𝑢(𝑡 )

i

𝑅=1Ω

𝑃 (𝑡 )=𝑢 (𝑡 )∗𝑖 (𝑡)  𝑃 (𝑡 )=𝑅∗𝑖 (𝑡 )∗𝑖(𝑡)∝  𝑖2  

𝑃 (𝑡 )=𝑢 (𝑡 )∗𝑢(𝑡 )𝑅

∝𝑢2

𝑷 (𝒕 )= 𝒅𝒅𝒕

𝑬 (𝒕 )

𝐸=∫−∞

+∞

𝑃 (𝑡 )𝑑𝑡=∫−∞

+∞

𝑢(𝑡)2𝑑𝑡=∫−∞

+∞

𝑖 (𝑡)2𝑑𝑡

Energie d’un signal, énergie d’interaction, analogie avec l’électrocinétique

Par analogiesi x(t) est un signal réel, on lui attribue l’énergie:

si x(t) et y(t) sont 2 signaux réels, on leur attribue l’énergie d’interaction:

𝐸𝑥𝑥=∫−∞

+∞

𝑥 (𝑡 ) .𝑥 (𝑡 )𝑑𝑡

𝐸𝑥𝑦=∫−∞

+∞

𝑥 (𝑡 ) . 𝑦 (𝑡 ) 𝑑𝑡

Energie d’interaction

𝐸𝑠𝑦=∫−∞

+∞

𝑠 (𝑡 ) . 𝑦 (𝑡 )𝑑𝑡=𝐴𝑖𝑟𝑒𝑟𝑜𝑢𝑔𝑒Les flèches noires indiquent 2 maximas successifs : les 2 signaux ont une forte ressemblance

Energie d’interaction

𝐸𝑠𝑦=∫−∞

+∞

𝑠 (𝑡 ) . 𝑦 (𝑡 )𝑑𝑡=𝐴𝑖𝑟𝑒𝑟𝑜𝑢𝑔𝑒−𝐴𝑖𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒Les flèches noires indiquent 2 maximas successifs : les 2 signaux ont une faible ressemblance

Interaction « glissante » pour la reconnaissance, multiplication de 2 signaux

= Forme à reconnaitre

= Signal contenant la forme « x » à un instant supposé inconnu

= produit x.y « élément à élément »

X

=

000111100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000004444000000000

000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Aire sous la courbe x.y=

𝑡

𝑡

𝑡

Produit x.y à uninstant particulier

Interaction « glissante » pour la reconnaissance

Aire sous la courbe =On décale la « forme » d’une quantité et on calcule l’énergie d’interaction

𝑥 (𝑡−𝜏1 ) . 𝑦 (𝑡 )

𝜏1 𝑡

𝑡

𝑡

Interaction « glissante » pour la reconnaissance

Lorsque les 2 signaux se recouvrent, l’énergie d’interaction augmente. Elle est maximum lorsque les 2 signaux se recouvrent exactement. Puis diminue lorsque la forme glissante s’éloigne de la forme « cachée » dans y.

x

y

x.y

𝜏2

Aire sous la courbe =

𝑡

𝑡

𝑡

𝑥 (𝑡−𝜏2 ) . 𝑦 (𝑡 )

Interaction « glissante » pour la reconnaissance

L’énergie d’interaction dépend donc du décalage et on peut écrire :

-10 -8 -6 -4 -2 0 2

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

𝜏0

L’énergie d’interaction possède un maximum pour un décalage . La forme a été localisée dans le signal à cette position.

Avec Matlab, on utilisera la fonction de convolution « conv » pour réaliser une opération similaire à cette « interaction glissante ».

𝜏

𝐸𝑥𝑦 (𝜏)

Créer un signal bruité en utilisant les fonctions linspace et randnDans un script B4 utiliser la fonction linspace pour créer un vecteur temps t s’étendant de 0 à 1 secondes en 1000 valeurs.Créer un signal réel avec :- les amplitudes et - les fréquences et

Créer un vecteur nommé « bruit » et de même taille que y. Pour cela utiliser la fonction randn (voir la description donnée dans l’aide).Additionner le bruit au signal y simplement en écrivant : y = y + bruit;Le représenter et décorer le graphe.

