Analyse-EDPE. Grenier

Transcrit par Idriss Mazari

E.N.S Lyon, 2013-2014

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Ces notes ont été rédigées par Idriss Mazari. Les erreurs qui s’y trouvent ne sont donc aucunementdu fait de M. Grenier. (http://umpa.ens-lyon.fr/~egrenier/).

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Table des matières

I Une première introduction 4I Distributions et espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I Introduction et motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5II Quelques rappels d’analyse fonctionnelle : Espaces fonctionnels topologiquesfinir

les propriétés/ topologie sur D(R)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5III L’espace des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6IV Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7V Les espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8VI Espaces de Sobolev d’ordres supérieurs/ Injections de Sobolev mettre les ré-

sultats des TD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13VII Wn,p(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

II Inversion du Laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15I Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15II Diverses formulations du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15III Le problème de Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

III Propriétés qualitatives du Laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19I Régularité des solutions faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19II Le principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

IV Schémas numériques pour l’inversion du Laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22I En dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22II Approche variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

V Équations de transport linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26I Origine physique des équations de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26II Présentation du cadre théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26III Méthode des caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27IV Solutions faibles de l’équation de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28V En dimension 1 à vitesse constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

VI Équations de transport non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30I Solutions Classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30II Solutions faibles pour le transport non-linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32III Solutions entropiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

VII Schémas numériques pour le transport linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37I Schémas numériques décentrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2

Bibliographie

[Bre10] Haim Brezis. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. Sprin-ger, (Dernière édition) 2010.

[FGN12] Francinou-Gianella-Nicolas. Oraux X-ENS, analyse IV. Cassini, 2012.[RT88] Raviart-Thomas. Introduction à l’Analyse Numérique des Équations aux Dérivées Partielles.

Masson, 1988.[Sik13] Jean-Claude Sikorav. Géométrie avancée. Polycopié disponible en ligne, 2013.[Vil03] Cedric Villani. Analyse II (Cours de deuxième année donné à l’ENS Lyon). Polycopié

disponible en ligne, 2003.

3

Première partie

Une première introduction

4

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I. Distributions et espaces de Sobolev

On toruvera des démonstrations des résultats ici admis dans [RT88].

I-A. Introduction et motivation

Considérons l’équation ∂tu+x∂xu = 0. On a vu dans le premier TD que, si u0 ∈ C1(R), alors, si oncherche les solutions dérivables de cette équation, elles sont toutes de la forme u : (x, t) 7→ u0(x− ct).Maintenant, on cherche des solutions peu régulières, pour traduire le fait que l’on puisse négligercertains effets d’échelle : considérons, dans le domaine de la mécanique des fluides, un avion qui passele mur du son. Il est alors "entouré" par une onde de choc ; de part et d’autre de la frontière, l’airse trouve dans un état différent. Même si, à une échelle microscopique, l’évolution des différentescaractéristiques (la température, par exemple) se fait de manière continue, la zone de transition estextrêmement petite, ce qui justifie qu’à une échelle macroscopique, on les décrive comme des fonctionsdiscontinues. Cela permet également de négliger des effets microscopiques régularisant, tels que laconduction.Au niveau de l’étude des singularités ou des surfaces, il arrive que l’on veuille rechercher les solutionsles moins régulières possibles. Par exemple, avec la fonction de Heavyside, notée dans toute la sectionh : (x, t) 7→ h(x − ct) est bien définie, mais lui appliquer l’équation I n’a aucun sens, la fonction hn’étant pas dérivable. Il faut donc alléger la notion de solution et regarder "en moyenne" ce qu’il sepasse : par exemple, si φ est une fonction régulière sur le domaine considéré et si u est de classe C1,on peut réécrire l’équation 1 comme ∫ ∫

u∂tφ+ cu∂xφ = 0

Donc toute l’information sur la régularité de la solution est passée sur φ, et, pour que l’équationprécédente ait un sens, il suffit que u soit localement intégrable : on dit donc que u est solution faiblede l’équation I si

∀φ ∈ C1c (R),

∫ ∫u∂tφ+ cu∂xφ = 0

Un calcul nous montre qu’une solution au sens "classique" est une solution au sens faible. La notionde fonction "test" (ici, φ) motive la généralisation de la notion de fonction : une "solution" opèreen fait sur des fonctions extrêmement régulières : on va choisir des fonctions de classe C∞ à supportcompact (on pourrait choisir les fonctions analytiques, mais les structures deviennent beaucoup troprigide). On note cet ensemble de fonctions D(Rn).

I-B. Quelques rappels d’analyse fonctionnelle : Espaces fonctionnels topologiquesfinirles propriétés/ topologie sur D(R))

On donne isi un résumé des principales propriétés analysées dans [Vil03]

I-B- 1. Espaces vectoriels topologiques

Définition : Espace Vectoriel Topologique. On appelle R-espace vectoriel topologique un espace to-pologique E muni d’une structure de R-espace vectoriel telle que (x, y) 7→ x+ y et (λ, x) 7→ λ ·x soientcontinues pour la topologie sur E2 et sur E × R, et que 0 soit fermé.

Ainsi, tout espace vectoriel normé est un espace vectoriel topologique. On distingue 4 grandesfamilles d’espaces vectoriels topologiques• Les espaces vectoriels topologiques abstraits, sans structures supplémentaires. On peut montrer que

tout espace vectoriel topologique est séparé.• Les espaces vectoriels topologiques localement convexe (0 y admet une base de voisinages convexes)• Les espaces de Fréchet , i.e les espaces vectoriels topologiques localement convexes munis d’une

métrique complète invariante par translation.

1. par IPP

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• Les espaces de Banach : les espaces de Banach sont des espaces de Fréchet pour la distance associéeà leur norme.

On doit souvent considérer des Fréchet qui sont des limites de Banach, tels que les espaces Lploc(O) =∩K compact de OL

p(K).

I-C. L’espace des distributions

Le but de cet objet est de généraliser la notion de fonction dérivable, en considérant des dérivationsd’ordre quelconque. C’est cela qui nous pousse à travailler avec C∞(Rn). Notons que, comme dans lathéorie de l’intégration (telle qu’exposée par Bourbaki), il faut se restreindre à des fonctions à supportcompact : détaillons un peu ce passage. En se reportant à un cours d’intégration, on sait que l’intégraleconsidérée comme application possède diverses propriétés de linéarité et de continuité. Il est ensuitelégitime de vouloir considérer un objet généralisant l’opértation "inverse", au sens traditionnel, del’intégration, la dérivation. On peut en effet voir que si µ1, µ2 sont deux mesures de Radon sur uncompact K, si l’on définit sur C1(K,R) la forme

T : f 7→ Tf :=

∫K

fdµ1 +

∫K

f ′dµ2

on note que T est linéaire et continue pour la norme || · ||1 : f 7→ ||f ||∞ + ||f ′||∞.C’est aux efforts conjugués de Bochner, Sobolev et Schwartz que l’on doit l’émergence progressivedu concept et son inscription dans un cadre mathématique clair et précis, celui des espaces vectorielstopologiques. On veut également que les mesures soient des distributions particulières (pour pouvoirainsi considérer toute fonction intégrable comme une distribution, en prenant la mesure image de µ(n)

par f). On peut ensuite définir sur D(K) une norme analogue à || · ||1 en posant, pour tout entiernaturel r || · ||r la norme définie comme

||φ||r :=r∑

k=0

||φ(k)||∞

avec par convention φ(0) = φ. Cette norme nous permet d’avoir une continuité pour des formeslinéaires plus générales : Si on prend r + 1 mesures (µi):∈Nr et que l’on définit sur Cr(K,R) T par

T : f 7→r∑

k=0

∫K

f (i)dµi (1)

alors T est continue pour || · ||r et la norme triple de T ne dépend que du compact K. Si l’on veutgénéraliser, il suffira alors de demander une continuité pour les fonctions à support compact telles quetous leurs supports soient inclus dans un même compact K.Une idée qui vient st ensuite la possibilité de construire des formes linéaires faisant appel à une infinitéde dérivées, comme la forme linéaire

T : φ 7→∑n∈N

∫Rn

φ(i)

On n’a aucun problème de convergence, comme toutes les fonctions sont prises à supports compacts.Cette forme est un cas particulier de 1.Mais si l’on tente des choses plus exotiques, on se retrouve face à un problème : si l’on pose

T : φ 7→∑n∈N

∫Raiφ

(i)dδ0

on ne peut pas faire converger la série pour toutes fonctions : on peut construire une fonction C∞

telle que φ(i)(0) = 1ai

. En fait, on démontrera, plus loin dans le cours, que toute distribution sur uncompact K est de la forme

T : φ 7→∑i∈N

∫Rn

φ(ki)dµi

avec (ki)i∈N une suite d’entiers.

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I-D. Distributions

I-D- 1. Introduction et premières définitions

Les considérations du paragraphe précédent nous indiquent la bonne condition de continuité àavoir. On va introduire les distributions comme le dual topologique de D(Rn). En effet, si E ⊂ F , onsait que toute forme linéaire sur F induit une forme linéaire sur E. Donc plus l’espace est petit, plusson dual est grand.

Définition : Distribution. Soit Ω un ouvert de Rn et T une application linéaire de D(Ω) dans R.On dit que T est une distribution sur Ω de Rn si pour tout K compact inclus dans Ω, ∃n ∈ N, ∃c ∈ Rtels que ∀φ ∈ C∞

c (Ω) avec K contenant supp(φ)

|⟨T, φ⟩| ≤ c supαmulti−index,|α|≤n,x∈K

|∂αφ(x)|

On note D′(Ω) l’espace des distributions.

Après tout ce que nous avons dit, il faut essayer de comprendre pourquoi la définition des distri-butions correspond en fait à une forme de continuité : il est naturel d’introduire sur D(K) une autrenotion de convergence, en disant que la suite (φn)n∈N converge vers φ si pour tout entier naturel r,(φ

(r)n )n∈N converge uniformément vers φ. Ainsi,sous ces hypothèses, T (φn) → T (φ).

Exemple 1. 1. Le dirac δa, a ∈ Ω, avec ⟨δa, φ⟩ = φ(a) est une distribution.2. Si ψ est une fonction continue à support compact inclus dans Ω, on note Tψ : φ 7→

∫Ωφψ et il

s’agit d’une distribution.3. Si u ∈ L1

loc(Ω), on note Tu : φ 7→∫Ωuφ. C’est une distribution d’ordre 0, comme pour tout K

compact de Ω, pour toute fonction φ à support compact inclus dans Ω de classe C∞,

|⟨Tu, φ⟩| ≤ ||u||L1(K) · ||φ||∞

4. Dérivée du Dirac en a : on introduit δa : φ 7→ −φ′(a) (ici, on a pris Ω ⊂ Rn). Il s’agit bien d’unedistribution car |⟨δ′a, φ⟩| ≤ sup

x∈K|φ′(x)| (distribution d’ordre 1). On définit la dérivée n-ième du

Dirac en a par δ(n)a : φ 7→ (−1)nφ(n)(a)

5. On peut considérer T =∑n nδn C’est une distribution d’ordre 0. Notons que la somme converge

toujours, comme on travaille sur un compact K. On peut encore définir T :=∑n nδ

(n)n

6. On peut définir la valeur principal vp( 1x ) ∈ D′(Ω) : φ 7→ limϵ→0

∫|x|>ϵ

φ(x)x dx.

