire des Xi.i=O

Demonstration par recurrencesur n EN*.

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Proposition 2.3 Soient F et G deux s.e.v. d'un OC-e.v. E.(a ) F nG est un s.e.v. de E (plus generalement une intersection quelconque).(b ) La somme de F par G dejinie par

F + G := {y + z lyE F, z E G}est un s.e.v. de E. La somme F + G est dite directe si F nG ={O} . On la note alors FEE l G etF, G sont dits supplemeniaires.(c)E=FEElGsietseulementsi VxEE, :3!(y,z)EFxG, x=y+z.Exemple E:= ]R3, F:= {(x}, X2, X3) I Xl + X2 + X3 = O}, G:= {(Xl, X2, X3) I X2 = O}. AlorsFnG = {(Xl, 0, -xt), Xl E 1R} et F + G = 1R3 car X = (-X2, X2, 0) + (Xl + X2, 0, X3).Definition 2.2 Soient E un lK.-e.v. et S une partie non vide de E. Alors il existe un plus petits.e.v. de E (pour l'inclusion) contenant 8, appele le s.e.v. enqerulre par S et note < S > . Il estcaracierise par

< S >=Vect(S) :={ f : AiXi I x , E OC, i E S, 1 ::;i::;} .1=1

Demonstration On a clairement= n F.SCF, F s.e.v.

D'autre part, Vect(S) est un s.e.v. de E qui eontient S d'ou < S > C Vect(S). De plus, touts.e.v. F eontenant S contient les combinaisons lineaires d'elements de S d'ou Vect (S) C ./Done < S >=Vect(S).Exemple Dans ]R3,on a Vect ({(I, -1,0) ,(0, 1, -I)}) = { x E ]R31 Xl + X2 +X3 =O } .3 Famille generatrice, famille libreDefinition 3.1 Soit E un OC-e.v. et soit J un ensemble non vide. On dit que la famille (Ui)iEI estune famille generatrice de E si Veet ({Ui' iE J }) = E, i.e. tout element de E est une combinaisonlineaire d'une famille finie de (udiI .Exemple {(I, 0, 0), (0, 1,0), (0,0, I)} est une famille generatrice de ]R3.Plus generalement, siei :=(0, ... , 1, ... ,0), 1 en ieme position, alors (el' ... ,en) est une famille generatrice de R".Definition 3.2 Soit E un lK.-e.v. et soit n E N*. La famille de E (UI' ... ,Un) est dite libre (ondit aussi que les uecieurs u}, .. , ,Un sont lineairement indepetulanis] si

(tiUi =0 = = = = > ViE {1, ... , n} , x , =0) .t=l12


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La famille (UI,' .. , un) est dite liee (on dit aussi que les vecieurs Ul,"" Un sont lineairementdependants) dans le cas contraire, i.e.

n3 (A I, ... , A n) E IKn\ { (O , . .. ,O )} , L A iU i = 0 .

i=l

Proposition 3.1 Lafamille ( U I , " " un) est liee si et seulement si l'un des Uk s'exprime commeune combinaison lineaire des auires.

Exemples1. La famille {(I, 0, 0), (1, 1,0), (1, 1, I)} est libre dans JR3.La famille {(I, -1,0), (1,0, -1), (1,1, -2)} est liee dans JR3.2. La famille (1, sin, cos) est libre dans :F (R, JR).La famille (1, sin 2, cos2) est liee dans :F (JR,JR).

4 Base, dimensionDefinition 4.1 Un lK-e. v. E est dit de dimension finie s 'i Z posse-de une famille qeneratrice finie.Dans le cas contraire it est dit de dimension infinie.-

Exemples1. JRnest un JR-e.v. de dimension finie.2. :F (JR,JR) est un JR-e.v. de dimension infinie.Dans ce paragraphe et la plupart du temps on travaillera avec des IK-e.v. de dimension finie.

Definition 4.2 Soit E un IK-e.v .. Une famille (finie) de E est une base de E si elle est a lafois libre et generatrice.Exemple (el,"" E n ) , ou ei = (0, ... ,1, ... ,0), 1 :$ i :$ n, est une base de ][{n, appelee labase canonique.

Theoreme 4.1 (de Labase incomplete). Soit S unefamille generatricefinie (S fini) d'un IK-e.v. Eet soit (Ul,' . ,up) une famille libre mais non generatrice de E. Alors il existe VI, .. ,Vq E Stels que (UI, ... , Up,VI,"" Vq) soit une base de E.Demonstration Soit l'ensemble

I := {k E N* I 3VI, . ,vk E S, (Ul,"" Up, V}, ... ,Vk) famille libre} .1 E I sinon tout element V E S serait combinaison lineaire de Ul, ... , up et par consequent(U I, ... , U p ) serait une famille generatrice de E contrairement a I'hypothese, De plus I est fini

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car card(J) ~ card(S) < +00. Done J possede un plus grand element q E N*. Par definition deJ, la famille B := (UI, ... , up, VI,"" vq) est libre. Soit V E S, par definition de q, B U (v) est lieeet comme Best libre, V est done combinaison lineaire delements de B. Done Best une famillegeneratrice de E ear S l'est aussi. Done Best une base de E.Lemme 4.1 Soient n,p E N O < avec p > n. Soient B := (UI,'" ,up) ei Cn := (VI, ... ,vn) deuxfamilles de E. Si les uecteurs de B soni des combinaisons lineaires des uecteurs de Cn alors lafamille Best liee.Demonstration On fait une recurrence sur n. Pour n = I le resultat est vrai,On suppose le resultat vrai pour n. Soit p > n+ let soient deux familles B, Cn+l telles que lesp vecteurs de B soient des combinaisons lineaires des veeteurs de Cn+l'Si tous les elements de B sont combinaisons lineaires d'elements de Cn alors, par hypothese derecurrence, Best liee.Sinon ilexiste un element de B, Up par exemple, tel que up t t Vect(Cn). Or up EVect(Cn+l) a u

n+lCn+ ! =CnU(Vn+I) , d'oii Vn+! E Vect(CnU(up)) car dans la combinaison lineaire up = L: AiVi oni=la An+! = I - O . On en deduit que U I, .. " Up-l E Vect (Cn U (up)), i.e. pour tout iE {I, ... ,p - I},

nUi =L AijVj + J-LiUp, Aij , J - L i E IK .

j=1

On pose u~ :=Uj -ll-iUp, alors B' := (ul"",u~_l) est Me par hypothese de recurrence avecp - I > n et Cn. II existe alors A i E I K . tel que

p-l p-lL A ~(U i - J-LiUp) = L )..~Ui+ A ' U p =0i=l i=l

avec les A~non tous nuls, Done B est lire.'I'heoreme 4.2 (de la dimension). Soit E = I - {O}un IK-e.v. de dimension finie. Alors E possedeune base finie et(a) toutes les bases de E ont meme cardinal n 2 : : Iappele la dimension de E,(b) toute famille libre de E a au plus n elements et est une base si et seulement si elle possedeexactement n elements,(c) touie famille generatrice de E a au moins n elements et est une base si et seulement si ellepossede exactement n eliments.Notation La dimension de E est notee dim (E). Par convention, si E ={O} , dim (E) =0, etsi E est de dimension infinie, dim (E) =+00.Demonstration Soit x E E\ {O}. On applique le theoreme de la base incomplete it la famille(x ) pour obtenir une base de E.

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(a ) Soient B et C deux bases de E. Si card (B) = 1 = card (C), par exemple card (B) > card (C),alors d'apres Ie lemme, comme C est une famille generatrice de E, on a B liee contrairement itl'hypothese, Done card (B) = card (C) = n.(b) Soit L une famille libre de E a p elements. D'apres le theorems de la base incomplete, onpeut completer L pour obtenir une base de E d'ou p S; n. Si p = n alors, pour tout x E E,L U (x ) a (n+l) elements, done dapres ce qui precede, L U (x) est Iiee. D'ou x E Vect(L) et Lest une famille generatrice de E, done Lest une base de E. Reciproquement, si Lest une basede E alors p =n d'apres (a).(c ) Soit G une famille generatrice de E a q elements et soit B une base de E. Si n > q alors,d'apres le lemme applique it B et G generatrice, on a B liee contrairement it I'hypothese, Doneq ~ n. Si q = n alors G est libre. Sinon un des vecteurs de G s'exprime comme combinaisonlineaire des (n - 1) autres. On obtient alors une famille generatrice de E it (n -1) elements,impossible d'apres ce qui precede. Heciproquement, si G libre alors G est une base et q = nd'apres (a).Remarque Soit E un IK-e.v. de dimension n ~ 1et soit B := (Ub ... ,un) une base de E.Alors

nVx E E, 3! (A1, ... , An) E ][{n, X =L AiUi,

i=Oles scalaires AI, ... , An sont appeles les coordonnees de x par rapport it la base B.Exemples1. Soi t n E M *, IKnest un IK-e.v. de dimension n dont la base canonique est une base.La famille (u 1, ... , Un) definie par Ui := (1, ... , 1, 0, ... , 0) est clairement une famille libre de IKn...__,

iit n elements. C'est done une base de IKn.2. L'ensemble des fonctions de JRdans JR,deux fois derivables sur JRet dont la derivee seeondeest nulle sur JRest un JR-e.v. de dimension 2 dont (l,IdlR.) est une base.Definition 4.3 Soit E un IK-e.v .. Le rang d'une famille jinie S de E est la dimension du s.e.v.enqendr par cette famille. On le note rg (S).Remarque Soit CUI,"" up), P E M *, une famille de E . Alors

rg (U I, , Up ) =dim(Vect(ul, , Up)) ::; pet rg(uI, ,up) =p ' * = = * ( U I , ,U p) libre,

d'apres les points (b ) et (c ) du theorems.Theoreme 4.3 Soit E un IK-e.v. de dimension jinie n ~ 1. Alors tout s.e.v. F de E est dedimension jinie ::; n. De plus F =E si et seulement si dim (F) =n.

