Universite Bordeaux 1UFR de Mathematiques

Master Traitement du Signal

Encadrant :Jean Luc Rouas

Analyse du profil harmonique

Bernardo Cohen<cohen.bernardo87@gmail.com>

Bordeaux Mai 2012-Juillet 2012

Table des matieres

1 Introduction 4

2 Lieu et cadre de travail 5

3 Problematique : Une notation pour la musique concrete 53.1 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Sons harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.3 Bruits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.4 Extension de la notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Objectif de travail : Classer les sons selon la notation ”concrete” 74.1 Definition : la notion du timbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.2 Methode d’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5 Protocole d’etude 85.1 Pretraitement des donnees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.2 Fenetrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

6 Similitudes entre les modeles physiques et modele d’etude 116.1 Son sinusoıdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116.2 Sons periodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136.3 Les bruits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146.4 Sons avec partiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

7 Mise en place de l’algorithme 19

8 Conclusions et perspectives 20

A Tableaux typologiques du modele expose en 2011 par M. Di Santo 21

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Table des figures

1 Comparaison du signal original avec le signal trame . . . . . . . . . . . . . 102 Representation d’une sinusoıde pure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Spectre d’une sinusoıde pure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Representation d’une sinusoıde pure dans le domaine temps-frequences . . 125 Representation d’un son avec harmoniques dans le domaine temps-frequences 136 Representation d’un bruit blanc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Spectre d’un bruit blanc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Representation d’une bruit blanc dans le domaine temps-frequences . . . . 159 Representation d’un son avec partiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1510 Spectre d’un son avec partiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1611 Comparaison d’un spectre ”harmonique” et un spectre avec partiels . . . 1612 Son inharmonique, n=4 et B=0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1713 Son inharmonique, n=10 et B=0.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714 Son inharmonique, n=60 et B=60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1815 Son inharmonique, n=100 et B=100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816 Son inharmonique, n=80 et B=17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817 Son inharmonique, n=5 et B=100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1818 Spectre du son inharmonique, n=4 et B=0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 1819 Spectre du son inharmonique, n=10 et B=0.7 . . . . . . . . . . . . . . . . 1820 Spectre du son inharmonique, n=60 et B=60 . . . . . . . . . . . . . . . . 1921 Spectre du son inharmonique, n=100 et B=100 . . . . . . . . . . . . . . . 1922 Spectre du son inharmonique, n=80 et B=17 . . . . . . . . . . . . . . . . 1923 Spectre du son inharmonique, n=5 et B=100 . . . . . . . . . . . . . . . . 1924 Sons homogenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2125 Sons hybrides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2126 Groupes homogenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2227 Groupes hybrides premiere partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2228 Groupes hybrides deuxieme partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2329 Groupes hybrides troisieme partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2330 Sons canneles premiere partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2331 Sons canneles deuxieme partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2432 Sons canneles deuxieme partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

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1 Introduction

La musique occupe une place tres importante dans notre vie quotidienne. Elle estpresque partout, elle fait partie de notre culture et etant consideree comme une formed’art elle est un moyen d’expression pour notre societe. Elle souleve des enjeux sur leplan scientifique, commercial, juridique et voire meme philosophique. Pour avoir acces acette gigantesque base de donnees afin de la partager entre nous ou tout simplement parenvie de decouverte il faut savoir la classifier pour rendre les choses plus simples. Nousnous sommes tous deja retrouves dans un magasin de grande distribution afin d’obtenirun disque voulu, et bien la premiere chose que nous faisons pour ne pas perdre du tempsc’est d’y aller en cherchant le � Genre � de notre disque, il s’agit la d’un descripteur onne peut plus simple.Inconvenient : nos bases de donnees deviennent de plus en plus importantes chaque jour etpour la qualifier, la decrire, la representer nous ne pouvons pas la qualifier uniquement par� Genre �, il faut pour cela de descripteurs qui se basent sur la proprietes des signaux. Ilexiste des nombreux descripteurs qui peuvent etre distingues selon qu’ils representent desproprietes plus proches du signal (descripteurs de bas niveau comme le Zero Crossing Rateou le kurtosis) ou des proprietes plus proches de la musique (descripteurs de haut niveaucomme la hauteur des notes ou la signature rythmique). Les descripteurs de bas niveausont plus directement obtenus que les descripteurs de haut niveau mais il est plus difficilede faire le lien avec le sens musical. Par contre, il est moins aise d’obtenir simplement desdescripteurs de haut niveau.

Ces descripteurs sont tres utiles dans des nombreuses types d’analyse et on les parexemple dans [14] il s’agit de faire une classification Parole-Musique-Bruit, ou encoredans [15] il s’agit de presenter un systeme de segmentation de flux radiophoniques, basesur la technique assez recente des Machines a Vecteurs Supports (SVM) enfin dans [19]il s’agit d’effectuer une modelisation sonore en se basant sur le timbre, pour cela M.Tardieu effectue une modelisation d’enveloppe spectrale par Splines ce qui est en effet undescripteur de haut-niveau tres precis.

Il existe neanmoins un ensemble de descripteurs qui est capable de s’affranchir du genrede musique, en effet le travaux de Schaeffer qui sont poursuivis par Di Santo [16],[17] sontcapables de fournir de resultats concernant la musique ecoutee qu’elle soit tonale, modale,electroacoustique et ils nous donnent des resultats meme pour un ensemble de sons de lavie quotidienne comme un simple claquement de porte ou un bruit de moteur. Ces travauxse basent sur des parametres qui se focalisent sur le timbre, la hauteur, la dynamique et lerythme de ce qui est ecoute et ils fournissent un modele typologique (autre que le modeleassocie au solfege utilise par la plupart des compositeurs). Nous avons donc un ensemblede parametres decrivant le son musical, qui, apres un travail d’appropriation, nous fournitun ensemble de descripteurs de haut niveau.