Ainsi, les fonctions localement intégrables s’injectent dans l’ensemble des distributions ; celles-cisont en quelque sorte une généralisation de la notion de fonction. De même, par Cauchy-Schwarz, lesfonctions L2 s’injectent.Justifions proprement qu’il sagit d’une injection : Soit en effet f ∈ L2(Ω) telleque pour tout ϕ ∈ D(Ω),

∫Ωϕf = 0. Par densité de D(Ω) dans L2(Ω), on en déduit que pour tout

ϕ ∈ L2(Ω),∫Ωϕf = 0 et donc f = 0.

Un semblant de topologie sur les distributions On définit la notion de convergence dansl’espace des distributions sur un ouvert Ω comme suit : on dit que la suite de distributions (Tn)n∈Nconverge au sens des distributions vers T si

∀φ, ⟨Tn, φ⟩ →n→∞

⟨T, φ⟩

I-D- 2. Dérivation de distributions

L’objet en jeu est tellement libre de contraintes que, sous certaines hypothèses relativement faibles,on peut dériver (en un sens particulier que l’on précisera) des fonctions qui, a priori, n’ont aucunechance d’être dérivables au sens classique.

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Définition : Dérivation. Soit T ∈ D′(Ω). On définit ∂iT : φ 7→ −⟨T, ∂iφ⟩, et ∂iT est une distri-bution.

Définition : Dérivée α-ième. Soit T une distribution et α ∈ Np. On définit

∂αT : φ 7→ (−1)α⟨T, ∂αφ⟩

et c’est encore une distribution. Une distribution est donc infiniment dérivable.

Exemple 2. 1. T ′h(φ) = −

∫∞0φ′ = ⟨δ0, φ⟩, h désignant la fonciton de Heavyside.

2. Si on considère x0 < · · · < xp et ψ une fonction dont la restriction à tous les intervalles ]xi;xi+1[est de classe C1 (on note ψi cette restriction, en notant ψ− (resp. ψ+) la fonction sur ]−∞, x0[(resp. ]xp;∞[)). Alors

⟨T ′ψ, φ⟩ = −[

∫ x0

−∞ψφ′ +

p∑i=0

∫ xi+1

xi

ψφ′ +

∫ +∞

xp

ψφ′] (2)

= −∫ x0

−∞ψ′φ− φ(x0)ψ(x0)− . . . (3)

⇒T ′ψ = Tθ +

p∑i=0

δxi(ψ(x+i )− ψ(xi)

−) (4)

où θ désigne la fonction dérivé de ψ aux endroits où elle est dérivable ( entre les différents xi).On appelle cette formule formule des sauts.

Remarquons que la notion est cohérente avec la notion déjà connue de dérivabilité : si ψ est unefonction dérivable, alors T ′

ψ = Tψ′ . De plus, si u0 est une fonction localement intégrable, alors ladistribution Tu : (x, t) 7→ u0(x− ct) vérifie l’équation ∂tT + c∂xT = 0, au sens des distributions.

I-E. Les espaces de Sobolev

I-E- 1. Introduction et premières définitions

Soit u ∈ L2(Ω). On peut alors lui associer la distribution Tu (u est localement intégrable parCauchy-Schwarz). On put donc parler de ses dérivées ∂iTu. On dit que u est dans l’espace H1(Ω) sipour tout i ∈ Nn il existe vi ∈ L2 tel que ∂iTu = Tvi .

Définition : Espaces de Sobolev . On dit que u ∈ H1(Ω) si u ∈ L2(Ω) et si ∀i ∈ Nn, ∃vi ∈ L2(Ω)tel que ∂iTu = Tvi .

On notera par la suite vi = ∂iu. Par ailleurs, on munit H1(Ω) d’un produit scalaire (·, ·) défini par

(u, v) :=

∫Ω

uv +

n∑i=1

∫Ω

∂iu∂iv

On pourra se référer à [Bre10] pour une autre présentation de ces espaces. On remarque que siu ∈ H1(Ω), pour toute fonction φ ∈ D(Rn), |⟨∂iTu, φ⟩| ≤ ||vi||L2 · ||φ||L2 par l’inégalité de Hölder.

Remarque. On a l’inclusion stricte H1(Ω) ⊊ L2(Ω). En effet, considérons la fonction u := 1[a;b].Alors u ∈ L2(R). Mais u′ = δa − δb, et δa n’est pas une fonction de classe L2 (on peut considérerla fonction de Heavyside par exemple). En effet, si on suppose qu’il existe une fonction v ∈ L2(R)telle que pour toute fonction φ ∈ D(Rn), < δa, φ >=

∫R vφ, alors ∀a ∈ R, |φϵ(a)| ≤ c · ||φϵ||L2 où l’on

définit φ0 une fonction C∞ positive à support compact, valant 1 en 0. On pose ensuite, pour ϵ > 0 lafonction φϵ : x 7→ φ0(

xϵ ). Alors, par convergence dominée, ||φϵ||2 →

ϵ→00 et donc φϵ(0) → 0, ce qui est

absurde.

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I-E- 2. Structure de H1(Ω)

Théorème. H1(Ω) est un espace de Hilbert.

Complétude Attention, on a donc un emboîtement d’espaces de Hilbert : H1(Ω) ⊂ L2(Ω), mais cene sont pas des espaces de Hilbert pour la même norme.

Démonstration du théorème. Soit (vn)n∈N une suite de Cauchy de H1(Ω), c’est donc une suite

de Cauchy dans L2, de même que les suites ∂ivn. Donc ∃v ∈ L2(Ω) telle que vnL2

→ v et ∃vi tels que

∂ivnL2

→ vi. Il nous reste donc à montrer que ∂iv = vi au sens des distributions.Mais pour tout φ ∈ D(Ω), ⟨∂ivn, φ⟩ → ⟨vi, φ⟩ et ⟨∂ivn, φ⟩ = −⟨−Tvn , φ⟩ → −⟨v, ∂iφ⟩ = ⟨∂iv, φ⟩ et lapreuve est achevée.

Séparabilité On s’intéresse un peu plus en détails à la topologie de ces espaces :

Théorème. H1(Ω) est séparable.

Démonstration du théorème. Un produit cartésien d’espaces séparables est séparable, et, si F estun sous-espace vectoriel fermé de E séparable, F lui-même est séparable. Or i : H1(Ω) → L2(Ω)n+1,i : v 7→ (v, ∂1v, . . . , ∂nv) et donc i(H1(Ω)) est fermé et est ainsi séparable.

Théorème. D(Rn) est dense dans H1(Rn)

Démonstration du théorème. i) TroncatureOn introduit une fonction M ∈ D(Rn) définie par M(x) = 1, |x| ≤ 1

0 < M(x) < 1, 1 < |x| < 2M(x) = 0, |x| ≥ 2

puis, pour tout réel R > 0,MRx 7→M( xR ).Alors, si v ∈ H1(Rn),MR · v −→R→∞

v dans H1(Rn) : eneffet, d’une part, ∫

Rn

|MR · v − v|2 ≤∫|x|≥R

|v|2 →R→∞

0

et, d’autre part,

∀i ∈ Nn, ⟨∂iTMRv, φ⟩ = −∫Rn

v[∂i(MRφ)− ∂i(MR) · φ]

On obtient, au sens des distributions,

∂i(MRv) =MR∂iv + v∂iMR → ∂iv

d’où la convergence en norme L2.ii) Régularisation

Ici, v désigne une fonction de H1 à support compact. On considère ρ une fonction C∞ à supportcompact, positive, d’intégrale 1, telle que pour tout x de module |x| > 1, ρ(x) = 0. On pose ensuiteρϵ :=

1ϵn ρ(

xϵ ), qui est ici une suite régularisante. Supp(ρϵ) ⊂ B(0, ϵ). On pose alors vϵ := ρϵ ∗ v.

Par le cours d’intégration I, on sait que vϵ tends vers v dans L2, et que ∂ivϵ tend vers ∂iv dansL2, et donc vϵ tend vers v dans H1(Ω), et vϵ est une fonction C∞ à support compact, d’où lerésultat annoncé.

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Remarque. On ne peut pas, de manière générale, multiplier deux distributions entre elles au sens oùl’on ne peut pas construire de multiplication "continue". Par exemple, si l’on considère a ∈ R∗

+ et hla fonction d’Heavyside, alors δ−ah est la distribution nulle, tandis que δah correspond à δa.

I-E- 3. L’espace H10 (Ω)

On s’intéresse ici aux fonctions de H1(Ω) qui s’annulent sur le "bord" de Ω. On étudie ces fonctionspour avoir des informations sur les solutions de certains problèmes physiques, comme, par exemple,l’équation de la chaleur, qui demande la résolution du sysème suivant :

∂tu−∆u = fu|∂Ω = T 0

qui correspond à l’étude de l’évolution de la température dans un domaine dont les parois sont ther-mostatées, ou encore

∆u = fu|∂Ω = 0

qui décrit l’évolution d’une membrane élastique dont les parois sont fixées. De manière complètementinformelle, on peut poser

H10 (Ω) := v ∈ H1(Ω), v(∂Ω) = 0

On va tenter de formaliser cette notion de "trace" pour donner un sens à ce que l’on appelle "valeurau bord" de la fonction. Peut-on parler de fonctions f ∈ L2(Rn) nulles en x = 0 ? Non, car les fonctionsL2 sont définies à un ensemble de mesure nulle près. En revanche, existe-t-il θ ∈ C0(L2(Rn),R) telque ∀φ ∈ C0(R)∩L2(R), θ(φ) = φ(0) ? Ici encore, la réponse est, maheureusement, négative :(faire ledessin du pic qui vaut 1 en 0, et est affine sur [−δ, δ], du coup sa norme 2 tend vers 0, alors qu’elleest censée être constante à un si le truc est continu..)Sur L2, c’est donc impossible. Que se passe-t-il si l’on restreint l’espace, i.e si l’on ne considère queles fonctions de H1(Ω) ? Considérons pour cela une fonction radiale, comme celle utilisée ci-dessus, enposant ψϵ(x) := φ(xϵ ). Ainsi, ψϵ →L2 0, mais pas nécessairement pour la norme de H1

0 (Ω). ∂iψϵ estnon nulle sur B(0, ϵ) et d’ordre 1

ϵ sur cette même boule. De manière grossière

||∂iψϵ||L2 ≤ cϵn−2

Donc, si n = 1, il n’y a pas de contradiction. Si n = 2, en faisant les calculs plus consciencieuxsement,on remarque qu’il n’y a pas de contradiction non plus. En revanche, un problème apparaît dès quen ≥ 3.

Théorème. i) En dimension 1, il existe θ0 une trace en 0, i.e ∃θ0 ∈ C0(H1(R),R) tel que∀φ ∈ D(R) ∩H1(R), θ0(φ) = φ(0)

ii) En dimension n ≥ 2, il n’existe pas de telle trace en 0.

Remarque. En dimension n = 2, v ∈ H10 (Ω) si v s’annule sur ∂Ω, c’est-à-dire sur une ligne.Pour

n = 3, v devrait s’annuler sur une surface. Ainsi, la trace associée à un point ne présente guèred’intérêt. En revanche, celle associée sur une hypersurface est primordiale : (revoir : dans le cours, letheoreme parle d’un hyoperplan, pas d’une hypersurface)

Théorème : Existence d’une trace. Soit P un hyperplan de Rn. Alors il existe θp ∈C0(H1(Rn), L2(P )) tel que ∀φ ∈ D(Rn), θp(φ) = φ|P

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Définition. H10 (Ω) est défini comme l’adhérence de D(Ω) dans H1(Ω).

On donne ici un résultat intuitif qui sera justifié plus bas.

Théorème. H10 (Ω) est le noyau de la trace associée à ∂Ω.

