Anémométrie fil chaud à température variable : …theses.univ-poitiers.fr/4642/2008-Ndoye-Elhadji-Malick-These.pdf · 7.1 Conclusions ... 2.14 Eﬀet de la masse volumique sur

Année 2008THÈSE

Pour l’obtention du grade de

DOCTEUR DE L’UNIVERSITE DE POITIERSEcole Nationale Supérieure de Mécanique et d’Aérotechnique

Faculté des Sciences Fondamentales et Appliquées

Diplôme National - Arrêté du 7 août 2006

ÉCOLE DOCTORALE SCIENCES POUR L’INGENIEUR

DOMAINE DE RECHERCHE : MECANIQUE DES FLUIDES ET THERMIQUE

Présentée par

Malick NDOYE

Anémométrie fil chaud à température variable:application à l’étude d’une couche de mélange

anisotherme

Directeur de thèse : Eva DorignacCo-direction : Joël Delville

Soutenue le 14 Novembre 2008 devant la Commission d’Examen

JURYJ. LEMAY Professeur Université Laval, Québec Rapporteur

M. STANISLAS Professeur Ecole Centrale de Lille RapporteurG. ARROYO Ingénieur de l’Agr. et de l’Env. CEMAGREF, Rennes Examinateur

J.P. BONNET Directeur de Recherches CNRS LEA, Poitiers PrésidentJ. DELVILLE Ingénieur de recherches CNRS LEA, Poitiers Examinateur

E. DORIGNAC Maître de conférences LET Université de Poitiers ExaminateurH.C. BOISSON Directeur de recherches CNRS IMF, Toulouse Invité

Remerciements

La présente étude a été effectuée au Laboratoire d’Etudes Aérodynamiques (L.E.A.)- Centre d’Etudes Aérodynamiques et Thermiques (C.E.A.T) de Poitiers, et au Cema-gref de Rennes dans l’unité Maîtrise des Ecoulements et des Transferts dans les procédésFrigorifiques (METFRI), sous la direction conjointe de Mme Eva Dorignac, Maître deConférences à l’Université de Poitiers, et de M. Joël Delville, Ingénieur de Recherches auCNRS.

Je tiens à exprimer toute ma gratitude à Eva Dorignac et Joël Delville qui m’ont faitdécouvrir et explorer un sujet de recherche passionnant. Je tiens à les remercier pourleur remarquable direction de cette thèse, tant du côté scientifique que du côté humain.Leur formidable sens physique, leur dynamisme communicatif, leur enthousiasme et leurdispopnibilité m’ont permis de mener à bien ce travail.

Je suis particulièrement reconnaissant envers Georges Arroyo pour tout le temps qu’ilm’a accordé, pour m’avoir guidé, conseillé et fait confiance tout au long de cette thèse.Son implication en tant que responsable de cette thèse au sein du Cemagref a été déter-minante pour le bon déroulement de cette étude.

J’exprime ma profonde reconnaissance à Jean Paul Bonnet qui m’a fait l’honneur deprésider le jury.

Je remercie particulièrement Jean Lemay et Michel Stanislas pour avoir accepté d’êtrerapporteurs de ce travail et d’avoir consacré une partie de leur temps pour le juger. Leursremarques et questions m’ont aidé à réfléchir davantage sur les perspectives de ce travail.

Mes remerciements s’adressent aussi à Henri Claude Boisson pour avoir répondu po-sitivement à mon invitation à la soutenance de cette thèse.

i

ii

Je remercie vivement Carine Fourment, Jean Marc Mougenot, Michel Loubat, PhilippeGeorgeault et Philippe Loisel pour leur disponibilité et leur génie technique dont ils m’ontfait profiter durant cette thèse.

J’associe également à mes remerciements Johan Carlier, Dominique Heitz, ainsi queErwan Collin pour leur disponibilité et leurs judicieux conseils.

Que mes collègues thésards, stagiaires et autres, ainsi que l’ensemble des personnelsdu CEAT et de l’équipe METFRI trouvent ici l’expression des mes chaleureux remercie-ments. Merci donc à Samuel, Estelle, François, Laurent, Stève, Antoine, Badr, Yvonne,Marie-christine, Brigitte, Armel, et tous les autres.

Cette étude n’aurait pu être possible sans le soutien financier du Cemagref, de la Ré-gion Bretagne (subvention n°A3C905), de la fédération de laboratoires PPRIME de l’uni-versité de Poitiers, du ministère de la recherche (subvention n°032670 projet NMAC2003-24 FOEHN) et de l’Université de Poitiers. Que les responsables de ces organismes trouventici l’expression de notre reconnaissance pour l’intérêt et la confiance qu’ils ont accordés ànotre travail.

Enfin sautons une ligne pour les remerciements qui suivent

adressés à mes parents et tout ceux qui me supportent.

Table des matières

Table des figures ix

Liste des tableaux xxi

Notations xxiii

1 Introduction Générale 11.1 Contexte de l’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Objectif de l’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Organisation du document . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Revue bibliographique 92.1 Transport de scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Couches de mélange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.2 Similitude et grandeurs caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Données expérimentales et numériques sur la couche de mélange . . . . . . 192.3.1 Instabilités et structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.2 Scalaire passif dans une couche de mélange . . . . . . . . . . . . . . 212.3.3 Couche de mélange à masse volumique variable . . . . . . . . . . . 27

2.4 Le jet anisotherme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.5 Mesure vitesse température par thermo-anémométrie . . . . . . . . . . . . 36

2.5.1 Thermo-anémométrie à fil chaud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.5.2 Sonde multi-fils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5.3 La méthode de la surchauffe multiple à un fil . . . . . . . . . . . . . 392.5.4 Autres techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.5.5 Etalonnage du fil chaud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

iii

iv Table des matières

2.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3 Configurations expérimentales et moyens de mesures 533.1 Soufflerie d’étalonnage à basses vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.2 Soufflerie de mesures basses vitesses HABV . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2.1 Génération des écoulements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.2.2 Système de coordonnées et déplacement des sondes . . . . . . . . . 593.2.3 Mises au point aérauliques et thermiques . . . . . . . . . . . . . . . 603.2.4 Qualification de la soufflerie à basses vitesses . . . . . . . . . . . . . 61

3.2.4.1 Gradient longitudinal de vitesse et de température . . . . 613.2.4.2 Taux de turbulence de la soufflerie et couches limites . . . 633.2.4.3 Profils de vitesse et de température à l’entrée . . . . . . . 63

3.3 Mesures par anémométrie à fil chaud et thermométrie à fil froid . . . . . . 663.3.1 Sondes de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.3.2 Réponse en fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.3.3 Acquisition des mesures par fils chauds . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.4 Visualisation par tomographie laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4 PCTA : anémométrie à température de fil variable 714.1 Principe et conception du PCTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.2 Approches algorithmiques pour le traitement des signaux . . . . . . . . . . 74

4.2.1 Lois de réponse du fil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.2.2 Séparation des surchauffes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.2.3 Algorithmes de régressions non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . 784.2.4 Vérification de la technique de traitement du signal . . . . . . . . . 91

4.3 Etalonnage instationnaire vitesse-température . . . . . . . . . . . . . . . . 944.3.1 Principe de l’étalonnage instationnaire vitesse-température . . . . . 944.3.2 Procédure expérimentale d’étalonnage . . . . . . . . . . . . . . . . 954.3.3 Etalonnage du fil chaud classique (à une surchauffe) et du fil froid . 97

4.4 Choix du motif de surchauffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.4.1 Influence de la surchauffe sur la sensibilité . . . . . . . . . . . . . . 994.4.2 Comportement dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.5 Utilisation du PCTA à très basse vitesse (∼ 1 m/s) . . . . . . . . . . . . . 1054.6 Calcul d’incertitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Table des matières v

4.6.1 Méthode du calcul de l’incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.6.2 Principe de propagation des distributions par simulations de Monte-

Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.6.3 Incertitudes sur les coefficients d’étalonnage du PCTA . . . . . . . 1104.6.4 Incertitude sur la mesure simultanée de vitesse et température . . . 112

4.7 Validation du PCTA dans une couche de mélange anisotherme . . . . . . . 1164.7.1 Configuration expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.7.2 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5 Etude de la couche de mélange isotherme 1335.1 Conditions génératrices amont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.2 Développement du champ de vitesse moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.2.1 Profils de vitesse moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.2.2 La zone de sillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.2.3 Epaisseurs caractéristiques et similitude . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.3 Développement de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.3.1 Profils des fluctuations turbulentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.3.2 Dissymétrie et aplatissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.3.3 Analyse spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

6 Couche de mélange anisotherme 1556.1 Configurations étudiées et conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . 1566.2 Visualisations par tomographie laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

6.2.1 Traitement d’images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1586.2.2 Analyse visuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.2.3 Analyse qualitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1606.2.4 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

6.3 Développement de l’écoulement moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1666.3.1 Analyse globale des profils de vitesse et température . . . . . . . . 1666.3.2 Similitude et épaisseurs de la zone de mélange . . . . . . . . . . . . 1676.3.3 Lignes d’expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1776.3.4 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

6.4 Développement de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

vi Table des matières

6.4.1 Moments d’ordre 2 et similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816.4.2 Dissymétrie et aplatissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1886.4.3 PDFs de la température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

6.5 Couplage vitesse-température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1916.5.1 Coefficient de corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1916.5.2 Probabilités conditionnelles de vitesse-température . . . . . . . . . 1956.5.3 Analyse en quadrants du couplage vitesse-température . . . . . . . 199

6.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

7 Conclusion et perspectives 2077.1 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2077.2 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

Références bibliographiques 213

A Articles de congrès 223

B Algorithme de Levenberg-Marquardt 245B.1 Minimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245B.2 Calcul du gradient et du Hessien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246B.3 Méthode de Levenberg-Marquardt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247B.4 Incertitude sur les paramètres ajustés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

C Calcul d’incertitudes par simulations de Monte Carlo 251C.1 Incertitude sur la mesure de la température de référence . . . . . . . . . . 251C.2 Incertitude sur la tension anémométrique PCTA . . . . . . . . . . . . . . . 256

D Catalogue des mesures en configuration isotherme 259D.1 Evolution longitudinale de la vitesse moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . 260D.2 Similitude de la vitesse moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261D.3 Evolution longitudinale des fluctuations de vitesse . . . . . . . . . . . . . . 262D.4 Similitude des fluctuations de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263D.5 Coefficient de dissymétrie de la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264D.6 coefficient d’aplatissement de la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

E Catalogue des mesures en configuration anisotherme 267E.1 Evolution longitudinale de la vitesse moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . 269

Table des matières vii

E.2 Evolution longitudinale de la température moyenne . . . . . . . . . . . . . 270E.3 Evolution longitudinale des fluctuations de vitesse . . . . . . . . . . . . . . 271E.4 Evolution longitudinale des fluctuations de température . . . . . . . . . . . 272E.5 Similitude de la vitesse moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273E.6 Similitude de la température moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274E.7 Similitude des fluctuations de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275E.8 Similitude des fluctuations de température . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276E.9 Coefficient de dissymétrie de la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277E.10 Coefficient de dissymétrie de la température . . . . . . . . . . . . . . . . . 278E.11 coefficient d’aplatissement de la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279E.12 coefficient d’aplatissement de la température . . . . . . . . . . . . . . . . . 280E.13 Evolution longitudinale de la vitesse moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . 281E.14 Evolution longitudinale de la température moyenne . . . . . . . . . . . . . 282E.15 Evolution longitudinale des fluctuations de vitesse . . . . . . . . . . . . . . 283E.16 Evolution longitudinale des fluctuations de température . . . . . . . . . . . 284E.17 Similitude de la vitesse moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285E.18 Similitude de la température moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286E.19 Similitude des fluctuations de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287E.20 Similitude des fluctuations de température . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288E.21 Coefficient de dissymétrie de la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289E.22 Coefficient de dissymétrie de la température . . . . . . . . . . . . . . . . . 290E.23 Coefficient d’aplatissement de la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291E.24 Coefficient d’aplatissement de la température . . . . . . . . . . . . . . . . . 292E.25 Lignes d’expansion des vitesse et température moyenne . . . . . . . . . . . 293E.26 Iso-contours des valeurs rms de vitesse et de température . . . . . . . . . . 314E.27 Flux de chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331E.28 PDFs conditionnelles vitesse-température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

viii Table des matières

Table des figures

1.1 Illustration de dispositifs de protection localisée utilisés par exemple dansl’industrie agroalimentaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1 Couche de mélange temporelle avec discontinuité de masse volumique àl’interface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Schéma de principe des quatre types de couches de mélange. . . . . . . . . 132.3 Schéma de la couche de mélange anisotherme. . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 Principales notations utilisées dans une couche de mélange. . . . . . . . . . 162.5 Visualisation des structures cohérentes de la couche de mélange. . . . . . . 202.6 Profils de vitesse et concentration moyennes dans un couche de mélange en

présence de scalaire passif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.7 Profils rms de vitesse et concentration dans une couche de mélange en

présence de scalaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.8 Exemple de PDFs de types marching et non-marching de la température

dans une couche de mélange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.9 Influence du nombre de Reynolds sur les profils moyens et rms de vitesse

et température dans une couche de mélange. . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.10 Influence du rapport de masse volumique sur le développement spatial des

couches de mélange planes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.11 Influence du nombre de Froude réduit sur l’évolution longitudinale du

nombre de Richardson de gradient et des fluctuations de température dansune couche de mélange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.12 Visualisations de la couche de mélange pour deux valeurs du nombre deFroude réduit, en situations : stable (a) et instable (b), d’après Viollet [130] 31

2.13 Schéma des trois zones d’un jet à masse volumique variable. . . . . . . . . 33

ix

x Table des figures

2.14 Effet de la masse volumique sur les taux de décroissance dans les jets àbasse vitesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.15 Fonction de transfert d’un fil froid en fonction des caractéristiques géomé-triques du fil et de la vitesse de l’écoulement. . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.16 Exemple de signaux instantanés de la tension anémométrique en modesurchauffe multiple ; d’après Weiss et al. [133] . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.17 Schéma de principe de la méthode du diagramme des fluctuations. . . . . . 432.18 Exemple d’utilisation du diagramme des fluctuations en modes CCA et CTA. 452.19 Illustration de l’étalonnage par conservation de débit. . . . . . . . . . . . . 482.20 Etalonnage d’un fil chaud avec la méthode de la vidange de cuve. . . . . . 49

3.1 Schéma de principe du dispositif d’étalonnage à basses vitesses. . . . . . . 553.2 Photographie du dispositif d’étalonnage à basses vitesses. . . . . . . . . . . 563.3 Soufflerie à basses vitesses HABV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.4 Schéma de la soufflerie HABV vue de côté. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.5 Système de coordonnées associé à la soufflerie de mesures basses vitesses. . 603.6 Schéma des améliorations portées à la soufflerie HABV. . . . . . . . . . . . 623.7 Profils de vitesse et température moyennes mesurées à x= 1cm en aval du

bord de fuite de la plaque séparatrice pour différentes positions transver-sales en z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.8 Taux de turbulence de la vitesse et fluctuations de températures mesurés àx = 1cm en aval du bord de fuite de la plaque séparatrice pour différentespositions transversales en z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.1 Circuit électronique de la carte-anémomètre PCTA. . . . . . . . . . . . . . 734.2 IHM pour la configuration de l’anémomètre PCTA. . . . . . . . . . . . . . 754.3 Signal en sortie de l’anémomètre PCTA : allure typique, notations et gran-

deurs caractéristiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.4 Principe de séparation des surchauffes du signal PCTA. . . . . . . . . . . . 794.5 Variations instantanées de la tension anémométrique une fois les Ns = 8

surchauffes séparées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.6 Variations du carré de la tension anémométrique en fonction de la vitesse

(température de l’écoulement non prise en compte). . . . . . . . . . . . . . 844.7 Variations du carré de la tension anémométrique en fonction de la vitesse

(avec prise en compte de la température de l’écoulement). . . . . . . . . . . 854.8 Principe de détermination des coefficients d’étalonnage en mode PCTA. . . 86

Table des figures xi

4.9 Principe de détermination de la vitesse et de la température en mode PCTApour un motif i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.10 Exemples de recherche de la solution (Ui,Ti) durant la procédure d’optimi-sation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.11 Illustration 3D de la recherche de la solution (Ui,Ti) du problème d’opti-misation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.12 Exemple d’erreurs absolues correspondant à l’écart entre les grandeurs in-troduites mesurées à l’étalonnage et leur valeur calculée par l’algorithmede Levenberg Marquardt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.13 PDF des erreurs absolues correspondant à l’écart entre les grandeurs in-troduites mesurées à l’étalonnage et leur valeur calculée par l’algorithmede Levenberg Marquardt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.14 Exemples de valeurs instantanées de vitesse et température obtenues avecl’anémomètre PCTA dans un écoulement turbulent de couche de mélangeanisotherme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.15 Exemple des variations temporelles imposées à la vitesse, la température,et la réponse de l’anémomètre durant l’étalonnage. . . . . . . . . . . . . . 96

4.16 Influence de la surchauffe sur l’évolution de la tension en fonction de lavitesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.17 Etalonnage du fil chaud à une seule surchauffe avec la loi polynomiale sanset prise en compte de la température. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.18 Exemple de sensibilités expérimentales mesurées en vitesse et température 1004.19 Différents temps caractéristiques sur un motif du signal anémométrique

PCTA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.20 Influence de la vitesse et de la température sur les temps de montée en

température et les temps de refroidissement du fil. . . . . . . . . . . . . . . 1034.21 Exemple de variations de l’erreur absolue sur la mesure de la température

et la vitesse en fonction des surchauffes utilisées. . . . . . . . . . . . . . . . 1044.22 Détermination des coefficients d’étalonnage à très basse vitesse. . . . . . . 1074.23 Exemples de recherche de la solution (Ui,Ti) durant la procédure d’optimi-

sation avec la loi polynomiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.24 Principales sources d’erreur liées à l’étalonnage du PCTA. . . . . . . . . . 1114.25 Analyse des sources d’incertitudes sur la mesure de la vitesse et de la tem-

pérature avec le PCTA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

xii Table des figures

4.26 Exemple de résultats de simulations de Monte Carlo sur des valeurs de lavitesse et de la température. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.27 Incertitudes sur la vitesse et la température pour différentes tailles d’échan-tillon d’étalonnage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.28 Comparaison des profils adimensionnés de la vitessse moyenne obtenus avecle PCTA et le CTA pour λ= 0.25, ∆T =−10 K. . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.29 Comparaison des profils adimensionnés de la température moyenne obtenusavec le PCTA et le CCA pour λ= 0.25, ∆T =−10 K. . . . . . . . . . . . . 118

4.30 Valeurs rms de la vitesse obtenues avec le CTA et le PCTA pour ∆T =−10K et ∆T =−25K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.31 Effet de ∆T sur le maximum des valeurs rms de vitesse obtenues avec leCTA et avec le PCTA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.32 Profils adimensionnés des valeurs rms de la vitesse obtenues avec le PCTAet le CTA pour λ= 0.25, ∆T =−10K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.33 Valeurs rms de la température obtenues avec le CTA et le PCTA pour∆T =−10 K et ∆T =−25 K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.34 Maxima des valeurs rms de température obtenues avec le CCA et le PCTAsans prise en compte de l’efet du diamètre de fil. . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.35 Influence du diamètre du fil sur la mesure des fluctuations de température. 1244.36 Valeurs rms de la température obtenues avec le CTA et le PCTA pour

∆T =−10K et ∆T =−25K avec correction de l’effet du diamètre de fil. . . 1254.37 Profils adimensionnés des valeurs rms de la température obtenues avec le

PCTA et le CCA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.38 Coefficients de dissymétrie et d’aplatissement de la vitesse et de la tempé-

rature pour λ= 0.25, ∆T =−25K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.39 Exemple de spectres de température et de vitesse pour λ = 0.33, ∆T =

−10K, obtenus dans la zone turbulente de l’écoulement. . . . . . . . . . . . 129

5.1 Grille de points de mesure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.2 Evolution longitudinale des profils de vitesse moyenne pour λ = 0.33 et

λ= 0.17 (mesures avec le CTA). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.3 Evolution du déficit de vitesse en fonction de x et λ (mesures CTA). . . . . 1385.4 Superposition de 9 profils de la vitesse moyenne adimensionnée (mesures

avec le CTA pour λ= 0.33 et 0.4≤ x/H ≤ 2.0). . . . . . . . . . . . . . . . 139

Table des figures xiii

5.5 Variations de la distance de développement de la vitesse moyenne en fonc-ton de λ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.6 Evolution longitudinale de l’épaisseur de vorticité de la couche de mélangeen fonction du paramètre λ (mesures CTA). . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5.7 Variations de σ0 en fonction du paramètre de cisaillement λ. . . . . . . . . 1425.8 Lignes d’expansion de la vitesse moyenne (mesures CTA) . . . . . . . . . . 1435.9 Frontières de la zone de mélange pour différentes valeurs de λ. . . . . . . . 1445.10 Evolution longitudinale des moments d’ordre 2 de la vitesse pour λ = 0.3

(mesures CTA). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.11 Superposition des profils de rms de vitesse adimensionnées mesurées avec

le fil chaud CTA pour λ= 0.33. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.12 Variations du maximum de rms de vitesse en fonction de x pour différentes

valeurs de λ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.13 Evolution des coefficients de dissymétrie et d’aplatissement de la couche de

mélange pour λ= 0.33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.14 Exemple typique de la densité spectrale d’énergie obtenue aux frontières

de la zone de mélange isotherme (mesure CTA, λ= 0.33). . . . . . . . . . . 1495.15 Exemple d’évolution de la densité spectrale d’énergie à travers la couche

de mélange pour une position x donnée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.16 Exemple de variations du nombre de Strouhal dans la zone de mélange

pour une position x donnée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525.17 Représentation universelle des densités spectrales d’énergie. . . . . . . . . . 153

6.1 Exemple de profils de couches limites dynamique et thermique (mesuresPCTA). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6.2 Exemple d’image instantanée reconstituée à partir d’images issues des deuxcaméras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6.3 Visualisations instantanées de l’écoulement pour ∆T = 25 K. . . . . . . . . 1616.4 Visualisations instantanées de l’écoulement pour ∆T =−25 K. . . . . . . . 1626.5 Exemple d’image obtenue par moyenne des images instantanées de l’écou-

lement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1636.6 Exemples d’évolution des profils d’intensité lumineuse moyenne adimen-

sionnée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1636.7 Taux d’expansion de la zone de mélange calculé à partir des images moyennes.1646.8 Images rms de l’écoulement pour ∆T =−25 K. . . . . . . . . . . . . . . . 165

xiv Table des figures

6.9 Taux d’expansion de la zone de mélange obtenue avec les images des rmsde niveaux de gris de l’écoulement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

6.10 Evolution longitudinale des profils de vitesse et température moyennes pourune configuration λ= 0.33 et ∆T = 25 K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

6.11 Ajustement des profils de température par une fonction à plusieurs pointsd’inflexion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

6.12 Profils adimensionnés de la vitesse et de la température moyennes mesuréesavec le PCTA pour λ= 0.33, ∆T = +25 K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

6.13 Evolutions des épaisseurs δω et δT pour différentes conditions d’entrée en∆T et λ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

6.14 Variations du taux d’expansion des zones de mélange dynamique et ther-mique en fonction de ∆T pour différentes valeurs de λ. . . . . . . . . . . . 174

6.15 Variations du taux d’expansion des zones de mélange dynamique et ther-mique en fonction de λ pour différentes valeurs de ∆T . . . . . . . . . . . . 175

6.16 Evolution des profils de température moyenne en fonction du nombre deReynolds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6.17 Lignes d’expansion de la vitesse et de la température moyennes mesuréesavec le PCTA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

6.18 Illustration des différences de gradients verticaux entre les côtés basse ethaute vitesses des profils de température moyenne. . . . . . . . . . . . . . 179

6.19 Comparaison des lignes d’expansion dynamique et thermique pour ∆T =+25 K et ∆T =−25 K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

6.20 Evolution longitudinale des fluctuations de vitesse et de température pourλ= 0.33, ∆T = 25 K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

6.21 Isovaleurs des fluctuations de vitesse et de température pour λ = 0.33,∆T = 25 K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

6.22 Fluctuations de vitesse et de température (mesure PCTA) ; λ= 0.33, ∆T =25 K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

6.23 Evolution du pic des rms de vitesse et de température pour ∆T = 25 K. . . 1866.24 Evolution des moments d’ordre 2 en fonction de Rex et λ. . . . . . . . . . 1876.25 Coefficients de dissymétrie de la vitesse et de la température ; λ = 0.33,

∆T = 25 K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1896.26 Coefficient d’aplatissement : (a) vitesse (mesure PCTA), (b) température

(mesure CCA) ; λ = 0.33, ∆T = 25 K. La ligne horzontale représente lavaleur prise par une distribution gaussienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Table des figures xv

6.27 Exemple de PDFs de la température de types marching et non-marching. . 1926.28 Exemples d’évolutions verticales du coefficient de corrélation RuT . . . . . . 1936.29 Exemple d’évolution du coefficient de corrélation RuT sur l’axe de la zone

de mélange dynamique λ= 0.33, ∆T = 25K. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1946.30 Exemple typique de PDF conditionnelle vitesse-température dans la couche

de mélange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1966.31 Grille de mesures des PDFs de température. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976.32 PDFs conditionnelles de vitesse-température pour x/H = 1.4. . . . . . . . . 1986.33 Schéma de principe de la répartition des fluctuations en quadrants. . . . . 2006.34 Schéma des différents mouvements de fluide contribuant au flux de chaleur

dans la couche de mélange anisotherme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2016.35 Schéma simplifié des signaux instantanés correspondant aux éjections aux

points selles dues aux quadrants a) II et b) IV . . . . . . . . . . . . . . . . 2026.36 Différentes contributions au flux de chaleur longitudinal pour une position

x donnée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2036.37 Profils verticaux des contributions aux flux de chaleur pour chaque qua-

drant i= I à IV pour 0≤ x/H ≤ 2.0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

C.1 Analyse du processus de mesure de la température de référence par lethermocouple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

C.2 Evolution de l’erreur sur la mesure de la température de référence par lethermocouple en fonction de la température. σεT est l’écart-type obtenupour chaque point de mesure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

C.3 Analyse du processus de mesure de la vitesse de référence par le tube dePitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

C.4 Evolution de l’erreur sur la mesure de la vitesse de référence par le capteurde pression en fonction de la vitesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

C.5 Analyse du processus de la tension anémométrique par le PCTA. . . . . . . 257C.6 Fluctuations de tensions sur les paliers de surchauffes lorsque la vitesse de

l’écoulement est constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

D.1 Evolution longitudinale des profils de vitesse moyenne pour ∆T = 0K. . . . 260D.2 Profils de la vitesse moyenne adimensionnée pour ∆T = 0K. . . . . . . . . 261D.3 Profils des valeurs rms de la vitesse adimensionnées pour ∆T = 0K. . . . . 262D.4 Profils des valeurs rms de la vitesse adimensionnées pour ∆T = 0K. . . . . 263D.5 Coefficient de dissymétrie de la vitesse pour ∆T = 0K. . . . . . . . . . . . 264

xvi Table des figures

D.6 Coefficient d’aplatissement de la vitesse pour ∆T = 0K. . . . . . . . . . . . 265

E.1 Evolution longitudinale des profils de vitesse moyenne pour ∆T = +25K. . 269E.2 Evolution longitudinale des profils de température moyenne pour ∆T =

+25K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270E.3 Profils des valeurs rms de la vitesse adimensionnées pour ∆T = +25K. . . . 271E.4 Profils des valeurs rms de la température adimensionnées pour ∆T = +25K.272E.5 Profils de la vitesse moyenne adimensionnée pour ∆T = +25K. . . . . . . . 273E.6 Profils de la température moyenne adimensionnée pour ∆T = +25K. . . . . 274E.7 Profils des valeurs rms de la vitesse adimensionnées pour ∆T = +25K. . . . 275E.8 Profils des valeurs rms de la température adimensionnées pour ∆T = +25K.276E.9 Coefficient de dissymétrie de la vitesse pour ∆T = +25K. . . . . . . . . . . 277E.10 Coefficient de dissymétrie de la température pour ∆T = +25K. . . . . . . . 278E.11 Coefficient d’aplatissement de la vitesse pour ∆T = +25K. . . . . . . . . . 279E.12 Coefficient d’aplatissement de la température pour ∆T = +25K. . . . . . . 280E.13 Evolution longitudinale des profils de vitesse moyenne pour ∆T =−25K. . 281E.14 Evolution longitudinale des profils de température moyenne pour ∆T =

−25K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282E.15 Profils des valeurs rms de la vitesse adimensionnées pour ∆T =−25K. . . 283E.16 Profils des valeurs rms de la température adimensionnées pour ∆T =−25K.284E.17 Profils de la vitesse moyenne adimensionnée pour ∆T =−25K. . . . . . . . 285E.18 Profils de la température moyenne adimensionnée pour ∆T =−25K. . . . . 286E.19 Profils des valeurs rms de la vitesse adimensionnées pour ∆T =−25K. . . 287E.20 Profils des valeurs rms de la température adimensionnées pour ∆T =−25K.288E.21 Coefficient de dissymétrie de la vitesse pour ∆T =−25K. . . . . . . . . . . 289E.22 Coefficient de dissymétrie de la température pour ∆T =−25K. . . . . . . . 290E.23 Coefficient d’aplatissement de la vitesse pour ∆T =−25K. . . . . . . . . . 291E.24 Coefficient d’aplatissement de la température pour ∆T =−25K. . . . . . . 292E.25 Lignes d’expansion de (a) la vitesse, (b) la température moyenne pour

λ= 0.50, ∆T =−25K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294E.26 Lignes d’expansion de (a) la vitesse, (b) la température moyenne pour

λ= 0.33, ∆T =−25K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295E.27 Lignes d’expansion de (a) la vitesse, (b) la température moyenne pour

λ= 0.25, ∆T =−25K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

Table des figures xvii

E.28 Lignes d’expansion de (a) la vitesse, (b) la température moyenne pourλ= 0.17, ∆T =−25K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

E.29 Lign es d’expansion de (a) la vitesse, (b) la température moyenne pourλ= 0.50, ∆T =−25K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298






E.35 Lignes d’expansion de (a) la vitesse, (b) la température moyenne pourλ= 0.50, ∆T = +10K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304










xviii Table des figures

E.45 Iso-contours des valeurs rms de (a) vitesse et (b) température pour ∆T =−25K, λ= 0.50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315








E.53 Iso-contours des valeurs rms de (a) vitesse et (b) température pour ∆T =+10K, λ= 0.50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323








E.61 Profils verticaux des contributions au flux de chaleur pour chaque quadranti= I à i= IV pour 0.2≤ x/H ≤ 2.0 (λ= 0.25, ∆T =−25K). . . . . . . . . 332

Table des figures xix

E.62 Profils verticaux des contributions au flux de chaleur pour chaque quadranti= I à i= IV pour 0.2≤ x/H ≤ 2.0 (λ= 0.25, ∆T = +25K). . . . . . . . . 333

E.63 Profils verticaux des contributions au flux de chaleur pour chaque quadranti= I à i= IV pour 0.2≤ x/H ≤ 2.0 (λ= 0.13, ∆T =−25K). . . . . . . . . 334

E.64 Profils verticaux des contributions au flux de chaleur pour chaque quadranti= I à i= IV pour 0.2≤ x/H ≤ 2.0.(λ= 0.50, ∆T = +25K). . . . . . . . . 335

E.65 PDFs conditionnelles de vitesse-température pour x/H = 1.4 (λ = 0.25,∆T = +25K). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

E.66 PDFs conditionnelles de vitesse-température pour x/H = 1.4 (λ = 0.25,∆T =−25K). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

E.67 PDFs conditionnelles de vitesse-température obtenues sur l’axe y = 0 pour0.2≤ x/H ≤ 2.0 (λ= 0.50, ∆T = +25K). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

E.68 PDFs conditionnelles de vitesse-température obtenues sur l’axe y = y0.5upour 0.4≤ x/H ≤ 2.0 (λ= 0.33, ∆T = +25K). . . . . . . . . . . . . . . . . 340

xx Table des figures

Liste des tableaux

3.1 Grandeurs caractéristiques des couches limites au bord de fuite de la plaqueséparatrice (côtés haute et basse vitesses), en écoulement isotherme. . . . . 66

5.1 Configurations étudiées en écoulement isotherme. . . . . . . . . . . . . . . 1345.2 Taux d’expansion de la couche de mélange pour différentes valeurs de λ. . . 1415.3 Séparation spatiale des structures dans la direction de l’écoulement. . . . . 1515.4 Echelles de la turbulence en fonction de λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

6.1 Conditions des essais en couche de mélange anisotherme à contre-gradientcorrespondant aux études par fils chauds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

6.2 Maxima des fluctuations de vitesses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

C.1 Résultats de l’étalonnage du thermocouple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

D.1 Configurations étudiées en écoulement isotherme. . . . . . . . . . . . . . . 259

E.1 Conditions des essais en couche de mélange anisotherme à contre-gradient. 268

xxi

xxii Liste des tableaux

Notations

a Coefficient d’étalonnage du filas Coefficient de surchauffeb Coefficient d’étalonnage du fildf Diamètre du fil chauderf Fonction erreurEuu Densité spectrale d’énergie de la vitesseETT Densité spectrale d’énergie de la températuref Fréquencefc Fréquence de coupureFr Nombre de FroudeG Niveau de gris des imagesRi Nombre de Richardson de gradientKu Coefficient d’aplatissement de la vitesseKT Coefficient d’aplatissement de la températurelf Longueur sensible du fil chaudn Coefficient d’étalonnage du filNm Nombre de motifs sur un signal PCTANs Nombre de surchauffe sur un motifp Densité de probabilitér = Rapport de vitesse (inférieur à 1)Re Nombre de ReynoldsRecr Valeur critique du nombre de ReynoldsRex Nombre de Reynolds basée sur la dimension xRλ Nombre de Reynolds turbulentRf Résistance du filSu Coefficient de dissymétrie de la vitesse

xxiii

ST Coefficient de dissymétrie de la températureStr Nombre de Strouhalth Fonction tangente hyperboliqueT1 Température associée à la partie inférieure de la veine d’essaiT2 Température associée à la partie supérieure de la veine d’essai

T ∗ = T −Tmin∆T Température moyenne adimensionnée par Tmin et ∆T

Trms RMS de la température instantanéeT ∗rms RMS de température adimensionnée par sa valeur RMS maximaleTf Température du filU1 Vitesse associée à la partie inférieure de la veine d’essaiU2 Vitesse associée à la partie supérieure de la veine d’essai

Uc = U1 +U22 Vitesse de convection

Urms RMS de la vitesse instantanéeU∗rms RMS de vitesse adimensionnée par sa valeur RMS maximalexv Position suivant x de l’origine virtuelle de la couche de mélangey0.5 Position locale de l’axe de la couche de mélange dynamique en configu-

ration isothermey0.5U Position locale de l’axe de la couche de mélange dynamique en configu-

ration anisothermey0.5T Position locale de l’axe de la couche de mélange thermique en configura-

tion anisotherme

δω Epaisseur de vorticité de la couche de mélangeδT Epaisseur de la couche de mélange thermique∆T = T2−T1 Différence de température∆U = U2−U1 Différence de vitesseε Dissipation d’énergie totaleη Echelle de Kolmogorovηu = y−y0.5U

δωVariable d’espace adimensionnée

ηT = y−y0.5TδT

Variable d’espace adimensionnée

xxiv

Φi Ligne d’expansion de niveau i pour la vitesse en configuration isothermeΦiU Ligne d’expansion de niveau i pour la vitesse configuration anisothermeΦiT Ligne d’expansion de niveau i en configuration anisotherme

κ= 2πfUc

Nombre d’onde χuCoefficient desensibilité envitesseχθ Coefficient de sensibilité en températureλ= 1− r

1 + rParamètre de cisaillement

λf Echelle de TaylorΛx Séparation spatiale (dans la direction de l’écoulement) des structuresν Viscosité cinématiqueσ Paramètre d’expansionσ0 Paramètre d’expansion dans le cas d’une couche de mélange avec un côté

au reposτ Durée du motifτd Temps caractéristique de refroidissement du fil chaudτk Durée d’application d’une surchauffe kτm Temps caractéristique de montée en température du fil chaudΘB.V. Epaisseur de quantité de mouvement de la couche limite dynamique sur

la plaque séparatrice côté basse vitesseΘH.V. Epaisseur de quantité de mouvement de la couche limite dynamique sur

la plaque séparatrice côté haute vitesse

CCA Constant Current AnemometerCEAT Centre d’Etudes Aérodynamiques et ThermiquesCTA Constant Temperature AnemometerCVA Constant Voltage AnemometerHABV Hall Aéraulique Basse VitesseIHM Interface Homme MachineLEA Laboratoire d’Etudes Aérodynamiques

xxv

LET Laboratoire d’Etudes thermiquesLM Levenberg MarquadrtMETFRI Maîtrise des Ecoulements et Transferts dans les procédés FrigorifiquesPCTA Parameterizable Constant Temperature AnemometerPDF Probability Density FunctionRMS Root Mean Squared

xxvi

Chapitre 1

Introduction Générale

1.1 Contexte de l’étude

L’écoulement de couche de mélange plane anisotherme, obtenu à partir de la ren-contre, au delà d’une plaque séparatrice, de deux courants d’air de vitesses différenteset de températures différentes, est communément rencontré dans diverses applicationsindustrielles et situations environnementales. Parmi celles-ci, se situe la maîtrise de lacontamination aéroportée, qui est un enjeu important pour les industries agroalimentaire,pharmaceutique, électronique, spatiale et nucléaire, ainsi qu’en milieu hospitalier.

Pour contrôler la dispersion des particules contaminantes, les équipementiers proposentdes salles propres et plus récemment des systèmes de protection localisée. De manière gé-nérale, les fonctions de tels dispositifs sont d’assurer la qualité de l’air autour du procédéqui s’y déroule et/ou de protéger les opérateurs et l’environnement extérieur d’une pollu-tion éventuelle émise au niveau du procédé. Les systèmes de protection localisée consistentà ne protéger que la zone sensible. Les plus efficaces permettent d’assurer une protectionouverte sur l’ambiance, c’est à dire non capotée et indépendante du niveau de contami-nation extérieure. Parmi les dispositifs existants, on peut notamment citer les rideauxd’air qui consistent en un soufflage vertical d’air pour isoler la zone à protéger, ou encorel’utilisation de flux horizontaux ouverts sur l’ambiance en partie supérieure, combinant lesfonctions d’ultra-propreté et de froid. Leur succès repose essentiellement sur la maîtrisede l’interface entre la zone propre et la zone polluée. Pour le physicien, cette frontière estbien modélisée par une couche de mélange turbulente dont on cherche à contrôler l’actionsur les transferts de polluants ou de chaleur (voir figure 1.1).

Par ailleurs d’autres enjeux apparaissent si on raisonne plus largement en terme de

2 Chapitre 1. Introduction Générale

Basse vitesse – air pollué

Haute vitesse – air propre

Basse vitesse

Haute vitesse

Produit

Produit

Plans de travail Couche de mélange

Figure 1.1 – Illustration de dispositifs de protection localisée utilisés par exempledans l’industrie agroalimentaire. L’interface entre la zone polluée et lazone à protéger est modélisée par une couche de mélange.

1.2 Objectif de l’étude 3

maîtrise des ambiances localisées sans cloisonnement (mini-environnements). Le balayagedes plans de travail par de l’air froid et propre doit permettre d’élever la températuredans les salles de travail, tout en assurant une température basse au contact du produit.L’impact pourrait être important en termes de conditions de travail et de santé des per-sonnels. Par exemple les Troubles Musculo-Squelettiques (T.M.S.) liés au travail au froiddans les ateliers alimentaires constituent une part importante des maladies pofessionnellesreconnues selon l’I.N.R.S. (Institut National de Recherche et de Sécurité pour la préven-tion des accidents du travail et de maladies professionnelles). Une économie substantielled’énergie pourrait être également réalisée.

Depuis quelques années, le Cemagref a développé une activité de recherche en ap-pui à l’innovation technologique dans le domaine de l’aérocontamination et des mini-environnements. Toutes ces technologies mettent en œuvre des écoulements d’air à bassevitesse où les variations de température jouent un rôle déterminant dans les mécanismesphysiques mis en jeu. C’est dans ce cadre que le Cemagref de Rennes s’est doté, à l’occasionde cette étude, d’une soufflerie spécialement dédiée à des écoulements à basses vitessespermettant de mesurer le comportement d’une frontière aéraulique, de type couche demélange plane anisotherme à basses vitesses, entre deux flux d’air dont la vitesse et latempérature sont maîtrisées séparément. Cette nouvelle installation doit permettre deproduire les bases expérimentales et d’affiner la description scientifique des dispositifs deprotection localisée dans une ambiance ouverte.

L’étude d’un tel écoulement nécessite la compréhension des interactions vitesse-tempé-rature au sein de la couche de mélange constituée par la frontière aéraulique anisotherme.La mesure fine de la température et de la vitesse instantanées est alors prépondérante.C’est un prérequis non seulement au niveau recherche/développement pour l’étude destechniques existantes, leur optimisation et la proposition de dispositifs nouveaux, maisencore cette information permet d’affiner les diagnostics et d’améliorer les systèmes deprotection. Notre étude s’est donc attachée, en préalable à l’analyse des écoulements, àl’optimisation des méthodes de mesure anémométriques à basses vitesses et des mesuressimultanées et résolues en temps de vitesse et de température.

1.2 Objectif de l’étude

Les objectifs de ce travail sont la mise en œuvre et l’optimisation d’une nouvelleméthode dénommée PCTA (Parameterizable Constant Temperature Anemometer) per-


mettant de mesurer simultanément la vitesse et la température instantanées dans unécoulement, à partir d’un fil chaud unique soumis périodiquement à une séquence de sur-chauffes ; ainsi que le développement d’une méthode d’étalonnage instationnaire vitesse-température à basse vitesse ; pour arriver à l’étude d’une couche de mélange anisothermeà basse vitesse modélisant un flux forcé propre et froid sur un plan de travail.

La mise en œuvre du PCTA requiert le développement d’algorithmes pour le traite-ment des signaux. L’approche algorithmique développée est basée sur une méthode derégression non linéaire de Levenberg - Marquardt offrant la possibilité d’estimer simul-tanément les paramètres de la loi d’étalonnage ici non linéaire. Ensuite pour répondreau besoin d’étalonner les sondes fil chaud en vitesse et température pour une utilisationdans un écoulement en présence de variations spatio-temporelles de la température dues àla turbulence, une nouvelle procédure d’étalonnage instationnaire vitesse-température estproposée. A cette occasion une soufflerie d’étalonnage à basse vitesse a été conçue. L’ana-lyse de la procédure expérimentale doit permettre de minimiser les erreurs sur les résultatsdes mesures. Enfin la validation dans un écoulement de couche de mélange anisothermeà basses vitesses permet de comparer le PCTA à des méthodes thermo-anémométriquesdéjà éprouvées comme le CTA (Constant Temperature Anemometer) et le CCA (ConstantCurrent Anemometer).

L’étude de la couche de mélange vise à poser les bases d’une connaissance pouvantêtre traduite en stratégies opérationnelles pour maîtriser quantitativement les transfertsde quantité de mouvement et de chaleur dans les écoulements cisaillés en situation in-dustrielle. On s’est donc attaché à générer une base de données correspondant aux confi-gurations modélisant un flux forcé propre et froid sur un plan de travail. Ainsi dans lacouche de mélange, la température la plus basse a été associée à la vitesse la plus hauteet située dans le courant inférieur. On s’est intéressé également au cas moins fréquent oùle flux inférieur correspond à la température la plus élevée. Les variables étudiées sont lavitesse et la température. Les grandeurs étudiées sont celles liées au comportement moyenen vitesse et température (champs moyens, expansion des couches de mélange, déviationsmoyennes) et au mélange turbulent examiné à travers les paramètres de fluctuations etl’interaction entre les fluctuations dynamique et thermique.

1.3 Organisation du document 5

1.3 Organisation du document

Ce document est constitué, outre ce chapitre introductif et la conclusion générale, decinq chapitres et cinq annexes.

Le Chapitre 2 est une revue bibliographique de l’écoulement de couche de mélangeet des techniques de mesure par thermoanémométrie à fil chaud. Tout d’abord on pré-sente une définition de l’écoulement de couche de mélange, ses grandeurs caractéristiques,avant de rappeler les différents résultats expérimentaux et numériques sur cet écoulementen rapport avec notre étude. Ensuite on introduit le principe de la thermo-anémométrieà fil chaud. Les différents modes de fonctionnement sont présentés. Puis les principauxrésultats sur les différentes techniques de mesure simultanée de la vitesse et de la tempé-rature par thermo-anémométrie sont rappelés. Il s’agit notamment de techniques baséessur l’utilisation de sondes à fils chauds, fils froids et/ou associées à des méthodes de me-sure optiques telles que la LDA, la PIV ou la LIF. Enfin le problème de l’étalonnaged’un fil chaud est abordé. On évoque notamment l’influence de la température dans lesétalonnages et le cas plus spécifique de l’étalonnage à basse vitesse.

Le Chapitre 3 est dévolu à la présentation des configurations expérimentales et desmoyens de mesure. Dans la première partie, les souffleries utilisées dans cette étude sontdécrites. Il s’agit d’une petite soufflerie annexe, conçue par nos soins, dédiée uniquementà l’étalonnage vitesse-température de sondes de type fil chaud, et de la soufflerie HABV(Hall Aéraulique Basse Vitesse) permettant d’obtenir un écoulement de couche de mé-lange anisotherme à basse vitesse (typiquement de 0.5 à 5 m/s), récemment réalisée. Afind’obtenir des conditions d’écoulement conformes à notre étude, nous avons effectué dif-férentes améliorations et mises au point sur la soufflerie HABV. Ces modifications sontrappelées avant d’exposer quelques résultats de la qualification. La seconde partie de cechapitre est consarée aux moyens métrologiques. Les sondes de mesures, de type fil chaudavec des anémomètres PCTA, CCA et CTA, ainsi que le matériel servant à la visualisationdes écoulements, sont présentés.

Le Chapitre 4 est consacré à la validation, la mise en œuvre et l’optimisation du PCTA,nouvelle méthode de mesure, développée au Laboratoire d’Etudes Aérodynamiques (LEA)de Poitiers, permettant la mesure simultanée de la vitesse et de la température dans lesécoulements turbulents. Tout d’abord le principe général de fonctionnement du PCTA est


expliqué. Puis l’approche algorithmique, basée sur la méthode de Levenberg-Marquardt,développée pour le traitement des signaux issus de cet anémomètre est décrite, avantd’aborder la question de l’étalonnage instationnaire vitesse-température. Nous discutonsensuite du choix des différents paramètres du motif du signal anémométrique PCTA.L’utilisation du PCTA à très basse vitesse (' 1 m/s) est présentée juste après. Par lasuite l’incertitude associée aux résultats fournis par le PCTA est analysée à travers uneprocédure basée sur des simulations de Monte Carlo. On clôt ce chapitre par une premièrevalidation du capteur, par inter-comparaison entre le PCTA, le fil chaud CTA et le fil froidCCA, dans des configurations de couches de mélange anisothermes (écoulements étudiésplus en détail dans les chapitres suivants).

Le Chapitre 5 a pour objet l’étude de l’écoulement de couche de mélange plane iso-therme à basses vitesses. La nouvelle soufflerie HABV offrant la possibilité de régler indé-pendamment les conditions d’entrée en vitesse et température de la couche de mélange,on se propose de caractériser le champ dynamique pour six configurations en situationisotherme, à partir de la même soufflerie, ce qui permettra une confrontation de nos résul-tats avec ceux issus de la bibliographie pour des écoulements obtenus avec des régimes devitesse plus élevées. En outre cela permet (indirectement) une validation de la soufflerieHABV pour ∆T = 0K.

A partir de mesures réalisées au fil chaud classique, on s’intéresse aux différents para-mètres influant sur le développement des champs moyens et turbulents, et sur les échellesde la turbulence. Ces paramètres sont notamment l’intensité du cisaillement, le sillagede la plaque séparatrice, etc. Les conditions de similitude des grandeurs moyennes et desgrandeurs turbulentes sont aussi examinées.

Le Chapitre 6 est consacré au cas de la couche de mélange anisotherme. On abordel’étude de l’écoulement dans un premier temps par des visualisations tomographiques.Elles fournissent des images instantanées des écoulements. Les statistiques sur ces imagespermettent d’illustrer l’influence de certains paramètres sur l’expansion de la zone de mé-lange. Des mesures de vitesse et de température sur vingt configurations d’écoulementviennent compléter ces résultats qualitatifs. Le développement de l’écoulement moyen estabordé à travers l’étude de l’influence de paramètres tels le gradient de température im-posé ∆T , le paramètre de cisaillement λ ou encore le nombre de Reynolds Rex, sur lesprofils moyens, les épaisseurs caractéristiques, l’expansion et la similitude des grandeursmoyennes. On s’intéresse ensuite à la turbulence. Les fluctuations dynamiques et ther-

1.3 Organisation du document 7

miques sont étudiées à travers l’évolution de grandeurs statistiques comme les valeursrms, les coefficients de dissymétrie et d’aplatissement, ainsi que les PDFs. La similitudedes fluctuations dynamiques et thermiques, différente de celle des grandeurs moyennes,est également examinée.

Le PCTA offrant la possibilité de déterminer simultanément les distributions de lavitesse et de la température instantanées, les interactions vitesse-température peuvent êtreétudiées. Le couplage des fluctuations vitesse-température est analysé à travers l’évolutiondu coefficient de corrélation vitesse-température dans la couche de mélange et des PDFsdes fluctuations de température conditionnées par le signe des fluctuations de vitesse. Pourfinir une méthode d’analyse en quadrants est appliquée aux fluctuations de vitesse et detempérature. Celle-ci permet d’étudier la contribution au flux de chaleur des différentsmouvements au sein de l’écoulement.

L’annexe A comporte les articles de congrès issus de cette étude. Ces articles ont étéprésentés au 8th International Symposium on Experimental and Computational Aérother-modynamics of Internal Flows dans la session Techniques expérimentales, et au CongrèsFrançais de Mécanique dans les sessions Turbulence, et Techniques expérimentales ; enJuillet et Août 2007.

L’annexe B présente, de manière détaillée, l’agorithme de régression non linéaire deLevenberg-Marquardt utilisé dans le traitement des signaux PCTA.

L’annexe C décrit la procédure de détermination de l’incertitude de mesure des cap-teurs de référence utilisés lors de l’étalonnage du PCTA. La méthode utilisée est baséesur l’utlisation de simulations de Monte Carlo.

L’annexe D présente un catalogue de figures correspondant aux résultats obtenus dansla couche de mélange isotherme. Ces résultats concernent l’ensemble des six configurationsd’écoulement étudiées en couche de mélange isotherme. Il s’agit de statistiques classiquesutilisées pour caractériser un écoulement turbulent (moyennes, rms, moments d’ordre 3et 4).

De la même manière l’annexe E détaille les résultats obtenus en configuration aniso-therme. Des résultats de mesures sont donnés dans un ensemble de figures représentant les


courbes obtenues pour l’ensemble des vingt configurations anisothermes mises en œuvredans la soufflerie HABV de couche de mélange.

Chapitre 2

Revue bibliographique

Les couches de mélange du fait de leur importance dans de nombreux problèmes aca-démiques et de leur présence dans diverses applications industrielles et environnementales,ont fait l’objet de nombreuses études théoriques, expérimentales ou numériques.

Ce chapitre présente un rappel des principaux résultats relevés dans la bibliographiepermettant de poser les bases de notre travail. Dans un premier temps nous introduisonsla notion de scalaire dans un écoulement turbulent, ici la température, et les équationsgénéralement utilisées pour décrire la dynamique. Puis nous présentons les généralités surla couche de mélange. A cette occasion quelques résultats expérimentaux et numériquessur la couche de mélange sont rappelés. On s’intéresse en particulier à la structurationde l’écoulement, à l’influence des conditions initiales et au transport de scalaire. Nousprésentons ensuite brièvement l’écoulement de jet anisotherme, avant de finir par unerevue des techniques expérimentales pouvant être utilisées en anémométrie à fil chaudpour quantifier simultanément le scalaire et la vitesse dans les écoulements turbulents.

2.1 Transport de scalaire

Scalaire passif Dans un écoulement, il est défini comme un contaminant diffusif pré-sent dans des proportions suffisamment faibles de sorte à ne pas avoir d’effets dynamiquessignificatifs sur le mouvement du fluide. Dans certaines conditions, le scalaire passif peutêtre utilisé comme un traceur pour étudier les propriétés du champ dynamique. La condi-tion requise pour qu’un scalaire soit considéré comme passif en un point d’un écoulementest que la vitesse créée sous l’effet du gradient de scalaire (température ou masse volu-mique par exemple) soit beaucoup plus petite que les fluctuations du champ dynamique

10 Chapitre 2. Revue bibliographique

en ce point. Dans la pratique les critères généralement utilisés pour préciser le compor-tement du scalaire sont basés sur les nombres sans dimension : nombre de Richardson degradient ou nombre de Froude réduit par exemple.

Le nombre de Richardson de gradient permet de quantifier les effets de gravitédifférentielle associés aux gradients de température dans le mélange turbulent. On peutl’écrire sous la forme :

Ri= βg∂T/∂y

(∂U/∂y)2 , (2.1)

où β le coefficient de dilatation est défini, pour un gaz parfait, par β = 1/T . Une conditiongénéralement admise pour qu’un écoulement soit stable vis à vis des effets de gravitédifférentielle est que le nombre de Richardson de gradient soit inférieur à une valeurcritique Ricr de l’ordre de 0.25.

Le nombre de Froude réduit est très utilisé en hydrodynamique pour quantifierglobalement l’influence des forces de gravité différentielle. Par exemple pour deux courantsde fluide d’épaisseur h, de vitesse U1 et U2, de température T1 et T2 en contact, le nombrede Froude réduit est défini par :

Fr = U1−U2√ghβ(T1−T2)

. (2.2)

Scalaire actif On parle de scalaire actif dans le cas où les fluctuations de scalairecontribuent à la génération de forces de gravité influençant la dynamique de l’écoulement.

La dynamique d’un champ scalaire, Θ, est décrite par l’équation de convection diffusionsuivante :

∂Θ∂t

+Uj∂Θ∂xj

= κ∇2Θ , (2.3)

où κ est la diffusivité et Uj la vitesse (les indices répétés impliquent une sommation :j = 1,2,3 correspondent aux composantes de la vitesse respectivement dans les directionsx, y et z). Dans le cadre de notre étude, le scalaire est la température, et κ représente ladiffusivité thermique.

Les équations décrivant le champ dynamique s’écrivent :

∇.~V = 0 (2.4)

2.1 Transport de scalaire 11

ρ(∂~V∂t

+ (~V .∇~V ))

=−∇p+ρ~g+µ∇2~V . (2.5)

On pourra distinguer trois régimes d’écoulement suivant l’influence relative des forcesde gravité.

– Pour Fr 1, convection forcée : l’influence des forces de gravité sur l’écoulementest négligeable. Dans ce cas, le problème de la détermination du champ de vitesseet celui du champ de température sont découplés.

– Pour Fr ' 1, convection mixte : l’écoulement est soumis à l’influence des forces degravité qui n’en sont pas le seul moteur

– Pour Fr 1, convection naturelle : ce sont les différences de masse volumique quiconstituent le moteur dominant de l’écoulement

Approximation de Boussinesq Les écoulements traités dans le cadre de notre étudeont un nombre de Mach petit devant l’unité. On peut donc se placer dans le cadre del’approximation de Boussinesq qui suppose que, pour des écoulements à basse vitesse, lesvariations relatives de masse volumique sont petites et qu’il est possible de négliger lesvariations de masse volumique causées par des variations de pression. On peut donc consi-dérer ici que les variations de masse volumique sont dues exclusivement à la température.En utilisant la décomposition :

ρ= ρ0 +ρ′

p= p0 +p′ ,

on peut réécrire les équations d’état et de conservation de la quantité de mouvement sousforme linéarisée autour d’un état de référence (ρ0,T0) où le fluide est supposé au repos eten équilibre :

ρ−ρ0 =−βρ0(T −T0) (2.6)

∂~V /∂t+ ~V .∇~V =− 1ρ0∇p′+ ρ′

ρ0~g+µ∇2~V .

L’équation de quantité de mouvement peut être écrite sous forme adimensionnelle enchoisissant une longueur caractéristique δ, une vitesse caractéristique ∆U :

∂ ~V ∗/∂t∗+ ~V ∗.∇ ~V ∗ =−~∇p∗− β(T −T0)∆U2 g δ ~g∗+ µ

∆Uδ∇2 ~V ∗ ,


soit :∂ ~V ∗/∂t∗+ ~V ∗.∇ ~V ∗+ ~∇p∗ =−Ri~g∗+ 1

Re∇2 ~V ∗ ,

où Ri et Re sont les nombres de Richardson et de Reynolds. La notation (.)∗ correspondà la forme adimensionnelle des variables.

2.2 Couches de mélange

2.2.1 Définition

Il existe deux catégories de couches de mélange :

A) La couche de mélange temporelle : l’écoulement prend naissance à partir d’unediscontinuité tangentielle de vitesse à travers un plan infini. Elle peut être obtenue, parexemple, en remplissant un tube horizontal de deux liquides non miscibles de densitésdifférentes. En maintenant le tube incliné par rapport à l’horizontale, l’interface entre lesdeux fluides subit un cisaillement et devient instable. Une illustration de la couche demélange temporelle obtenue par Thorpe [121] est représentée sur la figure 2.1. On peutdistinguer sur ces images instantanées une augmentation de la taille des enroulementsentre deux instants successifs ta et tb > ta.

a) b)

Figure 2.1 – Couche de mélange temporelle avec discontinuité de masse volumique àl’interface à deux instants : a) t = ta ; b) t = tb > ta) ; d’après Thorpe[121].

B) La couche de mélange spatiale : écoulement que l’on rencontre lorsque deuxcourants de fluide se déplaçant (généralement dans la même direction) à des vitesses dis-tinctes, sont mis en contact au delà d’une zone amont où ils sont séparés par une lamemince. Il apparaît alors une discontinuité instable au niveau de la vitesse. Cette discon-tinuité développe, à l’aval du bord de fuite de la lame séparatrice, une interface cisailléerotationnelle séparant les deux courants qui sont uniformes à l’infini. La transition vers la

2.2 Couches de mélange 13

Figure 2.2 – Schéma de principe des quatre types de couches de mélange, d’aprèsFiedler et al. [51].

turbulence de cette interface, lorsque les vitesses en présence sont suffisamment grandes,favorise les échanges entre les deux courants et provoque l’épaississement de la zone decisaillement.

Suivant la géométrie de la plaque séparatrice, les orientations (ou angles d’écoule-ment) Ψ1 et Ψ2 des vecteurs vitesse des deux écoulements, ou les modules C1 et C2 de cesvecteurs, on peut distinguer différents types de couche de mélange spatiale (figure 2.2) :

– La couche de mélange oblique asymétrique : est formée par deux écoulements ayantdes vecteurs vitesse de modules différents et possédant des orientations différentes(figure 2.2-a).

– La couche de mélange plane : les deux écoulements ont des vecteurs vitesses demodules différents et possédant une même orientation nulle (figure 2.2-b).

– La couche de mélange oblique symétrique : est obtenue en faisant croiser deux jetsdont les vecteurs vitesse ont le même module et des angles d’écoulement de mêmemesure, mais de signes opposés ( figure 2.2-c).

– La couche de mélange oblique entre deux écoulements parallèles : les deux écoule-ments ont des vecteurs vitesse de modules différents mais d’orientations identiquesnon nulles. Elle peut être obtenue, par exemple, avec un bord de fuite en dérapage(figure 2.2-d).

– Le sillage : les deux écoulements ont des vecteurs vitesse de même module et unemême orientation.

– La marche : l’un des deux écoulements a un vecteur vitesse d’orientation nulle etl’autre a une vitesse égale à 0.


Figure 2.3 – Schéma de la couche de mélange anisotherme. Le développement avalde la zone de mélange thermique est illustré par l’expansion de la régioncoloriée sur cette figure où la température est comprise entre T1 et T2.

C) La couche de mélange anisotherme Dans le cas où les deux écoulements àl’origine de la couche de mélange sont de températures ou de masses volumiques diffé-rentes (gradient thermique ou mélange binaire d’espèces différentes, de concentrationsdifférentes), les propriétés des deux écoulements (la température T ou la concentrationd’une espèce C) vont subir l’advection par le champ de vitesse. La couche de mélangeest dite co-gradient lorsque les gradients de scalaire et de vitesse sont de même signe,et contre-gradient lorsqu’ils sont de signes opposés. On parle de couche de mélangeanisotherme lorsque le scalaire en présence est la température. Un schéma de principe dela couche de mélange anisotherme est donné à la figure 2.3.

2.2.2 Similitude et grandeurs caractéristiques

A) Etude analytique L’écoulement de couche de mélange plane peut être décrit par leséquations classiques de la mécanique des fluides en considérant les hypothèses suivantes :

– la direction z, parallèle au bord de fuite de la plaque séparatrice, est une directiond’homogénéité : w = 0, uw = 0, vw = 0, ∂

∂z() = 0 ;

– l’écoulement est stationnaire, soit ∂

∂t() = 0 ;

– les effets visqueux et le gradient longitudinal de pression à l’extérieur de la zone demélange sont négligeables ;

– approximation de couche mince : v << u et ∂

∂x()<< ∂

∂y() .


