PACES - Dunod...ω: pulsation (en rad ·s−1) φ: phase à l origine (en rad) (ωt +φ): phase à la date t (en rad) Vitesse et accélération du mobile v =˙x = ωx m cos(ωt +φ)

TOUT L’UE3 EN FICHES

SalahBelazregProfesseur agrégé et docteur en physique,

il enseigne au lycée Camille Guérin à Poitiers. Il a enseigné la biophysique et les biostatistiques

en classes préparatoires aux concours de Médecine.

Organisation des appareils et des systèmes : bases physiques des méthodes d’exploration

2e édition

PACES

9782100727308-belazreg-lim.indd 1 25/06/15 11:48

© Dunod, 20155 rue Laromiguière, 75005 Paris

www.dunod.com

ISBN 978-2-10-072730-8

© Dunod 2011 pour la 1re édition

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Table des matières

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Physique

[Mécanique]Fiche cours 1 Cinématique du point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2Fiche cours 2 Dynamique du point matériel . . . . . . . . . . . . . . . . .6Fiche cours 3 Étude énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8Fiche cours 4 Chocs entre deux particules . . . . . . . . . . . . . . . . .12Fiche cours 5 Les oscillateurs mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . .15Fiche QCM 6 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

[Thermodynamique]Fiche cours 7 Théorie cinétique du gaz parfait . . . . . . . . . . . . . .27Fiche cours 8 Statique des fluides ou hydrostatique . . . . . . . . .32Fiche cours 9 Premier principe de la thermodynamique . . . . . .35Fiche cours 10 Paramètres d’état. Transformations.

Travail échangé au cours d’une transformation réversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

Fiche cours 11 Second principe de la thermodynamique . . . . . . .42Fiche cours 12 Changements de phases d’un corps pur . . . . . . .45Fiche cours 13 Phénomènes de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49Fiche cours 14 Thermodynamique chimique . . . . . . . . . . . . . . . .53Fiche QCM 15 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

[Mécanique des fluides]Fiche cours 16 Les phénomènes de surface . . . . . . . . . . . . . . . . .63Fiche cours 17 Mécanique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67Fiche QCM 18 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71

[Électricité – Électromagnétisme]Fiche cours 19 Champ et potentiel électrostatiques . . . . . . . . . . .76Fiche cours 20 Le dipôle électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80Fiche cours 21 Flux du vecteur champ électrique.

Théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

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[Table des matières]

IV

Fiche cours 22 Condensateurs. Capacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86Fiche cours 23 Électrocinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91Fiche cours 24 Milieux conducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94Fiche cours 25 Champ d’induction magnétique . . . . . . . . . . . . . .98

Fiche cours 26 Action d’un champ magnétique −→B

sur un circuit fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102Fiche cours 27 Mouvement d’une particule chargée

dans un champ uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . .104Fiche QCM 28 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109

[Ondes]Fiche cours 29 Généralités sur les ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . .115Fiche cours 30 Effet Doppler-Fizeau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118Fiche cours 31 Notions sur les ondes électromagnétiques . . . . .121Fiche cours 32 Interférences. Diffraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125Fiche QCM 33 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130

[Optique géométrie]Fiche cours 34 Fondements de l’optique géométrique . . . . . . . .134Fiche cours 35 Dioptres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138Fiche cours 36 Les lentilles minces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142Fiche cours 37 L’œil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145Fiche cours 38 Les instruments d’optique . . . . . . . . . . . . . . . . . .147Fiche QCM 39 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152

[Lumière et ondes]Fiche cours 40 Les origines de la physique quantique . . . . . . . .159Fiche cours 41 Niveaux d’énergie dans un atome . . . . . . . . . . .162Fiche cours 42 Le laser – Oscillateur à fréquence optique . . . . .166Fiche cours 43 Mécanique ondulatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170Fiche QCM 44 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173

