Anisotropie des propriétés optiques des métaux alcalins

Anisotropie des proprietes optiques des metaux alcalins

Roger Garron

The calculations of the optical conductivity, relative to the transitions due to surface states, are performedwith the light polarized perpendicularly to the surface of the film. In the spectral range where this sort ofabsorption exists, the superficial film shows a selective anisotropy. We develop the importance of this an-isotropy on the validity of the methods concerning the measurements of the optical parameters and speciallythe conductivity. Our calculations are compared with the experimental optical parameters for potassium.A good agreement is obtained between our results and the experimental values in the infrared spectralrange.

1. Introduction

La dispersion des rsultats des mesures de la con-ductibilite optique des metaux alcalins est un fait not-oire; les valeurs obtenues par les diff6rents auteurspresentent entre elles, et souvent avec les predictionsth6oriques bases sur le modele de l'e1ectron quasi libre,des differences consid6rables. Une revue bibliogra-phique des resultats recents a ete publi6e par Rouard,1et nous ne la reprendrons pas ici. Rappelons cependantque ces anomalies sont caract6risees, dans la regionspectrale s'etendant de l'infrarouge au proche ultravi-olet, par l'existence de bandes d'absorption dont lesseuils se situent au-dessous du seuil de transitions in-terbandes, mais dans un domaine ouL l'absorption deDrude est faible. Cette bande anormale n'apparait pasdans certaines conditions exp6rimentales que nousaurons l'occasion de preciser par la suite, mais des ecartsimportants A la th6orie de Drude, nettement sup6rieursaux erreurs estimees, subsistent pour toutes les me-sures.

L'interpretation de ces rsultats divergents a faitl'objet d'un grand nombre de travaux th6oriques sur lesprocessus 6l6mentaires dexcitation lectronique,2-6ainsi que sur les excitations d'oscillations collectivesparallelement A la surface du support, le couplage del'onde 6lectromagn6tique incidente avec les plasmonsde surface etant rendu possible par les rugosites de cettesurface.7 ,8

The author is with Universite d'Aix-Marseille III, Faculte des sci-ences et techniques de Saint Jerome, Laboratoire d'6mission elec-tronique, rue H. Poincar6, Marseille-Cedex 4, France.

Received 18 July 1980.0003-6935/81/101747-08$00.50.0.© 1981 Optical Society of America.

Tres recemment, nous avons propos6 une interpr6-tation de ces bandes anormales basee sur la possibilitede transitions entre 6tats de surface et de volume9"10pour des monocristaux alcalins tailles suivant une di-rection quelconque mais claires normalement A lasurface suppose parfaitement plane. Nous 6tendonsici ce calcul A une direction quelconque du vecteurpolarisation de la lumiere par rapport A la normale A lasurface.

11. Structure de bande complexe et conductibiliteoptique

Si l'on considere, avec Heine," l'6nergie E des 6lec-trons du cristal comme une fonction complexe dunombre d'onde complexe k, cette 6nergie est r6elle dansles deux cas suivants: (1) le long de l'axe reel, o lapartie imaginaire du vecteur k est nulle (tats de vol-ume); (2) pour certaines valeurs de la partie r6elle de kqui situent, dans le cas d'un cristal tridimensionnel,l'energie sur des boucles de lignes relles; ces bouclesrelient entre elles les bandes de volume dans l'espacecomplexe k. Heine a montre que ces lignes reelles sonttelles que

k = - K + i,2

(1)

ou k est un vecteur du reseau reciproque, qui peut etreeventuellement nul, ,t un vecteur porte par la normaleA la surface du cristal.1

Le probleme s6culaire, qui fait intervenir pour chaquevaleur du vecteur d'onde k deux inconnues, A savoirl'energie E(k) et le vecteur ,u, peut etre resolu en 6cri-vant 1'equation de Schrodinger A l'int6rieur du cristalet l'equation de continuite de la fonction d'onde A lasurface du cristal. Dans ces conditions, le calcul desniveaux energ6tiques de surface est essentiellement unprobleme de raccordement, et l'existence meme desniveaux est li6e A la possibilite d'6galer les rapports V/14

15 May 1981 / Vol. 20, No. 10 / APPLIED OPTICS 1747

de part et d'autre de la surface, 4 et ' 6tant respec-tivement la fonction d'onde de 1'etat k et sa d6riv6e.