I-E- 4. L’inégalité de Poincaré

Théorème : Inégalité de Poincaré. Soit Ω un ouvert borné de Rn. Alors ∃CΩ > 0 une constantetelle que ∀v ∈ H1

0 (Ω)||v||2 ≤ CΩ ||∇v||2︸ ︷︷ ︸

:=√∑

i ||∂iv||22

Démonstration du théorème. On travaille uniquement par densité, avec φϵ → v, φϵ ∈ D(Ω), (laconvergence ayant lieu dans H1(Ω) vérifier). On étend φϵ en φϵ définie comme φϵ sur Ω et comme lafonction nulle en dehors. On peut supposer que Ω est borné dans la n-ième direction, au sens où, ennotant les vecteurs de Rn x = (x′, xn), x

′ ∈ Rn−1, ∃a, b tels que Ω ⊆ x ∈ Rn, xn ∈ [a; b]. Alors

|ϕϵ(x′, xn)|2 = |∫ xn

a

∂nϕϵ(x′, y)dy|2

≤ (xn − a)

∫ xn

a

|∂nϕϵ(x′, y)|2dy

≤ (xn − a)

∫ b

a

|∂nϕϵ(x′, y)|2dy

⇒∫ b

a

|∂nϕϵ(x′, xn)|2dxn ≤ |b− a|2

2

∫ b

a

|∂nϕϵ(x′, y)|2dy

≤ |b− a|2

2||ϕϵ||2L2

D’où l’inégalité annoncée. On remarque d’ailleurs qu’il suffit que l’ouvert soit borné dans une uniquedirection...

Remarque. — Si Ω n’est pas borné, 1 /∈ H10 (Ω) (d’ailleurs, cela reste vrai même si Ω n’est

borné que dans une seule direction), comme on le voit en appliquant l’inégalité de Poincaré.— On peut définir ||u||2H1

0 (Ω) :=∑

i=1...n

∫Ω|∂iu|2. Cette norme découle du produit scalaire(u, v) :=∫

i=1...nΩ

∂iu · ∂iv. Si Ω est borné, l’inégalité de Poincaré nous donne l’équivalence des normes

|| · ||H1(Ω) et || · ||H10 (Ω), et H1

0 (Ω) est ainsi complet. (vérifier si cela est le cas si l’ouvert n’estplus borné).

I-E- 5. Trace

Comme annoncé, on va faire le lien avec la trace.On dit que φ ∈ Cm(Ω) si il existe ψ une fonction de classe Cm sur un ouvert contenant Ω dont larestriction à Ω soit φ. On définit de manière analogue D(Ω).

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Le demi-espace On considère ici l’ouvert Ω = Rn+ := (x1, . . . , xn), xn > 0. On définit

Γ := ∂Ω = Rn−1 × 0

Lemme. D(Rn+) est dense dans H1(Rn+).

Démonstration du lemme. On travaille, ici encore, par troncature et régularisation :i) Troncature Il s’agit de la même preuve que pour la densité de D(Rn) dans H1(Rn).ii) Régularisation On utilise encore le produit de convolution : On pose, pour v ∈ H1(Rn+), vϵ :=

φϵ ∗ v où φ est une fonction de D(Rn+) (finir de travailler avec [RT88])

Ce lemme va nous permettre de définir la trace dans H1(Rn+).

Trace dans H1(Rn+) On définit θ une fonction de D(Rn) par θ(v) = vxn=0 ∈ C0c (Rn−1). Alors

Lemme. ∀v ∈ D(Rn+)||θ(v)||L2(Rn−1) ≤ ||v||H1(Rn−1

+ )

Ainsi, la trace est continue.

Démonstration du lemme. Soit v ∈ D(Rn+), v = ψ|Rn+, ψ ∈ D(O), O ⊆ Rn+. On prolonge ψ en

ψ ∈ D(Rn) en la prolongeant par 0 en dehors de O. Alors

ψ2(x′, 0) = −∫ ∞

0

∂n(ψ2(x′, xn))dxn = −2

∫ ∞

0

ψ(x′, xn)∂nψ(x′, xn)dxn

On utilise alors l’inégalité de Cauchy-Schwarz et l’inégalité 2ab ≤ a2 + b2. On en déduit

|ψ(x′, 0)|2 ≤∫ ∞

0

|ψ2(x′, xn)|dxn +

∫ ∞

0

|∂nψ(x′, xn)|2dxn

d’où, en intégrant en les n− 1 variables restantes,

||θ(v)||2 ≤ ||v||H1(Rn+)

Ouverts réguliers L’application linéaire θ est donc continue ; on peut la prolonger à H1(Rn+) pardensité (théorème de prolongement des applications linéaires) en une application linéaire continue γ.On dit Ω est un ouvert à frontière régulière si sa frontière ∂Ω est une C1 variéte de dimension n− 1,localement d’un seul côté de Ω.

Théorème. Soit Ω un ouvert de Rn à frontière régulière. Alors D(Ω) est dense dans H1(Ω), etγ0 : v 7→ γ0v := v|∂Ω définie sur D(Ω) se prolonge en une application linéaire continue H1(Ω)dans L2(∂Ω).

Démonstration du théorème. On se ramène au cas que l’on sait traiter : celui du demi-espaceouvert. Pour cela, on utilise des outils de géométrie différentielle, et notamment la notion de partition

de l’unité([Sik13],Chapitre IV). Soit (Oi)i∈NN des ouverts tels que Ω ⊂N∪i=1Oi. On distingue alors deux

cas1. Oi ne recontre pas ∂Ω Il existe alors φi un C∞-difféomorphisme de Oi dans B(0, 1) boule unité

dans Rn. (Revient à se donner, localement, des coordonnées)2. Oi rencontre ∂Ω Il existe φi un C∞-difféomorphisme de Oi ∩Ω dans la demi-boule B(0, 1)∩Rn+

On se donne une partition de l’unité, c’est-à-dire une famille (ψi)i∈NNde fonctions C∞

c telle que• (

∑i ψi)Ω = 1

• ∀i, supp(ψi) ⊂ Oi

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L3

Si u ∈ H1(Ω), on a alors u =∑i(ψ · u). Si Oi ⊂ Ω, la trace est nulle. Soit i, Oi ∩ ∂Ω = ∅. Alors

(ψ ·u)φ−1i est définie sur B(0, 1)∩Rn+ et on peut en prendre la trace ; en effet, (ψ ·u)φ−1

i ∈ H1(Rn+)(laissé en vérification : H1(Ω) est stable par composition par des fonctions C∞). On regarde alorsTr((ψi · u) φ−1

i ) φi ∈ L2(Ω) et l’on définit la trace de u comme

Tr(u) :=∑

i,Oi∂Ω=∅

Tr((ψi · u) φi) φi

Reste encore à vérifier que cela ne dépend ni du découpage en ouverts ni de la partition de l’unitéchoisie.

I-E- 6. La formule de Green

Théorème. Soient u et v deux fonctions de H1(Rn+). Alors , pour tout i = n,∫Rn

+

u∂iv = −∫Rn

+

v∂iu

et ∫Rn

+

u∂nv = −∫Rn

+

v∂nu−∫Rn−1

Tr(u)Tr(v)

Pour avoir des notations plus agréables, on notera désormais Tr(u) = γu.

Démonstration du théorème. On raisonne ici par densité : Soit (un)n∈N( resp.vn) ∈ D(Rn+)Nconvergeant vers u(resp. vers v) en norme H1. On fait des intégrations par parties sur la variable xn.On utilise ensuite la convergence des dérivées partielles dans L2 et la continuite de γ.

Taper les exemples restants En utilisant des difféomorphismes à la manière de V.5, on endéduit

Théorème. Soit Ω un ouvert de frontière régulière. Alors, si u, v ∈ H1(Ω)

∀i ∈ Nn,∫Ω

u∂iv = −∫v∂iu+

∫∂Ω

γu(x)γv(x) ν(x) · eidσ

avec ν(x) la normale à ∂Ω en x.

I-E- 7. Retour sur H10 (Ω)

Théorème. Soit Ω un ouvert à bords réguliers. Alors

H10 (Ω) = ker(γ)

Démonstration du théorème. Taper les preuves

I-F. Espaces de Sobolev d’ordres supérieurs/ Injections de Sobolev mettre lesrésultats des TD

La référence pour cette section est [Bre10]

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I-F- 1. H1(Ω)

On suppose ici qu’Ω est un ouvert borné de Rn.

n=1 Soit Ω un ouvert borné de R. Alors

H1(Ω) → C 12 (Ω)

avec C 12 (]a; b[) := φ ∈ C0(]a; b[), ||φ||∞ + sup

(x,y)∈]a;b[

|φ(x)− φ(y)√x− y

|︸ ︷︷ ︸:=||φ||

C12

si la condition de finitude est vérifiée

< +∞ et, si Ω =]a; b[, l’in-

jection est continue : En effet, si u ∈ C∞(Ω), par inégalité de Cauchy-Schwarz

|u(y)− u(x)| ≤√|y − x|

√∫Ω

|u′|2

et on raisonne par densité.

n=2 Si Ω = B(0, 1), alors pour tout ∞ > p ≥ 2,H1(Ω) → Lp(Ω)

n=3

I-F- 2. H2(Ω)

On définit H2(Ω) comme

H2(Ω) := u ∈ L2(Ω), ∀(i, j) ∈ N2n, ∂iu ∈ L2(Ω), ∂2i,ju ∈ L2(Ω) = u ∈ H1(Ω),∇u ∈ H1(Ω)

C’est encore un espace de Hilbert séparable, et D(Rn) est dense dans H2(Rn) même remarque

I-F- 3. Injections de Sobolev

• Si n = 1,H2(Ω) → C1, 12 (Ω) = u ∈ C1(Ω), u′ ∈ C1/2(Ω).• Si n = 2,H2(Ω) → C0(Ω)

• Si n = 3,H2(Ω) → C 12 (Ω)

• Si n = 4,H2(Ω) → Lp(Ω), p ∈ [1;∞[

• Si n ≥ 5,H2(Ω) → Lp(Ω), p ∈ [1; 2nn−4 ]

I-G. Wn,p(Ω)

Définition : Wn,p(Ω). Soit Ω un ouvert de Rn.

Wn,p(Ω) := u ∈ Lp(Ω), ∀α, |α| ≤ n, ∂αu ∈ Lp(Ω)

Ce n’est pas un espace de Hilbert, mais il est néanmoins complet. Wn,2 est un espace de Hilbert.(finir de taper les injections)

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II. Inversion du Laplacien

Dans toute cette section, Ω désigne un ouvert borné de Rn à bords réguliers. De plus, si u, v ∈H1(Ω), on désignera par ∇u∇v le produit scalaire ∇u · ∇v.

II-A. Motivation

On s’intéresse dans ce chapitre aux problèmes suivants−∆u = fu|∂Ω = 0

(Problème de Dirichlet) (5)−∆u = f∂nu|∂Ω = 0

(Problème de Neumann) (6)−∆u = f(αu+ β∂nu)|∂Ω = 0

(Problème de Robin) (7)

Ces systèmes d’équations aux dérivées partielles servent à modéliser, comme expliqué plus haut, lacomportement d’une membrane élastique déformé par une force f et fixée sur les bords du domaine,ou encore à décrire la répartition de la chaleur dans un matériau en régime stationnaire :• Si on travaille en régime stationnaire, ∂tu = 0

• Si les parois sont isolantes, i.e s’il n’y a pas de flux de chaleur, on se ramène au cas q·n = 0⇒∂nu = 0,avec q = ∇u la flux de chaleur.

