Analogie Vibroacoustique Pour La Modélisation Du Bruit d’Origine Aérodynamique SERRE 2015

7/24/2019 Analogie Vibroacoustique Pour La Modlisation Du Bruit dOrigine Arodynamique SERRE 2015

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Contribution au developpement dune analogie

vibroacoustique pour la modelisation du bruit dorigine

aerodynamique

Ronan Serre

To cite this version:

Ronan Serre. Contribution au developpement dune analogie vibroacoustique pour lamodelisation du bruit dorigine aerodynamique. Acoustics. Ecole nationale superieure dartset metiers - ENSAM, 2014. French. .

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Submitted on 18 Mar 2015

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Arts et Mtiers ParisTech - Centre de ParisLaboratoire DynFluid

cole doctorale n 432 :

prsente et soutenue publiquement par

Ronan SERR

le 17 dcembre 2014

VIBROACOUSTIQU

ARODYNAMIQUE

Doctorat ParisTech

T H S Epour obtenir le grade de docteur dlivr par

Acoustique

Directeur de thse : Jean-Christophe ROBINETCo-encadrement de la thse : Florent MARGNAT

T

H

SE

JuryM. Yves AURGAN, Directeur de recherche CNRS, LAUM, Universit du Maine, Le Mans PrsidentM. Rgis MARCHIANO, Professeur, IJRA, Universit Pierre et Marie Curie, Paris RapporteurM. Jean-Philippe BRAZIER, Ingnieur de recherche, ONERA DMAE, Toulouse RapporteurM. Yves GERVAIS, Professeur, Institut Pprime, Universit de Poitiers, Poitiers ExaminateurM. Jean-Christophe ROBINET, Professeur, DynFluid, Arts et Mtiers ParisTech, Paris ExaminateurM. Florent MARGNAT, Matre de confrences, Institut Pprime, Universit de Poitiers, Poitiers Examinateur


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Personne ne peut vous remplacer sur le chemin de la Connaissance.

Il y a forcment un moment o il faut y aller soimme,

aussi difficile que cela paraisse.

J. Krishnamurti


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Remerciements

Je voudrais remercier en premier lieu Alain Lerat pour mavoir permis deffectuerma thse dans son laboratoire lorsquil en tait le directeur en octobre 2011, FaridBakir qui en est le directeur actuel, ainsi que les personnes de lcole doctorale pourleur aide et pour leur accompagnement des doctorants. Merci Anthony pour le

soutien informatique.

Je remercie tous les collgues du laboratoire DynFluid. La cohsion dune entitsi riche de diversit dopinions et de caractres est source dadmiration et de sympa-thie. Les joutes oratoires et les discussions passionnes resteront de bons souvenirs.Pour cette ambiance familiale, je remercie les permanents du laboratoire. Merci Xavier Gloerfelt pour avoir toujours accept le partage de son immense connaissancede laroacoustique.Pour avoir t l mes dbuts et mavoir guid sur le chemin, je remercie les an-ciens; ceuxl mmes que lon a vu soutenir en rvant au jour o lon se battra

leur place : Rocio, Karim, Guillaume, Jrmy, Song, Pierre-Yves et Junior. Je leursouhaite une excellente russite dans ce quils font.Je remercie les nouveaux pour leur enthousiasme et leur gentillesse : Corentin (tuas oubli quelque chose), Elie et Miloud ; et lquipe italienne : Elio, Luca, Marioet Mirco. Je suis sr quils feront des tincelles, quils dfenderont brillamment leurthse et que leur sjour au laboratoire sera fait de bons moments.Je remercie galement les camarades croiss ou rencontrs dans lquipe d ct :Michael, Sofiane, Florent, Charles et Benjamin. Ben, tu peux encore changer dethse. Aprs tout, on mrite tous une troisime chance ! Je remercie aussi Ivan pourles manip surannes mais toujours au top.Je remercie Ignacio et Ifanila, les amis rencontrs en confrence.

Je remercie les compagnons daventure. Grgoire, tu seras peuttre prsident oumatre du monde un jour alors, on reste copain. Leslie, jespre que tu arriveras parler franais, quand tu auras laiss tomber ton accent plein de Soleil. Matthieu,je te souhaite de trouver ton petit coin de paradis, entre Nantes et Macao. Florian,jespre que tu trouveras ce aprs quoi tu cours, ne seraitce quun pot de mayon-naise ou une gorge de bire. Jaimerais que tu gardes lesprit cette rponse quedonnait Churchill lorsquon lui demandait le secret de sa longvit : Le sport ! Jenen fais jamais . Je sais que tu as toujours raison, mais il faut ty faire, le sport,cest mauvais pour la sant.

Je remercie aussi les stagiaires passs au laboratoire et notamment Ronan etFlorent, ainsi que les tudiants que jai pu avoir en cours ou en tutorat. La pdago-gie, a sapprend et a prend du temps. Les tudiants vous renvoient une image de


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vousmme et de la connaissance que vous prtendez transmettre.

Une petite pense pour les copains de fac. Ceux avec qui je me suis dbattu pour

ne pas me noyer dans les cours amiants de Jussieu. Can, tu es notre matre tous.Mejdi, tu as bascul dans le mauvais ct de la mcanique, l o il ny a rien quelon peut appeler un coulement. On peut dire que nous sommes all au bout, pasvrai camarade ? Cyril, Gaya, vous y tes presque, courage ! Je remercie les gadzartsqui ont partags nos amphis. Marko, un petitraki? Gari, tu as choisi daller l o selve le Soleil, jespre que tu ne seras pasdsorient. Tu vas dans la bonne direction.

Je remercie le groupe Guillemet, la soupape en cuivre et les amis voyageurs,Guillaume et milien.

Je remercie les vieux potes pour leur soutien, leur patience et leur comprhen-

sion; quils soient dans le coin, dans une autre rgion ou dans un autre pays.

Je remercie ma famille pour les mmes raisons. Elle a t un pilier solide en denombreuses occasions.

Je remercie mes encadrants. JeanChristophe, merci pour ta pdagogie et tacomprhension. La rigueur et lesprit scientifique qui taniment font chaud au cur.Florent, ta vision des choses et ton humanisme mont donn beaucoup dnergie. Tucrois en ce que tu fais et jai apprci y croire avec toi. Je suis heureux que nousayons dbroussaill ensemble le terrain de lanalogie vibroacoustique.

Enfin, je remercie les membres du jury pour avoir accept de juger mon travail etparticulirement JeanPhilippe Brazier et Rgis Marchiano pour en avoir t rap-porteurs.

Dune manire gnrale, ces remerciements sont la condensation de mes pensesorientes vers tous ceux croiss sur la route, qui ont fait de moi la personne que jesuis aujourdhui.

Alors, un tout grand merci.


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Table des matires

Avantpropos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Problmatique scientifique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.1Concept donde acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.1.1Lquation donde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.1.2Caractrisation de laspect acoustique dune onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 91.1.3Le bruit du vent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2Excitation des ondes acoustiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.1Notion de terme source. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.2Analogies acoustiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.3Conditions aux limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.2.4Formalisme intgral et distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3Trois symboles aroacoustiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.3.1La paire de tourbillons corotatifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.3.2Vibration du domaine fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3.3Efficacit dune excitation airair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.4Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2Lnergie acoustique et son transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.1 Problmatique de lnergie acoustique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2 Dfinition usuelle de lnergie acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.1Tentative de description lordre deux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2.2Prise en compte dun coulement en mouvement uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2.3Expressions pour le potentiel des vitesses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3Lapproche eulrienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4Lapproche dissipative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.4.1Thorie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.4.2Le rle des fluctuations de vorticit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.4.3Un thorme exact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.4.4Un cas dapplication numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.4.5Enthalpie ou exergie ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.4.6Premire unification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.5Lapproche lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.6Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3Formalismes dexcitation surfacique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.1Discussion de lapproche de Lighthill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.2 Les mthodes dextrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.2.1Le formalisme de Ffowcs Williams et Hawkings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 83.2.2Le formalisme de Kirchhoff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81


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3.3Distributions sur une surface plane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.3.1Surface en sollicitation de pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.3.2Surface en sollicitation de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.3.3Formulation de Farassat et Myers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.4Applications du formalisme de Farassat et Myers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.4.1La sphre pulsante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.4.2 Extrapolation dune onde acoustique sphrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.4.3Le piston vibrant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.4.4Remarque sur lvaluation aux temps retards. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4

3.5Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964 Rponse acoustique une excitation arodynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.1Discussion prliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.2Sollicitation par une onde de pression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.2.1tude analytique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.2.2Influence de la vitesse de phase et de la modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.3Extension un milieu propagatif en mouvement uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.3.1tude analytique en milieu convect. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.3.2Influence de la vitesse de phase et de la modulation avec convection . . . . . . . . . . . . . 1 1 6

4.4Sollicitation par vitesse normale de vibration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 94.4.1tude analytique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.4.2Influence de la vitesse de phase et de la modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.5Extension un milieu propagatif en mouvement uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.5.1tude analytique en milieu convect. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.5.2Influence de la vitesse de phase et de la modulation avec convection . . . . . . . . . . . . . 1 2 7

4.6Rsum synthse

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295Modlisation vibroacoustique du rayonnement dune couche de mlange. . . . . . 1355.1Rayonnement acoustique dune couche de mlange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.1.1Discussion prliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 65.1.2Simulation acoustique directe de la couche de mlange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.1.3Implantation du formalisme intgral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1385.1.4Influence de la position de la surface de contrle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 3

5.2Lanalogie de Liepmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1445.2.1Concept dpaisseur de dplacement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1445.2.2 Sollicitation de lacoustique par lpaisseur de dplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 5

5.3Application la couche de mlange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.3.1Adaptation du concept dpaisseur de dplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 75.3.2Intgration numrique de lpaisseur de dplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 8

5.4Sollicition par ligne de courant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 35.5Correction de limpdance de rayonnement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.6Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 9Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163ATransformation en coordonnes curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 3BSolutions analytiques des surfaces dformables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 7CMthode de la phase stationnaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181DMthode de Simpson en maillage irrgulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 5ERappel des principales fonctions de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 7


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Avantpropos

And those who were seen dancing were thought to be insaneby those who could not hear the music.

