REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR

ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE LARBI BEN MHIDI OUM EL BOUAGHI

Pôle Ain Beida

DEPARTEMENT DE GENIE CIVIL

Mémoire de master

Présentée pour l’obtention du diplôme de master en Génie Civil

Option: structure

Analyse non linéaire de comportement des

poteaux en acier et mixte

RREEAALLIISSEE PPAARR ::

SSeemmaacchhee ssoouuhheeiillaa

Encadré par:

Dr Nouredine Ferhoune

22001177//22001188

,

SOMMAIRE

INTRODUCTION GENERALE…………………………………………………………….…..3 QUELQUES REVUES DE RECHERCHE……………………………………………..……....4 CHAPITRE I I. LES POTEAUX EN PROFIL METALLIQUE ET MIXTES I.1. Définition des poteaux …………………………………………………………………..….8 I.2. Comportement des pièces comprimées courtes……………………………………………...8 I.3. Comportement mécanique des poteaux moyennement ou fortement élancés………….……9 I.4. Différence de comportement en fonction de l’élancement ………………………...........….14 I.5. Effets des contraintes résiduelles …………………………………………………………...16 I. 7 LES POTEAUX MIXTE ACIER – BETON I.6. Définitions et différents types de poteaux mixtes……..…………………………………….18 I.7. Méthode de calcul …………………………………………………………………………..19 I.8.Résistance plastique en compression axiale………………………………………………………20 I.9.Vérification de la stabilité des poteaux mixtes en compression axiale……………………..….21 I.10.Voilement local des parois de la section en acier …………………………………………....22 I.11.Cisaillement entre les composants acier et béton ……………………………………...23 I.12.Analyse des moments des fléchissant ……………………………………………………………25. I.13.Méthode simplifiée appliquée au calcul des poteaux mixtes soumis à la compression et flexion combinées ……………………………………………………………………………….22 I.14.Résistance des poteaux mixtes à la compression et à la flexion uni axiale combinée ……..25 I.15.Compression et flexion bi axiale combinées …………………………………….……..…..26

CHAPITRE II

II. comportement des matériaux

II.1.Aciers ………………………………………………………………………………………31

II.2.Béton …………………………………………………….………………………………….34

II.3.Béton confiné ……………………………………………………………………………..35 CHAPITRE III III. METHODE NUMERIQUE DE RESOLUTION DES SYSTEMES NON LINEAIRES Introduction …………………………………………………………………………………...40 III. .1.Prédiction Elastique Linéaire……………………………………………………………..40 III.3 Procédure de résolution de NEWTON – RAPHSON………………………..………….….41 III.4 Critères de convergences……………………………………………………………….…..44 CHAPITRE IV IV. Analyse non linaire des poteaux Modélisation…………………………………………………………………………………….47 IV.2. Présentation de logiciel ABAQUS………………………………………………………..48 IV.3. Résultats…………………………………………………………………………………..51 IV.4.DISCUSSION………………………………………………………………………………67 CONCLUSION GENERALE……………………………………………………………………71

Je dédie ce modeste travail aux :

La personne la plus chère de mon cœur symbole de courage et de patience

Mon père et Ma mère

Je dédie aussi mon travail à mes sœurs et mon frère

Et à toute la famille SEMACHE

A mes meilleurs amis Khawla, chaima, taqwa, hafssa, almaza

A tous la promotion de Génie Civil 2017/2018.

A tous ceux qui m aiment et tous ceux que j’aime.

/ Avant tout, je remercie DIEU qui nous a

donné le patience et la volonté pour terminer ce travail.

Je remercie vivement mon encadreur : Monsieur NOUREDDINE

FERHOUNE de m’avoir orienté et diriger par ses conseils judicieux dans

le but de mener à bien ce travail.

Par la même occasion je remercie :

Mr Z. BOUDAOUD pour son aide.

Mes Enseignants de département de génie civil pour leurs contributions à ma

formation de master en Génie civil.

Ma gratitude va également aux membres du jury pour honorer ma soutenance

et pour l’effort fourni afin de juger ce travail.

Qu’il me soit permis de remercier toutes les personnes qui ont Contribuées de

prés ou de loin à la réalisation de ce mémoire.

LISTE DES TABLEAUX

N0 des Tableaux

TITRE

Tab I.1 Valeur du facteur d’imperfection α pour les 4 courbes de flambement.

TabI. 2 choix de courbe de flambement correspondant de à une section

Tab IV.1 caractéristiques géométriques et matériels

Tab IV.2 la capacité portante des poteaux vide et mixte

Tab IV.4 Capacité portante donnée expérimentalement, par éléments finis et par EC4 et EC3

LISTE DES FIGURES

N0 DE FIGURE

TITRE

Fig I.1 Domaine d’acceptabilité d’un poteau idéal. Fig I.2 Position des points expérimentaux représentatifs d’essais sur poteaux réels

Fig I.3 Courbe de flambement

Fig I.4 Etats de contraintes dans une section comprimée comportant des contraintes résiduelles

Fig I.5 Effet des contraintes résiduelles sur les déformations. Fig I.6 Les poteaux partiellement ou totalement enrobés de béton Fig I.7 Les poteaux en profilés creux remplis Fig I.8 Assemblage poutres - poteaux mixtes. Fig I.9 Goujons dans les poteaux mixtes.

Fig I.10 Répartition des moments le long du poteau.

Fig I.11 Courbe d'interaction pour la compression et la flexion un axiale.

Fig I.12 Répartition des contraintes correspondant à la courbe d’interaction.

Fig I.13 Méthode de calcul pour la compression et la flexion uni axiale

Fig I.14 Valeurs typiques de χn.

Fig I.15 Calcul de compression et flexion bi axiale.

Fig II.1 Diagramme réel contraintes-déformations de l’acier.

FigII.2 Diagramme idéalisé pénalisé de l’acier.

FigII.3 model élastique parfaitement plastique pour l’acier

FigII.4 Diagrammes déformations-contraintes du béton.

FigII.5 Courbe contrainte –déformation pour béton confiné.

FigII.6 Courbe uni axiale proposée de Contrainte - Déformation pour le béton

confiné.

FigII.7 effet de confinement des poteaux en acier remplis du béton

Fig III.1 Pilotage en longueur d’arc imposé.

Fig IV.1 Exemple de poteau mixte (PBO2)

Fig IV.2 Organisation d’Abaqus

Fig IV.3 Réalisation de la mise en données d’un problème.

Fig IV.4 Quelque élément dans Abaqus.

Fig IV.5 Courbe d’interaction N-M de poteau mixte 2 (L’axe fort).

Fig IV.6 Courbe d’interaction N-M de poteau mixte 4 (L’axe fort).

Fig IV.7 Courbe d’interaction N-M de poteau mixte 2 (L’axe faible).

Fig IV.8 Courbe d’interaction N-M de poteau mixte 4 (L’axe faible).

Fig IV.9 Mode d’instabilité et répartition des contraintes poteau V1 sous chargement

axial

Fig IV.10 Mode d’instabilité et répartition des contraintes poteau V2 sous chargement

axial

Fig IV.11 Courbe contrainte-déformation Poteau vide 1

Fig IV.12 Courbe contrainte-déformation Poteau vide 2

Fig IV.13 Mode d’instabilité et répartition des contraintes poteau vide PV3 sous

chargement excentré

Fig IV.14 Mode d’instabilité et répartition des contraintes poteau vide PV4 sous

chargement excentré

Fig IV.15 Courbe contrainte-déformation Poteau vide 3

Fig IV.16 Courbe contrainte-déformation Poteau vide 4

Fig IV.17 Mode d’instabilité et répartition des contraintes poteau PBO1 sous

chargement axial

Fig IV.18 Mode d’instabilité et répartition des contraintes poteau PBO2 sous

chargement excentré.

Fig IV.19 Courbe contrainte-déformation PB01

Fig IV.20 Courbe contrainte-déformation PB02

Fig IV.21 Mode d’instabilité et répartition des contraintes poteau PBO3 sous

chargement axial

Fig IV.22 Mode d’instabilité et répartition des contraintes poteau PBO4sous chargement

excentré.

Fig IV.23 Courbe contrainte-déformation PB03

Fig IV.24 Courbe contrainte-déformation PB04

Fig IV.25 Erreur Eléments Finis en fonction de l’élancement

Fig IV.26 Erreur EC3 en fonction de l’élancement

Fig IV.27 Erreur Eléments Finis en fonction de l’élancement

Fig IV.28 Erreur EC4 en fonction de l’élancement

Fig IV.29 Relation P éléments finis – P Essais

Fig IV.30 Relation P euro code 4– P Essais

Fig IV.31 Relation P éléments finis – P euro code 4

Fig IV.32 Le gain de charge expérimentale des Poteaux plein aux poteaux vide

Fig IV.33 Le gain de charge éléments finis des Poteaux plein aux poteaux vide

Fig IV.34 Courbe contrainte-déformation des tubes vides et pleins sous chargement

axial

Fig IV.35 Courbe contrainte-déformation des tubes vides et pleins sous chargement

excentré

RESUME

Ce travaille présente une analyse non linéaire, en utilisant le code de calcul ABAQUS pour

prédire le comportement et la capacité portante des poteaux en acier laminés à froid et soudés

vide et remplis de béton ordinaire. Pour cela nous avons exploite les résultats expérimentales

publier par Noureddine Ferhoune et al. Une comparaison est mené entre les résultats numériques,

expérimentales, et ceux prédits par le règlement euro code 3 dans le cas des poteaux en acier, et

euro code 4 pour les poteaux mixtes. Les poteaux étudiés ont deux types d’élancement, tel que le

rapport hauteur de poteau sur la largeur de section est de 4.27 et 7.29 respectivement. La

position de file de soudure est sur le grand coté. L’effet de confinement du béton ainsi que la

soudure de l’acier et des contraintes résiduelles sont prise en considération dans le modèle

numérique. Les paramètres étudiés sont : l’élancement de poteau, la forme géométrique. Le

remplissage du béton. L’objective essentielle de cette étude est d'apporter quelque lumière sur le

comportement des poteaux en acier laminé à froid et soudée rempli de béton. L’ensemble des

résultats obtenus numériquement et ceux d’EC4 sont en bonne concordance, en comparaison

avec les résultats expérimentaux, par contre les prédictions calculées par EC3 n’ont pas été

conservative.

Mots Clés: Poteaux Mixtes, Instabilité, Poteau Métallique, Analyse Non Linéaire, Laminage a

froid, Contrainte Résiduelle.

Introduction :

Dans une construction, les poteaux sont des éléments principaux qui assurent la stabilité de la

construction. Le poteau composée en (acier – béton) ces deux matériaux sont complémentaire.

L’acier permet de rendre la structure ductile et résiste à la traction, le béton résiste à la

compression, il peut aussi jouer le rôle d'isolation thermique au température élevée (incendie) et

la protection de l'acier au phénomène de corrosion interne des profils creux sous forme

d’enrobage des profils ouverts (I et H). Les poteaux des profils creux remplies du béton sont de

plus en plus utilise pour les structure des différent ouvrages (grade ciel, pile de pont, …etc).

Le problème du comportement des poteaux mixte attirera l’attention de nombreux chercheurs

dans différent pays vue leurs avantages mécaniques et structurels qu’il offre aux constructions

moderne.