Ainsi, les équations de Navier-Stokes s’écrivent :

u∂u

∂x+v

∂u

∂y=−∂u

′v′

∂y(2.7)

∂u

∂x+ ∂v

∂y= 0 (2.8)

Il existe plusieurs solutions analytiques à ce problème ouvert. On pourra se référer, parexemple, à l’analyse menée par Görtler [55] utilisant le concept de viscosité turbulentede Boussinesq [23] et le schéma proposé par Prandtl [101] ou aux travaux de Townsend[123]. Ces résultats sont rappelés par exemple dans la thèse de Bellin [17].

En considérant que, dans la zone développée de la couche de mélange, toutes lesgrandeurs moyennes et turbulentes peuvent se déduire des profils amont par similitude, lavariable de similitude η= y−yv

x−xv, les coordonnées

(xv,yv

)de l’origine virtuelle de la couche

de mélange et le paramètre d’expansion σ de la couche de mélange sont généralementintroduits.

Les grandeurs moyennes satisfont alors des lois universelles :

U −U2U1−U2

= f(ση) ,

u′v′

(U1−U2)2 =−g(ση) ;

La solution pour U s’écrit :

U −U2U1−U2

= 12(1 + erf(σ(η−η0))

)(2.9)

où– erf est la fonction erreur définie par :

erf(x) = 2√π

∫ x

0exp(−t2)dt

– η0 est la valeur prise par la variable de similitude sur l’axe de la couche de mélange.L’intégration de l’équation 2.8 permet alors d’accéder à la vitesse transversale V :

V =− ∆U2σ√πexp(−σ2η2) . (2.10)


B) Epaisseurs Dans la zone de similitude, le champ de vitesse moyenne permet dedéfinir les épaisseurs suivantes :

– l’épaisseur de quantité de mouvement Θ

Θ =∫ +∞

−∞

U −U2U1−U2

(1− U −U2

U1−U2

)dy , (2.11)

– l’épaisseur de vorticité δω : est une dimension caractéristique de la couche de mélangequi peut être définie à partir du profil de vitesse moyenne par :

δω = U1−U2(∂U∂y

)max

. (2.12)

Cette épaisseur est illustrée sur la figure 2.4 représentant les principales notationsutilisées dans une couche de mélange.

1U

2U

2U

1U

Figure 2.4 – Principales notations utilisées dans une couche de mélange.

Elle est représentative de la taille des structures primaires présentes dans la couchede mélange.


L’épaisseur de vorticité présente, dans la zone de similitude, une évolution linéaire quis’écrit à partir de la relation analytique 2.9 comme suit :

δω =√π

σ

(x−xv

). (2.13)

Le taux d’évasement est défini par : ∆′ = dδω(x)dx

, où δω(x) est l’épaisseur de la couchede mélange à la position longitudinale x.

L’expression 2.13 permet d’accéder au paramètre d’expansion σ :

σ =√π

∆′ . (2.14)

La position de l’origine virtuelle xv de la couche de mélange est alors définie par : xv = x

telle que δω(x) = 0 .Le paramètre d’expansion σ étant sensible aux conditions initiales, on introduit gé-

néralement σ0, qui correspond au cas où l’un des côtés de la couche de mélange est aurepos (cas de la « marche descendante »). Abramovich [4] et Sabin [108] ont proposé unerelation empirique :

σ0 = λσ (2.15)

(λ est défini plus loin dans le paragraphe C). Cette relation permet de regrouper la plupartdes données expérimentales caractérisant l’expansion de la zone de mélange.

C) Influence des paramètres externes sur le développement de la couche demélange Le développement d’une couche de mélange plane est très lié aux conditionsgénératrices de l’écoulement en amont :

– l’état laminaire ou turbulent des couches limites initiales sur la plaque séparatrice,– l’intensité de turbulence de l’écoulement libre,– le rapport des vitesses r = U2

U1ou le paramètre de cisaillement λ = (1− r)/(1 + r),

où r < 1,– la géométrie de la plaque séparatrice.

Les principales modifications notées dans le développement d’une couche de mélangeen fonction du rapport de vitesse r des deux courants en amont sont :

– une expansion plus importante lorsque r diminue (ou lorsque λ augmente),


– un refoulement de l’origine virtuelle vers l’amont et une persistance du sillage de laplaque séparatrice lorsque r augmente.

Généralement les profils de la vitesse moyenne adimensionnée se superposent bien unefois que le sillage de la plaque séparatrice a disparu. Cette disparition est d’autant plusrapide que r est petit.

La question d’une modification des propriétés de similitude, notamment la distancedite de développement, requise pour atteindre la similitude, par une variation de r resteplutôt ouverte. En effet même si la plupart des résultats expérimentaux sur cette ques-tion sont obtenus avec des écoulements nominalement identiques, des différences dans lesconditions initiales comme le taux de turbulence, l’épaisseur et la forme de la plaque deséparation, l’épaisseur des couches limites au bord de fuite de la plaque, ainsi que les tauxde turbulence de ces couches limites, rendent les comparaisons difficiles.

Un écoulement de couche de mélange devient auto-similaire lorsque :

1. l’épaississement de la zone de mélange en fonction de la distance aval est linéaire

2. la forme des profils de vitesse moyenne rapportée à la différence de vitesse est indé-pendante de la distance aval

3. la forme des profils des grandeurs turbulentes rapportées à la différence de vitesseest indépendante de la distance aval.

Les conditions 1. et 2. correspondent à la similitude de l’écoulement moyen. La condition3. assure une similitude des grandeurs turbulentes, dans ce cas les extrema des tensions deReynolds adimensionnées par la différence de vitesse évoluent de manière asymptotiqueen fonction de la distance aval.

Spencer [118] a examiné le développement de couches de mélange avec des coucheslimites non excitées, pour deux rapports de vitesse r = 0.3 et r = 0.6, avec un taux deturbulence initial de 0.1%. Ses résultats indiquent une augmentation de la distance dedéveloppement de la couche de mélange lorsque le rapport de vitesse r augmente.

Une conclusion identique est donnée par Yule [136] pour presque les mêmes valeurs der, mais lorsque les couches limites initiales sont excitées et le taux de turbulence initialde l’ordre de 1%.

Le développement de couches de mélange pour des rapports de vitesse de 0.3, 0.4,0.5 et 0.6, avec un taux de turbulence initial de l’ordre de 0.2%, a été étudié par Osteret Wygnanski [91]. D’après leurs résultats, le maximum local des fluctuations de vitesselongitudinale rapporté à la différence de vitesse, dans la région de similitude de ces couches

2.3 Données expérimentales et numériques sur la couche de mélange 19

de mélange, est approximativement constant (de l’ordre de 0.18) pour ces valeurs de r.Mehta et Westphal [84] ont mis en évidence que la couche de mélange obtenue à partir

de deux courants atteint la similitude après une distance de développement beaucoup pluspetite que pour la couche de mélange avec un côté au repos. Cela suppose que la distancede développement de la couche de mélange décroît lorsque l’on augmente le rapport devitesse r.

Des résultats plus récents de Mehta [83] (r compris entre 0.5 et 0.9, des vitesses prisesentre 10.5 m/s et 21 m/s, un taux de turbulence inférieur à 0.15%) et Azim et al. [3](r de 0.7 à 0.9, des vitesses de l’ordre de 10 m/s) apportent des éléments de réponsesupplémentaires pour des écoulements avec un faible taux de turbulence extérieur. Pour0.5≤ r ≤ 0.7, les résultats de Mehta [83] indiquent une évolution décroissante en fonctionde r de la distance de développement requise pour avoir une similitude des grandeursfluctuantes et des grandeurs moyennes. Pour 0.7 ≤ r ≤ 0.9, Azim et al. [3] ou encoreMehta [83] ont constaté une augmentation de la distance de développement, ainsi quel’impossibilté d’avoir la similitude de l’écoulement pour r = 0.9.

Ces deux études ont mis en évidence l’indépendance de la structure de la turbulencevis à vis du rapport de vitesse r lorsque la similitude est atteinte dans un écoulementavec un niveau de turbulence initial faible (< 0.2%). Cela se traduit notamment par uneconvergence du pic des tensions de Reynolds adimlensionnées par ∆U vers une constante,qui est ici égale à la valeur de 0.18 donnée par Oster et Wygnanski [91].

2.3 Données expérimentales et numériques sur la couchede mélange plane

2.3.1 Instabilités et structures

Brown et Roshko [27] ont mis en évidence, pour la première fois, à travers des visua-lisations instantanées par ombroscopie de l’écoulement d’une couche de mélange plane,la présence, dans la zone cisaillée, de grosses structures tourbillonnaires, à tendance bidi-mensionnelles, organisées (figure 2.5).

La création et l’évolution dynamique de ces structures cohérentes, facilement obser-vables aux faibles nombres de Reynolds, sont généralement associées à la notion d’insta-bilité. Dans le cas de la couche de mélange, c’est l’instabilité inflexionnelle, communémentprésente dans les écoulements cisaillés libres de jets et de sillages, qui est principalement


Figure 2.5 – Visualisation des structures cohérentes de la couche de mélange, d’aprèsBrown et Roshko [27].

responsable de la génération de ces structures primaires appelées structures de Kelvin-Helmholtz.

Ces structures à caractère fortement bidimensionnel voient leur taille augmenter linéai-rement, à travers un processus d’appariement dans lequel deux tourbillons successifs in-teragissent en s’enroulant l’un avec l’autre pour former une structure plus grosse. Cetappariement régit l’élargissement de la couche de mélange comme l’ont observé Winantet Browand [134] pour de faibles valeurs du nombre de Reynolds Re comprises entre 45 et850 (Re basé sur l’épaisseur de la zone de mélange), Dimotakis et Brown [44] ou encoreHernan et Jimenez [61] pour des nombres de Reynolds plus élevés.

A cette structuration primaire se superpose une organisation dite secondaire à pluspetite échelle, qui est due à une autre instabilité, soit transversale, soit interne aux tour-billons primaires. Ce sont de petits tourbillons longitudinaux qui s’organisent sous la formed’épingles à cheveux, observés par Bernal et Roshko [20] en visualisant des plans perpen-diculaires à la direction de l’écoulement moyen. Ces structures ont un espacement moyensuivant l’envergure qui est de l’ordre de 2/3 de la séparation longitudinale moyenne entreles structures primaires d’après les travaux de Bernal [20] ou encore Bernal et Roshko [19].Elles contribuent directement à la tridimensionnalisation de l’écoulement par leur inter-action avec les stuctures primaires transversales. Selon Lasheras et al.[72], ces structuresse forment dans l’espace situé entre les cœurs des tourbillons primaires et contribuent auprocessus d’entraînement.

Sensibilité aux conditions amont Chandrsuda et al. [30] ont observé que la forma-tion des structures cohérentes était fortement liée aux conditions amont et au niveau deturbulence de l’écoulement libre.


L’influence de l’excitation des couches limites a été examinée par Bell et Mehta [16],Rogers et Mosers [106] ou encore Slessor et al. [115]. Ils ont pu établir que le taux de crois-sance de la couche de mélange avec une couche limite laminaire est jusqu’à 25 % supérieurà celui obtenu pour le cas turbulent. Cependant cette dernière configuration atteint plusrapidement le régime de similitude. La présence d’une préorganisation à l’intérieur descouches limites ou juste au bord de fuite de la plaque de séparation, venant exciter ouinjecter des modes transversaux influant le développpement dans la zone de transitionvoire en aval, pourrait être à l’origine de ces différences de comportement.

L’influence de l’épaisseur du bord de fuite de la plaque séparatrice a été étudiée parDziomba et Fiedler [12]. Cette épaisseur peut modifier directement la forme du profil devitesse longitudinale moyenne au sein de la couche de mélange. L’apparition d’un effetde sillage peut conduire, dans la région proche du bord de fuite, à la prédominance de lafréquence du lâché tourbillonnaire sur la fréquence d’instabilité de la couche de mélange.Cela peut retarder l’apparition du régime de similitude.

Il est possible de contrôler le développement des grosses structures de la couche demélange. Par exemple, les travaux de Oster et Wygnanski [91] ont montré que l’applicationd’un forçage au début de la couche de mélange pouvait accélérer ou retarder la formationde ces tourbillons et leurs appariements. Une technique de forçage capable d’accroître letaux d’expansion de la couche de mélange a été utilisée par Ho et Huang [64]. Cela consisteà provoquer l’appariement simultané de plusieurs structures à partir d’une perturbationde l’écoulement en amont de la couche de mélange avec une fréquence proche d’une sousharmonique de la fréquence caractéristique de l’écoulement.

Divers moyens de contrôle par soufflage, excitation mécanique ou acoustique, peuventêtre trouvés dans la revue de Fiedler [50].

2.3.2 Scalaire passif dans une couche de mélange

La plupart des études sur le transport de scalaire passif dans une couche de mélangeont montré que le champ scalaire se développe plus rapidement que le champ dynamique,et que la similitude de la vitesse n’implique pas forcément celle du scalaire.

A) Grandeurs moyennes Fiedler [49], dans sa recherche de modèle pour le mécanismede transport de scalaire dans les écoulements cisaillés turbulents, a étudié expérimentale-ment le développement de la température dans une couche de mélange plane anisotherme.


Les profils de température moyenne, qu’il a obtenus à différentes stations dans la zonecisaillée, présentent un aspect typique caractérisé par trois points d’inflexion contraire-ment à ceux de la vitesse qui sont tout à fait symétriques par rapport à un seul pointd’inflexion. Un comportement similaire peut être observé par exemple à partir des résulatsde Brown et Roshko [27], Koochesfahani et al. [69] ou encore Masutani et Bowman [82]dans le cas d’un mélange de scalaire obtenu en associant des gaz de densités différentesou de concentrations différentes. Cet aspect est illustré sur la figure 2.6 où les profilsde concentration de scalaire et de vitesse moyenne obtenus dans une couche de mélangeplane à basse vitesse (3-6 m/s) par Masutani et Bowman [82] sont comparés. Cette figuremontre la présence des points d’inflexion multiples sur le profil de concentration moyennecontrairement à celui de la vitesse mesurée à la même station x.

Figure 2.6 – Profils de vitesse et concentration moyennes dans un couche de mélangeen présence de scalaire passif, d’après Masutani et Bowman [82]. Lavitesse moyenne locale est adimensionnée par la différence de vitesseinitiale, et ζ correspond à la concentration locale moyenne, égalementadimensionnée.

B) Fluctuations Dans ce contexte, l’évolution des fluctuations de température obser-vée est bimodale et présente un profil creusé comportant deux pics contrairement auxfluctuations de vitesse. Un comportement similaire a été noté par Batt [14] qui a réalisé


des mesures de vitesse et de température dans une couche de mélange à basse vitesse avecla technique de l’anémométrie à fil chaud. Ce type de comportement est mis en évidencesur la figure 2.7 où les profils de valeurs rms du scalaire et de vitesse, obtenus par Masutaniet Bowman [82], sont comparés.

Figure 2.7 – Profils moyens et rms des vitesse et concentration dans une couche demélange, d’après Masutani et Bowman [82]. ζrms et Urms correspondentaux valeurs rms de la concentration et de la vitesse respectivement.

Selon Fiedler [49] ces caractéristiques suggèrent un mécanisme de transport largementconditionné par l’action quasi convective due au mouvement des grandes structures.

Ce comportement est également retrouvé dans l’approche numérique de Vanormelingenet Van den Bulck [127].

C) PDF du scalaire Les PDFs (Probability Density Function) sont communémentutilisées pour décrire le mélange du scalaire dans un écoulement. Dans le cas des couchesde mélange planes, on distingue généralement deux types de PDF du scalaire :

– Non-marching : lorsque le mode 1 de la PDF est invariant avec la position verticaley. Dans ce cas on parle de PDF avec un mode non défilant. Il existe alors unecomposition privilégiée du mélange.

1. valeur la plus probable.


– Marching : lorsque le mode de la PDF du scalaire dépend de la position transversaley. Dans ce cas on parle de PDF avec un mode défilant. L’efficacité ou non du mélangedu scalaire est alors liée à la proximité des frontières de la zone de mélange.

Une illustration des PDFs de types marching et non-marching est donnée sur la figure2.8, dans le cas de l’étude d’un jet chauffé, d’après Bisset [21]. Pour deux positions longi-tudinales proche et éloignée de l’entrée, il a observé respectivement des PDFs marching etnon-marching. Suite à l’asymétrie du profil de vitesse juste à l’aval du bord de fuite de laplaque séparatrice, les enroulements tourbillonnaires ont lieu du côté haute vitesse de lacouche de mélange, et provoquent une organisation privilégiée du mélange correspondantà une PDF non-marching.

Plus loin vers l’aval, le développement de structures fortement tridimensionnellesconduit au mélange rapide de fluide nouvellement entraîné, ainsi la composition moyenned’une région de l’écoulement dépend de la proximité de l’écoulement chaud ou froid, cequi est reflété par des PDF de type marching.

Pickett et Ghandi [98] ont réalisé des mesures quantitatives de scalaire passif dans unecouche de mélange incompressible en utilisant la technique de fluorescence induite parlaser. Leur expérience a révélé une composition privilégiée du mélange de scalaire favo-risant le fluide à grande vitesse. Masutani et Bowman [82], de même que Koochesfahaniet Dimotakis [68] dans le cas d’une couche de mélange entre deux liquides, ont mis enévidence un comportement similaire. Cette composition privilégiée du mélange se traduitpar des PDFs du scalaire de type non-marching qui comportent un pic situé du côté hautevitesse sur toute l’expansion de la couche de mélange. Selon Pickett et Ghandi [98] cettecomposition favorisant l’écoulement à haute vitesse pourrait expliquer la présence destrois points d’inflexion sur les profils moyens du scalaire. Batt [14] a observé des PDF detempérature de type marching.

D) Influence des conditions amont La composition du mélange de scalaire dans lacouche de mélange reste très sensible aux conditions initiales de l’écoulement.

Rogers et Mosers [106] ont examiné à travers des DNS (Simulations Numériques Di-rectes) d’une couche de mélange trois configurations de conditions d’entrée : couche limitelaminaire, légèrement excitée et fortement excitée respectivement. Leurs résultats ont in-diqué des PDFs de type marching dans les deux premiers cas et de type non-marchingdans le cas où les conditions d’entrée sont soumises à un forçage important.

Bisset[21] a pu reproduire, dans le cadre de simulations numériques, certains compor-tements observés expérimentalement dans le transfert de chaleur au sein des couches de


Figure 2.8 – Exemple de PDFs de la température pour deux positions en x dansune couche de mélange : non-marching (en haut) et marching PDF (enbas) ; les étiquettes sur les PDF correspondent à la position verticaley/δω ; d’après Bisset [21].


mélange turbulentes. Il a également noté des différences sur le comportement du champde température, comme par exemple l’absence du caractère bimodal des fluctuations ther-miques lorsque le chauffage est introduit plus loin à l’aval des premiers enroulements tour-bilonnaires. Cela suggère une influence des conditions initiales, comme l’état des coucheslimites sur la plaque séparatrice qui déterminent ces enroulements, sur la composition dumélange.

Pickett et Ghandi [97] ont étudié expérimentalement l’influence des conditions d’entréesur le mélange d’un scalaire passif dans une couche de mélange plane à basse vitesse. Pourdes conditions d’entrée laminaires ou légèrement excitées, les PDFs du mélange de scalairesont de type non-marching avec un biais au niveau du courant de grande vitesse, des profilsd’évolution moyenne du scalaire avec trois points d’inflexion et des fluctuations avec uncomportement bimodal. Lorsque la couche limite située côté haute vitesse est turbulenteces PDFs ont une forme hybride qui suggère une différence dans le processus de mélangeentre le côté basse vitesse et le côté haute vitesse de la couche cisaillée.

E) Influence du nombre de Reynolds Un paramètre déterminant dans le mélangedu scalaire est le nombre de Reynolds local :

Re= ∆U δν

,

où δ est une échelle de longueur caractéristique de l’écoulement (on choisit généralementl’épaisseur de vorticité, l’épaisseur de quantité de mouvement ou encore la distance parrapport à l’origine virtuelle de la couche de mélange), ν est la viscosité cinématique, et∆U la différence de vitesse. Ces grandeurs peuvent être chosisies de manière locale ouavec les conditions initiales. On parlera alors de nombre de Reynolds local ou de nombrede Reynolds global.

Les PDFs du scalaire de type non-marching sont généralement observées lorsque l’écou-lement passe la phase de transition. Lorsque le nombre de Reynolds local est suffisammentélevé, les PDFs sont de type marching.

Par exemple, Batt [14] a obsevé des PDFs de type marching dans une couche demélange avec Reδω = 4.104, Konrad [67] lui a obtenu des PDFs de types non-marchingavec Reδω = 2.104.

Plus récemment l’étude réalisée par Karasso et Mungal [65] pour des nombres deReynolds Reδω ≤ 3.104 a mis en évidence que l’état ultime d’une couche de mélange avecun nombre de Reynolds élevé est caractérisé par des PDFs du scalaire de type marching.


Une illustration de l’influence du nombre de Reynolds local sur les profils de tempé-rature moyenne et de fluctuations de température est donnée à la figure 2.9. Elle met enévidence, lorsque le nombre de Reynolds croît, une diminution de l’inflexion des profilsdes grandeurs moyennes et un équilibrage progressif entre les maxima de rms.

Figure 2.9 – Influence du nombre de Reynolds sur les profils moyens et rms de vi-tesse et température dans une couche de mélange, d’après [21]. M&B =Masutani et Bowman [82].

2.3.3 Couche de mélange à masse volumique variable

A) Expansion de la zone de mélange Soteriou et Ghoniem [116] ont examiné, dansune étude numérique, l’influence du rapport de masse volumique sur différentes caractéris-tiques de la couche de mélange incompressible. Ils ont réalisé, par la méthode des élémentsde transport Lagrangiens, des simulations de couches de mélange spatiales et une analysede stabilité linéaire pour des rapports de masses volumiques s variant de 1/4 à 4 et unrapport de vitesses r = 0.5, où l’écoulement lent est situé en bas. Ils ont observé que letaux de croissance et la longueur d’onde de l’instabilité de Kelvin-Helmholtz associés àces structures ne sont que faiblement affectés par le rapport de masse volumique des deuxcourants de l’écoulement.

Une relation empirique qui lie le taux de croissance de la couche de mélange spatialeincompressible, le rapport de vitesse r et le rapport de masse volumique s, est proposée


Figure 2.10 – Influence du rapport de masse volumique sur le développement spa-tial des couches de mélange planes : (a) contre gradient avec s = 1/3,(b)masse volumique constante, (c) : co-gradient avec s= 3 d’après So-teriou et Ghoniem [116].

par Dimotakis [43] :

δωx−xv

(r,s)' Cδ(1− r)(1 + s1/2)

2(1 + s1/2r)

1− (1− s)(1 + s1/2)

1 + 2.9(1 + r)(1− r)

. (2.16)

Dans cette relation, pour s = 1 on retrouve bien l’expression associée à la couchede mélange neutre donnée par Brown et Roshko [27]. Cδ est un coefficient empiriquequi dépend des conditions initiales, il est généralement compris entre 0.25 et 0.45. Cetterelation est très bien vérifiée par les résultats numériques de Sotériou et Ghoniem [116].Ils ont montré que lorsque le rapport de masse volumique s augmente, l’appariement destourbillons a lieu plus « tôt » et se fait de manière plus intense et plus fréquente plusloin à l’aval. Une illustration de ce résultat est représentée sur la figure 2.10. La zone demélange s’évase davantage lorsqu’on augmente la densité de l’écoulement inférieur lent et


le taux de croissance est bien une fonction croissante de s.

B) Entraînement volumétrique D’après Soteriou et Ghoniem [116], plus on aug-mente la densité de l’écoulement inférieur lent, plus le volume de fluide de l’écoulementrapide entraîné dans la zone de mélange augmente. Dimotakis [43] propose, pour carac-tériser cet entraînement volumétrique, la relation empirique suivante :

Ev =√s

1 + 0.68(1− r

1 + r

)= (1 + 0.68λ)√s . (2.17)

Cette relation, obtenue à partir du regroupement de résultats expérimentaux et analy-tiques, présente le rapport d’entraînement volumétrique Ev comme une fonction croissantede s et dépendant également du rapport de vitesse r.

C) Cas de la stratification Lorsque l’influence des forces de gravité sur l’écoulementde la couche de mélange à masse volumique variable est dominant, celui-ci peut présen-ter une structuration en plusieurs couches superposées de densités différentes : c’est lastratification.

Deux situations sont alors possibles :– si la masse volumique croît avec l’altitude (ou si le gradient de température estnégatif), l’écoulement est absolument instable et la stratification disparaît très ra-pidement

– si la masse volumique diminue avec l’altitude (ou si le gradient de température estpositif), on doit mener une étude plus approfondie pour déterminer les conditions destabilité de la stratification de l’écoulement. Une condition nécessaire, généralementadmise pour que l’écoulement soit instable, est que le nombre de Richardson degradient Ri soit inférieur à 0.25.

La stratification stable dans une couche de mélange limite la croissance de l’instabilitéde Kelvin-Helmholtz et atténue l’appariement des structures primaires lorsque le nombrede Richardson de gradient augmente, comme ont pu l’observer Thorpe [122], Atsavapraneeet Gharib [10] ou encore Caufield et Peltier [29] dans le cadre de couches de mélangetemporelles ou de simulations numériques. Dans certains cas cet « arrêt » de la turbulenceest suivi par une relaminarisation de l’écoulement sous forme de couches de densité.

Dans une stratification thermique stable, on peut réduire le mélange turbulent enaugmentant l’écart de température initial entre les deux courants (diminution du nombrede Froude réduit) car les forces de gravité, dans ce cas, absorbent l’énergie turbulente.


Ce résultat est constaté par Viollet [129, 130] dans le cadre de l’étude d’une couche demélange générée dans un canal en mettant en contact deux courants d’eau de températuresdifférentes (comprises entre 10C et 26C), avec des vitesses distinctes (dans la gamme0.05 m/s à 0.5 m/s) de sorte à avoir un nombre de Froude réduit variant de 0.9 à 5 etun nombre de Reynolds, basé sur la hauteur du canal, compris entre 5.103 et 104. Viollet[129, 130] montre que pour certaines valeurs suffisamment faibles du nombre de Froude(de l’ordre de 0.9), le mélange peut même être complètement inhibé par les forces degravité. Dans ce cas les deux couches persistent et conservent leur température sans semélanger sur une grande longueur, même si les vitesses s’homogénéisent du fait des ondesde gravité qui se produisent à l’interface entre les deux écoulements, générant un certainéchange de quantité de mouvement même s’il n’y a pas d’échange de quantité de chaleur.Ses résultats, représentés sur la figure 2.11, montrent un minimum d’échanges thermiquespour la plus petite valeur du nombre de Froude réduit, ce qui correspond ici à un nombrede Richardson supérieur à 1.

0

1

2

3

4

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Ri

x/h

Fr=0.9Fr=1.6Fr=2.5Fr=5.0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

√T

2h∂T/∂y

x/h

Fr=0.9Fr=1.6Fr=2.5Fr=5.0

Figure 2.11 – Influence du nombre de Froude réduit sur l’évolution longitudinale dunombre de Richardson de gradient et des fluctuations de températuredans une couche de mélange ; d’après Viollet [129].

Dans le cas d’une stratification instable, les forces de gravité produisent de l’éner-gie turbulente. Ainsi, augmenter l’écart de température amplifie le mélange et détruitrapidement la stratification comme on peut le voir sur la figure 2.12

2.4 Le jet anisothermeLe jet anisotherme, ou plus généralement le jet à masse volumique variable, est un

écoulement très largement étudié. Parmi les études qui nous ont semblé les plus impor-

2.4 Le jet anisotherme 31

a) b)

Figure 2.12 – Visualisations de la couche de mélange pour deux valeurs du nombre deFroude réduit, en situations : stable (a) et instable (b), d’après Viollet[130]

tantes ces dernières années, on peut citer les travaux de Ricou et Spalding [104], Bashiret Uberoi [13], Antonia et al. [9], Antonia et Blidger [8], Chevray et Tutu [33], et Chen etRodi [32].

Plus récemment l’influence des conditions initiales a été examinée par Chua [35], Chuaet Antonia [36], Mi et al. [85]. L’effet des variations de masse volumique sur le dévelop-pement du jet a été étudié par Pitts [100], Panchapakesan et Lumley [94], Djeridane [45],Sautet et Stepowski [113]. Pietri [99] en 2000 a étudié les interactions vitesse températuredans le cas du scalaire passif, Lucas [81] a lui étudié le couplage des champs dynamiqueet de concentration. Lubbers et al. [80] ont étudié numériquement le développement dezone de similitude dans le cas d’un tra nsport de scalaire passif. Anderson et Bremhorst[5] ont examiné le développement d’un jet d’air fortement chauffé avec des écarts de tem-pérature à l’injection atteignant 598 K. Orlu [90] a étudié le cas du jet anisotherme avec« swirl » (ou rotation).

D’un point de vue dynamique l’écoulement dans un jet rond (axisymétrique) comprenddeux zones principales. La première est appelée cône potentiel ou zone de développement(sauf pour le jet de tube). Du fait du gradient de vitesse qui existe entre le jet et l’en-vironnement dans lequel il évolue (qui peut être au repos ou à une vitesse relativementfaible comme dans le cas d’un co-courant), des couches de cisaillement se développent surles bords du jet. Le cône potentiel débute à la sortie de la bouche d’injection et prend finlorsque ces couches de cisaillement se sont rejointes sur l’axe du jet. A l’intérieur du cônepotentiel, toutes les conditions de sortie du jet sont conservées (vitessse, pression,...).La deuxième zone correspond à la partie pleinement développée de l’écoulement. Dans


cette région, les profils transverses de vitesse sont semblables, d’où l’appellation zone desimilitude (ou encore zone lointaine) du jet.

Lorsqu’on s’intéresse à l’écoulement de jet rond obtenu par injection d’un fluide demasse volumique différente du milieu environnant, on peut découper l’écoulement en troisrégions principales (cf figure 2.13) d’après Ricou et Spalding [104] :

– une première région avec un comportement de jet pur, incluant la zone de cônepotentiel, où les forces de pesanteur n’ont que peu d’influence sur le développementde l’écoulement.

– une région de comportement en panache pur dans laquelle les forces de gravitédominent.

– entre ces deux régions, on trouve une zone intermédiaire (ou de convection mixte si lescalaire en présence est la température) où coexistent ces deux forces et l’écoulementest dit de type panache forcé.

Chen et Rodi [32], à partir d’un regroupement de résultats expérimentaux, ont proposédes relations empiriques permettant d’obtenir une bonne approximation de l’étendue deces régions à l’aide du nombre de Froude du jet (Frj) et du rapport de masse volumiqueentre le jet et l’écoulement extérieur (ρj

ρe) dans le cas de jets plan et axisymétrique. Ils

ont montré que, dans le cas d’un jet axisymétrique de diamètre Dj , la première zone dejet pur, incluant le cône potentiel, s’étend jusqu’à l’abscisse adimensionnelle définie par :

X1 = x

DjFrj

−1/2

ρjρe

−1/4

' 0.5 (2.18)

et la zone de panache débute àX2 = 10X1 (2.19)

Les évolutions de la vitesse et du scalaire sur l’axe du jet à masse volumique variablesont généralement décrites par des lois de décroissance hyperbolique de type :

UcU0

= A(s0)(x−xv)/Dj

(2.20)

etScS0

= B(s0)(x−xv)/Dj

(2.21)

où Uc et Sc représentent les vitesse et scalaire sur l’axe du jet, U0 et S0 leur valeurà l’injection, xv une origine virtuelle, x l’abscisse suivant l’axe longitudinal du jet. Les


Figure 2.13 – Schéma des trois zones d’un jet à masse volumique variable.


coefficients A et B dépendent du rapport de masse volumique à l’injection entre le jet etl’environnement ambiant : s0 = ρj/ρe. Un regroupement de résultats expérimentaux parces relations empiriques est représenté sur la figure 2.14, pour des abscisses adimensionnéestelles que 20≤ (x−xv)/Dj ≤ 100. Comme on peut le voir sur cette figure, les coefficientsA et B augmentent avec, s0, le rapport de masse volumique à l’injection.

Djéridane [45, 46] a réalisé des travaux expérimentaux sur l’influence de la variationde masse volumique, obtenue par chauffage ou combinaisons de gaz différents, sur ledéveloppement des champs dynamique et scalaire de jets turbulents axisymétriques. Il aclairement montré que lorsque le jet de gaz est plus léger que l’environnement dans lequel ils’épanouit, le mélange se fait plus rapidement et que son entraînement est plus importantque celui d’un gaz lourd, comme l’ont observé Russ et Strykowski [107]. Ces derniers sesont intéressés à l’influence d’une variation de masse volumique, obtenue par chauffage, etde l’état des couches limites sur le développement des jets. Dans leurs travaux, ils ont testéplusieurs configurations pour les conditions d’entrée avec des rapports de masse volumiqueà l’injection de 0.5, 0.75 et 1 pour un nombre de Reynolds de 10000. Une augmentationde l’épaisseur de quantité de mouvement de la couche limite provoque une extensiondu cône potentiel et un décalage vers l’aval des premiers appariements de structures.Pour tous les rapports de masse volumique testés, ils ont ainsi montré une réduction dumélange lorsque les conditions initiales sont turbulentes. Lorsque les conditions d’entréesont laminaires, le cône potentiel thermique est rallongé pour les couches limites les plusépaisses, et la décroissance de la température est plus rapide que pour des conditionsinitiales turbulentes.

Pietri et al. [99] ont analysé l’interaction entre les champs de vitesse et de températuredans un jet d’air axisymétrique faiblement chauffé (20K soit ρj/ρe = 0.94) se développantdans un écoulement à co-courant. Leur étude est basée sur des mesures simultanées dela vitesse et de la température sur l’axe du jet au moyen de la LDA (Laser DopplerAnemometry) couplée à un fil froid. A partir des PDFs conditionnelles, ils ont montré unedépendance de l’écoulement par rapport aux conditions initiales jusqu’à une position surl’axe située à x/Dj = 10, où l’écoulement commence à être bien mélangé. Ils ont mis enévidence la présence, dans la zone développée du jet, de PDFs de températures s’écartantplus d’une Gausienne que celles de la vitesse.


Figure 2.14 – Effet de la masse volumique sur les taux de décroissance dans les jetsà basse vitesse d’après Chassaing et al. [31].


2.5 Mesure simultanée de vitesse et température parthermo-anémométrie

La mesure simultanée de la vitesse et de la température dans des configurations d’écou-lements turbulents instationnaires, à une position donnée, reste un problème ouvert, par-ticulièrement lorsqu’une bonne réponse en fréquence est requise. Parmi les méthodes uti-lisées dans la littérature pour résoudre ce problème dans les écoulements instationnaires,l’anémométrie à fil chaud peut être utilisée. Nous présentons dans cette section, après unrappel succinct des principes de base de l’anémométrie à fil chaud, les techniques multi-fils et la méthode de la surchauffe multiple, avant d’introduire brièvement les techniquescouplant la thermométrie avec les mesures optiques.

2.5.1 Thermo-anémométrie à fil chaud

Le principe de base de l’anémométrie à fil chaud consiste à placer un fil très fin, chaufféélectriquement, dans un écoulement pour déterminer la vitesse de cet écoulement à partirdu transfert de chaleur entre le fil chauffé et le fluide en mouvement. Suivant le nombrede composantes de la vitesse que l’on cherche à obtenir, il existe plusieurs configurationsde sondes à fils chauds (deux fils croisés, quatre fils,...), chaque fil mesurant une com-posante de la vitesse dans le plan qui lui est perpendiculaire. Dans certaines conditionsd’utilisation, le fil chaud permet d’accéder à la température du fluide.

La première méthode utilisée pour faire fonctionner un fil chaud est le CCA (ConstantCurrent Anemometer). Dans ce cas le fil est chauffé par un courant de faible intensitémaintenu constant à travers un circuit électronique. Le transfert de chaleur entre le filet le milieu ambiant est constant de sorte que la température du fil, par conséquent sarésistance, varie avec la vitesse de l’écoulement du fluide. Cette méthode, très utiliséejusque dans les années 60, ne permet que des mesures à des fréquences modérées (parexemple ne dépassant pas 700 Hz pour un fil de 2.5 µm de diamètre sans compensation),ce qui restreint son utilisation à des écoulements à faible taux de turbulence ou à lathermométrie. Pour un fil alimenté en mode CCA, si l’intensité du courant y circulantest choisie suffisamment faible, c’est à dire de sorte que son échauffement par effet Joulesoit négligeable, sa résistance dépend principalement des fluctuations de la températurelocale du fluide et très peu de la vitesse. On parle alors de fil froid, utilisé pour mesurerla température.

2.5 Mesure vitesse température par thermo-anémométrie 37

Le mode de fonctionnement généralement employé pour les mesures de vitesse dansles écoulements turbulents est le CTA (Constant Temperature Anemometer). La tempé-rature du fil est maintenue constante en plaçant celui-ci dans un pont de Wheatstone,où l’équilibre est assuré par un circuit électronique approprié. Pour ce faire, la tensiond’excitation du fil est constamment ajustée par le circuit à rétroaction de sorte que lachaleur fournie au fil soit toujours équivalente au transfert de chaleur vers le fluide. Cettetension d’excitation du fil peut alors être directement reliée à la valeur instantanée de lacomposante de vitesse normale au fil. Dans ce dispositif la température de fil souhaitéeest exprimée sous la forme d’un coefficient de surchauffe généralement défini comme lerapport entre la résistance du fil à la température courante (de fonctionnement) et larésistance du fil à la température ambiante de référence :

aw = R(Tf )R(T0) (2.22)

Plus récemment le CVA (Constant Voltage Anemometer) a été introduit par Sarma[111, 112]. En mode CVA, la tension à travers le fil est maintenue constante par un circuità rétroaction et le courant fourni au fil est mesuré à l’aide une série de résistances placéesdans le circuit. L’énergie dissipée par le fil est obtenue à partir des variations de l’intensitédu courant à travers le fil provoquées par les échanges avec le fluide.Kegerise et Spina [66] et Weiss et al. [133] ont expérimentalement et théoriquement com-paré le CTA et le CVA. Ils ont observé que la bande passante du CVA, contrairement auCTA, est quasiment indépendante du coefficient de surchauffe et du nombre de Reynoldsdu fil. Les résultats obtenus par Comte-Bellot et Sarma [37], Comte-Bellot et al. [38], Nor-ris et Chokani [89] dans des écoulements supersonique et hypersonique sont prometteurs.

2.5.2 Sonde multi-fils

A) Principe En anémométrie à fil chaud, la mesure simultanée de vitesse et de tem-pérature se fait usuellement à l’aide de sondes à plusieurs fils appelées sondes multi-fils.Suivant le nombre de composantes de la vitesse à mesurer, un ou plusieurs fils chauds(sensibles à la vitesse) fonctionnant en mode à température constante (CTA) peuventêtre associés à un fil froid (sensible à la température) fonctionnant en mode à courantconstant (CCA).

La méthode multi-fils a été employée entre autres par Antonia et al. [9], Antonia etBilger [8], Fabris [47], Chevray et Tutu [33] pour des mesures de flux de chaleur dans un


jet chauffé, ou encore Abdel-Rahman et al. [2].Une autre méthode consiste à utiliser deux fils chauds parallèles, avec des coefficients de

surchauffe différents, plutôt qu’un fil froid supplémentaire dont le faible diamètre imposegénéralement une restriction sur le domaine de vitesse dans lequel le capteur peut êtreutilisé. Cette technique dite de la sonde à double fil chaud, a été initialement utilisée parCorrsin et Uberoi [41] en 1949 pour la mesure de corrélations vitesse-température dans unjet chauffé. Blair et Benett [22] l’ont utilisée pour mesurer des fluctuations de vitesse et detempérature dans une couche limite anisotherme avec des coefficients de surchauffe de 1.2et 1.5. La réponse de la sonde double fil chaud a été comparée à celle d’un fil froid placédans un même écoulement de jet chauffé par Lienhard et Helland [77]. Leurs résultats ontmontré les limites de la sonde à double fil chaud dans la caractérisation des écoulementsfortement turbulents ou en présence de faibles fluctuations de température. Ils suggèrentl’utilisation du fil froid lorsque sa fragilité ne pose pas de problème.

B) Limitations Un inconvénient des sondes multi-fils est la bande passante du fil froidutilisé pour les mesures de température. En effet, en anémométrie fil froid, la bande pas-sante est liée aux caractéristiques géométriques du fil et à la vitesse de l’écoulement. Cettedépendance, décrite entre autres par Paranthoën [95], est rappelée à la figure 2.15 repré-sentant l’évolution de la fonction de transfert d’un fil froid en fonction de longueur etdu diamètre du fil. On peut y remarquer notamment une atténuation de la fonction de

Figure 2.15 – Fonction de transfert d’un fil froid en fonction des caractéristiques géo-métriques du fil, d’après Paranthoën [95].


transfert du fil froid aux hautes fréquences par l’inertie thermique du fil dont la principaleconséquence est une sous estimation des fluctuations de température mesurées. Cette at-ténuation est d’autant plus importante que le fil est épais ou la partie sensible du fil nonisolée des broches. Le fil froid doit donc être choisi très fin, ce qui pose des problèmesde fragilité. Bremhorst et Graham [24], et Graham et Bremhorst [54] ont proposé destechniques de compensation, basées sur la connaissance de la constante de temps du filfroid. Ces compensations permettent d’augmenter la réponse en fréquence du fil froid desorte à pouvoir utiliser des sondes plus robustes avec un fil plus épais, par conséquentmoins fragile.

Le manque de résolution spatiale et le problème de l’interférence thermique entre les fils(chauffage du fil froid par les fils chauds, par exemple) constituent un autre inconvénientdes sondes multi-fils. Le problème de l’interférence thermique n’est pas toujours facileà résoudre, surtout dans les écoulements à basses vitesses où l’effet de la conductionau niveau des broches de la sonde n’est pas négligeable. Cette question a été abordéeentre autres par Chevray et Tutu [34], Hishida et Nagano [63], Antonia et al. [6]. Plusrécemment Vukoslavcevic et Wallace [103] qui ont utilisé ce type de sondes multi-fils dansun écoulement à basse vitesse (entre 0.5 et 3 m/s) ont examiné l’optimisation des positionsrelatives du fil froid et des fils chauds afin de réduire cette interférence. Leurs travaux ontmis en évidence que le chauffage du fil froid par le fil chaud est plus lié à la distance entreles deux fils et au coefficient de surchauffe du fil chaud qu’à leur disposition géométriquerelative.

2.5.3 La méthode de la surchauffe multiple à un fil

Cette méthode, relativement simple à mettre en œuvre matériellement, a l’avantagede posséder une très bonne résolution spatiale (un seul fil) et de ne nécessiter qu’uneseule chaîne anémométrique. Elle a été employée entre autres par Corrsin [39, 40] ouencore Verollet [128] dans des écoulements subsoniques, Kovasznay [70, 71], et Walker[131] dans le cas d’écoulements supersoniques. Fulachier et Dumas [52] l’ont utilisée pourl’étude d’une couche limite chauffée, Farcy [48] pour des mesures de corrélations vitesse-température dans un jet chauffé, Saez [109] pour l’étude de la convection mixte dans unécoulement ascendant d’air entre deux parois chauffées.


Figure 2.16 – Exemple de signaux instantanés de la tension anémométrique en modesurchauffe multiple ; d’après Weiss et al. [133]

A) Principe La surchauffe multiple est dérivée de la méthode des fils chauds paral-lèles. Au lieu d’appliquer au même moment deux surchauffes différentes à deux fils, laméthode de la surchauffe multiple utilise une sonde avec un seul fil chaud fonctionnantsuccessivement à différentes surchauffes. Pour un point donné de l’écoulement, la mesureest faite plusieurs fois pour différents points de fonctionnement du fil chaud caractériséspar la température du fil ou par l’intensité du courant qui y circule. Le rapport des sen-sibilités du fil à la vitesse et à la température variant en fonction de la surchauffe, il estalors possible de procéder à la séparation des moments d’ordre supérieur ou égal à 2 de lavitesse et de la température soit par résolution directe avec un algorithme de régression detype moindres carrés, soit par l’approche du diagramme des fluctuations. Un exempledu signal anémométrique obtenu par Weiss et al. [133] avec le principe de la surchauffemultiple appliqué à un écoulement supersonique est donné à la figure 2.16. La successionde plateaux sur le signal continu traduit le passage des différentes surchauffes.


B) Equations La tension anémométrique instantanée e(t) aux bornes du fil chaud (fin)placé perpendiculairement à l’écoulement est une fonction de la vitesse instantanée u(t)et de la température instantanée T (t) :

e(t) = f(u(t),T (t)) . (2.23)

En utilisant la décomposition classique en valeur moyenne et composante fluctuante deces signaux :

e(t) = e+ e′ (2.24)

u(t) = u+u′ (2.25)

T (t) = T +T ′ , (2.26)

la différentielle totale de la relation 2.23, dans le cas d’intensités de turbulence faibles,s’écrit :

e′ = ∂e

∂uu′+ ∂e

∂TT ′ ; (2.27)

soit :e′ = χuu

′+χθT′ , (2.28)

où χu = ∂e

∂uet χθ = ∂e

∂Tsont les coefficients de sensibilité qui dépendent du niveau de

surchauffe du fil.

La variance des fluctuations de la tension anémométrique s’écrit alors en fonction desmoments d’ordre 2 de la vitesse et de la température de l’écoulement :

e′2 = χ2uu′2 + 2χuχθu′T ′+χ2

θT′2 . (2.29)

C’est une équation linéaire où u′2, u′T ′ et T ′2 sont les inconnues, e′2 est la variancedu signal anémométrique mesuré, les coefficients de sensiblité χu et χθ dépendent de lasurchauffe considérée. Donc, théoriquement l’équation 2.29 peut être résolue à partird’une mesure de la variance de la tension anémométrique instantanée e(t) pour au moinstrois surchauffes différentes.


C) Méthode de résolution directe Soit Ns le nombre total de surchauffes utilisées.Pour chaque niveau de surchauffe (ou température de fil), la relation 2.29 s’écrit :

e′i2 = χ2

u,iu′2 + 2χu,iχθ,iu′T ′+χ2

θ,iT′2 . (2.30)

L’indice 1≤ i≤Ns est associé au niveau de surchaufe, et χu,i, χθ,i sont les coefficients desensibilité pour la surchauffe considérée.

Par exemple, pour la loi de King étendue, que nous utiliserons par la suite (voir section4.2 du chapitre 4) :

e2i = (ai+ biU

ni)(Tfi−T ) , (2.31)

les coefficients de sensibilité pour une iième surchauffe s’écrivent :

χu,i = biniUni

2ei(Tf,i−T ) (2.32)

χθ,i =−ai+ biUni

2ei. (2.33)

Les valeurs de u′2, u′T ′ et T ′2 sont obtenues en résolvant par régression linéaire au sensdes moindres carrés le système formé par les équations obtenues pour chaque point defonctionnement du fil :

e′12

e′22

...

...

...e′Ns

2

=

χ2u,1 2χu,1χθ,1 χ2

θ,1

χ2u,2 2χu,2χθ,2 χ2

θ,2... ... ...... ... ...... ... ...

χ2u,Ns 2χu,Nsχθ,Ns χ2

θ,Ns

u′2

u′T ′

T ′2

. (2.34)

D) Méthode du diagramme des fluctuations L’autre approche, plus fréquemmentutilisée, est la méthode du diagramme des fluctuations. En introduisant le rapport descoefficients de sensibilité :

R = χu/χθ ,


l’équation 2.29 reliant la variance de la tension anémométrique et les moments d’ordre 2de la vitesse et de la température de l’écoulement peut être écrite sous la forme :

F (R) = e′2

χθ2 =R2u′2 + 2Ru′T ′+T ′2 . (2.35)

C’est l’équation d’une hyperbole de variable R (les variations de R sont obtenues enmodifiant la température du fil).

La méthode consiste alors à tracer l’évolution de e′2 mesurée pour différentes valeurs deR, puis utiliser l’ajustement par une hyperbole de régression pour obtenir les inconnuesu′2, u′T ′ et T ′2. Ce principe est illustré par la figure 2.17. L’hyperbole de régressioncoupe l’axe vertical en un point d’ordonnée A =

√T ′2 et a pour direction asymptotique√

u′2. Le coefficient de corrélation u′T ′/√u′2T ′2 est égal à −OB/OA, où B est le point

d’intersection de l’asymptote avec l’axe des ordonnées.La détermination de l’asymptote est souvent imprécise du fait de la limitation vers le

haut de la variable R par la valeur maximale de la surchauffe. Il en est de même pour ladétermination du point A en raison des faibles valeurs du courant qu’elle requiert.

Figure 2.17 – Schéma de principe de la méthode du diagramme des fluctuations.

E) Avantages et limitations Le mode de fonctionnement généralement employé pouralimenter le fil chaud en surchauffe multiple est le CCA ou le CTA. Cependant l’utilisationdu CTA en surchauffe multiple peut s’avérer délicate. En effet la fréquence de coupure


du fil chaud en mode CTA est conditionnée par la valeur du coefficient de surchauffe ascomme l’ont montré Owen et al. [93] :

MCTA =Mfil/(1 + 2asRfG) , (2.36)

où MCTA et Mfil sont respectivement les constantes de temps de l’anémomètre et du filpris seul, Rf est la résistance du fil et G est la conductance de l’anémomètre. La réponsedu système (fil+anémomètre) est alors difficilement optimisable vue qu’elle varie à chaquemodification de la surchauffe (température) du fil. Weiss et al. [133] ont proposé une priseen compte directe de ces variations de la réponse du fil dans le traitement des donnéesmais celle-ci nécessite la connaissance de la réponse du fil à chaque point de fonctionne-ment.

Une comparaison des diagrammes des fluctuations obtenus par Owen et al. [93] enCTA et en CCA est représentée sur la figure 2.18. Elle montre que cette méthode dudiagramme des fluctuations est difficilement exploitable en mode CTA où des surchauffestrès basses correspondent à une réponse en fréquence de l’anémomètre proche de celledu fil (vérifiée par l’équation 2.36). Un comportement similaire a été observé par Farcy[48]. Il est généralement recommandé d’utiliser le diagramme des fluctuations avec unanémomètre fonctionnant en mode CCA où les surchauffes basses peuvent être atteintesplus facilement.

La plupart des résultats obtenus avec la méthode du diagramme des fluctuations sonttrès sensibles aux petites variations des sensibilités en vitesse et en température pendantla mesure, et en général les grandeurs relatives à la température sont obtenues avec uneincertitude plutôt importante. Si l’on s’attache à obtenir une grande précision, la méthoderequiert l’utilisation de plusieurs points de fonctionnement du fil, dont des surchauffes trèsbasses pour une bonne sensibilité en température, et des temps d’essai relativement longs,par conséquent des installations fournissant des écoulements rigoureusement stationnaires.

Le développement récent de l’anémométre à tension constante (CVA), reconnu pourson faible niveau de bruit électronique et sa plus grande bande passante, ouvre des pers-pectives intéressantes pour l’utilisation de la surchauffe multiple confirmées par l’étudemenée récemment par Norris et Chokani [89]

La méthode de la surchauffe multiple avec traitement des données par la méthode dudiagramme des fluctuations ne donne pas accès à la mesure instantanée de la vitesse etde la température. Par conséquent des quantités basées sur la distribution des signaux


Figure 2.18 – Exemple d’utilisation du diagramme des fluctuations en modes CCA(symboles circulaires) et CTA (symboles carrés), d’après Owen et al.[93].


comme la fonction de densité de probabilité, par exemple, ne peuvent pas être obtenues.

2.5.4 Autres techniques

Utilisation de techniques optiques Avec le développement des techniques optiques,de nouvelles méthodes de mesure simultanée sont apparues, combinant technique laser etthermométrie. Parmi les différents auteurs qui ont expérimenté ces techniques, on peutciter Thole et Bogard [120] qui ont utilisé l’anémométrie laser couplée à un fil froid pourétudier une couche limite chauffée, Pietri et al. [99], Lemoine et al. [75] qui ont utilisé laLDA associée à un fil froid pour des meures simultanées de vitesse (2D) et de températuredans un jet chauffé, Hirota et al. [62] qui ont employé la LDV combinée avec un fil froiddans des couches de mélange thermiques, Funatani et al. [53] qui ont combiné la PIV etla LIF (laser induced fluorescenece) pour mesurer la vitesse et la température dans unpanache anisotherme.

Mesure simultanée de vitesse et de concentration Pour conclure cette partie duchapitre, précisons que les techniques optiques et l’anémométrie à fil chaud sont aussiutilisées pour des mesures des écoulements de mélanges de gaz différents. Par exemple,Koochesfahani et al. [69] ont développé une approche combinant la MTV (moleculartagging velocimetry) et la LIF pour la mesure simultanée des champs de vitesse et deconcentration dans les écoulements turbulents. Ils l’ont appliquée avec succès dans l’étuded’une couche de mélange. Harion et al. [56, 57] ont testé l’utilisation d’une sonde thermo-anémométrique à fil et film chauds pour des mesures dans des mélanges air/hélium. Dansleur dispositif, le fil placé en amont est nettement plus chauffé que le film aval. Sakaiet al. [110] ont utilisé deux fils chauds à des surchauffes différentes pour mesurer la vi-tesse et la concentration dans un jet de CO2. Soudani [117] a étudié l’optimisation dessurchauffes en mesure simultanée par thermo-anémométrie à fil et film chauds dans unmélange air/hélium.

Ces méthodes ne sont pas toujours faciles à mettre en oeuvre. De plus elles ne fournissentpas toujours une information continue en temps et non biaisée. L’anémométrie à fil chaud,relativement plus simple à mettre en oeuvre, reste donc toujours d’actualité.


2.5.5 Etalonnage du fil chaud

L’étalonnage d’un fil chaud permet d’établir la relation entre la tension e en sortie del’anémomètre et le module ainsi que la direction du vecteur de la vitesse incidente.

Lors de cet étalonnage, la vitesse est évaluée par différentes techniques suivant leniveau de vitesse d’étalonnage souhaité. Les techniques d’étalonnage présentent des limiteslorsqu’on descend à très basse vitesse. Il est alors nécessaire de trouver de nouvellessolutions pour effectuer des mesures dans cette gamme de vitesse.

En situation anisotherme, la forte sensibilité des capteurs fil chaud aux variations de latempérature du flux d’air constitue une difficulté à prendre en compte. Pour s’affranchirde ce problème il est indispensable d’étalonner le capteur en vitesse et en températurepour toute utilisation dans un écoulement anisotherme ou de température différente decelle de l’étalonnage. Quelques lois mathématiques de correction sont utilisables lorsqueles variations de température sont faibles.

A) Etalonnage classique Classiquement l’étalonnage est réalisé dans un écoulementnon perturbé (par exemple la région potentielle d’un jet, ou l’écoulement libre dans unesoufflerie). Pour une plage de vitesse de 5 à 100 m/s, on utilise la méthode classique demesure de vitesse de référence : le tube de Pitot.

Cependant, quand la vitesse de l’air est inférieure à 3 m/s, les écarts de pression∆P dans l’air deviennent si petits (∆P < 1 mm H20) qu’il est difficile d’obtenir desrésultats précis avec ce dispositif. Aussi un certain nombre de méthodes d’étalonnage ontété proposées pour les basses vitesses.

B) Etalonnage à basse vitesse Les trois méthodes d’étalonnage généralement pro-posées pour les basses vitesses sont : i) la conservation du débit, ii) la vidange de cuveou iii) l’étalonnage par déplacement de sonde.

i) Conservation du débit Les dispositifs de calibration commerciaux mettent enœuvre le principe de conservation de la masse. La sonde à fil chaud et le tube de Pi-tot sont placés respectivement en amont et en aval d’une contraction. Cette contractionmodifie la section ouverte à l’écoulement de façon à créer une accélération locale de lavitesse. Par exemple, Heitz [59] a obtenu, avec ce type de dispositif, une accélération dela vitesse d’un facteur 14. Une illustration de cet étalonnage peut être trouvée sur lafigure 2.19. Dans cet exemple, la chambre d’étalonnage est alimentée par un ventilateur à


Figure 2.19 – Illustration de l’étalonnage par conservation de débit, d’après Heitz[59].

vitesse réglable. Le débit circulant dans l’installation est mesuré par sondage du jet avecun tube de Pitot le long d’un diamètre, puis en inégrant les vitesses obtenues. La pressionde référence Pref mesurée dans la chambre de référence est reliée au débit par une loipolynomiale f . La relation entre la vitesse dans la chambre d’étalonnage et la pressiongénératrice est donnée alors par :

u= Q

S= f(Pref )

S,

où S est la section intérieure de la chambre.

ii) Vidange de cuve Cette méthode est utilisée pour étalonner les sondes dans lagamme des très faibles vitesses. Cet étalonnage a l’avantage d’être simple de mise enœuvre, peu coûteux et relativement précis. Cela consiste, par exemple, en un cylindrerempli d’eau, qu’il faut vider à travers un trou calibré. La vidange crée, par appel d’air,un flux d’air à l’intérieur du tube situé en haut du cylindre dont la vitesse est directement


liée à la hauteur d’eau au même instant. Cette méthode est illustrée par la figure 2.20.

Figure 2.20 – Etalonnage d’un fil chaud avec la méthode de la vidange de cuve. Lavitesse de la surface de l’eau correspond à −dh/dt. Les notations A1,A2, A3 et A4 représentent respectivement les aires des sections del’intérieur du tube d’admission, de la surface de l’eau et de l’eau à lasortie

.

iii) Déplacement de sonde Plusieurs auteurs (Tsanis [124], Aydin et Leutheusser[11], Seifert et Graichen [114]) ont effectué des essais d’étalonnage de 0 à 3m/s, pardéplacement linéaire d’une sonde montée sur une glissière. Ces investigations nécessitentun fluide au repos et le développement de systèmes de contrôle pour assurer une vitesseconstante au traîneau durant l’étalonnage. Aussi, ces méthodes exigent des calibrations àplusieurs niveaux pour chaque vitesse, afin d’obtenir les couples (Ei,Ui) sur les intervallesconsidérés. Pour des applications pratiques, ces courbes doivent être lissées. Les résultatsde Aydin et Leutheuser [11] et Tsanis [124] montrent que les couples de calibration peuventêtre lissés, avec une bonne précision, par une simple équation à loi de puissance.

Pour décrire le temps et la procédure d’étalonnage, des méthodes à vitesse variable ontété développées. Par exemple Bruun et al. [28], Haw et Foss [58] ont placé la sonde à l’ex-trémité d’un balancier de rayon R. Lors d’un déplacement, ils enregistrent simultanémentla tension E(t) issue de l’anémomètre et la position angulaire de la sonde Φ(t). La vitesseest alors déterminée par l’expression de U(t) = RdΦ(t)/dt. Ils utilisent la technique desmoindres carrés pour le lissage de la courbe et déterminent les constantes de calibration.


L’inconvénient de cette méthode, est que pour chaque couple (E,U), il n’existe qu’une me-sure. La méthode sera sensible aux vibrations de la sonde et aux erreurs de quantificationdes convertisseurs analogique-numérique.

C) Dérive de la température Dans certains écoulements, la température moyennepeut varier de jour en jour, ou pendant une expérimentation du fait de la chaleur dégagéepar les groupes moto-ventilateurs des souffleries par exemple. On parle alors de dérive dela température. Lorsqu’on se contente d’un étalonnage à température constante, si le filchaud est utilisé dans un écoulement où la température s’écarte de la gamme d’étalonnage,une correction est nécessaire pour tenir compte de cette dérive de la température. En effetles courbes d’étalonnage sont déplacées vers le bas pour un CTA ou un CVA et vers lehaut pour un CCA lorsque la température d’utilisation est supérieure à la températured’étalonnage et inversement dans le cas opposé.

Les méthodes de correction généralement mises en œuvre sont :– l’étalonnage en vitesse à différentes températures– l’ajustement manuel du point de fonctionnement– l’utilisation d’une compensation analytique nécessitant la mesure de la températurelocale du fluide que l’on prend ensuite en compte dans la loi de transfert de chaleurdu fil.

Un exemple de compensation analytique en mode CTA proposé par Lemonis et Dracos[76] est :

e2(Tref ) = e2(T )Tf −Tref

Tf −T

, (2.37)

où Tf est la température du fil, Tref est la température de l’écoulement d’étalonnage, Test la température mesurée, e(Tref ) est la réponse de l’anémomètre à la température del’étalonnage et e(T ) est la réponse de l’anémomètre mesurée à T .

Pour les grandes variations de température (de l’ordre de 300 à 500 K), Benjamin etRoberts [18] ont proposé la relation suivante :

e(Tref ) = e(T )1−γTref −Tf

Tf −T

, (2.38)

où γ = 0.5.

Une description détaillée de l’utilisation de ces méthodes de correction peut être trou-

2.6 Conclusion 51

vée dans les travaux de Bruun [28], Lekakis [73], Van Dijk et Nieuwstadt [125, 126], ouMoro et Vukoslavcévic [86].

D) Etalonnage vitesse-température L’étalonnage vitesse-température consiste à en-registrer la tension en sortie de l’anémomètre pendant que l’on fait varier, d’abord lavitesse à une température fixée, et/ou la température à une vitesse fixée. Cela requiertgénéralement une soufflerie avec des systèmes de refroidissement et de chauffage contrôlés.La fiabilité de l’étalonnage nécessite un nombre important de points vitesse-température.Par conséquent les durées d’essai sont relativement longues. Cela reste un inconvénientconsidérable d’autant plus que les caractéristiques du fil chaud changent avec le temps(« vieillissement » du fil entre autres). Il est donc nécesssaire de réaliser l’étalonnage enun temps court même si des alternatives pratiques consistent à vieillir 2 le fil avant deprocéder à la mesure [42].