Biophysique

[Biophysique des solutions]Fiche cours 45 Généralités sur les solutions aqueuses . . . . . . . .182Fiche cours 46 Acides et bases en solution aqueuse . . . . . . . . .187Fiche cours 47 pH d’une solution aqueuse . . . . . . . . . . . . . . . . .189Fiche cours 48 Valeur de pH d’une solution aqueuse . . . . . . . . .192

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Fiche cours 49 Réactions acide-base. Courbes de titrage . . . . . .195Fiche cours 50 Diagramme de Davenport et troubles

acido-basiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199Fiche cours 51 Osmose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202Fiche cours 52 Mesure de la pression osmotique . . . . . . . . . . . .204Fiche cours 53 Travail osmotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206Fiche cours 54 Phénomènes électriques. Effet Donnan . . . . . . .208Fiche cours 55 Ultrafiltration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .210Fiche QCM 56 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .213

[Les radiations ionisantes]Fiche cours 57 Le noyau atomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .217Fiche cours 58 Stabilité des noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .221Fiche cours 59 La radioactivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .224Fiche cours 60 Les différentes radioactivités . . . . . . . . . . . . . . . .226Fiche cours 61 Décroissance radioactive . . . . . . . . . . . . . . . . . . .231Fiche cours 62 Une application de la radioactivité. La datation .234Fiche cours 63 Filiations radioactives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .236Fiche cours 64 Les réactions nucléaires provoquées . . . . . . . . .239Fiche cours 65 Interactions des particules chargées

avec la matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .241Fiche cours 66 Spectre des rayons X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .244Fiche QCM 67 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .247

[Biophysique sensorielle]Fiche cours 68 Les amétropies sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . .255Fiche cours 69 L’astigmatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .259Fiche cours 70 La presbytie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .261Fiche cours 71 Ondes sonores et audition . . . . . . . . . . . . . . . . .264Fiche cours 72 Propagation des sons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .266Fiche cours 73 Sons purs et sons complexes . . . . . . . . . . . . . . .269Fiche cours 74 L’audition subjective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272Fiche QCM 75 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .275

[Imagerie médicale]Fiche cours 76 Formation des échos. Impédance acoustique . . .281Fiche cours 77 Atténuation du faisceau ultrasonore . . . . . . . . . .284Fiche cours 78 Imagerie médicale à l’aide des ondes U.S. . . . . .286Fiche cours 79 L’échographie Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .288


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Fiche cours 80 Les nombres quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .291Fiche cours 81 Moments magnétiques de particules chargées .294Fiche cours 82 Les bases physiques de la RMN . . . . . . . . . . . . .296Fiche cours 83 Notions d’imagerie RMN . . . . . . . . . . . . . . . . . . .300Fiche QCM 84 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .304

Compléments mathématiques

Fiche méthode 85 Dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .310Fiche méthode 86 Primitives. Intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .312Fiche méthode 87 Fonctions logarithme et exponentielle . . . . . . . .315Fiche méthode 88 Fonctions de plusieurs variables indépendantes 318Fiche méthode 89 Développement de fonctions en séries entières .320Fiche méthode 90 Équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .323Fiche méthode 91 Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .326Fiche méthode 92 Grandeurs fondamentales associées

à un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .330


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2

Repérage d’un point. Le paramètre position

a. En coordonnées cartésiennes

Soit (−→i ,

−→j ,

−→k ) une base orthonormale directe liée au référentiel (R).

Tout point M peut être repéré par ses coordonnées cartésiennes (x, y, z) .Si O est l’origine du repère, le vecteur position s’écrit :

−−→O M = −→r = x

−→i + y

−→j + z

−→k

∣∣∣∣∣∣∣∣

x,y et z en mr = O M =

√x2 + y2 + z2

(−→i ,

−→j ,

−→k ) : base orthonormale

directe liée au référentiel

[Mécanique]

Cinématique du point

O

M

H

ik j

x

y

z

b. En coordonnées polaires (cas d’un mouvement plan)

On définit un axe Ox, axe polaire, et une origine ou pôle O.Un point mobile M peut être repéré par ses coordonnées polaires (r, θ)

où r = O M et θ = (−→Ox,

−−→O M).