Quelques travaux de recherche réalisée sur les poteaux mixtes :

En 2000 J F Hajjar

A étudié le comportement des poteaux mixte de section rectangulaire et circulaire soumis au

chargement de compression axiale, de torsion, de flexion et de séisme. La comparaison de

comportement des deux types de poteaux indique que les poteaux de section circulaire ont une

meilleure résistance par rapport aux poteaux de section rectangulaire et surtout dans le cas de

torsion. Les tubes en acier circulaire rempli de béton ont montré leurs meilleures ductilités par

rapport aux sections en béton armée. [1]

En 2003 Kefeng Tan, John M. Nichols et Xincheng Pu

Dans leur travail en présente les résultats expérimentaux de vingt poteaux en acier rempli de

béton de haute résistance testés sous compression axiale, en vue de déterminer les propriétés

mécaniques de ce type de poteaux. Les poteaux ont un rapport d’hauteur de poteau sur diamètre

égal à 3.5, L’augmentation de la charge de compression et directement proportionnel a l’indice

de confinement. Dans cette étude les auteurs ont examiné la théorie conceptuelle de l'utilisation

de ce type de poteaux et présentent la formule utilisée pour calculer la capacité portante de ce

type de poteaux, Les résultats expérimentaux ont montré que les poteaux en acier rempli de

béton offre un meilleur confinement de béton et une capacité portante en compression élevée par

rapport aux poteaux en béton armé. [2]

En 2003 Mohanad Mursi et Brian Uy, M.ASCE

Dans ce travail, les chercheurs ont conduit une étude à la fois expérimentale et théorique sur le

comportement des poteaux en acier rempli de béton. Les expériences effectuées montrent que les

poteaux en acier mince rempli de béton ont une meilleure résistance que le poteau en acier et ce

la et traduit par le retardement de flambent local et la diminution de l'accentuation de cloquage

convexe. [3]

En 2005 Bassam Z. Mahasneh et Emhaidy S. Gharaibeh :

Les auteurs de cet article, ont résumé dans leurs études l’influence des caractéristiques

géométriques de la section d’acier aussi que la qualité de béton de remplissage des poteaux

mixtes sur le comportement mécanique des poteaux mixtes. Les résultats des essais effectués au

laboratoire de plusieurs échantillons des poteaux mixte à différents section d’acier et différents

type de béton testes à la compression axiale ont montre que le rapport diamètre épaisseur des

poteaux mixte circulaires et la qualité de béton utilise joue un rôle important dans le

comportement de ce type de poteaux. [4]

En 2008 George D. Hatzigeorgiou :

A proposé une méthode pour prévoir le comportement et la capacité portant des colonnes

circulaires courts en acier rempli de béton sous chargement axiale et moment de flexion. Le

comportement de nombreuses colonnes, obtenu expérimentalement par d'autres chercheurs,

comparés au modèle numérique proposé par l’auteur a montré la bonne concordance des

résultats. Deux nouvelles méthodes simples ont été présentées pour calculer la capacité portante

des colonnes circulaires TFC sous chargement axiale. La première méthode examine l'action

composée pour ces colonnes, qui est essentielle pour l'évaluation de la capacité portante, alors

que le second représente une modification des recommandations d'un code existant de

dimensionnement de bâtiment. Plus tard, George a proposé une expression polynomiale simple

qui présente la courbe d'interaction force axiale – moment de flexion. [5]

En 2010 Manojkumar V. Chitawadagi & al :

Ont présentés une comparaison des résultats expérimentaux effectuées sur des poteaux

circulaire rempli de béton dont le rapport (diamètre / épaisseur) est entre 9.4 et 25 et un rapport

(élancement / diamètre) qui varie entre 6.25 et 20 avec ceux prédite par la méthode proposée par

Taguchi, les résultats expérimentaux ont affirmé que la section de tube circulaire en acier a un

effet significatif sur la capacité portante que ce soit pour les colonnes court ou élancé. La

comparaison a montré une concordance raisonnable des résultats dans le cas des poteaux élancés.

Par contre, dans le cas des poteaux courts, une large différence entre les deux résultats est

remarquée ce qui veut dire que la méthode proposée par Taguchi nécessite une amélioration dans

le cas des poteaux courts. [6]

En 2014 N.Ferhoune et J.Zegiche :

Ont étudié le comportement des poteaux courts en acier l’amine à froid rempli de béton dont

les granulats sont des granulats de laitier cristallisé. La section des poteaux est rectangulaire,

elles sont soumis à une compression axial, La comparaison des résultats expérimentaux et les

résultats calculés selon EC4 et ceux déterminés numériquement par la méthode des éléments

finis (code de calcul ABAQUS), montre que la capacité portante calculé par les prédictions de

EC4 et méthode numérique sont inferieur a ceux enregistrés expérimentalement avec un taux

d’erreur généralement acceptable. [7]

En 2016 N.Ferhoune et M.Senani et A.Guttale :

Dans leur travail en présente les résultats expérimentaux des poteaux rectangulaire courts en

acier l’amine à froid rempli par différent type de béton, la section des poteaux étudiés est

(100×70×2) mm. Aux totale 20 poteaux ont étais testés comme suite : huit poteaux testés sous

chargement axial et excentrique dont quatre vide en acier laminé a froid et quatre remplir à béton

ordinaire. Les six autre remplir par de béton dont le sable naturel est complètement remplacé le

sable laitier, les dernier six poteaux testés sont remplier par un béton dont le sable est remplacé

partiellement par le sable de laitier. Les paramètres essentiels étudiés sont : l’hauteur des

poteaux, excentricité de la charge et type de béton de remplissage. En se basant sur les résultats

obtenus, les chercheurs ont affirmé l’effet de la hauteur de poteau sur la capacité portante dans la

totalité des poteaux testés. Le phénomène d'instabilité remarqué est le flambement local qui est

développé par la formation d'un cloquage convexe. La capacité portant des poteaux remplis par

béton de sable de laitier est améliorée par rapport à ceux remplis par le béton ordinaire. [8]

CONCLUSION :

La résistance mécanique des poteaux vide en acier est faible, cette faiblesse s'avers remarquable

au début de formation des phénomènes d'instabilité causé par les sollicitions externe. Les

chercheurs ont opté comme solution, le remplissage ou l'enrobage des profilés vide d'acier par de

béton de différente qualité, en vue d'atténuation de problème d'instabilité et augmentation de la

résistance et ductilité des profilés.

La construction mixte ouvre une large porte vers la modernisation et l’industrialisation de la

construction. La prédiction de la capacité portante de ces derniers et leur comportement est

fortement influencée par différents paramètres qui sont :

Caractéristiques géométriques de la section [la forme de la section « rectangulaire, carrée,

circulaire,… », dimensions de la section « hauteur, largeur, diamètre, épaisseur, »] ;

Caractéristiques mécaniques du profil en acier (limite d’élasticité, module de Young …) ;

Caractéristiques du béton [type du béton « ordinaire, haute résistance,… »,

Caractéristiques mécaniques « résistance a la compression, module de Young,… »] ;

Valeur de la charge axiale et sont excentricité (compression axiale, flexion uni axial,

flexion bi axial) ;

Effet des contraintes résiduelles.

Qualité d’adhérence entre l’acier et le béton ;

POTEAUX EN PROFIL METALLIQUE

I.1. Définition :

Les poteaux sont des éléments généralement verticaux et rectilignes, On utilise pour

supporter les planchers, les toitures…etc., ils permettent de transmettre les actions gravitaires

(poids propre, charges permanentes, charge de neige, charge de service…) jusqu’à la fondation.

Et sont généralement sollicites en flexion composée.

-N : effort normal (excentré, centre).

-M : moment fléchissant.

I.2. Comportement des pièces comprimées courtes :

a) Comportement en compression d’une barre courte idéale

En l’absence d’un phénomène de voilement local, c’est-à-dire pour des sections transversales

de classe 1, 2, 3, une barre courte à axe parfaitement rectiligne et a section uniforme, faite d’un

matériau homogène et isotrope, sollicité par une distribution uniforme de contraintes de

compression sur sa section transversale (résultante situe au centre de gravité de la section) se

comporte pratiquement comme une barre tendue parfaite mais pour des efforts de sens opposée.

b) Cas réel

Dans la pratique, le cas idéal ne se rencontre jamais. D’une part, la mise en charge s’effectue

toujours à travers des assemblages ou par contact direct et d’autre part, les pièces parfaitement

rectilignes et parfaitement symétriques n’existent pas. Enfin, il existe toujours des contraintes

résiduelles produisant des effets parasites. Il y a donc bien peu de chance que la résultante des

actions s’applique effectivement au centre de gravité de la section, par ailleurs, cette dernière ne

peut présenter une parfaite symétrie dans sa forme et dans son comportement mécanique.

I.3. Comportement mécanique des poteaux moyennement ou fortement

élancés :

a) Comportement d’un poteau idéal sous compression seule

Pour une pièce idéale a axe rectiligne et section uniforme, parfaitement homogène, soumise

a une action de compression parfaitement centrée, le flambage par flexion se développe dans un

plan donnée lorsque la force de compression atteint la force critique d’Euler, Ncr , qui s’écrit :

Ncr = π 2 EI /ℓ2 . Où ℓ est la longueur critique de flambement dans le plan considéré et I

l’inertie de la section autour de l’axe de flambement par flexion considéré. En devisant cette

expression par l’effort axial de plastification de la section transversale.

Npl = A fY, on obtient:

Ncr / Npl = (π 2 EI) / (ℓ2A fY)……. (1)

Enfin, en introduisant le rayon de giration de la section, i2 = I / A, et l’élancement de l’élément,

λ=l / i, cette expression devient :

Ncr / Npl = (π 2 Ei2) / (ℓ2 fY)= (π 2 E) / (λ2 fY)……(2).

On peut donc remarquer que pour une nuance d’acier donnée (fY fixé), le terme le plus

déterminant d’une étude de flambement c’est bien l’élancement de la barre.

Si l’on pose λ1=π�E/fY, constante dépendant du matériau, et λ, élancement réduit sera :

λ�= λ / λ1………………. (3).

Il vient :

Ncr / Npl = (1/�̅)……..…...(4).

L’élancement de référence λ1 est donc celui d’une pièce idéale dont la charge critique de

flambement par flexion serait égale a l’effort normal de plastification

(Ncr = Npl, soit : π 2 E / λ12 = fY).

En représentant la relation (4) sur un diagramme non dimensionnel (�̅, χ = N/Npl) nous

obtenons la figure présentée ci après :

Fig I.1 : Domaine d’acceptabilité d’un poteau idéal.

Si l’on ajoute la droite définissant la limite de résistance en compression simple (N=Npl, soit χ

=1), apparaît une zone d’acceptabilité dans la quelle la stabilité au flambement est assurée et ou

le poteau n’a pas atteint son état ultime de compression. Comme nous l’avons remarqué dans le

paragraphe précédant, le point commun aux deux courbes, pour lequel nous avons Ncr = Npl , est

le point remarquable. Il correspond à la valeur λ= 1 (soit λ= λ1), c'est-à-dire le plus grand

élancement pour lequel la section transversale du poteau idéal est utilisée au maximum de sa

capacité de résistance.

b) Comportement d’un poteau réel sous compression seule

La différence entre le comportement d’un poteau idéal et celui d’un poteau réel est due à la

présence de divers phénomènes ou imperfections : défaut de rectitude, contraintes résiduelles,

excentricités des charges appliquées et écrouissage. Ceux-ci affectent tous plus ou moins le

flambement et par conséquent ils influent sur la capacité portante du poteau.

