Serie Fourier Harmonique

7/24/2019 Serie Fourier Harmonique

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SERIES DE FOURIER 1

SERIES DEFOURIER

Cours


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SERIES DE FOURIER2

I. INTRODUCTION

1. Dfinition d'une srie

2. Dfinition de la dcomposition en srie de Fourier

3. Rappels et conditions de Dirichlet

4. Expression de la dcomposition en srie de Fourier5. Convergence (Thorme de Dirichlet)

6. Utilisation de la dcomposition en srie de Fourier

II. EXPRESSIONS MATHEMATIQUES

1. Calcul de a0

2. Forme algbrique de la dcomposition en srie de Fourier

3. Forme polaire de la dcomposition en srie de Fourier

4. Forme complexe de la dcomposition en srie de Fourier

5. ExemplesIII. PROPRIETES ET OPERATIONS

1. Somme de fonctions

2. Parit des fonctions

3. Thorme du glissement

4. Drivation et intgration d'une srie de Fourier

5. Relations de Parseval

6. Spectre d'une fonction priodique diffrentes reprsentations

7. Taux de distorsion harmoniqueIV. Application au gnie lectrique

1. Signaux lectriques non sinusodaux

2. Les puissances

3. Les mesures


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SERIES DE FOURIER 3

I. INTRODUCTION

1. Dfinition dune srie

En mathmatiques, la srie constitue une gnralisation de la notion de somme,

pour une succession infinie de termes. L'tude des sries consiste effectuer lasomme d'un nombre fini n de termes successifs, puis observer le comportementlorsque n devient indfiniment grand, par un calcul de limite. Un certain nombre demthodes permettent de dterminer la nature (convergence ou non) des sries sansraliser explicitement ces deux calculs.

Exemple : LL +++++=

i210

0nn aaaaa : srie de terme gnral an.

Une srie trigonomtrique est une srie dont le terme gnral est une fonctiontrigonomtrique dont la frquence varie selon lindice n.

Exemple : ( ) ( ) ( ) ( ) LL +++++=

ticosat2cosatcosaatncosa i210

0nn

2. Dfinition de la dcomposition en srie de Fourier

Dans la plupart des domaines de la physique, en lectricit, optique, acoustique,thermique, mcanique, ... on a souvent affaire des fonctions priodiques, mais deforme quelconque.

Nous allons montrer que sous certaines conditions, on peut considrer ces signaux

comme la superposition de fonctions priodiques simples que sont les fonctionssinus et cosinus. Le signal apparait alors comme la somme d'une srietrigonomtrique appele srie de Fourier.

3. Rappels et Conditions de Dirichlet

Pour tre dveloppable en srie de Fourier, une fonction f(t) doit :

- tre priodique, de priode T, de pulsationT

2= , telle que f(t+T) = f(t) pour tout t,

- tre dfinie dans un intervalle

2

T,

2

T,

- vrifier les conditions dites de Dirichlet qui sont les suivantes :

Ne possder que des discontinuits de premire espce (sauts finis) c'est

dire des points tels que )(f)(f + (valeur droite diffrente de la valeur

gauche), en nombre fini dans l'intervalle de la priode T.

N'avoir qu'un nombre fini de maxima et de minima dans T.


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SERIES DE FOURIER4

Partout o f(t) est continue, sa drive f(t) doit tre borne, autrement dit ilne faut pas que f(t) prsente de points tangente verticale sauf auxdiscontinuits.

Exemples : Les fonctions suivantes sont trs couramment rencontres dans le

domaine du gnie lectrique et sont toutes dcomposables en srie deFourier

Fonction "carr" (appele aussi "rectangle "ou "mandre")

0T/2-T/2 T t

f(t)

0T/2-T/2 T t

f(t)

0T/2-T/2 T

t

f(t)

Fonction "dent de scie"

0T-T 2T t

f(t)

0T-T 2T t

f(t)

Fonction "triangle"

0T/2-T/2 T t

f(t)

0T-T T/2 t

f(t)

-T/2

T/2 t

f(t)

-T/2 0

Fonction "trapze"

0 T/2-T/2 T t

f(t)

0 T--T T t

f(t)

-T-


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SERIES DE FOURIER 5

Fonction "sinusodal redress" Fonction "exponentielle"

0 2TT t

f(t)

0 T 2T t

f(t)

Contre-exemples :

Une fonction telle quet

1)t(f = pour


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SERIES DE FOURIER6

5. Convergence (Thorme de Dirichlet)

Soit une fonction f(t) vrifiant les conditions de Dirichlet, et prsentant une

discontinuit en t = .

Le dbut du dveloppement de f(t) en srie de Fourier, limit au terme d'ordre n,

s'crit sous la forme:

( )=

+=n

0kkkn )tksin(b)tkcos(a)(S

Le thorme de Dirichlet indique que lorsque n tend vers l'infini, la srie converge

vers la moyenne des limites droite et gauche de f(t) lorsque t tend vers .

[ ])(f)(f2

1)(Slim nn + +=

6. Utilisation de la dcomposition en srie de Fourier

On a pu voir que les signaux priodiques que lon rencontre en lectrotechnique nesont pas franchement sinusodaux : signaux issus dun hacheur, dun redresseur,dun onduleur.

