On fixe Xp , " ,
et xz , réels
On prendra 3 points :( ah , yn ) ( Ka , ya ) ( % , yz )
1) Déterminer Lr de degré n --2 vérifiant : • Lilah ) = 1
{ . Le lac , 1=0 et 41%1=0
Rem : Lr est le premier polynôme élémentaire de
Lagrange pour ( ah , ah , " z ) 3
i --1 IT ( x - xj )
~
!!! ""
j # 1
=
0
-xz ) j =L
second et troisième polynômes élémentaires de
Lagrange ( voir plus loin )
Montrons que Lr est unique Méthode 1)
Trouver 4 de degré 2 tel qu' il passe par les 3 points (xp , 1) ( da
, O ) ( dis
"
÷÷÷ .
Rem : système FA = Y
il suffit de montrer que
ses coefficients ao , an.az sont uniques ,
c'est à dire montrer
det (F) = 1 as ni 2
1 alz dlz
1 xz alj
= 1 ai -up all - x? = 1 0 0
1 Xz -74 XÎ - alplz 1 24-74 XÎ - Xyz 1 dlz -xp 24 - al , alz 1 Hz - Xp n'z - xp xz
Cz c- Cz - 244
"3-74 " z (x , - × , )
- lavallois - " il 1 ! ¥1 = (m -xillxz - m ) ( as - xz ) = T
1 Cjçz ( " j -Ki ) (voir cours )
det (F) f0 car xp # xz , " , # xz et alz # xz .
donc . . .
Rem : On trouve bien le seul polynôme 4 , de
degré 2 , tel
.
2) i. 2 : second polynôme élémentaire de Lagrange i. 3 : 3ème " " " "
i. 2 Lz de degré 2 tel que • Le local -_ 1 ( i -_ j )
• lzlx , ) = 0 et la lxz ) :O
⇒ La (a) = la - " i ) (x - xz )
(x2 - Il , ) (x2 - " z )
i :3 Lz de degré 2 tel que
: . (x , 1=1 ( i - j ) • (x , 1=0 et (x2 ) = 0
⇒ (x ) =
l " - 4) (x -%
(24-24) ( Hz - " z )
On cherche à déduire la forme de P de degré ne 2 tel
que Plan ) = yi , Platz ! -
( P passe par ( di , y , ) , lxz , ya ) , et la } , yz ) ) .
Plait = y , la loi ) : . de degré 2
( étape 1- pan . Palm ) - yr4 ) : yr
construire P ) . plxz ) = 0
( étape 2) . Pzlx . ) : yrlr lait tyzlzlah ) = Y
= Y ,
• Pz (x2 ) = y , Lila a) t yzlzlxz ) = y a y ¥
• Palais ) = y , 4 Hz ) + yzlzlxz ) : 0 un -
° 0
Conclusion : le polynôme P , combinaison linéaire des
3 polynômes élémentaires de Lagrange Li
, i tkt , -2,3 )
i C- { 1,434 ,
, 43J
• Calculer les ntl polynômes Li tels
que • degré de Li est n
• Lilli ) = 1 ( i : j ) • Li lxj ) = 0 ( i # j )
• Déterminer P , tel que Phil = yi ,
i Ell , _ . .
ntt } ntl
F
⇒ det IF ) # 0
=
(§ ,
?
Lagrange de Rz (x)
Application : pour n =3 avec l' exemple 3 de l' exercice 1
X = ( 0,42 , 3) Y = ( O, 1,4 , 9)
Méthode 1 : Pbc ) = x ?
Calculer Lr de degrés vérifiant :
( id ) . ( xp ) = 1 (
Laz ) :O
(4) = 0
( ah -m ) ( ah -xzllxr -xu )
pour Xp :O ,
⇒ (x ) =
- f- ( x - il la - 2) (x - 3) = - f- ( x ? - boiteux - 6)
L (x ) , l " - 4) la - s' 3) (x -xu )
2 = f- xlx - 2) lac -3 )
(x , -4) ( xz -xzllxz -xu )
= ? ( x ? - toit Ox)
3 = - tzxlx - 1) (x - z )
G- 4) (x, - xallxs - xy )
= - { (N - lui +3N
il (a) =
l " - 4) la - s'a) (x -xz ) 4 = f- x ( x - t ) ( x - 2)
f4 - 4) ("u - x2 ) ( alu - xz )
= f- ( x ? - 3N t 2x)
On construit alors le polynôme d' interpolation :
P -
yr 4 + ya la tyz + y a lu
⇒ P (x ) = 04 (x ) t 1 La loi ) t 4 Lz (x ) t 9444
= x ' ( tous calculs faits . . . ) ( unicité de P )
Rem : regrouper les termes
par puissance de x
+ 0 X ?
à 1 ppz [ ×)
: X N 1
, × , × :X
, . "
"" ¥15"
Rem : Mq ( Lr , le , , lu ) est une base de Rz [ X]
Il suffit de mq ( Lilian , z ,"}
est libre car
elle contient 4 éléments , et que dim (Rs LM ) = 4 .
M 9 ( Lilith
est libre .
Cette famille est libre ⇐ si 7 a , b , c , d ER /
alr t b Lz + clz t d4 = OR ,Êïïï:"
alr t bla t clz t d tu = OR , [ x)
(⇒ Vx ER alr (x ) + blzlxl + clzlxl + dlulx ) = 0
en particulier pour • al = x ,
alr la , ) + blzlx , ) tclzlx , tt d lu la il = 0 me - un me
1 O O O
⇒ a = 0
• x = slz ah lxz ) t b Lz Laz ) t clzlxz ) t dln ( x2 ) : O - - - -
O 1 0 0
X = 2L z = ) C = 0 Similairement : { x = du =) d :O
Donc nécessairement ( a , b , c , d) = ( O ,
0 , 0,0)
et ( Lr , le
, , 4) est libre .
C ' est donc une base de Rz ( x) puisque cette famille contient 4 vecteurs de M
, CA