2.6 ConclusionLes principaux résultats sur les couches de mélange et les jets, en rapport avec notre

étude, ont été rappelés dans ce chapitre. Quelques notions relatives au transport de sca-laire dans un écoulement ont été introduites. Ensuite la couche de mélange a été décriteà travers sa structuration et l’évolution de ses grandeurs caractéristiques. Nous avons puvoir que l’expansion de la couche de mélange est fortement liée aux conditions génératicesamont que sont l’état des couches limites, l’intensité de turbulence de l’écoulement libre,le rapport des basse et haute vitesses, ainsi que la géométrie de la plaque séparatrice. Cesparamètres jouent un rôle important notamment sur le taux d’expansion de la couche demélange, qui est une fonction croissante de l’intensité du cisaillement λ, et la distancede développement de l’écoulement, qui peut être augmentée par la trace du sillage dela plaque séparatrice. Des différences dans le développement des champs dynamique etscalaire (température ou concentration) ont été notées avec des comportements respec-tivement symétrique et plutôt dissymétrique. L’analyse du comportement du scalaire àpartir des PDFs donne quelques éléments de réponse sur cet écart à la symétrie, avec no-tamment des allures typiques des PDFs marching ou non-marching. L’approfondissement

2. chauffer le fil pendant plusieurs heures voire plusieurs jours jusqu’à ce que ses caractéristiques nevarient plus que très faiblement dans le temps.


de ces notions devrait permettre de mieux comprendre le couplage entre le scalaire et lavitesse dans l’écoulement. La détermination de ce couplage requiert la connaissance desdistributions simultanées de la vitesse et du scalaire.

Une revue des différentes méthodes de mesure simultanée de la vitesse et de la tem-pérature a donc été faite. On s’est particulièrement intéressé aux méthodes thermo-anémométriques. La question de l’étalonnage des fils chauds a été abordée, notammentles cas spécifiques des étalonnages à basse vitesse et/ou avec prise en compte de la tem-pérature variable de l’écoulement.

Ces différentes notions vont nous permettre de poser les bases de notre étude de lacouche de mélange plane horizontale à basses vitesses, en présence de gradients verticauxde température. La métrologie utilisée dans notre étude est une méthode innovante issuede la thermo-anémométrie à fil chaud par surchauffe variable et permettant la mesuresimultanée de la vitesse et de la température instantanées avec un seul fil chaud.

Chapitre 3

Configurations expérimentales etmoyens de mesures

Dans l’industrie agroalimentaire, maîtriser la propreté et la température de l’air aucontact des aliments est un des points clés de l’hygiène des ateliers. Pour cela, de nouvellestechniques se développent pour délivrer des flux ultra-propres ou froids à basses vitessessur le plan de travail. Ces techniques sont souvent fondées sur l’instauration de « frontièresaérauliques », de type couche de mélange, entre l’ambiance des ateliers et celle qui doitêtre maintenue au voisinage immédiat des produits pour des raisons sanitaires ou depréservation de la qualité.

Pour comprendre et mieux maîtriser les phénomènes en jeu, jusqu’à aujourd’hui peuétudiés, le Cemagref de Rennes s’est doté d’une soufflerie à basses vitesses pour produireles bases expérimentales de leur description scientifique pour de nouveaux développe-ments technologiques. Elle doit permettre de mesurer le comportement d’une frontièreaéraulique, de type couche de mélange anisotherme à basses vitesses, entre deux massesd’air dont la vitesse et la température sont maîtrisées séparément.

La conception de la soufflerie et de son instrumentation scientifique a été l’objet d’unecoopération scientifique entre le Cemagref de Rennes et le Laboratoire d’Etudes Aérody-namiques (LEA) de Poitiers, avec une mise au point particulièrement délicate de certainesparties : la maîtrise de vitesses et températures stables et indépendantes, le conditionne-ment aéraulique pour limiter les stratifications thermiques à basses vitesses en amont dela veine d’essai, la conception technique d’une plaque séparatrice remplissant plusieursfonctions en conditionnement d’écoulement, isolation thermique et support mécanique.

54 Chapitre 3. Configurations expérimentales et moyens de mesures

La construction de cette soufflerie nommée HABV (Hall Aéraulique à Basses Vitesses)par une société spécialisée a été achevée durant la troisième année de cette thèse.

Par ailleurs, pour répondre aux exigences de l’analyse fine de l’écoulement de couchede mélange anisotherme à basses vitesses, nous mettons en œuvre pour la première fois uncapteur à fil chaud dénommé PCTA (Parameterizable Constant Temperature Anemome-ter), développé par le LEA, pour la mesure simultanée de la vitesse et de la températureinstantanées à partir d’une sonde comportant un seul fil chaud. D’autres méthodes clas-siques de diagnostic, anémométrie à fil chaud, thermométrie à fil froid, visualisations partomographie laser et PIV, ont aussi été utilisées pour mener des comparaisons.

Dans l’attente de la disponibilité effective de la soufflerie, nous nous sommes consacrésau développement et à la validation des approches algorithmiques nécessaires à l’exploi-tation des signaux issus du PCTA. La validation a alors été effectuée dans une soufflerieà jets coaxiaux du LEA-CEAT (Centre d’Etudes Aérodynamiques et Thermiques) dePoitiers, avec des gammes de vitesse plus élevées que celles visées par la présente étude.Outre la validation de notre approche, cela nous a permis de mettre en évidence les verrousscientifiques et techniques et les règles à respecter lors des étalonnages [88].

Par la suite des procédures spécifiques d’étalonnage rapide vitesse-température desondes fil chaud ont été développées. A cette occasion nous avons conçu et réalisé unesoufflerie d’étalonnage à basse vitesse spécifique.

Sont présentés dans la première partie de ce chapitre la soufflerie d’étalonnage à bassesvitesses et la soufflerie HABV du Cemagref de Rennes. Dans un second temps les capteursutilisés et les moyens d’acquision sont décrits.

3.1 Soufflerie d’étalonnage à basses vitesses

L’étalonnage de sondes de mesure de type fil chaud, aux basses vitesses, en présencede gradient de température, reste complexe. Nous avons développé dans cette étude desprocédures d’étalonnage particulières à cette fin. La première étape a consisté en la concep-tion d’une soufflerie d’étalonnage exclusivement dédiée à l’étalonnage vitesse températureaux basses vitesses, avec l’exigence d’une bonne connaissance de la vitesse de référence etd’une durée d’étalonnage ne dépassant pas 5 minutes.

C’est une petite soufflerie à circuit semi-ouvert. La veine d’essais, de 0.5 m de long

3.1 Soufflerie d’étalonnage à basses vitesses 55

Figure 3.1 – Schéma de principe du dispositif d’étalonnage à basses vitesses.

et 142 mm × 142 mm de section, est alimentée par un écoulement avec un profil devitesse en entrée uniforme et une vitesse variable de 0.5 m/s à 5.5 m/s. L’écoulement peutêtre chauffé jusqu’à 40C par un système de résistances chauffantes à puissance variableplacées en amont du ventilateur. L’écoulement peut aussi être refroidi jusqu’à 2C parun échangeur air / eau activé manuellement et alimenté par un ballon d’eau glycolée de400 litres maintenue à une température de -5C. Dans des conditions de fonctionnementnominales, cinq minutes suffisent pour refroidir l’écoulement de 40C à 5C.

Un second convergent profilé, de rapport de contraction 9, est raccordé à la fin dela veine d’essais pour muliplier la vitesse à la sortie du même facteur. Cela permet unemesure de la vitesse avec un tube de Pitot par application de la conservation du débitentre la section d’essais et ce deuxième convergent. La validité de la mesure par tube dePitot après la contraction a été vérifiée par PIV sur toute notre gamme de vitesses ettempératures.

Une photographie de l’ensemble du dispositif est donnée à la figure 3.2. On y voitnotamment la soufflerie d’étalonnage, la chaîne d’acquisition et le système PIV ayantservi dans la validation de la relation linéaire entre la vitesse dans la veine d’essai et lavitesse après la contraction.


Figure 3.2 – Photographie du dispositif d’étalonnage à basses vitesses.

3.2 Soufflerie de mesures basses vitesses HABV 57

3.2 Soufflerie de mesures basses vitesses HABV

3.2.1 Génération des écoulements

La soufflerie HABV est équipée de deux circuits aérauliques juxtaposés fonctionnant encircuit ouvert. Chaque circuit aéraulique est constitué d’un ventilateur de 7.5 kW équipéd’une batterie froide alimentée par un groupe froid de 42 kW de puissance frigorifique etd’un réchauffeur de 31 kW. Un schéma de la soufflerie est repésenté sur la figure 3.3. Lesétapes et les différents éléments intervenant dans la génération de l’écoulement de couchede mélange y sont indiqués. Les deux écoulements d’air aspirés séparément en (1) passentpar un caisson de mise en pression, une chambre de conditionnement équipée d’écrans,puis un convergent. Toute cette partie amont (2) est divisée en deux veines séparées parune plaque thermiquement isolante épaisse de 52 mm. A la sortie du convergent, les deuxcourants se rencontrent au bord de fuite de la plaque séparatrice dont la partie finale,construite en aluminium, est effilée avec une pente de 3 et une épaisseur de 3 mm aubord de fuite. Le rapport de contraction du convergent est de 2.25.

La couche de mélange ainsi générée se développe dans une veine d’essai de sectioncarrée 1 m × 1 m et de longueur 3 m. A l’aval de la veine d’essai, le flux mélangé estévacué par un divergent (3).

La vitesse et la température dans ces deux écoulements parallèles sont réglées demanière indépendante, respectivement dans les gammes 0.5 à 5 m/s et 5C à 35C.

La soufflerie peut pivoter autour de son axe pour changer l’orientation du plan centralde la couche de mélange par rapport à la gravité, pour des études fines de convectionmixte. Cette dernière fonctionnalité n’a pas été utilisée dans la présente étude.

La réalisation des expériences dans un volume de 3 m3 autour d’une couche de mélangeplane de 3 m2 de plan central, a nécessité la construction d’un hall d’essai de 20 m delong, 8 m de large et 5 m de haut pour loger l’installation. L’isolation thermique du halldédié exclusivement à la soufflerie permet d’atteindre rapidement un régime stabilisé detempérature ambiante directement lié à la température du mélange produit en (3) par lasoufflerie.

La régulation thermique de chacun des deux écoulements est gérée séparément par labatterie froide d’échange air / eau alimentée avec de l’eau glycolée à -4C, couplée auréchauffeur électrique placé en aval de cet échangeur. Pour chaque veine, la régulation estasservie, via un dispositif de contrôle PID à une sonde de température Pt100 placée en


Figure 3.3 – Soufflerie à basses vitesses HABV (Hall Aéraulique à Basses Vitesses).


Figure 3.4 – Schéma de la soufflerie HABV vue de côté.

sortie du convergent, à l’amont immédiat de la veine d’essai. Les variations de températuremesurées en régime établi en sortie de convergent sont, avec ce système, de moins de 1Cpour les vitesses et les écarts de température les plus élevés, mais peuvent atteindre ±2Cpour des vitesses faibles et des écarts de température faibles entre veines. Ces fluctuationsont une fréquence faible, de l’ordre de plusieurs minutes par période. Elles n’affectentdonc pas l’analyse des fluctuations turbulentes mais provoquent une variation de la valeurmoyenne de température qui peut se traduire par des variations spatiales apparentes surdes profils mesurés point par point sur une durée de plusieurs dizaines de minutes.

3.2.2 Système de coordonnées et déplacement des sondes

Le système de coordonnées utilisé est un repère cartésien. Il est schématisé sur la figure3.5.

– La direction longitudinale (Ox) est celle parallèle à l’écoulement principal. L’ori-gine correspond au bord de fuite de la plaque séparatrice des deux écoulementsconsidérés.

– La direction (Oy) est verticale ascendante et perpendiculaire au plan central de laplaque séparatrice. Son origine est située au bord de fuite de la plaque.

– La direction (Oz) est parallèle au bord de fuite de la plaque avec pour origine lemilieu de celui-ci

Le déplacement des sondes dans les trois directions est entièrement automatisé et assurépar un robot sur lequel le support de sondes est fixé. Le robot est solidaire d’un tapisroulant qui assure son déplacement suivant (Ox) pendant que les déplacements suivant(Oy) et (Oz) se font par translation avec un système de rails orthogonaux. La précision des


Figure 3.5 – Système de coordonnées associé à la soufflerie HABV.

déplacements est de 0.1 mm en y, 0.2 mm en z et 0.2 mm en x. Les différences de précisionsuivant les axes sont liées aux performances du matériel fourni par le constructeur.

3.2.3 Mises au point aérauliques et thermiques

Notre étude est le premier travail expérimental réalisé dans cette soufflerie. Nous avonsété amenés à porter certaines modifications dans le montage initial et corriger quelquesdéfauts de conception afin d’obtenir les conditions requises pour générer une couche demélange plane anisotherme avec des conditions initiales correctes pour l’étude.

Chauffer séparément les deux écoulements entrant et maintenir leur différence de tem-pérature constante tout au long des expérimentations n’est pas une chose facilementréalisable aux basses vitesses. Cela est d’autant plus difficile que la section d’entrée de laveine d’essai est grande (1 m x 1 m) et que la plaque de séparation est en aluminium surune grande partie effilée. Les problèmes de stratification thermique rencontrés en régimeà basses vitesses et la conduction thermique de la plaque rendent difficile l’obtention deprofils de vitesse et de température uniformes pour chacun des deux écoulements.

Une campagne de mesures préliminaires a été réalisée pour vérifier l’uniformité desprofils de vitesse et de température moyennes suivant 0y et 0z à la sortie de chacune desveines à la position longitudinale correspondant au bord de fuite de la plaque séparatrice.Ces mesures ont montré l’existence d’une zone de survitesse située entre y = −10 cmet y = 10 cm au voisinage de la plaque séparatrice et des profils de température nonuniformes en dehors des couches limites. Une exploration approfondie de l’écoulementdans le convergent a été menée afin d’en cibler l’origine et de porter les modifications


appropriées.La suppression de cette survitesse a necessité l’adaptation d’un cadre en bois autour de

la mousse en sortie de la chambre de mise en pression afin de mieux canaliser l’écoulementpénétrant dans le convergent, puis l’ajout d’une mousse plaquée sur la face amont du nidd’abeille situé avant l’entrée du convergent et le repositionnement de la toile métalliqueplacée en aval du nid d’abeille. Toutes les parois intérieures de la soufflerie dans la zoneentre la sortie de la chambre de mise en pression et le début du convergent ont étérecouvertes d’un isolant en polystyrène extrudé. Une grande partie (1.2 m) de la plaqueséparatrice, conçue avec une épaisseur plus faible que celle de la partie située dans lachambre de mise en pression a été isolée avec un matériau de type couche mince. Nousavons ainsi obtenu un profil de température à la sortie du convergent qui reste uniformeen dehors de la couche limite. Cela a aussi permis de réduire le temps nécessaire à lastabilisation des conditions thermiques qui peuvent être maintenues inchangées jusqu’àune durée de fonctionnement de 12 heures par le système de régulation. Les modificationscorrespondantes sur la soufflerie sont schématisées sur la figure 3.6.

Classiquement, le développement de la couche de mélange à partir de son originephysique (le bord de fuite de la plaque séparatrice) dépend de l’état des couches limitesdéveloppées en amont de part et d’autre de la plaque séparatrice. Un dispositif de dé-clenchement de la turbulence sur les deux faces de la plaque a été testé et adopté pourobtenir, dans toutes les configurations d’essai, des conditions comparables d’état de cescouches limites. Il s’agit d’un rang unique de lames de scie, de type scie à bûches, dontles dents ont une hauteur de 5 mm au dessus de la paroi, collées de part et d’autre de laplaque séparatrice à 3 m de l’entrée de la veine d’essai.

Après ces diverses modifications, la qualication de la soufflerie a été effectuée.

3.2.4 Qualification de la soufflerie à basses vitesses

3.2.4.1 Gradient longitudinal de vitesse et de température

La détermination du gradient longitudinal de vitesse de la soufflerie a été faite à partirde mesures réalisées au fil chaud à une altitude y fixée dans la zone d’écoulement uniforme(côtés hautes et basses vitesses). Sur l’ensemble de la longueur de la veine d’essai, cettevariation n’excède pas 2 % de la vitesse de l’écoulement libre lorsque cette dernière estinférieure à 3.5 m/s. De la même manière, le gradient longitudinal de température a étéévalué à l’aide d’un thermocouple. Contrairement au gradient de vitesse qui a pu êtreajusté en jouant sur l’inclinaison du plancher de la soufflerie, le gradient longitudinal de


Figure 3.6 – Schéma des améliorations portées à la soufflerie HABV.


température est conditionné par les échanges entre les parois en verre de la soufflerie etl’air extérieur. L’inertie thermique du hall d’essai permet de le minimiser.

3.2.4.2 Taux de turbulence de la soufflerie et couches limites

Le niveau de turbulence dynamique de l’écoulement libre dans la soufflerie est calculéà partir de la composante longitudinale de la vitesse. Comme nous l’avons évoqué dansle chapitre 1, cette quantité peut avoir une influence sur le développement de la couchede mélange. Nous l’avons mesurée dans les deux zones d’écoulement uniforme à basse età haute vitesse, 1 cm à l’aval du bord de fuite de la plaque de séparation.

Pour l’ensemble des configurations que nous avons étudiées, le taux de turbulence del’écoulement libre ne dépasse pas 0.8% pour le côté basses vitesses et 0.6% pour le côtéhautes vitesses.

En configuration d’écoulement anisotherme, les niveaux rms de température de l’écou-lement libre, mesurés au fil froid, sont inférieurs à la résolution du capteur.

Les grandeurs caractéristiques des couches limites (côtés haute et basse vitesses) me-surées 1 cm en aval du bord de fuite de la plaque sont résumées dans le tableau 3.1, pourdifférentes conditions d’entrée.

3.2.4.3 Profils de vitesse et de température à l’entrée

Les modifications que nous avons portées sur la soufflerie ont permis d’éliminer lasurvitesse liée à un défaut de conception du matériel et d’avoir des profils de vitesseuniformes en dehors des couches limites. Nous abordons l’influence du sillage de la plaqueplus loin dans ce document. Un léger gradient thermique existe sur les profils verticaux detempérature au niveau du bord de fuite à l’entrée de la veine d’essai. En dehors de cettezone de gradient, les profils verticaux de température à l’entrée de la section d’essai restentuniformes. Des exemples de profils de vitesse et de température obtenus sont représentéssur les figures 3.7 et 3.8. Il s’agit d’une configuration d’écoulement avec U1 = 2.5 m/s,U2 = 1.5 m/s et une différence de température entre les deux courants de 20 K. La bonnesuperposition des profils pour différents plans z/H = −0.3 à z/H = +0.3 reflète le bonniveau d’homogénéité de l’écoulement (H = 1 m est la hauteur de la veine d’essais.).

L’homogénéité de l’écoulement a été vérifiée. Pour une position x fixée à 1 cm après lebord de fuite, une cartographie de l’écoulement en vitesse et en température est réalisée.Les mesures sont effectuées sur toute la hauteur de la veine d’essai et une largeur de 60cm correpondant à différents plans z. Elles ont permis de corriger par la suite les défauts


a)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

U [m/s]

y/H

z=0z/H = +0.15z/H =−0.15z/H = +0.30z/H =−0.30

b)

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

T −T2T1−T2

y/H

z = 0z/H = +0.15z/H =−0.15z/H = +0.30z/H =−0.30

Figure 3.7 – Vitesse (a) et température (b) moyennes mesurées à x= 1cm en aval dubord de fuite de la plaque séparatrice pour différentes positions trans-versales en z.


a)

-202468

10121416

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

Tu[%

]

y/H

z = 0z/H = +0.15z/H =−0.15z/H = +0.30z/H =−0.30

b)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

Trm

s[ C

]

y/H

z = 0z/H = +0.15z/H =−0.15z/H = +0.30z/H =−0.30

Figure 3.8 – Taux de turbulence de la vitesse et fluctuations de températures mesu-rés à x = 1cm en aval du bord de fuite de la plaque séparatrice pourdifférentes positions transversales en z.


U∞ δ∗ Θ RΘ H Tu(m/s) (mm) (mm) (%)5.0 2.70 2.16 692 1.25 0.604.5 3.80 2.30 663 1.65 0.654.0 3.85 2.37 608 1.62 0.703.5 3.65 2.22 498 1.64 0.663.0 4.50 2.45 471 1.83 0.662.5 3.57 2.12 340 1.68 0.752.0 3.30 2.45 314 1.80 0.801.5 3.32 2.15 206 1.54 0.80

Tableau 3.1 – Grandeurs caractéristiques des couches limites au bord de fuite dela plaque séparatrice (côtés haute et basse vitesses), en écoulementisotherme. La vitesse uniforme est U∞, δ∗ et Θ sont les épaisseursde déplacement et de quantité de mouvement, RΘ est le nombre deReynolds basé sur Θ, le facteur de forme H est calculé à partir de cesdeux épaisseurs, et le taux de turbulence Tu est obtenu à partir desfluctuations de vitesse et de U∞.

d’alignement, notamment entre le bord de fuite de la plaque de séparation et le plancherde la soufflerie.

3.3 Mesures par anémométrie à fil chaud et thermo-métrie à fil froid

Une partie des mesures locales de vitesses et de températures a été réalisée par ané-mométrie à fil chaud et thermométrie à fil froid avec des sondes classiques élaborées parnos soins.

3.3.1 Sondes de mesure

Les sondes utilisées ici pour les mesures de vitesses sont constituées d’un fil en tungs-tène platiné de 2.5 µm de diamètre et de 0.5 mm de longueur soudé aux extrémités dedeux broches solidaires d’un support en céramique. Le fil est alimenté par un anémomètrede type CTA (Constant Temperature Anemometer) T.S.I.1750 intégré par le C.E.A.T.

3.3 Mesures par anémométrie à fil chaud et thermométrie à fil froid 67

de Poitiers. Le coefficient de surchauffe appliqué est élevé (1.8) de sorte à diminuer lasensibilité du fil à la température de l’écoulement.

Un fil de Wollaston de 1.25 µm de diamètre a été utilisé pour les mesures de tempé-ratures au fil froid dans la soufflerie HABV. Ce choix est motivé par la nécessité d’avoirun diamètre de fil suffisamment petit et une partie sensible suffisamment éloignée desbroches pour diminuer l’erreur de mesure due à l’inertie thermique du fil, aux pertes dechaleur par conduction thermique entre les broches, et au développement de couches li-mites thermiques sur les broches de la sonde, qui atténuent la mesure des fluctuations detempérature selon Paranthoën et Lecordier [95]. Généralement un rapport d’allongement(lf/df ) supérieur à 700 est recommandé pour réduire ces effets de « bouts », avec df etlf les diamètre et longueur de la partie sensible du fil.

Saez [109] obtient des résultats satisfaisants avec un fil de rapport lf/df = 400.Un compromis sur la longueur sensible du fil lf est nécessaire pour préserver sa résolu-

tion spatiale. Wyngaard [135] montre qu’un rapport lf/η < 3 est nécessaire pour négligerles effets d’intégration spatiale et Ould-Rouis [92] obtient des mesures satisfaisantes aveclf/η = 6 (avec η l’échelle de Kolmogorov).

Le fil de Wollaston utilisé dans notre étude est composé d’un alliage à 90% de platineet 10% de rhodium. Nous l’avons conçu selon le procédé de Wollaston en trois étapes. Onutilise un fil gainé dans un tube d’argent 1 de diamètre 30 à 40 µm. Ce tube est soudésur les extrémités des deux broches. Ensuite on met à nu la partie sensible du fil, c’està dire l’alliage platine-rhodium, en décapant par électrolyse sur une longueur de l’ordredu millimètre la couche d’argent qui l’enveloppe. L’électrolyte utilisé est une solution à5% d’acide nitrique, l’anode est le fil de Wollaston et la cathode une aiguille en acierinoxydable. Le décapage est entièrement observé sous binoculaire et arrêté lorsque le filest bien nettoyé de sa couche d’argent.

L’asservissement que nous utilisons pour les mesures de température est un pont à cou-rant constant avec un anémomètre CCA (Constant Current Anemometer), développé parl’Université Laval-Canada. La sonde est placée dans un pont de Wheatstone dans lequelelle est alimentée par deux sources de courant identiques (miroir de courant). Ce pont estassocié à un premier amplificateur différentiel pour mesurer les fluctuations de tempéra-ture. Un second étage d’amplification à gain variable permet d’augmenter la tension issuedu premier étage pour rendre le signal de sortie compatible avec la chaîne d’acquisition.

1. (fournisseur : Leico Industry Inc, fabricant : Sigmund Cohn corp. USA).


La bande passante est définie par un filtre RC placé entre les deux étages. L’intensité ducourant, choisie de sorte à minimiser la sensibilité de la sonde à la vitesse, est de 0.15 mAet correspond aux indications de Lemay [74].

3.3.2 Réponse en fréquence

Nous avons utilisé la méthode dite du signal carré afin d’optimiser la bande passantede l’anémomètre CTA. Le principe consiste à imposer un saut instantané de tension auxbornes de l’anémomètre et observer la conséquence sur le signal en sortie de l’anémomètre.Cette méthode repose sur l’idée qu’une fluctuation de vitesse u′ conduit à une fluctuationde température du fil T ′f , qui revient à l’équilibre soit au bout d’un temps lié à l’inertiethermique (CCA), soit lié au temps de compensation de la rétroaction (CTA). Le signal desortie e(t) consiste alors en un saut, qui relaxe de façon approximativement exponentielle,permettant une mesure pratique du temps de réponse t0. Ce temps qui peut dépendrede nombreux facteurs, notamment du coefficient de surchauffe et du gain de la bouclede rétroaction, intègre l’inertie thermique du fil, les effets capacitifs et inductifs dans lescablages, et la réponse de l’électronique.

3.3.3 Acquisition des mesures par fils chauds

Une chaîne d’acquisition ETEP possédant 8 voies (1 carte de 8 voies) a été utiliséepour numériser les signaux délivrés par les sondes à fils chauds. Cette chaîne possède lescaractéristiques suivantes :

– 8 voies synchrones d’une résolution de 16 bits,– filtre passe-haut commutable à 3 Hz de 6 dB/octave,– dynamique des signaux d’entrée -5 Volts / +5 Volts,– les voies sont paramétrables indépendamment en gain : 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 128 ;– conversion du type ∑∆ avec filtrage anti-repliement, rapport signal sur bruit etdistorsion harmonique : 78 dB,

– chaque carte est également paramétrable en fréquence d’échantillonnage : 400 kHz,200 kHz, 100 kHz, 50 kHz, 25 kHz, 12.5 kHz, 6.25 kHz et 3.125 kHz,

– l’échantillonnage des voies est indépendante et synchrone,– des durées très longues d’enregistrement peuvent être obtenues par un stockage entemps réel (DMA) sur un disque de 40 Go.

3.4 Visualisation par tomographie laser 69

3.4 Visualisation par tomographie laserC’est une technique qui permet d’obtenir à la fois des informations globales et locales

sur l’évolution de la zone de mélange. Pour des raisons de rapidité et de facilité de mise enœuvre, les visualisations sont effectuées à l’aide d’un système de vélocimétrie par imagesde particules (PIV) disponible au laboratoire. Le dispositif comprend :

– un laser New Wave Solo3, qui émet des flashs dont l’énergie lumineuse est de 50 mJpar impulsion, placé au dessus de la veine d’essai ;

– un dispositif optique composé d’un télescope de Rodenstock, une lentille divergenteet un miroir de renvoi, qui conduit, sans grande perte d’énergie, ce faisceau laserdans la zone d’expérimentation et génère le plan lumineux ;

– deux caméras de type PCO SensiCam avec une focale de 50 mm et une ouverturede 1.8 pour la capture des images ;

– une mire de 1000 mm × 70 mm ;– un dispositif de générateur de fumée de spectacle au propylène glycol.

On réalise une nappe laser pour illuminer l’écoulement à intervalles de temps réguliers.Ensuite on ensemence l’un des deux écoulements de la couche de mélange dans la souffleriebasses vitesses. Pour ce faire le générateur de fumée est placé dans l’un des deux circuitsaérauliques en amont des chambres séparées de mise en pression. Puis avec les deuxcaméras, placées à une distance de 3.2 m du plan central z = 0 de la veine d’essais etséparées de 50 cm sur un rail permettant de les déplacer dans la direction longitudinale,on acquiert 4 séries de 50 photographies de l’écoulement à une fréquence de 1 Hz pourchaque configuration testée. La lumière diffusée étant fonction de la concentration localeen particules, on met en évidence la zone de mélange. La procédure de traitement desimages est décrite dans le Chapitre 6 de ce document.

3.5 ConclusionLes configurations expérimentales et les moyens de mesures présentées dans cette revue

vont nous permettre de réaliser l’étude des écoulements. Les couches de mélange isothermeou anisotherme sont générées dans la soufflerie HABV. L’étalonnage des sondes à filschauds est effectué dans la soufflerie décrite à la section 3.2 de ce chapitre. Les fils chaudsPCTA et le fil froid sont utilisées ici pour des acquisitions séparées de la vitesse et dela température. Les mesures simultanées de ces deux grandeurs sont réalisées grâce auPCTA, objet du chapitre 4.


Chapitre 4

PCTA : anémométrie à températurede fil variable

Ce chapitre est consacré à la validation, la mise en œuvre et l’optimisation d’une nou-velle méthode de mesure, développée au Laboratoire d’Etudes Aérodynamiques (LEA) dePoitiers, permettant la mesure simultanée de la vitesse et de la température dans les écou-lements turbulents. Un nouvel anémomètre a été conçu pour la mesure simultanée à hautefréquence de la vitesse et de la température instantanées dans les écoulements turbulentsavec un seul fil chaud. Le principe de faire varier de manière périodique la surchauffe dufil a été retenu et appliqué à travers un dispositif électronique paramétrable.

Nous proposons également une approche originale d’étalonnage instationnaire vitesse-température. Cette méthode apporte à la fois une réponse au besoin d’étalonner les sondesfil chaud en vitesse et température pour une utilisation dans un écoulement en présencede variations spatio-temporelles de la température dues à la turbulence, et à la nécessitéd’étalonner rapidement les sondes fil chaud afin de se préserver de toute variation descaractéristiques du fil pendant les étalonnages classiques relativement longs où il fautstabiliser l’écoulement en vitesse et en température. Notre approche permet un étalonnagevitesse-température en quelques minutes.

Dans un premier temps nous allons introduire le principe du PCTA (ParameterizableConstant Temperature Anemometer) et présenter l’électronique spécifique utilisée pourfaire varier rapidement la surchauffe du fil. Ensuite les méthodes développées pour l’éta-lonnage et le traitement des données sont expliquées, avant d’analyser par une méthodede simulation de Monte-Carlo la précision des mesures.

Enfin la validation expérimentale du PCTA dans des configurations d’écoulement de

72 Chapitre 4. PCTA : anémométrie à température de fil variable

couche de mélange plane anisotherme est exposée. Les mesures PCTA sont comparées àcelles réalisées avec des anémomètres classiques : CCA (Constant Current Anemometer)et CTA (Constant Temperature Anemometer) placés dans un même écoulement.

4.1 Principe et conception du PCTALa méthode et le dispositif sont basés sur la technique de l’anémométrie à température

constante et utilisent la technique de la surchauffe multiple avec un seul fil chaud alimentéen CTA et fonctionnant de manière séquentielle à différentes surchauffes. Comme on l’avu dans le chapitre 2, le principe de la surchauffe multiple a déjà été utilisé dans l’étuded’écoulements turbulents.

Associée à une technique de régression, par exemple la méthode du diagramme defluctuations, la surchauffe multiple « classique » peut fournir, comme l’ont montré entreautres Kovasznay [70] et Walker [131] pour des écoulements supersoniques, et Saez [109]dans une étude de la convection mixte, les moments du second ordre de la vitesse et dela température.

Contrairement à la méthode de la surchauffe multiple classique ou à la méthode des filsmultiples, la méthode PCTA développée ici donne accès à des mesures instantanées deschamps de vitesse et de température avec un seul fil (élément sensible) et donc une seulesonde. Cela permet l’obtention d’histoires simultanées de la vitesse et de la température,et, entre autres, la construction de la densité de probabilité jointe vitesse-température àune position spatiale donnée.

Une électronique spécifique a été conçue pour faire varier rapidement la surchauffe du fil(et donc sa température) avec une séquence contrôlée répétée à une fréquence constante.L’anémomètre PCTA consiste en une sonde fil chaud de type classique connectée à unecarte anémomètre de type CTA, pour laquelle le coefficient de surchauffe est program-mable. Le circuit électronique correspondant est représenté sur la figure 4.1. Cette carteanémomètre a été conçue par le Laboratoire d’Etudes Aérodynamiques de Poitiers et safabrication a été sous traitée à la société ETEP avant le début de la présente étude. Dansce dispositif, pour faire varier le coefficient de surchauffe du fil, défini comme le rapportentre la résistance du fil à la température de fonctionnement et celle du fil placé nonchauffé dans l’écoulement, la tension à la sortie de la résistance R′ est contrôlée par unconvertisseur numérique analogique (CNA) dont la consigne X est codée entre 0 et 255.Un intégrateur a été ajouté pour assurer la stabilité du système. Une inductance variable

4.1 Principe et conception du PCTA 73

C N A

X8 bits

G+

-

∫dt

R1a R1b

R’RcRF

LInductance variable

Intégrateurréglable

Masse

sortie

Fil chaud

Figure 4.1 – Circuit électronique de la carte-anémomètre PCTA.

est montée sur le pont pour avoir la posssibilité de régler, une fois le fil en place, la ré-ponse du circuit aux impulsions de commande. A l’équilibre du pont, la valeur de l’octetà envoyer au convertisseur numérique analogique pour fixer la consigne du coefficient desurchauffe as est :

X = asR0 +RcasR0 +Rc+R1a

+ 1G

(R′+R1bR′

)256 . (4.1)

Elle dépend de la surchauffe à imposer et de la résistance du fil en place. Dans un anémo-mètre CTA classique, R′ est un potentiomètre qui doit satisfaire la condition suivante :

R′ ≥K(asRf +Rc) ,

avec K = R1bR1a

le rapport de pont et as le coefficient de surchauffe. Pour le PCTA, on faitvarier la tension à travers R′ avec le CNA. Le choix de R′ se fait pour une valeur maximalede as = 2, ce qui conduit à une résistance du fil Rf ≤ 10Ω. Cette valeur correspond à unerésistance du cable Rc ≤ 2Ω, des résistances R1b = 120Ω, R′ = 120Ω et R1a = 22Ω, etun rapport de pont K = 5.5 qui conditionne donc le choix du diamètre du fil à utiliser.Typiquement des fils d’un diamètre supérieur ou égal à 2.5 µm peuvent être utilisés.


L’anémomètre est entièrement configurable à travers une interface utilisateur (IHM)contrôlable par PC. Une illustration de cette interface est donnée à la figure 4.2. Lesdifférents niveaux de surchauffe, la réponse dynamique de la sonde ou encore la mesurede la résistance du fil ainsi que le coefficient de surchauffe du fil sont réglés en mêmetemps que la durée de la séquence de surchauffes. Le fil peut être soumis à des séquencesde 2 à 8 surchauffes, et chaque cycle constitue un motif qui peut être répété toutes les100 à 1000 µs, selon le diamètre du fil et la vitesse de l’écoulement. Une bande passantethéorique pouvant atteindre 3 kHz est ainsi obtenue (suivant le diamètre du fil utilisé).Dans notre étude le PCTA a été mis en œuvre avec une sonde constituée d’un fil de2.5µm en tungstène platiné (W-Pt). Nous avons choisi, pour chaque motif, de diminuer lasurchauffe du fil pas à pas jusqu’à atteindre le niveau minimal souhaité. Pour chaque sériede surchauffes, la tension de sortie de l’anémomètre fournit un signal en escalier, nomméaussi motif, qui traduit en niveaux successifs la variation pas à pas de la températuredu fil. La tension de sortie entre deux changements de surchauffes correspond à ce quel’on appelle ici palier de surchauffe. Chaque palier comprend une période transitoire nonutilisée qui correspond à la réponse instantanée du fil au changement de surchauffe, et unepériode active pendant laquelle la surchauffe est effectivement appliquée avec le PCTAfonctionnant en mode CTA. Idéalement la tension à la sortie devrait ressembler à unplateau durant cette période active, mais nous avons vérifié qu’une bonne répétabilité d’unmotif même avec des plateaux non horizontaux est suffisante pour extraire de manièreprécise les valeurs de la vitesse et de la température sur chaque séquence. Dans chaquemotif de surchauffes, la durée d’application des surchauffes peut être choisie identiquepour tous les niveaux de surchauffes ou variable d’une surchauffe à une autre. Le nombrede motifs présents dans le signal est noté Nm et le nombre de niveaux de surchauffes danschaque motif, Ns.

L’allure typique du signal de tension à la sortie de l’anémomètre est illustrée sur lefigure 4.3 -a) dans le cas où Ns = 8 surchauffes sont utilisées. Les notations utilisées ainsique les grandeurs caractéristiques du signal sont indiquées sur la figure 4.3 -b).

4.2 Approches algorithmiques pour le traitement dessignaux

Les algorithmes que nous avons développés pour exploiter les signaux issus du PCTAsont exposés dans cette section. Ils permettent l’ajustement à une loi d’étalonnage et la

4.2 Approches algorithmiques pour le traitement des signaux 75

• R

égla

ges

(niv

eau

et d

urée

de

chaq

ue s

urch

auff

e, r

épon

se d

ynam

ique

du

fil, m

esur

e R

égla

ges

(niv

eau

et d

urée

de

chaq

ue s

urch

auff

e, r

épon

se d

ynam

ique

du

fil, m

esur

e de

la r

ésis

tanc

e du

fil)

…de

la r

ésis

tanc

e du

fil)

…

• C

onsé

quen

ces

en te

mps

rée

l sur

la r

épon

se d

e l’a

ném

omèt

re

Con

séqu

ence

s en

tem

ps r

éel s

ur la

rép

onse

de

l’ané

mom

ètre

Mot

if de

sur

chau

ffes

= 1

00 à

100

0 µ

s

Figure 4.2 – IHM pour la configuration de l’anémomètre PCTA.


a)

b)

8.11 =a

2.13 =a

5.12 =a

Palier k=1

Palier k=2

Palier k=3

motif i-1

Nm motifs

Ns = 3 surchauffes

motif i

1pτ

τ

2pτ 3pτ

t [ms]

e [V]

Figure 4.3 – Signal en sortie de l’anémomètre PCTA : a) allure typique (obtenue avecNs = 8 surchauffe, b) notations et grandeurs caractéristiques (exempleavec Ns = 3 surchauffes).


détermination de la vitesse et de la température.

4.2.1 Lois de réponse du fil

Les équations d’un fil chaud placé dans un écoulement sont généralement dérivées del’équation d’énergie du fil. Dans le cas des écoulements anisothermes, diverses relationsont été utilisées dans la littérature. Celles-ci peuvent être trouvées dans les ouvrages deBruun [28] ou Perry [96] par exemple. Lorsque le principe du PCTA est utilisé, l’équationde refroidissement du fil, qui permet de relier la tension en sortie de pont aux inconnuesque sont la vitesse U et la température T de l’écoulement, est non linéaire. Deux formesde lois (Bruun [28]) ont été retenues et testées dans notre étude :

– la loi de King étendue (avec correction en température)

e2 =(a+ bUn

)(Tf −T

)(4.2)

– la loi polynomiale

U =4∑i=0

αi

(e√

Tf −T

)i, (4.3)

où e est la tension anémométrique mesurée, U et T sont les inconnues vitesse et tempéra-ture instantanées de l’écoulement. Les autres grandeurs, c’est à dire la température du filTf , les coefficients a, b, (ou αi), et l’exposant n sont à déterminer expérimentalement parun étalonnage. Dans le cadre du PCTA, du fait de la surchauffe multiple, ces coefficientsd’étalonnage sont en fait des vecteurs dont les composantes d’indice k correspondentà leurs valeurs scalaires pour les différentes surchauffes. Une fois ces vecteurs détermi-nés à l’étalonnage, la vitesse et la température de l’écoulement peuvent être déduites,pour chaque motif individuel de surchauffes, à partir de la série de tensions mesurées ek,k = (1,Ns).

Il faut noter que la loi polynomiale est une relation empirique, alors que la loi de Kingqui est issue de l’analyse des échanges de chaleur autour du fil sous l’effet de la vitesse.L’équation 4.2 est bijective, ce qui n’est pas le cas de la relation 4.3. Nous n’utiliseronsdonc ici la loi polynomiale que pour les faibles vitesses (de l’ordre de 1m/s) où la loi deKing devient moins bien adaptée pour traduire l’ensemble des effets thermiques sur le fil.


4.2.2 Séparation des surchauffes

Un algorithme spécial, basé sur la détection du début du premier motif et la décimationdu signal anémométrique par filtrage sur les paliers de surchauffe, a été développé pourtraiter les signaux bruts issus de l’anémomètre. Il permet la séparation des surchauffeset fournit ainsi des valeurs ei,k pour chaque motif i et chaque surchauffe k (k = 1,Ns eti= 1,Nm). L’organigramme correspondant est représenté sur la figure 4.4.

Un exemple de l’application de cet algorithme à un signal constitué de motifs avecNs = 8 surchauffes est donné sur la figure 4.5. Le résultat obtenu est un unique signalcontinu. Les huit variations distinctes que l’on peut remarquer sur cette figure sont en faitreprésentatives de l’évolution des tensions ei,k de chacun des Ns = 8 niveaux de surchauffeaplliquées ici.

4.2.3 Algorithmes de régressions non linéaires

Les lois d’étalonnage utilisées étant non linéaires, il a fallu développer des algorithmesspécifiques pour les deux situations suivantes :

– Etalonnage : détermination des coefficients d’étalonnage à partir d’une série demesures pour différentes vitesses et températures de l’écoulement.

– Mesures : détermination de la vitesse et de la température de l’écoulement, unefois les coefficients d’étalonnage déterminés, à partir d’une collection de mesures dela tension anémométrique avec l’anémomètre PCTA.

A) Méthode de régression non linéaire Levenberg Marquardt(LM) Le pro-blème d’optimisation correspondant est le suivant : évaluer les coefficients A optimisantla loi f reliant les mesures M à l’état de variables V :

M = f(A,V) .

Ici M et V peuvent être multidimensionnelles. Les coefficients A sont estimés à partird’une moyenne d’ensemble notée < . > obtenue à partir de N mesures. On aborde leproblème au sens des moindres carrés. On cherche donc à trouver A en minimisant l’écartmesure-loi, ceci se traduit par :

minimiser χ=< (M− f)2 > pour les coefficients A,

d’où la condition nécessaire :


Lecture des données brutes de tensions:

Recherche du début du motif 1

Décimation des signaux par filtrage par moyenne mobile sur les paliers

Début

Fin

ii=ii+1

jj=1

jj=jj+1

jj>Nm

kideb =

keX =1

( ) niie ≤≤1

Nsii debdeb +=

idebii eX =

Figure 4.4 – Principe de séparation des surchauffes du signal PCTA : Xii correspondaux valeurs de la tension pour la surchauffe k.


0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

0 20 40 60 80 100 120 140

E[V

]

t [s]

Figure 4.5 – Variations instantanées de la tension anémométrique une fois les Ns = 8surchauffes séparées (signaux obtenus dans une configuration d’étalon-nage où on fait varier cycliquement la vitesse de l’écoulement).


∂χ

∂A = 0 .

Dans le cas où les dérivées partielles relatives aux coefficients sont en première approxi-mation indépendantes de ces coefficients, une approche simple de type régression linéairepermet de résoudre le problème posé. Compte tenu de la forme des équations mises enjeu, une approche de type régression linéaire ne peut pas être adoptée ici. On utiliseradonc une approche de type minimisation de système non linéaire. Celle-ci est basée surles algorithmes introduits par Levenberg et Marquardt (LM) [102].

Le problème générique se traduit par l’introduction de dérivées d’ordre supérieur (Hes-sien). Une approche itérative est alors nécessaire, partant d’une estimation initiale des co-

efficients A0. Dans cette approche, les dérivées secondes de type ∂2χ

∂ai∂ajsont modélisées

par le produit ∂χ

∂ai

∂χ

∂aj, en se plaçant au voisinage du minimum. Une particularité de la

méthode de LM est que, pour améliorer la convergence des itérations, on multiplie chaqueterme diagonal de la matrice hessienne par un terme (1+Λ). Le scalaire Λ est initialisé à1, par exemple, au début des itérations, puis divisé par 10 si l’itération est efficace (c’est àdire si l’erreur quadratique diminue), si non il est multiplié par 10. La valeur de Λ diminueà mesure que l’erreur quadratique tend vers un minimum. Un critère de convergence doitêtre rigoureusement choisi pour ne pas s’arrêter sur un minimum local.Le problème d’optimisation se résume dans ces approches à identifier les paramètres A, àdéfinir explicitement la moyenne d’ensemble< .> permettant d’introduire l’erreur quadra-tique moyenne et la fonction modélisatrice f ainsi que ses dérivées premières relativementaux paramètres du modèle.

Le principe général de l’algorithme de LM est détaillé à l’annexe B de ce mémoire.On trouvera les détails sur le choix des conditions initiales et des critères de convergencedans l’ouvrage Numerical Recipes in Fortran [102].

B) Détermination des coefficients d’étalonnage On s’intéresse ici à une configura-tion à fil chaud unique orienté perpendiculairement à l’écoulement. Le fil chaud est placédans un écoulement potentiel à température et vitesse fixes, et connues.

Pour illustrer la manière dont les coefficients d’étalonnage peuvent être obtenus, nousutilisons la formulation 4.2 de la loi de King étendue. Cette relation a donné de bons


résultats dans la gamme de vitesses-températures dans laquelle les expériences ont étéréalisées. Pour les très faibles vitesses (typiquement inférieures à 1 m/s), il est préférabled’utiliser la loi polynomiale 4.3. Toutefois la démarche à adopter reste identique.

Le nombre de surchauffes dans chaque motif, Ns, reste évidemment le même pour lesprocédures d’étalonnage et de mesure. On affecte un premier indice i à la séquence encours (i= 1,Nm) et un second indice k aux niveaux de surchauffes appliquées (k = 1,Ns).

On dispose alors d’échantillons de la forme ei,k, correspondant aux tensions délivréespar le PCTA. A ces mesures sont associées des vitesses Ui et des températures Ti (deréférence) considérées comme constantes sur toute la durée du motif i. Le but de l’éta-lonnage est alors d’estimer, à partir de la série d’échantillons, les coefficients ak, bk, nk etTf,k pour chaque niveau de surchauffe du fil.

Notons que dans cette phase de détermination des coefficients d’étalonnage, chaqueniveau de surchauffe est traité indépendamment.

Les échantillons dont on dispose s’écrivent alors de la façon suivante :

ei,k2 =

(ak + bkUi

nk)(Tf,k−Ti

), (4.4)

où ei,k est obtenu par la méthode de séparation des surchauffes décrite précédemment. Icile second indice k n’est pas affecté à Ui et Ti, une hypothèse de base de la méthode étantque les variations de Ti et Ui dans chaque motif peuvent être négligées afin d’extraireun couple (Ui,Ti) unique. La conséquence de cette hypothèse est que les fluctuations devitesse et de température de fréquences supérieures à 1/τ seront filtrées (τ étant la duréed’un motif).

Les coefficients a, b, l’exposant n et la température du fil Tf ne sont affectés que del’indice k. En effet on considère que pour chaque kième niveau de surchauffe, on rechercheun unique ensemble (ak, bk, nk, Tf,k) à partir de l’ensemble des triplets (ei,k,Ui,Ti) desmotifs.

Pour le problème d’optimisation, correspondant à l’identification des coefficients d’éta-lonnage, à coefficient de surchauffe donné :

– la fonction modèle est :

fi,k =(ak + bkUi

nk)(Tf,k−Ti

),

– la mesure est Mi,k = ei,k2 ,

– la moyenne d’ensemble < . > correspond à la moyenne sur l’ensemble des motifs à


surchauffe donnée : < . >= 1Nm

Nm∑i=1

(.) ,

– les paramètres A recherchés sont ak, bk, nk et Tf,k ,– les dérivées partielles de la loi d’étalonnage relativement aux coefficients du modèlesont :

∂fi,k∂ak

= Tf,k−Ti (4.5)

∂fi,k∂bk

= (Tf,k−Ti)Uink (4.6)

∂fi,k∂nk

= (Tf,k−Ti) log(Ui)Uink (4.7)

∂fi,k∂Tf,k

= ak + bkUink . (4.8)

L’erreur quadratique moyenne est :

χk =Nm∑i=1

[Mi,k−fi,k(Ui,Ti,Ak)

]2. (4.9)

Le problème d’optimisation consiste à rechercher la condition suivante :

∂χk∂ak

= ∂χk∂bk

= ∂χk∂nk

= ∂χk∂Tf,k

= 0 .

On obtient un système de quatre équations non linéaires. Toutes les dérivées partiellesdépendent explicitement des coefficients de la loi modèle et la recherche de la solution estitérative.

L’algorithme LM est connu pour sa forte dépendance aux conditions initiales du pro-cessus itératif. On doit, pour éviter de converger vers des solutions locales non significa-tives (minimums locaux) différentes de la solution optimale, donner des conditions initialesréalistes. Nous procédons en trois étapes comme suit :

1. Dans un premier temps on néglige la dépendance de la loi d’étalonnage à la tempé-rature de l’écoulement. On détermine un vecteur Ak0 = (ak0, bk0,nk0) à partir d’unproblème de LM où :– la fonction modèle est fi,k0(Ui,Ak0) = ak0 + bk0Ui

nk0 ,– la mesure est Mi,k = ei,k

2 ,– la moyenne d’ensemble < . > correspond à la moyenne sur l’ensemble des motifsà surchauffe donnée,


– les paramètres Ak0 sont ak0, bk0 et nk0 ,– les dérivées partielles de la fonction modèle relativement aux paramètres du mo-dèle sont :

∂fi,k0∂ak0

= 1 (4.10)

∂fi,k0∂bk0

= Uink0 (4.11)

∂fi,k0∂nk0

= bk log(Ui)Uink0 . (4.12)

Un exemple de loi fi,k0 obtenue pour une surchauffe k est représenté à la figure 4.6,la courbe correspondante est tracée au milieu du nuage de valeurs mesurées ei,k. Ladispersion des mesures autour de la loi estimée est significative de la non prise encompte de la température de l’écoulement à ce stade de la procédure.

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1 2 3 4 5 6

e2[V

2]

U [m/s ]

Figure 4.6 – Variations du carré de la tension anémométrique en fonction de la vitesse(température de l’écoulement non prise en compte).

2. Une fois le vecteur Ak0 = (ak0, bk0,nk0) estimé, on détermine la solution initiale pourla température de fil Tf,k0 par régression linéaire sur :

e2i,k

fi,k0= Tf,k0−T ,

où T est la variable.


3. A partir des conditions initiales ainsi obtenues, ak0, bk0, nk0, Tf,k0, on aborde leproblème LM global où l’ensemble des paramètres du problème ak, bk, nk et Tf,kest ajusté simultanément compte tenu des variations de l’ensemble (y compris ladépendance à la température de l’écoulement).La figure 4.7 donne un exemple de loi identifiée par cette procédure pour une sur-chauffe donnée. On y a représenté le nuage de valeurs mesurées ei,k et la courbecorrespondant au modèle fi,k. La réduction de la dispersion des points ei,k autourde la courbe fi,k comparée à la figure 4.6 illustre l’effet d’une prise en compte de latempérature de l’écoulement dans la détermination des coefficients.

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1 2 3 4 5 6

e2(Tf−T

)(Tf−Te)

[V2]

U [m/s ]

Figure 4.7 – Variations du carré de la tension anémométrique en fonction de la vitesse(avec prise en compte de la température de l’écoulement).

Ces différentes étapes, réalisées une fois les signaux bruts d’étalonnage traités (notam-ment la séparation des surchauffes), sont résumées sur la figure 4.8.

Nous disposons maintenant de toutes les données nécesssaires : les coefficients de laloi d’étalonnage ak, bk et nk ainsi que les températures de fil Tf,k, pour accéder à latempérature et à la vitesse de l’écoulement.

C) Détermination de la vitesse et de la température mesurées On détermine lavitesse et la température pour chaque point de mesure à partir de la loi d’étalonnage 4.2.Comme dans la procédure précédente une approche aux moindres carrés non linéaires,basée sur l’algorithme de Levenberg-Marquardt, est utilisée.


Lecture des données d’étalonnage tensions, vitesses et températures:

Régression non linéaire LM:

Début

Fin

Régression linéaire


Initialisation avec

( )iik Ufe =2

000 ,, kkk nba

εχ <

)(0

00

2

TgUba

ekn

i

ik =+

0,kfT

( )iiik TUfe ,2 =

εχ <

kfkkk Tnba ,,,,

0,000 ,,, kfkkk Tnba

( ) Nmiiiik TUe ≤≤1,,

Figure 4.8 – Principe de détermination des coefficients d’étalonnage en mode PCTA.


On recherche, indépendamment pour chaque motif i, les valeurs de vitesse Ui et tempé-rature Ti qui minimisent au sens des moindres carrés une erreur moyennée sur l’ensembledes surchauffes utilisées. Pour ce problème d’optimisation LM :

– la fonction modèle est

fi,k =(ak + bkUi

nk)(Tf,k−Ti

),

– la mesure est Mi,k = ei,k2 ,

– la moyenne d’ensemble < .> correspond à la moyenne sur l’ensemble des surchauffes(sommation sur k) ,

– les paramètres A sont la vitesse Ui et la température Ti ,– les dérivées partielles de la loi d’étalonnage relativement aux coefficients du modèlesont :

∂f

∂Ti=−(ak + bkUi

nk) (4.13)

∂f

∂Ui= bknkUi

nk−1(Tf,k−Ti) . (4.14)

La figure 4.9 résume la recherche de la vitesse et de la température en mode mesure.

Pour donner une représentation graphique de la procédure d’optimisation conduisantà déterminer Ui et Ti sur le motif d’indice i, considérons que la fonction fi,k donne pourchaque niveau de surchauffe d’indice k, et une fois le vecteur Ak connu, une courbedans le plan (U,T ) qui regroupe toutes les solutions possibles pour (Ui,Ti) considérantcette surchauffe. Alors la procédure d’optimisation est équivalente à une procédure derecherche consistant à trouver, dans un plan (U,T ), le point (Ui,Ti) qui minimise unedistance moyenne par rapport aux Ns courbes données par l’ensemble des niveaux desurchauffe. La figure 4.10 donne une représentation graphique correspondante dans lecas où Ns = 8. La méthode de LM donne de très bons résultats pour la mesure (Ui,Ti)dans le cas général où les points d’intersection des k courbes solutions sont correctementregroupés dans l’espace (U,T ). Notons que dans le cas idéal as ' 1, la fonction fi,k nedevrait dépendre que de T . Inversement dans le cas idéal as >> 1, la fonction fi,k nedevrait dépendre que de U . On retrouve ce résultat dans la manière dont fi,k évolue enfonction de la surchauffe as.


Fixer:

Début

Fin


1εχ <

( )iiik TUfe ,2 =

( ) Nskike ≤≤1

211 ε<−+− −+ iteriteriteriter TTUU

Initialisation de la solution avec:

00 ,TU

iterUU =0

iterTT =0

00 ,TU

iteriter TU ,

iteri UU =

iteri TT =

( )ii TU ,

Lecture des données brutes de tensions et des coefficients d’étalonnage

iter=iter+1

iter=1

( )Nskkfkkk Tnba

≤≤1,,,,

Figure 4.9 – Principe de détermination de la vitesse et de la température en modePCTA pour un motif i.


a)

26

28

30

32

34

36

38

40

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

T[

C]

U [ m/s ]

Ui

Ti

as

as = 1.8as = 1.7

as = 1.6as = 1.5

as = 1.4as = 1.3

as = 1.15as = 1.05

b)

26

28

30

32

34

36

38

40

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

T[

C]

U [ m/s ]

Ui

Ti

as

as = 1.8as = 1.7

as = 1.6as = 1.5

as = 1.4as = 1.3

as = 1.15as = 1.05

Figure 4.10 – Exemples de recherche de la solution (Ui,Ti) durant la procédure d’op-timisation : a) les courbes solutions se coupent approximativement b)les courbes solutions sont correctement regroupées en fin d’itération.


Un exemple typique de la représentation en 3D du domaine dans lequel l’erreur :

χk =Ns∑i=1

[Mi,k−fi,k(Ui,Ti,Ak)

]2évolue vers sa valeur minimale pour donner les valeurs optimales de Ui et Ti, est illustrésur la figure 4.11. Une telle représentation montre que, d’une manière générale, dans la

U [ m/s ]

T [ °C ]

-11-9-7-5

log(εi)

1 1.5 2 2.5

510152025

Figure 4.11 – Illustration 3D de la recherche de la solution (Ui,Ti) du problème d’op-timisation.

zone de solution, le risque de minimum local est faible. Si le critère de convergence estbien choisi, et les valeurs initiales de U et T prises raisonnablement proches de la solutionfinale, le risque de minima locaux est quasi nul :

– concernant la proximité de la solution finale, on traite ici des séquences temporellesei,k suffisamment continues en temps ti pour pouvoir initialiser au temps ti par lasolution au temps ti−1,

– concernant le critère de convergence, deux conditions sont requises :

1. la minimisation de l’erreur quadratique χ est considérée comme réalisée lorsquela variation relative de χ entre deux itérations est inférieure à 10−3,

2. la valeur absolue de la somme des écarts entre les solutions en U et les solutionsen T obtenues est inférieure à 10−2 .


4.2.4 Vérification de la technique de traitement du signal

Nous avons vérifié la technique de traitement du signal ainsi développée. Pour évaluerau premier abord la méthode, les données (vitesses et températures), qui ont été collectéeslors de l’étalonnage, sont rejouées dans la loi d’étalonnage. Les résultats (les vitesses etles températures calculées) sont alors comparées aux vitesses et températures de référence(de l’écoulement dans la veine d’essai d’étalonnage). Notons qu’à ce stade, l’incertitudesur les capteurs de référence (un tube de Pitot et un thermocouple) n’a pas été prise encompte pour estimer l’incertitude sur la mesure de la vitesse et de la température.

Un exemple de variations, en fonction de la vitesse, des erreurs absolues obtenues surla vitesse et sur la température est représenté sur la figure 4.12. On note que les erreursne sont pas distribuées de manière homogène, indiquant la présence d’un biais résidueldans l’estimation de la vitesse et de la température. En particulier les erreurs tracées enfonction du niveau de température font apparaître une structuration qui reflète la stratégiede variation en dents de scie utilisée lors de l’étalonnage (section 4.3 de ce chapitre). Ceciindique donc un couplage résiduel entre température et vitesse.

Pour approfondir cette analyse, on peut considérer les fonctions de densité de pro-babilité des erreurs qui sont représentées sur la figure 4.13. La distribution d’erreurs surla température est gaussienne (figure 4.13-b) contrairement à celle de la vitesse (figure4.13-a). Sur ces figures les graduations de l’axe horizontal supérieur correspondent auxnombres d’écarts type de l’erreur. On peut noter que pour cet étalonnage, représentatif,l’écart type de l’erreur sur la vitesse est de l’ordre de 0.1 m/s et celui de l’erreur sur latempérature est de l’ordre de 0.2C. Par ailleurs la PDF jointe représentée figure 4.13-cmet en évidence une corrélation entre les erreurs sur la vitesse et la température pour lesvitesses et températures les plus basses. Le biais peut être expliqué principalement par :

– la mauvaise adaptation, pour les très basses vitesses (au voisinage de 1 m/s), de laloi de King (4.2), ce comportement est illustré figure 4.7 par exemple ;

– la procédure pratique d’étalonnage, elle même présentée dans la section suivante,qui n’offre pas un découplage parfait entre vitesse et température d’étalonnage.

La bonne concordance entre les données recalculées (Uest, Test) et celles mesurées (Uref ,Tref ) montre l’efficacité de nos algorithmes dans la recherche des vitesses et températuresà partir de la loi du fil chaud. Par ailleurs, l’excellente séparation de la température etde la vitesse à partir du signal anémométrique instantané délivré par le PCTA peut êtreillustrée par la figure 4.14 où sont tracés des exemples de valeurs instantanées de vitesse ettempérature obtenues avec l’anémomètre PCTA dans un écoulement turbulent de couche


a)

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

Uref−Uest

[m/s]

Uref [m/s] b)

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

10 15 20 25 30 35 40

Uref−Uest

[m/s]

Tref [C]

c)-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

10 15 20 25 30 35 40

Tref−Test

[ C]

Tref [C] d)-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

Tref−Test

[C]

Uref [m/s]

Figure 4.12 – Exemple d’erreurs absolues correpondant à l’écart entre les grandeursintroduite mesurées à l’étalonnge et leur valeur calculée par l’algo-rithme de L.M. Les nuages de points correspondent à l’influence rési-duelle de a-b) T sur la détermination de U , et c-d) U sur la détermi-nation de T . Les notations (.)ref , (.)est sont utilisées respectivementpour les grandeurs de référence et celles estimées avec l’algorithme deLevenberg Marquardt.


a)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

3210-1-2-3

σε U×p( U

ref−Uest)

Uref −Uest [m/s]

b)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

3210-1-2-3

σε T×p( T

ref−Test)

Tref −Test [C]

c)

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2-1.5-1-0.500.511.52

Uref −UestσεU

Tref −TestσεT

Figure 4.13 – Exemple d’erreurs correspondant à l’écart entre les grandeurs intro-duites mesurées à l’étalonnage et leur valeur calculée par l’algorithmede L.M. : (a) PDF erreurs sur la vitesse, (b) PDF erreurs sur la tem-pérature, (c) distribution jointe des erreurs.


de mélange anisotherme.

a)4.44.54.64.74.84.95

5.1

0 0.05 0.1 0.15 0.2

U[m

/s]

t [s] b)28.4

28.8

29.2

29.6

30

0 0.05 0.1 0.15 0.2

T[ C

]

t[s]

Figure 4.14 – Exemples de valeurs instantanées de (a) vitesse et (b) températureobtenues avec l’anémomètre PCTA dans un écoulement turbulent decouche de mélange anisotherme.