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Demonstration Soit Fun s.e.v, de E. Toute famille libre de Fest une famille libre de Eet est done de cardinal ::; n. Soit p le cardinal maximal d'une famille libre de F et soit L unefamille libre de F, suppose # {O}, de cardinal p, 1 :5 p ::; n. Soit x E F, la famille L U {x}, decardinal (p + 1) , est liee dans F done x est une combinaison lineaire d'elements de L. D'ou Lestgeneratrice de F et, par suite, Lest une base de F.Done F est de dimension finie p : : = : ; n. Si p = nalors Lest une famille libre de E it n elements done e'est une base de E. D'ou E =Vect(L) C Fet E =F.Proposition 4.1 Soit E un lK.-e.v.de dimension finie et soient F, G deux s.e.v. de E. Alors

dim(F + G) = dim (F) + dim (G) - dim (F n G).Demonstration On suppose que F nG = 1 = {O}, Ie cas F nG ={O}est tout it fait similaire.Soit (Ul,' .. , ur) une base de F nG que Pan complete pour obtenir une base (Ul, , up) de Fet une base (Ub ... ,UnVr+l, ... ,Vq) de G. Soit la famille B:= (Ul, ... ,Up,Vr+l, ,Vq), Bestclairement une famille generatrice de F + G. Si, en outre,

p qLAiUi + L!-LiVi =0i=1 i=r+l,__,_.=x

alors x E F n G d'ou Ar+1 =... =Ap =0 car ( U I " ' " up) famille libre, etr q

LAiUi + LJ.LiVi=0i=l i=r+lqui implique Al = ... = Ar = J . L r + l = ... = J.Lq= 0 car ( U I , . . . ,U r, Vr+l, ... ,Vq) est une basede G. Done Best libre et est une base de F +G. Par consequent,dimeF + G) =card (B) =p + (q - r ) =p + q - r =dim (F) + dim (G) - dimeF nG).

Corollaire 4.1 Soit E un lK-e.v. de dimension finie et soient F, G deux s.e.v. de E. Il y aequivalence entre:(i)E=F$G,(ii) E =F + G et dim (E) =dim (F) + dim (G),(iii) F nG = {O} et dim(E) = dim(F) + dim(G).Demonstration Consequence immediate de la proposition precedents en remarquant queF nG = {OE} si et seulement si dim (F nG) =O .Exemple important lK . =lRau C. Soit

E := {u =(Un)nEN I Un+2 =aUn+l + bun, Vn E N} , ou a, s e l K . .16


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Alors E est un lK-e.v. de dimension 2. Soient, en effet, les suites v, wEE definies par leurspremiers temes Va := 1, Wa :=0 et VI :=0, WI =1. Alors (v ,w) est clairement une base de E ettout element U E E s'ecrit U =UaV + UIW.On peut obtenir une autre base de E qui permet de calculer Un en fonction de n pour toutesuite U de E. Deux cas sont a distinguer.ler cas: L'equation x2 =ax + b a deux racines distinctes 0 : , / 3 E l K . * . Alors ( (o :n )nEN ' ( /3n )nEN )est une base de E.2eme cas: L'equation x2 =ax + b a une racine double 0: E J K * . Alors ((o:n)nEN' ( n o : n ) n E N ) estune base de E.

5 Determination de la dimension d'un s.e.v.On va donner une methode pratique pour calculer la dimension d'un s.e.v. d'un e.v., autrementdit Ie rang d'une famille generatrice de ce s.e.v. Cette methode est un cas particulier de lamethode d'elimination de Gauss (cf . la resolution des systemes lineaires) et s'appuie sur leresultat suivant.Proposition 5.1 Soit E un OC-e.v. et soit ( U I , " " up) une famille de p vecteurs de E. Alors,pour tous ),,2, ... , )" p E l K . , on a

La demonstration est immediate.Methode: Soient (e1,"" en) une base de E et (UI; ... , up) une famille de E. On supposeconnues les coordonnees des vecteurs Ui dans cette base.Jere etape : on considere un vecteur, par exemple u}, dont la 1ere coordonnee par rapport a e1est = f : 0 (si ce n'est pas Ie cas on passe ala 2eme coordonnee) et on efiectue la transformation

de sorte que la 1ere coordonnee de u~ est O . On a

2eme eiape : on applique le schema de la premiere etape a la famille (U2 , ... , U~ ) avec la 2cmecoordonnee (ou la suivante si toutes les 2emes coordonnees sont =0).On reitere en au plus p etapes jusqu'a epuisement des vecteurs. Alors le rang de (U I , " " up) estle nombre de vecteurs non nuls it la derniere etape.Exemple Dans]R4 on considere les vecteurs :

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ul(1,2,1,-1) u2(-3,6,1,1) u3(1,8,3,-2) u4(3,0,1,-2)UI (1,2,1, -1) Ul (1,2,1, -1) Ul (1,2,1, -1)U2 (-3,6,1,1) U2 + 3Ul (0,12,4, -2) U3 - Ul (0,6,2, -1)---+ ---+U3 (1,8,3, -2) U3 - Ul (0,6,2, -1) U4 - 3Ul (0,-6, -2, -1)U4 (3,0,1, -2) U4 - 3Ul (0,-6, -2, 1) U2 + 3Ul (0,12,4,-2)

Ul (1,2,1, -2)U3 - Ul (0,6,2, -1)---+U4 - 3Ul +U3 - Ul (0,0,0,0)U2 + 3Ul - 2(U3 - Ul) (0,0,0,0)

Done rg(ul' U2, U3, U4 =rg(u}, U3 - ut) =2, avec les eombinaisons lineaires 4Ul - U3 - U4 =0et 5Ul + U2 - 2U3 =0.

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Applications Iineaires et Matrices

1 Applications lineaires1.1 Definition, exemplesDefinition 1.1 Soient E et F deux OC-e.v. Une application u : E -- Fest dite lineaire si

V A E O C , V x, Y E E, U(AX + y) = AU(X) + u(y).Proposition 1.1 Soit U : E -- F une application lineaire. Alors on a(i) Vx,yE E, u(x+y) =u(x)+ u(y),(ii) U(OE) =OF,(iii) V A E O C , V x E E, U(AX) =AU(X),(iv) 'in E N*, 'i(AI'"'' An) E OCn,V (XI, ... , Xn) E En, U C ~AiXi) = i~ AiU(xdDemonstration(i) On prend A =1 dans la definition.(ii) U(OE) = U(OE + OE) = U(OE) + U(OE) d'ou U(OE) = OF.(iii) On prend y =OE dans la definition.(iv) On fait une recurrence sur n.Exemplesl.u: E --F u application nulle est lineaire.

2 . Soit a E F f ixe , u: l K . - - F est lineaire,A . . . . _ .. . . .A Q .