Ces parametres se comptent au nombre de quatre : le profil des hauteurs, le profilrythmique, le profil dynamique et le profil harmonique.

Le but ultime est d’appliquer ces parametres haut niveau aux methodes de descriptiondeja connues, affin de faire un lien typologie-machine afin de proposer un nouveau typede classification-indexation sonore.

Etant donne la courte duree de mon stage, mes encadrants ont trouve que le mieuxpour moi etait de se concentrer sur un profil particulier : le profil harmonique.

Malheureusement, a cause de l’explosion evolutive de ce profil (chose qui sera detailleeplus loin dans l’expose) et le manque de temps m’ont empeche d’aboutir a quelque chosede fonctionnel. Neanmoins au fil du temps, je me suis beaucoup interesse a mon sujetde stage a tel point que mes recherches continuent encore, mon but etant de montrer unetat de lieux de ma recherche j’exposerai ce que j’ai pu obtenir a la fin de mes travauxau courant de la mi-aout.

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2 Lieu et cadre de travail

Mon stage s’est deroule au sein du Laboratoire Bordelais de Recherche en Informa-tique : LaBRI. J’ai obtenu ce stage suite a une rencontre provoquee par M. Charles Dossalavec Me. Myriam Desainte-Catherine qui m’a accorde son temps pour me presenter lesdifferents sujets de recherche dont celui sur lequel je travaille. Une fois le sujet obtenu,j’ai ete tres vite encadre par Me. et par M. Pierre Hanna et par M. Jean-Luc Rouas.Je profite de ce court paragraphe pour les remercier pour le temps qu’ils m’ont consacrepour repondre a toutes mes questions, je me suis vraiment senti epaule tout au long demon sejour au laboratoire. Je dois ajouter que mon espace de travail a ete amenage auLaboratoire Son du Labri, j’ai ete equipe d’une machine puissante pour effectuer des groscalculs munie du logiciel informatique MatLab ainsi que d’une cle et d’un badge pourpouvoir acces au LaBRI, tout a ete mis en œuvre pour que je puisse travailler dans lesmeilleures conditions et je ne saurai pas comment le remercier. A cela je dois ajouter lapresence de mes collegues de bureau : Seb et Nico, leur bon sens de l’humeur ont rendule sejour au LaBRI encore plus sympathique qu’il ne l’etait deja.

3 Problematique : Une notation pour la musique concrete

3.1 Historique

Pour resumer brievement nous pouvons commencer par expliquer les travaux de PierreSchaeffer qui ont ete poursuivis par Jean Louis Di-Santo.

Pierre Schaeffer (1910-1995) est le pere de la musique concrete.Pour decrire et representer cette nouvelle musique, il a cree un solfege des objets sonores.Un objet sonore est un evenement musical : pour la musique concrete, il s’agit de bruitsquotidiens comme un claquement de porte, un bruit de moteur ou une conversation sontdes objets sonores. Pierre Schaeffer presente les parametres decrivant ces objets sonoresen les separant en sept criteres qui sont : la masse, le timbre harmonique, le grain, l’allure,la dynamique, le profil melodique et le profil de masse.Pour mieux se rendre compte des travaux de Schaeffer, la faculte de Musique de l’Uni-versite de Montreal a resume ces travaux dans [6].Comme, le sujet de mon stage ne se concentre uniquement sur le profil harmonique il mesemble plus judicieux de n’expliquer le terme de masse puisqu’il s’agit de l’ancetre de cedernier.

Si on prend la definition musicologique du terme de masse nous avons : mode d’occu-pation du champ des hauteurs par le son.

Autrement dit il s’agit de la maniere dont les frequences sont reparties sur le spectredu son.

Pour qualifier la masse, Schaeffer a propose sept qualificatifs : son pur, tonique, groupetonique, cannele, nœud, groupe nodal et bruit blanc. Nous pouvons a ce stade distinguerdeux familles : les sons harmoniques et les bruits.

3.2 Sons harmoniques

Si nous devons les differencier nous opterons par le principe suivant : si on entend unehauteur, il s’agit d’un son harmonique et d’un bruit dans les cas contraire. Nous verronspar la suite que cette discrimination n’est pas suffisante pour le modele propose par DiSanto en 2011 dans [17]. Expliquons brievement chacun de sept qualificatifs : le son purest definit par la sinusoıde pure, en effet si on etudie son spectre il s’agit d’un pic auniveau de la frequence fondamentale, le son tonique est compose d’un son harmoniquec’est a dire d’un son possedant une frequence fondamentale suivie de ces harmoniques(frequences multiples du fondamental) une note jouee par une clarinette est un son to-nique. Par exemple, le groupe tonique est un ensemble de son harmoniques l’exempleserait dans ce cas la un accord joue par une guitare par exemple. Nous venons d’expliquerla famille de sons harmoniques, en parallele nous avons les bruits.

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3.3 Bruits

Commencons par le bruit blanc, il s’agit la d’un son ayant une bande de frequencerecouvrant tout le spectre sonore, le nœud est en revanche un son ayant une bande defrequence ne regroupant pas tout le spectre et le groupe nodal est tout naturellementun ensemble de nœuds. Si on devait resumer ces qualificatifs designent la richesse de lespectre du son a traiter on peut dire qu’on va du � pauvre � pour le son pur vers le � riche� pour le bruit blanc. Le dernier qualificatif est en effet le son cannele, tel qu’il a ete donnepar Pierre Schaeffer se situe au centre entre � riche � et � pauvre � il materialise ainsiune frontiere entre son harmonique et bruit car il possede les deux caracteristiques, eneffet le son d’une cloche est un son cannele car il presente une hauteur tout en ayant dephenomenes in harmoniques lies a la fabrication.