4.3 Etalonnage instationnaire vitesse-températureNous proposons ici une approche qui permet d’étalonner le fil chaud en déterminant

toutes les sensibilités du fil à la vitesse et à la température en un seul essai le plus courtpossible, typiquement de l’ordre de quelques minutes. Nous avons d’abord validé le prin-cipe d’étalonnage instationnaire vitesse-température dans un dispositif de jets coaxiauxsubsoniques décrit dans Ndoye et al. [88]. Les enseignements tirés de cette validationnous ont permis d’aboutir à une application aux basses vitesses avec notamment le dé-veloppement d’un banc d’étalonnage à basses vitesses (décrit dans le chapitre 3 section3.1).

4.3.1 Principe de l’étalonnage instationnaire vitesse-température

Souhaitant avoir une durée d’étalonnage courte, nous avons choisi d’étalonner la sondePCTA suivant une procédure instationnaire en travaillant dans des conditons de vitesseet température qui varient de manière permanente de sorte à déterminer lors d’un seulessai toutes les sensiblités du système de mesure à la vitesse et à la température. Pource faire, on fait varier la vitesse et la température de l’écoulement d’étalonnage le plusrapidement possible, dans la limite imposée par les constantes de temps des capteurs deréférence utilisés. Sous ces contraintes, on peut considérer que sur la durée τ d’un motiftel que ceux de la figure 4.3, la température et la vitesse de l’écoulement sont constantes.

4.3 Etalonnage instationnaire vitesse-température 95

Pour séparer les influences des variations de température et des fluctuations de vitesse,la vitesse de l’écoulement varie rapidement en dents de scie pendant qu’on fait décroîtreplus lentement, de manière continue, la température en jouant sur l’inertie thermique ducircuit d’étalonnage. Un exemple des variations temporelles imposées à la vitesse et à latempérature, ainsi que les variations de tension de sortie de l’anémomètre est donné sur lafigure 4.15. Il s’agit d’une application au PCTA avec 3 surchauffes dans un écoulement àbasse vitesse. On notera sur cette figure que pour les 13 cycles de vitesse, imposés en envi-ron 3 minutes, la variation de vitesse est quasi linéaire, assurant ainsi une distribution devitesse équiprobable. Par ailleurs la décroissance de température obtenue est globalementmonotone et couvre une variation d’environ 18 K. Elle présente néanmoins des plateauxlocalement situés au voisinage des minima de vitesse. En effet pour des très basses vi-tesses, le coefficient d’échange thermique au niveau de l’échangeur décroît fortement et latempérature tend alors à rester constante pendant quelques secondes. Ce comportementpeut expliquer le biais noté dans la section 4.2 de ce chapitre. L’influence du découplagede la vitesse et de la température sur la réponse de l’anémomètre PCTA est illustrée parla figure 4.16, où l’évolution de la tension délivrée par le PCTA est tracée en fonction de lavitesse. On ne sépare pas ici l’influence de la température de l’écoulement, ce qui se traduitpar l’épaisseur de chacun des nuages de points. De manière classique, l’augmentation dela surchauffe conduit à une augmentation de la tension anémométrique et de la sensibilitéà la vitesse. On peut extraire pour chaque surchauffe une courbe d’ajustement dont ladérivée, traduisant la sensibilité à la vitesse, peut être mise en rapport avec l’épaisseurdu nuage de points, elle-même liée à la sensibilité à la température. Ce comportement estensuite exploité pour séparer température et vitesse.

4.3.2 Procédure expérimentale d’étalonnage

La procédure d’étalonnage est basée sur la réponse en tension du système à étalon-ner, et la mesure simultanée de la vitesse et de la température d’un écoulement uniformepar deux capteurs de référence. Les capteurs de références sont un tube de Pitot et unthermocouple très fin, non gainé, possédant une réponse en fréquence de l’ordre d’unecentaine de Hz. Le fil chaud et les capteurs de référence sont raccordés à la chaîne demesure PCTA pour la synchronisation des acquisitions.Pour les vitesses supérieures à 5 m/s, l’étalonnage est réalisé in situ en plaçant les troissondes dans une zone uniforme de l’écoulement. Par exemple dans le cadre de notre étudepréliminaire dans un système de jets coaxiaux NDoye et al. [88], le fil chaud à étalonner a


a)

1

2

3

4

5

6

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

U[m/s

]

t [s ]

b)

20

25

30

35

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

T[C

]

t [s ]

c)

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

e[V

]

t [s ]

Figure 4.15 – Exemple des variations temporelles imposées à : (a) la vitesse, (b) latempérature, et (c) la réponse de l’anémomètre durant l’étalonnage(3 niveaux de surchauffes donnent des points répartis sur 3 courbesd’apparence continue.)

4.3 Etalonnage instationnaire vitesse-température 97

Figure 4.16 – Influence de la surchauffe sur l’évolution de la tension en fonction dela vitesse : configuration avec 8 surchauffes de 1.05 à 1.8

été placé dans la zone potentielle du jet interne du dispotitif qui était initialement chaufféjusqu’à 8C au dessus de la température ambiante.Dans la gamme des basses vitesses mesurées dans la soufflerie HABV, le tube de Pitot n’estplus adapté pour déterminer la vitesse de référence. L’étalonnage est alors réalisé dansune soufflerie annexe à recirculation semi ouverte que nous avons spécialement conçue àcet effet et qui est décrite à la section 3.1 du chapitre 3. La température d’étalonnageest mesurée par un thermocouple placé à proximité de la sonde fil chaud dans la sectiond’essai, alors que la vitesse de référence est déterminée par conservation du débit à partird’un tube de Pitot placé après la contraction adaptée à la sortie de la section d’essai. Lerapport entre la vitesse dans la section d’essai et celle après la contraction est de 9. Larelation linéaire entre les mesures au tube de Pitot et la vitesse à la position de la sondefil chaud a été calibrée à partir de mesures PIV de la vitesse dans la section d’essai.

4.3.3 Etalonnage du fil chaud classique (à une surchauffe) et dufil froid

Cette approche peut également être appliquée à l’étalonnage vitesse-température d’unfil chaud classique (à une seule surchauffe) ou à l’étalonnage d’un fil froid. Dans le cas


du fil chaud à une seule surchauffe, la méthode adoptée permet de prendre en compte lacorrection due à la température directement dans l’étalonnage. Une illustration de l’éta-lonnage d’un fil chaud à surchauffe unique, pour une gamme de vitesse allant de 0.5 m/sà 6 m/s et une gamme de température de 10C à 35C, est donnée à la figure 4.17. La

a)0

1

2

3

4

5

6

7

1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3

U[m

/s]

e [ V ] b)0

1

2

3

4

5

6

7

0.066 0.068 0.07 0.072 0.074 0.076 0.078

U[m

/s]

e/√Tf −T [ V/

√K]

Figure 4.17 – Etalonnage du fil chaud à une seule surchauffe avec la loi polynomiale4.3 :(a) sans prise en compte de la température, (b) avec prise en comptede la température.

nette réduction de la dispersion des points d’étalonnage autour du modèle, visble surla figure 4.17-b) illustre l’effet de la prise en compte de la température de l’écoulementd’étalonnage dans la détermination des coefficients.L’étalonnage de la sonde fil froid est réalisé dans les mêmes conditions. Dans ce cas larégression sur les données d’étalonnage est linéaire et la procédure adoptée prend direc-tement en compte l’influence de la vitesse sur la réponse du fil :

e(T ) = f0 +f1.T , (4.15)

où e(T ) est la tension anémométrique, f0 et f1 sont les coefficients fixés par étalonnage.Cette relation 4.15 est une bonne approximation au premier ordre des variations de tensiondu fil froid en fonction de la température de l’écoulement d’étalonnage. Les étalonnagesont permis de vérifier que f0 et f1 peuvent être considérés indépendants de la vitesse dansles conditions de cette étude.

4.4 Choix du motif de surchauffe 99

4.4 Choix du motif de surchauffe

Le choix des différents paramètres caractéristiques du motif de surchauffe sur la naturedu signal issu du PCTA est abordé ici.

4.4.1 Influence de la surchauffe sur la sensibilité

La sensibilité d’un fil chaud à la vitesse et à la température peut être estimée à partirdes fluctuations de la tension anémométrique. Les coefficients de sensibilité sont :

χu = ∂e

∂U(4.16)

χθ = ∂e

∂T. (4.17)

Dans le cadre du PCTA, les coefficients de sensibilité dépendent des surchauffes appliquéesau fil. Par exemple, en utilisant la loi de King 4.2, ces coefficients s’écrivent pour la kième

surchauffe :

χu,k = bknkUnk

2ek(Tf,k−T ) (4.18)

χθ,k =−ak + bkU

nk 2ek . (4.19)

La figure 4.18 donne un exemple de l’évolution des sensibilités expérimentales χU et χθen fonction du coefficient de surchauffe as. Pour des coefficients de surchauffe comprisentre 1.05 et 1.8, on vérifie une augmentation de la sensibilité en vitesse en fonction de lasurchauffe, et le comportement inverse pour la sensibilité en température. Cette évolutionmet en évidence une sensibilité en vitesse du PCTA plus importante pour les coefficientsde surchauffe élevés, et une sensibilité en température plus importante pour les coefficientsde surchauffe faibles, ce qui est conforme au principe de mesure par fil chaud. En effet plusle fil est chaud, plus il est sensible à la vitesse, et plus le fil est froid, plus il est sensible àla température.

Ces constatations servent de base à la recherche d’un compromis entre précision etfréquence de répétition du motif en jouant sur le nombre de surchauffes appliquées etleurs valeurs.


0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

χu,χθ

as

χuχθ

Figure 4.18 – Exemple de sensibilités expérimentales mesurées en vitesse et tempé-rature

4.4.2 Comportement dynamique

Typiquement le signal temporel en sortie de l’anémomètre PCTA est constitué deNm motifs de durée identique τ , comportant chacun Ns paliers de surchauffes de duréevariable τp, comme représenté sur la figure 4.19. La résolution temporelle et l’incertitudede l’anémomètre PCTA sont conditionnées par les paramètres suivants :

– la réponse du circuit électronique aux changements de surchauffe– la portion active du signal de sortie sur chaque palier de surchauffe.– le nombre de surchauffes– la gamme de surchauffe, la gamme maximale offerte par l’anémomètre étant entre1.05 et 1.80.

A) Le nombre de surchauffes La bande passante du système dépend de la durée τdu motif. Celle-ci est liée au nombre Ns de surchauffe dans chaque séquence par :

τ =Ns∑k=1

τpk , (4.20)

avec τpk la durée du kième palier de surchauffe du motif considéré. Une réduction dunombre de surchauffes Ns utilisées permet donc d’augmenter la fréquence d’acquisitiondu capteur PCTA au détriment de la précision de la détermination de la vitesse et de


uτdτmτ

t [ms]

e [V]

pτ

palier

Figure 4.19 – Différents temps caractéristiques sur un motif du signal anémométriquePCTA.

la température par régression non linéaire. Par ailleurs, pour l’obtention des vitesses ettempératures avec notre approche algorithmique, nous admettons que les fluctuations devitesses et de températures sur la durée d’un motif sont négligeables. La minimisation deseffets d’un tel filtrage requiert des motifs de courte durée.

B) Temps caractéristiques des paliers de surchauffes On peut distinguer plusieurstemps caractéristiques sur un motif (voir figure 4.19) :

– la durée τp d’un palier de surchauffe : elle comprend une période transitoire pendantlaquelle la température de fil n’est pas encore atteinte et une période utile τu pendantlaquelle la surchauffe est effectivement appliquée et le fil fonctionne à températureconstante ;

– le temps de montée τm entre la surchauffe la plus basse du motif précédent et laplus élevée du motif considéré, est donc le temps qu’il faut à l’asservissement pourporter le fil à la température la plus élevée souhaitée ;

– τdest le temps de refroidissement du fil, qui correspond à la durée requise pour que

le fil passe d’une surchauffe donnée à une surchauffe suivante moins élevée.Un point critique du PCTA est alors la réduction de la durée de transion (τd) requise

pour atteindre l’équilibre après un changement de surchauffe (de la température du fil)au profit de la durée utile τu ainsi que la réduction de la durée τm au profit de la durée


du motif.Le temps de montée τm dépend de la compensation électronique du système lors des

changements de surchauffe. Il varie suivant les valeurs successives de surchauffe à atteindre.Pour obtenir un motif de signal PCTA, l’asservissement soumet, en boucle, une consigneavec des valeurs en escalier. La réponse observée constitue le signal du PCTA sous formede motif de surchauffes successives. Pour passer d’un motif à un autre (la surchauffe laplus faible à la surchauffe la plus élevée), l’asservissement porte le fil à la températurela plus élevée souhaitée. La réponse du fil à ce passage correspond donc à une montéerapide du signal de tension qui décroît ensuite pour atteindre cette température souhaitée.Pour passer d’une surchauffe élevée à une surchauffe plus basse telle que demandée par laconsigne imposée par l’asservissement, le fil est dans un premier temps refroidi excessive-ment avant de remonter en température pour atteindre le niveau de surchaufe souhaitée.Dans la phase de refroidissement, l’inertie thermique du fil est prépondérante. Le tempsde refroidissement peut donc être réduit en choisissant par exemple un fil plus fin.

Généralement τu représente entre 40 % et 80% de la durée d’un palier τp. Le réglage dela réponse dynamique du fil doit être effectué de sorte à augmenter τu tout en atténuantau mieux les fluctuations de température du fil sur les paliers de surchauffe.

Typiquement, pour un fil de diamètre 2.5µm, nos différents essais ont montré que τmest de l’ordre 0.1 ms à 0.2 ms. Quant au temps de refroidissement du fil, il est de l’ordrede 0.15 à 0.3 ms suivant le niveau de surchauffe à atteindre.

Par ailleurs ces différents temps caractéristiques sont liés à la vitesse et à la tempéra-ture instantanées de l’écoulement (voir figure 4.20). Typiquement τm diminue lorsque lavitesse instantanée augmente, ce qui entraîne une augmention de τu.

C) La gamme de surchauffes Même s’il paraît clair que l’utilisation d’un nombre ré-duit de surchauffes est nécessaire pour améliorer la réponse de l’anémomètre, la questionde l’optimisation des niveaux de surchauffe à utiliser reste plutôt ouverte. Il semble doncdifficile de faire un choix sur les valeurs de surchauffes permettant d’obtenir la meilleureprécision de mesure. Cette précision a été évaluée pour différentes combinaisons de sur-chauffes. Un exemple de résultat est donné à la figure 4.21. L’erreur représentée sur cettefigure correspond à la valeur à un écart type de la distribution de l’erreur définie par ladifférence entre les valeurs de référence (Uref , Tref ) et les valeurs estimées (Uest, Test),sur l’ensemble des données d’étalonnage pour une gamme de vitesse de 1 à 5 m/s et unegamme de température de 10C à 35C. Nos mesures montrent d’une manière générale


a)

00.20.40.60.81

1.21.41.61.82

2.2

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

e[V

]

t [ms]

τm

(as = 1.8)(as = 1.2)

U = 4.23m/s, T = 12CU = 1.89m/s, T = 12C b)

00.20.40.60.81

1.21.41.61.82

0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2

e[V

]

t [ms]

τm

(as = 1.8) (as = 1.2)

U=3.40,T=29.56U = 1.68m/s, T = 29.07

c)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7

e[V

]

t [ms]

τd

(as = 1.5)(as = 1.8)

U=1.65,T=16U = 1.65m/s, T = 22C d)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

e[V

]

t [ms]

τd

(as = 1.5) (as = 1.2)

U=1.65,T=16U = 1.65m/s, T = 22C

Figure 4.20 – Influence de la vitesse et de la température sur : (a-b) les temps demontée en température τm, (c-d) les temps de refroidissement τd du fil.


a)

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

2 3 4 5 6 7 8

σεT [C]

Ns surchauffes as

[1.5 : 1.8]

[1.3 : 1.8]

[1.3 : 1.8]

[1.15 : 1.4]

b)

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0.22

2 3 4 5 6 7 8

σεU [m/s]

Ns surchauffes as

[1.5 : 1.8]

[1.3 : 1.8 ]

[1.3 : 1.8 ]

[1.15 : 1.4 ]

Figure 4.21 – Exemple de variations de l’erreur absolue sur la mesure de (a) la tem-pérature, (b) et la vitesse, en fonction des surchauffes utilisées. Lesgammes de valeurs de surchauffes pour lesquelles les erreurs les plusélevées ont été obtenues, sont notées entre crochets sur la figure. Lespoints correspondant à des gammes de surchauffes [≤ 1.2 : 1.8], pourlesquelles les erreurs les plus petites ont été obtenues, sont reliés par laligne discontinue.

4.5 Utilisation du PCTA à très basse vitesse (∼ 1 m/s) 105

que les erreurs les plus élevées correspondent à l’utilisation soit uniquement de surchauffesélevées (grande sensibilié à la vitesse), soit uniquement de surchauffes faibles (grande sen-sibilité à la température). Pour des gammes de surchauffes couvrant l’étendue de 1.05à 1.8, voire de 1.2 à 1.8, les erreurs obtenus sont faibles. Dans ce cas, l’erreur σ sur lamesure de la vitesse diminue lorsque le nombre de surchauffe augmente, et l’erreur σ surla mesure de la température reste constante quel que soit le nombre Ns de surchauffes.Le meilleur compromis pour augmenter aussi la fréquence d’acquisition consiste à utiliserun nombre réduit de surchauffes couvrant une grande partie de l’étendue de la gamme.Toutefois ces surchauffes ne doivent pas être trop éloignées les unes des autres afin de mi-nimiser les temps de refroidissement du fil, par conséquent la fréquence de répétition dumotif. La combinaison avec trois surchauffes (1.8, 1.5 et 1.2) nous est alors apparu un boncompromis. Tous les réultats de mesures PCTA présentés dans la suite de ce documentsont obtenues avec cette combinaison à trois surchauffes.

4.5 Utilisation du PCTA à très basse vitesse (∼ 1m/s)

Le PCTA a été utilisé dans un écoulement de canal à très basse vitesse (de l’ordrede 1 m/s) avec une configuration à Ns = 3 surchauffes. En anémométrie à fil chaud, lesdifficultés généralement rencontrées dans ces régimes de vitesse sont les suivantes :

1. Etalonnage– la référence de vitesse ne peut pas être obtenue avec un tube de Pitot à moins de3 m/s,

– la loi de King n’est plus adaptée,– la nécessité d’étalonner en vitesse et température par translation du fil chaud dansun écoulement constant par exemple.

2. Mesure : sensibilité à la température.Afin de s’affranchir de ces difficultés, l’étalonnage est réalisé avec une sonde en transla-

tion (allers-retours) dans l’écoulement. Le dispositif et la procédure expérimentale peuventêtre trouvés dans Heitz et al. [60].

Les données sont traitées avec la loi polynomiale 4.3 et la loi de king 4.2, afin decomparer leur application aux très basses vitesses. Pour l’utilisation de la loi polynomiale,nous avons développé un algorithme basé sur les principes introduits à la section 4.2 dece chapitre.


Les résultats d’étalonnage à basses vitesses sont représentés sur la figure 4.22. Lesvariations de la tension anémométrique en fonction de la vitesse et de la température sontajustées par les deux lois retenues. On peut noter sur cette représentation un changementde comportement suivant la surchauffe. Plus la surchauffe est faible, plus les évolutionstracées sont proches de la loi de King classique avec n = 0.5. En outre si on effectueun étalonnage entre 0 et 5 m/s la loi de King sera probablement plus en difficulté poursuivre le comportement à très basse vitesse (en particulier pour les surchauffes élevées).Cette figure illustre bien la sensibilité à la température pour les faibles surchauffes. Lacourbure observée aux surchauffes élevées pour des vitesses inférieures à 0.5 m/s indiqueune influence de la convection naturelle (cf. [119]).

Nous avons donc retenu la loi polynomiale pour l’estimation des vitesses et tempéra-tures instantanées à partir du signal de tension anémométrique. L’illustration graphiquede la procédure de recherche des points (Ui,Ti) qui minimisent la distance moyenne parrapport au Ns = 3 courbes de la loi d’étalonnage pour l’ensemble des niveaux de surchauffeest donnée sur la figure 4.23. La cohérence de ces résultats montre que le PCTA, utiliséavec la loi polynomiale 4.3, fonctionne bien à très basse vitesse. Toutefois des précautionsdoivent être prises quant à la non unicité de la solution car la loi polynomiale est unerelation empirique non bijective comme on peut le voir sur les courbes de la figure 4.23.Une alternative pour résoudre ce problème consisterait donc à utiliser une loi polynomialeétablissant une relation biunivoque entre vitesses et tensions.Le CEMAGREF utilise maintenant une loi de type :

e2√Tf −T

=4∑i=0

αiUi , (4.21)

qui savère tout à fait opérationnelle et résout ce problème d’unicité de la solution.

4.6 Calcul d’incertitudes

Une étape importante dans le développement de nos procédure et dispositif d’étalonnageest l’évaluation et la minimisation de l’incertitude résultante. En effet, lors de la conceptiondu dispositif, la modélisation complète des processus d’étalonnage et de mesure a permisde calculer l’incertitude et de la minimiser en optimisant les paramètres d’ajustement(choix techniques, algorithmiques, etc...). Par ailleurs, une fois l’étalonnage effectué, ilfaut pouvoir donner une estimation quantitative sur la qualité du résultat et évaluer la

4.6 Calcul d’incertitudes 107

a)

0

0.5

1

1.5

2

0.067 0.07 0.073 0.076

U[m

/s]

4∑i=1

αi

(e

Tf −T

)i

b)

0.20.30.40.50.60.70.80.91

1.11.2

0 0.5 1 1.5 2

e2

Tf−T×

(Tf−T

)

U [m/s]

Figure 4.22 – Détermination des coefficients d’étalonnage à très basse vitesse : a)avec la loi polynomiale 4.3, b) avec la loi de King 4.2.


a)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

10 15 20 25 30 35 40 45

U[m

/s]

T [ C ]

Ui

Ti

as

as = 1.8 as = 1.5 as = 1.2

b)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

10 15 20 25 30 35 40 45

U[m

/s]

T [ C ]

Ui

Ti

as

as = 1.8 as = 1.5 as = 1.2

Figure 4.23 – Exemples de recherche de la solution (Ui,Ti) durant la procédure d’op-timisation avec la loi polynomiale : a) les courbes solutions se coupentapproximativement et b) les courbes solutions sont correctement re-groupées.


fiabilité des mesures en mode utilisateur. Rappelons qu’un résultat de mesure n’est pasune valeur unique mais une distribution de valeurs. L’incertitude peut alors être définiecomme étant le paramètre associé au résultat d’un mesurage, qui caractérise la dispersiondes valeurs qui pourraient raisonnablement être attribuées au mesurande 1.

Dans cette section nous suivons les recommandations de la norme NF ENV 130005Guide pour l’expression de l’incertitude de mesures [1]. L’originalité de notre approcheréside dans l’utilisation de la simulation de Monte-Carlo. D’une part elle a permis d’estimerl’incertitude sur les coefficients d’étalonnage, sachant que les mesures de référence ayantservi à leur détermination comportent une incertitude. D’autre part elle a été mise enœuvre pour calculer l’incertitude sur les mesures vitesse-température avec le PCTA.

Dans un premier temps, le principe général de la méthode de calcul adoptée et les basesde la simulation de Monte-Carlo sont présentés. Ensuite la détermination de l’incertitudeassociée aux coefficients d’étalonnage est présentée. Puis nous déterminons l’incertitudedes mesures simultanées vitesse-température. Une revue détaillée de la détermination desincertitudes peut être trouvée en annexe C.

4.6.1 Méthode du calcul de l’incertitude

La démarche s’articule en trois étapes.

1. La première étape consiste à analyser le processus de mesure :– On définit d’abord le mesurande.– Puis l’analyse complète du processus de mesure est effectuée afin de définir lesprincipaux facteurs intervenant dans la détermination du mesurande.

– Ensuite on modélise le processus de mesure sous la forme d’une expression mathé-matique qui permet de traduire toutes les informations à notre disposition pourcalculer le résultat de mesure.

2. Dans la seconde étape, on utilise les méthodes d’évaluation de type A ou B pourcalculer les incertitudes-types associées à chacune des composantes de l’incertitude.– L’évaluation de type A est une méthode de détermination de l’incertitude paranalyse de séries d’observations, c’est à dire par la répétition du mesurage et lecalcul de paramètres statistiques sur la base des valeurs obtenues (moyenne, écart-type).

1. grandeur particulière soumise à un mesurage.


– L’évaluation de type B consiste en l’utilisation de tous les moyens autres quel’analyse statistique, tels que les spécifications des fabricants, les données fourniespar les certificats d’étalonnage.

3. Enfin dans la troisième étape, on calcule directement l’incertitude-type composée.Pour ce faire les distributions d’incertitudes-types sont propagées par simulation deMonte Carlo.

4.6.2 Principe de propagation des distributions par simulationsde Monte-Carlo

La propagation des distributions consiste à évaluer l’incertitude-type associée à l’esti-mation d’une quantité Y , reliée à un ensemble de valeurs d’entrée X = (X1,X2, ...,XM ) àtravers un modèle f :

Y = f(X) , (4.22)

en propageant l’incertitude-type de chacune des grandeurs d’entrée Xi. Si toutes les gran-deurs d’entrée sont décrites par des PDFs connues, des simulations numériques sont uti-lisées pour générer un vecteur d’entrée fictif Xf = (xf1,xf2, ....,xfM ). Chaque élémentxfk de ce vecteur fictif est généré aléatoirement en fonction de la PDF spécifique de laquantité Xi correspondante. L’application de l’équation 4.22 au vecteur Xf ainsi générépermet d’obtenir une réalisation artificielle Yf du vecteur Y. En répétant cette simula-tion un grand nombre de fois N , on obtient une distribution de réalisations probables Yf1,Yf2,....,YfN de Y. L’incertitude sur la détermination de Y est alors égale à l’écart-typede cette distribution.

4.6.3 Incertitudes sur les coefficients d’étalonnage du PCTA

La procédure d’étalonnage en mode PCTA consiste à déterminer les coefficients de laloi du fil chaud pour chaque niveau de surchauffe. Ces coefficients sont déterminés grâceà une régression non linéaire sur des points expérimentaux ei(Ui,Ti) issus de l’écoulementde référence. La mesure de ces points d’étalonnage comporte une incertitude. L’analysede la procédure d’étalonnage illustrée à la figure 4.24 met en évidence quatre sourcesd’incertitudes :

1. l’incertitude sur la mesure de la température de référence,


2. l’incertitude sur la mesure de la vitesse de référence,3. l’incertitude sur la mesure des tensions anémométriques,4. l’incertitude liée au modèle non linéaire choisi.

Pour évaluer l’incertitude résultant sur l’étalonnage de la sonde en mode PCTA, on doitdéterminer au préalable l’incertitude-type associée à chacune de ces grandeurs d’entrée.Cette partie de la procédure peut être trouvée en annexe C de ce document.

Loi d’étalonnageTempérature de référence

Tensions anémométriquesVitesse de référence

( )kfkkk Tnba ,,,,

Figure 4.24 – Principales sources d’erreur liées à l’étalonnage du PCTA.

Ensuite l’erreur associée à chacune des grandeurs d’entrée est utilisée pour générerune distribution de valeurs d’écart type égale à celle-ci. Puis on génère un échantillon detailleN de données artificielles de vitesses, de températures et de tensions anémométriqueschoisies aléatoirement et respectant la PDF de chacune des grandeurs d’entrée. La taille del’échantillon de données artificielles est égale à celle des « vraies » données d’étalonnage. Laprocédure est répétée un grand nombre de fois (Ntir), et à chaque itération on calcule parrégression non linéaire les coefficients d’étalonnage correspondant aux données fictives. Onobtient ainsi une distribution de Ntir éléments pour chacun des coefficients d’étalonnage.L’erreur sur l’estimation de chaque coefficient est assimilée à l’écart-type de la distributioncorrespondante.


4.6.4 Incertitude sur la mesure simultanée de vitesse et tempé-rature

On se place dans le cadre de l’usage de la sonde PCTA pour une détermination dela vitesse et de la température à partir de la mesure de tension instantanée, une foisles coefficients d’étalonnage connus. L’analyse complète des sources d’incertitudes sur lamesure de la vitesse et de la température est donnée sur la figure 4.25. L’incertitude surla mesure simultanée de la vitesse et de la température dépend de :

– l’incertitude liée à l’étalonnage de la sonde– l’incertitude sur la mesure de la tension anémométrique– l’incertitude due au modèle non linéaire.

Pour chaque point de mesure (U,T ), on propage les distributions de coefficients pourtoutes les surchauffes et la distribution de la tension anémométrique, dont les écarts-types ont été fixés à l’étape précédente. Lorsque l’on ne prend pas en compte la corrélationentre les coefficients d’une même surchauffe, on génère indépendemment des coefficientssynthétiques à partir des distributions dont les écarts-types sont l’incertitude-type surchaque coefficient. On génère aussi des mesures de tensions synthétiques à partir d’unedistribution des tensions dont l’écart-type correspond à l’incertitude sur la mesure de latension. Le même outil numérique est utilisé pour la génération des données synthétiques,et à chaque itération on détermine un couple (U,T ) avec la méthode de régression nonlinéaire LM. L’incertitude sur la mesure de (U,T ) correspond alors à l’écart-type desdistributions de U et de T ainsi obtenues. Un exemple de résultats issus de cette procédureest donné sur la figure 4.26 pour des mesures avec le PCTA fonctionnant avec 3 niveauxde surchauffe.

Un paramètre important dans cette procédure est la taille de l’échantillon de donnéesutilisé pour l’étalonnage, et surtout l’uniformité de la distribution des valeurs de vitesse ettempérature de référence constituant cet échantillon. Nous avons calculé l’incertitude surla mesure de U et T pour plusieurs tailles d’échantillons d’étalonnage allant de 250 à 5.105

points, avec le PCTA fonctionnant dans une configuration à 3 niveaux de surchauffes 1.8,1.5 et 1.2.

Comme on peut le voir sur la figure 4.27, plus la taille des données d’étalonnage estimportante, plus la mesure de U et T est précise. L’erreur évolue approximativement en1/N . Pour un échantillon d’étalonnage de 5.105 points les erreurs sur U et T calculéesà partir des simulations de Monte-Carlo sont du même ordre de grandeur que cellesretrouvées en comparant les données étalonnage à celles rejouées dans la procédure de


Coe

ffici

ents

d’é

talo

nnag

e

Ther

moc

oupl

eC

apte

ur d

e pr

essi

on

Qua

ntifi

catio

n de

lach

aîne

d’a

cqui

sitio

nTe

mpé

ratu

rede

l’ai

r

Rép

étab

ilité

Loi d

’éta

lonn

age

Vite

sse

de

réfé

renc

e U

Loi d

’éta

lonn

age

() i

iT

U,

Qua

ntifi

catio

n de

lach

aîne

d’a

cqui

sitio

nR

épét

abilit

éTa

ux d

e tu

rbul

ence

de l’

air

Sond

e fil

cha

udFi

ltrag

e su

r les

pal

iersTe

nsio

nan

émom

étriq

ue

Loi d

’éta

lonn

age

Qua

ntifi

catio

n de

lach

aîne

d’a

cqui

sitio

n

Rép

étab

ilité

Vite

sse

de l’

air

Loi d

’éta

lonn

age

Tem

péra

ture

de

réfé

renc

e T

Sond

e fil

cha

udFi

ltrag

e su

r les

pal

iers

Tens

ion

aném

omét

rique

Taux

de

turb

ulen

cede

l’ai

r

Rép

étab

ilitéQua

ntifi

catio

n de

lach

aîne

d’a

cqui

sitio

n

Figure 4.25 – Analyse des sources d’incertitudes sur la mesure de la vitesse et de latempérature avec le PCTA.


a) Uref −Uest [m/s]

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-0.2 -0.1 0 0.1 0.20

-3 -2 -1 0 1 2 3σε U×p(Uref−Uest)

b) Tref −Test [ C]

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-0.6 -0.2 0 0.2 0.6

-3 -2 -1 0 1 2 3

σε T×p(Tref−Test)

Figure 4.26 – Exemple de résultats de simulations de Monte Carlo sur des valeursde : a) la vitesse, b) la température.


a)

012345678910

1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8

σεU/U [ % ]

Uref [m/s]

250000 pt125000 pt25000 pt250 pt

b)

00.20.40.60.81

1.21.41.61.82

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

σεT [ C ]

T [ C ]

250000 pt150000 pt25000 pt250 pt

Figure 4.27 – Incertitudes pour différentes tailles d’échantillon d’étalonnage : a) vi-tesse ; b) température. σεU est l’écart-type de la distribution des erreurssur la mesure de vitesse Uref −Uest, et σεT est l’écart-type de la distri-bution des erreurs sur la mesure de température Tref −Test.


minimisation (voir figures 4.12 et 4.13). Ce résultat conforte donc notre choix de faire unétalonnage dynamique qui a l’avantage de générer :

un grand échantillon de données U,T en très peu de temps,

des données uniformément réparties dans la gamme d’étalonnage vitesse-température.Un étalonnage réalisé sur un échantillon de 5.105 points avec le PCTA fonctionnant avectrois niveaux de surchauffe semble donc être une configuration adéquate pour minimiserles erreurs liées à la procédure expérimentale.

4.7 Validation du PCTA dans une couche de mélangeanisotherme

Cette section est consacrée à la validation de la méthode de mesure PCTA dans unécoulement de couche de mélange plane anisotherme à basses vitesses. Des essais ontété effectués de sorte à comparer les résultats obtenus, dans un même écoulement, par laméthode PCTA à deux autres méthodes de mesure éprouvées et classiquement utilisées : leCTA et le CCA. Ces résultats concernent des grandeurs statistiques généralement utiliséespour décrire la vitesse et la température dans un écoulement anisotherme : la moyenne, lesfluctuations, les moments d’ordre supérieur à 2, les spectres et les PDFs. La validation duPCTA dans des régimes de vitesses subsoniques peut être également trouvée dans notreétude préliminaire réalisée dans un dispositif de jets coaxiaux [88].

4.7.1 Configuration expérimentale

L’écoulement de couche de mélange, qui a servi à la validation, est généré dans lasoufflerie HABV décrite au Chapitre 2. Il est obtenu à partir de deux courants d’air devitesses U2 = 2.5 m/s et U1 = 1.5 m/s et de températures respectives T1 et T2. On noteraici ∆U = U2−U1 et ∆T = T2−T1.

Deux configurations sont étudiées ici : (λ= 0.25, ∆T =−10 K) et (λ= 0.25, ∆T =−25K), afin d’examiner aussi les éventuels effets de la température sur les différentes mesures.

Les sondes de mesure utilisées ici sont :– un fil chaud de 2.5 µm fonctionnant en mode PCTA dans une configuration à 3niveaux de surchauffes par motif pour mesurer simultanément la vitesse et la tem-pérature,

4.7 Validation du PCTA dans une couche de mélange anisotherme 117

– un fil froid de 1.25 µm de diamètre fonctionnant en mode CCA pour mesurer latempérature,

– un fil chaud de 2.5 µm de diamètre fonctionnant en mode CTA avec correctionen température pour mesurer la vitesse (avec une surchauffe).

Ces sondes sont alimentées respectivement par un anémomètre PCTA, un anémomètreCTA de type T.S.I.1750 et un anémomètre CCA fourni par l’université Laval (Canada).

Les mesures sont effectuées selon la direction transversale y, dans un plan vertical (x,y)à z = 0, à différentes positions suivant l’axe x de la veine d’essai. L’origine commune desaxes x et y est localisée au bord de fuite de la plaque séparatrice.

4.7.2 Résultats

Pour chacune des méthodes de mesure utilisées, les statistiques issues des mesuressont comparées. Seuls quelques résultats seront illustrés ici. Certaines grandeurs sontadimensionnées car les mesures avec les trois méthodes PCTA, CCA et CTA n’ont pasété réalisées dans un même essai, même si la génération de l’écoulement reste répétable.

Dans l’absolu, l’écart entre les températures moyennes mesurées par le PCTA et leCCA est de l’ordre de 0.1 K, et l’écart entre les vitesses moyennes mesurées par le PCTAet le CTA est inférieur à 10 cm/s. Cela est notamment dû au fait que ces expérimentationsn’ont pas été réalisées lors d’un même essai, et que des différences dans le positionnementdes sondes ont pu survenir.

A)Mesure des grandeurs moyennes Sur la figure 4.28, les profils de vitesse moyenne,obtenus à différentes stations x avec le PCTA et le CTA, sont comparés. La comparaisondes profils de température moyenne correspondants, mesurés avec le CCA et le PCTA, estillustrée sur la figure 4.29. Les conditions initiales de l’écoulement de couche de mélangesont (λ= 0.25,∆T =−10 K). La vitesse moyenne est adimensionnée par l’écart de vitesse∆U et la température moyenne par l’écart de température correspondant ∆T .

Comme on peut le voir sur les figures 4.28 et 4.29, les profils de vitesses moyennesadimensionnées mesurées par le CTA et le PCTA se superposent bien, tout comme lesprofils de températures moyennes adimensionnées mesurées par le CCA et le PCTA.

Nous avons aussi vérifié que le fait d’augmenter ∆T n’affecte pas la précision desrésultats sur les grandeurs moyennes.

La bonne qualité de ces résultats montre la capacité du PCTA à mesurer simulta-nément, de manière précise, les vitesses et températures moyennes de l’écoulement. Elle


0.51

1.52

-0.0500.050.10.15

0

0.5

1

U−U1∆U

CTAPCTA

x/H

y/H

Figure 4.28 – Comparaison des profils adimensionnés de la vitessse moyenne obtenusavec le PCTA et le CTA pour λ= 0.25, ∆T =−10 K.

0.51

1.52

-0.15-0.1-0.0500.05

0

0.5

1

T−T2∆T

CCAPCTA

x/H

y/H

Figure 4.29 – Comparaison des profils adimensionnés de la température moyenne ob-tenus avec le PCTA et le CCA pour λ= 0.25, ∆T =−10 K.


atteste aussi de la validité de l’étalonnage vitesse température pour la mesure avec le CTAclassique de la vitesse moyenne en situation anisotherme.

B) Mesure des fluctuations Les mesures de fluctuations de vitesse et de températureont été effectuées pour les deux configurations d’écoulement : (λ= 0.25, ∆T =−10 K) et(λ= 0.25, ∆T =−25 K).

Fluctuations de vitesse La mesure de fluctuations de vitesse par un fil chaud enmode CTA est généralement problématique lorsque l’écoulement étudié est anisotherme.En effet la contribution des fluctuations de température dans les fluctuations de vitessevues par le CTA est assez difficile à estimer. Dans la pratique cette contribution peut êtreapprochée en intégrant dans la loi linéarisée du fil chaud les fluctuations de température.Cela nécessite toutefois la connaissance de la température instantanée à la même positionet au même instant, et la connaissance des corrélations vitesse-température.

Une illustration de l’effet de la température sur la mesure des fluctuations de la vitessepeut être trouvée à la figure 4.30. Elle compare des valeurs rms de vitesse mesurées parCTA et PCTA pour les deux configurations (λ = 0.25, ∆T =−10K) et (λ = 0.25, ∆T =−25K). Les fluctuations de vitesse vues par le CTA sont supérieures à celles mesurées parle PCTA pour un fil de même diamètre. De plus les niveaux de fluctuations mesurés parle CTA augmentent avec l’écart de température ∆T , contrairement aux mesures PCTA.Ce comportement est aussi illustré par les différences dans les évolutions longitudinalesdu pic de RMS vu par le CTA et le PCTA pour ∆T = 0K, ∆T =−10K et ∆T =−25K.La figure 4.31 montre que le maximum de rms de vitesse, mesuré par le CTA, varie enfonction de ∆T . Quant au pic vu par le PCTA, il converge vers une valeur unique, quelleque soit ∆T . Le CTA ne peut pas être considéré ici comme une référence pour la mesuredes fluctuations de vitesse en présence de gradient thermique.

Toutefois on note une superposition des profils des valeurs rms de vitesse mesuréespar le PCTA et le CTA une fois adimensionnées, comme l’indique la figure 4.32 (même sil’adimensionnement ne corrige pas l’effet de T ).

Fluctuations de température La comparaison des valeurs rms de température vuespar le CCA et par le PCTA, à une même position x dans l’écoulement, est donnée à lafigure 4.33 pour ∆T = −10 K et ∆T = −25 K. On note sur cette figure que les valeurs


a)

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

-1 -0.5 0 0.5 1

Urms∆U

ηu

PCTA CTA

b)

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

-1 -0.5 0 0.5 1

Urms∆U

ηu

PCTA CTA

Figure 4.30 – Valeurs rms de la vitesse obtenues avec le CTA et le PCTA pour a)∆T =−10K et (b) ∆T =−25K. Les valeurs rms sont rapportées à ladifférence de vitesse ∆U .


a)0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0 0.5 1 1.5 2

Urms∆U

x/H

∆T =−25K∆T =−10K

∆T = 0K

b)0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0 0.5 1 1.5 2

Urms∆U

x/H

∆T =−25K∆T =−10K

∆T = 0K

Figure 4.31 – Effet de ∆T sur le maximum des valeurs rms de vitesse obtenues avec :a) le CTA, b) le PCTA.

0.5

1

1.5

2

-0.0500.050.10.15

00.51

Urms∗

CTAPCTA

x/H

y/H

Figure 4.32 – Profils adimensionnés des valeurs rms de la vitesse obtenues avec lePCTA et le CTA pour λ= 0.25, ∆T =−10K. Les rms de vitesse sontrapportées à leurs valeurs maximales et la distance longitudinale x estadimensionnée par la hauteur H de la veine d’essai.


a)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

Trms∆T

ηT

PCTA CCA

b)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

Trms∆T

ηT

PCTA CCA

Figure 4.33 – Valeurs rms de la température obtenues avec le CTA et le PCTA pour(a) ∆T =−10K et (b) ∆T =−25K.


rms de température mesurées par le fil froid CCA sont systématiquement plus élevéesque celles obtenues par le PCTA. Indépendamment des deux méthodes, cette différencepouvant atteindre un facteur de l’ordre de 2.3 est liée au diamètre du fil (les mesuresPCTA ont été réalisées avec un fil de 2.5 µm alors que les mesures fil froid sont obtenuesavec un fil de 1.25 µm). L’évolution des maxima de fluctuations thermiques en fonctionde la position longitudinale x, donnée à la figure 4.34, confirme cette analyse.

a)0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 0.5 1 1.5 2

Trms∆T

x/H

CCAPCTA

b)0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 0.5 1 1.5 2

Trms∆T

x/H

CCAPCTA

Figure 4.34 – Maxima des valeurs rms de température obtenues avec le CCA et lePCTA pour a) ∆T =−10 K et b) ∆T =−25 K sans prise en comptede l’efet du diamètre de fil.

Nous avons vu au chapitre 2 section 2.5, qu’en anémométrie à fil froid, la dépendancede la bande passante par rapport au diamètre du fil entraîne une sous-estimation desfluctuations de température. Dans le cadre de notre étude, on sous-estime les fluctuationsde température mesurées par le PCTA avec un fil de 2.5 µm de diamètre. On retrouvenotamment une valeur constamment plus élevée vue par le fil de 1.25 µm en mode CCA.L’ordre de grandeur du rapport entre les valeurs rms de température mesurées par le filde 1.25 µm en CCA et par le fil de 2.5µm en PCTA est de l’ordre de 2.3. Cette valeurest proche de celle trouvée par Saez [109] dans la mesure de fluctuations de températuredans une couche limite avec des fils froids de diamètre 1.25 µm et 2.5 µm. Cependant onpeut noter que le maximum de RMS de température reste proportionnel à ∆T quelle quesoit la méthode de mesure utilisée.Une comparaison des fluctuations de température mesurées avec un fil de 2.5 µm et unfil de 1.25 µm tous deux en mode CCA est illustrée à la figure 4.35. Cette représentationmontre assez clairement l’atténuation des fluctuations thermiques mesurées avec un fil degrand diamètre. Le rapport de ces deux grandeurs permet de définir un coefficient cor-rectif entre des mesures de fluctuations de températures avec des fils de 1.25 µm et 2.5


0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1

Trms∆T

y/H

CCA 1 µmCCA 2.5 µm

CCA corrigé 2.5 µm

Figure 4.35 – Influence du diamètre du fil sur la mesure des fluctuations de tempé-rature.

µm. Nous utilisons ce même principe pour corriger nos mesures PCTA de fluctuations detempérature. La figure 4.36 montre la validité de cette correction. Dorénavant pour toutemesure PCTA, les fluctuations de température sont multipliées par ce coefficient correctifpour prendre en compte le diamètre du fil.

L’évolution longitudinale des fluctuations de température est donnée à la figure 4.37.Cette représentation montre une bonne superposition des profils de rms de températureadimensionnée.

Moments d’ordre 3 et 4 Les coefficients de dissymétrie (Su et ST ) et d’aplatissement(Ku et KT ) de la vitesse et de la température, obtenus avec nos différentes méthodes demesure, sont représentés à la figure 4.38. Les évolutions de ces grandeurs sont cohérentesavec les résultats que l’on peut trouver dans la bibliographie sur les couches de mélangeanisothermes. Elles seront commentées plus amplement dans les chapitres suivants. Onpeut noter l’excellente concordance des mesures de température CCA et PCTA. Les co-efficients associés à la vitesse mesurées par le CTA ne sont pas représentés ici. Ils sont


a)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

Trms∆T

ηT

CCA PCTA corrigé

b)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

Trms∆T

ηT

CCA PCTA corrigé

Figure 4.36 – Valeurs rms de la température obtenues avec le CTA et le PCTA pour(a) ∆T = −10K et (b) ∆T = −25K avec correction de l’effet du dia-mètre de fil.


0.5

1

1.5

2

-0.0500.050.10.150

0.51

T ∗rms

CCAPCTA

x/H

y/H

Figure 4.37 – Profils adimensionnés des valeurs rms de la température obtenues avecle PCTA et le CCA. Les rms de température sont rapportées à leursvaleurs maximales et la distance longitudinale x est adimensionnée parla hauteur H.


a)-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-1 -0.5 0 0.5 1

Su

ηu b)1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-1 -0.5 0 0.5 1

Ku

ηu

c)-6

-4

-2

0

2

4

6

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ST

ηT

PCTACCA

d)1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

KT

ηT

PCTACCA

Figure 4.38 – Cefficients de dissymétrie et d’aplatissement de : (a-b) la vitesse, (c-d)la température, pour λ= 0.25, ∆T =−25K.


faussés par la contribution des fluctuations thermiques dans la mesure des fluctuations devitesse par le CTA.

Spectres Un exemple de spectres obtenus à une même position dans l’écoulement parles différentes méthodes de mesure est donné à la figure 4.39. On peut noter une certainedifférence de niveau entre les densités spectrales mesurées par le PCTA et celles mesu-rées par les autres capteurs. D’une part les spectres de température CCA et PCTA ontune amplitude différente du fait de la différence de diamètre de fil utilisé pour ces deuxcapteurs. En appliquant la correction obtenue à partir de la comparaison des mesuresde fluctuations, les densités obtenues sont relativement superposables dans la gamme defréquences commune, c’est à dire pour les grandes échelles de l’écoulement. Toutefois unecorrection avec une fonction de transfert dépendant de la fréquence pourrait s’avérer plusjudicieuse, même si cela semble plus difficilement réalisable du fait de la variation dela fréquence de coupure du fil en fonction de la surchauffe imposée. Cette fonction detransfert pourrait être déterminée en comparant les densitées spectrales de températuremesurées par le PCTA et le CCA pour différentes conditions initiales en λ et ∆T .

D’autre part les densités spectrales de la vitesse mesurées par le CTA sont surestiméesdu fait de la contribution des fluctuations thermiques non maîtrisées, alors que le PCTAdonne une bonne représentation de ces densités.

On peut par ailleurs noter une fréquence de coupure plus faible pour le PCTA. Celaest notamment lié à la fréquence du motif du signal qui dépend, on le rappelle, entreautres, du nombre et de la valeur des surchauffes, ainsi que du diamètre du fil utilisé.

La caractérisation des grandes échelles de l’écoulemet en vitesse et en températuresemble donc bien réalisée par le PCTA. On gagnerait à optimiser les paramètres, notam-ment le choix du diamètre du fil, de sorte à obtenir les plus petites échelles de l’écoulement.

4.8 Conclusion

Le nouvel anémomètre PCTA offre la possibilité de mesurer simultanément la vitesseet la température à une position donnée avec une fréquence relativement élevée. Sonprincipe général, basé sur l’utilisation d’un fil chaud unique soumis de manière périodiqueà une séquence de surchauffe appelée ici motif, reste opérationnel pour les mesures dansles écoulements turbulents d’air à basse vitesse avec des variations spatio-temporelles detempérature.

4.8 Conclusion 129

a)

1e-091e-081e-071e-061e-051e-040.0010.010.11

1 10 100 1000 10000

Euu, ETT

f [Hz]

CTA UCCA T

PCTA UPCTA T

b)

1e-091e-081e-071e-061e-051e-040.0010.010.11

1 10 100 1000 10000

Euu, ETT

f [Hz]

CTA UCCA T

PCTA UPCTA T

Figure 4.39 – Exemple de spectres de température et de vitesse pour λ = 0.33,∆T = −10K, obtenus dans la zone turbulente de l’écoulement : (a)sans correction, (b) avec correction.


Les algorithmes non linéaires développés pour traiter les signaux permettent de dé-terminer les coefficients de la loi de réponse du fil chaud, ainsi que la vitesse et la tem-pérature mesurées. Dans le cadre du PCTA, ces coefficients ainsi que la température dufil dépendent de la surchauffe appliquée. L’ensemble est alors déterminé simultanémentà partir d’un unique étalonnage instationnaire vitesse température introduit dans cetteétude.

Les incertitudes sur les mesures de vitesse et de température, évaluées à partir desimulations de Monte-Carlo, sont respectivement de 0.1 m/s et 0.2 K pour des gammesde vitesse de 0.5 à 5 m/s et de température de 10C à 35C.

L’étude du choix des paramètres de fonctionnement a montré que la meilleure préci-sion des mesures est obtenue avec un motif à nombre de surchauffes réduit balayant laplus grande proportion possible de l’étendue de la gamme de surchauffes. Toutefois dessurchauffes consécutives ne doivent pas être trop éloignées les unes des autres afin deréduire les périodes de transition correspondant au refroidissement du fil.

La validation du PCTA a permis une comparaison avec le CTA et le CCA placésdans un même écoulement. Il en ressort que le PCTA mesure très bien les fluctuations devitesse sans aucun biais lié aux fluctuations de température, contrairement au CTA. Lesmesures des fluctuations thermiques par le PCTA sont sous-estimées d’un facteur constantqui ne dépend apparemment que du diamètre du fil. La comparaison de ces mesures àcelles fournies par un CCA pour un même diamètre a permis d’estimer ce facteur. Onpourrait cependant envisager une correction avec une fonction de transfert dépendant dela fréquence.

Les mesures des grandeurs moyennes fournies par l’ensemble des capteurs sont tout àfait comparables.

La bande passante du PCTA, dans sa configuration actuelle, ne permet d’obtenir lesspectres de vitesse et de température qu’aux plus grandes échelles. Il semble donc impératifd’envisager une correction de ces spectres par une fonction de transfert dépendant de lafréquence.

Afin d’améliorer la bande passante, on gagnerait à réduire ces temps de transition,pour augmenter la fréquence de répétion du motif de surchauffes. Ces durées de transitionrequise entre les changements de surchauffes décroissantes sont fortement liées à l’inertiethermique du fil. L’utilisation d’un fil de plus petit diamètre permettrait au fil d’atteindreplus rapidement l’équilibre après un changement de surchauffe au profit de la durée utile τuainsi que la réduction de la durée τm au profit de la durée du motif. Cela nécessite toutefoiscertaines modifications dans la conception de l’anémomètre, notamment le rapport de pont

4.8 Conclusion 131

qui impose une limite à la résistance (donc au diamètre) de fil utilisable. Enfin l’utilisationde motifs avec un nombre réduit de surchauffes, avec les critères évoqués à la section 4.4de ce chapitre, permettrait également d’augmenter la bande passante.

Dans toute la suite de cette étude, les mesures de fluctuations de température délivréespar le PCTA sont multipliés par un facteur correctif lié au diamère du fil. La configurationretenue pour le fonctionnement de l’anémomètre est un motif constitué de trois surchauffesde valeurs 1.8, 1.5 et 1.2 dont les durées sont choisies de sorte à avoir une fréquence derépétition du motif de 1kHz. Le PCTA est utilisé dans le chapitre 6 pour l’étude complètede la couche de mélange anisotherme.


Chapitre 5

Etude de la couche de mélangeisotherme

Ce chapitre est consacré à l’étude de la couche de mélange en configuration isotherme.La soufflerie HABV offre la possibilité de générer plusieurs configurations d’écoulements,différentes, en jouant notamment sur le rapport de vitesse des deux flux de la couche demélange. On tire profit de ces capacités pour vérifier, pour les régimes de basses vitesses,certains résultats obtenus dans la bibliographie pour des couches de mélange dans desgammes de vitesse plus élevées. En outre, ce travail permet de qualifier la soufflerie pourles écoulements isothermes avant d’aborder le cas anisotherme dans le chapitre 6.

On s’intéresse particulièrement à l’influence du paramètre de cisaillement λ et dusillage de la plaque séparatrice sur le développement de l’écoulement. Des auteurs commeBrown et Roshko [27], Mehta [83], Yule [136, 137],..., ont abordé cette question pour desvitesses plus élevées. Même s’il existe un certaine dispersion entre les résultats, due auxdifférences dans le taux de turbulence de l’écoulement libre d’une étude à l’autre, touss’accordent à indiquer un taux d’expansion de la zone de mélange croissant en fonctiondu paramètre de cisaillement λ. Par ailleurs l’effet du sillage de la plaque séparatrice surle développement de l’écoulement est fortement lié à la valeur de λ.

La première section est consacrée à la description des configurations d’écoulementétudiées. Le développement du champ de vitesse moyenne est examiné dans la deuxièmesection. A cette occasion on s’intéresse à l’expansion de la zone de mélange et aux condi-tions de similitude de la vitesse moyenne. Enfin l’analyse des fluctuations est effectuéedans la troisième section de ce chapitre. Elle permet d’étudier la similitude complète du

134 Chapitre 5. Etude de la couche de mélange isotherme

λ U1 U2 r Ucm/s m/s m/s

0.50 4.5 1.5 0.33 3.00.33 4.0 2.0 0.50 3.00.25 2.5 1.5 0.60 2.00.25 5.0 3.0 0.60 4.00.17 3.5 2.5 0.71 3.00.13 4.5 3.5 0.77 4.0

Tableau 5.1 – Configurations étudiées en écoulement isotherme.

champ de vitesse et fournit les échelles de la turbulence.Les résultats présentés dans ce chapitre sont issus de mesures réalisées avec un fil

chaud de 2.5 µm fonctionnant en mode CTA.

5.1 Conditions génératrices amontLes configurations d’écoulement étudiées sont caractérisées par un rapport de vitesse

r = U2U1

correspondant à un paramètre de cisaillement λ = U1−U2U1 +U2

= 1− r1 + r

. Ici U1 est lagrande vitesse et correspond à l’écoulement situé en bas (y < 0), U2 la petite vitesse estcelle de l’écoulement situé au dessus (y > 0). La différence de vitesse est notée ∆U =U1−U2. Ces différentes configurations sont présentées dans le tableau 5.1. L’état descouches limites est indiqué au chapitre 3. Seule la configuration λ = 0.33 est présentéede manière détaillée dans ce chapitre. Les résultats issus des autres configurations sontcommentés de manière synthétique. On pourra trouver à l’annexe D un catalogue defigures correspondant à l’ensemble des configurations étudiées en écoulement isotherme.Les mesures sont réalisées en 12 stations suivant l’axe longitudinal, soit x= 0, x/H = 0.1,x/H = 0.2, x/H = 0.4,..., x/H = 2.0. L’origine de l’axe x est le bord de fuite de la plaque deséparation. Pour chaque station 38 points de mesure ont été effectués suivant la directiony sauf pour x= 0 où 73 points de mesure ont été effectués afin d’avoir un maillage resserrépour caractériser au mieux les couches limites de part et d’autre de la plaque séparatrice.Pour chaque profil, un pas variable entre les points de mesures a été adapté de sorte àsuivre l’évolution de la zone de mélange avec le maximum de points situés dans la régionde gradient vertical. Le domaine de mesure en y s’élargit donc lorsque l’on se déplace versl’aval, cependant le nombre de points reste identique sauf pour la station x= 0. La figure

5.2 Développement du champ de vitesse moyenne 135

5.1 donne la distribution des points de mesure dans le domaine (x,y) de l’écoulement.

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 0.5 1.0 1.5 2.0

y/H

x/H

Figure 5.1 – Grille de points de mesure.

5.2 Développement du champ de vitesse moyenneLe développement du champ de vitesse moyenne est abordé ici en se basant sur l’évo-

lution des grandeurs caractéristiques de la couche de mélange obtenues à partir des profilsde vitesse moyenne.

5.2.1 Profils de vitesse moyenne

Le développement du champ de vitesse moyenne d’une couche de mélange est généra-lement caractérisé comme suit (voir chapitre 2) :

– juste après le bord de fuite de la plaque séparatrice, les couches limites issues depart et d’autre de cette plaque se rencontrent ;

– à l’aval du bord de fuite de la plaque séparatrice se trouve la zone de sillage ;– plus loin vers l’aval, la couche de mélange commence à se développer ;– au delà d’une certaine distance, dite distance de développement, l’écoulement peutévoluer vers une forme auto-similaire.

Ces différentes caractéristiques apparaissent sur la figure 5.2 représentant les profils devitesse moyenne longitudinale obtenus à différentes stations x à l’aval du bord de fuite


pour deux configurations d’écoulement : λ = 0.33 et λ = 0.17. La vitesse moyenne localeest adimensionnée par la vitesse des écoulements uniformes pour la position x donnée.Cette représentation indique un élargissement progressif de la zone de gradient vertical devitesse visible sur les profils à l’aval du bord de fuite de la plaque séparatrice situé à x= 0,traduisant ainsi l’expansion de la couche de mélange. Elle met aussi en évidence la tracedu sillage de la plaque séparatrice caractérisée par la présence d’un déficit de vitesse aucentre des profils au voisinage de x = 0. Le sillage de la plaque peut retarder l’évolutionvers l’auto-similarité de la vitesse moyenne.

5.2.2 La zone de sillage

Comme on peut le voir sur la figure 5.2, le déficit de vitesse sur les profils de vitessemoyenne est plus prononcé et plus persistant lorsque λ= 0.17 comparé au cas λ= 0.33. Lalongueur de la trace du sillage apparaît donc plus grande pour le cas λ= 0.17. L’évolutionde ce déficit en fonction de la position longitudinale x, pour plusieurs valeurs de λ, estillustrée à la figure 5.3.

Le déficit est adimensionné par la différence de vitesse ∆U , et la position x par l’épais-seur de quantité de mouvement ΘH.V. de la couche limite sur la plaque séparatrice côtéhaute vitesse. Cette représentation montre, d’une part, que la longueur de la zone desillage est une fonction décroissante de λ ; d’autre part, que l’intensité relative du déficitde vitesse est plus importante pour les petites valeurs de λ. Cette évolution est conformeà la définition de l’écoulement de sillage qui est obtenu à partir de deux courants de mêmevitesse, soit un paramètre de cisaillement λ = 0. Ce même comportement a été observépar Mehta [83] pour des couches de mélange obtenues avec des valeurs de λ comprisesentre 0.05 et 0.33.

5.2.3 Epaisseurs caractéristiques et similitude

L’épaisseur locale δω et la position locale y0.5U de l’axe de la couche de mélange sontdéterminées en ajustant le profil de vitesse moyenne longitudinale à chaque station x parune fonction erf du type :

U(y) = 12

1− erf(√(π)

δω(y−y0.5)

)(U1−U2) +U2 , (5.1)


a)

0.51

1.52

-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4

0

0.5

1

x/H

y/H

U−U2∆U

b)

0.51

1.5-0.3-0.2-0.100.10.20.3

0

0.5

1

x/H

y/H

U−U2∆U

Figure 5.2 – Evolution longitudinale des profils de vitesse moyenne : (a) λ = 0.33 ;(b) λ= 0.17 (mesures avec le CTA).


-2

-1.5

-1

-0.5

0

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

Umin−U

2∆U

x/ΘH.V.

λ

λ= 0.50λ= 0.33

λ= 0.25λ= 0.17

λ= 0.13

Figure 5.3 – Evolution du déficit de vitesse en fonction de x et λ ( mesures CTA).

où U1 et U2 sont les vitesses de l’écoulement uniforme, la position de l’axe de la couchede mélange y0.5U et l’épaisseur de vorticité δω (qui correspond ici à l’épaisseur de pentemaximale) sont les paramètres à estimer.

A) Similitude La similitude de la vitesse moyenne est alors caractérisée par le bonregroupement des profils autour de la courbe représentative de la fonction erf. Un exempleest donné à la figure 5.4 pour la configuration λ= 0.33.