Les seules hypotheses A faire sont relatives au choixdes potentiels A l'int6rieur et a 1'ext6rieur du cristal. A1'inthrieur du cristal, on peut appliquer pour les m6tauxalcalins la m6thode du pseudo-potentiel, qui donne unedescription correcte de la structure dlectronique.' 2Nous avons discut6 pour chacun des m6taux etudies leslimites de validit6 de cette m6thode et la pr6cision quel'on peut esp6rer.9"10

L'6tude du potentiel A 1'ext6rieur et au voisinage dela surface du cristal a fait l'objet d'un certain nombrede travaux importants ces dernieres ann6es,' 3 mais lecalcul le plus complet, incluant les proprietes du r6seau,nous parait etre celui de Lang et Kohn1 4 : partant dela solution autocoh6rente pour le modele A densit6 decharge uniforme, ils introduisent les corrections dupremier ordre du pseudo-potentiel du r6seau A 1'6nergiede surface. C'est le potentiel calcul6 par ces auteurs quenous avons utilis6.9"0

Les calculs conduisent aux conclusions suivantes:(a) si k, d6signe la composante du vecteur k normale

A Ia surface pour chaque couple de valeurs ,ky), un6tat de surface ne peut exister qu'a des niveaux d'6n-ergie interdits pour les 6tats de volume, A 1'exception des6tats r6sonants pour lesquels le parametre g s'annule;

(b) le vecteur , n'admet qu'une composante p sui-vant 1'axe z; cette composante d6pend du vecteur d'ondek;

(c) pour k = =F(r/a)V/2, a tant le parametre dur6seau, c'est-a-dire pour des 6tats situ6s sur la premierezone de Brillouin, les niveaux 6nerg6tiques de surfacesont au-dessus du niveau de Fermi et inoccupes dansl'etat fondamental.

Cette structure complexe conduit A envisager lapossibilite de trois types de transitions, en plus destransitions interbandes classiques, A savoir:

(1) des transitions depuis des tats de surface oc-cup6s vers des 6tats de volume inoccupes (type A);

(2) des transitions depuis des tats de volume oc-cup6s vers des 6tats de surface inoccup6s (type B);

(3) des transitions entre 6tats de surface (type C).Dans le domaine spectral s'etendant de l'infrarouge

au proche ultraviolet, seules nous int6ressent dans le casdes alcalins les transitions des types A et B, les transi-tions du type C faisant intervenir des 6nergies toujourssup6rieures A 4 eV.

Nous avons 6tudi6 ces deux types de transition dans1'hypoth6se de la conservation de la composante par-allele a la surface du vecteur k (transitions directes), cequi n'implique pas la stricte conservation du vecteur k,puisque ltat initial ou final est 1i6.

Le calcul de la partie imaginaire E2 QO) de la constantedi6lectrique e est classique' 5 et conduit A une expressionde la forme

4h2e2 rE2 (Co) =-2 J dk e Mif 26(Ef - - h), (2)

oi la sommation est 6tendue a tous les 6tats k occup6s.Les constantes qui interviennent dans cette expressionont leur signification habituelle; la fonction 3 exprime

la seconde regle de s6lection qui r6sume la conservationde 1'6nergie; 1'6l6ment de matrice de la transition d6-pend des fonctions d'onde des 6tats final et initial sui-vants:

e*Mif = (fI e. VI 4) (3)

out e est le vecteur polarisation de la lumiee incidente.On peut transformer la relation (2) en utilisant lespropri6t6s de la fonction 6 (r6f. 15):

E2(CO) = 4h2e 2 e MiflI 2 -| dS,rm%22 fJs gradk(Ef -EjIfEjh

(4)

ou 1'int6gration est 6tendue a la surface d'6gale differ-ence d'6nergie dans lespace des k, d6finie par Ef -E= ho.

La conductibilite o-(co) s'en d6duit facilement suivantla relation

c w) U(W) = - E2(C).47r

(5)

Compte tenu que, dans 'expression des fonctionsd'onde de surface qui interviennent explicitement dansle calcul de 1'6l6ment de transition, seule la composanteh2 est complexe, on peut s'attendre A ce que la conduc-tibilite de surface, soit as (), d6pende de l'orientationdu vecteur champ lectrique de l'onde lumineuse parrapport a la normale a la surface. En effet, si Yon ex-plicite les 6l6ments de matrice pour les transitions dutype A respectivement pour un vecteur polarisationparallle et perpendiculaire A la surface du cristal, dans'approximation des 6lectrons quasi libres (m6thode du

pseudo-potentiel) et pour des transitions verticales, onobtient les expressions:

e- Mif 21, 2k

X 1 + 2 (' W00K} [j 2 + hz(k-4)]Kz [E°0 (k) - EW)(k + K)][,U2 + (k - KZ)21

(6)

pour une vibration lumineuse parallele au plan de lasurface,

e MifI2=1j2 2A

x 1 + 2 Z' W(0OK2 )[A2

+ k (k. - K2)]; Kz [E(-(k) E (k + K)J[M2 + (k - KZ)211

(7)

pour une vibration suivant k, perpendiculaire au plande la surface.