F. Nietzsche

aphorisme de Nietzsche choisi pour figurer en exergue de cet avantpropos est une invitation au voyage. Voyage vers une dmarche scientifiqueissue de lcoute dune musique intrieure. Toute musique tant en substance

une vibration, elle peut imprimer un mouvement. Cest la transmission dune nergiedune partie une autre. Ce mmoire se veut limage du sujet quil tudie, propagerce qui est lesprit dorigine de notre dmarche ; et pour que lon comprenne pourquoilon danse, faire entendre la musique. Cette digression initiale rappelle que ce quela science nomme acoustique a une forte dimension irrationnelle dans limaginaire

collectif faisant appel aux sens. La musique, la parole sont une partie intgrantede toutes les cultures humaines. Mais le son est un objet dtudes entirementrationnel, clairement dfini et se conformant prcisment aux lois rationnelles de lamcanique [54]. Et cest justement parce que la description du phnomne sonoreest charge de sens que lacoustique est une discipline trs attirante; elle voquela transmission de linformation par la parole et le plaisir musical. Le processus dedescription rationnelle de lacoustique en tant que phnomne physique observablea dbut avec la Renaissance et la physique classique moderne. Le son et le bruitau sens large est une vibration des particules du milieu environnant. Lorsquunestructure est en vibration, elle imprime son mouvement aux particules voisines.Selon leur capacit de raction cette sollicitation, ces particules transmettent

leur tour et propagent linformation quelles ont reue. Que la structure en vibrationsoit un corps solide ou un coulement fluide, le milieu rpond. Dune manire et enproportion diffrentes, mais il rpond toujours. Le canal de communication rel dela structure ses particules adjacentes est encore un sujet ouvert. Et parce que lesgrandes dcouvertes ont moins t accompagnes dun Eurka ! que dun tiens,cest bizarre . . . , cest le mystre entourant le transfert dnergie entre une certaineexcitation et son rayonnement acoustique qui sert de contexte ce mmoire.

Si une premire question concerne le transfert dnergie entre larodynamique etlacoustique, une seconde question se pose sur la nature du phnomne propre exci-ter le champ acoustique, celui qui dtermine ce transfert dnergie. Laroacoustique

est la discipline scientifique dont lune des tches est dtudier le cas dexcitationsapportes par le milieu arodynamique. Tout le monde a pu remarquer quel pointun avion en vol ou un train en marche font du bruit. Le bruit occasionn par les


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transports est un enjeu socital et environnemental. Cest galement un dfi scien-tifique. Linteraction de lcoulement arodynamique avec des structures comme lestrains datterrissage [96] ou les cavits de pantographe [122] est une puissante source

sonore. Grce aux avances en mcanique des fluides, la topologie de lcoulementpeut tre connue. Mais laroacousticien hrite de la tche difficile de faire le tri danscette topologie bien souvent complexe. Car toutes les structures en volution dansun coulement arodynamique ne participent pas au rayonnement acoustique. Ainsi,malgr diverses ressources issues de lacoustique ou de la mcanique des fluides, onverra que les choses deviennent floues lorsquon cherche savoir exactement la naturedu phnomne propre exciter le milieu acoustique. Si laroacoustique dispose denombreux moyens dont le calcul direct ou les analogies pour prdire le rayon-nement sonore avec prcision, linvestissement ncessaire en de telles simulationsnumriques peut restreindre lutilisation de ces dernires. Plus dattention mritedtre porte du ct de la modlisation. Les calculs directs peuvent permettre de

constituer une base de donnes sur des cas dcoulements varis. En sappuyant surde tels cas, on peut en faire lanalyse. Une analyse pour esquisser une meilleure mo-dlisation. En prenant un cas bien document on peut effectuer ce tri, dcomposerles phnomnes et tester leur impact, leur rle dans le processus acoustique. Le rlede leur forme, de leur mouvement ou mme de leur nature.

Reprenons en exemple le bruit dun avion, dont le contrle et la suppression fontactuellement lobjet de beaucoup dtudes, tant dans les laboratoires de recherchesuniversitaires que dans les bureaux dtudes industriels. Beaucoup de phnomnesarodynamiques participent la gnration du bruit dun avion. latterrissage,le bruit est majoritairement issu des trains datterrissage ou des dispositifs de sus-

tentation. Mais au dcollage ou lorsque lavion est en phase de croisire, le soncaractristique est ce quon appelle le bruit de jet. Lorsque lair chaud sort pro-puls des racteurs, linteraction avec lair ambiant entrane un coulement cisaill.Pour simplifier lcoulement de jet, on le reprsente par une couche de mlange,o deux coulements parallles de diffrentes vitesses sont en contact. Il se dve-loppe linterface des structures cohrentes tourbillonnaires. Linteraction de cesstructures entre elles et leur appariement est aujourdhui une source acoustiqueavre [58, 85, 118, 130]. La prdominance de ce phnomne sur dautres sourcesacoustiques est suggre[9,103], comme lillustre la figure1. Elle reprsente les fluc-tuations de pression et lactivit tourbillonnaire dans un coulement de couche demlange daprs les calculs de Moser et al.[117]. En voyant sur la figure 1 limpor-

tance que semble avoir lappariement tourbillonnaire sur la production acoustique,on peut se demander de manire plus formelle quelles sont les caractristiques duncoulement qui entrent en jeu pour la production acoustique et pilotent le tauxdnergie quil transmet lacoustique.

Ce sont ces questions qui nous accompagneront tout au long de ces pages. Pour yrpondre, nous adoptons une dmarche que lon veut schmatiser par la figure2,quipeut se dcomposer en plusieurs problmatiques lmentaires. Cest une approcheoriginale et prospective dans un but de modlisation. La problmatique du trans-fert dnergie entre larodynamique et lacoustique peut tre suivie en une seuleapproche, si les mcanismes de ce transfert peuvent tre identifis et dfinis sans

ambigut comme on le reprsente par le bloc suprieur. Ensuite, nous allons dcom-poser la partie dynamique de lcoulement par une tude paramtrique sur diffrentsphnomnes excitateurs, pour mettre en vidence le critre pour la transmission de

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Figure 1 Reprsentation dun coulement de couche de mlange daprs une base de donnesissue des calculs de Moser et al.[117]. Niveaux de pression fluctuante et vorticit (au centre).

lnergie acoustique. Autrement dit, suivre la voie infrieure de la figure2, cest re-garder comment ragit le milieu acoustique un certain type de sollicitation commele montre le bloc infrieur droit. Une tentative de modlisation est ensuite mene

sur un cas applicatif pour rduire lexcitation arodynamique et cette rflexion estreprsente par le bloc infrieur gauche. On peut alors regarder dans un coulementsi la pression ou la cinmatique (la vitesse) expriment des caractristiques identifiespar ltude paramtrique comme efficaces nergtiquement. Si cest le cas et si ontrouve une topologie qui pilote le rayonnement acoustique, on peut construire uneanalogie avec la surface que forme lexcitation. Ce serait une analogie pour dresserune quivalence entre les structures de lcoulement et la vibration dune surface.Ce serait une analogie vibroacoustique.

Cet avantpropos nous a permis de prsenter dans un cadre gnral la rflexionqui est mene dans ce document. Elle sarticule autour de trois axes de recherche :lnergie acoustique, les moyens dexcitation surfacique et la rponse du milieu propa-

gatif, et la modlisation de la rduction du phnomne arodynamique une surfacevibrante. Ces deux derniers axes ont largement profit du savoirfaire disponible aulaboratoire o sest droule la thse, notamment par laccs aux bases de donnes desimulations numriques directes (coulement de tourbillons corotatifs et de couchede mlange) et par la connaissance approfondie des membres de lquipe sur lesmthodes intgrales. Ces trois axes principaux ont t organiss en cinq chapitres.