Faire une dcomposition en srie de Fourier va nous permettre de savoir decombien le signal que lon tudie est loign du signal sinusodal : ce sera entreautre ralis laide du calcul du taux de distorsion harmonique (THD).

Par ailleurs, grce la dcomposition en srie de Fourier une analyse spectrale dusignal pourra tre effectue. Elle permettra de savoir si le dispositif tudi rpondaux normes de pollution harmonique, CEM, filtrage, etc

On retrouve alors dans de nombreux domaines de la physique la notion de spectrefrquentiel : lectricit, lectronique, mdecine, radar-sonar, hifi, gologie,traitement du signal

II. EXPRESSIONS MATHEMATIQUES

Soit une fonction f(t) de la variable t, intgrable sur l'intervalle

2

T,

2

T.

1. Calcul de a0

Par dfinition on a : dt)t(fT

1a

2T

02T=

C'est la valeur moyenne de la fonction sur l'intervalle d'une priode

2

T,

2

T.


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SERIES DE FOURIER 7

2. Forme algbrique de la dcomposition en srie de Fourier

La forme la plus couramment utilise de la dcomposition en srie de Fourier dunefonction f(t) est la forme algbrique. Elle scrit comme suit :

( )

= ++= 1n nn0 )tnsin(b)tncos(aa)t(f

Les coefficients de la srie de Fourier s'valuent selon les expressions suivantes :

dt)tnsin()t(fT

2b

dt)tncos()t(fT

2a

2T

n

2T

n

2T

2T

=

=

Remarques : Il est important de remarquer que l'expression du coefficient a0n'est pas la mme que celle que l'on obtiendrait en faisant n= 0dans l'expression de an.

Pour n = 1, la fonction (a1cos(t) + b1sin(t)) sappelle lefondamentalde la fonction.

Les fonctions (ancos(nt) + bnsin(nt)) sappelle les harmoniquesde la fonction.

Les intgrales sont prendre sur une priode de la fonction f(t).

On peut donc gnraliser les expressions suivantes :

dt)tnsin()t(fT

2dt)tnsin()t(f

T

2dt)tnsin()t(f

T

2b

dt)tncos()t(fT

2dt)tncos()t(f

T

2dt)tncos()t(f

T

2a

dt)t(fT

1dt)t(f

T

1dt)t(f

T

1a

2Tt

t

T

0

2T

n

2Tt

t

T

0

2T

n

2Tt

t

T

0

2T

0

0

0

0

0

0

0

2T2T

2T2T

2T2T

===

===

===

+

+

+

Dans la pratique, on choisira t0 de manire simplifier le calcul de l'intgrale.

3. Forme polaire de la dcomposition en srie de Fourier

Soit le dveloppement en srie de Fourier de f(t): ( )

=

+=0n

nn )tnsin(b)tncos(a)t(f

On peut dcider d'crire la dcomposition en srie de Fourier comme une sommeinfinie de fonction cosinus uniquement ou sinus.

A ce moment l, on doit faire intervenir des dphasages dans les fonctionstrigonomtriques.


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SERIES DE FOURIER8

Dans un premier temps, choisissons dexprimer la dcomposition en srie deFourier de f(t) avec uniquement des fonctions cosinus.

On posealors :

=

=

nnn

nnn

sinb

cosa

Ainsi :

=

+=

=

+=

=

+=

n

nn

2n

2n

n

n

nn

2n

2n

n

n

nn

2n

2n

2n

a

b

ba

bbsin

ba

aacos

ba

tg

nest la phase de l'harmonique n

Alors : [ ]

=

=

+=++=1n

nn01n

nnn0 )tncos(a)tnsin(sin)tncos(cosa)t(f

On crira donc:

===

= 0a)tncos()t(f

0

00

0nnn avec

Si lon dcide maintenant dexprimer la dcomposition en srie de Fourier de f(t)avec uniquement des fonctions sinus.

On pose

alors :

=

=

nnn

nnn

cosb

sina

Ainsi :

=

+==

+=

=

+=

n

nn

2n

2n

n

n

n

n

2n

2n

n

n

nn

2n

2n

2n

b

a

ba

aa

sin

ba

bbcos

ba

tg

nest la phase de l'harmonique n

Alors : [ ]

=

=

++=++=1n

nn01n

nnn0 )tnsin(a)tnsin(cos)tncos(sina)t(f

On crira donc:

=

++=

1n

nn0 )tnsin(a)t(f

Remarque : Cette forme d'criture de la srie de Fourier, qui fait apparatrel'amplitude et la phase de l'harmonique de rang n est trs utilise enphysique.

4. Forme complexe de la dcomposition en srie de Fourier

Introduisons les formules dEuler dans la dcomposition en srie de Fourier de f(t)

mise sous forme algbrique.


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SERIES DE FOURIER 9

2)tncos(

tjntjn +=

ee et

j2)tnsin(

tjntjn =

ee

=

+

++=

1n

tjntjn

n

tjntjn

n0j2

b2

aa)t(feeee

Soit

=

++

+=

1n

tjnnntjnnn0

2

jba

2

jbaa)t(f ee

Posons2

jbac nnn

= et

2

jba'c nnn

+= et calculons leurs expressions.