Dans ces expressions, les w (OOK) sont les coefficientsde Fourier du dveloppement du pseudo-potentiel,E(°)(k) et E{0)(k + K) les 6nergies dans 1'approximationdes lectrons libres des tats Ik) et Ik + K). Enfin, 6est la profondeur de p6n6tration de la lumiere dans lecristal.

L'expression de '6I6ment de matrice pour une di-rection de polarisation faisant 1'angle (r/2) - a avec lanormale A la surface s'en dduit:

1748 APPLIED OPTICS / Vol. 20, No. 10 / 15 May 1981

" ni}'hi ,2

\1111 /

'.4

'.3

3.1

Fig. 1. Variations du paramatre en A- (en traits pleins) et durapport (/k) 2 (courbe en traits discontinus) en fonction de la pro-

jection du vecteur d'onde dans le plan de la surface.

le . Mif| 2 = - (A2 sin2 a + ki cos2 a)

X 1 +2 w(0Kz)[1 2 + k (k2 - KI)]

Kz [E(0 )(k)- E( 0)(k + K)I[p 2 + (k - K)2-

(8)

Considerant ces expressions, on peut en degager lesdeux remarques suivantes:

(1) les 6l6ments de matrice, donc la conductibilite,d6pendent explicitement de la profondeur 6 de p6n6-tration de la lumiere. Ceci implique pour le cristal uneinhomog6n6ite s6lective de l'absorption, dont quelquesconsequences ont developpees dans un articlepr6c6dent. 16

(2) les 6lements de matrice d6pendent de l'orienta-tion du vecteur polarisation de la lumiere par rapportA la normale A la surface, ce qui implique pour le cristalune anisotropie slective. La normale A la surface estun axe de revolution; la couche de surface a les pro-pri6t6s d'un cristal uniaxe taille perpendiculairementA I'axe.

On peut obtenir un ordre de grandeur de cette ani-sotropie en remarquant que le rapport des 66ments dematrice des vibrations respectivement parallele etperpendiculaire A la surface est egal A(k11 //p)2.

La fig. 1 repr6sente pour le potassium les variationsde A et (/k 1)2 en fonction de k11pour les 6nergies in-f6rieures au niveau de Fermi. Elle permet de pr6voirune conductibilite al (polarisation perpendiculaire Ala surface) d'un ordre de grandeur dix fois plus faibleque celui de all (polarisation parallele A la surface). Lesvariations de la conductibilite as de surface sont rep-r6sentees pour le potassium, sur la fig. 2, en fonction de

l'6nergie de la radiation incidente. La profondeur depenetration de la lumiere est de 500 A; ces courbes,relatives aux transitions du type A, seules importantesdans le cas du potassium, ont e calcules pourquelques directions de polarisation. L'absorption passepar un pic tres net au voisinage de 0.7 eV, c'est-A-direbien avant le seuil des transitions interbandes, dans uner6gion spectrale of l'absorption de Drude n'est pas n6-gligeable. Mais cette bande d'absorption est d'autantplus marquee que le vecteur polarisation se rapprochedu plan de la surface.

11. Critiques des methodes de mesure de laconductibilite optique

Grossierement, on peut classer les m6thodes de me-sure des constantes optiques des m6taux en deux cat6-gories: d'une part, les m6thodes ellipsom6triques quifont intervenir les reponses du cristal aux champs s etp, d'autre part, les mesures des facteurs de r6flexion enincidence quasi normale, qui ne font intervenir que-lesr6ponses du cristal au champ p.

Nous supposons la surface tudi6e parfaitementplane, monocristalline, exempte d'asp6rit6s et de d6-fauts, orient6e suivant une face determinee. Dans lesm6thodes bas6es sur les mesures des facteurs de r-flexion, of l'incidence est quasi normale, la contributionde la conductibilite de surface est maximale et les me-sures basees sur ces m6thodes doivent la mettre en ev-idence. C'est, en particulier, le cas des mesures desconstantes optiques des couches minces, dans lesquellesla bande anormale d'absorption est toujours prepon-d6rante.17,1 8

a.3

.c.

0I4

0,2.

14 1(FIg1- I-

Fig. 2. Conductibilit6 de surface en fonction de 1'6nergie de la ra-diation incidente pour quelques valeurs de l'angle d'incidence.