Organisation du mmoire

Le chapitre 1 replace la problmatique gnrale de la thse dans son contexte

scientifique. partir dune dfinition claire des caractristiques premires du ph-nomne acoustique, laccent est mis sur les difficults encore rencontres. Un de cesproblmes non rsolus concerne la nature du phnomne excitateur. Mais londe qui

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nergie aro-

dynamique

nergie

acoustique

Mcanismesfondamentaux

de transfert

Dynamique delcoulement

(champ proche)

Rayonnement(champ libreou convect)

Rduction

surfacique

Analogie vibroacoustique

Figure2 Schmatisation de la problmatique de la thse.

en rsulte se propage et elle a besoin dune nergie pour cela (malgr de trs faiblesordres de grandeurs [54]). Cest la raison pour laquelle on sintresse lorigine delnergie dont le phnomne salimente pour rayonner, avant de se demander com-ment le milieu acoustique ragit ou comment sa rponse peut tre prdite par lecalcul.

Le chapitre2recherche dans la littrature disponible les notions dnergie acous-tique et de son transport. On verra comment elles ont t abordes, et quels sont lesrsultats les plus marquants. Nous verrons que trois grandes tendances peuvent sedgager. Globalement, le sujet est foisonnant. Si certains outils sont trs utiliss, nousverrons quil y a presque autant dnergies acoustiques quil y a eu dauteurs pouren parler. Et de nouvelles pierres sont rgulirement ajoutes ldifice [15,140]. Cechapitre est reprsent par le bloc suprieur sur la figure2.

Le chapitre3 dtaille certains formalismes de calcul acoustique qui auront t

voqus au chapitre1. Si la thorie de Lighthill est adapte un rayonnement enchamp libre (sans prsence de parois), elle a permis douvrir la voie en dfinis-sant un cadre gnral. Certains formalismes tendus depuis lquation de Lighthillcomme la formulation de Ffowcs Williams et Hawkings ou depuis lquation dondedans la thorie des fonctions de Green comme la formulation de Kirchhoff peuventpermettre de traiter linformation sur une surface. partir de cette dernire, unecondition sur cette surface permet davoir recours la mthode des images. Onaboutit lintgrale de Kirchhoff ou lintgrale de Rayleigh et cela constitue desformalismes dexcitation surfacique. Une extension du formalisme de Kirchhoff estpropose par Farassat et Myers[52] pour une surface en mouvement et dformable,dcrite par ses coordonnes curvilignes. Cette extension est applique sur des casacadmiques.

Ces formalismes sont utiliss au chapitre 4 comme support pour apporter une

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excitation (et donc fournir de lnergie) au milieu acoustique. Et cest la maniredont ce milieu ragit qui est quantifie. Pour cela, deux critres sont mis en place.Lun porte sur la direction spatiale privilgie du rayonnement et lautre sur le

taux dnergie quil rcupre de lexcitation pour pouvoir sexprimer, dfinissantlefficacit du processus. Le milieu de propagation est dabord pris au repos, avantque ltude soit tendue au cas o il est sujet un mouvement uniforme. Ces deuxchapitres sont reprsents par le bloc infrieur de droite sur la figure2.

Le chapitre 5 applique ces considrations dexcitation surfacique dans un cas(relativement) simple dcoulement bien document. Les mthodes intgrales sontmises en uvre et compares aux bases de donnes disponibles [103,117]. Une despremires tentatives dexcitation surfacique, porte par Liepmann[89] est revisite,tendue la convection et applique. Cette formulation permet la rduction des fluc-tuations arodynamiques sur une surface pour laborer un modle vibroacoustique.Une analyse critique est mene et des solutions damliorations sont proposes. Ce

dernier chapitre reprsente le bloc infrieur de gauche sur la figure 2.Finalement et de manire tout fait classique, une rflexion de synthse et de

perspectives referme ce document.

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Chapitre 1

Problmatique scientifique

Sachez que les arbres et le vent se dlectent

de la mlodie quensemble ils enfantent. P. Rabhi

Sommaire1.1 Concept donde acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.1.1Lquation donde . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 18

1.1.2Caractrisation de laspect acoustique dune onde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 19

1.1.3Le bruit du vent .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 19

1.2 Excitation des ondes acoustiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.1Notion de terme source . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 201.2.2Analogies acoustiques . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 21

1.2.3Conditions aux limites . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 23

1.2.4Formalisme intgral et distributions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 23

1.3Trois symboles aroacoustiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3.1La paire de tourbillons corotatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3.2Vibration du domaine fluide . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 26

1.3.3Efficacit dune excitation airair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 28

1.4 Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Plutt quun expos historique de laroacoustique, nous prsentons ici les faitsqui symbolisent pour nous la situation actuelle de la discipline et qui ont motiv ladfinition et lorientation de ce sujet de recherche. Ce chapitre tient donc davantagede ltat de lart au sens fort que de la synthse bibliographique ou de lexpospdagogique des connaissances disponibles.

Comme sujet interdisciplinaire, laroacoustique fait le lien entre la mcaniquedes fluides et lacoustique. Lcoulement tant manifestement la cause pour nepas dire la source, ce dernier concept ntant pas aussi simple quil ny parait delonde sonore, il est naturel de considrer le problme dabord depuis la mcanique

des fluides en cherchant extraire le son du vent. Nous prenons, dans ce travail,le parti de considrer le problme fondamentalement depuis sa vision acoustique. Ilest pris acte de ce que lexcitation est apporte par lcoulement, mais nos efforts


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1.1 Concept donde acoustique

se porteront davantage sur les proprits du milieu acoustique de ragir tel ou teltype de sollicitation. Les deux premires parties explorent en dtail les propritsdu mouvement acoustique et son excitation. Dans une troisime partie, trois phno-

mnes symbolisant la problmatique sont dcrits : le bruit des tourbillons corotatifs,la dcroissance radiale des fluctuations de pression dans un jet et limpdance derayonnement dun tuyau ouvert. Une synthse permet finalement de dgager la pro-blmatique de la thse et les questions auxquelles elle tente de rpondre.


Cest une proprit des milieux continus que de soutenir la propagation dondesde compressibilit. Dans le cas des fluides, les dformations caractre acoustiquepeuvent tre approches par un jeu dquations, bien quen pratique elles soient

difficiles isoler des autres types de dformation.

1.1.1 Lquation donde

En ngligeant la dissipation visqueuse, en supposant une volution isentropiqueet en labsence de gradients et de mouvement moyens, les petites perturbations depression, de masse volumique ou du potentiel de vitesse dun gaz parfait, reprsentspar un scalaire , sont gouvernes par une quation donde [23] :

2

x2i 1

c22

t2 = = 0

dont les solutions lmentaires sont du type f(t r/c) + g(t + r/c). Le paramtre c,appel clrit des ondes acoustiques, est une proprit du fluide considr et dpendde la temprature. Cest une vitesse de phase, cestdire de propagation.

Avec le formalisme de Fourier, le phnomne ondulatoire quest lacoustique estsimple dcrire par une relation de proportionnalit entre frquences et longueursdonde. La solution gnrale cidessus se mettra plutt sous la forme exp(itikx).La norme k du vecteur donde||k|| et la frquence sont alors relies par unerelation de dispersion qui est une consquence de lquation donde :k = /c. Ainsi,on pourrait dire quune onde est acoustique si son nombre donde est gal sapulsation divise par la clrit du son.

Lorsque le milieu nest plus au repos mais se trouve en mouvement moyen uni-forme et subsonique, la convection des ondes se compose avec leur propagation. Lavitesse de phase est alors modifie par la convection travers la formule ceff =c+ Uc cos o est langle entre la direction de propagation acoustique et ladirection de lcoulement moyen (face au vent, londe acoustique se propage c Ucen valeur absolue). On peut ainsi dcrire le mouvement laide dune quation desondes convecte [67] :

2

x2i 1

c2D2

Dt2 = 0 avec

D

Dt=

t+ui

xi

On peut donc quand mme utiliser une caractrisation similaire au cas sans coule-ment en disant que les ondes acoustiques sont les seules pouvoir remonter contrele courant principal.

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1.1.2 Caractrisation de laspect acoustique dune onde

En milieu au repos, le caractre acoustique dun mouvement peut tre dfini avecce formalisme dquation donde. En prsence dcoulement moyen, dit porteur ,lorsquil est uniforme, la dfinition reste relativement aise, mais ncessite dintro-duire la notion de mouvement potentiel. Le mouvement acoustique est alors celuiqui est associ la partie du champ de vitesse qui drive dun potentiel scalaire[41].La partie complmentaire, qui drive dun potentiel vecteur, fait lobjet dune exci-tation disjointe, et, au premier ordre, les deux types de mouvement ninteragissentpas [35].

Lorsque lcoulement porteur nest plus uniforme, par exemple en prsence de ci-saillement, la sparation nest plus possible de manire aussi directe [49]. Il faut alorsfaire intervenir des considrations sur les diffrentes chelles en prsence (longueurdonde, paisseur de cisaillement, etc.).