Ces qualificatifs representant la premiere tentative de classification et de description, letravaux de Jean-Louis Di Santo ont resume ceci en ce qu’on appelle maintenant le profil-harmonique, en 2006 [16] ce profil reprenait ces qualificatifs en ajoutant une typologiesimple afin de pouvoir decrire un son de la meme maniere qu’on decrit une suite de notesjouees par un quelconque instrument a l’aide de la notation solfegique.

3.4 Extension de la notation

Quand j’ai repris la suite des recherches faites par mon predecesseur M. Carpentier[5] a ce sujet, le modele et l’algorithme de discrimination etaient bases sur les travauxeffectues par M. Di Santo en 2006, j’etais loin d’imaginer l’evolution durant ces dernieresannees.

En effet si je dois resumer, a l’heure actuelle le modele propose en 2011 [17] par Jean-Louis Di Santo donne un nombre eleve de possibilites sonores (environ 40 000) il s’agitd’une combinaison de differents symboles de base.

La premiere grande difference est l’ajout de sons in-harmoniques en tant que famillea part entiere, on retrouve ces sons souvent dans la musique spectrale.

A ce stade nous avons trois sons homogenes : toniques, in harmoniques, bruitsLe deuxieme est l’ajout de sons hybrides, les sons hybrides sont des sons appartenant

a deux categories, ils sont au nombre de trois : bruit-tonique (bruit de moustique), soninharmonique-tonique (son genere par le choc avec une feuille d’acier), bruit-inharmonique(le brouaa dans un hall).

A cela nous ajoutons la notion de riche au pauvre selon le spectre de chaque son. Pourfaire le parallele avec l’ancien modele, la notion de groupe est conservee mais elle a evolueeegalement en effet nous avons deux types de groupes : s’il s’agit de sons uniquementhomogenes nous obtiendrons un groupe homogene d’une part et d’autre part nous avonsles groupes hybrides qui sont divises en deux classes : les purement hybrides composesde combinaisons de ces derniers et le sons canneles qui sont les combinaisons entre sonhomogenes et sons hybrides.

Les deux dernieres differences avec le modele precedent sont l’ajout des sons compo-sites et les couleurs. D’apres un entretient avec M. Di Santo pour m’eclaircir a ce sujetj’ai obtenu la reponse suivante : � Les sons composites sont des variantes des groupesou des sons canneles ou un des sons est discontinu : si l’on ecoute un feu, on entendun bruit rose en continu et des impacts toniques discontinus : il s’agit d’un son cannelecomposite. Je definis ensuite 7 couleurs de base : sons equilibres (toutes les frequences quile composent sont egalement reparties sur l’ensemble du spectre), son ou les frequencesgraves ressortent particulierement, son ou les frequences aigues sont tres faibles, son oules medium dominent, son ou les aigus dominent, son ou les graves sont faibles et son oules medium sont faibles. Les symboles qui les representent sont presents dans le tableau enabscisse et en ordonnee ; les autres symboles representent les filtrages, c’est a dire quandun son change de couleur. En abscisse on trouve la couleur de depart et en ordonnee lacouleur d’arrivee.�

La typologie concernant tout le modele sera ajoutee au niveau des annexes.

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4 Objectif de travail : Classer les sons selon la notation”concrete”

Il est evident que ces travaux donnent tellement de possibilites que la mise en placedu modele s’avere difficile car il faut jongler avec differents parametres, et surtout trouverune methode d’analyse pouvant mesurer chaque dimension exposee afin de donner deresultats coherents avec la typologie. A cela on ajoute la difficulte des sons inouıs, en effetsi je reprends les mots de Jean-Louis Di Santo : � De meme que toutes les combinaisonsde syllabes ne donnent pas forcement des mots qui ont un sens, certaines combinaisons desymboles peuvent ne pas renvoyer a un son : s’il s’avere par la suite que les occurrences dusigne depassent les performances de l’oreille humaine, cela sera la garantie d’une extremeprecision dans la notation du son. �

4.1 Definition : la notion du timbre

Mon premier � probleme � a ete de comprendre le modele presente tel quel par PierreSchaeffer, ensuite l’evolution apportee par Jean-Louis Di Santo, et pour bien comprendreles deux modeles il faut comprendre la notion de timbre ou masse, cette notion est par-ticulierement complexe a comprendre et pourtant pour faire simple nous pouvons direque le timbre est l’identite du son : une meme note (La-4 a 440 KHz) jouee par deuxinstruments (un saxophone et un violon) ne sonne pas de la meme maniere, il ne s’agitpas uniquement d’une notion physique et comme pour l’hauteur ou l’intensite, cette im-pression sonore que l’on percoit ne depend pas uniquement de l’onde sonore, mais aussidu fonctionnement de l’oreille et du cerveau et tout cela depend egalement de la culturede la personne.