• Si les parois sont thermostatées : on est amené à considérer le système−∆u = fu|∂Ω = T

Soit alors T une fonction C2(Ω) dont la restriction à ∂Ω soit T , ce qui demande déjà une forterégularité sur T . Alors

−∆(u− T ) = f

(u− T )|∂Ω = 0

II-B. Diverses formulations du problème

II-B- 1. Motivation

En première approche, on peut travailler avec u une fonction de classe C2,α et f une fonction declasse C0,α. On utiliserait alors le principe du maximum pour démontrer l’existence et l’unicité d’unetelle solution.On peut également choisir une deuxième approche, qui suppose f d’intégrabilité L2 et u dans la classeH2(Ω) ∩H1

0 (Ω), ce qui permet d’en définir la trace.

Théorème. Si f ∈ L2(Ω), il existe une unique distribution u ∈ H2(Ω) ∩ H10 (Ω) solution du

problème de Dirichlet au sens des distributions.

Notre objectif est désormais de démontrer ce théorème. Dans toute la suite, f est L2.

II-B- 2. Formulation au sens des distributions

On oublie, pour commencer, la condition de nullité de la trace. En appliquant une fonction test φà l’équation de Newmann, on obtient

∀φ ∈ D(Ω), ⟨−∆u, φ⟩ = ⟨f, φ⟩

d’où, en intégrant,∀φ ∈ D(Ω), ⟨u,−∆φ⟩ = ⟨f, φ⟩

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et ces égalités ont un sens si u et f sont deux distributions. De plus, si f est une fonction de L1loc(Ω),

de même que u, u est solution de l’équation aux dérivées partielles si et seulement si

∀φ ∈ D(Ω),−∫Ω

u∆φ =

∫Ω

fφ

On parle de solution faible.

II-B- 3. Formulation variationnelle

Le problème, c’est que φ est une fonction C∞c , tandis que u est dans le dual de D(Ω). Le but de

la formulation variationnelle est de rétablir une symétrie entre u et φ. Mais, en utilisant la notion dedérivée d’une distribution, on voit que u est une solution de l’équation aux dérivées partielles si etseulement si

∀φ ∈ D(Ω), ⟨∇u,∇φ⟩ = ⟨f, φ⟩

ou encore, sous l’hypothèse que ∇u ∈ L1loc(Ω) et que fest une fonction

∀φ ∈ D(Ω),

∫Ω

∇u∇φ =

∫Ω

fφ

et la formulation est ici complètement symétrique. Pour pousser plus loin cette idée de symétrie, oncherche à déterminer une fonction telle que ∇u ∈ L2, ce qui revient à se donner une fonction deH1(Ω).Considérons ensuite v ∈ H1

0 (Ω). Alors, par densité de D(Ω) dans H10 (Ω), on en déduit que

∀v ∈ H10 (Ω),

∫Ω

∇u∇v =

∫Ω

fv

Ces considérations nous conduisent à la définition suivante :

Définition : Solution variationnelle. On dit que u est solution de−∆u = fu|∂Ω = 0

au sens variationnel si• u ∈ H1

0 (Ω)(ce qui garantit la nullité de γu)• ∀v ∈ H1

0 (Ω),∫Ω∇u∇v =

∫fv

Remarquons d’emblée qu’une solution forte est une solution au sens variationnelle par intégrationpar parties : en effet, si on prend une solution classique du problème de Dirichlet, u ∈ H1

0 (Ω) demanière immédiate car , pour toute fonction test φ,∫

Ω

fφ =

∫Ω

−∆uφ =

∫Ω

∇u∇φ−∫∂Ω

∇u · n φ︸︷︷︸=0 sur ∂Ω

=

∫Ω

∇u∇φ

et on conlut par densité. De plus, une solution variationnelle est une solution faible.

II-B- 4. Question de minimisation

Le problème de Lax-Milgram On se donne H un espace de Hilbert, ici, H10 (Ω) muni du produit

scalaire(u, v)H1

0 (Ω) =

∫Ω

∇u∇v

L : v 7→∫Ωfv est une forme linéaire continue sur H1

0 (Ω), car

||L(v)|| ≤ ||f ||2||v||2 ≤ ||f ||2||v||H10 (Ω)

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Donc on aura une solution au sens variationnel si l’on réussit à trouver une fonction u ∈ H10 (Ω) telle

que∀v ∈ H1

0 (Ω), (u, v) = L(v)

et qu’une telle fonction est unique (l’existence et l’unicité proviennent du théorème de représentationde Riesz).

Dans un certain nombre de problèmes physiques, on cherche avant tout à minimiser une certainequantité, comme par exemple l’énergie, qui peut par exemple être l’énergie potentielle. Ici, cette énergiepotentielle prend la forme

J(v) :=1

2

∫Ω

|∇v|2 −∫Ω

fv, v ∈ H10 (Ω)( d’après la [RT88])

qui est analogue à une énergie potentielle ou à une énergie de déformation élastique.

Minimisation Soit u un minimum de la fonctionnelle J , si un tel minimum existe. Par le cours decalcul différentiel, on sait que dJu = 0. De plus, pour toute fonction u ∈ H1

0 (Ω)

∀v ∈ H10 (Ω), dJu(v) =

∫Ω

∇u∇v −∫Ω

fv

En effet, un calcul nous montrer que J(u+ tv) = J(u) + t(∫Ω∇u∇v −

∫Ωfv) + t2

2

∫Ω|∇u|2.

Notons qu’alors (u est solution au sens variationnel) ⇔ u est un minimum local de J dans H10 (Ω) , et

on montre, par l’inégalité de Poincaré, l’unicité d’un tel minimum ; on verra plus bas comment justifierd’un coup l’existence et l’unicité d’un tel minimum. En effet, ∀v ∈ H1

0 (Ω)− 0, ∀t ∈ R∗, J(u+ tv) =

J(u) + t2

2

∫Ω|∇v|2 > J(u) par inégalité de Poincaré.

Remarque. • J est convexe.• On peut obtenir l’existence d’un minimum par minimisation d’une fonctionnelle convexe (cf [Bre10])

II-C. Le problème de Neumann

Solutions faibles/ Solutions variationnelles On remarque que, si u est une solution du problèmede Neumann, pour toute constante c, u + c est encore solution : on n’a donc aucune chance d’avoirunicité de la solution. On va en fait étudier le problème suivant :

−∆u+ au = f∂nu|∂Ω = 0

avec a ≥ δ > 0 une fonction bornée. qui se comporte comme un terme d’atténuation (par exemple,c’est un terme traduisant l’absorption de la chaleur. Soit v ∈ H1(Ω). Par la formule de Green,∫

Ω

∇u∇v −∫∂Ω

∂nuvdσ +

∫auv =

∫Ω

fv

ce qui nous conduit à la définition suivante :

Définition. On dit que u est solution faible si u ∈ H1(Ω) et si ∀v ∈ H1(Ω),∫Ω[∇u∇v+ auv] =∫

Ωfv

Notons que si u est solution faible, alors γ∂nu = 0. En effet, au sens des distributions, la conditiondevient

∀v ∈ D(Ω), ⟨−∆u+ au− f, v⟩ = 0

L’égalité a lieu dans D′(Ω), donc, toutes les fonction en jeu étant L2, l’égalité a lieu dans L2. Soitdonc v ∈ H1(Ω). Par hypothèse, on a

∀v ∈ H1(Ω),

∫∂Ω

∂nuv = 0

Ainsi, bien que la définition de solution faible du problème de Neumann semble cacher la conditionde nullité au bord, celle-ci se trouve en fait intégrée.

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Retour sur Lax-Milgram On revient sur le problème de Lax-Milgram évoqué ci-dessus (vérfier :ce cas couvre-t-il le problème variationnel de Dirichlet ?).

Théorème : Lax-Milgram. Soit f ∈ L2(Ω). Il existe une unique solution du problème variationnel−∆u+ au = f∂nu|∂Ω = 0

, ∀x ∈ Ω, 0 < δ ≤ a(x) ≤M . De plus, cette solution est en fait une solution de H2(Ω).

Démonstration du théorème. On considère le problème général suivant : soit α une forme bili-néaire continue et coercive (parfois appelé H − elliptique) sur un espace de Hilbert H :• ∃M, ∀u, v||α(u, v)|| ≤M ||u||||v||• ∃µ,∀u ∈ H, ||α(u, u)|| ≥ µ||u||2

et L une forme linéaire continue. Alors, sous ces hypothèses, il existe une unique solution du problème"trouver u ∈ H tel que

∀v ∈ H,α(u, v) = L(v)”

On se ramène au théorème de Riesz : ∀v ∈ H, ∃!A(v) tel que

∀w ∈ H,α(v, w) = (A(v), w)

et on vérifie immédiatement que A : u 7→ A(u) est continue.

De plus, l’appliacation L étant continue, il existe, par le théorème de Riesz, un unique vecteuru0 ∈ H tel que

∀v ∈ H,L(v) = (u0, v)

On cherche donc un vecteur u tel que A(u) = u0, c’est à dire un point fixe de l’application

T : v 7→ v − µ

M2(A(v)− u0)

La constante µM2 peut paraître exotique, mais on l’a en fait choisie pour avoir une application contrac-

tante : en effet, (finir les calculs, pas difficultés particulières)

Revenons sur la formulation variationnelle du problème : on considère α : (u, v) 7→∫Ω∇u∇v + auv

définie sur H1(Ω), qui est un espace de Hilbert. Elle vérifie Lax-Milgram. On en déduit donc l’existenceet l’unicté d’une solution. La régularité de la solution ne sera pas traitée ici.

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L3

III. Propriétés qualitatives du Laplacien

La référence pour ce chapitre est [Bre10] Ici, on considérera que Ω est un ouvert régulier borné oubien que Ω = Rn+

III-A. Régularité des solutions faibles

Théorème. On considère le problème de Dirichlet−∆u+ u = fu|∂Ω = 0

• Si f ∈ L2(Ω), alors si u est une fonction de H10 (Ω) solution de la formulation variationnelle

du problème, u est en fait H2(Ω) et l’inversion du laplacien est continue au sens où

||u||H2(Ω) ≤ c||f ||2

• Si f ∈ Hm(Ω), alors u ∈ Hm+2(Ω) et ||u||Hm+2(Ω) ≤ c||f ||2 .

• Si f ∈ C∞(Ω), alors u ∈ C∞(Ω).

