Annales Corrig©es de l’Ann©e 2002- suquet/Polys/   Le but du probl¨me est de construire

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Text of Annales Corrig©es de l’Ann©e 2002- suquet/Polys/   Le but du...

  • Universit des Sciences et Technologies de LilleU.F.R. de Mathmatiques Pures et Appliques

    IFP Anne 2002-2003

    Annales Corrigesde lAnne 2002-2003

    Licence de Mathmatiques : Intgration, Analyse de Fourier et Probabilits

  • I.F.P. 20022003

    Ce polycopi regroupe les devoirs la maison, D.S. et examens donns en I.F.P. aucours de lanne universitaire 20022003. Tous les noncs sont accompagns de solutionsentirement rdiges. Il va de soi que ces corrigs ne pourront tre utiles quaux lecteursayant dj cherch rsoudre par eux-mmes les questions poses.

    Je remercie tous mes collgues de lquipe enseignante dI.F.P. 200203, pour leurcontribution ce travail et pour mavoir donn leur accord pour linclusion des noncs etcorrigs correspondants dans ces annales. Le D.M. no 2 a t pris en charge par PhilippeHeinrich et Laurence Marsalle, le D.M. no 3 par Raymond Moch et FranoisRecher, le D.M. no 4 par Youri Davydov, Sandra Delaunay et Charles Suquet.

    Lensemble du document est disponible sur Internet lURL

    http://math.univ-lille1.fr/~suquet/

    Les pages de cette version lectronique y sont signes pour viter toute exploitationcommerciale abusive.

    Les remarques, critiques et questions des lecteurs seront les bienvenues.

    Villeneuve dAscq, le 19 octobre 2003

    Charles Suquet

    1

  • I.F.P. 20022003

    Index thmatique

    Calcul dintgrale multiple : Exm. Sept. Ex. 1 ; Continuit et drivabilit sous

    : D.M. 3, Pb. 1 ; Exm. Jan. Ex. 4 ; Exm. Sept.

    Ex. 2. Dnombrabilit : D.M. 1, Ex. 3 ; Densit (dune loi) : Exm. Jan. Ex. 4 ; Fonction : D.M. 3, Pb. 1 ; Fonctions monotones : D.S. Pb. ; Fonction de rpartition : D.S. Ex. 1 ; Indpendance : D.M. 4, Ex. 2 ; Exm. Jan. Ex. 3 ; Exm. Sept. Ex. 3. Intgrabilit : D.S., Ex. 3 ; Exm. Jan. Ex. 4 ; Exm. Sept. Ex. 1 et 3. Interversion srie-intgrale : D.S. Ex. 3 ; D.M. 3, Pb. 1 ; D.M. 4, Ex. 1 ; Jeu de pile ou face : D.M. 2. Lemme de Fatou : D.S. Pb. ; Exm. Sept. Ex. 3. Loi forte des grands nombres : D.M. 4, Ex. 2 ; Exm. Jan. Ex. 4 ; Exm. Sept. Pb. Lois gaussiennes : Exm. Jan. Ex. 3 ; Lois uniformes : D.S. Ex. 2 ; D.M. 4, Ex. 2 ; Exm. Jan. Ex. 1 ; Exm. Sept. Ex. 3. Mesurabilit : Exm. Sept. Pb. Mesure : D.M. 2 ; Exm. Jan. Ex. 2 ; Mesure de Lebesgue : D.S. Ex. 2 ; D.M. 3, Pb. 2 ; Exm. Jan. Ex. 4 ; Exm. Sept.

    Pb. Modlisation : D.M. 1, Ex. 1 ; D.M. 2 ; D.M. 4, Ex. 2 ; Exm. Jan. Ex.3. Moments : Exm. Jan. Ex. 2 ; Semi-algbre : D.M. 2. Sries et familles sommables : D.M. 1, Ex. 3 ; Srie de Fourier : D.M. 3, Pb. 2. Temps dattente : D.M. 1, Ex. 1 ; Exm. Sept. Pb. Thorme de convergence domine : D.M. 3, Pb. 2 ; Exm. Jan. Ex. 4 ; Exm. Sept.