Dans [12] nous avons : ”On croit d’habitude que le timbre se caracterise d’abord parle spectre en frequences du son, c’est-a-dire sa plus ou moins grande richesse en tel outel harmonique. Mais le timbre depend de la hauteur et de la duree du son, et il est,generalement, lie aux vibrations du spectre au cours du temps, pendant la note. Il s’agitdonc d’une notion complexe, difficile a caracteriser d’une maniere simple.”Je peux re-citer le memoire de M. Tardieu [19] et en plus celui de M. Bel [2] qui utilise desdescripteurs pour decrire au mieux le timbre du piano. Ces documents m’ont beaucoupaide pour comprendre la notion de timbre et cela m’a donne des exemples sur ce quiest traite actuellement au sujet du timbre. Le memoire de recherche de M. Carpentier[5] m’a eclaire au sujet des profils musicaux, car il m’a apporte une vision generale dumodele de M. Di Santo qui tient compte de tous les profils tel qu’il a ete expose en 2006tout en donnant une alternative algorithmique pour faire un lien typologie-machine. Ilest donc evident que je me suis base sur l’algorithme presente par M. Carpentier commepoint de depart car meme si le modele concernant le profil harmonique a evolue depuis,les discriminations entre sons harmoniques, bruits et canneles restent valables il est justequestion d ’ajouter des nouveaux seuils, je reviendrai sur ce point sur la partie consacreeau modele.

4.2 Methode d’analyse

Une autre difficulte a ete de comprendre les techniques d’analyse sonore pouvant etreattachees a ce modele. La plus importante etait celle de la duree des echantillons lestravaux de M. Ramona m’ont eclaire a ce sujet [15], il fallait en effet que l’echantillon soitsuffisamment court pour qu’il n’y ait pas de variation pouvant fausser d’une quelconquemaniere le resultat. Il est donc evident que j’ai du pre-traiter mes echantillons afin de lesrendre le plus stationnaires possibles, J’ai du egalement me documenter un maximum surles descripteurs musicaux pour etre capable de juger quels seraient les plus pertinents autiliser vis-a-vis du modele a traiter, les travaux de M. Pinquier [14], M. Ramona [15],M. Tardieu [19], M. Asma Rabaoui [1]ainsi que le cours de M ; Pierre Hanna [8], m’ontpermis approfondir mes connaissances a ce sujet et la premiere conclusion que j’ai pu tirerest qu’il existe autant de descripteurs que l’on veut.A cela s’ajoute la construction de la base de donnees, en effet il a fallu que je m’en constitue

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une consequente afin d’affirmer ou infirmer mes hypotheses issues de mes observations. J’aidu donc rechercher des echantillons differents et divers via internet, j’ai recu egalement unebase de donnees de la part de mon responsable Jean-Luc Rouas et finalement j’ai du creermes propres echantillons pour tout ce qui renvoi a la categorie des sons inharmoniques.

Finalement la plus grande difficulte qui m’a ete imposee est bien sur celle du temps.En effet la duree de mon stage a ete malheureusement courte ce qui ne m’a pas permisde conclure par un algorithme pouvant donner une alternative nouvelle a celle proposeeen 2008 par M. Carpentier, tout est donc en stade d’ebauche ce qui n’est pas synonymed’echec et loin de la car a l’heure actuelle mes recherches et ma bibliographie grandissentpetit a petit afin de pouvoir un jour donner un resultat convenable.

5 Protocole d’etude

Ma ligne de conduite tout au long de mon stage a suivi le protocole du raisonne-ment scientifique : une fois que le modele de Jean-Louis Di Santo a ete assimile, j’ai faitdes observations avec toutes les bases de donnees afin d’emettre plusieurs hypotheses etconstruire un algorithme base sur ces dernieres malheureusement j’ai pas pu affiner monalgorithme parce qu’il aurait fallu pour cela soumettre mes resultats a Monsieur Di Santosauf que pendant mon stage l’algorithme etait encore au stade d’ebauche et quand leschoses ont commence a evoluer M. Di Santo n’etait plus disponible. Il est question dese voir ulterieurement afin de lui montrer mes resultats mais cela ne rentre plus dans lecadre de mon memoire.

5.1 Pretraitement des donnees

Les donnees audio exploitees sont echantillonnees a frequences variables mais pour laplupart d’entre elles le sont a 48KHz. Les donnees sont monophoniques et sous la formede fichier audio no compresse au format wav. On represente la sequence des echantillonspar un signal s(n), ou n est le temps discretise. Le signal s(n) est tout d’abord normalise,afin de limiter l’effet des conditions d’enregistrement variables sur la classification. Lesignal est centre (soustraction de sa moyenne) et divise par son maximum absolu (pourobtenir un signal compris dans l’intervalle [-1 ; 1]).

s(n) =s(n)

maxn|s(n)|ou :

s(n) = s(n)− 1

L

L−1∑n=0

s(n)

Il faut soumettre aussi a chaque echantillon la duree temporelle, je l’ai fixee volontaire-ment a 0.5s. Pour gagner le maximum de temps j’ai du creer un petit algorithme pour queles echantillons soient normalises par rapport aux trois parametres enonces dernierement.

%% Normalise la taille et l’intensite de l’echantillon,\\

on le rend centre et stationnaire

function [X]=Normali(x,fs,t)

x = .99*x/max(abs(x));

x = x(:,1);

N=length(x);

T=N/fs;

x=x-((sum(x)/N)*ones(N,1);

if(T<=t)

8

X=x;

elseif(T>t)

X=x(1:t*fs,:);

end

end

5.2 Fenetrage

Afin de donner une representation localement homogene du signal nous le divisons enune sequence de fenetres se chevauchant. La largeur (duree) de ces fenetres doit constituerun compromis entre les precisions temporelles et frequentielles, j’ai opte pour des fenetresd’Hanning de 30ms se chevauchant toutes les 10ms.