Le vecteur position s’écrit donc :

−−→O M = −→r = r−→ur

∣∣∣∣−→r : rayon vecteurθ : angle polaire

[IMPORTANT]O

M

i

j

ur

x

y

r

(−→ur ,−→uθ) est une base locale mobile, orthonormée directe, liée au point M.

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[Cinématique du point]

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3

c. En coordonnées cylindriques

−−→O M = −→

O H + −−→H M = r−→ur + z−→uz

Avec r = O H et θ = (−→Ox,

−→O H) O

M

H

ur

x

y

z

r

uz

zM

Les grandeurs d’évolution

On définit la vitesse d’un point M dans le repère R par :

−→v =d

−−→O M

dt

R

L’accélération du mobile, à l’instant t , est la dérivée dans (R) du vecteurvitesse par rapport au temps, soit :

−→a =

−→dv

dt

R

=d2−−→O M

dt2

R

Expressions dans différents systèmes

de coordonnées

a. En coordonnées cartésiennes

−→v =d

−−→O M

dt

R

= x−→i + y

−→j + z

−→k ; x = dx

dt,y = dy

dt,z = dz

dt

−→a =

−→dv

dt

R

= x−→i + y

−→j + z

−→k ; x = d2x

dt2,y = d2y

dt2,z = d2z

dt2


[Cinématique du point]P

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4

b. En coordonnées cylindriques

−→v =d

−−→O M

dt

R

= r−→ur + r θ−→uθ + z−→uz

−→a =

−→dv

dt

R

= (r − r θ2)−→ur + (r θ + 2r θ )−→uθ + z−→uz

c. Dans le repère de Frenet

On introduit un repère mobile (−→τ , −→n ), lié au mobile M tel que :

: vecteur unitaire porté par la tangente à la courbe et orienté dansle sens du mouvement

: vecteur unitaire orthogonal à −→τ et dirigé vers la concavité dela trajectoire

−→v = v−→τ ; −→a = aτ−→τ + an

−→n avec

aτ = dv

dt

an = v2

R

Étude de quelques mouvements usuels

a. Mouvement rectiligne uniforme

Pour un mouvement rectiligne uniforme −→v = −→cste , par suite :

v = v0 = cste et x = v0t + x0

b. Mouvement rectiligne uniformément varié

Un point mobile M a un mouvement rectiligne uniformément varié si−→a = −→a0 = a0

−→i = −→cste , par suite :

(1) a = a0 = cste

(2) v = a0t + v0

(3) x = 12a0t2 + v0t + x0

, soit v2 − v20 = 2a0(x − x0)

−→τ−→n


c. Mouvement rectiligne sinusoïdal

Définition

Un mobile est animé d’un mouvement rectiligne sinusoïdal si sa trajec-toire est une droite et sa loi horaire est une fonction sinusoïdale dutemps, soit :

x = xm sin(ωt + φ)

∣∣∣∣∣∣∣∣

xm : amplitude du mouvement

ω : pulsation (en rad · s−1)

φ : phase à l′origine (en rad)

(ωt + φ) : phase à la date t (en rad)

Vitesse et accélération du mobile

v = x = ωxm cos(ωt + φ)

a = x = −ω2 xm sin(ωt + φ)︸︷︷︸x(t)

= −ω2x, soit x + ω2x = 0

d. Mouvement circulaire uniforme

Définition

Un point mobile M a un mouvement circulaire uniforme lorsqu’il sedéplace sur un cercle fixe, de rayon R, par rapport au repère d’espace

choisi à la vitesse angulaire ω0 = θ = cste.

Vitesse et accélération du mobile

−→v = Rθ−→uθ = Rω−→uθ

−→a = −v2

R−→ur = −Rω2

0−→ur

L’accélération −→a est centripète et le mouvement est périodique de

période T0 = 2πω0

.