    Ex. 1 Thorme dextension : D.M. 2. Thorme de Fubini : D.M. 4, Ex. 1 ; Exm. Sept. Pb. Thorme limite central : Exm. Jan. Ex. 4 (dans le corrig). Tribu : D. M. 2 ; Variable alatoire discrte : D.M. 1, Ex. 1 et 2 ; Exm. Sept. Pb. Vecteur alatoire : D.M. 4, Ex. 2 ; Exm. Jan. Ex. 3 ; Exm. Sept. Ex. 2. ; Exm. Sept.

    Ex. 3.

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  • I.F.P. 20022003 Sujet du D.M. no 1

    Universit des Sciences et Technologies de LilleU.F.R. de Mathmatiques Pures et Appliques

    IFP Anne 2002-03

    Devoir no 1 rendre dans la semaine du 28 octobre 2002

    Ex 1. Contrleur contre fraudeurUne compagnie de mtro pratique les tarifs suivants. Le ticket donnant droit un

    trajet cote 1 ; les amendes sont fixes 20 pour la premire infraction constate,40 pour la deuxime et 400 pour la troisime. La probabilit p pour un voyageurdtre contrl au cours dun trajet est suppose constante et connue de la seule com-pagnie. Un fraudeur dcide de prendre systmatiquement le mtro sans payer jusqu ladeuxime amende et darrter alors de frauder. On note T le nombre de trajets effectusjusqu la deuxime amende (T est le numro du trajet o le fraudeur est contrl pourla deuxime fois). On note q = 1 p la probabilit de faire un trajet sans contrle.

    1) Montrer que la loi de T est donne par

    P(T = k) = (k 1)p2qk2, k 2.

    2) Pour n N, calculer P(T > n). Indication : on pourra commencer par chercherune formule explicite pour la somme de la srie entire

    f(x) :=+

    k=n+1

    xk1,

    puis pour sa drive terme terme.3) Calculer numriquement P(T > 60) (pourquoi sintresse-t-on cette quantit ?)

    lorsque p = 1/10 et lorsque p = 1/20.4) Dun point de vue purement financier (et donc hors de toute considration de

    moralit), quel conseil donneriez vous au fraudeur ?

    Ex 2. Soit X une variable alatoire discrte valeurs dans N. Pour tout k N,on note pk := P (X = k). On suppose que X a une esprance mathmatique EX finie etque la suite (pk)k1 est dcroissante sur N.

    1) Dmontrer lingalit :

    k N, P (X = k) < 2EXk2

    . (1)

    Indication : Considrer la somme partielle de rang k de la srie dfinissant EX.

    3

  • Sujet du D.M. no 1 I.F.P. 20022003

    2) Lingalit (1) reste-t-elle vraie sans lhypothse de dcroissance de (pk)k1 ?3) Est-il possible quil existe une constante c > 0 et un entier k0 tels que :

    k k0, P (X = k) cEX

    k2? (2)

    Ex 3. Sommabilit. . .Soit E un espace vectoriel norm, I un ensemble infini dindices et {ui, i I} une

    famille de vecteurs de E. Pour toute partie finie K de I on note

    SK :=iK

    ui.

    On dit que {ui, i I} est intrinsquement sommable et de somme S E si pour tout > 0, il existe une partie finie J = J de I telle que

    K fini, J K I S SK .

    Lappellation intrinsquement sommable nest pas classique et est locale cet exer-cice. Elle est destine viter la confusion avec la dfinition de la sommabilit vue encours (pour un ensemble dindices I dnombrable).

    1) Montrer que si {ui, i I} est intrinsquement sommable, lensemble

    I := {i I; ui 6= 0}

    est au plus dnombrable.2) Montrer que si {ui, i I} est intrinsquement sommable et si I dfini ci-dessus

    est infini, la srieiI

    ui est commutativement convergente, cest--dire que pour toute

    bijection : N I , la srie+

    k=0 u(k) converge et sa somme ne dpend pas de .3) Soit I dnombrable et supposons la srie

    iI ui commutativement convergente

    et de somme S. Montrer que {ui, i I} est intrinsquement sommable et de somme S.Indication : supposer que {ui i I} nest pas intrinsquement sommable et construireune bijection de N I pour laquelle la srie de terme gnral u(j) ne converge pasvers S.