Le logiciel de traitement des donnees que j’ai utilise pour effectuer ces manipulationset toutes les autres qui seront enonces plus tard a ete Matlab, j’ai opte pour ce langageinformatique parce qu’il est ergonomique et surtout parce que j’ai pris l’habitude del’utiliser tout au long de l’annee.

Pour mon stage, on m’a muni d’une machine puissante afin d’effectuer des lourds cal-culs ainsi que d’une version demunie de toolboxes de Matlab et c’est la que les premiers� hics � ont commence : ne possedant aucune toolbox il a fallu programmer certainesfonctions qui sont deja incluses dans les versions Matlab disponibles dans le service infor-matique de l’universite. Il s’agit ici d’une difficulte qui n’a ete nullement insurmontablebien au contraire, elle a ete constructive pour moi car il a ete question de prendre lesdevants, aller a l’essentiel et surtout resoudre chaque probleme pour avancer. De plusj’ai du ameliorer mes connaissances en traitement du son via Matlab, pour cela les coursde Me. Tamara Smyth [18] m’ont ete d’une utilite capitale, resultats des courses : a lafin de ce stage j’ai pu perfectionner mon usage de Matlab, ce qui est un avantage nonnegligeable.Pour la comprehension du principe je me suis base sur les travaux de M. Gagnon, dans[3] il presente un programme pour effectuer des fenetrages, une fois bien compris sonprogramme j’ai effectue le mien afin d’etre plus a l’aise pour la suite.

%recouvrement avec des fenetres de 30ms toutes les 10 ms

function [T,X1,H1,k]=trames(signal,fs)

N=length(signal);

Nf=0.03*fs;

Nr=0.01*fs;

H=hanning(Nf);

b=mod(N,Nf);

signal=[signal; zeros(Nf-b,1)];

N=N+Nf-b;

H1=[H zeros(1,N-Nf)];

k=1;

while (N-(k*Nr+Nf)>0)

k=k+1;

end

for n=1:k

H2=[zeros(1,n*Nr) H zeros(1,N-(n*Nr+Nf))];

H1=[H1;H2];

end

h1=H(1,Nf-Nr:Nf);

h2=H(1,Nf-2*Nr:Nf);

h3= H(Nf:-1:Nf-Nr);

h4= H(Nf:-1:Nf-2*Nr);

h1=[h1 zeros(1,N-length(h1))];

h2=[h2 zeros(1,N-length(h2))];

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h3=[zeros(1,N-length(h3)) h3];

h4=[zeros(1,N-length(h4)) h4];

H1=[h1;h2;H1;h3;h4];

u=size(H1);

for i=1:u(1,1)

T(i,:)=H1(i,:).*signal.’;

end

X1=sum(T);

end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%% fenetre de Hanning

function H=hanning(N)

t=[1:N];

H=0.5-0.5*cos(2*pi*t/N);

end

Une fois le programme termine, j’ai du tester sa validite, pour cela j’ai tout simplementaffiche les representations temps-pression du signal original avec la resultante de toutesles trames obtenues apres fenetrage, ce qui donne un resultat tres satisfaisant.Nous trouvons ainsi deux signaux quasi-identiques, la difference d’amplitudes vient dufait que pour reconstruire le signal a partir des trames en les additionnant.

Figure 1 – Comparaison du signal original avec le signal trame

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6 Similitudes entre les modeles physiques et modeled’etude

J’ai enonce plus haut que mon algorithme s’est inspire d’une certaine maniere de celuidu M. Carpentier qui figure dans [5].Cet algorithme consiste a discriminer a l’aide de certains descripteurs sonores et de lamise en place des seuils les sons purs, tonique groupe tonique, nœud, groupe nodal, bruitet canneles.Il est donc evident que je ne peux pas me baser entierement sur cet algorithme pourdifferentes raisons :Les notions de groupes enoncees telles qu’elles en 2006 disparaissent pour laisser placeaux notions de groupes homogenes ou hybrides.L’ajout de la categorie de son in harmonique en tant que son homogene a part entiere.

Enfin la definition du son cannele ayant ete changee, il ne s’agit plus d’une frontiereentre sons harmoniques et bruits comme ca a pu etre enonce en 2006, maintenant il estquestion de groupe hybride car c’est un groupe compose a la fois de sons homogenes etsons hybrides. A tout cela on ajoute aussi le parametre riche ou pauvre . Nous avons iciplusieurs raisons pour lesquelles nous devrons laisser l’algorithme de M. Carpentier decote mais il nous sera tres outil pour l’utiliser comme point de depart.Comme le temps a ete court, je n’ai pas pu explorer toutes les dimensions du probleme,je me suis restreint a trouver un algorithme pouvant classifier les sons toniques, inharmo-niques et les bruits.Pour cela il a fallu que je construise une base de donnees presentant des sons pour que jepuisse extraire les plus de caracteristiques afin de les differencier.Les sons le plus difficiles a cerner et a obtenir c’etaient les sons inharmoniques, au boutdes maintes recherches j’ai fini par devoir me les synthetiser mais pour que la synthese aitun fondement scientifique j’ai du me baser sur un modele d’inharmonicite, une concernantl’inharmonicite du piano [7]. Afin de pouvoir amener le sujet d’inharmonicite je vais fairele point sur les analogies qu’il y a entre les sons homogenes traites par Di Santo et entreles differents types de sons traites dans la litterature scientifique. En lisant un cours deM. Philippe Guillaume [7], nous avons le son sinusoıdal, les sons periodiques, les sons avecpartiels et les bruits.

