Durée maximale : 1 h 30 mn 00 s

Informations consommateur :1) Monsieur Claude Parent est prié d'écrire son nom sans faute d'orthographe.2) Les bouliers et les tables de multiplication sont autorisés mais les calculettes sont interdites.3) La hauteur des cadres a été déterminée expérimentalement. Si, par extraordinaire, l'espace attribué aux réponses semblait trop limité, il suffirait, soit d'écrire plus petit, soit de préciser les points-clés de raisonnement ou du calcul qui conduisent à la réponse, parce que seul le contenu des cadres sera pris en compte. Le choix des points-clés, c'est à dire la distinction entre les points essentiels d'un raisonnement et les éléments secondaires fait partie de l'épreuve, la pertinence de ces chois fera donc partie de la note.4) La note tiendra compte du degré de simplification des résultats.5) Tout résultat non justifié (sauf éventuelle mention contraire dans l'énoncé) ne sera pas pris en compte.6) Les calculs qui ne respectent pas les notations de l'énoncé ne seront pas pris en compte.7) Date limite de consommation : 06/05/10 à 15h 30mn 00s (heure locale). Pour toute réclamation s'adresser, avec courtoisie et civilité, au SAV : Daniel.Rello@insa-rouen.fr

Un récipient aux parois athermanes et indéformables est divisé en deux compartiments, de même volume V0, séparés par une cloison étanche. Dans chaque compartiment se trouvent n moles d'un gaz parfait à l'équilibre (même pression et même température). Les deux gaz sont de nature différente (espèces chimiques différentes). Lorsqu'on retire la cloison, les gaz se mélangent sans réaction chimique et le système évolue spontanément vers un nouvel équilibre caractérisé par l'homogénéité du mélange.

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Exercice 1 : Entropie de mélange de deux gaz parfaits (GP).

On donne la fonction d'entropie pour chaque gaz dans l'état initial :Pour GP1 : S1

i T , V =nCmV1 ln T 0n R ln V 0cste1

Pour GP2 : S 2i T ,V =n CmV2 lnT 0n R ln V 0cste2

1) Calculer le volume occupé par chaque gaz dans l'état final.2) Calculer la variation d'énergie du système complet et en déduire la température de chaque gaz dans l'état final.3) Calculer la variation d'entropie du système complet.4) Expliquer s'il s'agit d'une entropie reçue ou d'une entropie produite.5 ) Calculer la variation d'entropie si les deux gaz sont de la même espèce chimique.

On rappelle que pour n moles de matière immobile, soumise uniquement à de forces de pression, on a :

dS=nCmVd TT

lT

d V

dE=d U=n CmV dT l−P d V

1) Écrire que dS et dE sont des différentielles totales et en déduire l'expression du

coefficient calorimétrique l=T ∂ P∂T V

2) On considère n moles de CO2 dont l'équation d'état est l'équation de Van der Waals :

Pa n2

V 2 V −nb =n RT

Calculer l pour ce gaz.

3) En déduire pour ce gaz :a) que CmV ne dépend pas du volume V.b) l'expression de dE en fonction notamment, de dV et dT. c) l'expression de dS en fonction notamment, de dV et dT.

On admettra, dans la suite de l'exercice, que CmV est une constante.

4) Calculer la fonction énergie E(V,T).

Exercice 2 : Détente de Joule – Gay-Lussac d'un gaz de Van der Waals.

5) Calculer la fonction entropie S(V,T).

6) On considère deux récipients de volumes V1 et V2 reliés par un tuyau fermé par un robinet. Les deux récipients et le tuyau sont athermanes. Dans l'état initial, n moles de CO2 sont enfermées dans le volume V1 à la température T1 et le récipient 2 est vide.On ouvre le robinet et on attend un nouvel équilibre.Calculer la variation de température T2 – T1 du CO2 et déterminer son signe.

7) Calculer la variation d'entropie du gaz et préciser son signe. Expliquer s'il s'agit d'une entropie reçue ou d'une entropie produite.

Les dérivées partielles de la fonction P(V,T) d'une mole d'un gaz sont :

∂ P∂V T

= 2aT V 3−

RTV −b2 et ∂P

∂T V= R

V −ba

T² V²

où a et b sont des constantes.