[Cinématique du point]©

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Dynamique

du point matériel

Les éléments cinématiques

a. Quantité de mouvement d’un point matériel

Soit un point matériel M, de masse m, se déplaçant à la vitesse −→v dansun repère (R).

Le vecteur quantité de mouvement du point matériel M, noté −→p , dans lerepère (R) s’écrit :

−→p = m−→v

∣∣∣∣∣∣∣

−→p : vecteur quantité de mouvementm : masse du point matériel−→v : vecteur vitesse du point matériel

b. Énergie cinétique

Un point matériel de masse m, se déplaçant à la vitesse v, dans un réfé-rentiel (R), possède une énergie cinétique telle que :

Ec = 1

2m v2

∣∣∣∣∣Ec en Jm en kgv en m · s−1

c. Relation entre énergie cinétique et quantité de mouvement

Comme −→p = m−→v , alors −→p 2 = m2−→v 2et par suite :

Ec = p2

2m; p : module du vecteur quantité de mouvement

Les différentes lois de Newton

a. Principe d’inertie (1re loi de Newton)

Le centre d’inertie d’un solide (pseudo) isolé est tel que :

[Mécanique]P

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[Dynamique du point matériel]

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• s’il est au repos, il reste au repos ;• s’il est en mouvement, son mouvement est rectiligne uniforme.

∑−→fext = −→

0 �⇒système isolé

oupseudo-isolé

�⇒−→vG = −→cste(−→p = −→cste

)

b. Relation fondamentale de la dynamique (2e loi de Newton)

Pour un point matériel de masse m, de quantité de mouvement −→p , sou-

mis à un ensemble de force ∑−→

fext , on a :

d−→pdt

=∑−→

fext

Pour un point matériel de masse m = cste, on a :

m−→aG =∑−→

fext

∣∣∣∣∣∣∣

m : masse du solide−→aG : vecteur accélération du centre d′inertie∑−→

fext : ensemble des forces s′exerçant sur le solide

c. Principe des actions réciproques (3e loi de Newton)

Si un système (A) exerce sur un système (B) une force −−→FA/B alors (B)

exerce sur (A) une force −−→FB/A telle que :

−−→FA/B = −−−→

FB/A

[ATTENTION]

Quel que soit l'état de mouvement de A par rapport à B, on a toujours

l'égalité vectorielle : −−−→F

A/B = −−−−→F

B/A .


Étude énergétique

Travail d’une force

a. Cas d’une force −→F constante

Lors d’un déplacement de son centre d’inertie d’un point A à un point B,

le travail d’une force constante −→F agissant sur un solide animé d’un

mouvement rectiligne par rapport à un référentiel (R) est donné par :

W (−→F )A �→B = −→

F · −→ABou

W (−→F )A �→B = F · AB · cos(

−→F,

−→AB)

∣∣∣∣∣F en NAB en mW (

−→F )A �→B en J

b. Cas d’une force variable pour un déplacement quelconque

Lors d’un déplacement élémentaire du point d’application d’une force−→F constante, le travail élémentaire δW vaut :

δW (−→F ) = −→

F · −→δlou

δW (−→F ) = F · δl · cos(

−→F,

−→δl )

∣∣∣∣∣∣F en Nδl en mδW (

−→F ) en J

Le travail total de la force −→F lorsque son point d’application se déplace

de A en B s’écrit :

W (−→F )A �→B =

∑B

AδW (

−→F ) =

∑B

A

−→F · −→δl

ou sous forme intégrale :

W (−→F )A �→B =

∫ B

A

−→F · −→dl avec

−→dl = −−→

M M ′ = −→v dt

[Mécanique]P

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[Étude énergétique]

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Théorème de l’énergie cinétique

a. Énergie cinétique

Un point matériel de masse m se déplaçant à la vitesse −→v , dans un réfé-rentiel (R), possède une énergie, appelée énergie cinétique, telle que :

Ec = 1

2mv2

∣∣∣∣∣Ec en Jm en kgv en m · s−1

b. Puissance d’une force

Par définition, la puissance est égale au travail fourni par unité de temps,soit :

P = δW

δt

∣∣∣∣∣W en Jt en sP en W

Pendant la durée δt , le point d’application de la force −→F s’est déplacé

de −→δl .