Le phnomne de propagation est parfois invoqu en creux, quand, de manireimage, on indique que le son est ce qui est peru par loreille ou par un microphone.La fibre mcanicienne des fluides de lacousticien introduit alors la notion de pseudoson pour caractriser les mouvements capts par loreille (autrement dit : toutes lesfluctuations de pression) sachant bien que larodynamique instationnaire, et plus g-nralement la turbulence, saccompagnent de fluctuations de pression quon mesure laide de microphones notamment, mais qui ne prsentent pas les caractristiquespropagatives dune onde acoustique.

1.1.3 Le bruit du vent

Le fil qui chante

Cest un fait facile exprimenter que la plupart des mouvements de fluidessuffisamment rapides instationnaires font du bruiten brassant lair, pour parlercrument. L o on ne peroit pas le vent, on entend quand mme quelque chose.Ceci nous permet de caractriser lacoustique comme une perturbation capable decontaminer le milieu continu par propagation sur une distance significativement pluslongue que ltendue de la rgion cisaille, y compris dans les directions qui ne sontpas celles de lcoulement principal.

travers une telle dfinition, on vient subtilement de passer dun discours pu-rement descriptif (quation donde, mouvement potentiel) de londe acoustique,

un discours explicatif, en condition ncessaire tout au moins : londe acoustique r-sulte ncessairementdun phnomne capable decontaminer le milieu continu parpropagation sur une large distance.

Une autre distinction entre bruit et vent rside dans labsence de dbit massiquenet dans un mouvement acoustique. Londe acoustique est un dplacement dner-gie, prcisment sous forme de travail des efforts de pression, sans dplacement dematire.

Ces observations conduisent lalternative suivante : lmission de bruit arody-namique estelle(i)un sousproduit du mouvement tourbillonnaire, limage de ladissipation en chaleur par frottements dune certaine partie de lnergie

mcanique dun mouvement donn, ou bien (ii) un rsultat mcanique de lexcita-tion instationnaire, ou enfin (iii)une voie privilgie dvacuation nergtique passun certain rgime, comme une distorsion du mouvement arodynamique, limage

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1.2 Excitation des ondes acoustiques

de la transition la turbulence?

Instationnarit et compressibilit

On peine creuser les diffrentes hypothses, mais il faut reconnatre que les outilsanalytiques disposition actuellement se rangent derrire le deuxime mcanisme :linstationnarit de lcoulement est vue comme la source de lacoustique, et passeulement comme sa cause a. Plus prosaquement : cest partir des sollicitationsinstationnaires quon calcule le champ acoustique.

Avant dentrer plus en dtail dans les modes dexcitation acoustique, notons queces considrations ont le mrite de placer linstationnarit au cur de la rflexion, etnon plus la compressibilit. Car si la compressibilit entendons par l la dpen-dance de la masse volumique la pression est essentielle la propagation et doitdonc tre une proprit du milieu observateur, elle nest pas ncessaire lcoulementpour que ce dernier soit bruyant, tant il est vrai que le bruit dorigine arodynamiqueest manifeste mme dans des situations o les effets de compressibilit (quantifispar le nombre de Mach) sont insignifiants [103].


Comme toute quation diffrentielle, lquation donde ne peut donner de solu-tions particulires que couple des conditions aux limites. En champ libre, touteonde progressive de la forme f(tr/c)est solution, entre autres, mais son amplitudedans un cas particulier ne peut tre dtermine qu laide dune donne supplmen-taire. La seule solution damplitude a priori connue valable en champ libre est lesilence absolu :(x,t) = 0quel que soit (x,t) b.

1.2.1 Notion de terme source

Une inhomognit introduite dans lquation donde

Pour obtenir le champ acoustique par rsolution de lquation donde, on a cou-tume de rassembler les conditions particulires dans un second membre appel termesource, la plupart du temps not Q. On crit

= Q

Ds lors, on est contraint de distinguer un espace source et un espace de propaga-tion : l o le terme source est nonnul, lquation donde nest plus vrifie doncle mouvement est difficilement qualifiable dacoustique. De mme, l o lquationdonde est vrifie, le second membre sannule et il ne sy trouve pas de source [54].

Cette pratique nest pas idale parce que, notamment en aroacoustique, lannu-lation du terme source nest pas toujours parfaitement tranche dans lespace maisprsente plutt un caractre asymptotique.

a. la distinction entre source et cause est en fait assez floue ; nous lutilisons ici pour susciter une interrogationphilosophique.

b. Au sens strict, les fluctuations acoustiques satisfont lquation donde homogne, cest--dire lannulation dudalembertien ; voir la discussion qui suit lquation (1) dans Ffowcs Williams[54].

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Ralit physique du terme source

Une autre difficult rside dans le fait quon nobtient pas dquation donde in-homogne partir des quations du mouvement linarises en labsence de gradientset dcoulement moyens. proprement parler, il nexiste pas de source de masse .En effet, en vertu du principe de conservation de la masse, lquation de continuitne contient pas de second membre. Autrement dit, dans lquation de bilan de masse,linstationnarit est totalement quilibre par les dbits aux frontires. Il en va demme pour lquation de bilan de quantit de mouvement, bien que cela y soit plussubtil : il sy trouve certes un terme volumique defforts extrieurs qui nusur-perait pas le titre de source mais celuici ne sera instationnaire, donc mmedexciter lquation donde, que trs rarement c.

En ce qui concerne lquation de bilan dnergie, hormis par viscosit, un termesource peut apparatre en cas dchauffement instationnaire (par effet Joule ou r-

action chimique, par exemple). Mais il sagit dun cas particulier qui ne peut treinvoqu pour lexcitation dondes acoustiques en gnral. La dissipation visqueusepourrait jouer cet effet, mais on observe en pratique que lexcitation acoustique estcorrectement modlise mme quand elle est nglige en tant que source proprementdite[10,117].

Le terme source napparat pour lacousticien que si on introduit une sparationspatiale entre le domaine o sont satisfaites les quations du mouvement considr(petites perturbations isentropiques dun gaz parfait en volution instationnaire sansdissipation visqueuse) et le reste de lespace o interviennent des causes externes : ap-port de masse, contraintes surfaciques, changes nergtiques aux frontires. Lorsquela rgion o agissent ces causes externes est de taille suffisamment petite par rapport

lespace dtude du champ acoustique, on peut les considrer comme ponctuelleset crire ces flux surfaciques sous forme dune distribution de Dirac, cestdirenon nulle en un point seulement. Ainsi peuton ramener lapport instationnaire demasse la sortie dun tuyau dchappement un terme source de masse, dont lerayonnement acoustique est trs efficace [54].

Il est nanmoins possible de former une quation donde inhomogne partirdes quations du mouvement fluide, mais cela impose de ne pas faire les hypothseshabituelles de lacoustique linaire en milieu au repos. Cest le principe des analogiesen aroacoustique.

1.2.2 Analogies acoustiquesLa thorie de Lighthill

En1952, Lighthill propose une thorie gnrale[90] dexcitation des ondes acous-tiques par les instationnarits arodynamiques. Un raisonnement physique en deuxvolets prcde la manipulation des quations. Dabord lauteur fait remarquer queles fluctuations de masse volumique dans lcoulement rel doivent tre exactementcelles qui se produiraient dans le milieu acoustique uniforme soumis un systme decontraintes extrieures, ce dernier tant donn par la diffrence entre la contrainteeffective dans lcoulement rel et les contraintes dans le milieu acoustique uniformeet au repos (cette diffrence est galeTij, le tenseur de Lighthill). Dans un deuxime

c. les exemples seraient assez excentriques, et en tout cas hors du champ de laroacoustique usuelle : phnomneslectromagntiques, pesanteur fluctuante, rfrentiel nongalilen ou acclration densemble variable.

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temps, le raisonnement revient sur la cration dnergie acoustique par un foragecintique extrieur : fluctuation de masse, de quantit de mouvement et de tauxde dbit de quantit de mouvement. Plus la longueur donde acoustique est leve,

plus le mouvement de forage est susceptible dtre compens par un mouvementrciproque local, donc plus le rayonnement sera rduit. Ainsi, pour ce qui concernele bruit dorigine arodynamique, il sagit de dterminer linfimefraction de fluctua-tion de dbit de quantit de mouvement qui nest pas quilibre par un mouvementrciproque.

Lquation danalogie est ensuite obtenue en superposant lquation que satisfontles fluctuations de densit dans lcoulement celle quelles satisfont en dehors, dansle milieu uniquement propagatif. Il sagit dune quation donde, qui est inhomognedans le premier cas et homogne dans le second. Linhomognit sexprime sous laforme dune double divergence du tenseur de Lighthill, ce qui confre une naturequadripolaire lexcitation instantane par le champ de contrainte extrieure.