3. u: J R 3 _ _ J R est lineaire.

est Iineaire.x ...._ .....X l + X2, X2 - X3)

5. u: J R - - J R est lineaire si et seulement si 3 a E J R , " 'I x E J R , u(x) =ax.Ainsi (x 1---+ x2 ) n'est pas lineaire,

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6. Soit E :=V ( J R , J R ) l'ensemble des fonctions derivables de IRdans IRet soit F := :F ( J R , J R ) .D: E - Fest lineaire (operateur derive).

f 1-----* I'Notation Onnote L(E, F) I'ensemble des applications lineaires de E dans F.Proposition 1.2(a) Soient E, F, G trois K -e.v ., u E L(E, F) et v E L(F, G). A lor s v 0u E L(E, G).(b) Soit u E L(E, F). Si u est bijective alor s u-l E L(F, E), u es t alors appele un isomorphismede E su r P.Demonstration(a ) (v 0 u ) (A X + y ) =V(AU(X ) + u(y)) = A (v 0 u) (x ) + (v 0 u) (y ).(b) Soient A E lK ., X , x' E E et y :=u(x) E P, y ' :=u(x') E F. On a U(AX + x' ) =A Y + y 'd'ou U- I (AY + Y') = A X + x' =AU-ICy) + u-l(y').Proposition 1.3 Soit E un lK .-e.v . de dimension finie n et soit (el,"" en) une base de E.A lor s pour tout n-uplet (h, ... , fn ) E F", il existe une unique application u E L(E, F) telle queVi E {l, ... ,n}, u(ei) =Ii -DemonstrationUniciie : Soit x E E, x =xlel + ... + Xnen ou Xl, ... ,X n sont determinee de maniere unique.Alors u(x) = xlu(el) + + xnu(en) = xI/I +...+ xnfn est determinee de maniere unique ..Existence: u(xlel + + xn en) :=XIII +...+ xnfn definit bien une application de L(E, F).Consequence: Lorsque E est de dimension finie, une application lineairede E dans Festuniquement determines par les images des elements d'une base de E.

1.2 Image et noyau d'une application lineaireProposition 1.4 Soient E,F d eu x lK .- e.v . et u E L(E,F).(a) L'unaqe de u, u(E) est un s.e.u. de F, note 1m (u). La dimension de 1m (u) es t appelee ler ang de u et est note rg (u).(b) Le noyau de u est defini par " 1 1 ({OF}), c'esi un s.e.u. de E, note Ker (u).Demonstration(a ) O F =U(OE) E 1m (u). Soient A ElK ., x, y E E, AU ( X ) + u(y) =u(>.x + y ) Elm (u).( b ) U(OE) =O F d'ou OE E Ker (u) . Soient > . E lK . , x, Y E Ker (u), U (A X + y ) =>.u(x) + u(y) = OF,done A X + y E Ker (u).

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Proposition 1.5 Soit u EL{E, F). Alors(a) u surjective si et seulemeni si Im (u) = FJ( b ) u injective si et seulement si Ker(u) = { D E } .Demonstration(a ) Evident par definition.(b ) Si u injective alors u-l ( { O F } ) a au plus un element done Ker(u} = { D E } . Reciproquement,soient x, y E E tels queu(x) = u(y). Alors u(x-y) = u(x) -u(y) = D d'ou x-y E Ker(u) = { D E }done x =y.Exemples1. u: I R 3 ---t I R

X t----+ xl + x2 + x3Im (u) =IRet Ker(u} =Vect{(I, -1,0), (0, 1, -I)} .2 . u: I R 3 ---t 1 R 2

X t----+ (Xl + X2, X2 - X3)Im(u) = 1 R 2 et Ker(u) =Vect(-I, 1 , 1 ) .3. u: C I ( J R , I R ) ---t CO ( J R , J R )

f t----+ f'Im (u) =C O ( I R , J R ) admis (notion de primitive)Ker(u) =Veet(1) ={fonctions eonstantes}.Proposition 1.6 Soient E, F deux K-e.v. et u E L(E, F). Soit (el, ... , en) une famille de n 2 : : 1elements de E.(a) Si e}, ... , en) est libre ei u est injective alors (u(ed, ... , u(en)) est libre. Rciproquement, si(u(ed, .. , u(en)) est libre alors (el,"" en) est libre.(b ) Si (el,'''' en) est genemtrice alors u est surjective si et seulement si (u(ed, ... , u(en)) estgenemtrice.( c ) Si ( e 1, ... , en) est une base de E alors u bijective si et seulement si (u (el), ... ,u( en)) estune base de F.Demonstration(a) Si i~ Aiu(ed = u (~ Aiei) =O F alors it Aiej =D E et 'V i E {1,... ,n}, A i = O.( b ) On a 1m(u) =Vect (u(e!), ... ,u(en)).(c ) Si u est bijective alors {u (ed, ... , u( en)) est une base d'apres (a) et (b). Si (u( ed , ... ,u ( en))

nest une base de F alors u est surjective d'apres (b). De plus si x E Ker(u), x = 2: Aiei ,i=ln

u(x) = 2: Aju(ei) = O F d'ou 'Vi, A i =O . Done u est aussi injective.i=l21


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Corollaire 1.1 Soit u E L (E , F) bijective. Alorsdim (E) < +00 =?dim (F) =dim (E).

Theoreme 1.1 (du noyau). Soit E un JK-e.v. de dimension finie et soit u E L(E, F). Alorsdim (E) =dim (Ker (u)) + dim (Im (u)).

Demonstration Soit (el , '" ,er) une base de Ker(u). On la complete pour obtenir unebase (e l" '" en) de E et on pose G := Vect(er+b." en). Soit v l'application definie parv: G ---t Im (u)

X 1---+ u(x).On a v E L(G ,lm (u)) car u est lineaire. Soit I E Ker (v) alors I E G n Ker (u) = { D E } parconstruction. Donc vest injective. Soit y E Im (u), ilexiste x E E tel que y = u{x), x = Xl + z",avec x' E G et x" E Ker (u ) d'oii y = u(x) = u(x') = v(x'). Donc vest surjective et parconsequent bijective. Alors dim (Im (u)) = dim (G ) = n - r = dim (E ) - dim (Ker (u)).Corollaire 1.2 Soient E, F deux JK-e.v. de meme dimensionfinie et u E L(E, F). Il y a equivalenceentre:(i ) u injective,(ii) u surjective,(iii) u bijective.Demonstration D'apres le theoreme on a les implications

( i) ==> Ker (u) = { D E } ==> dim (E) = dim (Im (u)) ==> Im (u) = F==> (ii) = = > dim (Ker(u)) =0 ==> (i).

Exemple u: ]R3 ---t]R3I 1---+ (Xl + X2+ I3, Xl - I2 + X3, Xl + x2 - I3)

II est clair que Ker( u) = { O ] R 2 } done u est bijective.

1.3 Homothties, projections, symetriesDefinition 1.2 Soit E un JK-e.v.. On dit qu'un element u de L(E,E) est une homothtie s'ilexiste A E J K tel que u = A IdE, A est alors appete le rapport de I 'homotheiie.Definition 1.3 Soient E un JK-e.v. et F, G deux s.e.v. supplementaires de E, i.e. E = FEElG.On appeUeprojection de E sur F parallelemetii a G, ['application

PF : E ---t Ex 1---+ XF oil I =IF + XG, XF EF, IG E G.

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Remarque La decomposition x =XF + Xc est unique done PF est bien definie.Proposition 1.7(a) PF E L(E, E), PF 0PF = PF, Im (PF) = F et Ker (PF) = G.(b) Reciproquemetit, si P E L(E, E) telle que pop = p, alors pest la projection sur 1m (p)parollelement d Ker (p) .

Demonstration(a) II est clair que PF E L(E, E) d'apres I'unicite de la decomposition. Soit x =XF + Xc,PF 0PF(X) = PF(XF) = PF(XF + D E ) = XF par definition de PF, d'ou PF 0PF = PFIm (PF) = {p(x), x = XF + xc} = {XF, XF E F et Xc E G} = F.Ker (PF) = {x I p(x) = D E } = {x = xp + Xc I XF = D E } = G.(b) SoHp E L(E, E) telle que po p =p. Soit X E E on a X =p(x) + x - p(x) ou p(x) Elm (p) etp(x - p(x)) = p(x) - P 0p(x) = D E d'ou x - p(x) E Ker (p). Alors E = Im (p) + Ker (p) .Soit x E 1m(p) n Ker (p), x = p(y) d'ou p(x) = po p(y) = p(y) = x = OE. Done E -Im (p) EBKer (p). La decomposition x =p(x) + x - p(x} montre que pest la projection de Im (p)parallelement a Ker (p) .Definition 1.4 Soient E un lK.-e.v. et F, G deux s.e.v. supplementasres de E. On appelle symetriepar rapport d F parallement d G l'application

SF: E ---t EX 1--+ XF - Xc o u x =xF + XC, xF E F, xC E G.

