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Analyse et synthèse numérique d une note de ramahale/projects/analyse-et-synthese... · PDF fileANALYSE ET SYNTHÈSE NUMÉRIQUE SONORE 3 INTRODUCTION AuXIXe siècle,lorsqueJosephFouriersepenchaitsurleproblèmedepropagation

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  • ANALYSE ET SYNTHSE NUMRIQUE DESHARMONIQUES DUNE NOTE DE MUSIQUE

    par

    Nicolas Bajeux, Jaona Ramahaleo & Maxime Rihouey

    lattention de MM. Jol Le Roux et Jean-Paul Stromboni.

  • 2 NICOLAS BAJEUX, JAONA RAMAHALEO & MAXIME RIHOUEY

    Table des matires

    Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    Partie I. Entre musique et mathmatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41. Il tait une fois Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42. Analyse harmonique dun signal sonore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    Partie II. De lacquisition la synthtisation . . . . . . . . . . . . . . . . 83. La note du guitare, un premier exemple universel . . . . . . . . . . . . . . . 84. Un problme plus complexe : la note de piano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    Partie III. Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215. Variations sur la gamme : discussions thoriques. . . . . . . . . . . . . . . . 216. Variations sur la gamme : rsultats exprimentaux. . . . . . . . . . . . . . 22

    Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    Carnet de bord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

  • ANALYSE ET SYNTHSE NUMRIQUE SONORE 3

    INTRODUCTION

    Au XIXe sicle, lorsque Joseph Fourier se penchait sur le problme de propagationde la chaleur, il tait loin dimaginer que la gnralisation de ses tudes sur sriestrigonomtriques convergentes, et principalement ce que lon appelle aujourdhui latransforme de Fourier et la thorie qui la contient, deviendrait la base du traitementdu signal.

    La finesse des outils mathmatiques et la puissance de linformatique nous per-mettent aujourdhui de modliser, tudier, et reproduire des phnomnes physiques.Par exemple, il est possible dimiter des sons existants en analysant leur timbre et enles resynthtisant.

    Comment recrer une note de musique ?

    Dans un premier temps, nous exposerons brivement les principaux outils de lana-lyse de Fourier et son utilisation thorique dans le domaine des ondes sonores, puisnous exposerons les mthodes mathmatiques qui nous serviront analyser un son et le reconstituer.

    Nous dcrirons ensuite les diffrentes tapes pour reproduire un signal sonore,de lanalyse de son spectre sa resynthtisation, en passant par sa dcompositionharmonique.

    Nous terminerons par la reconstitution de la gamme tempre partir du timbreresynthtis, et nous tenterons de lui appliquer certains effets en modifiant le timbre.

  • 4 NICOLAS BAJEUX, JAONA RAMAHALEO & MAXIME RIHOUEY

    PARTIE IENTRE MUSIQUE ET MATHMATIQUES

    1. Il tait une fois Fourier

    Le mathmaticien franais Joseph Fourier affirma au dbut du XIXe sicle quetoute fonction T -priodique pouvait se dcomposer en une somme infinie de termessinusodaux.

    Il montra que si f tait une fonction T -priodique, elle pouvait alors scrire :

    f(t) = a02 +n=1

    an cos2ntT

    + bn sin2ntT

    ,

    avec an = 2T T

    0 f(t) cos2ntT dt et bn =

    2T

    T0 f(t) sin

    2ntT dt.

    En utilisant la formule dEuler eix = cos(x) + i sin(x), la fonction f scrit :

    f(t) =nZ

    cnei2T nt,

    avec cn = 1T T

    0 f(t)ei 2T ntdt.

    1.1. Sries de Fourier. Tout signal priodique se dcompose alors en srie deFourier de la faon suivante :

    Dfinition 1.1. La srie de Fourier dune fonction f priodique de priode T estdfinie sur R par

    Sf =nZ

    cnei2T nt, cn =

    1T

    T0f(t)ei 2T ntdt.

    Les cn sont appels les cfficients de Fourier de la srie Sf .

    Les fonctions qui nous intressent tant idalement des signaux continus si lon oc-culte leur traitement numrique, les conditions de convergence dune srie de Fouriervers sa fonction associe sortent du cadre de notre projet, mais nous attirons nan-moins lattention du lecteur sur le fait que ces questions sont en gnral importantes.Nous invitons le lecteur se rapporter la bibliographie pour plus dinformation.

    Avec les sries de Fourier, une nouvelle faon de dcrire les fonctions priodiques(reprsentation frquentielle) est apparue. Elles font encore actuellement lobjet derecerches actives pour elles-mmes, et ont suscit plusieurs branches nouvelles, dontlanalyse harmonique, que nous utiliserons ici, dans notre projet de synthse sonore.