Critique de lapproche par terme source

La thorie de Lighthill conduit une loi de puissance pour lintensit acoustiqueen fonction du nombre de Mach qui savre vrifie exprimentalement [92]. Parailleurs, la rsolution numrique de lquation de Lighthill, partir dun coulementdonn, moyennant certaines prcautions et malgr son inconvnient majeur li austockage du terme source, prdit correctement le champ acoustique, notammenten comparaison de ce qui est obtenu directement par rsolution des quations deNavierStokes pour un coulement instationnaire compressible [12,64,73,117].Last

but not least lactif du travail de Lighthill, sa dmarche analogique, qui consiste comparer un systme dquations dcrivant le mouvement acoustique avec le sonassoci dcrivant le mouvement gnral pour isoler des quantits sources, a inspirde nombreux travaux subsquents [68,94,127,130]. De ces derniers, on mentionneraseulement quils ont surtout vis purifier le terme source propos par le prcurseur,de phnomnes qui ne seraient pas purement excitateurs acoustiques. Ce courantde pense culmine dans la notion de silent base flow labore rcemment [138].Elle enseigne galement que la physique du rayonnement nest pas la proprit duseul terme source. Lexpression de celuici nest en dfinitive que la consquence dusystme choisi pour dcrire le mouvement acoustique, dont la solution gnrale est unlment dterminant du rayonnement. Par exemple, le terme source de Lighthill nest

pas nul pour le champ de vitesse associ un tourbillon simplement convect, mais lerayonnement acoustique de ce mouvement, lui, est nul [99,100]. Dans le formalismede Green, cest bien la combinaison du terme source et de sa convolution avec lafonction de Green qui fournit le champ acoustique. Ceci sapplique galement pourle terme source de la thorie du vortex sound [130], dont lexpression est contenuedans celui de Lighthill[24,102].

Force est donc de constater que malgr sa validit prdictive et son imposanteprogniture scientifique, lapproche par terme source ne renseigne gure, en fait, surle mcanisme de conversion dnergie cintique en nergie acoustique et en particuliersur son rendement ( lexception notoire, toutefois, de sa dpendance enU5c dduite

de lanalogie de Lighthill dans lhypothse dune rgion source compacte). Lhypo-thse quil ny a pas de rtroaction du champ acoustique produit sur lcoulementluimme, aussi lgitime soitelle, ne faitelle pas courir le risque de sousestimer

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limportance de la rponse du milieu acoustique ? Car une chose est de dire que lechamp acoustique na pas dinfluence sur lcoulement, une autre est dimaginer quele rayonnement acoustique est une proprit de cet coulement seul sans gard pour

une ventuelle rponse du milieu de propagation. Avant de revenir sur ces conditionsdu rayonnement, examinons lautre type dexcitation de lquation donde.

1.2.3 Conditions aux limites

Le terme source localis nest pas la seule possibilit dexcitation de lquationdonde, cestdire dobtention de solutions particulires. Cellesci peuvent naturel-lement tre obtenues en appliquant des conditions aux limites la solution gnrale.Cest le cas notamment de ce quon appelle communment les solutions lmentaires[23].

La sphre pulsante est le premier exemple. la solution gnrale en ondes sph-

riques, on applique une condition sur la vitesse au voisinage de lorigine : on sup-pose une pulsation radiale harmonique qui impose la vitesse de lcoulement, enun rayon donn, comme tant uniquement radiale, priodique dans le temps et demoyenne nulle. La condition pour le champ de pression est alors obtenue en consi-drant lquation de quantit de mouvement linarise, cestdire que la driveradiale du champ de pression est gale la drive temporelle de la vitesse radiale, la densit (moyenne) prs. La solution est naturellement sphrique, on la qualifie demonopolaire. Lintensit acoustique est uniforme sur toute sphre de mme centreque celle qui excite, et son amplitude est directement lie celle du mouvementinitial de pulsation.

Le mme cheminement mathmatique peut tre emprunt pour calculer le rayon-nement acoustique dun piston plan qui on impose une vibration, bien que lescalculs soient un peu plus compliqus par la gomtrie qui nest plus sphrique.Lide cl est encore dimposer la vitesse du fluide en contact avec la paroi du pis-ton, et den dduire le gradient de pression pour lappliquer comme condition limite la solution gnrale de lquation donde.

Ceci se gnralise au cas de surfaces planes dformes par vibration : par conti-nuit de la vitesse, celle de la paroi simpose au fluide, celle du fluide tant relie augradient de pression, quon applique comme condition limite. Cest le principe delintgrale de Rayleigh, qui constitue la formule de base en vibroacoustique [77].

Il faut insister ici sur le fait que dans ces trois cas, il est suppos quau sein du

fluide le gradient de pression est uniquement dtermin par le taux de variationtemporelle de la vitesse, ce qui nest valable que tant que les quations dEulerlinarises le sont.

Cette excitation par conditions aux limites se gnralise laide du formalismeintgral et des distributions (ou fonctions gnralises).

1.2.4 Formalisme intgral et distributions

Le principe dHuygens

Outre le terme source et les conditions aux limites, il existe une troisime forme,

hybride, pour construire une solution de lquation donde : lorsque londe est connuesur une surface ferme de lespace et contenant tout phnomne source, sa connais-sance peut tre tendue tout le reste de lespace. Cest un principe nonc par

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Huygens en1690, puis repris au XIXe sicle par Fresnel, Kirchhoff et Green sous desnoms divers tels que principe dHuygensFresnel, intgrale de Kirchhoff ou solutionintgrale de Green. Concrtement, une relation relie le champ acoustique extrieur

lintgrale, sur la surface dite de contrle, dune de ses quantits caractristiques(fluctuation de pression, de masse volumique ou de potentiel de vitesse) et de songradient normalement cette surface. Le champ acoustique peut ainsi tre extra-pol. Dans la suite, ceci sera dsign comme le formalisme de Kirchhoff, terminologiela plus employe dans la littrature aroacoustique.

Lextrapolation des ondes acoustique peut tre utilise comme mthode de pr-diction en aroacoustique lorsquon cherche par exemple prolonger vers le champlointain une simulation numrique de lcoulement qui contient le phnomne dmis-sion sonore (DNC, ou Direct Noise Computation).

Lapport des fonctions gnralises

Le concept de fonctions gnralises (ou thorie des distributions) [3,51] permetde formaliser lambigut dnonce plus haut en ce qui concerne la ralit physiquedes termes sources. Ffowcs Williams en fait usage pour laroacoustique en intro-duisant une discontinuit dans lespace et en crivant une quation donde valablepartout malgr cette discontinuit. Ceci lui permet dinclure la prsence de surfaces(solides ou fictives et ventuellement en mouvement) dans le problme aroacous-tique, gnralisant ainsi lapproche de Curle [40]. Il apparat alors ce qui est appeldes termes sources surfaciques, qui peuvent galement tre vus comme une excita-tion de londe acoustique depuis une condition aux limites, tant donn quils ensont lempreinte (via la drivation dune fonction gnralise) et quils demandent

tre intgrs. Ces termes sont bass sur les dbits de masse et de quantit de mou-vement travers la surface. On peut montrer [21] quils sont mathmatiquementquivalents ceux intervenant dans le formalisme de Kirchhoff, bass (la plupartdu temps) sur la fluctuation de pression et son gradient normal. On exposera endtail ces solutions intgrales au chapitre3,mais notons ds prsent que lexcita-tion de lquation donde partir de donnes surfaciques peut tre schmatiquementconue de trois manires : la formule de Kirchhoff (extrapolation donde), la formulede Ffowcs Williams et Hawkings (distribution de dbits) et la formule de Rayleigh(vitesse vibratoire).

Extrapolation ou excitation ?Faisons remarquer enfin quil na jusquici essentiellement t question que de

lquation donde et de lobtention de sa solution particulire dans une configurationdonne, ce qui suppose de formaliser une excitation. Or, dans le contexte aroacous-tique, les sollicitations surfaciques sont traditionnellement classes du ct de lex-trapolation des ondes plutt que du ct de lexcitation comme source. Cestdirequelles ne comportent pas (ou presque) de modlisation. La solution de Kirchhoffest en effet une proprit mathmatique des solutions ondulatoires. Quant lint-grale de Ffowcs Williams et Hawkings, elle lui est quivalente. Dans le cas particuliero la surface concide avec une paroi solide, il a t montr que le terme surfacique

traduit la diffraction du bruit arodynamique, dont la source effective se trouve danslcoulement luimme[66]. Il sagit donc encore dun rle propagatif, sans caractrede source proprement parler, cestdire associ lquation donde ellemme

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1.3 Trois symboles aroacoustiques

davantage qu son excitation. On pourrait galement faire remarquer que la paroitant fixe, aucun travail ne peut tre dvelopp par la distribution de pression quiy rgne [130]. Lobjet de ce travail de thse est dtudier dans quelle mesure un for-

malisme par excitation surfacique peut modliser les phnomnes dmission sonorepar les coulements instationnaires, et pas seulement leur extrapolation. Avant deprsenter le rsultat de cette tude, loignonsnous un peu du rivage acoustique delaroacoustique, en voquant trois configurations symboliques de la relation entrebruit et vent.


A travers trois exemples phnomnologiques, nous tentons ici de faire mergerqualitativement comment des fluctuations arodynamiques (disons, associes aux

instationnarits de vorticit) peuvent donner lieu une vacuation dnergie sousforme acoustique vers le champ lointain.

1.3.1 La paire de tourbillons corotatifs

r0

r0

rc

rc

x

y

0

(a) (b)

Figure 1.1 Tourbillons corotatifs. Gauche : configuration. Droite : Simulation NumriqueDirecte daprs un code de calcul de Bogey [9].