Les deux coefficients an et bn tant rels, les coefficients cn et cn sont alors

complexes conjugus l'un de l'autre: nn c'c =

Calculons cn:

[ ]dt)tnsin(j)tncos()t(fT

1

dt)tnsin()t(fTjdt)tncos()t(f

T1c

2T

2T2T

n

2T

2T2T

=

=

Soit : dt)t(fT

1c tjn

2T

n2T

= e et dt)t(fT1

'c tjn2T

n2T

= e On passe de cn cnen changeant j en -j, ce qui revient, d'aprs lexpression de cn

changer n en -n.

nnn cc'c ==

Le dveloppement de f(t) est alors : ( )

=

++=1n

tjnn

tjnn0 cca)t(f ee

et s'exprime ainsi sous la forme :

=

=n

tjnnc)t(f e

avec

dt)t(f

T

1c tjn

2T

n2T

= e

Pour la valeur particulire n = 0, on obtientdt)t(fT

1

ac

2T

00 2T

==

.

5. Exemples

Dans ce paragraphe, deux exemples vont tre traits en dtail. Leur dcompositionen srie de Fourier sera dabord calcule sous forme algbrique puis les formespolaires et complexes seront donnes.

Ces deux exemples vont par la suite tre utiliss pour mettre en vidence certaines

proprits sur les fonctions et la consquence sur leur dcomposition en srie deFourier.


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SERIES DE FOURIER10

a) Exemple 1 : fonction crneau f(t)

Soit la fonction crneau f(t) prsente sur la figure suivante.

0T t

f(t)

2

T

4

T

2

T 4

T

2

V0

V0

Calcul de a0: [ ] 2V

4T2

TVt

TVdtV

T1dt)t(f

T1a 004/T 4/T00

4T

4/T

2T

2/T0 ==

===

2Va 00=

Calcul de an: dt)tncos()t(fT

2a

2T

2/Tn =

dt)tncos(VT

2a 0

4T

4/Tn =

( )

=

=

=

=

2

nsin

n

V2

4

Tnsin

Tn

V4

n

4

Tnsin

n

4

Tnsin

T

V2

n

tnsin

T

V2

a

0

0

0

4/T

4/T

0

n

Si n est un nombre pair, n = 2p : ( ) 0psin2

nsin ==

Si n est un nombre impair, n = 2p + 1 :p)1(

2)1p2(sin

2

nsin =

+=

+

=

=

=

+

p0

1p2

p2

n)1(

)1p2(

V2a

0a

a


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SERIES DE FOURIER 11

Calcul de bn: dt)tnsin()t(fT

2b

2T

2/Tn =

( )

0

n

4

Tncos

n

4

Tncos

T

V2

ntncos

TV2

dt)tnsin(VT

2b

0

4/T

4/T

0

0

4T

4/Tn

=

+

=

=

=

Finalement la dcomposition en srie de Fourier du crneau scrit sous forme

algbrique comme suit :

( )t)1p2(cos)1p2(

V2)1(

2

V)t(f

0p

0p0 ++

+=

=

Vu que les coefficients bn sont nuls, la forme polaire est gale la forme

algbrique : pour tout n, n= anet n= 0.

Pour la forme complexe cela donne : dtVT

1dt)t(f

T

1c tjn

4T

4

tjn2T

nT2T

== ee 0

[ ]

=

=

4

Tjn

4

Tjn4T

4tjn

nTjn

V

Tjn

Vc T eee

00

=

=

2

nsin

n

V

j2.

n

Vc

2

jn

2

jn

n00 ee

===

=+

=+=

==

+

+

a2

Vc0n

2

a

)1p2(

V)1(c1p2n

0cp2n

00

1p2p1p2

p2

0

0

Le dernier rsultat peut aussi s'obtenir par le calcul direct:2

VdtV

T

1ac

4T

400

T

00 ===

On obtient alors le rsultat suivant : t)1p2(j

p

0p0

e)1p2(

V

)1(2

V

)t(f +

= ++=


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SERIES DE FOURIER12

Remarque : En regroupant la valeur positive et la valeur ngative correspondant une mme frquence, on retrouve le rsultat tabli prcdemment :

[ ] [ ]

+

+

+=

++

+

+=

...5

t5cos

3

t3cos

tcos

V2

2

V

...3

VV

2

V)t(f tj3tj3tjtj

00

000 eeee

b) Exemple 2 : fonction crneau g(t)

Considrons maintenant la fonction g(t) reprsente sur la figure suivante :

0 T t

g(t)

2

T

2

T

2

V0

2

V0

Calcul de a0: 0dt

2

Vdt

2

V

T

1dt)t(g

T

1a

2T

0

00

2/T

02T

2/T0 =

+

==

a0= 0

Calcul de an: dt)tncos()t(gT

2a

2T

2/Tn =

( ) ( )

0

n

2

Tnsin

n

2

Tnsin

T

V2

n

tnsin

n

tnsin

T

V2

dt)tncos(2

Vdt)tncos(

2

V

T

2a

0

2/T

0

0

2/T

0

2T

0

00

2/T

0n

=

+

=

+

=

+

=


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Calcul de bn: dt)tnsin()t(gT