Par contre, les mesures par ellipsom6trsur la comparaison directe des facteurs det r respectivement en polarisation p etcis6ment, si l'on introduit le rapport con

p tg, exp(iA)

avec rp r.l = tgip, la permittivite comi(2 est li6e aux angles it et A par des relapour une surface de separation limitantisotropes. Nous rappelons ci-dessousclassiques9:

e1 = nltg 2i sin2icos224/ - sin2 24 sin 2A

(1 - sin24 cosA)2

rie sont baseesle r6flexion rp

IV. Variations des parametres optiques avec 'angled'incidence

t S. lus pre- Nous conservons dans ce chapitre l'hypothese d'uneiplexe surface de separation parfaitement plane, entre deux

milieux dont le premier est un di6lectrique non ab-(9) sorbant, homogene et isotrope, d'indice r6el n1 (vide ou

substrat), le second un milieu absorbant anisotrope,l'axe optique 6tant normal A la surface de separation.

plexe C = l + Cette surface recoit un faisceau de lumiere parallele sousttions sim ples, l'angle d'incidence i. Nous designerons par n*, l'indice;deux mlieux complexe ordinaire suivant la normale A la surface; ne,ces relations l'indice complexe extraordinaire dans le plan de la

surface; a*, l'angle de refraction complexe, a sa partiereelle. Suivant des resultats classiques,2 4 l'angle a* se

n2l 2i, (10) calcule suivant la loi de Descartes g6neralis6e aux ma-n1 sin (10) t6riaux absorbants:

C2 2 g2i- sin 2. sin44 sin62= 2,t z*l

gI (1 - sin24 cosA)2

of i est l'angle d'incidence, n, l'indice du premier milieusuppose non absorbant.

La mesure, directe ou indirecte suivant les m6thodesutilisees, 20'21 des parametres 4' et A permet le calcul dela permittivit6 C. Smith 2 2 a montr6 que, pour des ma-t6riaux tres absorbants comme le sont les m6taux al-calins dans le proche infrarouge, la partie imaginaire f2est essentiellement d6terminee par le parametre 4' etque tout accident, pic ou dispersion, dans les variationsspectrales de 62 , doit se representer dans les variationscorrespondantes des valeurs mesurees de 4.

Cependant, le probleme n'est pas aussi simple dansle domaine spectral of la conductibilite de surface n'estpas n6gligeable, le metal se comportant alors comme unmilieu anisotrope. Si Ce designe la permittivite relativeA la polarisation p, E celle de la polarisation s fonctionde l'angle a, on peut crire les facteurs de rflexionsuivant des expressions classiques:

(12)

of n* est l'indice du m6tal dans la direction a. Laphase cb de l'onde transmise

4, = k* r =-n*[x s + z . szt)] (13)

peut s'ecrire, en posant n* = v + iX et en s6parant lesparties reelle et imaginaire,

cob =-nl *sini-*x +Re(nz*-*cosae*)z +i-*Im(n* cosa*)z. (14)

Les surfaces d'6gale amplitude sont des plans paralleesA la surface de separation (z = constante), les plans6quiphases admettent une normale qui fait avec l'axez un angle a tel que

(15).tga-= n, sini _Re(n* cosa*)

L'amortissement est caracterise par un coefficient K2tel que

ni(Ee - n sin2)1/

2- cosi * e

nli(fe - ni sin2i)'/2 + cosi * en, cosi - (e - n2 sin2 i) 1/2

nli cosi + (e - ni sin2 i)'12

Le rapport p precedemment dfini dpend alors dequatre parametres, A savoir les parties relle et imag-inaire de 2 et , qui ne peuvent tre d6terminees a partirdes seules mesures des angles VI et A. Une premiereapproximation consiste A admettre 'egalit6 des partiesrelles de et e, en negligeant les termes correctifs in-troduits par Cohen23 dans l'expression de la partie rellede la constante di6lectrique. Cette approximation r6-duit d'une unite le nombre d'inconnues, mais le systemereste cependant ind6termin6. Il apparait donc que lesmethodes ellipsometriques limitees A des mesures sousun seul angle d'incidence ne permettent pas la deter-mination complete des constantes dielectriques com-plexes. De plus, comme nous le montrons dans ce quisuit, des mesures correctes doivent conduire A des val-eurs de la permittivite complexe dpendant de 'angled'incidence.