Fig I.2: Position des points expérimentaux représentatifs d’essais sur poteaux réels

L’examen de cette figure (I.2) appelle quelques remarques. La première concerne les points

situés au dessus de la droite χ =1. Il représente l’influence de l’écrouissage sur des éléments

assez peu sensible au flambement dont la résistance est supérieure à l’effort axial théorique de

plastification de la section Npl. L’effet favorable de l’écrouissage compense donc largement

l’effet défavorable des imperfections structurales (contraintes résiduelles) et géométriques

(défauts de rectitude). La seconde concerne le domaine des grands élancements. Dans cette zone

la barre flambe pour ainsi dire élastiquement et les points expérimentaux sont situés très prés de

la courbe d’Euler. La troisième concerne le domaine des élancements intermédiaires (0.3<

λ<1.2). Pour ces valeurs l’interaction entre l’instabilité et la plasticité est la plus forte. C’est donc

dans cette zone, qui couvre la plupart des poteaux utilisés en pratique, que l’effet des

imperfections structurales et géométriques est le plus significatif. L’écart maximal est situé aux

environs de λ=1.

c) Résistance au flambement par flexion au sens de EC3 page 109 :

La sollicitation N de compression simple doit satisfaire à :

N ≤ χ .βA.A. fY / γM1………(5).

Avec :

N : effort normal.

A : section brute.

fY : limite d’élasticité d’un acier.

γM1 : facteur partiel de sécurité en instabilité élastique égale 1,1.

βA : coefficient des sections transversales.

Pour les sections transversales de classe 1, 2 ou 3 βA= 1 et βA=Aeff / A pour les sections

transversales de classe 4.

χ : coefficient de réduction de flambement.

χ=�

��(������)�,�≤1 ……..(6).

Avec :

Φ=0,5(1+α (�� -0,2) +�̅� )

�� =�

�� �βA

λ est l’élancement.

Avec : λ1=93,9.ε avec : ε=�235/��

α est un facteur d’imperfection correspondant à la courbe appropriée de flambement vaut :

Courbe de flambement A B C D

Α 0.21 0.34 0.49 0.76

Tab I.1:Valeur du facteur d’imperfection α pour les 4 courbes de flambement.

Les courbes de flambement sont les courbes donnant le coefficient de réduction χ en fonction de

l’élancement réduit �̅ .

Fig I.3: Courbe de flambement

L’Euro code 3 fournit les particularités de ces courbes décrites ci-après :

TabI. 2:

choix de courbe de flambement correspondant de à une section

I.4. Différence de comportement en fonction de l’élancement :

a).Poteaux courts (massifs)

Est un élément structural dans lequel la longueur n’est pas supérieur à environ douze fois la

dimension latérale minimale (H/a≤12), Il s’agit des poteaux possédant un élancement réduit tel

que �̅ ≤ 0.2. Pour ces éléments le risque de flambement n’est pas à craindre. Ils sont associés à

une valeur du coefficient de réduction χ = 1 et seule la résistance de la section transversale doit

être vérifiée. Cette gamme d’élancement correspond au plateau des quatre courbes (a, b, c et d).

b).Poteaux d’élancement intermédiaire

Les poteaux d’élancement intermédiaire (moyen) sont ceux qui s’écartent le plus de la

théorie d’Euler car ils présentent un comportement élasto plastique. Lorsque le flambement

survient, la limite d’élasticité est déjà atteinte dans certaines fibres et la charge ultime ne dépend

plus exclusivement de l’élancement. Plus il y a d’imperfections, plus la différence entre les

comportements réel et théorie est importante. C’est donc pour ce type d’élément que les défauts

de rectitude et les contraintes résiduelles présentent l’effet le plus significatif.

Il est à noter que la réduction la plus importante par rapport à la courbe d’Euler apparaît aux

alentours de l’élancement λ = 1. C’est en effet la zone où l’interaction entre la résistance

plastique et l’influence du flambement est la plus forte.

c). Poteaux élancés

Un poteau élancé est celui dans lequel la charge de rupture est régie non seulement par la

résistance des matériaux et des dimensions de la section transversale mais aussi par l’élancement

qui produit un moment de flexion supplémentaire du à déformations latérales.

Un poteau est considéré comme élancé si son élancement est supérieur à celui correspondant

sensiblement au point d’inflexion de la courbe de flambement. L’effort axial ultime de ruine de

ces éléments est proche de l’effort axial critique Ncr. Celui-ci est indépendant de la limite

d’élasticité et ces poteaux sont fréquemment dimensionnés sur la base de l’élancement λ =

√Aℓ2/I, caractéristique géométrique indépendante de la résistance de la section transversale.

Etant très sensibles au flambement, les barres très élancées possèdent une faible capacité de

résistance à la compression.

I.5. Effets des contraintes résiduelles :

Comme dans le cas des pièces tendues, les contraintes résiduelles ne modifient pas l’effort

ultime qu’une section est capable de supporter en compression. En revanche elles jouent un rôle

sur son comportement mécanique progressif, c'est-à-dire sur l’évolution de plastification à

l’intérieur de la section transversale.

Considérons une section en I comportant des contraintes résiduelles dues au laminage par

exemple. L’application progressive d’une sollicitation de compression simple laisse apparaître

les différentes étapes représentées ci-dessous (Fig I.4):

Fig I.4 : Etats de contraintes dans une section comprimée comportant des contraintes résiduelles

L’état de contrainte initial est celui de la figure (a). Chaque fibre i supporte une contrainte

résiduelle σri. Rappelons que cet état de contrainte est auto équilibrée, c’est à dire que ses

résultantes de translation et de rotation autour des axes principaux de section sont nulles.

Lorsqu’une contrainte de compression uniforme σ est ajoutée, l’état d’équilibre correspondant

est celui de la figure (b) ; pour chaque fibre i, la contrainte est égale à σi = σri + σ. Une

augmentation progressive de contrainte de compression se traduit par un passage par l’étape de la

figure (c) pour la quelle certaines fibres sont plastifiées (σi = fY), puis par l’atteinte de la

plastification complète de la section représentée à la figure (d). Dans ce cas, chaque fibre de la

section transversale a atteint la limite d’élasticité fY du matériau. Dés lors, la section n’a en

principe plus aucune raideur axiale et la pièce peut se raccourcir sous charge constante. La

capacité ultime maximale théorique da la section est bien égale à Npl =A fY et, comme on peut

le constater, elle n’est donc pas affectée par la distribution des contraintes résiduelles.

Toutefois, ces dernières jouent un rôle important sur l’évolution de la plastification de la

section en imposant des déformations plus grandes pour atteindre un état élasto plastique donnée

sur la figure ci-dessous. De plus, elles modifient significativement la limite de proportionnalité

en compression qui se trouve ainsi diminuée par rapport aux résultats des mesures relevées lors

d’un essai de traction sur éprouvette normalisée (les dimensions réduites de cette dernière

permettent pratiquement de se libérer de l’influence des contraintes résiduelles).

Fig I.5 : Effet des contraintes résiduelles sur les déformations.

LES POTEAUX MIXTE ACIER – BETON :

I.6. Définition :

Les poteaux mixtes acier-béton sont classés en deux types principaux :

Les poteaux partiellement ou totalement enrobés de béton.

Les poteaux en profilés creux remplis de béton.

Pour les poteaux totalement enrobés, les semelles et âme des profilés les constituants sont

enrobés d’une couche de béton. Par contre pour les poteaux partiellement seulement l’espace

entre semelles qui sont rempli de béton (figure ci-dessous).

Fig I.6: Les poteaux partiellement ou totalement enrobés de béton.

Les poteaux en profilés creux remplis de béton peuvent être de section circulaire, carrée ou

rectangulaire. Le béton de remplissage améliore considérablement la résistance par effet de

confinement (figure ci-dessous).

Fig I.7: Les poteaux en profilés creux remplis.

Avantage des poteaux mixtes :

Les poteaux mixtes présentent de nombreux avantages :

une section transversale de faibles dimensions extérieures peut reprendre des charges très

élevées.

l’acier sert aussi de coffrage perdu.

gain de temps et de coût appréciable lors du montage.

résistances plus élevées.

l’acier, en confinant le béton, assure un rôle de frettage qui provoque une augmentation

de la charge portante globale.

I.7. Méthodes de calcul :

Pour le dimensionnement des poteaux mixtes acier-béton, deux méthodes sont présentées dans le

règlement Européen l’EC4.

Une Méthode Générale qui prend en compte les effets du second ordre et les imperfections,

applicable aux sections de poteaux non symétriques ainsi qu’à des poteaux de section variable

sur leur hauteur. Cette méthode nécessite l'utilisation d’outils de calcul numérique.

Une Méthode Simplifiée faisant aux courbes de flambement européennes des poteaux en

acier qui tiennent implicitement compte des imperfections, applicable au calcul des poteaux

mixtes présentant une section doublement symétrique et uniforme sur leur hauteur.

Hypothèses de calcul :

Il y a une interaction complète entre la section en acier et la section de béton, jusqu'à la

ruine.

Les imperfections géométriques et structurales sont prises en compte dans le calcul.

Les sections droites restent planes lors de la déformation du poteau.

1) La Méthode générale : `

Poteaux mixte de section transversale quel conque en doit vérifie :

Résistance de l’élément structural.

Résistance Au voilement.

Transfert des charges.

Résistance Au cisaillement.

2) La Méthode Simplifiée :

L'application de la méthode simplifiée comporte les limitations suivantes :

La section transversale du poteau est constante et présente une double symétrie sur toute

la hauteur du poteau

La contribution relative de la section en acier à la résistance de calcul de la section

complète, à savoir δ est compris entre 0,2 et 0,9.

δ = (AS .FY/γa)/ N pl.Rd,…………..(7)

L'élancement réduit �̅ du poteau mixte ne doit pas dépasser la valeur 2,0.

Pour les sections totalement enrobées, l'aire des armatures doit au moins être égale à

0,3% de l'aire de béton et les armatures présentent des épaisseurs d'enrobage de béton

satisfaisant les conditions suivantes : 40 mm < cy < 0,4 bc et 40 mm < cz < 0,3 hc.

Il convient que le rapport entre la hauteur h de la section et sa largeur se situe entre 0,2 et

5.

L'aire de la section d'armature longitudinale à considérer dans les calculs ne doit pas

dépasser 6% de l'aire de la section du béton.

I.8.Résistance plastique en compression axiale :

La résistance plastique en compression axiale s’obtient en additionnant les résistances plastiques

des éléments constitutifs, suivant l’expression suivante:

Pour les sections partiellement ou totalement enrobées de béton :

Npl.Rd = Aa��

��� + Ac.0, 85

���

�� + As

���

��……… (8)

Pour les sections creuses remplies de béton :

Npl.Rd = Aa��

��� + Ac

���

�� + As

���

��………. (9)

Aa, Ac et As sont les aires respectives de la section transversale de la section en acier, du béton et

de l'armature.

Pour les profils creux remplis de béton, l'augmentation de la résistance du béton résultant du

confinement est prise en compte en remplaçant le coefficient 0.85 fck par fck.

Pour les profils creux de sections circulaires remplis de béton, une autre augmentation de

résistance à la compression provient du frettage du poteau de béton. Elle est réelle que si le béton

est correctement fretté par le profil creux, c'est-à-dire si le profil creux en acier est suffisamment

rigide pour s'opposer au gonflement du béton comprimé.