Démonstration du théorème. On procède en plusieurs étapes(a) Le cas Ω = Rn+(b) On traite le cas général par passage à des cartes locales. Ce dernier point ne sera pas ici traité

en détail, les outils de géométrie différentielle nous faisant défaut.• Supposons donc Ω = Rn+, f ∈ L2(Ω). On travaille ici avec la méthode des translations de Ni-

renberg. Pour cela, considérons h ∈ Rn+ − (0, 0, h = (h′, 0), h′ ∈ Rn−1. On introduit la fonctionτhu = x 7→ u(x+ h). Notons que cela a un sens, puisque l’ouvert Ω est stable par la translation devecteur h. On introduit ensuite la dérivée discrète de u par rapport au vecteur h

Dhu :=1

|h|(τhu− u)

On vérifie que τhu ∈ H10 (Ω), en conséquence de quoi Dhu ∈ H1

0 (Ω). On peut donc considérerφ := D−h(Dhu) ∈ H1

0 (Ω) En considérant la formulation variationnelle du problème de Dirchlet, onobtient donc, les opérateurs D−h, Dh et ∇ commutant,∫

Ω

∇uD−h(Dh∇u) =∫Ω

fD−h(Dhu)

Intéréssons-nous à présent au premier terme de cette égalité :∫Ω

∇uD−h(Dh∇u) =∫Ω

∇u(x) 1

|h|(Dhu(x− h)−Dhu(x))dx (8)

=

∫Ω

∇u(x+ h)−∇u(x)|h|

Dh∇u(x)dx (9)

=

∫Ω

|Dh∇u|2 (10)

Une transformation du même genre nous conduit à l’égalité∫Ω

uD−h(Dhu) =

∫Ω

|Dhu|2

Ainsi, de la formulation variationnelle du problème on peut tirer l’égalité suivante∫Ω

|∇Dhu|2 +∫Ω

|Dhu|2 =

∫Ω

fD−h(Dhu)

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On utilise alors le lemme suivant, dont nous repoussons la démonstration à la fin de celle duthéorème :

Lemme. ∀v ∈ H10 (Ω), ||Dhv||2 ≤ ||∇v||2

En appliquant ce lemme, il vient alors

||Dhu||2H1(Ω) ≤ ||f ||2||D−h(Dhu)||2≤ ||f ||2||∇Dhu||2≤ ||f ||2||Dhu||H1(Ω)

⇒||Dhu||H1(Ω) ≤ ||f ||2On repasse au cas où φ est une fonction C∞ à support compact quelconque.∫ΩDh(∂iu) · φ =

∫Ω∂iuD−hφ et d’autre part

∫ΩDh(∂iu) · φ = −

∫ΩuD−h∂iφ. En conséquent,

|∫Ω

uD−h(∂iφ)| ≤ ||f ||2||φ||2

do’ù, en prenant hjk := ej2−k, j = n

|∫Ω

u∂2φ

∂xi∂xj| ≤ ||f ||2||φ||2

Notons de plus que ∂2n2u = −∑j<n ∂

2x2j+u · f au sens des distributions. On en déduit une inégalité

du type

|∫Ω

u∂2φ

∂x2n≤ c||f ||2||φ||2

On peut montrer par le théorème de Hahn-Banach et par le théorème de Riesz qu’il existe fjk ∈L2(Ω) tel que ∀φ ∈ D(Ω),

∫Ωu ∂2φ∂xjxk

=∫Ωfjkφ. (cf [Bre10]). On en déduit donc que u est en fait une

fonction de H2(Ω).Prouvons à présent le lemme énoncé : par densité, on peut travailler sur une fonction v ∈ D(Ω).Par égalité des accroissements finis

|u(x+ h)− u(x)| =∫ 1

0

h · ∇u(x+ th)dt

Donc∫Ω

|τhu− u|2 ≤ h2∫Ω

∫ 1

0

|∇u(x+ th)|2dtdx = |h|2∫ 1

0

dt

∫Ω+ ht︸ ︷︷ ︸

=Ω

|∇u(x)|2dx = |h|2∫Ω

|∇u|2

et l’on en déduit l’inégalité recherchée.• Si f ∈ Hm(Ω) : On sait que u est H2. On se restreint à un ouvert ω et l’on applique la méthode de

troncature : soit x ∈ ω, ϵ > 0, B(x, ϵ) ⊆ ω et soit φ ∈ D(ω), supp(φ) ⊂ B(x, ϵ) positive valant 1 surB(x, ϵ2 ).

−∆(φu) = −φ∆u− 2∇u∇φ− u∆φ

⇒−∆(φu) + φu = −φ∆u− 2∇u∇φ− u∆φ+ φu (11)

= φf − 2∇u∇φ− u∇φ ∈ L2 (12)

donc φu ∈ H2. De plus, au sens des distributions

−∆(∂i(uφ)) + ∂i(φu) = ∂i( φC∞

fH1

)︸ ︷︷ ︸∈L2

−2∇φ∇uH1︸ ︷︷ ︸

∈L2

−u∆φ︸︷︷︸∈L2

do’ù l’on déduit ∂i(uφ) ∈ H2⇒φu ∈ H3⇒u ∈ H3(B(x, ϵ2 )). En itérant le procédé, on obtient lerésultat voulu.

• Supposons f ∈ C∞(Ω). Alors ∀m ∈ N∗, u ∈ Hm+2 ce qui nous donne le résultat par les injectionsde Sobolev.

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L3

III-B. Le principe du maximum

On parle toujours du problè de Dirichlet. On cherche à contrôler les signe de la solution u . Parexemple, en dimension 1, si f > 0, si u est ce classe C2, −u′′ > 0 et don u est concave. Comme elleest nulle sur les bords, (ici, aux points extremaux de l’intervalle considéré), on en déduit que u > 0sur Ω. Précisons cela :

Théorème. Si Ω désigne un ouvert borné de Rn, soit f ∈ L2(Ω). Si f ≤ 0, la solution u duproblème de Dirichlet associé à f vérifie u ≤ 0 sur Ω.

III-B- 1. Cas des solutions régulières

Si f ∈ C0(Ω), u ∈ C2(Ω), on distingue deux cas• Si f < 0 sur Ω et s’il existe x0, u(x0) > 0. Soit x1 := arg(sup

x∈Ωu(x)). Ainsi,u va localement "avoir une

forme de cloche", ce qui justifie ∀i ∈ Nn, ∂2i2u(x1) ≤ 0, ce qui contredit notre hypothèse. C’est unepreuve avec les mains, donnons donc une preuve plus rigoureuse : par le cours de calcul différentiel,la matrice hessienne Hess(u)(x1) est symétrique négative, et donc ∆(u)(x1) = tr(Hess(u)(x1)) ≤ 0.

• Si f ≤ 0, on introduit || · ||2 : x 7→∑x2i , ∆|| · ||2(x) = 2n, ainsi que la fonction auxilliaire

uϵ := u + ϵ||x||2 − A2ϵ, où Ω ⊂ B(0, A). De plus, uϵ ≤ 0 sur ∂Ω. Soit uϵ ≤ 0 ce qui permet deconclure en faisant tendre ϵ vers 0. Sinon, le même raisonnement que celui du premier cas permetde conclure à une absurdité.

Ce raisonnement s’applique de manière plus générale aux équations de la forme

−∆u+

n∑i=1

bi(·)∂iu+ c(·)u = 0 (13)

Pour plus de précisions, on se reportera à [FGN12].

III-B- 2. Cadre Sobolevien

Si v ∈ L2 on définit v+ := max(0, v), v− := max(−v, 0), de sorte que v = v+ − v−.

Lemme. Si v ∈ H10 (Ω), v

+ ∈ H10 (Ω) et v− ∈ H1

0 (Ω). De plus,

∇v+ = 1v>0∇v,∇v− = 1v<0∇v

et, λ-pp∇v+ · ∇v = |∇v+|2

Admettons un instant ce lemme : en passant à la formulation variationnelle,∫Ω

∇u∇u+ =

∫Ω

fu+ =

∫Ω

|∇u|2 ≤ 0

la denri/‘ere inégalité provenant de f ≤ 0. Donc ||u+|| = 0 et, en appliquant l’inégalité de Poincaré,u = −u− ≤ 0, ce qui est exactement le résultat voulu.

Démonstration du lemme. On approche la fonction Id+ de R par une suite de fonction C∞ (fairele schéma) et finir la preuve.

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IV. Schémas numériques pour l’inversion du Laplacien

IV-A. En dimension 1

Soit a < b et une suite de N + 1 points x0 = a < x1 < · · · < xN = b supposés équidistants, de pash = b−1

N . On obtient donc la formulexi = a+ ih

Si les points ne sont plus supposés équidistants, on pose, pour tout i ∈ [|0, N − 1|] hi := xi+1 − xi.Dans toute la suite, on prendra a = 0, b = 1 pour alléger les notations.On s’intéresse alors à la résolution du problème de Dirichlet associé à une fonction f de classe C∞ Onva s’intéresser à une solution u. On pose ui := u(xi). On appelle maille tout intervalle de la forme[xi, xi+1].

IV-A- 1. Première approche

Entre deux points, supposons que u soit grossièrement affine par morceaux (pour une autre pré-sentation de la méthode numérique, on pourra se reprter au TD5). Donc sa dérivée est constante surchaque maille, et l’on définit la dérivée de u au centre de chaque maille. C’est-à-dire que la dérivéeeest définie sur la grille des xi+ 1

2avec xi+ 1

2:= xi+1−xi

2 .Par développement limite, on obtient l’approximation

u′(xi+ 12) ≈ ui+1 − ui

xi+1 − xi

On définit de même les u(k) sur la grille translatée si k est impair, sur la grille initiale sinon. Remar-quons également que, pour tout entier i de 1, . . . , N − 1

xi+ 12=xi+1 − xi−1

2

Do’ù l’on tire

u′′(xi) ≈ui+1−ui

xi+1−xi− ui−ui−1

xi−xi−1

xi+1−xi−1

2

Cas où les points sont équidistants Les points étant supposés équidistants de pas h, on obtientainsi

u′′(xi) ≈ui+1 + ui−1 − 2ui

h2

Cas général En toute généralité, on obtient en fait

u′′(xi) ≈ −(1

hi+

1

hi−1)

uihi+hi−1

2

+ui+1

hi(hi+hi−1)2

+ui−1

hi−1(hi+hi−1)2

IV-A- 2. Schéma numérique

On introduit le vecteur U :=

u1...

uN−1

. On sait que pour tout i entier dans NN−1 −u′′(xi) = f(xi)

ce qui motive l’introduction de la matrice suivante :

A :=

2

h1+h0( 1h1

+ 1h0) −2

h1(h1+h0)0 . . . 0

−2h0(h1+h0)

. . .. . . 0

0 −2hi−1(hi+hi−1)

−2hi(hi+hi−1)

−2hi(hi+hi−1)

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Finir de taper la mtrice, quoi. Bon, en posant F :=

f(x1)...

f(xN−1)

on obtient l’équation matricielle

AU = F

IV-A- 3. Résolution du schéma numérique

On remarque que la matrice est à diagonale dominante. Par un lemme de Hadamard, on en déduitqu’elle est inversible et qu’il existe une constante c > 0 telle que, si U est solution

supi=1...N−1

|ui| ≤ c supi=1...N−1

|f(xi)|

Aspects pratiques On a une matrice (N −1)× (N −1) à inverser. Une méthode de pivot de Gaussnous permet de l’inverser en O(N3) opérations.Mais comme elle est tridiagonale, on dispose d’un algorithme pour l’inverser en O(N) opérations :Supposons connu u1. Ainsi, on connait u2 = g2(u1) où g2 est une fonction affine. On en déduit u3comme fonction affine de u1 etc... et uN = gN (u1) = 0 avec gN une fonction affine. (Si l’on veut, onpeut rajouter une ligne virtuelle à la matrice). Mais on montre aisément que gN se calcule en O(N)opération. On en déduit

u1 =−gN (0)

gN (1)− gN (0)

IV-A- 4. Convergence du schéma numérique

Le mot d’ordre pour cette partie est "consistance+stabilité=convergence".

Consistance du système On dit d’un système qu’il est consistant si, en notant err(n) l’erreurentre solution numérique et solution théorique (que l’on n’a pas explicitement) tend vers 0 quandn→ +∞ ou que sup|hi| tend vers 0 quand n→ +∞.Ici, en notant u la vraie solution pour un pas constant, en notant U le vecteur qui lui est associé etUe le vecteur associé à la résolution numérique, on obtient une expression de l’erreur de consistance,qui est

Ec = AU − F

(notons que la solution exacte ne vérifie pas nécessairement le schéma numérique) et Ec =

E1

...En

, Ei =

−(f(xi) +ui+1+ui−1−2ui

h2 ) = −u′′(xi) +O(h2)− f(xi) si u est de classe C4.