Le travail élémentaire s’écrit donc :

δW = −→F · −→δl = −→

F · −→v dt, où −→v =−→δl

δt

et par suite :

P = −→F · −→v

∣∣∣∣∣F en Nv en m · s−1

P en W

c. Relation entre la puissance et l’énergie cinétique

On a P = −→F · −→v . Comme

−→F = m

d−→vdt

alors P = md−→vdt

· −→v .


[Étude énergétique]P

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La masse m étant constante, on peut donc écrire :

P = d

dt(Ec)

∣∣∣P en WEc en J

d. Théorème de l’énergie cinétique

Pour un point M matériel, de masse m, se déplaçant à la vitesse −→v , dansun référentiel (R) galiléen, soumis à un ensemble de forces dont la résul-

tante est −→F :

dEc = δW (−→F ), soit �Ec = Ec2 − Ec1 =

∫ t2

t1

−→F · d

−→l = W

1−→2(−→F )

Énergie potentielle. Énergie mécanique

a. Force conservative

Une force −→F est dite conservative s’il existe une fonction Ep, dépendant

uniquement des coordonnées de position, telle que :

dEp = −−→F · −→dl

Ep est homogène à une énergie

∣∣∣∣∣∣Ep en JF en Nl en m

Ep est appelée énergie potentielle de la particule M associée à la force−→F .

Dans le cas d’une force −→F = F(x) · −→ux ne dépendant que d’une seule

coordonnée x , on a :

dEp = −F(x) · dx, soit F(x) = −dEp

dx

b. Relation entre travail et énergie potentielle

Le travail élémentaire d’une force −→F est δW = −→

F · −→dl.


[Étude énergétique]

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Si −→F est conservative alors

−→F dérive d’une énergie potentielle Ep telle

que dEp = −−→F · −→dl , soit :

δW = −dEp

Le travail total de la force −→F s’écrit donc :

W (−→F )1�→2 = −

∫ 2

1dEp = − [

Ep]Ep2

Ep1= Ep1 − Ep2

(Le travail de la force−→F est indépendant du chemin suivi)

c. Énergie mécanique d’un corps

Dans le cas d’un référentiel galiléen, on a vu que dEc = δW.

Si la force −→F est conservative, alors il existe une fonction Ep telle que

dW = −dEp.

En combinant les deux dernières relations, on obtient dEc = −dEp, soitd(Ec + Ep) = 0, c’est-à-dire :

Ec + Ep = Em = cste

La somme Em = Ec + Ep, qui se conserve au cours du temps, est appeléeénergie mécanique de la particule M.


Chocs entre

deux particules

Impulsion – Percusssion

Pour une particule de masse m et animée d’une vitesse −→v à l’instant t :

−→I = ∫ t2

t1

−→F dt

∣∣∣∣∣∣

−→F : résultante des forces agissant sur

la particule entre les instants t et t + ∆t−→I : impulsion de la force

−→F

[IMPORTANT]

[Mécanique]P

hysiq

ue

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❸➅➀➈

❼�

12

• Si −→F reste constante dans l’intervalle de temps ∆t = t2 − t1 et si ∆t

est très petit alors −→I est appelé percussion.

• Comme −→F = d−→p

dt, alors :

−→I = ∫ t2

t1d−→p = ∆−→p

L’impulsion reçue par un point matériel est égale à la variation de laquantité de mouvement de ce point matériel.

Chocs entre deux particules

Soient deux particules (1) et (2) de masses m1 et m2.

Si les deux particules viennent à se rencontrer, on dit qu’il y a collisionou choc entre les deux particules.Le système constitué par deux particules qui entrent en collision est unsystème isolé. Au cours d’un choc :

−→dp1

dt+

−→dp2

dt= −→

0

soit−→p1 + −→p2 = −→cste

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−→p1 = m1−→v1 : vecteur quantité

de mouvement de la particule(1) de masse m1−→p2 = m2

−→v2 : vecteur quantitéde mouvement de la particule(2) de masse m2

Le système constitué par deux particules qui entrent en collision est unsystème isolé.