1) Déterminer l'équation d'état de ce gaz.2) Déterminer l'équation d'état pour n moles.

Exercice 3 : Équation d'état d'un gaz de Clausius.

Dans un compresseur aux parois athermanes, la compression réversible s'effectue en trois transformations :

a) Le volume interne du compresseur étant nul initialement, la soupape d'admission S1

étant ouverte et la soupape de refoulement S2 fermée, on aspire en déplaçant le piston à P1 et T1 constantes, une masse m de gaz qui occupe alors un volume V1;

b) Les deux soupapes étant fermées, on comprime le gaz à la pression P2, la température T2, et le volume V2;

c) S2 étant ouverte et S1 fermée, on refoule le gaz à la pression P2 et à la température T2 constantes. Le piston se retrouve alors dans sa position initiale.

1) Représenter les trois transformations précédentes dans le diagramme de Clapeyron (V, P).2) Calculer le travail Wa fourni au gaz par le piston au cours de l'aspiration.3) Calculer le travail Wc fourni au gaz par le piston au cours de la compression.4) Calculer le travail Wr fourni au gaz par le piston au cours du refoulement5) Calculer le travail total reçu par le gaz, en fonction, notamment des températures T1 et T2.6) En considérant ce compresseur comme un système ouvert, calculer à nouveau ce travail en appliquant les approximations suivantes : le système est en régime permanent pour la masse et l'énergie, et les variations d'énergie potentielle et cinétique d'écoulement sont négligeables.

Exercice 1 : Compresseur

P1 - DS - Sections 1 & 2d. Rello

On considère une masse m=10−3 kg d'air M =29 g.mol−1 considérée comme un gaz parfait diatomique =1,4 décrit le cycle monotherme réversible composé des transformations suivantes :

A B : isothermeBC : isochoreC A : isentropique

En A : V A=0,8×10−4 m3 et P A=106 Pa . Le rapport entre la pression maximale et

la pression minimale est donné et estPA

PC=10 .

1) Représenter les transformations précédentes dans le diagramme de Clapeyron (V, P)2) Calculer la température TA.3) Calculer le volume VB.4) Calculer la pression PB.5) Calculer la température TC.6) Calculer le travail W A B en fonction de PA,VA et VB.7) Calculer le travail W C A en fonction de PA,VA et γ.8) Calculer la chaleur dégagée Q A B .9) Calculer la chaleur dégagée QBC .10) Précisez en justifiant votre réponse si ce système est un moteur, une pompe à chaleur ou un réfrigérateur, et calculez-en le rendement.11) Expliquer pourquoi cette machine ne peut pas exister.

Exercice 2 : Une machine extraordinaire

On considère un prisme de Pellin-Brocca (ABCD) en verre d'indice de réfraction n=1,5 comme schématisé ci-dessous.

Un rayon incident en I sur la face (AB) avec un angle d'incidence i1=48,9° est réfractée dans le prisme. Il arrive ensuite au point J sur la face (BC) où il est réfléchi, pour finalement être réfracté au point K à travers la face (AD).L'indice de réfraction de l'air environnant est n0=1

1) Calculer la valeur de l'angle i2 du rayon réfracté en I.2) En déduire la valeur de l'angle i3 du rayon incident en J. 3) Montrer que le rayon ne peut pas se réfracter en J.4) Déterminer la relation entre l'angle i4 du rayon incident en K et l'angle i2 .5) En déduire la valeur de l'angle i5 du rayon réfracté en K.6) Calculer l'angle de déviation Δ du rayon lumineux à la traverse du prisme de Pellin-Brocca.

On réalise un système optique, appelé télescope de Cassegrain, associant deux miroirs sphériques : un miroir concave (M1) de sommet S1, de centre C1 et de rayon

I

P4-1 - IS - sections 1 & 2d. honore

EXERCICE 1 : PRISME DE PELLIN-BROCCA

EXERCICE 2 : TÉLESCOPE DE CASSEGRAIN.

de courbure R1=6 m , et un miroir convexe (M2) de sommet S2, de centre C2 et de rayon de courbure R2=4 m .Le miroir (M1) est percé en son sommet S1 d'un petit trou permettant à la lumière de passer mais ne modifiant pas ses propriétés. On note d=S 1 S 2 , la distance entre les deux miroirs, et c=C1 C2 , la distance entre leur centre.On souhaite que tous les rayons incidents parallèles à l'axe optique se rassemblent en S1 après une réflexion sur (M1) puis sur (M2).