6.1 Son sinusoıdal

Quand nous apercevons un son il s’agit de la variation de la pression autour de notreposition x, il s’agit d’une fonction du temps pa(x, t) = s(t), c’est le signal sonore. Le sonsinusoıdal est l’un des sons les plus simples, on dit que c’est un son pur. On l’ecrit dedifferentes facons selon le contexte :

s(t) = αcos(ωt+ θ)

= αcos(2πft+ θ)

Ou :

ω 6 0 est la pulsation en rad/s.f = ω

2π > 0 est la frequence exprimee en hertz (Hz) elle represente le nombre de vibrationspar seconde.

Ce qui suit ce sont de graphiques representant une sinusoıde pure analysee sousdifferents contextes : temps-pression, spectre de frequences et temps-frequences.

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Figure 2 – Representation d’une sinusoıde pure

Figure 3 – Spectre d’une sinusoıde pure

Figure 4 – Representation d’une sinusoıde pure dans le domaine temps-frequences

Nous pouvons remarquer que la modelisation du son tonique pur est aisee, d’apres lesdefinitions physiques.

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6.2 Sons periodiques

Un cas interessant se produit lorsque toutes les frequences sont des multiples entiersd’une frequence donnee f > 0 : fn = nf .Dans ce cas, le signal

s(t) =∑n>1

αncos(2πfnt+ θn) (1)

est periodique de periode T = 1f , en effet s(t+ T ) = s(t) pour tout t.

Figure 5 – Representation d’un son avec harmoniques dans le domaine temps-frequences

Il est evident que les sons periodiques au sens strict du terme n’existent, nous nousservons de ce modele pour se rapprocher des sons qu’on retrouve en musique par exemple.

Pour faire le lien entre sons toniques (ou sons harmoniques) avec les resultats presentesil faut faire le pont entre la science et la musique.

En musique, la frequence f est appelee le fondamental, et la frequence fn = nf estappelee l’harmonique de rang n. Si par exemple f est la frequence du Do-3 (261.6Hz),alors f2 est a l’octave au-dessus (Do-4).

Comment les obtenir ces harmoniques ? Il suffit d’enoncer le systeme de la gammetemperee [11]. Tout le monde connaıt la suite de notes Do-Re-Mi-Fa-Sol-La-Si-Do, il fautsavoir que du premier Do au second il y a une octave. On peut appliquer le meme prin-cipe au Re, au Mi, etc. Il faut savoir dans le systeme de la gamme temperee on subdivisel’octave en douze intervalles chromatiques egaux (demi-tons), on obtient la gamme chro-matique :

Do-Do]-Re-Re]-Mi-Fa-Fa]-Sol-Sol]-La-La]-Si- Do ouDo- Reb- Re- Mib- Mi- Fa- Solb- Sol- Lab- La- Sib- Si- Do.

Donc pour obtenir note de frequence fk a partir d’une note de depart de frequence f0,il suffit de connaıtre le nombre de demi-tons qu’il y a entre les deux notes, il y aura kdemi-tons.

En effet le lien entre ces deux frequences est donne par [20] :

fk = 2k12 f0

Si on prend notre Do-3 on a f = 261, 4KHz, notre Do-4 se situe a 13 demi-tons, onobtient : f13 = 2

1312 f), c’est a dire f13 = 2 ∗ f , il s’agit bien de la deuxieme harmonique.

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Il faut faire bien la difference entre entre deux notes de frequences respectives fk et f0 sesituant a k demi-tons d’intervalle, et deux notes dont une est la k-ieme harmonique del’autre.

Un son comportant un grand nombre d’harmoniques sera percu comme �riche� (exempledu clavecin ou du violon), alors qu’un son ne comportant que peu d’harmoniques serapercu comme � pauvre� (exemple de la flute douce).

On retrouve ici egalement des liens entre le modele de M. Di Santo et les modelesphysiques.

6.3 Les bruits

Les travaux de M. Pierre Hanna [9] et [10] ont ete d’une aide plus que remarquable ace sujet puisque tous ces travaux sont concentres autour de bruits et de la modelisationde ces derniers. Ce qu’on peut retenir deja c’est que nous sommes entoures par le bruit,il suffit de sortir en ville pour s’en rendre compte. Le bruit est associe a la notion de sonnon structure, presentant un caractere aleatoire. Par exemple, un signal s(t) ou chaquevaleur s(t) est une variable aleatoire suivant une loi donnee (gaussienne par exemple), lesvariables s(t) et s(t’) etant independantes deux a deux pour tout t 6= t′, est un bruit quiressemble a un souffle continu, ou a la friture qui apparaıt lorsqu’un recepteur radio n’estbranche sur aucune station. Ci-dessous les representations temps-pression, spectrale ettemps-frequence du bruit blanc.

Figure 6 – Representation d’un bruit blanc

Figure 7 – Spectre d’un bruit blanc

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Figure 8 – Representation d’une bruit blanc dans le domaine temps-frequences

Le bruit blanc (par analogie avec la lumiere blanche) est un son dans lequel toutes lesfrequences audibles sont egalement presentes. On retrouve a nouveau le bruit blanc dejaenonce dans le modele de M. Di Santo comme l’oppose extreme au son tonique pur.

6.4 Sons avec partiels

D’autres instruments, comme par exemple les cloches, la plupart des instruments apercussion, ainsi que le piano dans une faible mesure, produisent des sons de la forme (1),mais qui ne sont plus periodiques. En termes de frequences, cela se traduit par le fait qu’iln’existe pas de frequence f telle que toutes les frequences fn soient des multiples entiersde f . On ne parle plus d’harmoniques on parle de partiels. Le son d’un cloche est un bonexemple pour determiner un son avec partiels.