(a) sF E L(E,E), SF 0 SF = IdE, Ker(sF - IdE) = F et Ker(s+ IdE) = G.(b) Reciproquement, si s E L(E, E) telle que so s = IdE alors s est la symitrie par rapport aKer (s - IdE) parollelemen: a Ker (s + IdE).Demonstration(a ) II est clair que SF est lineaire. Soit x = XF + Xc E E, SF 0 sp(x) = 8F(XF + (-Xc)) =XF + Xc =x. Done SF 0 SF =IdE.Ker(sp - IdE) = {x EEl sp(x) =XF - xC =X =XF + xc} ={x I Xc =O}=F,Ker(sF + IdE) = {x EEl sp(x) =xp - Xc = -x = -XF - xc} = {x I xF = O}=G .(b) Soit s E L(E, E) telle que so s =IdE. Soit x E E, on a la decomposition

1 1x = 2 (x + sex)) + 2 (x - sex))'-v-'" '-v-'"EKer{s-IdE) EKer(s+IdE)

d'ou E =Ker(s - IdE) + Ker(s + IdE)'

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Soit x E Ker(s - IdE) nKer(s + IdE), s(x) = x = -x d'ou x = DEDone E = Ker{s - Ide) EBKer(s+IdE)' Soit x E E, on a sCx) = !(x+s(x)) - !(x-s(x)). Done s coincide avec la symetriepar rapport it Ker(s - IdE) parallelement it Ker(s + IdE)'1.4 L'espace L (E , F)Soient E, F deux lK.-e.v. On munit L(E, F) des lois + et . induites par celles de :F (E, F) , i.e.u+v: E --F

x 1----+ u(x ) + v(x )Proposition 1.8(a ) (L(E, F), +,.) est un lK.-e.v.(b ) Si E et F sont de dimension flnie alors L(E, F) l'esi eussi et dim L(E, F) =dim E x dim F.

AU: E --Fx 1----+ AU(X).

Demonstration(a) Il est facile de voir que L(E, F) est un s.e.v. de (:F(E, F), +,.).(b ) Soient (el, ... , en ) une base de E et ( f1 , "" !p) une base de F.Pour chaque couple ( i, j) E {I, ... , n} x {I, ... ,p} , on definit l'application lineaire Uij E L(E, F)par Uij(ek) = 0 si k = f iet Uij(ei) = Ii si k = i. La famille (Uij)i,j est une base de L(E, F). Soit

pU E L(E,F), soit i E {I, ... ,n} ,on a u(ei) =L: aij!J.

j=lpD'autre part L: aijUij(ek) = L: akj!J = u(ek)' Done U = L: aijUij .

i,j j=1 i,jP

Si L: aijUij = 0 alors pour tout k, L: akj!j = O F et pour tout i. akj =0 car (!I, ... , !p) esti,j j=llibre.Notation Lorsque E =F, L(E,F) est note simplement L(E). Un element de L(E) est appeleun endomorphisme de E.Proposition 1.9 L 'espace (L(E), +,',0) est une lK.-algebre,i.e.(a) (L(E), +,.) est un lK.-e.v.,(b) 0 est une loi interne qui verifle les proprieies suivantes :

(i ) 0 est associative, i.e. 'Vu, v, wE L(E), U 0 (v 0w) =(u 0 v) 0w,(ii) 0 a un element neutre IdE, i.e. 'Vu E L(E), u 0 IdE =IdE 0 u,(iii) 0 est distributive par mpport d +, i.e.

Vu,V,WEL(E), uo(v+w}=uov+uow et (v+w)ou=vou+wou.Proposition 1.10 L 'ensemble des applications bijectives de L(E) muni de la loi 0est un groupe(non commutati! en general) appele le groupe lineaire de E et note GL{E). Uti element de GL(E)est appele un automorphisme de E.

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Remarque Soient u, v E GL(E). Alors (u 0V)-l = v-Iou-I .Proposition 1.11 Soit E un lK-e.v. de dimension finie et soit u E L(E). Alors U E GL(E) siet seulement si it existe v E L(E) tel que u 0 v =IdE ou V 0 U =IdEDemonstration( : :: On considere v =u-1.( < = ) U 0 v =IdE ==::;. u surjective et v 0 u =IdE ==::;. u injective.D'autre part, on a montre que u est bijective si et seulement si u est injective ou surjective.

2 Matrices2.1 Definition, operationsDefinition 2.1 Soient m, n E N* . Une matrice de type (m, n) est un tableau d'ilements de IKa m lignes et n colonnes. On note Mm,n(lK) l'ensemble des matrices de type (m, n) ou plussimplement Mn{lK) lorsque m =n.Representation Soit A E Mm,n(IK), alors on ecrit

Operations sur Mm,n (IK) Addition interne: soient A = [aij] E Mm,n(IK) et B = [bij]

MUltiplication ext erne : soit A = [aij] E Mm,n(IK) et . > . ElK

Proposition 2.1 (Mm,n ( IK) , +,.) est un IK-e.v. de dimension mn.Demonstration II est clair que Mm,n ( IK ) est un IK-e.v. dont I'element neutre pour + est lamatrice nulle [0]. Soit Ei,j, pour (i, j) E {l, ... ,m} x {l, ... ,n} , la matrice ne comportant quedes 0 sauf le coefficient de la ieme ligne et de la r= colonne qui vaut 1. Soit A E Mm,n(lK),A = [aiJl. Alors A =' :E aijEi,j et l'ecriture est unique. Done (Ei,jh~i~m est une base deI~i::Sm l~j::Snl: :Sj~nMm,n (IK)qui est par consequent de dimension mn.Produit de 2 matrices

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Definition 2.2 Soient A = [aik]Mm,p(lK.) et B = [bkj] E Mp,n(lK) , m, n,p E N*. La matriceproduit AB est definie par

pAB = [cijh:Si:Sm E Mm,n ( lK ) a u Cij:= Laikbkj .l:Sj:Sn k=l

On ajoute les produits deux a deux des coefficients de la ime ligne de A par ceux de la r=colonne de B.

Exemple

EM3,2(1K)Propriete distributivite du produit par rapport it + :

'VA E Mm,p(IK), V B,G E Mp,n(IK), ACB + C) =AB + AG,'V A, BE Mm,p{IK), VC E Mp,n(OC), (A + B)C = AC + BG.

Definition 2.3 Soit A E Mm , n(JK ) , La t ttmsposee de A =[aij] est la matrice dejinie par

La iransposee de A s'obtient en ecluuiqean: les lignes ei les colonnes de A.

Exemple t C - : : ) = ( - ~ : 1Proposition 2.2(a) t: Mm,n(K) ~ Mn,m(IK) est un isomorphisme.A ~ tA

(b) VA E Mm,p(IK), VB E Mp,n(IK), t(AB) = tBtA.Demonstration(a ) Clair.(b) Soient A = [aik]' B = [bkj], C:= tBtA =[Cij]'On a

p pCij=2:)tB)ikCtA)kj =Eajkbki = (t(AB))ij.

k=l k=l2.2 Matrice associee it une application IineaireDefinition 2.4 Soient E un IKe.v. de dimension n 2: 1. F un JKe.v. de dimension m 2: 1 etu E L(E, F). Soient BE := (el,"" en ) une base de E et BF :=(II, .. , 1m) une base de F,

m

Vj E {l, ... , n}, u(ej) =Laij Ii, aij ElK.i=l26


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La matrice A := [aij] E Mm,n(K) est appelee la mairice de l'application lineaire u relativementaux bases BE et BF. On la note A =Mat(u I BE,BF)'Remarque Lorsque les bases BE et BF sont fixees, ily a correspondance entre les applicationslineaires et leurs matrices relativement a ces deux bases, autrement dit

L(E, F) ---+ Mm,n ( l K )u t--t Matfu ]BE,BF) est un isomorphisme.

Calcul pratique: Soient x E E et y E F.

n ( x~:nl)= L xjej , X:= E M n ,l( IK ) matrice des coordonnees de x dans la base BE,j=l

m ( Y l )Y =Lyi/i , Y := : E Mm, l ( IK ) matrice descoordonnees de y dans la base BF. Alorsi=l .:

y =u(x) :::::} Y =AX ou A =Mat (u I BE, BF).On a, en effet,

n n ( n )y = u(x) = ~Xju(ej) =8 f;aijxj Ii :::::} Vi E {I, ... ,m}, nYi = LaijXj,j=l

puisque BF est nne base, d'oii matriciellement Y = AX.Exemples1. B2 et B3 designent les bases canoniques de I R 2 et I R 3 .

Soit u : I R 2 ---+ I R 3 telle que Mat(u I B2, B3) = (: -:).o -1

Alors u : (Xl, X2) t--t (2XI - X2, Xl + 3X 2, -X 2)u(el) =2 II + 1 2 et u(e2) =- II + 3 1 2 - Is .2. Soit u: I R 3 - - - ; . ]R 2

X t--t (X l + X2 + X3, 2X2 - 3X3)'Alors Mat(u I B3, B2) = ( 1 1 1 )o 2 -3 .Lien entre les operations: Soient u, v E L(E, F) et )" E IK , alors on a

Mat(u + v I BE,BF) =Mat(u I BE,BF) + Mat(v I BE,BF)Mat(>.u I BE,BF) =>.Mat(u I BE,BF).