    1.2. Transforme de Fourier. Un signal T -priodique se dcomposant en sriesde Fourier, il apparat comme une somme dharmoniques de frquences n = n/T ,avec n = 0, 1, 2, ... Ces frquences sont des valeurs isoles dans R. Les frquencesprsentes dans un signal non-priodique ne sont pas isoles. Elles prennent toutesles valeurs dun intervalle. Pour que la dcomposition frquentielle dun tel signaldevienne possible, nous introduisons un nouvel outil qui gnralise les sries de Fourier

  • ANALYSE ET SYNTHSE NUMRIQUE SONORE 5

    aux fonctions non-priodiques : la transforme de Fourier. La dcomposition et lareconstitution ne se calculent alors non plus par des sommes, mais avec des intgrales.

    Dfinition 1.2. Soit f L1. La transforme de Fourier de f est dfinie sur Rpar

    Ff() = f() =

    e2itf(t)dt.

    On dfinit aussi la transforme de Fourier conjugue

    Ff() =

    e2itf(t)dt.

    Notons que gnralement, F est la transforme inverse de f .

    2. Analyse harmonique dun signal sonore

    La musique et ses codes ont toujours fascin les mathmaticiens. La recherche delordre, de la rigueur et de la beaut du fond comme de la forme qui rgissent lamusique ne sont pas sans rappeler les principes analogues qui prdominent en math-matiques. De nombreux mathmaticiens se sont alors poss des questions telles que :quest-ce-qui rend une musique aussi belle ? Pourquoi la gamme nous parat-elle har-monieuse ? Pourquoi certains accords sont-ils harmonieux ? Ainsi, Euler ou dAlembertse sont penchs sur les relations troites quentretenaient musique et mathmatiques.

    Lavnement de linformatique a permis de passer de la simple thorisation musicale lapplication directe de celle-ci en reconstituant des sons numriquement. Lidematresse de lanalyse des signaux musicaux a t de synthtiser tous les timbresconnus (essentiellement ceux des instruments de musique). Cest ainsi que sont nesles musiques lectronique et lectro-acoustique.

    2.1. Le modle ondulatoire du son. Le modle ondulatoire du son nouspermet de faire une analyse mathmatique rigoureuse dun signal sonore. Nanmoins,il est indispensable davoir au pralable une reprsentation physique du son.

    Un son est par dfinition un type de bruit, cest--dire une vibration de lair,dans labsolu. Mais plus prcisment, quand un instrument produit un son, cestgnralement une note. Sa reprsentation en temps est celle de la propagation duneonde sonore, mesure par les variations priodiques de la pression de lair dans loreille.

    Le principe est donc dtudier ces variations priodiques en vue de la reconstitutionfuture du son. cest ce que lon appelle lanalyse frquentielle. Elle se fait essentiel-lement laide de la transforme de Fourier. En gnral, la transforme de Fourierdune fonction est une fonction valeurs complexes, dont lexploitation brute est peupratique. Pour tirer des informations plus facilement de cette transforme, nous pou-vons avoir recours deux fonctions, nommes spectre : les spectre damplitude et lespectre de phase. Nous nous intresserons ici au spectre damplitude uniquement.

  • 6 NICOLAS BAJEUX, JAONA RAMAHALEO & MAXIME RIHOUEY

    2.2. Spectre damplitude. Une des composantes primordiales observer lorsdune analyse dun son, outre sa reprsentation temporelle, est son spectre dam-plitude. Il sobtient en appliquant la transforme de Fourier au signal sonore, et enprenant son module.

    Dfinition 2.1. Le spectre damplitude dune fonction f est dfini parSf () = |Ff()|.

    Notons que si la reprsentation brute du son est temporelle (on coute le son dansla dure), ltude de la transforme de Fourier se fait dans le domaine des frquences,do le nom danalyse frquentielle.

    Le spectre damplitude permet la dtermination des diffrentes frquences qui com-posent le son, et la visualisation des frquences les plus importantes (celles ayant laplus grande amplitude tant celles que lon entend le plus).

    2.3. Filtrage des frquences. Ltape qui suit est de filtrer les frquences quelon veut tudier avec un filtre passe-bande. Gnralement, la bande de frquencechoisie pour un harmonique quelconque est lintervalle [ 0/2; + 0/2], o 0est la frquence du fondamental.

    2.4. Translation. On effectue ensuite une translation en frquence du spectrepour la ramener lorigine. Pour cela, il est utile davoir connaissance dune propritde la transforme de Fourier.

    Thorme 2.2 (Thorme du retard). Soit f L1(R). Soit t0 R, et g unefonction telle que, t R, 0 R, g(t) = e2i0tf(t). On a alors

    Fg() = Ff( 0).

    2.5. Reconstitution des enveloppes temporelles. Il est important de com-prendre que les informations contenant le signal sont contenues dans la transforme deFourier de ce celui-ci. En isolant une certaine frquence de ce signal, nous choisissonsde nous intresser aux informations que contient cette frquence. Ainsi, partir decette frquence, nous pouvons reconstruire ce que lon appelle lenveloppe temporellequi lui est associe. Nous utilisons pour cela la transforme de Fourier inverse, ap-plique la transforme de Fourier filtre et translate, pour repasser dun domainefrquentiel au domaine temporel.

    La transforme de Fourier inverse tant aussi gnralement une fonction valeurscomplexes, nous choisissons dtudier ses composantes relles et imaginaires dans ledomaine temporel.

    Pour une

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