Selon la qualite des oreilles de chacun d’entre nous, nous sommes plus ou moins ca-pables de discerner sans trop de difficultes le son d’un cloche avec celui d’un piano, c’esta dire que nous sommes capables de reconnaıtre un son periodique d’un qui ne l’est pas.

Cependant, certains pianos de faibles dimensions (petits pianos droits et crapauds),aux cordes plus courtes compensees par un diametre plus fort, produisent un son unpeu acide qui justement fait penser a un son de cloche. Cela provient du fait que lesfrequences produites par une telle corde s’ecartent de la progression des entiers, c’est ceque l’on appelle inharmonicite.

Nous pouvons donc parler des sons inharmoniques. Voici un exemple d’un son avecdes partiels, on l’obtient par addition des sinusoıdes, notre frequence de depart est le LAavec f = 440KHz multiplie par les partiels :[1.0057, 2.0467, 3.1600, 4.3872, 5.7767] Pour se rendre compte, il suffit de comparer lespectre de ce son avec le son harmonique du LA, ce dernier on l’obtient de la mememaniere sauf qu’on le multiplie par les valeurs [1,2,3,4,5] pour obtenir les harmoniques.Le procede pour obtenir les partiels sera explique plus loin dans la partie.

Figure 9 – Representation d’un son avec partiels

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Figure 10 – Spectre d’un son avec partiels

Figure 11 – Comparaison d’un spectre ”harmonique” et un spectre avec partiels

Pour mesurer l’inharmonicite, on utilise comme unite logarithmique le cent ou centiemede demi-ton [7]. Un demi-ton tempere correspond a un rapport de frequences egal a 21/12

et le cent correspond par consequent a un rapport de frequences egale a 21/1200.

Dire que deux frequences f1 < f2 sont a un cent d’intervalle revient a dire que :

log2f2 = log2(f1 × 21/1200)

= log2f1 +1

1200= log2f1 + 1cent.

Ou log2 correspond au logarithme de base deux (log2(2n) = n), commode a utiliserdans la mesure ou l’intervalle d’octave correspond justement a un rapport 2.Les facteurs de piano ont alors constate que pour une note de fondamental theorique f ,l’ecart en cents d’un partiel par rapport a l’harmonique correspondant est a peu presproportionnel au carre du rang de l’harmonique :

log2fn ' log2(nf) +ζ(f)n2

1200

La valeur de ζ(f) depend de la note et de l’instrument, dans le modele que j’utilise poursynthetiser des sons inharmoniques a partir d’une frequence donnee je modelise la fonctionζ(f) par un coefficient dit d’inharmonicite.

function [f0,x,y,Fe,harm]=inharmo(n,inharm)

Fe = 44100; h = 1/Fe; T = 2.0;%parametres d’echantillonnage

f1=440;%choix du LA3

z=12*rand(1);

f0=f1*2^(z/12); %calcul d’une frequence aleatoire entre le LA3 et le LA4

N = 1:n;

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cent= 2^(1/1200); %unite d’inharmonicite

harm = N.*cent.^(inharm*N.^2);

fr = harm*f1; %vecteur des partiels de f0

%--------addition des sinus pour les partiels-------%

am = 1;

th = 0:h:T;

y=zeros(1,length(th));

for k = 1:n

% mise bout a bout de sinus

y = y+sin(2*pi*fr(k)*th);

end

end

Expliquons la fonction inharmo(n, inharm) : les deux parametres correspondent a laquantite de partiels n allant de 10 a 100, et au coefficient d’inharmonicite inharm (ou Bpour les graphes ci dessous) passant par des valeurs inferieures a 1, entre 1 et 100 et enfinde 100 a 1300.

Ces valeurs n’ont pas ete choisies au hasard, il s’agit du fruit de mes observations. Eneffet la machine possede ses limites de calcul, j’ai donc fait varier les valeurs jusqu’a quela machine ne puisse plus calculer.

Mon but etait de creer une base de donnees de sons inharmoniques afin de les sou-mettre a M. Di Santo pour qu’il me donne ses impressions, les resultats ont ete tressatisfaisants d’une part parce qu’il sont tout a fait representatifs de la categorie des sonsinharmoniques donc utilisables pour mes analyses et d’une autre part parce qu’il m’ademande la permission d’utiliser mes sons pour ses compositions personnelles.

Figure 12 – Son inharmonique, n=4 etB=0.5

Figure 13 – Son inharmonique, n=10et B=0.7

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Figure 14 – Son inharmonique, n=60et B=60

Figure 15 – Son inharmonique, n=100et B=100

Figure 16 – Son inharmonique, n=80et B=17

Figure 17 – Son inharmonique, n=5 etB=100

Les apparences peuvent etre trompeuses, en effet pour certains sons ci-dessus, nousavons l’impression d’avoir a faire a des bruits, mais il n’en est rien il s’agit des sons plusou moins riches qui ont leur spectre sous forme de peigne.

Figure 18 – Spectre du son inharmo-nique, n=4 et B=0.5

Figure 19 – Spectre du son inharmo-nique, n=10 et B=0.7

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Figure 20 – Spectre du son inharmo-nique, n=60 et B=60

Figure 21 – Spectre du son inharmo-nique, n=100 et B=100

Figure 22 – Spectre du son inharmo-nique, n=80 et B=17

Figure 23 – Spectre du son inharmo-nique, n=5 et B=100

7 Mise en place de l’algorithme

Comme cela a deja a ete enonce nous nous concentrerons sur les trois groupes ho-mogenes : sons toniques, inharmoniques et bruits. Pour les differencier, on calcule lafonction d’auto correlation, on recupere le pic le plus important (a l’origine) et on re-garde son pitch strength [8] c’est a dire le quotient du pic le plus important avec le picsecondaire le plus important. En effet, des travaux ont ete menes demontrant que l’onpeut distinguer certaines proprietes du son en fonction du pitch strength [4]. Si le pitchstrength est faible alors la partie du signal analysee appartient a la categorie des bruits.Sinon, elle appartient soit au sons harmoniques soit inharmoniques.