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Soit Gun lK-e.v. de dimension finie f ~ 1muni d'une base BG, soient u E L(E, F) et v E L(F, G).Alors on a

Mat(v 0u I BE,BG) =Mat(v I BF, BG) Mat(u I BE, BF)C E Me,n(lK) BE Me,m(lK) A E Mm,n(lK)

Montrons I'egalite C = BA. Avee les notations usuelles, on a pour tout jE {I, ... ,n} ,v o u ( e j ) = t . C ; j 9 ' =V ( ~ a k j / k ) =~ a ' j v ( t . )= ~ t . a k j b ' k 9 ,= t . ( ~ ~ , a k } ' ,

nd'ou Cij = I:ikakj et l'egalite C = BA annoncee.k=l

Exemple On munit ]R 2 et ]R 3 de leurs bases eanoniques B2 et B3. Soientu: ]R 3 ---t ]R 2

x t-----+ ( 2X l + X3, X2 - X3)On a

Done v 0u: IR3 ---t IR3

2.3 L'espace Mn{K)Mn{lK), nE N " ' , est l'ensemble des matrices (n x n) a coefficients dans 1 K , Mn(lK) est muni detrois lois: l'addition matricielle +, la multiplication ext erne " le produit matriciel x.Proposition 2.3 L'espoce (Mn( IK . ) , +,., x) est une lK.-algebre de dimension n2 , unitaire et noncommutative si n ~ 2, i.e.(c) Mn(K), +,.) est un K-e.v. de dimension n2,(b) le produit x possede les proprieies suivantes :

(i) x est associatiJ, i.e. VA, B, C E Mn(K), ACBC) =A(BC)

(ii) x a un element neutre In:= (: .. :) appelt la mairice unite de Mn(K),

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(iii) x est distributive par rapport a +, i.e.VA,B,C E Mn(lK), A(B + C) = AB + AC et (A + B)C = AC + Be.

DemonstrationSoit Bn la base canonique de IKn alors < I > : L(OCn) ----4 Mn ( 1K)

u ~ Mat(u IBn)est un isomorphisme

d'e.v. qui verifie en outre la multiplicativite :

'iu,v E L(lKn), (uov) =(u)(v).

Toutes les proprietes de (L(OCn), +,.,0) se transmettent a (Mn(lK), +,', x) par < I > , d'ou (a) et(b).En particulier l'element neutre de Mn{ lK ) est (IdE) = In. Le produit matriciel n'est pascommutatif si n ;:::, en effet, on a par exemple pour n =2 :

Definition 2.5 Une tnairice A =[aij] est dite triangulaire superieure (resp. inferieure) si pourtous i> j (resp. i< i), aij =O . Une matrice A est dite diagonale si elle est a la lois triangulairesuperieure ei injerieure, i.e. pour tous i# - j, aij =O .Proposition 2 .4 L'ensemble des matrices triangulaires superieures (resp. injerieures) de Mn{ lK )est une sous-olqebre de Mn(OC) de dimension n2tn , l'ensemble des matrices diagonales une sous-olqebre de dimension n.Demonstration Exercice.Proposition 2.5 (Identites remarquables). Soient A, BE Mn(IK) telles que AB =A. Alors

p(a) 'ip EN , (A +Bt =l:C~Ak BP-k [binome de Newton],k=O( b ) Vp E N* , AP - BP =(A - B) (AP-l + AP-2B +...+ABp-2 + BP-l).

Matrices inversiblesDefinition 2.6 Une matrice A de Mn(IK) est dite inversible s'il existe B E Mn(lK) telle queAB =BA = In. La matrice Best alors unique et est appelee l'inverse de A, notee A-I, Onnote GLn(IK) l'ensemble des matrices inversibles de Mn{lK).Proposition 2.6(a) A E M n (IK ) , A E GLn{lK) si et seulement si l'une des conditions suivantes est satisfaite :

( i) :lB E Mn(IK), AB = In ou BA = In ,(ii) Ker (A) :={X E Mn, l ( lK ) I AX =O}={O},(iii) 1m (A ) := {AX, X E Mn,I(IK)} =Mn, I ( IK ) .

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(b) A tj GLn(1K) si et seulement si 3B E Mn(lK) ,AB = 0 ou BA = O .(c) VA,BE GLn(lK), (AB)-I =B-1 A-I.(d ) (G L n (IK ), x)est un groupe, non commutatif si n2 : 2.Demonstration (a), (c) et (d ) sont des consequences des proprietes de GL(lKn) transmisespar e.(b) Si A tj GLn(JK) alors d'apres (ii), ilexiste X E Mn,l(lK)\{O} tel que AX =O . La matriceB :=(X, 0, ... ,0) (en colonnes) verifie AB =O . Reciprcquement si AB =0 avec B = I - 0, A n'estpas inversible sinon A-I AB =B = O .

(ab cd)alcul de l'inverse: Si n =2, A = E GL2(lK) si et seulement si ad - be = I - 0 et

( d -~ )dans ce cas A-I = (ad - bc)-1 .-c aDans Ie cas general on resoud le systeme AX =Y :::::> X =A-I Y.

2.4 Changement de base, rangSoient E un lK-e.v. de dimension n 2 : 1et Fun lK-e.v. de dimension m 2: 1. On munit E de deuxbases BE = ( e j ) l : S ; j : S ; n et BE = ( e j h : S : j : S n et F de deux bases BF = (f i)r:Si:Sm et B'p.= ( f fh :Si :S;m.On cherche, pour u E L(E,F), une relation entre les matrices A:= Mat(u IBE ,BF) et A' :=Mat(v I B'p;,BF ) On sait qu'il existe un automorphisme ({ J E GL(E) tel queVj E {I, ... ,n},


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Avertissement : les anciennes coordonnees s'expriment en fonction des nouvelles et de lamatrice de passage.De rneme, pour y E F, on note Y la mat rice des coordonnees de y dans BF et Y' celle descoordonnees de y dans BF , et Y =QY' avec BF ~ Bp.Alors y = u(x) s'ecrit par rapport aux anciennes et nouvelles bases: Y = AX et Y' = A' X'.D'ou QY' = APX' et y' = Q-1APX'. Done 'IX' E Mn, l ( J K ) , A'X' = Q-1APX' etA ' = Q-1AP.Definition 2.8 Soit A E Mm,n{lK). Le rang de A est le rang de la famille composee par sesoecieurs colonnes. On le note rg (A).Proposition 2.8 Soit A E Mm,n(JK). Alors rg (A) : s ; inf {m, n}.Demonstration Soient Bm et Bn les bases canoniques de IKmet IKn. Soit A E M m,n(IK), A =Mat(u IBn, Bm) OU U E L (IKn,IKm)est l'application lineaire associee a A . Par definition, rg(A) =rg(u) = dim(lm(u)) : s ; inf{m,n} car n = dim(Ker(u)) + dim(lm(u)) et m = dim(IKm) ~dim (1m (u)).'I'heoreme 2.1 (du rang). Soit A E Mm,n(IK) de rang r, Alors il existe P E GLn(IK) etQ E GLm(IK) ielles que

A= Q U ~ )p-l E Mm,.(K),o u I; est L a matrice unite de Mr(IK).Demonstration Soient 8m et 8n les bases canoniques de lK m et IKnet soit u E L(lKn, l K m )telle que A =Mat (u 1 8 n, 8m) . Comme dim (Ker (u)) =n - r , soit (e~+ l" '" e~ ) une base deKer(u) que ron complete pour obtenir une base B~ = (e~hSisn de IKn. Alors (u(e~), ... , u(e~))r rest une base de 1m (u) . En effet, si L: Aiu(eD =0 alors L: Aie~ E Ker (u) et est done nul, d'ou

i=l i=lVi E {I, ... ,n} , ,x i =O. La famille (u (eD, ... , u(e~)) est une famille libre de 1m (u) qui est dedimension r, c'est done une base de 1m (u) . On complete eette famille pour obtenir une base8:n =(u(e~ ), ... ,u (e~ ), f:+1"" ,f:n) de IKm.Par construction on obtient

Le resultat du theoreme se deduit alors de la formule du ehangement de base.Corollaire 2.1 Soit A EMm,n(IK).Alors rg(tA) =rg(A).Demonstration On remarque tout d'abord que, si P E GLn{lK) et Q E GLm(lK) alorsrg (AP) = rg (QA) = rg (A). II suffit de Ie montrer pour les applications lineaires associees.Soient u E L(IKn, lK m ) , v E GL(lKn) et w E GL(IKm), on a

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rg (u 0V) = dim {Im (u 0v) = dim (u (v (OCn ) )= dim (u (OCn = rg (u)et rg (w 0u) = dim (w (u ( O C n ) = dim (u ( O C n =rg (u).D'ou le resultat en repassant aux matrices.D'apres le theoreme du rang il existe P ' E G L n ( O C ) et Q' E G L m ( O C ) telles que

. ( 1 0 )A = pI o r 0 Q' E M n , m ( O C ) ou r =rg(A).Alors d'apres le result at precedent on a

( t;rg( tA) =rg 0 ~) = r =rg(A) .Remarque Le corollaire precedent montre que le rang d'une matrice est aussi le rang de lafamille constituee par ses vecteurs lignes.