1) Calculer les valeurs des distances focales f 1=S1 F 1 et f 2=S 2 F 2 des deux miroirs.2)A partir de la relation de conjugaison écrite pour (M1) quand tous les rayons réfléchis se rassemble en S1, montrer que d vérifie la relation suivante

d= f 2−f1f2 f 2 ²

f 1

2

2

Calculer la valeur de d.

(désolé, mais vous n'aurez pas la suite de l'exo 2, on s'en rappelait plus...)

1) Quel est le type de miroir sphérique du dessin ci-dessous ?2) Soit C, le centre de ce miroir. Donner la valeur de son rayon de courbure.

Dans les conditions de Gauss, construire géométriquement l'image de l'objet réel (WXYZ) par ce miroir, en justifiant votre méthode de construction.

3) En déduire les caractéristiques principales de l'image.

EXERCICE 3 : Anamorphose.

Durée : 2hLES CALCULATRICES ET LES DOCUMENTS SONT INTERDITS.

TOUTE APPLICATION NUMERIQUE DOIT ETRE PRÉCÉDÉE D'UN CALCUL LITTÉRAL.

On considère un aquarium de forme sphérique , de rayon R=21 cm , rempli d'eau.Un faisceau horizontal de rayons parallèles centrés sur l'axe (S1CS2) arrive sur cet aquarium.On néglige tous les effets liés à la paroi de verre de l'aquarium. L'indice de réfraction de l'eau est n=4 /3 et celui de l'air n0=1.

1)Montrer que, quelle que soit sa position dans l'aquarium, un poisson ne peut pas croiser le point de focalisation du faisceau.

2)A quelle distance de S2 se situe ce point de focalisation sur l'axe optique ?

3)On place sur l'axe optique une lentille convergente de distance focale image f '=30 cm à 21 cm du sommet S1. Quelle est la position la plus dangereuse

pour le poisson ?

Dans le cadre du festival Normandie Impressionniste, des séances de projection du spectacles « Les Nuits Impressionnistes » sont organisées à la tombée de la nuit sur la façade du musée des Beaux Arts de Rouen.Le système est réglé pour projeter une image sur toute la hauteur du musée H=16 m en utilisant toute la hauteur du film h=155 mm . Le sens de

montage du film dans le projecteur est à l'inverse de l'orientation des images projetées. La distance de la lentille du système de projection à la façade du musée est D=28 m .

1) Calculer la valeur du grandissement transversal γ .

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EXERCICE 1 : POISSON GRILLÉ ?

EXERCICE 2 : NORMANDIE IMPRESSIONNISTE

2) Déterminer la distance de mise au point d (entre le film et la lentille) que doit régler l'opérateur.3) Déterminer l'expression de la distance focale image f ' de la lentille du système de projection en fonction de γ et d. En déduire la valeur de f '.4) Lors du spectacle, des reproductions de tableaux sont projetées dans l'encadrement des fenêtres du musée (de dimension 3,6*2,3 m²).Déterminer la taille de ces reproductions sur le film de projection.

(les deux parties sont indépendante)

1 ere Partie: Formule de Gullstrand de deux lentilles minces accolées. On considère deux lentilles minces L1 et L2, de vergence respective ϕ1 et ϕ2.

1) Écrire la relation de conjugaison entre un objet A et son image A' par la lentille mince L1.2) Montrer que lorsque les deux lentilles minces sont accolées, la vergence ϕ du système des deux lentilles est égale à la somme des deux vergences ϕ1 et ϕ2.

2 ème Partie: Correction de l'aberration chromatique. Les deux équations ci-dessous donnent les dispersions optiques des verres crown et flint.

Verre crown Verre flint

nc=1,5220 4590 ²

n f=1,728013420 ²

n est calculé à la 4ème décimale près, avec λ : longueur d'onde du rayonnement (en nm).