Cette augmentation de résistance n'est pas permise pour les profils creux rectangulaires car les

côtés droits ne sont pas suffisamment rigides pour s'opposer au gonflement du béton.

I.9.Vérification de la stabilité des poteaux mixtes en compression axiale :

La vérification de la stabilité est à effectuer selon les deux axes principaux de flambement,

avec les de flambement appropriées.

Nx.sd ≤ Nby.Rd = χy. Npl.Rd…………..(10)

Nx.sd ≤ Nbz.Rd= χz.Npl.Rd

Nb.Rd : est la valeur de calcul de la résistance au flambement du poteau.

Npl.Rd : est la résistance plastique à la compression de la section transversale mixte.

χ : coefficient de réduction au flambement.

Courbe a : pour les profils creux remplis de béton α= 0.21

Courbe b : pour les profilés en I totalement ou partiellement enrobés de béton avec

flexion selon l'axe fort du profilé en acier, α= 0.34

Courbe c : pour les profilés en I totalement ou partiellement enrobés de béton avec

flexion selon l'axe faible du profilé de l'acier, α= 0.49

Il est possible de déterminer numériquement la valeur de par la formule :

χ =�

��������� mais χ≤1

ϕ=0.5 [1+α (�� -0.2) +���]

α : facteur d’imperfection dépendant de la courbe de flambement appropriée.

Le flambement n’est pas à considérer si : �̅≤0,2.

Elancement réduit :

��y =����.�

���.� ;��z =�

���.�

���.�……………………(11)

-

Npl, R : est la valeur de Npl,Rd lorsque les coefficients γMa, γc et γs sont pris égaux à 1.0.

La charge critique élastique selon l’axe y est :

Ncr.y =��(���)�

���.� ………………….. (12)

La charge critique élastique selon l’axe z est :

Ncr.z =��(���)�

���.�

(EI) e : est la rigidité du poteau mixte.

Lb : longueur de flambement selon l’axe considéré.

La rigidité élastique réelle de flexion de la section transversale d'un poteau de flexion pour

charge à courte durée, (EI) e, est donnée par l'équation suivante :

(EI) e= Ea.Ia + 0.8.Ecd.Ic + Es.Is……………………. (13)

Ea, Es : modules d’élasticité de l’acier.

Ecd = Ecm / γc est le module d'élasticité de calcul de la partie en béton.

Ecm est le module sécant du béton et γc= 1.35 est le coefficient de sécurité approprié, pour la

rigidité du béton.

Ia, Ic et Is : moments d’inertie de l’acier, du béton et des armatures.

Pour les charges de longue durée, on doit tenir compte de leur influence sur la rigidité élastique

réelle de flexion en remplaçant dans la formule ci dessus le module d'élasticité du béton Ecd par

le facteur.

Ec =Ecd. (1-0.5 (NG.sd/Nsd))

NG, Sd est la fraction de la charge axiale NSd qui est permanente.

Cette correction de la formule n'est nécessaire que si l'élancement réduit dans le plan de flexion

considéré dépasse les valeurs limites de 0.8 pour les profilés enrobés de béton et 0.8 / (1- δ)

pour les profilés creux remplis de béton,

Avec :

δ =��.���

���.��

I.10.Voilement local des parois de la section en acier :

Avant toute vérification de la stabilité, il faut s’assurer du non voilement des parois des profilés

en acier. Ce risque ne se présente pas pour un poteau totalement enrobé. Pour les autres sections,

les élancements des parois de la section ne doivent pas dépasser les valeurs suivantes :

d/t≤90Ɛ� ∶pour les profils creux ronds remplis de béton de diamètre d et d'épaisseur t.

(profils creux circulaires)

b/t≤52 ε : pour les profils creux rectangulaires remplis de béton.

b/Tf≤44 ε : pour les semelles de largeur b et d’épaisseur tf des profils en I partiellement

enrobés.

avec ε =�235/���est la limite d’élasticité de l’acier du profilé.

fy : limite d'élasticité de l'acier en N/mm² ;

d : est le diamètre extérieur d'un profil creux rond en acier ;

h : la plus grande dimension hors tout de la section parallèle à un axe principal ;

t : l'épaisseur de la paroi d'un profil creux rempli de béton,

tf et b : épaisseurs et largeur hors tout de la semelle d'un profil en acier en I ou similaire.

I.11.Cisaillement entre les composants acier et béton :

La résistance au cisaillement à l'interface entre l'acier et le béton ne sera pas supérieure aux

valeurs suivantes:

- 0,6 N/mm2 pour les Profilés creux remplis de béton.

- 0,4 N/mm2 Profilé creux rectangulaires remplis de béton

- 0,2 N/mm2 pour les semelles de profils partiellement enrobées de béton.

-0 pour les âmes des profils partiellement enrobés de béton,

Les sollicitations (efforts tranchants et moments de flexion) provenant des assemblages poteau-

poutre sont à répartir entre le profilé d’acier et le béton armé sur une de « transfert » du poteau,

au-delà de laquelle la section du poteau se comporte comme une section mixte courante. La

longueur de transfert ne doit pas dépasser deux fois la dimension minimale transversale du

poteau (figure ci-dessous).

Fig I.8: Assemblage poutres - poteaux mixtes.

Si la résistance naturelle au cisaillement n’est pas suffisante, il est possible d’ajouter des

connecteurs de type goujons.

Fig I.9: Goujons dans les poteaux mixtes.

I.12.Analyse des moments des fléchissant :

D’après l'Euro code 4 dans le cas d’un poteau mixte, on doit prendre en compte les effets du

second ordre si:

(NSd / NCr) ≥ 0,1,

Où

NSd est la sollicitation à l'ELU;

Ncr est la charge élastique critique pour la longueur de poteau Et si λ > 0,2 (2-r),

Où

r est le rapport des moments d'extrémités, (- 1 ≤ r ≤ + 1). S'il existe un quelconque

chargement transversal, il convient de prendre régal à 1,0.

Dans le cas où les effets du second ordre doivent être pris en compte cela peut se faire de

manière simplifiée en appliquant au plus grand moment calculé par la théorie du premier ordre le

facteur multiplicateur k donné par la formule:

K= [β/ (1-(Nsd/Ncr))]

β : Facteur de moment équivalent

β = 0,66 + 0,44r mais β> 0,44; dans le cas où seul des moments d'extrémités sont appliqués;

β= 1,0 si on applique des charges transversales sur le poteau

Fig I.10: Répartition des moments le long du poteau.

I.13.Méthode simplifiée appliquée au calcul des poteaux mixtes soumis à la compression et

flexion combinées :

Pour chacun des axes de symétrie il est nécessaire de procéder à une vérification indépendante

en raison des différentes valeurs d'élancements .de moments fléchissant et de résistance à la

flexion pour les deux axes.

La résistance du poteau mixte sous sollicitation normale et moment de flexion (en général

suivant les deux axes du poteau) sont déterminés au moyen d'une courbe d'interaction M-N telle

que présentée sur la figure. Sur cette courbe, seules les grandeurs résistantes sont représentées.

Fig I.11 : Courbe d'interaction pour la compression et la flexion un axiale.

Point A: Résistance en compression, NA = Npl.Rd ; MA = 0

Point B: Résistance en flexion, NB = 0 ; MB = Mpl.Rd

Point C: Moment résistant pour N> 0 ; NC = NPm.Rd = ACα(fc/γc) ; Mc = Mpl.Rd

Point D : Moment résistant maximum, ND =1/2 (NPm.Rd) = 1/2 [ACα(fc/γc)]

MD = [Wpa (fy/γa)] + [Wps (fs/γs)] + 1/2[Wpcα (fcd/γc)]

Dans ces formules vaut 0,85 pour les profils enrobés et 1,0 pour les profils creux.

La courbe d'interaction est tracée en considérant plusieurs positions particulières de l'axe neutre

dans la section droite et en déterminant la résistance de la section droite à partir de la distribution

des blocs de contraintes. La figure explique le calcul des points A à D.

Fig. I.12 : Répartition des contraintes correspondant à la courbe d’interaction.

Wpa, Wpsi, Wpc sont les modules de résistance plastique respectivement du poteau en acier, des

armatures et du béton pour la configuration étudiée.

hn est la position de l'axe neutre plastique, sous Mpl,Rd par rapport au centre de gravité de la

section mixte.

Il faut remarquer que le point D de la courbe d'interaction correspond à un moment résistant

Mmax.Rd supérieur à Mpl.Rd. Cela est due au fait que contrairement aux poteaux uniquement en

acier, dans les poteaux mixtes, lorsque la charge axiale augmente sous l'effet de la contrainte

axiale la fissuration par traction du béton est retardée et rend le poteau mixte plus efficace pour

reprendre la sollicitation de moment.

Quant au point E, il se situe à mi-distance de A et C. L'augmentation en résistance au point E est

faible vis-à-vis d'une interpolation directe entre A et C. Le calcul du point E peut être négligé.

Ce diagramme peut être simplifié de manière sécuritaire en négligeant le calcul du point D et en

se limitant aux calculs des points A (calcul de NpL.Rd), C et B (calcul de NpL.Rd et Mpl,Rd).

I.14.Résistance des poteaux mixtes à la compression et à la flexion uni axiale

combinée :

La méthode de calcul est indiquée sous forme pas-à-pas, par référence à la figure I.13.

Fig I.13 : Méthode de calcul pour la compression et la flexion uni axiale.

La résistance du poteau mixte à la compression axiale est χNpl.Rd , et tient compte de

l'influence des imperfections et de l'élancement. χ est le paramètre représentant la

résistance du poteau au flambement.

χd est le paramètre représentant la sollicitation axiale; χd = NSd/Npl.Rd où NSd est la

sollicitation axiale de calcul.

χn = χ (1-r)/4, mais χn ≤ χd.

Les valeurs de χn pour les valeurs extrêmes de r sont données à la figure (I.14). Lorsque la

variation du moment n'est pas linéaire, il convient de prendre χn égal à zéro.

Fig I.14 : Valeurs typiques de χn.

Pour une valeur correspondant à χNpl.Rd (X sur le diagramme adimensionnel de la figure I.14),

il n'est plus possible d'appliquer un moment de flexion extérieur au poteau mixte. La valeur

Correspondante du moment de flexion μkMpl.Rd est la valeur maximale du moment secondaire de

flexion, conséquence des imperfections. Sous la seule charge axiale XNpl.Rd le moment

Secondaire va décroître avec χd.

Pour le niveau Xd la valeur disponible correspondante pour la résistance en flexion de la section

transversale est μ x Mpl.Rd. La longueur μ est présentée sur la figure (I.14) et peut être calculée au

moyen de la formule suivante:

μ= μd- μk (χd- χn)/ (χ - χn)

En dessous de χn le moment résistant est totalement mobilisable.

La résistance de la section transversale à la flexion vaut: MRd = 0,9. μ. Mpl.Rd, et le poteau a

une résistance à la flexion suffisante si : MSd ≤ MRd.

I.15.Compression et flexion bi axiale combinées :

En raison des différentes valeurs d'élancements, de moments sollicitant, et de résistances à

la flexion pour les deux axes, il est nécessaire, dans la plupart des cas de procéder à une

vérification du comportement bi axial.

Le poteau doit être vérifié pour chaque plan de flexion. Cependant il n'y a lieu de prendre en

compte les imperfections que pour le plan où la ruine est susceptible de se produire.