(16)K 2 = Im(n* cosot*).c

L'angle de refraction complexe tant fonction de lin-cidence complexe n*, on peut resoudre l'eq. (15) parapproximations successives jusqu'A l'autocoherence.Pour un angle d'incidence, et A partir de la valeur n*, oncalcule a* suivant l'eq. (12), puis a suivant l'eq. (15).L'6quation (8) donne alors une premiere approximationde as. On en d6duit une premiere approximation den* en utilisant les relations

avec C2 = (4r/co) a. Les seules hypotheses que l'on doitemettre sont relatives au calcul de la conductibilit6 to-tale a. On peut simplifier le probleme en admettantque l'absorption est localisee dans une couche homogened'6paisseur 6, dans laquelle la conductibilite de surfacea la valeur moyenne as. On utilise alors dans cettecouche l'additivite des conductibilit6s

= D + ai + UYS, (18)

out D est la conductibilit6 de Drude, ai la conductibilitedue aux transitions interbandes.


sina = ni sini,n*

n*2 = El + if 2 (17)

Pour le potassium et en admettant que la propagationde l'onde transmise s'effectue dans une couche homo-gene de profondeur moyenne 6 100 A, les variationsde l'angle a sont repr6sent6es sur la fig. 3 pour des6nergies dans le proche infrarouge. Dans l'intervallespectral consider6, le coefficient K2 est pratiquementconstant, de l'ordre de quelques 10-5 cm-1 .

Les variations spectrales correspondantes de la con-ductibilit6 a sont repr6sent6es sur la fig. 4 pour quelquesangles d'incidence. Nous insistons sur le fait que cescourbes sont calcules dans l'hypothese d'une surfaceid6ale, mais en tenant compte d'une couche de surfaceanisotrope; elles ne peuvent pas etre compares di-rectement aux r6sultats exp6rimentaux obtenues dansl'hypothese d'un cristal isotope.

La fig. 4 montre de facon spectaculaire l'importancedes 6carts entre les valeurs de la conductibilite mesureessuivant des incidences differentes. Nous devons noterque l'allure meme des variations spectrales de la con-ductibilit6 en est affect6e: dans le cas du potassium etpour les faibles incidences un maximum apparait, alorsque la courbe d6crolt rgulierement au voisinage del'incidence principale.

Notons enfm que les diffrences seront d'autant plusvisibles que l'absorption de surface se produira dans uner6gion ou l'absorption de Drude est plus faible.

V. Essal d'interpr6tation des r6sultatsexperimentaux

Dans le domaine spectral s'etendant du proche in-frarouge au visible, plus pr6cis6ment au seuil des tran-sitions interbandes, les rsultats des mesures de laconductibilit6 optique des m6taux alcalins differentprofond6ment suivant les auteurs; et ces differencessont A imputer d'une part aux m6thodes de mesure,d'autre part A la structure des 6chantillons. Suivant les

i 31* N0 go I

Fig. 3. Variations de l'angle de refraction (interface m6tal-quartz)en fonction de l'angle d'incidence pour quelques valeurs de l'6nergie

(en eV) de la radiation incidente dans le proche infrarouge.

5 -

4 -

3-

2 -

I i

14 -1ii II- £

,=8

15-

75,

3.5 1.0 hr(ev)

Fig. 4. Conductibilite optique r du potassium en fonction de 1'n-ergie de la radiation incidente pour quelques angles d'incidence.

auteurs, la conductibilite pr6sente, ou ne pr6sente pas,un pic anormal dans le domaine spectral avant le seuildes transitions interbandes. Mais, pour tous les au-teurs, la conductibilite mesur6e dans le proche infra-rouge fait apparaitre des 6carts importants aux theoriessimples bas6es sur le modele de 1'6lectron quasilibre,22 24-33 et dont l'origine n'est pas encore cer-taine.

Nous essayons dans ce qui suit de chercher commentles differences dans les m6thodes de mesure ou lastructure des chantillons peuvent se rpercuter dansles calculs de la conductibilite lorsqu'on tient comptede l'anisotropie de surface.

(1) L'indice du premier milieu intervient dans l'ex-pression de l'angle de r6fraction, donc dans l'expressionde l'indice complexe du m6tal. Nous montrons sur lafig. 5 un exemple de l'importance de l'indice du premiermilieu, pour le potassium, lorsqu'on passe du vide A unsupport de quartz, les angles d'incidence 6tant respec-tivement de 750 et 150. Pour des angles d'incidencevoisins de l'incidence principale, les angles de r6fractionsont peu diff6rents lorsqu'on passe de l'interfacem6tal-vide A l'interface m6tal-support. Par contre,pour des angles d'incidence faibles, '6cart est plusgrand, et il est d'autant plus important que 'absorptionde surface est plus grande. On peut donc conclure A unaccroissement slectif de l'importance relative desbandes anormales lorsqu'on effectue les mesures A1'interface m6tal-vide, ce qui est concr6tis6 sur la fig. 6dans le cas du potassium.