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Polynomes a une indeterminee

1 GeneraliteslK . =R au C.

1.1 Algebre des polynomes

Definition 1.1 On appelle polynome sur lR touie suite P = (an)nEN d'elements de 1K,n'ayantqu'un nombre fini de iermes non nuls, i.e. 3N E N, 'iln 2 : N, an =0.Notations1:=(1,0, ... ),X := (0, 1,0, ... ) est appelee l'Indeterminee,X" :=(0, ... , 0,1,0, ... ), n E N, X O =l.. . .__,_

n zerosAinsi tout polynome P =(an)nEN peut s'ecrire P =LanXn qui est une somme finie.

nENOn note alors IK [ X ] 1'ensemble des polyn6mes sur I K .

OperationsSoient P =Lan Xn et Q =Lbn Xn E lK.[X].

nEN nEN Addition:

P + Q :=L(an + bn)Xn.nEN

Multiplication externe: soit A E lK ,A P =AP:= LAanxn.

nEN Multiplication interne:

P X Q=PQ:= LcnXn ou en:= L apbqnEN p+q=n

PQ E l K [X] : soit N E N tel que 'iln 2 : N, an =bn = alors pour tout n > 2N, p + q =n ===}p> N au q > N ===} apbq =0 ===} e n =O . Composition :

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PoQ:= L:anQn =L:an(L:bpXpf.nEN nEN pEN

T'heorerne 1.1 (lK [Xl, +,., x) est une lK-algebre commutative, i.e.(a) (lK [X], +,.) est un K-e.v ..( b ) Le produit x des polynomes posssde les proprietes suivantes :

( i) x est commut at if, i.e. 'i f P, Q E OC[X ], PQ = QF.(ii) x est associatif, i.e. V P, Q, R E K [X ] , P(QR) = (PQ)R.(iii) 1 est element de x, i.e. 'i f P EK[X], 1 x P =P.(iv) x est distributif par rapport a +, i.e. 'i f P, Q, R E O C [X ] , P( Q + R ) =PQ + P R.

Exemples1. (X 2 + X + 1)(X 3 - X 2 + 2X + 1)=X 5 - x4 + 2X 3 + x2 + x4 - x3 + 2X 2 + X + X 3 - x2 + 2X + 1=X 5 + ' 2X3 + 2X 2 + 3X + 1.2 . (X3 - 3X + 1) 0 (X 2 + 2) = (X 2 + I? - 3{X2 + 1) + 2X 6 + 3X4 + 3X 2 + 1 - 3X 2 - 3 + 2 =X 6 + 3X4.Convention On identifie le polynome P =ao, ao E 1K,qui est dit constant, a I'element ao de II{.On considere ainsi lK comme un s.e.v. de et une sous-a lgebre de OC[Xl.

1.2 DegreDefinition 1.2 Soit P =LanXn E OC[X].nEN(a) Le degre de P, note deg(P), est defini par;

{deg(O):=-oodeg(P) := sup {n E NI an :f: O} si P:f: O.

(b ) Le coefficient dominant de Pest defini par:

{0 si P =0le coefficient de xdeg(P) St P:f: O .

Remarquesdeg(P)

1. Pour tout P E lK[X], P = L anXn.n=O

2. deg(P) =0 ::::::} P E OC*:=OC\{O } .Proposition 1.1 Soient P, Q E IK[X]. Alors(i) deg(P + Q) ~ ma.x(deg(P),deg(Q)).(ii) deg(PQ) = deg(P) + deg{Q}.Avec la convention: 'ifn E N, (-00) + n =n + (-00) =(-00) + (-00) =-00.

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Demonstration(i ) est clair.(ii) S o i e n t P, Q E I K [Xl \ {o}.P = apXP + ... + ao , Q = bqXq + ... + be, p = deg(P), q = deg(Q) et ap et bq les coefficientsdominants de P et Q respectivement.On a PQ = apbqXp+q + ... + ao bo avec ap bq # - 0 d'ou deg(PQ) = p+ q = deg(P) + deg(Q).Si P = 0 ou Q = 0 le reusltat est evident par la convention.Corollaire 1.1(a ) VP, Q E I K [ X ] , (PQ = 0 = = = > P = 0 ou Q =0) .(b) Pest inversible dans IK [X J ::::::> P E 1K* .Demonstration(a ) Si P#-O et Q # - 0 alors deg (PQ) =deg(P) + deg(Q) EN done PQ # - O.( b ) Si Pest inversible, il existe Q E IK [ X ] tel que PQ =1, d'ou deg(PQ) =0 =deg(P) +deg(Q)et deg(P) = deg(Q) = 0 done P E IK*. Reciproquement, si P E IK* alors Pjs = 1 et P admet. p pour inverse dans IK [ X ] .Definition 1.3 On dejinit pour chaque n E N, I K n [ X ] := {P E I K [ X ] I deg(P)::; n}.Proposition 1.2 I K n [ X ] est un lK-e.v. de dimension (n + 1) dont une base est (l, X , . . . , x n ) .

nDemonstration Pour tout P E OCnX], P =LakXk d'ou IKnX] =Vect ( l,X , ... , xn) est

k=Oun s.e.v. de I K [ X ] engendre par la famille (1, X , . . . , X"),nSoient ao, ... ,an E IKtels queLakXk =0 = (ao, ... , an, 0, ... ) alors V k E {O, ... , n} , ak =O.

k=ODone (1,X, ... ,X") est libre.Definition 1.4 Une famille (PI, ... 1Pn) , n E N*, de I K [X] \ {O} est dite echelonnee en degressi 0 ::; deg(PJ) < ... < deg(Pn).Proposition 1.3 Toute famille de IK[ X l echelonnee en degres est libre.Demonstration Par recurrence sur n. Pour n = 1, (PI) est libre car Pi # - O . On suppose leresult at vrai pour (n - 1) . Soient (PI." ., Pn) une famille echelonnee en degres et (A l, ... ,An)ndans I K n tels queLAkPk =O . Le terme de plus haut degre de cette combinaison l i n e a i r e est

k= lAnan ou an est le coefficient dominant de Pn. On a Anan =0 et an # - 0 d'ou An =O. L'hypothesede recurrence entraine que Al = .. . = An-l = O. Done (PI."" Pn) est libre et le result at estvrai a l'ordre n.

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1.3 Derivation, racines1.3.1 DerivationDefinition 1.5 Soit P =I:nxn E OC[X].

nEN(a) Le polsmome derive de Pest le polynome note P', dejini par:

P' :=LnanXn-1 =2:(n + 1 ) an+lxn.n21 nEN

(b ) Le polynome derive d'ordre kEN, de P est le poLynome note p(k), dejini par La relation derecurrence

p r O ) :=P ei p(k+l) = (p(k)'.

On obtient ainsi :

p(k) = 2:n(n - 1) (n - k + 1)an Xn-k = 2: k! C~ anXn-kn2k n~k

= Lk! C:+n ak+nXn.nEN

Exemple P:= X3 - X + I, pi = 3X2 - 1, p(2) = 6X, p(3) = 6, p(4) = O.Remarques1. Soit P E OC[X).Si k > deg(P) alors p(k) =O.2. Soit kEN. L'application ( p t----t P(k) est un endomorphisme de OCX).Theoreme 1.2 (Formule de Leibniz). Soit n E N et soient P, Q E OC[XJ.Alors

h(PQ)n =~~ p(k)Q(n-k).

Demonstration Recurrence sur n.Definition 1.6 A chaque polynome P =Lanxn E O C [ X ) , on associe la fonction polynome,

nENno tee (par abus) encore P, dejinie par P: lK --+OC ou l'on a remplace X par x.

X t----tLanxnnEN

Toutes les operations sur OC[Xl s'etendent sans restriction a l'espace des fonctions polynomes.Theoreme 1.3 (Formule de Taylor). Soit P E OCX] et soit a E K Alors

p ='"' p(n) (a ) (X _ a)n~ n!nENou P(X + a) =L p(n),(a) x = .n.nEN36


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Demonstration Par la linearite de P - p(n), il suffit de montrer la formule pourP=XP, pEN. PPar le binome de Newton on a (X + at =LC;ap-n Xn.

n=OD'autre part, on a :

(XP)(n) = p(p - 1)(p - n + l)xp-n = n!C; Xp-n si p ~ n(xp)(n) = 0 si p < n.