La distance de développement xd de l’écoulement moyen a été évaluée pour plusieursvaleurs de λ. Notons que cette détermination est relativement imprécise en raison dunombre limité de positions longitudinales x où les profils ont été mesurés. Nos résultatsmontrent une réduction de la distance xd lorsque le rapport des vitesses initiales r décroît(λ augmente). Cette évolution est illustrée sur la figure 5.5 où xd est adimensionnée parl’épaisseur de quantité de mouvement ΘH.V.. Elle est cohérente avec la description dusillage faite à la section précédente. La similitude de l’écoulement est donc retardée par lapersistance du sillage de la plaque séparatrice. Les écarts entre les résultats des auteurssur la figure 5.5 sont dues aux différences dans les conditions initiales, notamment le tauxde turbulence des écoulements libres qui varie d’une étude à l’autre.


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

U−U2∆U

ηu

Figure 5.4 – Superposition de 9 profils de la vitesse moyenne adimensionnée (mesuresavec le CTA pour λ= 0.33 et 0.4≤ x/H ≤ 2.0).

0

200

400

600

800

1000

1200

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

xdΘH.V.

λ

Notre etudeMehta [83]

Masutani [82]

Figure 5.5 – Variations de la distance de développement de la vitesse moyenne enfoncton de λ.


B) Epaisseurs Les études de Brown et Roshko [27], Mehta [83] ou encore Oster etWygnanski [91], ont montré un épaississement de la couche de mélange linéaire et plusimportant lorsque la valeur de λ augmente. Le même comportement est retrouvé ici,comme l’indique la figure 5.6 illustrant l’évolution suivant x de l’épaisseur δω calculéedans la zone de similitude de la vitesse moyenne pour λ compris entre 0.13 et 0.50. La

0

50

100

150

200

0 500 1000 1500 2000

δω [mm]

x [mm]

λ= 0.50, Uc = 3m/sλ= 0.33, Uc = 3m/sλ= 0.25, Uc = 2m/sλ= 0.25, Uc = 4m/sλ= 0.17, Uc = 3m/sλ= 0.13, Uc = 4m/s

Figure 5.6 – Evolution longitudinale de l’épaisseur de vorticité de la couche de mé-lange en fonction du paramètre λ (mesures CTA).

réduction de la zone de similitude de la vitesse moyenne lorsque λ augmente explique ladifférence de longueur des courbes tracées.

On peut remarquer sur cette figure un changement de pente de δω(x) qui a lieu aprèsx= 800 mm, pour la configuration λ= 0.50. Ce ressaut pourrait être dû à un gradient depression longitudinal résiduel apparaissant pour ce régime de vitesse. Cette spécificité estprise en compte dans la suite de notre raisonnement.

Par ailleurs le rapport des épaisseurs de vorticité et de quantité de mouvement issuesde nos mesures est de l’ordre 4.45, ce qui est assez proche de la valeur de 5 donnée parBrowand et Ho [25].


Auteur λ dδω/dx σ0

Notre étude 0.5 0.086 10.35Notre étude 0.33 0.052 11.28Mehta [83] 0.33 0.032Notre étude 0.25 0.040 11.16Delville [42] 0.26 0.041Mehta [83] 0.25 0.024Notre étude 0.16 0.027 10.91Mehta [83] 0.17 0.017

Tableau 5.2 – Taux d’expansion de la couche de mélange pour différentes valeurs deλ.

La croissance de la couche de mélange est généralement caractérisée par le taux d’ex-pansion dδω/dx. Une comparaison de nos résultats avec ceux obtenus par d’autres expéri-mentateurs pour des vitesses plus élevées est faite dans le tableau 5.2. Le taux d’expansionissu de nos mesures est de dδω/dx = 0.152λ, ce qui est assez proche des prévisons empi-riques généralement rencontrées dans la littérature. Par exemple, Browand et Latigo [26]trouvent dδω/dx= 0.17λ et dδω/dx= 0.15λ pour des couches de mélange ayant respecti-vement des couches limites laminaire et turbulente avec λ de l’ordre de 0.7.

L’effet du rapport de vitesse r sur le taux de croissance de la couche de mélange estgénéralement exprimé analytiquement par les prévisions empiriques d’Abramovich[4] etSabin[108] :

σ0σ

= 1− r1 + r

= λ , (5.2)

où σ est le paramètre d’expansion de la couche de mélange et σ0 correspond au casd’une couche de mélange avec un côté au repos. Même si la valeur de σ0 = 11 trouvéepar Liepmann et Laufer [78] pour λ = 1 est généralement donnée comme référence, desauteurs comme Rodi [105] et Mehta [83] ont trouvé des valeurs inférieures. Nous proposonsici d’étudier les variations de σ0 en fonction de λ en appliquant la relation 5.2. Unecomparaison de nos résultats à ceux obtenus par d’autres auteurs peut être trouvée sur lafigure 5.7. Nous obtenons une valeur moyenne de σ0 de 10.92. Elle est représentée par letrait horizontal sur cette figure. Cette valeur moyenne trouvée est assez proche de cellesretrouvées dans la bibliographie.


7891011121314

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

σ0

=σ×λ

λ

Liepmann [78]Spencer [118]Fiedler [50]

Delville [42]Yule [136]Mehta [83]

Notre étude

Figure 5.7 – Variations de σ0 en fonction du paramètre de cisaillement λ.

C) Lignes d’expansion et origine virtuelle Les lignes d’expansion de la vitessemoyenne sont l’ensemble des points iso-valeurs Φiu où la vitesse est égale à la bassevitesse de la couche de mélange, augmentée d’une fraction i de ∆U :

U = U2 + i×∆U .

Nous adoptons pour la suite de l’analyse les conventions suivantes :– l’axe de la couche de mélange correspond à la ligne d’iso-valeurs Φ0.5u ,– les lignes d’iso-valeurs Φ0.1u et Φ0.9u délimitent les frontières de la couche de mélange,– Φ0.1u est située du côté basse vitesse et Φ0.9u côté haute vitesse.

Ces lignes d’expansion sont présentées sur la figure 5.8 pour plusieurs valeurs de λ. Leurévolution en fonction de la coordonnée longitudinale x est linéaire dans la zone de simi-litude de la vitesse moyenne. L’expansion de la couche de mélange, traduite par l’angleentre les lignes Φ0.1u et Φ0.9u , est une fonction croissante de λ. Pour l’ensemble des confi-gurations, la position y0.5U de l’axe de la zone de mélange est décalée vers le côté bassevitesse de l’écoulement. L’intersection des lignes d’iso-valeurs correspond à la positionde l’origine virtuelle de la couche de mélange. Elle est matérialisée par le trait verticalcontinu sur la figure 5.8. On rappelle que l’origine virtuelle est la position où l’épaisseur


a)-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

B.V.

H.V.

(λ= 0.50)

b)-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

B.V.

H.V.

(λ= 0.33)

c)-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

B.V.

H.V.

(λ= 0.25)

d)-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

B.V.

H.V.

(λ= 0.17)

e)

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

B.V.

H.V.

(λ= 0.13)

Φ0.1uΦ0.3uΦ0.5uΦ0.7u

Φ0.9u

Figure 5.8 – Lignes d’expansion de la vitesse moyenne (mesures CTA). L’origine vir-tuelle est représentée sur chaque figure par le trait vertical.


δω est nulle. On constate ici qu’elle est systématiquement située à l’amont du bord defuite de la plaque séparatrice. Sa position est d’autant plus éloignée du bord de fuite queλ diminue.

Les principales caractéristiques des lignes d’expansion sont comparées sur la figure 5.9.La position de la ligne Φ0.1u varie peu en fonction de λ et x. Elle reste proche du plancentral (y = 0) de la soufflerie quelle que soit la valeur de λ. Quant à la ligne Φ0.9u , elleévolue progressivement du côté basse vitesse, avec une déflexion de plus en plus impor-tante lorsque λ augmente. Cela précise la façon dont s’effectue l’expansion croissante de lazone de mélange avec λ et le refoulement de l’origine virtuelle de la couche de mélange versl’amont de la plaque séparatrice lorsque λ diminue. Le phénomène principal qui apparaîtest un décalage global de la zone de mélange vers le côté basse vitesse quand λ augmente.

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

B.V.

H.V.

Φ0.9u λ= 0.50Φ0.1u λ= 0.50

λ= 0.33λ= 0.33

λ= 0.25λ= 0.25

λ= 0.17λ= 0.17

Figure 5.9 – Frontières de la zone de mélange pour différentes valeurs de λ.

Après cette description de l’écoulement moyen, l’analyse des fluctuations de vitesse vapermettre de conclure sur la similitude totale du champ de vitesse.

5.3 Développement de la turbulence 145

5.3 Développement de la turbulence

5.3.1 Profils des fluctuations turbulentes

Les moments d’ordre 2 de la vitesse longitudinale adimensionnés par leurs valeursextrêmes locales sont représentés sur la figure 5.10. Les profils sont quasiment symétriques

0.5

1

1.5

2

-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4

00.51

U∗rms

x/H

y/H

Urms(Urms)max

Figure 5.10 – Evolution longitudinale des moments d’ordre 2 de la vitesse pour λ =0.3 (mesures CTA).

par rapport à l’axe de la couche de mélange et comportent un maximum dont la positioncorrespond à celle du point d’inflexion au centre des profils de vitesse moyenne.

La surperposition des profils de fluctuations démarre plus loin que celle des profils devitesse moyenne comme on peut le voir sur l’exemple donné à la figure 5.11 en comparaisonavec la figure 5.4. Pour cet exemple correspondant à λ = 0.33, les profils de fluctuationsse regroupent à partir de x/H = 1.2 alors que ceux de la vitesse moyenne se superposentà partir de x/H = 0.4 (voir figure 5.4). Le champ turbulent se développe de façon auto-similaire plus loin que le champ moyen, ce qui est également le cas pour les écoulementsde jets et les sillages.

Les variations suivant x du maximum de fluctuation mesuré pour différentes valeursde λ sont représentées sur la figure 5.12.


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

U∗rms

(y−y0.5U )/δω

x/H = 1.21.41.61.82.0

Figure 5.11 – Superposition des profils de rms de vitesse adimensionnées mesuréesavec le fil chaud CTA pour λ= 0.33 (1.2≤ x/H ≤ 2.0).

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

(Urms)max∆U

x/ΘH.V.

λ= 0.50, Uc = 3m/sλ= 0.33, Uc = 3m/sλ= 0.25, Uc = 2m/sλ= 0.17, Uc = 3m/sλ= 0.13, Uc = 4m/s

Figure 5.12 – Variations du maximum de rms de vitesse en fonction de x pour diffé-rentes valeurs de λ.


On peut voir sur cette représentation que le niveau d’intensité turbulente sur l’axe justeà l’aval du bord de fuite augmente lorsque λ décroît. Cela est dû à la persistance du sillagede la plaque pour les faibles valeurs de λ. Plus loin vers l’aval, les fluctuations s’atténuentpour converger progressivement vers une valeur de 0.2 proche de celle donnée par par Osteret Wygnanski [91] qui est de 0.18. Cette convergence des maxima de fluctuations constituela dernière condition requise pour une similitude du champ de vitesse. Elle indique parailleurs un comportement identique des fluctuations turbulentes indépendant de λ dans lazone de similitude. Cette zone de similitude débute à une position 400≤ x/ΘH.V. ≤ 600.

5.3.2 Dissymétrie et aplatissement

Les coefficients de dissymétrie Su et d’aplatissement Ku sont obtenus en normalisantles moments d’ordre 3 et 4 de la vitesse par les moments d’ordre 2 comme suit :

Su = u′3

(u′2)3/2 (5.3)

Ku= u′4

(u′2)2 . (5.4)

Ils renseignent sur la position des zones intermittentes de l’écoulement : le coefficientd’aplatissement met en évidence les fluctuations intenses et peu probables du signal, et lecoefficient de dissymétrie donne le signe de ces fluctuations. On peut ainsi avoir une idéede la déviation de la PDF des fluctuations de vitesse par rapport à celle d’une distributiongaussienne caractérisée par Su = 0 et Ku = 3, et quantifier l’importance relative des cesgrandes fluctuations.

Les évolutions de ces coefficients à travers la couche de mélange sont illustrées sur lafigure 5.13 pour λ= 0.33. Comme on peut le voir sur cette figure, la zone intermittente ca-ractérisée par les maxima de Su et Ku se situe appxoximativement vers |y−y0.5U

δω|= 0.6

à 0.7 des deux côtés de la zone de mélange. L’écartement des pics de dissymétrie etd’aplatissement suit l’expansion de la couche de mélange. En dehors des zones fortementintermittentes, c’est-à-dire au centre de la couche de mélange et sur les bords, l’écoule-ment a un comportement quasi gaussien avec Ku proche de la valeur 3 caractéristiqued’une distribution Gaussienne.

On peut noter que Su > 0 du côté basse vitesse et Su < 0 du côté haute vitesse dela couche de mélange. Le signe de ces moments dans les régions intermittentes peut être


a)

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1 -0.5 0 0.5 1

SU

ηu

x/H = 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

b)

2

3

4

5

6

7

-1 -0.5 0 0.5 1

KU

ηu

x/H = 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

Figure 5.13 – Evolution des coefficients de (a) dissymétrie et (b) aplatissement de lacouche de mélange pour λ= 0.33 (le trait horizontal continu correspondà la valeur attendue pour une distribution Gaussienne).


expliqué par le mouvement du fluide issu de l’écoulement au passage des points selles dela couche de mélange. Ces points sont des lieux de forte éjection de fluide vers l’extérieur,ce qui entraîne une accélération de l’écoulement du côté basse vitesse et une décélérationdu côté haute vitesse (on pourra se référer à Delville [42]). Donc du côté basse vitesse,ces bouffées de fluide sont plus rapides que l’écoulement environnant (Su > 0) alors quedu côté haute vitesse elles sont plus lentes (Su < 0).

5.3.3 Analyse spectrale

L’analyse spectrale donne une indication sur la présence de structures cohérentes àgrande échelle caractérisées généralement par un pic sur le spectre d’énergie de la vitesse.Elle fournit entre autres une information sur la taille de ces structures et leur importancerelative par rapport à la turbulence aléatoire.

Les spectres de vitesse sont calculés ici à partir d’acquisitions réalisées à une fréquencede 5 kHz. L’allure typique des spectres obtenus à la frontière de la zone de mélange estprésentée à la figure 5.14. Ce type de repésentation restitue bien la dynamique de l’écoule-

1e-09

1e-08

1e-07

1e-06

1e-05

0.0001

0.001

0.01

1 10 100 1000

Euu

f [Hz]

-5/3.

Figure 5.14 – Exemple typique de la densité spectrale d’énergie obtenue aux fron-tières de la zone de mélange isotherme (mesure CTA, λ= 0.33).

ment, avec notamment la présence d’un pic d’énergie aux basses fréquences correspondant


au passage des structures cohérentes et la décroissance en −5/3 du niveau d’énergie dansla zone inertielle.

A) Allure des spectres à travers la zone de mélange Pour une position x donnée,l’allure des spectres suivant y est grossièrement symétrique par rapport à l’axe de la zonede mélange. La fréquence associée au maximum de chaque spectre varie en fonction de laposition y considérée :

– Dans les zones externes de l’écoulement, un pic d’énergie bien défini est nettementvisible sur chaque spectre. La fréquence caractéristique associée à ce pic augmentequand on s’approche de la frontière de la zone de mélange.

– Au voisinage de l’axe de la couche de mélange, la densité spectrale aux bassesfréquences est plutôt plate, sans pic marqué. Dans ce cas on prend comme valeurde la fréquence caractéristique celle à partir de laquelle la densité spectrale décroîtlinéairement.

Cette évolution des spectres à travers la zone de mélange est illustrée par la figure 5.15pour λ= 0.33.

B) Nombre de Strouhal L’adimensionnement de la fréquence caractéristique permetde définir un nombre de Strouhal :

Str = fpδωUc

, (5.5)

où Uc = (U1 +U2)/2. La figure 5.16 donne un exemple d’évolution verticale du nombre deStrouhal pour λ= 0.33.

A partir de la valeur moyenne de Str obtenue dans la zone de similitude pour chacunedes configurations en λ, on peut avoir une idée de la séparation spatiale Λx (dans ladirection de l’écoulement) des structures comme suit :

Λx = δω/Str .

Les valeurs relevées pour Str et Λx sont répertoriées dans le tableau 5.3. Elles sont dumême ordre de grandeur que celles généralement rencontrée dans la littérature.

C) Représentation universelle de Kolmogorov L’hypothèse d’équilibre universelde Kolmogorov affirme que, aux nombres d’ondes assez élevés, pour que la turbulence


-1-0.5

00.5

1

10−1

110

102

103

1e-081e-061e-04

ηuf [Hz]

Euu

Figure 5.15 – Exemple d’évolution de la densité spectrale d’énergie à travers lacouche de mélange pour une position x donnée.

λ Uc Str Λx/δω0.50 3 m/s 0.28±0.02 3.380.33 3 m/s 0.28±0.02 3.470.25 4 m/s 0.27±0.02 3.640.17 3 m/s 0.25±0.02 3.97

Tableau 5.3 – Séparation spatiale des structures dans la direction de l’écoulement.


0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

-1 -0.5 0 0.5 1

Str

ηu

Figure 5.16 – Exemple de variations du nombre de Strouhal dans la zone de mélangepour une position x donnée.

à petite échelle soit statistiquement indépendante du mouvement à grande échelle por-teur d’énergie, la turbulence est localement isotrope. Par conséquent le spectre d’énergie(en nombre d’onde) peut s’écrire sous une forme universelle ne dépendant que de deuxparamètres : la dissipation d’énergie totale ε et la viscosité cinématique ν.

Pour réaliser le regroupement des spectres d’énergie, il nous faut d’abord obtenir leséchelles de la turbulence. La méthode utilisée ici consiste à intégrer le spectre de dissipationf2Euu(f) pour avoir ε :

ε= 60νπ2

U2

∫ ∞0

f2Euu(f)df . (5.6)

Puis on détermine les échelles de Kolmogorov η et Taylor λf à partir des relations clas-siques :

η = (ν3/ε)1/4 (5.7)

1λf

= εU2

30νu′2= 2π2

u′2

∫ ∞0

f2Euu(f)df . (5.8)

On peut alors calculer le nombre de Reynolds turbulent Rλ = u′λfν

. Les échelles ainsiobtenues pour différentes valeurs du paramètre de cisaillement λ sont indiquées dans le


λ η (mm) λf (mm) Rλ

0.50 0.2 - 0.3 4.9 - 11.8 158 - 3860.33 0.3 - 0.4 7.2 - 12.4 146 - 2770.25 0.42 - 0.6 7.9 - 10.3 142 - 2140.17 0.48 - 0.6 11.0 - 14.0 140 - 159

Tableau 5.4 – Echelles de la turbulence calculées dans la zone de similitude pourdifférentes valeurs de λ.

tableau 5.4.Le regroupement des spectres sous forme adimensionnelle obtenue par normalisation

avec les échelles de Kolmogorov est illustré par la figure 5.17. Cette représentation montre

10−2

10−1

1

10

102

103

104

105

10−3 10−2 10−1 1

Euu

(ε×ν5)1/4

κ×η

RλRλ

λ= 0.50, Rλ = 386λ= 0.33, Rλ = 277λ= 0.16, Rλ = 159λ= 0.25, Rλ = 124

-5/3

Figure 5.17 – Représentation universelle des densités spectrales d’énergie.

un bon regroupement des spectres et l’existence d’une zone de décroissance en -5/3 duniveau d’énergie, plus ou moins étendus suivant Rλ. Pour les faibles valeurs de κ× η,où κ = 2πf

Ucest le nombre d’onde, le niveau d’énergie augmente avec Rλ. L’extension en

nombre d’onde de la plage de décroissance en -5/3 est d’autant plus importante que le


nombre de Reynolds Rλ est grand (donc que le paramètre de cisaillement λ est grand).On peut noter que pour les grandes valeurs de κ× η, la densité spectrale d’énergie estindépendante de Rλ.

5.4 ConclusionL’étude des grandeurs caractéristiques basées sur les profils de vitesse moyenne a per-

mis de décrire l’effet de λ sur le développement de l’écoulement moyen. Des comportementsproches de ceux que l’on peut retrouver dans la littérature concernant des écoulementsplus rapides sont observés ici à basse vitesse, notamment l’expansion croissante de la zonede mélange avec λ, une persistance du sillage ainsi qu’un refoulement de l’origine virtuellevers l’amont de la plaque séparatrice lorsque λ diminue, et un décalage de la zone de mé-lange vers les basses vitesses lorsque λ augmente. Nous avons montré ici que la distancede développement de l’écoulement moyen est une fonction décroissante de λ.

L’étude de la turbulence de l’écoulement a permis d’observer une similitude des fluc-tuations de vitesse plus tardive que celle de la vitesse moyenne, permettant ainsi d’obtenirla distance de développement de l’écoulement global. Celle-ci est comparable aux résultatsde la bibliographie. L’extension en nombre d’onde de la plage de décroissance en -5/3 etl’augmentation du niveau d’énergie pour les faibles valeurs du nombre d’onde lorsque Rλaugmente ont été vérifiées.

La qualité de ces résultats permet de valider la soufflerie en configuration de couchede mélange isotherme. Les effets d’un gradient thermique sur l’écoulement sont abordésdans le chapitre suivant.

Chapitre 6

Couche de mélange anisotherme

Après l’étude du champ dynamique en configuration isotherme effectuée au chapitre5, les résultats relatifs à la couche de mélange anisotherme sont présentés et discutés dansce chapitre.

Tout d’abord les configurations d’écoulement étudiées sont décrites. Puis des visuali-sations tomographiques de l’écoulement sont analysées afin d’illustrer l’influence de ∆T etλ sur l’expansion des zones de mélange dynamique et thermique. Ensuite l’analyse s’ap-puie sur des mesures de vitesse et de température sur vingt configurations d’écoulementobtenues à partir des valeurs de ∆T et λ.

L’influence de paramètres tels le gradient de température imposé ∆T , le paramètre decisaillement λ ou encore le nombre de Reynolds Rex, sur le développement de l’écoulementmoyen est examinée. On s’intéresse à cette occasion aux épaisseurs caractéristiques, àl’expansion et à la similitude des grandeurs moyennes.

Les fluctuations dynamiques et thermiques sont ensuite étudiées à travers l’évolutiondes valeurs rms, les coefficients de dissymétrie et d’aplatissement, ainsi que les PDFs. Lasimilitude des fluctuations dynamiques et thermiques, différente de celle des grandeursmoyennes, est également examinée.

On tire profit de la capacité du PCTA à déterminer simultanément les distributionsde la vitesse et de la température instantanées, pour étudier les interactions vitesse-température. Le couplage des fluctuations vitesse-température est analysé à travers l’évo-lution du coefficient de corrélation vitesse-température dans la couche de mélange et desPDFs des fluctuations de température conditionnées par le signe des fluctuations de vi-tesse. Enfin une méthode d’analyse en quadrants est appliquée aux fluctuations de vitesseet de température afin d’étudier la contribution au flux de chaleur des différents mouve-

156 Chapitre 6. Couche de mélange anisotherme

ments au sein de l’écoulement.

6.1 Configurations étudiées et conditions initiales

On rappelle que les indices 1 et 2 sont utilisés pour décrire les grandeurs associéesrespectivement à l’écoulement inférieur (y < 0) et à l’écoulement situé au dessus (y > 0).Le bord de fuite de la plaque de séparation des deux écoulements est situé en x= 0, y = 0.La différence de vitesse locale des deux parties uniformes de part et d’autre de la zonede mélange est notée ∆U = U2−U1, et la différence de température correspondante est∆T = T2−T1. Une illustration des couches limites dynamique et thermique au bord defuite de la plaque séparatrice est donnée à la figure 6.1. Les configurations d’écoulement

a)-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16

U U2

x/H b)-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16

T−T

2Tp−T

2

x/H

Figure 6.1 – Exemple de profils de couches limites : (a) dynamique, (b) thermique.Tp correspond à la température de la plaque de séparation (mesuresPCTA).

étudiées à partir des mesures fils chauds sont présentées dans le tableau 6.1. Il s’agitd’écoulements à contre-gradient (∆U ×∆T < 0) donc le côté haute vitesse de la couchede mélange est associé à la basse température. Les visualisations sont effectuées sur desconfigurations à contre-gradient et à co-gradient (∆U ×∆T > 0) obtenues à partir desgrandeurs représentées dans le tableau 6.1. Les configurations à co-gradient, non indi-quées dans ce tableau, sont obtenues en inversant un des deux gradients pour une desconfigurations.

Pour ces configurations, nous obtenons des valeurs du nombre de Richardson de l’ordrede 10−2. Les effets de gravité différentielle associés aux gradients de température dans lemélange sont donc négligeables (voir chapitre 3 section 2.1).

6.1 Configurations étudiées et conditions initiales 157

λ U1 U2 ∆U T1 T2 ∆T(m/s) (m/s) (m/s) (C) (C) (K)

0.50 4.5 1.5 -3 10 35 +250.50 4.5 1.5 -3 10 20 +100.50 1.5 4.5 +3 35 10 -250.50 1.5 4.5 +3 20 10 -10

0.33 4.0 2.0 -2 10 35 +250.33 4.0 2.0 -2 10 20 +100.33 2.0 4.0 +2 35 10 -250.33 2.0 4.0 +2 20 10 -10

0.25 2.5 1.5 -1 10 35 +250.25 2.5 1.5 -1 10 20 +100.25 1.5 2.5 +1 35 10 -250.25 1.5 2.5 +1 20 10 -10

0.17 3.5 2.5 -1 10 35 +250.17 3.5 2.5 -1 10 20 +100.17 2.5 3.5 +1 35 10 -250.17 2.5 3.5 +1 20 10 -10

0.13 4.5 3.5 -1 10 35 +250.13 4.5 3.5 -1 10 20 +100.13 3.5 4.5 +1 35 10 -250.13 3.5 4.5 +1 20 10 -10

Tableau 6.1 – Conditions des essais en couche de mélange anisotherme à contre-gradient correspondant aux études par fils chauds.


6.2 Visualisations par tomographie laser de la couchede mélange anisotherme

Une première illustration des effets du gradient thermique et du paramètre de cisaille-ment sur le développement de la zone de mélange est obtenue à partir de visualisationstomographiques. Les prises de vue de l’écoulement sont réalisées pour différentes valeursde ces paramètres en écoulements co-gradient et contre-gradient. Le matériel optique uti-lisé est décrit au Chapitre 3 de ce document. Quelle que soit la configuration étudiée, seull’écoulement inférieur (situé côté y < 0) est ensemencé.

Des statistiques sont calculées sur les images obtenues en vue d’une description qua-litative.

L’analyse des tendances observées permettra de définir les configurations à étudieravec les fils chauds pour une analyse plus fine du couplage vitesse-température dans lacouche de mélange anisotherme.

6.2.1 Traitement d’images

Pour chacune des configurations d’écoulement étudiées, 200 paires d’images sont ac-quises à une fréquence de 1 Hz (le post-traitement a prouvé que cette taille d’échantillonest suffisante pour obtenir des statistiques convergées). Les images de chaque paire sontprises séparément par deux caméras placées côte à côte de sorte à couvrir un champ d’unelargeur de 1 m.

Les visualisations de l’écoulement complet sont réalisées en deux étapes. D’abord onvisualise la zone de l’écoulement située juste en aval du bord de fuite de la plaque deséparation, sur une longueur de 1 m. Puis l’ensemble du système optique (caméras etlaser) est translaté, et on visualise la partie comprise entre 1 m et 2 m vers l’aval.

Les fonctions de déformation des caméras sont déterminées lors de visualisations pré-liminaires à l’aide d’une mire. Pour ce faire la mire de 100 cm × 70 cm est placée dansun plan vertical perpendiculaire au bord de fuite de la plaque séparatrice et passant parle centre de la section d’essai. Les images de la mire obtenues avec les deux caméras sontutilisées en correction pour ajuster le grandissement et l’alignement des deux images.

Le traitement des images est réalisé avec le logiciel Davis 7.2 de La Vision, fourniavec le matériel optique. On choisit de travailler sur les images brutes en utilisant lestransformations géométriques du logiciel.

Les images de chaque paire (issues des deux caméras) sont corrigées avec la fonction

6.2 Visualisations par tomographie laser 159

de déformation correspondante préalablement déterminée avec la mire. Ensuite chaquepaire d’image est recalée à partir d’une zone de recouvrement.

Un exemple d’image instantanée ainsi reconstituée est donné à la figure 6.2. Celle-ciillustre bien le mélange des deux courants non ensemencé et initialement ensemencé, unefois dans la zone développée de l’écoulement.

Figure 6.2 – Exemple d’image instantanée reconstituée à partir d’images issues desdeux caméras.

6.2.2 Analyse visuelle

Des exemples de vues panoramiques de la couche de mélange sont donnés sur lesfigures 6.3 et 6.4, pour différentes valeurs de λ et ∆T . Sur ces images, l’écoulement va dela gauche vers la droite, et la partie ensemencée est du côté inférieur de l’image. Chacunedes vues est composée de deux essais réalisés indépendamment. Ces images montrentl’existence de structures cohérentes dans la zone de similitude. Ces structures cohérentessemblent mieux définies et de taille plus importante lorsque la valeur du paramètre decisaillement λ est élevée. Lorsque λ augmente, les structures apparaissent plus tôt et lalongueur de la trace du sillage de la plaque diminue. La longueur d’onde des structuresest croissante avec λ. Les figures 6.3 et 6.4 comparent, pour différentes valeurs de λ, lesconfigurations dites « stable » (∆T > 0) et « instable » (∆T < 0) en écoulements à contregradient (c’est à dire dU/dy × dT/dy < 0). On peut remarquer sur ces illustrations quele sens des enroulements tourbillonnaires dépend du signe du gradient vertical de vitessedU/dy. La zone de mélange est plus importante lorsque le gradient vertical de températuredT/dy < 0. Dans les deux cas, on observe une déflexion globale de la zone de mélange versl’écoulement à basse vitesse. D’autres visualisations en configuration co-gradient ont été


réalisées. Des caractéristiques identiques ont été observées, avec cependant une réductionde la zone de mélange par rapport aux cas à contre-gradient.

6.2.3 Analyse qualitative

Pour une configuration d’écoulement donnée, la superposition des visualisations ins-tantanées réalisées permet d’obtenir une image moyenne de la couche de mélange. Unexemple type d’image moyenne obtenue est donné sur la figure 6.5. Comme on peut levoir sur cette figure, l’image moyenne est plutôt homogène et son faible contraste nepermet pas de bien distinguer les frontières de la zone de mélange.

A chaque position longitudinale x donnée, on peut toutefois extraire une ligne verticaled’intensité lumineuse. Les niveaux de gris G sur cette ligne sont adimensionnées par∆G=Gmax−Gmin pour s’affranchir des inhomogénéités de l’ensemencement. On obtientainsi un profil moyen de la fraction de particules mélangées à chaque station x.

Un exemple de l’évolution des profils adimensionnés en fonction de la position longi-tudinale x est donné sur la figures 6.6. Ces profils sont typiques de couche de mélange etprésentent une expansion de la zone de mélange à mesure que l’on s’écarte du bord defuite de la plaque séparatrice. Sur la figure 6.6 sont comparées deux configurations ditesstable (∆T > 0) et instable (∆T < 0) à λ égal. On peut remarquer pour le cas instable,dans le développement aval de l’écoulement, l’apparition d’un second point d’inflexion surces profils. L’écoulement instable (∆T < 0) se développe plus rapidement comme on l’anoté lors de l’analyse visuelle des images.

Une épaisseur visuelle δviz de la zone de mélange est introduite :

δviz = y0.9−y0.1 ,

où y0.1 et y0.9 sont les positions où la fraction apparente de particules, mesurée par l’inten-sité lumineuse, est égale respectivement à 10% et 90% de ∆G. On peut en déduire un tauxd’expansion de la zone de mélange δ′viz = dδviz/dx pour différentes valeurs de λ et ∆T .Son évolution en fonction de λ est représentée sur la figure 6.7 pour différentes conditionsd’entrée. Quelles que soient les valeurs de ∆T et ∆U , le taux d’expansion visuelle de lacouche de mélange est une fonction croissante de λ.

A partir des séries de visualisations réalisées, nous avons, pour chaque configuration,calculé une image obtenue à partir de la valeur rms locale des niveaux de gris des images.Ces images sont plus contrastées que les images moyennes (comparaison des figures 6.5


(λ= 0.50)

(λ= 0.33)

(λ= 0.25)

(λ= 0.13)

Figure 6.3 – Visualisations instantanées de l’écoulement pour ∆T = 25 K.


(λ= 0.50)

(λ= 0.33)

(λ= 0.25)

(λ= 0.17)

Figure 6.4 – Visualisations instantanées de l’écoulement pour ∆T =−25 K.


Figure 6.5 – Exemple d’image obtenue par moyenne des images instantanées del’écoulement.

a)-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

1.21.00.80.60.40.2

y/H

x/H

1.01.0

b)-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

1.21.00.80.60.40.2

y/H

x/H

1.01.0

Figure 6.6 – Evolution des profils d’intensité lumineuse moyenne adimensionnée, (a)∆T > 0 et (b) ∆T < 0. Les configurations d’écoulements sont à contre-gradient.


Figure 6.7 – Taux d’expansion de la zone de mélange calculé à partir des imagesmoyennes.

et 6.8). On peut en extraire une épaisseur « rms » δrms et un taux d’expansion δ′rms =dδrms/dx de la couche de mélange associé aux fluctuations. La figure 6.9 montre l’évolutionde δ′rms pour différentes valeurs de λ et différentes valeurs du gradient thermique ∆T . Leseffets de ∆T et ∆U sur le taux d’expansion δrms sont identiques à ceux évoqués plushaut pour δ′viz. Les tendances ressortent mieux avec les images obtenues avec les rms deniveaux de gris qu’avec les images moyennes. Pour les configurations stable et instable,le développement de la zone de mélange est plus important lorsque ∆T < 0. Les tauxd’expansion les plus élevés sont obtenus pour la configuration co-gradient avec ∆T < 0,et les moins élevés pour la configuration co-gradient avec ∆T > 0.

6.2.4 Synthèse

Ces visualisations tomographiques de l’écoulement nous ont fourni une première ap-proche des effets de ∆T et ∆U sur le développement de la zone de mélange. On a pu voir,de manière globale, que :

– la longueur d’onde et la taille des structures augmente avec λ,– le sillage de la plaque est plus persistant et les structures apparaissent plus en avallorsque λ diminue,

– l’expansion de la zone de mélange est une fonction croissante de λ,


(λ= 0.50)

(λ= 0.33)

(λ= 0.25)

(λ= 0.17)

Figure 6.8 – Images rms de l’écoulement pour ∆T =−25 K.


0.1

0.15

0.2

0.25

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

dδ rms/dx

λ

∆T = 25K, ∆U < 0∆T =−25K, ∆U > 0

∆T = 25K, ∆U > 0∆T =−25K, ∆U < 0

Figure 6.9 – Taux d’expansion de la zone de mélange obtenue avec les images desrms de niveaux de gris de l’écoulement.

– le développement de la zone de mélange est plus important lorsque ∆T < 0.

6.3 Développement de l’écoulement moyen

Dans la suite, nous allons approfondir ces notions avec des mesures réalisées au filchaud PCTA et au fil froid CCA. Ces mesures nous permettront d’aborder notammentles questions du développement de l’écoulement moyen, de la turbulence, ainsi que lecouplage vitesse-température. Les mesures présentées dans la suite sont réalisées sur desécoulements en contre-gradients. Ce choix est dicté par les éventuelles applications indus-trielles en partie à l’origine de cette étude.

6.3.1 Analyse globale des profils de vitesse et température

Le comportement global dont on trouvera une illustration sur la figure 6.10 pour uneconfiguration d’écoulement λ = 0.33 et ∆T = 25K, sera examiné en détail dans cettesection.

On s’intéressera en particulier à l’influence de différents paramètres de l’écoulement :l’intensité du cisaillement λ, le gradient thermique ∆T et le nombre de Reynolds Re. Le

6.3 Développement de l’écoulement moyen 167

développement de l’écoulement sera caractérisé notamment par l’épaississement des zonesde mélange dynamique et thermique. En première analyse, les caratéristiques globales del’écoulement moyen sont les suivantes :

Champ dynamique : L’évolution des profils de vitesse moyenne est comparable àcelle du cas isotherme. Le développement de la zone de mélange dynamique débute aprèsla rencontre des couches limites issues des deux côtés de la plaque de séparation. Plusloin vers l’aval, les profils de vitesse sont auto similaires. Ils sont alors symétriques parrapport au point d’inflexion unique de chaque courbe situé à y = y0.5U , position de l’axede la couche de mélange dynamique.

Champ thermique : Quant aux profils de température moyenne, leur évolution estdifférente. D’une part la discontinuité due au sillage de la plaque de séparation, visiblesur les profils de vitesse amont, n’est pas présente sur les profils de température moyenne.En effet un gradient de température continu existe sur les profils de température moyennejuste à l’aval du bord de fuite de la plaque séparatrice. Cela suppose que la plaque a atteintsa température d’équilibre. D’autre part, plus loin vers l’aval, les profils de températuremoyenne comportent trois points d’inflexion et ne sont pas symétriques. Leur évolutiontend toutefois vers un état de similitude. Ce comportement est comparable à celui observéentre autres par Fiedler [49] ou Masutani et Bowman [82] dans des couches de mélangeavec gradient thermique ou scalaire plus généralement. De plus le développement duchamp thermique est plus important que celui du champ dynamique à l’aval du bord defuite de la plaque séparatrice. Une telle évolution a été trouvée entre autres par Batt [14]et Chevray et Tutu [33].

6.3.2 Similitude et épaisseurs de la zone de mélange

Epaisseurs Les zones de mélange dynamique et thermique sont caractérisées respecti-vement par les épaisseurs δω et δT . Le principe de détermination de l’épaisseur de vorticitéδω utilisé ici est basé sur la pente maximale des profils de vitesse moyenne. Contrairementau champ dynamique décrit par l’étude analytique indiquée au Chapitre 2, nous n’avonspas trouvé d’étude analytique concluante sur la similitude du champ thermique. Une re-lation empirique est donc utilisée ici pour ajuster les données du champ thermique afinde déterminer l’épaisseur δT de la zone de mélange correspondante.


0.51

1.52

-0.2-0.100.10.2

0

0.5

1

U∗

x/H

y/H

0.51

1.52

-0.2-0.1

00.1

0.2

0

0.5

1

T ∗

x/Hy/H

Figure 6.10 – Evolution longitudinale des profils de vitesse et température moyennespour une configuration λ= 0.33 et ∆T = 25 K. Les vitesses et tempé-ratures moyennes sont adimensionnées en utilisant les vitesses et tem-pératures locales de l’écoulement uniforme. L’ordonnée y et l’abscissex sont normalisées par la hauteur H de la veine d’essai.


L’épaisseur de la zone de mélange thermique est définie par :

δT = y0.9T −y0.1T . (6.1)

Les ordonnées y0.9T et y0.1T correspondent, pour chaque station x, à la position verticaleoù la température la plus basse est augmentée de 90% et 10% de ∆T respectivement.Elles sont obtenues à partir d’un ajustement des profils de température moyenne à chaquestation x par une fonction du type :

T (y) = a th[b(y−y0.5T ) + c(y−y0.5T )2 + d(y−y0.5T )3 ] . (6.2)

Les coefficients a, b, c, d et la position de l’axe de la zone de mélange thermique y0.5Tsont les paramètres à estimer. Cet ajustement des données de température est illustré surla figure 6.11. La particularité de cette fonction, utilisée entre autres par Mungal [87], estqu’elle permet, contrairement à une fonction erf classique, de prendre en compte plusieurspoints d’inflexion sur une même courbe. Par conséquent elle ajuste mieux les profils detempérature moyenne obtenus dans notre étude.

10

15

20

25

30

-150 -100 -50 0 50 100 150

T[

C]

y [mm]

fit f(y)

Figure 6.11 – Ajustement des profils de température par une fonction à plusieurspoints d’inflexion.


B) Similitude Nous introduisons les variables de similitude ηu = (y−y0.5u)/δω pour lavitesse et ηT = (y−y0.5T )/δT pour la température. La similitude des grandeurs moyennesde l’écoulement est mise en évidence par le bon regroupement des profils de vitessemoyenne autour de la fonction erf et des profils de température autour de la fonctionth dans une représentation en fonction respectivement de ηu et ηT . Une illustration en estdonnée à la figure 6.12 pour une configuration d’écoulement avec λ = 0.33, ∆T = +25K.Dans cet exemple, les profils de vitesse moyenne évoluent en similitude à partir dex/H = 0.4, soit une distance de développement de la vitesse moyenne de x/ΘH.V. = 169où ΘH.V. correspond à l’épaisseur de quantité de mouvement de la couche limite côtéhaute vitesse au niveau de la plaque de séparation. Quant à la similitude des profils detempérature moyenne, elle débute un peu plus loin, à x/H = 0.6, soit une distance dedéveloppement de x/ΘH.V. = 253. Ces distances sont définies avec une faible précision,compte tenu de notre grille de mesures discrète représentée sur la figure 5.1.

Comme nous l’avons montré au chapitre 5 pour la couche de mélange isotherme, la dis-tance de développement de la vitesse moyenne est une fonction décroissante du paramètrede cisaillement λ. En configuration anisotherme, nos résultats montrent des distances dedéveloppement de la vitesse et de la température moyennes toutes deux fonctions décrois-santes de λ. Cependant la similitude est généralement atteinte plus rapidement pour lavitesse que pour la température (voir courbes en annexe E).

C) Influence de λ et ∆T sur l’épaississement D’une manière générale, les épaisseursδω et δT augmentent de manière linéaire en fonction de la coordonnée longitudinale x,une fois la similitude atteinte. Quel que soit le gradient thermique ∆T et le paramètre decisaillement λ, l’épaisseur de la zone de mélange thermique reste plus importante que cellede la zone de mélange dynamique sur toute la longueur de la veine d’essais. Ce résultat esten parfait accord avec ceux relevés dans la littérature. Il confirme un développement plusrapide du scalaire, ici la température, par rapport à la vitesse comme ont pu le constaterentre autres Fiedler [49] dans le cas d’une couche de mélange plane, Chevray et Tutu [34],Batt [14] ou encore Fulachier et Dumas [52] pour des jets anisothermes.

Les évolutions de δω et δT sont comparées sur la figure 6.13 pour différentes conditionsd’entrée. Seules les valeurs calculées dans la zone de similitude sont représentées. Lorsque∆T est positif ou nul (configurations stable, l’écoulement lent chaud est en haut), la figure6.13 montre une superposition des profils d’épaisseurs de la zone de mélange dynamiqued’une part et des profils d’épaisseurs de la zone de mélange thermique d’autre part. Ce


a)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

H.V., B.T. B.V., H.T.

U2−U∆U

ηu

b)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

T−T1∆T

ηT

x

x/H = 0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0

Figure 6.12 – Profils adimensionnés de : (a) la vitesse moyenne (0.4≤ x/H ≤ 2.0), (b)la température moyenne (0.2 ≤ x/H ≤ 2.0), mesurées avec le PCTA.λ= 0.33, ∆T = +25 K.


0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 0.5

(λ= 0.50)

1 1.5 2

δ ω/H

x/H

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 0.5

(λ= 0.50)

1 1.5 2

δ T/H

x/H

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 0.5

(λ= 0.33)

1 1.5 2

δ ω/H

x/H

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 0.5

(λ= 0.33)

1 1.5 2

δ T/H

x/H

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 0.5

(λ= 0.25)

1 1.5 2

δ ω/H

x/H

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 0.5

(λ= 0.25)

1 1.5 2

δ T/H

x/H

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 0.5

(λ= 0.17)

1 1.5 2

δ ω/H

x/H

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 0.5

(λ= 0.17)

1 1.5 2

δ T/H

x/H

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 0.5

(λ= 0.13)

1 1.5 2

δ ω/H

x/H

∆T = 25K∆T = 10K

∆T =−10K∆T =−25K

∆T = 0K

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 0.5

(λ= 0.13)

1 1.5 2

δ T/H

x/H

∆T = 25K∆T = 10K

∆T =−10K∆T =−25K

Figure 6.13 – Evolutions des épaisseurs δω (à gauche) et δT (à droite) pour différentesconditions d’entrée en ∆T et λ.


comportement est observé quelle que soit la valeur du paramètre de cisaillement λ. Dansce cas, la valeur du gradient thermique n’a donc aucune influence, dans nos gammes de∆T , sur le développement des zones de mélange dynamique et thermique.

Lorsque ∆T est négatif (configurations instable, l’écoulement lent chaud est en bas),l’effet de ∆T sur la dynamique et sur la thermique est caractérisé par des épaisseurs δω etδT plus importantes que pour ∆T positif, avec une légère tendance à l’augmentation desépaisseurs lorsque ∆T augmente en valeur absolue. Cet effet est d’autant plus importantlorsque λ diminue (sauf pour λ= 0.13 dans le domaine d’étude).On peut par ailleurs noter que l’épaisseur de la zone de mélange thermique est obtenue àpartir des ordonnées 10% et 90% de ∆T , comme décrit par l’équation 6.1 alors que δω estcalculée avec l’ajustement des profils de vitesse moyenne par une fonction erf. Nous avonsvérifié que l’écart entre δω ainsi obtenue et l’épaisseur équivalente basée sur les ordonnées10% et 90% de ∆U est d’environ 14%. Cela reste donc bien inférieur aux écarts constatésentre δω et δT . Par conséquent la méthode d’estimation retenue ne biaise pas l’analysedes évolutions comparées de δω et δT .

Les évolutions des taux d’expansion dδωdx

et dδTdx

, obtenus dans la zone de similitudedes grandeurs moyennes, sont représentées sur les figures 6.14 et 6.15 pour différentesvaleurs de λ et ∆T . Ces figures illustrent bien les effets de ∆T sur les expansions telsque nous les avons décrits précédemment pour δω et δT , ainsi que l’évolution linéaire desdifférentes épaisseurs en fonction de λ comme on a pu l’observer sur les visualisations etpour la couche de mélange isotherme. On retrouve donc :

– des taux d’expansion plus importants pour la couche de mélange thermique quepour la dynamique, avec un rapport dδT

dx/dδωdx

qui varie entre 1.2 et 2,

– une augmentation de dδωdx

et dδTdx

pour ∆T < 0,– aucun effet de ∆T sur les taux d’expansions dynamique et thermique, lorsque ∆T >

0, dans la gamme de ∆T étudiée,– les taux d’expansion dδω

dxpour ∆T > 0 et pour les configurations isothermes sont

identiques.

D) Influence du nombre de Reynolds Nous introduisons un nombre de Reynoldslocal basé sur la distance par rapport à l’origine virtuelle xv de la vitesse :

Rex = ∆U(x−xv)ν

. (6.3)


a)

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

-30 -20 -10 0 10 20 30

dδωdx

∆T

b)

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

-30 -20 -10 0 10 20 30

dδTdx

∆Tλ= 0.50λ= 0.33

λ= 0.25λ= 0.16

Figure 6.14 – Variations du taux d’expansion des zones de mélange (a) dynamiqueet (b) thermique en fonction de ∆T pour différentes valeurs de λ.


a)

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

dδωdx

λ

b)

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

dδTdx

λ

∆T =−25 K∆T = +25 K

∆T =−10 K∆T = +10 K

∆T = 0 K

Figure 6.15 – Variations du taux d’expansion des zones de mélange (a) dynamiqueet (b) thermique en fonction de λ pour différentes valeurs de ∆T .


Le développement des profils de température moyenne est mis en relation avec la valeur deRex sur la figure 6.16 pour ∆T = 25K. Les variations de Rex sont obtenues avec la distance(x−xv) et le paramètre de cisaillement λ. Cette figure permet de distinguer deux étapes

a)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

T−T1∆T

ηT

Rex

Rex = 5240090600127500164100200500237040273074306410343100379900

b)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

T−T1∆T

ηT

Rex

Rex = 5780082300105800128750152000174500197400217200238000259900

c)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

T−T1∆T

ηT

Rex

Rex = 60800707008135091680101650110560119600127500136950

d)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

T−T1∆T

ηT

Rex

Rex = 96900109130119150130440140000151100160348171100

Figure 6.16 – Evolution des profils de température moyenne en fonction du nombrede Reynolds : a) λ= 0.50, b) λ= 0.33, c) λ= 0.25, d) λ= 0.17.

dans le développement aval de la température moyenne caractérisé par une valeur critiqueRecr du nombre de Reynolds comprise entre 6.104 et 9.104 suivant la valeur de λ. D’unemanière générale, lorsque Re ≤ Recr les profils de température moyenne comportent unpoint d’inflexion unique et sont plutôt symétriques par rapport à celui-ci. Au delà de cettevaleur critique Recr, ces profils comportent une inflexion triple et évoluent en similitude.Donc quelle que soit la valeur de λ, l’état développé du champ moyen de température estcaractérisé par des profils dissymétriques avec une inflexion triple. De plus cette inflexionest plus importante lorsque λ augmente.


6.3.3 Lignes d’expansion

Les lignes d’expansion de la température sont les lignes d’iso-valeurs ΦiT où la tem-pérature est égale à la basse température augmentée d’une fraction i de ∆T :

T = Tmin+ i×∆T , (6.4)

où i est un réel compris entre 0 et 1. De la même manière, les lignes d’expansion de lavitesse Φiu sont définies par :

U = Umin+ i×∆U . (6.5)

Les lignes d’expansion Φ0.5u et Φ0.5T correspondent respectivement à l’axe des zones demélange dynamique et thermique.

Un exemple des lignes d’expansion obtenues pour différentes valeurs de λ et ∆T = 25Kest donné sur la figure 6.17. Cette représentation met en évidence un refoulement del’origine virtuelle (qu’elle soit dynamique ou thermique) vers l’amont du bord de fuitede la plaque de séparation. Ce refoulement est d’autant plus important que λ diminue,comme nous l’avons déjà montré pour l’écoulement isotherme au chapitre 5.

La position de l’origine virtuelle thermique est différente de celle de la dynamique.On peut observer assez nettement sur cette figure la réduction des zones de mélangedynamique et thermique lorsque λ diminue. En outre l’expansion de la température restela plus importante.

Le caractère dissymétrique des profils de température moyenne est bien restitué parles lignes d’expansion. On constate notamment que la ligne d’iso-valeurs ΦT0.5 est plusproche de ΦT0.9 que de ΦT0.1 qui correspondent respectivement aux côtés basse et hautevitesses. Cela indique l’existence d’un gradient vertical de température plus importantcôté basse vitesse haute température que côté haute vitesse basse température.

D’une manière générale, nos résultats montrent que quelles que soient les valeurs ∆Uet ∆T imposées, les doites Φ0.5u et Φ0.5T , axes de chacune des deux zones de mélange,sont dirigées vers le côté basse vitesse de l’écoulement.

6.3.4 Synthèse

Nous avons pu constater dans cette partie un développement du champ de tempéra-ture moyenne plus important que celui de la vitesse moyenne. D’autre part les profils de


-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

B.V., H.T.

H.V., B.T.(λ= 0.50)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

B.V., H.T.

H.V., B.T.(λ= 0.50)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

B.V., H.T.

H.V., B.T.(λ= 0.33)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

B.V., H.T.

H.V., B.T.(λ= 0.33)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

B.V., H.T.

H.V., B.T.(λ= 0.25)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

B.V., H.T.

H.V., B.T.(λ= 0.25)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

B.V., H.T.

H.V., B.T.

(λ= 0.17)

Φ0.1uΦ0.3uΦ0.5uΦ0.7u

Φ0.9u

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

B.V., H.T.

H.V., B.T.

(λ= 0.17)

Φ0.1TΦ0.3TΦ0.5TΦ0.7T

Φ0.9T

a) b)

Figure 6.17 – Lignes d’expansion de : (a) la vitesse moyenne, (b) la températuremoyenne, mesurées avec le PCTA.


température et de vitesse moyennes évoluent de manière différente.Une particularité des profils de température moyenne relevée dans nos résultats est

la différence de gradient vertical de température dT/dy entre les côtés basse et hautevitesse de part et d’autre de l’axe de la zone de mélange thermique, ainsi que la présenced’une inflexion en S au niveau de la position de l’axe de la zone de mélange thermique,contrairement aux profils de vitesse. Par exemple pour λ= 0.33 et ∆T = +25 K, on trouvedT/dy = 0.247 côté basse vitesse et dT/dy = 0.120 côté haute vitesse. Ce comportementest illustré par la figure 6.18. On peut voir assez nettement que les profils de température

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

T ∗

ηu

H.V.,B.T. B.V.,H.T.

δω

δT

Figure 6.18 – Illustration des différences de gradients verticaux entre les côtés basseet haute vitesses des profils de température moyenne (λ= 0.33 et ∆T =+25 K).

moyenne ne sont pas symétriques par rapport à l’axe théorique de la zone de mélangethermique définie par y0.5T et correspondant à la moyenne des températures des côtésbasse et haute vitesse. Cet axe est différent de l’axe de la zone de mélange dynamique, etδT > δω. La comparaison des lignes d’expansion Φiu de la vitesse et ΦiT de la tempéra-ture est illustrée sur la figure 6.19 pour ∆T = +25K et ∆T = −25K. Elle restitue d’unepart le développement plus important de la thermique. D’autre part elle illustre bien ladissymétrie plus grande du champ thermique par rapport à celle du champ dynamique.En effet, l’axe de la zone de mélange thermique défini par Φ0.5T est plus dirigé du côté


a)

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

B.V., H.T.

H.V., B.T.

b)

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

H.V., B.T.

B.V., H.T.

Φ0.1uΦ0.5u

Φ0.9uΦ0.1T

Φ0.5TΦ0.9T

Figure 6.19 – Comparaison des lignes d’expansion dynamique et thermique pour a)∆T = +25 K et b) ∆T =−25 K.


basse vitesse et plus proche de la frontière Φ0.9T .Par ailleurs l’évolution des profils de température moyenne en fonction du nombre deReynolds a permis de montrer que le champ de température moyenne évolue de manièredissymétrique dans la zone développée, quelle que soit la valeur de λ.

6.4 Développement de la turbulence

6.4.1 Moments d’ordre 2 et similitude

A) Moments d’ordre 2 Au premier abord, comme pour les grandeurs moyennes, lesfluctuations de vitesse et de température évoluent de manières différentes :

– Les profils des valeurs rms de la vitesse sont comparables au cas isotherme. Au voisi-nage de la plaque séparatrice, où l’écoulement est très intermittent du fait du sillage,ces fluctuations sont très importantes. A mesure que l’on s’éloigne vers l’aval, lesprofils s’évasent et l’amplitude du pic, unique sur chaque profil, diminue, indiquantainsi un développement de la zone de mélange. Ces profils sont approximativementsymétriques par rapport à l’axe de la couche de mélange dynamique et leur pic sedéplace vers les basses vitesses.

– Contrairement aux fluctuations de vitesse, les profils de valeurs rms de la tempé-rature sont caractérisés par la présence de deux pics relatifs, comme l’ont observéFiedler [49] ou Masutani et Bowman [82]. Ces profils comportent en effet un mi-nimum au point où ηT = 0 et deux maximums locaux de part et d’autre de cetteposition. L’amplitude de ces maximums est grossièrement proportionnelle à ∆T etleurs positions sont celles des points d’inflexion des profils de température moyenne.Au voisinage de la plaque, ce caractère bimodal des fluctuations de température estmoins visible, et les profils comportent un seul maximum situé côté basse vitesse.Dans la zone développée, les profils s’évasent à mesure que l’on s’écarte de la plaque.Il apparaît alors un second maximum local situé côté haute vitesse, et l’amplitudedu premier tend à diminuer.

Ces différentes caractéristiques sont illustrées sur la figure 6.20 représentant l’évolutionlongitudinale des fluctuations de vitesses et de température pour λ = 0.33 et ∆T = 25K.La dissymétrie des fluctuations de température par rapport à l’axe y0.5T est encore plusvisible sur les lignes d’iso-valeurs des fluctuations. La figure 6.21 compare ces isovaleursdes fluctuations de vitesse et des fluctuations de température pour λ = 0.33 et ∆T = 25


a)

0.5

1

1.5

2

-0.2-0.100.10.2

00.51

x/H

y/H

U∗rms

b)

0.5

1

1.5

2

-0.2-0.100.10.2

00.51

x/H

y/H

T ∗rms

Figure 6.20 – Evolution longitudinale des fluctuations de (a) vitesse, et (b) tempé-rature pour λ = 0.33, ∆T = 25 K. Les valeurs rms de vitesse et detempérature sont normalisées en utilisant respectivement leurs valeursmaximale et minimale locales. L’ordonnée y et l’abscisse x sont nor-malisées par la hauteur H de la veine d’essai.


K. Elle indique notamment une dissymétrie de la répartition des fluctuations par rapportà l’axe y0.5U ou y0.5T beaucoup plus importante pour la température que pour la vitesse.Par ailleurs les fluctuations thermiques les plus importantes sont du côté basse vitessehaute température de l’écoulement.

B) Similitude des fluctuations Dans la zone développée de l’écoulement, la super-position des profils de vitesse adimensionnées peut être obtenue, comme nous l’avons vuau Chapitre 5, avec la variable spatiale ηu = (y− y0.5U )/δω. Le regroupement des profilsde valeurs rms de température adimensionnées est réalisé avec la variable de similitudeηT = (y− y0.5T )/δT . Cette superposition des profils de fluctuations caractérise la simili-tude du champ turbulent. Un exemple est donné à la figure 6.22. L’évolution du pic derms pour la vitesse et pour la température est représentée à la figure 6.23 pour différentesvaleurs de λ. La similitude des fluctuations de vitesse et de température semble intervenirà partir d’une position x/ΘH.V. comprise entre 400 et 600 quelle que soit la valeur de λ.Ces valeurs sont proches de celles trouvées par exemple par Browand et Latigo [26] dansle cas de couches de mélange isothermes. Pour l’ensemble des conditions d’entrée que nousavons testées, la similitude des grandeurs turbulentes de l’écoulement a lieu plus tard quecelle des grandeurs moyennes, aussi bien pour la température que pour la vitessse. La dis-tance de développement de l’écoulement est donc celle trouvée pour le champ fluctuant.Le niveau asymptotique vers lequel convergent les valeurs rms de température adimen-sionnées (Trms)max

∆T semble constant. Quant au niveau asymptotique des rms de vitesse

adimensionnées (Urms)max∆U , il est constant et comparable aux valeurs trouvées dans la

littérature (voir tableau 6.2) en mélange isotherme.

Auteur Notre étude Mehta [83] Oster et Wygnanski [91] yule [137]

u′/∆U 0.200 0.184 0.180 0.173

Tableau 6.2 – Maxima des fluctuations de vitesses.

C) Influence du nombre de Reynolds Comme pour les grandeurs moyennes, l’in-fluence du nombre de Reynolds Rex sur le développement des fluctuations de température


a)

0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.15-0.1-0.050

0.10.15

B.V., H.T.

H.V., B.T.

y0.5U

x/H

y/H

b)

0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.15-0.1-0.050

0.10.15

B.V., H.T.

H.V., B.T.

y0.5T

10.8

0.60.4

0.2x/H

y/H

Figure 6.21 – Isovaleurs des fluctuations de vitesse et de température pour λ= 0.33,∆T = 25 K : (a) U∗rms, (b) T ∗rms (mesures PCTA).


a)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

U∗rms

ηu

B.V.,H.T.H.V.,B.T.

x/H = 1.21.41.61.82.0

b)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

T ∗rms

ηT

x

x/H = 0.20.4

0.60.8

1.01.2

1.41.6

1.82.0

Figure 6.22 – Fluctuations de : (a) vitesse, (b) température (mesures PCTA) ; λ =0.33, ∆T = 25 K.


a)

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

(Urms)max∆U

x/ΘH.V.

λ= 0.50λ= 0.33λ= 0.25λ= 0.17λ= 0.13

b)

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

(Trms)max∆T

x/ΘH.V.

λ= 0.50λ= 0.33λ= 0.25λ= 0.17λ= 0.13

Figure 6.23 – Evolution du pic des rms de (a) vitesse et de (b) température pour∆T = 25 K.


est examiné. On peut trouver sur la figure 6.24 l’évolution de profils de valeurs rms detempératures en fonction de Rex et de λ. On peut noter l’existence d’une valeur critique

(λ= 0.50) (λ= 0.33)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

T ∗rms

ηT

Rex

Rex = 5240090600

127500164100

200500237040

273074306410

343100379900

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1T∗ rms

ηT

Rex

Rex = 5780082300

105800128750

152000174500

197400217200

238000259900

(λ= 0.25) (λ= 0.17)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

T ∗rms

ηT

Rex

Rex = 6080070700

8135091680

101650110560

119600127500

136950

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

T ∗rms

ηT

Rex

Rex = 96900109130

119150130440

140000151100

160348171100

Figure 6.24 – Evolution des moments d’ordre 2 en fonction de Rex et λ.

Recr permettant de distinguer deux étapes dans le développement des fluctuations ther-miques. Les profils de rms de température sont initialement dissymétrique par rapport àl’axe de la couche de mélange avec un maximum unique. L’augmentation progressive deRex se traduit par l’apparition d’un second maximum local situé côté haute vitesse bassetempérature. Au delà de la valeur de Recr, les fluctuations de température dans la zonedéveloppée sont caractérisés par des profils bimodaux quelle que soit la valeur de λ. Onpeut noter un rééquilibrage entre les deux maxima pour les plus grandes valeurs de Rexet de λ.