3) Quel est le nom de cette formule de dispersion optique ?

On considère une lentille L1 biconvexe en verre crown de rayons de courbureR1=300 mm pour la face d'entrée et R1 '=−1800 mm pour la face de sortie.

Cette lentille est éclairée par un faisceau de lumière parallèle à l'axe optique, constitué d'un rayonnement rouge à λR=656nm et d'un rayonnement bleu

λB=486 nm .

4) Calculer les deux valeurs de la vergence de la lentille : ϕ1R pour le rayonnement rouge et ϕ1B pour le rayonnement bleu.5) En déduire l'aberration chromatique longitudinale, définie comme la distance

EXERCICE 3 : UN DOUBLET ACHROMAT

algébrique F B ' F R ' entre le point foyer image FB' du rayonnement bleu et le point foyer image FR' du rayonnement rouge.

On corrige cette aberration chromatique en accolant une seconde lentille L2 à la première lentille de façon à faire focaliser les deux rayonnements en un même point F'. La lentille L2 est en verre flint et a un rayon courbure de sa face d'entrée identique à la sortie de L1.

6) A partir de la relation de la question 2), de la vergence ϕ2B et la distance focale f2b' de la lentille L2 à la longueur d'onde λB.7) En déduire la valeur de la vergence ϕ du système des deux lentilles, appelé doublet achromat.8) Déterminer le rayon de courbure de la face de sortie de L2.9) Quelle est la forme de la lentille de L2 ?10)Les deux rayonnements bleu et rouge étant ainsi superposées, quelle sera la couleur perçue à l'œil en plaçant un écran au point de focalisation ?

1) 2V0

2) E f−Ei=W i f=0

Qi f=0

=0

n CmV1T f −T 0nCmV2 T f−T 0=0n T f−T 0CmV1CmV2=0⇒T f =T 0

3) S f=nCmV1 ln T f n R ln 2V 0cste1nCmV2 ln T f n R ln 2V 0cste2

Si=n CmV1 ln T f n R ln V 0cste1nCmV2 ln T f n R ln V 0cste2

⇒S f −Si=2 n R ln 2

4) dS=SrSpor Sr= Q

T frott=0

donc dS=Sp ⇒ entropie produite

5) S f=nCmV1 ln T f n R ln 2V 0cste1nCmV1 ln T f n R ln 2V 0cste1

Si=n CmV1 ln T f n R ln V 0cste1nCmV1 ln T f n R ln V 0cste1

⇒S f −Si=2 n R ln 2

1) dS=nCmVd TT

lT

d V dE=d U=n CmV dT l−P d V

dS ⇒ ∂∂V

nCmV

TT= ∂∂T

lTV

nT∂CmV

∂V

T= 1

T ∂ l∂T

V− l

T 2

dE ⇒ ∂∂V n CmVT=

∂∂T l−PV n

T∂CmV

∂V

T= 1

T ∂ l∂T

V− 1

T ∂ P∂T

V

⇒ − lT 2=

−1T

∂P∂T

V

⇒ l=T ∂P∂T

V

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Exercice 1 : Entropie de mélange de deux gaz parfaits (GP).

Exercice 2 : Détente de Joule – Gay-Lussac d'un gaz de Van der Waals.

2) P= n RTV−n b

−a n2

V 2 et l=T ∂P∂T

V= n R T

V−nb

3)a) n ∂CmV

∂VT= ∂∂T

a n2

V 2 V

=0= ∂∂T

l−P V

b) dE=nCmV d Ta n2

V 2 d V

c) dS=n CmV

Td T n R

V−nbd V

4) E=∫nCmV d T =nCmV TV

∂E∂V

T= ' V =a n2

V 2 ⇒ V =−a n2

Vcste

E=n CmV T−a n2

Vcste

5) S=∫nCmVd TT

=n CmV ln T V

∂S∂V

T= ' V = n R

V −nb⇒ V =n R ln V −nbcste

S=nCmV lnTn R ln V −nbcste

6) E2−E1=nCmVT 2−T 1−a n2 1V 1V 2

− 1V 1

=W12=0

Q12=0

=0

⇒ T 2−T 1=− a nCmV

V 2

V 1 V 1V 20

7) S2−S1=nCmV ln T 2

T 1n R ln

V 1V 2−nbV 1−nb

=S1 2p 0

1) ∂P∂V

T= 2a

T V 3−RT

V −b2

P=∫ 2 aT V 3−

R TV−b2 d V =− a

T V 2R T

V −bT

∂P∂T

V= a

T 2V 2R

V−b 'T = a

T 2 V 2R

V −b⇒ ' T =0 ⇒ =cste

Exercice 3 : Équation d'état d'un gaz de Clausius.