D'ou ~ (xp)(n) (a) x: =~ en ap-n x = (X + a)p.L .J n! L .J PnEN n=O1.3.2 RacinesDefinition 1.7 Soit P E lK . [X ] et soit a E l K . .(a) On dit quea est une racine (ou un zero) de P si P(a} =O .( b ) Soit n E N*. On dit que a est une racine de multiplicite n du pohmome P siTtkE{O, ... ,n-1}, p(k)(a) =0 et p(n) (a) to.Proposition 1.4 Soit P E lK [ X ] , soit a E IK et soit n E N*. Alors a est une racine de multi-plicite n de P si ei seulement si it existe Q E II{ [X ] tel que P = (X - a)nQ et Q(a) i- O .Demonstration(=}) D' apres la formule de Taylor on a

P =LP(~?) (X - a)k =Lp(~!(a) (X - a)k =(X - atI: p(~!(a) (X - a)k-n~N ~n k~

p(n) (a )= (X - a)nQ a u Q(a) = I i- O .n .

C ~ ) S i P =(X - a)nQ avec Q(a) i- O . Alors on obtient, par recurrence sur k ::;n, que

D'ou p(k ) (a ) = 0 si k ::; n et p(n ) (a ) = n! Q(a) i- O.Exemple 1 est racine de multiplicite 2 de X4 - 4X + 3.Theoreme 1.4 (de d'Alembert}. Tout polynome non constant de C[X] possede au moins uneracine dans C.Remarque Le result at est faux par contre dans R [ X ] car X2 + 1 ne possede pas de racinereelle, Sur C, iest racine de X2 + 1.Proposition 1.5 Tout polynome P de lK [X] non nul possede au plus deg(P) racines.

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Demonstration On montre le resultat par recurence sur deg(P). Si deg(P) =0 alors P E llC*et ne possede donc pas de racine. Si deg(P) ~ 1, supposons que a soit une racine de P alorsP = (X -a)Q. Sibest une racine deP alors (b-a)Q(b) =0 d'ou b=a ou Q(b) =O. Par hypothesede recurrence Q possede au plus deg(Q) racines donc Ppossede au plus 1+ deg(Q) =deg(P)racines et le resultat est vrai pour deg(P).

2 Proprietes arithrnetiques de OCXl2.1 Division euclidienne'Pheoreme 2.1 Soient A, B E I K . [X] , B # - O. Alors il existe un unique couple (Q, R) E I K . [X]2tel que: A =EQ + R et deg(R) < deg(B).Le polsmome Q est appele le quotient et le poIynome R le reste de La division euclidienne de Apar B.DemonstrationUnscite : Si A =EQ + R =BQI + RI avec deg(R) et deg(RI) < deg(B). On a B(Q - Q1) =R, - R d'ou deg (B) + deg(Q- Qd =deg(RI - R) < deg(B) done deg(Q - Qd < 0 et Q=Qlqui entraine aussi R=RI'Existence: Si A =0 on pose Q =R :=O . Sinon on fait une recurrence sur n :=deg(A) oup :=deg(B) est fixe.Si n < p on pose Q :=0 et R:= A.Si n ~ p, on suppose le resultat vrai ppour taus les polynomes de degre :::;n-l. Soit A E I K . [ X ] dedegre n et de coefficient dominant an # - 0, soit bp lecoefficient dominant de B, bp # O . On definitAl :=A - anb;I xn-PB alors deg(AI} :::;n - 1. D'ou par l'hypothese de recurrence, il existeQ1, R, E I K . [X] tels que Al =BQl +R et deg(Rd < deg(B). Done A =B(anb;1 Xn-p+Qt}+Rravec deg(Rr) < deg(B}, et le resultat est vrai a l'ordre n.Methode pratique: On precede comme dans la division classique des entiers en eliminantun par un les termes de plus haut degre jusqu'a obtenir un reste de degre < deg(B).Soient A :=X5 + X4 + 2X3 - X2 + 1, B:= X3 + X + 1

X5 +X4 +2X3 - X2 0 +1 X3+X+10 X4 + X3 _2X2 0 +1 X2+X+1

0 X3 -3X2 -X +10 -3X2 -2X 0

Done Q =X2+X +1 et R= -3X2 -2X.

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Definition 2.1 Soient A, B E IK . [X] , B = I - O. On dit que B divise A et on note B I A, s'iZ existeQ E IK . [X] tel que A = BQ, autrement dit le resie de la division euclidienne de A par Besteqal IiO.Exemple X -I I X 3 - 2X + 1 car X 3 - 2X + 1= (X - 1)(X 2 + X-I) .2.2 Polynomes irreductibles, pgcdDefinition 2 .2 Un polynome P E K [X] est dit irreduciible (ou premier) dans OC[X] si P n'estpas constant et les seuls diviseurs de P sont les polsmomes de la forme a et aP, a E J K . * .Exemple Les polynomes de degre 1 sont irreductibles dans IK . [ X ] .Demonstration Si X - a =PQ alors 1=deg(P) + deg(Q) d'ou deg(P) = 0 ou deg(Q) = 0done P E OC*ou Q E J K . * .T 'he o rem e 2 .2 Soient A, BE IK . [X l non ious les deux nuls.(a) Il existe un unique polynome D de coefficient dominant 1tel que D divise A et B ei

~P, Q E IK[X], AP +BQ = D [Identite de Bezout].A insi tout diviseur de A et B divise D. Le pohmome D est appele le plus gmnd diviseur communde A et B et est note D :=pged(A, B).(b) A et B sont dits premiers entre eux sipgcd (A, B) =LDemonstrationUniciie : Si Dl veri fie les memes proprietes que D alors Dl I AP + BQ =D. De meme, eninversant les roles de D et Db on a D I D1. Alors Dl = UD =UVDl d'ou UV =1et U,V E JI(*."Eneomparant les coefficients dominants on a U =1 done Dl = D.Existence: L'obtention du pgcd de A et B repose sur l'algorithme d'Euclide. On suppose queB#O.Algorithme d'Euclide: On effectue la division euclidienne de A par B :

A =BQo +Ro et deg(Ro) < deg(B).Si R o =0 alors B I A et pged(A, B) =b-1B ou b est le coefficient dominant de B.Sinon on effectue la division eucIidienne de B par R o

B=ROQl + Rl et deg(Rl) < deg(Ro).On reitere l'operation tant que le reste est non nul. On obtient ainsi une suite de polynomesRa, Rl, "" R n tels que deg(Ra) > deg(R1} > .. . > deg(Rn). On a deg{Rn) < deg(B} - n. Done

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au bout d'au plus deg(B) iterations on obtient Rn = 0, soit :

R n-3 R n-2Q n-l + R n-lR n-2 - R n-l Qn + 0 Rn-l dernier reste non nul.

Par une recurrence immediate on a pour tout k E {O , ... , n - I} , Rn-l I Rk, done Rn-l diviseA et B. Par une recurrence descendante, pour tout k E {O, ... , n - 2} , il existe Uk,Vk E IK [Xltels que Rk-1Uk + RkVk =Rn-l. Cest clair pour k =n - 2. Si le resultat est vrai pour (k + 1)on a RkUk+1 + Rk+1Vk+1=Rn-l et Rk-l =RkQk+l + Rk+ld'ou Rk-l Vk+1 + Rk(Uk+l - Qk+l Vk+d =Rn- l . Done Ie resultat est vrai a l'ordre k,En remontant jusqu'a A et B on obtient AU + BV = Rn-l. Done si a-I est le coefficientdominant de Rn- l , D =aRn - l verifie les conditions du (a) d'oii l'existence.Exemple A :=X5 + X4 + 2X3 - 2X + 3 et B:= X4 + 3X3 + 7X2 + 8X + 6A =B (X - 2) +X3 + 6X2 + 8X + 15 R o :=X3 + 6X2 + 8X + 15,B =Ro(X - 3) + 17X2 + 17X + 51R o =RIl17 (X + 5) + 0

R, :=17X2 + 17X + 51,

T ' h e o r em e 2.3 (Gauss). Soient A, B, C E 1K[X] ,C = 1 = O . Alors(pgcd(B,C) =1et C lAB) =}CIA.

Demonstration Par I'identite de Bezout, ilexiste P, Q E R [Xl tels que BP + CQ =1 alorsABP + AGQ =A. Si G I AB alors C I (ABP + AGQ) done CIA.2.3 Decomposition en facteurs irreductibles2.3.1 Etude de C [ X ]Theorems 2.4(a) Tout polynome P de C [X ] se decompose sous la forme

mP = aIIX - ak)mk ,

k=l0 ' 1 1 . a E C est le coefficient dominant de Pk et les ak sont les [eueniuelles) mcines distinctesde P, de multiplicite mk.(b) Les polynomes irreductibles de C [X] sont les polynomes de degre 1.