6.4.2 Dissymétrie et aplatissement

Après cette caractérisation de l’écart par rapport à la moyenne des vitesses et tem-pératures instantanées, on s’intéresse ici à la forme (symétrie ou non) de la PDF de cesgrandeurs à travers l’étude des moments d’ordre supérieur. On rappelle que le coefficientde dissymétrie (ou skewness) est un bon indicateur des écarts par rapport à la symétrie desfluctuations, et le coefficient d’aplatissement (ou flatness) décrit l’importance relative desfluctuations élevées. Ils permettent ainsi de mettre en évidence les régions intermittentesde l’écoulement. Un exemple de l’évolution de ces moments est donné sur les figures 6.25et 6.26 pour λ= 0.33 et ∆T = 25 K. Au voisinage de l’axe de la zone de mélange dyna-mique Su = 0 et Ku est proche de 3. Il en est de même pour ST et KT à proximité de l’axede la zone de mélange thermique. A ces positions on peut donc s’attendre à des PDF detempérature et de vitesse proches d’une gaussienne dans cette partie de l’écoulement. Lazone intermittente correspond aux pics des moments d’ordre 3 et 4. On peut remarquer,sur cette figure, que les frontières intermittentes de la zone de mélange dynamique sontsituées approximativement à une même distance ηu = 0.6 de part et d’autre de l’axe de lazone de mélange dynamique pour une position x donnée. Cela confirme la quasi-symétriedes profils de vitesse par rapport à cet axe. La zone de mélange thermique, quant à elle,est délimitée par deux régions intermittentes situées de façon dissymétrique par rapportà l’axe de la zone de mélange thermique.

Pour la vitesse, Su > 0 du côté basse vitesse et Su < 0 du côté haute vitesse de l’écou-lement, alors que pour la température ST < 0 du côté basse vitesse et ST > 0 du côtéhaute vitesse. Le signe de ces moments dans les régions intermittentes peut être expliquépar le mouvement de fluide issu de l’écoulement au passage des points selles de la couchede mélange. Les points selles sont des lieux de forte éjection de fluide vers l’extérieur, cequi entraîne une accélération de l’écoulement du côté basse vitesse et une décélération ducôté haute vitesse (on pourra se référer à [42]). Donc du côté basse vitesse, ces bouffées defluide sont plus rapides que l’écoulement environnant alors que du côté haute vitesse ellessont plus lentes. Etant donné que les écoulements étudiés dans cette thèse sont à contregradient (dU

dy× dTdy

< 0), du côté basse vitesse ces bouffées de fluide vont donc être plusfroides que l’écoulement environnant chaud (ST < 0), alors que du côté haute vitesse ellesvont être plus chaudes (ST > 0). Ce comportement est donc très bien décrit par le signedes moments d’ordre 3 sur la figure 6.25.

Par ailleurs on peut noter sur la figure 6.26-b un changement de comportement deKT en fonction de x. En effet vers l’aval, donc lorsque Rex augmente, les valeurs de KT


a)

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

SU

ηU

B.V.,H.T.H.V.,B.T.

x/H = 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

b)

-4

-2

0

2

4

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4

ST

ηT

X

x/H = 0.20.4

0.60.8

1.01.2

1.41.6

1.82.0

Figure 6.25 – Coefficients de dissymétrie : (a) vitesse (mesure PCTA), (b) tempéra-ture (mesure CCA) ; λ= 0.33, ∆T = 25 K .


a)

2

3

4

5

6

7

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

KU

ηU

B.V.,H.T.H.V.,B.T.

x/H = 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

b)

2

3

4

5

6

7

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4

KT

ηT

Rex

x/H = 0.20.4

0.60.8

1.01.2

1.41.6

1.82.0

Figure 6.26 – Coefficient d’aplatissement : (a) vitesse (mesure PCTA), (b) tempéra-ture (mesure CCA) ; λ = 0.33, ∆T = 25 K. La ligne horzontale repré-sente la valeur prise par une distribution gaussienne.

6.5 Couplage vitesse-température 191

pour des positions (y < 0) se rapprochent progressivement de la valeur 3. On peut doncs’attendre, à partir d’une distance vers l’aval correspondant à Recr, à une réduction de ladissymétrie de la PDF de la température pour ces positions y données.

6.4.3 PDFs de la température

Les PDFs de température obtenues ici sont de deux types : non marching et marching.Ces PDFs sont ilustrées sur la figure 6.27. Pour chaque position x donnée correspondant àune valeur de Rex diférente, les PDFs sont obtenues à des positions ηT distribuées suivantl’épaisseur de la zone de mélange. Juste à l’aval de la zone de sillage, les PDFs sont detype non marching (voir figure 6.27-a). En dehors des frontières de la zone de mélange,le mode est donc invariant suivant l’ordonnée. Ce type de PDF est caractéristique d’unmélange dominé par les grandes structures qui engloutissent du fluide issu des partiesuniformes de l’écoulement. Plus loin vers l’aval, pour les plus grandes valeurs de Rex,les PDFs sont de types marching (voir figure 6.27-b) avec un mode qui varie suivant laproximité des frontières de la couche de mélange (donc suivant la température moyenne).Lorsque l’écoulement est développé, les PDFs sont donc de type marching, conformémentaux résultats décrits dans la littérature. Ce type de PDF est caractéristique d’un mélangedominé par les petites échelles de l’écoulement.

6.5 Couplage vitesse-température

A partir des distributions instantanées de vitesse et de température, mesurées si-multanément grâce au PCTA, le flux de chaleur u′T ′, le coefficient de corrélation RuT =u′T ′/

√(u′2T ′2), et les densités de probabilités conditionnelles peuvent être obtenus. L’ana-

lyse de ces grandeurs permet d’étudier le couplage existant entre les fluctuations de vitesseu′ et les fluctuations de température T ′.

6.5.1 Coefficient de corrélation

Des exemples de profils de coefficient de corrélation RuT mesurés dans la zone desimilitude de l’écoulement sont représentés sur la figure 6.28. Celle-ci permet de distinguertrois régions de l’écoulement caractérisées par le signe de RuT .

– Dans la zone de mélange, RuT est négatif et diminue en se rapprochant de la valeurde -0.5 au voisinage de l’axe y0.5U . Le signe négatif de RuT est dû au caractère


(a)

00.10.20.30.40.50.60.70.8

-3 -2 -1 0 1 2 3

Trm

s×P

(T′ )

T ′/Trms

ηT = 0.39 0.26 0.13 0 -0.11 -0.24

(b)

00.10.20.30.40.50.60.70.8

-3 -2 -1 0 1 2 3

Trm

s×P

(T′ )

T ′/Trms

ηT = 39 0.30 0.12 0.03 -0.06 -0.15 -0.33

Figure 6.27 – Exemple de PDFs de la température de type (a) marching (Rex =5.8×104), (b) non-marching (Rex = 26×104).


a)

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-1 -0.5 0 0.5 1

RuT

ηu

B.V.,H.T.H.V.,B.T.

x/H = 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

b)

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-1 -0.5 0 0.5 1

RuT

ηu

H.V.,B.T.B.V.,H.T.

x/H = 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

Figure 6.28 – Exemples d’évolutions verticales du coefficient de corrélation RuT

pour : (a) λ= 0.33,∆T = 25 K, (b) λ= 0.25,∆T =−25 K.


contre-gradient de l’écoulement. La corrélation des fluctuations de vitesse et detempérature est plus importante au voisinage de l’axe de la zone de mélange ce quisuppose un mélange plus intense et plus cohérent à ce niveau.

– Lorsque l’on s’écarte de la frontière de la zone de mélange en direction des côtés àvitesse uniforme, la valeur |RuT | diminue progressivement pour tendre vers 0.

– La région d’écoulement uniforme de part et d’autre de la zone de mélange est ca-ractérisée par un coefficient de corrélation positif du côté H.V.,B.T. et proche de0 du côté B.V.,H.T. On note une augmentation de RuT lorsque l’on s’écarte de lafrontière en direction de l’écoulement uniforme. Dans cette région la vitesse et latempérature tendent vers un état quasi uniforme à mesure que l’on se rapproche desparois supérieure et inférieure de la soufflerie. Par exemple l’écoulement uniformefroid et rapide aura progressivement moins de contact avec l’écoulement chaud etlent de la zone de mélange. Par conséquent les fluctuations de vitesse et de tempéra-ture seront associées à un même phénomène indépendant de la couche de mélange,d’où l’augmentation progressive de la corrélation RuT positive associée par ailleursà des fluctuations plus faibles.

On pourra remarquer la superposition des profils de RuT dans la zone de similitudede l’écoulement.L’évolution de RuT mesurée sur l’axe de la zone de mélange dynamique en fonction de laposition longitudinale x est donnée sur la figure 6.29. Dans la zone proche de l’entrée de

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0 0.5 1 1.5 2

RuT

x/H

Figure 6.29 – Exemple d’évolution du coefficient de corrélation RuT sur l’axe de lazone de mélange dynamique pour λ= 0.33, ∆T = 25K.


la veine d’essai, où le sillage de la plaque séparatrice est encore présent, RuT est prochede 0. C’est une zone où l’écoulement est fluctuant, d’où une possible décorrélation desfluctuations de vitesse et de température. Ce comportement pourrait également être dû àune défaillance du capteur à ce niveau dans la mesure des fluctuations aux petites échellesde l’écoulement.

A mesure que l’on s’écarte de la zone de sillage, RuT décroît. Dans la zone de transitionvers la similitude RuT varie très lentement autour d’une valeur entre -0.3 et -0.4. Une foisla similitude de l’écoulement atteinte, RuT varie entre -0.4 et -0.5. Ces valeurs sont prochesde celles données par Béguier et al. [15], Chevray et Tutu [33] ou Antonia et Bilger [8]dans le cas d’un jet chauffé.

Le signe négatif de RuT est dû au fait que l’écoulement se fait à contre-gradient. Lazone de mélange est obtenue en associant du fluide chaud et lent (u′ < 0 et T ′ > 0) avecdu fluide froid et rapide (u′ > 0 et T ′ < 0). L’analyse conditionnelle du flux de chaleureffectuée dans les paragraphes suivants permet de mieux comprendre les variations dusigne de RuT .

L’évolution de RuT avec x suggère une augmentation progressive de l’intensité dumélange sur l’axe lorsque l’on s’écarte du bord de fuite de la plaque séparatrice.

6.5.2 Probabilités conditionnelles de vitesse-température

On étudie ici les densités de probabilité de la température conditionnées par les va-leurs que peuvent prendre les fluctuations de la vitesse u′. En l’occurence on étudie lesdensités de probabilité de T ′ lorsque u′ est positif ou lorsque u′ négatif, notées respecti-vement p(T ′)|u′<0 et p(T ′)|u′≥0. Ces contributions à la PDF totale p(T ′) des fluctuationsde température vérifient la relation suivante :

p(T ′) = p(T ′)|u′<0 +p(T ′)|u′≥0 . (6.6)

Comme la PDF totale p(T ′) est égale à 1, on a donc :

∫ +∞

−∞p(T ′)|u′<0 +

∫ +∞

−∞p(T ′)|u′≥0 =

∫ +∞

−∞p(T ′) = 1 . (6.7)

L’analyse des PDFs conditionnelles de vitesse-température est présentée ici en détailpour une configuration d’écoulement avec λ= 0.33 et ∆T = 25K.

Un exemple typique des PDFs rencontrées peut être trouvé à la figure 6.30. L’axe desordonnées comporte les valeurs de Trms×p(T ′), où Trms est l’écart type des fluctuations


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 5 10 15 20 25 30

-3 -2 -1 0 1 2 3Trm

s×P

(T′ )

T [C]

T ′/Trms

(ηu =−0.25)

p(T ′)|u≥0

gauss.p(T ′)|u<0

p(T ′)

Figure 6.30 – Exemple de PDF conditionnelle vitesse-température pour x/H = 1.0.

de température pour la position donnée. L’axe des abscisses inférieur correspond à l’échellephysique de la température instantanée notée ici T . L’échelle en écart-type Trms corres-pondante est représentée sur l’axe des abscisses supérieur. La position verticale dans lacouche de mélange est donnée par ηu = y−y0.5U

δω. On peut trouver sur cette figure quatre

courbes représentant les PDFs conditionnelles p(T ′)|u′<0 et p(T ′)|u′≥0, la PDF totale p(T ′)et la distribution gausienne correspondante.

Les PDFs conditionnelles de vitesse-température et les PDFs de température obtenusà la position x/H = 1.4 sont représentées sur la figure 6.32. Cette figure comporte septvignettes allant de a) à g), correspondant chacune à un point de mesure d’ordonnée ηu.Le positionnement de ces points de mesure a à g est indiqué sur la figure 6.31. Ceux-cisont choisis de sorte à balayer l’épaisseur de la couche de mélange pour la position x

donnée en partant du côté froid et rapide de l’écoulement vers son côté chaud et lent.Dans chacune des vignettes a à g, on trouvera quatre courbes du même type que ceux dela figure 6.30. Les tendances généralement observées, quelle que soit la position x dans lazone d’écoulement développé, sont les suivantes.

– Dans la région d’écoulement uniforme de part et d’autre de la zone de mélange (aet g), les PDFs conditionnelles, tout comme la PDF de T ′ sont très étroites, avecun mode supérieur à 0.4. Du côté haute température et basse vitesse (ηu > 0) cor-


B.T.H.V.

H.T.B.V.

d

a

b

c e

f

g

0-0.5 0.5 uη

Urms

Figure 6.31 – Grille de mesures des PDFs de température. La couche de mélange esttraversée du côté basse température et haute vitesse vers le côté hautetempérature et basse vitesse.

respondant, le mode des PDFs de température conditionnées par u′ < 0 est plusimportant que celui des PDFs conditionnées par u′ ≥ 0, et inversement de l’autrecôté. L’étroitesse des densités de probabilité est représentative du fait que l’écoule-ment est peu influencé par l’autre côté de la couche de mélange. Cela atteste de labonne qualité de la mesure. Les fluctuations de température restent dominées par lalimite chaude ou froide correspondant à la température de l’écoulement uniforme.

– Au voisinage des frontières de la zone de mélange, les PDFs de T ′ sont dissymé-triques et s’écartent de la gaussienne (représentée en pointillés). Cette dissymétriedes PDFs de T ′ est liée aux contributions non équivalentes des fluctuations T ′ as-sociées à u′ ≥ 0 et u′ < 0. Par exemple, la frontière située côté haute températureet basse vitesse (ηu > 0) présente des PDFs de T ′ où demeure un pic correspondantau fluide chaud associé aux basses vitesses, mais avec une contribution intégraleimportante des arrivées de fluide froid (T ′ < 0) à plus forte vitesse (u′ > 0) venantde l’autre côté de la zone de mélange. Cette forte dissymétrie des PDFs de tempé-rature montre qu’il existe, au voisinage des frontières, par exemple du côté (ηu > 0),une coexistence entre des poches de fluide chaud et lent peu mélangées (cararac-térisées par p(T ′)|u′<0 fortement dissymétrique) et un écoulement plus turbulent(cararactérisé par p(T ′)|u′>0 symétrique et très proche d’une gaussienne avec des


a)0

0.5

1

1.5

2

2.5

5 10 15 20

-3 -2 -1 0 1 2 3

Trm

s×P

(T′ )

T [C]

T ′/Trms

(ηu =−0.83)

p(T ′)|u≥0

gauss.p(T ′)|u<0

p(T ′)

g)0

0.20.40.60.81

1.21.41.61.82

15 20 25 30 35 40 45

-3 -2 -1 0 1 2 3

Trm

s×P

(T′ )

T [C]

T ′/Trms

(ηu = +0.81)

p(T ′)|u≥0

gauss.p(T ′)|u<0

p(T ′)

b)0

0.10.20.30.40.50.60.70.80.91

0 5 10 15 20 25 30

-3 -2 -1 0 1 2 3

Trm

s×P

(T′ )

T [C]

T ′/Trms

(ηu =−0.46)

p(T ′)|u≥0

gauss.p(T ′)|u<0

p(T ′)

f)0

0.10.20.30.40.50.60.70.80.9

5 10 15 20 25 30 35 40 45

-3 -2 -1 0 1 2 3

Trm

s×P

(T′ )

T [C]

T ′/Trms

(ηu = +0.54)

p(T ′)|u≥0

gauss.p(T ′)|u<0

p(T ′)

c)0

0.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5

0 5 10 15 20 25 30

-3 -2 -1 0 1 2 3

Trm

s×P

(T′ )

T [C]

T ′/Trms

(ηu =−0.28)

p(T ′)|u≥0

gauss.p(T ′)|u<0

p(T ′)

e)0

0.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5

0 5 10 15 20 25 30 35 40

-3 -2 -1 0 1 2 3

Trm

s×P

(T′ )

T [C]

T ′/Trms

(ηu = +0.26)

p(T ′)|u≥0

gauss.p(T ′)|u<0

p(T ′)

d)0

0.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5

5 10 15 20 25 30

-3 -2 -1 0 1 2 3

Trm

s×P

(T′ )

T [C]

T ′/Trms

(ηu =−0.00)

p(T ′)|u≥0

gauss.p(T ′)|u<0

p(T ′)

Figure 6.32 – PDFs conditionnelles de vitesse-température pour x/H = 1.4.


fluctuations comprises entre -2 Trms et +2 Trms). Le phénomène inverse a lieu à lafrontière située côté basse température haute vitesse. Ainsi les frontières sont trèsintermittentes.

– Plus on s’écarte des frontières, en direction de l’axe de la zone de mélange, moinsl’écoulement extérieur uniforme est influencé par l’autre côté. Par conséquent le piccaractérisant la PDF p(T ′)|u′≥0 ou p(T ′)|u′>0 diminue progressivement. Le fluideprovenant des écoulements uniformes extérieurs se retrouve donc en situation demélange turbulent, et ce d’autant plus qu’on se rapproche de l’axe de la zone demélange ηu = 0 où les PDFs conditionnelles et la PDF de T ′ sont très proches d’unegaussienne.

Ces différents comportements viennent confirmer que les PDFs de température dansla zone de similitude sont bien de type marching, c’est à dire que le mode varie avec laposition verticale dans la couche de mélange pour une position x donnée.

6.5.3 Analyse en quadrants du couplage vitesse-température

L’analyse en quadrants est une méthode adaptée pour évaluer la contribution des dif-férents mouvements à des grandeurs comme les tensions de Reynolds ou le flux de chaleurdans un écoulement. Elle consiste à partager le signal instantané en quatre quadrants,chacun correspondant à l’une des contributions possibles de u′ et v′, ou u′ et T ′ parexemple, en termes de signes. La moyenne temporelle de u′v′ ou u′T ′ calculée sur chaquequadrant fournit alors une moyenne conditionnelle traduisant les contributions croiséesaux quantités u′v′ ou u′T ′ pour chaque point de mesure.

Cette méthode a été initialement introduite par Lu et Willmarth [79] puis Wallace etal. [132], pour évaluer la contribution des différentes régions de l’écoulement aux tensionsde cisaillement de Reynolds, dans le cas d’une couche limite turbulente ou d’écoulementsde conduite. Une revue des différentes études ayant utilisé l’analyse en quadrants dans ladescription d’écoulements turbulents peut être trouvée dans [7].

Nous utilisons l’analyse en quadrants pour évaluer la contribution des différentes ré-gions de l’écoulement de couche de mélange anisotherme au flux de chaleur. Le flux dechaleur u′T ′ est une quantité obtenue en appliquant l’opération moyenne à l’équation del’énergie, tout comme les tensions de Reynolds obtenues à partir de l’équation du mouve-ment. Les fluctuations instantanées u′ et T ′ sont alors réparties suivant les quadrants duplan (u′,T ′). Ces quadrants sont définis par rapport aux axes u′ = 0 et T ′ = 0. Leur identi-fication se fait conventionnellement dans le sens trigonométrique. Un schéma de principe


est donné à la figure 6.33. Sur cette figure, le premier quart noté I correspond à u′ > 0

Figure 6.33 – Schéma de principe de la répartition des fluctuations en quadrants.

et T ′ > 0, le second quart noté II corespond à u′ < 0 et T ′ > 0, le troisième quart notéIII corespond à u′ < 0 et T ′ < 0, et le quatrième noté IV correspond à u′ > 0 et T ′ < 0.Les contributions énergétiques relatives aux quadrants II et IV sont donc négatives alorsque celles associées aux quadrants I et III sont positives.

On rappelle que la topologie de l’écoulement de couche de mélange permet de distin-guer deux types de structures macroscopiques, les gros tourbillons appelés noyaux, et deszones fines qui enlacent ces tourbillons, appelées filaments. Entre deux noyaux, au centredu filament, se trouve un point selle. Les points selles sont des zones de forte éjection defluide. La contribution des différents mouvements est analysée ici à partir de la topologiede l’écoulement comme illustré sur la figure 6.34 pour deux configurations d’écoulement àcontre-gradient. Les quadrants I et III correspondent alors à l’interaction entre la péri-phérie des structures et la partie uniforme de l’écoulement. Ils ne concernent donc pas lespoints selles. On considère comme froide toute température inférieure à la températuremoyenne de l’écoulement au point considéré, et comme rapide toute vitesse plus grandeque la vitesse moyenne de l’écoulement au point considéré. Une illustration simplifiée del’évoluton des signaux instantanés de vitesses longitudinale et transversale, et de la tem-pérature, est représentée schématiquement sur la figure 6.35. Cette évolution est baséesur le signe des coefficients de dissymétrie et d’aplatissement de u et T . Au niveau despoints selles, les fluctuations de vitesse u′ et les fluctuations de température T ′ sont designes opposés, de même que les fluctuations de vitesse verticale v′ et les fluctuations devitesse longitudinale u′. Les quadrants II et IV correspondent donc à des éjections defluide, dans notre configuration expérimentale qui est à contre-gradient.


a)

froid

chaud

lent et chaud

rapide et froid

III

IV

III

I

III

lent et chaud

IV

II

rapide et froid

b)

froid

chaud

lent et chaud

rapide et froid

III

IIIIV

III

I

lent et chaud

II

Figure 6.34 – Schéma des différents mouvements de fluide contribuant au flux dechaleur dans la couche de mélange anisotherme : a) ∆T > 0 et b)∆T < 0.


a) b)

Figure 6.35 – Schéma simplifié des signaux instantanés correspondant aux éjectionsaux points selles dues aux quadrants a) II et b) IV .

Par exemple, l’écoulement uniforme froid et rapide arrache du fluide au passage despoints selles. Ce fluide issu des noyaux est à une température moyenne supérieure à latempérature froide, et sa vitesse moyenne est inférieure à la vitesse rapide. Donc du fluidechaud et lent est éjecté des points selles. Cela correspond alors au quadrant II.

De la même manière, l’écoulement uniforme chaud et lent arrache du fluide froid despoints selles. Le fluide issu des noyaux est plus froid et plus rapide que l’écoulementuniforme. Cela correspond donc au quadrant IV .

Le quadrant II (u′ < 0 et T ′ > 0) correspond à l’éjection de fluide lent et chaud. Lequadrant IV (u′ > 0 et T ′ < 0) correspond à l’éjection de fluide rapide et froid.

Un exemple est donné sur la figure 6.36 des profils verticaux de u′T ′ séparés en quatrecourbes correspondant chacune à un quadrant. On peut remarquer sur cette représentationque les contributions de I et III sont équivalentes de part et d’autre de l’axe de la couchede mélange dynamique. Les interactions entre la périphérie des structures cohérentes et lesparties uniformes de l’écoulement se font de manière quasi-symétrique par rapport à l’axede la couche de mélange dynamique. Elles atteignent une valeur maximale aux frontièresde cette couche de mélange avant de décroître vers une valeur nulle dans la zone uniforme.Cela correspond bien à la topologie de la figure 6.34 où les quadrants I et III sont portéspar les noyaux de la zone de mélange dynamique. L’amplitude des contributions de IIet IV est plus importante. Cela traduit une prédominance, dans le flux de chaleur, deséjections de fluide vers l’extérieur. Les flux de chaleur négatifs atteignent leur valeurmaximale proche des frontières de la zone de mélange dynamique. Les contributions desquadrants II et IV à ces éjections sont équivalentes au niveau de l’axe de la zone demélange thermique.

Le schéma explicatif représenté sur la figure 6.34 nous amène à déduire que la principalecontribution aux flux de chaleur, portée par les quadrants II et IV , correspond à des


-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

-1 -0.5 0 0.5 1

<ut>i

y−y0.5U/δω

y0.5Ty0.5u

i=Ii=IIi=IIIi=IV

Figure 6.36 – Différentes contributions au flux de chaleur longitudinal pour une po-sition x donnée.

éjections aux points selles qui s’articulent autour d’un axe de symétrie décalé vers lesbasses vitesses par rapport à l’axe dynamique, lui même déjà dévié dans le même senspar rapport à l’axe physique prolongeant la plaque séparatrice y = 0.

Les distributions de moyennes conditionnelles du flux de chaleur sont représentées surla figure 6.37 pour différentes positions x. Le niveau de u′T ′ est indicatif de l’intensitérelative des quatre mouvements élémentaires du fluide. Comme on peut le voir sur cettefigure, les mouvements les plus importants dans la zone de similitude sont les éjections.L’intensité des interactions entre la périphérie des structures et l’écoulement uniformereste approximativement constante alors que le niveau des éjections augmente suivant x,ce qui est cohérent avec l’expansion de la couche de mélange dynamique et thermique,qui est asssociée à une importance grandissante des éjections aux points selles. Dans lazone de sillage, les contributions des différents quadrants sont équivalentes.


(x/H = 0.1) (x/H = 0.2)

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03

<ut>i

y/H

i=Ii=IIi=IIIi=IV

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03<ut>i

y/H

i=Ii=IIi=IIIi=IV

(x/H = 0.6) (x/H = 1.0)

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

-1 -0.5 0 0.5 1

<ut>i

ηu

y0.5Ty0.5u

i=Ii=IIi=IIIi=IV

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

-1 -0.5 0 0.5 1

<ut>i

ηu

y0.5Ty0.5u

i=Ii=IIi=IIIi=IV

(x/H = 1.6) (x/H = 2.0)

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

-1 -0.5 0 0.5 1

<ut>i

ηu

y0.5Ty0.5u

i=Ii=IIi=IIIi=IV

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

-1 -0.5 0 0.5 1

<ut>i

ηu

y0.5Ty0.5u

i=Ii=IIi=IIIi=IV

Figure 6.37 – Profils verticaux des contributions aux flux de chaleur pour chaquequadrant i= I à IV pour 0≤ x/H ≤ 2.0.

6.6 Conclusion 205

6.6 ConclusionL’étude de l’écoulement anisotherme a permis de retouver pour les basses vitesses des

résultats comparables à ceux des travaux de la littérature sur les écoulements avec ungradient thermique ou de concentration obtenus pour des régimes de vitesse plus élevé.Ces résultats concernent le développement du champ de température moyenne qui estdissymétrique et plus important que celui de la vitesse moyenne. Les capacités de lanouvelle soufflerie HABV ont rendu possible la génération de plusieurs configurationsd’écoulements en ∆T et λ. Ainsi l’influence de ces deux paramètres sur l’écoulementmoyen et sur la turbulence a pu être étudiée.

Le nouvel anémomètre PCTA permettant de mesurer simultanément la vitesse et latempérature instantanées, a donné ici des résultats très satisfaisants. Cette spécificité duPCTA nous a permis de caractériser les interactions vitesse-température au sein de lacouche de mélange à travers l’étude du coefficient de corrélation vitesse-température, desprobabilités des fluctuations de température conditionnées par le signe des fluctuations devitesse. On a ainsi mis en évidence le coulage vitesse-température caractérisé par des PDFsde température de type non marching juste à l’aval du sillage de la plaque de séparation,et marching dans la région développée de l’écoulement.


Chapitre 7

Conclusion et perspectives

L’objectif de ce travail était de mettre en œuvre une technique expérimentale fournis-sant des mesures simultanées résolues en temps de la vitesse et de la température dans unécoulement turbulent ; et l’application de cette méthode de mesure à l’étude d’une couchede mélange dynamique et thermique à basse vitesse modélisant un flux froid sur un plande travail.

On aborde dans ce dernier chapitre les conclusions générales du travail expérimentalpuis on présente les perspectives envisagées.

7.1 Conclusions

Pour réaliser l’étude de la couche de mélange anisotherme, une nouvelle souffleriecapable de générer des écoulements où la température et la vitesse sont maîtrisées sépa-rément est utilisée. L’étude des écoulements générés dans cette soufflerie s’est faite avecdes mesures thermo-anéométriques et avec des visualisations. Les écoulements étant ani-sothermes, et à basse vitesse, il nous a fallu concevoir un dispositif permettant de réaliserdes étalonnages vitesse température avec une bonne mesure de la vitesse de référence. Cesdifférents matériels ainsi que leur qualification sont l’objet du chapitre 3.

L’étude des interactions vitesse température dans ce type d’écoulement a nécessité lamise en œuvre et l’optimisation de la méthode PCTA, qui est appliquée ici pour la premièrefois à l’étude d’un écoulement. La particularité de cette méthode, objet du chapitre 4, estsa capacité à mesurer de manière simultanée les distributions de vitesse et de températuredans un écoulement à partir d’un fil chaud unique soumis de manière périodique à uneséquence de surchauffes. Le signal anémométrique délivré par ce capteur dépend de U, T

208 Chapitre 7. Conclusion et perspectives

et des niveaux de surchauffe appliqués. Nous avons dans un premier temps développé desalgorithmes pour traiter les signaux PCTA. La loi de réponse du fil chaud PCTA est nonlinéaire. Les coefficients de la loi ainsi que la température du fil dépendent de la surchauffeen plus des conditions de l’écoulement. Ils sont alors déterminés à partir d’un étalonnageexpérimental.

Nous avons ainsi développé une stratégie basée sur la méthode de régression de Le-venberg Marquardt pour estimer ces paramètres. Cette méthode itérative nécessitant desconditions initiales réalistes, nous avons mis au point une méthode par étapes pour dé-terminer celles-ci. Ces algorithmes ont été vérifiés en rejouant les données d’étalonnagedans la loi de réponse du fil afin d’obtenir des valeurs de U et T estimées. La comparaisonde celles-ci avec les valeurs de U et T introduites à l’étalonnage fournit une premièreapproche de l’incertitude de la méthode qui est de 0.1 m/s sur la vitesse et 0.2 K sur latempérature.

Une procédure expérimentale accélérée d’étalonnage vitesse-température a parallèle-ment été développée. Elle consiste à faire varier de manière cyclique la vitesse et demanière linéaire la température lors d’un essai de courte durée, de l’ordre de quelquesminutes. Les données de référence sont mesurées par un thermocouple placé à proximitédu capteur PCTA à étalonner, et d’un tube de Pitot placé à l’aval de la contraction desoufflerie d’étalonnage permettant de multiplier la vitesse par un facteur 9.

Ensuite l’optimisation du choix des paramètres de fonctionnement du PCTA a étéabordée. Cette analyse a mis évidence des critères dans le choix des surchauffes et dudiamètre de fil à utiliser. Il est apparu qu’un nombre réduit de surchauffes balayant unegrande partie de l’étendue de la gamme de surchauffe était suffisant pour avoir une bonnemesure de U et T . L’erreur sur la mesure de la température ne dépend quasiment pasdes surchauffes appliquées alors que celle sur la vitesse tend à diminuer en augmentant lenombre de surchauffes. Cependant, afin d’obtenir une bande passante élevée, le nombrede surchauffes doit être réduit ; permettant ainsi de limiter les phases de transition (quidépendent aussi des valeurs de surchauffes à atteindre) et diminuer la durée du motif.

L’utilisation du PCTA à très basse vitesse s’est avérée très satisfaisante, moyennantl’utilisation d’une loi polynomiale.

L’estimation des incertitudes de mesure par simulations de Monte Carlo a permisd’avoir une estimation des incertitudes qui sont respectivement de 0.1 m/s et 0.2K sur lesmesures de U et T . Elle met en avant des critères sur la taille des échantillons d’étalonnage.L’erreur minimale est obtenue pour un échantillon de 5.105 points que l’on peut généreren une courte durée (typiquement 5 minutes).

7.1 Conclusions 209

L’intercomparaison du PCTA, CTA et CCA dans un même écoulement anisotherme apermis la validation du capteur PCTA. Pour les grandeurs moyennes, les mesures fourniespar les différentes méthodes sont comparables. Les fluctuations de vitesse sont mieux me-surées par le PCTA qui ne subit pas l’influence des fluctuations thermiques contrairementau CTA. Les fluctuations de températures sont également bien mesurées par le PCTA,même s’il est nécessaire, dans l’état actuel du dispositif, de multiplier les valeurs obtenuespar un facteur correctif pour prendre en compte l’effet du diamètre de fil sur la bandepassante. En effet un fil de 2.5 µm a été utilisé pour le PCTA du fait de la limite imposéepar le dispotif actuel dans le choix de ce diamètre. La bande passante du PCTA dans saconfiguration actuelle ne permet d’obtenir les spectres que pour les plus grandes échellesde l’écoulement. Les spectres mesurés par le PCTA sont comparables à ceux fournis parle CCA dans cette gamme de fréquences, alors que les spectres de vitesse mesurés par leCTA en situation anisotherme sont sur-estimés du fait des fluctuations thermiques.

La soufflerie dont nous disposions permettant de faire varier les conditions d’entréeen vitesse, nous avons effectué (voir chapitre 5) une analyse du champ dynamique pourdifférentes configurations en rapport de vitesse r (ou paramètre de cisaillement λ) ; ce quinous a permis par ailleurs de qualifier la soufflerie en écoulement isotherme.

Les influences de λ sur le développement de l’écoulement ont été décrites, notammentl’évolution croissante de l’expansion de la zone de mélange et la réduction de la dis-tance de développement lorsque λ augmente. La similitude des fluctuations s’est avéréeplus tardive que celle du champ moyen. Elle correspond donc à la similitude totale del’écoulement qui est observée ici pour 400/ΘH.V. ≤ 600. L’augmentation du niveau d’éner-gie des spectres de vitesse et de l’extension en nombre d’onde de la plage de décroissanceen -5/3 en fonction de λ a été observée à travers les variations du nombre de Reynolds Rλ.

Cette description du champ dynamique en configuration isotherme effectuée, nousnous sommes consacrés à l’étude de la couche de mélange anisotherme dans le chapitre 6.

Nous nous sommes particulièrement intéressé à l’influence du gradient thermique etdu paramètre de cisaillement. Pour les gammes de vitesse et de température utilisées ici,les effets de gravité différentielle associés aux gradients de température dans le mélangesont négligeables.

L’analyse de l’écoulement a été abordée à partir de visualisations tomographiques.Celles-ci ont révélé de manière globale les différentes modifications dans le développementde l’écoulement liées au gradient thermique et à l’intensité du cisaillement.

Ensuite l’écoulement a été analysé à partir de mesures fil chaud PCTA ou CCA. On


a pu noter certaines différences dans le comportement des champs moyens dynamique etthermique. Le champ de vitesse moyenne en configuration anisotherme reste comparableau cas isotherme. Quant au champ thermique, il est caractérisé par un comportementbimodal typique du champ scalaire dans une couche de mélange. Son développement estdissymétrique et plus important que celui de la dynamique.

Cette dissymétrie se retrouve également dans l’évolution des fluctuations thermiqueset semble être liée au caractère développé ou non de l’écoulement. L’analyse des PDFs detempérature a révélé l’existence de PDFs de type non marching juste à l’aval de la zone desillage, caractérisant ainsi un mélange dominé par les grandes structures qui engloutissentdu fluide issu des parties uniformes de l’écoulement. Plus à l’aval, le champ thermique estcaractérisé par des PDFs de type marching, avec un mode qui varie suivant la proximitédes frontières de la couche de mélange (donc suivant la température moyenne). Ellescorrespondent à un mélange dominé par les petites échelles de l’écoulement.

Enfin nous avons tiré profit de la capacité de mesure simultanée vitesse-températureofferte par le PCTA pour décrire l’interaction entre les fluctuations dynamiques et ther-miques. Un couplage entre celles-ci a été démontré par le biais de PDFs de températureconditionnées par les fluctuations de vitesse, du coefficient de corrélation RuT , et du fluxde chaleur. Ce couplage est dominé par les éjections de fluide au niveau des points sellesdans la zone développée de la couche de mélange. Les différentes contributions au fluxde chaleur dues respectivement aux éjections et aux interactions entre la périphérie desstructures et l’écoulement uniforme, ont été analysées en cohérence avec l’interprétationdonnée aux PDFs de types marching et non marching. Le coefficient de corrélation RuTest de de -0.5 dans la couche de mélange.

7.2 Perspectives

D’une manière générale, la méthode thermo-anémométrique développée ici est valablepour l’analyse des écoulements isotherme et anisotherme. Les résultats obtenus sont trèssatisfaisants pour cette première utilisation dans un écoulement. Afin d’améliorer la bandepassante de l’anémomètre, un fil de plus faible diamètre devra être utilisé. Pour ce fairecertaines modifications devront être portées, notamment sur la résistance de pont. Uneautre alternative serait de transposer le principe du PCTA et les algorithmes associésà l’anémomètre fonctionnant à tension constante (CVA), qui présente l’avantage d’avoirune bande passante indépendante de la surchauffe imposée, contrairement au CTA.

7.2 Perspectives 211

En attendant ces différents changements, le PCTA est opérationnel, et on pourrait en-visager son évolution vers une configuration permettant d’acquérir les deux composantesde la vitesse et la température. Le portage de l’algorithme développé ici à ce nouveauproblème est relativement simple. On pourrait alors accéder facilement à la corrélationRvT (principale contribution au flux de chaleur) ainsi qu’au nombre de Prandtl turbulent,effectuer une analyse spectrale vitesse-température ou des bilans d’énergie,...

Les résultats d’analyse de l’écoulement anisotherme constituent une première étapedans l’élaboration par le Cemagref de stratégies pour la maîtrise des échanges dynamiqueset thermiques au sein d’une frontière aéraulique anisotherme.


Références bibliographiques

[1] Guide to the expression of uncertainty in measurement. Numerical Methods for thePropagation of distributions, 2004. 109

[2] A.A. Abdel-Rahman, G.J. Hitchman, P.R. Slawson, and A.B. Strong. An x-arrayhot-wire technique for heated turbulent flows of low velocity. J. Phys. E : Sci.Instrum., 22 :638–644, 1989. 38

[3] M. Abdul Azim and A.K.M. Sadrul Islam. Plane mixing layers from parallel andnon-parallel merging of two streams. Experiments in fluids, 34 :220–226, 2003. 19

[4] G.N. Abramovich. The theory of turbulent jets. MIT Press, Cambridge Mass, 1963.17, 141

[5] S.M Anderson and K. Bremhorst. Investigation of the flow of a highly heated jet ofair. International Journal of Heat and Fluid Flow, 23 :205–219, 2002. 31

[6] L.W.B. Antonia, R.A.and Browne and A.J. Chambers. Determination of timeconstants of cold wires. Review of Scientific Instruments, 52 :1382–1385, 1981.39

[7] R.A. Antonia. Conditional sampling in turbulence measurement. Annual Review ofFluid Mechanics, 13 :131–156, 1981. 199

[8] R.A. Antonia and R.W. Bilger. The heated round jet in a coflowing stream. AIAAJournal, 14 :1541–1547, 1976. 31, 37, 195

[9] R.A. Antonia, A. Prabhu, and S.E. Stephenson. Conditionally sampled measure-ments in a heated turbulent jet. Journal of Fluid Mechanics, 72 :455–480, 1975. 31,37

[10] P. Atsavapranee and M. Gharib. Structures in stratified plane mixing layers andthe effects of cross-shear. Journal of Fluid Mechanics, 342 :53–86, 1997. 29

[11] M. Aydin and H.J. Leutheusser. Very low velocity calibration and application ofhot-wire probes. DISA Information, 25 :1980, 17-18. 49

[12] Dziomba B. and H.E. Fiedler. Effect of initial conditions on two-dimensional freeshear layers. Journal of Fluid Mechanics, 152 :419–442, 1985. 21

214 Références bibliographiques

[13] J. Bashir and M.S. Uberoi. Experiments on turbulent structure and heat transferin a two-dimansional jet. Physics of Fluids, 18, 1974. 31

[14] R.G. Batt. Turbulent mixing of passive and chemically reacting species in a lowspeed shear layer. Journal of Fluid Mechanics, 82, 1977. 22, 24, 26, 167, 170

[15] C. Beguier, L. Fulachier, and J.F. Keffer. The turbulent mixing layer with anasymmetrical distribution of temperature. Journal of Fluid Mechanics, 89 :561–587, 1978. 195

[16] J. H. Bell and R. D. Mehta. Development of a two-stream mixing layer from trippedand untripped boudary layers. AIAA Journal, 28 :2034–2042, 1990. 21

[17] S. Bellin. Etude expérimentale des structures cohérentes d’une couche de mélangeplane turbulente de fluide incompressible. Thèse de Doctorat. Université de Poitiers,France, 1991. 15

[18] S.F. Benjamin and C.A. Roberts. Measuring flow velocity at elevated temperaturewith a hot-wire anemometer calibrated in a cold flow. Int. J. Heat and Mass Transf.,45 :703–706, 2002. 50

[19] L. P. Bernal. The coherent structure of turbulent mixing layers. PhD Thesis.University of Passedena, 1981. 20

[20] L. P. Bernal and A. Roshko. Streamwise vortex structure on plane mixing layers.Journal of Fluid Mechanics, 170 :499–525, 1986. 20

[21] D.K. Bisset. Numerical simulation of heat transfer in turbulent mixing layers. 13thAustralasian Fluid Mechanics Conference, pages 21–24, 1998. 24, 25, 27

[22] M.F. Blair and J.C. Bennett. Hot-wire meaasurements of velocity and temperaturefluctuations in a heated turbulent boundary layer. J.Phys.E.Sci.Instrum, 20 :209–216, 1987. 38

[23] J. Boussinesq. Essai sur la théorie des eaux courantes. In Mém. prés. Acad. Sci.XXIII, 46, 1877. 15

[24] K. Bremhorst and L.J.W. Graham. A fully compensated hot/cold wire anemometersystem for unsteady flow velocity and temperature measurements. MeasurementScience and Technology, 1 :425–430, 1990. 39

[25] F.K. Browand and C.M. Ho. The mixing layer : an example of quasi two twodimensional turbulence. Journal de Mécanique théorique et appliquée, pages 99–120, 1983. 140

[26] F.K. Browand and B.O. Latigo. Growth of two dimensional mixing layer from aturbulent and non turbulent boundary layer. Physics of Fluids, 22 :1011–1019, 1983.141, 183


[27] G. L. Brown and A. Roshko. On density effects and large structure in the turbulentmixing layers. Journal of Fluid Mechanics, 64 :775–816, 1974. 19, 20, 22, 28, 133,140

[28] H. H. Bruun. Hot-wire anemometry : Principles and signal analysis. Oxford Uni-versity press Inc., New york, USA., 1995. 49, 51, 77

[29] C.P. Caufield and W.R. Peltier. Mixing efficiency in stratified shear flows. AnnualReview of Fluid Mechanics, 35 :135–167, 2003. 29

[30] C. Chandrsuda, R.D. Mehta, A.D. Weir, and P. Bradshaw. Effect of free-streamturbulence on large structure in turbulent mixing layers. Journal of Fluid Mechanics,85 :693–704, 1978. 20

[31] P. Chassaing, R.A Antonia, F. Anselmet, L. Joly, and S. Sarkar. Variable densityfluid turbulence. Kluwer Academic Publishers, 2002. 35

[32] C.J. Chen and W. Rodi. Vertical buoyant jets - a review of experimental data.Science and Applications of Heat and Mass Transfer, 4, 1980. 31, 32

[33] R. Chevray and N.K. Tutu. Intermittency and preferential transport of heat in around jet. Journal of Fluid Mechanics, 88 :133–160, 1978. 31, 37, 167, 195

[34] R. Chevray and N.K. Tutu. Simultaneous measurements of temperature and velocityin heated flows. Review of Scientific Instruments, 43 :1417–1421, 1972. 39, 170

[35] L.P. Chua. Measurements in a turbulent circular jet. Ph.D.Thesis University ofNewcastle, 1989. 31

[36] L.P. Chua and R.A. Antonia. Turbulent prandtl number in a circular jet. Interna-tional Journal of Heat and Mass Transfer, 33 :331–339, 1990. 31

[37] G. Comte-Bellot and G.R. Sarma. Constant voltage anemometer practice in super-sonic flows. AIAA Journal, 39 :261–270, 2001. 37

[38] G. Comte-Bellot, G.R. Sarma, Faure T.M., J.P. Dussauge, P. Dupont, and J.F.Debiève. Performance studies of the constant voltage anemometer in mach 2.3boundary layer. 18th International Congress on Instrumentation in Aerospace andSimulations Facilities. Toulouse, France, page Paper 40, 1999. 37

[39] S. Corrsin. Extended applications of hot-wire anemometer. Rev. Sci. Ins., 18 :469–471, 1947. 39

[40] S. Corrsin. Extended applications of the hot-wire anemometer. NACA TechnicalNotes, 1864, 1949. 39

[41] S. Corrsin and M.S. Uberoi. Further experiments on the flow and heat transfer ina heated turbulent air jet. NACA Technical Notes, 1949. 38


[42] J. Delville. La décomposition orthogonale aux valeurs propres et l’analyse de l’or-ganisation tridimensionnelle des écoulements turbulents cisaillés libres. Thèse deDoctorat, Université de Poitiers, 1995. 51, 141, 142, 149, 188

[43] P.E. Dimotakis. Two dimensional shear layer entrainment. AIAA Journal, 24 :1791–1796, 1986. 28, 29

[44] P.E. Dimotakis and G.L. Brown. The mixing layer at high reynolds number : large-structure dynamics and entrainment. Journal of Fluid Mechanics, 78 :535–560,1976. 20

[45] T. Djeridane. Contribution à l’étude expérimentale de jets turbulents axisymé-triques à masse volumique variable. Thèse de Doctorat, Université d’Aix-MarseilleII, 1994. 31, 34

[46] T. Djeridane, M. Amielh, F. Anselmet, and L. Fulachier. Velocity turbulence pro-perties in the near-field region of axisymmetric variable density jets. Physics offluids, 8 :1614–1630, 1996. 34

[47] G. Fabris. Probe and method for simultaneous measurements of ’true’ instantaneoustemperature and three velocity components in turbulent flow. Review of ScientificInstruments, 49 :654–664, 1978. 37

[48] A. Farcy. Etude d’une méthode expérimentale d’analyse de la turbulence cinéma-tique et thermique. application au jet subsonique légèrement chauffé. Thèse deDoctorat, Université de Poitiers, 1981. 39, 44

[49] H.E. Fiedler. Transport of heat across a plane turbulent mixing layer. Advances inGeophisics, 18 :93–109, 1974. 21, 23, 167, 170, 181

[50] H.E. Fiedler. Flows control : Fundamentals and practices, chapter control of freeturbulent shear flows. In J.-P. Bonnet Flow Control, 1998. 21, 142

[51] H.E. Fiedler, C. Nayeri, R. Spieweg, and C.O Paschereit. Three-dimensional mixinglayers and their relatives. Experimental Thermal and Fluid science, 16 :3–21, 1998.13

[52] L. Fulachier and R. Dumas. Spectral analogy between temperature and velocityfluctuations in a turbulent boundary layer. Journal of Fluid Mechanics, 77 :257–277, 1976. 39, 170

[53] S. Funatani, N. Fujisawa, and H. Ikeda. Simultaneous measurement of temperatureand velocity using two-color lif combined with piv with a colour cdd camera and itsapplication to the turbulent buoyant plume. Measurement Science and Technology,15 :983–990, 2004. 46


[54] L.J.W. Graham and Bremhorst K. Instantaneous time-constant adjustment of cold-wire acting as resistance thermometer when using multi-wire anemometer probe.Measurement Science and Technology, 2 :238–241, 1991. 39

[55] H. Görtler. Berechnung von aufgaben der freien turbulenz auf grund eines neuennaherungsansatzes. ZAMM, 22 :244–254, 1942. 15

[56] J-L. Harion, M. Favre-Marinet, and B. Camano. Mesures de vitesse et de concen-tration par thermo-anémométrie dans les mélanges air/hélium. C. R. Acad. Sci.Paris, 320 :77–84, 1995. 46

[57] J-L. Harion, M. Favre-Marinet, and B. Camano. An improved method for measuringvelocity and concentration by thermo-anemometry in turbulent helium-air mixtures.Experiments in Fluids, 22 :174–182, 1996. 46

[58] R.C. Haw and J.F. Foss. A facility for low speed calibration. symposium of theheuristics of thermal anemometry, 97 :425–33, 1990. 49

[59] D. Heitz. Etude expérimentale du sillage d’un barreau cylindrique se développantdans une couche de mélange plane turbulente. Thèse de Doctorat, Université dePoitiers, 1999. 47, 48

[60] D. Heitz, M. Ndoye, P. Loisel, C. Fourment, and J. Delville. Développement de lathermoanémoclinométrie à basse vitesse. Congrès Français de Mécanique - Grenoble,2007. 105

[61] M.A. Hernan and J. Jimenez. Computer analysis of high-speed film of the planeturbulent mixing layer. Journal of fluid Mechanics, 119 :323–345, 1982. 20

[62] M. Hirota, H. Nakayama, H. Asano, Y. Mizuno, and S. Hirayama. Simultaneousmeasurement of velocity and temperature in thermal mixing shear layer using ldvand cold wire. Proceedings of the 12th International Symposium on Applications ofLaser Techniques to Fluid Mechanics - Portugal, 2004. 46

[63] M. Hishida and Y. Nagano. Simultaneous measurements of velocity and temperaturein nonisothermal flows. Journal of Heat transfer, 100 :340–345, 1978. 39

[64] C.M. Ho and L.S. Huang. Subharmonics and vortex merging in mixing layers.Journal of Fluid Mechanics, 119 :443–473, 1982. 21

[65] P.S. Karasso and M.G. Mungal. Scalar mixing and reaction in plane liquid shearlayer. Journal of Fluid Mechanics, 323 :23–63, 1996. 26

[66] M.A. Kegerise and E.F. Spina. A comparative study of constant voltage andconstant temperature hot-wire anemometers : Part2 - the dynamic response. Expe-riments in Fluids, 29 :165–177, 2000. 37


[67] J.H. Konrad. A experimental investigaton of mixing in two-dimensional turbulentshear flows with application to diffusion-limited chemical reactions. Ph.D. thesis,California Institute of Technology, 1976. 26

[68] M.M. Koochesfahani and P.E. Dimotakis. Mixing and chemical reactions in a tur-bulent liquid mixing layer. Journal of fluid Mechanics, 170 :83–112, 1986. 24

[69] M.M. Koochesfahani, R. Cohn, and C. MacKinnon. Simultaneous whole-field mea-surements of velocity and concentration fields using combination of mtv and lif.Measurements Science and Technology, 11 :1289–1300, 2000. 22, 46

[70] L.S.G. Kovasznay. The hot wire anemometer in supersonic flows. J. Aero. Sci., 17 :565–572, 1950. 39, 72

[71] L.S.G. Kovasznay. Turbulence in supersonic flow. J. Aero. Sci., 20 :657–682, 1953.39

[72] J.C. Lasheras, J.S. Cho, and T. Maxworthy. On the origin and evolution of stream-wise vortical structures in a plane, free shear layer. Journal of Fluid Mechanics,172 :231–258, 1986. 20

[73] I. Lekakis. Calibration and signal interpretation for single and multiple hot wire /hot film probes. Meas.Sci.Technol., 7 :1313–1333, 1996. 51

[74] J. Lemay and A. Benaïssa. Improvement of cold-wire response for measurement oftemperature dissipation. Experiments in Fluids, 31 :347–356, 1999. 68

[75] F. Lemoine, Y. Antoine, M. Wolff, and M. Lebouche. Simultaneous temperature and2d velocity measurements in a heated jet using combined laser-induced fluorescenceand lda. Experiments in Fluids, 26 :315–323, 1999. 46

[76] T. Lemonis and T. Dracos. A new calibration and data reduction method forturbulence measurement by multihotwire probes. Experiments in Fluids, 18 :319–328, 1995. 50

[77] J.H. Lienhard and K.N. Helland. An experimental analysis of fluctuating tempe-rature measurements using hot-wires at different overheats. Experiments in Fluids,7 :265–270, 1989. 38

[78] H.W. Liepmann and J. Laufer. Investigation of free turbulent mixing. Technicalreport 1257. NACA, 1947. 141, 142

[79] S.S. Lu and W.W. Willmarth. Measurements of the structure of the reynolds stressin a turbulent boundary layer. Journal of Fluid Mechanics, 60 :481–511, 1973. 199

[80] C.L. Lubbers, G. Brethouwer, and B.J. Boersma. Simulation of the mixing of apassive scalar in a round turbulent jet. Fluid Dynamics Research, 28 :189–208,2001. 31


[81] J.F. Lucas. Analyse du champ scalaire au sein d’un jet turbulent axisymétrique àdensité variable. Thèse de Doctorat, Université d’Aix-Marseille II, 1998. 31

[82] S.M. Masutani and C.T. Bowman. The structure of a chemically reacting planemixing layer. Journal of fluid Mechanics, 172 :93–126, 1986. 22, 23, 24, 27, 139,167, 181

[83] R.D. Mehta. Effect of velocity ratio on plane mixing layer development : Influenceof the splitter plate. experiments in Fluids, 10 :194–204, 1991. 19, 133, 136, 139,140, 141, 142, 183

[84] R.D. Mehta and R.V. Westphal. Near-field turbulence properties of single and twostream plane mixing layers. Experiments in Fluids, 4 :257–266, 1986. 19

[85] J. Mi, D.S. Nobes, and G.J. Nathan. Influence of jet exit conditions on the passivescalar field of an axisymmetric free jet. Journal of Fluid Mechanics, 432 :91–125,2001. 31

[86] J.P. Moro and P. V Vukoslavcevic. A method to calibrate a hot-wire x-probe forapplications in low-speed, variable temperature flows. Meas. Sci. Technol., 14 :1054–1062, 2003. 51

[87] M.G. Mungal. Experiments on mixing and combustion with low heat release in aturbulent shear flow. PH.D. thesis, California Institute of Technology, 1983. 169

[88] M. Ndoye, D. Heitz, C. Fourment, G. Arroyo, and J. Delville. Parameterizableconstant temperature anemometer for simultaneous velocity and temperature mea-surements in turbulent flows. Proceedings of the 8th International Symposium onExperimental and Computational Aerothermodynamics of Internal Flows - Lyon,2007. 54, 94, 95, 116

[89] J.D. Norris and N. Chokani. Rapid scanning of overheat ratios using a constantvoltage anemometer. AIAA Journal, 41 :1619–1620, 2003. 37, 44

[90] R. Orlu. Experimental study of passive scalar mixing in swirling jet flows. Ph.D.thesis, Royal Institute of Technology, KTH Mechanics, Stockholm, 2006. 31

[91] D. Oster and I. Wygnanski. The forced mixing layer between parallel streams.Journal of Fluid Mechanics, 123 :91–130, 1982. 18, 19, 21, 140, 147, 183

[92] M. Ould-Rouis. Intermittence interne ppour un scalaire passif en turbulence plei-nement développée. Thèse de Doctorat. Université d’Aix-Marseille 2, 1995. 67

[93] F.K. Owen, C.C. Horstman, and M.I. Kussoy. Mean and fluctuating flow measu-rements of a fully-developed, non-adiabatic, hypersonic boundary layer. Journal ofFluid Mechanics, 70 :393–413, 1975. 44, 45


[94] N.R. Panchapakesan and Lumley J.L. Turbulence measurements in axisymmetricjets of air and helium - part 1 and 2. Journal of Fluid Mechanics, 246 :197–247,1993. 31

[95] P. Paranthoen and J.C. Lecordier. Mesure de température dans les écoulementsturbulents. Rev. Gén. therm., 35 :283–308, 1996. 38, 67

[96] A. Perry. Hot-wire anemometry. Clarendon Press, Oxford, UK., 1982. 77

[97] L.M. Pickett and J.B. Ghandhi. Passive scalar mixing in a planar shear layer withlaminar and turbulent inlet conditions. Physics of fluids, 14 :985–998, 2002. 26

[98] L.M. Pickett and J.B. Ghandhi. Passive scalar measurements in a planar mixinglayer by plif of acetone. Physics of fluids, 14 :985–998, 2002. 24

[99] L. Pietri, M. Amielh, and F. Anselmet. Simultaneous measurements of temperatureand velocity fluctuations in a slightly heated jet combining a cold wire and laserdoppler anemometry. International Journal of Heat and fluid flow, 21 :22–36, 2000.31, 34, 46

[100] W.M. Pitts. Reynolds number effects on the mixing behavior of axisymmetric tur-bulent jets. Experiments in Fluids, 11 :135–141, 1991. 31

[101] L. Prandtl. The mechanics of viscous fluids. In W.F. Durand, editor, aerodynamictheory III, page 166, 1935. 15

[102] W.H. Press, S.A. Teutolsky, W.T. Vetterling, and B.P. Flannery. Numerical recipesin fortran. the art of scientific computing - second edition. Cambridge UniversityPress, 1992. 81

[103] Vukoslavcevic P.V. and J.M. Wallace. The simultaneous measurement of velocityand temperature in heated turbulent air flow using thermal anemmetry. Measure-ment Science and Technology, 13 :1615–1624, 2002. 39

[104] F.P. Ricou and Spalding D.B. Measurements of entrainment in axisymmetric tur-bulent jets. Journal of fluid Mechanics, 11 :21–32, 1961. 31, 32

[105] W. Rodi. Studies in convection. London : Academic Press, 1975. 141

[106] M. M. Rogers and R. D. Moser. Direct simulation of a self-similar turbulent mixinglayer. Physics of Fluids, 6 :903–923, 1994. 21, 24

[107] S. Russ and P.J. Strykowski. Turbulent structure and entrainment in heated jets :the effects of initial conditions. Physics of fluids, 5 :3216–3225, 1993. 34

[108] C.M. Sabin. An analytic and experimental study of plane, incompressible, turbulentshear layer with arbitrary velocity ratio and pressure gradient. Trans ASME J. BasicEngr., 87 :421–428, 1965. 17, 141


[109] M. Saez. Contribution à l’étude expérimentale de la convection mixte. Thèse deDoctorat, Université J. Fourier Grenoble 1, 1998. 39, 67, 72, 123

[110] Y. Sakai. Simultaneous measurements of concentration and velocity in a co2 jetissuing into a grid turbulence by two-sensor hot-wire probe. International Journalof Heat and Fluid Flow, 22 :227–336, 2001. 46

[111] G.R. Sarma. Flow measuring apparatus. US Patent 5074147, 1991. 37

[112] G.R. Sarma and G. Comte-Bellot. Automated constant voltage anemometer formeasurements with fluid temperature drifts. Review of Scientific Instruments, 73 :1313–1317, 2002. 37

[113] J.C. Sautet and D. Stepowski. Dynamic behavior of variable density turbulent jetsin their near development fileds. Physics of Fluids, 7 :2796–2806, 1995. 31

[114] G. Seifert and K. Grainchen. A calibration method for the hot-wire probes includingthe low velocity range. DISA Information, 27 :8–11, 1982. 49

[115] M.D. Slessor, C.L. Bond, and P.E. Dimotakis. Turbulent shear layer at high reynoldsnumbers : effects of inflow conditions. Journal of Fluid Mechanics, 376 :115–138,1998. 21

[116] M.C. Soteriou and Ghoniem A.F. Effects of free-stream density ratio on free andforced spatially developing shear layers. Physics of Fluids, 7 :2036–2051, 1995. 27,28, 29

[117] A. Soudani, S. Bougoul, and L. Harion. Etude de l’influence des surchauffes appli-quées en mesures simultanées par thermo-anémométrie à fil et film chauds dans unmélange air/hélium. Rev. Energ. Ren., pages 75–92, 2002. 46

[118] B.W. Spencer. Stastical investigation of turbulent velocity and pressure fields in atwo-stream mixing layer. Ph.D. Thesis. University of Illinois, 1970. 18, 142

[119] F.R. Stengle and H.J. Rath. Influence of free convection on the heat transfer fromhot-wire probes. Warme- und Stoffübertragung, 29 :299–307, 1994. 106

[120] K.A. Thole and D.G. Bogard. Simultaneous temperature and velocity measure-ments. Measurements Science and Technology, 5 :435–439, 1994. 46

[121] S.A. Thorpe. A method of producing a shear flow in a stratified fluid. Journal ofFluid Mechanics, 32 :693–704, 1968. 12

[122] S.A. Thorpe. Experiments on instability and turbulence in a stratified shear flow :miscible fluids. Journal of Fluid Mechanics, 46 :299–319, 1971. 29

[123] A.A. Towsend. The structure of turbulent shear flow. Cambridge University, 1956.15


[124] I.K. Tsanis. Calibration of hot-wire anemometers at very low velocities. DANTECInformation, 4 :13–14, 1987. 49

[125] A. Van Dijk and F.T.M. Nieuwstadt. The calibration of (multi-) hot wire probes.1. temperature calibration. Experiments in Fluids, 36 :540–549, 2004a. 51

[126] A. Van Dijk and F.T.M. Nieuwstadt. The calibration of (multi-) hot wire probes.2. velocity calibration. Experiments in Fluids, 36 :550–564, 2004b. 51

[127] J. Vanormelingen and E. Van den Bulck. Scalar transport in plane mixing layers.Heat and Mass transfer, 35 :383–390, 1999. 23

[128] E. Verollet. Contribution aux méthodes de mesure de turbulence, de vitesse etde température par l’anémomètre à fil chaud. Thèse de Doctorat, Université deMarseille, 1962. 39

[129] P.L. Viollet. Turbulent mixing in a two-layer stratified shear flow. 2nd InternationalSymposium on Stratified Flows, pages 315–325, 1980. 30

[130] P.L. Viollet. Mécanique des fluides à masse volumique variable. Presses de l’écolenationale des Ponts et Chaussées, 1997. ix, 30, 31

[131] D.A. Walker and W.F. Ng. Experimental comparison of two hot wire techniques insupersonic flow. AIAA Journal, 27 :1074–1080, 1989. 39, 72

[132] J.M. Wallace, H. Eckelmann, and R.S. Brodkey. The wall region in turbulent shearflow. Journal of Fluid Mechanics, 54 :39–48, 1972. 199

[133] J. Weiss, H. Knauss, and S. Wagner. Experimental determination of the free-streamdisturbance field in a short-duration supersonic wind tunnel. Experiments in Fluids,35 :291–302, 2003. x, 37, 40, 44

[134] C. D. Winant and F. K. Browand. Vortex pairing : the mechanism of turbulentmixing-layer growth at moderate reynolds number. Journal of Fluid Mechanics,63 :237–255, 1974. 20

[135] J. Wyngaard. Spatial resolution of a resistance wire temperature sensor. Physics offluids, 14 :2052–2054, 1971. 67

[136] A.J. Yule. Two-dimensional self-preserving turbulent mixing layers at different free-stream velocity ratios. ARC R M 3686, 1971. 18, 133, 142

[137] A.J. Yule. Spreading of turbulent mixing layers. AIAA Journal, 10 :686–687, 1971.133, 183

Annexe A

Articles de congrès

Une partie de ce travail a été acceptée pour une présentation orale et publiée dans lesactes des congrès suivants :

8th International Symposium on Experimental and Computational Aerother-modynamics of Internal Flows Lyon, Juillet 2007Session : Measurement techniques,

18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, Août 2007Sessions : Turbulence, dispersion turbulente.