2b

2T

2/Tn =

( ) ( )

( ))ncos(1Tn

V2

n

12

Tncos

n

2

Tncos1

T

V

n

tncos

n

tncos

T

V

dt)tnsin(2

Vdt)tnsin(

2

V

T

2b

0

0

2/T

0

0

2/T

0

2T

0

00

2/T

0n

=

=

+

=

+

=

Si n est un nombre pair, n = 2p : ( ) ( ) 1p2cosncos ==

Si n est un nombre impair, n = 2p + 1 : ( ) ( )( ) 11p2cosncos =+=

+=

=

=+

)1p2(

V2b

0b

b0

1p2

p2

n

Finalement, on obtient :

( )t)1p2(sin)1p2(

V2)t(g

0p0 ++=

=

Vu que les coefficients ansont nuls, la forme polaire avec uniquement des fonctionscosinus est facile tablir :

Pour tout n, n= bnet n= /2, ainsi on a

++

+=

= 2t)1p2(cos

)1p2(

V2)t(g

0p

0

Pour la forme complexe cela donne :

[ ] [ ]

+

=

+

=

==

2

Tjn

Tjn2

Tjn

0

T

2Ttjn2T

0tjn

tjnT

2T

tjn2T

0

tjn2T

n

Tjn

V

Tjn

V

Tjn

V

dtVT

1dtV

T

1dt)t(g

T

1c

2T

eee-e

ee

eee

0

00

00


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SERIES DE FOURIER14

( )j2

.n

Vc

jn

n

=

e-120

==

=+

=+=

==

++

0c0n

2jb

)1p2(jVc1p2n

0cp2n

0

1p21p2

p2

0

On obtient alors le rsultat suivant : t)1p2(j

p

0 e)1p2(

jV)t(g +

=

+

=

Remarque : En regroupant la valeur positive et la valeur ngative correspondant une mme frquence, on retrouve le rsultat tabli prcdemment :

[ ] [ ]

+

+

+

+=

+

+

=

...5

t5sin

3

t3sintsin

V2

2

V

...3

jVjV)t(g tj3tj3tjtj

00

00 eeee

III. PROPRIETES ET OPERATIONS1. Somme de fonctions

La dcomposition en srie de Fourier repose sur le calcul dintgrales finies.

Aussi les proprits concernant laddition sur les intgrales finies sappliquent.

Ainsi la dcomposition en srie de Fourier de la somme de signaux est gale lasomme des dcompositions en srie de Fourier des signaux. Lharmonique de rangn est gale la somme des harmoniques de mme rang.

Soient deux fonctions f(t) et g(t) dcomposables en srie de Fourier comme suit :

( )

( )

++=

++=

=

=

1nnn0

1nnn0

)tnsin(bg)tncos(agag)t(g

)tnsin(bf)tncos(afaf)t(f

Alors : ( )

( ) ( )( )

=

=

+++++=

++=+=

1n

nnnn00

1nnn0

)tnsin(bhbf)tncos(agafagaf

)tnsin(bh)tncos(ahah)t(g)t(f)t(h


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2. Parit des fonctions

Le calcul des coefficients de la dcomposition en srie de Fourier dune fonction f(t)se simplifie lorsque la fonction dcomposer est paire ou impaire.

a) Cas des fonctions paires

Soit la fonction paire f(t). Alors f(t) = f(-t).

La fonction f(t)cos(nt) est aussi une fonction paire sur l'intervalle [-T/2,T/2] alors

que la fonction f(t)sin(nt) est une fonction impaire. Il en rsulte que :

==

==

==

0dt)tnsin()t(fT

2b

dt)tncos()t(fT

4dt)tncos()t(f

T

2a

dt)t(fT

2dt)t(f

T

1a

2T

n

2T

0

2T

n

2T

0

2T

0

2T

2T

2T

La dcomposition en srie de Fourier d'une fonction paire ne contient que destermes en cosinus avec ventuellement un terme en a0. On ne calcule donc ces

coefficients que sur une demie priode.

Remarque : la fonction f(t) de lexemple 1 prcdent est une fonction paire.

b) Cas des fonctions impaires

Soit la fonction impaire f(t). Alors : f(t) = -f(-t)

La fonction f(t)cos(nt) est aussi une fonction impaire sur l'intervalle [-T/2,T/2] alors

que la fonction f(t)sin(nt) est une fonction paire. Il en rsulte que :

==

==

==

dt)tnsin()t(fT

4dt)tnsin()t(f

T

2b

0dt)tncos()t(fT2a

0dt)t(fT

1a

2T

0

2T

n

2T

n

2T

0

2T

2T

2T

La dcomposition en srie de Fourier d'une fonction impaire ne contient que destermes en sinus. De plus, elle ne possde pas de terme a0.

Remarque : la fonction g(t) de lexemple 2 prcdent est une fonction impaire.


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SERIES DE FOURIER16

En rsum :

=

=

=

=

=

=

dt)tnsin()t(fT

4b

0a

0a

)t(f

0b

dt)tncos()t(f

T

4a

dt)t(fT

2a

)t(f

2T

0n

n

0

n

2T

0n

2T

00

impaire

paire

Remarques : Si f(t) est une fonction paire les coefficients cnsont rels.