Stabilité du système Le système est dit stable si la réponse du schéma à une petite perturbationest petite. La stabilité du système considéré a été établie en TD.

Convergence du système On dit que le schéma numérique est convergent si la solutionnumériquetend vers la solution du problème en norme infinie quand la discrétisation devient de plus en plus fine.Ici, comme Ue = U − Unum

AUe = AU − F (14)= F + Ec − F (15)= Ec (16)

⇒||Ue||∞ ≤ c||Ec||∞ (Stabilité) (17)

⇒||Ue||∞ ≤ O(||h||2)(Consistance) (18)

Limites du procédé C’est un schéma extrêmement difficile à adapter en dimensions supérieures.De plus, on ne peut jouer qu’avec des cubes, tandis qu’il est plus pratique de travailler avec destriangles.

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IV-B. Approche variationnelle

IV-B- 1. Présentation

On considère, sur le domaine Ω régulier, un maillage, c’est à dire un ensemble de points indexépar P organisés en triangles Tj = (xm, xn, xp) tels que tout triangle ne contienne pas de points autresque ses sommets.Soit HP l’ensemble des fonctions affines sur chaque triangle. On a automatiquement

HP → H1(Ω′)

où Ω′ = ∪Tj . En notant HP,0 l’ensemble des fonctions nulles sur ∂Ω et en en prolongeant les fonctionspar 0, on obtient l’inclusion

HP,0 → H10 (Ω)

IV-B- 2. Formulation variationnelle

On définit sur H10 (Ω) la fonctionnelle J : x 7→ 1

2

∫Ω|∇x|2 −

∫Ωfx et on prend u qui réalise le

minimum de cette fonctionnelle. Pour déterminer u, on va en fait travailler sur HP,0. Mais ce dernierevn est de dimension finie. Il s’agit donc d’un problème de minimisation en dimension finie.Notons uP cette éventuelle solution.

Méthode de Lax-Milgram Soit vP un élément de HP,0. Posons wP := vP − uP . Définissonsensuite sur H1

0 la fonctionnelle

a : (u, v) 7→∫

∇v∇u

En vérifiant que cette dernière forme est bilinéaire et coercive, on peut appliquer le lemme de Lax-Milgram et en déduire l’existence et l’unicité de la solution.finir de taper-feuilles du cours 6

Forme faible Pour alléger les notations, on notera désormais H = HP,0 On introduit sur H lafonctionnelle

J : v 7→ 1

2

∫|∇v|2 −

∫fv

On cherche donc un minimum uP pour cette fonctionnelle. Si on trouve un tel minimum, on aura donc

∀v ∈ H, ∀t ∈ R, t∫

∇u∇v − t

∫fv +

t2

2

∫|∇v|2 ≥ 0

d’où l’on tire qu’une telle fonction uP est solution.

Aspects pratiques Soit (φi)i une base de H et N la dimension de H. On sait que

v ∈ H⇔∃(β1, . . . , βN ) tels que v =N∑i=1

βiφi

Donc on fait l’integrale sur Ω′ ?

J(v) =1

2

∫|∇

N∑i=1

βiφi|2 −N∑i=1

∫βiφi (19)

=1

2

N∑i,j=1

βiβj

∫∇φi∇φj −

N∑i=1

βi

∫φif (20)

L’équation précédente nous pousse ainsi à introduireA = (

∫Ω′ ∇φi∇φj)(i,j)∈N2

n

F = (∫Ω′ φif)i∈NN

β = (βi)i∈NN

Avec ces notations, on a

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L3

J(v) =1

2⟨Aβ, β⟩ − ⟨F, β⟩

pour le produit scalaire euclidien sur RN . On fait par la suite un abus de langage : si γ =(γ1, . . . , γN ) et si β = (β1, . . . , βN ) on désigne par J(β + tγ) la quantité J(

∑βiφi + t

∑γiφi). On

cherche à déterminer β tel que pour tout t, pour tout γ

J(β + tγ) ≥ J(β)

c’est-à dire tel quet

2⟨Aγ, β⟩+ t

2⟨Aβ, γ⟩+ t2

2⟨Aγ, γ⟩ − t⟨F, γ⟩ ≥ 0

Mais, comme A est symétrique, on en déduit que cette condition équivaut à

∀γ ⟨Aβ, γ⟩ =< F, γ >

Notons qu’on aurait aussi pu l’obtenir par la formulation variationnelle ; Par ailleurs,

∀γ, ⟨Aγ, γ⟩ =∫

∇(∑

γiφi)∇(∑

βkφk)

=

∫|∇

∑βiφi|2 ≥ 0

Donc la forme A est définie positive. Donc A est inversible. Donc on a existence et unicité de lasolution β = A−1F . Notons que, Lax-Milgram nous donnant l’existence et l’unicité de la solution, ilnous donne le caractère inversible de A.

Aspects pratiques On travaille ici dans le cas Ω ⊂ R2. On a un algorithme probabiliste quitriangule l’ouvert en N triangles pas trop différents. Pour calculer A, aussi appelée matrice d’inertie,on dit que, si Pi est un sommet commun à plusieurs triangles, on définit φi par φi(Pj) = 1δi=j . φiestdonc explicite sur Tk, où Pi est un sommet de Tk.Ensuite, soit on calcule

∫|∇φi|2 soit on calcule

∫∇φi∇φj . On calcule ensuite les (

∫φif) que l’on

approche généralement en f(Pi)∫φi. On réalise donc une erreur de l’ordre de la taille du maillage au

sens où||Fapprox − F || = O(h)

où hest la taille maximale d’un triangle. Comme, la matrice A a beaucoup de zéros, on a beaucoupd’algorithmes qui l’inversent de manière assez rapide.Par exemple, si on se replace en dimension 1, dans le cas d’un pas régulier,

∫|∇φi|2 = 2

h , si |i− j| =1,∫∇φi∇φj = −1

h , 0 sinon. Dans le cas du problème de Dirichlet, on obtient donc une matricetridiagonale, qui est, à un facteur près, la même que celle trouvée dans la section précédente taperla mtrice

Remarques En dimension 3, même si l’on veut mailler par des tétraèdres, il n’y a pas d’algorithmessatisfaisants pour le faire correctement. Ont peut également tenter une approche à la main, commeau début du cours.

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V. Équations de transport linéaire

V-A. Origine physique des équations de transport

V-A- 1. Le point de vue eulérien

Soit Ω un domaine de Rn. Si (x, t) ∈ Ω×R+, on note u(t, x) la densité de particules au point x àl’instant t. Le mouvement des particules est régi par un flux ϕ de la forme

ϕ(t, x) = u(t, x)v(t, x) ∈ Rn

. Si ω ⊂ Ω on désigne la masse de particules en ω au temps t par

mω(t) =

∫ω

u(t, x)dx

On note ηΩ(x) la normale unitaire à ω en x.Par un raisonnement physique, on voit que si ω est infiniment petit, la différentielle de mω est égaleà ce qui rentre diminué de ce qui sort. En termes mathématiques,

m′ω(t+ dt) =

∫∂ω

ϕ(t, x) · ηω(x)dx

Mais, en utilisant la formule de Green, qui dit que∫Ω

divx(F ) =

∫∂ω

Fηω

, on obtient finalement l’équation

∂tu(t, x) + divx(uv)(t, x) = 0

V-A- 2. Point de vue Lagrangien

Cette fois, au lieu de s’intéresser à un flux de particules qui passerait au travers d’un domaine,on va suivre une information initialement située en x ∈ Rn valant u0(x) au cours du temps. On notepour un temps t u(t, x) l’information transportée). Si on suppose que l’information est transportée lelong de courbe ξ, c’està dire que l’on a u(, ξ(t)) = u0(ξ(0)), on a alors

∂tu(t, ξ(t)) + ξ′(t) · ∇xu(t, ξ(t)) = 0

Supposons alors que les ξ soient solutiond ’une équation du type

x′ = f(t, x)

dont le flot recouvre tout le plan. Alors on voit que u vérifie l’équation de transport

∂tu(t, x) + f(t, x)∇xu(t, x) = 0

V-B. Présentation du cadre théorique

On considère un champ de vecteurs C∞ v : (t, x) 7→ v(t, x) défini sur R+ × RN et on suppose que• v est borné par M .• v est lipschitzienne au sens où il existe M ′ tel que ∀t, x||∇xv(t, x)|| ≤M

On appelle alors équation de transport linéaire toute équation de la forme

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∂tu+ v · ∇xu = 0u(0, ·) = u0

V-C. Méthode des caractéristiques

La méthode des caractéristiques consiste en fait à s’intéresser au système différentiel qu’induit lechamp de vecteurs v et, de là, à remonter aux solutions de l’équation aux dérivées partielles.

V-C- 1. Le transport linéaire en dimension 1

L’équation II devient ainsi∂tu+ v(t, x)∂xu = 0

On introduit les courbes intégrales ou caractéristiques du champ de vecteurs en suivant une particulequi se déplace suivant ce champ de vecteurs. Introduisons X(t, to, x0) la position à l’instant t de laparticule prise en x0 à t0. Pour reprendre les notations du cours de calcul différentiel II, X(t, t0, x0) =φt,t0(x0) De même, par le cours de calcul différentiel, on sait que X vérifie le problème de Cauchysuivante :

∂tX(t, t0, x0) = v(t,X(t, t0, x0))X(t0, t0, x0) = x0

Donc une telle trajectoire X existe et est unique.

V-C- 2. Résolution : existence et unicité d’une solution

Fixons t0. On pose ensuitew : (t, x0) 7→ u(t,X(t, t0, x0))

où u est une solution. Dérivons par rapport au temps :

∂tw(t, x0) = ∂tu(t,X(t, t0, x0)) +dX

dt(t, t0, x0) · ∇xu(t,X(t, t0, x0))

= ∂tu(t,X(t, t0, x0)) + v(t,X(t, t0, x0)) · ∇xu(t,X(t, t0, x0))

= 0

Donc, pour tout t réel, u(t,X(t, t0, x0)) = u(0, X(0, t0, x0)). En fait, si on suit le flot du champ devecteurs, l’information reste constante. Ainsi

w(t, x0) = u0(x0)

en prenant t0 = 0. On sait donc que sur une courbe intégrale de l’équation u(, x) = u0(x0). Maisx0 = X(0, t, x) (on inverse la flot : x0 correspond à position qu’occupait en 0 la particule qui occupex au temps t.) On en déduit donc

∀(t, x), u(t, x) = u0(X(0, t, x))

On en déduit que si u0 est dérivable de classe C1, par les théorèmes généraux, il y a existence etunicité de la solution, ce que l’on résume dans le théorème suivant :

Théorème. Si u0 ∈ C1(Rd), l’équation de transport linéaire associée à u0 et v admet une uniquesolution de classe C1. (unicité au sens D′ ?)

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L3

V-D. Solutions faibles de l’équation de transport

V-D- 1. Motivations de l’approche variationnelle

• Si on a plusieurs champs de vitesse à gérer, les caractéristiques deviennet très compliquées à gérer.• Les caractéristiques peuvent s’emmêler, ou bien le champ de vitesse peut présenter des singularités.

On peut par exemple penser à un tourbillon.• Le fait de ne chercher que des solutions très régulières fait disparaître les effets d’échelle qui peuvent

apparaître en physique.Tout ceci motive la recherche d’une solution L∞, en prenant une condition initiale u0 dans L∞.Travaillons à présent au sens des distributions sur Rd, histoire de nous faire une idée. On se rendraplus tard compte qu’il faudra restreindre l’ouvert dont les distributions sont en jeu.