[Chocs entre deux particules]

Ph

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ctio

n no

n au

tori

sée

est u

n dé

lit.

La conservation de la quantité de mouvement donne :

−→p1 + −→p2︸︷︷︸(avant le choc)

= −→p′

1 + −→p′

2︸︷︷︸(après le choc)

Chocs élastiques et chocs inélastiques

Soient deux particules de masse m1 et m2,−→v1 et −→v2 leurs vecteurs vites-

se avant le choc et −→v′

1 et −→v′

2 leurs vecteurs vitesse après le choc.

a. Choc élastique

Au cours d’un choc élastique, outre la conservation de la quantité demouvement, il y a conservation de l’énergie cinétique :

−→p = −→cste et Ec = cste

Ainsi :1

2m1v

21 + 1

2m2v

22︸︷︷︸

(avant le choc)

= 1

2m1v

′21 + 1

2m2v

′22︸︷︷︸

(après le choc)

Soit :p2

1

2m1+ p2

2

2m2= p′2

1

2m′1

+ p′22

2m′2

[IMPORTANT]

Au cours d'un choc inélastique, il n'y pas conservation de l'énergiecinétique.

c. Choc central élastique

Un choc entre deux particules est dit central ou « de plein fouet » si lesvecteurs vitesse avant et après le choc sont des vecteurs colinéaires.

• Lorsque les particules après le choc sont identiques aux particulesinitiales, on a un processus de « diffusion » et on parle alors de dif-fusion élastique.

• Dans le cas de particules chargées, il y a conservation de la chargeélectrique.

b. Choc inélastique

Au cours d’un choc inélastique, il y a dissipation de l’énergie.

[ATTENTION]


[Chocs entre deux particules]P

hysiq

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❼

14

Pour un choc central élastique, on peut écrire :

v′1x = 2m2v2x + (m1 − m2)v1x

m1 + m2et v′

2x = 2m1v1x − (m1 − m2)v2x

m1 + m2

∣∣∣∣∣∣∣

v1x : vitesse de la particule (1) avant le chocv2x : vitesse de la particule (2) avant le chocv′

1x : vitesse de la particule (1) après le chocv′

2x : vitesse de la particule (2) après le choc

Cas particuliers :

• Si avant le choc, la particule cible est immobile, soit v2x = 0, alors :

v′1x = m1 − m2

m1 + m2v1x ; v′

2x = 2m1

m1 + m2v1x

ϕ = (−→v1 ,−→v2 ) : angle de diffusion

v1

v'1

v'2

Avant le choc après le choc

x' x x' x

particule (2)immobile

• Si les deux particules se heurtent avec des vitesses opposées, soitv1x = −v2x.

Si, de plus, m1 = m2, alors :

v′1x = v2x = −v1x

et

v′2x = v1x


[Mécanique]

Les oscillateurs

mécaniques

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lit.

Définitions

a. Qu’est-ce qu’un oscillateur ?

On appelle oscillateur tout système qui effectue des mouvements de va-et-vient autour d’une position d’équilibre stable.Si Ep représente l’énergie potentielle du système, son évolution en fonc-tion de la position x peut être donnée par le graphe de la figure ci-dessous :

Un oscillateur est un système écartéde sa position d′équilibre stable.Le système se trouve donc dansune cuvette de potentiel.

[IMPORTANT]

p(x)

0

xx20

m

x0x1

Les oscillations sont libres quand, une fois écarté de sa position d'équilibre, l'oscillateur est abandonné à lui-même.

b. L’oscillateur harmonique

L’oscillateur est dit harmonique si sa cuvette de potentiel est parabo-lique.