Pour l'autre plan de flexion, il est inutile d'en tenir compte (cas b sur la figure I.15). Si l'on a des

doutes sur le plan de ruine, on se place en sécurité en tenant compte des imperfections dans les

deux plans.

Fig I.15 : Calcul de compression et flexion bi axiale.

L'élément structural présente une résistance suffisante si :

MY.Sd ≤ 0,9 μy .Mpl.y.Rd ,

Mz.Sd ≤ 0,9 μz .Mpl.z.Rd,

Et :

[(MY.Sd/ (μy Mpl.y.Rd))+(Mz.Sd/ (μz Mpl.z.Rd))] ≤ 1,0

Avec Mpl.y.Rd et Mpl.z.Rd calculés comme ci-dessus selon l'axe approprié.

II.1.Aciers :

Un acier est un alliage métallique constitué principalement de fer et de carbone.

La courbe contrainte déformation déduite des essais expérimentaux est idéalisée en une région

élastique, un plateau d’écoulement et une région d’écrouissage, comme illustrée dans la figure

suivant.

FigII.1 : Diagramme réel contraintes-déformations de l’acier.

Le diagramme déformations (εs) contraintes (σs) à considérer pour BAEL91, est

conventionnellement défini ci-après.

Le module d'élasticité Es égal à 200 GPa.

coefficient du Poisson égale à νs = 0.3.

FigII.2: Diagramme idéalisé pénalisé de l’acier.

Le modèle pris pour l’acier suppose que le comportement de ce dernier soit élastique

parfaitement plastique, donc dans ce cas, quand la contrainte est inférieure à la contrainte

d’écoulement l’acier se comporte élastiquement et quand la contrainte atteigne la contrainte

d’écoulement le comportement sera parfaitement plastique et l’acier ne peut pas supporter une

charge de plus. Dans l'analyse, l’acier utilisé à un module de Young égale à 205000MPa et un

coefficient du Poisson égale à νs = 0.3.

D’après les études effectuées par THOMAS Marc et CHAMPLIAUD Henri en 2005, ainsi

que F. BELAHCENE, J. HOBLOS en 2006 sur l’estimation et l’effet des contraintes

résiduelles dans les aciers ont conclus que la contrainte résiduelle dans l’acier peut atteindre 4%

fy selon le type d’acier ainsi que le mode de fabrication. Pour le cas des poteaux testés par

N.Ferhoune et J.Zeghiche [7], et ceux réalisés par J.Zeghiche et D. Beggas sont estimé la

contrainte résiduelle a 2%fy à cause des défauts de non rectitude et de géométrie ainsi que les

défauts causés par la soudure à l’arc électrique (effet de pliage, cintrage, …) comme l’indique la

figure ci après.

FigII.3 : model élastique parfaitement plastique pour l’acier.

II.2.Béton :

Le béton est un matériau dont les comportements en compression et en traction ne sont pas

similaires. La rupture du béton est associée à une fissuration qui confère au matériau un

comportement réputé fragile, particulièrement en traction. Il faut également noter que les

résistances du matériau en compression sont très supérieures à celles obtenues en traction.

D’après BAEL 99 le diagramme déformations (εs) contraintes (σs) du béton peuvent être

utilisé dans tous les cas. Le diagramme de calcul dit « parabole-rectangle » est constitué d’un arc

de parabole depuis l'origine des coordonnées jusqu’à son sommet de coordonnées εbc=2‰,

prolongé par un palier d’ordonnée:

fbc=0,85fcj

FigII.4 : Diagrammes déformations-contraintes du béton.

Le coefficient 0.85 a pour objet de tenir compte de ce que la résistance du béton est

fonction décroissante de la durée d'application de la charge.

Le coefficient �b pour objet de tenir compte de la dispersion de la résistance du béton

ainsi que d´éventuels défauts localisés vaut 1,5 pour les combinaisons fondamentales,

et 1,15 pour les combinaisons accidentelles.

Le coefficient (θ) est fixé à 1 lorsque la durée probable d´application de la combinaison

d´actions considérée est supérieure à 24 heures, à 0,9 lorsque cette durée est comprise

entre 1 heure et 24 heures, et à 0,85 lorsqu´elle est inférieure à 1 heure.

II.3.Béton confiné :

La relation contrainte-déformation du béton confiné dépend de plusieurs facteurs. Pour

développer un modèle analytique de la courbe contrainte-déformation du béton confiné, plusieurs

travaux de recherche pour évaluer les effets d’un champ de variables telles que :

nature et résistance du béton non confiné.

taux et distribution de l’armature longitudinale sur le périmètre du noyau.

taux, espacement et configuration de l’armature transversale.

forme de la section du béton confiné.

rapport entre l’aire de la section confinée et celle de la section totale.

vitesse de déformation.

armature transversale supplémentaire.

caractéristiques des aciers.

intensité de l’effort normal.

Dans le cas de la compression uni axiale La valeur de coefficient poisson est de 0.19 ou 0.2

(ASCE 1982). Le module de Young est pris E = 35000 MPa.

Dans cette étude νs = 0.2.

Le module de Young est pris E = 35000 MPa.

Fig.II.5: Courbe contrainte –déformation pour béton confiné.

La relation contrainte - déformation proposée par Saenz en (1964) a été largement adoptée

comme courbe uni axiale de la relation contrainte - déformation pour le béton elle est de la forme

suivante :

Fc = ��.Ɛ�

��(�����)(Ɛ�

Ɛ�)�(����)(

Ɛ�

Ɛ�)���(

Ɛ�

Ɛ�)�

D’où : R =��(����)

(�Ɛ��)� -

�

�Ɛ

RE= ��.Ɛ�

�ˊ��

Dont Rσ = 4 et Rε = 4 peuvent être employés par (Hu et Schnobrich en 1989). Le module de

Young initiale est fortement relié à la contrainte de compression et qui peut être déterminé en

utilisant la formule empirique donnée par ACI 1999:

EC=4700��′�� en MPa

Fig II.6: Courbe uni axiale proposée de Contrainte - Déformation pour le béton confiné.

D’après les recherches de Mander présenté par Park (en 1988) sur le comportement et la

modélisation du béton confiné ont montré que la résistance et la déformation longitudinale

correspondante à un béton confiné par une pression hydrostatique peut être exprimée par les

relations suivantes :

F’cc=f’c0+kf1

ε1=εc0 [1+K2 (f1/f’cc)]

Où :

f’cc et εcc désignent respectivement la résistance maximale et la déformation

correspondante sous l’action d’une pression hydrostatique latérale.

F’c0 et εc0 désignent respectivement la résistance du béton non confiné et la déformation

correspondante.

D’après Richart et al les coefficients K1 et K2 aux valeurs respectives 4.1 et 5 K1.

f1 est la pression latérale de confinement. Suite aux résultats de leurs essais

expérimentaux. Pour le cas des poteaux circulaires par la formule suivante :

f1=��

���� σsh

FigII.7 : effet de confinement des poteaux en acier remplis du béton.

D’où:

σsh est la contrainte de cercle en acier à la charge limite.

D : le diamètre de la section d’acier.

T : et l’épaisseur de la section d’acier.

σsh = α fy

D’après les études effectuées (Hossain en 2000, 2001) la valeur de coefficient α est entre 0.18

et 0.24 pour le cas d’une charge concentrée, et entre 0.16 et 0.20 pour le cas d’une charge

excentrée.

Introduction :

Les méthodes numériques utilisées pour résoudre un problème approché conduisent à un

résultat qui est toujours entaché d’erreur. Cette erreur doit être suffisamment petite pour que la

solution numérique converge vers la solution réelle. Dans ce cas l’algorithme (ou la méthode) est

dit convergent.

III.1.Prédiction Elastique Linéaire :

Soit un incrément de charge {ΔP} appliqué à la structure, la solution élastique correspondante

est donnée par :

{ΔU} = [K]-1{ΔP}

{ΔU} : vecteur de déplacement

[K]-1 : matrice des relations déplacement – charge

A cette solution correspond pour chaque élément fini un incrément de déformation : {Δε} =

[B]{Δu}.

Avec [B] matrice des relations déformations – déplacements de l’élément considéré.

L’assemblage des vecteurs élémentaires permet de définir un vecteur force nodale équivalent à

l’état de contrainte calculé à partir des lois de comportement.

Le résidu est donc défini par : {R} = {ΔP} – {ΔQ}

Si le résidu est nul (à la précision prés) c’est que la solution obtenue est bonne.

si le résidu est non nul il faut itérer en cherchant la nouvelle solution de {ΔU} =

[K]-1{ΔP}, jusqu'à ce que le résidu soit suffisamment voisin de zéro.

III.2.Newton-Raphson :

La méthode de NEWTON est une méthode d’analyse numérique pour trouver les

approximations successives des zéros d’une fonction à valeurs réelles.

III.2.1.Procédure de résolution de NEWTON – RAPHSON :

Pour l’algorithme incrémental itératif de Newton - Raphson on procède comme suit :

Soit une solution non convergée a incrément p et à l’itération (i) définie par le couple charge -

déplacement suivant :({qp(i)} ; λ).

La résolution de l’équation gouvernant l’équilibre d’une structure à comportement non linéaire

consiste à la détermination de (n+1) inconnues, qui sont les (n) déplacements nodales du vecteur

{q}, et le paramètre λ, en satisfaisant l’équation d’équilibre et à une équation scalaire

supplémentaire sert à définir le paramètre incrémental à imposer telle que : f ({q} ; λ)=0.

Cette résolution non convergée provoque un déséquilibre entre les forces extérieures et celles

intérieures. On écrit dans ce cas l’équation suivante :

λp(i) {Pext} -{Qp

(i) ({qp(i)})} = {Rp

(i)}

Le déséquilibre du système défini par cette équation peut être éliminé si la solution non

convergée est corrigée. Le processus de Newton-Raphson nous permet de corriger la solution

non convergée par une solution a l’itération (i+1) et a l’incrément p telle que :

{qp (i+1)} = {qp

(i)} + {Δqp(i)}

{λp(i+1)}=λp

(i) +Δλp (i)

Le couple solution correctif, {Δqp(i)}, Δλ(i)

p est obtenu après résolution du système :

[KpT(i)]. {Δqp

(i)}=Δλp(i). {Pext}+ {Rp

(i)}

F ({qp+1}, λp+1) =0

L’équation f ({qp+1}, λp+1)=0 sert à définir le paramètre incrémentale à imposer.

Cette procédure est générale pour les trois techniques de résolution :

technique de charge imposée (méthode par contrôle de charge).

technique de déplacement imposé (méthode par contrôle de déplacement).

technique de longueur d’arc imposé (méthode de la longueur d’arc).

La différence entre l’une et l’autre de ces techniques réside dans la définition de la fonction.

III.2.1.a. Méthode de Longueur d’Arc (technique de longueur d’arc imposé):

Cette méthode est conçu Spécialement pour la résolution des systèmes d’équations non linaire

dans le cas d’un problème d’instabilité.

1).Définition de la fonction f en longueur d’arc imposée de CRISFIELD :

Cette technique consiste à définir la fonction f de manière à lier par un paramètre incrémental

imposé, ce paramètre incrémental imposé est noté ΔL et appelé

« Longueur d’arc », ainsi la fonction f est définie explicitement par l’équation suivante :

F ({q}, λ) = <Δq> {Δq} + b.Δ��.<Pext> {Pext} -�������� = 0

Δ�� : longueur d’arc imposée ;

�� : Paramètre incrémental de charge ;

{Δq} : déplacement incrémental ;

b : paramètre d’échelle entre chargement et déplacement.