Cependant, pour des incidences voisines de l'inci-dence principale, les ecarts ne sont pas significatifs.


(2) Nous avons montr6 l'importance de 'angled'incidence et introduit une distinction entre les me-sures effectuees en incidence quasi normale et A grandeincidence. Dans le premier groupe, la determinationde la conductibilit6 utilise la mesure des facteurs der6flexion c6t6 vide et c6t6 support, 6ventuellement celledu facteur de transmission; c'est en particulier la

W-

I =7S 5

= 5, iI

- E "

m6thode de determination des constantes optiques descouches minces.17,18 On peut s'attendre, pour ce typede mesures A une importante contribution de la con-ductibilit6 de surface, ce qui est confirms par 1'exp6r-ience.1 Dans les mesures ellipsom6triques oti l'inci-dence est grande, on peut s'attendre A une contributionrelativement faible de I'absorption de surface. Ceci estconfirms par les r6sultats de Smith'22 lganaki et al. 27;

les mesures de Hodgson ont W effectu6es sous une in-cidence de 601 et font apparalitre pour le sodium unecontribution plus importante de la conductibility de

25 24surface. Par contre, les mesures de Mayer et al.,effectu6es sur Finterface m6tal-vide sous l'incidenceprincipals, mettent en 6vidence une conductibility desurface tr6s importante, ce qui semble en contradictionavec nos conclusions.

(3) Cependant, un facteur important, notammentdans les mesures effectu6es sur l'interface m6tal-vide,est 1'6tat structural de la surface. On sait en effet qu'ilest pratiquement impossible, dans Ntat actuel de latechnique, d'obtenir une bonne plan6it6 de cet interface;A ce titre, l'interface support-m6tal paralt meilleur dansla mesure di le m6tal ne r6agit pas chimiquement surle support (cas du lithium par exemple). La surfacelibre d'un m6tal est en g6n6ral constitute de rugosit6sou de granules dont la r6partition al&atoire est malconnue, et cette structure est A la base d'une th6ori deI'absorption anormale par couplage de Fonde 6lectro-magn6tique incidents aux oscillations de plasma desurface.34

Dans notre hypoth6se d'une absorption localis6 auvoisinage de la surface, les rugosit6s peuvent jouer undouble r6le que l'on ne peut appr6cier que qualitative-ment. Tout d'abord, il en r6sulte un accroissement deFimportance relative de la surface 6claire'e par rapportau volume de la couche superficielle d'6paisseur 5, doncun accroissement de l'importance relative de I'absorp-tion de surface devant celle de volume. D'autre part,la non-plan6iO de la surface modifie localement Fangledu vecteur champ 6lectrique et de la normale A la sur-face, donc en d6finitive la contribution de la conducti-bilit6 de surface la conductibility totale. Cet angled6pend de la forme des granules et de leur r6partitionstatistique sur la surface: le probl6me ne pourra 6trer6solu quantitativement qu'apr6s une 6tude plus ap-profondie de cette structure de surface.

Compte tenu que la determination des constantesoptiques suppose l'isotropie optique des m6ta'ux, queles mesures sont faites dans cette hypoth6se et qu'ellesne permettent pas la determination compl6te des con-stantes optiques (trois inconnues, pour deux 6quations),la comparaison des r6sultats de nos calculs avec 1'ex-p6rience ne peut se faire que de la fa�on suivante.

(1) On admet 1'6q. (18) pour calculer la conductibilit6o-, et pour calculer la partie r6elle de la permittivity c larelation23

II

IIIIIIIIIIIII

I

I ____ I1.5 1.1 kv on IV

Fig. 5. Variations de I'angle de r6fraction en fonction de 1'6nergiede la radiation incidents pour des angles d'incidence de 15' et 751.Les courbes en traits continus sont relatives A linterface m6tal-quartz,

les courbes en traits discontinus A Finterface m6tal-vide.

all 14 1I

5 -

4 -

3 -

is,

I

I 1.5 1.1 kV on IV

Fig. 6 Conductibilit6 optique du potassium en fonetion de 1'6nergiede la radiation incidents pour des angles d'incidence de 15' et 751.Les courbes en traits continus sont relatives A Pinterface m6tal-quartz,

les courbes en traits discontinus A l'interface m6tal-vide.