18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, Août 2007colloque : Techniques expérimentales avancées

224 Annexe A. Articles de congrès

Proceedings of the 8th International Symposium on Experimental and Computational Aerothermodynamics of Internal Flows Lyon, July 2007

Paper reference: ISAIF8-00122

Parameterizable Constant Temperature Anemometer for simultaneous velocity and temperature measurements in turbulent flows

1,2

Shuqing GUO: Associate Professor

http://www.lmfa.ec-lyon.fr/ISAIF8/

M.Ndoye , D.Heitz2, C.Fourment1, G.Arroyo2, J.Delville1 1Laboratoire d’Etudes Aérodynamiques, UMR CNRS 6609, Université de Poitiers, ENSMA

CEAT 43 route de l’Aérodrome F-86036 Poitiers, France 2Cemagref 17 avenue de Cucillé-CS 64427- 35044 Rennes Cedex, France

Abstract: A novel anemometer was designed and implemented for the simultaneous measurement of velocity and temperature in air flows with a single hot wire probe. The principle of periodically varying the overheat ratio of the wire was selected and applied through a parameterizable electronic chain. The specific methods developed for the calibration procedure and the signal processing are explained. The accuracy of the measurements has been assessed by means of Monte-Carlo simulations. Some examples of results are given for two types of turbulent non-isothermal flows, a coaxial heated jet and a low speed thermal mixing. The particular interest of the synchro-nism of the two measurements is emphasized

Keywords: Hot wire anemometry, velocity measurement, temperature measurement, synchronic measurement, heated turbulent flow, uncertainty analysis.

Introduction

The simultaneous measurement of temperature and velocity in unsteady turbulent flow configurations at a given location remains an open problem, particularly if a good frequency response range is required. This prob-lem, apart from its fundamental applications, is of im-portance in many industrial applications. Among the methods used in the literature to address this problem in unsteady flows, the constant Temperature Anemome-ter (CTA) can be used (Bruun [1], Perry [2]). From different runs corresponding to different selected over-heat ratios, one can access statistical quantities: mean, RMS, correlations and even spectra or cross-spectra. This method has been used to provide relevant com-parisons with data issued from numerical simulations based on Reynolds Averaged Navier Stokes methods

(RANS). However as far as instantaneous velocity / temperature distributions are concerned, this last ap-proach cannot be used: for example joint velocity tem-perature distributions cannot be obtained in this way. This point is crucial when unsteady situations have to be addressed, with a need to analyze the unstationnary behaviour of the flow through instantaneous velocity temperature distributions and cross-correlations (cou-pling unsteady simulations and experimental data, con-trol, etc.).

In this case, the most common way in hot wire anem-ometry is either the use of one or more hot wire probes operating in constant temperature mode associated with a cold wire operating in constant current mode or two hot wires with two different overheat ratios placed close to each other. But this method used among others by Blair and Bennett [3], Lienhard and Helland [4,],

Nomenclature Greek letters U Velocity

T Temperature Residue ε N Number of overheat levels τ Duration of an overheat sequence O

Subscripts N Number of overheat sequences se PCTA output voltage i overheat sequence f Calibration model k overheat level M Squared output voltage measurement a, b, n Calibration coefficients Tw Wire temperature

2 Proceedings of the 8th International Symposium on Experimental and Computational Aerothermodynamics of Internal Flows

Vukoslavcevic and Wallace [5], Bremhost and Graham [6] lacks of spatial resolution and the wires interference is not easy to overcome.

To address this problem, a special thermo-anemometer has been designed. The main character of this novel approach is to make the overheat ratio of the wire con-tinuously change with a frequency f=1/τ. If the period τ is small enough compared to the observed phenome-non time scale, temperature and velocity can be ob-tained at the same time from the same unique sensor, giving access to joint velocity-temperature probability distributions and velocity-temperature correlation. This thermo-anemometer, in which the overheat ratio can be changed in real time, is hereafter called PCTA (Parame-terizable Constant Temperature Anemometer).

The method and device are based on the constant hot wire anemometry technique and apply the multiple overheat principle using a single constant temperature hot wire probe operated sequentially at different over-heat ratios. The multiple overheat principle has already been used by Corrsin [7]. Associated with a least-squares curve-fitting method such as the fluctuation diagram method, it provides second order velocity temperature moments but does not permit simultaneous measurements as it has been shown by Kovasznay [8] and Walker [9] for supersonic flows, and Saez [10] for the study of mixed convection. In opposition to this standard multiple overheat method or to multi-sensors method, the PCTA method developed here gives access to instantaneous velocity and temperature fields with a single wire, which enables the construction of the joint velocity temperature density probability function at a precise space location. If operated with a sufficiently thin wire probe, the PCTA can deliver measurements with a time resolution up to 3 kHz.

A specific electronic system has been designed to rapidly vary the wire overheat (and thus the wire tem-perature) with a controlled sequence repeated at a con-stant frequency. A signal processing method has been developed to extract the instantaneous velocity and temperature magnitudes for each sequence. The design and principle of the PCTA are presented. A dynamical calibration procedure is described and a Monte-Carlo analysis method is proposed to assess the accuracy of the measurements.

Finally the implementation of the PCTA is presented on two experimental setup designed to study two dif-ferent turbulent shear flows. The first one is a coaxial heated jet flows configuration, and the second one is a plane mixing layer with a temperature gradient associ-ated with the velocity local shear.

Design and principle of the PCTA

The PCTA thermo-anemometer presented here con-sisted in a 2.5 μm diameter and 1.2 mm length Pt-

tungsten wire connected to an anemometer whose schematic circuit diagram is shown on figure 1.

Fig 1: Scheme of the PCTA anemometer electronic circuit. This anemometer card named “ETEP-323C” is devel-oped by “Laboratoire d’Etudes Aérodynamiques” in Poitiers / France and the fabrication is contracted out to the ETEP.company in France. In this device, to vary the overheat ratio, defined as the ratio of the operating wire resistance to the wire resistance at 20°C, the output voltage of the resistance R’ is controlled by an 8 bit analog-to-digital converter (ADC) whose setting is coded between 0 and 255. The anemometer is entirely configurable through a user interface under computer control. The different levels of overheat ratio, dynamic response of the probe or measurement of the wire resis-tance and the wire overheat ratio are set together with the multiple overheat sequence pattern and the time period between successive sequences. So the wire can be submitted to sequences of 2 to 8 overheats, and each cycle constitutes a pattern that can be repeated every 100 to 1000 micro-second, according to the wire di-ameter and flow velocity. Then a theoretical bandwidth up to several kHz can be obtained. A typical plot of the output voltage signal from the anemometer is illustrated on figure 2.

Fig 2:Ttypical output voltage response of the PCTA for se-

quences of eight overheat levels.

We have chosen, for each sequence, to decrease the wire overheat step by step until the minimum level required was reached. The output voltage between two overheat switches, corresponding to what we call a overheat step comprises a non-processable transitional period corresponding to the instantaneous response of the wire to the overheat switch, and an active period during which the overheat is actually applied with the PCTA operating in constant temperature mode. Ideally,

Malick NDOYE et al. Parameterizable Constant Temperature Anemometer for simultaneous velocity and temperature meas. 3

the voltage output should look like a plateau during that active period, but we assessed that a good repeat-ability of a non horizontal pattern is sufficient to extract accurate values of velocity and temperature over each sequence. Inside the repeated sequence, the duration of the overheat steps can be chosen identical for all the overheat levels or variable from one to another.

Calibration procedure and signal processing

Governing equation Various expressions of the voltage response of a hot wire placed in non-isothermal flows have been used in [ 1], [ 2], [5]. There are generally derived from the en-ergy equation of the wire. When the PCTA principle is used, the cooling equation of the wire, which relates the output voltage of the anemometer to the unknown velocity and temperature, is non linear. In this study we have tested the following response equations:

f ( )( )TTUbae wn −+=2

∑=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−=

4

1i

i

wi TT

eU α

where e is the measured voltage, U and T are the un-known velocity and temperature in the air flow. The other quantities, say the wire temperature Tw, the coef-ficients a, b, (or αi), and the exponent n are to be de-termined experimentally through a calibration process. It has to be noticed that, due to the multiple overheat principle, those coefficients are in fact vectors the components of which are their scalar values for each overheat level. Once these vectors have been determined through the calibration process, the velocity and temperature of the flow can be deduced, for each individual multiple overheat sequence, from the sequence of output volt-ages obtained. The Levenberg-Marquardt iterative method for non linear equations resolution has been used to carry out that calibration strategy. Calibration strategy Wishing to have a total calibration time less than five minutes, we chose to calibrate the probe in a non sta-tionary process by working on continuously varying velocity and temperature conditions in order to deter-mine in a single calibration run all the sensitivities of the measurement system to velocity and temperature. To do so, we varied permanently the velocity and tem-perature of the flow as fast as possible, remaining in-side the range of the reference probes time constants. To separate the influences of temperature variation and velocity fluctuation, the flow velocity was varied in a

sawtooth mode, while the flow temperature was con-tinuously decreased with a lower change rate by acting on the thermal inertia of the calibration circuit. An ex-ample of the time variations imposed to the velocity and temperature during the calibration is given on fig-ures 3 and 4.

Fig 3: Example of time variations imposed to the velocity during the calibration

Fig.4: Example of time variations imposed to the temperature

during the calibration.

Experimental procedure and calibration facilities The calibration procedure was based on simultaneous measurements of the velocity and temperature of a uni-form flow by two reference probes and the device un-der calibration, namely a Pitot dynamic pressure probe, a high frequency thermocouple, and the PCTA meas-urement chain. For the coaxial jet setup, where velocities were greater than 3m/s, the calibration could be achieved “in situ” by placing the three probes in the potential part of the central jet. For measurements in the second experimental setup, where at least one side of the plane mixing layer had low velocities, direct Pitot measurements were no longer suitable for the reference velocity measurement. The calibration was performed in a small semi closed-loop wind tunnel specially designed for this purpose (figure 5). The test section of 0.5m long and 142mm *


Signal processing 142 mm of cross section was supplied with a flow with an uniform inlet profile generated by a contraction cone and an adjustable velocity ranging from 0.5 m/s to 5.5 m/s. The temperature change was controlled through an adjustable heater located upstream from the test sec-tion. A second profiled contraction cone was adapted at the downstream end of the test section to multiply the velocity by 9 at its outlet. The PCTA and the thermo-couple were placed in the upstream part of the test sec-tion, while the Pitot tube was placed at the exit cross section of the downstream cone. The reference velocity in the test section was then simply retrieved by apply-ing the mass conservation principle as previously re-ferred by Bradshaw [11]. The exact linear relation be-tween the Pitot measurements and the actual velocity at the PCTA probe location was adjusted using PIV veloc-ity measurements in the test section.

In the following, we shall restrict to the extended King’s equation

f ( )( )TTUbae wn −+=2 (1)

to relate the output voltage to the unknown values of T and U in the flow. That relation has given the best re-sults in the velocity and temperature range in which the experiments described hereafter have remained. The polynomial law

∑=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−=

4

1i

i

wi TT

eU α

has given equivalent results in those conditions. How-ever, for very low velocities (under 1 m/s) it should be preferred if it proves, as expected, more efficient. For even lower velocities than those involved in our

experiments, and in sight of further studies, another calibration facility is under development. In this instal-lation the PCTA probe is moved linearly with back-and-forth motion along a 1.5 m long test section, in a flow of fixed velocity and variable temperature. The well-known principle of a moving probe calibration is applied in a new way by implementing it in a moving fluid so as to minimize the mixed convection interac-tions around the sensor at very low velocities and to suppress the disturbances due to the probe wake in the back-and-forth motion. The reference velocity can be determined from the difference between the accurately measured probe displacement velocity and the moni-tored fluid velocity in the calibration test section. The technical principle adopted will allow very short cali-bration times. It will also enable yaw angle calibrations for measurements of directional velocities with multi-ple wire probes. It will furthermore be applicable for CTA probes calibration at very low velocities, for which the velocity measurement accuracy is strongly affected by temperature variations in the flow.

Inside each overheat sequence, the output voltage de-livers a stairway pattern that translates into consecutive levels the step-by-step variation of the wire tempera-ture T (figure 2). w

Let the number of overheat levels in each sequence be No. No remains constant during a calibration and meas-urement experiment. The total number of sequences in a run is noted Ns. We affect a first subscript i to the current sequence (i = 1, Ns) and a second subscript k to the overheat levels applied (k=1, No) For each overheat level, the measured voltage is sup-posed to be related to velocity and temperature in the air by the equation

( )( )ikwnikkki TTUbae k −+= ,

2, (2)

500 mm 250 mm

SCREEN HONEYCOMB

AIR FLOW HEATING UNIT

BLOWER SCREENS

AIR FLOW COOLING UNIT

1071 mm

146 mm

200

mm

270 mm500 mm

1.42 mm

PCTA SENSORTHERMOCOUPLE

PITOT TUBECONTRACTION

CONE

RECIRCULATION

Fig 5:Calibration apparatus


The second subscript k is not assigned to U

i and Ti,, a basic hypothesis of the method being that the fluctua-tions of U

Once the calibration coefficients are determined, we use a similar procedure to calculate the velocity and temperature Ui and Ti inside each sequence can be ne-

glected in order to be able to extract a unique couple (Ui,Ti) through the processing of the No voltage values ei,k in the ith sequence. The consequence of that hy-pothesis is that velocity and temperature fluctuations of frequencies higher than 1/τ will be filtered. The coeffi-cients a, b, the exponent n and the wire temperature Tw are only assigned the index k, considering that the elec-tronic system is able to maintain over the sequences a bijective relation between the couple (Ui,Ti) and the voltage ei,k for each overheat level. For each overheat ratio k, we look for the vector of parameters Ak=( ak, bk, nk, Tw,k) that fits the best the calibration model predictions fi,k to the measured data Mi,k by minimizing, through a Levenberg-Marquardt process, the squared difference between both quantities over the whole set of Ns sequences:

([ ]2

1,, ,,∑

=

−=sN

ikiikikik ATUfMε ) (3)

where:

( )( ikwnikkkiiki TTUbaATUf k −+= ,, ),,( ) is the

model and is the vector of measured PCTA output squared voltage for the selected overheat.

2,, kiki eM =

The minimization is obtained by differentiating this error with respect to each of the unknown parameters ak, bk, nk, Tw,k and setting the resulting expression to zero. That yields a set of Ns non linear equations. The solution seeking is iterative and starts with an initial guess that we settle as follows: Firstly we neglect the dependence of the calibration coefficients on the flow temperature and determine the vector Ak0=( ak0, bk0, nk0) solution of the corresponding problem:

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=

=

+=

∑=

01

0,,

2,,

0000,

,

),( 0

ki

Ns

ikikik

kiki

nikkkiki

AUfM

eM

UbaAUf k

ε

Then the vector Ak,0=( ak0, bk0, nk0) is held constant, and we determine by linear regression on Mi,k/fi,k0 the initial guess for the wire temperature: Tw,k0. Those provisional values ak0, bk0, nk0 and Tw,k0 are taken as the initial guess of the Levenberg-Marquardt optimi-zation process (3) and the calibration coefficients seek-ing can be achieved.

i and Ti for an overheat sequence. To give a readable representation of the optimization process involved, we state that the voltage output level εi,k, extracted from each overheat “plateau” inside the ith sequence of k overheat levels, yields an infinity of (Ui,Ti) solutions located on a single continuous curve U=f(T). Then the optimization process is equivalent to the seeking process aimed at retrieving, in a (U,T) plane space, the point (Ui,Ti) that minimizes an average distance to the k curves given by the whole set of over-heat levels. Figure 6 gives such a graphical representa-tion.

Fig 6: Representation of the eight solution curves that cross

in a restricted region in the (U,T) plane.

We chose to achieve analytically the optimization proc-ess with the Levenberg-Marquardt method by minimiz-ing the sum of the No errors for the ith selected se-quence:

( )[ ]2

1,,

0

,,∑=

−=N

kkiikikii ATUfMε

where Ui an Ti are the variables to estimate and the calibration vector Ak=( a k, bk, nk, Tw,k) is known. Figure 7 gives a graphical representation of the 3-dimensional surface in which εi moves toward its minimal value to give optimized values for Ui and Ti. Such a representa-tion gives an idea of the solution approaching zone. Provided the convergence criterion is chosen properly and the initial guess is reasonably close to the final solution, what can generally be achieved by selecting (Ui,Ti) equal to the solution for the previous sequence treated, the Levenberg-Marquardt method gives very good (Ui,Ti) measurement results in the general case where the crossing points of the k solution curves are correctly gathered in the (U,T) space (figure 6).


Fig 7: Representation of the surface and minimum value of the residue εi in the optimization process yielding a (U,T)

solution for each multiple-overheat sequence.

Fig 9: PDF of the difference between reference and measured temperatures during the calibration

Since the velocity and temperature measured with the PCTA are determined from the output voltage through a non linear model, we used a Monte Carlo simulation as described in the GUM [12] to evaluate the uncer-tainty of the PCTA velocity and temperature measure-ment.

Verification of the signal processing technique The signal analysis technique has been verified by processing the PCTA signals acquired during the cali-bration experiment with this iterative approach and comparing the results (the calculated velocity and tem-perature) to the instantaneous velocities and tempera-ture of the flow in the calibration test section, as meas-ured by the reference probes, say the Pitot tube probe and the reference thermocouple. Probability density functions (PDFs) of the errors are represented on figure 8 and figure 9. They show errors less than 0.3 m/s and 0.4°C for a velocity range [5m/s : 45m/s] and a tem-perature range [25°C: 35°C] , thereby indicating a good agreement between the calculated and the reference velocities and temperatures within this range.

First we determined the uncertainty on the calibration coefficients for each overheat level considering the standard uncertainties associated with the following input quantities: the reference velocity values, the ref-erence temperature values, the PCTA voltage output and the fitting model described by equation (2). Next we determined the uncertainty on the PCTA ve-locity and temperature measurements considering the uncertainty associated with the calibration coefficients, the PCTA voltage measurement and the fitting model. Figure 10 and figure 11 show an example of Gaussian PDF built up with the values obtained by Monte-Carlo simulations of the velocity and temperature at one lo-cation in the co-axial jet mixing layer. Each PDF is centred on the mean value for all the Monte-Carlo runs (typically 1000) and the standard uncertainty is taken equal to the standard deviation over those runs.

Fig 8: PDF of the difference between reference and measured

velocities during the calibration

Uncertainty evaluation by a Monte Carlo method

Fig 10: Dispersion of generated values of U. The uncertainty is taken equal to the standard deviation. The upper x-axis is

graduated in standard deviation. An important stage in the design of our calibration pro-cedure and apparatus was the evaluation and minimiza-tion of the resulting measurement uncertainty.


The x axis being the axis of symmetry and the direction of the inlet velocities, the PCTA was used to scan the flow in the transversal direction y, in a vertical (x,y) plane, at several positions along x. The scan covered only the bottom part of the flow, below the axis of symmetry, with a focus on the mixing region corre-sponding to the lower edge of the central jet.

The common origin of the x and y axis is located at the trailing edge of the wall separating the two jets, i.e. at the physical origin of the lower mixing layer between the two jets.

Fig 11: Dispersion of generated values of T. The uncertainty is taken equal to the standard deviation. The upperx-axis is

graduated in standard deviation. Figure 13 and figure 14 give the U and T curves at dif-ferent x locations. The PCTA could retrieve accurately the mixing layer profiles with an evidence of the devia-tion of the mixing layer axis from the horizontal x axis. The shapes of the profiles and the non-dimensional magnitudes appear to be in accordance with previous measurements in comparable mixing layers [13].

Experimental study

The PCTA method was used for the characterization of two types of turbulent non-isothermal flows: a coaxial heated jet and a low speed thermal mixing. In both flows, the local shear generated by two adjacent paral-lel flows at different velocities was associated to a tem-perature gradient between the two flows.

The PCTA could also retrieve typical rms patterns for U and T, as shown in figure 15 and figure 16.

PCTA measurements in a coaxial aniso-thermal jet

Experimental setup Figure 12 shows the axisymmetric coaxial jets flow configuration. For the inner and outer jets, the external diameters were respectively Di = 100 mm and De = 400 mm. Each of them had separately adjustable flow rate and the inner jet was heated electrically.

Fig 13: Mean velocity profiles in the mixing layer of the co-axial jets In the experiment described here, the inlet conditions

were, for the inner jet U = 42 m/s and Ta a = 33 °C, and for the outer jet U

b = 7 m/s and Tb = 25 °C.

Ub,Tb

Ua,Ta

Ub,Tb

Y X

Z

1.50 m

0.24 m 0.40 m

Ub,Tb

Ua,Ta

Ub,Tb

Y X

Z

1.50 m

0.24 m 0.40 m

Fig 14: Mean temperature profiles in the mixing layer of the

coaxial jets

Fig 12: Flow configuration for the coaxial heated jet.

Results The PCTA was used with a setting of eight overheat levels by sequence, the diameter of the hot wire being 2,5 µm.


From the combination of the two separated output, the temporal correlations and joint probabilities could be calculated at all the locations and times where the measurement was made with sufficient frequency and timespan. Figure 18 shows an example of velocity-temperature joint probability at one position in the highly turbulent region of the mixing layer.

Fig 15:Ffluctuations of U (Urms) in the mixing layer of the

coaxial jets

Fig 18: Velocity-temperature joint probability in the mixing

layer of the coaxial jet.

PCTA measurements in a plane anisother-mal mixing layer

Fig 16 Fluctuations of T (Trms) in the mixing layer of the coaxial jets

Beyond the ability of the PCTA to retrieve the charac-teristic magnitudes of the velocity and temperature mixing layers, the main advantage of the PCTA, as compared to classical hot wire probes used for constant temperature anemometry (CTA) or constant current anemometry (CCA), is to capture simultaneously the instantaneous velocity and temperature at the same point with a relatively high frequency.

Experimental setup Figure 19 shows the flow configuration for the low speed turbulent anisothermal mixing layer. Two parallel streams of different velocities and temperatures, gener-ated through separated settling chambers and contrac-tion cones, merge and initiate a mixing process behind the thin horizontal trailing edge of a 2m long and taper-ing separating plate. The mixing is induced by the combination of the turbulent mixing due to the local shear between the two streams and of the natural con-vection between the upper and lower flows at different temperatures. Due to the relatively low level of the two velocities, natural convection cannot be neglected. The 3m long test section has a cross section of 1m *1m. The origin of the coordinate system is at the centre of the width of the trailing edge of the separating plate. The x axis is the longitudinal streamwise direction, the y axis is the upward transversal direction and the z axis is the spanwise direction of the mixing layer.

Figure 17 gives an example of synchronous velocity temperature obtained from the same wire at the same point.

The bulk velocities of the lower flow (U1) and upper flow (U

2) were varied separately in the range [1m/s, 5 m/s]. The temperatures T1 (lower flow) and T2 (upper flow) were varied in the range [10°C, 30°C]. The measurements were carried out to analyze the recipro-cal influences of the velocity and temperature gradients in the mixing process. The magnitudes of the inlet ve-locity and temperature gradients were selected in order to vary significantly the Richardson number, which measures the ratio between buoyancy and inertial forces, and the coefficient λ=(U

Fig 17: U and T simultaneous output from the PCTA in the

mixing layer of the coaxial jets. 1-U2)/(U1+U ) that 2


classically determines the expansion rate of the mixing layer in isothermal conditions. The vertical distribu-tions of instantaneous velocity and temperature were measured at different streamwise locations to deter-mine the local mixing conditions and to give a more global approach based on the streamwise expansion rates of the dynamical and thermal mixing layers.

Y X

Z

U2,T2

U1,T1

Y X

Z 1.00

m

1.00 mSplitter plate2.00 m

Y X

Z

U2,T2

U1,T1

Y X

Z 1.00

m

1.00 mSplitter plate2.00 m

Fig 21: Mean velocity profiles in the mixing layer

Fig 19:Flow configuration for the non isothermal plane mix-

ing layer Measurements were carried out with the PCTA system that had been set with a reduced number of overheat levels. In the results presented here, only three overheat levels are used to separate the U and T informations inside the sequences. That reduction enabled a higher frequency response of the probe through a reduction of the sequence duration, down to 1 ms (see figure 20). An uncertainty analysis showed that, provided the overheat ratio range was wide enough and the lowest overheat ratio small enough (typically 1.2), the accu-racy of the U and T measurement could be maintained at a high level despite that overheat number reduction.

Fig 22: Mean temperature profiles in the mixing layer

Fig 23: Fluctuations of U (U ) in the mixing layer rms

Fig 20: Typical output voltage response of the PCTA for se-

quences of three overheat levels.

Results Only a set of examples of PCTA measurement results are given here. Figures 21 to 24 show examples of the U and T profiles simultaneously measured by the PCTA at a set of streamwise x positions.

Fig 24: Fluctuations of T (T ) in the mixing layer rms

From these profiles, the expansion of the vorticity thickness (for U) and of the thermal layer (for T) could be compared (figure 25).


Fig. 25 : Comparison of the expansions of the vorticity thick-ness δω and the thermal layer thickness δT along the stream-

wise direction for the plane mixing layer.

The PCTA was in particular used to measure the mean and fluctuating values of U and T in the boundary lay-ers on both sides of the trailing edge of the separating plate. Figure 26 gives an example of a profile of ther-mal turbulence intensity T’/T at the origin of the mix-ing layer.

Fig. 26 : Thermal turbulence intensity T’/T at the origin of

the mixing layer, showing the turbulence peaks generated by the boundary layers developed on both sides of the separat-

ing plate.

Due to the synchronism of the measurements of U and T at the same point, the PCTA enables, in such a flow configuration, a comprehensive approach of the recip-rocal influences of velocity and temperature gradients and turbulent behaviours, with a direct access, in addi-tion to the mean and fluctuating local values, to cross correlations and joint PDFs.

Conclusion

The novel PCTA anemometer enables the simultaneous measurement of velocity and temperature at a single probe location with a relatively high frequency. Its principle remains reliable for measurements in turbu-lent air flows at low speed with temperature variation in space and time, unlike the Constant Temperature Anemometer (CTA) which suffers accuracy losses in that case. The synchronism of the measurement of U and T allows studies on the cross correlations and joint probabilities in flows where the interactions between

momentum and thermal mixing are to be investigated.

Acknowledgement The financial support by the Region Bretagne of

France under grant n°A3C905, the PPRIMME founda-tion of University of Poitiers, and by the French Minis-try of Research under grant n°032670 (project NMAC2003-24 FOEHN) are gratefully acknowledged.

The authors also acknowledge Eva Dorignac (“La-boratoire d’Etudes Thermiques”, Poitiers / France) and Jean Marc Mougenot (“Centre d’Etudes Aérodynami-ques et Thermiques, Poitiers / France) for their helpful discussions and comments

References [1] Bruun H.H.: Hot-wire anemometry, principles and

signal analysis. Oxford Science Publications. (1995) [2] Perry A.E.: Hot-wire anemometry. Oxford Science

Publications. (1982) [3] Blair and Bennett: Hot-wire meas. of velocity and

temperature fluctuations in a heated turbulent boundary layer. J.Phys. E:Sci.Instrum. 20, pp 209-216 (1987)

[4] Lienhard V and Helland: An experimental analysis of fluctuating temperature meas. using hot-wires at differ-ent overheats. Exp. In Fluids 7, pp 265-270 (1989)

[5] Vukoslavcevic and Wallace: The simultaneous meas-urement of velocity and temperature in heated turbulent air flow using thermal anemometry. Meas.Sci.Technol 13 pp 1615-1624 (2002)

[6] Bremhost and Graham. A fully compensated hot / cld wire anemometer system for unsteady flow velocity and temperature measurements. Meas. Sci. Technol., 1, pp 425-430 (1990)

[7] Corrsin.: Extended applications of the hot-wire ane-mometer. Rev. Sci. Instr., 18, pp 469-471(1947)

[8] Kovasznay, L.S.G. The hot-wire anemometer in su-personic flows. J.Aero.Sci.,17, pp 565-572 (1950)

[9] Walker, Ng and Walker.: Experimental comparison of two hot-wire techniques in supersonic flowAIAA Jour-nal. .27,, pp 1074-1080 (1990)

[10] Saez, M.: Contribution à l’étude expérimentale de la convection mixte. Phd thesis Université J.Fourier-Grenoble 1 (1998)

[11] Bradshaw: An introduction to turbulence and its measurement. Pergamon Press, Oxford. (1971)

[12] GUM, 2004 . Guide to the expression of Uncertainty in Measurement. Supplement 1. Numerical Methods for the Propagation of distributions. Draft (2004)

[13] Brown and Roshko: On density effects and large structure in turbulent mixing layers. J.Fluid Mech. 64, part4, pp 775-816 (1974)

18èmeCongrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007

Etude expérimentale d’une couche de mélange anisotherme

M.Ndoye1,2, E.Dorignac3, J.Carlier1, G.Arroyo1, J.Delville2 & D.Heitz 1

1 Cemagref, Unité Technologie des Equipements Agroalimentaires, 17 avenue Cucillé F-35044 Rennes, France2 Laboratoire d’Etudes Aérodynamiques UMR CNRS 6609 Université de Poitiers, ENSMA

CEAT 43 route de l’Aérodrome F-86036 Poitiers, France3 Laboratoire d’Etudes Thermiques UMR CNRS 6608 Université de Poitiers, ENSMA

[email protected]

Résumé :

Une couche de mélange anisotherme plane est étudiée dans différentes configurations de gradients forcés de vi-tesse et de température. L’écoulement est mis en oeuvre dans une soufflerie spécialement conçue pour générer desécoulements à basse vitesse avec génération séparée de deux courants à vitesses et températures contrôlées sépa-rément. L’étude utilise une nouvelle technique d’anémométrie par fil chaud à surchauffe programmable dénomméePCTA. Le capteur permet de mesurer simultanément la vitesse et la température à haute fréquence en un mêmepoint. Les profils transversaux de vitesse et de température mesurés le long de la direction principale d’écoulementdonnent accès aux paramètres d’expansion de la couche de mélange. Les expansions de l’épaisseur de vorticité etde l’épaisseur de mélange thermique sont comparées, en fonction du paramètreλ de cisaillement dynamique et dunombre de Richardson. L’utilisation de l’anémomètre PCTA ouvre des perspectives d’analyse fine des interactionsvitesse-température dans le mélange turbulent.

Abstract :

A non-isothermal plane mixing-layer has been studied in several conditions as regard the velocity and temperaturegradients imposed as inlet conditions. The flow was generated in a wind-tunnel specifically designed to study themixing of low velocity parallel streams adjusted separately in velocity and temperature. A novel technique, basedon a Parameterizable Constant Temperature Anemometer (PCTA), was used to measure simultaneously the velocityand the temperature at a single point at high frequencies. The transverse profiles obtained at different positionsalong the streamwise direction giving access to the expansion parameters of the mixing-layer, the expansion ratesof the vorticity thickness and thermal mixing thickness were compared in relation with the coefficientλ, relatedto the shear stress, and the Richardson number. The ability of the PCTA to deliver simultaneous measurements athigh frequency will enable, in future works, a finer analysis of velocity-temperature interactions in the turbulentmixing process.

Mots-clefs :

Turbulence ; thermoanémométrie ; surchauffe multiple

1 Introduction

L’étude des couches de mélange anisothermes est menée conjointement par nos labora-toires en vue d’améliorer la maîtrise des confinements thermiques par la réduction du mélangedans les situations aérauliques de type écoulements turbulents cisaillés. Les applications prin-cipales se situent dans les rideaux d’air et dans les soufflages ultra-propres et froids mis oeuvredans l’industrie alimentaire et la grande distribution. Les résultats présentés ici portent sur unecouche de mélange horizontale générée par la rencontre de deux flux parallèles à des vitesseset des températures différentes. L’écoulement a été généré dans la soufflerie à basses vitessesdu Cemagref de Rennes. Les données analysées sont issues d’un anémomètre de type nouveau,appelé PCTA, qui mesure simultanément la vitesse et la température à haute fréquence en un

1


FIG. 1 – Allure de la réponse de l’anémomètre PCTA pour un réglage de motif à 8 surchauffes.

point, en appliquant une nouvelle technique d’anémométrie à fil chaud (surchauffes multiplesprogrammables). Après une présentation de la soufflerie et des configurations d’écoulements,les profils de vitesses et températures et les RMS associées sont présentés. L’analyse des in-fluences croisées des gradients de vitesse et de température est menée à partir des différentsparamètres d’expansion de la couche de mélange.

2 Méthode expérimentale

Cette étude expérimentale est basée sur l’utilisation d’un nouvel anémomètre mis au pointdans nos laboratoires. Il s’agit d’un anémomètre basé sur le principe du fil chaud à surchauffesmutiles pour la mesure simultanée de la vitesse et de la température. Le principe développé aété dénomméPCTA pour Parametrizable Constant Temperature Anemometer (Anémomètre àTempérature constante à Surchauffe Programmable).

2.1 Principe de la surchauffe multiple

L’anémomètre PCTA met en oeuvre la technique classique de l’anémométrie à températureconstante décrite par Bruun (1993) et Perry (1982). En partant du fait que le fil chaud estprincipalement sensible à la vitesse pour des surchauffes élevées et à la température pour dessurchauffes faibles (fil froid), différents auteurs ont mis en oeuvre un principe de surchauffesmultiples pour mesurer à la fois la vitesse et la température dans les écoulements, soit avecplusieurs capteurs en parallèle, soit avec une succession de surchauffes différentes appliquées àun même capteur (Corrsin (1947) , Kovasznay (1950), Walker and al (1990), Saez (1998)).Ces auteurs ont ainsi eu accès à des moments jusqu’à l’ordre deux en vitesse et température,mais pas à la mesure simultanée vitesse-température à haute fréquence.

2.2 Principe de l’anémomètre PCTA

Le PCTA repose sur la mise au point d’une électronique spécifique capable de faire varierrapidement la surchauffe du fil chaud et de reproduire à fréquence constante un motif unitaire depaliers successifs de surchauffes. La figure 1 donne l’allure caractéristique d’un motif unitaire à8 surchauffes. Le nombre de paliers de surchauffe par motif peut varier de 2 à 8. La durée d’unmotif peut être réglée entre 100 et 1000 microsecondes.

Pour avoir accès à haute fréquence à la mesure simultanée de la vitesse et de la tempéra-ture en un même point, l’acquisition en volts est suivie d’un traitement de données qui permetd’extraire, pour chaque motif unitaire, une valeur de vitesse et une valeur de température. Avec

2


un fil suffisamment fin, la fréquence d’acquisition ainsi obtenue peut atteindre plusieurs kHtz.La performance du PCTA dépend étroitement de l’utilisation d’une méthode d’étalonnage ditedynamique dans laquelle le capteur mesure, sur un banc d’étalonnage spécifique, une vitessevariant de manière périodique et une température décroissante. Les principes de mesure, detraitement du signal et d’étalonnage sont décrits plus en détail dans Ndoye et al (2007) Seulesles grandes lignes en sont reprises ici. L’équation utilisée pour décrire la relation entre la ré-ponse en tension du fil et le couple (U,T) de vitesse et température dans le fluide peut êtrechoisie parmi plusieurs équations non linéaires décrites en particulier par Bruun [1]. La relationla plus opérationnelle pour le PCTA dans les conditions de la présente étude est :

e2 = (a + bUn)(Tf − T ) (1)

dans laquellee est la tension instantanée mesurée,U et T sont les inconnues, alors que la tem-pérature du filTf , les coefficientsa etb et l’exposantn sont des paramètres associés à un niveaude surchauffe. Une seule valeur de tension est extraite automatiquement pour chaque palier etdeux hypothèses fortes sont posées : 1. la répétabilité de l’application des surchauffes est telleque les paramètresa, b, n et Tf sont valables pour un niveau de surchauffe sur l’ensemble desmotifs et 2.U et T sont considérés constants sur un motif, ce qui revient à filtrer les variationsdeU etT à la fréquence de répétition des motifs.

La précision de la méthode PCTA a été évaluée en estimant successivement l’incertitudeliée à la technique de traitement du signal, à la procédure d’étalonnage en dynamique et auprocessus de mesure, suivant les recommandations du GUM (2004).

3 Dispositif experimental

Une couche de mélange est générée par une soufflerie équipée de deux circuits aérauliquesjuxtaposés fonctionnant en circuit ouvert (figure 2). Chaque circuit aéraulique est constituéd’un ventilateur de 7,5 kW équipé d’une batterie froide de 42 kW et d’un réchauffeur de 31kW. Les deux écoulements d’air aspirés séparément en (1) passent par un caisson de mise enpression, une chambre de conditionnement équipée d’écrans, puis un convergent. Toute cettepartie amont est divisée en deux veines séparées par une plaque isolante épaisse (2). A la sortiedu convergent, les deux courants se rencontrent au bord de fuite de la plaque séparatrice, dont lapartie finale est effilée. La couche de mélange ainsi générée se développe dans une veine d’essaide 1m2 de section carrée et de 3m de longueur. A l’aval de la veine d’essai, le flux mélangé estévacué par un divergent (3). La vitesse et la température des deux écoulements parallèles estréglée séparément dans la gamme[0, 5 : 5] m/s et[5 : 35] ˚C. A l’entrée de la veine d’essai, letaux de turbulence dans les deux écoulements parallèles est, avant mélange, inférieur à 1% pourla vitesse et de l’ordre de 1% pour la température.

Classiquement, le développement de la couche de mélange à partir de son origine physique(le bord de fuite de la plaque séparatrice) dépend de l’état des couches limites développées enamont de part et d’autre de la plaque séparatrice. Un dispositif de déclenchement de la turbu-lence sur les deux faces de la plaque a été testé et adopté pour obtenir, dans toutes les confi-gurations d’essai, des conditions comparables d’état de ces couches limites. La soufflerie peutpivoter autour de son axe pour changer l’orientation du plan central de la couche de mélange parrapport à la gravité, pour des études fines de la convexion mixte. Cette dernière fonctionnalitén’a pas été utilisée dans l’étude présentée ici.

3


a) b)

FIG. 2 – Soufflerie du Cemagref-Rennes pour l’étude des couches de mélange dynamiques et thermiquesà bases vitesses : a) : vue générale ; b) : détails.

4 Configurations étudiées

La figure 4 schématise l’écoulement de couche de mélange généré dans la veine d’essai enconfiguration de couche plane horizontale. Les deux écoulements ont, au bord de fuite de laplaque séparatrice des profils uniformes hors les couches limites développées sur la plaque etsur les parois hautes et basses de la soufflerie. Ces deux profils ont, hors couches limites, desconditions de vitesse et de température notées(U1, T1) pour la veine du bas et(U2, T2) pour laveine du haut. En raison des applications visées par cette étude, la température la plus basse atoujours été associée à la vitesse la plus forte.

a) b)

FIG. 3 – a) Visualisation de la couche de mélange par ensemencement de fuméedans la veine basse (U1 = 4m/s, U2 = 2m/s, T1 = 10˚, T2 = 35˚) ; b) Schéma de principe de

l’écoulement de couche de mélange étudié dans la veine d’essai de la soufflerie.

On désigne classiquement par configurationstableune configuration dans laquelle le gra-dient global de température(T2 − T1)/∆y est positif,∆y étant ici un terme générique pourdésigner l’épaisseur verticale de la couche de mélange thermique, désignée plus loin parδT ,l’épaisseur de la couche de mélange au sens de la vitesse étantδω, l’épaisseur de vorticité. Cecas correspond à un écoulement froid situé en dessous de l’écoulement chaud (T1 < T2). Al’inverse, on désigne par configurationinstableun écoulement dans lequelT1 > T2 (Viollet(1997)). Le paramètre conditionnant principalement l’expansion dynamique de la couche demélange en situation isotherme (T1 = T2) est le paramètreλ = (U1 − U2)/(U1 + U2) (Brownand Roshko (1974)). Pour étudier les influences respectives du gradient de vitesse(U2−U1)/δω

et du gradient de température(T2−T1)/δT sur les expansions de couche de mélange, nous avonsfait varierU1 etU2 en maintenant des couples(U1, U2) permettant des comparaissons basées surλ. Les configurations suivantes sont décrites et analysées dans la présente étude :

4


U1[m/s] U2[m/s] T1 [ ˚C] T2 [˚C] λ

config1 3.50 2.5 10 20 1/6 stableconfig2 3.5 2.5 10 35 1/6 stableconfig3 4.5 1.5 10 35 1/2 stableconfig4 3.5 2.5 35 10 1/6 instableconfig5 1.5 4.5 35 10 1/2 instable

TAB . 1 – Différentes configurations d’écoulements testées

a)

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

54.543.532.521.510.5

y/H

x/H

(U-U2)/(U1 − U2)

0.5

b)

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

54.543.532.521.510.5

y/H

x/H

(T-T1)/(T2 − T1)

0.5

FIG. 4 – Profils de la vitesse moyenne (a) et de la température moyenne (b) dans la couche de mélangepour la configuration config4

5 Résultats

Un exemple des profils de vitesses et de températures obtenues simultanément dans lacouche de mélange est représenté sur les figures 4 et 5. Les expansions de la zone de mélangethermique et de la zone de mélange dynamique sont analysées en fonction du paramètre de ci-saillement de la couche de mélange et de l’influence relative des effets thermiques (cf. figure 6).Nous définissons alors un nombre de Richardson global basé sur les gradients de vitesse et detempérature à l’entrée de la section d’essai défini par :

Ri = β g(T2 − T1)/lT

((U1 − U2)/lU)2 (2)

oùβ est le coefficient de dilatation défini par1/T , lT et lU sont des échelles de longueur carac-téristiques des gradients de vitesse et de température à l’entrée de la section d’essai calculées àpartir des épaisseurs de couches limites correspondantes. Comme on peut le voir sur la figure 6,les différentes expansions de la couches de mélange (dynamique et thermique) sont des fonc-tions croissantes du paramètre de cisaillementλ. Les configurations d’écoulement ditesstables,testées ici ayant des nombres de Richardson faibles, nous n’avons pas observé d’effet significa-tif de Ri sur l’expansion de la zone de mélange thermique. L’analyse des densités de probabilitésjointes vitesse-température devrait permettre de mieux cerner l’influence relative de la tempéra-ture dans le mélange scalaire-vitesse. Un exemple des pdf obtenues dans la couche de mélangeest représenté sur la figure 7.

6 Conclusion

L’anémomètre PCTA a permis de réaliser des acquisitions simultanées de vitesse et de tem-pérature au même point avec une fréquence élevée. De ces mesures ont été extraits des profils

5


a)

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

54.543.532.521.510.5

y/H

x/H

Urms/(U1 − U2)

0.1

b)

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

54.543.532.521.510.5

y/H

x/H

Trms/(T2 − T1)

0.1

FIG. 5 – Profils des fluctuations de vitesses (a) et des fluctuations de température (b) dans la couche demélange pour la config.4

a)0

50

100

150

200

250

300

0 500 1000 1500 2000

δ ω[m

m]

x [mm]

λ = 1/2

λ = 1/6

config2 : stable, Ri=4.24E-02config4 : instable, Ri=-3.4E-02

config1 : stable, Ri=1.56E-02config3 : stable, Ri=2.09E-03

config5 : instable, Ri=-4.43E-03

b)

0

50

100

150

200

250

300

0 500 1000 1500 2000

δ T[m

m]

x [mm]

λ = 1/2

λ = 1/2

λ = 1/6

λ = 1/6

config2config4config1config3config5

FIG. 6 – Expansions de l’épaisseur de vorticité (a) et de l’épaisseur de la zone de mélange thermique (b)suivant l’axe longitudinale de la couche de mélange

a)

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.0050.030.025

(U ‘/Urms

T‘/T rms

b)1e-06

1e-05

1e-04

0.001

0.01

0.1

1

-4 -2 0 2 4

P(X

)

X

X=U‘/U rmsX=T‘/T rms

FIG. 7 – Exemple de densités de probabilité obtenues dans la couche de mélange pour la config4 : (a)PDF jointes de la vitesse et de la température ; (b) PDF de la vitesse et de la température

6


de vitesse et de température conduisant à une analyse des paramètres d’expansion de la couchede mélange. Il apparaît que la combinaison du paramètreλ lié au cisaillement dynamique avecle nombre de Richardson global donne une première approche prometteuse pour explorer lespossibilités d’optimisation, en réduction ou en augmentation du mélange. La poursuite de cetteétude doit permettre, avec une approche basée sur le nombre de Richardson local et en utili-sant les corrélations vitesse-température restituées par le PCTA, d’affiner la compréhension desinteractions vitesse-température dans le mélange.

7 Remerciements

Nous souhaitons remercier pour leur soutien financier la Région Bretagne (France) alloca-tion nA3C905, la fondation PPRIMME de l’Université de Poitiers et le ministère français dela recherche allocation nr032670 (projet NMAC2003-24 FOEHN). Nous tenons également àremercier Carine Fourment ( Laboratoire d’Etudes Aérodynamiques de Poitiers) et Jean MarcMougenot (Centre d’Etudes Aérodynamiques et Thermiques de Poitiers, France) pour leur ap-pui sur le développement de l’anémomètre PCTA.

Références

Brown and Roshko. 1974 On density effects and large structure in turbulent mixing layers.J. Fluid Mech.64part4, 775-816

Bruun, H.H. 1995 hot wire anemometry, principles and signal analysis.Oxford Science Publications

Corrsin, S. 1947 Extended applications of the hot-wire anemometry flows.Rev.Sci.Instr.18469-471

GUM 2004 Guide to the expression of Uncertainty Measurement. Supplement 1. Numerical methods forthe Propagation of distributions.Draft (2004)

Kovasznay, L.S.G. 1950 The hot-wire anemometer in supersonic flows.J.Aero.Sci.17565-572

Ndoye, M. 2007 Parameterizable Constant Temperature Anemometer for simultaneous velocity and tem-perature measurements in turbulent flows.Proceeding of the8th International Symposium on Experi-mental and Computational Aerothermodynamics of Internal Flows. Lyon, July 2007.ISAIF8 -00122

Perry, A.E. 1995 hot wire anemometry.Oxford Science Publications

Saez, M. 1998 Contribution à l’étude expérimentale de la convection mixte.Phd thesis. Université Gre-noble 1.

Viollet, P.L. 1997 Mécanique des fluides à masse volumique variable.Presses de l’école nationale desponts et chaussées.

Walker, Ng and Walker. 1990 Experimental comparison of two hot-wire techniques in supersonic flow.AIAA Journal271074-1080

7


18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007

Développement de la thermo-anémométrie à basse vitesse

D. Heitz1, M. Ndoye1,2, P. Loisel1, C. Fourment2 & J. Delville2

1 : Cemagref, 17 av de Cucillé, CS64427, 35044 Rennes Cedex, France

2 : LEA - UMR CNRS 6604 - Université de Poitiers - ENSMA

Résumé :

Cette étude présente une méthode, un dispositif de mesure et un dispositif d’étalonnage permettant de donnerl’accès simultanément à la vitesse et à la température des écoulements d’air à basse vitesse (c-à-d < 3m/s), pourune bande passante pouvant dépasser 2kHz, à partir d’un seul élément sensible. Cette méthode est une variante etune amélioration de l’anémométrie à fil chaud.Cet anémomètre possède un mode de fonctionnement particulier, dynamique qui permet de modifier en permanenceet en temps réel le coefficient de surchauffe du fil. Un cycle de 2 à 8 surchauffes peuvent ainsi être affichéessuccessivement. Ce cycle peut être répété toutes les 100 à 1000 micro-secondes, conduisant à une bande passantethéorique pouvant atteindre quelques kHz. C’est sur ce mode de fonctionnement dynamique que l’étude a étédéveloppée. Elle permet de séparer l’information quasi-instantanée de Vitesse et Température contenue dans lessignaux délivrés par l’anémomètre.Pour étalonner le capteur en température et en vitesse, à basse vitesse, le principe développé dans cette étudeconsiste à déplacer la sonde sur un axe linéaire dans un écoulement à vitesse constante. La vitesse vue par le filsera alors la différence entre la vitesse de l’écoulement, et la vitesse de la sonde. De la même manière, l’étalonnageen température est réalisé en dynamique. Les mesures seront acquises à la volée et reconstruites a posteriori.Cette approche permet d’étalonner le capteur à basse vitesse, accélère les procédures d’étalonnage, autorisel’étalonnage des sondes directionnelles qui requiert des durées de calibration nettement plus longues, et enfinpermet de minimiser les incertitudes liées à l’étalonnage.Les performances du thermo-anémomètre sont présentées pour le cas d’un écoulement turbulent anisotherme.

Mots-clefs :

thermo-anémométrie, surchauffe multiple, basse vitesse

1


Annexe B

Régression non linéaire paralgorithme de Levenberg-Marquardt

L’algorithme de Levenberg-Marquardt permet d’obtenir une solution numérique auproblème de minimisation d’une fonction généralement non linéaire dépendant de plusieursparamètres. La description présentée ici est adaptée de l’ouvrage ??.

B.1 Minimisation

Soit f une fonction scalaire quelconque, dépendante de plusieurs variables réelles, c’està dire définie sur un espace affine x, où les coordonnées sont exprimées dans un systèmed’origine x0. Le développement de Taylor de f au voisinage de l’origine x0 s’écrit :

f(x) = f(x0) +∑i

∂f

∂xi(x0)xi+

12∑i,j

∂2f

∂xi∂xj(x0)xixj + ... , (B.1)

f(x)' c−b.x + 12x[H]x , (B.2)

où c ≡ f(x0), b = −∇f(x0), et Hij ≡∂2f

∂xi∂xj(x0) est appelée la matrice Hessienne ou

Hessien de f en x0.Lorsque l’approximation B.1 est exacte, on dit que f est une forme quadratique, son

gradient s’en déduit immédiatement :

∇f = [H]x−b . (B.3)

246 Annexe B. Algorithme de Levenberg-Marquardt

Ce gradient s’annulera (c’est à dire la forme atteindra un extremum) pour une valeur dex solution de : [H]x = b.

Si B.1 n’est seulement qu’une bonne approximation de f , on déduit facilement de B.3une formule directe pour converger d’un point initial x0 vers un minimum xmin :

xmin = x0− [H−1]∇f(x0) . (B.4)

B.2 Calcul du gradient et du HessienSoit un ensemble de N mesures yi(xi) que l’on souhaite ajuster par un modèle y(x,a)

dépendant du jeu de paramètres (a1,a2, ...,aM = a).La somme des carrés des déviations par rapport aux N mesures yi est :

χ2(a) =N∑i=1

yi−y(x,a)σi

2

. (B.5)

Le gradient de χ2 par rapport aux paramètres a, qui est nul au minimum de χ2, apour composantes :

∂χ2

∂ak=−2

N∑i=1

[yi−y(xi,a)

]σ2i

∂y(xi,a)∂ak

, (B.6)

où k = 1,2, ...,M .Le Hessien s’en déduit par dérivation partielle supplémentaire :

∂2χ2

∂ak∂al= 2

N∑i=1

1σ2i

∂y(xi,a)∂ak

∂y(xi,a)∂al

−[yi−y(xi,a)

]∂2y(xi,a)∂ak∂al

. (B.7)

Pour simplifier les notations, il est utile d’enlever le facteur 2 en posant :

βk =−12∂2y(xi,a)∂ak

(B.8)

βk =−12∂2y(xi,a)∂ak∂al

(B.9)

. Dans le contexte de l’ajustement par moindres carrés, la matrice [α] = 12 [H] est appelée

matrice de courbure.Avec ces notations et en posant δa = amin−a0, autrement dit δa est l’incrémentation

à réaliser sur le jeu de paramètres initial a0, la minimisation d’un χ2 supposé quadratique

B.3 Méthode de Levenberg-Marquardt 247

revient à résoudre le système linéaire :

[α]δa = β , (B.10)

soitM∑l=1

αklδal = βkl . (B.11)

Lorsque χ2 n’est pas une forme quadratique, on utilise la méthode des fortes pentesqui s’écrit :

δa = Cteβ . (B.12)

B.3 Méthode de Levenberg-Marquardt

Levenberg et Marquardt ont proposé une méthode efficace et astucieuse pour passercontinûment du schéma d’inversion du Hessien à celui des plus fortes pentes. Ce derniersera utilisé loin du minimum et on tend à lui substituer le schéma d’inversion du Hessien aufur et à mesure que l’on approche du minimum. Cette méthode de Levenberg Marquardta fait ses preuves et fonctionne pour des modèles et des domaines de la physique variés, sibien qu’elle constitue le standard pour résoudre les problèmes d’ajustement aux moindrescarrés non linéaires.

La méthode de Levenberg Marquardt peut être brièvement décrite comme une stra-tégie de recherche du χ2 minimum utilisant au mieux les schémas B.10 et B.12. Elle estbasée sur deux idées déterminantes. La première idée consiste à modifier le schéma desplus fortes pentes B.12 en remplaçant la constante (le pas) par un vecteur dont on choi-sit judicieusement les composantes. Ce choix peut être interprété comme « une mise àl’échelle », pour chacun des paramètres, du pas que l’on va effectuer dans la direction duminimm du χ2. On réalise ce choix en remarquant que cette constante de proportion entreune dérivée par rapport à ak et une différence finie en ak a évidemment la dimension dea2k. Par ailleurs on postule qu’un ordre de grandeur de cette constante peut être donné par

une composante de la matrice de courbure [α]. Or la seule composante de [α] dépendantede ak qui a la dimension requise est 1/αkk. Alors le schéma B.12 doit être modifié pours’écrire en composantes :

δal = 1λαll

βl , (B.13)

où λ est un facteur supérieur à 1 permettant de réduire globalement (et non composante


par composante) le pas si celui-ci s’avérait trop grand (comme cela se fait dans la méthodedes plus fortes pentes).

La deuxième idée consiste alors à poser :

[α′] = [α] +λ[Id] , (B.14)

où Id est la matrice identitéM×M . Les deux schémas B.10 et B.13 sont avantageusementremplacés par l’unique formulation qui consiste à trouver l’incrémentation δa solution dusystème :

[α′]δa = β . (B.15)

Lorsque λ est grand, la matrice [α′] est à diagonale dominante et le système précédentéquivaut à B.13. Lorsqu’au contraire λ tend vers 0, ce système équivaut à B.10.

Soit une solution initiale pour le vecteur de paramètre a à ajuster, l’algorithme deLevenberg Marquardt procède comme suit :

1. calculer χ2(a),

2. prendre une petite valeur de λ, par exemple λ= 0.001,

3. résoudre le système d’équations linéaires pour δa et évaluer χ2(a + δa),

4. si χ2(a + δa)≥ χ2(a), augmenter λ par un facteur de 10 et retourner à l’étape 3),

5. si χ2(a+δa)<χ2(a), diminuer λ par un facteur de 10, mettre à jour la solution a← a+δaet retourner à l’étape 3) .

Généralement le critère d’arrêt est défini par la première ou la deuxième fois que χ2

diminue d’une valeur négligeable, par exemple de 0.01 en absolu ou d’une fraction de10−3. Il ne faut surtout pas retenir la solution après une itération où χ2 a augmenté, cequi ne correspond pas à une valeur optimale de λ.

B.4 Incertitude sur les paramètres ajustés

Lorsqu’un minimum acceptable du χ2 a été trouvé, pour un jeu dem paramètres amin,la variation de χ2 autour de ce minimum χ2

min pour une variation δa des paramètresajustés est donnée par :

χ2 = χ2min+ δa[α]δa . (B.16)

B.4 Incertitude sur les paramètres ajustés 249

On va s’intéresser particulièrement à la variation du χ2 lorsqu’on fait varier arbitrairementun seul paramètre a1, les autres paramètres restant fixés à leurs valeurs arbitraires de amin.Notons χ2

m−1 le moindre χ2 à m− 1 degrés de liberté obtenu en fixant le paramètre a1

à sa valeur arbitraire et soit a le nouveau jeu de paramètres qui minimise ce χ2. Posons∆χ2

1 ≡ χ2M−1−χ2

mon et δa = a−min. On montre que ce ∆χ21(a1) est distribué comme le

carré d’une variable aléatoire à distribution normale. Autrement dit, on aura formellement∆χ2

1 < 1 pour δa1 < 1σ (68.3% des cas), ∆χ21 < 4 pour δa1 < 2σ (95.4% des cas), ∆χ2

1 < 9pour δa1 < 3σ (99.73% des cas), etc... On peut par ailleurs relier l’incertitude δa1 surle paramètre a1 à ∆χ2

1 en remarquant que ∇χ2(a) = 0 sur toutes ses composantes saufla première, et comme, d’après B.10 [α]δa = −1

2∇χ2, on aura en posant la matrice de

covariance [C] = [α]−1,

δa1 =−12∂χ2

∂a1C11 . (B.17)

On en déduit alors que :

∆χ21 = δa[α]δa = (δa1)2/C11 , (B.18)

soitδa1 =±

√∆χ2

1

√C11 . (B.19)

Donc si on définit l’incertitude sur le paramètre al par δal ≡ 1σ, soit ∆χ2l ≡ 1, on aura

finalement :δai =

√Cll . (B.20)


Annexe C

Calcul d’incertitudes par simulationsde Monte Carlo

On présite ici le détail du calcul d’incertitude sur la mesure de la température et de lavitesse de référence lors de l’étalonnage du PCTA, ainsi que sur la mesure de de la tensionanémométrique.

C.1 Incertitude sur la mesure de la température deréférence

La température de l’écoulement d’étalonnage est mesurée avec un thermocouple. Celui-ci est étalonné dans un bain à température variable. La procédure consiste à immerger lethermocouple à étalonner et l’étalon de référence (sonde pt100 étalonnée par le LaboratoireNational d’Essais) dans une cuve à débordement alimentée par un bain régulé et stabiliséen température.

La mesure du thermocouple est transmise à la chaîne d’acquisition via un amplifi-cateur. Les données d’étalonnage sont résumées dans le tableau C.1. Pour chacune destempératures étalons, on indique la tension moyenne et l’écart-type mesurés par le ther-mocouple, la température obtenue avec le modèle, et l’écart modèle-étalon.

L’analyse des causes d’erreur sur la mesure de température par le thermocouple estdonnée à la figure C.1. L’incertitude sur cette mesure est due :

– à la quantification de la chaîne d’acquisition sur 16 bits ;– à l’incertitude sur l’étalonnage du thermocouple (répétabilité ou fiabilité de la chaînede mesure, modèle linéaire et justesse du thermocouple)

252 Annexe C. Calcul d’incertitudes par simulations de Monte Carlo

Températureappliquée

SignalThermo.

Ecart-typeexpérimen-tale

Températuremodélisée

Ecart

˚C V V ˚C ˚C

0 0.14994 0.00076 -0.027 0.0275 0.64372 0.00074 4.883 0.11610 1.14672 0.00076 9.886 0.11315 1.63879 0.00082 14.779 0.22020 2.14068 0.00075 19.771 0.22825 2.64632 0.00081 24.799 0.20030 3.14181 0.00083 29.727 0.07235 3.64878 0.00076 34.769 0.03040 4.16473 0.00074 39.900 -0.000

Tableau C.1 – Résultats de l’étalonnage du thermocouple.

Méthode

matière Main d’oeuvremilieu

Moyens

Thermocouple

Quantification de lachaîne d’acquisition

Répétabilité

Loi d’étalonnage

Température de référence T

Vitessede l’air

Figure C.1 – Analyse du processus de mesure de la température de référence par lethermocouple.

C.1 Incertitude sur la mesure de la température de référence 253

On a ainsi :T = (t) +Cres+Cjust ,

où :– t : est la répétabilité de la mesure de T (fidélité de la chaîne de mesure et expériencede l’opérateur),

– Cres : est la correction due à la résolution de la chaîne d’acquisition ,– Cjust : est la correction due à la justesse du thermocouple.L’incertitude-type de la répétabilité est prise égale à la valeur maximale de l’écart-type

calculé sur les mesures du signal du thermocouple, soit 0.83 mV.La correction due à la résolution de la chaîne d’acquisition dépend de la gamme de

tension en sortie du convertisseur et du nombre de bits utilisés pour les conversions :

Cres = ∆V /(2nbit−1) .

Pour une gamme de tension ∆v = 10V et une carte de 16 bits, l’erreur due à laquantification est de 0.15 mV. La justesse du voltmètre est fournie par le fabricant.