    4) Soit {ui, i I} une famille infinie dans R+ telle que

    M := supK fini I

    iK

    ui < +.

    Montrer que {ui, i I} est intrinsquement sommable et de somme M .5) Soit (, F, ) un espace mesur o est une mesure finie. On suppose de plus

    que la tribu F possde les singletons ( , {} F). On dit que a une masseponctuelle en si ({}) > 0. Dduire de la question prcdente que lensemble des o a une masse ponctuelle est au plus dnombrable. Gnraliser au cas o est-finie.

    6) Dduire de la question prcdente que si F est la fonction de rpartition dunemesure finie sur (R, Bor(R)), lensemble de ses points de sauts (i.e. les a R tels queF (a) < F (a)) est au plus dnombrable.

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  • I.F.P. 20022003 Sujet du D.M. no 2

    Universit des Sciences et Technologies de LilleU.F.R. de Mathmatiques Pures et Appliques

    IFP Anne 2002-03

    Devoir no 2 rendre dans la semaine du 18 novembre 2002

    Problme.

    Le but du problme est de construire un espace probabilis modlisant une suite infiniede tirages pile ou face avec une pice (ventuellement) truque.

    Rappelons que si E et F sont des ensembles, la notation FE dsigne lensemble desapplications de E dans F . Dans le cas particulier o E = {1, . . . , n}, lensemble F {1,...,n}sidentifie F n = F F .

    On reprsente les suites infinies de tirages pile ou face comme les lments delensemble

    = {0, 1}N .

    Pour n N, soit n la fonction sur valeurs dans {0, 1} dfinie par n() = (n) ;cette fonction reprsente le rsultat du n-ime tirage.

    Soit p un rel fix appartenant ]0, 1[. On veut construire une tribu F sur rendantles fonctions n mesurables, et une probabilit P sur (, F) telle que pour tout n 1,

    P{n = 1} = p, P{n = 0} = 1 p.

    1) Soit G une tribu sur . Montrer que n est G-P({0, 1}) mesurable si et seulementsi les ensembles {n = 1} et {n = 0} appartiennent G. La runion

    n11n(P({0, 1})

    )est-elle une tribu ?

    2) Posons n = {0, 1}n et (n) = {0, 1}N\{1,...,n} de sorte que = n(n). Soit fn

    la fonction de dans n dfinie par fn() =(1(), . . . , n()

    )et soit Fn = f1n

    (P(n)).

    Montrer que :a) Fn est une tribu,b) Fn = {A (n), A n},c) les fonctions 1, . . . , n sont Fn-P({0, 1}) mesurables.

    3) Pour tout C Fn, on pose

    Pn(C) =

    xfn(C)

    p|x|(1 p)n|x|,

    o |x| dsigne le nombre de coordonnes de x gales 1 ; plus formellement, on pose|x| = Card

    {k {1, . . . , n} : x(k) = 1

    }.

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  • Sujet du D.M. no 2 I.F.P. 20022003

    Montrer que Pn est une probabilit sur (, Fn) et que pour tout k {1, . . . , n},

    Pn{k = 1} = p.

    4) Montrer que la suite (Fn)n1 est croissante. En dduire que n1

    Fn est une semi-

    algbre sur que lon notera C dans la suite du problme.5) Soit P la fonction densemble sur C dfinie par

    P(C) = Pn(C) si C Fn.

    Montrer que :a) P est bien dfinie (vrifier que Pn et Pn+1 concident sur Fn),b) P est additive sur C,c) P() = 1 et P() = 0.

    6) Soit (Ci)iN une suite dcroissante dlments de C. On veut tablir que si les Cisont tous non vides, alors

    iN

    Ci 6= .

    Pour cela, on justifiera la construction suivante dun lment de :

    on choisit (1) dans iN

    1(Ci),

    (1), . . . , (k) tant choisis, on choisit alors (k + 1) dansiN

    k+1

    (Ci f1k

    ({((1), . . . , (k)

    )})).

    Montrer que appartient iN

    Ci.

    Indication : pour C appartenant Fn, on a lquivalence

    C ((1), . . . , (n)