N, 2,\2El = 1 + 47rNa - M*7rc2 + Cu. (19)

Dans cette expression, le terme 4rNao repr6sent lapolarisibilit6 du coeur, pratiquement constant et de


faible importance dans le proche infrarouge. Le tro-isieme terme, du a la r6ponse des electrons de conduc-tion, est preponderant; Cli est le terme correctif destransitions interbandes que l'on peut apprecier a partirdes relations de Kramers-Kr6nig. 2 3 A partir de C*, onpeut calculer n* suivant 1'eq. (17) puis simuler des res-ultats de mesure, par exemple par la m6thode ellipso-metrique, dans les conditions indiquees par l'experi-mentateur. Ainsi, pour le potassium, nous avons simul6les r6sultats des mesures respectivement pour l'interfacemetal-quartz et metal-vide, sous des incidences voisinesde 750; le calcul des angles 4' et A depend simplementdu calcul du parametre p [q. (9)]. Bien entendu, lecalcul th6orique de p tient compte de 'anisotropie descouches de surface, c'est-a-dire que les facteurs de r-flexion r 11 et r sont calcules a partir d'indices differentscomme precis6 ci-dessus.

(2) A partir des constantes tabul6es par les exp6ri-mentateurs et calculees dans l'hypothese de l'isotropiede la surface, on peut remonter aux valeurs moyennesdes angles 4' et A. La comparaison directe des donneesexp6rimentales relles et simules est ind6pendante deshypotheses ncessaires au calcul des constantes op-tiques. La fig. 7 concretise cette comparaison dans lecas du potassium pour les angles 4' et A.

Pour l'interface m6tal-quartz, 'accord est tout a faitremarquable avec les mesures de Smith.2 2 Dans ledomaine des nergies inf6rieures a 1 eV, 1'6cart resteinferieur aux erreurs de mesure estim6es; en particulier,le creux dans les valeurs de qui aurait du, suivantSmith, marquer l'existence d'une bande anormale,disparait totalement lorsqu'on simule cette m6thode demesure. L'ecart ne depasse pas 3 min d'angle pour lesenergies sup6rieures 1 eV, domaine spectral o laconductibilite due aux transitions interbandes inter-vient et pour le calcul de laquelle nous avons utilise lesapproximations de Wilson3 4 et Butcher. 3 5

La comparaison est plus dlicate l'interfacemetal-vide, pour laquelle un autre parametre intervientdont il est difficile d'apprecier les effets, a savoir la ru-gosite de surface. De plus, la conductibilite de surfacecalcul6e est sensible aux choix du pseudo-potentiel etle maximum de la bande d'absorption est d6plac6 fa-cilement de quelques dixiemes d'6lectron-volt suivantles valeurs des coefficients du pseudo-potentiel. Nousmontrons cependant, a titre d'exemple, l'accord quali-tatif que l'on peut obtenir avec les mesures de Mayer etal.

2 4 lorsqu'on modifie 'angle a pour tenir compte deseffets dus a la structure de surface. La profondeurmoyenne de p6netration est de l'ordre d'une centained'Angstr6ms, l'angle a de 500. Par contre, les valeursde A, qui mesure essentiellement les valeurs relles dela permittivite, sont en tres bon accord (les courbesexp6rimentale et simul6e sont pratiquement con-fondues). Les variations de 4' sont concretises dansles deux cas par un minimum tres marque, mais cesminimums sont spar6s d'environ 0.15 eV. Insistonscependant sur le caractere purement qualitatif de cettecomparaison, les valeurs des parametres ne pouvant etrequ'arbitraires en l'absence de renseignements sur lastructure relle de la surface.

q'(en rd) A (en rd)

Fig. 7. Comparaison des courbes calcules des variations de 4' et Aavec les rsultats exp6rimentaux de Smith 2 2 et de Mayer et al.

2 4

VI. Conclusion

Malgr6 la qualit6 des mesures et les progres tech-niques dans l'obtention de l'ultravide et de la purifica-tion des metaux, les valeurs des parametres optiquespubliees par les diff6rents auteurs presentent des ecartsnettement superieurs a ceux que l'on pourrait espererde la precision des mesures. Nous pensons qu'il fauten rechercher la cause dans les m6thodes de mesureutilisees, toutes basees sur l'hypothese de 'homog6neiteet de l'isotropie des surfaces metalliques, alors que lesm6taux sont en fait limites par des couches superficiellesselectivement inhomogenes et anisotropes. L'hy-pothese de 1'excitation des oscillations collectives dansles rugosit6s de surface conduit aussi a une anisotropieselective d'une couche superficielle, puisque l'on dist-ingue les oscillations dans le plan de l'interface de cellesperpendiculaires a cet interface. Mais la considerationdes transitions vers des etats localises etend cette ani-sotropie aux surfaces parfaitement planes.