D’après CRISFIELD en 1981 :

F ({q}, λ)=<Δq> {Δq}-��������

Il est possible de calculer la longueur d’arc à l’incrément p+1 en se basant sur le nombre

d’itération Ip nécessaire à la convergence à l’incrément p ; Ainsi :

�� p+1 = ��p �Id/Ip

Fig III.1:

Pilotage en longueur d’arc imposé.

2).Algorithme de résolution de Newton-Raphson avec pilotage en longueur d’arc

imposée de CRISFIELD (b = 0) :

Soit une solution ({qp}, λp) convergée à l’incrément p, à l’incrément p+1 on impose une

longueur d’arc ΔL telle que :

F ({qp+1}, λp+1)=<Δq> {Δq}-Δ��� p+1 = 0

Δ��p+1 = ║Δq║

║Δq║ : Norme euclidienne du vecteur incrément de déplacement {Δq}.

Le système [NOMERO EQUATION] peut se mettre sous la forme suivante :

À l’itération i =1 on a la matrice de rigidité tangente : [KT(1) p+1]

On résout :

[Kp+1T(1)]{{Δq(1)

p+1}R+Δλp+1(1). {Δqp+1

(1)}}= {{Rp+1(i)} +Δλ (i)

p+1. {Pext}}

Pour i =1 nous avons : {R(i) p+1}=0 et {Δq(1)

p+1}=0

On résout ainsi :

[Kp+1 T(1)]{Δqp+1

(1)} = {Pext}

L’incrément de déplacement pour i =1 s’écrit :

Δqp+1(1) = Δλp+1

(1){Δqp+1(1)}F

Avec Δλp+1(1)

= ± Δ�̅p+1 /║Δq p+1(1)

║

Le choix de la bonne valeur de Δλ(i) p+1 est déterminé de manière à avoir un angle positif entre le

vecteur déplacement incrémental à l’itération (i-1) et le vecteur déplacement incrémental a

l’itération courante (i).

Dans le cas ou i =1, le déplacement incrémental à l’itération (i-1) est pris en considérant les

déplacements à l’incrément (p-1) et p est calculé tel que : {qp-qp-1}.

Le déplacement incrémental à l’itération courant i =1 est : bΔ�̅ p+1 (1)

. {Δq(1) p+1} F

Ainsi la bonne valeur de Δλ(i) p+1 est choisie telle que :

(qp-qp-1). (Δλ(1) p+1 {Δλ(1) p+1} F)>0

Ainsi la solution à l’itération i =1 est :

{q (i) p+1} = {qp} +Δλp+1

(1). {Δqp+1(i)}F

λ(1) p+1 = {λp} +Δλ(1) p+1

à l’itération i≥2 on actualise la matrice de rigidité tangente [KT(i) p+1]

(cas de Newton- Raphson). On calcule le déséquilibre (résidu) et les forces internes : Q(i)

p-1(q1-1

p+1})

Comme suit:

{Rp+1 (i)}=λp+1

(i). {Pext}-{Qp+1 (i)}

Et on résout le système :

[KT (i) p+1]. {Δq (i)

p+1} R ={R (i) p+1}

[KT (i) p+1]. {Δq (i)

p+1} = {Pext}

L’incrément de déplacement résultat s’écrit :

{q (i) p+1} = {Δqp+1

(i)} +Δλ (1) p+1. {Δq(i)

p+1}F

Ainsi le déplacement total s’écrit :

{q (i) p+1}= {q (i-1)

p+1} + {Δq (i) p+1}

La longueur d’arc s’écrit :

�����p+1=<q(i) p+1 -qp> {q(i)

p+1 -qp}

L’équation de second degré en Δλ(i) p+1 à résoudre à chaque itération vers l’équilibre est donnée,

comme suit :

A. (Δλ (i) p+1)

2+B.Δλ (i) p+1+C=0

Avec:

A=<Δqp+1(i)>F. {Δqp+1

(i)}F

B=2. <Δqp+1(i)>F. {{Δqp+1

(i)} R + {qp+1(i)-qp}}

C=<D>. {D}-���

ET en posant: {D}= {Δqp+1(i)} R+ {qp+1

(i-1)-qp}

La résolution de l’équation conduit à deux racines qui doivent être réelles. Dans le cas

contraire on prend le calcul en réduisant la longueur d’arc. Le choix de la valeur de Δλ(i) p+1 est

fait de la manière qu’au début de l’incrément ainsi Δλ(i) p+1 est choisie de façon que :

<q (p+1)(i-1)-qp>{q(i)

p+1}>0

Avec:

{qp+1(i)}= {qp+1

(i-1)} + ({Δqp+1(i)} R+Δλp+1

(i). {Δqp+1(i)}F)

La solution à l’itération (i) est :

{q (i) p+1}= {q (i-1)

p+1} + ({Δqp+1 (i)} R +Δλp+1

(i). {Δqp+1(i)}F)

λp+1(i) =λ (i-1)

p+1+Δλp+1(i)

Si cette première solution est convergée on passe à l’incrément suivant et dans le cas contraire

le processus itératif est continué sur les itérations suivantes jusqu'à la convergence.

III.3.Critères de convergences :

Un critère de convergence est nécessaire pour vérifier la condition d’équilibre. Ainsi

l’équilibre du solide est jugé satisfaisant quand la norme du résidu d’équilibre (sur un incrément)

est suffisamment petite comparativement à la norme du premier résidu.

le critère de forces s’écrit : (║ Rp1 ║/║ Rp

i║) ≤ εr

Où εr est le seuil de convergence du résidu.

║ Rp1 ║;║ Rp

i║ : sont respectivement le résidu à l’itération (1), et le résidu à l’itération (i).

- le critère de déplacements s’écrit :

(║Δq p (i) ║/║qp

(i)-qp-1║)≤εd

{Δqp(i) } : Déplacement incrémental à l’itération (i).

{qp(i)} : Solution actuelle a vérifié.

{qp-1}: Solution convergée de l’incrément p-1.

εd : est le seuil de convergence du vecteur déplacement.

La valeur de εd = 10-3 conduit généralement a des résultats très satisfaisants.

IV.1.Modélisation

Nous avons utilisé le logiciel ABAQUS pour le calcul numérique, Le béton est modélisé par

des éléments solides à huit nœuds, L’acier est modélisé par des éléments coque à quatre nœuds

La géométrie de l’acier utilisé dans le model est rectangulaire dont la section est formée en

double U soudé partiellement sur le grand coté, La section d’acier et de béton est maillée

d'une manière a avoir une convergence des résultats, le contacte entre acier et béton est supposé

partiel (adhérence partielle, coefficient de frottement acier – béton et pris égale à 0.25 d’après les

études effectuées par Ehab Ellobodya). Concernant les conditions aux limites dans le cas d’un

chargement axial centré, on suppose que dans la face d`application de la charge les déplacements

selon les axes (xx) et (yy) sont nulles et libéré le déplacement selon l’axe (zz) et les rotations

selon les axes (xx), (yy) et (zz) sont nulles. Par contre dans le coté opposé, les rotations et

déplacements selon les trois axes sont nulles.

Dans le cas d’un chargement excentrique on suppose que selon la face d`application de la charge

les déplacements suivant les axes (xx), (yy) sont nulles et libéré le déplacement selon l’axe (zz)

d'une part, d'autre part les rotations (θX = θY ≠0 ,θZ=0). La face inférieure opposé de

l'application de la charge, les déplacements selon les trois axes sont nulles et les rotations (θX =

θY ≠0, θZ=0), La méthode numérique utilisée pour la résolution de problème d’instabilité est

celle d’incrément de longueur d’arc (méthode de RIKS) qui ce trouve dans la librairie de code de

calcul ABAQUS.

Fig IV.1: Exemple de poteau mixte (PBO2)

IV.2.Présentation de logiciel ABAQUS :

ABAQUS est un code de calcul par la méthode des éléments finis créé en 1978. Il est avant

tout un logiciel de simulation de problèmes très variés en mécanique. Simuler la réponse

physique des structures soumises à des chargements, des températures, des impacts ou autres

conditions extérieures, Il est connu et répandu, en particulier pour ses traitements performants de

problèmes non-linéaires.

Abaqus n’est qu’un solveur (standard ; explicit…etc) qui effectue la résolution d’un

problème d’écrit par un fichier « entrée » (ou fichier de données) et dont il écrit la solution vers

un fichier « de sortie » (ou fichier de résultats).

a. Modules principaux :

ABAQUS/Standard

Code Général d’analyse par Ef.

Résolution de problème :

-Linaire et non linaire.

-Géométries 1D, 2D, 3D.

-Nombreuses procédures d’analyses dans le domaine temporel ou fréquentiel.

ABAQUS/Explicit

Analyse non linaire, transitoire et dynamique se structure.

Méthode explicite d’intégration du temps.

b. Compléments de modules :

ABAQUS/CAE : (complète Abaqus environnement)

Environnement complet pour : La création des modèles, le lancement d’une analyse et

traitement des résultats.

ABAQUS/POST : post-traitement

Affichage déformée, iso-contours graphiques.

ABAQUS/VIEWER :

Environnement interactif du poste-traitement ABAQUS.

ABAQUS/DESIGN :

Paramétrage des modèles ABAQUS et analyses de sensibilité.

ABAQUS/SAFE : durée de la vie d’une structure.

c. Organisation de l’interface Abaqus CAE :

Fig IV.2: Organisation d’abaqus

Les modules

La réalisation complète d’un jeu de données s’effectue après un passage successif dans les

modules.

Fig IV.3 : Réalisation de la mise en données d’un problème.

d. Les éléments dans ABAQUS

Un très large choix d’éléments.

Chaque élément est caractérisé par : famille, nombre de nœuds, intégration.

Possibilités de programmer de nouveaux éléments (en FORTRAN, sur

ABAQUS/Standard).

Fig IV.4 : Quelque élément dans Abaqus.

e. Types d’analyses non linéaires :

Matériel,

géométrique

Contact.

Dans la non linéarité matérielle on trouve quatre théories disponibles : Hyper - élasticité,

Plasticité, Visco -plasticité, Endommagement.

Concernant la non linéarité géométrique elle comporte : Grandes déformations, Grands

déplacements, Grandes rotations, Instabilités.

Non-linéarités de contact : Grands déplacements ; Contact 2D et 3 ; Rigide/Rigide,

Rigide/Déformable, Déformé/Déformé ; Lois de frottement diverses et complexes.

f. Domaines physiques :

Mécanique.

Thermique.

Électrique.

Problèmes couplés.

Statique et dynamique.

Linéaires et non linéaires.