Une des rares solutions analytiques en aroacoustiqueLa paire de tourbillons corotatifs est le plus simple des mouvements de fluide

dont on puisse simuler le rayonnement acoustique directement partir dune r-solution numrique des quations de NavierStokes. Sous rserve dimplanter desschmas numriques et des conditions aux limites adaptes la propagation et lva-cuation des ondes acoustiques tout autant quaux mouvements tourbillonnaires ouconvectifs, on observe alors un rayonnement en quadruple hlice, comme gnr parun quadriple en rotation. Cette configuration modle, qui permet de valider lescodes de calcul, a t le point de dpart dune complexification grandissante dans lasimulation numrique en aroacoustique[9,107], avec les ralisations successives de

la couche de mlange bidimensionnelle 2D [10,36,117], du jet axisymtrique [108],et enfin du jet tridimensionnel 3D [11, 59]. Toute cette progression sur le plandu ralisme physique et des applications pratiques, laroacoustique numrique peut

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sembler avoir dlaiss lapprofondissement de la question de la conversion nerg-tique du vent en bruit.

Cest en1967que Mller et Obermeier[118] prsentent la paire de tourbillons co

rotatifs comme une source acoustique (the spinning vortices as a source of sound).Une expression analytique est obtenue par la mthode des dveloppements asympto-tiques raccords (MAEouMatched Asymptotic Expansions). Dune part, lquationdonde constitue lordre zro dun dveloppement des quations du mouvement lchelle de la longueur donde, et la solution est londe cylindrique (en 2D) enchamp libre. Dautre part, lordre zro du dveloppement faible nombre de Machest lquation de Laplace, dont la solution est un potentiel de vitesse en dcroissancequadratique. Les constantes dintgration de ces deux solutions gnrales sont ob-tenues en croisant les termes dordre un de chaque solution par rapport lautreadimensionnement : le champ proche de la solution externe (acoustique) doit treasymptotiquement gal au champ lointain de la solution interne (solnodale). Il est

remarquer que ce raccordement dquations tait en germe dans la dmarche deLighthill, qui vacue du membre de gauche tout ce qui scarte de lacoustique.

Un mcanisme de type vortex sound

Une expression analytique du rayonnement peut galement tre obtenue en uti-lisant lexpression (connue) du champ de vitesse induit par les tourbillons pourcalculer le terme source dfini dans les analogies (Lighthill ou HowePowell notam-ment). Dune manire gnrale, une distribution de vorticit sous forme de filets,danneaux, de tores ou de nappes et le champ de vitesse associ peuvent servir former un terme source, en vertu de la thorie du vortex sound. Cette mthodea fourni de nombreux rsultats pour le rayonnement acoustique des mouvementstourbillonnaires [76].

Le titre choisi par Mller et Obermeier [118] est explicite : cest clairement larotation, et donc lacclration centrifuge de la vorticit qui est lorigine du rayon-nement. En coulement visqueux, les tourbillons ont tendance se rapprocher pourfinalement fusionner, mais ce nest pas ce mouvement dont le rayonnement acous-tique est tudi quand on sintresse cette configuration des tourbillons corotatifs.Le bruit dappariement tourbillonnaire (vortex pairing) se manifeste en premier lieudans les couches cisailles, telles quelles apparaissent en aval dun bord de fuite oudune tuyre, o des courants de vitesse diffrentes se mlangent. Dans une couche

de mlange, le rayonnement acoustique est le plus intense la frquence dapparie-ment[10,36,117], et notre connaissance, il na pas t tabli de lien formel avecla rotation des tourbillons proprement parler. Si la phnomnologie (cest--dire lephnomne sans le masque dune jonglerie dquations. . .) du bruit dappariementtourbillonnaire, qui est certes correctement calcul par les analogies, nest pas encoredcrite prcisment par une vision simple qui sapplique aux spinning vortices, elleest rapprocher de la notion de mode de vibration.

1.3.2 Vibration du domaine fluide

Une classe particulire de mouvements

En tant que cas particulier des quations gnrales du mouvement fluide, londeacoustique peut tre vue comme une classe particulire de mouvements parmi toutes

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les solutions possibles. Le mouvement acoustique serait ainsi un mode, au sens demouvement lmentaire. On parle de mode de vibration pour un corps solide (corde,poutre, plaque, etc.). Un mode propre de la structure se caractrise par une valeur

propre qui est ici une mesure de la frquence de vibration et un vecteur proprequi dcrit la dformation gnrique que connait cette structure quand elle vibre cemode. Enfin, un mode se manifeste en rponse une impulsion ou un rgime forc,et il est crucial de connatre les modes propres dune structure car ce sont ceux quipeuvent entrer en rsonance lorsque lexcitation est la frquence correspondante.

Des oscillations autoentretenues existent en aroacoustique, o un couplage sins-talle entre un mouvement priodique lchelle tourbillonnaire (comme dans uneflte ou une cavit) ou vibratoire (instruments anche, voix) et le champ acous-tique. Mais il sagit alors du phnomne de rtroaction dont nous avons parl plushaut (paragraphe 1.2.2) et qui nest pas systmatiquement prsent pour le bruitdorigine arodynamique. En labsence dun tel bouclage aroacoustique, la ques-tion se pose nanmoins de lorigine du mode acoustique dans un mouvement fluidedomin en amplitude par les fluctuations associes la vorticit.

Deux types de fluctuations

Si, en effet, on observe lvolution de lamplitude des fluctuations de pressiondans un jet subsonique isotherme (figure1.2), on constate quen sloignant de laxeprincipal o elle est quantifie par la dynamique, elle dcroit dabord de manireexponentielle puis de manire algbrique. Plus prcisment, le mode dit hydrodyna-mique est dcroissance exponentielle, et le mode dit acoustique est dcroissance

algbrique. Asymptotiquement, cest donc le premier qui domine aux petits rayonset le second qui domine en champ lointain.

Figure 1.2 Dcroissance des fluctuations de pression. Dcroissance exponentielle dans la zonehydrodynamique et dcroissance algbrique dans la zone acoustique. Cavalieri et al. [31].

Cette hirarchie a une consquence pratique immdiate pour le calcul acoustiquepar extrapolation. Sil est bas sur un formalisme de Kirchhoff avec la pression et

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son gradient, il faut, pour quil soit valable, que la surface dextrapolation se situedans la zone de domination acoustique d. Autrement, la fluctuation de pression uti-lise dans lintgrale est pollue par la composante hydrodynamique. Celleci, ne

rayonnant pas, ntant pas solution de lquation donde, devrait tre filtre par leformalisme intgral dans la convolution la fonction de Green. Il ne serait doncpas thoriquement faux de placer la surface dintgration dans une rgion domi-nance hydrodynamique, mais les erreurs numriques dintgration (imprcision dequadrature ou effets de bord) alors commises sur cette partie dominante en viennent masquer le signal acoustique objet de lextrapolation [103].

Toute la question est de savoir ce quil en est quand on veut prolonger les asymp-totes. Si le devenir du mode hydrodynamique en champ lointain importe peu pourlaroacoustique ds lors quil est devenu ngligeable devant les fluctuations acous-tiques, que se passetil pour le mode acoustique au sein de lcoulement? Cestsans conteste l quil est gnr, puisque cest de l que part la dcroissance gom-trique due la conservation de lnergie sur un front donde. Mais atil une exis-tence propre en filigrane du mouvement tourbillonnaire bien que damplitudefort moindre comme le suggrent Doak [41] et Jenvey [74], ou bien sa distinctiondavec lui nestelle que chimre avant le croisement des asymptotes ?

Lanalyse modale de lcoulement, notamment le calcul des instabilits, peut per-mettre didentifier des modes caractre rayonnant [139]. Chu et Kovsznay [35]montrent comment, en termes de modes de fluctuations, les interactions tourbillon-naires peuvent exciter lacoustique. Quelle est ltendue (spatiale, radiale) sur la-quelle sopre cette excitation ? La modlisation par terme source volumique semblela plus mme dintgrer cette tendue, mais peuton traduire cette excitation par

une action surfacique (ou un ensemble dactions surfaciques) bien conue? Quoi quilen soit, cest bien de lefficacit de ce processus sur le plan nergtique que traite cemmoire. Or, si du point de vue du mode hydrodynamique, ce qui est transfr lacoustique peut tre pass par pertes et profits vu les carts dordres de grandeurs,du point de vue de lauditeur il est aussi fondamental que dlicat den mesurer laproportion et didentifier ce qui la rgit.

1.3.3 Efficacit dune excitation airair

Qui impose quoi ?