On utilise des simulations de Monte Carlo pour générer des données artificielles detempératures étalons dans une distribution gaussienne dont l’écart-type est égale à l’in-certitude sur la température étalon du bain. De la même manière on génère des donnéesde tension thermocouple en faisant des simulations dans une distribution dont l’écart-typeest égal à l’incertitude-type sur la tension mesurée par le thermocouple (estimée à partirde la répétabilité, de la justesse et de l’erreur de quantification sur la mesure). A partirde ces réalisations artificielles, on effectue à chaque simulation une régression linéaire. Larépétition de la procédure nous donne une distribution de chacun des coefficients de la loid’étalonnage du thermocouple. Les écarts-types correspondants sont les incertitudes surles coefficients d’étalonnage du thermocouple. Ils permettent ensuite d’accéder à l’incer-titude sur la mesure de la température de référence par le thermocouple. Un exemple derésultat obtenu est représenté sur la figure C.2 pour différentes valeurs de la températureT .

On trouve une incertitude-type sur la mesure de température égale à 0.1C.

B) Incertitude sur la mesure de la vitesse de référence L’analyse du processusde mesure de la vitesse de référence est donnée à la figure C.3. La vitesse de référence estmesurée par un capteur de pression placée après une contraction, avec prise en comptede la température de l’écoulement.


Figure C.2 – Evolution de l’erreur sur la mesure de la température de référence par lethermocouple en fonction de la température. σεT est l’écart-type obtenupour chaque point de mesure.

Méthode

matière Main d’oeuvremilieu

Moyens

Capteur de pression


Répétabilité

Températurede l’air

Loi d’étalonnage

Vitesse de référence U

Figure C.3 – Analyse du processus de mesure de la vitesse de référence par le tubede Pitot

C.1 Incertitude sur la mesure de la température de référence 255

Le capteur de pression est étalonné avec un générateur de pression calibré. Le modèlereliant la pression délivrée par le calibrateur et la tension en sortie du tube de Pitot,mesurée à l’aide d’un voltmètre, est linéaire :

P = acapt ∗E+Poff , (C.1)

où acapt et Poff sont les coefficients de la droite des moindres carrés du modèle représentantici la sensibilité et l’offset (tension à pression nulle) du capteur. Le modèle mathématiqueobtenu à partir de l’analyse du processus de mesure de la pression est donné par la relationsuivante :

P +Cgen = acapt ∗ (E+Cj +Ctc) +P0

où :

– Cgen est la correction à apporter à la pression délivrée par le générateur,– Cj est la correction de justesse du voltmètre à appliquer au signal de sortie,– Ctc est la correction de température à appliquer au capteur .

A partir de ce modèle mathématique, l’incertitude sur l’étalonnage du capteur depression est estimée en utilisant une procédure identique à celle décrite plus haut pourl’obtention des coefficients de la loi du thermocouple.

La vitesse de référence est calculée avec la relation de Bernoulli.

V =√

2∗ (e− e0)∗acapt/ρ (C.2)

, soitV =

√2∗ (e− e0)∗acapt/(ρ0 ∗ (Patm/P0)∗ (T0/T (t))) . (C.3)

Dans cette relation :

– acapt est la sensibilité du capteur de pression,– e0 est la tension à vitesse nulle vue par le capteur de pression ,– P0 est une pression de référence égale à 1e5 Pa,– T0 est la température ambiante du hall d’essai,– ρ0 est la masse volumique de l’air à la température T0 et à la pression P0,– Patm est la pression atmosphérique,– T (t) est la température instantanée mesurée avec le thermocouple.

Les incertitudes associées à ces différentes quantités sont prises comme écarts-types


des distributions pour les simulations de Monte Carlo. Un exemple de résultat obtenu surl’estimation de l’incertitude de la vitesse de référence mesurée par le tube de Pitot estreprésenté sur la figure C.4. L’incertitude-type sur la vitesse de référence est de l’ordre de5 cm/s.

Figure C.4 – Evolution de l’erreur sur la mesure de la vitesse de référence par lecapteur de pression en fonction de la vitesse. σεU est l’écart-type obtenupour chaque point de mesure.

C.2 Incertitude sur la tension anémométrique PCTAL’analyse du processus de mesure de la tension anémométrique lors de l’étalonnage est

donnée à la figure C.5. L’incertitude sur la mesure de la tension en sortie de l’anémomètreest constituée par le bruit de la mesure, l’erreur commise en moyennant la tension sur unpalier et l’erreur de quantification de la chaîne d’acquisition.

Le bruit de mesure est assimilé aux fluctuations de tension enregistrées sur les paliersde surchauffe lorsque la sonde fil chaud PCTA est placé dans un écoulement uniformeavec un taux de turbulence quasi-nul. Les résultats expérimentaux correspondant sontreprésentés sur la figure C.6. L’erreur commise en moyennant la tension sur un palier estde l’ordre du mV. La carte d’acquisition codant sur 16 bits et les tensions étant mesuréessur une plage -5v,+5v, l’erreur de quantification est de 0.15 mV. On prend comme écart-type pour les mesures de tension, le maximum de l’incertitude obtenue pour les différentesvaleurs de vitesse.

C.2 Incertitude sur la tension anémométrique PCTA 257

Méthode

Matière Main d’oeuvreMilieu

Moyens

Sonde fil chaud


Répétabilité

Taux de turbulencede l’air

Filtrage sur les paliers

Tensionanémométrique e

Figure C.5 – Analyse du processus de la tension anémométrique par le PCTA.

0.0003

0.0004

0.0005

0.0006

0.0007

0.0008

0.0009

0.001

0.0011

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

rms E [V]

U [m/s]

rms tensions sur les paliers en fct de la vitesse pour 3 surch. PCTA

sur 1.8sur 1.5sur 1.2

Figure C.6 – Fluctuations de tensions sur les paliers de surchauffes lorsque la vitessede l’écoulement est constante.


Annexe D

Catalogue des mesures enconfiguration de couche de mélangeisotherme

On présente ici des résultats de mesures effectuées au fil chaud en mode CTA dans lacouche de mélange isotherme.

Les paramètres de l’écoulement sont :– la haute vitesse de la couche de mélange : U1 (correspond au courant situé en bas),– la basse vitesse de la couche de mélange : U2 (correspond au courant situé en haut),– la différence de vitesse : ∆U = U1−U2,– le paramètre de cisaillement : λ= (U2−U1)/(U1 +U2) .Les configurations d’écoulements sont rappelées dans le tableau suivant :

λ U1 U2 r Ucm/s m/s m/s

0.50 4.5 1.5 0.33 3.00.33 4.0 2.0 0.50 3.00.25 2.5 1.5 0.60 2.00.17 3.5 2.5 0.71 3.00.13 4.5 3.5 0.77 4.0

Tableau D.1 – Configurations étudiées en écoulement isotherme.

260 Annexe D. Catalogue des mesures en configuration isotherme

D.1 Evolution longitudinale de la vitesse moyenne

(λ= 0.50) (λ= 0.33)

0.51

1.52

-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4

0

0.5

1

x/H

y/H

U∗

0.51

1.52

-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4

0

0.5

1

x/H

y/H

U∗

(λ= 0.25) (λ= 0.17)

0.51

1.5-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4

0

0.5

1

x/H

y/H

U∗

0.51

1.52

-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4

0

0.5

1

x/H

y/H

U∗

(λ= 0.13)

0.51

1.52

-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.2

0

0.5

1

x/H

y/H

U∗

Figure D.1 – Evolution longitudinale des profils de vitesse moyenne pour ∆T = 0K.

D.2 Similitude de la vitesse moyenne 261

D.2 Similitude de la vitesse moyenne

(λ= 0.50) (λ= 0.33)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

U∗

ηu

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

U∗

ηu

(λ= 0.25) (λ= 0.17)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

U∗

ηu

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

U∗

ηu

(λ= 0.13)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

U∗

ηu

Figure D.2 – Profils de la vitesse moyenne adimensionnée pour ∆T = 0K.


D.3 Evolution longitudinale des fluctuations de vi-tesse

(λ= 0.50) (λ= 0.33)

0.5

1

1.5

2

-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4

00.51

x/H

y/H

U∗rms

0.5

1

1.5

2

-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4

00.51

x/H

y/H

U∗rms

(λ= 0.25) (λ= 0.17)

0.5

1

1.5

-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4

00.51

x/H

y/H

U∗rms

0.5

1

1.5

2

-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4

00.51

x/H

y/H

U∗rms

(λ= 0.13)

0.5

1

1.5

2

-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.2

00.51

x/H

y/H

U∗rms

Figure D.3 – Profils des valeurs rms de la vitesse adimensionnées pour ∆T = 0K.

D.4 Similitude des fluctuations de vitesse 263

D.4 Similitude des fluctuations de vitesse

(λ= 0.50) (λ= 0.33)

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

-1 -0.5 0 0.5 1

U∗rms

ηu

x/H = 1.21.41.61.82.0

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

-1 -0.5 0 0.5 1

U∗rms

ηu

x/H = 1.21.41.61.82.0

(λ= 0.25) (λ= 0.17)

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

-1 -0.5 0 0.5 1

U∗rms

ηu

x/H = 0.60.81.01.21.41.61.8

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

-1 -0.5 0 0.5 1

U∗rms

ηu

x/H = 1.21.41.61.82.0

(λ= 0.13)

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

-1 -0.5 0 0.5 1

U∗rms

(y−y0.5U )/δω

x/H = 1.82.0

Figure D.4 – Profils des valeurs rms de la vitesse adimensionnées pour ∆T = 0K.


D.5 Coefficient de dissymétrie de la vitesse

(λ= 0.50) (λ= 0.33)

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1 -0.5 0 0.5 1

Su

ηu

x/H = 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1 -0.5 0 0.5 1

Su

ηu

x/H = 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

(λ= 0.25) (λ= 0.17)

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1 -0.5 0 0.5 1

Su

ηu

x/H = 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1 -0.5 0 0.5 1

Su

ηu

x/H = 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

(λ= 0.13)

e)

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1 -0.5 0 0.5 1

Su

ηu

x/H = 1.8 2.0

Figure D.5 – Coefficient de dissymétrie de la vitesse pour ∆T = 0K.

D.6 coefficient d’aplatissement de la vitesse 265

D.6 coefficient d’aplatissement de la vitesse

(λ= 0.50) (λ= 0.33)

2

3

4

5

6

7

-1 -0.5 0 0.5 1

Ku

ηu

x/H = 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

2

3

4

5

6

7

-1 -0.5 0 0.5 1

Ku

ηu

x/H = 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

(λ= 0.25) (λ= 0.17)

2

3

4

5

6

7

-1 -0.5 0 0.5 1

Ku

ηu

x/H = 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8

2

3

4

5

6

7

-1 -0.5 0 0.5 1

Ku

ηu

1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

(λ= 0.13)

2

3

4

5

6

7

-1 -0.5 0 0.5 1

Ku

ηu

x/H = 1.8 2.0

Figure D.6 – Coefficient d’aplatissement de la vitesse pour ∆T = 0K.


Annexe E

Catalogue des mesures enconfiguration de couche de mélangeanisotherme

On présente ici des résultats de mesures effectuées au fil chaud en mode PCTA ou aufil froid dans la couche de mélange anisotherme.

Les paramètres de l’écoulement sont :– la vitesse U1 et la température T1 du courant situé en bas,– la vitesse U2 et la température T2 du courant situé en haut,– la différence de vitesse : ∆U = U2−U1,– le paramètre de cisaillement : λ= (U2−U1)/(U1 +U2),– la différence de température ∆T = T2−T1 .Les configurations d’écoulements sont rappelées dans le tableau E.1.La notation H.V., B.T. correspond au courant Haute Vitesse et Basse Température

de la couche de mélange, et B.V, H.T. correspond au courant Basse Vitesse et HauteTempérature.

268 Annexe E. Catalogue des mesures en configuration anisotherme

λ U1 U2 ∆U T1 T2 ∆T(m/s) (m/s) (m/s) (C) (C) (K)

0.50 4.5 1.5 -3 10 35 +250.50 4.5 1.5 -3 10 20 +100.50 1.5 4.5 +3 35 10 -250.50 1.5 4.5 +3 20 10 -10

0.33 4.0 2.0 -2 10 35 +250.33 4.0 2.0 -2 10 20 +100.33 2.0 4.0 +2 35 10 -250.33 2.0 4.0 +2 20 10 -10

0.25 2.5 1.5 -1 10 35 +250.25 2.5 1.5 -1 10 20 +100.25 1.5 2.5 +1 35 10 -250.25 1.5 2.5 +1 20 10 -10

0.17 3.5 2.5 -1 10 35 +250.17 3.5 2.5 -1 10 20 +100.17 2.5 3.5 +1 35 10 -250.17 2.5 3.5 +1 20 10 -10

0.13 4.5 3.5 -1 10 35 +250.13 4.5 3.5 -1 10 20 +100.13 3.5 4.5 +1 35 10 -250.13 3.5 4.5 +1 20 10 -10

Tableau E.1 – Conditions des essais en couche de mélange anisotherme à contre-gradient.

E.1 Evolution longitudinale de la vitesse moyenne 269

E.1 Evolution longitudinale de la vitesse moyenne

(λ= 0.50) (λ= 0.33)

0.51

1.52

-0.2-0.100.10.2

0

0.5

1

x/H

y/H

U∗

0.51

1.52

-0.2-0.100.10.2

0

0.5

1

x/H

y/H

U∗

(λ= 0.25) (λ= 0.17)

0.51

1.52

-0.2-0.100.10.2

0

0.5

1

x/H

y/H

U∗

0.51

1.52

-0.2-0.100.10.2

0

0.5

1

x/H

y/H

U∗

(λ= 0.13)

0.51

1.52

-0.2-0.100.10.2

0

0.5

1

x/H

y/H

U∗

Figure E.1 – Evolution longitudinale des profils de vitesse moyenne pour ∆T =+25K.


E.2 Evolution longitudinale de la température moyenne

(λ= 0.50) (λ= 0.33)

0.51

1.52

-0.2-0.1

00.1

0.2

0

0.5

1

x/Hy/H

T ∗

0.51

1.52

-0.2-0.1

00.1

0.2

0

0.5

1

x/Hy/H

T ∗

(λ= 0.25) (λ= 0.17)

0.51

1.52

-0.2-0.1

00.1

0.2

0

0.5

1

x/Hy/H

T ∗

0.51

1.52

-0.2-0.1

00.1

0.2

0

0.5

1

x/Hy/H

T ∗

(λ= 0.13)

e)0.5

11.5

2

-0.2-0.1

00.1

0.2

0

0.5

1

x/Hy/H

T ∗

Figure E.2 – Evolution longitudinale des profils de température moyenne pour ∆T =+25K.

E.3 Evolution longitudinale des fluctuations de vitesse 271

E.3 Evolution longitudinale des fluctuations de vi-tesse

(λ= 0.50) (λ= 0.33)

0.5

1

1.5

2

-0.2-0.100.10.2

00.51

x/H

y/H

U∗rms

0.5

1

1.5

2

-0.2-0.100.10.2

00.51

x/H

y/H

U∗rms

(λ= 0.25) (λ= 0.17)

0.5

1

1.5

2

-0.2-0.100.10.2

00.51

x/H

y/H

U∗rms

0.5

1

1.5

2

-0.2-0.100.10.2

00.51

x/H

y/H

U∗rms

(λ= 0.13)

0.5

1

1.5

2

-0.2-0.100.10.2

00.51

x/H

y/H

U∗rms

Figure E.3 – Profils des valeurs rms de la vitesse adimensionnées pour ∆T = +25K.


E.4 Evolution longitudinale des fluctuations de tem-pérature

(λ= 0.50) (λ= 0.33)

0.5

1

1.5

2

-0.2-0.100.10.2

00.51

x/H

y/H

T ∗rms

0.5

1

1.5

2

-0.2-0.100.10.2

00.51

x/H

y/H

T ∗rms

(λ= 0.25) (λ= 0.17)

0.5

1

1.5

2

-0.2-0.100.10.2

00.51

x/H

y/H

T ∗rms

0.5

1

1.5

2

-0.2-0.100.10.2

00.51

x/H

y/H

T ∗rms

(λ= 0.13)

0.5

1

1.5

2

-0.2-0.100.10.2

00.51

x/H

y/H

T ∗rms

Figure E.4 – Profils des valeurs rms de la température adimensionnées pour ∆T =+25K.

E.5 Similitude de la vitesse moyenne 273

E.5 Similitude de la vitesse moyenne

(λ= 0.50) (λ= 0.33)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

U∗

ηu

H.V,B.T. B.V,H.T.x/H = 0.1

0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

U∗

ηu

H.V,B.T. B.V,H.T.x/H = 0.4

0.60.81.01.21.41.61.82.0

(λ= 0.25) (λ= 0.17)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

U∗

ηu

H.V,B.T. B.V,H.T.x/H = 0.4

0.60.81.01.21.41.61.82.0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

U∗

ηu

H.V,B.T. B.V,H.T.x/H = 0.6

0.81.01.21.41.6

(λ= 0.13)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

U∗

ηu

H.V,B.T. B.V,H.T.x/H = 1.6

1.82.0

Figure E.5 – Profils de la vitesse moyenne adimensionnée pour ∆T = +25K.


E.6 Similitude de la température moyenne

(λ= 0.50) (λ= 0.33)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

T ∗

ηT

H.V,B.T. B.V,H.T.

X

x/H = 0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

T ∗

ηT

H.V,B.T. B.V,H.T.

X

x/H = 0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0

(λ= 0.25) (λ= 0.17)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

T ∗

ηT

H.V,B.T. B.V,H.T.

X

x/H = 0.40.60.81.01.21.41.61.82.0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

T ∗

ηT

H.V,B.T. B.V,H.T.

X

x/H = 0.60.81.01.21.41.61.82.0

(λ= 0.13)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

T ∗

ηT

H.V,B.T. B.V,H.T.

X x/H = 1.61.82.0

Figure E.6 – Profils de la température moyenne adimensionnée pour ∆T = +25K.

E.7 Similitude des fluctuations de vitesse 275

E.7 Similitude des fluctuations de vitesse

(λ= 0.50) (λ= 0.33)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

U∗rms

ηu

H.V,B.T. B.V,H.T.x/H = 1.0

1.21.41.61.82.0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

U∗rms

ηu

H.V,B.T. B.V,H.T.x/H = 1.2

1.41.61.82.0

(λ= 0.25) (λ= 0.17)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Urms∗

ηu

H.V,B.T. B.V,H.T.x/H = 0.8

1.01.21.41.61.82.0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

U∗rms

ηu

H.V,B.T. B.V,H.T.x/H = 1.0

1.21.41.6

λ= 0.13)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

U∗rms

ηu

H.V,B.T. B.V,H.T.x/H = 1.8

2.0

Figure E.7 – Profils des valeurs rms de la vitesse adimensionnées pour ∆T = +25K.


E.8 Similitude des fluctuations de température

(λ= 0.50) (λ= 0.33)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

T ∗rms

ηT

H.V,B.T. B.V,H.T.

X

x/H = 0.20.4

0.60.8

1.01.2

1.41.6

1.82.0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

T ∗rms

ηT

H.V,B.T. B.V,H.T.

X

x/H = 0.20.4

0.60.8

1.01.2

1.41.6

1.82.0

(λ= 0.25) (λ= 0.17)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

T ∗rms

ηT

H.V,B.T. B.V,H.T.

X

x/H = 0.40.6

0.81.0

1.21.4

1.61.8

2.0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

T ∗rms

ηT

H.V,B.T. B.V,H.T.

X

x/H = 0.60.8

1.01.2

1.41.6

1.82.0

(λ= 0.13)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

T ∗rms

ηT

H.V,B.T. B.V,H.T.

X

x/H = 1.6 1.8 2.0

Figure E.8 – Profils des valeurs rms de la température adimensionnées pour ∆T =+25K.

E.9 Coefficient de dissymétrie de la vitesse 277

E.9 Coefficient de dissymétrie de la vitesse

(λ= 0.50) (λ= 0.33)

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-1 -0.5 0 0.5 1

ST

ηu

H.V,B.T. B.V,H.T.

x/H = 1.01.2

1.41.6

1.82.0

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-1 -0.5 0 0.5 1

Su

ηu

H.V,B.T. B.V,H.T.

x/H = 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

(λ= 0.25) (λ= 0.17)

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-1 -0.5 0 0.5 1

Su

ηu

H.V,B.T. B.V,H.T.

x/H = 0.81.0

1.21.4

1.61.8

2.0

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1 -0.5 0 0.5 1

Su

ηu

H.V,B.T. B.V,H.T.

x/H = 1.2 1.2 1.4 1.6

(λ= 0.13)

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-1 -0.5 0 0.5 1

Su

ηu

H.V,B.T. B.V,H.T.

x/H = 1.8 2.0

Figure E.9 – Coefficient de dissymétrie de la vitesse pour ∆T = +25K.


E.10 Coefficient de dissymétrie de la température

(λ= 0.50) (λ= 0.33)

-4

-2

0

2

4

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4

ST

ηT

X

H.V,B.T. B.V,H.T.

x/H = 0.20.4

0.60.8

1.01.2

1.41.6

1.82.0

-4

-2

0

2

4

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4

ST

ηT

X

H.V,B.T. B.V,H.T.

x/H = 0.20.4

0.60.8

1.01.2

1.41.6

1.82.0

(λ= 0.25) (λ= 0.17)

-4

-2

0

2

4

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4

ST

ηT

X

H.V,B.T. B.V,H.T.

x/H = 0.40.6

0.81.0

1.21.4

1.61.8

2.0

-4

-2

0

2

4

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4

ST

ηT

X

H.V,B.T. B.V,H.T.

x/H = 0.60.8

1.01.2

1.41.6

1.82.0

(λ= 0.13)

-4

-2

0

2

4

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4

ST

ηT

X

H.V,B.T. B.V,H.T.

x/H = 1.6 1.8 2.0

Figure E.10 – Coefficient de dissymétrie de la température pour ∆T = +25K.

E.11 coefficient d’aplatissement de la vitesse 279

E.11 coefficient d’aplatissement de la vitesse

(λ= 0.50) (λ= 0.33)

2

3

4

5

6

7

-1 -0.5 0 0.5 1

Ku

ηu

H.V,B.T. B.V,H.T.

x/H = 1.01.2

1.41.6

1.82.0

2

3

4

5

6

7

-1 -0.5 0 0.5 1

Ku

ηu

H.V,B.T. B.V,H.T.

x/H = 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

(λ= 0.25) (λ= 0.17)

2

3

4

5

6

7

-1 -0.5 0 0.5 1

Ku

ηu

H.V,B.T. B.V,H.T.

x/H = 0.81.0

1.21.4

1.61.8

2.0

2

3

4

5

6

7

-1 -0.5 0 0.5 1

Ku

ηu

H.V,B.T. B.V,H.T.

x/H = 1.0 1.2 1.4 1.6

(λ= 0.13)

2

3

4

5

6

7

-1 -0.5 0 0.5 1

Ku

ηu

H.V,B.T. B.V,H.T.

x/H = 1.8 2.0

Figure E.11 – Coefficient d’aplatissement de la vitesse pour ∆T = +25K.


E.12 coefficient d’aplatissement de la température

(λ= 0.50) (λ= 0.33)

2

3

4

5

6

7

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4

KT

ηT

X

H.V,B.T. B.V,H.T.

x/H = 0.20.4

0.60.8

1.01.2

1.41.6

1.82.0

2

3

4

5

6

7

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4

KT

ηT

X

H.V,B.T. B.V,H.T.

x/H = 0.20.4

0.60.8

1.01.2

1.41.6

1.82.0

(λ= 0.25) (λ= 0.17)

2

3

4

5

6

7

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4

KT

ηT

X

H.V,B.T. B.V,H.T.

x/H = 0.40.6

0.81.0

1.21.4

1.61.8

2.0

2

3

4

5

6

7

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4

KT

ηT

X

H.V,B.T. B.V,H.T.

x/H = 0.60.8

1.01.2

1.41.6

1.82.0

(λ= 0.13)

2

3

4

5

6

7

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4

KT

ηT

X

H.V,B.T. B.V,H.T.

x/H = 1.6 1.8 2.0

Figure E.12 – Coefficient d’aplatissement de la température pour ∆T = +25K.

E.13 Evolution longitudinale de la vitesse moyenne 281

E.13 Evolution longitudinale de la vitesse moyenne

(λ= 0.50) (λ= 0.33)

0.51

1.52

-0.2-0.1

00.1

0.2

0

0.5

1

x/H

y/H

U∗

0.51

1.52

-0.2-0.1

00.1

0.2

0

0.5

1

x/H

y/H

U∗

(λ= 0.25) (λ= 0.17)

0.51

1.52

-0.2-0.1

00.1

0.2

0

0.5

1

x/H

y/H

U∗

0.51

1.52

-0.2-0.1

00.1

0.2

0

0.5

1

x/H

y/H

U∗

(λ= 0.13)

0.51

1.52

-0.2-0.1

00.1

0.2

00.51

x/H

y/H

U∗

Figure E.13 – Evolution longitudinale des profils de vitesse moyenne pour ∆T =−25K.


E.14 Evolution longitudinale de la température moyenne

(λ= 0.50) (λ= 0.33)

0.51

1.52

-0.2-0.100.10.2

0

0.5

1

x/H

y/H

T ∗

0.51

1.52

-0.2-0.100.10.2

0

0.5

1

x/H

y/H

T ∗

(λ= 0.25) (λ= 0.17)

0.51

1.52

-0.2-0.100.10.2

0

0.5

1

x/H

y/H

T ∗

0.51

1.52

-0.2-0.100.10.2

0

0.5

1

x/H

y/H

T ∗

(λ= 0.13)

0.51

1.52

-0.2-0.100.10.2

0

0.5

1

x/H

y/H

T ∗

Figure E.14 – Evolution longitudinale des profils de température moyenne pour∆T =−25K.

E.15 Evolution longitudinale des fluctuations de vitesse 283

E.15 Evolution longitudinale des fluctuations de vi-tesse

(λ= 0.50) (λ= 0.33)

0.5

1

1.5

2

-0.2-0.100.10.2

00.51

x/H

y/H

U∗rms

0.5

1

1.5

2

-0.2-0.100.10.2

00.51

x/H

y/H

U∗rms

(λ= 0.25) (λ= 0.17)

0.5

1

1.5

2

-0.2-0.100.10.2

00.51

x/H

y/H

U∗rms

0.5

1

1.5

2

-0.2-0.100.10.2

00.51

x/H

y/H

U∗rms

(λ= 0.13)

0.5

1

1.5

2

-0.2-0.100.10.2

00.51

x/H

y/H

U∗rms

Figure E.15 – Profils des valeurs rms de la vitesse adimensionnées pour ∆T =−25K.


E.16 Evolution longitudinale des fluctuations de tem-pérature

(λ= 0.50) (λ= 0.33)

0.5

1

1.5

2

-0.2-0.100.10.2

00.51

x/H

y/H

T ∗rms

0.5

1

1.5

2

-0.2-0.100.10.2

00.51

x/H

y/H

T ∗rms

(λ= 0.25) (λ= 0.17)

0.5

1

1.5

2

-0.2-0.100.10.2

00.51

x/H

y/H

T ∗rms

0.5

1

1.5

2

-0.2-0.100.10.2

00.51

x/H

y/H

T ∗rms

(λ= 0.13)

0.5

1

1.5

2

-0.2-0.100.10.2

00.51 x/H

y/H

T ∗rms

Figure E.16 – Profils des valeurs rms de la température adimensionnées pour ∆T =−25K.

E.17 Similitude de la vitesse moyenne 285

E.17 Similitude de la vitesse moyenne

(λ= 0.50) (λ= 0.33)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

U∗

ηu

B.V,H.T. H.V,B.T.

x/H =0.60.81.01.21.41.61.82.0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

U∗

ηu

B.V,H.T. H.V,B.T.

x/H = 0.81.01.21.41.61.82.0

(λ= 0.25) (λ= 0.17)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

U∗

ηu

B.V,H.T. H.V,B.T.

x/H = 0.40.60.81.01.21.41.61.82.0

d)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

U∗

ηu

B.V,H.T. H.V,B.T.

x/H = 0.81.01.21.41.61.82.0

(λ= 0.13)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

U∗

ηu

B.V,H.T. H.V,B.T.

x/H = 1.21.61.82.0

Figure E.17 – Profils de la vitesse moyenne adimensionnée pour ∆T =−25K.


E.18 Similitude de la température moyenne

(λ= 0.50) (λ= 0.33)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

T ∗

ηT

B.V,H.T. H.V,B.T.

X

x/H = 0.40.60.81.01.21.41.61.82.0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

T ∗

ηT

B.V,H.T. H.V,B.T.

X

x/H = 0.81.01.21.41.61.82.0

(λ= 0.25) (λ= 0.17)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

T ∗

ηT

B.V,H.T. H.V,B.T.

X

x/H = 0.40.60.81.01.21.41.61.82.0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

T ∗

ηT

B.V,H.T. H.V,B.T.

X

x/H = 0.60.81.01.21.41.61.82.0

(λ= 0.13)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

T ∗

ηT

B.V,H.T. H.V,B.T.

X

x/H = 1.41.61.8

2000

Figure E.18 – Profils de la température moyenne adimensionnée pour ∆T =−25K.

E.19 Similitude des fluctuations de vitesse 287

E.19 Similitude des fluctuations de vitesse

(λ= 0.50)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

U∗rms

ηu

B.V,H.T. H.V,B.T.x/H = 0.6

0.81.01.21.41.61.82.0

(λ= 0.25) (λ= 0.17)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

U∗rms

ηu

B.V,H.T. H.V,B.T.x/H = 1.2

1.41.61.82.0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

U∗rms

ηu

B.V,H.T. H.V,B.T.x/H = 1.2

1.41.61.82.0

(λ= 0.13)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

U∗rms

ηu

B.V,H.T. H.V,B.T.x/H = 1.8

2.0

Figure E.19 – Profils des valeurs rms de la vitesse adimensionnées pour ∆T =−25K.


E.20 Similitude des fluctuations de température

(λ= 0.50) (λ= 0.33)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

T ∗rms

ηT

B.V,H.T. H.V,B.T.

X

x/H = 0.40.6

0.81.0

1.é1.4

1.61.8

2.0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

T ∗rms

ηT

B.V,H.T. H.V,B.T.

X

x/H = 0.81.0

1.21.4

1.61.8

2.0

(λ= 0.25) (λ= 0.17)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

T ∗rms

ηT

B.V,H.T. H.V,B.T.

X

x/H = 0.40.6

0.81.0

1.21.4

1.61.8

2.0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

T ∗rms

ηT

B.V,H.T. H.V,B.T.

X

x/H = 0.60.8

1.01.2

1.41.6

1.82.0

(λ= 0.13)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

T ∗rms

ηT

B.V,H.T. H.V,B.T.

X

x/H = 1.4 1.6 1.8 2.0

Figure E.20 – Profils des valeurs rms de la température adimensionnées pour ∆T =−25K.

E.21 Coefficient de dissymétrie de la vitesse 289

E.21 Coefficient de dissymétrie de la vitesse

(λ= 0.50)

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-1 -0.5 0 0.5 1

Su

ηu

B.V,H.T. H.V,B.T.

x/H = 0.60.0

1.01.2

1.41.6

1.82.0

(λ= 0.25) (λ= 0.17)

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-1 -0.5 0 0.5 1

Su

ηu

B.V,H.T. H.V,B.T.

x/H = 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1 -0.5 0 0.5 1

Su

ηu

B.V,H.T. H.V,B.T.

x/H = 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

(λ= 0.13)

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-1 -0.5 0 0.5 1

Su

ηu

B.V,H.T. H.V,B.T.

x/H = 1.8 2.0

Figure E.21 – Coefficient de dissymétrie de la vitesse pour ∆T =−25K.


E.22 Coefficient de dissymétrie de la température

(λ= 0.50) (λ= 0.33)

-4

-2

0

2

4

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

ST

ηT

X

B.V,H.T. H.V,B.T.

x/H = 0.40.6

0.81.0

1.21.4

1.61.8

2.0

-4

-2

0

2

4

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

ST

ηT

X

B.V,H.T. H.V,B.T.

x/H = 0.81.0

1.21.4

1.61.8

2.0

λ= 0.25) (λ= 0.17)

-4

-2

0

2

4

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

ST

ηT

X

B.V,H.T. H.V,B.T.

x/H = 0.40.6

0.81.0

1.21.4

1.61.8

2.0

-4

-2

0

2

4

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

ST

ηT

X

B.V,H.T. H.V,B.T.

x/H = 0.60.8

1.01.2

1.41.6

1.82.0

(λ= 0.13)

-4

-2

0

2

4

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

ST

ηT

X

B.V,H.T. H.V,B.T.

x/H = 1.2 1.6 1.8 2.0

Figure E.22 – Coefficient de dissymétrie de la température pour ∆T =−25K.

E.23 Coefficient d’aplatissement de la vitesse 291

E.23 Coefficient d’aplatissement de la vitesse

(λ= 0.50)

2

3

4

5

6

7

-1 -0.5 0 0.5 1

Ku

ηu

B.V,H.T. H.V,B.T.

x/H = 0.60.8

1.01.2

1.41.6

1.82.0

(λ= 0.25) (λ= 0.17)

2

3

4

5

6

7

-1 -0.5 0 0.5 1

Ku

ηu

B.V,H.T. H.V,B.T.

x/H = 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

2

3

4

5

6

7

-1 -0.5 0 0.5 1

Ku

ηu

B.V,H.T. H.V,B.T.

x/H = 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

(λ= 0.13)

2

3

4

5

6

7

-1 -0.5 0 0.5 1

Ku

ηu

B.V,H.T. H.V,B.T.

x/H = 1.8 2.0

Figure E.23 – Coefficient d’aplatissement de la vitesse pour ∆T =−25K.


E.24 Coefficient d’aplatissement de la température

(λ= 0.50) (λ= 0.33)

2

3

4

5

6

7

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

KT

ηT

X

B.V,H.T. H.V,B.T.

x/H = 0.40.6

0.81.0

1.21.4

1.61.8

2.0

2

3

4

5

6

7

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

KT

ηT

X

B.V,H.T. H.V,B.T.

x/H = 0.81.0

1.21.4

1.61.8

2.0

(λ= 0.25) (λ= 0.17)

2

3

4

5

6

7

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

KT

ηT

X

B.V,H.T. H.V,B.T.

x/H = 0.40.6

0.81.0

1.21.4

1.61.8

2.0

2

3

4

5

6

7

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

KT

ηT

X

B.V,H.T. H.V,B.T.

x/H = 0.60.8

1.01.2

1.41.6

1.82.0

(λ= 0.13)

2

3

4

5

6

7

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

KT

ηT

X

B.V,H.T. H.V,B.T.

x/H = 1.4 1.6 1.8 2.0

Figure E.24 – Coefficient d’aplatissement de la température pour ∆T =−25K.

E.25 Lignes d’expansion des vitesse et température moyenne 293

E.25 Lignes d’expansion des vitesse et températuremoyenne


a)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

H.V., B.T.

B.V., H.T.

ΦU0.1ΦU0.3

ΦU0.5ΦU0.7

ΦU0.9

b)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

H.V., B.T.

B.V., H.T.

ΦU0.1ΦT0.3

ΦT0.5ΦT0.7

ΦT0.9

Figure E.25 – Lignes d’expansion de (a) la vitesse, (b) la température moyenne pourλ= 0.50, ∆T =−25K.


a)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

H.V., B.T.

B.V., H.T.

ΦU0.1ΦU0.3

ΦU0.5ΦU0.7

ΦU0.9

b)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

H.V., B.T.

B.V., H.T.

ΦU0.1ΦT0.3

ΦT0.5ΦT0.7

ΦT0.9



a)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

H.V., B.T.

B.V., H.T.

ΦU0.1ΦU0.3

ΦU0.5ΦU0.7

ΦU0.9

b)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

H.V., B.T.

B.V., H.T.

ΦU0.1ΦT0.3

ΦT0.5ΦT0.7

ΦT0.9



a)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

H.V., B.T.

B.V., H.T.

ΦU0.1ΦU0.3

ΦU0.5ΦU0.7

ΦU0.9

b)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

H.V., B.T.

B.V., H.T.

ΦU0.1ΦT0.3

ΦT0.5ΦT0.7

ΦT0.9



a)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

H.V., B.T.

B.V., H.T.

ΦU0.1ΦU0.3

ΦU0.5ΦU0.7

ΦU0.9

b)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

H.V., B.T.

B.V., H.T.

ΦU0.1ΦT0.3

ΦT0.5ΦT0.7

ΦT0.9

Figure E.29 – Lign es d’expansion de (a) la vitesse, (b) la température moyenne pourλ= 0.50, ∆T =−25K.


a)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

H.V., B.T.

B.V., H.T.

ΦU0.1ΦU0.3

ΦU0.5ΦU0.7

ΦU0.9

b)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

H.V., B.T.

B.V., H.T.

ΦU0.1ΦT0.3

ΦT0.5ΦT0.7

ΦT0.9



a)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

H.V., B.T.

B.V., H.T.

ΦU0.1ΦU0.3

ΦU0.5ΦU0.7

ΦU0.9

b)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

H.V., B.T.

B.V., H.T.

ΦU0.1ΦT0.3

ΦT0.5ΦT0.7

ΦT0.9



a)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

H.V., B.T.

B.V., H.T.

ΦU0.1ΦU0.3

ΦU0.5ΦU0.7

ΦU0.9

b)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

H.V., B.T.

B.V., H.T.

ΦU0.1ΦT0.3

ΦT0.5ΦT0.7

ΦT0.9



a)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

H.V., B.T.

B.V., H.T.

ΦU0.1ΦU0.3

ΦU0.5ΦU0.7

ΦU0.9

b)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

H.V., B.T.

B.V., H.T.

ΦU0.1ΦT0.3

ΦT0.5ΦT0.7

ΦT0.9



a)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

H.V., B.T.

B.V., H.T.

ΦU0.1ΦU0.3

ΦU0.5ΦU0.7

ΦU0.9

b)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

H.V., B.T.

B.V., H.T.

ΦU0.1ΦT0.3

ΦT0.5ΦT0.7

ΦT0.9



a)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

H.V., B.T.

B.V., H.T.

ΦU0.1ΦU0.3

ΦU0.5ΦU0.7

ΦU0.9

b)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

B.V., H.T.

H.V., B.T.

ΦU0.1ΦT0.3

ΦT0.5ΦT0.7

ΦT0.9

Figure E.35 – Lignes d’expansion de (a) la vitesse, (b) la température moyenne pourλ= 0.50, ∆T = +10K.


a)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

H.V., B.T.

B.V., H.T.

ΦU0.1ΦU0.3

ΦU0.5ΦU0.7

ΦU0.9

b)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

B.V., H.T.

H.V., B.T.

ΦU0.1ΦT0.3

ΦT0.5ΦT0.7

ΦT0.9



a)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

H.V., B.T.

B.V., H.T.

ΦU0.1ΦU0.3

ΦU0.5ΦU0.7

ΦU0.9

b)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

B.V., H.T.

H.V., B.T.

ΦU0.1ΦT0.3

ΦT0.5ΦT0.7

ΦT0.9



a)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

H.V., B.T.

B.V., H.T.

ΦU0.1ΦU0.3

ΦU0.5ΦU0.7

ΦU0.9

b)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

B.V., H.T.

H.V., B.T.

ΦU0.1ΦT0.3

ΦT0.5ΦT0.7

ΦT0.9



a)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

H.V., B.T.

B.V., H.T.

ΦU0.1ΦU0.3

ΦU0.5ΦU0.7

ΦU0.9

b)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

B.V., H.T.

H.V., B.T.

ΦU0.1ΦT0.3

ΦT0.5ΦT0.7

ΦT0.9



a)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

H.V., B.T.

B.V., H.T.

ΦU0.1ΦU0.3

ΦU0.5ΦU0.7

ΦU0.9

b)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

B.V., H.T.

H.V., B.T.

ΦU0.1ΦT0.3

ΦT0.5ΦT0.7

ΦT0.9



a)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

H.V., B.T.

B.V., H.T.

ΦU0.1ΦU0.3

ΦU0.5ΦU0.7

ΦU0.9

b)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

B.V., H.T.

H.V., B.T.

ΦU0.1ΦT0.3

ΦT0.5ΦT0.7

ΦT0.9



a)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

H.V., B.T.

B.V., H.T.

ΦU0.1ΦU0.3

ΦU0.5ΦU0.7

ΦU0.9

b)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

B.V., H.T.

H.V., B.T.

ΦU0.1ΦT0.3

ΦT0.5ΦT0.7

ΦT0.9



a)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

H.V., B.T.

B.V., H.T.

ΦU0.1ΦU0.3

ΦU0.5ΦU0.7

ΦU0.9

b)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

B.V., H.T.

H.V., B.T.

ΦU0.1ΦT0.3

ΦT0.5ΦT0.7

ΦT0.9



a)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

H.V., B.T.

B.V., H.T.

ΦU0.1ΦU0.3

ΦU0.5ΦU0.7

ΦU0.9

b)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y/H

x/H

B.V., H.T.

H.V., B.T.

ΦU0.1ΦT0.3

ΦT0.5ΦT0.7

ΦT0.9



E.26 Iso-contours des valeurs rms de vitesse et detempérature

E.26 Iso-contours des valeurs rms de vitesse et de température 315

a)

1 1.5 2

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0

H.V., B.T.

B.V., H.T.

10.8

0.60.4

0.2x/H

y/H

b)

1 1.5 2

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0

H.V., B.T.

B.V., H.T.

10.8

0.60.4

0.2x/H

y/H

Figure E.45 – Iso-contours des valeurs rms de (a) vitesse et (b) température pour∆T =−25K, λ= 0.50.


a)

1 1.5 2

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0

H.V., B.T.

B.V., H.T.

10.8

0.60.4

0.2x/H

y/H

b)

1 1.5 2

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0

H.V., B.T.

B.V., H.T.

10.8

0.60.4

0.2x/H

y/H



a)

1 1.5 2

-0.1

0

0.1

0

H.V., B.T.

B.V., H.T.

10.8

0.60.4

0.2x/H

y/H

b)

1 1.5 2

-0.1

0

0.1

0

H.V., B.T.

B.V., H.T.

10.8

0.60.4

0.2x/H

y/H



a)

1 1.5 2

-0.1

0

0.1

0

H.V., B.T.

B.V., H.T.

10.8

0.60.4

0.2x/H

y/H

b)

1 1.5 2

-0.1

0

0.1

0

H.V., B.T.

B.V., H.T.

10.8

0.60.4

0.2x/H

y/H



a)

1 1.5 2

-0.2-0.100.10.2

0

H.V., B.T.

B.V., H.T.

10.8

0.60.4

0.2x/H

y/H

b)

1 1.5 2

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0

H.V., B.T.

B.V., H.T.

10.8

0.60.4

0.2x/H

y/H



a)

1 1.5 2

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0

H.V., B.T.

B.V., H.T.

10.8

0.60.4

0.2x/H

y/H

b)

1 1.5 2

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0

H.V., B.T.

B.V., H.T.

10.8

0.60.4

0.2x/H

y/H



a)

1 1.5 2

-0.1

0

0.1

0

H.V., B.T.

B.V., H.T.

10.8

0.60.4

0.2x/H

y/H

b)

1 1.5 2

-0.1

0

0.1

0

H.V., B.T.

B.V., H.T.

10.8

0.60.4

0.2x/H

y/H



a)

1 1.5 2

-0.1

0

0.1

0

H.V., B.T.

B.V., H.T.

10.8

0.60.4

0.2x/H

y/H

b)

1 1.5 2

-0.1

0

0.1

0

H.V., B.T.

B.V., H.T.

10.8

0.60.4

0.2x/H

y/H



a)

0.5 1 1.5 2

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0

B.V., H.T.

H.V., B.T.

10.8

0.60.4

0.2x/H

y/H

b)

0.5 1 1.5 2-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0

B.V., H.T.

H.V., B.T.

10.8

0.60.4

0.2x/H

y/H

Figure E.53 – Iso-contours des valeurs rms de (a) vitesse et (b) température pour∆T = +10K, λ= 0.50.


a)

1 1.5 2

-0.1

0

0.1

0.2

0

B.V., H.T.

H.V., B.T.

10.8

0.60.4

0.2x/H

y/H

b)

0.5 1 1.5 2-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0

B.V., H.T.

H.V., B.T.

10.8

0.60.4

0.2x/H

y/H



a)

1 1.5 2-0.1

0

0.1

0

B.V., H.T.

H.V., B.T.

10.8

0.60.4

0.2x/H

y/H

b)

1 1.5 2-0.1

0

0.1

0

B.V., H.T.

H.V., B.T.

10.8

0.60.4

0.2x/H

y/H



a)

1 1.5 2

-0.1

0

0.1

0

B.V., H.T.

H.V., B.T.

10.8

0.60.4

0.2x/H

y/H

b)

1 1.5 2

-0.1

0

0.1

0

B.V., H.T.

H.V., B.T.

10.8

0.60.4

0.2x/H

y/H



a)

0.5 1 1.5 2

-0.2-0.100.10.2

0

B.V., H.T.

H.V., B.T.

10.8

0.60.4

0.2x/H

y/H

b)

0.5 1 1.5 2-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0

B.V., H.T.

H.V., B.T.

10.8

0.60.4

0.2x/H

y/H



a)

1 1.5 2

-0.2-0.100.10.2

0

B.V., H.T.

H.V., B.T.

10.8

0.60.4

0.2x/H

y/H

b)

0.5 1 1.5 2-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0

B.V., H.T.

H.V., B.T.

10.8

0.60.4

0.2x/H

y/H



a)

1 1.5 2-0.1

0

0.1

0

B.V., H.T.

H.V., B.T.

10.8

0.60.4

0.2x/H

y/H

b)

1 1.5 2-0.1

0

0.1

0

B.V., H.T.

H.V., B.T.

10.8

0.60.4

0.2x/H

y/H



a)

1 1.5 2

-0.1

0

0.1

0

B.V., H.T.

H.V., B.T.

10.8

0.60.4

0.2x/H

y/H

b)

1 1.5 2

-0.1

0

0.1

0

B.V., H.T.

H.V., B.T.

10.8

0.60.4

0.2x/H

y/H


E.27 Flux de chaleur 331

E.27 Flux de chaleur


(x/H = 0.2) (x/H = 0.4)

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03

< ut >i

y/H

i=Ii=IIi=IIIi=IV

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

-1 -0.5 0 0.5 1

< ut >i

ηu

y0.5T y0.5u

i=Ii=IIi=IIIi=IV

(x/H = 0.8) (x/H = 1.2)

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

-1 -0.5 0 0.5 1

< ut >i

ηu

y0.5T y0.5u

i=Ii=IIi=IIIi=IV

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

-1 -0.5 0 0.5 1

< ut >i

ηu

y0.5T y0.5u

i=Ii=IIi=IIIi=IV

(x/H = 1.6) (x/H = 2.0)

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

-1 -0.5 0 0.5 1

< ut >i

ηu

y0.5T y0.5u

i=Ii=IIi=IIIi=IV

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

-1 -0.5 0 0.5 1

< ut >i

ηu

y0.5T y0.5u

i=Ii=IIi=IIIi=IV

Figure E.61 – Profils verticaux des contributions au flux de chaleur pour chaque qua-drant i= I à i= IV pour 0.2≤ x/H ≤ 2.0 (λ= 0.25, ∆T =−25K).


(x/H = 0.2) (x/H = 0.4)

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03

< ut >i

y/H

i=Ii=IIi=IIIi=IV -0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

-1 -0.5 0 0.5 1

< ut >i

ηu

y0.5Ty0.5u

i=Ii=IIi=IIIi=IV

(x/H = 0.8) (x/H = 1.2)

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

-1 -0.5 0 0.5 1

< ut >i

ηu

y0.5Ty0.5u


-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

-1 -0.5 0 0.5 1

< ut >i

ηu

y0.5Ty0.5u

i=Ii=IIi=IIIi=IV

(x/H = 1.6) (x/H = 2.0)

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

-1 -0.5 0 0.5 1

< ut >i

ηu

y0.5Ty0.5u


-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

-1 -0.5 0 0.5 1

< ut >i

ηu

y0.5Ty0.5u

i=Ii=IIi=IIIi=IV

Figure E.62 – Profils verticaux des contributions au flux de chaleur pour chaque qua-drant i= I à i= IV pour 0.2≤ x/H ≤ 2.0 (λ= 0.25, ∆T = +25K).


(x/H = 0.2) (x/H = 0.4)

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

-0.04 -0.02 0 0.02 0.04

< ut >i

y/H

i=Ii=IIi=IIIi=IV

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

-0.04 -0.02 0 0.02 0.04

< ut >i

y/H

i=Ii=IIi=IIIi=IV

(x/H = 0.8) (x/H = 1.2)

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

-0.04 -0.02 0 0.02 0.04

< ut >i

y/H

i=Ii=IIi=IIIi=IV

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

-0.04 -0.02 0 0.02 0.04

< ut >i

y/H

i=Ii=IIi=IIIi=IV

(x/H = 1.6) (x/H = 2.0)

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

-1 -0.5 0 0.5 1

< ut >i

ηu

y0.5T y0.5u

i=Ii=IIi=IIIi=IV

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

-1 -0.5 0 0.5 1

< ut >i

ηu

y0.5T y0.5u

i=Ii=IIi=IIIi=IV

Figure E.63 – Profils verticaux des contributions au flux de chaleur pour chaque qua-drant i= I à i= IV pour 0.2≤ x/H ≤ 2.0 (λ= 0.13, ∆T =−25K).


(x/H = 0.2) (x/H = 0.4)

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1 -0.5 0 0.5 1

< ut >i

ηu

y0.5Ty0.5u

i=Ii=IIi=IIIi=IV

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1 -0.5 0 0.5 1

< ut >i

ηu

y0.5Ty0.5u

i=Ii=IIi=IIIi=IV

(x/H = 0.8) (x/H = 1.2)

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1 -0.5 0 0.5 1

< ut >i

ηu

y0.5Ty0.5u

i=Ii=IIi=IIIi=IV

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1 -0.5 0 0.5 1

< ut >i

ηu

y0.5Ty0.5u

i=Ii=IIi=IIIi=IV

(x/H = 1.6) (x/H = 2.0)

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1 -0.5 0 0.5 1

< ut >i

ηu

y0.5Ty0.5u

i=Ii=IIi=IIIi=IV

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1 -0.5 0 0.5 1

< ut >i

ηu

y0.5Ty0.5u

i=Ii=IIi=IIIi=IV

Figure E.64 – Profils verticaux des contributions au flux de chaleur pour chaque qua-drant i= I à i= IV pour 0.2≤ x/H ≤ 2.0.(λ= 0.50, ∆T = +25K).


E.28 PDFs conditionnelles vitesse-température

E.28 PDFs conditionnelles vitesse-température 337

a)0

0.20.40.60.81

1.21.41.61.8

6 8 10 12 14

-3 -2 -1 0 1 2 3

Trm

s(T′ )

T [C]

T ′/Trms

(ηu =−0.79)

p(T ′)|u≥0

gauss.p(T ′)|u<0

p(T ′)

g)0

0.5

1

1.5

2

2.5

20 25 30 35 40

-3 -2 -1 0 1 2 3

Trm

s×P

(T′ )

T [C]

T ′/Trms

(ηu = +0.82)

p(T ′)|u≥0

gauss.p(T ′)|u<0

p(T ′)

b)0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

5 10 15 20

-3 -2 -1 0 1 2 3

Trm

s×P

(T′ )

T [C]

T ′/Trms

(ηu =−0.48)

p(T ′)|u≥0

gauss.p(T ′)|u<0

p(T ′)

f)0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

10 15 20 25 30 35 40

-3 -2 -1 0 1 2 3

Trm

s×P

(T′ )

T [C]

T ′/Trms

(ηu = +0.51)

p(T ′)|u≥0

gauss.p(T ′)|u<0

p(T ′)

c)0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

5 10 15 20 25

-3 -2 -1 0 1 2 3

Trm

s×P

(T′ )

T [C]

T ′/Trms

(ηu =−0.25)

p(T ′)|u≥0

gauss.p(T ′)|u<0

p(T ′)

e)0

0.050.10.150.20.250.30.350.40.45

5 10 15 20 25 30 35

-3 -2 -1 0 1 2 3

Trm

s×P

(T′ )

T [C]

T ′/Trms

(ηu = +0.28)

p(T ′)|u≥0

gauss.p(T ′)|u<0

p(T ′)

d)0

0.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5

5 10 15 20 25

-3 -2 -1 0 1 2 3

Trm

s×P

(T′ )

T [C]

T ′/Trms

(ηu =−0.02)

p(T ′)|u≥0

gauss.p(T ′)|u<0

p(T ′)

Figure E.65 – PDFs conditionnelles de vitesse-température pour x/H = 1.4 (λ= 0.25,∆T = +25K).


a)0

0.5

1

1.5

2

2.5

15 20 25 30 35 40 45

-3 -2 -1 0 1 2 3

Trm

s×P

(T′ )

T [C]

T ′/Trms

(ηu =−0.77)

p(T ′)|u≥0

gauss.p(T ′)|u<0

p(T ′)

g)0

0.5

1

1.5

2

2.5

2 4 6 8 10 12 14 16 18

-3 -2 -1 0 1 2 3

Trm

s×P

(T′ )

T [C]

T ′/Trms

(ηu = +0.80)

p(T ′)|u≥0

gauss.p(T ′)|u<0

p(T ′)

b)0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 10 20 30 40 50

-3 -2 -1 0 1 2 3

Trm

s×P

(T′ )

T [C]

T ′/Trms

(ηu =−0.47)

p(T ′)|u≥0

gauss.p(T ′)|u<0

p(T ′)

f)0

0.10.20.30.40.50.60.70.80.91

-5 0 5 10 15 20 25 30

-3 -2 -1 0 1 2 3

Trm

s×P

(T′ )

T [C]

T ′/Trms

(ηu = +0.40)

p(T ′)|u≥0

gauss.p(T ′)|u<0

p(T ′)

c)0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0 10 20 30 40

-3 -2 -1 0 1 2 3

Trm

s×P

(T′ )

T [C]

T ′/Trms

(ηu =−0.23)

p(T ′)|u≥0

gauss.p(T ′)|u<0

p(T ′)

e)0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

-5 0 5 10 15 20 25 30 35

-3 -2 -1 0 1 2 3

Trm

s×P

(T′ )

T [C]

T ′/Trms

(ηu = +0.26)

p(T ′)|u≥0

gauss.p(T ′)|u<0

p(T ′)

d)0

0.050.10.150.20.250.30.350.40.45

0 5 10 15 20 25 30 35 40

-3 -2 -1 0 1 2 3

Trm

s×P

(T′ )

T [C]

T ′/Trms

(ηu =−0.03)

p(T ′)|u≥0

gauss.p(T ′)|u<0

p(T ′)

Figure E.66 – PDFs conditionnelles de vitesse-température pour x/H = 1.4 (λ= 0.25,∆T =−25K).

E.28 PDFs conditionnelles vitesse-température 339

(x/H = 0.1) (x/H = 0.2)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0 5 10 15 20 25

-3 -2 -1 0 1 2 3

Trm

s×P

(T′ )

T [C]

T ′/Trms

(ηu = +0.05)

p(T ′)|u≥0

gauss.p(T ′)|u<0

p(T ′)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0 5 10 15 20 25

-3 -2 -1 0 1 2 3

Trm

s×P

(T′ )

T [C]

T ′/Trms

(ηu =−0.08)

p(T ′)|u≥0

gauss.p(T ′)|u<0

p(T ′)

(x/H = 0.4) (x/H = 0.6)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 5 10 15 20 25 30

-3 -2 -1 0 1 2 3

Trm

s×P

(T′ )

T [C]

T ′/Trms

(ηu =−0.24)

p(T ′)|u≥0

gauss.p(T ′)|u<0

p(T ′)

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

-5 0 5 10 15 20 25 30

-3 -2 -1 0 1 2 3

Trm

s×P

(T′ )

T [C]

T ′/Trms

(ηu =−0.32)

p(T ′)|u≥0

gauss.p(T ′)|u<0

p(T ′)

(x/H = 0.8) (x/H = 1.0)

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

0 5 10 15 20 25 30

-3 -2 -1 0 1 2 3

Trm

s×P

(T′ )

T [C]

T ′/Trms

(ηu =−0.37)

p(T ′)|u≥0

gauss.p(T ′)|u<0

p(T ′)

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

0 5 10 15 20 25 30

-3 -2 -1 0 1 2 3

Trm

s×P

(T′ )

T [C]

T ′/Trms

(ηu =−0.39)

p(T ′)|u≥0

gauss.p(T ′)|u<0

p(T ′)

Figure E.67 – PDFs conditionnelles de vitesse-température obtenues sur l’axe y = 0pour 0.2≤ x/H ≤ 2.0 (λ= 0.50, ∆T = +25K).


(x/H = 0.4) (x/H = 0.6)

00.050.10.150.20.250.30.350.40.45

5 10 15 20 25

-3 -2 -1 0 1 2 3

Trm

s×P

(T′ )

T [C]

T ′/Trms

(ηu =−0.04)

p(T ′)|u≥0

gauss.p(T ′)|u<0

p(T ′)

00.050.10.150.20.250.30.350.40.45

0 5 10 15 20 25 30

-3 -2 -1 0 1 2 3

Trm

s×P

(T′ )

T [C]

T ′/Trms

(ηu =−0.02)

p(T ′)|u≥0

gauss.p(T ′)|u<0

p(T ′)

(x/H = 0.8) (x/H = 1.0)

00.050.10.150.20.250.30.350.40.45

0 5 10 15 20 25 30 35

-3 -2 -1 0 1 2 3

Trm

s×P

(T′ )

T [C]

T ′/Trms

(ηu = +0.03)

p(T ′)|u≥0

gauss.p(T ′)|u<0

p(T ′)

00.050.10.150.20.250.30.350.40.45

0 5 10 15 20 25 30 35

-3 -2 -1 0 1 2 3

Trm

s×P

(T′ )

T [C]

T ′/Trms

(ηu = +0.00)

p(T ′)|u≥0

gauss.p(T ′)|u<0

p(T ′)

(x/H = 1.4) (x/H = 2.0)

00.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5

5 10 15 20 25 30

-3 -2 -1 0 1 2 3

Trm

s×P

(T′ )

T [C]

T ′/Trms

(ηu =−0.00)

p(T ′)|u≥0

gauss.p(T ′)|u<0

p(T ′)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

5 10 15 20 25 30 35

-3 -2 -1 0 1 2 3

Trm

s×P

(T′ )

T [C]

T ′/Trms

(ηu = +0.01)

p(T ′)|u≥0

gauss.p(T ′)|u<0

p(T ′)

Figure E.68 – PDFs conditionnelles de vitesse-température obtenues sur l’axe y =y0.5u pour 0.4≤ x/H ≤ 2.0 (λ= 0.33, ∆T = +25K).

Thèse de doctorat ; Malick NdoyeAnémométrie fil chaud à température variable, application à l’étude d’une

couche de mélange anisotherme

Le couplage vitess-température est étudié au sein d’une couche de mélange aniso-therme avec une nouvelle technique d’anémométrie fil chaud à température de fil variable(PCTA) qui permet des mesures simultanées de vitesse et de température en un pont avecun fil unique. Elle repose sur la variation périodique du coefficient de surchauffe du fil.Une procédure d’étalonnage spécifique et une méthode de traitement du signal basée surles algorithmes de Levenberg-Marquardt ont été mises au point. La technique est validéepar comparaison avec les méthodes classiques de l’anémométrie à fil chaud, tempéra-ture constante (CTA) et courant constante (CCA) dans une configuration d’écoulementanisotherme.

La couche de mélange est étudiée pour différentes conditions initiales en termes degradients de vitesse et de température. Le comportement propre du champ de tempéra-ture est mis en évidence et analysé en relation avec celui du champ de vitesse à traversdes grandeurs moyennes comme la forme des profils transversaux, l’expansion, la dis-symétrie, puis à travers le comportement des fluctuations turbulentes. Les densités deprobabilité de la température sont de type « marching » dans la région de développementet « non marching » dans la région de similitude. Le synchronisme des mesures vitesse-températurepermet une analyse fine des interactions des fluctuations de vitessse et detempérature dans le mélange turbulent : des corrélations, des probabilités condition-nellles et une analyse en quadrant, confirment la prédominance, dans le flux de chaleurturbulent, des éjections aux points selles des régions inter-tourbilonnaires.

PhD thesis ; Malick NdoyeVariable Temperature Hot wire Anemometry applied to the study of a

non-isothermal mixing layer

The coupling of the velocity and temperature dynamics are studied in a non-isothermalmixing layer air flow using principally a new variable temperature hot wire anemome-try method (PCTA), designed and implemented for the simultaneous measurement ofvelocity and temperature at the same point with a single wire. It relies on periodically va-rying the overheat ratio of the wire. Specific calibration procedure and signal processingmethod based on Levenberg-Marquardt algorithms are proposed. The technique is vali-dated through comparisons with measurements by classical hot wire methods constanttemperature (CTA) and constant current (CCA) in non-isothermal flow configuration.

The mixing layer has been studied inseveral conditions as regards the inlet conditionsin velocity and temperature gradients. The thermal field development was found to followa specific behaviour as compared to that of the velocity field in terms of transverse profilesshape, dependency on the shear stress coefficientand the Reynolds number, thickness,expansion, and dissymetry across the longitudinal axis. Temperature probability densityfunctions were found to be « non marching » in the devlopment region and « marching »in the self-similarity region. The synchronism of the velocity-temperature measurementsmade possible a fine analysis of the velocity and temperature fluctuation interactionsin the turbulent mixing process : correlations, conditional probability density functionsand quadrant analysis point out the dominance of the saddle-point ejections in the eddyheat flux.

Mots-clés : Ecoulement cisaillé - Anémométrie fil chaud - Turbulence - Thermique -Régression Levenberg-Marquardt

Documents

Anémométrie fil chaud à température variable : …theses.univ-poitiers.fr/4642/2008-Ndoye-Elhadji-Malick-These.pdf · 7.1 Conclusions ... 2.14 Eﬀet de la masse volumique sur