V-D- 2. Résolution

Notons que comme u ∈ L∞, la distribution coincide avec l’intégrale sur le domaine.Si u est solutionau sens des distributions alors vérfier les ouverts de définition des distributions

∀ φ ∈ D(R× Rd) −⟨u, ∂tφ⟩+n∑i=1

⟨vi∂iu, φ⟩ = 0

⇔ ⟨u, ∂tφ⟩+n∑i=1

⟨u, ∂i(viφ)⟩ = 0

⇔∫Rd

∫Ru · ∂tφ+

∫Rd

∫Ru∇(v · φ) = 0

On remarque qu’on obtient déjà quelque chose qui a bonne allure. Malheureusement, on a perdu lacondition initiale... Comme annoncé plus tôt, au lieu de considérer des fonction de D(R × Rd), onva considérer des fonctions de D(R+ × Rd). Reprenons exactement le même raisonnement. Un termede bord apparaît dans le terme comportant des dérivées temporelles (attention, ici on travaille surdes fonctions qui sont restristioncs de fonctions tests d’un ouvert plus grand), on en tire la définitionsuivante :

Définition. Sous les mêmes hypothèses (u0, v ∈ L∞)), on dit que u ∈ L∞(R × Rd) est solutionfaible de l’équation de transport associée si

∀φ ∈ C1c (R+ × Rd),

∫ ∫u · ∂tφ+

∫ ∫u · ∇(v · φ) +

∫R+

u0(x, )φ(0, x) = 0

On vérifie par un calcul immédiat que toute solution forte est solution faible. Un commentaire surl’hypothèse L∞ : on peut le demander dans la définition, mais on remarque que l’équation correspondau transport, au déplacement de ces valeurs, et il est donc cohérent qu’elle soit essentiellement bornée.Par ailleurs, si u est une solution faible de classe C1, elle est solution forte.

V-E. En dimension 1 à vitesse constante

On prend donc v = c. On a alors un théorème remarquable, qui nous garantit même l’unicité ausens faible !

Théorème. Soit u0 ∈ L∞(R). Il existe une unique solution faible à léquation de transport∂tu+ c∇xu = 0u(0, ·) = u0

et elle est donnée par (c, t) 7→ u0(x − ct) (au sens des distributions, bien entendu) Ainsi, siv ∈ C∞ ∩ L∞, u0 ∈ C1 ∩ L∞ l’unique solution est une solution de classe C1.

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Démonstration du théorème. Pour l’existence, on vérifie que l’expression donnée convient. Pas-sons à l’unicité : Si u1, u2 sont deux solutions de l’équation de conservation scalaire, on remarque queu1 − u2 est solution de l’équation de transport

∂tu+ c∇xu = 0u(0, ·) = 0

Il suffit donc de démontrer l’unicité dans le cas d’une condition initiale identiquement nulle. Onremarque que la fonction nulle est solution de cette dernière équation de transport. On veut doncmontrer que si u en est solution

∀ψ ∈ C1(R+ × R),∫ ∫

uψ = 0

Mais on sait déjà que

∀ φ ∈ D(R× R)∫R

∫R+

u · ∂tφ+

∫R+

∫Ru∂x(c · φ) = 0

Donc, si on montre que∀ψ ∈ C1

c , ∃φ ∈ C1c , ∂tφ+ c∂xφ = ψ

la démonstration sera achevée. Pour montrer cette propriété, on va procéder par analyse-synthèse.Supposons donc, à ψ fixé, qu’il existe une telle fonction φ. On se déplace le long des caractéristiques,c’est-à-dire que l’on pose φ : (t, x) 7→ φ(t, x+ ct). Par hypothèse

∀t ≥ 0, x ∈ R, ∂tφ(t, x) = ψ(t, x+ ct)

Ceci nous incite alors à poser

φ : (t, x) 7→∫ t

A

ψ(s, x+ cs)

où ψ s’annule si |z| ≤ A. φ = (t, x) 7→ φ(t, x− ct) convient alors.

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L3

VI. Équations de transport non linéaire

On s’intéresse ici aux équations de la forme

∂tu+ ∂xf(u) = 0u(0, ·) = u0

Pour simplifier le problème, on va supposer que f est de classe C∞. C’est une équation scalaire (uest à valeurs réelles) scalaire (x est un réel).Ce genre d’équations forme une sous-classe des systèmes hyperboliques de lois de conservation,c’est à dire des équations de la forme

∂tu+d∑i=1

∂ifi(u) = 0, u(t, x) ∈ Rd

Par exemple, toutes les équations de la mécanique des fluides relèvent de cette classe d’équation, en

prenant par exemple pour u le vecteur(ϕv

)où ϕ est la densité et v la vitesse. De même, en prenant

u =

(E

B

)on peut retrouver les équations de l’éléctromagnétisme. En mélangeant toutes ces équations,

on peut aboutir aux équations de la magnétohydrodynamique, domaine dont les applications vont del’astrophysique théorique au projet ITER (réaliser une fusion contôlée). On étudie ici un cas bien plussimple ; les premiers résultats significatifs datent des années 70. Dans le cas général, les problèmesd’existence, d’unicité, de stabilité des solutions.... restent ouvert.

VI-A. Solutions Classiques

VI-A- 1. Définition

Définition. Si f ∈ C2(R,R), u0 ∈ C1(R,R) ∩ L∞(R), u′0 ∈ L∞(R), on dit que u est solutionclassique de l’équation de transport non-linéaire associée à f et à u0 sur [0, T ] si u ∈ C1([0, T ]× R,R) ∩ L∞([0, T ]× R,R)

∂tu+ ∂xf(u) = 0 sur [0, T ]u(0, ·) = u0

VI-A- 2. Méthode des caractéristiques générales

En introduisant c := f ′, on peut réécrire l’équation du transport non-linéaire sous la forme

∂tu+ c(u)∂xu = 0, u|t=0 = u0

Supposons qu’il existe une solution classique u. On adopte le point de vue Lagrangien, c’est-à-direque l’on va suivre une particule qui se déplace le long de notre "champ de vitesse " c(u). En d’autrestermes, on introduit X(t, t0, x0) comme l’unique solution du problème de Cauchy

∂tX(t, t0, x0) = c(u(X(t, t0, x0)))X(t0, t0, x0) = x0

Ici encore, pour reprendre des notations de calcul différentiel (on reconnaît le flot), on pose φt,t0(x) :=X(t, t0, x) et φt(x) := X(t, 0, x0). Regardons alors l’évolution de l’information u le long de ces carac-téristiques :

∂tu(t, φt,t0(x)) = ∂tu(t, φ

t,t0(x)) + c(u(t, φt,t0(x)))∂xu(t, φt,t0(x))

= 0

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On en déduit donc∀(x, t) ∈ R× [0, T ], u(t, φt(x)) = u0(x)

D’où l’on déduit, en intégrant le système de Cauchy,

∀(t, x) ∈ [0, T ]× R, φt(x) = x+ tc(u0(x))

Vues les hypothèse que l’on a faites, le flot de l’équation différentielle recouvre le plan. On endéduit donc que si u0(R) ⊂ [A,B], alors ∀(t, x), u(t, x) ∈ [A,B] 2. Par la relation

u0(x) = u(t, φt(x)) = u(t, x+ c(u0(x))t)

, on voit qu’il faut inverser la fonction x 7→ x + tφt(x). En fait, on se retrouve face à un problèmed’enveloppe de droites et de caustiques. Posons

F : (t, x) 7→ x+ tc(u0(x))

Ici, la situation est relativement agréable à traiter : en effet, F (t, ·) tend vers ∞ en +∞ et vers −∞en −∞. Donc F est un difféomorphisme si et seulment si (?) ∂xF (t, x) > 0⇔1 + tc∂x(c u0) > 0 et ilfaut donc déterminer un intervalle de temps [0, T ∗] tel que cette inégalité y soit vérifiée pour tout x.Si c u0 est croissante, on peut prendre T ∗ = ∞. Sinon, on constate que la relation est vérifiée pourtout t ∈ [0, T ∗[ avec

T ∗ :=−1

inf(∂x(c u0))

VI-A- 3. Étude autour du temps T ∗

Les limites de la méthode des caractéristiques Comme u0 ∈ L∞, ||u(t, ·)||∞ = ||u0||∞.En revanche, on peut avoir une explosion de la dérivée au voisinage de T ∗. En effet, u′0(x) =∂xF (t, x)∂xu(t, F (t, x)) d’où l’on déduit qu’il existe une suite (xn, tn) telle que si u′0(xn) = 0 pour nsuffisamment grand,

∂xu(tn, F (tn, xn)) → ∞

Une autre approche On suppose ici f, u ∈ C2. En dérivant l’équation de transport par rapport àt, on obtient

∂txu+ c(u)(∂xxu) + c′(u)(∂xu)2 = 0

Ainsi, ∂xu vérifie une équation de transport avec terme source. On introduit

φ : (t, x) 7→ ∂xu(t, φt(x))

En dérivant par rapport à t, on obtient

∂tφ(t, x) = ∂t,xu(t, φt(x)) + c(u(t, φt(x)))∂xxu

= −c′(u(t, φt(x)))(∂xu(t, φt(x)))

puis, par séparation des variables

φ(t, x) =1

1u′0(x)

+ tc′(u0(x))=

u′0(x)

1 + td[cu0]dx (x)

Et l’on conclue par la même discussion que précédemment.

2. On parle parfois de "principe du maximum". Encore.

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L3

Résumé On peut résumer tous nos raisonnements précédents en

Théorème. Soit u0 ∈ C1 ∩ L∞ telle que u′0 ∈ L∞ et f ∈ C2. On définit T ∗ par• T ∗ = ∞ si c u0 est croissante.• −1

inf(d(c(u0))

dx

sinon.

Il existe une unique solution du transport non-linéaire sur [0, T ] si T < T ∗. Il n’existe pas desolution classique si T > T ∗.

VI-A- 4. Quelques exemples

Traitons quelques cas classiques de résolution d’une équation de transport non-linéaire :

VI-B. Solutions faibles pour le transport non-linéaire

VI-B- 1. Définition des solutions faibles

Définition. Soit f ∈ C2(R), u0 ∈ L∞(R). On dit que u est solution faible de l’équation de transportnon-linéaire

∂tu+ ∂xf(u) = 0u(0, ·) = u0

si• u ∈ L∞(R+ × R,R) 3

• ∀φ ∈ C∞c (R+ × R) on a

∫R×R+

u∂tφ+∫R×R+

f(u)∂xφ+∫R u0φ(0, ·) = 0

Remarquons que toute solution faible de classe C1 (avec donnée initiale de même régularité) estsolution forte, et que toute solution forte est solution faible.