Créer une série de sinusoïdes, utiliser num2strOn veut générer 10 sinusoïdes de fréquence f=1 Hz jusqu’à f=10 Hz. Ecrire un programme B5 qui génère la figure ci-dessous. Le vecteur temps s’étendra de 0 à 1 seconde en 1000 valeurs. Une boucle for…end sera utilisée pour faire varier la fréquence des sinusoïdes s=sin(2*pi*f*t). La fonction num2str sera utilisée pour produire le titre des sous-graphes.

Energie d’interaction entre un signal bruité et des sinusoïdes de fréquence croissanteL’objectif est décrit dans le titre. Après avoir lancé B4 pour récupérer le signal bruité y, écrire le script B6 qui donne l’NRJ d’interaction entre y et les sinusoïdes de fréquence f = 0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, …, 10. Si vous n’y parvenez pas, mettre les lignes ci-dessous dans le bon ordre:ylabel('énergie d''interaction')interaction(i)=trapz(t,multiplication);title('Ressemblance entre y et sin(2*pi*f*t) en fonction de f')multiplication=s.*y;t=linspace(0,1,1000);f=0:0.5:10;s=sin(2*pi*f(i)*t);endplot(f,interaction)for i=1:length(f)interaction=zeros(size(f));xlabel('f (Hz)')

Exemple écho sonar

Un signal appelé dans la suite, signal « aller », formé d’un front négatif suivi d’un front positif est généré par une source ultra sonore. Un récepteur le recueille après qu'il se soit réfléchi sur un obstacle sous-marin. Dans la suite, ce signal reçu sera appelé signal « retour ». Il contient du bruit et il faut l’analyser pour en déduire la distance à laquelle se trouve l’obstacle.

0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1Le signal "aller"

temps(s)

Am

plit

ude

Utiliser la fonction linspace, créer les vecteurs temps et signal « aller » d’un radarDans un programme nommé B1, utiliser la fonction linspace pour créer le vecteur temps ta correspondant au signal aller. ta s’étendra de 0 à 1 seconde en 100 valeurs. Utiliser la fonction zeros pour créer le signal aller ya qui aura la même taille que ta. Affecter la valeur -1 aux 50 premiers éléments et +1 aux 50 derniers de ya. Représenter ce signal, mettre un titre et décorer le graphe comme ci-dessous.

Télécharger le signal « retour » du radarA l’instant même où le signal « aller » commence à être émis, le radar se met à « l’écoute » (l’origine des temps est donc commune aux 2 signaux). Télécharger le fichier « signal_retour » contenant les vecteurs temps tr et signal « retour » yr depuis le répertoire :http://www.u-picardie.fr/~dellis/tdsMASTER/master_files_TdS/

0 10 20 30 40 50 60-4-3-2-101234

Le signal "retour"

temps(s)

Am

plit

ude

Le signal retour contient du bruit provenant du milieu de propagation

Le signal retour contient « l’écho », c’est-à-dire la répétition du signal aller. Est-il possible d’identifier le signal aller au sein du signal retour ?

Utiliser la fonction « conv » pour la reconnaissance de l’impulsion dans le signal retour, utiliser la fonction length (longueur)On appelle « convolution » une opération de multiplication/integration « glissante » similaire à celle qui a été présentée plus haut. Dans un programme B3 :- Nommer « convolution » le vecteur renvoyé par la convolution de ya et de yr : conv(ya, yr).- Ce vecteur contient des valeurs négatives. Afin d’en faire un vecteur positif plus exploitable,

utiliser l’instruction « convolution = abs(convolution) » ou « convolution = convolution.^2 ».- Quelle est la longueur N du vecteur convolution? Quelle est, selon vous, la relation entre N et

les longueurs des vecteurs ya e yr ?- Créer un vecteur temps ti, s’ étendant de 0 à 60 secondes en N éléments.- Représenter et décorer le graphique convolution = f(ti).- La vitesse du son dans l’eau de mer étant de 1550 m/s, déduire du graphique obtenu la

distance séparant le bateau de l’ obstacle détecté par son écho.

0 10 20 30 40 50 600

10

20

30

40

50

60

70

80

Les algorithmes de reconnaissance de texte, de voix ou d’image fonctionnent en partie sur le même principe : recherche de ressemblance entre 2 signaux.