On conoit sans peine quune paroi solide laquelle on saurait appliquer unevitesse de vibration spatialement cohrente imposerait cette vitesse au fluide en-vironnant, dont la compressibilit le rend plus propre encaisser le mouvement.Rciproquement, hors rsonance, il faut souffler ou crier trs fort avant de voir unestructure solide se mettre vibrer sous linfluence dun mouvement de fluide. Mais lefluide environnant est loin davoir une totale passivit et il nest pas simple dappli-quer nimporte quelle vitesse une paroi immerge, car le comportement de laction-neur dpend de sa charge. Certains travaux de vibroacoustique ddis la factureinstrumentale mnent des expriences dans le vide afin dtudier comment la chargefluide influe sur la vibration. De mme, le pilotage en vitesse dune membrane dehautparleur nest pas trivial. Dune manire gnrale en lectroacoustique, il y a

bel et bien couplage entre trois systmes linaires amortis du second ordre, expri-d. En pratique nanmoins, la limite ne saurait tre aussi nette (voir Lon et Brazier[87]).

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1.4 Synthse

mant respectivement le problme lectrique, le problme mcanique et le problmeacoustique [23].

Pour le bruit dorigine arodynamique, on hsite parler de couplage en gnral

entre les problmes de mcanique des fluides et dacoustique parce que ce termevoque trop le cas des rtroactions, o dailleurs le terme de rsonance lui seraitprfrable, et que, de toute vidence lcoulement vit sa vie, indpendamment delenvironnement acoustique. Lcoulement, cestdire le mode hydrodynamique,oui. Mais linfime fraction de son nergie qui schappe en acoustique ?

Limpdance de rayonnement

Cest la notion dimpdance qui permet de dterminer qui impose quoi linter-face entre deux milieux. Elle est notamment utilise pour quantifier la partie trans-mise et la partie rflchie de lnergie porte par une onde incidente. Linterfacepeut tre un changement de matriau, de conditions de propagation (temprature,pression ambiantes) ou simplement de section dans un tuyau. A ce titre, le problmeclassique du tuyau dbouchant (open ended duct) [23,77] fournit une passerelle in-tressante entre la vibroacoustique et laroacoustique. Mettant en scne le transfertdnergie entre deux mouvements dair, il peut nous renseigner sur les conditionsdun tel transfert entre bruit et vent.

A lextrmit ouverte dun tuyau, on dit que le milieu extrieur impose sa pres-sion, cestdire que la fluctuation de pression sannule. Ceci revient dire quelimpdance, qui peut sexprimer comme le rapport de la fluctuation de pression celle de la vitesse, elle aussi sannule. La consquence est que toute onde interne au

tuyau et incidente sur lorifice est totalement rflchie, donc que lnergie transmisevers lextrieur est nulle. Cela nest vrai quen premire approximation, et ce nestquen gagnant un ordre de prcision quon peut entrer dans le dtail de linteractionentre londe incidente et le milieu ambiant.

En raccordant au voisinage de lorifice, lexpression du mouvement potentiel dansle tuyau avec londe sphrique externe, on peut montrer que la fraction de puissanceacoustique qui schappe par rayonnement est proportionnelle (et mme, moyen-nant certains adimensionnements, gale) (kR)2 o kest le nombre donde et Rlerayon du tuyau. Cette formule est valable pour kR petit, autrement dit pour destuyaux dont le rayon est faible devant la longueur donde[72]. Ce rsultat rejoint leconstat plus gnral quune source acoustique est dautant moins efficace quelle est

compacte, cestdire petite devant sa longueur donde. Lapport de ce problmemodle pour laroacoustique est relatif car il sagit dune transmission entre deuxmouvements acoustiques, et non de lexcitation du mode acoustique par la vorticit.Nanmoins, limpdance de rayonnement peut constituer une brique conceptuelleutile pour la modlisation.

1.4 Synthse

Au cours de ce chapitre, nous avons cherch exposer la problmatique du travail,

cestdire comment se prsente nous la question aroacoustique. Nous sommesparti des concepts de lacoustique en cherchant comprendre comment le mouve-ment dair que constitue londe acoustique peut tre excit par lautre mouvement

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1.4 Synthse

dair que constitue lcoulement. On a pu insister sur le fait que limpdance du mi-lieu rcepteur, et sa capacit propager certains modes dexcitations, apparaissentcomme dterminants. Cest dans cette perspective que le dveloppement dune ana-

logie vibroacoustique pour la modlisation du bruit dorigine arodynamique estenvisag : un mcanisme dexcitation du milieu acoustique par lcoulement insta-tionnaire est propos sous forme de sollicitation surfacique de dbit. Deux questionsse posent alors visvis de celleci :

i) au sein du champ de vitesse, quelle composante est celle qui simpose commecondition lacoustique ?

ii) quelle rponse le milieu de propagation prsente-t-il un tel type dexcitation ?

Par ailleurs, on a vu quune onde acoustique transporte une certaine nergiesans dplacement net de matire. Lefficacit aroacoustique est intimement lie auxconditions dapparition de ce mode dvacuation dnergie. Cest pourquoi un travailbibliographique sur ce concept a t entrepris, qui est prsent au chapitre suivant.

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Chapitre 2

Lnergie acoustique et son transport

Quand tu te sens gar et plein de doutes, mille livres ne suffisent pas.

Quand tu as atteint la comprhension, un seul mot est dj de trop. F. Yang

Sommaire2.1 Problmatique de lnergie acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2 Dfinition usuelle de lnergie acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.1Tentative de description lordre deux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 36

2.2.2Prise en compte dun coulement en mouvement uniforme. . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.3Expressions pour le potentiel des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 37

2.3Lapproche eulrienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4Lapproche dissipative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.4.1Thorie potentielle. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 46

2.4.2Le rle des fluctuations de vorticit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4.3Un thorme exact . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 55

2.4.4Un cas dapplication numrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.4.5Enthalpie ou exergie ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 60

2.4.6Premire unification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 64

2.5Lapproche lagrangienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.6 Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Dans ce chapitre les diffrents concepts dnergie acoustique sont abords et pr-sents dans une optique de synthse et de revue bibliographique dans un effortdunification des notations. Une prsentation chronologique permet de suivre lescontributions et les volutions des penses dans le temps et cest intuitivement cequil y a de plus clair. Cest le parti pris pour lorganisation de ce chapitre, malgrquelques exceptions : un regroupement thmatique est effectu ds que possible et sila lecture nest pas entrave. Nanmoins, on peut distinguer trois grandes approches :une approche eulrienne, une approche dissipative et une approche lagrangienne.Lapproche eulrienne est la plus ancienne et utilise les quations dEuler linari-

se (EEL) et les relations isentropiques. En considrant le fluide comme parfait, ladescription nglige les phnomnes de dissipation dus la viscosit et aux changesthermiques. La conservation de lnergie nest gnralement possible que par lajout


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2.1 Problmatique de lnergie acoustique

dun terme source. Lapproche dissipative est la plus abondante et plusieurs ten-dances sont identifier. Globalement, cette approche a recours aux quations com-pltes de NavierStokes et aux relations thermodynamiques pour allger les calculs

et fermer les quations. La prise en compte du rle des fluctuations de vorticit etdentropie mis en vidence par Chu et Kovsznay[35] ajoute du sens physique,autorise une description plus fine du processus de dissipation et permet un quilibreplus naturel du bilan dnergie. Autrement, une dcomposition du vecteur vitesseet du vecteur de quantit de mouvement permet une description de lcoulementen composante hydrodynamique et acoustique. Lapproche lagrangienne utilise lesquations de Galbrun portant sur le dplacement particulaire li au passage de londeacoustique. Si elle semble prometteuse, elle est encore peu rpandue.

Ces trois grandes approches pourraient encore se dcomposer et intragissententre elles ce qui rend notre description dlicate. Elles regardent toutes lnergieacoustique mais ne voient pas toujours la mme chose. Initialement, lnergie restevague et on a surtout cherch crire une loi de conservation gnrique. Puis on luiassocie lenthalpie darrt, et depuis peu, lexergie. Ces quantits font lobjet dunesection part en fin de chapitre. Un tableau de synthse est prsent en conclusionpour permettre une vue densemble.

2.1 Problmatique de lnergie acoustique

La plupart des tudes voques dans ce chapitre ont recours aux quations de lamcanique des fluides. Dans la veine des mthodes analytiques propre aux dbutsde laroacoustique, lnergie en tant que scalaire est une variable de choixpour suivre le chemin dune quantit apporte par lcoulement et rayonne parlacoustique, notamment lorsque lon cherche raccorder ces deux milieux.

Mais lapproche nergtique permet galement de mettre temporairement de ctla nature de lexcitation. Que lexcitation soit apporte par une fluctuation de pres-sion ou de vitesse, dans tous les cas cest avant tout de lnergie qui voyage.

Nous allons voir que lnergie acoustique est dfinie dune manire usuelle, recon-nue par tout le monde mais juge peu satisfaisante par une majorit de la commu-naut du fait de son ordre de grandeur suprieur celui dans lequel voluent desquantits acoustiques gnralement trs faibles. Lors de sa synthse sur les sourcessonores en arodynamique, Ffowcs Williams[54] voque les grands ordres de gran-

deurs sur lesquels peut staler la pression acoustique. Loreille humaine dtecte ainsides variations de pressions partir de 1010 atm a correspondant au chuchotementhumain tandis que des variations de 103 atm peuvent lendommager. Pour lavionle plus bruyant, on relve des variations de pression allant jusqu 101 atm. Lesniveaux dnergie en jeu sont sources dmerveillement. La puissance acoustique d-livre par un tel avion est du mme ordre que celle qui serait libre si toute lapopulation mondiale criait en mme temps [47] ! Mais en gnral, le niveau dner-gie est trs faible. Lnergie rayonne par les cris des spectateurs durant la superbefinale dun tournoi mondial de tennis suffirait peine faire cuire un uf[47]. Lechapitre4 fera galement tat de la grande amplitude des ordres de grandeurs delefficacit acoustique.