Si f(t) est une fonction impaire les coefficients cnsont imaginairespurs.

Si f(t) est une fonction quelconque les coefficients cn sontcomplexes.

3. Thorme du glissement

a) Rendre un signal pair ou impair

Nous venons de voir que la calcul de la dcomposition en srie de Fourier dunefonction paire ou impaire tait beaucoup plus simple que pour une fonctionquelconque.

Aussi, on essaiera de transformer le signal que lon doit tudier en une combinaisonsimple de signaux pairs ou impairs.

On nhsitera pas par exemple effectuer des translations temporelles poursatisfaire cet objectif.

Ainsi le calcul des coefficients de la dcomposition en srie de Fourier est plussimple. Il suffit ensuite de faire la translation temporelle sur tous les termes cosinusou sinus pour obtenir la dcomposition en srie de Fourier du signal initial.

En effet, quand il sagit de ltude de signaux en rgime permanent, il suffit de semettre sur une priode, et le rsultat sur le poids des diffrents harmoniques est lemme.

Si lon reprend les deux fonctions f(t) et g(t) du paragraphe II-5.

Hormis la valeur moyenne, on a la relation suivante : g(t) = f(t-T/4) V0/2.


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( ) ( )

( )

)t(g

)1(t)1p2(sin)1p2(

V2)1(

2)1p2(sint)1p2(sin

2)1p2(cost)1p2(cos

)1p2(

V2)1(

4

Tt)1p2(cos

)1p2(

V2)1(

2

V

4

Ttf

p

0p

0p

0p

0p

0p

0p0

=

++

=

+++

++

+=

+

+=

=

=

=

Donc la dcomposition en srie de Fourier dun signal est obtenue laide dunetranslation temporelle de la dcomposition en srie de Fourier de lautre signal.

Cette proprit sera souvent utilise.

Nous en verrons une illustration quand il sagira de faire une analyse frquentielle.

b) Autres proprits

En appliquant ce glissement sur certaines fonctions particulires, on admet alors lesdeux rsultats suivants :

Si f(t+T/2) = f(t), sa dcomposition en srie de Fourier ne contient que desharmoniques de rang pair. Notons que cette fonction est priodique, de priodeT/2 et que la dcomposition en srie de Fourier peut tre faite en tenant comptede cette valeur.

Si f(t+T/2) = -f(t), sa dcomposition en srie de Fourier ne contient que desharmoniques de rang impair. Cette configuration est trs commune pour lesapplications de llectronique de puissance en gnrale. Donc ce sera trs utiledans le domaine du gnie lectrique.

4. Drivation et intgration dune srie de Fourier

Soit une fonction f(t) de la variable t dveloppe en srie de Fourier :

( )

=

++=1n nn0

)tnsin(b)tncos(aa)t(f

a) Drivation

Il est toujours possible de prendre la drive des termes en sinus et cosinus dumembre de droite. Cependant, le dveloppement obtenu ne reprsentera ledveloppement en srie de Fourier de la drive f(t)

de f(t) que si la fonction

n'admet aucune discontinuit.

C'est dans ce cas seulement que l'on pourra crire :

( )

=

=

+=

++==

1nnn

1nnn0

' )tncos(bn)tnsin(an)tnsin(b)tncos(aadt

d

dt

)t(df)t(f


18/28

SERIES DE FOURIER18

b) Intgration

Il est toujours possible de prendre la primitive des termes en sinus et cosinus dumembre de droite. Cependant, le dveloppement obtenu ne reprsentera ledveloppement en srie de Fourier de la primitive F(t)

de f(t) que si la valeur

moyenne de la fonction est nulle (a0= 0).

C'est dans ce cas seulement que l'on pourra crire :

=

=

=

+==

1n

nn

1nnn )tncos(

n

b)tnsin(

n

adt)tnsin(b)tncos(adt)t(f)t(F

Remarque : si a00, l'intgration conduit une fonction qui n'est pas une fonction

priodique.

=

+==1n

nn0 )tncos(

n

b)tnsin(

n

atadt)t(f)t(F

c) Exemple d'intgration et de drivation

Reprenons la fonction crneau f(t) valeur moyenne non nulle que nous avonstudie prcdemment dans lexemple 1 et dont le dveloppement en srie deFourier est :

( ) ( ) ( )

+

+

+++

+

+= ...

1p2

t)1p2(cos)1(...

5

t5cos

3

t3costcos

V2

2

V)t(f

p00

D'aprs ce que nous venons de dire l'intgrale de ce dveloppement ne sera pas

une srie de Fourier en raison de la prsence du terme non born issu delintgration de la valeur moyenne non nulle.

Cependant, si nous considrons la fonction2

V)t(f)t(h 0=

dont le dveloppement

en srie de Fourier est :

( ) ( ) ( )

+

+

+++

+

= ...

1p2

t)1p2(cos)1(...

5

t5cos

3

t3costcos

V2)t(h p0

Elle admet une primitive (en choisissant la constante d'intgration nulle) dont ledveloppement en srie de Fourier est l'intgrale du dveloppement de h(t).

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

= +

+

=

+

+

+++

+

=

+

+

+++

+

=

0p2

p0

2

p

22

0

2

p

22

0

)1p2(

t)1p2(sin)1(

V2

...)1p2(

t)1p2(sin)1(...