P=− aT V 2

RTV−b

cste

limV ∞

P V =R T= limV ∞

− a VT V 20

R T VV −b1

RT

V cstedoit êtreégal à 0

P=− aT V 2

RTV −b

⇔ P aT V 2 V−b=RT

2) P aT V m

2 V m−b=RT or V m=Vn

donc P a n2

T V 2 V−nb =n RT

1)

2) W a=∫−P1 dV =−P 1V 1−0=−P1V 1

3) La transformation est adiabatique et réversible, donc isentropique : dS=0 . D'où

dE=W c=m cv T 2−T 1

4) W r=∫−P 2 dV =−P 20−V 2=P 2 V 2

5) W total=W aW cW r=P 2V 2−P1V 1m cv T 2−T 1

6) échec...

1)2) On sait que le gaz est un gaz parfait et que

n= mM

donc :

T A=P A V A

nR=

PAV A MmR

=279 K

3) De B à C, la transformation est isochore. Par conséquent, V B=V C et comme la transformation de C à A est isentropique, on peut appliquer la relation de Laplace suivante : P A V A

=PC V C

V B=

P A

PCV A

d'où V B= PA

PC 1 V A=4,14×10−4 m3

Exercice 1 : Compresseur

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Exercice 2 : Une machine extraordinaire

4) De A à B, la transformation est isotherme, donc TA=TB, d'où :

P B=mM

R T A

V B=1,93×105 Pa

5) De C à A, la transformation est isentropique et on peut utiliser la relation de

Laplace pour déterminer TC : PC1−T C

=P A1−T A

et donc T C=T A PA

PC 1−=144 K

6) W AB=∫A

B

−PdV =∫A

B

−nRTV

dV =−nRT∫A

B dVV

=−nRT lnV B

V A =−131 J

7) La transformation est isentropique donc : W C A=nC mv T A−T C (cours)Utilisons les relations de Laplace : T C

PC1−=T A

P A1−

T C=T A

P A

PC 1−

d'où : T C=T A P A

PC 1−

On obtient donc :

W C A=nCmv T A1− PA

PC 1−

De plus :

Cmp−Cmv=R ainsi : C mp

C mv−1= R

C mv d'où : −1= R

C mv, donc : C mv=

R−1

Finalement on a W C A=n R−1 T A1− PA

PC 1− = n R

−1P A V A

nR 1− P A

PC 1−

W C A=PA V A

−11−10

1− =96,4 J

8) Pour une transformation isotherme, QAB=−W AB (cours) doncQA B=131J

9) QBC=nCmv T C−T B=n Cmv T C−T A=−nC mv T A−T C =−W C A=−96,4 J

10) La somme des travaux sur un cycle est égale à W=W ABW BCW C A . Sachant que la transformation de B à C est isochore : W BC=0 . Numériquement, on voit que W<0.

11) échec...

1) Loi de réfraction n0sin i1=n sin i2 ⇒ i2=30,0 °2) Dans le triangle BIJ 90−i 27590−i3=180 ⇒ i3=45°

3) Calculons l'angle limite i3*=arcsin 1×sin 901,5

=41,81°

i3>i3* , il n'y a donc pas réfraction mais réflexion4) k=180−180−i2i3=i2i3

Dans le Triangle OJK ki390−i4=2×i3i 290−i4=180⇒ i4=i 2=30,0° 5) i5=48,5° d'après la loi de réfraction6) D1=i2−i1=−18,6 ° D2=2×i3=2×45=90 ° D3=i5−i4=18,6°=D1D2D3=90 °

1) f 1=R1

2=3m f 2=

R2

2=2m

2)1

S 2 S 1 1

S 2 F 1 '= 2

S 2C 2= 1

S 2 F 2 '⇒ 1

d 1

d f 1= 1

f 2⇒ f 2=

d² f 1 d2d f 1

⇒d² f 1−2f 2d− f 1 f 2=0 =4f 2 ² f 1 ² d= f 2−f12 f 2 ²

f 1

2

2

=3

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EXERCICE 1 : PRISME DE PELLIN-BROCCA

EXERCICE 2 : TÉLESCOPE DE CASSEGRAIN.