IV.3.Résultats

IV.3.1. Travaux expérimentales exploites pour la validation numérique:

Nous avons exploités les résultats expérimentaux des essais effectués sur poteaux

rectangulaires en acier laminé à froid, formés en double U et soudés sur le grand coté, vides et

remplis du béton ordinaire testé sous chargement axial et excentrique réalisés par Noureddine

Ferhoune, Meriem Senani et Abdelhamid Guettala [8] (V1, V2, V3, V4, P1, P2, P3, P4), Les

différentes caractéristiques des matériaux utilisés dans la fabrication de ces poteaux sont

présentées dans le tableau ci dessous :

Nom de Poteau h×B×t (mm) H (mm) e (mm) fy (MPa) σb28 (Mpa)

PV1 101.3×69.8×2.3 300 0 275 /

PV2 100.1×69.7×2.2 500 0 275 /

PV3 99.8×70.1×2.3 300 20 275 /

PV4 100.1×69.4×2.2 500 20 275 /

PBO1 101.2×70.1×2.3 300 0 275 20

PBO2 99.9×68.75 ×2.2 300 20 275 20

PBO3 99.5×69.1×2.2 500 0 275 20

PBO4 99.55×68.75×22 500 20 275 20

Tab IV.1: caractéristiques géométriques et matériels

IV.3.2.calcul de la capacité portante des poteaux vide selon EC3 :

Exemple de poteaux V1 (101.3×69.8×2.3) :

χ=�

��(������)�,�≤1

Avec :

Φ=0, 5(1+α (�� -0, 2) +�̅� )

�� =�

�� �βA

� =0.7lo/i=0.7×300/38.47=5.458

�1=93.9ε=93.9(235/275)0.5=86.8

��=0.063

Φ=0.468 → χ =1.07 on pre χ =1

N ≤ χ .βA.A. fY / γM1=1.1.275.765,9/1.1=191.47 KN

IV.3.3. calcul de la capacité portante des poteaux mixte selon EC4:

Exemple de poteaux PBO1 (101.2×70.1×2.3) :

Npl.Rd=Aa.fy+Ac.fck=762.22×275+6261.8×20=33485 N=334.85KN

Nom de Poteau Charge axiale donnée par EC4

(KN)

Charge axiale donnée par EC3

(KN)

PV1 / 191.47

PV2 / 181.94

PV3 / 190.09

PV4 / 181.61

PBO1 334.85 /

PBO2 321.65 /

PBO3 321.74 /

PBO4 320.78 /

Tab IV.2: la capacité portante des poteaux vide et mixte

Exemple de calcul du poteau mixte sous N+M (PBO2):

1- Calcul des modules de résistance plastique :

Axe fort yy (mm3) Axe faible zz (mm3)

Acier Wpa =24603.9 Wpa=18975.88

Béton Wpc=146722.02 Wpc=98864.52

Béton : Wpc =��.���

�

Acier:

Wpa =�.��

� -

�

� (r+t)3 -(r+t)2(4-�)(0.5h-t-r)-Wpc

2-calcul des coordonnées des points de la courbe d’interaction selon l’axe fort (yy):

Point A:

NA=NPL.RD= 32,165×104 N

MA=0

Point D:

ND=0.5×NPM.RD=0.5.Ac×Fcd= 4, 1×104 N

MD= Mmax.RD = WPA×Fyd = 6, 2×106 N.mm

Point B:

NB=0

MB=Mmax.Rd –Mn.Rd =1,817×106 N.mm

Mn.Rd =Wpan×Fyd+0.5Wpcn×Fcd

Wpan, Wpcn sont les modules de résistance plastique respectivement du Poteau en acier

et du béton correspondant a la position de l’axe neutre (hn).

Point C:

NC=2ND=8,2×104 N

MC= MB=1,817×106 N.mm

3-calcul des coordonnées des points de la courbe d’interaction selon l’axe faible (zz) :

Point A:

NA=NPL.RD= 32,165×104 N

MA=0

Point D:

ND=0.5×NPM.RD=0.5.Ac×Fcd= 4, 1×104 N

MD= Mmax.RD = WPA×Fyd = 4, 7×106 N.mm

Point B:

NB=0

MB=Mmax.Rd –Mn.Rd = 2.92×106 N.mm

Mn.Rd =Wpan×Fyd+0.5Wpcn×Fcd

Point C:

NC=2ND=8.2×104 N

MC= MB=2.92×106 N.mm

Fig. IV.5: Courbe d’interaction N-M de poteau mixte 2 (L’axe fort).

Fig. IV.6: Courbe d’interaction N-M de poteau mixte 4 (L’axe fort).

0

50

100

150

200

250

300

350

0 2000000 4000000 6000000 8000000

A

C

D

B

N(N/Nprd) KN

(M/Mprd) N.mm

0

50

100

150

200

250

300

350

0 2000000 4000000 6000000 8000000

A

C

D

B

N(N/Nprd)KN

(M/Mprd)N.mm

Fig. IV.7: Courbe d’interaction N-M de poteau mixte 2 (L’axe faible).

Fig. IV.8: Courbe d’interaction N-M de poteau mixte 4 (L’axe faible).

0

50

100

150

200

250

300

350

0 2000000 4000000 6000000

A

C

D

B

N(N/Nprd)KN

(M/Mprd)N.mm

0

50

100

150

200

250

300

350

0 2000000 4000000 6000000

A

C

D

B

N(N/Nprd)KN

(M/Mprd)N.mm

IV.3.4.Comparaison des résultats :

Nom

de

Poteau

Charge

axiale

expérimentale

(KN) Pexp

Charge axiale

Eléments finis

(KN) PEF

Charge

axiale

donnée par

EC4

(KN) PEC4

Charge

axiale

donnée par

EC3

(KN) PEC3

PEF/

Pexp

PEC4/

Pexp

PEC3/

Pexp

PV1 146 143.5 / 191.47 0.98 / 1.31

PV2 138 136.5 / 181.94 0.99 / 1.31

PV3 132 129 / 190.09 0.97 / 1.44

PV4 124 120 / 181.61 0.97 / 1.46

PBO1 341 337.8 334.85 / 0.99 0.98 /

PBO2 320 319.8 321.65 / 0.99 1.01 /

PBO3 330 330.5 321.74 / 1.001 0.97 /

PBO4 315 304.85 320.78 / 0.97 1.01 /

Tab IV.4: Capacité portante donnée expérimentalement, par éléments finis et par EC4 et EC3

D’après les résultats présentés sur le tableau précèdent, on remarque bien que la capacité

portante calculée numériquement des poteaux vides (PV1, PV2, PV3, PV4) avec prise en compte

d’effet des contraintes résiduelles et de la soudure partielle donne une bonne concordance par

rapport à celle donnée expérimentalement. On remarque bien que le comportement enregistré

soit numériquement ou expérimentalement de ces poteaux est fragile à cause de la rupture

brutale, L’erreur de sous estimation de la charge axial maximal de compression varie de1 % à

3%.Par contre la capacité portante prédite par le règlement EC3 est largement supérieure à celle

donnée expérimentalement (sur estimation varie de 31% à 46%), ce qui veut dire que l’EC3 n’est

pas conservative. La sur estimation de la charge prédite par l’EC3 est principalement due a la

non prise en compte des contraintes résiduelles provoquées par le laminage a froid des profiles et

la soudure a l’arc électrique.

Fig. IV.9: Mode d’instabilité et répartition des contraintes poteau V1 sous chargement axial

Fig. IV.10: Mode d’instabilité et répartition des contraintes poteau V2 sous chargement

axial

Le mode d’instabilité remarqué dans ce cas est le flambement local convexe sur le grand coté

et concave sur le petit coté avec un déplacement maximal 2.46 cm situé à 1/5 pour PV1 et

1.05cm pour PV2 de bout supérieur

capacité portante calculée numériquement augmente avec la diminution de l’éla

Fig. IV.11: Courbe contrainte-

Poteau vide 1 Poteau vide 2

Fig. IV.13: Mode d’instabilité et répartition des contraintes poteau vide

Le mode de flambement observé

excentrique est le flambement local

0

50

100

150

200

250

300

350

0,00E+00 5,00E+03

Co

ntr

ain

teM

Pa

1.05cm pour PV2 de bout supérieur. Le mode de rupture remarqué est la rupture brutale .La

capacité portante calculée numériquement augmente avec la diminution de l’éla

-déformation Fig. IV.12: Courbe contrainte déformation

Poteau vide 1 Poteau vide 2

d’instabilité et répartition des contraintes poteau vide PV3 sous chargement

excentré

Le mode de flambement observé dans le cas de poteau vide trois sous chargement

local convexe sur le grand coté et concave sur le pet

1,00E+040,00E+00 5,00E+03 1,00E+04 1,50E+04

con

tra

inte

MP

a

. Le mode de rupture remarqué est la rupture brutale .La

capacité portante calculée numériquement augmente avec la diminution de l’élancement.

: Courbe contrainte déformation

sous chargement

sous chargement

convexe sur le grand coté et concave sur le petit coté avec

1,50E+04

deformation

un déplacement maximal 1.18 cm situé à 1/4 de bout supérieur. Le mode de rupture remarqué

est la rupture brutale au moment de formation de flambement.

Fig. IV.14: Mode d’instabilité et répartition des contraintes poteau vide PV4 sous chargement

excentré.

Le mode de flambement observé est le flambement général avec un déplacement maximal

1.62cm situé à 1/3 de bout supérieur (partie dont le déplacement selon l’axe d’application de la

charge est libéré), et un flambement local convexe sur le grand coté et concave sur le petit coté.

Fig. IV.15: Courbe contrainte-déformation Fig. IV.16: Courbe contrainte-déformation

Poteau vide 3 Poteau vide 4

Concernant les poteaux remplis du béton de la série de poteaux (PBO1, PBO2, PBO3 et

PBO4), La capacité portante déterminée numériquement et par le règlement EC4 avec prise en

compte d’effet des contraintes résiduelles et de la soudure partielle indique une bonne

concordance par rapport à celle donnée expérimentalement, l’erreur de sous estimation et varie

de 1% à 3% et le même pour la charge prédite par le EC4. On remarque bien que le

comportement enregistré soit numériquement ou expérimentalement de ces poteaux c’est

comportement ductile jusqu’a la formation de flambement dont ils doivent fragile, cela est due

aux contraintes résiduelles importantes qui le comporte l’acier laminé à froid est soudé ce qui

diminue considérablement la rigidité de celui-ci et influe directement sur le comportement.

Le mode d’instabilité remarqué dans ce cas est l’instabilité locale dont nous avons une formation

de flambement local convexe avec ouverture de l’acier au niveau du grand coté et un

déplacement maximal 2.59 cm pour PB01 situé à 1/4 de bout supérieur et 2.22cm pour PB02

situé à 1/4 de bout inférieur . Comme il est indiqué sur les figures (Fig. IV.17, Fig. IV.18)

0

50

100

150

200

250

300

0 500 1000 1500deformation us

con

tra

inte

MP

a

0

50

100

150

200

250

300

0 500 1000 1500 2000

deformation usdeformation usdeformation usdeformation us

con

tra

inte

MP

a

Fig. IV.17: Mode d’instabilité et répartition des contraintes poteau PBO1 sous chargement axial.

Fig. IV.18: Mode d’instabilité et répartition des contraintes poteau PBO2 sous chargement

excentré.

Fig. IV.19: Courbe contrainte-déformation Fig. IV.20: Courbe contrainte déformation

Poteau BO1 Poteau BO2

Pour les deux poteaux rempli de béton (PBO3, PBO4) le mode de flambement observé est le

flambement général et un flambement local à convexe sur les deux cotés avec un déplacement

maximal 2.33cm pour PB03 et 2.16cm pour PB04 situé à 1/4 de bout inférieur. La répartition de

contrainte et le mode de flambement sont présentés sur les figures FigIV.21 et FigIV.22).

0

50

100

150

200

250

300

350

0 500 1000 1500

deforation us

con

tra

inte

MP

a

0

50

100

150

200

250

300

350

0 500 1000 1500deformation us

con

tra

inte

MP

a

Fig. IV.21: Mode d’instabilité et répartition des contraintes poteau PBO3sous chargement axial

Fig. IV22: Mode d’instabilité et répartition des contraintes poteau PBO4sous chargement

excentré.