5

t5sin

3

t3sintsin

V2

...)1p2(

t)1p2(sin)1(...

5

t5sin

3

t3sintsinV2)t(H


19/28


H(t) est une fonction triangle, dont l'expression analytique, dans l'intervalle

4

T,

4

T

est donne par : )0)0(H(t2

VCtet

2

Vdt

2

V)t(H 000 ==+== puisque .

La drive de h(t) est nulle partout, sauf pour les valeurs 2

Tk

4

Tt +=

o elle n'est

pas dfinie. La drivation du dveloppement de h(t) ne conduit pas une srieconvergente.

En ce qui concerne la drivation dune fonction : il suffit de rajouter la drive de ladcomposition en srie de Fourier la valeur moyenne de la fonction si elle est nonnulle.

5. Relation de Parseval

Soit une fonction f(t) de la variable t dveloppe en srie de Fourier :

( )

=

++=1n

nn0 )tnsin(b)tncos(aa)t(f

Multiplions chaque membre de la relation prcdente par la fonction f(t) et intgronssur une priode.

=

++=

2T

1nnn0

2T2

2T

2T2T2T dt)tnsin(b)tncos(a)t(fdt)t(fadt)t(f

dt)tnsin()t(fbdt)tncos()t(fadt)t(fadt)t(f2T

1nn

2T

1nn

2T

02

2T

2T2T2T2T++=

=

=

On reconnat les expressions des coefficients a0, an et bn du dveloppement en

srie de Fourier de f(t), un coefficient prs.

D'o : ( )

=

++=

1n

2n

2nT0

22T

ba

2

Tadt)t(f

2

2T

( )

=

=

+=

++=1n

2

n0

1n

2

n

2

n02

2T

2

1a

ba2

1adt)t(f

T

1

2

2

2T

o on a introduit la forme polaire,

=

+=1n

nn0 )tncos(a)t(f

avec 2n2n

2n ba +=

L'intgrale du membre de gauche reprsente la valeur moyenne du carr de lafonction f(t). Par dfinition c'est le carr de la valeur efficacede f(t)


20/28

SERIES DE FOURIER20

Evaluons le carr de la valeur efficace de l'harmonique de rang n:

[ ]

[ ]

2T2

n2T2

n

2T2n

n22

n

2T

2T2T

2T2T

n2

)n

tn(2sin

TtT2

dt)n

tn(2cos12

1

Tdt)tn(cos

T

1

+

=

+

=

[ ]

[ ])n

sin()n

sin(Tn42

)n

n2sin()n

n2sin(Tn42

dt)tn(cosT

1

2n

2n

2n

2n

n22

n

2T

2T

+

=

+

=

2

dt)tn(cos

T

1 2

nn

22n

2T

2T

=

Thorme: Le carr de la valeur efficace d'une fonction est gal la sommedes carrs des valeurs efficaces de chacun de ses harmoniques,augmente du carr de sa valeur moyenne.

( ) ( ) ( )

=

+1n

2effn

2moy

2eff VV=V

6. Spectre dune fonction priodique diffrentes reprsentations

Afin de disposer d'une reprsentation de la valeur des diffrents coefficients dudveloppement en srie de Fourier d'une fonction, on peut imaginer de reprsenter

les coefficients anet bnen fonction de la frquence, f, ou de la pulsation = 2f (ou

plus exactement en fonction des harmoniques successives fn= nf ou n= n).

Il est ainsi possible de se rendre compte, par simple inspection de la figure, del'ordre de grandeur relatif des diffrentes harmoniques. Une telle reprsentationporte le nom de spectre de frquences. Un exemple est donn sur la figuresuivante.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Coefficients bn

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Coefficients bn

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Coefficients an

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Coefficients an

harmonique harmonique


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Cependant, un simple changement d'origine de la fonction f(t) bouleversecompltement l'allure du spectre de frquence : par une simple translation d'unedemi-priode, on peut passer d'une fonction paire (tous les bnnuls) une fonction

impaire (tous les annuls), en explorant toutes les situations intermdiaires. Or une

translation de ce type ne change pas la nature physique du signal, dans la mesureo l'on s'intresse des rgimes permanents.

Pour viter cet inconvnient, on peut imaginer d'utiliser la forme polaire du

dveloppement en srie de Fourier et de reprsenter les coefficients net n : un

changement de l'origine des temps ne modifie alors que la phase de l'harmonique.

Au lieu de reprsenter n, on peut aussi reprsenter n2

= an2

+ bn2 qui d'aprs le

thorme de Parseval est proportionnel l'nergie associe chacune desharmoniques. Un tel spectre est appel spectre de puissance.

Une analyse spectrale consiste donc tracer le spectre dune fonction pourdterminer le poids des diffrents harmoniques du signal.

7. Taux de distorsion harmonique

Un autre indicateur existe pour pouvoir qualifier le signal que lon tudie par rapportau signal sinusodal reprsent par le fondamental. Il sagit du taux de distorsionharmonique ou THD qui permet de calculer le poids des harmoniques de rangsuprieur ou gal 2 par rapport au fondamental du signal.