Les concepts dnergie doivent nous amener laborer la notion defficacit commea. 1atm = 101325Pa.

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2.2 Dfinition usuelle de lnergie acoustique

un rapport entre lnergie apporte par le systme et lnergie rayonne dans lacous-tique. En vibroacoustique, une telle notion est connue comme tant le facteur derayonnement [88] :

= Wa

0cSh

v2n

o0est la densit moyenne du milieu fluide, c la clrit du son, Shla surface de lastructure en vibration etv2nla moyenne spatiale sur Sh de la vitesse de vibrationde la structure telle que

v2n

= 1

Sh

Sh

v2ndSh

Wa est la puissance acoustique mesure sur la surface Sa :

Wa =

Sa

pv dSa

avec p et v la pression fluctuante et la vitesse acoustique respectivement b. Cefacteur de rayonnement est adapt pour des structures matrielles en vibration maisestce le cas si la structure en vibration est un coulement fluide? Le cas chant,encore fautil savoir comment exprimer la vitesse de vibration vn par rapport auxquantits de lcoulement. Nous verrons que toutes les contributions dtailles dansce chapitre nadoptent pas ncessairement le mme point de vue.

Dans un premier temps, nous allons prsenter ltablissement de la dfinition

usuelle de lnergie et de lintensit acoustiques. Puis, nous passerons en revue lesdiffrentes dfinitions et ce quelles apportent en complment de cette dfinitionusuelle. Nous choisissons ici de prsenter une nomenclature (tableau2.1) pour aiderla comprhension et la lecture des diffrentes dfinitions. Lorsquune dfinition estspcifique un auteur (ou groupes dauteurs), linitiale du nom du premier auteurest ajoute en exposant.


Dans un espace tridimensionnel (3D) formant un volume fluide V au repos, la

variation de masse M(t) au cours du temps t est porte par le dplacement desparticules la vitesse v dans la direction n le long de la surface Sbordant le volumeVet dirige vers lextrieur :

dM(t)

dt =

S

v ndS V

tdV +

S

v ndS= 0

o est la densit. Lapplication du thorme de GreenOstrogradski permet detransformer lintgrale de surface en intgrale de volume. Au niveau particulaire,cela donne

t +

xi vi= 0

b. les vecteurs sont nots en gras v =vi.

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Lettres latinesc Clrit du sone Densit dnergie (dfinition usuelle)eI Densit dnergie interneep Densit dnergie potentielleG Exergie (ou enthalpie libre)h Enthalpie spcifiqueH Enthalpie darrtI Intensit (ou densit du flux dnergie) acoustique (dfinition usuelle)k Vecteur nombre dondeM Nombre de Machn Vecteur normal unitaire extrieurp PressionQ Tenseur des sources de chaleurR Constante des gaz parfaitss Entropie spcifique

t TempsT Tempratureu Composante irrotationnelle du champ de vitesse fluctuantev Amplitude du champ de vitesse instantanev Champ de vitesse instannew Composante solnodale du champ de vitesse fluctuanteLettres grecques Potentiel des vitesses Densit instantane Viscosit dynamique Vecteur nombre donde unitaire Tenseur des contraintes visqueuses

Vecteur vorticit instantane Vecteur dplacement instantan

Table2.1 Nomenclature associe lnergie acoustique.

Cest lquation de conservation de la masse o la sommation dEinstein est sousentendue pour les trois dimensions de lespace. Pour quune variation de pressionse propage, le milieu doit tre compressible et continu. Comme nous lavons vu auchapitre1, le son est un mouvement linaire. ce qui permet de considrer que ladensit est la somme dun champ de densit uniforme et dune densit fluctuante

respectivement(x,t) =0(x)+(x,t). Dans la suite de ce mmoire, chaque fois quilsera question dune variable linarise, elle sera considre comme somme dunepartie stationnaire 0(x) et dune partie fluctuante , sauf mention contraire. Lapartie stationnaire sera note avec un 0 en indice pour un scalaire et en majusculeautant que possible pour un vecteur sauf cas particuliers. La partie stationnaire estla moyenne temporelle telle que

0(x) =1

t+t

(x,t)dt

pour un coulement priodique de priode . La moyenne temporelle de la fluctuationest nulle :

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1

t+t

(x,t)dt = 0

En labsence dcoulement et sans gradient thermique, la vitesse du fluide est lavitesse acoustique, cest la vitesse de vibration ou vitesse particulaire. Le champstationnaire est alors uniforme (0(x) = 0) et lquation de conservation de lamasse, une fois linarise, devient :

t +0

v ixi

= 0 (2.1)

La conservation de la quantit de mouvement, crite daprs la deuxime loi deNewton, stipule que le taux de production de la quantit de mouvement gale lesforces appliques au volume V . En ngligeant la viscosit de lcoulement et les

forces volumiques extrieures comme la gravit, la seule force applique est la forcede pression sur la surface S. L encore, lapplication du thorme de Gauss au niveauparticulaire, et aprs linarisation permet dcrire :

0v it

+p

xi= 0 (2.2)

o lon nglige les termes dordre deux (cestdire les produits de fluctuations). Lesystme des quations(2.1)et(2.2)compose lesEEL. On peut alors constater que lavariable vest exprime dans une drive spatiale dans lquation (2.1)et dans unedrive temporelle dans lquation (2.2). La drive temporelle de lquation (2.1)est alors soustraite la drive spatiale de lquation (2.2) ce qui permet dcrireune quation ne portant plus que sur une variable scalaire comme la pression :

xi(2.2)

t (2.1)

2p

x2i 1

c22p

t2 = 0 (2.3)

o lon a utilis la relation dtatc2 =p/. Lquation obtenue est lquation dondehomogne. Reprenons lquation linarise de conservation de la masse, multipliepar c2 :

c2

t +c20

v ixi

= 0

ce qui peut scrire

c2

20

2

t +p

v ixi

= 0 (2.4)

Dun autre ct, la multiplication de lquation linarise de conservation de la quan-tit de mouvement par la vitesse particulaire v permet dobtenir une quation sca-laire sous la forme :

02

v 2it

+vip

xi= 0 (2.5)

Laddition de(2.4)et(2.5), en rassemblant les termes drive temporelle et spatialeet en faisant appel la relation dtat, donne :

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e

t+

Iixi

= 0 (2.6)

Cest la dfinition usuelle de lnergie acoustique dans un milieu au repos et sous leshypothses inhrentes aux EEL (pas de viscosit ni de forces volumiques), avec

e =0v

2

2 + p2

20c2

Ii =pvi

(2.7)

o v2 = vi vi, e est lnergie et Ii est lintensit (ou flux dnergie) acoustiques.Lnergie est alors la somme dune nergie cintique (0v2/2) et dune nergie poten-tielle (p2/20c2) qui peut tre stocke dans le fluide en le comprimant. ce stade,nous pouvons faire plusieurs remarques. Tout dabord, cette formulation ne prend

pas en compte le cas dun coulement, mme uniforme. Ensuite, les termes dordredeux ont t ngligs dans les EEL, et ceci malgr le faible niveau nergtique dudplacement acoustique. Par ailleurs, lquation (2.6) contient des termes dordredeux, apparus aprs avoir combin les EEL. On les nglige, puis ils rapparaissentet on les garde, comme sil y avait deux poids, deux mesures. En toute rigueur, celane semble pas acceptable. Cest pourtant bien commode car cela permet lcriturede lquation de conservation de lnergie en terme bien dfini de densit (e) et deflux (Ii).

Pour sen convaincre, essayons dcrire cette loi de conservation en coulementau repos dune part, en gardant tous les termes dordre deux. Nous verrons alorsque notre jugement un peu htif devra tre nuanc. On considrera dautre partun coulement en mouvement uniforme en ngligeant les termes dordre deux pourallger lcriture daprs les conclusions tires de lcriture lordre deux.

2.2.1 Tentative de description lordre deux

En reprenant le mme cas, o la seule vitesse des particules est une vitesse depropagation de lacoustique v, les EEL lordre deux scrivent :

t +0

v ixi

+vi

xi ordre 2= 0 (2.8)

La loi de conservation de la quantit de mouvement demande un peu plus dalgbre.Pour les variables totales :

v it

+v iv

j

xj+

p

xi= 0

La linarisation de la densit et de la pression entrane :

0v i

t

+v i

t

+0vj

v i

xj+vj

v i

xj+

p

xi+vi

t

+0v j

xj+

vj

xj = 0o le dernier terme entre parenthse sannule daprs

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Analogie Vibroacoustique Pour La Modélisation Du Bruit d’Origine Aérodynamique SERRE 2015