1) Le miroir est convexe. Son rayon de courbure est de 40 mm.

2)

3) L'image sera virtuelle, droite et réduite. C'est un parallélogramme.

EXERCICE 3 : Anamorphose.

1) D'après la relation de conjugaison on a nSF 1 '=

n−n0

S 1C

⇒SF 1 '=S 1C×nn−n0

=21×4

343−1

=84cm

2) S1 S 2=2×21=42 cm S 2 F 1 '=42 cm3) Soit M la position la plus dangereuseD'après la relation de conjugaison pour les dioptre

nS 1 M −

n0

S 1 F ' =n−n0

S 1C ⇒S 1 M =n×S1 C×S1 F '

n−n0S1 F 'n0 S1 C=10,5cm

1) = A' B 'AB

= H−h

=−103,22

2) =SA'SA

= D−d

⇒d= D−=

28103,22

=0,271 m

3) D'après la relation de conjugaison pour la lentille1

SA'− 1

SA= 1

f '⇒ 1

D 1

d= 1

f '⇒ f '=d×D

dD= d²

d 1=0,274 m

4) l=3600 =−34,8 mm L=2300

=−22,3 mm

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EXERCICE 1 : POISSON GRILLÉ ?

EXERCICE 2 : NORMANDIE IMPRESSIONNISTE

1 ere Partie: Formule de Gullstrand de deux lentilles minces accolées.

1) 1=1

S 1 A '− 1

S 1 A=n−1× 1

S1 C1− 1

S 1C1 '

2) 2=1

S 2 A' '− 1

S 2 A' On considère S1 et S2 confondus

1S 2 A'

=11

S2 A⇒2=

1S 2 A' '

− 1S 2 A

−1 ⇒=12=1

S 2 A' '− 1

S 2 ARelation de conjugaison du système

2 ème Partie: Correction de l'aberration chromatique. Les deux équations ci-dessous donnent les dispersions optiques des verres crown et flint.

Verre crown Verre flint

nc=1,5220 4590 ²

n f=1,728013420 ²

n est calculé à la 4ème décimale près, avec λ : longueur d'onde du rayonnement (en nm).

3) Il s'agit de la formule de Cauchy

4) ncR=1,5327 ncB=1,5414 ϕ1R=ncR−1× 1R1

− 1R1 ' =2,0716 m−1

ϕ1B=ncB−1× 1R1

− 1R1 ' =2,1054 m−1

5) F B ' F R '=SF R '−SF B '=− 11R

11B

=−7,75.10−3 m=−7,75 mm

EXERCICE 3 : UN DOUBLET ACHROMAT

On corrige cette aberration chromatique en accolant une seconde lentille L2 à la première lentille de façon à faire focaliser les deux rayonnements en un même point F'. La lentille L2 est en verre flint et a un rayon courbure de sa face d'entrée identique à la sortie de L1.

6) n fR=1,7592 n fB=1,7848 1SF '

==1R2R=1B2B

On a ϕ2R=n fR−1× 1R2

− 1R2 ' et − 1

R2 '=

2B

n fB−1− 1

R2

soit 2B1B=1Rn fR−1

R2n fR−1n fB−1

2B−n fR−1

R2

2B1−n fR−1n fB−1=1R−1B ⇔ 2B=1R−1B× n fB−1

n fB−n fR =−1,0362 m−1

=1B2B=1,0692

8) D'après 6) on a R2 '= 1

1R2

−2B

n fB−1R2 '=

R2×n fB−1n fB−1−R22B

=1,307 m

9) On a R20 et R2 '0 La lentille est donc biconcave.10)On observe un point de couleur violette.