Ceci permet entre autre de qualifier la linarit de la caractristique statique d'unsystme (un quadriple par exemple). Si cette caractristique est linaire, lesystme rpond une sinusode par une sinusode, sinon il introduit une distorsion

et le signal de sortie n'est plus sinusodal, mais a acquis des harmoniques.

Pour un signal v(t) mis sous forme polaire, sur lequel on fait apparatre la valeur

efficace des harmoniques,

=

+=1n

nneff0 )tncos(2VV)t(v , le taux de distorsion

harmonique est dfini ainsi :

( )

eff1

2

VTHD

==

n

2effnV

Par dfinition, le THD est toujours infrieur ou gal 1.

Sa valeur sera dautant plus proche de 1 que le signal sera proche dune sinusode.

Remarque : Dans cette dfinition, on ne tient pas compte de la valeur moyenne dusignal.


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SERIES DE FOURIER22

IV. APPLICATION AU GENIE ELECTRIQUE

Dans cette partie, nous allons regarder plus prcisment la dcomposition en sriede Fourier applique au gnie lectrique.

Pour cela, de nombreuses rfrences seront faites au cours dlectrotechnique

premire anne, plus particulirement les chapitres 1 et 2.

On prfrera dans cette partie exprimer les diffrentes dcompositions en srie deFourier sous forme polaire comme une suite de sinus dphass.

1. Signaux lectriques non sinusodaux

La valeur efficace Veff dun signal priodique quelconque est dfinie comme suit :

+

=

Tt

t

2v

eff

o

o

(t)dtT

1V

a) Rappels sur les signaux sinusodaux

Soit un signal (courant ou tension) qui scrit de la forme : v(t) = Vmsin(t+)

Dans le cas des signaux sinusodaux, la valeur efficace sexprime alors :

( )

( )( )

T2

222

m

o

o

m

o

o

m

o

o

Tt

t

Tt

t

Tt

t

2

2V

2V

22V

2veff

T

1

dttcos-1T

1

dttsinT

1

(t)dtT1V

=

+=

+=

=

+

+

+

2V m

V

eff=

b) Caractristique dun signal priodique non sinusodal

Un signal physique priodique remplit naturellement les conditions de Dirichlet, dece fait il est dcomposable en srie de Fourier.

Le rsultat prcdent nest plus applicable.


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Soit s(t) un signal priodique. On peut crire :

=

+=1n

nn0 )tnsin(2SS)t(s

o S0est la valeur moyenne et Snest la valeur efficace de lharmonique n.

Daprs le thorme de Parseval, on a : ( ) ( )

=

+

1n

2n

20eff SS=S

Le signal s(t) se caractrise par son spectre de manire qualitative (en amplitude eten phase) mais pour une caractrisation quantitative, on prfre la notion de THDindividuel ou global.

Le THD individuel est relatif lharmonique k :1

kk

S

STHD =

Pour le THD global, on crit :

( )

1

2n

2n

S

S

THD

==

Si la valeur moyenne du signal est nulle et en utilisant le thorme de Parseval, on

montre que : ( ) ( ) ( )

=

+

2n

2n

21

2eff SS=S .

Ce qui ramne lexpression du THD ( ) 1S

SS

SSTHD

2

1

eff

1

2

1

2

eff

==

c) Exemple

Soit le signal crneau f(t) de lexemple 1 ( III.5.).

On a montr que : ( )t)1p2(cos)1p2(

V2)1(

2

V)t(f

0p

0p0 ++

+=

=

On montre rapidement que la valeur efficace du signal est :2

VV 0eff =

On remarque que la valeur efficace du fondamental, correspondant la pulsation ,

est donne par la valeur de p = 0, vaut :

= 0eff1V2

V

Le taux de distorsion harmonique global est alors :


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SERIES DE FOURIER24

%4818V

2

V

THD2

eff1

22

02

=

=

1effeff VV

Remarque : le THD ne dpend pas de lamplitude du signal mais uniquement de

la forme de ce signal.

2. Les puissances

a) Rappels des puissances en monophas sinusodal

Soit un rcepteur Z aliment sous la tension v(t) et consommant un courant i(t).

Dune manire gnrale on crit :( )

( )

+=

+=

tsin)t(i

tsin

2I

2Vv(t)

La puissance instantane est : p(t) = v(t) i(t)

Cette puissance nayant pas de signification exploitable en rgime permanent, on aalors dfini la puissance moyenne ou puissance active:

=T

0

dt)t(pT

1P

Ce qui aprs dveloppement donne : ++=T

0

dt)tsin()tsin(VI2T

1P

En utilisant les relations trigonomtriques, on a alors :

( ) ( ) ++=T

0

T

0

dtt2cosVIT

1dt-cosVI

T

1P

or la valeur du second terme est nulle, ce qui donne : ( )= -cosVIP o

( )V,I-rr

=

Remarque : Si = 0, v(t) est alors lorigine des phases, on obtient la relation bien

connue : cosVIP= avec (-)angle de i vers v.

Cette grandeur moyenne nest pas suffisante pour caractriser entirement le signalp(t). On dfinit alors la puissance apparenteou de dimensionnement , du fait

quelle fixe les limites courant / tension : S = V I


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La troisime puissance est le reliquat entre les puissances apparente et active,cest la puissance ractivedfinie comme suit : S=P+Q.