Si elle appartient a la categorie des bruits, nous cherchons d’abord a determiner si ils’agit d’un ’bruit blanc’. Pour cela la mesure de spectral flatness est un bon indicateur,comme cela est decrit dans [21] : elle est calculee par le rapport de la moyenne geometriquea la moyenne arithmetique du spectre de l’energie. Le spectre est obtenu par transformeede Fourier puis il est eleve au carre.Formellement nous obtenons :

Flatness =(∏Nn=1 x(n))

1N

1N

∑Nn=1 x(n)

Si la valeur de spectral flatness est elevee, alors nous sommes en presence d’un ’bruitblanc’. Au contraire, si la partie de signal n’appartient pas aux bruits nous soumettonsencore le Spectral flatness, si la valeur est sufissament elevee il s’agit des sons inharmo-niques. Dans le cas contraire nous nous trouvons dans la categorie des sons toniques, nouspouvons savoir dans ce cas s’il s’agit d’une sinusoıde pur en calculant le Pitch strength,en effet s’il est tres haut il s’agit d’une sinusoıde. Nous pouvons remarquer que notrealgorithme fait appel a des nombreux seuils, ces seuils sont le resultats des observations

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donc, ils sont presentes en tant que seuils hypothetiques.En attendant une validation ulterieure par M. Di Santo, l’algorithme tel qu’il a ete

enonce sera en annexe a la fin de cet expose.

8 Conclusions et perspectives

Le modele de M. Di Santo tel qu’il a ete expose presente nombreuses difficultes car ils’agit d’une analyse sous plusieurs dimensions. La duree de mon stage ne m’a pas permisd’aller plus loin mais cela ne m’empeche pas de continuer a reflechir sur les problematiquesdu modele en effet je continue mes recherches et mes analyses afin de mettre un algorithmepouvant se concentrer sur l’aspect riche ou pauvre du spectre, en effet cela fait appel ades descripteurs spectraux qui ont ete enonces dans [15], ces descripteurs sont capables dedecrire le comportement du spectre donc il serait possible de mettre en place une methodepouvant, a l’aide des seuils , determiner s’il s’agit d’un son riche ou pauvre.

Les autres problematiques du modele : sons hybrides, sons canneles ou compositesn’ont pas ete abordees du fait de leur complexite. Je pense qu’il faudrait que j’obtiennede capacites de modelisation afin de pouvoir formaliser ces sons, je touche donc meslimites en termes de connaissances et il faudra quelques temps afin de remedier cela.

En dehors du fait que ce stage ait ete de courte duree, je n’ai fait qu’obtenir des avan-tages : j’ai peaufine mes capacites d’analyse et de recherche, en effet j’ai appris a allera l’essentiel, a prendre les devants pour mettre en place des programmes et chercher dessolutions lorsque les � bugs � informatiques survenaient, j’appris egalement a organisermon travail pour etre le plus efficace, j’ai appris a contourner les difficultes et a accep-ter l’echec lorsque rien ne marche. A tout cela j’ajoute deux points importants : d’unepart, les lectures bibliographiques ont ete un vrai enrichissement : j’ai pris connaissancede ce qui se fait en ce moment concernant la recherche que ce soit au niveau de la re-connaissance vocale, les methodes d’analyse liees au timbre, la detection des frequencesfondamentales [13], les descripteurs sonores, la liste est non exhaustive. Tous ces docu-ments m’ont apporte des connaissances pouvant m’aider directement ou indirectementsur mon sujet. L’autre point importante est liee directement avec ma prise en main dulangage informatique MatLab, en effet je me suis servi de cet outil quotidiennement, cequi m’a ete plus que benefique.

Dernier point loin d’etre negligeable : en effet mon sujet se situe dans le cadre d’unstage de recherche. Ma volonte de le realiser vient du fait de mon questionnement surmon avenir professionnel et meme si mon travail effectue n’est pas comparable a celuid’un chercheur a proprement parler il se rapproche fortement et il se trouve que j’ai etecharme par l’engagement donc la question sur le fait de devenir chercheur se pose de plusen plus. C’est une idee qui etait dans mon esprit depuis quelques temps et grace a ce stageet aux echanges avec mes tuteurs : M. Jean-Luc Rouas, Me. Myriam Desainte-Catherineet M. Pierre Hanna elle commence a faire surface. Je laisse mon idee murir avant d’entirer des conclusions plus solides concernant mon avenir.

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Appendix A : Tableaux typologiques du modele ex-pose en 2011 par M. Di Santo

En ce qui concerne les sons homogenes et hybrides nous avons les deux tableaux sui-vants :

Figure 24 – Sons homogenes

Figure 25 – Sons hybrides

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Pour les groupes, nous avons un tableau regroupant les sons homogenes et trois autresconcernant les groupes hybrides.

Figure 26 – Groupes homogenes

Figure 27 – Groupes hybrides premiere partie

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Figure 28 – Groupes hybrides deuxieme partie

Figure 29 – Groupes hybrides troisieme partie

Figure 30 – Sons canneles premiere partie

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Figure 31 – Sons canneles deuxieme partie

Je presente ici la derniere partie du modele, concernant mon etude c’est celle que j’aitraite le moins.

Figure 32 – Sons canneles deuxieme partie

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References

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