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Demonstration(a ) On montre le result at par recurrence sur deg(P).Si deg(P) :S 0 alors P =a E C dont le resultat est vrai,Si deg(P) ;::::1 alors dapres Ie theorems de d'Alembert, P possede une racine a E C. D'ouP = (X - a)Q et on applique l'hypothese de recurrence a Q car deg(Q) = deg(P) - 1.(b) Les polyn6mes de degre 1 sont irreductibles dans C tX 1 et la decomposition du (a) montreque ce sont les seuls.Exemple Soit P :=X 4 - X3 - X + 1= X3(X -1) - (X - 1) = (X _1)(X3 - 1).X3 - 1 a exactement trois racines complexes 1,j,j2 d'ou X3 - 1= (X - l)(X - j)(X _ j2),done P = (X - 1)2(X - j)(X _ j2).Corollaire 2.1 Soient A, BEe [ X l non nuls tels que

m m

k::::l k=lm

Alors pgcd(A , B ) =IIX - ak)min(ffik,nk).k=l

2.3.2 Etude de IRX ]'I'heoreme 2.5(a ) Tout polynome P de lRX l se decompose sous la forme

m nP =aIIX - ak)ffik x II(X 2 + CtkX + i 3 k f k ,

k=l k=l

ou C t E lRest le coefficient dominant de P, les ak sont les (eventuelles) racines reelles de P, demultipliciti mk, et X2 + CtkX + 13k= (X - bk)(X - bk) O U les bk, bk sont les [eoentuelles] racinesnon reelles de PEe [X], de multipliciti nk.(b) L es polim omes irreduciibies de lR[X ] sont le s polynomes de degre 1 et les polynomes dedegre 2 sans mcines reelles.Demonstration(a) Soit a E C une racine de multiplicite m de P E lR[X ] vu comme element de C [ X l . AlorsP = (X - a)m Q ou Q E C [X] et Q(a) i= O . On a P = P = (X - a)mQ avec Q(a) = Q(a} i= O .Done a est aussi racine de multiplicite m de P. La decomposition de P dans C [X ] peut doncs'ecrire

m nP =C tII(X - ak)mk II(X - bk tk (X - bktk ,k=l k=l

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ou les ak sont les racines reelles de P et les bk, bk les racines non reelles de P (bk 1 = - bk). On apour tout k E {l, ... , n} iX - bk) (X - bk) = x2 - 2Re(bk)X + I b k l2 element de lR[X l et sansracines reelles, d'ou la decomposition.(b ) Les polynomes de degre 1 sont irreductibles. Soit X2 + aX + /3 un polynome de lR[X ] sansracines reelles, i.e. a2 - 4/3 < 0, et soient P, Q E lR[X ] tels que X 2 + aX + / 3 = PQ. On adeg(PQ) = deg(P) + deg(Q) = 2 et on ne peut avoir deg(p) = 1 sinon P et X2 + o.X + /3auraient une racine reelle. Done P E 1K*ou Q E 1K*et X2 + aX + / 3 est irreductible, Ladecomposition du (a) montre que ce sont les seuls.ExempleP :=X4 + X2 + 1 = (X2)2 + X2 + 1 = (X 2 _ j) (X 2 _ j2 )=(X - eit)(X + eit)(X + e- it)(X - e- ii) = (X - eii)(X - e- ii)(X + eit)(X + e-ii)=(X 2 - X + 1)(X2 + X + 1).3 Polynomes d'endomorphismes ou de matrices3.1 Definiton, proprietesDefinition 3.1(a ) S oien t E un IK -e.v. et u E L(E). O n definit, pour chaque poly nome P =I:kX k de IK[XJ,

kENle polsmome de uP(u) :=I:kuk E L(E) OU

kENUk :=u 0 ... 0 u et u D =IdE.,___. . .

k lois

O n note IK [ u l := {P(u) I P E lK [X]} .(b ) Soient n E N* et A E Mn(lK). O n difinit, pour chaque P = E akXk E IK [X ] , le poly nom e

kENde A

peA) :=I:kA k EMn(lK) OUnEN

A k :=A A et A D :=In .. . . _ , , _ .k jois

O n note I K [A J := {peA) I P E IK [X]} .Remarque Si A =Mat(u I B) alors pour tout P ElK [X] , peA) =Mat(P(u) I B).Proposition 3.1(a ) S oien t E u n IK -e.v . et u E LeE). A lo r s

(i) 'V A E J K , 'V P, QE J K [ X ] , (A P + Q)(u) =AP(u ) =Q(u) .(ii) 'V P, Q E IK [X ], (PQ)(u) = P(u) 0Q(u) = Q(u) 0 P(u) .

C es deux propriete font de (O C[u]),+, . ,0) une sous-algebr e com mutative de L(E).42


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(b) Boient n E N* et A E Mn(lK}. Alors on a l'analogue de (i), (ii) avec A et (IK[AL +,', x) estune sous-olqebre commutative de Mn (K).

3.2 Polynornes annulateurs

Definition 3.2 Soit A E Mn{IK). O n appelle polynome annulateur de A tout P E lK . [X] \ {O Jtel que peA) =O .ExempleSoit A = (: :) E M,(IK). Alors Ie polynrne X' - (a + d)X + (ad - be) est un polynomeannulateur de A.Proposition 3 .2 Soit A E Mn{lK). Alors il existe un unique pohmome ITA E O C [X ] de coefficientdominant 1 tel que V P E O C [ X ] , (P(A) =0=} TIA I P).Le polsmome IT A est appele le polynome minimal de A et deg{IIA) 2: 1.Demonstration Soit A E Mn(lK.). La famille (1, A, ... , An2) est de cardinal n2 + 1 >dim{Mn(OC)) = n2, done est lire. Alors il existe Po E lK .n2 [ X } \ {O J tel que Po{A) = O. AlorsA := {P E O C [X] I peA ) =O} n'est pas reduit a {O J et ilexiste IT A E A\ {O J de degre minimaldans A\ {O } et de coefficient dominant 1 . Soit PEA, on effectue la division euelidienne de P parIIA : P =I IAQ+R avec deg(R) < deg(IIA)' On a peA) =I IA(A)Q(A)+R(A) d'ou R(A ) =0 etREA. Done par minimalite du degre de IIA on a forcement R =0, d'ou A ={ITAQ, Q E IK[X]}.Si 1r est un autre polynome minimal alors II I IIA et IT A I II et les coeffieents dominants de II etIIA sont egaux a 1d'ou II =IT A qui est done unique.Par definition IIA n'est pa s constant done deg{ITA)2: 1.Corollaire 3.1 Soit A E Mn(IK). Alors dim(1K[ A J ) =deg(IIA)'

pDemonstration On note IIA :=E akXk , p:= deg(TIA)' Soit P E IK[X] , P =I IAQ+R aveck=Odeg(R) < deg(IIA) =p, d'ou peA) = R(A) E Vect(I, A, .. " AP-l) et O C [A ] C Vect(1, A, ... ,AP-l)

done dim(IK.[ A J ) ~ p. p-l p-lSoient 00, ... ,Op-l E IK.els que E O:kAk =O . Alors P:= L: O:kXk est un polynome annula-k=O k=Oteur de A avec deg(P) < deg(IIA) d'ou P =0 et 0:0 = ... = O:p-l = O . Done (1, A, ... ,AP-I)

est libre et dim(1K[ A J ) =p.

3.3 Applications3.3.1 Calcul de la puissance kieme d'une matriceSoit A E Mn{IK.) et soit P un polynome annulateur de A. Soit kEN. On effeete la divisioneuclidienne de x par P : x =PQk + Rk avee deg(Rk} < deg(P).

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Remarque L'interet est de trouver Iepolyn6me annulateur dedegreminimal done lepolyn6meminimal.

3.3.2 Calcul de l'inverse d'une matrice matriceProposition 3.3 Soit A EMn(1K.). Alors les conditions suivantes sont equiuolenies(i) A est inversible,(ii) I IA (O) # 0,(iii) 3P E lK . [X], P{A) =0 et P (O ) # 0,Dans ce cas A-I ElK . [A].Demonstration(i) ::} (ii) Par contraposee, Si I IA (O) = 0 alors IT A = = XQ, Q E IK . [X ] d'ou ITA(A) = 0 =AQ(A) = O.Si A inversible alors A-I AQ(A) = 0 et Q(A) = 0 contradiction avec IT A polynomeminimal. Done A n'est pas inversible.(ii) ::} (iii) evident.(iii) ::} (i) P = P (O ) + XQ d'oii P(A) = 0 = P(O) In + AQ{A). Done A est inversible etA-I = -P(O)-IQ(A) ElK . [ A ] .

Documents

Algèbre 1 - Logique et théorie des ensembles, espaces vectoriels, applications linéaires et matrices, polynômes