Du point de vue experimental, il serait interessantque les mesures des parametres optiques des m6tauxalcalins soient reprises partir d'une m6thode quitienne compte de l'anisotropie de surface, par exempleen comparant sur un meme echantillon les rsultatsobtenus en incidences quasi normale et principale. Enplus de l'int6ret d'obtenir des parametres optiques co-herents, une telle tude serait d'un apport importantdans la connaissance des structures 6lectroniques desurface.


Ref6rences

1. P. Rouard, Thin Solids Films 50,311 (1978).2. M. H. Cohen, in Optical Properties and Electronic Structure of

Metals and Alloys (North-Holland, Amsterdam, 1966), p. 66.3. M. H. Cohen and J. C. Philips, Phys. Rev. Lett. 13, 190 (1964).4. A. W. Overhauser, Phys. Rev. Lett. 13, 196 (1965); Phys. Rev. 156,

844 (1967).5. R. A. Ferrell, in Optical Properties and Electronic Structure of

Metals and Alloys (North-Holland, Amsterdam, 1966), p. 78.6. S. Nettel, Phys. Rev. 150, 421 (1966).7. J. P. Marton, Appl. Phys. Lett. 18, 140 (1971).8. A. Messen, J. Phys. 22, 135 (1972).9. R. Garron, Surf. Sci. 79, 489 (1979); 91, 358 (1980).

10. R. Garron et H. Roubaud, Surf. Sci. 92, 593 (1980).11. V. Heine Surf. Sci. 2, 1 (1964).12. Cf., par exemple, Solid State Phys. 24, 197 (1970).13. Cf., par exemple, pour une revue des travaux rcents, Surface

Physics of Materials, J. M. Blakely, Ed. (Academic, New York,1975); Topics in Applied Physics, R. Gomer, Ed. (Springer,Berlin, 1975).

14. N. D. Lang and W. Kohn, Phys. Rev. B:1, 4555 (1970).15. Cf., par exemple, G. Harbeke in Optical Properties of Solids, F.

Abeles, Ed. (North-Holland, Amsterdam, 1966), p. 21.16. R. Garron, Appl. Opt. 19, 554 (1980).17. R. Payan, Ann. Phys. 4,543 (1969).18. R. Payan et D. Roux, Opt. Commun. 1, 37 (1960).

19. Cf., par exemple, R. M. A. Azzam and N. M. Bashara, Ellipso-metry and Polarised Light (North-Holland, Amsterdam,1977).

20. J. R. Beattie and G. K. T. Conn, Philos. Mag. 46, 222 (1955).21. J. F. Archard, P. L. Clegg, and A. M. Taylor, Proc. Phys. Soc.

London Sect. B. 65, 758 (1952).22. N. V. Smith, Phys. Rev. 183, 634 (1969).23. M. H. Cohen, Philos. Mag. 3, 762 (1958).24. H. Mayer and B. Hietel, in Optical Properties and Electronic

Structure of Metals and Alloys (North-Holland, Amsterdam,1966), p. 47.

25. J. N. Hodgson, J. Phys. Chem. Solids 24, 1213 (1963); Phys. Lett.7, 300 (1963); Optical Properties and Electronic Structure ofMetals and Alloys, F. Abeles, Ed. (North-Holland, Amsterdam,1966), p. 60.

26. R. Althof and J. H. Hertz, Infrared Phys. 7, 11 (1967).27. T. Iganaki, L. C. Emerson, E. T. Arakawa, and M. W. Williams,

Phys. Rev. B:13, 2305, 5610 (1976).28. R. E. Palmer and S. E. Schnatterly, Phys. Rev. B:4, 2329

(1971).29. H. Mayer et S. Von Aufschnaiter, Z. Phys. 249, 400 (1972).30. H. Mayer et L. D. Blanaru, Z. Phys. 249,424 (1972).31. H. Steffen et H. Mayer, Z. Phys. 254, 250 (1972).32. H. Mayer et'B. Hietel, Z. Phys. 254, 232 (1972).33. B. Hietel et H. Mayer, Z. Phys. 264, 21 (1973).34. Cf. pour une revue des travaux recents P. Rouard et A. Messen,

Prog. Opt. 15,77 (1977).35. A. H. Wilson, The Theory of Metals (Cambridge U.P., New York,

1936), p. 133.36. P. N. Butcher, Proc. Phys. Soc. London, Sect. A. 64, 50 (1951).

The late William Benedict (left) and John N. Howard photographed at J. H. Jaffee's 1961 meeting onmolecular interactions. Photo: J. H. Jaffee.


Documents

Anisotropie des propriétés optiques des métaux alcalins