[Les oscillateurs mécaniques]P

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❼

16

La position d’équilibre stable cor-respond à x = x0. Ce mouvement n’a pas de bran-ches infinies, puisque x est limité àl’intervalle [x1,x2].Le mouvement de l’oscillateurdans la cuvette de potentiel estdonc un mouvement lié.

Dans le cas d’un oscillateur mécanique en translation selon un axe x ′Ox,par exemple, l’énergie potentielle s’écrit donc sous la forme :

Ep(x) = Ax2 + E0 avec A = cste > 0

c. Les oscillateurs mécaniques d’usage courant

Le pendule simple

La grandeur physique associée àl’oscillateur est l’angle θ(t) appe-lé élongation angulaire. θ(t) désigne l’écart angulaireentre la position du pendule àl’instant t et celle à l’équilibre. L’élongation θ(t) est une grandeuralgébrique.

xx20

m

x0x1

0

p(x)

O

gl

Verticale du lieu

+


Le pendule élastiqueLa grandeur physique associée àl’oscillateur est l’élongation x(t).x(t) désigne l’écart entre la posi-tion du pendule à l’instant t etcelle à l’équilibre.L’élongation x(t) est une grandeuralgébrique.

Étude du pendule élastique

a. Étude dynamique

Le système étudié est le solide de masse m et de centre d’inertie G .On écarte le solide de sa position d’équilibre de x = a puis on le lâchesans vitesse initiale.Dans le référentiel terrestre suposé galiléen, le système est soumis à trois

forces : son poids −→P , la réaction normale de l’axe

−→RN et la force de rap-

pel du ressort −→T .

[Les oscillateurs mécaniques]

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lit.

x

l0

l

Ox' x

ux

À l’équilibre

En mouvement

x = l - l0

l0

l

x ' 0 x

i

À l’équilibre

En mouvement

RN

P

RN

RNRNT

P

À l’équilibre :−→P + −→

RN = −→0 .

En mouvement :−→P + −→

RN + −→T = m−→a

Après projection sur l’axe x ′Ox, il vient :

−kx = mx, soit x + k

mx = 0

Les solutions sont de la forme : x(t) = A cos(ω0t + ϕ) avec ω0 =√

k

m


• Les oscillations d’un pendule élastique non amorti sont sinusoïdales(on dit aussi harmoniques).

• La période propre des oscillations est T0 = 2π

ω0= 2π

√m

k.

• T0 ne dépend que des paramètres mécaniques de l’oscillateur : soninertie (masse m) et la constante k du ressort.

b. Étude énergétique

L’énergie mécanique du système est égale à la somme de son énergiepotentielle et de son énergie cinétique, soit :

Em = Ep + Ec avec

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Ep = 1

2kx2

et

Ec = 1

2mv2 = 1

2mx2

Les transformations énergé-tiques Ep � Ec du pendule élas-tique peuvent être suivies sur lesdiagrammes ci-contre.

[Les oscillateurs mécaniques]P

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❼

18

p(x) = k.x2

c

p

c

x0

m

nergieÉ

- xmax xmax

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[Mécanique]

QCM

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Énoncés

Un motard se rend d’une ville A à une ville B à la vitesse moyen-

ne v1 = 96 km.h−1

Il revient immédiatement de la ville B à la ville A, en passant par

la même route, à la vitesse moyenne v2 = 66 km.h−1

Calculer sa vitesse moyenne sur l’ensemble du parcours.

❑ a. 25 m.s−1 ❑ b. 76 km.h−1

❑ c. 78 km.h−1 ❑ d. 83 km.h−1

❑ e. 22 m.s−1

Un objet tombe en chute libre sans vitesse initiale d’une hauteurh. Cet objet parcourt 9,5 m lors de la dernière seconde de chute.Donnée :Intensité du champ de pesanteur supposée constante :

g = 9,8 m.s−2.