VI-B- 2. Le problème de Riemann

Considérons l’équation de transport suivante :∂tu+ ∂xf(u) = 0u(0, ·) = u0

avecu0 :

x > 0 7→ udx < 0 7→ ug

On cherche une solution sous forme de choc, c’est-à-dire une solution sous la forme

u :

x > σt 7→ udx < σt 7→ ug

Pour vérifier que l’on peut avoir une solution faible de cette forme, on va déterminer un σ parti-culier. À cet effet, écrivons la formulation faible :

∀φ ∈ C∞c (R+ × R),

∫R×R+

u∂tφ+

∫R×R+

f(u)∂xφ+

∫Ru0φ(0, ·) = 0

On va procéder à une transformation des intégrales ci-dessus. Soit donc φ C∞ à support compact.∫R×R+

u∂tφ =

∫ 0

−∞

∫ ∞

0

u(t, x)∂tφ(t, x)dtdx+

∫ +∞

0

∫ ∞

0

u(t, x)∂tφ(t, x)dtdx

=

∫ 0

−∞ug(−φ(0, x))dx+ ud

∫ ∞

0

φ(x

σ, x)dx− ud

∫ +∞

0

φ(0, x)dx− ug

∫ +∞

0

φ(x

σ, x)dx

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∫R+×R

f(u)∂xφ =

∫ +∞

0

∫x<0

f(ug)∂xφ(t, x)dxdt+

∫ +∞

0

∫x>0

f(u)∂xφ(t, x)dxdt

= −f(ug)∫ ∞

0

φ(t, 0)dt+

∫ ∞

0

∫x<σt

f(ug)∂xφ(t, x)dxdt+

∫ ∞

0

∫x>st

f(ud)∂xφ(t, x)dxdt

= −f(ug)∫ ∞

0

φ(·, 0) +∫ ∞

0

f(ug)(φ(t, σt)− φ(t, 0))dt+

∫ ∞

0

f(ud)(−φ(t, σt))dt

= −f(ug)∫ +∞

0

φ(·, 0) + f(ug)

∫ ∞

0

φ(·, σ·)− f(ug)

∫ ∞

0

φ(·, 0)− f(ud)

∫ ∞

0

φ(·, σ·)

∫Ru0(x)φ(o, x)dx =

∫ 0

−∞u0(x)φ(0, x)dx+

∫ +∞

0

u0(x)φ(0, x)dx

= ug

∫x<0

φ(0, x)dx+ ud

∫ ∞

0

φ(0, x)dx

En remettant tou cela ensemble, on obtient finalement

∀φ ∈ C∞c , [

1

σ(f(ug)− f(ud)) + ud − ug]

∫ ∞

0

φ(x

σ, x)dx

On obtient finalement la condition de Rankine-Hugoniot

σ =f(ud)− f(ug)

ud − ug

σ est en fait la vitesse de propagation du choc. On désigne ici par choc une solution qui prendplusieurs valeurs successives de manière discontinue. Dans le cas de l’équation de Hopf, la solution sousforme de choc est en fait la solution u0. Maison voit apparaître un nouveau problème : on ne disposaitpas d’assez de solutions fortes, on dispose de beaucoup trop de solutions faibles : par exemple, dansle cas d’Hopf, avec une donnée initiale

..

O

.

c

.

x

.

+1

.

-1

la donnée initiale elle-même est solution faible. Mais on dispose de beaucoup d’autres solutions, commepar exemple la solution suivante :

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..

0

.

b

.

u(t,x)=x/t

.

+1

.

-1

La deuxième solution peut sembler plus naturelle. Pour pouvoir se restreindre à cette seconde solution,on va en quelque sorte "régulariser" l’équation du transport en introduisant un terme de diffusion.Cela va nous mener à la notion de solution entropique.

VI-C. Solutions entropiques

VI-C- 1. Motivation et définition

Remarques Rappelons qu’un problème est bien posé (au sens de Hadamard) si on a l’existence etl’unicité d’une solution, et que cette solution est continue par rapport aux données initiales.Par ailleurs, il ne faut pas non plus trop attendre des solutions entropique : regardons un choc parti-culier dans léquation de Hopf : faire le schéma de la bosse régularisée On retombe directementsur un choc.

Motivation On introduit les solutions entropiques pour avoir l’unicité de nos solutions en ce sens-là.On impose au phénomène une condition en plus, comme de la diffusion ou de la viscosité. On parledéquation de diffusion dans le cas suivant avec le meme u0

∂tu

ε + ∂xf(uε) = ∂2x,xu

ε

uε(0, ·) = u0

et l’on travaille avec u0 régulière, de sorte à tomber sur des solutions fortes uε. En fait, c’esttoute la mécanique du fluide (modulo quelques "broutilles" comme Euler incompressible...) qui secache derrière ces équations : f traduit la conservation de la quantité de mouvement, le laplaciens’interprère comme un terme de diffusion moléculaire....Il nous faut vérifier plusieurs choses : quand ϵ→ 0, uε converge vers une solution faible de l’équationde transport associée à f . Ensuite, on s’intéressera à des propriétés plus fines.

Convergence de uε On va commencer par un lemme :

Lemme. Soit (uε)ε>0 une suite de solutions de l’équation introduite au début du paragraphe que l’onpeut choisir C∞ si u0 est elle-même de classe C∞ 4. On suppose qu’il existe c > 0 tel que ∀ε <1, ||uε||∞ ≤ c et que uε →

ε→0u presque partout. Alors u est une solution faible de

∂tu+ ∂xf(u) = 0u(0, ·) = u0

Démonstration du lemme. Soit φ ∈ D(R+×R). Alors, par intégration, on obtient, pour tout ε > 0

−∫ ∫

uε∂tφ−∫ ∫

f(uε)∂xφ−∫Ruε(0, x)φ(x) = ε

∫ ∫∂2xxφu

ε

et l’on obtient le résultat par convergence dominée.

4. On ne s’intéresse pas dans ce cours à l’existence de telles solutions

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Propriétés supplémentaires On considère η une fonction de R dans R de classe C∞. Peut-on direquoique ce soit sur la fonction η(uε) ? Si on suppose que l’équation n’a pas de second memebre, onobtient , en multipliant par η′(uε), l’équation

η′(uε)∂tuε + η′(uε)f ′(uε)∂xu

ε = 0

Comme on a pris uε C1, en posant θ la solution de θ′ = η′f ′, on obtient finalement l’équation

∂tη(uε) + ∂xθ(u

ε) = 0

et donc η(uε) vérifie le même type d’équation.Pour f : x 7→ x2

2 , si on prend η : x 7→ x2 et que l’on regarde la solution

..

O

.

c

.

x

.

+1

.

-1

alors θ = 23u

3 et, en faisant les mêmes calculs que pour obtenir la condition de choc de Rankine-Hugoniot, on obtient

0 = u2g − u2d =2

3u3g −

2

3u3d =

−4

3

Donc cette solution, qui ne nous satisfait pas, est en quelque sorte éliminée par l’introduction de lafonction η.Faisons la même manipulation en conservant cette fois le second membre :

η′(uε)∂tuε + η′(uε)f ′(uε)∂xu

ε = εη′(uε)∂2x,xuε

et donc, avec θ′ = η′f ′

∂tη(uε) + ∂xθ(u

ε)εη′(uε)∂2x,xuε

Le membre de gauche est un terme conservatif : en multipliant par une fonction test et en intégrant,on peut faire ressortir toutes les dérivées sur la fonction test, ce qui n’est clairement pas le cas dusecond membre. On va se ramener à un second memebre conservatif. Pour ce faire, on effectue lescalculs suivants :

εη′(uε)∂2x,xuε = ε∂2x,x[η(u

ε)]− εη(2)(uε)(∂xuε)2

On remarque que si η est convexe, c’est quand même pas mal, puisqu’alors le signe de η(2) est constant.Si en plus de cela on choisit une fonction test positive, en passant à la limite, on obtient∫ ∫

η(u)∂tφ+

∫ ∫θ(u)∂xφ+

∫φ(0, x)u0(x)dx ≥ 0

c’est-à-dire qu’il y a création d’entropie.

Remarque. En mécanique des fluides, pour adapter les raisonnements, on est obligé de passer parles différentielles, et non plus par les dérivées. Donc il faut trouver θ telle que dθ = dη df , maisune fonction intéressante dont la différentielle est donnée est très dure à trouver. Le couple (η, θ)correspond alors à l’entropie physique.

Toutes ces réflexions nous conduisent à la définition suivante :

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Définition. Soit f ∈ C∞, u0 ∈ L∞. On dit que u est une solution entropique de∂tu+ ∂xf(u) = 0u(0, ·) = u0

si• u ∈ L∞

• Pour toute fonction η : R → R de classe C1 (ou 2 ?)convexe, pour toute fonction test φ positivede D(R+ × R), pour toute fonction θ C∞ vérifiant θ′ = η′f ′ on a l’inégalité∫ ∫

η(u)∂tφ+

∫ ∫θ(u)∂xφ+

∫Rη(u0(x))φ(0, x)dx ≥ 0

Remarque. • Toute solution entropique est solution faible. En effet, il suffit d’adapter la définitionavec ∇ = Id, θ = f, φ ≥ 0 et avec η = −Id, θ = −f, φ ≥ 0.

• Toute solution forte est solution entropique (l’inégalité se transforme en fait en égalité).• On dispose d’un résultat puissant :

Théorème : Kruzkov . Si u0 ∈ L∞, f ∈ C∞ il existe une uniques solution entropique u. Parailleurs, u ∈ L∞(R+ × R) ∩ C(R+, L

1loc(R)) et ||u||∞(R+×R) = ||u0||∞.

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VII. Schémas numériques pour le transport linéaire

Rappelons quand même que pour le transport linéaire, faire un schéma numérique n’est pas ce qu’ily a de plus glorieux : rappelons en effet que solution forte ou solution faible sont en fait u0(x− ct).

VII-A. Schémas numériques décentrés

Il faut discrétiser le temps et l’espace : on prend h un pas d’espace, de sorte que xi = ih, i ∈ Z etk un pas de temps, de sorte que tn = nk, n ∈ N.On introduit ensuite uni ≈ u(tn, xi), ce qui nous permet d’écrire

∂tu(t, x) ≈un+1i − uni

k, ∂xu ≈

uni+1 − unih

d’où l’on tire

un+1i ≈ uni (1 +

ck

h)− uni+1

ck

h

On voit tout de suite que c’est l’échec si on prend c = 1, h = k : Le schéma numérique ne satisfaitpas le principe du maximum alors que l’équation le satisfait. On voit que le problème persiste mêmesi l’on prend k = 10−4h.

..

u0(x)

.

t1

.

t2

Si on prend c = −1, k = h, on obtient un+1i ≈ uni+1 : c’est un miracle :

..

u0(x)

.

t2 > t1

.

t1 > 0

Si c = −12 , u

n+1i = 1

2 (uni + uni+1). On observe que l’on devient très vite diffusif et que le principe du

maximum est vérifié. De loin, la courbe ressemble à (faire le schéma du choc émoussé). On peut aussiprendre c = −2, k = h et l’on observe que c’est un nouvel échec. Ainsi, on remarque que le schéma nevérifie le principe du maximum que pour certaines valeurs de la quantité ck

h .

Interprétation Si c > 0 l’information se propage de gauche à droite, on ne peut rien prévoir(hein ?). Si c < 0, il faut que l’on ait |hk | > |c| pour prédire quoique ce soit.rédiger l’interprétationen termes de supports. On obtient donc la condition suivante, appelée Condition CFL 5

|c|kh

< 1

5. Courant-Fredrichs-Levi

E.N.S Lyon page 37 2013-2014

Bibliographie

[Bre10] Haim Brezis. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. Sprin-ger, (Dernière édition) 2010.

[FGN12] Francinou-Gianella-Nicolas. Oraux X-ENS, analyse IV. Cassini, 2012.[RT88] Raviart-Thomas. Introduction à l’Analyse Numérique des Équations aux Dérivées Partielles.

Masson, 1988.[Sik13] Jean-Claude Sikorav. Géométrie avancée. Polycopié disponible en ligne, 2013.[Vil03] Cedric Villani. Analyse II (Cours de deuxième année donné à l’ENS Lyon). Polycopié

disponible en ligne, 2003.

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Index

Dérivation des distributions, 7Distribution, 7

Espace de Fréchet, 5Espace de Sobolev , 8Espace vectoriel topologique, 5

Schwartz, 6Sobolev, 6

39

INDEX L3

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