Ce qui donne : Q = VI sin||

Le facteur de puissanceest au sens strict du terme le rapport entre les puissances

active et apparente :S

Pf=

Ce qui donne dans le cas des signaux sinusodaux : f = cos ()

b) Rgimes non sinusodaux

Soient deux signaux courant i(t) et tension v(t) priodiques non sinusodaux. On critalors leur dcomposition en srie de Fourier respective :

=

++=1n

nn0 )tnsin(2VV)t(v

=

++=1n

nn0 )tnsin(2II)t(i

On dsire calculer la puissance active:

{

++++++=

=

=

=

T

0

J

ji1j,i

jiji

J

1nnnnn

J

00

T

0

dt)tjsin()tisin(IV2)tnsin()tnsin(IV2IVT

1

dt)t(i)t(vT1P

3

2

1444444 3444444 21

4444444 34444444 21

Le terme J3a une valeur moyenne nulle du fait de lindice diffrent des deux sinus.

Le second terme, J2, correspond au produit de sinus de mme frquence, il seratrait comme dans le cas du calcul des signaux monophas.

Le rsultat est :

=

=1n

nnnn2 )cos(IVJ

Au final :

=

+=1n

nnnn00 )cos(IVIVP

Remarque : Dans cette expression les harmoniques sont galement porteursdnergie, ce qui renforce lide dun spectre de puissance commeprsent dans le paragraphe III-5.


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SERIES DE FOURIER26

La puissance apparente quant elle ne change pas dans sa dfinition mais lescalculs peuvent faire intervenir les harmoniques via le thorme de Parseval.

Il en est de mme pour le facteur de puissance.

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

+

+

+

==

+

+=

=

=

=

=

=

cos

)cos(IVIV

S

Pf

11

1nnnnn00

11

n

2n

20

n

2n

20

n

2

n

2

0n

2

n

2

0effeff

IIVV

IIVV=IVS

En ce qui concerne la puissance ractive, il existe deux dfinitions :

La premire, la plus naturelle, reste celle du reliquat : 22 PSQ = . Dans labsolu,

cette expression peut devenir complique, si on fait intervenir les diffrentesharmoniques.

La seconde dfinition est assez restrictive et ne concerne que les fondamentaux.

On crit alors : ( )1111 sinIVQ =

On remarque alors quavec cette seconde dfinition on a : 222 QPS +

Pour rtablir lgalit, on invente une quatrime puissance que lon appellepuissance fluctuante et que lon note D. On satisfait alors lgalit suivante :

2222 DQPS ++=

c) Cas particuliers

Si un des deux signaux est purement sinusodal, par exemple la tension prisecomme origine des phases, les expressions prcdemment tablies se simplifient.

Si ( )tsin2Vv(t) 1= , alors :

La puissance active se rduit au produit des fondamentaux pondr par ledphasage entre eux :

( )111 cosIVP=

Le facteur de puissance, lui, tient compte de tous les harmoniques :

( ) ( )

=+

==

11

111

V

)cos(IV

S

Pf

n

2

n

2

0 II


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On voit bien que dans ce cas, les harmoniques ne transportent aucune nergie maisrajoutent des pertes sur le cheminement.

Ce raisonnement peut sappliquer aux grandeurs continues avec P = V0I0.

d) Exemple

Soit un pont de diodes monophas dbitant sur une charge R, L suffisamment filtrepour que le courant I0soit considr comme constant. On ne suppose aucune pertedans le convertisseur statique. Et on cherche exprimer la puissance active P.

Pont de diodes

=

ia(t)

va(t)

I0L

Rv0(t)

Ct source (alternatif) :

t

vaia

Vm

I0

-I0

Ct charge (continu) :

tT

v0

I0

( ) ( )tsintsin == 2VV(t)v ma

( )t)1p2(sin)1p2(

I4)t(i

0p

0a +

+=

=

( )tpcos)1p2)(1p2(

V4V2)t(v

1p

mm0

+

=

=

i0(t) = I0

La tension dalimentation va(t) estparfaitement sinusodale donc seul lesfondamentaux interviennent dans lecalcul de P.

=

=

=

=

0

1

01

I2P

0

2

I4I m

m1

V

2

VV

Comme le courant est continu, seules lesvaleurs moyennes interviennent dans lecalcul de P.

=

= 0

0

m0 I2

P

I

V2V mV


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Sur les figures prcdentes, on retrouve le schma du pont avec la dfinition desdiffrentes grandeurs ainsi que le trac des grandeurs lectriques ct continu(charge) et ct alternatif (source). On obtient bien les mmes valeurs.

3. Les mesures

Un appareil de mesure est toujours caractris par sa bande passante.

Il faudra donc toujours vrifier ladquation entre les caractristiques de lappareil demesure utilis et la gamme de frquence du signal que lon souhaite mesur pourpouvoir estimer la quantit du signal qui sera tronque.

En salle de TP dlectrotechnique on utilise principalement le Fluke.

Mais est-on sr de ce quil mesure ?

Puissance Ractive ?Puissance Ractive ?

Facteur de puissance ?Facteur de puissance ?

Documents

Serie Fourier Harmonique