Sa vitesse lorsqu’il atteint le sol est :

❑ a. 9,8 m.s−1 ❑ b. 14,4 m.s−1

❑ c. 49 km.h−1 ❑ d. 52 km.h−1

❑ e. 54 m.s−1

Un point matériel M effectue un mouvement dans un plan

(O,−→Ox ,

−→Oy) . Les coordonnées x et y du point M varient en fonc-

tion du temps selon :{

(1)x = 0,3 cos (0,5πt + 4,25)

(2)y = 0,3 sin (0,5πt + 4,25)

Toutes les grandeurs sont exprimées dans le système S.I.

❑ a. Le point M effectue un mouvement sinusoïdal rectiligne.❑ b. Le point M effectue un mouvement circulaire uniforme.❑ c. La période du mouvement du point M est T0 = 0,5 s.

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[QCM]P

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20

❑ d. La période du mouvement du point M est T0 = 4 s.❑ e. La fréquence du mouvement du point M est f = 0,5 Hz.

Un bombardier chargé de détruire une cible, une usine pétrochi-mique, vole à l’altitude h = 2,5 km selon un mouvement rectili-gne uniforme à la vitesse v0.En passant à la verticale d’un point H du sol, situé à la distanced = 2,5 km du centre de l’usine, le bombardier largue une bombesans vitesse initiale.

Données :L’édifice de l’usine est un carré de 200 m de côté.Les forces de frottement avec l’air sont négligeables.

Vitesse du bombardier : v0 = 396 km · h−1.

Intensité du champ de pesanteur supposée constante : g = 9,8 m · s−2

❑ a. La cible (centre de l’usine) sera atteinte.❑ b. L’impact se produira à 200 m avant le centre de l’usine.❑ c. L’impact se produira à 2 km après le centre de l’usine.❑ d. L’impact se produira à 15 m avant le centre de l’usine.❑ e. La cible ne sera pas atteinte.

L’énoncé suivant est commun aux questions 5 et 6.

Un sportif de masse m = 75 kg effectue un saut à l’élastique en selançant sans vitesse initiale d’un point A d’un pont situé au dessusd’une vallée (figure ci-après).

pp = 0z = 0

z'

zA

B

C


L’élastique a une longueur à vide l0 = AB = 23 m et sa masse estnégligeable.On prendra le point A comme origine des altitudes et des énergiespotentielles de pesanteur. On négligera les frottements avec l’air.

Donnée : g = 9,8 m · s−2.

La vitesse du sauteur au point B est :

❑ a. 12,34 m · s−1 ❑ b. 21,23 m · s−1 ❑ c. 29,40 m · s−1

❑ d. 36,05 m · s−1 ❑ e. 4,61 m · s−1

L’énergie mécanique du système {Terre - sauteur - élastique} vaut :

❑ a. −16,9 · 103 J ❑ b. −12,5 · 103 J ❑ c. +16,9 · 103 J

❑ d. 0,0 J ❑ e. +22,6 · 103 J

L’énoncé suivant est commun aux questions 7 et 8.

Un point matériel M de masse m peut se déplacer sur un axe Ox .

En fonction de son abscisse x sur cet axe, l’énergie potentielle deM au voisinage de l’origine est donnée par :

Ep(x) = −V0(1 − 0,2x2)

Quelle est l’expression de la force à laquelle est soumis M au voi-sinage de l’origine ?

❑ a. 0,4V0x ❑ b. −0,4V0x ❑ c. −0,2V0x

❑ d. −V0(1

x− 0,2x) ❑ e. 0,2V0x2

Sous l’effet de cette force, le point M est animé d’un mouvement :

❑ a. Rectiligne uniforme

❑ b. Uniformément accéléré

❑ c. Sinusoïdale de période T0 = 2π√

m

0,4V0

❑ d. Sinusoïdale de période T0 = 2π√

0,4V0

m❑ e. Aucune des propositions précédentes n’est correcte.

[QCM]

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PACES - Dunod...ω: pulsation (en rad ·s−1) φ: phase à l origine (en rad) (ωt +φ): phase à la date t (en rad) Vitesse et accélération du mobile v =˙x = ωx m cos(ωt +φ)