PBO3

PBO4

Fig. IV23: Courbe contrainte-déformation Fig. IV24: Courbe contrainte-déformation

Poteau BO3 Poteau BO4

Fig IV.34:Courbe contrainte-déformation des tubes vides et pleins sous chargement axial

0

50

100

150

200

250

300

350

0 500 1000 1500 2000

deformation us

con

tra

inte

MP

a

0

50

100

150

200

250

0 500 1000 1500

deformation us

con

tra

inte

MP

a

0

50

100

150

200

250

300

350

0 500 1000 1500 2000

PBO1

PB03

PV1

PV2

con

tra

inte

MP

a

deforamtion us

Fig IV.35:Courbe contrainte-déformation des tubes vides et pleins sous chargement excentré

Le remplissage des poteaux rectangulaires formés d’acier laminé à froid et soudé par du

béton dont les granulats naturels sont remplacés par des granulats de laitier cristallisé améliore

considérablement la capacité portante des poteaux en acier vide. Le taux d’accroissement de la

capacité portante varie d’un poteau à l’autre selon sa hauteur et l'excentricité de charge. Cette

amélioration de résistance permet de retarder le phénomène d’instabilité et avoir un gain de

résistance important. Les Figures ci dessus illustre que la rigidité initiale est fortement influencé

par l’augmentation de taux d’excentrement de charge et de même l’énergie de déformation.

(Voir Figures Fig IV.34 et Fig IV.35 ).

0

50

100

150

200

250

300

350

0 500 1000 1500 2000

PBO2

PV4

PBO4

PV3

con

tra

inte

MP

a

deformation us

Calcul Coefficient de corrélation

Coefficient de corrélation (Essais – Eléments finis)

X (Essais) 341 320 330 315

Y (EF) 337.8 319.8 330.5 304.85

Calcul de la moyenne marginale : ����������������=�

�∑ ������

Avec n est le nombre d’essais et p nombre d’effective. En remplaçant on trouve

���������������� =326.5

�������=�

�∑ ������ , En remplaçant on trouve ������� =323.24

Calcul de la variance marginale : ���������=�

�∑ (������ − ��)�En remplaçant on trouve

���������489.75

�����=�

�∑ (������ − ��)�En remplaçant on trouve ����=484.86

Calcul de la covariance : COV (ESSAIA, EF)=�

�∑ (������ − ��)(�� − ��), En remplaçant

on trouve ���(������,��)=237457.74

Calcul de coefficient de corrélation : ρ= ���(������,��)

����=0.9999989687

Donc le coefficient de corrélation entre essais – éléments finis tend vers 1 ce qui nous permet de

dire que les deux valeurs de capacité portante données expérimentalement et par la méthode des

éléments finis ont une dépendance linéaire de la forme Y=a X + b.

Coefficient de corrélation (Essais – Eurocode4)

X (Essais) 341 320 330 315

Y (EC4) 334.85 321.65 321.74 320.78

Calcul de la moyenne marginale : ����������������=�

�∑ ������

Avec n est le nombre d’essais et p nombre d’effective. En remplaçant on trouve

���������������� =326.5

����������=�

�∑ ������ , En remplaçant on trouve ���������� = 324.755

.

Calcul de la variance marginale : ���������=�

�∑ (������ − ��)�, En remplaçant on trouve

���������489.75

������=�

�∑ (������ − ��)�, En remplaçant on trouve �����=487.133

Calcul de la covariance : COV (ESSAIA, EC4)=�

�∑ (������ − ��)(�� − ��), En

remplaçant on trouve ���(������,��)=238573.142

Calcul de coefficient de corrélation : ρ= ���(������,���)

����=0.999998973

Donc le coefficient de corrélation entre essais – eurocode4 tend vers +1 ce qui nous permet de

dire que les deux valeurs de capacité portante données expérimentalement et par la méthode des

éléments finis ont une dépendance linéaire de la forme Y=a X + b.

Coefficient de corrélation (Eurocode4 – Eléments finis)

X (EC4) 334.85 321.65 321.74 320.78

Y (EF) 337.8 319.8 330.5 304.85

Calcul de la moyenne marginale : ����������=�

�∑ ������

Avec n est le nombre d’essais et p nombre d’effective. En remplaçant on trouve

���������� = 324.755

�������=�

�∑ ������ , En remplaçant on trouve ������� =323.24

Calcul de la variance marginale : ������=�

�∑ (������ − ��)�En remplaçant on trouve

������487.133

�����=�

�∑ (������ − ��)�, En remplaçant on trouve ����=484.86

Calcul de la covariance : COV (EC4, EF)=�

�∑ (������ − ��)(�� − ��), En remplaçant on

trouve ���(���,��)=236188.62

Calcul de coefficient de corrélation : ρ= ���(���,��)

����=0.999988661

Donc le coefficient de corrélation entre EC4 – EF tend vers +1 ce qui nous permet de dire que les

deux valeurs de capacité portante données expérimentalement et par la méthode des éléments

finis ont une dépendance linéaire de la forme Y=a X + b.

IV.4.DISCUSSION

L’erreur de la capacité portante calculée par éléments finis et celle déterminée par la

prédiction de règlement euro code 3 et euro code 4 des déférentes poteaux en fonction de

l’élancement, on peut dire que dans l’ensemble la charge axiale maximale de compression

calculée par la méthode des éléments finis et EC4, donne des bonne concordance avec celle

donnée expérimentalement, contrairement au règlement EC3.

Poteau vide :

Fig. IV.25: Erreur Eléments Finis

de l’élancement

Poteau mixte :

Fig. IV27: Erreur Eléments Finis en fonction

de l’élancement de l’élancement

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 200 400

PE

F/P

EX

P

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 200 400

PE

C4

/PE

XP

elancement (mm)

: Erreur Eléments Finis en fonction Fig. IV.26:Erreur EC3 en fonction

de l’élancement

: Erreur Eléments Finis en fonction Fig. IV28: Erreur EC4 en fonction

l’élancement de l’élancement

400 6000

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

0 200 400

PE

C3

/PE

XP

400 600

elancement (mm)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 200 400

PE

F/P

EX

P

elancement

en fonction

de l’élancement

400 600

600

elancement (mm)

D’après les coefficients de corrélation calculés précédemment entre les différents résultats

(Essais, Eléments finis et Eurocode4), le diagramme de dispersion des points entre la charge

axiale maximale de compression calculée par la méthode des éléments finis et celle déterminée

par la prédiction de règlement euro code 4, ainsi que celui entre Essais – Eurocode4 et Essais –

Eléments finis peuvent être ajustées par une courbe linéaire de la forme Y = a x+b, représentées

sur les figures (fig.IV.29, fig.IV.30, fig.IV.31)

Fig. IV.29: Relation P éléments finis – P Essais Fig. IV.30:Relation P euro code 4– P Essais

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 100 200 300 400

P E

F(K

N)

P essais (KN)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 100 200 300 400

PE

C(K

N)

P essais (KN)

Fig. IV.31

Les deux figures suivantes (IV.32) et (IV.33) montrent le gain de charge expérimentale

éléments finis des poteaux rectangulaires plein par rapport à ceux vide

l’élancement. Le tau de gain est de 233% à 254% ce qui confirme que le remplissage des tubes

vides est assez bénéfique de point de vue capacité portante.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

P E

F(K

N)

0

0,3

0,6

0,9

1,2

1,5

1,8

2,1

2,4

2,7

3

P p

lein

/P v

ide

Fig. IV.31: Relation P éléments finis – P euro code 4

Les deux figures suivantes (IV.32) et (IV.33) montrent le gain de charge expérimentale

des poteaux rectangulaires plein par rapport à ceux vide

est de 233% à 254% ce qui confirme que le remplissage des tubes

vides est assez bénéfique de point de vue capacité portante.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 100 200 300 400

P ec (KN)

300 500elancement (mm)

Les deux figures suivantes (IV.32) et (IV.33) montrent le gain de charge expérimentale et

en fonction de

est de 233% à 254% ce qui confirme que le remplissage des tubes

Fig IV.32 : Le gain de charge

Fig IV.33 : Le gain de charge

CONCLUSION GENERALE

Dans notre travaille nous avons essayé de développer un modèle qui concerne l’analyse non

linéaire géométrique et matérielle des poteaux en acier

réalisée en utilisant le logiciel ABAQUS (version 6.5). La comparaison des différent résultats

obtenue par la méthode des éléments finis avec ceux donner expérimentalement et par la

prédiction de règlement euro code 4 ont montrés la bonne concordance des résultats

dernier ce qui nous a permis de conclure :

- La résistance des poteaux en acier ou

élancement.

- Les résultats de la modélisation numérique montre

poteaux courts (λ≤0.2) est le flambement local par contre le mode d’instabilité des poteaux

élancés est le flambement générale.

-Les relations entre la charge axiale maximale de compression des poteaux mixtes prédi

règlement eurocode4 est celle calculé par la méthode des éléments finis, entre Essais

Eurocode4 et Essais – Eléments finis s

00,20,40,60,8

11,21,41,61,8

22,22,42,6

Pp

lein

/ P

vid

e

Le gain de charge expérimentale des Poteaux plein aux poteaux vide

Le gain de charge éléments finis des Poteaux plein aux poteaux vide

CONCLUSION GENERALE

Dans notre travaille nous avons essayé de développer un modèle qui concerne l’analyse non

térielle des poteaux en acier remplis du béton .La modélisation

en utilisant le logiciel ABAQUS (version 6.5). La comparaison des différent résultats

obtenue par la méthode des éléments finis avec ceux donner expérimentalement et par la

prédiction de règlement euro code 4 ont montrés la bonne concordance des résultats

dernier ce qui nous a permis de conclure :

en acier ou mixtes en compression axiale est proportionnelle a leur

e la modélisation numérique montre clairement que le mode d’instabilité des

≤0.2) est le flambement local par contre le mode d’instabilité des poteaux

rale.

Les relations entre la charge axiale maximale de compression des poteaux mixtes prédi

règlement eurocode4 est celle calculé par la méthode des éléments finis, entre Essais

Eléments finis sont linéaire de la forme y=ax+b.

300 500elancement (mm)

des Poteaux plein aux poteaux vide

des Poteaux plein aux poteaux vide

Dans notre travaille nous avons essayé de développer un modèle qui concerne l’analyse non

remplis du béton .La modélisation est

en utilisant le logiciel ABAQUS (version 6.5). La comparaison des différent résultats

obtenue par la méthode des éléments finis avec ceux donner expérimentalement et par la

prédiction de règlement euro code 4 ont montrés la bonne concordance des résultats entre ces

est proportionnelle a leur

clairement que le mode d’instabilité des

≤0.2) est le flambement local par contre le mode d’instabilité des poteaux

Les relations entre la charge axiale maximale de compression des poteaux mixtes prédite par le

règlement eurocode4 est celle calculé par la méthode des éléments finis, entre Essais –

- Le modèle choisis pour l’analyse non linéaire des poteaux mixte a montré sa performance au

point de vue capacité portante et mode de flambement.

- La résistance des poteaux mixtes à la compression axiale est fortement influencée par

caractéristiques géométrique et matérielle des matériaux constituants.

- La capacité portante des poteaux mixte prédite par le règlement euro code 4 est conservative.

-Le logiciel ABAQUS a montré sa grande performance et sa rapidité dans le calcul non linéaire.

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